Universidad de San Carlos de Guatemala Laboratorio de Comunicaciones 2 Práctica 2 DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA Grupo B63 Israel Alexander Valenzuela 2011-14289 Pedro Julio Miranda 2011-13878 Marco Tulio Escobar 2011-14651 Densidad espectral de Potencia Resumen En matemáticas En matemáticas y en física, en física, la Densidad Espectral (Spectral Density) de una señal es una función matemática que nos informa de cómo está distribuida la potencia la potencia o la energía la energía (según el caso) de dicha señal sobre las distintas frecuencias de las que está formada, es decir, su espectro. su espectro. La definición matemática de la Densidad Espectral (DE) es diferente dependiendo de si se trata de señales definidas en energía, en cuyo caso hablamos de Densidad Espectral de Energía (DEE), o en potencia, en cuyo caso hablamos de Densidad Espectral de Potencia (DEP). Aunque la densidad espectral no es exactamente lo mismo que el espectro de una señal, a veces ambos términos se usan indistintamente, lo cual, en rigor, es incorrecto. La potencia normalizada de una forma de onda se relacionará ahora con su descripción en el dominio de la frecuencia mediante el uso de una función llamada densidad espectral de potencia (PSD, por sus siglas en inglés: power spectral density). La PSD es muy útil para describir la manera en que el contenido de potencia de las señales y el ruido son afectados por filtros y otros dispositivos en los sistemas de comunicación. La densidad espectral de energía se definió en términos de la magnitud elevada al cuadrado de la transformada de Fourier de la forma de onda. La densidad espectral de potencia se definirá de la misma manera. La PSD es más útil que la ESD puesto que en la solución de problemas de comunicación comunicación por lo general se utilizan modelos de potencia.
Para el caso de señales definidas en energía: Una señal es definida en energía si su energía media es finita, i.e, y por tanto, su potencia media es cero. Otra forma de decir lo mismo es si la integral de su valor absoluto al cuadrado existe y es finita . Su DEE es Expresado en [J/Hz] Donde
es la Transformada de Fourier de
todo el eje
, la integral de esta función en
es el valor de la energía total de la señal
Para el caso de señales definidas en potencia: Una i.e,
señal
es
definida en potencia si su potencia y por tanto, su energía media es infinita,
media .
es
finita,
La DEP se calcula usando el teorema de Wiener-Khinchin el cual relaciona la DEP con la transformada de Fourier de la función de auto correlación.
Donde de El valor
significa Transformada de Fourier y
es la función de auto correlación
. es la potencia de la componente continua (DC) de la señal. La integral
de esta función en todo el eje
es el valor de la potencia total de la señal
Usando el concepto de correlación cruzada es posible definir también la densidad espectral cruzada.
Propiedades Relativas a los sistemas lineales e invariantes con el tiempo: En un sistema lineal e invariante con el tiempo en el que respuesta al impulso e
Donde
es la entrada,
la
la salida del sistema. Tenemos las siguientes propiedades:
es la media de
y
es la densidad espectral cruzada entre
e
Suma de procesos: En general, la Densidad Espectral de la suma NO es suma de Densidades Espectrales. Esto sólo es cierto si ambos procesos no están correlacionados. En general, si tenemos:
Donde
e
son conjuntamente estacionarios, entonces
Estimación de la densidad Espectral: Un problema muy común y con grandes aplicaciones prácticas en procesado de señal es el de estimar la densidad espectral de potencia de una señal aleatoria estacionaria. Decimos "estimar" puesto que, como la señal es un proceso estocástico (estacionario) dada la naturaleza estocástica del mismo no es posible determinar con absoluta precisión su DEP a no ser que dispongamos de un registro de señal infinito, lo cual no es posible.
Las técnicas de estimación se dividen en dos grandes grupos:
No Paramétricas. Están basadas siempre de una u otra forma en el cálculo del periodograma. Calcular la transformada de fourier (en un ordenador es la DFT) de un registro de señal para estimar su espectro es un ejemplo de técnica no paramétrica. Paramétricas. Consisten en suponer un determinado modelo para el proceso estocástico (modelos AR, MA, ARMA, etc) y en la estimación de los parámetros de estos modelos mediante técnicas de predicción lineal (filtrado lineal óptimo) u otros métodos.
Acerca de los procesos estocásticos no estacionarios: La DE sólo está matemáticamente bien definida en el caso de señales con una función de auto correlación estacionaria, i.e, que no dependa de la posición de las variables aleatorias que componen el proceso sino sólo de la distancia entre ellas. Es decir, la DE sólo está bien definida para el caso de señales deterministas y señales aleatorias estacionarias. Un proceso aleatorio no estacionario que es estacionario a trozos se llama cuasi-estacionario y es posible definir la DEP en cada uno de estos trozos. Para estimar la DEP en este tipo de procesos lo normal es usar un método de estimación espectral paramétrico adaptativo (por ejemplo mediante un modelo AR y el algoritmo LMS para identificar el modelo AR).
Análisis y conclusiones de la Práctica 2 En el desarrollo de la práctica se tomaron las muestras respectivas de un tono de audiofrecuencia mediante los comandos que se especifican en el código y video. Esto con la finalidad de darle tratamiento a una señal y conocer su espectro de potencia, que matemáticamente se define como la transformada de Fourier de la señal. Se consideraron dos casos; la señal y la señal con ruido.
Conclusiones La densidad espectral de potencia representa la cantidad de energía por unidad de frecuencia, y se nota claramente que casi toda la energía está en la frecuencia aproximadamente de 3.5 kHz que es una frecuencia del espectro audible muy cercana a la frecuencia de la nota musical LA7.
Para el espectro de potencia de la señal + ruido observamos que en general el ruido mantiene valores casi constantes, pero vemos que siempre se concentra la mayor parte de energía en la frecuencia de nuestro tono La7, por lo que si se simula una transmisión con ruido adherido se podría recobrar por la cantidad de energía que posee esa frecuencia
Densidad de potencia de señal + Ruido con desviación de 2.
Enlace del video
http://youtu.be/yt6PQP8m6vU
Código: % para leer el archivo y plotearlo en tiempo fs=4400;[y, fs]=wavread('tono.wav'); sound(y,fs); sound(y,fs); time=(1:length(y))/fs; plot(time,y);
% su transformada de fourier NFFT = 2^nextpow2(length(y)); Y = fft(y,NFFT)/length(y); %se le aplica la TF a la energía f = fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);
plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1))); >> %para la señal con ruido >> yn=y+(2*rand(251,1)); >> time1=(1:length(yn))/fs; >> plot(time,yn); >> plot(time,yn) >> %para la transformada de la señal >> NFFT = 2^nextpow2(length(yn)); >> Yn = fft(yn,NFFT)/length(yn); %se le aplica la TF a l a energía f = fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1); plot(f,2*abs(Yn(1:NFFT/2+1)));
