Modal Espectral

CURSO Ingeniería Sismo Resistente II Análisis Sísmico por Superposición Modal Espectral

Ing. Omart Tello Malpartida

Introducción 

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La práctica actual mundialmente aceptada del diseño sismo resistente considera que las solicitaciones sísmicas sobre la estructura se determinan por medio de un análisis elástico. Si bien la tendencia moderna incorpora criterios de comportamiento inelástico como herramientas de disipación de energía, el análisis se hace sobre la base de que la estructura y sus elementos no exceden su resistencia y mantienen su forma inicial, hipótesis implícitas en el análisis estructural en el rango elástico. Desde este punto de vista entonces, se cuenta con dos caminos contemplados en los códigos de diseño: análisis estático o análisis dinámico.

Ing. Sismo Resistente II

Ing. Omart Te Tello Malpartida

Introducción 

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El primero reduce las acciones sísmicas a fuerzas estáticas equivalentes y todo el análisis se hace considerando un sólo juego de fuerzas aplicado a la estructura estáticamente. El edificio puede analizarse tri- o bi- dimensionalmente pero el análisis sigue siendo estático y único. Por otro lado el análisis dinámico, también contemplado en los códigos modernos de diseño sísmico, considera las características o propiedades dinámicas de la estructura en la determinación de las fuerzas sísmicas y en cada efecto particular que desee calcularse. Su aplicación, sin embargo, no ha estado tan difundida hasta la década pasada en vista de la complejidad del cómputo involucrado y en la necesidad de disponer de máquinas para el cómputo y procedimientos para la determinación de las propiedades dinámicas de la estructura misma, sin mencionar el trabajo posterior para determinar y combinar los efectos modales.



Introducción 

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Con la disponibilidad y potencia de las computadoras modernas, principalmente las personales, el análisis dinámico de edificios es la herramienta apropiada para la determinación de las fuerzas sísmicas. En edificaciones particularmente elevadas el análisis dinámico viene a ser la única herramienta racional de análisis pues los métodos estáticos equivalentes se tornan demasiado conservadores.

Resultados de un Análisis Dinámico Para un edificio de 10 pisos

La distribución de fuerzas máximas resultante a lo alto del edificio es bastante diferente de la triangular supuesta en los códigos. Ing. Sismo Resistente II


Introducción 

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Los desplazamientos máximos de cada piso tienen configuraciones que no responden a la de la hipótesis simplificatorias del análisis estático equivalente. Asimismo cuando las características de la estructura estimulan la contribución de modos adicionales al fundamental en la respuesta, se puede estar subestimando peligrosamente efectos locales en los pisos bajos y en los más altos. En realidad con la facilidad para realizar este tipo de análisis, tan difundidos actualmente, tiene poco asidero el seguir utilizando procedimientos estáticos equivalentes.



Sistemas de varios grados de Libertad: Vibración Forzada 

Un edificio real es un sistema de varios grados de libertad. El establecimiento de las ecuaciones de equilibrio fue desarrollado anteriormente. Estas ecuaciones de movimiento para el sistema de varios grados de libertad, tienen la siguiente forma: M .U&& + C.U& + K .U = F ( t )



El vector de fuerzas F(t) puede tener distintas variaciones en el tiempo, pero para sistemas lineales elásticos siempre es posible expresar estas variaciones como una superposición de términos de la forma F.f(t). Por lo tanto la Ecuación anterior puede reemplazarse por una más simple: M .U&& + C .U& + K .U = F . f ( t )



Donde F representa un vector independiente del tiempo que contiene las magnitudes de las fuerzas aplicadas en correspondencia con cada grado de libertad (o en cada piso si se trata de un pórtico plano)



Métodos de Análisis Dinámico La respuesta dinámica de una estructura a una excitación sísmica (caracterizada usualmente por un movimiento de la base) puede ser obtenida por cualquiera de los dos métodos generales usados en la solución de sistemas de varios grados de libertad.



1.

Integración directa en el tiempo de las ecuaciones de movimiento , resolviendo simultáneamente las n ecuaciones diferenciales a través de un procedimiento de integración paso a paso. ( Tiempo Historia)

2.

El Análisis Modal, es de lejos el procedimiento más usado en dinámica estructural. Permite desacoplar las n ecuaciones diferenciales de movimiento, reduciendo el problema a la solución de n ecuaciones independientes de 1 grado de libertad. En la mayoría de los casos sólo algunos modos contribuyen significativamente a la respuesta y por lo tanto ni siquiera tienen que resolverse los n sistemas simples.



Descomposición modal de las Ecuaciones de Movimiento && + C.U& + K .U = F. f ( t) .U n

U = ∑ ai ( t ) . X i

n

n

&&i (t ) . X i U&& = ∑ a

U& = ∑ a&i (t ) . X i

i =1

i =1

i =1

&& expresadas en funcion Sustituyendo U y sus derivadas U& y U de las formas modales Xi , en la ecuacion de movimiento.

∑ M .( a&&

i (t)

∑

) ∑ C.( a&

.X i +

&&i + . X i .a


i (t)

) ∑ K .( a

.X i +

i (t )

)

.X i = F . f (t )

∑ C.X .a& + ∑ K .X .a i

i

i

i

= F . f (t ) Ing. Omart Tello Malpartida

Descomposición modal de las Ecuaciones de Movimiento Premultiplicando cada una de estas ecuaciones diferenciales por X jT , para j=1,2,.....n; y reconociendo por las condiciones de ortogonalidad que todos los productos X jT .M.Xi =0

∑X

T

&& +i .Mj . X .a

∑X

T

i

.C.j X .a& +i

∑X

T

i

. K.j X . a =i Xi . F.j f ( t) T

si : i ≠ j T j

X

.M.X =0; i

T j

X

.C.X =0; i

T j

X

.K.X =0 ∴ i

T j

X

.F.f(t)=0

si : i = j

&&i + X i T .C. X i .a&i + X i T .K . X i .ai = X i T .F . f (t ) X iT .M . X i .a Me

Ce

K e

Fe



Continua.. i=j Dividiendo entre : X iT .M .X i = Me X iT .M . X i

X i T .C. X i

X i T .K . X i

Xi T .F

&&i + T .a .a&i + T .ai = T . f (t ) T X i .M . X i X i .M . X i X i .M . X i X i . M . Xi

Me e

&&i + .a

Ce Me

.a&i +

Ke Me

.ai =

Fe Me

. f (t )

&&i + 2.bi .ωi .a&i + ω i 2 .ai = Γ i . f (t ) a El termino

Γ i =

Ecuaciones modales del movimiento. Estas constituyen

"n" ecuaciones independientes de un grado de libertad.

X i T .F

, es el llamado Factor de participacion estatica del modo i, X i T .M . X i

Considerando que las formas de modo X i , han sido normalizadas de manera que el producto X iT .M . X i = 1, entonce s


Γ i

= Xi T .F


Otra Forma de representación : Otra forma de presentar los resultados es expresar ai incorporando directamente el factor de participacion estatica Γ i , en la ecuacion modal sometida solo f(t).

ai (t ) = d i ( t ) .Γi

&&i + 2.bi .ωi .a&i + ω i 2 .ai = Γi . f (t ) a

( d&& .Γ ) + 2.b .ω . ( d& .Γ ) + ω . ( d .Γ ) = Γ . f (t) 2

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

d&&i + 2.bi .ωi .d&i + ωi 2 .di = f(t)

Donde : U=

∑a

i (t )

.X i =

∑d

i (t )

.Γi . X i



Análisis Modal para Excitaciones Sísmicas U3 Y 3

⎡U 3(t ) ⎤ ⎡U G ( t ) + Y 3( t) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ U = ⎢U 2(t ) ⎥ = ⎢U G ( t ) + Y2( t) ⎥ ⎢U1(t ) ⎥ ⎢U G ( t ) + Y 1( t) ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Y 2 Y 1

UG

⎡1⎤ ⎡Y 3 ⎤ U = U G . ⎢1⎥ + ⎢Y 2 ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣Y 1 ⎥⎦ U = U G .I + Y

%

%

%

Y =U −U G .I

%


%

%

Donde I representa un vector cuyos elementos son iguales a la unidad U G representa el desplazamiento por la aceleración del suelo. Ing. Omart Tello Malpartida

Análisis Modal para Excitaciones Sísmicas Cuando un sistema de varios grados de libertad esta sometido a una excitación sísmica, representada usualmente como una aceleración horizontal en la base , las ecuaciones de movimiento toman la siguiente forma:

U3 Y 3 Y 2

.Y&& + C.Y& + K .Y = − M .I .U G( t )

Y 1

Aplicando la descomposición modal presentada en la sección anterior, resulta que la respuesta esta dada por :

&&i + 2.bi .ωi .a&i + ω i 2 .ai = −Γi .U&&G (t ) a

UG



Análisis Modal para Excitaciones Sísmicas &&i + 2.bi .ωi .a&i + ω i 2 .ai = −Γ i .U&&G ( t ) a

Haciendo: Y=

n

∑

ai ( t ) . X i =

i =1

n

∑d

i( t )

.Γi .X i

i =1

Luego reemplazando: d&&i + 2.bi .ωi .d& i + ωi 2 .d i = -U G(t)

Ecuacion similar: Y&& + 2.b.ω.Y& + ω .Y = -UG(t)

Donde el Γ i =X i

Factor de participacion est atica : T

.M.I o

Γ i =X i

T

.M.J

2


Si el modelo es tridimensional


Análisis Modal Espectral En este caso en particular del análisis modal la respuesta correspondiente al modo i estará expresada como sigue:

U m

Y

UG

Desplazamiento de la masa respecto al suelo: Y(t) → Ymax(t) = Sd

Yi =

∑d

Yi =

∑

i (t )

.Γ i . X i

%

Sdi .Γ i . X i

Yi max = Sdi .Γ i . X i

%

%

Y i = Representa los máximos desplazamientos para el modo i Sdi =Valor espectral para el periodo Ti del modo i ( ωi , bi)

Basta leer el valor del

d&&i + 2.bi .ωi .d&i + ωi 2 .di = -U G(t)

para el periodo del modo

para i = 1,2......n

di (max) = Sdi (ω i , bi ) espectro correspondiente,

Donde el Γ i =X i

Factor de participacion est atica : T

.M.I o

Γ i =X i

T

.M.J

Si el modelo es tridimensional

Espectro de Diseño de la Norma E-030 Sa =

Z.U.C.S

.g R Sabemos tambien:

Espectros de diseño Considerando que es común admitir que la edificación pueda hacer incursiones importantes en el rango inelástico (postelástico). Por esta razón en el diseño se utilizan espectros de respuesta elástica a partir de un factor de reducción que depende del factor de reducción R garantizando al el sistema resistente resistencia a sismos en el rango inelástico.

S a = ω 2 .S d Sv = ω .S d Sa =

S a = ω 2 .S v

Z .U .C.S .g R

Combinación Modal 

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

En el análisis modal espectral la determinación del efecto debido a la superposición de todos los modos sólo puede ser hecha de forma aproximada combinando (ya no superponiendo) las respuestas o participaciones modales. Como es poco probable que todas las respuestas máximas de los modos coincidan en el tiempo, sumar los valores absolutos de los valores modales máximos sería demasiado conservador. El procedimiento establece que se deben calcular los efectos modales para la respuesta que se desee: desplazamientos, fuerzas globales, efectos locales en los elementos, y combinarlos siguiendo diversos criterios.

U&&max i = Sai .Γ i . X i

Fmax i = M .U&&max i 

Tradicionalmente se usaba calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los máximos efectos (RCSC) pero modernamente se están usando otras aproximaciones. cada una tratando de acercarse a la respuesta predicha por el análisis tiempo-historia.



Combinación Modal Suma de los Valores Absolutos de la Respuesta (ri )

ABS =

n

∑r

i

i =1

Raiz Cuadrada de la Suma de los Cuadrado s de la Respuesta (ri )

RCSC =

n

∑(r ) 2

i

i =1

La Norma NT E - 0 30 r = 0.25.ABS + 0.75.RCS C

Fmax = ⎡0.25 . Vmax

∑ Fi + 0.75. ⎢⎣ = ⎡0.25.∑ Vi + 0.75. ⎣⎢

⎤ ⎥⎦ 2 ∑ (Vi ) ⎤⎦⎥

∑( F )

2

i



Combinación Modal CQC = Combinación Cuadrática Completa 

Alternativamente la Norma E-030, permite la combinación llamada "Combinación Cuadrática Completa", (CQC) (del Inglés: Complete Quadratic Combinatíon) que es más laboriosa de implementar pero que según referencias es más precisa que todas las conocidas . Esta expresada de la siguiente forma las respuestas o participaciones modales: Rk =

∑∑ R . ρ .R ki

ij

kj

Donde R representa las respuestas modales (desplazamientos o fuerzas) y los coeficientes de correlacion estan dados por: 8. β (1 + r ) .r 2

ρ ij =

(1 + r ) 2

2


3/ 2

+ 4. β 2.r. (1 + r 2 )

2


Combinación Modal 

Para concluir quizás debería recordarse que como el análisis modal espectral involucra claramente una aproximación en la combinación de los efectos modales, el grado de precisión que se tiene en el uso del espectro suavizado o de un registro sísmico en particular no parece justificar la necesidad de mayor precisión.


¿Preguntas?


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