1. Fungsi Konstan Konstan / Tetap Tetap Apabila setiap anggota A dipasangkan dengan satu anggota B yang sama ( f : A → B ) jika daerah hasil dari f terdiri dari satu elemen. Misal : A = {a, b,
, c}
B = {1, 2, 3}
Grafik :
y
x
CONTOH : 1.
Dike Diketa tahu huii himp himpun unan an A={1 A={1,2 ,2} } dan dan himp himpun unan an B={a B={a}. }. Tent Tentuk ukan an bany banyak akny nyaa pemetaan yang mungkin dari himpunan A ! 2. Dike Diketa tahu huii himp himpun unan an A={A={-2, 2, -1, -1, 0, 1, 2}fu 2}fung ngsi si f siny sinyat atak akan an deng dengan an f (x)= (x)=5. 5. Buatlah banyaknya pemetaan ! 3. f(x)=4 1 3 5 7 11
2 3 4 5
4. Adit Atho” Iful Dony Iman
5.
Basket S. Bola Voli
fungsi f : x → 3 , Buatlah garis y
= f ( x ) = 3
Jawab :
1.
n(A)=2 dab n(B)=1, Banyaknya pemetaan = b y
2
2
=1
=1
2.
x
3.
y
x
4.
y
x
5.
y
y = f ( x) = 3
f (−2) = 3
x
2.
Fungsi Identitas adalah suatu fungsi yang memetakan anggota himpunan A kepada dirinya sendiri f : A → A yang didefinisikan dengan f ( x ) = x dan dilambangkan dengan huruf “I” Misal : A = 0, 1, 2
Grafik : y
x
CONTOH :
1. Diketahui suatu pemetaan f : x → x.1 dengan Df = { x x ≤ 4, x ∈ A} . Nyatakan pemetaan tersebut dengan diagram panah f ( x )
= x.1
!
2. Diketahui Df = { x x ≤ 4, x ∈ R} buatlah grafik fungsi tersebut jika f ( x ) = x 3. f (i ) →i , Buatlah grafiknya ! a b c d
a b c d
!
4. f ( s ) → s , Buatlah grafiknya ! -2 -1 0 1 2
--2 -1 0 1 2
5. Diketahui
f (1)
=1
f ( 2)
=2
f (3)
=3
buatlah grafik fungsi tersebut !
Jawab : =1 → f (1) =1.1 =1
1
x
= 2 → f ( 2) = 2 .1 =1
x
= 3 → f (3) = 3 .1 = 3
x
= 4 → f ( 4) = 4 .1 = 4
2 3 4
1. x
2.
1 2 3 4
y
x
=1 → f (1) =1 =1
x
=2 → f ( 2) =2 =1
x
=3 → f (3) =3 =3
x
=4 → f ( 4) =4 =4
x
3.
4.
y
y
x
5.
x
y
x
3. Fungsi Linier adalah fungsi
f
pada himpunan bilangan real ditentukan dengan
rumus y = f ( x) = ax + b
dengan
a , b ∈R
dan a ≠ 0
Untuk menggambar grafiknya adl dengan menentukan :
a. Titik koordinat kartesius Titik potong sebagai sumbu x dan sumbu y c. Koefisien arah grafiknya
b.
CONTOH :
1.
Suatu fungsi f dinyatakan dengan f : x → 2 x − 5, x ∈ R . Tentukan : a) Rumus fungsi f b) Jika f ( x) = 3 . Tentukan nilai x c) Gambar grafik fungsi f
2.
Fungsi
3.
Diketahui f ( x ) = mx + n dan f (0) = 4 & f ( 4) = −4 . Tentukan : a) Nilai m & n b) Cari titik potong dengan sumbu x & y c) Gambar grafik
4.
Diketahui fungsi f ( x ) = 5 x +1, x ∈ R . Jika f (a ) =11 dan f (b ) = 46 . Tentukan nilai a + b !
5.
Diketahui fungsi f ( x) Tentukan : a) Range
ditentukan dengan rumus f ( x ) = mx f ( −3) = −1 dan f (1) =3 , tentukan nilai m & n ! f pada
bil.real
+n
.
= 3 + 2 x − x 2 dengan domain { x −1 ≤ x ≤ 3, x ∈ B} . b) Nilai range max dan min
Jawab :
1.
a) Rumus fungsi f adalah f ( x ) = 2 x
−5
b) f ( x ) = 2 x − 5 , maka f ( x ) = 2 x − 5 3 = 2x −5 3 + 5 = 2 x x
=8
2
x = 4
c) Misal Df = x 0 ≤ x ≤ 2, x ∈ R , f ( 0) = 2 .0 − 5 f (1) = 2.1 −5 = −3 = −5 y f ( x) = 2 x − 5 x
2.
f ( x ) = mx f (−3)
+n
, maka
= m( −3) + n
−1 =−3m +n..........
f (1)
3
(1) (2) − 3m + n = −1 (1)
− 4m = −4 m =1
= m(1) + n
= m + n..........
m +n =3
...( 2)
f ( 2)
= 2. 2 − 5
= −1
Jika
m = 1, maka 1+ n = 3 n =2
3.
a) f ( x ) = mx
Jadi Rumus fungsinya adalah f ( x ) = x + 2
+n
f (0) = 4 ⇒ m.0 + n = 4
f ( 4) = −4 ⇒m.4 + 4 = −4
4m = −4 − 4 4m = −8 m = −2
n =4
Jadi y
= f ( x ) = −2 x + 4
b) y = f ( x ) = −2 x + 4 jika x = 0 , maka
jika y
y
= −2( 0 ) + 4
0
y
=4
=0
, maka
= −2 x +4
0 − 4 = −2 x − 4 = −2 x x = 2
jadi titik (0,4)
Jadi titik (2,0)
c) Grafik fungsi y y = f ( x) = −2 x + 4, x ∈ R
x
4. f ( x )
= 5 x +1
f (b ) = 46 f (b ) = 5b +1 46 = 5b +1 46 −1 = 5b
f ( a ) =11 f ( a ) = 5a +1
11 = 5a +1 11 −1 = 5a a
=10
5
= 45
b
=2
5 =9
Jadi a + b = 2 + 9 = 11 5.
{
0, 1, 2, 3}
Domain
= − 1,
f ( −1)
= 3 +2( −1) −( −1)
2
f (0)
= 3 − 2 −1
= 3 + 2.(1) −(1)
2
f ( 2)
=3+2–1 =4 f (3)
2
=3+0-0 =3
=0
f (1)
= 3 + 2 .0 − ( 0 )
= 3 + 2( 2) −( 2)
2
=3+4-4 =3
= 3 + 2 ( 3) − (3)
2
=3+6–9 =0
Wf
= {0,
3, 4}
Nilai range max = 4 Nilai range min = 0
4. Fungsi Kuadrat adalah fungsi f pada himpunan bilangan real yang ditentukan oleh f ( x) = ax
2
+ bx + c
dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0
Jika bentuk persamaan parabola y = ax 2 + bx + c dan a ≠ 0 maka :
a. Jika a>0, parabola membuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum b. Jika a<0, parabola membuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum
CONTOH :
1. Diketahui f ( x) = 3 x + 24 x − 5 . Tentukan : 2
a. Nilai balik minimum b. Persamaan sumbu simetri c. Koordinat titik balik
2. Diketahui f ( x) = x − 4 2
Df
=
{ x −3 ≤ x ≤ 3, z ∈ R} , tentukan :
a. Pembuat nol fungsi b. Persamaan sumbu simetri
3. Dari gambar grafik fungsi f ( x) = x − 2 x − 3 . Tentukan : 2
a. Domain
b. Nilai minimum fungsi f c. Nilai maximum fungsi f d. Daerah hasil e. Persamaan sumbu simetri
f. Koordinat titik balik min grafik fungsi
f
4. Diketahui keliling sebuah persegi panjang adalah 10 cm. Tentukan :
a. Jika
panjangnya x cm, tunjukkan bahwa luas daerah persegi panjamg adl L ( x ) = x (5 − x ) ! b. Nilai x agar dicapai luas maximum c. Luas maximum persegi panjang tersebut 2 salah satu titik potong grafik fungsi f ( x) = x 2 x + y −1 = 0 !
5. Tentukan
− 2 x − 3 dengan garis
Jawab :
1.
f ( x ) = 3 x 2
+ 24 x = 15 maka a = 3, b = 24, c = -15
Nilai balik minimum
=
b2
− 4 ac
=
24 2
− 4.3.( −15)
− 4a
=
576
− 4.3 −b
b) Persamaan sumbu simetri x = 2a
=
+ 18
− 12
− 24
=
− 24
2.3
6
= −4
− b b 2 − 4ac = c) Koordinat titik balik 2a , − 4a = ( − 4,−63 ) 2. a) Pembuat nol fungsi
2
x −4=0 ( x − 2)( x + 2) = 0 ⇒
x1
= 2 ∨ x2 = −2
b) Persamaan sumbu simetri
= −b =
c) Gambar grafik x -3 -2 x² 9 4 -4 -4 -4 f ( x ) 5 0
0 0 -4 -4
-1 1 -4 -3
2a
1 1 -4 -3
0 2 .1
=0
2 4 -4 0
3 9 -4 5
=
756 − 12
= −63
y
x
3. Gambar grafi y
x
Domain
→ Df =
{ x − 2 ≤ x ≤ 4}
b) Nilai minimum fungsi
f
adl = -4
c) Nilai maximum fungsi
f
adl = 5
d) Rf
=
{ y − 4 ≤ y ≤5} −b
e) Persamaan sumbu simetri x = 2a
=
− (−2)
2.1
=
2 2
=1
4. a) K = 10 cm 2 (p + l) = 10 cm p + l = 5 cm x + l = 5 cm l = (5 + x) cm b) x
=
b − 2a
c) L max =
Luas persegi panjang = p x l L (x) = x . (5 – x) = 5x - x²
= −5 = 2 1 2.( −1) 2
b2
− 4 ac
− 4a
=
52
− 4.( −1).0 − 4.( −1)
=
25 4
= 62 ,5
f ( x) = x 2
− 2 x − 3 dan 2 x + y −1 = 0 , untuk 2 x + y −1 = 0 , maka Karena f ( x) = x 2 − 2 x − 3 dan 2 x + y −1 = 0 saling berpotongan
5.
maka : x 2 x
2
2 x
+ y =1
− 2 x − 3 = −2 x + 1
− 2 x − 3 + 2 x −1 = 0
x 2 − 4 = 0 ( x + 2)( x − 2) = 0
x = −2 ∨ x = 2
Untuk x = -2 maka y y
= −2 x +1
Untuk
x
=
2
maka
= −2 x +1
⇔ y = −2( −2 ) +1
y y
⇔ y = −2( 2 ) +1
= 4 +1
y
= −4 +1
=5
y
= −3
Titiknya (-2,5)
Titiknya (2,-3)
Jadi titik perpotongannya adalah (-2,5) dan (2,-3)
5. Fungsi Modulus / Nilai Mutlak adalah modulus atau nilai mutlak suatu bilangan real dinyatakan dgn x jika x<0. , dan x x jika x ≥ 0 serta x =− Suatu nilai f didefinisikan dengan f ( x) x , yaitu memasangkan setiap bilangan real dengan nilai mutlaknya. =
x
=
X y
-2 5
-1 3
modulus adalah :
0 1
1 1
A
2 3
3 5
Misalnya : A = {− 1, 1,
−2,
2}
maka
fungsi
B
f ( −1) =1 f (1) =1 f ( −2) = 2 f ( 2) = 2
1
1 -1 -2 2
2
Contoh :
1. 2.
Gambarkan grafik fungsi modulus dengan persamaan
f ( x)
1 dengan x Є R.Carilah: Diketahui fungsi f : x→ x + a. f ( −2 ) b. f ( −1) c. f ( 0 ) d. f (1) e. f ( 2 ) f. f (3) 3. Dengan fungsi f : x→ x −2 , carilah a jika f (a) =18 4. Dengan fungsi f : x→ 2 x 4 , carilah b, jika f(b) = 10 5. Gambarkan grafik fungsi modulus dalam bidang cartesius dengan
=
2x
1
−
+
f ( x )
=
x
1
−
Jawab : 1. Penyelesaian: kita buat table sebagai titik bantu, sbb:
2.
f ( x)
x
=
1
+
persamaan
d). f (1) 1 1 e). f (2) = 2 +1
a). f ( −2) = −2 +1 =1 b). f (−1) =−1 +1 =0 c). f (0) =0 +1 =1
3.
f ( x )
f ( a )
=
x
=
f : x
−
atau
18
=
a
20
=
2b
2b
2b
=
b1
=
2
−
a2
=
=
x y
f ( a )
2 |=18
a
→2 x +4
f (b)
2
=
3
=
2
a −2
4.
+
−
=
a1
=
4 |=10
f (b)
4
10
=
atau
6
2 |=− 18
−
18
=−
16
=
0 1
1 0
2 1
3 2
=
2b +4 |=− 10
2b +4
=−
2b
=−
b2
=−
3
-1 2
a
|
+ +
=
10 14 7
5.
6. Fungsi Tangga / Nilai Bulat Terbesar adalah suatu fungsi yang disefinisikan oleh rumus yang berada pada interval yang berbeda pula Misal : s ( x )
0 jika 0 ≤ x < 1 1 jika 1 ≤ x < 2 2 jika 2 ≤ x ≤ 3 Gambar grafik fungsinya adalah sebagai berikut : =
y
x CONTOH : 1. Ganbar gtafik fungsi tangga dengan persamaan sbb : f ( x ) 1 untuk −2 ≤ x ≤0 =
f ( x )
=
2
f ( x )
=
3
untuk
0
≤ x ≤2
2
≤ x <4
untuk
2. Suatu fungsi S ditentukan oleh : f ( x )
0
=
jika
2
≤ x ≤1
1 ≤ x
1
= =
0
jika jika
2
≤2
≤ x ≤3
3. Gambar grafik fungsi tangga dengan persamaan : − 2 ≤ x < −1 →[ x ] = −2 − 3 ≤ x < 0 →[ x ] = 2 0 ≤ x
[ ]
<1 → x = 0
4. Gambar grafik fungsi tangga untuk persamaan berikut !
[ ] − 3 < x ≤ −2 →[ x ] = 2 − 2 ≤ x ≤ −1 →[ x ] =1 − 4 < x ≤ −3 → x = 3
5. Dengan persamaan seperti di bawah ini, buat grafik fungsi tangganya ! 1 < x ≤3 →[ x ] = −1 3 < x ≤5 →[ x ] = −2 5 < x Jawab :
1.
2.
3.
4.
[ ]
≤ 7 → x = −3
5.
6. Fungsi Genap & Fungsi Ganjil Fungsi f : x → y = f ( x) disebut genap jika f (− x) = + f ( x) Fungsi f : x → y = f ( x) disebut ganjil jika f ( − x) = − f ( x ) Jadi jika suatu fungsi di (-) kan maka jika hasilnya (+) disebut fungsi genap, jika hasilnya (negative) disebut fungsi ganjil.
Misalnya : 1. f ( x ) = x 2 f (− x ) = ( − x ) 2
= x 2 = + f ( x) → fungsi genap
2. f ( x) = x 3 f ( − x )
= ( − x )
3
3
= x
= − f ( x ) →
fungsi ganjil
CONTOH : Selidikilah fungsi-fungsi berikut ini, manakah yang termasuk fungsi ganjil atau genap 1. 2. 3. 4. 5.
f ( x ) = x 4
− x2
f ( x ) = x 3 − x f ( x ) = cos x f ( x ) = sin x f ( x) = x 5
− x3
Jawab :
1. karena f (− x) = f ( x) 3 2. f ( − x ) = ( − x )
maka f ( x ) = x
= −( x
f ( − x )
− x 2 adalah fungsi genap
− ( − x )
Jadi fungsi f ( x ) = x 3
= − x 3 + x 3
4
− x
adalah fungsi ganjil
− x )
= − f ( x )
3. untuk f (− x ) = cos( − x ) = cos x = f ( x ) karena f ( − x ) = f ( x )maka fungsi f ( x ) = cos x adalah fungsi genap 4. f ( x ) = sin( − x ) = −sin x = − f ( x ) Karena f ( − x) = − f ( x)maka fungsi f ( x ) = sin x adalah fungsi ganjil 5. f ( − x ) = ( − x ) 5
− ( −x )
= − x 55+ x 33 = −( x
f ( − x )
− x
3
Jadi fungsi f ( x ) = x 5
− x 3 adalah fungsi ganjil
)
= − f ( x )
7. Fungsi Logaritma Fungsi logaritma mempunyai bentuk umum berikut ini : y
=
a
log x
Untuk menggambarkan grafiknya adalah dengan jalan menentukan perpotongan dengan sumbu x. Grafik fungsi genap/ganjil
CONTOH : 1. 2. 3. 4. 5.
LnC
2
Ln ( LnC )
LnC + LnC 2 C x +2 = 4 6C −2 x +1 = 12
Jawab :
1. LnC 2 = 2.LnC = 2.1 =2 2. Ln ( LnC ) = Ln (1) 3. LnC
+ LnC
2
=1 + LnC
2
=1 + 2 . LnC =1 + 2 . 1 =1 + 2 =3
4.
C x +2
=4 LnC x +2 = Ln 4 ( x + 2) LnC = Ln 4 ( x + 2)1 = Ln 4 x + 2 = Ln 4 x = Ln 4 − 2
6C −2 x +1
= 12 =2 C LnC −2 x +1 = Ln 2 ( −2 x +1) LnC = Ln 2 ( −2 x +1).1 = Ln 2 − 2 x +1 = Ln 2 − 2 x = Ln 2 −1 Ln 2 −1 x = −2 2 x +1
