Ejemplos de análisis sísmico modal espectral y temporal (Ref: “Three-Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures:A physical approach with emphasis in earthquake Engineering”. Edward. L. Wilson. C.S.I., Berkeley, 2002)
- Ejemplo 1: Comparación de soluciones utilizando autovectores y vectores de Ritz en un análisis no sísmico. Viga biempotrada con carga puntual central aplicada en un escalón instantáneo unitario. Se considera un amortiguamiento modal del 1 % en todos los modos.
Resultados del análisis dinámico:
Se comprueba la superioridad de los resultados obtenidos con los vectores de Ritz al depender de la carga.
- Ejemplo 2: Estructura a flexión ligera con una cimentación masiva y rígida pilotada. Se trata de estudiar el efecto en la respuesta de los modos de vibración altos. En ocasiones la contribución de estos modos a la respuesta puede ser significativa, al incorporar una participación en masa elevada. En el caso de utilizar los autovalores y autovectores en el análisis es necesario emplear métodos de corrección estática para conseguir unas respuestas sísmicas correctas, o bien considerar todos los autovectores, mientras que en el análisis con vectores de Ritz, la base utilizada proporciona mejores resultados directos sin necesidad de incorporar todos los autovectores.
Se plantea el análisis sísmico temporal de la estructura mediante el modelo con 8 GDL dinámicos representado en la figura. Se realiza con distintas bases de vectores de Ritz y autovalores, usando en todos los casos el mismo paso temporal. Los periodos de vibración obtenidos son:
Siendo el modo final 8, con un periodo de 0.00517 s el asociado a la vibración horizontal de la cimentación, con una participación del 85 % de la masa en X.
Los resultados obtenidos para el cortante en la base y los factores de participación de masas son.
Se observa como los resultados con los vectores de Ritz son muy superiores a los obtenidos con los autovectores habituales, quedando además siempre del lado de la seguridad.
- Ejemplo 3: Análisis sísmico frente a sismos verticales en estructuras de edificación. En el caso de considerar un análisis sísmico horizontal y vertical, es necesario incluir un número de autovectores muy elevado para alcanzar factores de participación de masas del 90 % en dirección vertical (incluso más de 100). Considerando la estructura de edificación siguiente, con la discretización indicada que da lugar a 70 GDL dinámicos (35 masas y 2 GDL por masa):
En la tabla siguiente aparecen los periodos y los factores de participación asociados a los 10 primeros modos de vibración exactos, se observa como el movimiento vertical y horizontal esta desacoplado, y como la contribución en masa vertical es baja:
Para alcanzar una participación en masa del 90% en vertical hacen falta los primeros 36 modos. Si se utilizan los vectores de Ritz, los modos y las contribuciones obtenidas aparecen en la tabla siguiente.
Puesto que sólo se calculan los modos que excita la carga sísmica horizontal y vertical, con sólo 10 vectores de Ritz se obtienen participaciones superiores al 96 % en ambas direcciones.
Ejemplo 4: Análisis de la respuesta sísmica de un edificio tridimensional simétrico pero con excentricidad en el centro de masas de cada planta respecto al centro geométrico del edificio. El edificio es simétrico pero la excentricidad en el centro de masas de cada planta de 25” hace que el comportamiento sea 3D. Se le aplica en el tiempo una componente del sismo Taft 1952 en dirección x, con un amortiguamiento modal constante del 5 %, y se comparan los resultados del cortante en la base en cada uno de los 4 pórticos, mediante un time history y un análisis espectral con SRSS y CQC, utilizando en todos los casos los 12 primeros modos de vibración.
Los 12 primeros modos y sus frecuencias son:
Debido a la excentricidad de la masa no hay modos puros en las direcciones principales, todos los modos tienen movimiento en los 3 GDL. Se observa además el acoplamiento de los modos de flexión dominante, al tener el edifico un diseño sísmico simétrico en las dos direcciones principales. Esta situación de modos muy próximos por pares es habitual en los edificios reales simétricos. El cortante máximo para cada uno de los 4 pórticos de la estructura y en cada uno de los 5 primeros modos, calculado mediante un time history es:
Los resultados de cortante total en la base mediante time history (exácto), SRSS, ABSSUM y CQC (junto a la matriz de factores de correlación) son:
La combinación SRSS sobreestima en un 30 % el cortante en la dirección del sismo, y en un factor de 10 en la dirección normal. La suma de valores absolutos es todavía peor. La combinación espectral mediante CQC da unos resultados muy aceptables, al reconocer el signo relativo de los términos.
