Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios
Enunciado Se tiene un edificio de dos plantas, conformado por losas alivianadas apoyadas en vigas de 25x50 cm, las cuales se encuentran a su vez soportadas por columnas de 25x25 cm de hormigón armado. Se estima que el módulo elástico del hormigón es de 3x106 t/m2 y que el peso de cada losa, con la correspondiente fracción de la sobrecarga de diseño a ser considerada durante un evento sísmico, es de 22 toneladas. Las columnas se encuentran fundadas mediante pilotes de 80 cm de diámetro, vinculados mediante vigas de fundación, por lo que se considera que las mismas se encuentran empotradas a una profundidad efectiva de 25 cm por debajo del nivel inferior.
0.5 m 2.65 m
0.5 m 2.65 m 0.5 m
x
0.25 m
4.5 m
0.25 m
Figura 1. Esquema de la estructura a analizar Se pide determinar para el evento sísmico de diseño: 1) desplazamientos relativos máximos 2) diagramas de esfuerzos (momento, corte y normal) El evento sísmico de diseño se encuentra caracterizado por un espectro de respuesta elástico, dado en la Figura 2. Se considera que el mismo actúa solamente en la dirección “x”. El método a utilizar es superposición modal espectral, con combinación cuadrática para los distintos modos.
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios 11 tn
1
EI=977 t m2
Sa
2.9 m 0.3
11 tn
2
EI=977 t m2
2.9 m
0.1 0.4
1.2
T (s)
4.75 m
Figura 2. Modelo de cálculo y espectro de diseño
Procedimiento 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
Desarrollo de modelo de cálculo Determinación de modos y frecuencias naturales Determinación de factores de participación modal Determinación de coordenadas modales máximas Determinación de desplazamientos relativos máximos Determinación de fuerzas de inercia máximas Diagramas de esfuerzos.
1) Modelo de cálculo
Dado que se analiza el comportamiento del edificio en una sola dirección, puede considerarse solamente un pórtico con la mitad de la masa (Figura 2). Se considera que las vigas son lo suficientemente rígidas como para ser consideradas infinitamente rígidas frente a las columnas. Por último, se considera que las columnas tienen rigidez axial infinita, por lo que el problema puede ser modelado mediante dos grados de libertad dinámicos, consistentes en los desplazamientos laterales de los pisos 1 y 2 (se invierte la numeración a fines prácticos).
La matriz de rigidez condensada puede obtenerse mediante procedimientos matriciales a partir de la matriz de rigidez de la estructura. Sin embargo, en este caso es obtenida mediante la definición de matriz de rigidez, es decir obteniendo las reacciones para desplazamientos unitarios. El procedimiento está esquematizado en la Figura 3, donde puede verse que la matriz de rigidez resulta:
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios
24 E I 24E I 3 3 h h K 24E I 48E I 3 3 h h
12EI/h3
12EI/h3
12EI/h3 12EI/h3
12EI/h
12EI/h3 12EI/h3
1
K22 = +48EI/h3
K11 = + 24EI/h3
K21 = - 24EI/h3
3
12EI/h
2
t
K12 = - 24EI/h3
12EI/h3
3
960.987
3 960.987 1.922 10 m
12EI/h3
1
2
960.987
K
Figura 3. Determinación de la matriz de rigidez condensada La matriz de masa, por otra parte, es obtenida dividiendo los pesos por la gravedad: 11 0 t 0 11 g
M
1.122 0 t sec 0 1.122 m
2
M
2) Determinación de frecuencias y modos naturales En primera instancia, se determinan las frecuencias naturales resolviendo la ecuación característica que resulta de igualar el determinante de K-2M a cero:
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios
960.987 960.987 2 1.122 0 2 4 1.2589 0 0 923521 3234.7 3 0 1.122 960.987 1.922 10 La soluciones de la ecuación bi-cuadrática son las frecuencias naturales del primer y segundo modo: 1 18.087 2 47.353
rad sec rad sec
f1 f2
1 2 2 2
f1 2.879Hz
T1
f2 7.536Hz
T2
1 f1 1 f2
T1 0.347s T2 0.133s
Puede verse que el período fundamental es 0.347 s, mientras que el segundo modo tiene un período de 0.133 s. Las formas modales son obtenidas resolviendo el sistema singular que resulta de reemplazar las frecuencias naturales en las ecuaciones de equilibrio dinámico para vibraciones libres: Para el modo 1 se plantea: 593.915 960.987 11 960.987 960.987 2 1.122 0 11 0 18.087 3 0 1.122 12 960.987 1.555 103 12 0 960.987 1.922 10
Dado que el sistema es singular, se establece el valor de una de las componentes del vector 1, para así obtener un sistema determinado. De esta manera, se elige la segunda componente (piso superior) con un valor unitario para obtener la forma modal del primer modo: 11 1 12
593.915 960.987
1
1 0.618
La forma modal está graficada en la Figura 4.
Modo fundamental 1
2
1.000
0.618
Segundo modo -0.618
2
Figura 4. Modos naturales de vibración
1
1.000
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios El segundo modo puede obtenerse en forma análoga al primero, utilizando la frecuencia circular correspondiente al segundo modo: 3 2 2 960.987 960.987 2 1.122 0 1 1.555 10 960.987 1 0 47.353 3 0 1.122 22 960.987 593.915 22 0 960.987 1.922 10 Dado que el sistema es singular, se escoge el valor de la componente del piso inferior como unitario: 22 1 21
593.915
2
960.987
0.618 1
3) Determinación de factores de participación modal Los factores de participación modal de cada modo son determinados de la siguiente manera: 2
T
1 M B M1
1
1i M
i i
i1
1 ( 1.171)
2
2 1i Mi i
i1
2
T
2
2 M B M2
2i M
i i
i1
2 ( 0.276)
2
2 2i Mi i
i1
Los factores de participación modal pueden entenderse como las coordenadas modales del vector B; es decir, indican la participación relativa de cada modo en el movimiento de apoyo impuesto. Por otra parte, los factores de participación pueden entenderse como los factores necesarios para que la ecuación de un modo natural de un sistema de múltiples gld coincida con la ecuación de un sistema de 1gld. Cabe destacar que el valor numérico de los factores de participación dependen de la normalización que haya sido realizada para los modos, por lo que su valor numérico no representa una propiedad intrínseca del modo. Otros parámetros de interés, que indican la contribución de cada modo en términos de la masa total, son las masas modales de cada modo:
2 1i M i i 2 i 1 M1 1 M1
2
2
2 1i Mi i
i1
M1 ( 2.125)
s
2
m
t
M1 mt
( 94.722) %
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2 2i M i i 2 i 1 M2 2 M2
2
M2 ( 0.118)
2
2 2i Mi i
s
2
m
t
M2 mt
( 5.279) %
i1
Puede verse que el modo 1 contribuye con el 95% de la masa total, mientras que el segundo modo aporta el 5% restante. Si bien las masas modales no son parámetros de cálculo importantes, nos indican si la aproximación modal es suficiente y nos permite identificar hasta qué modo es necesario considerar para obtener una representación dinámica aceptable. Los valores numéricos de la masa modal no dependen de la normalización realizada para los modos, y, a diferencia de los factores de participación, sí representan propiedades intrínsecas de los modos.
4) Determinación de coordenadas modales máximas La acción sísmica está caracterizada por el espectro de respuesta elástico de la Figura 2. Este espectro nos permite determinar la respuesta máxima instantánea en términos de pseudoaceleración (SA=2 Sd, donde Sd es el desplazamiento espectral = urel max) de un sistema de un grado de libertad sujeto al movimiento sísmico prescripto. Dado que cada modo está sujeto a un movimiento igual al movimiento sísmico multiplicado por el factor de participación modal, las coordenadas modales máximas resultan: q max Sd
Sa 2
Dado que los valores de Sa están generalmente expresados en función de la gravedad, es necesario multiplicar Sa por el valor de “g”. De esta manera, resulta para los modos 1 y 2: q1
1 Sa1 g
q1 0.0096m
2
1
q2
2 Sa2 g 2
q2 0.0002m
2
donde el valor de Sa1=0.274 es obtenido del espectro elástico de la Figura 2 para el período del primer modo T1=0.347 s, mientras que Sa2=0.166 corresponde a T2=0.133 s.
5) Determinación de desplazamientos relativos máximos Los desplazamientos relativos máximos para cada modo pueden obtenerse multiplicando las coordenadas modales por los respectivos modos: 9.606 10 3 m q1 1 3 5.937 10 1.243 10 4 m q2 2 4 2.011 10
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios El vector de desplazamientos totales puede obtenerse componiendo modos mediante i) suma absoluta (criterio conservador) ó ii) suma cuadrática. En este caso realizaremos la suma cuadrática:
9.607 10 3 m ut 3 5.94 10 Puede verse que en este caso la influencia del segundo modo es casi nula. La influencia del segundo modo es, en general, más marcada en los esfuerzos que en los desplazamientos relativos.
6) Determinación de fuerzas elásticas máximas Las fuerzas elásticas pueden calcularse para cada modo utilizando la matriz de rigidez multiplicada por los desplazamientos relativos máximos. Esto es numéricamente equivalente a obtener las fuerzas como el producto de la masa de cada grado de libertad por el factor de participación modal y por la la pseudoaceleración máxima en cada nivel, la cual resulta igual al producto de la coordenada modal máxima por el cuadrado de la frecuencia circular, y la amplitud modal en el grado de libertad en consideración: 2
3.525 t 2.178
K q1 1
0.313 t 0.506
K q2 2
1 q1 M 1
2
2 q2 M 2
3.526 t 2.179
0.313 t 0.506
La Figura 5 muestra las fuerzas de inercia obtenidas para cada modo. Los diagramas de esfuerzo pueden ser directamente obtenidos para cada modo resolviendo la estructura mediante métodos ya vistos.
Modo fundamental
Segundo modo
1
3.525 t
2
2.179 t
Figura 5. Fuerzas elásticas máximas
0.313 t
0.506 t
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios
7) Diagramas de esfuerzos Los diagramas de esfuerzos pueden ser determinados mediante alguno de los métodos ya vistos en el curso. Sin embargo, para el caso en consideración, los mismos pueden ser obtenidos considerando que se trata de columnas biempotradas en los distintos niveles. De esta manera, los diagramas de momento flector resultan triangulares, con valores opuestos en los extremos e iguales al producto del corte por la mitad de la altura (ver 1ra columna de matriz de rigidez de viga). Los momentos flectores en las vigas resultan iguales a los momentos desequilibrados en los nudos con las columnas. Los esfuerzos normales en las columnas son los necesarios para equilibrar los momentos de extremo en las vigas. Por último, los esfuerzos de corte en las vigas resultan del equilibrio vertical de los distintos nudos, iguales a la diferencia de esfuerzos axiales en las columnas de los distintos pisos. A modo de ejemplo se detalla el cálculo de los diagramas de la columna izquierda y vigas del pórtico para el primer modo. a) Esfuerzo cortante El corte basal del primer modo resulta igual a 5.704 t y es tomado en partes iguales por ambas columnas. Por lo tanto, el corte en la base de cada columna resulta igual a 5.704/2 = 2.852 t. El corte total en el segundo nivel resulta igual a 3.525 t, por lo que el corte en cada columna resulta igual a 1.763 t. b) Esfuerzo normal en viga De esta manera, no existe esfuerzo normal en la viga debido a que la diferencia de corte en el nudo es equilibrada por la fuerza de inercia. c) Momento flector en columnas El momento flector en la columna de planta baja varía linealmente, con valores máximos y opuestos en los extremos iguales a 2.852 t x 2.9 m / 2 = 4.135 t m, mientras que el momento flector máximo de la columna del primer piso tiene valores máximos de 1.763 t x 2.9 m / 2 = 2.556 t. d) Momento flector en vigas La diferencia de momento entre las columnas del piso superior e inferior es tomada por la viga de la losa de planta baja, por lo que el momento de esta viga resulta = 4.135+2.556 = 6.691 tm (se realiza una suma ya que los momentos tienen signos contrarios, por lo que la resta es una suma de valores absolutos).
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios La viga del piso superior debe equilibrar el momento de la columna, por lo que el momento flector de la misma en el nudo resulta igual a 2.556 tm. e) Esfuerzo normal en columnas Los esfuerzos normales de las columnas del primer piso deben equilibrar al momento resultante actuante sobre la viga de ese nivel. Los momentos en los bordes de esa viga son de igual magnitud y signo, por lo que el momento resultante es 2x2.556 tn = 5.112 tm. Por lo tanto el esfuerzo axial de la columna resulta = 5.112 tm / 4.75 m = 1.076 t. Dada la naturaleza cíclica de las cargas sísmicas, las columnas serán comprimidas o traccionadas con estos valores, por lo que debe estudiarse el caso crítico. No olvidar que estas cargas deben ser superpuestas con las gravitatorias mediante la utilización de factores de carga apropiados. El esfuerzo normal de la columna en el piso inferior resulta de equilibrar los momentos de extremo de la viga de ese nivel, valor al cual debe sumarse el esfuerzo normal que transmite la columna del piso superior. De esta manera, el esfuerzo normal de las columnas de planta baja resulta = 1.076 t + 2x6.691 tm / 4.75 m = 3.893 t. f) Esfuerzos de corte en vigas Por último, los esfuerzos de corte en las vigas resultan de equilibrar los esfuerzos axiales de las columnas en los nudos. El esfuerzo de corte de la viga superior resulta = 1.076 t, mientras que el de la viga inferior resulta = 3.983-1.076 = 2.817 t. Los diagramas correspondientes están dados en la Figura 6 y 7. Para la obtención de los diagramas correspondientes a la combinación de los modos puede realizarse la suma de los valores absolutos o la suma cuadrática. Cabe destacar que estos valores son máximos instantáneos y que no consideran posibles reducciones por comportamiento elastoplástico. Por otra parte, cabe también destacar que estos valores deben ser combinados con los correspondientes a otros estados de carga mediante factores de carga apropiados.
8) Reacciones Las reacciones para cada modo se obtienen de los diagramas determinados en el punto anterior, considerando el extremo inferior de las columnas. Los valores de las reacciones están indicados en las Figuras 6 y 7. Puede verse que el momento de vuelco para el modo 1 resulta igual a Mv1=3.525x2x2.9+2.179x2.9 = 26.764 tm. La flexión de las columnas en la base equilibran un 31% de este valor (2x4.134/26.764 = 0.309), mientras que las fuerzas axiales equilibran el 69% restante de este valor (3.893x4.75/26.764=0.691). En el caso del segundo modo, el momento en las bases de las columnas de hecho tiene el mismo sentido que el momento de vuelco, por lo que los esfuerzos axiales en las columnsa
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios deben equilibrar la suma de ambos. El momento resistido por el comportamiento axial de las columnas resulta igual a un 180% del valor del momento de vuelco, lo que indica que el momento en la base de las columnas es un 80% del momento de vuelco en el mismo sentido que éste.
4.135 tm
Corte
6.691 tm 4.135 tm
2.852 t
2.556 tm
2.556 tm
1.763 t
2.817 t
2.852 t
1.763 t
1.076 t
2.556 tm
El corte basal del modo 1 dividido por la aceleración espectral Sa1=0.274 resulta igual a la masa modal de ese modo: (3.525+2.179)/(0.274 x 9.81) = 2.125 t s2/m. En el caso del segundo modo se tiene: (-0.313+0.506)/(0.166x9.81) = 0.118 t s2/m, valor que representa la masa modal del modo 2.
Momento
1.076 t
1.076 t
3.525 t
3.893 t
3.893 t
2.179 t
2.852 t
2.852 t 4.134 tm 3.893 t
Normal
Reacciones
Figura 6. Diagramas resultantes y reacciones del primer modo
4.134 tm 3.893 t
Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios
0.228 tm
0.228 tm
0.140 tm
Corte
0.088 tm 0.140 tm
0.036 t
0.157 t
0.096 t
0.097 t
0.097 t
0.157 t
0.228 tm
Momento
0.096 t
0.096 t
0.313 t
0.132 t
0.132 t
0.506 t
0.097 t
0.097 t 0.140 tm 0.132 t
Normal
Reacciones
Figura 7. Diagramas resultantes y reacciones del segundo modo
0.140 tm 0.132 t
