Análisis Modal Espectral Espectral Dr.. Alberto Dr Alb erto Salgado Sa lgado Rodríguez Rodr íguez
Ecuaciones modales para sistemas sistemas no amortiguados Ecuación de equilibrio dinámico para un sistema lineal no amortiguado
El vector de desplazamientos se puede expresar en términos de las contribuciones modales
Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación de equilibrio dinámico
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Ecuaciones modales para sistemas no amortiguados Premultiplicando, se obtiene
Por el principio de ortogonalidad, todos los términos en cada una de las sumatorias desaparecen excepto en donde r=n, por lo que se obtiene
donde
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Ecuaciones modales para sistemas no amortiguados
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Ecuaciones modales para sistemas amortiguados
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Ecuaciones modales para sistemas amortiguados
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Análisis Sísmico Modal Espectral
Análisis de la historia de respuesta mu 1u g cu ku 0
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2 2 q n n n qn n nu g
n
nT m1
Γn=coeficiente de
M n participación del modo n
Contribución del modo n al desplazamiento del nodo u
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Espectros de Diseño •
Los espectros de sismos reales tienen forma irregular y presentan variaciones bruscas de la respuesta máxima en función del periodo natural. Por lo anterior, para fines de diseño, los reglamentos de construcción indican espectros suavizados en los que se ensanchan los picos y se eliminan los valles
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Espectros de Diseño
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Análisis Modal Espectral Estructuras sin torsión:
Los desplazamientos de las masas de los sistemas de varios grados de libertad pueden expresarse como la suma de los desplazamientos debidos a la participación de cada uno de los modos naturales. Para el desplazamiento de la j-ésima masa:
u j (t )
N
u n 1
jn
(t )
N
D (t ) n
jn
n
n 1
Si la excitación sísmica se define por un acelerograma, la función Dn(t) es posible calcularla con cualquiera de lo métodos numéricos vistos anteriormente. Con la expresión anterior es posible determinar los desplazamientos de la estructura en cualquier instante; conocidos estos es posible el cálculo de otras cantidades de interés para el diseño, como es el caso de las fuerzas cortantes o momentos flexionantes. Dr. Alberto Salgado Rodríguez
Análisis Modal Espectral El análisis espectral se basa en que interesa la respuesta máxima que producirá un sismo futuro. Debido a que no es posible predecir con exactitud los acelerogramas de eventos sísmicos venideros, los reglamentos normalmente prescriben la intensidad sísmica de diseño mediante espectros suavizados que suministran la seudoaceleración máxima An, para cada periodo Tn. An es igual al desplazamiento máximo por la frecuencia ω al cuadrado; por lo tanto, el espectro de diseño proporciona el valor máximo de D n(t) dado por A n/ωn2
u jn máx Ann jn / n
2
Nos brinda la contribución máxima del modo n al desplazamiento de la masa j
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Análisis Modal Espectral Combinación de respuestas modales:
La expresión anterior permite conocer cualquier respuesta (fuerza cortante, deformación de entrepiso, momento de volteo, etc.) máxima rn de la estructura debido al modo n. sin embargo, para fines de diseño interesa determinar la respuesta máxima R de la estructura por la participación de todos los modos. Debido a que las respuestas máximas de cada uno de los modos no coinciden entre ellos, no se puede hacer una suma directa de los máximos y se han propuesto distintos métodos para combinar los máximos de las respuestas modales; uno de los métodos más sencillos es el que considera:
R
r
2 n
n
El cual es recomendable utilizar cuando los periodos naturales difieren al menos en Dr. Alberto Salgado Rodríguez un 10% entre sí.
Análisis Modal Espectral La regla de combinación de modos es la siguiente: 1. Se calcula la respuesta de interés para cada modo 2. Se combinan los resultados de cada modo mediante la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las contribuciones de cada modo.
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Análisis Modal Espectral Ejemplo: El marco de cortante de la figura, forma parte de un edificio del grupo A que se construirá en la zona I (terreno firme) de la ciudad de México. Determinar, mediante análisis modal espectral, los cortantes de entrepiso para diseño y las deformaciones de entrepiso.
W3=200 ton k3=80 ton/cm W2=400 ton k2=200 ton/cm W1=400 ton k1=200 ton/cm
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Análisis Modal Espectral Al resolver la ecuación características, se obtienen las frecuencias y los modos de vibrar; en este caso:
12 122 .0 rad / seg 2
; 22 562 .4rad / seg 2
; 32 1375 rad / seg 2
1.000 1.000 1.000 1 1.751 ; 2 0.853 ; 3 0.803 2.541 1.969 0.321 m1=m2=0.40775; m 3=0.203875 (ton-seg2/cm)
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Análisis Modal Espectral Masa modales: T 2 2 2 M 1 1 m 1 (0.40775 )(1 ) (0.40775 )(1.751 ) (0.203875 )( 2.541 ) 2.97427 T 2 2 2 M 2 2 m 2 (0.40775 )(1 ) (0.40775 )( 0.853 ) (0.203875 )(1.969 ) 1.49485
M 3 3T m 3 (0.40775 )(12 ) (0.40775 )(0.803 2 ) (0.203875 )(0.321 2 ) 0.69233 Al ortonormalizar los modos, se obtiene
0.580 0.818 1.202 1 1.015 ; 2 0.698 ; 3 0.966 1.473 1.610 0.386 Dr. Alberto Salgado Rodríguez
Análisis Modal Espectral n
Coeficientes de Participación:
n m1 T
M n
1 (0.40775 )(0.580 ) (0.40775 )(1.015 ) (0.203875 )(1.473 ) 0.9508 2 (0.40775 )(0.818 ) (0.40775 )( 0.698 ) (0.203875 )(1.610 ) 0.2896 3 (0.40775 )(1.202 ) (0.40775 )( 0.966 ) (0.203875 )( 0.386 ) 0.1747 En la zona donde se construirá el edificio se tiene un coeficiente sísmico de c=0.16x1.5=0.24 (estructura del grupo A), los demás datos del espectro de diseño son Ta=0.2seg, Tb=0.6seg, r=1/2
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Análisis Modal Espectral Las ordenadas espectrales y los factores de reducción por comportamiento sísmico quedan: a1=a2=c=0.24 Q´1=Q´2=Q=4 El periodo T3 es menor que Ta, entonces: A3=(1+3T3/Ta)c/4=0.212 Q´3=1+(Q-1)T3/Ta=3.535 A1=A2=0.24x981/4=58.9 cm/seg2 A3=0.212x981/3.535=58.9 cm/seg2 Dr. Alberto Salgado Rodríguez
Análisis Modal Espectral Se aplica la expresión:
u jn máx Ann jn / n
2
Para obtener los desplazamientos máximos de los pisos y maximas deformaciones de entrepiso
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Análisis Modal Espectral Para los cortantes de entrepiso, debido a que se trata de un marco de cortante, el cortante se calcula multiplicando el desplazamiento relativo del entrepiso δij, por la rigidez respectiva k i:
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Análisis Modal Espectral Debido a que las diferencias entre periodos naturales son mayores al 10%, se puede utilizar la regla de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados. Para los cortantes Vi, y los desplazamientos relativos δi, en cada entrepiso i, se obtiene:
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Análisis Modal Espectral La estimación de los desplazamientos totales es la siguiente:
Los desplazamientos totales y de entrepiso deben multiplicarse por el valor máximo de Q empleado (en este caso Q=4) para revisar los efectos de segundo orden y verificar que las deformaciones de entrepiso no rebasan los límites permisibles.
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Examen El marco de la figura forma parte de un edificio que se construirá en concreto reforzado con f´c=250 kg/cm2
Entrepiso 3
Entrepiso 2
Entrepiso 1
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Examen Problema 1: Para el registro AX130D determinar lo siguiente:
Estudiante A: Determine en el instante de tiempo 15.2 segs las deformaciones del entrepiso 1.
Estudiante B: Determine en el instante de tiempo 10.5 segs la fuerza cortante en la columna corta del entrepiso 1.
Estudiante C: Determine en el instante de tiempo 8.8 segs el momento flexionante en el extremo superior de las columnas centrales del entrepiso 2. Dr. Alberto Salgado Rodríguez
Examen Problema 2: Para el marco de la figura (factor de comportamiento sísmico Q=3), mediante análisis sísmico modal espectral, determine lo siguiente:
1. 2. 3. 4.
Deformaciones máximas de entrepiso. Fuerza cortante máxima en columnas de planta baja. Momento flexionante máximo en columna corta de planta baja. Giro máximo en columnas del tercer nivel
Estudiante A: Chilpancingo (Zona I) Estudiante B: Chilpancingo (Zona II) Estudiante C: Distrito Federal (Zona I)
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