Protecciones Digitales Modulo III

DIPLOMA DIPL OMADO DO EN PROTECCIONES PROTECCIONES DE SISTEMAS ELÉCTRICO EL ÉCTRICOS S DE POTENCIA

MÓDULO 3 PROTECCIÓN CONVENCIONAL DE SISTEMAS ELÉCTRICOS

INSTRU INSTRUCTO CTORES RES:: DR. DAVID SEBASTIÁN BAL B ALTAZAR TAZAR DR. GERMÁN ROSAS ORTIZ

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DIPLOMADO EN PROTECCIONES DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA

CONTENIDO CAPITULO 1 PROTECCIONES DIGITALES ..................................................... ..................................................... 1 CAPITULO 2 HARDWARE EN RELEVADORES DIGITALES ......................... ......................... 13 CAPITULO 3 ACONDICIONAMIENTO DE LAS SEÑALES ............................. ............................. 27 CAPITULO 4 PROTECCIÓN AVANZADA DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN .. 213

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CONTENIDO CAPITULO 1 PROTECCIONES DIGITALES ..................................................... ..................................................... 1 CAPITULO 2 HARDWARE EN RELEVADORES DIGITALES ......................... ......................... 13 CAPITULO 3 ACONDICIONAMIENTO DE LAS SEÑALES ............................. ............................. 27 CAPITULO 4 PROTECCIÓN AVANZADA DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN .. 213

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CAPITULO 1 PROTECCIONES DIGITALES 1.1. Introducción En la actualidad, los relevadores de protección llevan a cabo un gran número de funciones junto a la principal de protección. Las ventajas de los relevadores modernos basados en microprocesadores sobre su contraparte de relevadores tradicionales se encuentran bien documentadas en la literatura técnica. Estas ventajas incluyen entre otras la localización de fallas, la generación de reportes de eventos y la lógica programable que permite que muchas funciones sean incluidas en un solo dispositivo con lo que se ahorra espacio y costos de instalación. Una de las principales complicaciones de este salto tecnológico es sin embargo, el aumento en la parte del diseño del sistema de protección que requiere de algoritmos y lógica en los relevadores. En este primer capítulo se discute la evolución de los relevadores de protección a través de los años, se comparan las ventajas y desventajas de los diferentes tipos de relevadores y se explica de manera breve lo que es un relevador digital o numérico (dispositivos basados en microprocesadores). Se discute también de manera breve el posible futuro de los nuevos desarrollos usando relevadores digitales. 1.2. 1.2. Evoluc ión de d e los relevadores El primer dispositivo de protección conocido es el fusible, el cual tiene una capacidad de interrupción de falla limitada a bajo y medio voltaje. Su tiempo de respuesta aunque rápida para fallas con alto nivel de corriente de corto circuito, es lenta cuando la falla no provoca una corriente alta capaz de derretir el elemento del fusible y por lo tanto, limita su uso en aplicaciones de alto y extra alto voltaje en los que mantener una falla por mucho tiempo pone en riesgo la estabilidad del sistema. 1.2. 1.2.1. 1. Relevadores Relevadores Bimétalic os Para aplicaciones de protección en donde una operación con retardo de tiempo es necesaria, los relevadores de tipo bimetálico son una opción indicada. La característica de operación de estos relevadores se basa en el calentamiento de un elemento bimetálico.

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1.2. 1.2.2. 2. Relevadores Relevadores Electromecánic os Los relevadores electromecánicos combinan las características de los fusibles y los relevadores bimétalicos. Estos dispositivos proveen operaciones instantáneas y con retraso de tiempo. Estos dispositivos se clasifican en los siguientes tipos: 1. Relevadores de tipo inducción (Tipo disco) 2. Relevadores de atracción de armadura: Los relevadores auxiliares son normalmente de este tipo 3. Relevadores de tipo bobina móvil: Estos dispositivos ofrecen una alta sensibilidad de respuesta. 4. Relevadores térmicos: La mayoría de estos dispositivos emplean el principio bimetálico 5. Relevadores con timer (contador de tiempo): El atraso de tiempo se consigue normalmente usando circuito RC. 1.2.3. Relevadores Estáticos El desarrollo histórico de los relevadores de tipo estático data de 1950, sin embargo, los relevadores comerciales usando esta tecnología solo pudieron estar disponibles hasta los 60´s y 70´s. La principal razón para esto fue la mala reputación que obtuvieron estos primeros dispositivos entre las compañías suministradoras de energía eléctrica debido al alto índice de fallas y defectos derivados de diseños inapropiados. La introducción de circuitos integrados de tipo analógico y digital digital y su aplicación en relevadores ayudo a que el uso de estos dispositivos de protección se expandiera entre las compañías suministradoras de energía. Los relevadores de tipo estático fueron mas precisos e imponían una carga menor (burden) a los TCs y PTs, por lo que una reducción en el tamaño de estos transformadores era posible. A pesar de sus ventajas, estos relevadores requerían una gran cantidad de componentes electrónicos para realizar una simple función de protección y por lo tanto no eran muy confiables. Para realizar cualquier cambio en el diseño de estos dispositivos se requería un gran esfuerzo y una gran cantidad de tiempo por lo que su flexibilidad era muy limitada. 1.2.4. Relevadores Digitales La siguiente generación del desarrollo de relevadores vino de la mano con el avance en las computadoras digitales en las que las primeras técnicas de protección fueron implementadas.

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1.2.4.1. Antecedentes d e los Relevadores Digitales Uno de los primeros trabajos de investigación y que sentó las bases a seguir en el área de relevadores digitales fue desarrollado por Rockefeller. En su artículo publicado al principio de los 70´s [1] explica de manera detallada como proteger un sistema usando una computadora digital. El desarrollo de los relevadores de tipo digital ha recibido una gran atención desde que la tecnología digital esta disponible. Estos relevadores son usados ampliamente en la mayoría de los sistemas eléctricos de potencia actuales. Otro proyecto en 1970 desarrollado por Westinghouse (llamado PRODAR-70) resulto en el primer relevador de alta velocidad diseñado para proteger líneas de transmisión. Este relevador fue probado en campo, se mantuvo en servicio por ocho años y el desempeño del sistema fue calificado como excelente. Este relevador realizaba un muestreo de alta velocidad en las formas de onda de voltajes y corrientes. También contaba con algunas otras funciones extra tales como la grabación detallada de eventos de postfalla con una resolución del orden de milisegundos, oscilografias de la forma de onda de falla, localización de falla y auto chequeo del estado del relevador (activo o inactivo). Este relevador y sus periféricos fueron comparados ampliamente con los relevadores de tipo convencional y aunque fue solo un experimento, es considerado uno de los dispositivos pioneros en el área de la protección digital. 1.2.4.2. Avances en Métodos Computacionales Los dispositivos de protección desarrollados antes de 1972 usaban técnicas de ajuste de curvas para obtener fasores de los valores instantáneos de voltajes y corrientes. Ramamoorty utilizo una técnica basada en análisis de Fourier en tiempo discreto denominada DFT (Transformada Discreta de Fourier) la cual es aun ampliamente usada [2]. Muchas otras técnicas para la estimación correcta de los fasores fueron usadas, empleando principios tales como ecuaciones diferenciales, ajustes por errores mínimos cuadrados, funciones de Walsh, filtros de Kalman, que sin embargo nunca se volvieron comerciales. Solo una variante de la técnica computacional DFT se mantiene como la base para el calculo de fasores en la mayoría de los relevadores comercial actuales. 1.2.4.3. Relevadores Comerciales El primer relevador comercial fue un relevador de frecuencia (1971) con un interruptor rotatorio para definir los ajustes. Después de esto vinieron relevadores con funciones simples de sobrecorriente y para la protección de motores usando funciones aun más simples basadas en medidas RMS. Los relevadores de alta velocidad en ese periodo aunque usaban medición analógica para obtener valores, empleaban microprocesadores para construir la lógica del sistema. A mediados de los 80´s relevadores basados en microprocesador fueron 3


desarrollados en hardware muy simple y estaban enfocados a reemplazar a los relevadores electromecánicos sin ofrecer mucha funcionalidad, con una interfaz de usuario muy poco sofisticada y con tiempos de operación de 2 a 3 ciclos. Algunos de los puntos clave que resultaron ser críticos en el desarrollo de los relevadores digitales son dados a continuación: 

 

La producción en masa de relevadores basados en microprocesador no requiere de una gran inversión de capital comparado con el criterio de diseño de relevadores electromecánicos. Este hecho también provoco que muchos fabricantes de estos dispositivos surgieran rápidamente, sin embargo tiempo después solo unos cuantos se mantuvieron. Los primero relevadores digitales solo tenían un puerto de comunicación simple del tipo RS232 para descargar y subir información y requerían de una computadora para esto. Nuevas generaciones de relevadores digitales aparecieron con un panel frontal para programar los ajustes y ver otra información del relevador. La introducción del panel frontal redujo el problema de transportar una PC al panel del relevador para descargar información. Las opciones extra de comunicación permitieron comunicar relevadores enlazados a través de una red LAN lo que resulto en un sistema de automatización de subestaciones.

1.3. ¿Por qué Usar Relevador es Digitales? Con el uso de relevadores digitales altamente integrados o IEDs (dispositivos electrónicos inteligentes como también son llamados) las compañías suministradoras de energía y las plantas industriales tienen un enorme potencial para ahorrar costos de operación y mantenimiento. Estos ahorros se pueden clasificar en las siguientes categorías: Reducció n de co sto en i nstalación y ensamble de paneles El espacio en paneles puede ser reducido en gran medida al usar relevadores digitales que incluyen gran cantidad de funciones extras y por lo tanto un solo dispositivo de estos puede substituir múltiples relevadores, elementos de medición, interruptores de control, indicadores y muy frecuentemente elementos de comunicación y RTUs (unidades de terminal remota). Todo esto resulta en un espacio mayor en el cuarto de control al remplazar los paneles de equipo completos por solo unos cuantos relevadores digitales, ver Figura 1.1. Los arreglos complicados de paneles dobles para protección y control por terminal son reducidos fácilmente a un solo panel con la consecuente disminución de cableado que incluye todas las funciones de protección, monitoreo y control y que deja espacio libre para otros equipos.

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Panel con relevadores Panel con relevadores Figura 1.1 Comparación de paneles con relevadores convencionales y digitales

Menor tiempo de puesta en servicio y de mantenimiento Basándose puramente en el tamaño de estos dispositivos se puede intuir que el tiempo requerido para poner en servicio un relevador digital es muy reducido, además de que el cableado requerido es muy simple. El tiempo para el mantenimiento de estos relevadores se reduce también gracias a sus funciones incluidas de auto chequeo y auto monitoreo. Aun el chequeo del cableado puede hacerse de una manera sencilla al revisar el estado de las entradas al relevador a través de las funciones en el menú. Con el uso de relevadores digitales, el tiempo de puesta en servicio se reduce a menos del 50% del tiempo requerido por sus equivalentes electromecánicos o estáticos Menor tiempo de recuperación del sistema después de un d isturbi o Debido a que los relevadores digitales son capaces de dar información extra respecto a una falla, el sistema puede recuperarse mucho mas rápido de un disturbio comparado con sus contrapartes electromecánicas o estáticas. Por ejemplo, la función de localización de fallas en un relevador de protección en un alimentador indica el lugar aproximado de falla lo cual simplifica de gran manera el problema. La curva de aprendizaje de los ingenieros en protecciones podría disminuir con el análisis de los datos de reportes de fallas y por lo tanto el número de operaciones incorrectas debido a ajustes inadecuados entre otros factores también podría disminuir de manera significativa. Esta experiencia de los ingenieros de protección llevaría a lograr tiempos muy cortos para la restauración de servicio siguiendo a un apagón y por lo tanto las pérdidas monetarias de las compañías suministradoras de energía serian mínimas. 5


Confiabilidad El uso de componentes de alta calidad y un diseño robusto de relevador ya probado permite obtener un producto altamente confiable, el cual también incrementa la confiabilidad del sistema en general. La combinación de una alta media de tiempo entre fallas (MTEF), funciones de autodiagnóstico del relevador, y habilidad de proveer alarmas permite asegurar que el relevador ofrecerá una protección adecuada y confiable. Además, debido a que los relevadores digitales son menos costosos que muchos de los dispositivos que reemplazan, resulta mas viable económicamente proveer una protección de respaldo redundante y por lo tanto incrementar aun mas la confiabilidad del sistema. Con un número creciente de dispositivos electrónicos inteligentes (relevadores digitales), las compañías suministradoras de energía identifican el potencial en reducción de costos que conlleva la integración del sistema. Con el uso de equipo moderno de integración y automatización, es posible obtener un control total y lograr la restauración de subestaciones de manera remota, esto es especialmente importante bajo condiciones atmosféricas adversas o en distancias muy largas. La función de auto monitoreo con un alto grado de sofisticación puede detectar fallas accidentales ocurriendo dentro del relevador con lo que se mejora la confiabilidad del sistema. Tiempo menor de reparación en campo El tiempo de reparación en campo de un relevador digital es ampliamente reducido al realizar el cambio completo del producto dañado por otro, en lugar de reparar un elemento personalizado del panel. Subproduct os ofrecidos por el relevador digital La facilidad de grabar fallas, localizar fallas y registrar de manera detallada otros eventos ayuda en gran medida al personal a comprender el sistema y a tomar una acción correctiva adecuada. localización de Fallas: La capacidad de localización de fallas ayuda al personal a

encontrar áreas de posible falla mucho mas rápido que realizando una búsqueda aleatoria en la línea – esto es un valor agregado muy significativo cuando resulta inevitable usar los costosos sobrevuelos en helicóptero para encontrar el punto conflictivo en la línea. Además, el recierre automático programable permite habilitar la restauración de la línea de forma automática. Impacto menor en TCs y PTs: La carga (o burden) que representan los

relevadores digitales mucho menor que su contraparte electromecánica y por lo tanto esto reduce indirectamente el costo de los TCs. Si se considera que el costo de un TC es proporcional a la cantidad de carga total conectada a el, ésta reducción en tamaño del TC resulta ser uno de los subproductos mas importantes obtenidos de un relevador digital. 6


Tiempo de entrega: El tiempo de entrega de estos relevadores es muy corto. El

tiempo de entrega de un relevador digital es de una a dos semanas como máximo mientras que en los relevadores electromecánicos o estáticos esta espera aumenta a más de 10 semanas para la entrega. 1.4. Características principales de un relevador de protección integrado Basados en una base común de hardware para las funciones de protección y control, los relevadores multifuncionales modernos ofrecen soluciones técnicas y económicas para la protección y automatización de subestaciones eléctricas. Los dispositivos de protección y control especialmente combinados forman la base para la automatización de subestaciones. La combinación de experiencia en protección, control sofisticado con una alta seguridad, medición, lógica programable, interfaz de usuario integrada y comunicación abierta hace de estos dispositivos- frecuentemente llamados Relevadores Universales o Soluciones en una Sola Caja – la opción mas adecuada para subestaciones nuevas o reacondicionadas. El microprocesador, que permite a los fabricantes desarrollar productos que son mas pequeños, baratos y en cierta forma mas inteligentes, es la herramienta mas poderosa para desarrollar los dispositivos electrónicos inteligentes (IEDs) que permiten una integración sin problemas dentro de un esquema automatizado. La integración de microprocesadores en el hardware de protección, medición y control fue el desarrollo tecnológico más significativo que ha impactado el área de suministro de energía. Con la llegada de la tecnología de microprocesadores, las funciones de un relevador de protección fueron mejoradas y/o expandidas a las siguientes características: 1. 2. 3. 4. 5.

Función de protección Función de medición función de control Comunicación Automonitoreo

Dispositivo Multifun cional – Funciones de protección Dependiendo del equipo a ser protegido, existen un número de funciones de protección que requieren ser acomodadas en un solo paquete. Por ejemplo, una unidad de transformador (delta-estrella, estrella solidamente aterrizada) tendrá el siguiente esquema discreto como una unidad de protección:  Protección diferencial del relevador (87T)  Protección de falla a tierra restringida (64R) 7


   

Protección contra sobreflujo (24) Protección de sobrecorriente en el lado primario (50 & 51) Protección auxiliar para fallas a tierra en el neutro del lado estrella (51N) Relevadores auxiliares, timers, relevadores de disparo y la interposición de las conexiones en los TCs

Los esquemas convencionales empleaban la parte estática o electromecánica para las funciones de protección. Cada relevador tenia una o dos funciones especializadas a realizar. Además de esto, la protección diferencial del transformador en un esquema convencional requería interponer la conexión de los transformadores de corriente para corregir los fasores y la relación de transformación, además de la compensación a tierra. Todo esto resultaría en el uso de 6 interposiciones de los TCs para las tres fases en ambos lados del transformador. El relevador digital no solo reduce el numero de relevadores y partes auxiliares que van a usarse sino también permite que una sola caja de 12x12 pulgadas reemplace el listado completo de equipo mostrado arriba. Eventualmente todo esto se refleja como un ahorro en espacio de los paneles, tiempo de diseño, y cableado entre otros. Medición de señales e interfaz de usuario Debido a que los procesadores requieren información de los fasores de voltaje y corriente para ofrecer una respuesta, la función de medición se convierte entonces en un subproducto que requiere de solo unos pocos bytes de memoria para almacenar. La medición de fasores de voltaje y corriente le permite al relevador ofrecer información de voltaje, corriente de fase, corriente de neutro (ya sea medida del TC en el neutro o derivada de la conexión residual de los tres TCs de fase), potencias trifásicas real y reactiva, factor de potencia, etc. Los valores medidos pueden ser valores reales RMS y su exactitud depende de la exactitud del TC. Los relevadores digitales incluyen una interfaz de usuario que permite el acceso a todos los menús a través de las teclas en el panel frontal con lo cual el usuario puede ver, y modificar los ajustes. Grabación de Fallas y Oscilo grafía Cualquier falla detectada en el sistema puede iniciar la función de grabación de disturbios de todas las fases con lo que se obtiene información importante referente al tipo de falla, magnitud de la corriente de falla y las formas de onda de voltajes y corrientes las cuales son una herramienta importante para realizar análisis postfalla. Software adecuado es requerido para ver las formas de onda excepto en casos donde el relevador es un solución de caja única con interfaz de usuario. 8


Localización de Fallas La información disponible más allá de las funciones de protección es posible con relevadores digitales al permitir dar una localización estimada de la falla. Uso de grupos con ajustes múltiples Los relevadores digitales pueden usar grupos de ajuste múltiples para permitirles ser usados en diferentes condiciones de operación del sistema. Por ejemplo:

Se toma el ejemplo de una industria la cual recibe energía de la compañía suministradora y de una planta de generación interna que alimenta las cargas de la planta. Cuando ambas fuentes están en servicio, cualquier falla en uno de los alimentadores resulta en una corriente de falla mucho mayor que cuando una sola fuente esta en servicio, por ejemplo la planta de generación interna. El cambio en el nivel de corriente de falla afectara los ajustes de la protección, los cuales pueden ser inmediatamente cambiados a otros ajustes si se provee un contacto al relevador indicando el estado de la alimentación de la compañía suministradora y de la planta de generación interna. Esta característica indica al usuario no cambiar los ajustes si dos o más grupos de ajustes son previamente dados para cubrir las condiciones de operación diferentes. Esto permite pasar de la alimentación por la compañía suministradora a la generación interna sin necesidad de un cambio manual en los ajustes del relevador. Otros beneficios de los gr upos co n ajustes múltiples.  Mantener un archivo de ajustes para el sistema entero  Extraer y cargar los ajustes para un relevador de reemplazo del archivo usando comunicación de datos.  Los ajustes pueden ser cargados en el relevador antes de la instalación o en la subestación durante la puesta en servicio. Au to moni toreo y alar mas Todos los relevadores digitales pueden ser diseñados para tener la función de monitoreo y auto chequeo. Estas funciones permiten incrementar los intervalos tradicionales de rutinas de mantenimiento a los relevadores. Una función de auto chequeo provee básicamente información del estado del relevador, es decir, si esta activo o inactivo. Esto puede reducir de manera significativa la posibilidad de que un relevador fallado se encuentre en servicio sin ser detectado por un largo periodo. La técnica de monitoreo del relevador normalmente opera de forma continua y puede ser usada para detectar la no disponibilidad del relevador o las tendencias posibles de un disparo equivocado. El auto chequeo opera periódicamente y toma muy poco tiempo. Básicamente checa el estado de los componentes críticos del relevador y en caso de posible falla de alguno de ellos, una alarma es generada para avisar al usuario del posible problema. Si el relevador es de tipo modular, la información generada incluye cual 9


tarjeta o modulo ha fallado, excepecto para los casos de falla en la pantalla o la unidad de alimentación. Las funciones de monitoreo y auto chequeo tienen la habilidad de reducir la no disponibilidad de un relevador sin incrementar su costo o su complejidad. Lógica Programable La mayoría de los relevadores digitales modernos incluyen la capacidad de lógica programable por el usuario, usando los estados de las entradas y salidas de la planta y construyendo algunos esquemas definidos por el usuario. Estos esquemas no son definidos en los esquemas ya existentes del relevador sino que pueden ser generador por medio de la lógica programable. Características de Comunicación Todos los relevadores digitales pueden ser diseñados para comunicarse con una PC o a un sistema central supervisado para compartir información de sus funciones de protección, control y medición. Se puede lograr esto al proveer puertos de comunicación al relevador que soporten esta función. Los estándares de comunicación son RS232 y RS485. Conexión RS232

El estándar de conexión RS232 es para una comunicación uno-a-uno, lo que permite que el usuario se conecte a un relevador a través de una PC o laptop para accesar todos sus menús y cambiar sus ajustes si se requiere o para descargar información después de una falla.

Figura 1.2 Conexión RS232 Conexión RS485

El estándar RS485 permite que grupos de relevadores puedan ser conectados a un PC central en una subestación para accesar y cambiar los ajustes en los relevadores. Esto también permite que comandos globales puedan ser enviados a todos los relevadores si es que se requiere y por lo tanto la ventaja sobre el estándar de comunicación RS232 resulta obvia.

Figura 13. Conexión RS485 10


El uso de ambos estándares requiere usar protocolos de comunicación en común que soporten la comunicación entre el esclavo (el relevador digital) y el maestro (PC o sistema supervisor) Enlaces de comunicación modernos provistos por el equipo digital ofrecen características que les permiten integrarles dentro de un sistema digital de control de subestación. Debido a razones históricas, diferentes estándares de comunicación internacional e industriales se han desarrollado alrededor del mundo, muchos de ellos relacionados a la información de dispositivos de protección. 1.5. Tendencias a fu turo Al observar el desarrollo actual de los relevadores de protección, resulta evidente que hay dos tendencias en el diseño de nuevos relevadores. Existe una tendencia en el diseño a consolidar mas funciones dentro de un solo paquete. Si la demanda de confiabilidad y seguridad en estos diseños es alcanzada y si los clientes se encuentran satisfechos con los resultados, la ya una vez rechazada idea de tener una sola computadora por subestación para las tareas de protección y control podría llevarse a cabo. Esta idea resulta especialmente atractiva para aplicaciones de bajo voltaje y en distribución en donde un costo bajo es esencial, gran cantidad de respaldo remoto es disponible y el impacto de una falla mayor es limitado. Sin embargo, hasta nuestros días, los proponentes de esta idea se han visto limitados por la renuencia de los usuarios a aceptar más de un esquema de protección en un solo dispositivo. La creciente disponibilidad de hardware de bajo costo para computo y comunicación de datos lleva a la segunda tendencia de diseño futuro de relevadores. Esta tendencia explora el potencial de los sistemas de protección y control ensamblados por el usuario, empleando para ello un arreglo de dispositivos funcionales dedicados, los cuales tienen una funcionalidad limitada. Esto ofrece un buen balance de flexibilidad, redundancia, mantenimiento, y la habilidad de incorporar nuevas tecnologías sin perturbar lo que ya este operando adecuadamente. Esto resulta ser una extensión natural y evolucionaría de lo que ya esta sucediendo en este campo. Referencias 1. G. D. Rockefeller, “Fault Protection with a Digital Computer,” IEEE Trans. PAS, vol. 88, pp. 438–461, 1969. 2. M. S. Sachdev, "Microprocessor Relays and Protection Systems", IEEE Tutorial Course (88EH0269-1-PWR), IEEE Power Engineering Society, NJ, 1988. 11


3. ALSTOM, Network Protection & Automation Guide, Levallois-Perret, France, 2002. 4. R. G. Lyons, Understanding Digital Signal Processing, Addison Wesley Pub., Mass. 1997.

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CAPITULO 2. HARDWARE EN RELEVADORES DIGITALES 2.1. Introducción En este capítulo, las principales partes requeridas para diseñar un relevador numérico, son explicadas. Una vista general de la parte del hardware es mostrado para después discutir los detalles de cada componente desde el punto de vista de protección. El propósito general de un relevador de tipo digital es exactamente el mismo que el de un relevador convencional, en el sentido de que éste debe aceptar datos de entrada de voltaje, corriente, etc., procesar los datos y ejecutar una acción de control (en el caso mas simple, mandar una señal de disparo al interruptor asociado) cuando sea requerido. Las señales de entrada del sistema de potencia son analógicas por naturaleza y por lo tanto, deben ser convertidas en forma digital para que puedan ser usadas por el microprocesador. Es por eso que los relevadores numéricos requieren del hardware apropiado para realizar estas conversiones. Al diseñar el hardware para el procesamiento de las señales, existen muchos detalles técnicos que deben ser considerados, tales como los requerimientos de exactitud y resolución, los de linealidad y los errores debido a calibración y otros factores. Algunos de estos factores son debidos incluso al cambio de temperatura de operación, referencia en tiempo y la estabilidad de la potencia de alimentación entre otros. La naturaleza de la señal de entrada (tal como los niveles relativos de ruido) debe ser conocida para determinar el tipo apropiado del sistema de conversión de señales. Las señales de salida también deben ser conocidas para poder obtener una interfaz adecuada con otros equipos digitales. 2.2. Bloques Funci onales de un Relevador Digital de Protección Los principales bloques funcionales de un relevador digital se muestran en la figura 2.1. La interconexión entre los bloques depende del tipo de hardware usado para conformar el relevador. También, dependiendo de la función del relevador, los bloques pueden cambiar basados en la lógica de operación. Comúnmente, los relevadores monitorean uno o dos parámetros operacionales del sistema. Por ejemplo, un relevador de sobrecorriente direccional requiere las corrientes de los TCs de las tres fases, la entrada del TC de tierra y la entrada de la delta abierta del PT para la determinación de la dirección de falla. Un relevador para protección de barras requiere un mayor número de entradas dependiendo de su configuración. Los parámetros operacionales son el voltaje y la corriente, los cuales son señales continuas que dependen del tiempo y que pueden alcanzar 13


cientos de kV o miles de Amperes. El nivel de estas señales es reducido a 67 volts (línea a neutro) y 5 Amps. Las señales de bajo nivel dadas por los transformadores de instrumento son aplicadas al subsistema de entrada analógica. El propósito de este sistema es el de aislar al relevador del resto del sistema de potencia, proveer protección contra sobrevoltajes transitorios, atenuar altas frecuencias lo suficiente para minimizar las consecuencias del efecto aliasing, reducir los niveles de voltajes y convertir las corrientes a señales equivalentes de voltaje. Sistema de Potencia

TCs & TPs

Subsistema de entrada analógica

Interfaz analógica

Subsistema de entrada digital

Micro procesador

Control

Subsistema de salida digital

RAM

ROM

Comunicación MICROCOMPUTADOR

Alimentación RELEVADOR

Figura 2.1 Bloques funcionales de un relevador digital

La condición de los interruptores de circuito, aisladores y otra información de los sensores de voltaje relacionados al sistema de potencia son enviadas al relevador vía el subsistema de entrada digital. 14


La salida del relevador es transmitida al sistema de potencia a través del sistema de salida digital. En muchos diseños de relevadores, las muestras de datos necesitan ser almacenadas en la memoria para propósitos de análisis tales como oscilogramas, análisis posfalla y reporte de eventos. Estas muestras deben contener la información de pre y posfalla junto con su etiqueta de tiempo generada por los relevadores y para almacenar esta información la memoria RAM es usada. Los datos se pueden mover a un dispositivo de almacenamiento secundario tal que la memoria quede libre para recibir la información de la siguiente ocurrencia de falla. El programa del relevador, la lógica y sus ajustes, son almacenados en alguna forma de memoria de solo lectura (EPROM, EEPROM). El controlador, CPU y los registros operan como una unidad para ejecutar el programa línea por línea. Para lograr esto, es necesario usar algún chip de memoria y algo de RAM. Una función para reiniciar el equipo es usada en caso de que el software opere incorrectamente. La alimentación al microprocesador del relevador debe estar disponible aun cuando la alimentación auxiliar de c.a. de la estación es interrumpida. Los detalles de cada una de las partes en los diferentes subsistemas del relevador digital son discutidos en las siguientes secciones. 2.3. Relevador típico basado en microprocesador El diagrama de bloques de un relevador basado en microprocesador típico es dado en la figura 2.1. Un relevador de este tipo consiste generalmente de los siguientes elementos:  Subsistema de entradas analógicas

Aislamiento y escalado Prefiltrado (etapas de filtrado anti-aliasing y de eliminación de ruido) o Muestra y retención (S/H) o o Multiplexado Conversión análoga a digital (A/D) o  Subsistema de entrada digital o Aislamiento  Unidad central de procesamiento o Procesador para las funciones de protección o Registros Memoria interna o o Reloj o Memoria o RAM o

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ROM o EEPROM  Subsistema de salida digital  Comunicación  Sistema de alimentación o

2.3.1. Subs istema de entrada analóg ica Este subsistema consiste de bloques de aislamiento, escalado, filtrado y de adquisición de datos. Su principal uso es el de aislar al relevador del sistema de potencia, disminuir las señales de voltajes y corrientes, remover los componentes de alta frecuencia y el ruido y muestrear estas señales análogas para convertirlas a señales digitales. El diagrama de bloques típico de un subsistema de adquisición de datos se muestra en la figura 2.2. Cada uno de los componentes de este subsistema es discutido a detalle, mas adelante en este capitulo.

Figura 2.2 Diagrama de bloques típico de un sistema de adquisición de datos

2.3.1.1. Transfor madores de potencial y d e corriente Los transformadores de corriente (TCs) y los transformadores de potencial (TPs) son requeridos para obtener de manera segura la información necesaria de las líneas de potencia o del equipo a proteger. Estos dispositivos aunque no pertenecen al hardware del relevador digital, ayudan a reducir las señales de alto nivel del sistema de potencia a un nivel que pueda ser manejado de forma segura 16


por el relevador y por lo tanto es necesario mencionarlos brevemente en esta sección. Los transformadores de corriente reproducen de manera fiel la forma de onda de la corriente primaria en su secundario. Esta acción debe ser hecha con una exactitud conocida de antemano, la cual es función de factores tales como el máximo voltaje en el secundario que puede ser reproducido sin causar saturación en el transformador. El “burden”, es decir, la máxima carga conectada en el secundario del transformador afecta la exactitud en los TCs. En este punto cabe mencionar que los relevadores basados en microprocesador representan una carga mucho menor en los TCs que su contraparte electromecánica. El burden de los relevadores digitales tampoco cambia con los ajustes de protección o con el tiempo. Los valores de salida normalizada de una TC son de 5A o 1A. El transformador de voltaje reproduce de manera fiel la forma de onda del voltaje primario en el lado secundario. Generalmente, estos dispositivos tienen una gran exactitud y una buena respuesta transitoria. La salida normalizada de estos dispositivos es de 120V. 2.3.1.2. Aislamiento y esc alado Las salidas de los transformadores de potencial y de corriente están dentro del rango normalizado de entrada para los relevadores comerciales electromecánicos y estáticos. Sin embargo, el nivel de estos voltajes y corrientes no son apropiados para usarse en los circuitos de computadoras. Por lo tanto, se hace necesario usar una atenuación extra de estas señales antes de ser usados en los relevadores digitales. Esta atenuación o reducción extra de nivel debe realizarse sin alterar la forma de onda de los voltajes y corrientes y proveer además aislamiento eléctrico. Debido a que los convertidores analógicos a digitales aceptan solo señales de voltaje, se hace necesario convertir las corrientes de entrada a sus equivalentes de voltaje. 2.3.1.3. Aislamiento y escalado usando transformadores auxiliares de voltaje La figura 2.3 muestra el diagrama esquemático de un circuito para aislamiento y escalado de una señal de voltaje. Estos dispositivos son la solución mas económica y mas ampliamente usada en relevadores digitales. Se emplea un varistor de oxido metálico (MOV), en la entrada del transformador auxiliar para proteger el sistema de adquisición de datos contra transitorios en las señales de entrada. La entrada a este transformador auxiliar es la salida estándar del transformador de potencial (TP). Este transformador auxiliar por lo tanto, reduce aun mas las señales de voltaje (generalmente en un rango de 5 a 10 volts) mientras provee un aislamiento eléctrico al resto del equipo del relevador digital. Este aislamiento eléctrico es dado por el aislamiento inherente entre los devanados primario y secundario del transformador auxiliar. Después del 17


transformador auxiliar el voltaje puede ser reducido aun mas, usando un potenciómetro, a un nivel adecuado para su uso por el resto del sistema de adquisición de datos. Son de dimensiones pequeñas, por lo regular no mayores a una pulgada.

Figura 2.3 Aislamiento y escalado analógico de una señal de voltaje

2.3.1.4. Aislamiento y escalado usando transf ormadores auxiliares d e corriente La señal de entrada al transformador auxiliar de corriente es la salida del TC principal. La corriente en este dispositivo es reducida aún más y es convertida a un voltaje equivalente a través de un resistor preciso de valor conocido, ver figura 2.4. Este resistor sin embargo tiene un error inherente debido a la potencia que consume y que debe ser considerado.

Figura 2.4 Aislamiento y escalado de una señal de corriente

2.3.1.5. Supresor de voltajes trans itor ios La supresión de transitorios es la técnica usada para eliminar voltajes transitorios que pudiesen dañar al sistema de adquisición de datos. Esta técnica opera como un interruptor a muy alta velocidad. El concepto básico es limitar el pico de voltaje transitorio a través de la absorción o canalizar la energía hacia otra ruta (usualmente tierra). El dispositivo ideal es de operación rápida, capaz de conducir corrientes grandes por periodos muy cortos de tiempo y limitar el voltaje entre o la corriente a través del equipo protegido a un nivel inferior al máximo permitido. 18


Existen diferentes supresores tales como tubos de descarga de gas, diodos zener o varistores de oxido metálico (MOV). Estos últimos son los dispositivos mas comúnmente usados en relevadores digitales. Un MOV es un resistor variable, dependiente del voltaje. Su estructura consiste de granos de oxido metálico con los limites entre los granos actuando como uniones PN. Este dispositivo actúa de forma similar a un diodo zener permitiendo el paso de sobrevoltajes una vez que su valor de ruptura se ha sobrepasado. Algunos de sus atributos son la capacidad de manejar corrientes transitorias altas, son de fácil instalación, tienen un modo de fallo contra cortos circuitos y son económicos.

Figura 2.5 Varistor de Oxido Metálico

La característica dinámica de una varistor puede visualizarse en la Figura 2.6. En general, un varistor tiene dos estados: el de reposo y el de protección. El estado de reposo en el varistor ofrece una impedancia alta (varios megaohms) en relación al componente que se intenta proteger y debido a que se presenta como un circuito abierto virtual no cambia las características del circuito eléctrico. En la presencia de un sobrevoltaje transitorio (con un nivel que sobrepase el de ruptura) el varistor ofrece una impedancia muy baja (pocos ohms) y por lo tanto cortocircuita el elemento E a proteger, de acuerdo a la Figura 2.7. Current (mA) 20

10 -20

10

-10

20

Voltage (V) -10

-20

Figura 2.6 Característica VI de un varistor 19


E

E

Estado de protección

Estado de reposo

Figura 2.7 Estados de operación de un MOV

Principales características de un MOV  Respuesta rápida de operación  Baja corriente de fuga  Perdida de potencia de operación baja 2.3.1.6. Filtrado antialiasing Las entradas analógicas propiamente escaladas, son procesadas a través de un filtro pasabajos. La salida de este filtro es entonces muestreada y cuantificada. El uso de filtros pasabajos es necesario para limitar los efectos del ruido y componentes de frecuencia no deseados que se encuentren sobre la frecuencia de corte, esto es, la mitad de la frecuencia de muestreo, ver capítulo 3, sección 3.1.1. La naturaleza de la tarea de protección por relevadores dicta la cantidad total de filtrado que se requiere. Por ejemplo, la protección de distancia basada en la medición de la impedancia usa información contenida en los componentes senoidales en estado estable a 60 Hz. Por lo tanto, el filtrado para esta aplicación debe conservar los componentes en estado estable mientras elimina todos los demás componentes. Los filtros pasabajos analógicos comunes usados en estos relevadores son de tercer a quinto orden con una frecuencia de corte de alrededor de 90 Hz. La frecuencia de corte de 90 Hz. implica que una frecuencia de muestreo de al menos tres muestras por ciclo ( f m=180Hz.) debe ser usado para que la información necesaria para desarrollar las funciones del relevador de distancia sea retenida mientras que los errores debido a aliasing sea evitados. En la práctica y por resolución, la frecuencia de muestreo debe ser mayor con al menos cuatro muestras por ciclo (240Hz).

20


La descripción del efecto aliasing y otros fenómenos es dada en el capitulo 3. Por el momento cabe mencionar que este efecto si no es considerado dentro del diseño de un filtro resultara en errores en la señal muestreada final. En un relevador diferencial para transformador, las corrientes inrush deben ser detectadas al revisar los harmónicos de 2º y 5º orden contenidos en la corriente diferencial. Para esta aplicación, una frecuencia de corte de 360 Hz. es la elección práctica minima. Para garantizar la observación apropiada de los componentes de frecuencia fundamental, de 2ª y 5ª harmónica y para evitar el efecto aliasing, un intervalo de muestreo de al menos 720 Hz (doce muestras por segundo) es necesario. La respuesta de un filtro ideal tiene una banda de paso con una ganancia unitaria, es decir, en esta banda de paso la señal de entrada será la misma que la señal de salida del filtro. La transición de las bandas de paso a la de bloqueo es abrupta. Sin embargo, en filtros prácticos, la transición de la banda de paso a la de bloqueo es gradual y toma lugar sobre una banda limitada de frecuencias. En la banda de bloqueo la ganancia esperada es cero, es decir señales con frecuencias que caigan dentro de esta banda serán bloqueadas. Sin embargo, en filtros prácticos, la ganancia no puede ser cero y como resultado, una banda de bloqueo real para filtros prácticos no es posible. Por esta razón, la banda de bloqueo es definida mejor como una banda sobre la cual la ganancia es menor que un nivel especifico. De manera similar, la banda de paso es también una banda en la cual la ganancia esta entre 1 y un valor previamente especificado. Las implementaciones de filtros prácticos se realizan de tres formas: Los llamados filtros pasivos, los cuales están formados de simples elementos pasivos tales como resistencias, inductores y capacitores, no están controlados por fuentes externas, y su frecuencia de corte esta dada desde el diseño mismo del filtro, es decir, no se puede modificar a menos que elementos sean físicamente cambiados. Los filtros activos emplean amplificadores operacionales que a su vez requieren de una fuente externa que los alimente. La implementación de última tecnología que resulta ser más versátil y económica es los llamados filtros de capacitores interrumpibles (switched-capacitors). Estos filtros tienen una frecuencia de corte ajustable y de acuerdo a su configuración, las características de operación de diferentes tipos de filtros pueden obtenerse. 2.3.1.7. Circuito de mu estra y retención (S/H) La función básica de un circuito de muestra y retención en un sistema de entrada analógica es capturar una señal y mantenerla a ese valor constante durante el 21


subsecuente ciclo de conversión analógica a digital, discutido en la siguiente sección. También, todas las señales de entrada deben ser muestreadas al mismo instante tal que la relación de sus fases se conserva. Esto se realiza al controlar todos los circuitos de muestra y retención con el mismo pulso del reloj comandado por el microprocesador. Para explicar el procedimiento véase la figura 2.8. En esta figura, un circuito muy simple es mostrado, el cual consiste de un solo interruptor y de un capacitor de retención C H. Al momento en el que el interruptor se cierra, el capacitor se carga hasta el nivel de la señal de entrada. El capacitor entonces mantiene la carga en este nivel cuando el interruptor se abre.

Figura 2.8 Circuito simple de muestra y retención (S/H

En la figura 2.9 se muestra la operación de un sistema de muestra y retención en el dominio del tiempo. Operando el circuito hasta el tiempo T1, la salida esta en el modo de retención. En el instante T1, el circuito recibe la orden para readquirir la entrada.

Figura 2.9 Operación de un circuito S/H en el dominio del tiempo 22


El tiempo de adquisición T AC es el tiempo requerido para que la salida del circuito sea igual que su entrada. La salida entonces sigue a la entrada hasta que el circuito es nuevamente puesto en el modo de retención T2. Un pequeño lapso de tiempo, llamado el tiempo de apertura T AP, es requerido por el circuito para cambiar al modo de retención. Durante este tiempo la señal de salida puede cambiar ligeramente del valor original de T2. Tal variación es llamada la incertidumbre de apertura. Valores típicos para el tiempo de adquisición, tiempo de apertura e incertidumbre de apertura son 5, 0.005 y 0.01 microsegundos respectivamente. El proceso de muestra y retención es usado en los relevadores digitales para la conversión de analógico a digital. Una comparación de las técnicas mas comunes de muestreo y retención es mostrada en la Tabla 2.1. La aproximación sucesiva AD de costo medio, velocidad media es una elección común en la protección digital y en los sistemas de control. Tabla 2.1 Comparación de técnicas diferentes de conversión AD Tipo de convertidor

Rango del convertidor

Rastreo

Costo/com plexidad

Comentarios

Bajo

Requiere señal de entrada con variación lenta, salida siempre disponible Requiere una entrada estable

Rampa de conteo

Lento

Bajo

Rampa sola

Lento

Bajo

Rampa dual

Lento

Medio

rápido

Medio

aproximación sucesiva Flash paralelo

Falta de estabilidad con tiempo y temperatura Integra la señal de entrada, puede ser usado en altas resoluciones – 20 bits o mas Necesita una entrada estable

Mas rápido alto

Salida siempre esta disponible

2.3.1.8. Convertidor analógico a digital Un convertidor analógico a digital (convertidor A/D o ADC) toma los valores instantáneos de un voltaje analógico y lo convierte a un numero binario de n-bits que puede ser fácilmente manipulado por un microprocesador. El numero de n-bits es una fracción binaria representando la relación entre el voltaje de entrada y el voltaje a escala completa del convertidor. Un numero de diferentes técnicas pueden ser usadas para lograr esta conversión. Los rangos totales de voltajes de entrada para un ADC son típicamente de 0 a +5 o de 0 a +10 volts para operaciones unipolares y de -5 a +5 o -10 a +10 volts para operaciones bipolares. 23


2.3.1.9. Resoluc ión de convertid ores A /D La gran diferencia entre la corriente de falla y la corriente de falla requiere de convertidores A/D de muy alta resolución. La resolución de un convertidor A/D depende de un número de bits disponibles y la forma del código binario. Todo esto es discutido mas a detalle en el capítulo siguiente. 2.3.1.10. Multiplexor Un multiplexor es un dispositivo que selecciona una señal de uno de sus dos o mas canales de entrada y transfiere esta señal a su canal de salida. En aplicaciones de protección, el multiplexado análogo es usado para transferir la señal muestreada de los circuitos S/H uno a uno al convertidor A/D. Los convertidores A/D son costosos y por lo tanto, solo un convertidor A/D es usado para convertir todas las señales de entrada muestreadas. Un multiplexor analógico es esencialmente una colección de interruptores analógicos controlados por la lógica de selección de canal. Es decir, un código binario es dado al multiplexor cuya circuiteria de lógica interna conecta los canales de entrada correspondientes al canal de salida. La señal de salida puede ser de una terminal o diferencial. Los dispositivos de switcheo usados en los multiplexores pueden ser pequeños relevadores o dispositivos de estado sólido tales como BJTs, JFETs o MOSFETs. Estos últimos dispositivos son comúnmente usados en relevadores digitales. Algunas propiedades de un MOSFET (transistor de efecto de campo por semiconductor de oxido metálico) son:  Estos dispositivos son usados cuando el rango total de la señal está entre +15

y -15 volts  El modelo incluye diodos en las terminales de fuente y de drenado los cuales deben ser mantenidos con dolarización inversa  Este dispositivo es básicamente un resistor controlado por voltaje y su resistencia varia de acuerdo al voltaje presente en sus terminales. El multiplexor debe ser diseñado con esta variación en mente. Para formar un interruptor multiplexor un MOSFET de canal P y uno de canal N son colocados en paralelo como se muestra en la Figura 2.10. El canal n tiene una resistencia minima para señales negativas de entrada y el canal p tiene una resistencia minima para señales positivas de entrada. Por lo tanto, en cualquier instante, la combinación paralela de estos interruptores tendrá una resistencia mas baja que cualquiera de los dos por separado.

24


Switch Drive N-Channel Analog Input

-V

Inverter

Analog Output

+V

P-Channel

Figure 2.10 MOSFETs de canal p y canal n colocados en paralelo para formar un multiplexor

Para propósitos de diseño de relevadores digitales, un multiplexor normalmente no es relevante ya que este no afecta en ninguna forma a las señales de entrada. Las perdidas por temperatura en los MOSFETs, si es que estos dispositivos son empleados en el multiplexor, podrían añadir algún pequeño error que por lo general es despreciado en los valores de salida. 2.3.2. Subs istema de ent rada dig ital Este subsistema obtiene la información directamente del sistema de potencia. Esta información puede ser el estado del interruptor de potencia (abierto/cerrado), entre otros. El numero de entradas digitales es aproximadamente de cinco a diez. 2.3.3. Unidad Central d e Procesamiento Esta unidad procesa los datos que se obtienen del subsistema de entrada y toma decisiones basadas en la ejecución de los algoritmos residentes en su memoria. Esta unidad también interactúa al dar instrucciones a los circuitos de muestra y retención (S/H), el multiplexor y el convertidor A/D. 2.3.4. Memoria En general, existen tres tipos de memoria disponibles en el relevador digital. Estas son: La memoria ROM (memoria de acceso solo a lectura), la cual se encarga de almacenar el programa. La memoria RAM (memoria de acceso aleatorio), la cual provee el almacenamiento temporal que se requiere para los procesos computacionales y la grabación de datos de fallas y otros eventos. 25


En la memoria EEPROM (memoria de solo lectura, programable y borrable electrónicamente) se almacenan los ajustes del relevador, ajustes extras dados por el usuario y otra información vital. El procesador se comunica con estos elementos de memoria al accesar los datos, instrucciones y líneas de control. 2.3.5. Subsistema de salida dig ital La respuesta dada por la señal de salida de un relevador digital se realiza a través de su subsistema de salida digital. En la mayoría de los casos un máximo de cinco a diez salidas de este tipo son suficientes para satisfacer la mayoría de las aplicaciones de relevadores de protección. Referencias R. G. Lyons, Understanding Digital Signal Processing, Addison Wesley Pub., Mass. 1997. IEEE Working Group, “Protection Aspects of Multi-terminal Lines”, IEEE Special Publication, 79TH0056-2-PWR, 1979. W. A. Elmore, Protective Relaying Theory and Applications, Marcel Dekker, 2nd ed., New York, 2004. A. T. Johns, and S. K. Salman, Digital Protection for Power Systems, Peter Peregrinus Ltd/IEE, London, U.K., 1995.

26


CAPITULO 3 ACONDICIONAMIENTO DE LAS SEÑALES 3.1. Introducción Las señales de entrada a un relevador digital de protección deben ser apropiadamente convertidas a forma digital de forma tal que el microprocesador pueda manejarlas fácilmente. Este proceso de conversión o acondicionamiento de las señales de entrada envuelve una serie de pasos, desde el filtrado de las señales analógicas hasta la propia conversión a formato digital. El hardware necesario para realizar estas tareas ya ha sido descrito en el capitulo anterior. El propósito de este capitulo es presentar los conceptos generales asociados al acondicionamiento de las señales de entrada para que puedan ser utilizadas por un relevador digital. El cálculo de fasores de las señales de entrada usando diferentes métodos es también descrito en este capítulo. 3.2. Señales continuas y discr etas Inherente al procesamiento digital de las señales es la representación de las formas de onda de las señales de entrada como una serie de números. Sin embargo, cuando esta representación es empleada, la misma naturaleza de la forma de onda se ha cambiado y es importante que esta distinción sea comprendida. Si una señal senoidal a 50Hz se muestra en un osciloscopio, entonces tal forma de onda se considera continua, esto es, por cada punto en el tiempo, existe un valor distinto el cual representa esa señal a 50Hz. Es por lo tanto posible examinar una pequeña sección de la forma de onda con mucho detalle, y siempre aparecería como continua, sin importar que tan de cerca se examine esa señal. Todas las señales en un sistema de potencia son de naturaleza continua. Nótese que dentro del contexto de ingeniería eléctrica, forma de onda analógicas son continuas. Una vez que las formas de onda son convertidas a formato digital, ya no pueden ser continuas. La Tabla 3.1 muestra la representación digital, tomada a intervalos de un 1ms, del primer medio ciclo de una forma de onda a 50Hz con una amplitud pico de 10 V, donde un valor digital de 100 representa 1V. La representación digital de esta señal a, por ejemplo, 3ms es 809 y se mantiene así hasta justo antes de los 4ms, instante en el cual el punto cambia a otro valor (951). La representación digital se dice que es discreta, ya que sobre un periodo de tiempo, que en este caso es 1ms, existe solo un valor discreto que representa a la forma de onda. Otro término para esta representación es una señal en tiempo discreto. Este resultado por lo tanto es diferente de la representación de la señal senoidal continua de la cual, en el lapso entre 3ms y 4ms, existe un número infinito de valores ya que una forma de onda continua puede ser subdividida infinitamente. 27


Sin considerar las diferencias aparentes entre las dos representaciones de formas de onda, los valores discretos se dice que son una representación única de la onda senoidal original. Esto es, se dice que la onda senoidal original y ninguna otra forma de onda, puede ser convertida para producir el conjunto de valores digitales mostrados en la Tabla 3.1. Aunque este no sea siempre el caso. Tabla 3.1 Representacion digital de una forma de onda senoidal

3.2.1. Muestreo de una señal El proceso por el cual las formas de onda continuas pueden ser representadas como valores discretos se conoce como muestreo y es llevado a cabo por un convertidor analógico a digital y un circuito de muestra y retención (descrito en el capitulo anterior). En la Tabla 3.1, los valores discretos son validos por un periodo de 1ms, al final del cual una nueva muestra es tomada – esto implica que la frecuencia de muestreo es de 1kHz. El reciproco de la frecuencia de muestreo se conoce como el intervalo de muestreo. La frecuencia de muestreo no debe ser elegida de forma arbitraria ya que en general es un valor predominante en el diseño del hardware para un relevador digital de protección. Una relación muy importante existe entre la frecuencia de muestreo y la frecuencia de la forma de onda que se quiere muestrear; esta relación se conoce comúnmente como el teorema del muestreo. 3.2.1.1. Teorema del muestreo De forma simple, el teorema del muestreo (teorema de Nyquist) establece que la frecuencia de muestreo debe ser mas grande que el doble de la mas alta frecuencia que se encuentre en la señal a ser muestreada. De la misma forma el rango de frecuencias de interés en la señal a muestrear no debe ser mayor a ± f s/2, de donde este valor es conocido como valor Nyquist critico o frecuencia de doblez. Si esta regla no se sigue, entonces la representación digital única de la forma de onda de la señal original continua se pierde y un efecto de aliasing ocurre. 3.2.1.2. Efecto aliasing El efecto aliasing se produce cuando dos formas de onda continuas al muestrearse aparecen como una misma representación digital. Aunque esta 28


situación puede parecer improbable, si hacemos un ejercicio muy simple se puede demostrar que es cierto. La figura 3.1 muestra dos señales senoidales continuas; una a muy alta frecuencia (a) y la otra a baja frecuencia (b). En esta figura, las líneas verticales punteadas indican el tiempo al cual las muestras son tomadas. Si la frecuencia de muestreo es definida como fs, entonces la forma de onda (a) tiene una frecuencia relativa de 10/9fs lo cual es obviamente, contrario al teorema del muestreo. Un análisis de las muestras de la forma de onda (a) revelaran que la forma de onda original se perdio; las muestras aparecen como si fueran una forma de onda senoidal pero a una frecuencia de 1/9fs. De hecho las muestras en la forma de onda (a) son completamente indistinguibles de las muestras tomadas de una forma de onda con frecuencia 1/9fs. La forma de onda en la figura 3.1(b) tiene una frecuencia relativa de 1/3 fs, la cual sigue los lineamientos del teorema del muestreo y resulta claro ver que la forma de onda muestreada es una representación aceptable de su forma de onda continua original.

Figura 3.1 Efecto aliasing en las señales muestreadas 29


En un relevador de protección digital, las señales que vienen de los transformadores capacitivos de voltaje y de los transformadores de corriente puede contener, además de la componente fundamental a 50 o 60 Hz, otros componentes a frecuencias de decenas de kHz bajo condiciones de falla en el sistema o de operación de interruptores. Debido a que la frecuencia de muestreo es fija en el hardware del relevador digital, resulta necesario asegurar que el teorema del muestreo sea obedecido al limitar el ancho de banda de todas las señales continuas que entren al relevador antes del proceso de muestreo. Esto se logra al usar un filtro analógico, el cual es diseñado para remover cualquier frecuencia que exista en la señal de entrada y que sea mayor que la mitad de la frecuencia de muestreo. Un filtro con estas características es conocido como filtro antialising. Nótese que casi sin excepción, los relevadores digitales de protección procesan sólo la información contenida en el componente a la frecuencia del sistema de potencia (es decir 50 o 60 Hz) de las señales de entrada. Entonces resulta imprescindible que un filtro antialiasing remueva cualquier frecuencia que pudiese doblarse (es decir, frecuencias mayores a f s/2) y caer por lo tanto, dentro del rango de las señales fundamentales de 50 o 60 Hz después del muestreo. Cuando hablamos de señales en tiempo discreto, es común referirse a un conjunto de valores como una secuencia. En la Figura 3.1 (b), la secuencia de valores de la forma de onda muestreada x es definida por x(nT) de donde T es el intervalo de muestreo y n es un indice que permite cualquier valor en la secuencia ser especificado. Comúnmente T es omitido de esta descripción ya que se encuentra implícito y por lo tanto, como se ve en la Figura 3.1 (b), la descripción de la secuencia se da simplemente como x(n). Notese que la forma de onda continua original es descrita por x(t) de donde t es la variable de tiempo continuo. 3.3. Filtrado analógi co pasabajos (antialiasi ng) Cualquier pérdida de señal causada por la respuesta a la frecuencia de un determinado circuito se conoce como atenuación. Si la frecuencia de operación de este circuito cambia (aumenta o disminuye) lo suficiente, entonces su salida puede ser completamente atenuada; esto es, el circuito puede no producir ninguna señal de salida como se puede visualizar en la figura 3.2. V out Maximum

f

Zero

f a

f b

Figura 3.2 Pérdida de señal debido a la respuesta a la frecuencia de un circuito 30


Las características de atenuación de un circuito pueden describirse usando la relación de la amplitud de salida sobre la amplitud de entrada (conocido esto también como la ganancia del circuito). Esta relación entre la frecuencia de operación y la atenuación del circuito es representada gráficamente como una curva de respuesta a la frecuencia . La frecuencia a la cual, la relación de voltajede-salida/voltaje-de-entrada cae a 70.71% de su valor máximo es conocida como la frecuencia de corte (f c) como se puede ver en la Figura 3.3. V out V in 1

0.7071

f

0

f c

Figura 3.3 Frecuencia de corte

Por convención, la frecuencia de corte de un circuito se define como la línea divisoria entre niveles de salida del circuito considerados como aceptables o inaceptables. El valor de f c se determina por los componentes resistivos y reactivos del circuito (para el caso de filtros pasivos). Los circuitos que son diseñados para tener una característica específica de respuesta a la frecuencia son conocidos como filtros. Existen cuatro tipos básicos de filtros: 1. Un filtro pasa-bajos permite el paso de todas las frecuencias debajo de su frecuencia de corte. 2. Un filtro pasa-altos permite el paso de todas las frecuencias arriba de su frecuencia de corte. 3. Un filtro pasa-banda acepta todas las frecuencias entre sus dos frecuencias de corte (conocidas como f c1 y f c2). 4. Un filtro bloquea-banda permite el paso de frecuencias arriba y debajo de sus dos frecuencias de corte (conocidas como f c1 y f c2). Las curvas de respuesta a la frecuencia para los cuatro tipos basicos de filtros son mostradas en la Figura 3.4

31


Filtros tipo pasa-bajos y pasa-altos son usualmente definidos en términos de su única frecuencia de corte. Por ejemplo un filtro pasa-bajos de 5k Hz permitirá el paso de todas las frecuencias debajo de esta frecuencia de corte de 5k Hz. En la práctica, la mayoría de las curvas de respuesta a la frecuencia usan escalas algorítmicas para marcar los ejes de frecuencia. En una escala logarítmica, la variación de frecuencia (de un valor incremental al siguiente) es un múltiplo de número entero del incremento anterior. Dos de las escalas logarítmicas (o “log” en corto) comúnmente empleadas son la escala en décadas y la escala en octavas. Una escala en décadas usa un factor de multiplicación de 10 , mientras que una escala en octava usa un factor de 2. V out

V out

V in

V in

1

1

f

0

f

0

f c

f c

a) Pasa-bajos

b) Pasa-altos

V out

V out

V in

V in

1

1

f

0

f c1

f

0

f c2

f c1

c) Pasa-banda

f c2

d) Bloquea-banda

Figure 3.4. Curvas ideales de respuesta a la frecuencia de filtros.

La ganancia del circuito, es decir, la relación entre la salida del circuito sobre la entrada del mismo es definida como A. Por ejemplo, la ganancia de voltaje (Av) de un circuito es la relación del voltaje de salida entre el de entrada. La ganancia es expresada típicamente usando decibeles (dB). Av(dB )  20  log

V out V in

(3.1) 32


Un valor dB positivo indica que Av>1, mientras que un valor dB negativo indica que Av<1, y un valor de 0 dB indica que Av=1. Filtro pasa-bajos La Figura 3.4 (a) muestra la respuesta de un filtro ideal pasa-bajos. En ese diagrama el eje vertical se etiqueto como atenuación y aumenta en sentido hacia abajo. También, debajo de la frecuencia de corte, f c las entradas son pasadas sin atenuación (en la llamada banda de paso) mientras que frecuencias arriba de este valor son atenuadas (en la llamada banda de bloqueo). La transición entre las bandas de paso y de bloqueo en el filtro ideal debería ser infinitamente estrecha. Sin embargo en práctica esto es imposible y algunas tolerancias deben ser considerados en su lugar. Una forma mas realista de especificar un filtro es mostrado en la Figura 3.5. Las áreas no sombreadas representan la tolerancia dentro de la cual el diseñador debe colocar la respuesta del filtro. La primera parte localizada en el paso de banda, indica que la respuesta del filtro aquí no debe ser perfectamente plana, y es aceptable aun con ondulaciones mientras que la respuesta se encuentre dentro de esta tolerancia. Al final de la banda de paso y al inicio de la banda de bloqueo se encuentra otra zona nueva llamada la banda de transición entre la respuesta de ambos estados y permite una cantidad de oscilación razonable en la respuesta a la frecuencia del filtro para alcanzar el nivel de bloqueo requerido. En la banda de bloqueo puede verse que la tolerancia es mayor que en la banda de paso. Esta atenuación solo es limitada a no exceder una cierta cantidad preestablecida. H(j ) pass-band ripple transition band

20 l og H(j0)

stop-band attenuation

pass-band

stop-band

f f c

f s

Figura 3.5 Especificaciones de un filtro pasabajos

33


Un filtro pasabajos pasivo se puede construir en la forma más simple con una resistencia y un capacitor en la configuración mostrada en la Figura 3.6. El circuito es ciertamente un filtro en el sentido de que la reactancia del capacitor varia con la frecuencia y de esta forma provoca que el voltaje cambie también de acuerdo a la variación de frecuencia. Es un filtro pasabajos ya que la reactancia del capacitor disminuye a medida que la frecuencia aumenta, provocando una acción mas considerable de división de voltaje en asociación con la resistencia. Note que la resistencia esta en serie con la carga y el capacitor esta en paralelo con la carga. Esto significa que VC=VL. Mientras f disminuye, XC aumenta y VC disminuye también. Ya que VC=VL, el voltaje de carga se incrementa al reducirse f . Mientras la frecuencia sea mas baja, el valor de VL será mayor y viceversa. RF

CF

Load

V L = V C

Figura 3.6 Filtro pasabajos RC

La frecuencia de corte superior ( f c) se determina por los valores de R y C en el filtro, usando la formula: f c  Rth 

1 2 Rth C

( RS  R F ) R L RS  R F  R L

(3.2)

(3.3)

Donde: es el equivalente de Thevenin del circuito R S  resistencia de fuente R F  resistencia serie R L  resistencia de carga Es importante notar que la frecuencia de corte ocurre cuando X C  R .

34


Cuando un filtro es operado mas allá de su frecuencia de corte, su ganancia disminuye. La relación a la cual la ganancia del filtro disminuye es llamada la relación de caída en rodaje. La configuración del filtro mostrado aquí se dice que es de un solo polo, o que tiene una respuesta de primer orden, debido a que solo tiene un componente del cual la operación del filtro depende y cuya reactancia tiende hacia algún valor límite (en este caso cero) a un frecuencia infinita. Esta respuesta es idealizada en el sentido de asumir que el valor del capacitor se mantiene constante al variar la frecuencia. En realidad, no solo la capacitancia cambia sino también la resistencia y la inductancia en caso de haberla que complicarían la respuesta obtenida del filtro a muy altas frecuencias. 3.4. 3.4. Conv Conversió ersión n analóg ica a dig ital (A/D) Para obtener información sobre el estado de un sistema de potencia, un relevador de tipo numérico toma muestras regularmente de las señales secundarias de voltajes y/o corrientes que entran a el. Este proceso se conoce como conversión analógica a digital y es llevada a cabo por hardware especial. En la practica, las señales del sistema de potencia utilizables son bipolares, es decir, son positivas y negativas, y son convertidas (o cuantificadas) a formato digital usando normalmente la representación de complementos de dos. Para simplificar la discusión siguiente en la conversión, las señales analógicas son consideradas como unipolares, es decir, positivas. Aun así, los principios generales explicados aquí pueden ser extendidos para cubrir la conversión bipolar. 3.4. 3.4.1. 1. Converti dores dor es digit ales a analógic os Una forma de entender más fácilmente el proceso de conversión de analógico a digital es describir primeramente la conversión de digital a analógico (DAC). Un circuito básico para un convertidor DAC de 4 bits se muestra en la Figura 3.7 el cual consiste de un amplificador operacional conectado a una serie de canales de datos acumulados (usando bufers) a través de resistencias. Las resistencias conectadas a cada una de las líneas de datos incrementan en progresión binaria. La ganancia del amplificador operacional esta dado por: V out V in



R f

RW

(3.4)

35


Figura 3.7 Convertidor digital a analógico de 4 bits

De donde Vin es el voltaje de salida de los canales de datos acumulados (note que esto será solo uno de dos voltajes posibles), Vout es el voltaje de salida analógico, es la resistencia de retroalimentación a través del amplificador operacional (en Rf es este caso la combinación en paralelo de las dos resistencias de 7.5k ohms) y Rw es el valor del resistor de la línea de datos que se encuentre activa. La ganancia negativa del amplificador se compensa al invertir los canales de datos acumulados. Si más de una línea de datos es activa, entonces el voltaje analógico de salida es la suma de los dos Volts calculados de la expresión anterior. De esta forma el voltaje a la salida es directamente proporcional al número binario representado por las líneas de datos. Las resistencias de retroalimentación a través del amplificador operacional aseguran que el número binario más grande corresponda al voltaje análogo mas alto. Al incrementar el número de entradas de líneas de datos y progresivamente incrementar los valores de las resistencias en serie, DACs de 8, 10, 12, 14 y 16 bits pueden ser implementados. 3.4.2. Convertidores analógicos a digitales: convertidores de rampa Un convertidor analógico a digital (ADC) simple, el así llamado convertidor de rampa, es mostrado en la Figura 3.8 y consiste de un comparador, contador binario, una compuerta AND, entrada de reloj y un DAC. Un comparador es similar a un amplificador operacional y, en la forma usada en este circuito, dará una salida de “1”, o alta, si el voltaje analógico de entrada es mas grande que la salida del DAC, y una salida de “0”, o baja, en caso contrario. Note que, debido a la compuerta AND, la señal del reloj no alcanzara al contador a menos que la salida del comparador sea alta.

36


Figura 3.8 Convertidor de rampa

Con el voltaje analógico deseado presente en la entrada analógica, la señal de iniciar conversión es dada y ésta reinicia al contador binario. Entonces, la salida del DAC es cero, la salida del comparador es alta y a su vez el pulso del reloj pasara al contador. Asumiendo que la entrada analógica no sea cero, a medida que el contador se incrementa, la salida del DAC aparece como una rampa. Cuando el voltaje del DAC excede a la entrada de voltaje analógico, la salida del comparador será baja y evitara que el pulso del reloj llegue al contador. De esta forma las líneas de salida digitales del contador binario tienen ahora el valor digital más cercano correspondiente a la entrada analógica. El método ADC de rampa es raramente usado en la práctica debido al tiempo de conversión (es decir el tiempo requerido para determinar con precisión el valor equivalente digital de la señal analógica de entrada) que se incrementa con el voltaje de entrada. Para hacer la conversión más rápida, se requieren pulsos de reloj a muy alta velocidad, pero esto a su vez trae consigo otros problemas. 3.4. 3.4.3. 3. Convertidores analógico analógico s a d igitales: c onvertidor de aproximación sucesiva Una adaptación del convertidor de rampa la cual produce una muy superior ADC es el convertidor de aproximación sucesiva que se muestra en la Figura 3.9. El contador binario es reemplazado por un arreglo lógico ligeramente mas complicado el cual es conocido como un registro de aproximación sucesiva. La figura 3.10 muestra la señal de entrada analógica, la salida del DAC interno y como un convertidor de aproximación sucesiva de 4 bits hace una conversión. Previo a la conversión, todas las líneas de datos son reiniciados a cero. Se observa que en el primer ciclo del reloj, el DAC avanza a la mitad de su salida máxima, esto es equivalente a considerar alto al bit más significativo del bus de 37


datos, D3. En el siguiente ciclo de reloj, la lógica de aproximación sucesiva detecta que la salida del DAC es menor aun que la señal de entrada ya que la salida del comparador es alta. De esta forma la línea de datos D2 es ahora puesta a alta.

Figura 3.9 Convertidor de aproximación sucesiva sucesiva

Figura 3.10 Operación del convertidor convertidor de aproximación aproximación sucesiva

Esto da como resultado que el comparador indique una salida baja, lo cual implica a su vez que el equivalente digital es mayor que la entrada analógica y de esta forma, en el tercer ciclo de reloj, D2 es indicado como bajo nuevamente y D1 es puesto a alto. El cuarto ciclo de reloj resulta en D0 puesto a alto y todo esto da como resultado digital: 1011. Se puede observar que un ADC de aproximación sucesiva checa individualmente cada bit de las líneas de datos de salida en turno; y por lo tanto el tiempo tomado para la conversión es siempre fijo y sujeto al número de bits multiplicados por el periodo del reloj interno. Los tiempos de 38


conversión para ADCs de aproximación sucesiva se encuentran en el rango de 1530μs. ADCs por lo general tienen una señal de “fin de conversión”, la cual es comúnmente conectada a una línea de interrupción del microprocesador para informar cuando una conversión ha terminado y que el valor convertido esta disponible para procesamiento. 3.4.4. Conversi ón analógica a digi tal en relevador es de protecci ón Los ADCs de aproximación sucesiva están disponibles en tipos de 8, 10 ,12, 14 y 16 bits. El numero de bits en un ADC influencia el rango dinámico R de la señal que el ADC convierte. Por ejemplo, un ADC de 8 bits ( B=8) puede digitalizar una señal analógica en 1 de 2 8 = 256 diferentes niveles digitales. El número correcto de bits para un relevador dado depende de la aplicación. Un relevador funcionara correctamente con un ADC sobreespecificado, es decir, con una numero de bits mas grande que el estrictamente necesario, pero no sucede lo mismo con un ADC subespecificado. Un ejemplo es dado aquí de cómo un ADC puede ser especificado para un relevador de distancia. Ejemplo 1.

Considere un relevador de distancia que tiene una impedancia minima de ajuste de 4 ohms (relativa al relevador). En un relevador de distancia, la corriente más que el voltaje tendrá el rango dinámico más grande. La impedancia de ajuste minima corresponde al nivel de corriente mas alto, el cual es, asumiendo un TP secundario de 110V, 110/4=27.5 A. Sin embargo es posible que la corriente pueda tener un desbalance (offset) durante una falla y por lo tanto considerando un offset de 100%, la máxima corriente esperada es de 55 A. Suponga que el relevador debe operar para un nivel de corriente mínimo de 25mA y que esto puede ser representado por un nivel digital. Por consiguiente el rango dinámico para una polaridad de la corriente es 55/0.025 =2200. Asi pues, para una señal bipolar el rango dinámico es 4400. El ADC que es mas cercano a este valor es uno con resolución de 12 bits, el cual permite un rango dinámico de 2 12 = 4096. Sin embargo, para asegurar que el ADC cubre la especificación, un convertidor de 14 bits debe ser usado, el cual tiene un rango dinámico de 2 14 = 16384. Por lo tanto, un convertidor de 14 bits seria requerido para esta situación. En general, la mayoría de los relevadores numéricos de alto rendimiento usan ADCs de 12, 14 o 16 bits. Del ejemplo anterior podemos resumir que los parámetros claves y necesarios para llevar a cabo la selección de un convertidor A/D son los siguientes:  Rango de escala completa R, requerido del convertidor  Numero de bits B

39


Estos parámetros definen entonces el ruido de cuantificación (el error de conversión) del convertidor. Para esto se requiere definir la resolución del convertidor o la amplitud de cuantificación como: Q

R

2 B

(3.6)

El error de cuantificación esta dado entonces por: e(nT )  xq (nT )  x( nT )

(3.7)

El error de cuantificación esta limitado por 

Q

2

e

Q

2

(3.8)

El valor RMS del error de cuantificación es dado por erms 

Q

12

(3.9)

Otros ejemplos son dados aquí para aplicar las relaciones anteriores Ejemplo 2.

Considere la señal x(t)=5 sen(2 100t), la cual es muestreada a 2500Hz y cuantificada usando un ADC de 4 bits cuyo rango de escala completa es 16V. Calcule las primeras cuatro muestras de la señal, sus valores cuantificados y la correspondiente representación en bits. Solución. La señal analogica es x(t)=5 sin(2100t). Su versión muestreada (discreta) es: x(nT)  5 sen(2 100nT)

ó x(n)  5 sen(

2 100n ) f s

De donde T es el periodo de muestreo y fs es la frecuencia de muestreo. Dado que fs = 2500 Hz, podemos escribir x(n) como x(n)  5 sen(2  0.04n)

Los primeros cuatro valores muestreados n=0,1,2,3 son: 40


x(0)  0; x(1)  1.2434; x(2)  2.4088; x(3)  3.4227;

De los datos del problema, tenemos R=16 y B=4. Por lo tanto existen 16 niveles de cuantificación. Tabla 3.2 representación en bits

Representación en bits (binario desplazado) 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000 0111 0110 0101 0100 0011 0010 0001 0000

Xq(volts) 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

n

Tabla 3.3 cuantificación de una señal dada. x(n)  5 sen(2  0.04n) xq(n) error

0 1 2 3

0 1.2434 2.4088 3.4227

0 1 2 3

0 0.2434 0.4088 0.4227

Ejemplo 3.

Se desea escoger un convertidor A/D para una aplicación de DSP: el rango en escala completa debe ser de 10V y el error RMS debe ser mantenido a menos de 1mV. ¿Cuantos bits de resolución debe tener el convertidor seleccionado? ¿Cuál es el valor RMS real? Solución. Dado R = 10V y e rms ≤ 10-3 V 41


Tenemos Q  B  log 2 → B

R Q

 log 2

R

2 B

y erms 

Q

12

y Q  erms  12 R erms  12

Sustituyendo en la expresión anterior los valores de R y erms B  log 2

10 10  3  12

 11.495

O redondeando, B = 12 bits Y el valor RMS real con esta resolucion es erms 

R

2  12 B



10 2  12 12

 0.705mV

3.5. Filtros digitales para la estimació n de fasores La medición fasorial es muy importante para monitorear y diagnosticar sistemas eléctricos de potencia. Los fasores portan la amplitud y la fase de una señal senoidal en estado estable (frecuencia, amplitud y fase constantes). Las compañías eléctricas tienen que enfrentarse con problemas complejos en una situación de constante evolución de los negocios. Entre estas cuestiones hay dos que destacan especialmente: la previsión de que las redes eléctricas funcionarán más cerca de su capacidad máxima y la necesidad, cada vez mayor, de una supervisión mejor y más precisa de las redes eléctricas. La posibilidad de determinar los fasores a lo largo del sistema de distribución de energía en un momento dado, abre una puerta a la solución de estos problemas, es por ello que es de suma importancia analizar y estudiar las técnicas de estimación de fasores. A continuación se mencionan algoritmos para la estimación de fasores: 



Algoritmos no recursivos. Algoritmos trigonométricos Algoritmos de mínimos errores cuadrados Algoritmos de correlación Algoritmos recursivos Algoritmos recursivos de la DFT 42


3.6. Algoritm os tr igonométrico s para el cálculo de fasores Se establece matemáticamente el proceso de estimación fasorial a partir de señales con duración de fracciones de ciclo, esta es una característica de los algoritmos trigonométricos; se analiza la respuesta en frecuencia de los filtros generadores de fasores. Se presentan cuatro algoritmos trigonométricos con los cuales es posible estimar los fasores.    

Miki & Mikano Mann & Morrison Rockefeller & Udren Gilbert & Shovlin

Los algoritmos trigonométricos presentas las siguientes características:    

Ventana corta de muestreo (menos de la mitad de un ciclo) Respuesta transitoria rápida Mínimo número de cálculos Respuesta eficiente para señales de entrada con frecuencias diferentes a la fundamental.

Las consideraciones que se deben de tomar para trabajar con estos algoritmos son las siguientes:  

La señal de entrada es sinusoidal a una frecuencia fundamental. No debe existir variación en la señal de entrada.

Para los cuatro algoritmos trigonométricos es indispensable empezar con las siguientes bases: Sea v(t) el voltaje de entrada y variante en el tiempo vt   V p sin t   

43


(3.10)

En donde: V p  Magnitud del fasor estimado  

Frecuencia angular

  Angulo

del fasor estimado

Se obtiene la primera y segunda derivada del voltaje v    V p cos t    2 v    V p sin  t   

3.6.1. Algoritmo de Miky & Mikano. Este algoritmo trabaja con 2 muestras de la señal de entrada, la primera v0  en el instante t0 y la segunda v 1  en el instante t -1 con un intervalo de muestreo T  como se muestra en la figura 3.11

Figura 3.11 muestras de la señal de entrada

La señal de entrada es una senoide variante en el tiempo como lo muestra la ecuación (3.11) vt   V p sin  t   

(3.11)

En el instante t=0 se sustituye el valor de t en la ecuación (3.11) y se obtiene la ecuación (3.12) v0  v 0  V p sin  0    vt 0   v 0  V p sin 

(3.12)

44


En el instante t=t -1 como se observa en la figura 3.11 que t 1  T y se sustituye el valor en la ecuación (3.11) obteniendo así la ecuación (3.13) vt   v 1  V p sin   t     vt 1   v 1  V p sin  t   

(3.13)

Desarrollando la ecuación (3.13) con la función trigonométrica de la ecuación (3.14) tenemos la ecuación (3.15): sen( x  y )  sen x  cos y   cos xsen y

(3.14)

vt 1   v 1  V p sin   t  cos   cos  t sen 

(3.15)

Sustituyendo la ecuación (3.12) en la ecuación (3.15) y haciendo los cálculos correspondientes, se tiene la ecuación (3.16). v 1  V p sin  t  cos   v 0 cos  t  V p cos  

v 0 cos  t   v 1

sin  t 

(3.16)

Con los cálculos anteriores se obtiene la parte real con la ecuación (3.16) y la parte imaginaria con la ecuación (3.12) del fasor. V p sin    v 0

Parte Imaginaria Parte Real

V p cos  

(3.12)

v 0 cos  t   v 1

sin  t 

(3.16)

Para estimar la magnitud del fasor, se eleva al cuadrado a la parte real e imaginaria, se suman y se obtiene la raíz cuadrada de esta operación, obteniendo así la magnitud del fasor. Para el ángulo solo es necesario dividir la parte imaginaria entre la real y calcular en arco tangente.

Magnitud

V p  v 0

2

 v cos T   v 1   0  sen T   

2

(3.17) (3.18)

Fase 45


tan  

v 0 sen T  v 0 cos T   v 1

Las ecuaciones (3.12) y (3.16) representan los filtros, uno de la parte real H 1 z  y otro de la imaginaria H 2 z  . La entrada afecta de distinta manera a ambos filtros y tienen diferente respuesta a la frecuencia. Para hacer el análisis de respuesta a la frecuencia, primero se debe definir cual va a ser la frecuencia nominal y cuantas muestras se tomaran por ciclo.  

Frecuencia nominal 60Hz. Numero de muestras por ciclo 12.

De los datos anteriores es posible calcular la frecuencia de muestreo con la ecuación (3.19), la frecuencia angular con la ecuación (3.20). f m  f no min al * Nm

(3.19) f m  60 * 12  720

t   

1 f m



1 720

2 *  * f

(3.20)  1   f  m   1   t  2 *  * 60 *    720   t 

 t 

2 *  * f * 



6

rad  30

El fasor estimado depende de ambos filtros. Primero se analizara la respuesta a la frecuencia del filtro real para el algoritmo de Miky & Mikano; en la figura 3.12 se muestra el diagrama a bloques del filtro real.

Figura 3.12.-Diagrama a bloques de filtro real.

Donde: 46


H1  z   función de transferencia X  z   Señal de entrada Y  z   Señal de salida

Se analiza el filtro de la parte real con la ecuación (3.6) sustituyendo los valores de frecuencia de muestreo y frecuencia angular anteriormente definidos V p cos  

v 0 cos 30  v 1

V p cos  

sin 30 v 0 0.8660  v 1

0.5

V p cos    1.732v0  2v1

(3.21)

La ecuación (3.21) representa el filtro de la parte real a una frecuencia fundamental de 60 Hz y se puede observar que la entrada actual es multiplicada por 3.732 y entrada anterior por 2. Pasando la ecuación 11 al dominio de la transformada z tenemos:  H 1  z   1.732 Z  2 Z 0

Se reemplaza z por

e

j t

y se obtiene la respuesta en el dominio de la frecuencia H 1    1.732e

e

1 j t 

1

0 ( j t )

 2e 1 j t 

 cos T   jsen  T 

(3.22)

Utilizando la fórmula de Euler que se muestra en la ecuación (3.22) y sustituyendo se llega al a ecuación (3.23) que está dada en función de la frecuencia de la señal de entrada: H 1     1.732  2  cos    t   j sin    t  

47


(3.23)

Para una señ al de DC   0 :

Se prueba el filtro real para una señal entrada de DC con una amplitud V M o I M y con una frecuencia de cero, se hacen los cálculos necesarios y se llega a la ecuación (3.24): H 1    1.732  2  0.27 0

(3.24)

En la ecuación (3.24) se puede observar que el filtro real permitirá el paso de la señal de CD en un 27%, en otras palabras; el filtro atenuara en 0.27 I M o 0.27V M y el ángulo es cero. Frecuencia Fundamental :

Ahora se prueba el filtro real r eal para una señal entrada tipo senoidal a la frecuencia fundamental, con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular para posteriormente llegar a la expresión (3.25).  T 

2 f  f m

*

180 

 T 

30

H 1    1.732  2cos 30   j sin 30 H 1    1.732  20.866  j 0.5

H 1    j1

(3.25)

En la expresión (3.25) se puede observar que el filtro filtro real permitirá el paso de la señal de entrada en un 100%, en otras palabras; el filtro no atenuara la señal de entrada ( I M o V M ) pero la desfasa en 90°. Componente de 2nd armónic a:

Se prueba el filtro real para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia de segunda armónica, es decir; el segundo múltiplo de la frecuencia fundamental o sea f=120Hz, con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular con la nueva frecuencia para posteriormente llegar a la expresión (3.26). 48


 T 

2 f * 2 f m

*

180 

 T  60

H 1    1.732  2cos 60   j sin 60  H 1    1.732  20.5  j 0.866  H 1    0.732  j1.732

H 1    1.880367.09

(3.26)

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro amplificará la segunda armónica en 1.8803V m y lo desplazará 67.09° En la Figura 3.13 se observa claramente que las magnitudes para diferentes frecuencias de entrada son iguales a los anteriormente calculados, en f=60Hz se tiene una magnitud unitaria y se repite para la frecuencia de f=660, que corresponde al onceavo armónico de la frecuencia fundamental, considerando como frecuencia fundamental la de 60 Hz, también se puede observar que la amplitud máxima es de aproximadamente 3.70 y corresponde a la sexta armónica, es decir; a la frecuencia de 360Hz.

Figura 3.13.- Respuesta en magnitud del filtro real. 49


Después de la frecuencia de muestreo la acción de los filtros es periódica. En la figura 3.14 se muestra la respuesta en frecuencia del filtro real para la fase; para la frecuencia fundamental se desfasa 90°, y ahora para la onceaba armónica se tiene un desfasa -90°. En la sexta armónica donde se tenía la amplitud máxima máxima no se desfasa de la señal de entrada. Para validar los resultados de fase que se muestran en la figura figura 3.14 y que corresponden a la respuesta en frecuencia del filtro real se muestra la Tabla 3.4 con los datos correspondientes a los ángulos para cada frecuencia de entrada. Tabla 3.4 Respuesta a la frecuencia  T

Frecuencia f  0 Hz f  60 Hz f  120 Hz f  180 Hz

 T 

An gu lo 0

 T  30

0° 90°

60

67.09°

 T  90

49.10°

 T 

Figura 3.14.- Respuesta en Fase del filtro real. 50


Al igual que en la magnitud, la respuesta en frecuencia de filtro real es periódica  1   . f  m 

después de la frecuencia de muestreo, es decir; su periodo es de 

A continuación se analiza el filtro de la parte imaginaria, como ya se mencionó anteriormente, lo rige la ecuación (3.27). (3.27)

V p sin    v 0

En la figura 3.15 se muestra el diagrama a bloques del filtro imaginario, que representa el filtro de la parte imaginaria a una frecuencia fundamental de 60 Hz y se puede observar que la salida del filtro es igual a la muestra actual de la entrada y no se atenúa ni se amplifica. X  z 

Y  z 

H 2  z 

Figura 3.15.-Diagrama a bloques de filtro imaginario

Donde H1  z   función de transferencia X  z   Señal de entrada Y  z   Señal de de salida

Pasando la ecuación (3.27) al dominio de la transformada z tenemos: H 2  z   Z

0

Reemplazando z por e dominio de la frecuencia

j t

se obtiene la expresión 3.28 con la respuesta en el H 2    1e

0 ( j t )

H 2    1 H 2    1

H 2    10

51


(3.28)

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro de la parte imaginaria dejara pasar como un seguidor de voltaje todas las señales de entrada a distintas frecuencias y su ángulo de será de 0° En la figura 3.16 se muestra la respuesta del filtro imaginario para la magnitud, y se observa que no importa la frecuencia de la señal de entrada siempre la salida tiene una ganancia unitaria. Se puede decir, el filtro de la parte imaginaria en magnitud es similar a un seguidor de voltaje ya que no importa la frecuencia de la señal de entrada este filtro siempre dejara pasar toda esa señal.

Figura 3.16.- Respuesta en Fase del filtro Imaginario.

En la figura 3.17 se muestra la respuesta en frecuencia pero ahora para fase y se puede observar que para cada frecuencia el ángulo es de cero grados.

52



En esta parte del trabajo se analizará la estimación del fasor con las ecuaciones de magnitud y ángulo que se e obtuvieron en las ecuaciones 3.17 y 3.18.

Magnitud

Fase

V p  v 0

2

 v cos T   v 1   0  sen T   

tan   

2

v0 sen T  v 0 cos T   v 1

(3.17)

(3.18)

Para poder analizar y visualizar los resultados de la estimación de fasores resultantes con el algoritmo de Miky & Mikano, a continuación se muestran los siguientes casos: Caso 1.- Señal de entrada senoidal a un a frecuencia fu ndamental Se analiza primeramente la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz, recordando que esta es la frecuencia fundamental anteriormente establecida. Es importante mencionar que la señal de entrada es puramente senoidal, es decir, es generada a través de una función senoidal y su ecuación es la (3.29) 53


V t   V p sen t 

(3.29)

La señal de entrada se muestra en la figura 3.18 y la señal discretizada se muestra en la figura 3.19

Figura 3.18.- Señal de entrada (continua).

Figura 3.19.- Señal de entrada (discreta).

54


El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Miky & MiKano se muestra en la figura 3.20 La estimación del fasor se hace por cinco ciclos de la frecuencia fundamental por lo tanto tiene una duración de 83.33 ms (milisegundos). Sabiendo que el algoritmo toma solo dos muestras para estimar el fasor es posible notar en la figura 3.20 que el fasor tarda en estabilizarse solo 2 muestras, lo que es lo mismo a 2.77 ms ya que cada muestra es tomada a una frecuencia de 720 Hz. Se puede concluir que este algoritmo es muy rápido para estimar los fasores, con sus desventajas de que tiene que ser una señal de entrada puramente senoidal.

Figura 3.20.- Fasor estimado en Magnitud

En la grafica de la magnitud se observa que su magnitud final es de 10 unidades, entonces Vp = 10

55


Figura 3.21.- Fasor estimado en fase

En la figura 3.21 se presenta la grafica del fasor en ángulo para el algoritmo de Miky & Mikano, con las mismas condiciones que para la magnitud, se estudia la estimación de fase en cinco ciclos con un tiempo de 83.33 milisegundos. Para este caso no es muy visible cuanto se tarda en mostrar correctamente el fasor, pero en el caso de la magnitud es notorio y congruente con los cálculos obtenidos. Caso 2.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental más una DC decreciente Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz, recordando que esta es la frecuencia fundamental anteriormente establecida y se le agrega una señal DC decreciente en el tiempo. Al igual que en el caso anterior la señal de entrada es puramente senoidal, es decir, es generada a través de una función senoidal mas una señal decreciente en el tiempo y su ecuación es la 3.30

V t   V p sen t   I D e



n

8

(3.30)

La señal de entrada se muestra en la figura 3.22 y la señal discreta en el tiempo se muestra en la figura 3.23

56



Figura 3.23.- Señal de entrada (Discreta).

El fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Miky & MiKano para la señal de entrada senoidal decreciente se muestra en la figura 3.24 La estimación del fasor se hace por cinco ciclos de la frecuencia fundamental por lo tanto tiene una duración de 83.33 ms (mili segundos) y así para todos los casos siguientes. 57



Como se puede ver en la figura 3.24, la entrada de una señal decreciente en el tiempo afecta notablemente y de manera negativa a la salida del fasor y tarda en estabilizarse aproximadamente cuatro ciclos. En la grafica 3.24 se muestran alrededor de tres y medios ciclos antes de que es fasor se estabilice. La amplitud máxima es de aproximadamente 13.5 unidades y va decreciendo mientras transcurre el tiempo, las amplitudes de la señal de entrada se muestran a continuación V t   10sen t   5e



n

8

En la gráfica 3.25 se muestra el fasor estimado en ángulo para la señal de entrada senoidal decreciente.

58



En la grafica 3.25 se puede observar que la respuesta del ángulo en la estimación del fasor para este algoritmo se estabiliza en poco tiempo, no es como la magnitud que tarda casi 6 ciclos, solo es notable una pequeña distorsión en el primer periodo del ángulo, notando que el ángulo oscila entre +180° y -180°. Caso 3.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental más segundo armónico. Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz y se le suma una señal de segundo armónico. La señal de entrada es puramente senoidal, es generada a través de una función y su ecuación es la 3.31 V t   V p sen t   V s sen2 * t 

(3.31)

La señal de entrada se muestra en la Figura 3.26 y la señal discreta en el tiempo se muestra en la figura 3.27

59




En la grafica 3.26 y 3.27 podemos observar que la amplitud máxima para la señal de entrada es de 15 unidades y se analizaran solo 5 periodos que equivalen a 8,333 milisegundos. El fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Miky & MiKano para la señal de entrada senoidal mas segundo armónico se muestra en la figura 3.28 60



Como se puede ver en la figura 3.28, la entrada de una señal que contiene segundo armónico afecta notablemente y de manera negativa a la salida del fasor y a diferencia de la entrada con señal decreciente que si llegaba a estabilizarse, esta ya no se estabiliza y tenemos un fasor erróneo como salida. La amplitud máxima es de aproximadamente 24 unidades y la mínima es de 4 unidades, las amplitudes de la señal de entrada se muestran a continuación V t   10sen t   8sen2 *  t  Lo más notorio en este caso es que la señal de entrada tiene una amplitud máxima de aproximadamente 15 y el fasor resultante ya tiene una amplitud de 24 unidades. En la grafica 3.29 se puede observar que la respuesta del ángulo en la estimación del fasor para este algoritmo ya no se estabiliza en poco tiempo, lo que es mas; ya no llega a estabilizarse en ningún momento solo es periódico pero la fase es errónea y va desde -180° a +180°.

61



Caso 4.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental más tercer armónico. Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz y se le suma una señal de tercer armónico. La señal de entrada es puramente senoidal, es generada a través de una función y su ecuación es la 3.32 V t   V p sen t   V t sen3 *  t 

(3.32)

La señal de entrada se muestra en la figura 3.30 y la señal discreta en el tiempo se muestra en la figura 3.31. Se muestra en las figuras 3.30 y 3.31 que la señal de entrada esta completamente deforme, con la característica que es periódica. La amplitud máxima es de aproximadamente 12 unidades y al igual que en casos anteriores solo se analizan cinco ciclos.

62




El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Miky & Mikano para la señal de entrada senoidal mas tercer armónico se muestra en la figura 3.32.

63



Como se puede ver en la figura 3.32, la entrada de una señal que contiene tercer armónico afecta notablemente y de manera negativa a la salida del fasor y al igual que la respuesta a la entrada con una señal contaminada con segundo armónico, esta ya no se estabiliza y tenemos un fasor erróneo como salida. La amplitud máxima es de aproximadamente 24 unidades y la mínima es de aproximadamente 12.5 unidades, las amplitudes de la señal de entrada se muestran a continuación

V t   10sen t   5sen3 *  t  Lo más notorio en este caso al igual que el anterior, es que la señal de entrada tiene una amplitud máxima de aproximadamente 15 y el fasor resultante ya tiene una amplitud de 24 unidades. En la grafica 3.33 se puede observar que la respuesta del ángulo en la estimación del fasor para este algoritmo ya no se estabiliza en poco tiempo, lo que es mas; ya no llega a estabilizarse en ningún momento solo es periódico y la fase oscila desde -180° a +180°.

64



Caso 5.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental más un transitorio. Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz y en determinado tiempo ocurre un pequeño transitorio, que en este caso consiste en incrementar la amplitud en por 3 unidades. La señal de entrada es puramente senoidal, es generada a través de una función y su ecuación es la 3.33.

V p sen t .....................t  25  V t    3 * V sen t .................t  25 p 

(3.33)

La señal de entrada se muestra en la figura 3.34 y la señal discreta en el tiempo se muestra en la figura 3.35 Se muestra en las figuras 3.34 y 3.35 que la señal de entrada esta completamente senoidal con una frecuencia fundamental de 60Hz.La amplitud máxima en los primeros 2 ciclos es de 10 unidades y después es de 30 unidades. 65




Al principio del trabajo se estableció que se trabaja con 12 muestras por cada ciclo; es por esa razón que el estado transitorio se propone que empiece después de 2 ciclos para poder observar de manera mas clara la respuesta. El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Miky & Mikano para la señal de entrada senoidal mas un pequeño transitorio se muestra en la figura 3.36. 66



Como se puede ver en la figura 3.36, la entrada de una señal que contiene un transitorio después del segundo ciclo afecta a el fasor, pero este como se trata de un transitorio mínimo; se estabiliza aproximadamente 2.78 milisegundos o lo que es lo mismo en lo que tarda en tomar dos muestras. Al principio la magnitud del fasor es constante y de 10 unidades, al pasar el transitorio la magnitud se incrementa hasta 30 unidades, que es lo que se incremento en la señal de entrada, enseguida veremos las amplitudes de la señal de entrada en la siguiente ecuación.

10sen t .....................t  25  V t    30sen t .....................t  25  Se comprueba nuevamente que el algoritmo de Miki & Mikano es relativamente rápido y funciona adecuadamente cuando la señal de entrada es puramente senoidal. En la grafica 3.37 se muestra la respuesta del ángulo en la estimación del fasor para este algoritmo

67



En la figura 3.37 se observa que el ángulo varia de 180° a -180° y que solo existe una variación cundo ocurre el transitorio y es mínimo el tiempo que tarda en estabilizarse. Caso 6.- Señal de entrada generada en el PSCAD. En todos los estudios anteriormente realizados se hicieron con diferentes señales de entrada generadas a través de una función, es en esta parte del trabajo que se trabajará con una señal real y es donde podemos realizar las observaciones adecuadas y comprobar que tan efectivo es el algoritmo de Miky & Mikano. Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada que es generada de un sistema real que es simulado en el software PSCAD. El tiempo de duración es de 1 seg. y simula una falla trifásica a tierra en t=0.5seg en este primer caso la falla es sin resistencia y sus circuito se muestre en la figura 3.38.

68


Figura 3.38.- Diagrama unificar en PSCAD.

El PSCAD genera un archivo de datos con los voltajes de las tres fases y con la corriente de las mismas, a demás de que genera un vector del tiempo y en este caso se trabaja con una frecuencia de muestreo de 1440, lo doble que en casos anteriores y significa que nos da 24 muestras por ciclo. La señal de entrada continua se muestra en la figura 3.39 y la discreta en la figura 3.40.


69



En la figura de la señal de entrada podemos notar que empieza con un estado transitorio que se estabiliza hasta 0.2 seg. y ocurre la falla en el instante t=0.5, pero esto no es muy notorio así que se amplificara la señal para ese instante de tiempo y se muestra en la figura 3.41.

Figura 3.41.- Señal de entrada Amplificada (Continua).

70


En este caso la señal de entrada es el voltaje de la fase A y con una resistencia de falla cero, como se puede observar en la figura 3.41 el V faseA  400Volts antes de que ocurra la falla en el instante t=0.5 segundos y después de la falla el V faseA  390Volts La magnitud del fasor estimado se muestra en la figura 3.42 y en la figura 3.43 se muestra este mismo fasor pero amplificado en el momento de la falla. Al igual que en la señal de entrada se puede observar que en la figura 3.42 existe un estado transitorio cuando comienza la estimación del fasor, pero esto se debe a la naturaleza de la señal de entrada. En el momento de la falla es fasor tiene un pequeño transitorio y se puede observar en la figura 3.43 cundo ya se amplifico, que ya no es tan lineal como en el caso numero 5 que la señal de entrada era generada a través de una función. En el momento de la falla, el fasor estimado tiene un pico negativo que llega hasta los 360 Volts para instantes después estabilizarse en 390 Volts, y se puede ver con más detalle en la figura 3.43.


71


Figura 3.43.- Fasor estimado en Magnitud Amplificado en el instante de la falla.

En la grafica 3.44 se muestra la respuesta del ángulo en la estimación del fasor para este el Voltaje de la fase A.


Para poderlo observar a mas detalle se amplifica la grafica para t=0.5 que es el instante de la falla.

72


Figura 3.45.- Fasor estimado en fase Amplificado en el instante de la falla

Antes de la falla el ángulo oscila desde 168° a -168° y después de la falla el ángulo se incrementa y oscila desde 180° a -180° como se muestra en la figura 3.45. Ahora tomaremos una señal de corriente para analizarla con el mismo algoritmo, analizaremos la corriente de la misma fase. Como sabemos que al comenzar los datos de la señal de entrada tenemos un transitorio que dura alrededor de 0.2 segundos entonces lo omitiremos y pasaremos al analizar el fasor alrededor de la falla en el instante t=0.5 seg. En al grafica 3.46 se muestra la señal de entrada simulada en el PSCAD pero ahora la señal pertenece a la corriente de la fase A.

73


Figura 3.46.- Corriente de la fase A. Amplificada (Continua).

Como se puede observar en la figura 3.46 la amplitud antes de la falla es de 2.5 Amper y después de la falla es de 6 Amper, podemos decir que la corriente se incremento en 3,5 Amperes después de la falla. Para que quede claro y se verifique de manera satisfactoria que la frecuencia de muestreo es de 1440, se hace una amplificación de la señal de entrada pero ahora de forma discreta y se comprueba que se tienen 24 muestras por ciclo ya que recordando sabemos que f m  Nomuestras * f no min al despejando el número de muestras tenemos: Nomuestras 

f m f no min al

Ahora sustituimos los valores de la frecuencia de muestreo nueva de 1440Hz y la frecuencia nominal que es de 60 Hz y podemos calcular ahora el numero de muestras por ciclo. Nomuestras 

1440  24 60

En la figura 3.47 se puede observar la señal de entrada con 24 muestras por ciclo.

74


Figura 3.47.- Corriente de la fase A amplificada (Discreta).

Ahora par ala señal de corriente de la fase A se tiene otra estimación de fasor comparada con el voltaje de la misma fase, que podemos ver que el transitorio genera una amplificación de corriente demasiado notorio o abrupto. En la figura 3.48 se muestra el fasor estimado para la corriente de la fase A. Ahora amplificamos mas en el instante t=0.5 segundos para poder ver con exactitud lo que sucede al momento de la falla t se puede observar que al igual que en el fasor del voltaje de la fase A existe un pico en el momento de la falla, pero ahora no es de menor voltaje, ahora es de mayor voltaje. En al figura 3.48 se muestra una amplitud de 2.5 Amper antes de la falla y en ele instante de la falla hay un pico de corriente de casi 8.5 Amper y después de la falla se estabiliza en 6 Amper

75



Figura 3.49.- Fasor estimado en Magnitud Amplificado en el instante de la falla.

En la grafica 3.50 se muestra la respuesta del ángulo en la estimación del fasor para la corriente de la fase A y amplificado en el instante de la falla.

76


Figura 3.50.- Fasor estimado en fase Amplificado en el instante de la falla

Antes de la falla el ángulo oscila desde 168° a -168° y después de la falla el ángulo se incrementa y oscila desde 180° a -180° como se muestra en la figura 3.50. También se puede observar que exactamente en el instante de la falla existe una perturbación en la estimación del fasor además del incremento de amplitud en el ángulo. Después de todas las pruebas realizadas al algoritmo de Miki & Mikano podemos desglosar sus ventajas y desventajas para la estimación del fasor e inyectándole diferentes señales.

 

Ventajas Respuesta rápida a transitorios. Requiere de muy pocos cálculos.

  

Desventajas El ruido afecta su desempeño La presencia de armónicos tiene efectos negativos Las componentes de DC afectan su desempeño

3.6.2. Algoritmo de Mann & Morrison . Este algoritmo trabaja con 3 muestras de la señal de entrada, la primera v0  en el instante t0, la segunda v 1  en el instante t -1 y la tercera v1  en el instante t 1 con un intervalo de muestreo T  como se muestra en la figura 3.51.

77


Figura 3.51 muestras de la señal de entrada

v0  : muestra del voltaje en el instante t 0 v 1  : muestra del voltaje en el instante t 1 v1  : muestra del voltaje en el instante t 1 T Es el intervalo de muestreo. La señal de entrada es una senoide variante en el tiempo como lo muestra la ecuación 3.34 vt   V p sin t    (3.34) En el instante t=0 se sustituye el valor de t en la ecuación 3.1 y se obtiene la ecuación (3.35). v0  v 0  V p sin  0    v 0  V p sin  

(3.35)

En el instante t=t -1 como se observa en la figura 3.51 que t 1  T y se sustituye el valor en la ecuación 3.34 obteniendo así la ecuación 3.36 vt   v 1  V p sin   t     v 1  V p sin   t   

(3.36)

En el instante t=t+1 como se observa en la figura 3.51 que t 1  T y se sustituye el valor en la ecuación 3.32 obteniendo así la ecuación 3.37 78


vt   v1  V p sin  t    

(3.37)

v 1  V p sin  t   

Derivada de la señal de voltaje, dv dt

  V p cos t   

En el instante t=0 se sustituye el valor de t en la ecuación anterior y se obtiene la ecuación 3.38 dv0 dt

  V p cos 

(3.38)

También de la figura 3.51 podemos sacar la derivada directamente de las muestras. dv0 dt



v1  v1 

(3.39)

2T

De las ecuación (3.38), (3.39) y despejando la parte real V p cos    se obtiene la ecuación (3.40)

v1  v1  2T V p cos  



dv0 dt

  V p cos 

v1  v1 

(3.40)

2 T

Después de las operaciones realizadas encontramos que la ecuación 3.35 es la parte imaginaria y la ecuación 3.40 es la parte real. Parte Imaginaria Parte Real

V p sin    v 0 V p cos  

v 1  v 1  2 T

(3.35) (3.40)

Teniendo la parte imaginaria y la real es posible calcular la magnitud y el ángulo del fasor:

79


magnitud 

2 2 real  imaginario

1  imaginario 

ángulo  tan 



real

 

Realizando las operaciones correspondientes con la parte real e imaginaria tenemos que:

Magnitud

V p  v 0

2

 v  v 1     1   2 T 

tan  

Fase

2

v 0 2 T

v 1  v1 

(3.41)

(3.42)

Como ya se menciono la parte real e imaginaria no son más que filtros y a continuación se analizan y se presentan las correspondientes graficas para cada filtro. Para el análisis de los filtros en los siguientes casos se ocuparan los datos anteriormente calculados (en el algoritmo de Miky & Mikano) que defines la frecuencia fundamental, frecuencia de muestreo y numero de muestras por ciclo. Primero se analizara la respuesta a la frecuencia del filtro real para el algoritmo de Mann & Morrison; en la figura 3.52 se muestra el diagrama a bloques del filtro real.

X  z 

H 1  z 

Y  z 


Donde: H1  z   función de transferencia X  z   Señal de entrada Y  z   Señal de salida

80


Empezamos a analizar el filtro de la parte real con la ecuación 3.29 sustituyendo los valores de frecuencia de muestreo y frecuencia angular anteriormente obtenidos. Parte real 

V 1  V 1

2 T

2 * 2 * f n *  

2 T 

f m

2 * 2 * 60 n *  

2 T 

si f n  60 y f m  720 se tiene

,

720



240 *  720





3

Sustituyendo: Parte real 

V 1  V 1 

3

La ecuación 3.40 representa el filtro de la parte real a una frecuencia fundamental de 60 Hz (para casos posteriores se utiliza esta misma frecuencia como fundamental) y se puede observar que la parte real esta dada por la entrada posterior menos la entrada anterior multiplicada por 3 . Pasando la ecuación 3.40 al dominio de la transformada z tenemos:

H 1  z  

1 1 z  z 



3

Reemplazando z por

t

e j

se obtiene la respuesta en el dominio de la frecuencia H 1   

3 

e

1( j t )

 e 1 j t   ,

Utilizando la formula de Euler dada tenemos:

H 1   

3 

H 1   

cos T   jsen T   cos T   jsen T 

3 

cos T   jsen T   cos T   jsen T  81


H 1   

3 

 jsen T   jsen T   j

6 

sen T 

(3.43)

H 1    j1.90985931710274 sen T 

Para encontrar la respuesta a la frecuencia de los filtros se sustituye diferentes valores de ω y se calcula la magnitud de H1 (ω) Para una señ al de DC   0 :

Se prueba el filtro real para una señal entrada de DC con una amplitud V M o I M y con una frecuencia de cero, se hacen los cálculos necesarios se llega a la expresión 3.44: H 1    j1.90985931710274sen0 * T 

(3.44)

H 1    00

En la expresión 3.44 se puede observar que el filtro real no permitirá el paso de la señal de entrada en ninguna frecuencia, es decir; tendremos a la salida 0 I M o 0V M y el ángulo es cero para todas las diferentes frecuencias de entrada. Frecuencia Fundamental :

Ahora se prueba el filtro real para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia fundamental, recordando que anteriormente se definió la frecuencia fundamental en 60Hz; con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular para posteriormente llegar a la expresión 3.45.   T 

2 f  f m

*

180 

  T 

30

H 1 0   j1.90985931 710274 sen 30  H 1 0   j1.90985931 710274 * 0.5 H 1    j 0.9594 82


(3.45)

H 1    0.959490

En la expresión 3.45 se puede observar que el filtro real permitirá el paso de la señal de entrada en un 95.94%, en otras palabras; el filtro atenuara la señal de entrada en ( 0.9594 I M o 0.9594V M ) y además la desfasa en 90°. Componente de 2nd armónic a:

Se prueba el filtro real para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia de segunda armónica, es decir; el segundo múltiplo de la frecuencia fundamental o sea f=120Hz, con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular con la nueva frecuencia para posteriormente llegar a la expresión 3.46.   T 

2 f * 2  f m

*

180 

 T 

60

H 1 0   j1.90985931 710274 sen 60  H 1 0   j1.90985931 710274 * 0.866 H 1    j1.6539

H 1    1.653990

(3.46)

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro amplificará la segunda armónica en 1.6539V m o 1.6539 I M y lo desplazará 90° Componente de 3ra armónica:

Se prueba el filtro real para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia de tercera armónica, es decir; el tercer múltiplo de la frecuencia fundamental o sea f=180Hz, con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular con la nueva frecuencia para posteriormente llegar a la expresión 3.47.

83


 T 

2 f * 3 f m

*

180 

  T 

90

H 1 0   j1.90985931 710274 sen 90  H 1    j1.9098

(3.47)

H 1    1.909890

El filtro amplificará la tercera armónica en 90°

1.9098V m

o

1.9098 I M y

lo desplazará

Como se puede observar el ángulo siempre será 90° para cualquier valor de frecuencia en la señal de entrada, lo que va cambiando es la magnitud para las diferentes entradas.

Figura 3.53.- Respuesta en magnitud del filtro real.

En la figura 3.53 se observa claramente que las magnitudes para diferentes frecuencias de entrada, en f=60Hz se tiene una magnitud de 0.95 y se repite para la frecuencia de f=300, que corresponde al quinto armónico de la frecuencia fundamental, considerando como frecuencia fundamental la de 60 Hz, también se puede observar que la amplitud máxima es de aproximadamente 3.9 y corresponde a la tercera armónica, es decir; a la frecuencia de 180Hz, después de la sexta armónica el filtro es periódico. 84


En la figura 3.54 se muestra la respuesta en frecuencia del filtro real para la fase; de acuerdo a los cálculos anteriores se puede verificar que para distintas frecuencias de la señal de entrada, el filtro siempre lo desfasa 90°.

Figura 3.54.- Respuesta en Fase del filtro real.

A continuación se analiza el Filtro de la parte imaginaria, como ya se menciono anteriormente, lo rige la ecuación (3.48)

V p sin    v 0

En la figura 3.55 se muestra el diagrama a bloque s del filtro imaginario, que representa el filtro de la parte imaginaria a una frecuencia fundamental de 60 Hz y se puede observar que la salida del filtro es igual a la muestra actual de la entrada y no se atenúa ni se amplifica. X  z 

H 2  z 

Y  z 


Donde H1  z   función de transferencia X  z   Señal de entrada Y  z   Señal de salida

85


Pasando la ecuación 3.48 al dominio de la transformada z tenemos: H 2  z   Z

0

j t

Reemplazando z por e dominio de la frecuencia

se obtiene la expresión 3.48 con la respuesta en el H 2    1e

0 ( j t )

H 2    1 H 2    1 H 2    10

(3.49)

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro de la parte imaginaria dejara pasar como un seguidor de voltaje todas las señales de entrada a distintas frecuencias y su ángulo de será de 0° En la figura 3.56 se muestra la respuesta del filtro imaginario para la magnitud, y se observa que no importa la frecuencia de la señal de entrada siempre la salida tiene una ganancia unitaria. Se puede decir entonces que el filtro de la parte imaginaria en magnitud es similar a un seguidor de voltaje ya que no importa la frecuencia de la señal de entrada este filtro siempre dejara pasar toda esa señal.

Figura 3.56.- Respuesta en Magnitud del filtro Imaginario.

86




La estimación del fasor con las ecuaciones de magnitud y ángulo que se e obtuvieron en las ecuaciones 3.41 y 3.42.

Magnitud

Fase

V p  v 0

2

 v  v 1     1   2 T 

tan   

2

v 0 2 T

v 1  v 1 

(3.41)

(3.42)

Para poder analizar y visualizar los resultados de la estimación de fasores resultantes con el algoritmo de Mann & Morrison, se desarrollo un programa en matlab y se presentan los resultados obtenidos. Caso 1.- Señal de entrada senoidal a un a frecuencia fu ndamental Se analiza primeramente la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz, recordando que esta es la frecuencia fundamental anteriormente establecida. 87


Es importante mencionar que la señal de entrada es puramente senoidal, es decir, es generada a través de una función senoidal y su ecuación es la 3.29 V t   V p sen t 

(3.29)

La señal de entrada se muestra en la figura 3.58, a partir de este momento solo se presentara la figura de la señal de entrad en forma continua ya no se presentara la señal discreta en el tiempo. Es de suma importancia mencionar que el voltaje pico es de 10 unidades, es decir; V p  10

Figura 3.58 Señal de entrada (continua)

El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Mann & Morrison se muestra en la figura 3.59 La estimación del fasor se hace por cinco ciclos de la frecuencia fundamental por lo tanto tiene una duración de 83.33 ms (mili segundos). Sabiendo que el algoritmo toma solo tres muestras para estimar el fasor es posible notar en la figura 3.59 que el fasor tarda en estabilizarse solo 3 muestras, lo que es lo mismo a 3.333 mili segundos ya que cada muestra es tomada a una frecuencia de 720 Hz. Y se puede concluir que este algoritmo es muy rápido para estimar los fasores, con sus desventajas de que tiene que ser una señal de entrada puramente senoidal y que además la salida del fasor no es constante, como se puede observar en la figura 3.59 en la estimación de magnitud para el algoritmo de Mann & Morrison existe una oscilación. 88


La oscilación que se presenta en la estimación de magnitud tiene como 10 unidades como máximo y 9.55 unidades como mínimo, estamos hablando de que la oscilación tiene un voltaje pico a pico de 0.45 unidades lo que es un 4.5% del valor de entrada


En la figura 3.60 se presenta la grafica del fasor en ángulo para el algoritmo de Mann & Morrison. Para este caso no es muy visible cuanto se tarda en mostrar correctamente el fasor, pero en el caso de la magnitud es notorio y congruente con los cálculos obtenidos.

Figura 3.60.- Fasor estimado en fase 89


Caso 2.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas una DC decreciente Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz, recordando que esta es la frecuencia fundamental anteriormente establecida y se le suma una señal DC decreciente en el tiempo. Al igual que en el caso anterior la señal de entrada es puramente senoidal, es decir, es generada a través de una función senoidal mas una señal decreciente en el tiempo y su ecuación es la 3.30 que ya se vio en el algoritmo de Miky & Mikano.

V t   V p sen t   I D e



n

8

Con: V p  10 I D  5 n  1,2,3..., j

La señal de entrada se muestra en la figura 3.61

Figura 3.61.- Señal de entrada (continua). 90


(3.30)

El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Mann & Morrison para la señal de entrada senoidal decreciente se muestra en la figura 3.62. La estimación del fasor se hace por cinco ciclos de la frecuencia fundamental por lo tanto tiene una duración de 83.33 ms (mili segundos).


Como se puede ver en la figura 3.62, la entrada de una señal decreciente en el tiempo afecta notablemente y de manera negativa a la salida del fasor y tarda en estabilizarse aproximadamente cuatro ciclos, pero para este algoritmo en particular la oscilación es permanente y aunque ya no es decreciente estará presente en todo momento. La amplitud máxima se presenta en el primer ciclo y es de aproximadamente 15.5 unidades y corresponde al pico encerrado en el rectángulo rojo de la figura 3.62, la amplitud mínima es de 8 y pertenece al mismo ciclo. En la gráfica 3.63 se muestra el fasor estimado en ángulo para la señal de entrada senoidal decreciente.

91



En la grafica 3.63 se puede observar que la respuesta del ángulo en la estimación del fasor para este algoritmo se estabiliza en poco tiempo, no es como la magnitud que tarda casi 6 ciclos y que tiene una oscilación, solo es notable una pequeña distorsión en el primer periodo del ángulo, notando que el ángulo oscila entre +180° y -180°. Después de todas las pruebas realizadas al algoritmo de Miki & Mikano podemos desglosar sus ventajas y desventajas para la estimación del fasor e inyectándole diferentes señales.  


Desventajas  El ruido afecta su desempeño  La presencia de armónicos tiene efectos negativos componentes de DC  Las afectan su desempeño  En el fasor de magnitud hay una oscilación de 4.5% del voltaje de entrad.

3.6.3. Algoritmo de Rockefeller y Udren El algoritmo de Rockefeller y Udren utiliza tres muestras al igual que el de Mann & Morrison que se muestran en la figura 3.64.

92


Figura 3.64- Ventana de 3 muestras de la señal de entrada

v0  : muestra del voltaje en el instante t 0 v 1  : muestra del voltaje en el instante t 1 v1  : muestra del voltaje en el instante t 1 T Es el intervalo de muestreo. Utilizando las ecuaciones (3.37) y (3.38) del algoritmo de Mann & Morrison tenemos la parte real del fasor: V p cos  

v 1  v1  2 T

(3.50)

La segunda derivada de la señal de voltaje, d 2 v0 2

dt

 v 0    2V p sin  t   

En el instante t=0 sustituimos y obtenemos la ecuación 3.51; d 2 v 0 2

dt

 v 0    2V p sin  

(3.51)

En término de las muestras también es posible determinar la derivada, así que lo hacemos para tres casos, cunado t=-0.5, t=0 y t=0.5 En el instante t=-0.5, dv  0.5 dt

 V 0.5 

v0  v 1  T 93


(3.52)

En el instante t=+0.5, dv  0.5 dt

 V 0.5 

v 1  v0 

(3.53)

T

En el instante t=05,     v 0.5  v 0.5    V 0    2 T dt 2

(3.54)

d v 0

Sustituyendo las ecuaciones 3.52 y 3.53 en la 3.54 se obtiene, 

V 0 

v 1  2v0  v 1 

(3.55)

T 2

De la ecuación 3.51 y 3.55 se obtienen la parte imaginaria del fasor. V p sen  

 v 1  2v 0  v 1 

(3.56)

 T 2

Ahora ya conocemos la parte imaginaria y real del fasor para el algoritmo de Rockefeller & Udren. Parte real Parte imaginaria

V p cos   V p sen  

v1  v1 

2 T  v 1  2v 0  v 1 

 T 2

(3.50) (3.56)

Para estimar el fasor en magnitud se eleva al cuadrado la parte real y se suma la parte imaginaria elevada el cuadrado y la resultante de esta operación se le saca la raíz cuadrada obteniendo así la magnitud del fasor. Para el ángulo solo es necesario dividir la parte imaginaria entre la real y sacar la tangente, las ecuaciones resultantes son la (3.57) y (3.58). 2

Magnitud

An gu lo

  v 1  2v 0  v 1    v 1  v 1   2   V p   2    2 T     T   

tan   

 2v 1  2v 0  v 1   T v 1  v 1  94


(3.57)

(3.58)

Las ecuaciones 3.50 y 3.56 no son más que filtros, uno de la parte real H 1 z  y otro de la imaginaria H 2 z  . La entrada afecta de distinta manera a ambos filtros y tienen diferente respuesta a la frecuencia. Lo primero que se debe definir es cual va a ser la frecuencia nominal y cuantas muestras requerimos por ciclo.  


Como los datos son los mismos que para los algoritmos anteriores ya no se calcula la frecuencia angular y tampoco la frecuencia de muestreo, solo se toman los datos. f m  720  t  30

Primero se analizara la respuesta a la frecuencia del filtro real para el algoritmo; en la figura 3.65 se muestra el diagrama a bloques del filtro real. X  z 

H 1  z 

Y  z 



Las ecuaciones 3.50 y 3.56 no son más que filtros de la señal nominal, para poder velo mas claramente es necesario pasar la ecuación al dominio de z y después al dominio de la frecuencia:   z H  z  

 z 1  2 T 1

1

2 T Es

una constante que depende de la frecuencia nominal y la frecuencia de muestreo y que a continuación se calcula para manejarlo como una constante.

95


 1   f  m   1  2 t  4 *  * 60 *    720  2 t  2 * 2 *  * f * 



2 t 

Reemplazando z por

e

j t

3

rad  60

se obtiene la respuesta en el dominio de la frecuencia H 1   

e  

1 j T 

 e 1 j T  



3

Utilizando la formula de Euler que se muestra en la ecuación 3.22 y sustituyendo se llega al a ecuación 3.20 que esta dada en función de la frecuencia de la señal de entrada: H 1   

3 

cos T   jsen T   cos T   jsen T  H 1   

H 1    

6 

3 

 2 * jsen T 

jsen T 

(3.59)

La fase siempre será de -90° y la magnitud cambiara con respecto a la frecuencia. En la figura 3.66 se muestra la respuesta en magnitud de la parte real del filtro. En la figura 3.66 se observa claramente que las magnitudes para diferentes frecuencias de entrada, en f=60Hz se tiene una magnitud de 0.9549 y se repite para la frecuencia de f=300, que corresponde al quinto armónico de la frecuencia fundamental, considerando como frecuencia fundamental la de 60 Hz, también se puede observar que la magnitud máxima es de 3.90 y esta en 180Hz y corresponden a la tercera armónica y la respuesta se repite periódicamente.

96


Figura 3.66.- Respuesta en magnitud del filtro de la parte real.

En la figura 3.67 se muestra la respuesta en frecuencia del filtro real para la fase; para la frecuencia fundamental se desfasa 90°, y ahora para la onceaba armónica se tiene un desfasa -90°. En la sexta armónica donde se tenía la amplitud máxima no se desfasa de la señal de entrada.


A continuación se analiza el Filtro de la parte imaginaria, como ya se menciono anteriormente, lo rige la ecuación 3.56

97


V p sen  

 v 1  2v 0  v 1 

(3.56)

 T 2

En la figura 3.68 se muestra el diagrama a bloque s del filtro imaginario, que representa el filtro de la parte imaginaria a una frecuencia fundamental de 60 Hz y se puede observar que la salida del filtro es igual a la muestra actual de la entrada y no se atenúa ni se amplifica. X  z 

Y  z 

H 2  z 


Donde H1  z   función de transferencia X  z   Señal de entrada Y  z   Señal de salida

Pasando la ecuación 3.56 al dominio de la transformada z tenemos: H 2  z  

Reemplazando z por

e

j t

  z 1  2 z 0  z 1 

 3 

2

se obtiene la respuesta en el dominio de la frecuencia

H 2   

 e 1 j T   2e 0 j T   e 1 j T  

H 2   

 3 

2

 e 1 j T   21  e 1 j T  

 3 

2

Y utilizando la formula de Euler y sustituyendo se tiene: H 2   

 cos T   jsen T   2  cos T   jsen T 

 3 

2

98


H 2   

2  2 cos T 

 3 

2

2

 3  H 2      2  2 cos T    

Filtro imaginario

El ángulo no depende de la frecuencia, es decir para cualquier señal de entrada con diferente frecuencia, el ángulo siempre es cero, y la magnitud varía dependiendo la frecuencia de la señal de entrada. En la figura 3.69 se muestra la respuesta del filtro imaginario para la magnitud, y se observa que para la frecuencia fundamental tenemos una magnitud de 0.9774 y se repite para la frecuencia de f=660, que corresponde al onceavo armónico de la frecuencia fundamental, considerando como frecuencia fundamental la de 60 Hz, y se puede observar que la magnitud mas alta la tenemos en el sexto armónico y es de casi 15 unidades .



99



En esta parte del trabajo se analizará la estimación del fasor con las ecuaciones de magnitud y ángulo, con las ecuaciones 3.50 y 3.56 se calculan la magnitud y ángulo del fasor; 2

Magnitud

  v 1  2v 0  v 1    v 1  v 1   2   V p    2    T     2 T 

tan   

An gu lo

 2v 1  2v 0  v 1   T v 1  v 1 

Con las ecuaciones de magnitud y ángulo se obtiene el fasor para diferentes entradas como se muestra a continuación. Caso 1.- Señal de entrada senoidal a un a frecuencia fu ndamental Se analiza la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia fundamental, la señal de entrada es puramente senoidal y su ecuación es la 3.29. V t   V p sen t 

La señal de entrada se muestra en la figura 3.71 100


(3.29)


El Fasor estimado en magnitud para este algoritmo se muestra en la figura 3.72

Figura 3.72.- Fasor estimado en Magnitud 101


La estimación del fasor se hace por cinco ciclos de la frecuencia fundamental por lo tanto tiene una duración de 83.33 ms (mili segundos). Sabiendo que el algoritmo toma solo tres muestras para estimar el fasor es posible notar en la figura 3.72 que el fasor tarda en estabilizarse solo 3 muestras, lo que es lo mismo a 3.333 mili segundos ya que cada muestra es tomada a una frecuencia de 720 Hz. Y se puede concluir que este algoritmo es muy rápido para estimar los fasores, con sus desventajas de que tiene que ser una señal de entrada puramente senoidal y que además la salida del fasor no es constante, como se puede observar en la figura 3.72 en la estimación de magnitud para el algoritmo de Rockefeller & Udren existe una oscilación. La oscilación que se presenta en la estimación de magnitud tiene como 9.75 unidades como máximo y 9.55 unidades como mínimo, estamos hablando de que la oscilación tiene un voltaje pico a pico de 0.20 unidades lo que es un 2.05% del valor de entrada Podemos ver que la oscilación presentada en el algoritmo de Rockefeller & Udren es mas pequeña que la presente en el algoritmo de Mann & Morrison, pero lo cierto es que se tiene el mismo problema, aunque la oscilación es 50% mas pequeña.



En la figura 3.73 se presenta la grafica del fasor en ángulo para el algoritmo de Rockefeller & Udren. Para este caso no es muy visible cuanto se tarda en mostrar correctamente el fasor, pero en el caso de la magnitud es notorio y congruente con los cálculos obtenidos. Caso 2.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas una DC decreciente Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz, recordando que esta es la frecuencia fundamental anteriormente establecida y se le suma una señal DC decreciente en el tiempo. Al igual que en el caso anterior la señal de entrada es puramente senoidal, es decir, es generada a través de una función senoidal mas una señal decreciente en el tiempo y su ecuación es la 3.30

V t   10sen t   5e



n

8

(3.30)

La señal de entrada se muestra en la figura 3.74.


El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Rockefeller & Udren para la señal de entrada senoidal decreciente se muestra en la figura 3.75

103



Como se puede ver en la figura 3.75, la entrada de una señal decreciente en el tiempo afecta en una forma mucho menor la salida del fasor en comparación con los algoritmos anteriores, pero seguimos con el mismo error del as oscilaciones. La amplitud máxima no es más de 11 unidades y solo tiene un ciclo con amplitud mediana, después de este la respuesta es como si la señal de entrada fuera una señal senoidal de frecuencia fundamental. En la gráfica 3.76 se muestra el fasor estimado en ángulo para la señal de entrada senoidal decreciente.



En la grafica 3.76 se puede observar que la respuesta del ángulo en la estimación del fasor para este algoritmo se estabiliza en poco tiempo, notando que el ángulo oscila entre +180° y -180°. Después de todas las pruebas realizadas al algoritmo de Rockefeller y Udren podemos desglosar sus ventajas y desventajas para la estimación del fasor e inyectándole diferentes señales.   

Ventajas Respuesta transitoria rápida Se requieren pocos cálculos

 

Controla mejor la componente decreciente de DC.



Desventajas El ruido afecta su desempeño La presencia de armónicas tiene efectos negativos Se presenta una oscilación en la magnitud que depende de la frecuencia de muestreo.

3.6.4. Algoritmo de Gilvert & Shovlin El algoritmo de Gilvert & Shovlin utiliza tres muestras al igual que el de Mann & Morrison que se muestran en la figura 3.77.

Figura 3.77- Ventana de 3 muestras de la señal de entrada

v0  : muestra del voltaje en el instante t 0 v 1  : muestra del voltaje en el instante t 1 v1  : muestra del voltaje en el instante t 1 T Es el intervalo de muestreo. Este algoritmo utiliza 3 muestras, la muestra actual, la anterior y la posterior. 105


Al go ri tmo En el instante t=0 v 0  V p sin  

(3.60)

v 1  V p sin   t   

(3.61)

v 1  V p sin  t   

(3.62)

En el instante t=t-1

En el instante t=t+1

Multiplicando la muestra anterior y la muestra actual tenemos: v 1 v 1   V p sin  t   V p sin  t    , 2

v 1 v 1   V p sen

2

desarrollando:

 v  cos 2  0 t   sen 2  0 t  cos 2  v 

Si elevamos al cuadrado la muestra actual y restamos 2

v1 v1 

2

v 0  V p sin 2   2

2

2

2

2

2



v 0  v 1 v 1   V p sin 2    V p sen 2  v  cos 2  0 t   sen 2  0 t  cos 2  v  2



2 2 2 2 2 v 0  v 1 v 1   V p sin    V p sen   cos  0 t   V p sen  0 t  cos  

2



2



2

v 0  v 1 v 1   V p sin 2   1  cos 2  0 t   V p sen 2  0 t  cos 2  

sin 2    cos 2    1

Utilizando la función trigonométrica 2

2

2

2 2 2 v 0  v 1 v 1   V p sin  sen 0 t   V p sen  0 t  cos  

2



2



v 0  v 1 v 1   V p sen 2  0 t  sin 2    cos 2   2

2

2 v 0  v 1 v 1   V p sen  0 t 

Despejando

V p

tenemos la magnitud del fasor 106


2

v 0  v 1 v 1 

V p 

Magnitud

sen

2

(3.63)

 0 t 

Restando la muestra anterior a la muestra posterior se tiene:

v1   v1   V p sin 0 t     V p sin  0 t    v 1   v 1   V p 2 cos v  sin 0 t  v 1   v 1  2 sin  0 t 

V p cos v  

Y sabemos que v0  V p sin   , despejando V p , V p  v 0 cos v  sen v 



sin  

y sustituyendo se tiene,

v 1   v 1  2 sin  0 t 

tan  v  

Fasor

v0

2v 0 sin  0 t 

v 1   v 1 

(3.64)

Como nos podemos dar cuenta este algoritmo no genera filtros, ya que el fasor es casi directo como se muestra en las ecuaciones 3.63 y 3.64. 2

Magnitud

Fasor

V p 

v 0  v 1 v 1 

tan v  

sen

2

 0 t 

2v 0 sin  0 t 

v 1   v 1 

(3.63)

(3.64)

Para poder analizar y visualizar los resultados de la estimación de fasores resultantes con el algoritmo de Gilvert & Shovlin, se desarrollo un programa en matlab y se presentan los resultados obtenidos. Caso 1.- Señal de entrada senoidal a un a frecuencia fu ndamental Se analiza la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz, recordando que esta es la frecuencia fundamental 107


anteriormente establecida la señal de entrada es puramente senoidal, es decir, es generada a través de una función senoidal y su ecuación es la 3.29 V t   V p sen t 

(3.29)

La señal de entrada se muestra en la figura 3.78, solo se presentara la figura de la señal de entrad en forma continua. El voltaje pico es de 10 unidades, es decir; V p  10

Figura 3.78 Señal de entrada (continua).

El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Gilvert & Shovlin se muestra en la figura 3.79



Sabiendo que el algoritmo toma solo tres muestras para estimar el fasor es posible notar en la figura 3.79 que el fasor tarda en estabilizarse solo 3 muestras, lo que es lo mismo a 3.333 mili segundos ya que cada muestra es tomada a una frecuencia de 720 Hz. Y se puede concluir que este algoritmo es muy rápido para estimar los fasores, con sus desventajas de que tiene que ser una señal de entrada puramente senoidal como se puede observar en la grafica. La magnitud es constante ya no se tiene una oscilación como los algoritmos anteriores de tres muestras. En la figura 3.80 se presenta la grafica del fasor en ángulo para el algoritmo de Gilvert & Shovlin. Para este caso no es muy visible cuanto se tarda en mostrar correctamente el fasor, pero en el caso de la magnitud es notorio. Como podemos observar en la figura 3.80 el ángulo varia de 180° hasta -150° y tiene un periodo de 16.666 milisegundos que es el mismo periodo que para una señal de frecuencia fundamental, de hecho pareciera que a la estimación del fasor en ángulo no tarda mucho para estabilizarse.


Caso 2.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas una DC decreciente Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz y se le suma una señal DC decreciente en el tiempo. La señal de entrada es puramente senoidal, y es generada a través de una función senoidal mas una señal decreciente en el tiempo y su ecuación es la 3.30. 109


V t   10sen t   5e



n

8

(3.30)

La señal de entrada se muestra en la figura 3.81


El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Gilvert & Shovlin para la señal de entrada senoidal decreciente se muestra en la figura 3.82 La estimación del fasor se hace por cinco ciclos de la frecuencia fundamental por lo tanto tiene una duración de 83.33 ms (mili segundos).

110



Como se puede ver en la figura 3.82, la entrada de una señal decreciente en el tiempo afecta notablemente y de manera negativa a la salida del fasor y tarda en estabilizarse aproximadamente dos ciclos. La amplitud máxima se presenta en el primer ciclo y es de aproximadamente 19 unidades y corresponde al pico encerrado en el rectángulo rojo de la figura 3.82, la amplitud mínima es de 9 y pertenece al mismo ciclo.


En la grafica 3.83 se puede observar que el ángulo se estabiliza en poco tiempo, no como la magnitud, solo es notable una pequeña distorsión en el primer periodo del ángulo, notando que el ángulo oscila entre +180° y -150°. Del algoritmo de Gilbert & Shovlin se pueden destacar algunas ventajas paro también algunas desventajas, se muestran en la siguiente tabla:  

Ventajas Respuesta transitoria rápida Se requieren pocos cálculos

  

Desventajas El ruido afecta su desempeño La presencia de armónicas tiene efectos negativos La componente decreciente de DC afecta su desempeño.

111


3.6.5. Conclusiones d e los algoritm os tr igonométricos En general para estimar fasores con algoritmos trigonométricos se debe tener una señal de entrada puramente senoidal para que la estimación de fasor sea confiable. La presencia de armónicos en la señal de entrada afecta de manera negativa a los cuatro algoritmos trigonométricos estudiados en este trabajo. Cuando existe la presencia de una señal decreciente en la entrada afecta de manera negativa a los algoritmos de:  Miki & Mikano  Mann & Morrison  Gilbert & Shovlin El algoritmo Mann & Morrison y el de Rockefeller & Udren en la estimación del fasor para la magnitud tiene una oscilación en el primer caso de 4.5% y en el segundo de 2%, la oscilación es permanente y constante. En el único algoritmo que no afecta significativamente la entrada de una señal senoidal decreciente es en el de Rockefeller & Udren, pero como ya se menciono se tiene una pequeña oscilación en la magnitud y esta depende de la frecuencia de muestreo con la cual se esta trabajando, si se incrementa la frecuencia de muestreo disminuye la amplitud de la oscilación. 3.6.6. Cálculo de fasores us ando el método de error es mínimos c uadrados 3.6.6.1. Intro ducción. El método de Mínimos cuadrados es una técnica de optimización matemática que, dada una serie de mediciones, intenta encontrar una función que se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"). Intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. Un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Markov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).

112


La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía Técnica de Mínimos errores cuadrados (LES), considera un conjunto de mediciones que satisfacen (3.65)

a  bt  m

Donde: m  mediciones t  instante de tiempo a & b  desconocidas( estimados)

Si se considera que se toman “n” muestras (3.65) se expande a una secuencia de ecuaciones descritas en (3.66) a  bt 1  m1 a  bt 2  m2 a  bt 3  m3

(3.66)

... a  bt n  mn

Donde “a” y “b” son los valores a estimar en las ecuaciones (3.66), utilizando la técnica de mínimos errores cuadrados, esta estimación se define en (3.67) aˆ  bˆt 1  m1   1 aˆ  bˆt 2  m2   2 aˆ  bˆt 3  m3   3

(3.67)

... aˆ  bˆt n  mn   n

En forma matricial las ecuaciones (3.67) pueden ser escritas de la siguiente manera: 1  1 1  . 1 

t1 

 m1   1       m2  t2    2  aˆ  t 3       m3    3     bˆ  2 x1 ...  .    ...  m    t n  nx 2  n  nx1  n  nx1 113


(3.68)

 A   x   m    

(3.69)

Dado que  A   x  m    Elevando al cuadrado el error tenemos que:

 T     A X   mT  A X   m   T     A X    Am    A X T m  m T  A X   mT m

(3.70)

 T     X T  AT  A X   2 *  X T  AT m   m T m  Para minimizar la suma de los errores cuadrados, se deriva con respecto a [x] y se iguala a cero la ecuación (3.71). d





 X T  A T  A  X   2*  X T  A T  m   mT  m    0  d  x  2*  A

T



 A X    2*  A  m   0 T

(3.71)  A T  A  X    AT  m   1

T T  X    A  A  A  m 

Reescribiendo la ecuación (3.71), se tiene 1

 X    A  A  A  m  T

1

T

 X     A  A  A  T

T

 m   

(3.72)



1 L  X    A   m

Donde,  A1L es la seudo inversa izquierda de la matriz  A y está dada por: 114


 A1 L   AT  A  AT  1





(3.73)

Se utiliza la seudo inversa de una matriz cuando se requiere obtener la inversa de la misma, pero la matriz dada no es cuadrada. [A] es una matriz de n x p, en donde: n.- es el número de muestras p.- es el número de variables desconocidas Por lo anterior sabemos que la seudo inversa de la matriz A tiene dimensiones p x n como se muestra a continuación.

 Anxp

&

A1 L pxn

El producto de  A1L m  es un vector que tiene como longitud p, el vector de los parámetros desconocidos. Si el intervalo de medición es conocido previamente, entonces la seudo inversa izquierda de [A] puede ser calculada antes de iniciar el muestreo de los datos de la señal de entrada. Este método puede ser usado si las ecuaciones que describen la señal de entrada de voltaje y corriente pueden ser expresados en forma lineal. Las consideraciones que se deben de tomar en cuenta parra utilizar el algoritmo de mínimos errores cuadrados, se describen a continuación.  

Las señales están compuestas de componentes de frecuencia conocidas. El término de DC puede ser expresado como una componente decreciente lineal.

Para el análisis de la estimación de fasor para cada algoritmo se realizaran varias pruebas a continuación mencionaremos los distintos casos.      

Caso 1.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental Caso 2.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas una DC decreciente Caso 3.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas segundo armónico. Caso 4.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas tercer armónico. Caso 5.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas un transitorio. Caso 6.- Señal de entrada generada en el PSCAD. 115


3.6.6.2. Desarro llo del algo ritm o d e mínimos errores cu adrados con 3 muestras Para implementar el algoritmo de mínimos errores cuadrados, primero s e establece que la señal de entrada solo consta de la frecuencia fundamental, La señal de entrada puede ser expresada como, vt   V p sin t   

(3.74)

Desarrollando la ecuación 3.74 con la función trigonométrica de la ecuación 3.75 tenemos la ecuación 3.76: sen( x  y )  sen x  cos y   cos xsen y

(3.75)

vt   V p sin   cos t   cos sen t 

(3.76)

Figura 3.84.- Tres muestras de la señal de entrada

Se consideran 3 muestras tomadas en intervalos regulares de v 1 , v0 , v1 de la señal de entrada como se muestra en la figura 3.84, las muestra pueden ser expresadas como tres ecuaciones a continuación descritas: v 1 t   V p sin  cos  T   cos sen   T  v 0 t   V p sin   cos0  cos sen0 v 1 t   V p sin   cos T   cos sen T 

116


La frecuencia de la señal de entrad es conocida y definida por el usuario, en este caso se trabaja con una frecuencia fundamental de 60 Hz, la frecuencia de muestreo depende de la frecuencia fundamental y de el numero de muestras que se deseen, para este trabajo se determinan 12 muestras por ciclo; ahora podemos calcular la frecuencia de muestreo.  


De los datos anteriores es posible calcular la frecuencia de muestreo con la ecuación 3.77. f m  f no min al * Nm

(3.77)

f m  60 * 12  720

Calculada la frecuencia de muestreo ahora se puede calcular la frecuencia angular con la ecuación 3.78.  

(3.78)

2 *  * f

Y el intervalo t para, para reducir las ecuaciones de las muestras de entrada. t 

1 1  f m 720

 1   f  m   1   t  2 *  * 60 *    720   t 

 t 

2 *  * f * 



6

rad  30

Sustituimos el valor de  t en las ecuaciones de la señal de entrada para calcular las constantes y se tiene:





v 1 t   V p sin  cos  

6

  cos sen  6 

v 0 t   V p sin   cos0  cos sen0 v 1 t   V p sin  cos 

6

 cos sen  6

Estas ecuaciones pueden ser expresadas en función de dos variables desconocidas: 117


1

3

 V p sin    2

2

V p cos   v 1 t 

1  V p  sin   0  V p  cos   v0 t  1

3

 V p sin    2

2

V p cos   v 1 t 

Las tres ecuaciones anteriores pueden ser expresadas en forma matricial, como sigue:  1   2   0     1  2

3 



v 1     V P cos        1   v 0   V P sen      v 1  3     2  2 

De aquí,  1   2 A   0   1  2

3 

    3  2 

2 1

A partir de la matriz A se obtiene la seudo inversa de la siguiente manera:  1  2 T  A  A    3  2

 1 1   2 2   0 3   1 2    2

0 1

3 

 1  2    3  0  2  2 1



0 



1 2  2 

T Sacando la inversa de  A  A se tiene:

 A

T

 A

1

2  0 

0



2

5 

118


Finalmente se obtiene la seudo inversa de la matriz A con la formula:

 A1 L   AT  A  AT  1



(3.79)



Entonces:

1 L

 A

2 1 T T      A  A  A   0 





 1 0   2  2    3 5    2

0 1

1  2 

 1  3 3    5 2 

0

1 

2

3  5 

5



Las componentes de la parte real e imaginaria del fasor que representa a la onda de voltaje, son obtenidos usando las ecuaciones siguientes:  V P cos   1      V P sen    3   5

0 2 5

 v 1    1       v 0     3    5  v 1 

Después que la siguiente muestra es recibida las componentes de la parte real e imaginaria del fasor son calculadas, mediante la ecuación siguiente:  V P cos   1      V P sen    3   5

0 2 5

 v 0    1       v 1     3    5  v  2 

Esto se arregla haciendo un cambio y tomando la muestra continuación:

v1 ,

como se muestra a

v1  muestra actual v0  v1 v1  v0

Las ecuaciones del filtro real e imaginario se muestran en las ecuaciones 3.80 y 3.81 119


V P cos   v 1  v 1

Parte Real

Parte Imaginaria

V P sen  

3 5

v 1 

2 5

v0 

(3.80)

3 5

v 1

(3.81)

Para estimar el fasor en magnitud se eleva al cuadrado la parte real y se suma la parte imaginaria elevada el cuadrado y la resultante de esta operación se le saca la raíz cuadrada obteniendo así la magnitud del fasor. Para el ángulo solo es necesario dividir la parte imaginaria entre la real y sacar la tangente. Magnitud

V p 

V P cos 2  V P sen 2

tan  

Fase

V P sen  V P cos 

(3.82)

(3.83)

Las ecuaciones 3.80 y 3.81 son los filtros, uno de la parte real H 1 z  y otro de la imaginaria H 2 z  . La entrada afecta de distinta manera a ambos filtros y tienen diferente respuesta a la frecuencia. Anteriormente se definió la frecuencia fundamental a 60 Hz y se dijo que se toman 12 muestras por ciclo, calculando con estos datos la frecuencia de muestreo 720 Hz. Primero se analizara la respuesta a la frecuencia del filtro real para el algoritmo de mínimos errores cuadrados en la figura 3.85 se muestra el diagrama a bloques del filtro real. X  z 

H 1  z 

Y  z 

Figura 3.85.-Diagrama a bloques de filtro real. Donde:

120



Empezamos a analizar el filtro de la parte real con la ecuación 3.84. V P cos   v 1  v 1

Parte Real

(3.84)

La ecuación 3.84 representa el filtro de la parte real a una frecuencia fundamental de 60 Hz y se puede observar que la entrada posterior es restada de la muestra anterior entrada anterior. Pasando la ecuación 3.84 al dominio de la transformada z tenemos: 1

H 1  z   Z t

Reemplazando z por

e j

se obtiene la respuesta en el dominio de la frecuencia H 1    1e1(

 j t 

e 1

 2 Z 1

j t )

 1e 1 j t 

 cos T   jsen T 

(3.85)

Utilizando la formula de Euler que se muestra en la ecuación 3.85 sustituyendo se llega a la ecuación 3.86 que esta dada en función de la frecuencia de la señal de entrada: H 1    1cos  t   jsen t   1cos  t   jsen  t  H 1    cos  t   jsen  t   cos t   jsen t  H 1    2 j * sen  t 

(3.86)


Se prueba el filtro real para una señal entrada de DC con una amplitud con una frecuencia de cero, se hacen los cálculos necesarios: H 1    2 * jsen 0

121


V M o I M y

H 1    0  00

En la expresión anterior se puede observar que el filtro real no permitirá el paso de la señal de entrada, en otras palabras; el filtro atenuara en 0 I M o 0V M y el ángulo de 0°. Frecuencia Fundamental :

Ahora se prueba el filtro real para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia fundamental, recordando que anteriormente se definió la frecuencia fundamental en 60Hz; con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular para posteriormente llegar a la expresión.  T 

2 f  f m

*

180 

  T 

30

H 1    2 j sin 30 H 1    2 j 0.5 H 1    j1

En la expresión anterior se puede observar que el filtro real permitirá el paso de la señal de entrada en un 100%, en otras palabras; el filtro no atenuara la señal de entrada ( I M o V M ) pero la desfasa en 90°. Componente de 2nd armónic a:

Se prueba el filtro real para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia de segunda armónica, es decir; el segundo múltiplo de la frecuencia fundamental o sea f=120Hz, con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular con la nueva frecuencia para posteriormente realizar los cálculos pertinentes.  T 

2 f * 2 f m

*

180 

 T  60

H 1    2 * j sin 60 H 1    2 *  j 0.866 , H 1    j1.732 122


H 1    1.73290

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro amplificará la segunda armónica en 1.732V m y lo desplazará 90° Componente de 3ra armónica:


2 f * 3 f m

*

180 

 T  90

H 1    2 * j sin90 H 1    2 *  j1 , H 1    j 2 H 1    290

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro amplificará la tercera armónica en 2V m y lo desplazará 90°. El filtro de la parte real se muestra en la figura 3.86

Figura 3.86.- Filtro de la parte real 123


En la figura 3.86 se observa claramente que las magnitudes para diferentes frecuencias de entrada son iguales a los anteriormente calculados, en f=60Hz se tiene una magnitud unitaria y se repite para la frecuencia de f=300, que corresponde al sexto armónico de la frecuencia fundamental, considerando como frecuencia fundamental la de 60 Hz, también se puede observar que la amplitud máxima es de 2 unidades y corresponde a la tercera armónica, es decir; a la frecuencia de 180 Hz. En la figura 3.87 se muestra la respuesta en frecuencia del filtro real para la fase; para la frecuencia fundamental se desfasa 90°, y así para cada armónica y frecuencia de la señal de entrada.


Al igual que en la magnitud, la respuesta en frecuencia de filtro real es periódica  1   . f  m 

después de la frecuencia de muestreo, es decir; su periodo es de 

Ahora se analizara la respuesta a la frecuencia del filtro imaginario para el algoritmo de mínimos errores cuadrados en la figura 3.88 se muestra el diagrama a bloques del filtro real. X  z 

H 2  z 

Y  z 

Figura 3.88.-Diagrama a bloques de filtro imaginario.

Donde: 124



A continuación se analiza el Filtro de la parte imaginaria, como ya se menciono anteriormente, lo rige la ecuación 3.87 Parte Imaginara

3

V P sen  

5

v 1 

2

v0 

5

3 5

(3.87)

v 1

La ecuación 3.87 representa el filtro de la parte real a una frecuencia fundamental de 60 Hz y se puede observar que la entrada posterior es restada de la muestra anterior entrada anterior. Pasando la ecuación 3.87 al dominio de la transformada z tenemos: 3

H 2  z  

Reemplazando z por

t

e j

5

z

1

2

 z 0  5

3

z

5

1


H 2  z  

3 5

e 1 j t  



2 5

3

e 0 j t  



5

e 1 j t 



 j t e 1    cos T   jsen  T 

(3.85)

Utilizando la formula de Euler que se muestra en la ecuación 3.85 y sustituyendo se llega al a ecuación 3.88 que esta dada en función de la frecuencia de la señal de entrada: H 2   

H 2   

H 2   

3 5 3 5 3 5

H 2    2 *

2

cos t   jsen t   cos0  jsen0  5

cos t  

cos t  

3 5

3 5 3 5

cos t  

jsen t  

jsen t  

2 5 2 5

cos0 



3 5

2 5

3 5

jsen0 

cos t  

3 5

cos t   jsen t  3 5

cos t  

3 5

jsen t 

jsen t 

2 5 125


H 2    2 *

3 5

cos t  

2 5

(3.88)


Se prueba el filtro real para una señal entrada de DC con una amplitud con una frecuencia de cero, se hacen los cálculos necesarios: H 2    2 *

H 2    2 *

H 2    2 *

3 5 3 5 3 5

cos0 

1 

V M o I M y

2 5

2 5 2

1   1.09282 5

H 2    1.092820

En la expresión anterior se puede observar que el filtro real permitirá el paso de la señal de entrada, en otras palabras; el filtro amplificara en 1.09282 I M o 1.09282V M y el ángulo de 0°. Frecuencia Fundamental :

Ahora se prueba el filtro real para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia fundamental, recordando que anteriormente se definió la frecuencia fundamental en 60Hz; con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular para posteriormente llegar a la expresión.

  T 

2 f  f m

H 2    2 *

H 2    2 *

*

3 5 3 5

180 

cos30 

 T  30

2 5

0.866025 

2 5 126


H 2    0.6  0.4  1 H 2    10

En la expresión anterior se puede observar que el filtro real permitirá el paso de la señal de entrada en un 100%, en otras palabras; el filtro no atenuara la señal de entrada ( I M o V M ) y con un ángulo de 0°. Componente de 2nd armónic a:


2 f * 2 f m

H 2    2 *

H 2    2 *

3 5 3 5

*

180

 T  60



cos60 

0.5 

2 5

2 5

H 2    0.3464  0.4  0.74641 H 2    0.746410

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro atenúa la segunda armónica en 0.74641V m y con un ángulo de 0°

Componente de 3ra armónica:

Se prueba el filtro real para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia de segunda armónica, es decir; el segundo múltiplo de la frecuencia fundamental o sea f=120Hz, con una amplitud V M o I M . 127


Se calcula primero la frecuencia angular con la nueva frecuencia para posteriormente realizar los cálculos pertinentes.  T 

2 f * 3

*

f m

H 2    2 *

H 2    2 *

3 5 3 5

180

 T  90



cos90 

0 

2 5

2 5

H 2    0.4 H 2    0.40

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro atenúa la tercera armónica en 0.4V m y tiene un ángulo de 0° El filtro de la parte real se muestra en la figura 3.89 En la figura 3.89 se observa claramente que las magnitudes para diferentes frecuencias de entrada son iguales a los anteriormente calculados, en f=60Hz se tiene una magnitud unitaria, también se puede observar que la amplitud máxima es de 1.09 unidades y corresponde a la señal de entrada con una frecuencia 0 o una señal de corriente continua, pero salo analizamos hasta el sexto armónico, es interesante saber que sucede en frecuencias mas altas, es por ello que en la grafica 1.7 se analiza hasta una frecuencia de 720 Hz que corresponde al 12vo armónico. En la figura 3.90 se puede observar que cerca del octavo armónico la respuesta del filtro imaginario se hace periódica y la magnitud de 1 unidad que se tenia en la frecuencia fundamental se repite para la frecuencia de 660 Hz que corresponde al onceavo armónico, y se tiene la amplitud máxima para una frecuencia cero y para una frecuencia de 720 Hz correspondiente a la doceava armónica.

128


Figura 3.89.- Filtro de la parte imaginaria

Figura 3.90.- Filtro de la parte imaginaria

En la figura 3.91 se muestra la respuesta en frecuencia del filtro real para la fase; para la frecuencia fundamental se desfasa 0°, y así para cada armónica y frecuencia de la señal de entrada.

129


Figura 3.91.- Respuesta en Fase del filtro imaginario.

En esta parte del trabajo se analizará la estimación del fasor con las ecuaciones de magnitud y ángulo que se presentan mediante las ecuaciones 3.89 y 3.90. Magnitud

Fase

V p 

V P cos 2  V P sen 2

tan  


(3.89)

(3.90)

Para poder analizar y visualizar los resultados de la estimación de fasores resultantes con el algoritmo de Mínimos errores cuadrados, se desarrollo un programa en matlab y se presentan los resultados obtenidos. Caso 1.- Señal de entrada senoidal a un a frecuencia fu ndamental Se analiza primeramente la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz, recordando que esta es la frecuencia fundamental anteriormente establecida. Es importante mencionar que la señal de entrada es puramente senoidal, es decir, es generada a través de una función senoidal y su ecuación es la 3.91 V t   V p sen t  130


(3.91)

La señal de entrada se muestra en la figura 3.92 y la señal discretizada se muestra en la figura 3.93, en donde podemos observar con claridad que por cada ciclo se 60 Hz se tiene 12 muestras.


Figura 3.93.- Señal de entrada (discreta). 131


El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Mínimos errores cuadrados se muestra en la figura 3.94.

Figura 3.94.- Fasor estimado en Magnitud La estimación del fasor se hace por cinco ciclos de la frecuencia fundamental por lo tanto tiene una duración de 83.33 ms (mili segundos). Sabiendo que el algoritmo toma solo dos muestras para estimar el fasor es posible notar en la figura 3.94 que el fasor tarda en estabilizarse solo 3 muestras, lo que es lo mismo a 4.16 mili segundos ya que cada muestra es tomada a una frecuencia de 720 Hz. Y se puede ver que este algoritmo es muy rápido para estimar los fasores, con sus desventajas de que tiene que ser una señal de entrada puramente senoidal. En la grafica de la magnitud se observa que su magnitud final es de 10 unidades, entonces Vp = 10

132



En la figura 3.95 se presenta la grafica del fasor en ángulo para el algoritmo de Mínimos errores cuadrados tomando 3 muestras, con las mismas condiciones que para la magnitud, se estudia la estimación de fase en cinco ciclos con un tiempo de 83.33 milisegundos. Para este caso no es muy visible cuanto se tarda en mostrar correctamente el fasor, pero en el caso de la magnitud es notorio y congruente con los cálculos obtenidos. El ángulo oscila entre -150° y 180° con una pendiente positiva. Caso 2.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas una DC decreciente Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz, recordando que esta es la frecuencia fundamental anteriormente establecida y se le suma una señal DC decreciente en el tiempo. Al igual que en el caso anterior la señal de entrada es puramente senoidal, es decir, es generada a través de una función senoidal mas una señal decreciente en el tiempo y su ecuación es la 3.92 V t   V p sen t   I D e



n

8

(3.92)

La señal de entrada se muestra en la figura 3.96 y la señal discreta en el tiempo se muestra en la figura 3.97.

133




El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Mínimos errores cuadrados para la señal de entrada senoidal decreciente se muestra en la figura 3.98

134



La estimación del fasor se hace por cinco ciclos de la frecuencia fundamental por lo tanto tiene una duración de 83.33 ms (mili segundos) y así para todos los casos siguientes. Como se puede ver en la figura 3.96, la entrada de una señal decreciente en el tiempo afecta notablemente y de manera negativa a la salida del fasor y tarda en estabilizarse aproximadamente cuatro ciclos. En la grafica 3.98 se muestran alrededor de tres y medios ciclos antes de que es fasor se estabilice. La amplitud máxima es de aproximadamente 13.5 unidades y va decreciendo mientras transcurre el tiempo, las amplitudes de la señal de entrada se muestran a continuación V t   10sen t   5e



n

8


135



En la grafica 3.99 se puede observar que la respuesta del ángulo en la estimación del fasor para este algoritmo se estabiliza en poco tiempo, no es como la magnitud que tarda casi 4 ciclos, solo es notable una pequeña distorsión en el primer periodo del ángulo, y el ángulo oscila entre +180° y -150°. Caso 3.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas segundo armónico. Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz y se le suma una señal de segundo armónico. La señal de entrada es puramente senoidal, es generada a través de una función y su ecuación es la 3.93

V t   V p sen t   V s sen2 *  t 

(3.93)


136



En la grafica 3.100 y 3.101 podemos observar que la amplitud máxima para la señal de entrada es de 15 unidades y se analizaran solo 5 periodos que equivalen a 8,333 milisegundos.


El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Mínimos errores cuadrados para la señal de entrada senoidal mas segundo armónico se muestra en la figura 3.102. 137



Como se puede ver en la figura 3.102, la entrada de una señal que contiene segundo armónico afecta notablemente y de manera negativa a la salida del fasor, a diferencia de la entrada con señal decreciente que si llegaba a estabilizarse, esta ya no se estabiliza y tenemos un fasor erróneo como salida. La amplitud máxima es de aproximadamente 24 unidades y la mínima es de 2 unidades, las amplitudes de la señal de entrada se muestran a continuación V t   10sen t   8sen2 *  t  Lo más notorio en este caso es que la señal de entrada tiene una amplitud máxima de aproximadamente 15 y el fasor resultante ya tiene una amplitud de 24 unidades. En la grafica 3.103 se puede observar que la respuesta del ángulo en la estimación del fasor para este algoritmo ya no se estabiliza en poco tiempo, lo que es mas; ya no llega a estabilizarse en ningún momento solo es periódico pero la fase es errónea y va desde -180° a +180°.

138



Antes de la falla el ángulo oscila desde 168° a -168° y después de la falla el ángulo se incrementa y oscila desde 180° a -180° como se muestra en la figura 3.90. Después de todas las pruebas realizadas al algoritmo de Mínimos errores cuadrados con tres muestras podemos desglosar sus ventajas y desventajas para la estimación del fasor e inyectándole diferentes señales.  


  

Desventajas El ruido afecta su desempeño La presencia de armónicos tiene efectos negativos Las componentes de DC afectan su desempeño

3.6.6.3. Desarro llo del algo ritm o d e mínimos errores cu adrados con 5 muestras a efecto de agregar más componentes al modelo. Para implementar el algoritmo de mínimos errores cuadrados con cinco muestreas de entrada y agregando mas componentes al modelo, primero se establece que la señal de entrada solo consta de la frecuencia fundamental de 60 Hz y una componente decreciente de DC. La señal de entrada puede ser expresada como, 139


i t   I p sin t     I 0e



t

(3.94)



Esta puede ser expandida utilizando identidades trigonometricas (ecuación 3.95) y los primeros dos términos de las series de Taylor para el termino exponencial se tiene la ecuación 3.96. sen( x  y )  sen x  cos y   cos xsen y

(3.95)

i t   I p sin  t  cos   I p cos t  sin   I 0  I 0

t

Se consideran cinco muestras en intervalos regulares de tiene las siguientes cinco ecuaciones: i 2 t   I p cos  sin  2 t   I p sin  cos  2 t   I 0  I 0

i1 t   I p cos  sin  t   I p sin  cos   t   I 0  I 0

i0 t   I p cos  sin 0  I p sin  cos0  I 0  I 0

(3.96)



i 2 , i1 , i0 , i1

y

i 2

se

 2t 

 t 

0 * t 

i1 t   I p cos  sin  t   I p sin  cos t   I 0  I 0

t 

i 2 t   I p cos  sin2 t   I p sin  cos 2 t   I 0  I 0

2t 

La frecuencia de la señal de entrad es conocida y definida por el usuario, en este caso se trabaja con una frecuencia fundamental de 60 Hz, la frecuencia de muestreo depende de la frecuencia fundamental y de el numero de muestras que se deseen, para este trabajo se determinan 12 muestras por ciclo; ahora podemos calcular la frecuencia de muestreo.  


De los datos anteriores es posible calcular la frecuencia de muestreo con la ecuación 3.97. f m  f no min al * Nm

140


(3.97)

f m  60 * 12  720

Calculada la frecuencia de muestreo ahora se puede calcular la frecuencia angular con la ecuación 3.98.  

(3.98)

2 *  * f

Y el intervalo t para, para reducir las ecuaciones de las muestras de entrada. t 

1 1  f m 720

 1   f  m   1   t  2 *  * 60 *    720   t 

 t 

2 *  * f * 



6

rad  30

2 *  t 



3

rad  60

Sustituimos el valor de  t y 2 t en las ecuaciones de la señal de entrada para calcular las constantes y se tiene: 2         I p sin  cos    I 0  I 0 720  3   3 

i 2 t   I p cos  sin  

1         I p sin  cos    I 0  I 0 720  6   6 

i1 t   I p cos  sin  

i0 t   I p cos  sin 0  I p sin  cos0  I 0  I 0

0 720

1         I p sin  cos   I 0  I 0 720  6   6 

i1 t   I p cos  sin 

2         I p sin  cos   I 0  I 0 720  3   3 

i 2 t   I p cos  sin 

Estas cinco ecuaciones lineales que contiene cuatro variables desconocidas pueden ser expresadas como: i 2 t   

3 1 2 I p cos   I p sin   I 0  I 0 2 2 720 141


1 3 1 i1 t    I p cos   I p sin   I 0  I 0 2 2 720 i0 t   0 * I p cos   I p sin   I 0

1 3 1 i1 t   I p cos   I p sin   I 0  I 0 2 2 720 i 2 t  

3 1 2 I p cos   I p sin   I 0  I 0 2 2 720

Las cinco ecuaciones pueden ser escritas en forma matricial como a continuación se describe:  3   2  1   2  0   1  2   3  2

1 2 3 2 1 3 2 1 2

 

   i 2              I sen   i1    P       i0    I      0  i      1          I 0  i 2    720   

1

- 2   I cos  P

1

-1

1

0

1

1

1

2

De aquí,  3   2  1   2 A   0   1  2   3  2

1 2



1

-2 

1

-1

1

0

3 2

1

1

1 2

1

2

3 2 1

          

A partir de la matriz A se obtiene la seudo inversa de la siguiente manera:

142


 3   2   A T  A   1  2  1  -2 



1 2 3

1 2

0

3

1

2 1

1

2 1

-1

0

1

0  2  0 3. 0 T  A  A    0 3.732  0 4.4641

 3  2 3     1 2   2 1    0 2   1   1   2 2    3  2

1 2



1

-2 

1

-1

1

0

3 2

1

1

1 2

1

2

3 2 1

          

4.4641

0

  0   10 

3.732

0

5.0 0

T Sacando la inversa de  A  A se tiene:

0  138.28  0 4.665 1  A T  A    0 - 3.482  0 - 62.17





- 62.17 

0 - 3.482 2.799 0

   0  27.856 0

Finalmente se obtiene la seudo inversa de la matriz A con la formula:

 A1 L   AT  A  AT  1



(3.99)



Entonces:

 A1 L

1L

 A

0  138.28  0 4.665 1 T T     A  A  A      0 - 3.482  0 - 62.17





 3.7320 - 1.1495   1.0580  - 1.8660

- 7.4641

0.0

0 - 3.482 2.799 0

 3  - 62.17   2   0  1   2 0   27.856  1  -2 

7.4641

- 3.7320 

1.1830

0.5580

- 0.2165

- 0.6830

- 0.2165

- 1.1495  1.0580 

- 3.2320

1.8660

0.0

1 2 3

-1

0

143


3

1 1

 

1 2

0

2 1



0.5580 - 3.2320



3   2  1

2

2 1

1

2

1

     

Las componentes de la parte real e imaginaria del fasor que representa la onda de corriente pueden ser obtenidos con las ecuaciones siguientes:  I P cos    I P sin     I 0   I  0  720

 3.732      - 1.149      1.058       - 1.866

- 7.464

0.0

7.464

0.558

1.183

0.558

- 0.216

- 0.683

- 0.216

- 3.232

0.0

- 3.232

- 3.732

 i   - 2  - 1.149  i -1       i 0  1.058  i 1      i  2  1.866 

Cada determinado tiempo la muestra actual va cambiando y por ende cambia también la ecuación como se muestra a continuación:  I P cos    I P sin     I 0   I  0  720

 3.732      - 1.149      1.058       - 1.866

- 7.464

0.0

7.464

0.558

1.183

0.558

- 0.216

- 0.683

- 0.216

- 3.232

0.0

- 3.232

- 3.732

 i    -1  - 1.149  i 0       i 1  1.058  i  2      i  3  1.866 

Esto se arregla haciendo un cambio y tomando la muestra de muestra a continuación:

i 2 ,

como se

i1  i2 i0  i1 i1  i0 i2  i1 i2  muestra actual

Las ecuaciones del filtro real e imaginario se muestran en las ecuaciones 3.100 y 3.101.

144


Parte Real

I P cos   3.732i 2  7.464i1  7.464i 1  3.732i 2

(3.100)

Parte Imaginaria

I P sen    1.149i 2  0.558i1  1.183i0  0.558i1  1.149i 2

(3.101)

Para estimar el fasor en magnitud se eleva al cuadrado la parte real y se suma la parte imaginaria elevada el cuadrado y la resultante de esta operación se le saca la raíz cuadrada obteniendo así la magnitud del fasor. Para el ángulo se divide la parte imaginaria entre la real y sacar la tangente inversa. V p 

Magnitud

V P cos 2  V P sen 2 tan  

Fase


(3.102) (3.103)

Las ecuaciones 3.100 y 3.101 no son más que filtros, uno de la parte real H 1 z  y otro de la imaginaria H 2 z  . La entrada afecta de distinta manera a ambos filtros y tienen diferente respuesta a la frecuencia, y a estos filtros se le suman dos mas que corresponden a la nueva componente de DC decreciente y se muestran en las ecuaciones 3.104 que corresponde a la magnitud de I 0 y 3.105 que corresponde al termino 

I 0

720

.

I 0  1.058i 2  0.216 i1  0.683i0  0.216i1  1.058i 2



I 0

720

 1.866i 2  3.232i1  3.232i1  1.866i 2

(3.104)

(3.105)

Filtros del algoritmo LES de 5 muestras agregando componente de DC Se analizaran los cuatro filtros de este algoritmo para después estimar el fasor de una determinada señal de entrada y saber su comportamiento para diferentes señales de entrada. Filtro Real del algoritm o LES de 5 muestras agregando co mponente de DC Primero se analizara la respuesta a la frecuencia del filtro real para el algoritmo de mínimos errores cuadrados en la figura 3.104 se muestra el diagrama a bloques del filtro real. 145


H 1  z 

X  z 

Y  z 



Empezamos a analizar el filtro de la parte real con la ecuación 3.106. I P cos   3.732i 2  7.464i1  7.464i 1  3.732i 2

Parte Real

(3.106)

La ecuación 3.106 representa el filtro de la parte real a una frecuencia fundamental de 60 Hz pasando la ecuación al dominio de la transformada z tenemos: I P cos   3.732 z

2

 7.464 z 1  7.464 z 1  3.732 z 2

Reemplazando z por H 1    3.732e 

2  j  

e j t se

obtiene la respuesta en el dominio de la frecuencia

 7.464e 1 j    7.464e 1 j   3.732e 2 j  e

1 j t 

 cos  T   jsen  T 

(3.85)

Utilizando la formula de Euler que se muestra en la ecuación 3.85 y sustituyendo se llega al a ecuación 3.107 que esta dada en función de la frecuencia de la señal de entrada: H 1    3.732cos2 t   jsen2 t   7.464cos t   jsen t  

7.464cos t   jsen t   3.732cos2 t   jsen2 t  H 1    3.732 cos2 t   3.732 jsen2 t   7.464 cos t   7.464 jsen t  

7.464 cos t   7.464 jsen t   3.732 cos2 t   3.732 jsen2 t  146


H 1    7.464 jsen2 t   14.928 jsen t 

(3.107)


Se prueba el filtro real para una señal entrada de DC con una amplitud con una frecuencia de cero, se hacen los cálculos necesarios se llega a

V M o I M y

H 1    7.464 jsen 0  14.928 jsen0 H 1    0

Se puede observar que el filtro real no permitirá el paso de la señal de entrada en un y el ángulo es cero. Frecuencia Fundamental :

Ahora se prueba el filtro real para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia fundamental, recordando que anteriormente se definió la frecuencia fundamental en 60Hz; con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular.   T 

2 f  f m

*

180 

 T  30

H 1    7.464 jsen 2 * 30  14.928 jsen30 H 1    7.464 j 0.866  14.928 j0.5 H 1    6.4640 j  7.464 j H 1     j1  1  90

En la expresión anterior se puede observar que el filtro real permitirá el paso de la señal de entrada en un 100%, en otras palabras; el filtro no atenuara la señal de entrada ( I o V M ) pero la desfasa en 90°. M

Componente de 2nd armónic a:

Se prueba el filtro real para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia de segunda armónica, es decir; el segundo múltiplo de la frecuencia fundamental o sea f=120Hz, con una amplitud V M o I M . 147


Se calcula primero la frecuencia angular con la nueva frecuencia.  T 

2 f * 2 f m

*

180 

 T  60

H 1    7.464 jsen 2 * 60  14.928 jsen60 H 1    7.464 j 0.866  14.928 j0.866 H 1    6.464 j  12.928 j H 1    6.464 j  6.464  90

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro amplificará la segunda armónica en 6.464V m y lo desplazará -90° Componente de 3ra armónica:

Se prueba el filtro real para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia de tercera armónica, es decir; el segundo múltiplo de la frecuencia fundamental o sea f=180Hz, con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular con la nueva frecuencia.  T 

2 f * 3 f m

*

180 

 T  90

H 1    7.464 jsen 2 * 90  14.928 jsen90 H 1    7.464 j 0  14.928 j1 H 1    14.928  90

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro amplificará la tercera armónica en 14.928V m y lo desplazará -90° En la figura 3.105 se muestra la grafica de la respuesta en magnitud del filtro con cinco muestras.

148



Se puede observar que a la frecuencia fundamental tenemos una magnitud de 1 y se repite para una frecuencia aproximada de 356Hz; la amplitud máxima es aproximadamente 20 unidades y corresponde a una frecuencia de 240Hz, y como podemos ver no elimina ninguna armónica y eso es una gran desventaja para el algoritmo. En la grafica 3.106 se muestra la respuesta en ángulo, este ángulo como en los cálculos es de -90° para todas las frecuencias.

Figura 3.106.- Respuesta en frecuencia del filtro real. 149


Para analizar el filtro anterior se toman las muestras desde i 2 , i1 , i0 , i1 y i 2 , pero sabemos que las muestras no tienen precisamente el orden anterior así que se hace una prueba poniendo las muestras de la siguiente manera:  I P cos    I P sin     I 0   I  0  720

 3.732      - 1.149      1.058       - 1.866

- 7.464

0.0

7.464

0.558

1.183

0.558

- 0.216

- 0.683

- 0.216

- 3.232

0.0

- 3.232

- 3.732

 i    5  - 1.149  i  4       i  3  1.058  i  2      i 1  1.866 

Empezamos a analizar el filtro de la parte real con la ecuación 3.108. I P cos   3.732i 5  7.464i 4  7.464i  2  3.732i1

Parte Real

(3.108)

La ecuación 3.108 representa el filtro de la parte real a una frecuencia fundamental de 60 Hz pasando la ecuación al dominio de la transformada z tenemos: I P cos   3.732 z

5

 7.464 z 4  7.464 z 2  3.732 z 1

Reemplazando z por

j t

e


5  4  2  1  H 1    3.732e  j   7.464e  j   7.464e  j   3.732e  j 

1  e  j t   cos  T   jsen  T 

(3.85)

Utilizando la formula de Euler que se muestra en la ecuación 3.85 y sustituyendo se llega al a ecuación 3.109 que esta dada en función de la frecuencia de la señal de entrada: H 1    3.732cos5 t   jsen5 t   7.464cos4 t   jsen4 t  

7.464cos2 t   jsen2 t   3.732cos t   jsen t  H 1    3.732 cos5 t   3.732 jsen5 t   7.464 cos4 t  

7.464 jsen4 t   7.464 cos2 t   7.464 jsen2 t  

(3.109)

3.732 cos t   3.732 jsen t 

Realizando los cálculos correspondientes para cada frecuencia se obtiene la grafica de la figura 3.1.07 y se puede observar que la respuesta es la misma si desplazamos las muestras como en este caso. 150



La figura 3.108 corresponde a la respuesta del ángulo del filtro real tomando las muestras desde i1 a i 5 , y podemos observar que el ángulo varía con respecto a la respuesta anterior.

Figura 3.108.- Respuesta en frecuencia del filtro real. 151


Filtro de la parte imaginaria del algoritmo LES de 5 muestras agregando componente de DC Ahora se analizara la respuesta a la frecuencia del filtro real para el algoritmo de mínimos errores cuadrados en la figura 3.109 se muestra el diagrama a bloques del filtro real. X  z 

H 2  z 

Y  z 


Donde: H 2  z .  función de transferencia X  z .  Señal de entrada Y  z .  Señal de salida

Empezamos a analizar el filtro de la parte imaginaria con la ecuación 3.110 Parte Imaginara

I P sen    1.149i 2  0.558i1  1.183i0  0.558i1  1.149i 2

(3.110)

La ecuación 3.110 representa el filtro de la parte imaginaria a una frecuencia fundamental de 60 Hz, pasando la ecuación 3.110 al dominio de la transformada z tenemos: 0 2 1 1 2 I P sen    1.149 z  0.558 z  1.183 z  0.558 z  1.149 z

Reemplazando z por

e j t se

obtiene la respuesta en el dominio de la frecuencia

2  j t   0.558e 1 j t   1.183e 0 j t   0.558e 1 j t   1.149e2 j t  I P sen    1.149e

1  e  j t   cos  T   jsen  T 

(3.85)

Utilizando la formula de Euler que se muestra en la ecuación 3.85 y sustituyendo se llega al a ecuación 3.111 que esta dada en función de la frecuencia de la señal de entrada: H 2     1.149cos2 t   jsen2 t   0.558cos t   jsen t  

1.183cos0  jsen0  0.558cos t   jsen t   1.149cos2 t   jsen2 t  152


H 2     1.149 cos2 t   1.149 jsen2 t   0.558 cos t   0.558 jsen t  

1.183  0.558 cos t   0.558 jsen t   1.149 cos2 t   1.149 jsen2 t  H 2     2.298 cos2 t   1.116 cos t   1.183 H 2     2.298 cos2 t   1.116 cos t   1.183

(3.111)



V M o I M y

H 2     2.298 cos0  1.116 cos0  1.183 H 2     2.298  1.116  1.183 H 2    0

Se puede observar que el filtro real no permitirá el paso de la señal de entrada, es decir; lo atenuara completamente ( 0V M o 0 I M ) y el ángulo es cero. Frecuencia Fundamental :

Ahora se prueba el filtro real para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia fundamental, recordando que anteriormente se definió la frecuencia fundamental en 60Hz; con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular.   T 

2 f  f m

*

180 

 T  30

H 2     2.298 cos30 * 2  1.116 cos30  1.183 H 2     2.2980.5  1.1160.866  1.183 H 2     1.149  0.96648  1.183 H 2    1  10

153


En la expresión anterior se puede observar que el filtro real permitirá el paso de la señal de entrada en un 100%, en otras palabras; el filtro no atenuara la señal de entrada ( I M o V M ) y el ángulo será de 0°. Componente de 2nd armónic a:

Se prueba el filtro real para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia de segunda armónica, es decir; el segundo múltiplo de la frecuencia fundamental o sea f=120Hz, con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular con la nueva frecuencia.  T 

2 f * 2 f m

*

180 

 T  60

H 2     2.298 cos60 * 2  1.116 cos60  1.183 H 2     2.298 0.5  1.1160.5  1.183 H 2    1.149  0.558  1.183 H 2    2.89  2.890

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro amplificará la segunda armónica en 2.89V m y no desplazará el ángulo. Componente de 3ra armónica:

Se prueba el filtro real para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia de tercera armónica, es decir; el segundo múltiplo de la frecuencia fundamental o sea f=180Hz, con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular con la nueva frecuencia para posteriormente llegar a la respuesta del filtro para esta entrada.  T 

2 f * 3 f m

*

180 

 T  90

H 2     2.298 cos90 * 2  1.116 cos90  1.183 H 2     2.298 1  1.1160  1.183 H 2    2.298  1.183 154


H 1    3.4810

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro amplificará la tercera armónica en 3.481V m y no desplazará su ángulo. En la figura 3.110 se muestra la respuesta en magnitud del filtro imaginario, comparando los resultados teóricos con los de la grafica nos podemos dar cuenta que los resultados son los mismos, comprobando así la efectividad del algoritmo. Como se puede observar en la grafica, para una frecuencia de 60Hz se tiene una magnitud de 1 unidad, se repite para una frecuencia de 260 Hz y 300Hz. La magnitud máxima la tenemos a una frecuencia de 165 Hz. En la figura 3.111 se muestra la respuesta del ángulo para el filtro imaginario tomando las muestras i 2 , i1 , i0 , i1 y i 2 , posteriormente se analizara el caso de las muestras desplazadas.

Figura 3.110.- Respuesta en magnitud del filtro imaginario.

155


Figura 3.111.- Respuesta en frecuencia del filtro imaginario.

Si se desplazan las muestras en tres unidades y se analiza nuevamente el filtro imaginario se tiene la misma respuesta en magnitud pero la respuesta del ángulo cambia, se realizan los mismos pasos que para el filtro real; la respuesta en fase del filtro imaginario se muestra en la figura 3.99.

Figura 3.112.- Respuesta en frecuencia del filtro imaginario.

156


Filtro DC del algoritm o LES de 5 muestras agregando co mponente de DC Ahora se analizara la respuesta a la frecuencia del filtro real para el algoritmo de mínimos errores cuadrados en la figura 3.113 se muestra el diagrama a bloques del filtro real.

X  z 

H 3  z 

Y  z 


Donde: H 2  z   función de transferencia X  z   Señal de entrada Y  z   Señal de salida

Empezamos a analizar el filtro de la parte imaginaria con la ecuación 3.112 I 0  1.058i 2  0.216 i1  0.683i0  0.216i1  1.058i 2

(3.112)

La ecuación 3.112 representa el filtro de la parte de DC a una frecuencia fundamental de 60 Hz , pasando la ecuación 3.112 al dominio de la transformada z tenemos: 0 2 1 1 2 H 3  z   1.058 z  0.216 z  0.683 z  0.216 z  1.058 z

Reemplazando z por 2  H 3  z   1.058e

j t 

t

e j


 0.216 e 1 j t   0.683e 0 j t   0.216e 1 j t   1.058e 2 j t 

1 e   j t   cos  T   jsen  T 

(3.85)

Utilizando la formula de Euler que se muestra en la ecuación 3.85 y sustituyendo se llega al a ecuación 3.113 que esta dada en función de la frecuencia de la señal de entrada: H 3  z   1.058cos2 t   jsen2 t   0.216cos t   jsen t  

0.683cos0  jsen0  0.216cos t   jsen t   1.058cos2 t   jsen2 t 

157


H 3  z   1.058 cos2 t   1.058 jsen2 t   0.216 cos t   0.216 jsen t   0.683

 0.216 cos t   0.216 jsen t   1.058 cos2 t   1.058 jsen 2 t  H 3  z   2.116 cos2 t   0.432 cos t   0.683 H 3  z   2.116 cos2 t   0.432 cos t   0.683

(3.113)



V M o I M y

H 3  z   2.116 cos0  0.432 cos0  0.683 H 3  z   2.116  0.432  0.683 H 2    1

Se puede observar que el filtro I 0 (representa la componente de CD) permitirá el paso por completo de la señal de entrada y el ángulo es cero. Frecuencia Fundamental :

Ahora se prueba el filtro I 0 para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia fundamental, recordando que anteriormente se definió la frecuencia fundamental en 60Hz; con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular.   T 

2 f  f m

*

180 

 T  30

H 3  z   2.116 cos2 * 30  0.432 cos30  0.683 H 3  z   2.1160.5  0.4320.866  0.683 H 3  z   1.058  0.3741  0.683

H 2    0  00

158


En la expresión anterior se puede observar que el filtro I 0 no permitirá el paso de la señal de entrada, en otras palabras; el filtro atenuara por completo la señal de entrada ( I M o V M ) y el ángulo será de 0°. Componente de 2nd armónic a:

Se prueba el filtro I 0 para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia de segunda armónica, es decir; el segundo múltiplo de la frecuencia fundamental o sea f=120Hz, con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular con la nueva frecuencia.  T 

2 f * 2 f m

*

180 

 T  60

H 3  z   2.116 cos2 * 60  0.432 cos60  0.683 H 3  z   2.116- 0.5  0.4320.5  0.683 H 3  z   - 1.058  0.216  0.683 H 2    1.957  1.9590

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro amplificará la segunda armónica en 1.959V m y no desplazará el ángulo. Componente de 3ra armónica:


2 f * 3 f m

*

180 

 T  90

H 3  z   2.116 cos2 * 90  0.432 cos90  0.683 H 3  z   2.116- 1  0.4320  0.683 H 3  z   - 2.116  0.683 159


H 1    2.7990

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro amplificará la tercera armónica en 2.799V m y no desplazará su ángulo. En la figura 3.114 se muestra la respuesta en magnitud del filtro de DC, comparando los resultados teóricos con los de la grafica nos podemos dar cuenta que los resultados son los mismos, comprobando así la efectividad del algoritmo. Como se puede observar en la grafica, para una frecuencia de 0Hz se tiene una magnitud de 1 unidad, se repite para frecuencias de 90, 250 y 310 Hz. La magnitud máxima es de aproximadamente 2.8 unidades y la tenemos a una frecuencia de 175 Hz, se puede. También se puede observar en la figura que para una frecuencia de 60 Hz (la fundamental) se tiene una magnitud de 0, es decir la atenúa completamente, y esta situación se repite para una frecuencia de 285 Hz.

Figura 3.114.- Respuesta en magnitud del filtro de DC.

En la figura 3.115 se muestra la respuesta del ángulo para el filtro de DC tomando las muestras desplazadas ya que para el caso donde no se desplazan se tiene un ángulo de 0° para todas las diferentes frecuencias de la señal de entrada.

160


Figura 3.115.- Respuesta en frecuencia del filtro DC.

Filtro



del algoritmo LES de 5 muestr as agregando co mponente de DC

Ahora se analizara la respuesta a la frecuencia del filtro real para el algoritmo de mínimos errores cuadrados en la figura 3.116 se muestra el diagrama a bloques del filtro real. X  z 

H 4  z 

Y  z 


Donde: H 4  z   función de transferencia X  z   Señal de entrada Y  z   Señal de salida

Empezamos a analizar el filtro de la parte imaginaria con la ecuación 3.114 

I 0

720

 1.866i 2  3.232i1  3.232i1  1.866i 2 161


(3.114)

La ecuación 3.114 representa el filtro de la parte de DC a una frecuencia fundamental de 60 Hz , pasando la ecuación 3.114 al dominio de la transformada z tenemos: H 4  z   1.866 z

2

 3.232 z 1  3.232 z 1  1.866 z 2

Reemplazando z por H 4  z   1.866e

2  j t 

e

t

e j


 3.232e 1 j t   3.232e 1 j t   1.866e 2 j t  1 j t 

 cos T   jsen T 

(3.85)

Utilizando la formula de Euler que se muestra en la ecuación 3.85 y sustituyendo se llega al a ecuación 3.115 que esta dada en función de la frecuencia de la señal de entrada: H 4  z   1.866cos2 t   jsen 2 t   3.232cos t   jsen t  

3.232cos t   jsen t   1.866cos2 t   jsen2 t  H 4  z   1.866 cos2 t   1.866 jsen2 t   3.232 cos t   3.232 jsen t   3.232 cos t   3.232 jsen t   1.866 cos2 t   1.866 jsen2 t  H 4  z   3.772 jsen2 t   6.464 jsen t  H 4  z   3.772 jsen2 t   6.464 jsen t 

(3.115)



V M o I M y

H 4  z   3.772 jsen 0  6.464 jsen0 H 4  z   3.772 j0  6.464 j0 H 4  z   0

Se puede observar que el filtro 

I 0

720

(representa la componente decreciente de

CD) no permitirá el paso por completo de la señal de entrada y el ángulo es cero.

162


Frecuencia Fundamental :

Ahora se prueba el filtro 

I 0

720

(representa la componente decreciente de CD)

para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia fundamental, recordando que anteriormente se definió la frecuencia fundamental en 60Hz; con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular.   T 

2 f  f m

*

180 

 T  30

H 4  z   3.772 jsen 2 * 30  6.464 jsen30 H 4  z   3.772 j0.866  6.464 j0.5 H 4  z   3.234 j  3.232 j H 2    0.0  0.00

En la expresión anterior se puede observar que el filtro - 

I 0

720

no permitirá el

paso de la señal de entrada, en otras palabras; el filtro atenuara por completo la señal de entrada cuando la frecuencia sea 60 Hz ( I M o V M ) y el ángulo será de 0°. Componente de 2nd armónic a:

Se prueba el filtro I 0 para una señal entrada tipo senoidal y con una frecuencia de segunda armónica, es decir; el segundo múltiplo de la frecuencia fundamental o sea f=120Hz, con una amplitud V M o I M . Se calcula primero la frecuencia angular con la nueva frecuencia.  T 

2 f * 2 f m

*

180 

 T  60

H 4  z   3.772 jsen 2 * 60  6.464 jsen60 H 4  z   3.772 j0.866  6.464 j0.866 H 4  z   3.266 j  5.59 j 163


H 2    2.331 j  2.33190

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro amplificará la segunda armónica en 2.331V m y desplazará el ángulo 90°. Componente de 3ra armónica:


2 f * 3 f m

*

180 

 T  90

H 4  z   3.772 jsen 2 * 90  6.464 jsen90 H 4  z   3.772 j0  6.464 j1

H 3  z   6.464j H 1    6.46490

Como se puede observar en la expresión anterior, el filtro amplificará la tercera armónica en 6.464V m y no desplazará su ángulo. En la figura 3.117 se muestra la respuesta en magnitud del filtro 

I 0

720

(representa la componente decreciente de CD), comparando los resultados teóricos con los de la grafica nos podemos dar cuenta que los resultados son los mismos, comprobando así la efectividad del algoritmo. Como se puede observar en la grafica, para una frecuencia de 0Hz se tiene una magnitud de 0 unidades, se repite para frecuencias de 60 y 360 Hz. La magnitud máxima es de aproximadamente 8.5 unidades y la tenemos a una frecuencia de 24 Hz. También se puede observar en la figura que para una frecuencia de 60 Hz (la fundamental) se tiene una magnitud de 0, es decir la atenúa completamente.

164


Figura 3.117.- Respuesta en magnitud del filtro 

I 0

720

.

En la figura 3.118 se muestra la respuesta del ángulo para el filtro de 

I 0

720

.

Figura 3.118.- Respuesta en frecuencia del filtro DC.

En esta parte del trabajo se analizará la estimación del fasor con las ecuaciones de magnitud y ángulo que se presentan mediante las ecuaciones 3.118 y 3.119 teniendo presente que las ecuaciones del filtro real e imaginario se muestran en las ecuaciones 3.116 y 3.117 165


Parte Real

I P cos   3.732i 2  7.464i1  7.464i 1  3.732i 2

Parte Imaginara

I P sen    1.149i 2  0.558i1  1.183i0  0.558i1  1.149i 2

(3.116) (3.117)

Para estimar el fasor en magnitud magnitud se eleva al cuadrado la parte real y se suma la parte imaginaria elevada el cuadrado y la resultante de esta operación se le saca la raíz cuadrada obteniendo así la magnitud del fasor. Para el ángulo solo es necesario dividir la parte imaginaria entre la real y sacar la tangente. Magnitud

Fase

V p 

V P cos 2  V P sen 2

tan   


(3.118)

(3.119)

Caso Caso 1.- Señal Señal de entrada senoidal a un a frecuencia fu ndamental Se analiza primeramente la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz, recordando que esta es la frecuencia fundamental anteriormente establecida. Es importante mencionar que la señal de entrada es puramente senoidal, es decir, es generada a través de una función senoidal y su ecuación es la 3.120 V t   V p sen t 

(3.120)

La señal de entrada se muestra en la figura figura 3.119 y la señal discretizada se muestra en la figura 3.120, en donde podemos observar con claridad que por cada ciclo se 60 Hz se tiene 12 muestras.

166



Figura 3.120.- Señal de entrada (discreta).

El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Mínimos errores cuadrados con cinco muestras y agregando la componente se DC decreciente se muestra en la figura 3.121

167



El algoritmo tarda cinco muestras para estimar estimar el fasor es posible notar en la la figura 3.121 que el fasor fasor tarda en estabilizarse solo 5 muestras, lo que es lo mismo a 6.9444 mili segundos ya que cada muestra es tomada a una frecuencia de 720 Hz. Se puede ver que este algoritmo es muy rápido para estimar los fasores, con sus desventajas de que tiene que ser una señal de entrada puramente senoidal. En la grafica de la magnitud se observa que su magnitud final final es de 10 unidades, entonces Vp = 10 y es posible notar que antes de que se estabilice se tiene un pico de casi treinta unidades, esta perturbación no se presentaba para los casos posteriores, así que podemos afirmar que se debe a la componente de DC decreciente la cual se aumento al algoritmo. En la figura 3.122 se presenta la grafica del fasor en ángulo para este algoritmo, con las mismas condiciones que para la magnitud, se estudia la estimación de fase en cinco ciclos con un tiempo de 83.33 milisegundos. El ángulo oscila entre -150° y 180° con una pendiente positiva.

168



Caso 2.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas una DC decreciente Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz, recordando que esta es la frecuencia fundamental anteriormente establecida y se le suma una señal DC decreciente en el tiempo. Al igual que en el caso anterior la señal de entrada es puramente senoidal, es decir, es generada a través de una función senoidal mas una señal decreciente en el tiempo y su ecuación es la 3.121

V t   V p sen t   I D e



n

(3.121)

8

La señal de entrada se muestra en la figura 3.123 y la señal discreta en el tiempo tiempo se muestra en la figura 3.124

169




170


El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Mínimos errores cuadrados para la señal de entrada senoidal decreciente se muestra en la figura 3.125


La estimación del fasor se hace por cinco ciclos de la frecuencia fundamental por lo tanto tiene una duración de 83.33 ms (mili segundos) y así para todos los casos siguientes. Como se puede ver en la figura 3.125, la entrada de una señal decreciente en el tiempo no afecta a la salida del fasor, esto se debe a la componente de DC decreciente que se le aumento al algoritmo. En la grafica 3.126 se puede observar la el pico que se tiene al principio de la estimación que es de aproximadamente 45 unidades y se estabiliza llegando a las 10 unidades en aproximadamente 6 milisegundos, para después mantenerse en 10 unidades. Como podemos observar la presencia de una señal de DC decreciente en el tiempo no afecta la estimación del fasor.

171


Figura 3.126.- Fasor estimado en Magnitud Amplificada

Las amplitudes de la señal de entrada se muestran a continuación V t   10sen t   5e



n

8


172



En la grafica 3.127 se puede observar que la respuesta del ángulo en la estimación del fasor para este algoritmo se estabiliza en poco tiempo, solo es notable una pequeña distorsión en el primer periodo del ángulo, y el ángulo oscila entre +180° y -150° Caso 3.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas segundo armónico. Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz y se le suma una señal de segundo armónico. La señal de entrada es puramente senoidal, es generada a través de una función y su ecuación es la 3.122.

V t   V p sen t   V s sen2 *  t 

(3.122)


173



En la grafica 3.128 y 3.129 podemos observar que la amplitud máxima para la señal de entrada es de 15 unidades y se analizaran solo 5 periodos que equivalen a 8,333 milisegundos.


El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de Mínimos errores cuadrados con una DC decreciente con la señal de entrada senoidal mas segundo armónico se muestra en la figura 3.130. 174



Como se puede ver en la figura 3.130, la entrada de una señal que contiene segundo armónico afecta notablemente y de manera negativa a la salida del fasor, a diferencia de la entrada con señal decreciente que si llegaba a estabilizarse, esta ya no se estabiliza. Al igual que en casos anteriores se tiene un pico en los primeros 5 milisegundos que tiene 75 unidades de amplitud máxima, después de ese pico la señal es periódica pero no estable y la amplitud máxima es de aproximadamente 55 unidades y la mínima es de 20 unidades, las amplitudes de la señal de entrada se muestran a continuación V t   10 sen





t  7 sen 2 *



t

Lo más notorio en este caso es que la señal de entrada tiene una amplitud máxima de aproximadamente 15 y el fasor resultante ya tiene una amplitud de 55 unidades. En la grafica 3.131 se puede observar que la respuesta del ángulo en la estimación del fasor para este algoritmo ya no se estabiliza en poco tiempo, lo que es mas; ya no llega a estabilizarse en ningún momento solo es periódico pero la fase es errónea y va desde -180° a +180°.

175



En la grafica del fasor estimado se puede observar que la señal es periódica de 8.3333 mili segundos que corresponden a la mitad del periodo de la señal de entrada. Después de todas las pruebas realizadas al algoritmo de Mínimos errores cuadrados con cinco muestras y agregando la componente de DC decreciente al algoritmo. Ahora podemos desglosar sus ventajas y desventajas para la estimación del fasor teniendo diferentes señales de entrada. Ventajas  Respuesta rápida a transitorios.  Requiere de muy pocos cálculos (ya que los cálculos son multiplicaciones de matrices).  Las componentes de DC no afectan su desempeño

Desventajas  El ruido afecta su desempeño  La presencia de armónicos tiene efectos negativos ya que no elimina ningún armónico.

3.6.6.4. Conclusiones del método de errores mínimos cuadrados La estimación de fasores por el algoritmo de mínimos errores cuadrados de tres muestras tiene los mismos efectos que el algoritmo de cinco muestras, solo 176


responden satisfactoriamente cunado se tiene una señal de entrada puramente senoidal y a una frecuencia fundamental. Aunque la respuesta del fasor es la misma para estos dos algoritmos se tiene diferencias entre ellos, una de ellas se ve reflejada en los filtros real e imaginario y la otra es el tiempo en que tarda en estabilizarse el fasor, para el caso de l algoritmo de 3 muestras, como su nombre lo indica tarda solo el tiempo en tomar 3 muestras y el de cinco muestras tarda 6.94 lo que es el tiempo en tomar 5 muestras a una frecuencia de muestreo de 720 Hz. El tiempo que tarda en estabilizarse el fasor depende completamente de la frecuencia de muestreo. En el algoritmo de cinco muestras se le agrega la componente de DC decreciente y tiene como efecto que al estimar el fasor si la señal de entrad es contaminada con una señal DC tipo decreciente, el fasor estimado es correcto, es decir; ya no tiene un efecto negativo en la estimación del fasor. 3.7. 3.7. La Transfo Transfo rmada Discr eta de Four Four ier La Transformada Discreta de Fourier era conocida en teoría desde hace muchos años, pero solamente con la llegada de la computadora digital fue llevada a la práctica. Ni la Serie de Fourier, ni la Transformada de Fourier se prestan fácilmente para cálculos en computadoras digitales. Para vencer este impedimento se desarrolló la Transformada Discreta de Fourier (DFT, por sus siglas en inglés, Discrete Fourier Transform). La DFT opera con una señal muestreada o discreta. A partir de ésta se genera un espectro en el dominio de la frecuencia. El espectro que resulta es una aproximación de la Serie de Fourier, una aproximación en el sentido que se pierde información entre las muestras de la forma de onda. Se dice que la señal de entrada se encuentra en el dominio del tiempo, es decir, muestras tomadas en un periodo de tiempo establecido, o señal discreta de la onda que será transformada. El término dominio de la frecuencia es usado para describir las amplitudes y fases de las frecuencias que componen la señal de entrada. El dominio de la frecuencia contiene exactamente la misma información que el dominio del tiempo, solo que en diferente forma. Si se conoce uno de los dominios se puede conocer el otro. 177


Si se cuenta con la señal en el dominio del tiempo, el proceso para conocer el dominio de la frecuencia es llamado descomposición o análisis o Transformada Discreta de Fourier. Si se conoce el dominio dominio de la la frecuencia, el cálculo para obtener el dominio del tiempo se conoce como síntesis o Inversa de la Transformada Discreta de Fourier. El número de muestras en el dominio del tiempo se representa por la variable N, el cual puede tomar cualquier valor entero positivo, pero se eligen 128, 256, 512, etc., esto es debido a que los datos guardados digitalmente en una computadora usan direccionamiento binario y además, el algoritmo mas eficiente para calcular la DFT conocido como transformada rápida de Fourier, opera con N muestras que son potencia de dos. El dominio de la frecuencia  X [] consta de dos partes, cada una es un arreglo de N/2+1 localidades, dichas partes son: la parte real de X [] Re X [] , que es el arreglo en donde se encuentran las amplitudes de las formas coseno; y la parte imaginaria de X [] Im X [] que son los valores de las formas seno.

3.7. 3.7.1. 1. Func Func iones base de la Transfo rmada Discr eta de Fourier. Las formas seno y coseno usadas en la DFT son comúnmente llamadas funciones base de la DFT. Las funciones base son un conjunto de formas de onda seno y coseno de amplitud unitaria. Las funciones base son generadas de las siguientes ecuaciones: c k [i ]  cos( 2 ki / N )

(3.123)

s k [i]  sen(2 ki / N )

(3.124)

En donde: N = número de muestras k =

coeficiente para cada una de las frecuencias, desde cero hasta N 2

i=

coeficiente para puntos de la señal seno y coseno de referencia, varia de cero hasta N -1. c k

[ ] = forma de onda cosenoidal para obtener la amplitud de Re X [] .

s k

[ ] = forma senoidal para la amplitud de Im X [] . 178


En palabras, cada punto N de la señal, se puede crear adicionando N /2+1 señales coseno y seno. Las amplitudes de las formas coseno y seno están contenidas en los arreglos Re X [ k ] y Im X [ k ] , respectivamente. El escalamiento se realiza mediante las siguientes ecuaciones: Re X [k ] 

Re X [k ]

Im X [k ] 

Im X [k ]

(3.125)

N / 2

(3.126)

N / 2

Excepto por: Re X [0] 

Re X [0]

Re X [ N / 2] 

(3.127)

N

Re X [ N / 2]

(3.128)

N

En donde: Re X [k ] y Im X [k ] contienen las amplitudes de las formas seno y coseno

necesarias para la transformada inversa de Fourier. Re X [k ] y Im X [k ] contienen la parte real e imaginaria del dominio de la

frecuencia. 3.7. 3.7.2. 2. Implementación del algori tmo de ciclo cic lo compl eto Como ya se menciono se necesitan de funciones ortogonales y las funciones seno se utilizan para este algoritmo y a continuación se prueba su ortogonalidad: 2

T



 f tg t dt   sent  cos  t dt

t0

t 0

2



1 2





sen2 t dt 

t  0

1



1

2 2

2

cos2 t  0



179




 1   2   cos 2   cos0 2 2     

1





1



1



2 2

1



cos4   cos0

1

2 2

1  1  0

Ya que se comprobó que estas funciones son ortogonales, entonces se seleccionan la función seno y coseno a la mínima frecuencia de interés (frecuencia nominal, en este caso es de 60Hz) y después se muestrean las señales de referencia a la frecuencia de muestreo seleccionada y ahora se realizan los siguientes pasos:     

Multiplicar la primera muestra de la ventana con el primer discretizado de cada señal de referencia Se guardan los los datos en tablas Se repiten las multiplicaciones y se guardan los resultados para todas las muestras subsecuentes hasta considerar todos los datos de la ventada Se suman los productos de las multiplicaciones multiplicaciones con los productos previos. Dividir los resultados de las sumas del paso anterior entre un medio del número de muestras de la ventana.

Para la estimación del fasor se calcula la magnitud y el ángulo con las siguientes formulas mostradas en la 3.129 y 3.130 respectivamente. magnitud 

real 2  imaginario 2

(3.129)

 imaginario    real 

(3.130)

1 ángulo  tan 

Lo primero que se debe definir es cual va a ser la frecuencia nominal y cuantas muestras requerimos por ciclo.  

Frecuencia nominal 60Hz. Numero de muestras por ciclo ciclo 12.

De los datos anteriores es posible calcular la frecuencia de muestreo con la ecuación. 180


f m  f no min al * Nm

(3.131)

f m  60 * 12  720 Hz

t 

1 f m



1 720

Existen dos maneras para tomar las muestras  

Iniciar en el instante t=0 (muestras: 0°, 30°, 60°,…)  13 muestras (Integración de la regla trapezoidal) Iniciar después de un retardo (muestras: 15°, 45°, 75°,…)  12 muestras (Regla rectangular)

En la grafica 3.132 se muestra la función seno muestreada a una frecuencia de 720 Hz y en la figura 3.133 se muestra la función coseno a la misma frecuencia de muestreo

Figura 3.132.-Función Seno muestreada

181


.

Figura 3.133.-Función Coseno muestreada En la Tabla 3.5 se observan las señales de referencia muestreadas a una frecuencia de 720Hz y con la frecuencia nominal de 60Hz, tenemos 12 muestras, Tabla 3.5.-Función seno y coseno Seno 0 0.5 0.866 1 0.866 0.5 0 -0.5 -0.866 -1 -0.866 -0.5

Coseno 1 0.866 0.5 0 -0.5 -0.866 -1 -0.866 -0.5 0 0.5 0.866

La parte real e imaginaria no son más que filtros y a continuación se analizan y se presentan las correspondientes graficas para cada filtro.

182


Primero se analizara la respuesta a la frecuencia del filtro real para el algoritmo de la transformada discreta de Fourier (DFT); en la figura 3.134 se muestra el diagrama a bloques del filtro seno (real). X  z 

H 1  z 

Y  z 

Figura 3.134.-Diagrama a bloques de filtro real. Donde: H1  z   función de transferencia X  z   Señal de entrada Y  z   Señal de salida

Empezamos a analizar el filtro de la parte real con la ecuación 3.132 H R  z   0 z

11

 0.5 z 10  0.866 z 9  1 z 8  0.866 z 7  0.5 z 6  0 z 5  0.5 z 4 

0.866 z 3  1 z 2  0.866 z 1  0.5 z 0

Reemplazando z por H R  j   0e

 11 j t 

t

e j

(3.132)


 0.5e 10  j t   0.866 e 9 j t   1e 8 j t   0 .866 e 7  j t   0.5e 6 j t  

0e 5 j t   0.5e  j t 4  0.866e 3 j t   1e 2 j t   0.866e 1 j t   0.5e 0 j t 

Utilizando la formula de Euler que se muestra en la ecuación 3.133 y sustituyendo se llega a la ecuación del filtro real: 1  e  j t   cos T   jsen  T 

(3.133)

H R  j   0cos 11  t   jsen 11 t    0.5cos 10  t   jsen 10  t   0 .866 cos 9 t   jsen 9  t  

1cos 8  t   jsen 8 t   0.866 cos 7  t   jsen 7  t   0 .5cos 6  t   jsen 6  t   0 cos 5 t   jsen 5 t   0 .5cos 4  t   jsen 4  t   0 .866 cos 3  t   jsen 3  t   1cos 2  t   jsen 2 t   0.866 cos   t   jsen   t   0 .5cos 0  t   jsen 0  t 

183


H R  j   0.5cos10 t   jsen10 t   0.866cos9 t   jsen9 t   1cos8 t   jsen8 t  

0.866cos7 t   jsen7 t   0.5cos6 t   jsen6 t   0.5cos4 t   jsen4 t   0.866cos3 t   jsen3 t   1cos2 t   jsen2 t   0.866cos t   jsen t   0.5 H R  j   0.5 cos10 t   0.5 jsen10 t   0.866cos9 t   0.866 jsen9 t   cos8 t   jsen8 t  

0.866cos7 t   0.866 jsen7 t   0.5 cos6 t   0.5 jsen6 t   0.5 cos 4 t   0.5 jsen 4 t   0.866cos3 t   0.866 jsen3 t   cos2 t   jsen2 t   0.866cos t   0.866 jsen t   0.5 H R  j   0.5 cos 10 t   0.866 cos  9 t   cos  8 t   0.866 cos  7 t   0.5 cos  6 t  

0.5 cos  4 t   0.866 cos 3  t   cos  2 t   0.866 cos   t   0.5 

 0.5 sen 10  t   0.866 sen  9 t   sen  8 t   0.866 sen  7 t  0.5 sen 6 t     0.5 sen  4 t   0.866 sen  3 t   sen  2 t   0.866 sen   t  

j 

Ahora que se tiene la respuesta en frecuencia del filtro real, podemos ver en la ecuación anterior que depende de una parte real y de una parte imaginaria, asi que separamos la parte imaginaria de la parte real y tenemos las ecuaciones 3.134 y 3.135 H 1 real   0.5 cos10 t   0.866 cos9 t   cos8 t  

0.866 cos7 t   0.5 cos6 t   0.5 cos4 t  

(3.134)

0.866 cos3 t   cos2 t   0.866 cos t   0.5

H 1 imagl   0.5sen10 t   0.866 sen9 t   sen8 t  

0.866sen7 t   0.5sen6 t   0.5sen4 t  

(3.135)

0.866sen3 t   sen2 t   0.866 sen t 

Para poder determinar la respuesta en frecuencia es necesario sacar la magnitud y el ángulo con la parte real e imaginaria de las ecuaciones 3.134 y 3.135, las ecuaciones para el magnitud y ángulo del filtro real se presentan a continuación (3.136 y 3.137)

2

magnitud  H 1 real   H 1 imagl 

2

1  H imagl   ángulo  tan  1   H 1 real l 

184


(3.136)

(3.137)

Con la ecuación 3.136 se determina la respuesta en magnitud para el filtro real y se muestra en la figura 3.135.

Figura 3.135.-Respuesta en magnitud del filtro real. Como se puede ver en la figura 3.135 la magnitud es uno cuando la frecuencia de entrada es de 60Hz y se repite para una frecuencia de aproximadamente 70Hz, si recordamos es algoritmos trigonométricos se repetía para un armónico, la amplitud mas grande no rebasa 1.1 unidades y lo mas importante de este filtro es que elimina completamente todas las armónicas de la frecuencia fundamental que en este caso es de 60 Hz. En la figura 3.136 se muestra la respuesta del ángulo para el filtro real.

185


Figura 3.136.-Respuesta del ángulo del filtro real. Como podemos ver en la figura 3.136 a la frecuencia de 60 Hz tenemos un desfasamiento de 120° y en la segunda armónica parece que hay una recta que va desde los -30° a los 150° pero al amplificar la grafica podemos ve que en la segunda armónica tenemos un desfasamiento de -117° como s e muestra en la figura 3.137.

Figura 3.137.-Respuesta del ángulo del filtro real amplificada en la 2da armónica. 186


La conclusión es inmediata después de ver la grafica amplificada, podemos ver en la figura 3.137 que el ángulo no es consistente en determinadas frecuencias, pero en la figura 3.136 se muestra que la pendiente de la recta en la grafica 3.136 es demasiado inclinada y por ende no podemos observar bien el desfasamiento. A continuación se analiza el Filtro de la parte imaginaria el filtro coseno en la figura 3.138 se muestra el diagrama a bloques del filtro coseno (imaginario).

X  z 

H 2  z 

Y  z 

Figura 3.138.-Diagrama a bloques de filtro imaginario Donde H1  z   función de transferencia X  z   Señal de entrada Y  z   Señal de salida

Empezamos a analizar el filtro de la parte imaginaria con la ecuación 3.138 H R  z   1 z

11

 0.866 z 10  0.5 z 9  0 z 8  0.5 z 7  0.866 z 6  1 z 5  0.866 z 4 

0.5 z 3  0 z 2  0.5 z 1  0.866 z 0

Reemplazando z por H R  j   1e

 11 j t 

t

e j

(3.138)


 0.866 e 10  j t   0.5e  9 j t   0.e 8 j t   0 .5e 7 j t   0 .866 e 6 j t  

1e 5 j t   0.866e  j t 4  0.5e 3 j t   0e 2 j t   0.5e 1 j t   0.866e 0 j t 

Utilizando la formula de Euler que se muestra en la ecuación 3.139 y sustituyendo se llega a la ecuación del filtro real: e

1 j t 

 cos  T   jsen  T 

187


(3.139)

H R  j    1cos 11  t   jsen 11  t   0 .866 cos 10  t   jsen 10  t   0 .5cos 9  t   jsen 9  t  

0cos 8  t   jsen 8  t   0.5cos 7  t   jsen 7  t   0.866 cos 6  t   jsen 6  t   1cos 5  t   jsen 5  t   0.866 cos 4  t   jsen 4  t   0.5cos 3  t   jsen 3  t   0cos 2  t   jsen 2  t   0.5cos   t   jsen   t   0.866 cos 0  t   jsen 0  t 

H R  j   1cos 11  t   jsen 11 t   0 .866 cos 10  t   jsen 10  t   0 .5cos 9 t   jsen 9 t  

0. 5cos 7  t   jsen 7  t   0.866 cos 6 t   jsen 6  t   1cos 5  t   jsen 5  t 

 0.866 cos 4 t   jsen 4 t   0.5cos 3 t   jsen 3 t   0.5cos  t   jsen  t   0.866 H R  j   cos 10 t   jsen 10 t   0 .866 cos 10 t   0 .866 jsen 10 t   0 .5 cos 9 t   0 .5 jsen 9 t  

0 .5 cos 7 t   0 .5 jsen 7 t   0 .866 cos 6 t   0 .866 jsen 6 t   1 cos 5 t   1 jsen 5 t   0 .866 cos 4 t   0 .866 jsen 4 t   0 .5 cos 3 t   0 .5 jsen 3 t   0 .5 cos  t   0 .5 jsen  t   0 .866

H R  j   cos 11  t   0 .866 cos 10  t   0.5 cos 9  t   0.5 cos 7  t   0 .866 cos 6  t  

1 cos 5 t   0.866 cos 4  t   0.5 cos 3 t   0.5 cos  t   0.866 

 sen 11 t   0.866 sen 10 t   0.5 sen 9 t   0 .5 sen 7 t   0.866 sen 6 t    j   1sen 5 t   0.866 sen 4 t   0.5 sen 3 t   0.5 sen  t  

A

hora que se tiene la respuesta en frecuencia del filtro imaginario, podemos ver en la ecuación anterior que depende de una parte real y de una parte imaginaria, así que separamos la parte imaginaria de la parte real y tenemos las ecuaciones 3.140 y 3.141 H 2 real   cos11 t   0.866 cos10 t   0.5 cos9 t  

0.5 cos7 t   0.866 cos6 t   1 cos5 t  

(3.140)

0.866 cos4 t   0.5 cos3 t   0.5 cos t   0.866

H 2 imagl    sen11 t   0.866sen10 t   0.5sen9 t  

0.5sen7 t   0.866sen6 t   1sen5 t  

(3.141)

0.866 sen4 t   0.5sen3 t   0.5sen t 

Para poder determinar la respuesta en frecuencia es necesario sacar la magnitud y el ángulo con la parte real e imaginaria de las ecuaciones 3.140 y 3.141, las ecuaciones para la magnitud y ángulo del filtro imaginario se presentan a continuación (3.142 y 3.143) 2


2

(3.142) (3.143)

188


 H imagl   ángulo  tan 1  1   H 1 real l 

Con la ecuación 3.142 se determina la respuesta en magnitud para el filtro imaginario y se muestra en la figura 3.139.

Figura 3.139.-Respuesta en magnitud del filtro imaginario. Como se puede ver en la figura 3.139 la magnitud es uno cuando la frecuencia de entrada es de 60Hz y se repite para una frecuencia de aproximadamente 70Hz, si recordamos es algoritmos trigonométricos se repetía para un armónico, la amplitud mas grande no rebasa 1.1 unidades y lo mas importante de este filtro es que elimina completamente todas las armónicas de la frecuencia fundamental que en este caso es de 60 Hz, podemos ver también que la amplitud que le sigue a la máxima es de aproximadamente 0.3 unidades, es decir cuando la señal de entrada esta contaminada de armónicos, estos filtros las eliminan completamente y si no fuese un armónico, los filtros la atenúan en forma visible. En la figura 3.140 se muestra la respuesta del ángulo para el filtro real. En la figura 3.140 podemos ver que para la frecuencia de segundo armónico tenemos un ángulo de aproximadamente 30° y vemos que parar los armónicos pareciera no estar definido su ángulo pero como se mostró en el filtro real, la curva es demasiada inclinada y amplificando la grafica podemos ver que la frecuencia del segundo armónico tenemos un ángulo de -120° y así para cada 189


armónica, se debe de amplificar la grafica para poder ver con exactitud su valor de ángulo como se muestra en la figura 3.141.

Figura 3.140.-Respuesta del ángulo del filtro imaginario.

Figura 3.141.-Respuesta del ángulo del filtro imaginario amplificado para la segunda armónica 190


En esta parte del trabajo se analizará la estimación del fasor con las ecuaciones de magnitud y ángulo que se e obtuvieron en las ecuaciones 3.144 y 3.145.

2


2

1  H imagl   ángulo  tan  1    H real l  1 

(3.144)

(3.145)


Caso 1.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental Caso 2.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas una DC decreciente Caso 3.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas segundo armónico. Caso 4.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas tercer armónico. Caso 5.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas un transitorio. Caso 6.- Señal de entrada generada en el PSCAD.

Para poder analizar y visualizar los resultados de la estimación de fasores resultantes con el algoritmo de la Transformada Discreta de Fourier, se desarrollo un programa en matlab y se presentan los resultados obtenidos. Caso 1.- Señal de entrada senoidal a un a frecuencia fu ndamental Se analiza primeramente la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz, recordando que esta es la frecuencia fundamental anteriormente establecida. Es importante mencionar que la señal de entrada es puramente senoidal, es decir, es generada a través de una función senoidal y su ecuación es la 3.146 V t   V p sen t 

(3.146) 191


La señal de entrada se muestra en la figura 1.10 y la señal discretizada se muestra en la figura 3.142


Figura 3.142.- Señal de entrada (discreta). 192


El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de la DFT se muestra en la figura 3.143. La estimación del fasor se hace por cinco ciclos de la frecuencia fundamental por lo tanto tiene una duración de 83.33 ms (mili segundos). Sabiendo que el algoritmo toma todo un ciclo, lo que es igual a 12 muestras para estimar el fasor es posible notar en la figura 3.143 que el fasor tarda en estabilizarse 12 muestras, lo que es lo mismo a 16.666666 mili segundos.

Figura 3.143.- Fasor estimado en Magnitud En la grafica de la magnitud se observa que su magnitud final es de 10 unidades, entonces Vp = 10 En la figura 3.144 se presenta la grafica del fasor en ángulo para el algoritmo de la DFT, con las mismas condiciones que para la magnitud, se estudia la estimación de fase en cinco ciclos con un tiempo de 83.33 milisegundos. Para este caso ya es muy visible cuanto se tarda en mostrar correctamente el fasor, si recordamos en los algoritmos trigonométricos no era muy visible ya que el tiempo de estimación del fasor era realmente corto, hablamos de 3 muestras como máximo; en el algoritmo de la Transformada Discreta de Fourier y para este caso en particular es de un ciclo completo. 193


Figura 3.144.- Fasor estimado en fase Caso 2.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas una DC decreciente Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz, recordando que esta es la frecuencia fundamental anteriormente establecida y se le suma una señal DC decreciente en el tiempo. Al igual que en el caso anterior la señal de entrada es puramente senoidal, es decir, es generada a través de una función senoidal mas una señal decreciente en el tiempo y su ecuación es la 3.147

V t   V p sen t   I D e



n

(3.147)

8

La señal de entrada se muestra en la figura 3.145 y la señal discreta en el tiempo se muestra en la figura 3.146

194



Figura 3.146.- Señal de entrada (Discreta). 195


El Fasor estimado en magnitud para la señal de entrada senoidal decreciente se muestra en la figura 3.147.

Figura 3.147.- Fasor estimado en Magnitud Como se puede ver en la figura 3.147, la entrada de una señal decreciente en el tiempo no afecta notablemente ni de manera negativa a la salida del fasor solo se nota en la grafica del faros de magnitud que antes de estabilizarse llega a una magnitud de aproximadamente 11.5 unidades como se muestra en el rectángulo de la figura 3.147. Al igual que en el caso 1 tenemos que el fasor se estabiliza en un ciclo completo a pesar que la señal de entrada ya esta contaminada por una señal DC decreciente. Las amplitudes de la señal de entrada se muestran a continuación

V t   10sen t   5e



n

8

En los algoritmos trigonométricos solo el algoritmo de Rockefeller & Udren controla mejor la componente decreciente de DC, pero como ya se menciono se tiene una pequeña oscilación en la magnitud y esta depende de la frecuencia de muestreo con la cual se esta trabajando, si se incrementa la frecuencia de muestreo disminuye la amplitud de la oscilación. En la grafica 3.148 se muestra la estimación de fasor del ángulo y podemos notar que el ángulo varia entre -60 ° y 90 ° y al igual que la magnitud tarda un ciclo 196


completo en estabilizarse y no hay un efecto negativo cuando la entrada es de tipo senoidal con DC decreciente.

Figura 3.148.- Fasor estimado en Magnitud Caso 3.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas segundo armónico. Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz y se le suma una señal de segundo armónico. La señal de entrada es puramente senoidal, es generada a través de una función y su ecuación es la 3.148

V t   V p sen t   V s sen2 *  t 

(3.148)


197




198


En la grafica 3.149 y 3.150 podemos observar que la amplitud máxima para la señal de entrada es de 15 unidades y se analizaran solo 5 periodos que equivalen a 8,333 milisegundos. El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo de la DFT para la señal de entrada senoidal mas segundo armónico se muestra en la figura 3.151

Figura 3.151.- Fasor estimado en Magnitud Como se puede ver en la figura 3.151, la entrada de una señal que contiene segundo armónico no afecta notablemente a la salida del fasor y a diferencia de los algoritmos trigonométricos que si afectaban de manera negativa y muy notoria a la salida del fasor, y al igual que en los casos anteriores la magnitud tarda en estabilizarse 16.66666 mili segundos correspondientes a un ciclo de la señal fundamental. Las amplitudes de la señal de entrada se muestran a continuación

V t   10sen t   8sen2 *  t  En la grafica 3.152 se puede observar que la respuesta del ángulo en la estimación del fasor para este algoritmo se estabiliza en 1 ciclo y ya no tiene distorsiones debido a la señal de entrad contaminada con segundo armónico, al igual que el caso anterior el ángulo oscila entre -60° y 90° 199


Figura 3.152.- Fasor estimado en fase Caso 7.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental segundo, tercer y cuarto armónico. Para el algoritmo de la Transformada Discreta de Fourier vale la pena analizar un caso más, el caso 7 se refiere a procesar una señal de entrada que este contaminada con segundo, tercero y cuarto armónico; para comprobar que el fasor estimado no es afectado por los armónicos como se mostró en los filtro real e imaginario que eliminaban completamente las armónicas. Se analiza ahora la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz y se le suma una señal de tercer armónico, una señal de segundo armónico y una señal de cuarto armónico. La señal de entrada es puramente senoidal, es generada a través de una función y su ecuación es la 3.149 V t   V p sen t   V s sen2 *  t   V t sen3 *  t   V c sen4 *  t  200


(3.149)



Figura 3.154.- Señal de entrada (Discreta) 201


Se muestra en las figuras 3.153 y 3.154 que la señal de entrada esta completamente deforme ya no tiene forma senoidal, con la característica que es periódica. La amplitud máxima es de aproximadamente 33 unidades y al igual que en casos anteriores solo se analizan cinco ciclos. Si la señal de entrada mostrada en la figura 3.153 se procesara en cualquier algoritmos trigonométrico, esperaríamos como respuesta un fasor completamente distorsionado, pero estamos trabajando con la transformada discreta de fourier y sabemos que tiene dos filtros que eliminan completamente los armónicos y como respuesta esperamos tener un fasor completamente lineal, y que tarda en estabilizarse alrededor de 16.666 mili segundos. El fasor estimado en magnitud para una señal contaminada de segundo, tercero y cuarto armónico se muestra en la figura 3.154.

Figura 3.155.- Fasor estimado en Magnitud En la figura 3.155 podemos comprobar que las especulaciones que se hacían al respecto de este algoritmo son ciertas, la transformada discreta de Fourier elimina completamente las armónicas, podemos ver que el fasor se estabiliza alrededor de 16.6666 mili segundos al igual que en casos anteriores. El fasor estimado del ángulo se presenta en la figura 3.156. 202


Figura 3.156.- Fasor estimado en fase Amplificado en el instante de la falla Al igual que en la magnitud, el fasor estimado del ángulo no es afectado por la señal de entrada contaminada de armónicos y tarda en estabilizarse el periodo de un ciclo completo. Como podemos ver en la figura 3.155 el fasor estimado en magnitud nos indica que la señal de entrada tiene 10 unidades de magnitud en su señal con frecuencia fundamental.    

Ventajas Atenúa efectivamente el ruido. Atenúa todas las armónicas.

 

Desventajas Respuesta lenta al transitorio Requiere mayor numero de coeficientes

Atenúa todas las componentes de alta frecuencia Rechaza la componente decreciente

203


3.7.3. Algo ritmo de Filtros Coseno. En el algoritmo de la DFT de ciclo completo se realizaron los filtros seno y coseno que se muestran en la figura 3.157 y 3.158 respectivamente.

Figura 3.157.-Respuesta en magnitud del filtro real.

Figura 3.158.-Respuesta en magnitud del filtro imaginario. 204


Se puede observar en las graficas anteriores que los dos filtros eliminan completamente las armónicas pares e impares, el filtro real (seno) atenúa más las frecuencias entre armónicos por lo tanto es el mejor de los dos filtros. Este algoritmo hace uso de la función seno como señal de referencia para calcular ambos filtros de parte real e imaginaria, debido a lo anterior este algoritmo utiliza una ventana de mayor tamaño. La correlación con la referencia de la función seno da la parte real De aquí el nombre de filtro coseno Si el valor actual V p cos  es correlacionado, resulta  V p cos  90  V p sen  , este es el filtro de la parte imaginaria 

V p cos  .-

Lo primero que se debe definir es cual va a ser la frecuencia nominal y cuantas muestras requerimos por ciclo.  

Frecuencia nominal 60Hz. Numero de muestras por ciclo 12. f m  60 * 12  720 Hz

t 

1 f m



1 720

205


Ultima muestra de la señal

Figura 3.159.-Señal Seno.

Primera muestra de la señal

Figura 3.160.-Señal Coseno. 206


A partir de estos dos filtros el fasor puede estimar la magnitud y ángulo del fasor. En el algoritmo de la DFT se comprobó que la función seno es ortogonal, entonces se seleccionan la función seno a la mínima frecuencia de interés (frecuencia nominal, en este caso es de 60Hz) y después se muestrean las señales de referencia a la frecuencia de muestreo seleccionada y ahora se realizan los siguientes pasos:     

Multiplicar la primera muestra de la ventana con el primer discretizado de la señal de referencia. Se guardan los datos en tablas Se repiten las multiplicaciones y se guardan los resultados para todas las muestras subsecuentes hasta considerar todos los datos de la ventada Se suman los productos de las multiplicaciones con los productos previos. Dividir los resultados de las sumas del paso anterior entre un medio del número de muestras de la ventana.

Los cálculos realizados en los pasos anteriores son parra el filtro de la parte real. El filtro de la parte real calculado ¼ atrás es el filtro de la parte imaginaria Para la estimación del fasor se calcula la magnitud y el ángulo con la siguientes formulas mostradas en la 3.150 y 3.151 respectivamente. magnitud 

real 2  imaginario 2

(3.150)

 imaginario    real 

(3.151)

1 ángulo  tan 


Caso 1.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental Caso 2.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas una DC decreciente Caso 3.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas segundo armónico. Caso 4.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas tercer armónico. Caso 5.- Señal de entrada senoidal a una frecuencia fundamental mas un transitorio. Caso 6.- Señal de entrada generada en el PSCAD.

207


Para poder analizar y visualizar los resultados de la estimación de fasores resultantes con el algoritmo de la Transformada Discreta de Fourier, se desarrollo un programa en matlab y se presentan los resultados obtenidos. Caso 1.- Señal de entrada senoidal a un a frecuencia fu ndamental Se analiza la estimación del fasor para una señal de entrada tipo senoidal con una frecuencia de 60Hz, recordando que esta es la frecuencia fundamental anteriormente establecida. La señal de entrada es puramente senoidal, es generada a través de una función senoidal su ecuación es la 3.152 V t   V p sen t 

(3.152)

La señal de entrada se muestra en la figura 3.161 y la señal discretizada se muestra en la figura 3.162.


208


Figura 3.162.- Señal de entrada (discreta). El Fasor estimado en magnitud para el algoritmo funciones pares e impares se muestra en la figura 3.163



La estimación del fasor se hace por cinco ciclos de la frecuencia fundamental por lo tanto tiene una duración de 83.33 ms (mili segundos). Sabiendo que el algoritmo toma ciclo y cuarto, lo que es igual a 15 muestras para estimar el fasor es posible notar en la figura 3.163 el fasor tarda en estabilizarse medio periodo de un ciclo y cuarto, lo que es lo mismo a 20.83 mili segundos. En la grafica de la magnitud se observa que su magnitud final es de 10 unidades, entonces Vp = 10 En la figura 3.164 se presenta la grafica del fasor en ángulo para el algoritmo de la DFT, con las mismas condiciones que para la magnitud, se estudia la estimación de fase en cinco ciclos con un tiempo de 83.33 milisegundos. Para poder observar con exactitud el tiempo que requiere en estimar el fasor se amplifica la figura 3.164, para este caso ya es muy visible cuanto se tarda en mostrar correctamente el fasor (figura 3.165).


210


Figura 3.165.- Fasor estimado en fase y amplificado

Ventajas  Utiliza el mejor de los dos filtros de la DFT de ciclo completo, para calcular la parte real e imaginaria.  Tiene todas las ventajas del algoritmo de la DFT de ciclo completo.



Desventajas Respuesta mas lenta que la DFT ya que toma un ciclo y ¼.

3.7.4. Conclu siones de la Transformada Discreta de Fourier El algoritmo de filtro Coseno tiene la misma respuesta que el algoritmo de la DFT de ciclo completo pero le lleva ¼ de ciclo más. El algoritmo del ciclo coseno elimina completamente las armónicas pares e impares, por lo que se recomienda usar, tomando en cuenta que tiene una 211


respuesta lenta los transitorios y la componente de CD decreciente afecta notablemente a la estimación del fasor. El algoritmo de las funciones pares e impares solo elimina los armónicos pares y solo atenúa a los armónicos impares, haciendo a este algoritmo no confiable para estimar fasores en donde puede estar la señal de entrada contaminada de armónicos impares. Después de haber implementado y analizado los algoritmos de correlación, podemos concluir que el mejor algoritmo es el de Transformada discreta de Fourier de ciclo completo ya que elimina por completo todas las armónicas pares e impares, a pesar que tarda un ciclo completo en estabilizarse.

212


CAPITULO 4 PROTECCIÓN AVANZADA DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN 4.1. Introducción En este capitulo se pretende dar una breve discusión de las técnicas adaptables y su aplicación en ciertas áreas de investigación en la protección de sistemas de potencia. La mayoría del material presentado aquí es una recopilación de trabajos de investigación presentados en conferencias y revistas especializadas. 4.2. pro tección adaptable de sistemas de potenci a La protección adaptable muestra ser capaz de mejorar la confiabilidad y la seguridad de los relevadores de protección y sus correspondientes esquemas además de lograr una mejor utilización de las instalaciones eléctricas. La mayoría de los conceptos requiere un sistema de computadoras en un nivel jerárquico, lo cual incluye computadoras de primera línea, procesadores paralelos, además de procesadores en subestaciones y terminales remotas enlazadas todos ellos por canales de comunicación que puedan transmitir datos o cambios en los relevadores antes o después de un disturbio. El principio de la protección adaptable acepta que los relevadores que protegen una red eléctrica pueden requerir cambios en sus características para ajustarse a las condiciones que prevalecen en el sistema de potencia. Normalmente un sistema de protección responde a fallas o eventos anormales de una manera fija y predeterminada. Esta manera predeterminada de actuar dada por las características de los relevadores se basa en ciertos supuestos hechos acerca del sistema de potencia. Entonces, por ejemplo puede suponerse un nivel de corriente de carga el cual no debe ser excedido en el lugar donde el relevador se localiza. Para el primer momento, una de las características del relevador es su ajuste de corriente de arranque (pick-up), el cual se define para caer sobre la máxima corriente de carga. Sin embargo, con el tiempo, si esta corriente de carga es excedida por la carga real, entonces el ajuste de pick-up del relevador es inapropiado y el relevador podría operar incorrectamente durante condiciones de carga extrema. Ejemplos de este tipo son comunes en la operación de sistemas de potencia modernos y son discutidos más a detalle en las siguientes secciones. Se podría generalizar diciendo que no es posible predecir todos los posibles estados de operación del sistema de potencia en una red eléctrica practica y en consecuencia no seria posible asegurar que todos los ajustes del relevador serán apropiados de acuerdo a la evolución del sistema de potencia con el tiempo. Aun en el caso que se pudiesen considerar todas las contingencias y definir fronteras de desempeño requerido por el relevador, uno debe comúnmente tomar una decisión inferior para los ajustes del relevador tal que esas fronteras queden 213


cubiertas. Es frecuentemente necesario hacer ajustes que cubran una gran cantidad de condiciones de operación y consecuentemente no son los mejores ajustes para las condiciones normales de operación que el relevador tiene que encarar la mayoría de las veces. Para poder cubrir todas las contingencias posibles, los ajustes del relevador se podrían hacer tan insensibles que no sean lo suficientemente sensibles para cubrir de manera adecuada la protección de cualquier estado del sistema de potencia. Estas ideas obligan a concluir que bajo ciertas condiciones de operación y con las debidas salvaguardas seria deseables hacer a los relevadores adaptables a las condiciones cambiantes. Ciertamente no todas las características de los relevadores deben hacerse adaptables. Algunos elementos adaptables están presentes en muchos de los actuales relevadores electromecánicos y estáticos. Por ejemplo, al ajustar su velocidad de operación automáticamente, un relevador de sobrecorriente de atraso de tiempo y disco de inducción se adapta a los lugares de falla cambiantes. Es necesario también incluir la posibilidad de que el sistema de protección permitiera la ejecución de cambios automáticos en él mismo tal que siga la dinámica del sistema de potencia cuando cambia de una condición normal a una anormal durante su curso de operación. Con este concepto de protección adaptable, por lo tanto, no es necesario anticipar todas las contingencias para las cuales los relevadores deben operar correctamente, ni es necesario aceptar compromisos en los ajustes de los relevadores. Considerando todo lo antes mencionado una definición para protección adaptable puede darse en la siguiente forma []: Protección adaptable – Una actividad en línea que modifica la respuesta preferida

de la protección a un cambio en las condiciones o requerimientos del sistema. Es usualmente automático pero puede incluir la intervención humana. Aunque una definición más acertada y más ampliamente usada es la siguiente []: La protección adaptable es una filosofía de protección, la cual permite buscar y realizar automáticamente ajustes en varias funciones de protección para hacerlas mas acordes a las condiciones de operación prevalecientes en el sistema.

Aunque los relevadores de protección deberían detectar rápidamente todas las anormalidades en el sistema de potencia, otras consideraciones podrían desviarlos de este objetivo primario. En general, un sistema de protección por relevadores esta diseñado para alcanzar los máximos niveles de velocidad de respuesta, confiabilidad, selectividad, simplicidad y economía, todos estos términos ya discutidos en el Modulo II. Debido a que es impractico satisfacer todos estos requisitos simultáneamente, algunos compromisos deben ser hechos. Un objetivo que es comúnmente conflictivo se refiere a la confiabilidad del sistema. Existe siempre un compromiso entre la seguridad y la dependabilidad en un 214


sistema de protección. La dependabilidad o la seguridad pueden mejorarse de forma significativa al utilizar esquemas de protección redundantes. Considérese una línea de transmisión la cual esta equipada con dos sistemas de protección PS1 y PS2 tal y como se muestra en la Figura 5.1. La lógica A establece que un disparo será dado solo si ambos relevadores detectan la presencia de una falla; de esta forma la seguridad del equipo de protección en conjunto se incrementa. Por otro lado la lógica B envía una señal de disparo si cualquiera de los relevadores detecta una falla, con lo que se incrementa la dependabilidad del sistema de protección que desconectara la línea si una falla se experimenta.

Figura 5.1 lógica de disparo para incrementar la dependabilidad o la seguridad

Con el uso de relevadores convencionales, el sistema de protección se diseña ya sea con tendencia hacia la dependabilidad o la seguridad. Por lo tanto los niveles más altos de dependabilidad o seguridad no pueden alcanzarse al mismo tiempo. Además, los compromisos entre las características mas deseables llevara a un diseño del sistema de protección, el cual esta lejos de ser el optimo. La degradación en su desempeño será mas obvia a medida que la topología de la red cambie. En general, la tendencia de un sistema de protección que no se encuentre operando en un nivel óptimo puede atribuirse a: 1. La evolución de las filosofías de protección en los últimos 80 años 2. Diseños que se apoyan fuertemente en tecnologías electromecánicas 3. La limitación en el uso de variables locales tales como corrientes y voltajes como entradas al relevador. Entre las principales debilidades es el inadecuado hardware y la capacidad limitada de adaptación al ambiente cambiante de un sistema de potencia. 4.2.1. Algunos ejemplos de protección adaptable Todos los ajustes de los relevadores representan un compromiso. En cada fase de desarrollo de un sistema de protección, un balance debe darse entre la economía y el desempeño, dependabilidad y seguridad, complejidad y simplicidad, velocidad de operación y exactitud. El objetivo de proveer ajustes adaptables del relevador 215


es minimizar los compromisos y permitir que los relevadores respondan a las condiciones actuales del sistema.

4.2.1.1. Protección contra fallas al f inal de la línea Los relevadores de sobrecorriente instantáneos y la zona 1 de los relevadores de distancia no deben sobre alcanzar a la siguiente sección de línea (línea adyacente). Los relevadores de sobrecorriente son por lo tanto ajustados a la máxima corriente que pueda existir cuando todos los interruptores de circuito se encuentran cerrados. La zona 1 de los relevadores de distancia es ajustada a 8090% de la longitud total de la línea. Relevadores de sobrecorriente con atraso de tiempo y elementos de zona 2 son usados para cubrir la porción de la línea que no es cubierta por los relevadores instantáneos. Esto se muestra en la Figura 2.2. Para relevadores de sobrecorriente, cuando el interruptor remoto abre la corriente cambia. En el caso no adaptable, el relevador instantántaneo debe ser ajustado para la corriente en el peor caso, es decir, para la configuración del sistema que ofrezca la máxima corriente de falla. Para cualquier otra configuración del sistema, la corriente puede ser menor y los relevadores instantáneos pueden no operar. Con la protección adaptable, la configuración del sistema puede ser enviada a todas las terminales y el cambio de corriente resultante cuando el interruptor remoto abre puede ser determinado y entonces los ajustes de los relevadores se pueden cambiar en consecuencia.

Figura 2.2 protección de subalcance y sobrealcance con relevadores de sobrecorriente y de impedancia para 100% de cobertura de la línea de transmisión

En el caso de relevadores de impedancia, la apertura del interruptor remoto puede comunicarse a los relevadores y los ajustes de la zona 1 pueden modificarse para cubrir la terminal remota. Debido a que estos cambios en la configuración son dados en condiciones de estado estable del sistema, no hay necesidad de usar un canal de alta velocidad. La información puede ser enviada fuera de línea entre estaciones o desde un punto de control central. 216


Un esquema de protección adaptable mas sofisticado hace uso de un canal de alta velocidad en el cual la corriente presente en las terminales es transmitida y la impedancia aparente exacta vista por los relevadores es calculada. 4.2.1.2. Cobertur a total para líneas multiterminales por relevadores de distancia Líneas con terminales múltiples pueden tener diversas configuraciones a medida que se forman. El tap en la tercera terminal puede ser simplemente un transformador o una línea cuya longitud es comparable a la longitud de las otras dos secciones. Técnica convencional:

 Usando relevadores de distancia (debido a que no siempre es posible tener

canales de comunicación de alta velocidad entre las terminales para establecer un esquema de protección piloto)  En tales problemas severos de subalcances y sobrealcances se presentan como consecuencia de la presencia o ausencia de infeed de la tercera terminal. El ajuste de la primera zona se hace considerando que no hay infeed desde ninguna de las otras dos terminales (condición no deseable, pero segura) tal como se muestra en la Figura 2.3. Cuando el infeed se presenta, esto es, todas las terminales contribuyen a la falla, el alcance del relevador se ve aun mas reducido. Los ajustes de la segunda zona de protección es determinada con todas las inyecciones de corriente presentes, debido a que esta zona debe sobre alcanzar siempre la línea entera a proteger.

Figura 2.3 Un problema de protección de líneas multiterminales 217


La protección de estas líneas usando relevadores de distancia podría beneficiarse al usar filosofías de protección adaptable. Considere una línea de transmisión de tres terminales cuyas secciones son de longitudes comparables, como se muestra en la Figura 2.4. Cuando todas las terminales se conectan a sus respectivos sistemas, la primera zona de protección del relevador R1 que controla al interruptor 101 alcanza tan solo una pequeña distancia más allá de la unión T de la línea. De forma similar, los relevadores R2 y R3 alcanzan una pequeña distancia más allá de la unión de las tres líneas. Ahora considere que una falla ocurre en la sección 3, la cual no esta dentro de los ajustes de primera zona de los relevadores R1 y R2. Debido a que la falla esta dentro de la zona 1 del relevador R3, el interruptor 103 será operado sin ningún atraso intencional de tiempo. Una característica adaptable ofrecida a los relevadores R1 y R2 podría recibir esta información y extender el alcance de las primeras zonas de estos relevadores para desconectar la línea sin tener que esperar para que los temporizadores de sus segundas zonas expiren. Este concepto puede ser desarrollado más a detalle a un esquema de protección. Al transmitir de manera continua la configuración del sistema, es decir, el estado de los interruptores a todas las terminales la relación de corrientes infeed es conocida y los relevadores pueden ser ajustados de acuerdo. Esta transmisión de datos se hace durante la operación en estado estable del sistema y puede hacerse en canales de baja velocidad, o las relaciones de infeed pueden basarse en cálculos de impedancias hechos en la computadora de la subestación basada en al información de los cambios en el sistema.

Figura 2.4 Una línea de transmisión de tres terminales conectando tres sistemas de potencia En este ejemplo, la característica de protección adaptable es mejorar la protección de líneas multiterminales en respuesta a información externa del sistema.

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4.2.1.3. Efectos de la carga La habilidad para detectar fallas de bajo nivel es limitada por la necesidad de no operación de la protección durante condiciones de emergencia de la carga. En sistemas de subtransmision y distribución, los relevadores de sobrecorriente deben ser ajustados lo suficientemente arriba de la carga y debajo de la corriente de falla para permitir la dependabilidad y seguridad del sistema. En sistemas de potencia de alto voltaje, los relevadores de distancia no deben cubrir las zonas de impedancia de carga. La solución tradicional a este problema es agregar una restricción de voltaje, direccionalidad, blinders, o un compromiso en el ajuste. En un ambiente adaptable, la carga se puede monitorear continuamente y cuando una falla ocurre, indicada por el detector de falla o por un monitor de transitorios, la carga puede ser removida de los cálculos de falla. 4.2.1.4. pro tección adaptable empleando r edes neuron ales En años recientes las redes neuronales han surgido como una nueva y muy poderosa herramienta para el ingeniero. Estos algoritmos emulan en un forma muy simple el proceso de aprendizaje del cerebro humano y son ampliamente conocidas como muy buenos reconocedores de patrones. La cantidad de trabajo presentado usando estas técnicas muestra a las redes neuronales como una solución muy prometedora para una gran variedad de problemas en el campo de los sistemas eléctricos de potencia. Una gran cantidad de soluciones de protección adaptable han sido sugeridas empleando redes neuronales. La mayoría de estos trabajos es aplicada a la detección y clasificación de fallas en líneas de transmisión con configuraciones complejas. Se ha mostrado que la velocidad de operación de estos relevadores usando redes neuronales es muy alta. Además en muchos casos se ha probado que estas técnicas son capaces de detectar situaciones de falla que los relevadores convencionales no podrían detectar. Sin embargo y a pesar de que la dependabilidad del sistema de protección se ve grandemente mejorada al usar estas técnicas, la seguridad también se ve mermada. El error de detección es aun muy alto y la posibilidad de disparos innecesarios es aun un factor importante. Una mayor investigación es necesaria en este campo antes de poder proponer soluciones adaptables reales usando estas técnicas. 4.2.1.5. pro tección adaptable de transfo rmadores de potenc ia La protección diferencial es el medio de protección estándar para transformadores de más de 10 MVA. Es bien conocido que la componente fundamental de la corriente diferencial durante fallas internas es mucho mas grande que durante condiciones de carga normales. 219


Otro aspecto de la protección diferencial tiene que ver con el transformador durante el periodo de operación del interruptor. Durante esta operación del interruptor, corrientes inrush también crearan una gran discrepancia en el balance de corrientes. Generalmente, esta corriente inrush se puede evitar de ser considerada como una condición de falla por el hecho de que la corriente inrush es dominada por la segunda armónica. La magnitud de la segunda armónica depende del magnetismo residual y el ángulo del voltaje durante el cual la operación del interruptor se realizó. La protección diferencial también es afectada por otros factores tales como la sobreexcitación, cambio de taps en el transformador y la diferencia de corrientes debida a las diferentes relaciones de transformación de los TCs. Los esquemas digitales son ideales para considerar todos estos efectos. En general, tales relevadores son más rápidos y pueden tomar decisiones más seguras. Trabajos recientes en esta área proponen algoritmos computacionales adaptables empleando filtros de Kalman. El algoritmo se apoya en el monitoreo de las corrientes para determinar el estado del transformador. Filtros de Kalman de diferentes órdenes son inicializados dependiendo del estado de operación del transformador. Un transformador desenergizado es monitoreado hasta que la operación del interruptor se lleva a cabo. Después de esta acción, un filtro de cinco estados es usado para estimar los componentes de c.d., fundamental y segunda armónica de la corriente. Si la corriente diferencial excede un predeterminado porcentaje de la corriente en el transformador, una posible condición de falla existe. La componente de segunda armónica de la corriente es entonces comparada a la fundamental de la corriente diferencial. Si el componente de segunda armónica no es lo suficientemente alto, entonces una falla interna ha ocurrido y una señal de disparo es dada. Si el criterio de la segunda armónica se cumple, entonces el algoritmo transfiere el control a un filtro de dos estados. Una vez que el transformador opera en condiciones normales, el filtro de dos estados muestrea las corrientes primaria y secundaria y crea un fasor de referencia para cada una. Estos fasores son rotados con respecto al tiempo y entonces comparados con las nuevas mediciones de corriente. Si una diferencia significativa existe, un transitorio es detectado y el control es transferido a un filtro de Kalman de tres estados que usa las estimaciones del filtro de dos estados. Este ultimo filtro crea unas estimaciones de las corrientes que son usadas en una ecuación de protección diferencial similar a la usada por el filtro de cinco estados. Si no hay disparo, el control es transferido de nuevo al filtro de dos estados. Al cambiar los estados de monitoreo, este algoritmo puede adaptarse a las diferentes condiciones de operación y aplicar el modelo preciso que se requiera.

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4.2.1.6. pro tección digital de dis tancia adaptable En un esquema de protección digital, las muestras de voltajes y corrientes son tomadas en el punto del relevador y usadas para calcular la impedancia aparente de la línea vista por el relevador. Si la impedancia se encuentra dentro de un límite predeterminado, la decisión se toma para desconectar la línea. Este principio funciona bien para fallas tipo sólido. El problema ocurre en el caso de fallas con resistencia. El voltaje a través de la falla es una función de la corriente en la terminal local del relevador y la corriente de la terminal remota. La contribución de corriente de la terminal remota no puede medirse en el punto local del relevador. Es posible medir la corriente del terminal remoto y enviarla al relevador local usando un canal de alta velocidad, sin embargo esto último no resulta práctico. Sistemas de protección tradicionales solo incorporan un margen de error para considerar la contribución de corriente desconocida. Esto resulta en una porción al final de la línea que no es protegido por la primera zona. La idea entonces es minimizar esta porción de línea desprotegida. La técnica adaptable de medir las condiciones del sistema y actualizar las fronteras ideales de disparo puede ser muy útil. De las mediciones locales de voltajes y corrientes el relevador puede calcular la impedancia aparente y la computadora usa las condiciones mas actualizadas del sistema y determina si una falla ocurre y su posible localización. Los relevadores deben adaptarse a las condiciones cambiantes del sistema, ya sea una línea de dos terminales o más. Al emplear un sistema de protección basado en microprocesador o computadora, la confiabilidad y estabilidad del sistema aumentan. Durante la operación normal de un sistema, eventos inesperados pueden afectar el desempeño del sistema por completo. Si una condición anormal surge, tal como una desviación de frecuencia, los relevadores de protección pueden no estar preparados para manejar la obscuridad en los cambios de los parámetros debido a los ajustes preestablecidos. Una solución para esto es usar datos en tiempo real para cambiar los ajustes de inicio. Por lo tanto, es posible desarrollar reglas de control para adaptar la protección automáticamente a los cambios en el sistema. Componentes son pueden agregarse a las leyes de control para corregir los factores impredecibles que afectan a los estados de operación de la línea protegida. Esto puede mejorar la efectividad de un esquema de protección. Las oscilaciones de potencia pueden causar una operación incorrecta de las protecciones de distancia. Un método adaptable puede ser usado para inmovilizar la protección durante estas oscilaciones en el sistema. Este método es llamado discriminación de relación incremental. El principio establece que durante operación normal la relación de cambio de los valores instantáneos de corriente de línea tiene un límite, pero durante falla esta relación aumenta rápidamente. De 221


acuerdo a tal diferencia en el cambio de las relaciones de corriente, se puede distinguir la condición de falla de la normal de operación. La característica de relación-de-cambio de la corriente puede clasificar el estado del sistema de potencia como operación normal, condición de oscilación y condición de falla. Durante operación normal, la corriente y su relación de cambio varían de forma senoidal y sus valores de amplitud son similares, La corriente es casi periódica cuando la condición de oscilación del sistema esta presente. La amplitud de la relación de cambio por ciclo varía lentamente como una curva envolvente de la corriente. Para una condición de falla, la corriente se incrementa rápidamente y la relación de cambio es muy grande. El método adaptable sugiere que una unidad de detección de falla sea usada y su ajuste sea cambiado de forma adaptable en tiempo real de acuerdo al cambio en la amplitud de corriente. De esta forma, la protección será capaz de diferenciar entre fallas y oscilaciones en el sistema. Esto requiere medición y también memorización de la amplitud de la corriente de carga por ciclo y el reajuste adaptable de los dispositivos de protección. 4.2.2. Problemas computacionales y consideraciones de implementación Este capitulo ha tratado de mostrar como los principios de protección adaptable pueden ser usados en distintas situaciones de protección dentro del sistema de potencia. Estos principios implican no solo el punto de vista de software sino también de hardware. Una manera efectiva de iniciar un programa de protección adaptable desde un punto de vista económico es identificar aquellas áreas en donde los relevadores pueden tener limitantes de operación. Estas podrían ser limitantes de despacho económico, márgenes de estabilidad, riesgos relacionados al clima, o limitantes de mantenimiento. Cualquier instalación nueva o renovada debería incluir una evaluación de los beneficios posibles al incluir tales sistemas adaptables. Existen cuatro elementos principales de un esquema de protección adaptable: hardware, comunicación y control, software y factores humanos. El hardware se refiere a los relevadores digitales. La comunicación y control se refiere a los sistemas computacionales usados para monitorear los relevadores y coordinar los cambios necesarios en caso de cambio en las condiciones de la red. El software se refiere a los algoritmos que los sistemas de control usan para coordinar los relevadores. Con algoritmos y una arquitectura computacional mejorados, la coordinación de relevadores en un sistema de protección existente puede ser actualizada, transformando el esquema de protección de convencional a adaptable.

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Protecciones Digitales Modulo III

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