PEMODELAN MATEMATIKA Model Matematika Dalam Kasus Epidemik Kolera Dengan Populasi Konstan
Oleh Kelompok 5 Silfia Fitriani
: 2411.043
Gusdila Fitri Yanti
: 2411.034
Dosen Tisti Ilda Prihandini M.Si
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN TARBIYAH STAIN SJECH M.DJAMIL DJAMBEK BUKITTINGGI 2013/2014
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Kolera merupakan penyakit diare akut yang disebabkan oleh bakteri VibrioCholera. VibrioCholera. Pada saat menginfeksi seseorang bakteri ini memproduksi Choleratoxin yangmengakibatkan keluarnya cairan tubuh dalam jumlah yang banyak, sehingga tanpapenanganan yang tepat, seseorang yang terjangkit oleh bakteri ini dapat meninggal.Setiap tahunnya, penyakit ini telah menyebabkan kematian bagi ratusan ribu orangdiseluruh dunia. Dan merupakan salah satu penyakit yang paling menakutkan menakutkan diseluruh dunia. Ketika di suatu daerah dengan tingkat sanitasi yang sangat rendahterdapat seorang penderita diare yang membawa bakteri V.Cholera, V.Cholera, maka sangatmungkin sekali terjadi penyebaran bakteri ba kteri V.Cholera di sumber air daerah setempat,sehingga dapat mengakibatkan terkontaminasinya seluruh daerah tersebut, dan akanmenyebabkan kemungkinan terjadinya tiga kasus, yaitu tidak ada outbreak (bebaskolera), terjadi epidemik atau terjadi endemik diwilayah yang terjangkiti tersebut. Badan Kesehatan Dunia (WHO) memperkirakan selama masa epidemik kolera 0.2 – 1 1 % dari penduduk diwilayah yang terjangkit wabah kolera akan mengidap penyakitini dan mampu menularkannya kembali kependuduk lainnya. Penyakit kolera yangterjadi pada lebih dari 90% orang tergolong ringan. Dan kurang dari 10% orang yangterinfeksi bakteri Vibrio Cholera berkembang menjadi penyakit yang parah. Menurut www.chclibrary.org/micromed tanpa penanganan yang tepat, laju kematian akibat penyakit kolera bisa mencapai 50% lebih. Pentingnya model ini di bahas karena melalui pemodelan matematika kita dapat menyelesaikan masalah dalam penyebaran penyakit kolera dalam masa epidemic. Epidemic adalah istilah umum untuk menyebut kejadian tersebarnya penyakit pada daerah yang luas dan pada banyak penyakit yang menyebar tersebut. Epidemic adalah wabah yang terjadi secara lebih cepat dari pada pa da yang di duga.
1.2 Tujuan
Untuk memprediksi terjadinya wabah akibat kolera dan menentukan variable-variabel yang dapat dikontrol untuk mengantisipasi penyebaran penyakit ini. Model matematika adalah model yang menggunakan lambang ‐lambang (simbol) matematika atau logika untuk menyajikan perilaku objek yang akan diteliti. Model ini dapat dianggap sebagai usaha
abstraksi
terhadap
objek
melalui
cara
analitik
atau
numerik
dalam
bentuk
persamaan‐ persamaan persamaan matematika.
1.3 Manfaat
Bidang aplikasi : Bila telah diperoleh suatu penyelesaian maka hasil tersebut dapat digunakan sebagai alat prediksi atau kontrol terhadap objek, yang dalam hal ini adalah penyakit kolera.
Bidang matematika : kita bisa melihat bagaimana model matematika dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam penyebaran kolera dalam masa epidemik.
1.4 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dalam pengerjaan literatur ini dapat diuraikan sebagai berikut: 1. Bagaimana model matematika yang berkaitan dengan penyebaran penyakit dalam kasus epidemic kolera dengan populasi konstan? 2. Berapa banyak infeksi baru yang dihasilkan jika satu infeksi dimasukkan ke populasi yang sehat serta melihat perioda infeksi dari penyakit ini. ?
BAB II LANDASAN TEORI 1.1 Bidang aplikasi biologi 1.1.1 Pengertian Penyakit Kolera
Perilaku dinamik dinamik dari
sistem untuk menganalisis dinamika dinamika penyebaran penyebaran penyakit penyakit
terdapat beberapa model matematika yang sering digunakan. Model-model tersebut memiliki konsep
yang
sama
yaitu
compartmental
epidemiologi
(pembagian
kelas)
yang
menggambarkan penyebaran penyakit dari masing-masing kelas. Jadi dalam suatu populasi akan terbagi menjadi beberapa kelas dimana masingmasing kelas mewakili tahapan yang berbeda.kelas Susceptibel (S ), ), yaitu populasi manusia yang beresiko untuk terinfeksi penyakit kolera. Populasi yang suskeptibel ini menjadi tertular jika mereka menjalin kontak dengan populasi manusia yang infektid. Kelas Infected Kelas Infected ( I I ) , , yaitu populasi manusia yang telah terkena penyakit kolera dan d an mampu untuk menularkan penyakit ini ke populasi lainnya. Kolera dapat menyebar sebagai penyakit endemic, epidemic, atau pandemic. Bakteri vibrio cholera berkembang biak dan menyebar melalui kotoran manusia. Bila kotoran yang mengandung bakteri ini mengontaminasi air sungai dan sebagianya, orang lain yang terkontak dengan air tersebut berisiko terkena penyakit kolera. Pada suatu lingkungan masyarakat dimana penyakit kolera sedang mewabah, orang yang sering melakukan interaksi dengan air yang tercemar bakteri vibrio cholerae, misalkan dengan cara pengkonsumsian atau penggunaan untuk membersihkan bahan-bahan makanan, mempunyai kemungkinan yang jauh lebih besar untuk tertular dibandingkan dengan orang yang jarang atau tidak berinteraksi dengan sumber air yang tercemar bakteri vibrio cholera.
1.1.2 Cara penularan penyakit kolera
Kolera dapat menyebar sebagai penyakit yang endemik, epidemik, atau pandemik. Meskipun sudah banyak penelitian berskala besar dilakukan, namun kondisi penyakit ini tetap menjadi suatu tantangan bagi dunia kesehatan. Bakteri Vibrio cholerae berkembang biak dan menyebar melalui feces (kotoran) manusia. Bila kotoran yang mengandung bakteri ini mengkontaminasi air sungai dan sebagainya, maka orang lain yang melakukan kontak dengan air tersebut beresiko terkena penyakit kolera itu juga. Misalnya cuci tangan yang tidak bersih lalu makan, mencuci mencuci sayuran atau makanan dengan air yang mengandung bakteri kolera, makan ikan yang hidup di air terkontaminasi bakteri kolera, bahkan air tersebut (seperti di sungai) dijadikan air minum
oleh orang lain yang bermukim disekitarnya. Hal ini akan semakin meningkatkan resiko terjadinya penyakit kolera. Dalam situasi adanya wabah (epidemic), biasanya tinja orang yang telah terinfeksi menjadi sumber kontaminasi. Penyakit ini dapat menyebar dengan cepat di tempat yang tidak mempunyai penanganan pembuangan kotoran (sewage) dan pengolahan air minum yang memadai. Pada saat wabah kolera (El Tor) skala besar terjadi di Amerika Latin pada tahun 1991, penularan yang cepat dari kolera terjadi melalui air yang tercemar karena sistem PAM perkotaan yang tidak baik, air permukaan yang tercemar, serta sistem penyimpanan air di rumah tangga yang kurang baik. Makanan dan minuman pada saat itu diolah dengan air yang tercemar dan di jual oleh pedagang kaki lima, bahkan es dan air minum yang dikemaspun juga tercemar oleh Vibrio cholerae. Biji-bijian yang dimasak dengan saus pada saat wabah itu terbukti berperan sebagai media penularan kolera. Vibrio cholerae yang dibawa oleh penjamah makanan dapat mencemari makanan, yang apabila tidak disimpan dalam lemari es dalam suhu yang tepat dapat meningkatkan jumlah kuman berlipat ganda dalam waktu 8-12 jam. Sayuran dan buah-buahan yang dicuci dan dibasahi dengan air limbah yang tidak diolah, juga menjadi media penularan. Bakteri kolera juga dapat hidup di lingkungan air payau dan perairan pesisir. Kerangkerangan (shellfish) yang dimakan mentah juga dapat menjadi sumber kolera. Seperti di Amerika Serikat, kasus sporadis kolera timbul karena mengkonsumsi seafood mentah atau setengah matang yang ditangkap dari perairan yang tidak tercemar. Sebagai contoh, kasus kolera yang muncul di Louisiana dan Texas menyerang orang-orang yang mengkonsumsi kerang yang diambil dari pantai dan muara sungai yang diketahui sebagai reservoir alami dari Vibrio cholera (O1 serotipe Inaba), muara sungai yang tidak terkontaminasi oleh air limbah. Biasanya penyakit kolera secara langsung tidak menular dari orang ke orang. Oleh karena itu, kontak biasa dengan penderita tidak merupakan resiko penularan.
2.1 Bidang Matematika Matematika 2.2.1 Persamaan diferensial
Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang memuat turunan satu atau lebih variable terikat dengan satu atau lebih variable bebas. Definisi 2.1: Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyangkut men yangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu atau lebih peubah bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-11) Santosa,1990:1-11)
Definisi 2.2: Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyangkut turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas (Ross, 1984: 3). Definisi 2.3:Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tak diketahui (Finizio dkk, dkk, 1982: 1) Menurut peubah bebas, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadidua macam yaitu persamaan diferensial biasa dan parsial sedangkan persamaan diferensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan menjadi dua yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial non linear. 2.2.2 Persamaan diferensial biasa
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yangmenyangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu peubah bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-12) Persamaan-persamaan
yang
memuat
turunan
biasa
disebut
persamaan diferensial biasa. Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan difernsial yang mempunyai satu variable bebas dan satu atau lebih variable terikat. Dengan beberapa asumsi, proses pemodelan secara matematis penyebaran kolera dengan memperhatikan peran sumber air dalam lingkungan masyarakat. Model tersebut berupa suatu persamaan diferensial nonlinier. 2.2.3 Persamaan diferensial non linear
Persamaan Diferensial Non Linear adalah persamaan diferensial yang bukan persamaan diferensial linier (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-15).Dengan
demikian
persamaan diferensial F(x,y’ ,…, y y(m) )=0 )=0 adalah persamaan diferensial tak linear jika salah satu dari berikut di penuhi oleh F oleh F : a. F tidak berbentuk polinom dalam x,y’ dalam x,y’ ,…, y y(m) b. F tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari 2 dalam x,y’ dalam x,y’ ,…, y y(m) contoh: 1. yy’ + xy’’=0 xy’ ’=0 persamaan persamaan diferensial tak linear karena F(x,y’ karena F(x,y’ ,…, y y(m) )= yy’ )= yy’ + xy’’ polinom xy’’ polinom berpangkat dua dalam y,y’,y”. dalam y,y’,y”. 2. sin xy
+ cos
berbentuk polinom
= 0 persamaan diferensial tak linear karena F tidak
2.2.4 Sistem persamaan diferensial non linear
Sistem persamaan yang terdiri dari n buah persamaan diferensial tak linear dengan dengan n buah fungsi tak diketahui. Sistem ini disebut juga sistem tak linear. Bentuk umum sistem persamaan diferensial non linear dapat di tulis sebagai berikut:
f dan g dan g mempunyai mempunyai turunan parsial yang kontinu untuk semua (x,y), dengan: ,
2.2.5 Laju berkaitan
Jika suatu kuantitas y adalah fungsi dari waktu t, laju perubahan y terhadap terhadap waktu dinyatakan dalam bentuk
. Bila dua atau lebih kuantitas, semua fungsi dari waktu t,
dihubungkan oleh satu persamaan, hubungan dari laju-laju perubahannya dapat ditentukan dengan mendiferensiasikan kedua sisi dari persamaan 2.2.6 Penentuan titik tetap
Misalkan diberikan sistem sis tem persamaan diferensial biasa sebagaimana pada sistem (3.1). Titik
̅ disebut titik tetap, jika f ( ̅ )=0. ̅ )=0. Titik tetap disebut juga titik kritis
kesetimbangan. Untuk selanjutnya digunakan istilah is tilah titik tetap. (Tu 1994) Contoh: Suatu sistem persamaan diferensial berikut ini:
Penyelesaian: x + ay – ay – (1+b)z=0 (1+b)z=0
ax - (a+b)y + c = 0 (a+b)y – (a+b)y – 2d 2d = 0
atau titik
(a+b)y – (a+b)y – 2d 2d = 0 (a+b)y = 2d y =
ax - (a+b)y + c = 0
ax = (a+b) – c – c ax = (a+b)y - c
ax = d – d – c c x =
x + ay – ay – (1+b)z (1+b)z = 0 (1+b)z = x + ay
+a (1+b)z = + (1+b)z = z = (1+b)z =
Maka, persamaan tersebut memiliki titik tetap
{} :
BAB III PEMBAHASAN
Untuk
membangun
model
matematika
dari
penyebaran
penyakit
kolera,
diberikan beberapa asumsi sebagai berikut berikut : 1. Diasumsikan bahwa populasi manusia yang terdiri atas populasi S dan I adalah konstan atau dengan kata lain total populasi N(t) = S(t)+I(t) konstan. 2. Diasumsikan bahwa laju kelahiran = laju kematian 3. Diasumsikan bahwa semua individu dalam komunitas tersebut menggunakan sumber air yang sama (dalam hal ini menggunakan sungai) untuk melakukan berbagai aktivitas mandi, cuci dan buang air besar. 4. Kontak terjadi akibat adanya pertemuan orang dengan orang disungai yang sama dalam satu hari. Kasus : Dari persamaan yang terbentuk pada Model Epidemik Kolera dengan populasi
konstan membentuk sistem persamaan diferensial diferensi al non linier l inier orde satu. Misalkan diberikan parameter pada persamaan diferensial sebagai berikut : a=1 v = 0,5 c=5 p = 0,6 N = 50
3.1 Pendefinisan Variabel
Kolera ditransmisikan melalui meminum air atau memakan makanan yang terkontaminasi dengan bakteri kolera. Kolera outbreak dapat terjadi secara sporadis diberbagai belahan dunia, dimana suplai air, sanitasi, dan higienitasnya tidak memadai. Wilayah dengan jumlah penduduk yang sangat padat dan tingkat sanitasi yang sangat rendah seringkali menjadi langganan “tempat persinggahan” bagi penyakit ini. Keadaan wilayah di Indonesia dan didukung dengan pola hidup masyarakat didaerahdaerah pinggiran yang kurang memperhatikan kesehatan lingkungan akan membuat penyebaran penyakit ini berlangsung cepat. Karena selain air yang terkontaminasi oleh bakteri V.Cholera, V.Cholera, penyakit ini juga diperantarai oleh lalat. Jika lalat tersebut hinggap ditempat yang ada feces orang yang terinfeksi kolera dan kemudian terbang kemakanan yang
tidak ditutup rapat, maka akan sangat mungkin sekali orang yang memakan makanan tersebut akan terjangkit kolera, dengan gejala awalnya adalah menderita dia re akut. Setiap orang bisa terkena kolera, namun anak ‐anak lebih banyak yang meninggal akibat penyakit ini, karena mereka lebih cepat mengalami dehidrasi dibandingkan dengan orang dewasa. Tanpa penanganan yang tepat, tingkat kematian akibat penyakit ini bisa mencapai 50%. Sehingga apabila terjadi endemik kolera penanganan yang tepat dan akurat dari pemerintah merupakan hal sangat penting dilakukan. Berikut ini adalah rute transmisi dari penyakit kolera:
FECES
TANGAN
AIR
LALAT
MAKANAN
TANAMAN
MULUT
Gambar 1. Rute Transmisi Penyebaran Penyakit Kolera Terlihat dalam bagan diatas, bahwa awal dari proses infeksi kolera berasal dari feces yang
mengandung
V.Cholera, V.Cholera,
dan
jika
seseorang
tidak
memperhatikan
dengan
sungguh‐sungguh kesehatan pribadinya, maka dia dapat terinfeksi kolera melalui tangan yang kotor, ataupun makanan dan minuman yang secara tidak langsung telah mengandung V.Cholera. Setelah memakan makanan yang terkontaminasi, makanan akan dicerna dilambung kemudian masuk ke usus kecil. Didalam usus kecil, bakteri V.Cholera akan mengikatkan diri dan tumbuh dengan subur dilingkungan alkalin didalam usus kecil.
Gambar 2. Bakteri Vibrio Cholera Setelah sukses berkoloni didalam usus kecil, dan berhasil mengatasi sistem pertahanan tubuh host yang dimasukinya, bakteri ini mengeluarkan cholera toxin atau choleragen dalam jumlah yang sangat besar, dan bertanggung jawab atas terjadinya diare. Cholera toxin adalah zat yang berupa protein. Infeksi oleh cholera toxin pada akhirnya akhirn ya akan menyebabkan keluarnya sodium klorida
‐
‐
dari dalam tubuh bersama sama dengan 10 12 liter air setiap harinya. Sehingga tidaklah mengherankan, orang yang terinfeksi t erinfeksi oleh bakteri V.Cholera akan mengalami dehidrasi bahkan bisa menyebabkan kematian. Berikut ini akan dituliskan notasi-notasi yang digunakan dalam model ini : No.
Nama-Nama Variable
Lambang
1.
Jumlah populasi Susceptibel
S
2.
Jumlah populasi Infected
I
3.
Laju kelahiran/kematian manusia
A
4.
Laju kesembuhan populasi yang terinfeksi
V
Rata-rata banyaknya pertemuan antara populasi
C
5.
6. 7.
yang infected dengan yang Susceptibel perhari Peluang sukses populasi yang suskeptibel
P
terinfeksi penyakit kolera Jumlah total populasi manusia
N
3.2 Formulasi Model Matematika
Dalam model matematika m atematika untuk penyakit kolera ini, diamati penyebaran penyakit ini dalam suatu populasi manusia yang berukuran N. Dan dari fakta yang ada diperoleh
‐
hal hal sebagai berikut : 1. Setiap bayi yang lahir akan lahir sehat, tidak terinfeksi oleh penyakit ini. 2. Proses
menularnya
penyakit
dari
orang
yang
infektive
ke
orang
yang
suskeptibel terjadi akibat adanya pertemuan orang dengan orang disungai. 3. Setiap orang yang telah sembuh dari penyakit ini, akan tetap beresiko untuk terinfeksi kembali apabila mereka berhubungan baik secara langsung ataupun tidak langsung dengan orang yang masih mengidap kolera. Dari asumsi yang telah diberikan, digambarkan dalam diagram model sebagai berikut: aS aN
SUSCEPTIBEL SUSCEPTIBE L (S)
aI cp
INFECTED (I)
vI Gambar 3. Digram kompartemen populasi manusia pada penyebaran penyakit kolera Untuk memperoleh model matematikanya, terlebih dahulu akan ditelusuri dua langkah yang diperlukan, diantaranya yaitu : a. Memodelkan proses kontak dari penyakit b. Menjelaskan peluang kontak antara populasi infektif dan suskeptibel yang pada akhirnya akan melahirkan infeksi baru Dari asumsi dan diagram populasi diatas, diketahui bahwa infeksi baru terjadi akibat adanya kontak antara populasi yang susceptibel dan populasi yang infected . Dalam hal ini kontak diartikan sebagai pertemuan antara orang dengan orang disungai yang telah terkontaminasi dalam satu hari. Bila rata‐rata orang yang infektif bertemu dengan orang yang susceptibel dalam satu hari adalah c, dan proporsi orang yang susceptibel dalam populasi
, maka banyaknya kontak orang yang sakit dengan orang yang sehat dalam satu hari adalah cI adalah
Bila peluang sukses transmisi V.Cholera melalui orang yang terinfeksi keorang yang sehat adalah p adalah p,, maka banyaknya orang yang sehat terinfeksi kolera perhari adalah : pcI
(dalam hal ini diasumsikan peluang sukses akan terjadi setiap kali orang yang sehat melakukan aktivitas MCK (mandi, cuci, kakus) disungai yang beberapa saat sebelumnya telah digunakan oleh orang yang terinfeksi kolera). Perubahan jumlah orang yang sehat dalam satu satuan waktu bertambah akibat adanya jumlah kelahiran dalam populasi waktu t atau aN (t ) dan jumlah orang yang telah sembuh dari penyakit dan masih berpeluang untuk terinfeksi kembali atau vI (t ) , dan berkurang akibat adanya kematian alami orang yang sehat dalam waktu t atau aS (t ) dan jumlah orang yang sehat yang menjadi sakit dalam waktu t atau pcI(t) atau pcI(t)
.
Sehingga perubahan pada populasi suskeptibel adalah number added – added – number number lost , yaitu :
atau
Jika
maka diperoleh Sedangkan perubahan jumlah orang yang sakit dalam satu satuan waktu bertambah
karena adanya jumlah orang yang sehat yang menjadi sakit dalam waktu t atau
dan berkurang karena jumlah orang yang telah sembuh dari penyakit dan masih berpeluang untuk terinfeksi kembali atau vI (t ) , kematian alami orang yang sakit dalam waktu t atau aI (t ) . Sehingga perubahan pada populasi infektid adalah number added – added – number number lost , yaitu
Jika
maka diperoleh
3.3 Penyelesaian Penyelesaian
Dari uraian diatas, maka model transmisi penyakit kolera adalah sebagai berikut :
(1) (2)
Penyelesaian kasus:
= 0 Jadi nilai (S,I) =
3.3.1 Penentuan Titik Tetap
Selanjutnya akan dibahas tentang analisa titik tetap dan menghitung basic reproduction number dari penyebaran penyakit kolera. Titik tetap diperoleh dengan cara membuat persamaan (1) dan (2) bernilai nol. Pada saat titik tetap diraih maka laju pertumbuhan dari tiap persamaan akan tetap dengan kata lain tidak terdapat perubahan jumlah populasi lagi (keadaan setimbang). Notasi Notas i yang akan digunakan di gunakan untuk titik tetap dari tiap persamaan adalah S* dan I* dan I*.. Sebagai langkah awal, tetapkan persamaan (1) bernilai nol, sedemikian sehingga :
Dan
I*=0
substitusikan nilai yang kita dapatkan ini kedalam persamaan (3), maka : aN = aS atau S * = N = N Diperoleh salah satu titik tetap yaitu T 1(S 1* , I 1* ) = (N,0). Titik tetap ini merupakan titik tetap non endemik yang menyatakan bahwa dalam keadaan setimbang pada saat belum ada infeksi maka jumlah populasi suskeptibel sama dengan total populasi tersebut. Dengan cara yang sama, didapatkan titik tetap endemiknya adalah : S *=
Dan nilai I nilai I pada pada saat setimbang, yaitu :
I *=
Sehingga system dinamik (1) dan (2) mempunyai dua titik tetap, yaitu : T 1=(N,0) T 2=
,
Dengan titik tetap endemic T 2 ada jika parameter
Untuk penentuan nilai titik tetap dari kasus untuk :
S *= = S *=
=0,833.50 = 41.67
= =
I *=
= 0,167.50 = 8,32 Sehingga system dinamik (1) dan (2) mempunyai dua titik tetap yaitu : T 1 =(50, 0) T 2=(41,67 ; 8,32)
3.3.2 Analisa titik tetap
Titik tetap yang sudah didapatkan diatas perlu diuji kestabilannya, apakah titik tetap tersebut bersifat stabil atau tidak. Dari model yang ada diatas, dapat disederhanakan kedalam bentuk model 1 dimensi dengan asumsi bahwa N(t)=S(t)+I(t) konstan. Sehingga sistem dinamik tersebut dapat disederhanakan dengan mengeleminir variabel S(t)=N(t)- I(t).Dan I(t).Dan didapatkan I 1*= 0
I 2*=
sifat kestabilannya dapat dilihat digaris I(t) digaris I(t) yang menyatakan populasi infektif dalam waktu t , yaitu :
Gambar 4. Sifat Dinamik Titik Tetap Populasi Infected Terlihat bahwa titik tetap non endemik T 1 tidak stabil, dan titik tetap endemik T 2
stabil, dengan semua nilai-nilai yang berada disekitar I 2*= titik tetap tersebut.
akan bergerak menuju
Pada gambar 5 diatas, dapat dilihat plot grafik dari total populasi yang sehat dan yang terinfeksi kolera disuatu wilayah wilayah yang terjangkit terjangkit kolera. Terlihat bahwa dalam dalam waktu kurang dari 100 hari, kurang lebih 12% penduduk diwilayah di wilayah tersebut akan terinfeksi kolera.
3.3.3 Basic Reproductive Number (R 0)
Basic reproduction number adalah banyaknya infeksi (kasus) baru yang dihasilkan akibat adanya satu penderita yang masuk kedalam populasi yang sehat. Pada saat endemik, persamaan
atau dengan kata lain
asumsikan
pada saat t=0, maka S=N sehingga R sehingga R0=
Dengan R Dengan R0 = banyaknya kontak x peluang sukses kontak x periode waktu infeksi. Setelah mensubstitusikan nilai nil ai parameter yang ada, didapatkan basic basi c reproduction number untuk penyakit kolera adalah : R0 = 12-14 kasus baru akibat adanya satu penderita yang berinteraksi dengan populasi yang sehat. Nilai basic reproductive number (R 0) yang diperoleh dapat digunakan sebagai ukuran untuk mengukur terjadinya endemi. Pada model ini, didapatkan R 0 > 1 yang yang artinya infeksi akan menuju tak hingga. hingga. Dan dari R 0 =
kita dapat mengontrol tingkat kesembuhan (v) dengan melakukan vaksinasi terhadap penduduk agar jumlah kasus kolera kolera dapat ditekan.
3.4 Evaluasi 3.4.1 Interprestasi Interprestasi Model Kolera dengan Populasi Konstan
‐
Dari pembahasan model yang ada, diperoleh hasil hasil sebagai berikut : 1. Setiap ada satu penderita aktif yang mengidap kolera masuk kedalam suatu populasi sehat, maka dapat dipastikan sebagian besar populasi yang sehat lainnya akan terinfeksi oleh penyakit kolera. Hal ini akan sangat didukung sekali jika masyarakat yang ada didalam komunitas tersebut tidak memperhatikan higienitasnya.
‐
2. Akan muncul 12 14 kasus baru setiap harinya selama masa endemik. Terjadi endemik kolera diwilayah yang terjangkit kolera dengan peluang sukses 3. Seseorang terinfeksi kolera adalah 25% jika seseorang bertemu dengan orang yang telah terinfeksi kolera.
3.4.2 Cek jenis model
Kegunaan
:Deskriptif
karena
model
tersebut
menjelaskan
/
memprediksi bagaimana cara penyebaran kolera dalam masa epidemic.
Informasi data
: Stokhastik
Besaran kuantitatif
: Diskrit
Penyelesaian
:Analitik
karena
persamaan differensial dalam matematika
penyelesaiannya
menggunakan
BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan
Terlihat bahwa salah satu faktor pengendali penyakit kolera adalah dengan memberikan vaksinasi bagi penderitanya. Hal ini terlihat ketika dibahas tentang basic reproductive number. Dalam model matematika dalam kasus penyebaran penyakit kolera diperoleh hasil,
bahwa matematika matemat ika dapat
digunakan untuk memprediksi terjadinya
‐
wabah akibat kolera dan menentukan variabel variabel yang dapat dikontrol untuk mengantisipasi penyebaran penyakit ini. Namun dalam model yang dibahas dalam paper ini belum melibatkan faktor treatment penyakit kolera. Mungkin akan lebih baik untuk pembahasan selanjutnya kita
‐
melibatkan faktor tersebut dan melihat sifat sifat dinamiknya. 4.2 Saran
Jika merujuk kedalam kasusu nyata, model diatas belum terbentuk sesuai dengan kenyataan, karena belum memperhitungkan kasus adanya kematian akibat penyakit kolera sehingga kurang realistic. Namun model diatas dibangun untuk mempermudah pemahaman tentang konsep dasar system dinamik penyakit kolera
DAFTAR PUSTAKA
Ayres, Frank dan Elliot Mendelson. 2004. Schaum’s Outlines Kalkulus Edisi Keempat . Jakarta: Erlangga. Bronson, Richard dan Gabriel Costa. 2007. Schaum’s Outlines Persamaan Diferensial Edisi Ketiga. Ketiga. Jakarta: Erlangga. Sriyono. 2009. Matematika 2009. Matematika Ekonomi & Keuangan Keuangan.. Yogyakarta: CV Andi Offset. Ross, Shepley L. 1989. Introduction To Ordinary Differensial Equations. Equations. New York: John Wiley and Sons. Verberg, dkk. 2003. Kalkulus 2003. Kalkulus Edisi Delapan. Delapan. Jakarta: Erlangga. Yohana dan Yovita. 2006. Terapy Herbal Penyakit . Jakarta: Eska Media. http://lontar.ui.ac.id/opac/themes/libri2/detail.jsp?id=20180268&lokasi=lokal,, 31 http://lontar.ui.ac.id/opac/themes/libri2/detail.jsp?id=20180268&lokasi=lokal
oktober
2013 digilib.its.ac.id/public/ITS-Research-11674-131124884-Preface.pdf http://eprints.uny.ac.id/7102/.. 15 oktober 2013 http://eprints.uny.ac.id/7102/ http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&ved=0C C8QFjAB&url=http%3A%2F%2Fmatematika.studentjournal.ub.ac.id%2Findex.php%2Fmat ematika%2Farticle%2Fdownload%2F27%2F27&ei=bjFzUpCbKoSJrQfEg4GADg&usg=AF QjCNGLVJQBTBeahQw8kgnrCdifB7THKg, 22 oktober 2013 http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&cad=rja&ved=0C DkQFjAC&url=http%3A%2F%2Fejournal.unsrat.ac.id%2Findex.php%2FJIS%2Farticle%2F download%2F1802%2F1414&ei=bjFzUpCbK download%2F18 02%2F1414&ei=bjFzUpCbKoSJrQfEg4GADg&usg oSJrQfEg4GADg&usg=AFQjCNEGCYHCnT =AFQjCNEGCYHCnT TDXqjyTZs3zfxS7UpyFA,, 20 oktober 2013 TDXqjyTZs3zfxS7UpyFA
