MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL

DINÁMICA Y ANÁLISIS SÍSMICO

Prof. J. C. HERRERA HERRERA

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL MDOF con excitación sísmica [Μ ]{U&&} + [ Κ ]{U } = − [Μ ]{γ }{ &x& g ( t )} (*)

1 1  {γ } =   M  1 n Transformación de coordenadas {u} = [ Φ ]{ z } {u&&} = [ Φ ]{&z &}

Reemplazando en (*): &&} + [ Φ ] [ Κ ][ Φ]{Ζ} = − [ Φ ] [ Μ ]{γ }{u&& ( t )} Φ ] [ Μ ] [ Φ ]{Ζ [1 4 4244 3 14 4244 3 14 4244 3 s Τ

Τ

[Ι ]

Τ

[ Ω]

{Γ }

Τ

participaci ón modal {Γ} = [ Φ ] [Μ ]{γ } : Factor de participación

Se tiene n ecuaciones para un sistema SDOF z&&i

2

+ ω i

zi

= −Γi & x&g

( t ) ( i = 1, 2, ......, n )

Para sistemas con amortiguamiento las ecuaciones toman la forma : z&&i + 2 ξ ωi z&i

2

+ ω i

zi

= −Γi &x&g

( t )

( i = 1, 2, ......, n )



Solución numérica : Duhamel, Newmark, etc USANDO EL ESPECTRO Del espectro Sd: z

máx

= Γ i

S d i

Del espectro Sa: z i

z i

máx

máx

= Γ i

= Γ i

S a i

ω 2

(Τ )2 S a i 4π 2

Los desplazamientos modales para el modo “ i” se obtienen mediante:

{u } = {Φi

zi

máx

{ } Γi ( S d )i

= Φi

alternativamene alternativamene usando Sa:

{ui } = {Φi } z i máx = {Φi } Γi

( S a )i

ω i 2

Las fuerzas modales para el modo “i” se pueden obtener mediante:

{ f } = [ M ]{Φi } Γ i ( S a )i Para un sistema de n grados de libertad, el producto pr oducto [M]{Φi} es esquivalente a:



 m1φ 1  m φ    [ M ]{Φi } =  2 2   M  mnφ n  Por tanto la ecuación para las fuerzas modales { f i} se puede expresar como:

{ fi } = Γ i

 m1φ 1  m φ    ( S a )i  2 2   M  mnφ n 

{ fi } = [ K E ]{ui } = [ KE ]{Φi } z i máx { fi } = [ K E ]{Φ i } Γ i ( S d )i

El cortante basal del modo “i” se calcula como Vi

=

{1 L 1}1 xn { f i }

Definiendo el vector de alturas por:  hn  h    {h} =  i  M  h1 

El momento de vuelco del modo “i” se calcula como i

=

T

{h} { f i }



COMBINACIÓN DE LA RESPUESTA MODAL

En Dinámica Estructural existen varios métodos para combinar las respuestas modales. 1) SUMA DE CADA CONTRIBUCIÓN MODAL u₁ max

=

ϕ11 z₁ max

+

ϕ 12 z ₂ max

u₂ max

=

ϕ21 z₁ max

+

ϕ 22 z ₂ max

2) RAIZ CUADRADA DE LA SUMA DE CUADRADOS (RCSC-SRSS)

2

u₁ max =

(ϕ11 z₁ max )

u₂ max

(ϕ21 z₁ max )

=

+

(ϕ 12 z ₂ max )

2

+

2

(ϕ 22 z ₂ max )

2

NÚMERO DE MODOS A USAR EN ANÁLISIS MODAL Los códigos de diseño sismo resistente a nivel mundial, establecen un límite inferior a la masa activa como un 90% de la masa de la estructura. Esto implica que se deben incluir para el análisis modal espectral, como mínimo un número de modos tal que se active el 90% de la masa total en cada dirección principal.



La masa activa equivale a la suma de los cuadrados de los coeficientes de participación modal que se incluyan. Se debe cumplir con la siguiente expresión:

∑ (Γ ) k

2

≥ 0.9 M total

k

donde k, es el número mínimo de modos a utilizar. La masa total de la estructura en cualquier dirección principal se expresa por: M Total

Τ

n

{ } [ ]{ }

= Γ

Ι

Γ =

∑ ( Γ )

2

i

i =1

La masa total de la estructura en cualquier dirección principal equivale a suma de los cuadrados de los factores de participación modal. El valor ( Γ i)2 de define como la masa efectiva modal y equivale a la fracción de la masa total de la estructura que se activa en el modo “i”, debido a la aceleración del terreno . La masa efectiva modal se utiliza en el análisis dinámico de estructuras para definir el número mínimo de modos de vibración requeridos r equeridos para describir la respuesta dinámica en estructuras con muchos grados de libertad, donde los modos superiores contribuyen muy poco en la respuesta dinámica. 2

( Γ i ) : masa efectiva del modo “i”

Para modos no-normalizados: no-normalizados: El Factor de participación modal se calcula por: Τ

Γi

{Φ i } [ M ] {γ } = {Φ i } [ M ] {Φ i } Τ

{Φ11

Φ 21

{Φ12

Φ 22

Γ1 =

 m1

0  1

0

m2  1

}

 m1

}

0

   = Φ1m1 + Φ 21m2

0   Φ1 

   = {Φ11 m2  Φ 22 

Φ11m1 + Φ 21m2

(m (Φ 1

11

)

2

(

+ m2 Φ 21 21

)

2

)

Φ 22

 m1

Φ12 

m2

Φ 21 

}




Γ2 =


Φ12 m1 + Φ 22 m2 2  m1 ( Φ12 ) 2 + m2 ( Φ 22  22 )  

La masa efectiva modal se calcula como:  n  i 2 m Φ ( )   ∑ j j {Φi } [ m]{γ }  j 1     = n Mef, i = −

2

Τ

=

Τ

{Φi } [ m]{Φi }

∑

m j ( Φij )

2

j =1

EJEMPLO: MÉTODO DE ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL 6 PISOS

Aa=0.25 Av=0.25 Fa=1.15 Fv=1.55 I=1.0



Un edificio de 6 pisos tiene las siguientes propiedades. Matriz de masa [Mg]

[M]=

250 0 0 0 0 0

0 250 0 0 0 0

0 0 250 0 0 0

0 0 0 250 0 0

0 0 0 0 250 0

0 0 0 0 0 250

-0.1760 12.415 -44.391 67.412 -44.502 13.114

0.0385 -0.2644 14.364 -44.502 66.430 -46.431

-0.0046 0.0485 -0.2639 13.114 -46.431 80.095

La matriz de rigidez lateral [kN/m] 19.508 -27.609 [K]=104x 0.9494 -0.1760 0.0385 -0.0046

-27.609 60.142 -42.763 12.415 -0.2644 0.0485

0.9494 -42.763 65.823 -44.391 14.364 -0.2639

Al resolver el problema de valores propios de la ecuación de movimiento, se obtiene:


Modo 1 2 3 4 5 6


λ 28,8 295,3 944,8 2362,6 4368,3 6571,7

ω [rad/s] 5.366 17.183 30.737 48.606 66.093 81.066

T [seg] 1.171 0.3657 0.2044 0.1293 0.0951 0.0775

Los modos normalizados con respecto a la masa son:

[Φ]=

0.0382 0.0353 0.0301 0.0222 0.0130 0.0048

0.0359 0.0152 -0.0121 -0.0332 -0.0348 -0.0167

0.0348 -0.0105 -0.0352 -0.0074 0.0311 0.0258

-0.0262 0.0312 0.0077 -0.0346 0.0058 0.0345

0.0171 -0.0328 0.0279 0.027 9 -0.0022 -0.0250 0.0358

En la siguiente figura se presentan los primeros cuatro modos:

-0.0079 0.0192 -0.0296 0.0339 -0.0315 0.0237



6

6

4

4

o s i P

o s i P

2

2

0 -0.05

0

0 -0.05

0.05

6

0

0.05

0

0.05

6

4

4

o s i P

o s i P

2

2

0 -0.05

0

0.05

0 -0.05

Figura x.x Primeros cuatro modos de vibración. El vector de factores de participación se obtiene mediante:

{Γ } = [Φ]T [ M ]{ } Donde { } es un vector columna unitario de 6 filas.

{Γ}=

35.878 11.414 0.9663 0.4565 0.5198 0.1933

Calculo de lo valores de Sa De acuerdo a la norma colombiana se obtiene:


To = 0.1

Tc = 0.48 T L

=

vFv aFa

= 0.1348

vFv aFa


seg

= 0.647 seg

2.4 Fv = 3.720 seg

Modo 1: T=1.171 seg Sa = 1.2

AvFvI T

= 1.2

0.25(1.55)1 1.171

=

0.397

Modo 2: To < T=0.366 seg < Tc Sa = 2.5 AaFaI = 2.5(0.25)(1.15)1 = 0.719

Modo 3: To < T=0.204 seg < Tc Sa = 2.5 AaFaI = 2.5(0.25)(1.15)1 = 0.719

Modo 4: T=0.129 seg < To Sa = 2.5 AaFaI ( 0.4 + 0.6T / To ) Sa = 0.71 0.719 9 ( 0.4 0.4 + 0.6( 0.6(0. 0.12 129)/ 9)/ 0.13 0.135 5) = 0.70 0.701 1

Modo 5: T=0.095 seg < To Sa = 2.5 AaFaI ( 0.4 + 0.6T / To ) = 0.592

Modo 6: T=0.078 seg < To Sa = 2.5 AaFaI ( 0.4 + 0.6T / To ) = 0.536

En la siguiente tabla se presentan los valores de Sa obtenidos para cada modo


Modo

T (seg) 1 2 3 4 5 6

1.171 0.3657 0.2044 0.1293 0.0951 0.0775


Sa [g] 0.3971 0.7188 0.7188 0.7011 0.5917 0.5355

Γi 35.878 11.414 0.9663 0.4565 0.5198 0.1933

zi max 4.854 0.2726 0.0721 0.0133 0.0069 0.0015

- a) Desplazamientos modales

{ui } = {Φi } z i máx = {Φi } Γi

( S a )i

ω i 2

Para el modo 1, se obtiene:

{u1} = {Φ1} 35.878

{u1}=

0.397(9 .81)

(5.37 )

2

= 4.854 Φ1

{ }

0.1853 0.1712 0.1459 0.1078 0.0632 0.0231

Es posible realizar estos cálculos de forma matricial mediante el producto

[U ] = [Φ][ Z m ] donde la matriz [Zm] es una matriz diagonal, con los valores de zimax , para cada modo:


[Zm]=

4.854 0 0 0 0 0


0 0.2726 0 0 0 0

0 0 0.0721 0 0 0

0 0 0 0.0133 0 0

0 0 0 0 0.0069 0

0 0 0 0 0 0.0015

Efectuando el producto, se obtiene la matriz [U], que contiene los desplazamientos modales:

[U]=

0.1853 0.1712 0.1459 0.1078 0.0632 0.0231

0.0098 0.0041 -0.0033 -0.0090 -0.0095 -0.0046

0.0025 -0.0008 -0.0025 -0.0005 0.0022 0.0019

-0.0003 0.0004 0.0001 -0.0005 0.0001 0.0005

Modo 1

Modo 2

6

6

5

5

4

4

o s3 i P

o s3 i P

2

2

1

1

0

-0.2 -0. 1

0

0.12E-3 -0.122E-4 -0.23E-3 0.297E-4 0.19E-3 -0.457E-4 -0.02E-3 0.523E-4 -0.17E-3 -0.488E-4 0.25E-3 0.366E-4

0.1

0. 2

Desp lazamiento lazamiento [m]

0

-0. 01

0

0.01

Desplaza Desp lazamiento miento [m]



Modo 3

Modo 4

6

6

5

5

4

4

o s3 i P

o s3 i P

2

2

1

1

0

-2

0

0

2

u [m]

x 10

-5

Modo 5 6

5

5

4

4

o s3 i P

o s3 i P

2

2

1

1

-5

5 x 10

-4

Modo 6

6

0

0

u [m]

-3

0

0

5

u [m]

x 10

-5

0

u [m]

-4

5 x 10

-4

- b) Valores máximos factibles del desplazamiento d esplazamiento para cada piso . Se aplica el método de la raíz cuadrada cuadrada de la suma de los cuadrados cuadrados (RCSC/SRSS). Para el piso “j”se calcula por medio de la expresión: max

u j

m

=

∑ (u ) i j

2

=

2

(u ) + (u ) 1 j

2 j

2

i

Por ejemplo para el último piso es:

+L+

2

2

(u ) + (u ) m j

m j


u6max

m

∑

=

( u6i )


2

i

u6max

=

u6max

=

( 0.185 )

2

+

( 0.0098 )

2

+

( 0.0025 )

2

+

2

( -0 .0003)

+

2

(1 .2 E - 4 )

+

(1 .22 E - 5 )

2

0.186 m

Para el piso 3 se obtiene: u3max

m

∑

=

( u3i )

2

i

u3max

=

u3max

=

( 0.1078 )

2

+

( -0.0090 )

2

+

( -0.0005 )

2

+

( -0.0005)

2

+

( -0 .02 E - 3 )

2

+

0.108 m

El vector completo de lo desplazamientos máximos factibles es:

{U max }= max }=

0.1856 0.1713 0.1460 0.1082 0.0640 0.0236

( 0 .523 E - 4 )

2



Desplaz Desp lazamientos amientos Má Máximos ximos 6

5

4 o s3 i P

2

1

0

0

0. 02

0. 04

0. 06

0.08

0.1

0. 12

0. 14

0.16

0. 18

0.2

u [m]

Figura x.x Desplazamientos máximos factibles por piso usando RCSC.

-c) Cálculo de las derivas de piso. La deriva del piso “ j” , para cada modo, se calcula mediante la expresión: D j

= u j − u j −1

La matriz de derivas modales [D] se obtiene con los desplazamientos de cada piso:

[D]=

0.0141 0.0253 0.0381 0.0446 0.0401 0.0231

0.0057 0.0074 0.0057 0.0004 -0.0049 -0.0046

0.0033 0.0018 -0.0020 -0.0028 0.0004 0.0019

-0.0008 0.0003 0.0006 -0.0005 -0.0004 0.0005

0.0003 -0.0004 0.0002 0.0002 -0.0004 0.0002

-0.0000 0.0001 -0.0001 0.0001 -0.0001 0.0000



Modo 1

Modo 2

6

6

5

5

4

4

o s3 i P

o s3 i P

2

2

1

1

0

0

0. 02

0.04

0. 06

0 -5

Deriva [m]

0

Modo 3

5

5

4

4

o s3 i P

o s3 i P

2

2

1

1

0

Deriva [m]

x 10

-3

Modo 4 6

-2

10

Deriva [m]

6

0 -4

5

2

4 x 10

-3

0 -1

-0.5

0

0. 5

Deriva [m]

1 x 10

-3



Modo 5

Modo 6

6

6

5

5

4

4

o s3 i P

o s3 i P

2

2

1

1

0 -5

0

0

5

Deriva [m]

x 10

0

2

Deriva [m]

-4

x 10

-4

- d) Valores máximos factibles de las derivas de piso .

Los valores máximos factibles de las derivas de piso se deben obtener directamente de las derivas modales. Es un error calcularlas usando los desplazamientos máximos factibles calculados en la sección anterior. Se aplica el método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (RCSC/SRSS). (RCSC/SRSS). Para el piso “j” se calcula por medio de la expresión: max

D j

m

=

∑( D ) i j

2

=

2

(D ) + (D ) 1 j

2 j

2

+L+

2

(D ) +(D ) m −1 j

m j

2

i

El cálculo para el último piso es: D6max

m

=

∑

( D6i )

2

i

D6max

=

D6max

=

( 0.0141)

2

+

( 0.0057 )

2

+

( 0.0033)

0.0155 m

-

Para el piso 3 se obtiene: max D3

m

=

∑ i

( D3 ) i

2

2

+

( -0 .0008 )

2

+

( 0 .0003)

2

+ −4 .18 E - 5

(

)

2

DINÁMICA Y ANÁLISIS SÍSMICO D3max

=

D3max

=

( 0.0446 )

2

+

( 0.0004 )

2

+

( -0.0028 )

2


+

( -0.0005 )

2

+

( 0 .0002 )

2

+

( 0 .0002 )

2

0.0447 m

El vector completo de las derivas de piso máximas factibles es:

{ Dmax }= }=

0.0155 0.0264 0.0386 0.0447 0.0404 0.0236 6

5

4 o s3 i P

2

1

0

0

0. 005 0.01 0.015 0.02 0. 025 0.03 0.035 0. 04 0.045 0.05

Deriva [m]

Figura. Derivas máximas factibles e-) Fuerzas modales Las fuerzas modales { f i} se obtienen mediante la ecuación:

{ f } = [ K ]{ui } = [ K ]{Φi } z i máx Para el primer modo se obtiene: 1067,3



1232,7 1050,6 776,1 455,2 166,2

{ f f 1}=

De manera alterna se puede obtener las fuerzas para el modo “i” usando:

{ fi } = Γ i

 m1φ 1  m φ    ( S a )i  2 2   M  mnφ n 

Por ejemplo, para el primer modo:

{ f1} =

 m1φ 1  m φ   2 2 Γ 1 ( S a )1   M   mnφ n  1

{ f 1} =

 200φ 1  250φ   2 35.878 878 0.397 397(9.81)   M   250φ n  1

Obteniéndose:

{ f f 1}=

1067,3 1232,7 1050,6 776,1 455,2 166,2



La matriz [F] que contiene las fuerzas modales para todos los modos se calcula mediante la ecuación:

[ F ] = [ K ][U ]

Las fuerzas modales resultantes , en [kN], son: 10.673 12.327 10.506 0.7761 0.4552 0.1662

[F]= 102 x

0.5785 0.3057 -0.2440 -0.6674 -0.6994 -0.3367

0.4740 -0.1781 -0.5990 -0.1258 0.5299 0.4389

-0.1643 0.2446 0.0601 -0.2719 0.0452 0.2707 0. 2707

0.1034 -0.2474 0.2103 -0.0167 -0.1887 0.2700 0. 2700

-0.0160 0.0487 -0.0752 0.0860 -0.0801 0.0602 0. 0602

f-) Cortantes modales de piso Los cortantes modales de piso se calculan con las fuerzas modales obtenidas en la sección anterior mediante 6

5

4 o s3 i P

2

1

0

0

500

1000 1500

2000 2500 3000 3500

Fuerza [kN]

4000 4500 5000

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL

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