Un ejemplo de un análisis modal espectral, usando la norma NCh433 vigente al 2016 para el ramo de Dinámica (UdeC)Descripción completa
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Apuntes sobre musica espectralDescripción completa
Descripción: ejercicios de notacion espectral
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Análisis Modal Espectral
Respuesta a ex excitaciones citaciones sísmicas
Respuesta a ex excitaciones citaciones sísmicas
Anteriormente se analizó la respuesta de un oscilador simple (1 GLD) como introducción para estudiar la respuesta de sistemas de múltiples GLD tema cu!o tratamiento comienza analizando el caso de "i#raciones li#res es decir a$uellas $ue ocurren en ausencia de car%as exteriores &(t) ' En el caso de cuerpos rí%idos la Le! de *e+ton indica $ue si &(t) ' el sistema permanecerá en reposo o con mo"imiento de "elocidad constante ,in em#ar%o en el caso de cuerpos de-orma#les en ausencia de car%as exteriores el sistema puede "i#rar li#remente en ciertas -recuencias $ue se denominan -recuencias propias o naturales del sistema
Grados de Li#ertad Dinámicos ! E$uili#rio Dinámico En el m.todo de ri%idez se de/ne como %rados de li#ertad %eom.tricos o cinemáticos GL a los parámetros %eom.tricos necesarios para de/nir en cual$uier instante la con/%uración de-ormada de un sistema
,e de/ne como %rado de li#ertad dinámico en lo sucesi"o GLD a a$uellos %rados de li#ertad %eom.tricos $ue tienen asociado al mismo una cierta masa es decir la propiedad de %enerar -uerzas de inercia En este contexto se consideran sistemas estructurales para los cuales se supondrá $ue las masas están concentradas en correspondencia con los GLD 0on -recuencia se considera $ue la masas concentradas son puntuales2 es decir $ue sólo tienen asociada inercia de traslación pero no 3a! incon"eniente en %eneralizar este concepto para incluir masas concentradas asociadas a los
El número de GL depende del número de nudos mientras $ue en am#os casos el número de GLD es 4 los tres desplazamientos "erticales !a $ue por tratarse de masas puntuales ! concentradas en los nudos el momento de inercia de las masas es nulo ! no 3a! inercia de rotación asociada a los %iros La solución de pro#lemas dinámicos es en %eneral más la#oriosa $ue la solución de pro#lemas estáticos por lo $ue se trata de reducir en todo lo posi#le el número de GLD
Ecuaciones de E$uili#rio Dinámico En el pro#lema dinámico se de#en a%re%ar las -uerzas de inercia ! las disipati"as5 6 u 7 m 8 7 0 9' &(t) : 5 Es la matriz de ri%idez u(t) 5 Es el "ector desplazamiento llamado tam#i.n la respuesta2 &(t) 5 ;ector de car%as exteriores M 5 Es la matriz de masa 8 5 Es el "ector aceleración 0 5 Es la matriz de amorti%uamiento 9 5 Es el "ector "elocidad
El producto :< constitu!e las -uerzas elásticas el "ector =M 8 son las -uerzas de inercia ! el "ector =0 9 las -uerzas disipati"as La suma de estas -uerzas ! las -uerzas exteriores &(t) de#en permanecer en e$uili#rio con las -uerzas elásticas en todo instante La ecuación anterior es un sistema de ecuaciones di-erenciales acopladas de se%undo orden en el $ue : M ! 0 son constantes $ue no "arían en el tiempo >am#i.n se conoce como ecuaciones de e$uili#rio dinámico2 o ecuaciones de mo"imiento2 del sistema
Matriz de Masa ? Ri%idez La matriz de masa M es cuadrada ! del mismo orden $ue : 0uando las masas están concentradas en los %rados de li#ertad dinámicos es una matriz dia%onal !a $ue la aceleración de cual$uiera de los %rados de li#ertad dinámica no %enera -uerzas de inercia en los restantes %rados de li#ertad
;i#raciones Li#res En ausencia de car%as exteriores &(t) las ecuaciones de e$uili#rio dinámico son5 :u 7 M 8 ' &ara encontrar una solución no tri"ial (<@) al pro#lema se propone una solución armónica del tipo5 <(t)'
pro#lema de "alores ! "ectores propios2
(: BM )< ' Determinante característico del sistema de ecuaciones ' di-erenciales Al desarrollar explícitamente el determinante se o#tiene una ecuación polinómica de orden i%ual al orden de las matrices : ! M en la incó%nita 0ada solución de la ecuación da ori%en a un modo natural de "i#ración2 con esa -recuencia circular De lo dic3o sur%e $ue el número de modos de "i#rar li#remente coincide con el número de GLD •
0ondensación Estática •
El m.todo de condensación estática se utiliza para eliminar de los análisis dinámicos a$uellos %rados de li#ertad de una estructura a los cuales se les asi%na una masa cero sin em#ar%o todos los %rados de li#ertad se inclu!en en el análisis estático
Matriz de Ri%idez 0ondensada •
(: BM )< '
<1 5 0ontiene todos los GLD <5 0ontiene todos los GL $ue no tienen masa El sistema puede reordenarse cam#iando el orden de las componentes del "ector (:cB M ) <1 ' El pro#lema $ue ori%inalmente tenía n2 GL -ue reducido a otro pro#lema de menor número de incó%nitas m2 $ue tienen inercia asociada ! $ue se denominan GLD En lo sucesi"o los pro#lemas serán reducidos a tra".s del proceso de condensación de manera de tra#aFar exclusi"amente con %rados de li#ertad dinámicos
Modos naturales de "i#ración &ara resol"er el pro#lema de "i#raciones li#res consiste en resol"er la ecuación característica $ue tendrá tantas raíces como GLD ten%a el sistema es decir $ue para $ue el sistema de ecuaciones de e$uili#rio dinámico ten%a una solución no tri"ial se re$uiere $ue el determinante de la matriz (:c BM1) sea nulo5 Las -recuencias propias caracterizan dinámicamente a la estructura ! permiten estimar si un determinado pulso o car%a periódica produce e-ectos dinámicos o no •
,i un sistema lineal 3omo%.neo de ecuaciones al%e#raicas admite una solución cual$uier múltiplo de la misma tam#i.n es una solución lue%o el "ector -orma modal
Repitiendo el procedimiento descrito para cada una de las n2 -recuencias i se pueden o#tener los n2 modos naturales $ue dispuestos en columnas con/%uran la matriz modal I Los modos de menor -recuencia corresponden a de-ormadas sua"es2 (poca cur"atura) $ue implican poca ener%ía de de-ormación estos modos son -áciles de excitar con una pertur#ación aplicada en el punto $ue más se mue"e Al%o similar puede decirse de los modos superiores (ma!or -recuencia)
&ropiedad de Jrto%onalidad de los modos naturales
0ual$uier modo Hi con su correspondiente -recuencia i satis-ace el sistema Es posi#le demostrar $ue los modos naturales correspondientes a las di-erentes -recuencias naturales satis-acen las si%uientes condiciones de orto%onalidad 0uando n @ r
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Las expresiones anteriores indican $ue los modos de naturales de "i#ración son orto%onales respecto a las matrices de masa ! de ri%idez Estas dos propiedades son -undamentales para desarrollar el m.todo de descomposición modal
Matriz Modal *ormalizada ,e puede normalizar los modos di"idiendo todas las componentes por la componente de ma!or "alor a#soluto ! en tal caso se 3a normalizado respecto a esa componente especí/ca En ese caso los modos Hi se dice $ue son ortonormales2 respecto a la matriz de masa M &or último mientras no se aclare lo contrario se supondrá $ue los modos serán normalizados respecto a
Descomposició n Modal
&artimos de las ecuaciones de mo"imiento oscilatorio antes conocidas MK 7 6 < ' Donde la solución < se podría descomponer en ;ectores5
A3ora cam#iaremos esta -ormación de "ectores para utilizar los modos de "i#ración () •
Donde
5 ,on un tipo de coordenadas *JRMALE, 5 Es trans-ormador de coordenadas
Descomposición Modal sin Amorti%uamiento &artiendo de las ecuación de mo"imiento armónico MK 7 6< ' & *os $ueda •
&remultiplicando por Ecuación Gen.rica o
&ara el calculo de -uerzas elásticas
,ustitu!endo las ecuaciones $ue 3emos de/nido5 &ara para desacoplar
Descomposición Modal con Amorti%uamiento &artimos de la ecuación &or orto%onalidad
Ecuacion desacoplada seria5
&ara una matriz de amorti%uamiento ar#itraria 0 no se puede %arantiza el desacople de sistema de ecuaciones por tanto el m.todo no es aplica#le
Amorti%uamiento proporcional tiene la %ran "entaFa $ue con ella es posi#le aplicar el Metodo de Descomposicion Modal !a $ue la ecuaciones resultantes si%uen siendo desacopladas
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Armar las matrices de masa ! ri%idez condensada 0alcular por un m.todo los primero &2 modos ! sus -recuencias Determinar Mi :i i ,uperponer las respuestas en cada modo 0alcular los es-uerzos #arra por #arra
M.todo modal espectral
Normulación del Análisis Modal Espectral
Normulación del Análisis Modal Espectral
Normulación del Análisis Modal Espectral
Método de Combinación de la Respuesta Modal Raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (,R,,) 1 Desplazamientos Oorizontales Máximos de la Estructura
