Mis Notas de Clase -Cálculo Diferencial 24 de Mayo 2015.docx

NotasSerie de Clase Serie

"una experiencia de aula"

Mis Notas de Clase "una experiencia de aula" José Francisco Barros Troncoso

Cálculo Diferencial “con problemas de aplicación orientados hacia la administración y la economía”

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Mis Notas de Clase José F. F. Barros Troncoso Troncoso

Con especial cariño a mi madre Delva por su crianza, por la semilla que sembraste en m, a !ilia mi esposa, por su apo"o, estimulo, comprensi#n " sacri$cio, a mis %i&os porque son mi 'uente de inspiraci#n, a todas aquellas personas que %an credo en mi traba&o " que me %an %an dado la la oportunidad de se(uir creciendo cada da " a mis

Cálculo Diferencial

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estudiantes a quienes va diri(ido este traba&o. Gracias José Francisco Francisco Barros Troncoso Febrero 12 de 2013


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Tabla T abla de contenido contenido INTRODCCI!N""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" INTRODCCI!N """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""# # $NCI!N"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" $NCI!N """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" % &roducto Cartesiano""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" Cartesiano""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" % &are'a Ordenada""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" Ordenada"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""% % """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""( Intervalos"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""( Relación""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""") Relación """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""") ) $unción"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""") $unción """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""") * Representación de una $unción $unción""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""") """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""") + Función Inversa"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""") , Funciones Pares e Impares""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""* Races e Interceptos"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""* """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""** * Función !reciente " #ecreciente""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""* . Función $cotada"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""* .

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""* % !oncavidad " !onve%idad """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""*% Ima&en de una Función """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""* (

/l0ebra de $unciones $unciones""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""+ """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""+) ) 1R2$IC/ D3 $NCION34""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""+ $NCION34""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""+# # 1ra5ca de una $unción con Tecnolo0ía """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""+ % 6/ 67N3/ R3CT/ R3CT/""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""". """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""". + &osición Relati8a de la Recta""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""". Recta """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""".# # $NCI!N 6IN3/6"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""". 6IN3/6"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""". ( 9odelación de $unción 6ineal""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""# 6ineal """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""# ( $NCI!N C/DR2TIC/"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""% C/DR2TIC/"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""%$NCI!N &O6IN!9IC/ D3 1R/DO 4&3RIOR / DO4"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""": DO4 """""""""""""""""""""""""""""""""""""""": )


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$NCI!N 3;&ON3NCI/6""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""": 3;&ON3NCI/6""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""":+ + $NCI!N 6O1/R7T9IC/""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""": 6O1/R7T9IC/""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""": : $NCI!N COCI3NT3 o R/CION/6""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""( R/CION/6""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""( % $NCI!N &OR &/RT34 O &OR TRO4O6TO""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""", />4O6TO""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""",: : $NCION34 TRI1ONO9?TRIC/4""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""", TRI1ONO9?TRIC/4""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""", , INCR393NTO @ T/4/ T/4/4 4""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")- * 6I9IT3"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")) 6I9IT3 """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")) ) 6/ D3RI=/D/"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")* D3RI=/D/"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")* + $órmulas de la Deri8ada"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")* Deri8ada"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")*% % Re0la de la potencia"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")+ potencia """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")+( ( Re0la de la Cadena""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")+ Cadena""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")+ ( D3RI=/D/ D3 6/4 $NCION34 3;&ON3NCI/634""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""). 3;&ON3NCI/634""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""). . D3RI=/D/ D3 6/4 $NCION34 6O1/R7T9IC/4""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""). 6O1/R7T9IC/4""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""). ( D3RI=/D/ D3 6/4 $NCION34 TRI1ONO9?TRIC/4"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")# TRI1ONO9?TRIC/4"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")#* * D3RI=/D/4 D3 ORD3N 4&3RIOR""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")# 4&3RIOR""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")## # 92;I9O4 @ 97NI9O4 R36/TI= R36/TI=O4 O4""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")# """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")# % &rueba de la primera deri8ada""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")# deri8ada""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")#% % &rueba de la se0unda deri8ada"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")# deri8ada """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")#: : D3RI=/D/ I9&67CIT/"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""): I9&67CIT/"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""): + 36/4TICID/D 3N 6/ D39/ND/""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")( D39/ND/""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")( D3RI=/D/4 &/RCI/634"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")( &/RCI/634"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")( . $unciones de dos o más =ariables"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")( =ariables """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")(. . Diferenciación &arcial"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")( &arcial"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")(, , Costo Con'unto y Costo 9ar0inal"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""), 9ar0inal """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""), * &roducti8idad 9ar0inal"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""), 9ar0inal"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""), %


6

Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso

$unciones de Demanda"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""), ( >I>6IO1R/$7/"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""*- * AebB0rafía""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""*-+


7


INTRODCCI!N El presente trabajo es una compilación de mis notas de clase, fruto de la experiencia obtenida al servicio a la educación en instituciones educativas de Maicao, Riohacha (uajira! " en #anta Marta ($niversidad del ma%dalena, $niversidad #er%io &rboleda, Corporación $ni'cada acional de Educación #uperior (C$! " en la Escuela ormal #uperior #an )edro &lejandrino!* +a propuesta busca darle sentido a la matemática en otros contextos, en particular en la economa, -ue el estudiante le d. a la matemática una mirada distinta a la -ue tradicionalmente le atribu"e " -ue la recono/ca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento ló%ico del ser humano " de la sociedad* El documento no pretende pla%iar la información contenida en libros especiali/ados o contenidos obtenidos en pá%inas 0eb (todos referenciados!, sino dar al estudiante explicación más sencilla de los conceptos " fortalecer el desarrollo de problemas de aplicación orientados hacia su per'l profesional* El objetivo es el de exponer los conocimientos básicos del cálculo diferencial en forma sencilla, ló%ica, crtica " analtica utili/ando herramientas modernas -ue faciliten el aprendi/aje " poder expresarlo en diferentes situaciones, además el de solucionar problemas -ue permitan el desarrollo de las competencias*


8


$NCI!N En la teora económica la información de una sola variable no es su'ciente para determinar su comportamiento por tanto se hace necesario anali/ar el comportamiento de dos o más variables, para ello es esencial utili/ar los elementos de las matemáticas -ue representen el comportamiento de los a%entes económicos En la práctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de la otra* Ejemplo1 Cantidad de )roducción 2 Costo &sociado Cantidad Comprada 3 )recio Mano de 4bra 2 Capital 4ferta 2 Demanda 5mpuesto 2 6alor de la Mercanca 7oras trabajadas 3 salario





&are'a Ordenada Conjunto de nAmeros de $na pareja ordenada consiste en dos elementos la forma (a , b ) , de los cuales a desi%na el primer elemento o componente, " b el se%undo* Dos parejas ordenadas (a , b ) " (c , d ) son i%uales si " solamente si a =c " b =d &roducto Cartesiano #ean & " = conjuntos* &l conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en & " se%unda componente en =, se le denota & x = " se le llama producto cartesiano de & " =* #imbólicamente1 A × B={( x , y )/ x ∈ A Λ x ∈ B } En consecuencia1 ( x , y ) ∈ A × B ↔ x ∈ A Λ y ∈ B ( x , y ) ∈ A × B ↔ x ∈ A Λ y ∈ B +a representación %eom.trica de R × R es el plano cartesiano llamado tambi.n plano num.rico* b

P(a,b)

#e establece una relación biunvoca entre R × R " el conjunto de los puntos del plano %eom.trico, asociándose de esta forma el par ordenado a (a, b! con el punto )(a,b!* Ejemplo 81 #ean & 9 :8, ;< " = 9 :>, ?, @< el producto cartesiano & x = será1


!


& x = 9 :(8, >!,(8, ?!,(8, @!,(;, >!,(;, ?!,(;, @!<* rá'camente 5 4 3 2 ! !

2

Ejemplo ;1 #ean

A ={ x / x ∈ R Λ 1 < x ≤ 3 } B ={ x / x ∈ R Λ−2 ≤ x< 3 }

#u representación %eom.trica es1

& x = es el conjunto de los puntos interiores al rectán%ulo )BR# " los puntos -ue pertenecen a los se%mentos )B " BR*


!!


Intervalos #ubconjunto de los nAmeros reales " se clasi'can en 'nitos e in'nitos* $initos • /bierto #ubconjunto de todos los nAmeros ) comprendidos entre a " b, exclu"endo a " b, simbólicamente (a , b* + ) ϵ R - a  ) b< rá'camente $#

•

#

a

b

Cerrado #ubconjunto de todos los nAmeros ) comprendidos entre a " b, inclu"endo a " b, simbólicamente a , b + ) ϵ R - a / ) / b< rá'camente $#

#

a

•

b

4emiBabierto o semiBcerrado (a , b0 + ) ϵ R - a  ) / b<

$#

#

a

a , b* + )

R - a / )  b<

ϵ

b

$#

#

a

Inter8alos In5nitos1


b

!2


(a,1* + )

R - ) 2 a<

ϵ

$#

#

a

a,1* + )

R - ) 3 a<

ϵ

$#

#

a

(21, a* + )

R - )  a<

ϵ

$#

#

a

(21, a0 + )

R - ) / a<

ϵ

$#

#

a

3'ercicios 8* Encontrar en cada caso los valores de x e " -ue hacen verdaderas las si%uientes i%ualdades1 (x  ", 8F;! 9 (8, x 2 "! (x  ;, "! 9 (>", ;x! ;* #ean A ={ x / x ∈ N Λ 1 ≤ x < 4 } " B ={ x / x ∈ N Λ 1 ≤ x< 3 } a* Calcular A ×B b* Representar %rá'camente A ×B >* #ean1 &, el conjunto de todos los nAmeros reales -ue están entre 8 " > inclu"endo el 8 " el >G = el conjunto de los nAmeros enteros entre ; " @, inclu"endo al ; " al @* 7acer un dia%rama cartesiano de & x = " = x &* ?* Escriba la desi%ualdad correspondiente a cada intervalo " dibuje su %rá'ca a*(8,>! e*2H*@, ?*@!

b*(H,> f*

(

−2 3

c* 28,I! ,5





d*(2I,;!

−3 7 4


,

2

!

(

2 , ∞ 5

!

!3


@* #ean &9(2>,J, =928,8H " C92;,I! calcular " representar %rá'camente a* & n = b* = 2 & c* Cc d* &c n =c e* (& 2 =!c 3 C K* )ara cada a'rmación escriba dos intervalos -ue veri'-uen1 a* #u unión (2L,; b* #u intersección 2>, 8! c* #u diferencia (2I, >! d* #u intersección sea vaca " su unión todos los reales J* Cuáles son los intervalos de crecimiento " decrecimiento de la si%uiente %rá'caN

L* Cierta compaOa de encomienda li-uida los envos de acuerdo a C8)*+

4.54) 4.94) 4.;7)

6i 4  ) / 74 6i 74  ) / :44 6i ) 2 :44

, donde C8)* se da en dólares " ) en Pilo%ramos (Q%!


!4


a* Exprese cada condición en forma de intervalo* b* Determine el costo de envió de ;HH Q%, ?@ Q% " ;@HQ% * $n estudio de tiempo mostró -ue, en promedio, la productividad de un trabajador despu.s de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de 2 3 P (t )=27 t + 6 t −t , 0 ≤ t ≤ 8 Donde ) es el nAmero de unidades producidas por hora* a* Bu. si%ni'ca la condición 0 ≤t ≤ 8 N b* Calcule la productividad  horas despu.s de estar en el trabajo 8H* +a si%uiente %rá'ca relaciona la utilidad respecto a las unidades vendidas de cierto producto %

(!"",38"")

d a d i l i t '

(2&53, ")

(",$2"")

(!7&46, ")

'nidades endidas

Determine el o los intervalos a* De unidades vendidas no %eneran utilidades por -u.N b* De unidades vendidas -ue %eneran utilidades por -u.N c* De unidades vendidas en -ue se incrementan las unidades por -u.N d* De unidades vendidas en -ue disminu"en las unidades por -u.N Relación Cálculo Diferencial Re%la -ue determina la correlación existente los elementos de una pareja ordenada, se puede representar por medio de una tabla, una %rá'ca, una ecuación o una desi%ualdad*

!5


3'ercicios 8* Escribir @ parejas ordenadas cu"as componentes ten%an cada relación1 a* Bue la primera componente sea el doble de la se%unda* b* Bue la se%unda componente sea el triplo más uno de la primera* c* Bue la primera componente sea un nAmero par " la se%unda un impar no consecutivo* d* Bue la primera componente sea un nAmero posterior no consecutivo de la se%unda* ;* Escriba una oración -ue describa la relación de cada conjunto de parejas ordenadas1 a* (8,>!,(>,@!,(@,J!,(J,!(,88! b* (8,28!(2;,;!(>,2>!(2?,?!,(@,2@! c* (8,J!,(;,@!(>,!,(?,8>!,(@,8J! d* (;,@!,(>,8H!,(?,8J!,(@,;K!,(K,>J! >* Exprese cada relación de los encisos 8* " ;* por medio de una ecuación* &roblemas 4bten%a @ parejas ordenadas por cada situación particular 8* #i se demanda una unidad el precio es de $#S JK, " por cada unidad adicional el precio disminu"e en $#S ? dólares* $tili/ando parejas ordenadas encuentre el precio si se demandan @ unidades* ;* $n carro nuevo tiene en valor de S@; millones de pesos, suponiendo -ue cada aOo se deprecia a una tasa del 8; de su costo ori%inal,


!6


determine el costo del vehculo a los cinco aOos de su compra* #upon%a -ue la primera componente es el tiempo " la se%unda el precio* >* El valor de un libro se duplica cada @ aOos, el libro fue evaluado hace ;H aOos en S8;HH* +a primera componente representa el nAmero de aOos " la se%unda el precio* y =120 ( 2)0.2 x ?* De cierto producto se sabe -ue a un precio de S @HHH la unidad se demandan ?HHH unidades " por cada S8HHH -ue se rebaje en el precio, la demanda crece en @HH unidades* +a primera componente representa el precio " la se%unda las unidades demandadas* y =−20 x + 40 @* o existe demanda para cierto artculo cuando el precio unitario es de ;HH dólares o más pero por cada 8H dólares -ue disminu"e su precio por debajo de ;HH, la cantidad demandada se incrementa en ;HH unidades* +a primera componente representa el precio " la se%unda las unidades demandadas K* $n fabricante de cortinas encuentra -ue el valor de producción de una cortina es de S8L@H " por cada cortina -ue se produce el costo se incrementa en S??*@* +a primera componente representa la cantidad " la se%unda el costo* J* El nAmero de familias vinculadas al a un pro"ecto apcola en la sierra nevada de #anta Marta inicio en el ;HH@ con 8;L " por cada aOo -ue pasa el nAmero de familias se incrementa en 8;@* #i la primera componente representa el nAmero de aOos " la se%unda el nAmero de familias vinculadas al pro"ecto* L* El in%reso mensual 5 obtenido por vender /apatos modelo de lujo en una función del precio .sta dado por < + =44p > :p :. #i la primera componente representa el precio (p! " la se%unda el in%reso (5!*


!7


* El costo total de la producción de % litros de un determinado producto 1 viene dado por C ( x )= x 2+ 5 x + 800 * #i la primera componente 2

representa la cantidad de litros del producto " la se%unda el costo total $unción Es una relación de parejas ordenadas el cual no ha" dos parejas -ue ten%an la misma primera componente* de la producción* #i & " = son conjuntos una función ' de & en = se denota f :

A x

B y = f ( x )

5ndica -ue a cada elemento ) de ? le corresponde uno " solamente uno de los elementos "+'8)* de B* El conjunto ? recibe el nombre de conjunto de partida o dominio " la variable -ue la representa se conoce como variable independiente, el conjunto = se conoce como conjunto de lle%ada, co2dominio* +os valores "9f(x! -ue toman las variables se denominan recorrido o ran%o " la variable -ue la representa se le conoce como variable dependiente*


!8


Representación de una $unción $na función se pueden representar de forma oracional, de tabla, como dia%ramas sa%ital, como %ra'cas cartesianas " por formulas* De forma oracional 5nclu"e hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos o pensamientosG pero hacemos .nfasis particularmente en las re%las o consi%nas1 User la madre deV, User la cuarta parte deV, User el si%uiente deV, User el doble deW, más > unidadesV, etc & 3'ercicios Escriba cinco parejas ordenadas por cada oración e indi-ue cuál representa una funciónN 8* Bu. la se%unda componente sea el doble de la primeraN ;* Bu. la primera componente sea el doble más uno de la se%undaN >* Bu. la se%unda componente sea el inverso aditivo de la primeraN ?* Bu. la primera componente sea la ra/ cuadrada de la se%undaN @* Bu. la se%unda componente sea un nAmero primo " la primera un par anterior no consecutivoN &roblemas 8* El costo de un artculo disminu"e de acuerdo con el nAmero de artculos producidos* #i producir 8HH artculos cuesta $#SLH " por cada cien unidades -ue se produ/can el costo disminu"e un ;H, calcule el costo de producir @HH unidades ;* El valor de un libro se duplica cada @ aOos, el libro fue evaluado hace ;H aOos en S8;HH* +a primera componente representa el nAmero de aOos " la se%unda el precio* >* De cierto producto se sabe -ue a un precio de S @HHH la unidad se demandan ?HHH unidades " por cada S8HHH -ue se rebaje en el


!


precio, la demanda crece en @HH unidades* +a primera componente representa el precio " la se%unda las unidades demandadas* ?* o existe demanda para cierto artculo cuando el precio unitario es de ;HH dólares o más pero por cada 8H dólares -ue disminu"e su precio por debajo de ;HH, la cantidad demandada se incrementa en ;HH unidades* +a primera componente representa el precio " la se%unda las unidades demandadas @* $n fabricante de cortinas encuentra -ue el valor de producción de una cortina es de S8L@H " por cada cortina -ue se produce el costo se incrementa en S??*@* +a primera componente representa la cantidad " la se%unda el costo* En forma de Tablas de valores en las -ue aparecen explcitamente los pares de valores variable independiente 3 variable dependiente -ue expresan la correspondencia -ue de'ne determinada función* Como ejemplos nos pueden servir las tablas -ue reco%en el salario mnimo mensual de los trabajadores de cierto pas en los Altimos 8H aOos, precio de cierto modelo de vehculo se%An su marca, valor de las acciones de ciertas empresas 3'ercicios 8* +os datos de la tabla muestran el nAmero de familias vinculadas a un pro"ecto apcola en la #ierra evada de #anta Marta desde 8 &Oo 8 ;HHH ;HH8 ;HH; ;HH> ;HH? ;HH@ ;HHK ;HHJ X de 8;L ;@> >JL @H> K;L J@> LJL 8HH> 88;L familia s ;* 6ariación de las ventas con respecto al precio de cierto artculo Costo ;;@H ;>HH ;>@H ;?HH ;?@H ;@HH ;@@H ;KHH ;K@H


2


6enta ?HH

>JK

>@;

>;L

>H?

;LH

;@K

;>;

;HL

>* +os in%resos totales de una empresa de comunicaciones para aOos seleccionados &Oo 8; 8 8? 8 8K 8J 8L 8 > @ 5n%reso K>*8> K* KH*@ K8*8 K;*8 K>*HL K?* KJ*8@ s > (millon es! ?* Yracción de artefactos -ue funcionan despu.s de t aOos de uso &Oos de uso Yracción de artefactos -ue funcionan

8 ; H*LL H*J L

> ? @ K J L  H*K H*K8 H*@? H*?L H*?> H*>L H*>>

@* Amero de computadores -ue ensambla un trabajador respecto al nAmero de das -ue lleva trabajando en una empresas de informática Das 8 Amero de 8 Computador es

@ >

8H ?

8@ ?*@

;H ?*L

;@ @

>H @*8?

?@ @*?

KH @*@

En forma de #ia&ramas 'a&ital o de (enn )uler son dia%ramas se muestran los conjuntos de partida " de lle%ada con sus respectivos elementos " las correspondencias establecidas entre .stos, representadas por Zechas de unión* Esta representación sólo es Atil en el caso de -ue los conjuntos de partida " de lle%ada conten%an pocos elementos* Cálculo Diferencial

2!


3'ercicios 8*

;*

+  ! 2 3 4

*

+ 

! 4  !6

! 2 3 $2

' es una función "a -ue a cada

elemento de & le corresponde uno " solamente uno de los elementos de = El dominio de f1 :8, ;, >, ?< El Co2dominio de f :8, ?, , 8K< El Recorrido de f:8, ?, , 8K< #i en una función el co2dominio es i%ual al recorrido se dice

* ! 4 


elemento de & le corresponde uno " solamente uno de los elementos de = El dominio de f1 :8, ;, >, 2;< El Co2dominio de f :8, ?, < El Recorrido de f:8, ?, < ' es sobre"ectiva

sobre"ectiva


22


>*

?*

+ 

*

! 2 3

 ! 4  !6

elemento de & le corresponde uno " solamente uno de los elementos de = El dominio de f1 :8, ;, >< El Co2dominio de f :8, ?, ,8K< El Recorrido de f:8, ?, < ' no es sobre"ectiva @* +

! 4 !6

elemento & -ue no tiene ima%en en =

K*

'

& 8 ; > ?

! 2 $2 4

' no es una función por-ue ha" un

! 2 3

' no es una función por-ue ha" un

*

elemento & -ue no tiene dos imá%enes en =

*

! 4  !6




+

=

8


elemento de & le corresponde uno " solamente uno de los elementos de = El dominio de f1 :8, ?, 8K<


23


El Co2dominio de f :8< El Recorrido de f:8< 6i "+'8)*+@ para cualquier valor de ) entonces se dice que la 'unci#n es constante

En forma de Gr*+cas cartesianas1 #on %rá'cas -ue se constru"en a partir de dos ejes de referencia 3llamados ejes de coordenadas3, uno hori/ontal (eje de abscisas! " otro vertical (eje de ordenadas!* 7abitualmente, en el primero se colocan los valores de la variable independiente como si se tratara de una recta real, ordenados " crecientes de i/-uierda a derechaG " en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente, tambi.n como si se tratara de una recta real, ordenados " crecientes de abajo hacia arriba* +os valores de ambas variables deben ser, pues, num.ricos * $na función se caracteri/a %eom.tricamente por el hecho de -ue toda recta 8ertical -ue corta su %ra'ca lo hace exactamente en un solo punto* #i una recta toca más de un punto de la %rá'ca, esta no representa a una función* %

%

%

x

x

Es función

x

o es función


Es función

24


%

%

%

x x x

Es función

o es función

Es función

Criterio de la recta horiontal #i toda recta hori/ontal -ue intercepte una %rá'ca de una función lo hace en un solo punto decimos -ue la función es inyecti8a o uno a uno " si la corta en más de un punto se llama sobreyecti8a %

%

%

x

x

x

n%ecti-a

sobre%ecti-a


n%ecti-a

25


#i una función, como la -ue se muestra en la %rá'ca, una parábola donde se considera Anicamente la parte positiva del dominio, es in"ectiva " sobre"ectiva se dice biyecti8a

%

+(x).x/2, x0.

x

4tra forma de representar una función es a trav.s de $órmulas -ue son expresiones al%ebraicas (pueden incluir nAmeros " smbolos literales! -ue expresan la relación existente entre las variables independientes " la variable dependiente* #e%An las fórmulas las funciones se clasi'can en polnomicas o al%ebraicas " trascendentes, +as polnomicas son las -ue se pueden representar mediante expresiones al%ebraicas " pueden ser lineales, cuadráticas, cubicas, polinomiales, racionales, irracionales " por tro/os (por sección o por partes!* +as trascendentes, se llaman as para distin%uirlas de las al%ebraicas, " son las lo%artmicas, exponenciales " las tri%onom.tricas Polino1iales

+ineales Cuadráticas Polino1iales


f ( x )=2 x −1 f ( x )=3 x + 5 x − 2 2

f ( x )= x + x −4 x −4 3

2

26


2 x −5 f ( x )= 2 x −5 x + 6

acionales

f ( x )=√ x + 2 rracionales

Por troos, (por sección o por partes )

2 x −3 si x ≥ 5 ¿ 6 −3 x si x < 5

f ( x )= log2 x

+o%artmicas +as trascendentes

f ( x )=

f ( x )=( 1200) 2

0.25 x

Exponenciales Tri%onom.tricas

f ( x )=cos ( x )

Función Inversa ada la +uncin y=f(x) su in-ersa f -1(x) se obtiene expresando la +uncin x= g(y). sue1tica1ente  x

*

f B)

f

%.+(x)

%.+(x)

'  AB 'A?



*

B


?

x

27


)ara hallar la inversa de una función se despeja la variable independiente de la función ori%inal, para la inversa esta pasa a ser la variable dependiente* o todas las funciones tienen inversa* 3'ercicios 4btener la función inversa de cada función "9?x  8 espe9ando x =

"9x;8 Despejando x =± √ y −1 rá'cas

y −1 4

%

:ra+icas

%.x/2;!

%

y=4x+1

x.(%$!)/(!<2) x

x=(y-1)/4

x

x + 3 y = x −2 espe9ando x =

?*

3 + 2 y y −1

y =√ x −1 espe9ando x = y 2 + 1 :r+icas

:r+icas


28


%

%

%.(x;3)<(x$2)

x.%/2;!

x

x.(3;2%)<(%$!)

%.(x$!)/(!<2)

x

@* J*

K* ("

y =3 x −5 4 x y= 5 + x

2

y = x − 4 y =√ 3 − x

Funciones Pares e Impares

#e dice -ue una función , es par cuando para cual-uier % en el dominio de , se tiene -ue ,-.%/,-%/

#e dice -ue una función , es impar cuando para cual-uier % en el dominio de f se tiene -ue fBEFGBfEF"

+a %rá'ca de una función par es sim.trica respecto al eje de la ordenada ("! " la impar es sim.trica respecto al ori%en


2


3'ercicios En cada una de las si%uientes funciones determine cuales son pares impares o nin%una de las anteriores rá'ca

'8)*+) : •

6eamos si es par hallemos '8

y = x^2

%

)*+'8)*

4

7a%amos )+ entonces

3

'8*+'8* como '8)*+) :

2

1

8*:+8*:

x

+

−2

)or lo tanto '8)*+) : es par •

6eamos si es impar hallemos '8 )*+'8)*

7a%amos )+ entonces '8*+'8* como '8)*+) : 8*:+8*:  + 


−1

1

2

3


)or lo tanto '8)*+) : no es impar

:.

rá'ca

1 f ( x )= x

% •

6eamos si es par hallemos '8

3

)*+'8)* 2

7a%amos )+ entonces 1

'8*+'8* como

1 f ( x )= x

x −3

(

−1 1

!+ (

1 ! 1

−2

−1

1 −1

−2

+ 1 no es par x

)or lo tanto f ( x )=

6eamos si es impar hallemos '8)*+'8)* 7a%amos )+ entonces '8*+'8* como

1 f ( x )= x


2

3

3!


(

−1

!+  (

1

1 ! 1

 +  1 x

)or lo tanto f ( x )=

=.

f ( x )=

es impar

. '8)*+) =

1 2

1 + x

7. '8)*+: )

;. '8)*+) ::)

3'ercicios eri+icar en las si=uientes =r+icas de +unciones cul es par % cual i1par


32


%

%

3

3

2

2

1

1

x −3

−2

−1

1

2

x

3

−2

−1

1

−1

−1

−2

−2

2

= 3x-x^3

%

% 5 4 1

3 2 1

−1

x

x

−4

−3

−2

−1

1

−2 −1

−3 −4 −5

y = 4x^5+3x^3-2x

−


2

3

4

33


Races e Interceptos

+as raíces o ceros son los puntos para los cuales '8)*+"+4 H %rá'camente son los puntos donde la %ra'ca corta al eje de la abscisa ( ) !* o todas las funciones tienen races, puesto -ue puede haber curvas -ue no corten al eje [ ) [*

% 3

Raices

2

1

x −2

−1

1

2

−1

−2

y−3 =

+os interceptos son los puntos para los cuales )+4, es decir los puntos donde la curva corta al eje de la ordenada ( " !

x^3-4x

% 8 7 6 5 4 3

,ntercepto

2 1

−2

−1

y

−1

x =

1 x^3-6x+3

−2

3'ercicios 7alle las races " los interceptos de cada función (si existen! 8* '8)* + ) ::)= rá'ca )ara hallar las races hacemos '8)*+4 entonces ) ::)=+4


2

34


Factorizando 8)=*8)E*+4,

%

entonces x82>9H por lo -ue )  + = " ) :E+4 por lo -ue ) :+ )or lo tanto la función tiene dos races -ue son )  + = " ) :+*

4 3 2 1

x −2

−1

)ara los interceptos hacemos x9H, rempla/ando en la función obtenemos '84*+= )or lo tanto la función tiene un intercepto en "92> :. '8)*+)8) =*

)ara hallar las races hacemos

Raices

1

Interceptos 2 3

−1 −2 −3 −4

rá'ca %

=

'8)*+4 entonces )8) *+4 Tenemos ) +4, )=+4 despe&ando ) =+, ) :+ or lo que las races son ) +4 " ) :+ )ara los interceptos

1

x −1

hacemos x9H, rempla/ando en la función obtenemos '84*+ por lo tanto la función tiene un intercepto en "928

=. '8)*+:)  

?* '8)*+) =E) : :)

1

nterceptos

ai −1

@*

x + 2 f ( x )= x −2


K* '8)*+!n8)*

35


Función !reciente " #ecreciente 'na +uncin es creciente en un inter-alo si para todo para de puntos x1 % x2 del inter-alo, tal ue x1 > x2 se cu1ple f(x1 ) < f(x2 ). s decir una función es creciente en un

punto si al incrementar los valores de la abscisa (x! (movernos hacia la derecha! aumenta el valor de la ordenada ("!*

$na función es decreciente en un inter-alo si para todo para de puntos x1 % x2 del inter-alo, tal ue x1 > x2 se cu1ple f(x1 ) < f(x2 ). s decir una función es decreciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x! (movernos hacia la derecha! disminu"e el valor de la ordenada ("!*

($#,$!)

($!,!)

(!, #)

Función $cotada

$na función ,-%/ es acotada superiormente si existe un nAmero b tal -ue para todo % , ,-%/  b* &l nAmero b se le llama cota superior* $na función ,-%/ es acotada inferiormente si existe un nAmero b tal -ue para todo % , ,-%/ 4 b* &l nAmero b se le llama cota inferior* $na función se dice acotada Cálculo si loDiferencial está acotada superiormente " inferiormente, si existen dos nAmero b " b tal -ue para todo % , b ,-%/  b

36


y = x(x^3)

%

%

(x,y) = (0,1)

Cota ?uperior 1

1

x −1

1

x −1

−1

Cota  n+erior

1

−

&cotada #uperiormente y = 2^(1-x^2)

&cotada inferiormente

%

2

y

=

%

x(x^2-1)

Cota ?uperior

1

1

x −2

−1

1

x −3

−2

−1

1

2

3

Cota n+erior −

&cotada

o acotada


2

37


!oncavidad " !onve%idad

$na función es C!NC/=/ o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cuales-uiera el se mento ue los une ueda or

$na función es CON=3;/ o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el se mento ue los une ueda or %

%

Concava 4

Convexa

1 3

x 2 1

2

3

1

−1

x −1

1

−

−


38


+os puntos en los -ue la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman )$T4# DE 5Y+E\5]* #56I7I5' 8 R$7G5'

+as funciones reales tienen como dominios " ran%os los nAmeros reales* #i no se especi'can el dominio " el ran%o de una función, se supone -ue el dominio consiste en todos los nAmeros reales (valores de x! -ue dan como resultado salidas reales (valores de "!, haciendo -ue el ran%o sea subconjunto de los nAmeros reales* En las funciones de estudio, si el dominio no está especi'cado, incluirá todos los nAmeros reales excepto1 • • •

6alores -ue tienen como resultado un denominador i%ual a cero* 6alores -ue dan como resultado una ra/ par de un nAmero ne%ativo* 6alores -ue dan como resultado el lo%aritmo de un nAmero menor o i%ual a cero*

3'ercicios Encuentre el dominio " el ran%o de cada una de las si%uientes funciones1 1 8* f ( x )= 2 x + 1 Como la función se hace indeterminada si el denominador es i%ual a cero

2 x + 1= 0

Despejamos )

2 x =−1 −1 x = 2 1 f ( x )= =∄ 0

#i rempla/amos ) en la función ori%inal obtendremos


3


Buiere decir -ue el dominio de '8)* es1

1

Dom  f ( x )= 9R2: 2 x + 1 −1 < 2

;*

f ( x )= √ 4 x −1

Como la función se hace indeterminada si el radicando es menor -ue cero

4 x −1< 0

Despejamos )

4 x < 1 1 x < 4

Buiere decir -ue el dominio de '8)* es1

Dom  f ( x )=√ 4 x −1 9R2 1 (−∞, ) 4

>*

f ( x )=

1 √ 3− x

Como la función se hace indeterminada si el denominador es i%ual a cero " si el radicando es menor -ue cero Despejamos ) Buiere decir -ue el dominio de '8)* es1

3− x ≤ 0

3≤x

Dom  f ( x )= −∞ , 3 

8*

f ( x )= 4 x

2

;*

f ( x )= √ 4− X


>*

1 √ 3− x

9R2

1 f ( x )= X −2

4


?*

f ( x )= √ x −1

7&

f ( x )=

L*

1 f ( x )= x + 1 f ( x )=√ 4 x + 3

1 + x f ( x )= 3 2 x −5 x −6 x

!!&

f ( x )=

f ( x )=√ t −1

8?*

9 x −9 2 x + 7

!&

!3&

3

@*

x −4 √ x −4

1 √ 2− x 2

K*

f ( x )=

*

f ( x )= 2 x + x − 6

8;*

2

4 x − x f ( x )= 2 x − x −2

8@*

x √ x −1 f ( x )= 2 x − x −12 2

f ( x )=

√ x −1 √ 2 x +3

Ima&en de una Función )ara indicar -ue " es una función de ) , la función se expresa con ' " escribimos "+'8)** Esto se lee U " es función de ) V o U " es i%ual a ' de ) V* )ara valores espec'cos se ) , '8)* representa los valores de la función (es decir la salida o valores de " !*

3'ercicios 8* #i f(x!9 >x  8 entonces a* f(;! 9 >*; 89 K  8 9 J b* f(2>! 9 >(2>!  8 9 2  8 9 2L ;* #i %(x! 9 ;x; 3 ?x  ; entonces a* %(8! 9 ;(8!; 3 ?(8!  ; 9 ;(8! 3 ?  ; 9 ; 3 ?  ; 9 H b* %(2;! 9;(2;!; 3 ?(2;!  ; 9 ; (?!  L ; 9 ;(?! 8H 9 L 8H98L c* %(a! 9;(a!;2 ?a  ; 9 ;a; 3 ?a  ; d* %(a  b!9 ;(a  b!;2 ?(a  b!  ;


4!


>* Determine f(x  h! si a* f(x! 9 x entonces f(x  h! 9 x  h b* f(x! 9 x  8 entonces f(x  h! 9 (x  h!  8 c* f(x! 9 x; 3 x  ; entonces f(x  h!9 (x  h! ; 3 (x  h!  ; d* f(x! 9

1

x − 2

entonces f(x  h! 9

1 ( x +h )−2

e* ótese -ue donde esta x se escribe x  h ?* Dado a*

f ( x )

encuentre

f ( x + h )− f ( x ) h

con h ≠ H, simpli'cando a su

más mnima expresión f(x!9 ;x Rempla/amos f ( x + h )− f ( x ) 2 ( x + h )−2 x 2 x + 2 h −2 x 2 h = = = =2 h h h h

b* f(x! 9 x; 2 2 f ( x + h )− f ( x ) ( x + h ) − x = h

h

&plicando (a  b! ; 9 a;  ;ab  b; f ( x + h )− f ( x ) x2+ 2 xh + h 2− x 2 = h

#impli'cado f ( x + h )− f ( x ) h

h

2

2 xh + h = h

Yactori/ando f ( x + h )− f ( x ) h ( 2 x + h ) = h

h


42


#impli'cando f ( x + h )− f ( x ) =2 x + h h

3'ercicios 8* ;* >* ?*

#i R(x! 9 Lx 2 8H encuentre R(H!, R(;!, R(2>!, R(8*K! #i 7(x! 9 x; 3 ;x encuentre 7(>!, 7(8FK! #i f(x! 9 8HHx 3x> encuentre f(28!, f(2>F;! #i C(x! 9 x> 3 ?Fx encuentre C(28F;!, C(2;!

3'ercicios Dado f ( x ) encuentre

f ( x + h )− f ( x ) h

con h ≠ H, simpli'-ue hasta su

forma más simple 8* f(x! 9 x  8 ;* f(x! 9 >x  ; >* f(x! 9 >x; ?* f(x! 9 ;x> #u%erencia utilice (a  b!> &roblemas 8* El costo total de fabricar un producto se determina por medio de C8)*+ =44) E 4.) :E:44 dólares , donde ) representa el nAmero de unidades producidas* Determine el costo de producir 8H " 8HH unidades* Bu. encuentraN


43


)ara determinar el costo de producir 8H unidades rempla/amos x por 8H en la ecuación de costos total C(x! C(8H! 9 >HH (8H!  H*8 (8H! ; 8;HH 9 >HHH  8H  8;HH 9 ? ;8H )roducir 8H unidades tiene un costo de ?;8H dólares* )ara 8HH unidades x98HH 2

C ( 100 )= 300 (100 )+ 0.1 ( 100 ) + 1200 =32200

)roducir 8HH unidades cuesta >; ;HH dólares #e encuentra -ue es más económico producir 8HH unidades -ue 8H* )or-ue el producir 8H unidades producir una unidad costara ?;8 dólares " si se producen 8HH unidades el valor de la unidad sera >;; dólares* ;* $n estudio de e'ciencia reali/ado por una compaOa mostró -ue el nAmero de âlPie2talPies ensamblados por un trabajador promedio a t horas de haber iniciado su jornada a las L1HH a*m* está dado por 3 2 (H _ t _ ?! N ( t )=−t + 6 t + 15 t Cuántas pie/as se espera -ue ensamble un obrero promedio entre las L1HH " las 1HHN " entre las 1HH " 8H1HHN Bu. encuentraN >* #upon%a -ue la demanda de q unidades de un producto cu"o precio es p dólares por unidad se describe por medio de 100 p= √ 2 q +1 a* Determine el precio si se demandan ? " L* b* Compare los resultados -u. encuentraN


44


?* Datos de la reserva federal de Estados $nidos muestran -ue el incremento anual de capacidad de producción entre 8? " ;HHH está dado por f ( t ) + 4.44Gt = > 4.:;;t : E:.95Gt E 7.7

, donde f ( t ) es un porcentaje t " se mide en aOos, donde t 9 H corresponde a 8?* Cuál es el incremento en la capacidad de producción en 8K, ;HH> " ;HH?N Bu. encuentraN @* +as

%anancias

anuales brutas de cierta compaOa fueron f ( t )=√ 10 t + t + 236 miles de dólares t aOos despu.s de su formación en enero de 8>* Cuáles fueron las %anancias brutas obtenidas en los aOos 8J " ;HHLN

K* +a función demanda para la lnea de laptops de una compaOa electrónica es p+:44 > ;q, en donde p es el precio por unidad (en dólares! cuando los consumidores demandan - unidades (semanales! a* 4bten%a p para - i%ual a >HH, ?HH " @HH b* Bu. si%ni'ca cada expresiónN c* Compare e int.rprete los resultados J* #upon%a -ue el costo (en dólares! de eliminar p por ciento de la contaminación de las partculas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio de L* Encuentre los valores de eliminar el ?@, H,  " el 8HH por ciento de la contaminación " ha%a un análisis de los resultados L* El costo (en dólares! de eliminar el x de la polución del a%ua en cierto riachuelo está dada por 75000 x C ( x )= ( 0 ≤ x ≤ 100 ) 100− x


45


a* 7allar el costo de eliminar la mitad de la polución b* Evaluar el costo de eliminar el total de la polución * #upon%a -ue el costo C de obtener a%ua de un arro"o -ue contiene p porciento de niveles de contaminación se determina mediante 285000 C = − 2850 p

Determine el costo de obtener a%ua con el H, 8HH " H por ciento de niveles de contaminación /l0ebra de $unciones #i ' " ( funciones se de'ne1 a* Yunción suma1 '8)* E (8)* + 8' E (*8)* b* Yunción diferencia1 '8)*  (8)* + 8'  (*8)* c* Yunción producto1 '8)* H (8)* + 8' H (*8)* d* Yunción cociente1 '8)* ÷ (8)* + 8' ÷ (*8)* e* Yunción compuesta1 '8)* o (8)* + 8' o (*8)* + ' I(8)*0 3'ercicio Dados '8)* " (8)* encuentre1 • • • • •

8' E (*8)*, 8(  '*8)*, 8( H (*8)*, 8' ÷ (*8)*, 8' ° (*8)*

8* f(x! 9 ;x " %(x! 9 >x  8 • f(x!  %(x! 9 (f  %!(x!9 ;x  >x  8 9 @x  8 • f(x! 2 %(x! 9 (f 2 %!(x!9 ;x 3 ( >x  8! 9;x 3 >x 3 8 9 2x 3 8 ; • f(x! ` %(x! 9 (f ` %!(x!9 (;x!`(>x  8! 9 Kx  ;x


46


•

•

2 x

f(x!  f (x! 9 (f  %!(x! 9 , si la expresión no 3 x + 1 factori/able "Fo simpli'cable se deja indicada (f ° %!(x! 9 f%(x! 9 f(>x  8! 9 ;(>x8! 9 Kx  ;

es

ótese -ue donde esta x en f(x! se rempla/a por >x  8 ;* f(x! 9 x; " %(x! 9 x 2 8 ; • f(x!  %(x! 9 (f  %!(x!9 x  x 2 8 ; ; • f(x! 2 %(x! 9 (f 2 %!(x!9 x 3 ( x 2 8! 9 x 2 x  8 ; > ; • f(x! ` %(x! 9 (f ` %!(x!9 (x ! `(x 3 8! 9 x 3 x 2

x x − 1

•

f(x!  f (x! 9 (f  %!(x! 9

,

•

(f ° %!(x! 9 f%(x! 9 f(x 2 8! 9 (x 2 8! ; 9 x; 2 ;x  8

ótese -ue donde esta x en f(x! se rempla/a por x 3 8 8* f(x! 9 x  @ " %(x! 9 x 3 ; >* f(x! 9 x> 3 @ " %(x!9;x> 3 8 @* f(x! 9

1 x

" %(x! 9 x8

;* f(x! 9 x; 2 ; " %(x! 9 ;x  ? ?* f(x! 9 x;  @ " %(x! 9 √ x 2; K* f(x! 9

1 2

x + 1

" %(x! 9

1 2

x −1

J*

f ( x )=√ 1− x y g ( x )= 2

2 x 2

4 + x

L*

f ( x )=

x 1 y g ( x ) = x + 1 2− x

&roblemas 8* #upon%a -ue el in%reso  (en pesos! de una compaOa por la venta de ) unidades de su producto se obtiene mediante 8)* + :7) " el costo


47


total C (en pesos! de producir esas ) unidades se obtiene por C8)* + ;7) E 7444

a* #i la %anancia  es el in%reso menos el costo, encuentre la función %anancia de la producción " la venta de ) unidades* )or de'nición (x! 9 R(x! 3 C(x! rempla/ando K8)* + :7) > 8;7) E 7 444* + :7) > ;7) > 7 444

+a función %anancia sera

G(x) = 150x - 15000

b* Encuentre la %anancia si se producen " venden 8HHH, 8HH " 8H unidades* Bu. encuentraN •

#i se venden 8HHH unidades (8HHH! 9 8@H(8 HHH! 3 8@ HHH 9 8>@ HHH

•

#i se venden 8HH unidades (8HH! 9 8@H(8HH! 3 8@ HHH 9 H

•

#i se venden 8H unidades (8H! 9 8@H(8H! 3 8@ HHH 9 2 8> @HH

)roducir " vender1 8HHH unidades deja una %anancia de S8>@ HHHG 8HH unidades no deja utilidad pero tampoco p.rdidaG 8H unidades deja una p.rdida de S8> @HH* ;* El in%reso total r -ue se recibe por la venta de - unidades, esta dado por la función %, donde  = g ( q )= 40 q * El nAmero total de unidades de producción por da -, es una función del nAmero de empleados m, donde


48


2

40 ! − ! q =f ( ! )= 4

Determine (% o f! -u. encuentraN >* El %asto del consumidor (c! por artculo es el producto de su precio en el mercado p (en dólares! " el nAmero de unidades demandadas* #upon%a -ue para cierto artculo, las unidades demandadas están dadas por la función L8)*+ 4 444 > 4p a* Encontrar una expresión -ue determine el %asto del consumidor or dato Kc + p H L8)* + p H 84 444 > 4p* !a e)presi#n del (asto del consumidor sera Gc = 10 000p – 10p2

b* Determinar el %asto del consumidor por artculo cuando el precio de mercado es de ;H " >H dólares* ; • )ara p9 ;HG c 9 8H HHH(;H! 3 8H(;H! 9 8K HHH ; • )ara p 9 >HG c 9 8H HHH(>H! 3 8H(>H! 9 ;8 HHH & un precio de ;H dólares el %asto de consumidor es de 8K HHH dólares " a >H dólares el %asto es de ;8 HHH dólares, por lo tanto a menor precio menor es el %asto del consumidor ?* +os costos totales por la producción de cierto artculo en el instante t son f ( t ) dólares* El nAmero de productos fabricados en el instante t es g ( t ) -u. representa f ( t )/ g ( t ) N @* El nAmero de acciones -ue tiene una persona está dado por f ( t ) . El precio de la acción en el instante t es g (t ) miles de pesos -u. representa la expresión f ( t )∗ g ( t )


4


K* $n empresario posee " opera dos restaurantes* El in%reso del primer restaurante en el instante t es f ( t ) miles de pesos " el in%reso del se%undo restaurante en el instante t es g ( t ) miles de pesos -u. representa la función f ( t )+ g (t ) J* +os in%resos de una empresa están dados por f ( x ) dólares, donde x son los %astos de publicidad por parte de la empresa en dólares* +a cantidad invertida en publicidad por la empresa en el instante t está dada por g (t ) dólares Bu. representa la función f g L* El costo promedio por unidad de una compaOa cuando se producen x unidades se de'ne como1 C"st"t"ta$ C"st" p"!#di"= x

#upon%a -ue el costo total de una compaOa se obtiene 2 C"st" p"!#di"=4000 + 55 x + 0,1 x a* Encuentre una expresión -ue determine los costos promedios b* Determine los costos promedios para una producción de 8H " 8HH unidades* Bu. encuentra * #upon%a -ue los bene'cios obtenidos por la producción " la venta de x unidades de cierto producto en un da se determina por medio de 2 P ( x )= 180 x − 0.01 x −200 * &demás el nAmero de unidades producidas en el da t del mes es x =1000 + 10 t % Encuentre a* +a función compuesta ( P " x ) ( t ) b* +os bene'cios obtenidos el da 8@ del mes 8H* El in%reso mensual 5 obtenido por vender /apatos modelo de lujo en 2 una función del precio .sta dado por " la función & =300 p ' 2 p demanda es p=150 ' 0.5 q * a* Encuentre la función compuesta ( & " p )( q ) .


5


b* Determine el in%reso si se demandan 8HH " ;HH unidades c* Compare los resultados -ue encuentra


5!


1R2$IC/ D3 $NCION34 Es posible ilustrar %eom.tricamente las relaciones " funciones al tra/ar sus %rá'cas en un sistema de coordenadas rectan%ulares o cartesianas (plano cartesiano! El plano Cartesiano es un área -ue permite representar %rá'camente relaciones " funciones en dos dimensiones* Está formado por dos rectas perpendiculares denominadas ejes -ue se cortan en un punto llamado ori%en, los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes* +a recta hori/ontal se denomina abscisa (%eneralmente eje x! " la vertical la ordenada (%eneralmente eje "!, del punto de intersección hacia la derecha la abscisa es positiva " hacia la i/-uierda es ne%ativa, del punto de intersección hacia arriba la ordenada es positiva " hacia abajo es ne%ativa*

Cada punto en el plano se forma con la intersección de una coordenada de la abscisa con una de la ordenada " se representa con una pareja


52


ordenada 8a,b*, donde la primera componente representa la coordenada de la primera " la se%unda la coordenada de la se%unda* Ejercicio* Dibuje un plano cartesiano " ubi-ue cada uno de los si%uientes puntos1 &(2>,@!, =(28,2?!, C(@,28!, D(?,>!,E(H,2;!,Y(?,H! #i ' es una función con dominio & " co2dominio =, entonces a cada ) ∈ & le corresponde precisamente un nAmero real '8)* ∈ B. Esto se puede expresar tambi.n como parejas ordenadas de nAmero reales* #e escriba a ) de & como primera componente " '8)* de = como se%unda componente es decir ( ), '8)*! o ( ), " !* +a %rá'ca de una función resulta cuando se tra/an los puntos -ue representan el conjunto de todos los pares ordenados (x, "! -ue satisfacen la ecuación de la función dada +a %rá'ca de una función nos puede suministrar información de esta como por ejemplo1 su tipo, para -ue intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos máximos, mnimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminados 3'ercicio ra'-ue cada función en el intervalo entero indicado 8* f ( x )=2 x + 1 #( [ 0,3 ] ;* f ( x )= x 2 + 1 #( [−3,3 ] >* f ( x )= x 2 +4 x − 2 #( [−6,2 ] ?* f ( x )= x 3 + x 2−6 x #( [−3,2 ] @* f ( x )= x 3−6 x 2 #( [− 4,4 ] 1 K* f ( x )= 2 #( [−4,4 ] x −1 J* f ( x )=2 x #( [−1,3 ] L* f ( x )= ln ( 2 x + 1 )2 #( [1,4 ]


53


−1 2

*

x +3

?i x > !

) ( x )=¿ 2x2 ; !

?i x @ !

1ra5ca de una $unción con Tecnolo0ía Con 3Ecel *--: 8* Entre a Excel ;* En la celda $1, Di%ite la variable independiente ( % ! >* En las celdas B1 " !1 di%ite dos valores cuales-uiera para el dominio* Entre más valores di%ite podrá obtener un mejor %rá'co* ?* En $2 di%ite la variable dependiente ( " ! @* Despeje la ecuación en función de " " di%tela B2 como fórmula Excel, debe tener en cuenta -ue donde va % en la ecuación debe ir B1* K* Cópiela para obtener el o los demás valores para el co2dominio* J* #eleccione el ran%o L* Del menA Insertar seleccione el tipo de %rá'co 6ínea " escoja la opción lnea* * #eleccione el %rá'co, pulse el botón derecho del mouse " seleccione 'eleccionar datos* 8H* En la ventana )ti9uetas del e:e ;oriuitar , pulse $ceptar 8;* )ara ubicar el %rá'co en otra hoja pulse el botón 6over &r*+co (?bicación! " escoja @o:a nueva*


54


8>* )ara modi'car cual-uier área (de %rá'co, de lnea de tra/ado o la de serie de datos! seleccione el área a dar formato, pulse el botón derecho del mouse " escoja la opción de formato* Con el Deri8e de la Calculadora TiB,* &lus de la TeEas Instruments 8* )ulse Ctrl  0 (9! ;* Di%ite la ecuación despejada en función de " " pulse ETER. >* )ulse Ctrl  R ( R&)7! Con en el Winplot

El 0inplot es un soft0are %ratuito especiali/ado en el %rá'co de funciones* )uede descar%ar en la dirección http1FF0inplot*softonic*comFdescar%ar • •

•

• • •

$na ve/ instalado el pro%rama para utili/arlo debe ejecutar el icono correspondiente* )ara reali/ar un %rá'co del menA =entana seleccione *Bdim, abra el menA 3cua " seleccione la opción 3EplícitaG en la ventana fEF di%ite la ecuación " pulse O * #i necesita elevar la variable a una potencia utilice la tecla J* )ara ver las cuadriculas abra el menA 8er seleccione la opción cuadricula active cuadran0ular pulse aplicar " cerrar" #i no se desean ver las coordenadas desactiva las opciones escala )ara %rabar el archivo del menA /rchi8o seleccione la opción 1uardar o 1uardar como* )ara abrir selecciona la opción /brir Con las teclas /8 &á0 aleja el %rá'co " Re &á0 acerca la ima%en* Debe estar ubicado en el área de %rá'co* )ara cambiar de tamaKo a la %ra'ca del menA archivo seleccione la opción tamaOo de la ima%en, di%ite el nuevo alto " ancho, " pulse 4P


55


•

•

•

)ara copiar un %ra'co del menA archivo selecciona la opción copiar lo lleva al documento destino " pulsa pe%ar* Recomendación si va a pe%ar en ôrd inserte el %ra'co en un cuadro de texto para un mejor manejo* )ara mostrar los valores extremos del menA na seleccione la opción 3Etremos, para ir visuali/ando los demás extremos pulse 4i0uiente 3Etremo )ara escribir una etiLueta del menA >tns selecciona la opción teEto en la %rá'ca pulsa el botón derecho del mouse, di%ita el texto o eti-ueta " pulsa o , para cambiarla de posición la arrastra con un clic sostenido* Modi'car Coordenadas menA 8er opción 8erH active la opción esLuinas " &juste 4cultar coordenadas en la ventana de ver cuadrcula desactivar las opciones escala )ara marcar una intersección entre dos curvas de la carpeta Dos seleccione Intersección seleccione las curvas a las cuales desea marcar las intersecciones " pulse marcar punto, si existe otras intersecciones pulse si0uiente intersección " vuelva a pulsar marcar punto para 'nali/ar pulse cerrar )ara dibujar la inversa de una función, inicialmente se dibuja la función, del menA na selecciona reMe'ar activa las opciones EGy " mostrar recta, para 'nali/ar pulsa reMe'ar )ara sombrear un área espec'ca del menA 3cua seleccione la opción 4ombreado activa la opción encima, debajo o entre, si va a sombrear entre dos funciones, di%ite el ran%o o intervalo a sombrear, seleccione el color " pulse sombrear )ara %ra'car una función por parte di%ite el tramo de función, di%ite los limites (\inf " \sup!, active la opción blo-uear intervalo " pulse 4P


56


TALLER DE GRÁFICOS


57


Responda cada pre%unta respecto a la %rá'ca en cada situación particular 8* El propietario de una construcción de >K millones de pesos, la deprecia* El valor " (dado en millones de pesos! de la construcción despu.s de ) meses de uso es y =36 −0.15 x

39

%

alor(Millones de Pesos)

a*

Cuál es el valor de de la propiedad a los KH meses de usoN

b*

Cuál es el valor de de la propiedad los 8H aOos de usoN

36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3

−3

x

Meses 30

60

90

120

150

180

210

240

c* Cuántos aOos pasan para -ue la propiedad se deprecie por completoN Expli-ue

;* +a utilidad obtenida (en millones de pesos! por fabricar " vender ) unidades de cierto producto está dada por )(x!9KHx 3 x;


58


a* Cuál es la máxima productividad -ue se puede obtenerN

% 900

'tilidad

600

b* )ara -u. intervalo la función creciente " para cuál es decrecienteN -u. decisión tomara al respectoN

y = 60x-x^2

300

'nidades Producidas

10

20

30

40

50

x 60

7

c* Cuál es la máxima cantidad de unidades -ue puede producirN usti'-ue su respuesta

>* #upon%a -ue el in%reso por la venta de cierto producto está dado por R(x! 9 JHx  H*@x; 3 H*HH8x>


5


44000

a* Cuál es el in%reso si se venden 8HH unidadesN

% ,n=reso

b* )ara -u. intervalo la función creciente " para cuál es decrecienteN De una explicación

33000

22000

c* Cuál es el máximo in%reso -ue se puede obtenerN

11000

(x,y) = (614,0) Cantidad (endida

−100

100

200

300

x 400

500

600

7

d* Cuál es la máxima cantidad -ue se puede venderN Expli-ue

?* $n estudiante ad-uiere %ran nAmero de conocimientos durante el repaso para un examen* En un tiempo de t semanas despu.s del examen el porcentaje de esos conocimientos -ue el estudiante es capa/ de recordar está dado por 180+20e P (t )= 0.5t

0.5t

1+ e


6


110

a* & la semana -u. porcentaje de conocimiento recuerdaN

% Conoci1ientos 2ecoordados

100 90 80

b* En cuántos meses recuerda el ?H del conocimientoN

70 60 50 40 30 20 10

−1

−10

x

?e1anas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

c* Escriba ; comentarios de la situación presentada

@* #upon%a -ue la oferta de ) unidades de un producto a un precio p de dólares está dado por P=10 + 50 ln ( 3 x + 1 )


6!


300

%

280

Precio

a* cuál es el p si se oferta unidadesN

260

b* Cuántas unidades deben ofert un precio de dólaresN

240 220 200 180 160 140

c* Escriba comentarios situación presentada

120 100 80 60 40 20

x

'nidades 10

20

30

40

50

60

70

80

90

1

K* +as ventas " ( en miles de dólares! se relacionan con los %astos de publicidad x ( en miles de dólares! se%An y(x)=

200x x+10


62


200

a* cuál es volumen ventas si invierten 8H dólares publicidadN

% olu1en de entas

150

100

50

:astos de Publicidad (Miles de lares)

−10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 10

120

130

140

150


160

x 170

180

190

2

el de se mil en

b* Cuánto se debe invertir en publicidad para obtener 8@H mil dólares en ventaN c* Escriba ; comentarios de la situación presentada

63


6/ 67N3/ R3CT/ +a forma simpli'cada de la ecuación de la recta es y =!x + b

, donde • b es la ordenada en el ori%en, coordenada donde la recta corta al eje de la ordenada es decir (H,b! •

m se denomina la pendiente " es la tan%ente del án%ulo de inclinación de la recta respecto al eje la abscisa (x!*


64


+a pendiente de una recta -ue pasa por dos puntos ( x 1 , y 1) " ( x 2 , y 2) está dada por1 y 2− y 1 != x 2− x 1 , esta ecuación se le conoce con el nombre de punto2punto, "a -ue re-uiere de dos puntos para su aplicación* #e pueden presentar las si%uientes situaciones1 • m 2 4A +a recta esta inclinada hacia la derecha* • m  4A +a recta esta inclinada hacia la i/-uierda • m + 4A +a recta es paralela al eje de la abscisa. • #i m es indeterminada la recta es paralela al eje de la ordenada. +a ecuación de la recta -ue tiene como pendiente m " pasa por el punto ( x 1 , y 1) es1 y − y 1= !( x − x1 ) Esta ecuación se le conoce como la ecuación punto pendiente, "a -ue para aplicarla se re-uiere conocer un punto por donde pasa la recta " su pendiente +a ecuaci#n de la (eneral de la recta está dada por1 Ax + By + C =0 , donde A ,B , C ∈ R 3'ercicios 8* Encuentre la pendiente (m! el intercepto (b* " las %ra'-ue cada una de las si%uientes funciones1 a* " 9 ;x  8 b* " 9 2;x 3 8 b* >x  ?" 9 8;


65


c* ;x 3 >" 9 8; ;* Encuentre la ecuación de la función -ue pasa por los puntos1 a* (;,8! " (>,2?! b* (>,;! " (2?,;! c* (>,?! " (>,28! >* Escriba la ecuación " trace la %rá'ca de cada función -ue1 a* Tiene como pendiente 2; en intercepto > b* )asa por el punto (;,H! " tiene pendiente 2; c* )asa por el punto (28,>! " tiene pendiente 2;* d* )asa por los puntos (>,;! " (28,2K!

&osición Relati8a de la Recta Respecto a otras rectas


66


•

&aralelas1 Dos o más rectas son paralelas si su pendientes son i%uales, tambi.n podemos decir -ue dos o más rectas son paralelas si nunca se intersecan %

Recta &

Recta =

•

x

&erpendiculares dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es i%ual a 28, tambi.n se dice -ue si se cortan formando un án%ulo recto (H!* a&

%

Recta =

x

Oblicuas Dos rectas son oblicuas si no son paralelas o perpendiculares o si tienen un punto en comAn


67


Recta &

%

Recta =

x

Respecto a otras rectas 4ecante Es una recta -ue corta a una curva en dos puntos %

#ecante

x

Tan0ente Es una recta -ue toca la curva en un punto


68


%

Aan=ente

x

/síntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando inde'nidamente, cuando por lo menos una de las variables de los ejes tiende al in'nito* +a asntotas se clasi'can en verticales, hori/ontales " oblicuas % %

sintota ertical

sintota Boriontal

sintota ertical sintota blicua

x

x

3'ercicios )" Dibuje en un plano cartesiano cada %rupo de funciones e identi'-ue la posición de cada recta a* y =2 x −1 " y =2 x + 3


6


b* c* d* e* f*

1 y = x −2 " y =−2 x + 1 2 −3 x y= −3 " y =5 − x 2 2 y = x −3 x + 4 #( [−2,2 ] , y =− x + 3 x+ 1 y= #( [−6,2 ] , y =1 x + 3 2 2 x y= #( [ − 6,6 ] , y =2 x −6 x + 3

" y =2 + x

;* Determine si los si%uientes pares de rectas son perpendiculares o nin%una de las anteriores1 a* >x  ;" 9 KG ;x 3 >" 9 K b* @x 3 ;" 9 LG 8Hx 3 ?" 9 L >* Escriba la ecuación de la recta -ue1 a* )asa por (28,;! " es paralela a >x  ;" 9 8* b* )asa por (8,>! " es perpendicular a >x  " 9 28*


paralelas,

7


$NCI!N 6IN3/6

En %eometra " en ál%ebra básica, una función lineal es una función polinómica de primer %radoG es decir, una función cu"a representación en el plano cartesiano es una lnea recta* Esta función se denota1 f ( x )=!x + b , donde

! y b ∈ R % x es una -ariable real&

Da constante m es la pendiente de la recta, si se 1odi+ica m entonces se 1odi+ica la inclinacin de la recta, ade1s muestra el nAmero de unidades -ue vara

y por cada unidad -ue vara % , es decir si m98H, indica -ue por cada unidad -ue vara x " varia 8H unidades & +a constante b es el punto de corte de la recta con el eje, si se modi'ca, entonces la lnea se despla/ará hacia arriba o hacia abajo En economa se considera la función costo como una función del tipo lineal, es decir, su representación %rá'ca será una lnea recta " se representa matemáticamente como1 Costo Total 9 Costos 6ariables ( de )roductos! Costos Yijos Es decir1 +os Costos 6ariables (son a-uellos -ue dependerán directamente del nivel de producción1 la mano de obra " la materia prima entre otros! representan la pendiente " los Costos Yijos (%astos por lu/, a%ua, tel.fono " al-uiler de local! la ordenada en el ori0en*


7!


#e pueden presentar las si%uientes situaciones1 • #i m 2 4A +a función es creciente* • m  4A +a función es decreciente* • m + 4A +a función es constante* • #i m es indeterminada1 no existe función . &roblemas 8* +a demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe -ue a un precio de S @HHH la unidad se demandan ?HHH unidades " por cada S8HHH -ue se rebaje en el precio, la demanda crece en @HH unidades a* 7alle la pendiente -u. si%ni'caN Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendran la forma (precio, demanda!, , es decir, x representa el precio " las unidades demandadas, por datos podemos considerar una primera pareja (@HHH, ?HHH! donde x89@HHH " "89?HHH " una se%unda pareja (?HHH, ?@HH! donde x;9?HHH " ";9?@HH Como sabemos -ue la pendiente es1 y 2− y 1 4500− 4000 != = = 500 = −1 x 2− x 1 4000 −5000 −1000 2 #i%ni'ca -ue por cada 8HHH -ue se incremente el precio la demanda disminu"e la mitad* b* 7alle la ecuación de la demanda Como se conoce la pendiente " un punto utili/amos la ecuación y − y 1= ! ( x − x1 ) , rempla/ando


72


−1

( x −5000 ) 2 −1 x y − 4000= + 2500 2 −1 x y = + 2500 + 4000 2 −1 x y = + 6500 2 y − 4000=

c* ra'-ue la función $bicamos los puntos (@HHH, ?HHH! " (?HHH, ?@HH! " tra/amos la recta -ue corte los dos ejes coordenados 7000

% 'nidades 7e1 andadas

6500

6000

5500

5000

4500

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

P reci o 1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

11000

12000

13000

14000

x 15

−

d* Cuál es el valor de la ordenada en el ori%en " -u. si%ni'caN )or ecuación " %rá'ca la ordenada en el ori%en (b! es de K@HH, es decir a SH se demandan K@HH unidades e* Bu. precio máximo estara dispuesto a pa%arN


73


)or %rá'ca S8>HHH, para precio superior a este las unidades demandas seran ne%ativas &nalticamente tendramos -ue hacer "9H " rempla/ar en la ecuación, as1 −1 x + 6500 0= 2

, despejando −1 −6500 = x 2

(−6500 )∗(−2 )= y 13000 = y * y =13000

f* )ara un precio de S ?@HH, cuál sera la demandaN &-u x9?@HH rempla/ando en la ecuación −1 ( y = 4500 ) + 6500 =−2250+ 6500= 4250 2

, a S?@HH se demandaran ?;@H unidades %* )ara una demanda de @;?H unidades, cuál debe ser el precio unitarioN uE %.524 re1plaando −1 x 5240= + 6500 2 , despe9ando −1 x 5240−6500 = 2 −1 −1260 = x 2 (−1260 )∗(−2 )= x 2520= x * x =2520 , es decir, ue para de1andar 524 el precio unitario tiene ue ser de F252


74


2& 'n taxista tiene un cobro +i9o de F ! 5 % cobra, ade1s, F 8 por cada G1& recorrido& ?uponiendo ue la +uncin es lineal, deter1ineH a& +a ecuación

Costo Total 9 Costos 6ariables ( de )roductos! Costos Yijos Relacionamos el Costo Total como y los Pilómetros recorridos ( de productos! como E, por datos •

Costos Yijos (Cobro 'jo!98 @HH Costos 6ariables (Cobro por Qm recorrido!9LHH Rempla/ando

" 9 LHHx  8@HH

a* Cuál será el valor de un servicio si se despla/a @ PilómetrosN #i x 9 @ entonces, " 9 LHH(@!  8@HH "9?HHH8@HH "9@@HH b* $n servicio -ue realice un despla/amiento de @ Qm costará S@ @HH Con SJ HH -ue distancia se puede despla/arN " 9 J HH entonces, JHH 9 LHHx  8@HH JHH 2 8@HH9 LHHx K?HH9 LHHx 6400 800

9x

\9L


75


Con SJHH se puede despla/ar L Qm* >* $n pe-ueOo fabricante de electrodom.sticos encuentra -ue le cuesta  HHH dólares producir 8HHH hornos para tostar " 8; HHH dólares producir 8 @HH hornos por semana* #uponiendo -ue la función es lineal determine1 a* +a expresión -ue representa el costo en función del nAmero de hornos +as variables -ue participan en el problema son el costo, -ue representaremos con la letra c " el nAmero de hornos, -ue representaremos con la letra % * #i el costo está en función del nAmero de hornos, las parejas ordenadas son de la forma -%= c/ )or dato tenemos dos parejas ordenadas -1 000= A 000/ " -1 00= 12 000/* 7acemos % 11000, c1 A 000, % 21 00 " c212 000, hallamos la pendiente1 c2 −c 1 12000 − 9000 3000 != = = =6 x2 − x1 1500−1000 500 Entonces !=6

Rempla/ando en la ecuación c − c1= !( x − x1 ) obtenemos1 c −9000 = 6 ( x − 1000 ) c =6 x −6000 + 9000

)or lo tanto la expresión -ue representa la función es c =6 x + 3000

b* ra'-ue la función


76


14000 13000 12000 11000 ) c ( o t s o C

10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 500

−1000

1000

1500

2000

NI1ero de Bornos x

c* Cuál es la pendiente de la funciónN -u. si%ni'caN +a pendiente es m9K " si%ni'ca -ue por cada horno -ue se incremente en la producción los costos se incrementan en K dólares* d* Cuál es la ordenada en el ori%enN -u. si%ni'caN +a ordenada en el ori%en es b9>HHH, si%ni'can los costos 'jos Cuánto

cuesta

producir

@HH

hornosN

+a

función

es

c =6 x + 3000

, donde x9@HH, rempla/ando c =6 ( 500 ) + 3000 =6000

)or lo tanto producir @HH hornos costara KHHH dólares e* Cuántos hornos se pueden producir con 8@ HHH dólaresN En la ecuación c =6 x +3000 , c98@ HHH, rempla/ando 15000=6 x + 3000 12000=6 x x =2000


77


Con 8@ HHH dólares se pueden producir ;HHH hornos ?* $n vehculo cu"o avalAo comercial en el ;H8; fue de S?*J millones " en ;H8>, S?*> millones* #uponiendo -ue la relación es lineal determine a* +a expresión -ue permita calcular el avalAo del vehculo en t aOos desde el ;H8;* b* Cuál será el valor comercial del vehculo en el ;H8@N c* )ara -u. aOo se pronostica el devalAo total del vehculoN a* +as ma%nitudes son tiempo (t! " valor (6! +a relación es (t, 6!, por-ue el valor depende del tiempo )or datos (0,4.7 ) " (1,4.3 ) Calculamos la pendiente + 2−+ 1 4.3− 4.7 −0.4 != = = t 2−t 1 1− 0 1 !=−0.4

Rempla/ando en + − 4.7=−0.4 ( t −0 )

+ −+ 1= ! ( t −t 1 )

+ =−0.4 t + 4.7

)or tanto la expresión -ue permita calcular el avalAo del vehculo en t aOos desde el ;H8; es + =−0.4 t + 4.7

b*

+ =  #i + =−0.4 ( 3 )+ 4.7 + =3.5

t9> (;H8@2;H8;!, rempla/ando en + =−0.4 t + 4.7

El valor comercial del vehculo para el ;HH@ será de S>*@ millones

c*

t = #i + =0 0 =−0.4 t + 4.7 0.4 t = 4.7 4.7 t = =11.75 0.4

, rempla/ando en + =−0.4 ( 3 )+ 4.7


78


Dentro de 88*J@ aOos el vehculo se devaluará por completo es decir 2012 + 11.75 =2023 , por tanto en el aOo ;H;> el vehculo estará devaluado por completo ?* El costo de fabricar 8H bolsas de papel al da es de S;; HHH, mientras fabricar ;H bolsas del mismo tipo cuesta S>L HHH* suponiendo -ue el modelo de costo es lineal, determine a* +a fórmula correspondiente -ue permita calcula el costo de producción de x bolsas de papel* b* Cuánto cuesta producir 8HH bolsas " @H bolsasN Bu. encuentraN c* Cuántas bolsas aproximadamente se alcan/aran a producir con una inversión de SLHH HHHN

a* b* c*

@* El propietario de una pe-ueOa empresa inicia el ne%ocio con una deuda de S8HH HHH* Despu.s de @ aOos de operación acumula una utilidad de S?H HHH* #uponiendo -ue la función es lineal determine +a ecuación* +a utilidad a los ? aOos de haber iniciado* El tiempo -ue debe pasar para obtener una utilidad de S8@; HHH* K*

El editor de una revista descubre -ue si 'ja un precio de usS8 a su revista, vende ;HHHH ejemplares al mesG sin embar%o, si el precio es de usS8*@ sus ventas serán de 8@HHH ejemplares* #uponiendo -ue la ecuación de la demanda es lineal determine a* +a ecuación b* Cuántos ejemplares venderá si 'ja el precio en usS8*;N c* Cuál debe ser el precio si desea vender ;@HHH ejemplaresN J*

El costo de un artculo disminu"e de acuerdo con el nAmero de artculos producidos* +a relación entre el costo del artculo " la producción %enera una función lineal* En cierta empresa si se producen


7


>@H artculos la producción de cada artculo cuesta S> " si se producen @HH el costo es de SH* a* 7alle la función costo b* Cuánto cuesta producir 8HHH, ;JHH " 8;@ artculosN c* Bu. encuentraN L* #i @Y e-uivalen a 8@C " KLY e-uivalen a ;HC, encuentre la función lineal -ue relaciona las temperaturas* cuántos C e-uivalen J;Y " cuántos - . e-uivalen >L CN * #ea P ( x ) la producción para cierto artculo " x el dinero invertido* #i se invierten S8H*HHH dólares se producen ; artculosG si se invierten S@H*@HH se producen ?J* #uponiendo -ue la función lnea, 8* Determine la ecuación de la función ;* Cuántos artculos se producen si se invierten S LHHH dólaresN 8H* #i la temperatura del suelo es de ;HC " a la altura de 8 Qm es de 8H C, exprese la temperatura en función de la altura suponiendo -ue la función es lineal* 88* $na fábrica de lámparas tiene un costo 'jo de producción de S 8 HHH HHH mensuales " costos varios por lámpara de S @ HHH* #i x representa el nAmero de lámparas producidas en un mes, determine1 a* +a expresión -ue representa la función costo C(x! b* El costo de producir 8HH " ;HH lámparas* Compare los resultados -u. encuentraN c* El nAmero de lámparas -ue se pueden producir con S8 @HH HHH*

a*

8;* $n comerciante puede vender ;H má-uinas el.ctricas a un precio de ;@ dólares cada una, pero a un precio de ;H dólares vende >H* #uponiendo -ue la función es lineal, determine +a ecuación de la demanda


8


b* #i decide incrementar el precio en >H dólares cuántas má-uinas venderáN c* #i -uisiera vender ?H unidades cuál sera el precioN 8>* #i se demanda una unidad a un precio de 8> dólares pero por cada dólar -ue disminu"a el precio las unidades demandadas se incrementan en 8, determine a* +a ecuación de la demanda b* cuál sera el precio si se demandan @ unidadesN c* cuántas unidades máximas se pueden demandarN 8?* #e compra un carro nuevo por S8H HHH dólares, suponiendo -ue se deprecia linealmente cada aOo a una tasa del 8; de su costo ori%inal, determine a* +a ecuación de la depreciación b* El valor del auto @ aOos despu.s de compradoN c* En cuántos aOos el auto se ha depreciado por completoN 8@* El %obierno determina -ue el costo de un pasaje en bus depende directamente de distancia recorrida* $n recorrido de ; millas cuesta SL HHH mientras -ue uno de K S8;HHH* #uponiendo -ue la función es lineal, determine a* +a ecuación b* El precio de un viaje de L millas c* Bu. distancia se recorre con S;@ HHHN 8K* & un precio de S8H dólares por unidad una compaOa proveerá 8 ;HH unidades de su producto " a S8@ dólares, ? ;HH* #uponiendo -ue la ecuación es lineal, determine a* +a ecuación de la oferta b* En S;H dólares cuántas unidades proveeráN c* #i se desea proveer @ HHH unidades a cómo debe venderN


8!


8J* $na má-uina se ad-uiere por S8; HHH HHH depreciación lineal total en 8@ aOos hallar a* +a ecuación b* El valor de la má-uina en J aOos

" se pronostica un

8L* o existe demanda para cierto artculo cuando el precio unitario es de ;HH dólares o más pero por cada 8H dólares -ue disminu"e su precio por debajo por debajo de ;HH, la cantidad demandada se incrementa en ;HH unidades* Determina la ecuación de la demanda, trace su %rá'ca, determine la demanda cuando el precio es de 8@H dólares " a -u. precio se demandarán ;HHH unidades 8* $na impresora costo S8HH HHH " se deprecia en forma lineal durante @ aOos, con un valor de S>H HHH* cuál es la expresión de la función de costo de la impresoraN Cuál es el valor de la impresora en su se%undo aOoN cuánto tiempo debe pasar para -ue la impresora se deprecia por completoN ;H* $n fabricante de cortinas encuentra -ue el valor de producción de una cortina es de S8L@H " por cada cortina -ue se produce el costo se incrementa en S??*@* 7alle el costo de producción de 8H " 8HH cortinas, compare los resultados -u. encuentraN

a* b* c* d* e*

;8* #i no ha" demanda para cierto artculo el precio unitario es 8J dólares " por cada unidad -ue se incrementa la demanda el precio disminu"e H*@ dólares* Escriba @ parejas ordenadas -ue cumplan con la situación particular #uponiendo -ue la función es lineal, halle la ecuación de la función cuál es el precio si se demandan 8H unidadesN Cuál es la máxima cantidad de unidades -ue se puede demandarN ra'-ue la función


82


h*

f* #uponiendo -ue la ecuación oferta del mismo producto es p9@H*>x, %raf-uela en el mismo plano a la anterior %* El punto de intersección es el punto de e-uilibrio, identif-uelo " verif-uelo, Bu. si%ni'caN -u. si%ni'ca la pendiente en la ecuación ofertaN ;;* $na ma-uinaria de construcción se deprecia en el tiempo " su valor se obtiene mediante la expresión* / ( t )=36 −0.15 t , donde / es

el valor de la ma-uinaria, en millones de pesos " t el tiempo de uso en meses*

a* ra'-ue la función* b* Calcule el valor de la ma-uinaria a los KH meses ", a los 8H aOos de uso* c* Cuánto tiempo pasa hasta -ue la construcción se deprecie por completoN Expli-ue* ;>* +a relación entre las %anancias anuales promedio de hombres " mujeres con distintos niveles de escolaridad se puede modelar por medio de la función F + 4.75M E :.997, donde M " F representan las %anancias anuales promedio (en miles de dólares! de hombres " mujeres respectivamente* a* Considerando F como una función de M, cuál es la pendiente de esta funciónN 5nterprete la pendiente como tasa de cambio* b* Cuando las %anancias anuales promedio de los hombres alcan/an S>H HHH, -u. pronostica la ecuación para las %anancias anuales promedio de las mujeresN ;?* El porcentaje de empresas -ue reclutaron activamente empleados en 5nternet entre 8L " ;HHH se puede modelar con 8)*+:;.7)  G.7 por ciento, donde ) es el nAmero de aOos -ue han pasado desde


83


8H* Expli-ue por-ue el modelo no es válido hasta 8L* Encuentre P ( 7 ) , P ( 8) y P ( 9 ) " piense en lo -ue si%ni'ca*

a* b* c*

a* b* c*

;@* #upon%a -ue un fabricante de calculadoras tiene la función costo total C8)*+9)E = 44 " la función in%reso total 8)* + =). Cuál es la función de %anancia para las calculadorasN ra'-ue la función %anancia Cuál es la %anancia de >HH unidadesN ;K* $n productor puede vender ;HH unidades de un artculo al mes a un precio de 8@ $*M* " >HH unidades a un precio de 8H $*M* &sumiendo -ue existe una relación lineal entre ellas, determine +a demanda q mensual en función del precio Cuántas unidades se demandan a un precio de ;@ $*M*N & -u. precio se demandan ;@H unidadesN ;J* En una población el consumo de a%ua & en metros cAbicos es una función lineal del nAmero h de habitantes* #e sabe -ue @H habitantes consumen >J@H m> de a%ua al mes " ;;@ habitantes consumen 8KJ;@ m> al mes a* Determine la función lineal b* cuál será el consumo de a%ua de ?HH personas en dos mesesN c* #i la población cuenta con un máximo de K;> H>8 m > al mes cuántos habitantes como máximo puede tener la población para -ue no ha"a escase/ de a%uaN

a*

;L* El costo diario promedio, C, para un cuarto en un hospital de una ciudad se elevó de S@*L; dólares por aOo en 8H a S88;L*@H en 8K* #uponiendo -ue la función es lineal Determine la ecuación del costo (c ) respecto al nAmero de aOos (t ) desde 8H* b* Calcule el costo promedio, aproximado, para el ;H8H


84


;* ;* El prec precio io pro prome medi dio o p de los televisores televisores de plasma plasma se puede expresar expresar como una función lineal del nAmero de aparatos vendidos  (en miles!* &demás, conforme  aumentaba en mil, p caa $#S8H*?H " cuando se vendan K?L@ aparatos (en miles!, el precio promedio por aparato era de $#S@H?*>* $#S@H?*>* Escriba Escriba la ecuación ecuación de la recta recta determ determinada inada por esta información* >H* El %erente %erente de una fábrica fábrica de motos observa observa -ue producir producir >H unidades unidades %ene %enera ra un cost costo o de ;JH; ;JH;; ; dóla dólarres " la prod produc ucci ción ón de ?H, ?H, >>H> >>H>H H dólares* #uponiendo -ue la relación es lineal determine a* +a expresión expresión -ue -ue calcule calcule el costo costo de produ producción cción** b* En cuánto cuánto vara vara el costo costo al produc producir ir una moto moto másN c* Cuánt Cuánto o cuesta cuesta produ producir cir @H @H motosN motosN d* Cuá Cuánt ntas as moto motoss se pued pueden en prod produc ucir ir con con una una inver inversi sión ón de @HHHH @HHHH dólaresN 9odelación de $unción 6ineal 8* +os +os datos de la tabla muestr muestran an el nAmero nAmero de famili familias as vincula vinculadas das a un pro"ecto apcola en la #ierra evada de #anta Marta desde 8 &Oo 8 X de 8;L familias

;HHH ;@>

;HH8 >JL

;HH; @H>

;HH> K;L

;HH? J@>

;HH@ LJL

;HHK 8HH>

a* Escriba Escriba una ecuación ecuación lineal lineal de de la situaci situación* ón* b* ra' ra'-u -ue e la func funció ión n c* D Det eter ermi mine ne el nAme nAmerro de fami famili lias as -ue -ue se pron pronos osti tica ca est estara aran n vinculadas en el ;H8HN d* Determine Determine en -u. aOo aproxi aproximadamen madamente te se pronostica pronostica se tendran tendran ;HHH familias vinculadas al pro"ectoN


;HHJ 88;L

85


;* Debi Debido do al cost costo o de la mate materi ria a prim prima a una una fábri fábrica ca se vio vio prec precis isad ada a en aumentar el precio de sus artculo, lo -ue repercutió en las ventas, la si%uiente tabla muestra la variación de las ventas con respecto al precio Costo ;;@H ;>HH ;>@H ;?HH ;?@H ;@HH ;@@H ;KHH ;K@H 6enta ?HH >JK >@; >;L >H? ;LH ;@K ;>; ;HL #uponiendo -ue la demanda es lineal escriba una ecuación lineal de la situación* a* )ronosti )ronosti-ue -ue cuántos cuántos artculos artculos venderá venderá a un precio precio de S>HHH* S>HHH* b* )ronosti )ronosti-ue -ue a -u. -u. precio precio no no venderá venderá nada


86


$NCI!N C/DR2TIC/ +a ecuación %eneral de una función cuadrática tiene cuadrática tiene la forma 2 f ( ( x x )= y =a x + bx + c ,

, donde a , b y c ∈ R " a ≠ 0 . +a %rá'ca de la función cuadrática tiene cuadrática tiene una forma distintiva llamada parábola* parábola* #i a >0 , la parábola abre hacia arriba (convexa! " si a < 0 , abre hacia abajo (cóncava!* #u dominio son todos los reales " el ran%o depende de a as1 #i a > 0 el ran%o es ¿ " si a <0 es ¿ donde y es valor óptimo*


87


y = -x^2+2x+1 %

%

y = x^2+2x-1

Máximo Relativo

V(-b/ V(- b/2a, 2a, f(-b/2a)) f(-b/2a) Valo! #$timo Eje de imet!"a imet!"a

x=-b/2a x

a<0

a%0

x=-b/2a

x

Eje de imet!"a

V(-b/2a, V( -b/2a, f(-b/2a)) f(-b/2a))

f(-b/2a) Valo! #$timo

M"nimo Relativo

+a lnea vertical -ue pasa por el v.rtice de una parábola recibe el nombre nombre de e'e de simetría por-ue una mitad de la %rá'ca es un reZejo de la otra mitad a trav.s de esta otra lnea* +a ecuación del eje de simetra es

El valor óptimo ("a sea máximo o mnimo! de la función se alcan/a en " es1


88


( ) −b

2

b y = f * y =c − 2a 4a

El 8rtice, 8rtice, es el punt punto o dond donde e la paráb parábol ola a da la vuel vuelta ta,, es el punto mínimo si mínimo si a  H " un punto máximo si a  4. +a función cuadrática tiene su v.rtice en

+as raíces son raíces son los valores para los cuales f ( ( x )=0 llamados los ceros de la función* +os ceros de la función cuadrática son las soluciones de la ecuación cuadrática -ue se obtienen

a*

)ara la %rá'ca de la función, se puede presentar dos situaciones #i la función tiene dos interceptos, se unen estos con el v.rtice b* )ara )ara a-uellos a-uellos casos en -ue -ue la función función ten%a un o nin%An nin%An intercep intercepto to es necesario tabular la información " se recomienda tomar mnimo tres valores a la i/-uierda " tres valores a la derecha del eje de simetra* 3'ercicio De la función y = x 2− x −6 halle las las races (si (si existen!, existen!, el inter intercepto, cepto, el dominio, el ran%o " %raf-uela )ara hallar las races hacemos "9H, 2 x − x −6 =0 Yactori/ando x −3 ) ( x x + 2 )=0 ( x Es decir


8


( x −3 )= 0 #(t"(c#s x =3 * ( x + 2 )=0 #(t"(c#s x =−2 )or lo tanto las races son o los puntos donde la curva corta al eje de la abscisa son1 x 1=−2 y x2 =3

)ara hallar el intercepto hacemos x =0 , es decir 2 y =( 0 ) −( 0 ) −6=−6 )or lo tanto el intercepto o el punto donde la curva corta a la ordenada es el punto y =−6 )or ser una función polinómica su dominio son todos los reales* Como a > 0 , el ran%o es de la forma ¿ , hallamos y 2

b y = c − 4a

, donde a =1, b =−1 y c =−6 , rempla/ando (−1 )2 1 y =−6 − =−6− =−6.25 4 (1) 4 , entonces el ran%o es ¿

+a %ra'ca es





%

y = x^2-x-6 7

6

5

4

3

2

1

x −5

−4

−3

−2

Raiz 1

−1

1

2

−1

3

4

5

6

Raiz 2

−2

−3

−4

−5

Intercepto

−6

−7

3'ercicio Encuentre el eje de simetra, el valor óptimo (determine si ha" un valor máximo o mnimo!, el v.rtice, los interceptos " dibuje cada función* 8* "9x;  ?x  ? ;* "9x; 2 Kx  ? >* "9x; 3 ? ?* " 9 ;x; 8Lx @* "9x 2 x; K* " 9 2;x;  8K J* " 9 2x;  @x 2 ?L* "9 x;  Lx  8@ * "9 x;  >x  ;L 8H* y =−2 x2 + 4 x + 1 88* y = x 2−2 x + 4 8;* y =−2 x2 + 4 x −4 8>* y =2 x 2−4 x −2 8?* y =−3 x 2+ 6 x − 4 8@* y =2 x 2+ 3 x −1 8K* y =3 − x −3 x 2 −

3'ercicio


!


8* Determine la ecuación cuadrática -ue pasa por los puntos (8,L!, (>,;H! " (2;,@! +a ecuación %eneral de las funciones cuadráticas es de la forma 2 y = a x + bx + c 8c * Como se conocen > coordenadas debemos hallar los coe'cientes a, b " c* Rempla/ando cada coordenada en la ecuación obtenemos un sistema de ecuaciones lineales de >x>, -ue resolviendo hallaremos los valores de los coe'cientes as1 )ara (8,L!G x 9 8G " 9 L, rempla/ando 8c* L 9 a(8!;  b(8!  c L 9 a  b  c 8c:* )ara (>,;H!G x 9 >G " 9 ;H, rempla/ando 8c* ;H 9 a(>!;  b(>!  c ;H 9 a  >b  c 8c=* )ara (2;,@!G x 9 2;G " 9 @, rempla/ando 8c* @ 9 a(2;!;  b(2;!  c @ 9 ?a 2 ;b  c 8c* Multiplicamos la (Ec;! por 28G 2L 9 2a 3 b 3 c 8c7* #umamos la 8c=* " la 8c7* :4 + Ga E =b E c 5 +  a > b > c : + 5a E :b Yactori/ando A ; + a E b 8c;*

#umamos la 8c* " la 8c7* 7 + a  :b E c 5 +  a > b > c = + =a  =b Yactori/ando A  + a > b 8c9*


2


#umando la 8c;* " 8c9*1 ; + a E b  + a > b 7 + 7a

Despejando aG) Rempla/ando en la 8c;*A ; + 8* E b

Despe&ando " resolviendo b2 Rempla/ando en (c:*1 5 +  E : E c Despe&ando " resolviendo cG# Rempla/ando en 8c* la ecuaci#n seraA

"  % 2 C 2% C 

3'ercicios Determine las ecuaciones cuadráticas -ue pasan por los puntos indicados1 (8,H! (2;,K! " (;,K! (28,8!, (H,28!, (8,>!

(8,28! (2>,>>! (;,2L!

(H,2?! (>,@! " (2;,H!

&roblemas Resuelva cada uno de los si%uientes problemas1 8* $na tienda venderá " unidades de un producto en particular cuando se %astan ) dólares en publicidad del producto, " " + 74) > ) :

a* Calcule el valor óptimo Bu. si%ni'caN 5nicialmente debemos hallar el eje de simetra

x=-

Comparando con "9 ax;  bc  cG a928, b.5 % c. Rempla/ando1


b 2a

3


x=-

b 50 50 ===25 2a 2(-1) -2

Rempla/ando en la función ori%inal1 " + 748:7* > 8:7*:+:74 > ;:7+ ;:7

Como agH, ocurre un máximo, es decir -ue la venta máxima será de K;@ unidades " se obtiene cuando se invierten ;@ dólares en publicidad b* 7alle los interceptos -u. si%ni'caN Rempla/amos a, b " c en la ecuación %eneral 2 2 -50! √ 50 -4 ( -1 ) (0) -b! √ b -4ac -50! √ 50 -50!50 x= = = = 2a 2(-1) -2 -2 2

, encontramos ; races

x 1 =

-50+50 -50-50 -100 = 0 y x2 = = = 50 -2 -2 -2

+os interceptos ocurren en x9H " x9@H, por lo tanto la venta se obtiene cuando se invierte entre H " @H dólares en publicidad c* ra'-ue la función


4


% 700

'nidades

(25,625) 600

500

400

300

200

100

x 10

20

30

40

50

6

;* +a función demanda para cierto producto está dada por p=200 −5 q , donde p es el precio (en miles de pesos! por unidad cuando se demandan q unidades* #i el in%reso total es el producto del precio por la demanda, determine1 El nAmero de unidades -ue maximi/a el in%reso* El in%reso máximo* +a máxima cantidad de unidades -ue se pueden demandar por -u.N ra'-ue la función Publicidad

a* b* c* d*

a* b* c*

>* +a utilidad -ue se obtiene de cierto producto si el precio de venta es de 0 p se puede modelar por 2 1 =−20 p + 1400 p −12000 , miles de pesos 7alle el valor óptimo -u. si%ni'caN 7alle las races (si existen! cuáles tienen sentido para el problemaN -u. si%ni'canN $tilice el 0inplot para %ra'car la función* ?* +a función costo de un fabricante es C ( x )=1000 + 5 x ' 0.1 x " dólares, cuando se producen x unidades de cierto producto al da* a* 7alle el valor óptimo -u. si%ni'caN b* ra'-ue la función


5


@* +os in%resos mensuales de cierta fábrica de llantas se pueden calcular mediante la expresión 2 . ( x )=2 x −100 x − 20

a* b* c* d*

, donde ) es el nAmero de unidades vendidas en el mes " f(x! está dado en miles de pesos* Determine el in%reso mensual si se venden @H unidades* Bu. encuentraN Determine el in%reso mensual si se venden KH unidades* Bu. encuentraN Cuántas llantas se debe vender para -ue los in%resos sean de 8LH miles de pesosN ra'-ue la función e* 5nterprete la %rá'ca K* +os in%resos totales obtenidos por la venta de x nAmero de copias de una má-uina fotocopiadora son de 2 R ( x ) =−0.04 x + 2000 x , pesos por semana a* Determine el valor óptimo de la función Bu. si%ni'caN b* Cuántas copias debe vender para obtener in%resos de ;HHHH pesos por semanaN c* Determine los interceptos -u. si%ni'canN d* ra'-ue la función J* +a utilidad obtenida (en millones de pesos! por fabricar " vender ) unidades de cierto producto está dada por 2 P ( x )= 60 x − x a* Determine el valor óptimo de la función Bu. si%ni'caN b* ra'-ue la función c* Cuántas unidades debe producir " vender para obtener una utilidad de ?H millones de pesos


6


L* +a función de oferta para lámparas de escritorios +uminar está dada por1 2 P=0.125 x −0.5 x + 15 , donde x es la cantidad ofrecida en miles "  es el precio unitario en dólares* Trace la %rá'ca de la función, determine el valor óptimo, es máximo o mnimo, -u. si%ni'caN * +a %anancia mensual estimada por la empresa Cannon al producir " vender x unidades de cámaras modelo M8 es1 2 P ( x )=−0.04 x + 240 x −10000 , dólares* Encuentre el valor óptimo de la situación, determine si es máximo o mnimo " -ue si%ni'ca* 8H* +a función %anancia por la venta de ) unidades producidas de un 2 producto está dada por g ( x ) =180 x + 0.01 x −200 * Bu. nivel de producción maximi/a la %ananciaN cuál es la máxima %anancia posibleN ra'-ue la función* 88* En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es C ( q )=0.2 q 2+ q +900 Bu. cantidad de unidades maximi/a el costo de producciónN cuál es el máximo costo de producción posibleN ra'-ue la función* 8;* Con base en la experiencia se ha determinado -ue aproximadamente q ( t )=t 2+ 100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción* & -u. hora se maximi/a la producciónN cuál es la máxima producción posibleN ra'-ue la función*


7


8>* #e determine la %anancia diaria de la venta de un producto por medio de dólares* Bu. nivel de producción maximi/a la %ananciaN cuál es la máxima %anancia posibleN 8?*

+a %anancia diaria de la venta de x unidades de un producto es Bu. nivel de producción maximi/a la %ananciaN Cuál es la máxima %anancia posibleN

8@* #i la %anancia de la venta de x unidades de un producto está dada por1 2 P ( x )= 90 x −200− x , determine1 a* El nAmero de unidades -ue maximi/ará la %anancia (Eje de simetra! b* El valor óptimo (máximo o mnimoN! c* ra'-ue la función 8K* En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada por1 2 1 ( x ) =130 + 80 x − x , millones de pesos , determine a* El valor óptimo e indi-ue si es máximo o mnimo* b* +os interceptos -u. si%ni'canN c* ra'-ue la función 8J* +a rentabilidad de un plan de ahorro en función de la inversión x , en millones de pesos viene dada por 2 f ( x )=−0.002 x + 0.8 x −5 a* El valor óptimo e indi-ue si es máximo o mnimo* b* +os interceptos -u. si%ni'canN c* ra'-ue la función


8


8L* $na tienda de deporte estima -ue si se 'ja el precio de venta para un balón de futbol en p $*M* la cantidad demandada será q =40 ( 22− p ) balones al mes* a* Bu. precio deberá 'jarse al consumidor a 'n de obtener la máxima utilidadN b* Cuál es la máxima utilidad -ue se puede obtenerN c. ra'-ue la función 8*

+a función oferta para un producto está dada por la ecuación 2 f ( p)=3 p −4200 , donde '8p* es la cantidad ofertada " p es el precio en dólares, determine* a* El eje de simetra b* El valor óptimo -u. si%ni'caN c* +os interceptos -u. si%ni'caN d* ra'-ue la función* e* Bu. cantidad debe ser ofertada a un precio de S8HHN

;H* #upón%ase -ue una empresa ha descubierto -ue la cantidad demandada de uno de sus productos depende del precio* +a función -ue describe esta relación es q =1500−50 p , donde q es la cantidad demandad en miles de unidades " p indica el precio en dólares* El in%reso total  lo%rado con la venta de q unidades se formula como el producto p por q* a* Escriba la expresión -ue representa el in%reso b* El eje de simetra c* El valor óptimo -u. si%ni'caN d* +os interceptos -u. si%ni'caN e* ra'-ue la función* f* Determine el in%reso total correspondiente al precio de S8H*





;8* Cierta entidad 'nanciera lan/a al mercado un plan de inversión cu"a rentabilidad, R ( x ) en miles de pesos, viene dada en función de la cantidad -ue se invierta, x en miles de pesos, por medio de la si%uiente expresión1 2 R ( x ) =−0.001 x + 0.5 x + 2.5 Determine1 a* El eje de simetra -u. si%ni'caN b* El valor óptimo -u. si%ni'caN c* +os interceptos (si existen! -u. si%ni'caN d* ra'-ue la función e* Deducir ra/onadamente -u. cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan* 6odelación de Función !uadr*tica

8* #abemos -ue la función f ( x )=a x 2 + bx tiene un máximo en el punto (>,L!, halle los valores de UaV " UbV ;* #e estima -ue la cantidad de desperdicios echados a un ro es una función cuadrática del tiempo* #i se tiraron 88*@ ton en un periodo de @ das, " ;H*L ton despu.s de L das, hallar la cantidad tirada en t das* >* +a si%uiente tabla da los in%resos totales de una empresa de comunicaciones para aOos seleccionados &Oo 8; 5n%reso K>*8> s (millone

8> K*

8? KH*@>

8@ K8*8

8K K;*8

8J K>*HL

8L K?*

8 KJ*8@

a* Encuentre la ecuación b* $se la función para encontrar el aOo en -ue el in%reso fue mnimo " encuentre el in%reso mnimo*


!


c* Compruebe los datos contra los datos de la tabla d* Trace la %rá'ca ?* +os datos de la tabla dan los in%resos de las ventas as como los costos de un empresa para varios aOos Jo n=reso x -enta Costos % =astos

!  2&6

! ! 2&7

! 2 2&

! 3 3&3

! 4 3&

! 5 4&5

! 6 4&8

! 7 5&!

! 8 4&

!

2&4!

2&44

2&63

2&4

3&53

3&8!

4&25

4&87

4&

4&

4&7

a* b* c* d* e*

Encuentre las ecuaciones1 De in%reso por venta con respecto al nAmero de aOos De costos " %astos con respecto al nAmero de aOos $se la función para1 Determinar el aOo en -ue ocurre el in%reso máximo " la %anancia máxima -ue se pronostica f* Trace la %rá'ca de la función Costos " astos %* & lo lar%o de los aOos ;HHH al ;H8H +a función pro"ecta %anancias crecientes o decrecientesN $unciones con Tecnolo0ía $tilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular " %ra'car cada una de las si%uientes funciones1 2

f ( x )= x + 2 x + 1

;*

2

f ( x )=2 x + 1


>*

2

f ( x )=3 x + 2 x

!!


$NCI!N &O6IN!9IC/ D3 1R/DO 4&3RIOR / DO4 +a función )(x! 9 anxn  an28 xn28  ***  a8x  aH donde an es diferente de cero, se conoce como una función polinómica de nBsimo 0rado* +os nAmeros an, an28, ***, a8, aH se llaman los coe5cientes de la función" 3n la 3conomía""" $n investi%ador suele expresar1 el consumo en función del in%reso, tambi.n la oferta en función del precio, o el costo total de una empresa en función de los cambios de producción, entre otros muchos ejemplos donde se anali/a cómo se comporta una variable en respuesta a los cambios -ue se producen en otras variables*

a* b*

&roblemas 8* $n fabricante ha determinado -ue para cierto producto, el costo total ( en dólares por unidad! está dado por 3 2 C =2 q −36 q + 210 q −200 , donde : / q / 4 Calcule el costo total de producir ?, @, J "  unidades 5nterprete los resultados ;* $n empresa fabrica mesas para computador " determina -ue el costo total (en miles de pesos!, cuando se producen -ue cientos de unidades está dada por C ( q )=2 q # −9 q " + 12 q + 20 a* Calcule el costo de producir 8HH (-98!, >HH (-9>! " @HH (-9@! unidades -u. encuentraN b* ra'-ue la función en el intervalo H,@


!2


>* $n estudio de tiempo mostró -ue, en promedio, la productividad de un trabajador despu.s de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de 2 3 P (t )=27 t + 6 t −t , 0 ≤ t ≤ 8 Donde ) es el nAmero de unidades producidas por hora* Calcule la productividad despu.s de 8, >, @, J "  horas trabajo* Compare los resultados -u. encuentra* ra'-ue la función ?* El análisis de producción diaria de una empresa muestra -ue, en promedio, el nAmero de unidades por hora " producidas despu.s de t horas de producción es 1 2 3 y =70 t + t −t , 0 ≤ t ≤ 8 2

Calcule el promedio de unidades producidas por hora despu.s de ;, ?, K, L " 8H horas trabajo* Compare los resultados -u. encuentra* ra'-ue la función @* El costo en millones de pesos de la elaboración de ) cajas de CD en cierta productora de discos, está dado por C ( x )=1500 + 3 x + x 3 , Calcule C ( 100 ) , -u. si%ni'caN K* #e estima -ue un trabajador de un taller -ue produce marcos puede pintar " marcos en ) horas despu.s de comen/ar a trabajar a las L1HH a*m*, se puede modelar con la expresión 2 3 y =3 x +8 x − x a. Calcule la cantidad de marcos -ue puede pintar a las 1HH a*m*, a la 8 p*m* b. Compare los resultados -ue encuentra J* #upon%a -ue dado el in%reso (en miles de pesos! por la venta de cierto producto está dado por


!3


2

R ( x )= 70 x + 0.5 x ' 0.001 x

3

, donde x son las unidades vendidas* a* Calcule el in%reso por la venta de K8? " K8@ unidades b* Compare los resultados -u. encuentraN L* +a función costo de un artculo es C ( x )=84000 + 0.16 x ' 0.6 x 2 + 0.003 x3 a* Calcule C (100 ) Bu. si%ni'caN b* Calcule C ( 200) Bu. si%ni'caN c* Compare los resultados -u. encuentraN * El costo, en dólares, para producir ) pares de jeans es C(x!9;H  ;x 3 H*H;x;H*HHHHJx> a* Calcule el costo de producir 8HHH jeans* b* Calcule el costo de producir ;HHH jeans* c* Compare los resultados -u. encuentraN 8H* +a función de costo para la producción de x unidades de cierto producto para una empresa, está dada por 3

x C8)*+ =44)4)  3 :

a* Calcule el valor de producir 8HH unidades b* Calcule el costo de producir ;HH unidades c* Compare los resultados -u. encuentraN

$NCI!N 3;&ON3NCI/6


!4


#i a es un nAmero real tal-ue a > 0 " a ≠ 1 , entonces la función x f ( x )=a , f ( x ) es una función exponencial Consideremos la %rá'ca de la función y =2 x , -ue modela el crecimiento de diversas aplicaciones 2i a > 1

2i 0 < a < 1

$na función especial -ue se presenta con frecuencia en economa es x y = # , donde  es un nAmero irracional 'jo (aproximadamente ;*J8L;LW!* +as funciones exponenciales de base e con frecuencia aparecen de manera natural, el crecimiento del dinero -ue se capitali/a continuamente se obtiene mediante la fórmula 2 = P # t , donde  es el capital ori%inal, r la tasa de inter.s " t el tiempo en aOos* El nAmero e aparecerá como la base de la ma"or parte de las funciones exponenciales -ue puedan encontrarse*


!5


− x +as funciones de la forma f ( x )= a funciones de decaimiento exponencial*

"

−3x

f ( x )= #

representan

3'ercicios Emplear la calculadora para hallar las potencias indicadas de e (aproximar la respuesta en > decimales! 100 e:

D.2E e.2

313 e00

.23 e.0

2 % .23

)  eB-"# P )"*

&roblemas 8* Inters compuesto capitaliado #i se invierten ) dólares a una tasa de inter.s anual r (expresada en decimal! " el inter.s se capitali/a P veces por aOo, el saldo =(t! despu.s de t aOos será 3t

 B ( t )= p ( 1 + ) 3

#upón%ase -ue se invierten usS@ HHH a una tasa de inter.s anual del 8H* Calcular el saldo despu.s de 8H aOos si el inter.s se capitali/a1 &nualmente, #emestralmente " diariamente (>K@ das! Bu. encuentraN ;* Inters capitaliado continuamente #i se invierten ) dólares a una tasa de inter.s anual r (expresada en decimal! " el inter.s se capitali/a continuamente, el saldo =(t! despu.s de t aOos será t B ( t )= P # #upón%ase -ue se invierten usS@ HHH a una tasa de inter.s anual del 8H* Calcular el saldo despu.s de 8H aOos si el inter.s se capitali/a continuamente


!6


>* #upón%ase -ue se invierten @ millones de pesos a una tasa de inter.s anual del J* Calcular el saldo (en millones! despu.s de 8H aOos si el inter.s se capitali/a1 &nualmente, #emestralmente, diariamente " continuamente (>K@ das! Bu. encuentraN ?* #i se prestan ) dólares durante  meses, con capitali/ación mensual a una tasa de inter.s anual r (expresada en decimal!, el pr.stamo puede pa%arse con cuota mensual de !=

Pi − N

1−( 1+ i )

, donde i es el pa%o del inter.s por periodo* Determinar la cuota mensual para comprar un automóvil nuevo -ue cuesta >@ millones de pesos, si la cuota inicial es de 8H millones " el resto se 'nancia a un periodo de @ aOos a una tasa anual de K capitali/ada mensualmente (nótese -ue i9

0.06 12

!*

@* )ara comprar una casa se hace un pr.stamo de 8@H millones de pesos al  de inter.s anual, capitali/ado mensualmente durante >H aOos cuánto debe pa%arse mensualmente para amorti/ar la deudaN K* #i se invierten S8H*HHH con una tasa de inter.s del K compuesto mensualmente, entonces el valor futuro de la inversión despu.s de ) aOos está dado por 2 =10000 ( 1.00512 x ) * Encuentre el valor futuro de la inversión despu.s de @ aOos " de >H aOos* J* El porcentaje de personas -ue repondieron a un comercial televisivo para un nuevo producto despu.s de t das despu.s del lan/amiento, se encuentra con la expresión −0.2t R=70 −100 #


!7


a* Calcular el porcentaje de personas -ue respondieron al comercial 8@ das despu.s del lan/amiento del comercial* b* Cuántos das deben pasar para -ue responda el @H de las personas L* $n estudio estadistico acerca del funcionamiento de un artefacto, muestra -ue la fracción de estos -ue funcionan despu.s de t aOos de uso es aproximadamente −0.12 t f ( t )=# a* Bu. porcentaje de artefactos se espera funcionen despu.s de ? aOoN b* Cuántos aOos pasaran aproximadamente para funcionen la mitad de los artefactosN * $na compaOa ha visto -ue la demanda mensual de su nueva lnea de computadoras domesticas t meses despu.s de introducirlas en el mercado está dada por D8t*+ : 444 >  744e4.47t 8t 2 4*

ra'-ue la función " responda a* cuál es la demanada despu.s de un mes " un aOoN b* cuánto tiempo debe pasar para -ue se demanden 8 HHH unidades* 8H* El poder ad-uisitivo  de un in%reso 'jo de S>H HHH anuales (como pensión! despu.s de t aOos, con una inZación de ? puede modelarse por medio de la fórmula −0.04 t P=30000 # Encuentre el poder ad-uisitivo despu.s de @ aOos " ;H aOos 88* El nAmero de fondos mutuos , exclu"endo los fondos del mercado monetario, para los aOos seleccionados de 8JL a ;HHH, se pueden modelar por medio de


!8


0.1351 t

N =276 #

Donde t es el nAmero de aOos -ue han pasado desde 8J@* a* $se el modelo para calcular el nAmero de fondos mutuos en 8H b* $se el modelo para calcular el aOo en -ue el nAmero de fondos mutuos lle%ará a ;H HHH* 8;* $na or%ani/ación de investi%ación de mercado a'rma -ue si una compaOa %asta ) millones de pesos en publicidad por televisión, la utilidad obtenida puede estimarse mediante la función 2 − 0.5 x P= 40 x # , donde  se expresa en millones de pesos* a* Cuál será la utilidad cuándo se %asta ; millones (x9;!, ? millones (x9?! " K millones (x9K!N b* Compare los resultados -u. encuentraN


!


$NCI!N 6O1/R7T9IC/ +os lo%aritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simpli'car o incluso, hacer posible complicados cálculos num.ricos* $tili/ando lo%aritmos podemos convertir1 productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos " races en cocientes* 6e llama lo(aritmo en base a del nOmero x al e)ponente b al que %a" que elevar la base para obtener dic%o nOmero. b

loga x=b ↔ a = x


!!


Donde a  R, a 2 4 " a P , a se denomina base del sistema de lo%aritmos* , -ue se lee1 [el lo%aritmo en base a del nAmero ) es b[ , o tambi.n 1 [el nAmero b se llama lo%aritmo del nAmero ) respecto de la base a [ * $n lo%aritmo no es otra cosa -ue un e)ponente. )ropiedades loga 1=0

a

loga x

= x

1 (¿¿ ( )=( loga 1 loga ¿

# (¿¿ x )= x ln ¿

log a a =1

log a a = 1

loga ( 1 %+ )¿ loga 1 + loga +

1 loga = loga 1 − loga + +

x

ln ( # )=1

( 1 √

1 ( loga ¿

(¿¿❑)= log a 1

#

ln ( x )

= x

Tipos de 6o0aritmos 6o0aritmos Comunes1 Tambi.n llamados decimales o vul%ares son los -ue tienen por base el nAmero 8H* #e escriben lo(4 ) + lo( ) 6o0aritmos Naturales1 Tambi.n llamados eperianos o hiperbólicos tienen por base el nAmero e* #e escriben lo(e ) + ln ) Cálculo Diferencial

!!!


3'ercicios Escriba cada ecuación en forma exponencial log2 16= 4 log3 27=3

log3 81= 4

log 3 243=5

log4 2 =

1 log3 =−2 9

1 2

1 1 =¿− 4 2 log 16 ¿

1 log8 2= 3

3'ercicio Despeje ) escribiendo las ecuaciones en forma exponencial log2 x=3 log3 x=4

log 4 x=−2

log8 x=

−1

log25 x =

3 1 log25 x = 2

log 5 x=3

−1

2 1 log25 x = 2

3'ercicio Calcule el valor de la potencia " exprese en forma lo%artmica ;@

@> 1

√ 81=3 4

√ 64 3

−1

4 =

√

3'ercicio


1 16

1 4

√ 9=3

!!2


Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones lo%artmicas -ue no contienen exponentes x loga x + y x + y ln y

x √ x + 4 3

ln ( x + y )( 4 x + 5 )

2

x ln √ x + 4

¿

log 7 ¿

ln x √ x + 4 3

ln ( 2 x + 1 ) ( x −5 )

x

ln

3'ercicio Resuelve cada una de las si%uientes ecuaciones1 ;x 3 89 @ ;* # 2 x =3 >*

1− x

3#

2

3

√ x −3

=7

log ( 3 x + 2 ) =log ( 2 x + 5 )

@* @(>x;! 3 8 9 8?

K*

ln (− x ) = ln ( x −6 )

log ( 7 )− log ( x − 1 )=log ( 4 )

L*

*

2#

2 x

x / 2

88*

x + 1

8?*

4 = 20 4 =128 x + 2 2 ln ( 2 x −1 )=3

5 x

14

# # =#

2 x + 3

7

=343

( 3 x −6 ) =10 8J*

3'ercicio $se la calculadora para determinar


2 x + 2

=17 x + 1

8;*

2 ( 10 ) + 10

8@*

4 ( 10) 5

ln ( x )− ln ( 3 −2 x ) =0 2

2

x

0.2 x

=3

=4

!!3


ln √ 4 % 6

ln

√

3

8 5

3 ln ( 12 )− ln ( 15 ) 2 4 ln 6 − ln ¿ 1 ¿ 2

ln

√ 56

6

23

1 ln 8 −ln 5 3 ln

√ 1728

ln

15

(√ ) 3 2

ln 4 + ln ¿ 1 ¿ 2 ln34 17

ln 12 √ 20 ln 4 17

1 ln 56− ln 23 2

5 2ln2 1 ln12 + ln20 2 15 + 20ln [ 5 × 2 −1 ]

&roblemas +a ecuación de la demanda de cierta mercanca es x =5000−1000 ln ( p + 40 ) , donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es de p dólares* Calcular la cantidad de unidades demandadas cuando el precio unitario es @ " 8H dólares #i p 9@, x 9 @HHH 2 8HHH ln( @  ?H!9@HHH 2 8HHH ln(?@!9 @HHH 2 8HHH(>*L! x9 @HHH2>LHK*KK988>*>> Es decir a un precio de @ dólares se demandaran aproximadamente 88> unidades #i p 98H


!!4


x 9 @HHH 2 8HHH ln( 8H  ?H!9@HHH 2 8HHH ln(@H!9 @HHH 2 8HHH(>*8! x9 @HHH2>8;*H;98HLJ*J Es decir a un precio de 8H dólares se demandaran aproximadamente 8HLL unidades* )or lo tanto al incrementarse el precio de @ a 8H dólares las unidades demandadas disminu"en de 88> a 8HLL* ;* +a ecuación de demanda de un producto es 60 3 q = + ln ( 65 − p ) p

, donde q es la cantidad " p el precio por unidad, calcule la demanda para p=2 y p =4 -u. encuentraN >* $na compaOa está contratando personas para trabajar en su planta* )ara el trabajo -ue las personas deben efectuar los expertos en e'ciencia estiman -ue el costo promedio C de reali/ar la tarea es una función del nAmero de personas contratadas x es 2 C =0.003 x −0.216ln ( x )+ 5 a* Determine el costo promedio de reali/ar la tarea con >, K "  personas* b* Compare los resultados -u. encuentraN ?* $na compaOa encuentra -ue la cantidad de dólares " -ue deben %astar semanalmente en publicidad para vender % unidades de un producto está dada por 400 500 − x

¿

y =200 ln ¿

Calcule el %asto publicitario -ue se necesita para vender 8HH, ;HH " >HH unidades, compare los resultados -ue encuentra* Cálculo Diferencial

!!5


a* Calcule Calcule el nAmero nAmero de de unidades unidades -ue se deben deben vender vender para %astar %astar 8HH 8HH dólares semanales en publicidad* @*

Di%a Di%amo moss -ue -ue la func funció ión n dem deman anda da para para un prod produc ucto to está está dada dada por por p=

100 ln ( q + 1 )

a* Cuál será el precio precio si se demandan demandan 8 8 unidadesN unidadesN b* Cuántas Cuántas unidades unidades serán serán demandadas demandadas si el precio precio es de ;,?N ;,?N K* #upon%a #upon%a -ue el costo costo total (en (en dólares! dólares! para un produc producto to está dado dado por 200 ln ( 2 x + 1 ) C ( x )=1500 + 200

, donde ) es es el nAmero de unidades producidas a* Cuál será el costo de produci producirr ;HH unidade unidadesN sN b* Cuántas Cuántas unidades unidades se produci producirán rán con >HHH >HHH dólaresN dólaresN J* El in%re %reso total en dólare ares por la venta de producto está dado por R ( x )

9

x

unid unidade adess de un

2500 x ln ( 10 x + 10 )

Encu Encuen entr tre e el in%r in%res eso o cuan cuando do se vend venden en 8HH 8HH " ;HH ;HH unid unidad ades es e interprete el resultado

a* b*

L* #upo #upon% n%a a -ue la ofer oferta ta de x unidades de un producto a un precio p de dólares está dado por P=10 +50 ln (3 x +1 )% Encu Encuen entr tre e el el pr precio ecio de ofer oferta ta cuan cuando do el nAme nAmerro de de uni unida dade dess es es >>* >>* Cuá Cuánt ntas as uni unidade dadess se se ofr ofrec ecen en a un un pr precio ecio de >HH >HH dól dólar ares es


!!6


* +a funci función ón deman demanda da de un prod produc ucto to está está dada por p +

4 000 000 ln ( x + 10 )

donde p es el prec precio io unit unitar ario io en dóla dólare ress cuan cuando do se deman demanda dan n ) unidades* Encuentre el precio con respecto al nAmero de unidades vendidas cuando se venden ?H " H unidades -u. encuentraN Con Con la 'nal 'nalid idad ad de dete deterrmina minarr la reten etenci ción ón de los los conc concep epto toss aprendidos se practicó un examen a un %rupo de estudiantes ", a partir de esa fecha se les examino cada mes utili/ando una prueba e-uivalente* +os resultados mostraron -ue el promedio de puntuación es el tiempo en D satisface la formula D+ 54 > :!n8)E* , donde ) es mese meses* s* Calc Calcul ule e la punt puntua uaci ción ón inic inicia ial, l, a los los seis seis mese mesess " al aOo aOo* Cuánto tiempo debe pasar para -ue el promedio de puntuación sea de @H puntosN

4.

.

+a ecuación de demanda para cierto producto está dada por −0.001 q

p=15 #

, dond donde e p es el prec precio io por unida unidad d en miles miles de peso pesoss " q las unidades demandadas* Calcular El precio si se demandan @HH unidades -G.4G miles de pesos b* Cuá Cuánt ntas as unidade unidadess se demand demandan an si el preci precio o es de @ mil mil pesos pesosNN RF&proximadamente 8H unidades +a temperatura de una ta/a de caf. t minutos minutos despu.s de servirla 4.4;t se puede modelar por T+94E44e , donde T se mide en %rados Y* Cuál será la temperatura al momento de servirloN Cuánto tiempo debe pasar para -ue el caf. pueda ser tomado T+:4 QF N

:.

$na fábrica de bombillo ha encontrado -ue la fracción de bombillos -ue se funden en t horas horas está dado por f ( ( t )= )=1 −#−0.003 t Bu. fracción

=.


!!7


de bombillos se fundirán las primeras ?L horasN En cuántas horas se fundiran el @H de los bombillosN +a e'ciencia de un obrero comAn de un fábrica está determinada 60 # 4.:t , dond medi ediant ante la función f ( ( t )=100 ' 60 donde e el obr obrero ero pued puede e comp comple leta tarr f ( ( t ) unid unidad ades es por por da da desp despu. u.ss de habe haberr trab trabaj ajad ado o t meses* Determinar la e'ciencia de un trabajador nuevo* en cuánto tiempo un trabajador alcan/a una e'ciencia de H unidades daN

.

El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de −0.1 x 2 =50000 # , dond donde e # es la venta venta seman semanal al (en dóla dólarres! es! " ) es el nAmero de sema semana nass -ue -ue han han tran transc scur urri rido do desd desde e -ue -ue ter terminó minó la camp campaO aOa a publicitaria* Determinar +as ventas dos meses despu.s de culminar la campaOa publicitaria* b* El nAmero de semanas -ue deben pasar despu.s de culminar la campaOa campaOa publicitara publicitara para -ue -ue las ventas cai%an cai%an por debajo debajo de los $#S8@ HHH* 7.

a.

8K* 8K* +as +as aci acion ones es $ni $nidas das han han pron pronos osti ticcado ado la pobl poblac aciión mund mundiial de 8@ 8@ a ;8@H ;8@H** $sand sando o est estas pro pro"ecc "ecciiones ones se pued puede e mode modellar la población mundial (en millones! con la ecuación 0.0242 x y = 4155 # Donde x es el nAmero aOos transcurridos desde 8H* a* #upo #upon% n%a a -ue -ue en 8H 8H la poblac població ión n mund mundia iall fue fue de ? 8@@ 8@@ mill millon ones es de habitantes* $se este modelo para encontrar cuántos aOos pasaran antes de -ue se dupli-ue la población de 8H* b* #e%An el modelo modelo cuál será la poblaci población ón en el ;HHLN 8J* 8J* El val valor or 6 de de un obje objeto to a los los t aOo aOoss de su adad-ui uisi sici ción ón se se pued puede e modelar con la expresión


!!8


, H _ t _ 8H Determine el valor del objeto @ aOos despu.s de ad-uirido* Cuánto tiempo debe pasar para -ue un objeto disminu"a su valor en S8HHHH −0.6286 t

+ =15000 #

a* b*

8L* #e esti stima -ue el por porcent entaje aje de -ue fall alle una cierta marca de circuitos de computadora despu.s de t aOos de uso sea −0.1 t P (t )=100 ( 1−# ) ra'-ue la función " responda lo si%uiente &pr &proxima ximada dame ment nte e -ue -ue por porcent centaj aje e de de cir circu cuiitos tos -ue -ue fall fallar aran an en > aOo aOoss cuá cuánt nto o ti tiempo empo debe debe pasa pasarr par para a -ue -ue fal fallen el KH KH de de los los circu ircuiitos* tos* 9odelación de las $unciones 3Eponenciales 8* &pen &penas as 'nal 'nali/ i/a a la publ public icid idad ad inic inicia iall de la publ public icac ació ión n de un libr libro o de cálculo, las ventas de la edición en pasta dura " a dos tintas tienden a decr decrec ecer er expon xponen enci cial alme ment nte* e* En el mome moment nto o en -ue -ue ter termino mino la publicidad de cierto libro se vendan >HHHH ejemplares al mes* $n mes más tarde, las ventas del libro haban bajado a 8?HHH ejemplares por mes* Determine a* +a expr expresi esión ón -ue -ue repr represen esenta ta la la funci función ón +a func funciión es de la forma forma x = x 0 #3t , donde ) es el nAmero de ejemplares, t el tiempo en meses " P la constante de proporcionalidad* 5nicialmente hallamos la constate de proporcionalidad @ , , por datos ) 4+=4444, )+444 " t+ rempla/ando 14000=30000 # 14000 = # 3 30000

3 ( 1 )


!!


3

0.46 =# 3 ln ( 0.46 ) =ln ( # ) −0.776 = 3 ln ( #❑)

)or lo tanto 3 =−0.776 Es decir -ue la función es de la forma x =30000 #−0.776t ra'-ue la función %

40000

) x ( s e r a l p m e j E e d o r e m u N

30000

20000

10000

x 1

2

3

4

5

6

Tiempo (meses)

7

8

9

10

11 11

1

−

b*

Cu Cuánto ántoss eje ejempl mplares ares se vend vender erán án al aOoN aOoN t98;, 98;, rempl empla/ a/an ando do − 0.776( 12) −9.312 x =30000 # =30000 # =2.71 En un aOo venderá aproximadamente > ejemplares

c* En cu cuánto ti tiempo la la ve venta lllle%ara a >HH >HH ej ejemplaresN x9 x9>HH, rempla/ando −0.776 t

300=30000 # 300 = #−0.776 t 30000 −0.776 t 0.01= # −0.776 t ) ln ( 0.01 )= ln ( # −4.605 =−0.776 t


!2


)or lo tanto en aproximadamente K meses se estaran vendiendo >HH ejemplares* ;* El producto interno bruto ()5=! de cierto pas (dado en millones de dólares! de us S 8HH millones en 8LH a usS8K@ millones en 8H* #uponiendo -ue el )5= crece exponencialmente cuál será el )5= en el aOo ;HHHN Como la aplicación crece de forma exponencial su forma es1 3t p= p0 # (Ec8! , donde p98K@, pH98HH, t98H " P es una constante de proporcionalidad, -ue debemos hallar as Rempla/ando 3 (10 ) 10 3 d#sp#)a(d" 1.65= # 165=100 # , aplicando lo%aritmo natural a ambos lados de la i%ualdad ln ( 1.65 )= ln #

10 3

c"($"q4# 0.5=10 3

, entonces P9H*H@ Rempla/ando en la (Ec8! la ecuación %eneral de la aplicación sera 0.05 t p=100 # )ara hallar el )5= en el ;HHH debemos tener en cuenta -ue t9;H rempla/ando p=100 #

0.05 ( 20 )

#s"$/i#(d" p ≅ 272

+o -ue indica -ue para el ;HHH el )5= será aproximadamente de usS;J; millones +os sicólo%os en ocasiones usan la función − 3t

5= A ( 1 −#

)


!2!


c*

, para medir la cantidad + de palabras aprendida en el tiempo t* El nAmero & representa la cantidad -ue debe aprenderse " P mide la tasa de aprendi/aje* #upon%a -ue un estudiante debe aprenderse una cantidad & de ;HH palabras de un vocabulario* $n sicólo%o determina -ue el estudiante aprendió ;H palabras en @ minutos* Determine la tasa de aprendi/aje P &proximadamente cuántas palabras aprenderá en 8H minutosN Cuánto tiempo toma aprender 8LH palabrasN ?* El nAmero total de hambur%uesas vendidas (en millones! por una cadena nacional de comidas rápidas crece exponencialmente* #i se vendieron ?HHH millones en 8LK " 8;HHH en 88* cuántas se venderán en el ;HHLN @* Cierta compaOa ad-uirió hace tres aOos cierta ma-uinaria en usS@HH HHH* #u valor actual de reventa es de usS>;H HHH* #i el valor de la ma-uinaria disminu"e en forma exponencial* Encuentre la función -ue representa la situación " cuál será el valor de la ma-uinaria en cuatro aOos K* #i la población de cierto municipio era de 8HH HHH habitantes en 8H " 88H @8J en el ; HHH, " si se aplica la fórmula "9) Heht al crecimiento de la población, calcule la población en el ;H8@* J* +a presión atmosf.rica como función de h está dada por la fórmula 3h P ( h )=c # donde c " 3 son constante, h es la altura " P ( h ) es la presión en función de la altura* #i en el barómetro se lee >H al nivel del mar " ;? a los KHHH pies, hallar la lectura barom.trica a los 8HHH pies*


!22


L* El a/Acar se descompone en el a%ua se%An la fórmula A ( t ) =c #−3t donde c " 3 son constante* #i >H Pilos de a/Acar se reducen a 8H Pilos e ? horas cuánto tardará en descomponerse el @ del a/Acar* $unciones con Tecnolo0ía $tilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular " %ra'car cada una de las si%uientes funciones1 f ( x )= 4

x

'8)*+ 100

f(x! 9 ;(x>! '8)*+. ln8)*

f(x! 9 >2;x '8)*+ln 8) =*

− x

1+ #

f(x!9 e2x '8)*+ ln ( x ) ln ( 2 )

f(x! @H(8e8Hx! '8)*+

9

100 ln ( x + 1 )

$NCI!N COCI3NT3 o R/CION/6 Dadas dos funciones f(x! " %(x! cuales-uiera, el cociente de f(x! " %(x!, f ( x ) denotado por , es otra función de'nida donde % no puede ser g ( x ) i%ual a H por -ue tendramos una indeterminación*


!23


&roblemas 8* $na persona comien/a a trabajar en una empresa de informática* +a función -ue calcula el nAmero de computadores -ue ensambla, en función del tiempo, viene dada por1 6 t f ( t )= t + 5 , donde t es el nAmero de das -ue lleva trabajando, " ,-t/, el nAmero de computadores -ue ensambla* a* ra'-ue la función % 4

3

2

1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

−1

b* Cuántos computadores ensamblará el primer daN Cuántos computadores ensamblará al mesN )ara t98, 6 (1 ) 6 f ( 1 )= = =1 ( 1 )+ 5 6 El primer da ensamblará 8 computador )ara t9>H (un mes! 6 ( 30 ) 180 f ( 30 ) = = =5.14 (30 )+5 35 En un mes ensamblará aproximadamente @ computadores*


!24


c* Cuántos das tardará para ensamblar > computadoresN &-u f(t!9> 6 t 3= t + 5 3 ( t + 5 )=6 t 3 t + 15 =6 t 15=3 t t =5 )or lo tanto en @ das está ensamblando > computadores ;* El nAmero de libras de dura/no p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del nAmero de libras de insecticida % con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la si%uiente fórmula 200 + 300 x p= 1 + x Determine el nAmero de libras de dura/no p de buena calidad si el árbol se rosea con 8, > " @ libras de insecticida* ra'-ue, utilice un soft0are para %ra'car funciones* >* Como resultado de los avances tecnoló%icos en la producción de calculadoras cada ve/ más poderosas " compactas, cae el precio de las -ue existen en el mercado ho" en da* #i suponemos -ue dentro de UxV meses, el precio de cierto modelo será 30 p ( x )= 40 + , dólares x + 1 Determine el precio de mercado de las calculadoras K meses " un aOo despu.s de haber salido al mercado* Compare los resultados -u. encuentraN ra'-ue, utilice un soft0are para %ra'car funciones* ?* #upon%a -ue el precio p (en dólares! de un producto se determina, mediante la función


!25


p=

100 + 10 x 400− x

, donde ) son las unidades demandadas* a* Determine el precio cuando se demanda >HH, ?HH " @HH unidades b* Compare los resultados -ue encuentra c* ra'-ue, utilice un soft0are para %ra'car la función* @* Durante los primeros cuatro meses en su empleoG las ventas mensuales # (en miles de dólares! de un vendedor nuevo dependen del nAmero de horas x de capacitación de la si%uiente manera1 2 x + 40 x + 36 2 ( x ) = 4 x

Calcule la venta de un trabajador -ue ha recibido L, 8K " ;? horas de capacitación* Compare los resultados -u. encuentraN $tilice un soft0are %ra'cador de funciones para %ra'car la función* K* +as ventas " ( en miles de dólares! se relacionan con los %astos de publicidad x ( en miles de dólares! se%An 200 x y ( x )= , x ≥ 10 x + 10

c*

a* Calcule las ventas si se invierten 8H " ;H mil dólares en publicidad se duplican las ventasN b* Cuál debe ser la inversión en publicidad si se desea obtener una venta de 8HH mil dólaresN ra'-ue, utilice un soft0are para %ra'car funciones* J* #e pronostica -ue la población de cierta ciudad pe-ueOa t aOos a partir de ahora es 50000 t + 3000 N = t + 1


!26


a* b* c*

Calcule la población en @ " 8H aOos se duplica la poblaciónN Cuánto tiempo debe pasar para -ue la población lle%ue a ?H HHH habitantesN ra'-ue, utilice un soft0are para %ra'car funciones*

L* #upon%a -ue el nAmero promedio de minutos M -ue re-uiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 40 + 30 t 6 = 2 t + 1 , donde t es el nAmero de das en el trabajo* c* Cuántos minutos en promedio re-uiere un trabajador -ue lleva un mes laborandoN d* Cuánto tiempo de experiencia laboral re-uiere para -ue el tiempo de ensamble sea de 8@ minutos $tilice un soft0are %ra'cador de funciones para %ra'car la función* * #e ha estimado -ue la demanda q , de %asolina en una re%ión en función del precio p es 54 000 q= , miles de litros por mes 1 + 2 p a* Calcule la demanda cuando el precio es de 8H $*M* " L $*M* b* Compare los resultados Bu. encuentraN

$NCI!N &OR &/RT34 O &OR TRO

!27


&l%unas funciones por su estructura di'ere su criterio para ciertos valores de la variable independiente (variable UxV!, esto hace -ue en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de las mismas* )or estas variaciones en su criterio se les de'ne como funciones por partes o a (x tro/os* + 2)3 + 1 Si x ≤ -1, rango 1 1. j(x) = 3'ercicios 3+x Dadas las funciones

Si x > -1, rango 2

Determine1 a* j(28! 5nicialmente debemos ubicar el ran%o donde está el valor de la variable independiente x, para el caso particular el valor está ubicado en el primer ran%o, j(28!9 (28  ;!>  8 9 (8!>  8 9 8  8 9 ;

%

"0%C3

4 3 2 1

x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−1

"0-%C2/G3C1 −2 −3

b* j(H! El valor x9H está ubicado en el se%undo ran%o j(H!9>  H9 > c* j(2;! El valor x92; está ubicado en el primer ran%o j(2;!9 (2;  ;!>  8 9

−4


!28


(H!>  8 9 H  8 9 8

K x2 ?i x > 2, ran=o ! 2& +(x) . x K 2 ?i x @ 2, ran=o 2

rá'ca

Determine a" f(>! El valor x9> está ubicado en el se%undo ran%o f(>!9> 3 ; 9 8 b" f(8! El valor x98 está ubicado en el primer ran%o f(8!9 ? 3 (8!; 9 ? 3 8 9 > c* f(;! El valor x9; está ubicado en el se%undo ran%o f(;!9; 3 ; 9 H


!2


%

4

"0 H.%G2 3

2

"0%.2

1

x −2

−1

1

2

3

4

−1

) : E , 6i ) / 4 6i )  :

>* j(x!9 , j(;!

#i x  ;

√ x

H #i x  H

Determine j(28!, j(H! " j(;! −1 x 2

+ 3 ,

, #i x  ;

x + 1 ,

?* j(x! 9

√ x −2 Determine j(28!, j(H! " −1 x

#i x g 8

, 6i )  :

;* j(x!9

2

;

;x  8 H #i x  8

Determine j(28!, j(H! " j(;! " j(;!

2

+1

K* j(x! 9

√ x −2 Determine j(28!, j(H!


!3


&roblemas 8* El ndice de contaminación atmosf.rica ! en cierta ciudad varia durante el da de la si%uiente manera1 ;  ?t #i H _ t g ; K  ;t #i ; _ t g ? C(t! 8? #i ? _ t g 8; 9 @H 3 >t #i 8; _ t g 8K , donde t es el tiempo en horas, t9H corresponde a las K1HH a*m* a* Represente %rá'camente la función dada* 15

%

14

!-t/1H

13

7 J I ! $ 7 I 6 $ T 7 5 ! ) #  ) ( I 7

12 11

!-t/EC2t

10 9 8

!-t/0.3t

7 6 5 4

!-t/2CHt

3 2

x

1 −2

−1 −1

1

2

3

4

5

6

7

@5R$' 8

9

10

11

12

13

14

15

16

1

−

b* En una tabla indi-ue cuales son los niveles de contaminación a las J1HH a*m*, a las L1HH a*m*, a las 8;1HH m*, ?1HH p*m* " a las L1HH p*m* 7ora Tiempo ivel de contaminación (t! C(t! J1HH 8 C(8!9;?(8!9K a*m* L1HH ; C(;!9K;(;!98H


!3!


a*m* 8;1HH m ?1HH p*m* L1HH p*m*

@ 8H

C(@!98? C(8H!98?

8?

C(8?!9@H2>(8?!9L

c* Compare los resultados -u. encuentraN ;*

Cierta compaOa de encomienda li-uida los envos de acuerdo a

C8)*+

4.54) 4.94) 4.;7)

6i 4  ) / 74 6i 74  ) / :44 6i ) 2 :44

, donde C(x! se da en dólares " x en Pilo%ramos* Determine el costo de envio de @H " ;HH Pilo%ramos #i x9@H, por datos está ubicado en el primer ran%o, C(x!9 H*LHx 9 H*LH (@H! 9 ?H , el envo de @H Pilo%ramos tiene un costo de ?H dólares #i x9;HH, por datos está ubicado en el se%undo ran%o, C(x!9 H*JHx 9 H*JH (;HH! 9 8?H , el envo de @H Pilo%ramos tiene un costo de 8?H dólares & ma"or car%a ma"or costo, pero proporcionalmente resulta más económico enviar ma"or car%a* rá'ca


!32


% 190 180 170 160 150 140

C(x!9H*K@x

130 120 110 ! s e r 100 a l ó 90 D ( 80 4 T # 70 4 C 60

C(x!9H*Jx

50 40 30

C(x!9H*Lx

20 10

x

)E#4 (Q! 50

−10

100

150

200

El precio p de oferta de cierto producto, cuando se venden unidades esta dado por1

{

x , 0 ≤ x≤ 6000 2000 x p= 3 + , 6000 < x ≤ 8000 5000 x , x > 8000 2.8 + 7000 3.2 +

2

x

}

Determine el precio (en miles de pesos! cuando se venden1 a* ;HHH unidades 4bserve -ue las x9;HHH unidades estaran ubicadas en el 8 ran%o,


!33


p=3.2 +

2000 =3.2 + 1= 4.2 2000

, es decir -ue cuando se ofertan ;HHH unidades el precio sera >*> mil de pesos b* JHHH unidades )ara este caso x9@HHH, entonces rempla/amos en el se%undo ran%o, rempla/ando 7000 p=3 + =3 + 1.4 = 4.4 5000

, es decir -ue cuando se ofertan @HHH unidades el precio sera ?*? mil de pesos c* 8? HHH unidades &cá x98? HHH, entonces rempla/amos en el tercer ran%o, rempla/ando 14000 p=2.8 + =2.8 + 2 =4.8 7000

, es decir -ue cuando se ofertan 8? HHH unidades el precio sera ?*L mil de pesos % ! s o s e ) e d s e n o l l i M ( 4 5 C E R )

9 8 7 6 5 4

>*;\F;HHH >\F @HHH

3

;*L\FJHHH

2 1

x 1000

−1

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10

$(5D&DE# 4YERT&D&#

−

?* +a cantidad de desechos sólidos descar%ados por la planta de tratamiento de a%uas ne%ras esta dada por la función


!34


8>H 2>Ht  8KH

si H _ t _ 8 si 8 g t _ ;

t *+ f ¿

8HH

2@t; ;@t  LH 8*;@t; 3 ;K*;@t  8K;*@

si :  t /  si ? g t _ K si Kg t _ 8H

Donde f ( t ) se mide en toneladasFda " t se mide en aOos donde t9H corresponde a 8L* a* Bu. cantidad de desechos sólidos fueron descar%ados por da en 88, 8@ " en el ;HHHN )ara hallar la cantidad de desechos sólidos -ue se descar%an en un aOo espec'co se cuenta el nAmero de aOos -ue han pasado desde 8L hasta dicho aOo* )ara 88 hallamos el nAmero de aOos -ue han pasado desde 8L, 8828L9; , es decir t9;, estara ubicada en el se%undo ran%o, rempla/ando f(;!92>H(;!8KH92KH8KH98HH , indica -ue en 88 se descar%aron 8HH toneladasFda de desechos sólidos )ara 8@ hallamos el nAmero de aOos -ue han pasado desde 8L, 8@28L9K , es decir t9K, estara ubicada en el cuarto ran%o, rempla/ando 2@t; ;@t  LH f(K!92@(K!; ;@(K! LH92@(>K!8@HLH928LH;>H9@H


!35


, indica -ue en 8@ se descar%aron 8?HH toneladasFda de desechos sólidos )ara ;HHH hallamos el nAmero de aOos -ue han pasado desde 8L, ;HHH28L988 , es decir t988, está fuera de ran%o, es decir no aplica para este problema f(t!92>HxE8KH

% 130

f(t!98>H 120

! a , d F s a d a l e n o T ( # 4 7 C E # E D E D D & D 5 T  & C

110 100

f(t! 92@tk;E;@tELH

f(t!98HH

90 80 70

f(t!98*;@tk;2;K*@tE8K;*@

60 50 40 30 20 10

x −1

1

2

&l4# ( t9H, 5 8RLR!

3

4

6

7

8

9

10

−10 −

@* Cierta compaOa de telefona celular l-uida el pa%o mensual de sus usuarios de acuerdo a la si%uiente tabla 20 + 1.5 x

2@@;x

2i x≤ 50 2i 50 < x ≤ 100

c ( x )=

2 88@;*@ x

2i 100 < x ≤ 500


1

!36


x > 500 2@@@>x , donde x es el nAmero de minutos de llamadas al mes* Calcule el pa%o para clientes -ue consumen @H, LH, ?HH " KHH minutos, %ra'-ue la función

K* Cierta compaOa de envo de mercados l-uida los envos de acuerdo a

C(x! 9

8;Hx8;H #i H*H8 / x / H ;H ;HHx8JH #i ;H g x / >H H

;@Hx;;H #i >H g x / @H H ;LHx;JH #i @H g x H , donde C(x! se da en dólares " x en %ramos* Determine el costo de envio de ;H, ?@, >H " KH %ramos J* El car%o mensual en dólares por x PilovatioFhora de electricidad se obtiene por la función

@HH

C ( x )=¿

8H  H*H?x #i H_ x _ 8HH 8*?  H*HJ@(x 3 8HH! #i 8HH g x _ ?*?H  H*H@(x2@HH!

Calcule el car%o mensual si se consumen1 a" >H PilovatioFhora b* 8@H PilovatioFhora


#i x  @HH

c* 8;HH PilovatioFhora

!37


L* +os fondos presupuestales para los pro%ramas educativos (en miles de millones de dólares! entre 8K@ " el ;HHH se modelaron con la función 6i @ ≤ t ≤ ;H

.G;7t > 7.;7 8t*+ 4.4G7t : > :.G:7t E 7.7

6i ;Hg t ≤ ?H

Donde t es el nAmero de aOos -ue han pasado desde 8KH* Determine el presupuesto para los pro%ramas de educación en 8LH " el ;HHJ* *+os car%os mensuales (en dólares! de ) Pilo0atts hora(Q0h! de electricidad usada por un cliente comercial se determina por medio de la si%uiente función1 J*@;  H*8HJx si H≤x≤@ 8*;;  H*8HJx si @gx≤J@H C(x! 9 ;H*J@  H*8H@Lx si J@Hgx≤8@HH 8>8*>?@  H*H>;8x si x8@HH Encuentre los car%os mensuales para los si%uientes consumos* a* LHH Q0h b* ;J@H Q0h c* @ Q0h d* K Q0h )-" +a edad promedio (en aOos! de la población de Estados $nidos de 8HH a ;HHH está dada aproximadamente por la función 8*>t  ;;* #i H _ t_> 2H*Jt; J*;t  88*@ #i > g t '8t*+ _J :.;t E G.  t / 4


6i 9

!38


, donde t se mide en d.cadas " t9H corresponde a 8HH* Cuál era la edad promedio de la población de Estados $nidos al inicio de 8HHN &l principio de 8@HN )rincipio de 8HHN ))" De acuerdo con un estudio, el %asto de los adultos ma"ores para el cuidado de la salud, f(t! (como porcentaje de sus in%resos!, en el aOo t, donde t9H corresponde a 8JJ, está dado por 2 t + 12 #i H _ t 7

_J 8H

'8t*+

tE9 3 t + 11 5

#i J g t _ 6i

4 

t  :4

Determine el %asto de los adultos ma"ores para el cuidado de la salud en 8L; " 8;* 7asta -u. aOo es aplicable el modeloN 8;* El costo salarial de producir lana en una fábrica vallisoletana tpica es1 1 2 3 q − q q ≤ 5 4 C+ = 1 1 2 q + q q > 5 2 4

, donde q son las toneladas producidas* a* Determine el costo salarial de produción de ; toneladas, @ toneladas " L toneladas* b" ra'-ue la función


!3


httpQSSS"uam"espersonalpdieconomicasamarotopdfse'tem a.micro"pdf

$NCI!N =/6OR />4O6TO +a función de 8alor absoluto tiene por ecuación ,-%/ " K%K

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su %rá'ca va a estar siempre por encima del eje de la abscisa o, a lo sumo, tocándolo*


!4


El valor absoluto de un nAmero es la distancia de cual-uier punto x al ori%en* El valor absoluto de un nAmero x se denota | x| | x|= x , para )  H )ero el valor absoluto de un nAmero ne%ativo es positivo | x|=− x , para ) g H #e puede escribir una función y =| x| usando una función por pate o por tro/os ) si )34

| x|=¿ 2x xgH

si

+a %rá'ca -ue %enera una función y =| x| es


!4!


y = abs(x)

% 4

3

2

1

x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−

3'ercicios1 Resolver cada función a*

f ( x )=| x −3|

#e i%uala a cero la función, sin el valor absoluto, " se calculan sus races x −3 =0

, entonces x =3

#e forman intervalos con las races (los valores de x! " se evalAa el si%no de cada intervalo* --

+

3

De'nimos la función a intervalos, teniendo en cuenta -ue en los intervalos donde la x es ne%ativa se cambia el si%no de la función* Representamos la función resultante*

8)=* si )  =


!42


f ( x )=¿

(x2>! >H b*

si x 

f ( x )=|2 x − 4|

#e i%uala a cero la función, sin el valor absoluto, " se calculan sus races 2 x −4 =0

, entonces x =2

#e forman intervalos con las races (los valores de x! " se evalAa el si%no de cada intervalo* --

+

2

De'nimos la función a intervalos, teniendo en cuenta -ue en los intervalos donde la x es ne%ativa se cambia el si%no de la función* Representamos la función resultante* 8:)  * si :


)

!43


f ( x )=¿

;x 2 ? si x  ; c*

f ( x )=| x − 5 x + 4| 2

#e i%uala a cero la función, sin el valor absoluto, " se calculan sus races 2

x −5 x + 4 =0

, factori/ando ( x −4 ) ( x −1 ) es decir x 1−4 =0, x 1=4 " x 1−1=0, x 1=1 #e forman intervalos con las races (los valores de x! " se evalAa el si%no de cada intervalo* P

B B

P



1

De'nimos la función a intervalos, teniendo en cuenta -ue en los intervalos donde la x es ne%ativa se cambia el si%no de la función* Representamos la función resultante* 2

x −5 x + 4

si ) / 


!44


f ( x )=¿

x

−(¿¿ 2−5 x + 4 ) si 8gxg? ¿ 2

x −5 x + 4

d*

f ( x )=| x + 2|

%*

f ( x )=| x − 2 x −3|

e*

si x  ? f ( x )=|3 x − 6|

f*

f ( x )=| x − 4| 2

2

$NCION34 TRI1ONO9?TRIC/4

+as funciones tri%onom.tricas básicas son +as Ra/ones tri%onom.tricas se de'nen comAnmente como el cociente entre dos lados de un trián%ulo Características rá'ca rectán%ulo asociado a sus án%ulos* +as funciones tri%onom.tricas son funciones cu"os valores son extensiones del concepto de ra/ón tri%onom.trica en un trián%ulo rectán%ulo tra/ado en una circunferencia unitaria (de radio unidad!* De'niciones más modernas las describen como series in'nitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos " ne%ativos, e incluso a nAmeros complejos*


!45


4enoQ &breviado sen •

•

•

•

fEFGsenEF

Ra/ de la palabra del latn (hueco, cavidad, sinus baha!*

Dominio1 < Recorrido1 28, 8 El período de la función seno es ; * +a función " 9sen( )* es impar, "a -ue sen(2 ) !92sen ( )*, para todo ) en <* +a %rá'ca de "9sen( )* intercepta al eje R en los puntos cu"as abscisas son1 ) 9n * )ara todo nAmero entero n* El valor máximo de sen( )* es 8, " el mnimo valor es 28* +a amplitud de la función* Coseno1 &breviado cos

•

•

• •

fEFGcosEF

Es el complemento del seno Dominio1 < Recorrido1 28, 8 Es una función periódica, " su


!46


•

•

período es ; * +a función "9cos( )* es par, "a -ue cos(2 ) !9cos ( )*, para todo ) en 5R* +a %rá'ca de "9cos( )* intercepta al eje R en los puntos cu"as abscisas son1 ) 9(F;!  n, para todo nAmero entero n* El valor máximo de cos( )* es 8, " el valor mnimo valor es 28* +a amplitud de la función " 9cos( )* es 8* fEFGtanEF Tan0ente1 &breviada tan o t%

•

+nea o super'cie -ue se toca en un punto sin cortarse

•

+a función tan%ente es una función periódica, " su período es * +a función "9tan ) es una función impar, "a -ue tan(2 ) !92tan( )** +a %rá'ca de " 9tan( )* intercepta al eje R en los puntos cu"as abscisas son1 ) 9n  , para todo nAmero entero n*

•

•


!47


fEFGcotEF Cotan0ente1 &breviada cot o ct% •

•

Es la ra/ón inversa de la tan%ente DominioQ < :n , n ∈ < RecorridoQ < 5mparQ cot(x! 9 cot(x!

4ecante1 • Del latn secare (cortar!, fEFGsec recta -ue corta a una circunferencia en ; puntos* Conforme estos puntos se acercan " su distancia se reduce a cero, la recta ad-uiere el nombre de recta tan%ente* • Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto +a función secante* &breviada sec • Es la ra/ón inversa de la función coseno


!48


DominioQ < :(;n8!(F;!, n ∈ < RecorridoQ (−∞ , −1 ] ∪ [ 1, ∞ ) )erodoQ; 7 rad )arQ sec(2x! 9 sec(x!* Cosecante &breviada csc

fEFGcscEF

Es la ra/ón inversa del seno DominioQ < :n, n ∈ < RecorridoQ (−∞ , −1 ] ∪ ¿ )erodoQ ; 7 ra d 5mparQ csc(2x! 9 2csc (x!

+as Altimas cuatro, se de'nen en relación de las dos primeras funciones, aun-ue se pueden de'nir %eom.tricamente o por medio de sus relaciones*


!4


El cálculo diferencial es el estudio del cambio -ue ocurre en variables dependientes cuando ha" variaciones en variables independientes* )or ejemplo • El cambio del costo de operación -ue resulta de cada unidad adicional producida • El cambio en la demanda de cierto artculo si se incrementa o disminu"e el precio unitario de este* • El cambio del producto nacional bruto de un pas con cada aOo -ue pasa

INCR393NTO @ T/4/4 #ea ) una variable con un primer valor )  " un se%undo valor ) :* Entonces el cambio en el valor de ) , -ue es ) : > )  se denomina incremento de ) " se denota S) * $samos la letra %rie%a  para denotar el cambio o incremento de cual-uier variable* Es decir 8x = x2 ' x 1

#i " es una variable -ue depende de x tal -ue "9f(x! esta de'nida para todo valor de x entre x 8 " x;, cuando x9x8, "89f(x8!, de manera similar si x9x;, ";9f(x;!, as el incremento de " es 8y = y 2 ' y 1

, entonces 8y =f ( x2 ) ' f ( x1 )


!5


&roblemas $n fabricante descubre -ue el costo de producir ) artculos está dado por C+4.44) =4.=) :E4)E444

Determine el incremento en el costo cuando el nAmero de unidades se incrementa de @H a KH* Debemos calcular SC+ C: C 7allamos C8, hacemos )+74 C+4.44874* =4.=874* :E4874*E444 C+:7974E:444E444+:=74

7allamos C;, hacemos )+;4 C:+4.448;4* =4.=8;4* :E48;4*E444 C:+:;454E:44E444+:7=; emplazando enA SC+ C: C + :7=; :=74 + 5;

#i las unidades se incrementan de @H a KH el costo de producción se incrementa en 8LK $nidades monetarias :.

+a venta semanal # (en dólares! de un producto se obtiene por medio de −0.1 x 2 =50000 # , donde ) es el nAmero de semanas -ue han transcurrido desde -ue terminó la campaOa publicitaria* Determinar la venta si el nAmero de semanas se incrementa de ; a >* Debemos calcular S6+ 6: 6 Calculamos #8 haciendo )+:, rempla/ando


!5!


−0.1( 2)

=50000 #−0.2=50000 ( 0.81 )= 4093.65

2 2=50000 #

Calculamos #; haciendo )+=, rempla/ando −0.1( 3) 2 2=50000 # = 50000 #−0.3 =50000 ( 0.74 )=3704.0.9 Rempla/ando en L' '2. '1 

3704.0 .9− 4093.65=−389.56

El si%no ne%ativo indica -ue pasar de la ; a la > semana las ventas disminu"en en >L*@K dólares* #ean los puntos ( ) ,"  * " B( ) :," : * de la función "+'8)*, el incremento S) es i%ual a la distancia hori/ontal de  a  " el incremento S" la distancia vertical %

%

%.+(x) (x2,%2)

%2 L% %!

%! L%> 

P(x!,%!)

P(x!,%!) (x2,%2)

%2 x!



x!

Lx

x x2

x2 Lx 0 

%.+(x) x

Resolviendo la ecuación S) + ) : > ) , para ) :, ) : + )  E S) rempla/ando ) : en la de'nición de S" , obtenemos S"+'8)  E S)* > '8)  *

3'ercicios Determine los incrementos de cada función


!52


'8)*+:) E 9 G #i )+= " S)+4.:

Rempla/ando en

S"+'8)  E S)* > '8)  * S"+'8= E 4.:* > '8=*+'8=.:*'8=*+I:8=.:*E9*0I:8=*E90 S"+8;.E9*8;E9*+=.= S"+4.

Es decir -ue un incremento de ) en H*; %enera un incremento en " de H*? 2

3 x −9 g ( x ) = 9 x =2 y : x = 0.5 x − 3

Rempla/ando en

: g=¿ '8)  E S)* > '8)  * : g=¿ '8: E 4.7* > '8:*+'8:.7*'8:* 2 2 3 ( 2.5) + 1 3 ( 2 ) + 1 19.75 13 7 : g= − = − = 2.5 2 2.5 2 5 : g =1.4

Es decir -ue cuando el incremento de de ) es de H*@ incrementa en 8*?

g

se

+a tasa de cambio promedio de una función , sobre un intervalo de x a x  x se define como la ra/ón "F x* )or tanto la tasa de cambio promedio de " respecto a ) es : y f ( x + : x) −f ( x ) = :x

:x

3'ercicios Calcule la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo dado


!53


f ( x )=3 −7 x 9 x =2, : x=0.5

Rempla/ando : y f ( x + : x) −f ( x ) =

en

:x :x : y f ( 2+ 0.5 )− f ( 2 ) f ( 2.5 )− f (2 ) = = 0.5 0.5 :x : y −14.5−11 −25.5 = = :x 0.5 0.5 :y =−5.1 :x

Es decir -ue la tasa de cambio promedio de " respecto a ) cuando )+; " su incremento H*@ es i%ual a 2@*8 ;*

f ( t )= √ 4 + t 9t =5, : t =1.24

Rempla/ando : f f ( t + : t )− f ( t ) = : t

en

: t

: f f ( 5 + 1.24 )− f (5 ) f ( 6.24 ) −f ( 5 ) = = : t 1.24 1.24 : f f ( 5 + 1.24 )− f (5 ) f ( 6.24 ) −f ( 5 ) = = : t 1.24 1.24 : f 3.2−3 0.2 = = 1.24 : t 1.24 : f = 0.16 : t

Es decir -ue la tasa de cambio promedio de " respecto a t cuando t+7 " su incremento .: es i%ual a 4.; &roblemas


!54


El ndice de precios al consumidor (5)C! de una economa está dado por la función 3 & ( t )=−0.2 t + 3 t + 100, ( 0 ≤ t ≤ 10 ) , donde t+4 corresponde a 88* Calcular la tasa de cambio promedio del 5)C entre 8; " 8>* 5nicialmente debemos hallar : t =t 2−t 1 )ara 8;, t+ " en el 8> t+: es decir -ue t + : t =2 " : t =1 Rempla/ando en : & f ( t + : t )− f ( t ) = : t : t

: & & ( 2)− & ( 1 ) 104.4 −102.8 = = =1.6 1 : t : t

Es decir -ue la tasa de cambio del ndice de precios al consumidor entre 8; " 8> tuvieron una tasa de cambio promedio de 8*K ;* Cuando el precio (en dólares! de cierto producto es i%ual a p, el nAmero de artculos -ue pueden venderse por semana (demanda! está dado por x =

1000 √ p +1

Determine la tasa de cambio promedio de la demanda si el precio se incrementa de ? a K*;@ Debemos hallar : x f ( p + : p )− f ( p ) = :p :p , donde p +: p= 6.25

" : p= 6.25− 4 =2.25 , rempla/ando


!55


: x f ( 6.25 )− f (4 ) 285.71 −333.33 = = :p 2.25 2.25 : x −47.61 = =−21 :p 2.25

Es decir -ue las unidades demandadas disminu"en en ;8 unidades cuando el precio se incrementa de ? a K*;@ dólares* #ea la función 3 x −6 f ( x )= x + 2 , -ue representa los bene'cios expresados en millones de pesos -ue obtiene una determinada empresa, siendo x los aOos de vida de la misma* Determine la tasa de variación de los bene'cios entre el -uinto " d.cimo aOo de vida de la empresa ?* El propietario de una ma-uinaria para la construcción la deprecia de acuerdo con y =36 − 0.1 x , donde y

es el valor de la ma-uinaria (en millones de pesos! despu.s de x meses de uso* Calcular la tasa de variación media del valor de la ma-uinara despu.s de @ a 8H aOos de uso* 5nterprete el resultado* @* El in%reso total (en dólares! por la venta de q unidades de cierto producto se modela con 2 3 R=250 q + 45 q − q Determine la tasa de variación del in%reso si la venta disminu"e de @H a ;@ unidades* 5nterprete el resultado* RF2J@H K* El costo (en dólares! de producir ) unidades de cierto artculo es 2 C ( x )=5000 + 10 x + 0.05 x


!56


Determinar la tasa de cambio del costo de producción el nAmero de unidades producidas se incrementa de @H a 8HH unidades* 5nterprete el resultado* J* +a relación entre la cantidad de dinero ) -ue se invierte en publicidad por una compaOa " sus ventas totales 68)* está dada por la función 68)*+4.44:) =E4.;) :E)E744

84/)/:44*

, donde ) se da en miles de dólares* 7alle la tasa de cambio promedio de las ventas si la publicidad se incrementa de 8HH HHH (x98HH! a 8@H HHH (x98@H! dólares* 5nterprete el resultado* L* El costo total de fabricar q unidades de cierto producto está dado por 2 c ( q )= 0.2 q + q + 900 Calcular la tasa de variación media cuando se produce de 8HH a;HH unidades* 5nterprete el resultado* RFK8 $*M* * $n análisis de producción diaria de una empresa muestra -ue en promedio, el nAmero de unidades producidas por hora despu.s de t horas de labores es 1 2 3 y =70 t + t −t 2

Calcular e interpretar la tasa de variación media entre las ? " L horas de labores* 8H* +as ventas en y (en miles de dólares! se relacionan con los %astos de publicidad de acuerdo con 200 x y = x + 10


!57


Calcular e interpretar la tasa media cuando la inversión en publicidad disminu"e de 8H a @ mil dólares* 88* +a demanda de cierto producto está dada por 5000 p= q +1 , donde p es el precio por unidad cuando se demandan q unidades* Calcular e interpretar la tasa de variación media del precio cuando la demanda disminu"e de @H a >H unidades* 8;* El nAmero de libras de dura/no p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del nAmero de libras de insecticida % con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la si%uiente fórmula 200 + 300 x p= 1 + x Determine la tasa de cambio promedio del nAmero de libras de dura/no de buena calidad si la cantidad de insecticida se incrementa de de H a > libras* 5nterprete el resultado* 8>* Durante los primeros cuatro meses en su empleoG las ventas mensuales # (en miles de dólares! de un vendedor nuevo dependen del nAmero de horas x de capacitación de la si%uiente manera1 x 9 2 = 2 ( x )= + 10 + x 4

,)3

Determine la tasa de cambio promedio de las ventas mensuales de un vendedor nuevo si las horas de capacitación se incrementan de 8H a 8@* 5nterprete el resultado* 8?* #e ha estimado -ue la demanda q , de %asolina en una re%ión en función del precio p es


!58


q=

54 000 1 + 2 p

, miles de litros por mes

Calcule la tasa de variación media de la demanda cuando el precio disminu"e de 8H a L $*M* 8@* #upon%a -ue la demanda de q unidades de un producto cu"o precio es Sp por unidad se describe por medio de p=

200 000

( q + 1 )2

Determine la tasa de cambio promedio del precio si las unidades demandadas se incrementan de ?H a @H unidades* 5nterprete el resultado* 8K* #upon%a -ue la demanda de q unidades de un producto cu"o precio es Sp por unidad se describe por medio de 100 p= √ 2 q + 1 Determine la tasa de cambio promedio del precio si las unidades demandadas disminu"en de 8; a K* 5nterprete el resultado* 8J* #upon%a -ue el nAmero promedio de minutos M -ue re-uiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 40 + 30 t 6 = 2 t + 1 , donde t es el nAmero de das en el trabajo* Determine la tasa de cambio promedio del promedio por minutos -ue re-uiere un empleado para ensamblar una unidad cuando lleva 8@ das de haber in%resado al trabajo* 5nterprete el resultado* 8L* #upon%a -ue la demanda de un producto se de'ne mediante


!5


p=

200000 2

q +2 q + 1

Donde p es el precio " - es la cantidad solicitada* Determine la tasa de cambio promedio del precio cuando las unidades solicitadas se incrementan de 8HH a ;HH* 5nterprete el resultado* 8* #upon%a -ue el volumen de ventas semanales (en miles de unidades! para un producto está dado por p + 8

¿ ¿ ¿ 32 y ( p )= ¿

, donde p es precio unitario en dólares* Determine la tasa de cambio del volumen de ventas si el precio disminu"e de 88 a 8H dólares por unidad* 5nterprete el resultado* ;H* El costo promedio de fabricar cierto artculo es ´ =5 + 48 + 3 x2 C x

, donde ) es el nAmero de artculos producidos* Determine la tasa de cambio promedio del costo cuando se fabrican entre 8H " ;H artculos* 5nterprete el resultado* ;8* +a %rá'ca si%uiente describe las utilidades, en millones de pesos, de una empresa durante 8H aOos consecutivos


!6


% 5 ) s o s e p e d s e n o l l i

M ( s e d a d i l i t '

4 3 2 1

x

−1

1 −1

2

3

4

5

6 Jos

7

8

9

10

11

1

−

Calcule e interprete las tasas de variación de la función en los intervalos

[ 0,1 ] [ 1,5 ] [ 6,7 ] [ 0,10 ]

;;* +a función de costos de una empresa viene de terminada por la función 2 C ( t )=3 t −2 t + 1 , donde t indica el nAmero de aOos desde la creación de la empresa* #i la empresa se creó en el aOo 8L@, determina Cuál ha sido la tasa de variación del el costo de la empresa desde 8@ hasta el aOo ;HHLN


!6!


6I9IT3


!62


Bu. se entiende por lmiteN De ordinario hablamos del precio lmite, de la velocidad lmite, del lmite de nuestra propia resistencia, los lmites de la tecnolo%a moderna o de estirar un muelle hasta el lmite* Todas esas frases su%ieren -ue el lmite es una especie de cota -ue a veces puede no ser alcan/able " otras no sólo es alcan/able sino superable* & trav.s del lmite se pueden visuali/ar los cambios cambios en el rendimiento rendimiento por pe-ueOos nAmeros de unidades, podemos obtener acerca de la tasa de cambio cambio instantáne instantánea, a, se convierte convierte en el puente matemático matemático de las tasas de cambio promedio a las tasas instantáneas* #e ha utili/ado la notación f(c! para indicar el valor de una función f(x! en x9c* #i se tiene -ue anali/ar anali/ar un valor al -ue se aproxime aproxime f(x! conforme x se aproxime a c se usa la idea de lmite (T.cnicas (T.cnicas de &proximación! &proximación! ?i +(x). x2$x K 6 . (x K 3) 3) (x ; 2) . x ; 3 x;2 x;2

x 9 2; no está en el dominio de f(x!, es decir f(2;! no existe, si tomamos valores próximos a 2; x f(x!

2> 2K

2;*@ 2;*; 2;*8 2; 2@*@ 2@*; 2@*8

28* 28*L 28*@ 28 2?* 2?*L 2?*@ 2?

#upon% #upon%a a -ue f(x! f(x! es una función función de'nid de'nida a en un interv intervalo alo abierto abierto -ue contiene a c excepto -ui/ás a c, entonces1 Di1 +(x) . D x c

#e lee Uel lmite de f(x! cuando x tiende a c es i%ual a +V* El limite + existe si podemos hacer -ue valores de f(x! est.n tan cerca de + como lo deseemos, eli%iendo valores de x su'cientemente cercanos a c* #i los


!63


valores de f(x! no se aproximan a solo valor 'nito + cuando x tiende a c decimos -ue no existe el limite E!ercicio

Calcul Calcule e por tabulac tabulación ión a donde donde tiende tiende cada funció función n cuando cuando x toma valores cercanos (por i/-uierda " derecha! al punto donde la función se hace indeterminada 3 2 2 x −27 x + 2 x −3 x + x − 2 f ( ( x x )= f ( ( x x )= f ( ( x x )= x −3 x + 3 x + 2 2 2 2 x + 2 x −3 x + x − 6 x + x −12 f ( ( x x )= f ( ( x x )= f ( ( x x )= x −1 x + 3 x + 4 2 x −25 f ( ( x x )= x + 5 3'ercicio 2 8* +a si%uien si%uiente te %rá'ca %rá'ca represen representa ta la función función f ( ( x x )=− x + 4 x , obten%a el x ) cuando x toma valores cercanos a1 cero, ; " ? lmite de f ( ( x % y = -x^2+4x

4

3

2

1

x 1

2

3

−


4

5

!64


;* +a %rá' %rá'ca ca muest muestra ra la func funció ión n "+ ) =  , use la %rá'ca para calcular el lmite de '8)* cuando x toma valores próximos a 8 " a H

>* +a %rá' %rá'ca ca muest muestra ra la func funció ión n "+) :E:) , $se la %rá'ca para calcular el lmite de '8)* cuando x toma valores próximos a 2;, 28 " H


!65


6ímites 6aterales +imite por la derecha1

Di1 +(x) . D x c;

#i%ni'ca #i%ni'ca -ue los valores de f(x! se aproximan aproximan al valor + cuando )

c,

aunque ) 2 c.

+imite por la i/-uierda

Di1 +(x) . M x c$

#i%ni'ca -ue los valores de f(x! se aproximan al valor M cuando )

c,

aunque )  c.

!onsideraciones )speciales

El lmite de una función cuando x tiende a c es independiente del valor de la función en c, cuando existe !im '8)* + ! cuando ) c , el valor de la función en c puede ser1 5%ual al lmite, 5nde'nido o de'nido pero diferente al lmite* #e dice -ue el lmite existe existe solo si + es un valor 'nito (nAmero (nAmero real! &ropiedades de los 6ímites #i P  R,Di1 +(x) . D x

!im @ + @ ) c

c

Di1 +(x)". M x c$

Di1 x . c x c


Di1 +(x) O =(x) . D ; M x c

!66


Di1 +(x) & =(x) . D & M x c

Di1 x c

+(x) . D =(x) M

f ( ( x x ) l$% ¿ x )= √ ¿ l$% √ f ( ( x

,M q H

x

c

x

c

3'ercicios *$tilice las propiedades de lmite " m.todos al%ebraicos para encontrar los lmites existentes l$% ( 34 + x )

x ;− 35

3

l$% ( 4 x

x ; − 1

−2 x 2 + 2 )

2

l$% x ;

2

2 x l$% 2 x; 2 x + 6 x − 4

x √ x + 16 l$% x; 3 2 x −√ 2 x + 3 2

3 2

4 x −9 2 x + 3 3

2

l$% y -2y -2 y +3y +3y -4 y&-1

6imites Indeterminados #i +im f(x! 9 +im %(x! 9H cuando x tiende a c, entonces la expresión racional -ue tiene la forma

0 0

en x9c* )odemos factori/ar x 3 c en f(x!

" %(x!, simpli'car la fracción para encontrar una función e-uivalente en la cual exista el lmite* l$% f ( ( x ) x − c #i +im f(x! q H " +im %(x! 9H cuando x tiende a c, entonces no l$% g ( x ) x −c

existe* En este caso, los valores de f(x! F %(x! son ilimitados cerca de x9c* 3'ercicios *) Calcule cada lmite si existe


!67


8*

2

6 x + 12 x −18 l$% 2 x −2 x; 1

#ustitu"endo directamente l

%$6 x

x; 1

2

2 + 12 x −18 6 ( 1 ) + 12 ( 1)− 18 6 + 12−18 0 = = = =∞ 2 x −2 2 ( 1 )−2 2 −2 0

Como es indeterminada tenemos -ue buscar una expresión e-uivalente a ver si tiene solución* Yactori/amos x

(¿¿ 2 + 2 x −3 ) 3 ( x + 3 )( x −1) = l$% x − 1 x ; 1 2 ( x −1) 2 6 x + 12 x − 18 l$% =l$% ¿ 2 x −2 x ; 1 x; 1 l$% 3 ( x + 3 ) 6

x; 1

)or tanto 2 6 x + 12 x −18 l$% = l$% 3 ( x + 3 ) 2 x −2 x; 1 x ; 1 #ustitu"endo l$% 3 ( x + 3 )= 3 ( 1 + 3 )=12 x; 1

;*

l$% x ; −3

√ x +6− √ 3 x + 3

#ustitu"endo en forma directa √ x + 6− √ 3 = √ −3 + 6− √ 3 = √ 3− √ 3 = 0 = ∞ l$% −3 + 3 0 0 x + 3 x ;− 3 Como es indeterminada tenemos -ue buscar una expresión e-uivalente a ver si tiene solución* &plicamos conju%ada x + 6 −3 x+3 √ x + 6 −√ 3 × √ x + 6 + √ 3 = = x + 3 √ x + 6 + √ 3 ( x + 3 )( √ x + 6 + √ 3 ) ( x + 3)( √ x + 6 + √ 3 )


!68


√ x + 6 −√ 3 = x + 3

Es decir

1 √ x + 6 + √ 3

√ x + 6− √ 3 = l

%$l

%$ x + 3

x ;− 3

#ustitu"endo

x ;− 3

1 √ x + 6 + √ 3

1 1 1 1 = = = x ; −3 ( √ x + 6 + √ 3 ) √ −3 + 6 + √ 3 √ 3 + √ 3 2 √ 3 l

%$l$% x; 2

l$% x; 3

x −2 2

x −4 x −3 2

x − x −6

l$% x ; −

1 3

1−3 x 2

9 x −1 3

s −1 l$% s ; 1 s −1 2

x + 5 x + 6 l$% x + 1 x ;−1 4

x −16 l$% 2 x ;−1 x − x −2

2

x + 5 x + 6 l$% 2 x ;− 3 x − x −12 2

x + x −6 l$% 2 x ;− 3 x + 7 x ∓ 12

2

x + 2 x −3 l$% x + 3 x ; −3 2

x −6 x + 8 l$% 2 x ; 4 x − 16 2

x −8 x + 7 l$% 2 x; 7 x − 6 x − 7

2

x −9 l$% x; 3 x −3 2

y −9 l$% 2 y ;−3 2 y + 7 y + 3 2

x −9 x + 20 2 x ; 4 x −3 x − 4 l

%$3

x + 8 l$% 4 x ; −2 x −16


2

x +7 x −60 l$% 2 x; 5 3 x −7 x −40 2

6 x + 12 x −18 l$% 2 x −2 x; 1 2

x + 5 x + 4 l$% 2 x ; −4 x + 3 x − 4

!6


2

x + 7 x −60 l$% 2 x; 5 3 x −7 x −40 l$% x; 6

l

%$√ x −2−2 x − 6

√ 2+ x −√ 2 x

x; 0

l$% x; 9

l

%$2

√ 7 x + 1 −6

√ x +2 −2

l

%$ x −2

x; 2

√ x + 2 −3

l

%$ x; 5

x −5

x; 7

x −7

l

%$2− √ 4− t t

l

%$ x −3 √ x +1 −2

t;0

x √ x + 1 l$% x; 3 2 x − √ 2 x + 3

3− √ x 9− x

√ x −3 + 1 l$% x + 3 x; 0 x −√

x; 3

1− √ 1− x l$% x; 0 x 2

2

x + h

l$% x; 1

√ x + 3 −2 2

x −1

√ 2− x −1 x; 1 2 ' √ x + 3 l

%$¿ ¿ ¿ 3− x 3 ¿ ¿ l$% ¿ h ;0

x + h

√ 4 + x −√ 4 − x l$% x; 0

x

¿ ¿ ¿ 2−2 x 2 2¿ ¿ l$% ¿ h ;0

l$% x; 0

x

√ 1+ x −√ 1 − x

Continuidad en un punto


l$% x; 1

√ 3

2

4 x + x + 11 x + 1

!7


+a función f es continua en x 9 c si se satisfacen todas las condiciones si%uientes 8* f(c!1 exista ;* +im f(x! cuando x tienda a c exista >* +im f(x! 9 f(c!, cuando x tienda a c exista 6i no satis'ace una de las tres condiciones decimos que la 'unci#n es discontinua en c • •

Toda función polinómica es continua para todos los nAmeros reales* Toda función racional es continua en todos los valores de x excepto en a-uello cu"o denominador es cero*

3'ercicios Encuentre los valores de x donde las si%uientes funciones son discontinuas 3

f ( x )= x −3 x +1 1 f ( x )= x −2

3

x −1 f ( x )= ( x −1 ) ( x + 2) f ( x )= √ x −1

f ( x )= √ 4− x f ( x )=

2 1− x

3'ercicio Determine si cada función es continua o discontinua en el de ) dada f ( x )= x −5 x , x = 0 3

2

x −4 f ( x )= , x =−2 x −2


2

x −9 f ( x )= , x =−3 x + 3

!7!


f ( x )=

{+

2 x , x ≤ 0 x 2, x > 0

}

6ímite de las $unciones De5nidas por &artes El lmite de una función por partes o por tro/os f(x! existe, si el lmite de f(x! cuando x tiende a c por la i/-uierda es i%ual al lmite f(x! cuando x tiende a c por la derecha* Es decir1 Di1 +(x) . D x c;

.

Di1 +(x) . M x c$

Determine si los lmites de cada función existen (x  ;! >  8 #i x _ 28

xg; a* f(x! 9

82x

#i x  ;

? 3 x ; #i b* %(x!9

#i x  28

x3;

3'ercicios Calcular cada limite si existe

{

2

}

f ( x )=

{

}

f ( x )=

}

f ( x )=

{

}

x −4, x < 2 f ( x )= 2 4 − x , x ≥ 2

2− x , s i x ≤ 2 f ( x )= x −4, si x > 2

f ( x )=

{

10−2 x , x < 3 2 x − x , x ≥ 3

x −3, x ≤ 2 4 x −7, x > 2

2 x + 1, x > 3 10− x , x ≤ 3


{+

2 x , x ≤ 0 x 2, x > 0

{

2

}

}

!72


{

2 4 x + , x ≤−1 f ( x )= x 3 3 x − x −1, x >−1

}

{

2 x

f ( x )=

2

3 4

− x , x >−2

9 + x −3 x , x ≥ 2 2

}

6imites In5nitos &l evaluar la función f(x! 9 8 F x, para valores de x mu" %randes, f(x! nunca se vuelve ne%ativo, aun-ue nin%An valor de x hace -ue 8 F x sea i%ual a cero, es fácil ver -ue 8 F x se aproxima a cero a medida -ue x se hace más %rande, lo anterior se denota Di1 ! .  x # x

Propiedades 6i c es cualquier constante entonces Di1 c . c % x ;#

Di1 c . c x $#

Di1 c ., donde p0 x ;# xp Di1 c ., donde n0 x $# xn

3'ercicio


!73


Evaluar cada lmite 3 x&' x+1 2

3

&roblemas l

%$x -1 l$% 3 x&' x +4

l

%$2

4x +5 l$% 2 x&' x +4x 2 x −5 x l$% 3 x ; ∞ 4 x + 1

3

3 x&' x+1

l

%$3

3x +5x l$% x&' 6x+1 2

2

5 x -8 l$% 2 x&' 4x +5x 3

2

2 x −5 x l$% 3 x ; ∞ 5 x + 3 x

3 x − x − 2 l$% 2 x ; ∞ 5 x + 4 x − 1

1− 4 x

2 x + 5 + x + 2 √ 8* +a nota obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo -ue ha"a dedicado a su preparación ( x , expresado en horas! en los si%uientes t.rminos1 30 x N ( x ) = 0.2 x + 1 N ( x ) * a* Calcular e interpretar xl$% ; 24 b* Demostrar -ue la nota no puede ser superior a 8@HN

x ; ∞

;* El costo total de la producción de % litros de un determinado producto 1 viene dado por C ( x )= x 2+5 x + 800 2

C ( x ) , l$% C ( x ) a* Encuentre xl$% Cuál es el si%ni'cado de cada ; 10 x ;100 expresiónN b* Compare los resultados e interpr.telos

>* Durante los primeros cuatro meses en su empleoG las ventas mensuales # (en miles de dólares! de un vendedor nuevo dependen del nAmero de horas x de capacitación de la si%uiente manera1


!74


x 9 2 = 2 ( x )= + 10 + ,)3 x 4 l$% 2 ( x ) * Cuál es el si%ni'cado

2 ( x ) , a* Encuentre xl$% ;4 x ; 10 expresiónN b* Compare los resultados e interpr.telos

de cada

?* El nAmero de libras de dura/no p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del nAmero de libras de insecticida % con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la si%uiente fórmula 200 + 300 x p= 1 + x Calcule .l l$% p cuando x ; 0 -u. encuentraN Calcule .l l$% p cuando x ; ∞ -u. si%ni'ca la expresiónN -u. encuentraN @* El nAmero total de unidades producidas por da empleados de cierta fabrica está dado por1 q=

10 0 !

q

por

!

2

√ !2 +19 , donde q son las unidades producidas* Determine e interprete cada resultado a* El l$% q cuando !; 20 b* Bu. pasa con la producción si el nAmero de empleados es mu" altoN

K* #e pronostica -ue la población de cierta ciudad pe-ueOa t aOos a partir de ahora es 50000 t + 3000 N = t + 1 Determine la población a lar%o pla/o*


!75


J* #upon%a -ue el nAmero promedio de minutos M -ue re-uiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 40 + 30 t 6 = 2 t + 1 , donde t es el nAmero de das en el trabajo* Encuentre si%ni'ca la expresiónN Bu. encuentraN

l$% 6 t;∞

L* #upon%a -ue la demanda de un producto se de'ne mediante 200000 p= 2 q +2 q + 1 Donde p es el precio " - es la cantidad solicitada* Encuentre -u. si%ni'ca la expresiónN Bu. encuentraN

-u.

l$% p q;∞

* El nAmero de estudiantes por computador en las escuelas pAblicas de Estados $nidos se puede modelar con la función f ( x )=

375.5 −15 x x + 0.03

, donde x es el nAmero de aOos -ue han transcurrido desde el aOo escolar -ue 'nali/o en 8L8* Bu. pasará con el nAmero de estudiantes por computador en las escuelas pAblicas de Estados $nidos a lar%o pla/oN 8H* El volumen de ventas, " (en miles de dólares!, se relaciona con los %astos de publicidad ) (en miles de dólares! se%An 200 x y = x + 10 y ( x ) , l$% y ( x ) a* Encuentre xl$% ; 10 x ; 40 b* Bu. pasa con y cuando la inversión en publicidad es mu" altaN


!76


88* Como resultado de los avances tecnoló%icos en la producción de calculadoras cada ve/ más poderosas " compactas, cae el precio de las -ue existen en el mercado ho" en da* #i suponemos -ue dentro de UxV meses, el precio de cierto modelo será 30 p ( x )= 40 + x + 1

, dólares* Bu. pasará con el precio de las calculadoras a lar%o pla/oN

8;* #upon%a -ue la demanda de q unidades de un producto cu"o precio es Sp por unidad se describe por medio de p=

200000

( q +1 )2

Bu. pasa con el precio si la demanda es mu" altaN 8>* #upon%a -ue la demanda de q unidades de un producto cu"o precio es Sp por unidad se describe por medio de 100 p= √ 2 q + 1 Bu. pasa con el precio si la demanda es mu" altaN 8?* #upon%a -ue la demanda de q unidades de un producto cu"o precio es Sp por unidad se describe por medio de q=

100 √ p +5

Bu. pasa con la demanda si el precio es mu" altoN 8@* #upon%a -ue el precio p (en dólares! de un producto se determina, mediante la función


!77


p=

100−10 x 400− x

, donde ) son las unidades demandadas* Bu. pasa con el precio si la demanda es mu" altaN 8K* El porcentaje p de impure/as -ue se puede eliminar de las a%uas residuales de un proceso de fabricación con un costo C dólares se obtiene mediantes 100 C p= 8100 + C p -u. si%ni'ca la expresiónN Bu. encuentraN Encuentre cl$% ;∞ 8J* #upon%a -ue el costo C de eliminar el porcentaje p de impure/as de a%uas residuales de un proceso de fabricación se obtiene con 9800 p C ( p )= 101 + p p

Encuentre

¿

l$% C ¿ p ;∞

Cuál es el si%ni'cado de la expresiónN Bu. si%ni'ca la expresiónN Bu. encuentraN 8L* #upon%a -ue las ventas diarias # (en dólares!, t das despu.s de terminar una campaOa publicitara son 2400 2 ( t )= 400 + t + 1 2 ( t ) y l$% 2 ( t ) a* Encuentre tl$% ; 14 t ;7 b* Bu. si%ni'ca cada expresiónN c* Compare los resultados e interpr.telos


!78


8* #upon%a -ue el volumen de ventas semanales (en miles de unidades! para un producto está dado por p + 8

¿ ¿ ¿ 32 y ( p )= ¿

, donde p es precio unitario en dólares a* Encuentre el lmite de las ventas semanales cuando el precios toma valores próximos a 8H " 88 dólares b* Compare los resultados e interpr.telos 6ímites con Tecnolo0ía $se el Excel para tabular, %ra'car " calcular el valor de cada lmite* x −8 x −20 l$% 2 x ; 10 x −11 x + 10

2

x + 4 x + 4 l$% 2 x ; −2 x + 3 x + 2

x −8 x + 7 l$% 2 x; 7 x −6 x −7

2

x + 2 x −3 l$% x −3 x; 3

x −16 l$% x ; −4 x + 4

2

x + 5 x + 6 l$% x + 1 x ; −1

x −6 x + 8 l$% x −5 x; 5

2

2

2

x −9 l$% x; 3 x −3


2

2

!7


6/ D3RI=/D/ 6a deri8ada de una función se puede utili/ar para determinar la tasa de cambio de la variable dependiente con respecto a la variable independiente* & trav.s de la derivada se puede obtener la %anancia, el costo " el in%reso mar%inal, dadas las respectivas funciones de %anancia, costo total e in%reso total, además de otras tasas de cambio como de la tasas de cambio de las poblaciones " de la velocidad* Tambi.n se puede utili/ar para hallar la pendiente de una tan%ente a una curva en un punto sobre la curva* &demás la derivada es utili/ada para minimi/ar el costo promedio, maximi/ar el in%reso total maximi/ar la %anancia " determinar la elasticidad en la demanda* 6a tasa de cambio promedio de una función "+'8)* de )+a a )+b está de'nida por1


!8


%

EPhHfEPhFF

fEPhF

fEF

EHfEFF

h

E

EPh x

#e%An la '%ura la tasa de cambio promedio es i%ual a la pendiente del se%mento 8), '8)** " 88) E %*, '8 ) E%** as !=

f ( x + h )− f ( x ) x + h− x

, es decir !=

f ( x + h )− f ( x ) h

3'ercicio #upon%a -ue el costo total en dólares de una compaOa por producir ) unidades esta dado por C8)*+ 4.4) :E:7)E744 * Encuentre la tasa de cambio del costo total para1


!8!


+as primeras 8HH unidades producidas (x9H a x9 8HH! +as se%undas 8HH unidades producidas

Tasa de cambio instantánea #upon%a -ue un objeto -ue se mueve en lnea recta tiene su posición " en un momento ) dado por y = f ( x ) % Entonces, la velocidad del objeto en el momento ) es1 + = l$% h ;0

f ( x + h )− f ( x ) h

, si este lmite existe

3'ercicio #upon%a -ue se lan/a directamente hacia arriba una pelota de modo -ue su altura '8)* (en pies! se obtiene mediante la ecuación #)RI($#$ #i ' es una función de'nida por "+'8)*, entonces la derivada de '8)* para cual-uier valor de ) , denotada 'U8)*, es f < ( x )= l$% h; 0

f ( x + h )− f ( x ) h

#i este lmite existe* #i 'U8c* existe, decimos -ue ' es diferenciable en c* #i "+ '8)* la derivada de " con respecto a x se denota "V o d [ f ( x ) ] o D ) " o D ) I'8)*0 dx f ( x )= 96 + 64 x −16 x

2

Encuentre la velocidad promedio de x =1 a x =1 + h


dy dx

o

!82


&endiente de la Recta & la %rá'ca y = f ( x ) en el punto != l$% h; 0

x 1 , f ( x1 ) A ¿

es

f ( x1 + h )− f ( x 1) h

#i ese lmite existe* E# decir, != f < ( x ) , la derivada en x = x 1 % 3'ercicio Encuentre la pendiente de "+'8)*+) : en el punto 8:,* 3'ercicio Encuentre la derivada de cada función aplicando el concepto de lmite f(x! 9 ;x

f(x! 9 x;

f(x! 9 x>8

f(x! 9 >x;2;x8

&roblema +a función in%reso total de un producto está dada por +8)*, donde ) es el nAmero de unidades vendidas* Entonces el in%reso mar%inal para ) unidades es1 R ( x + h )− R ( x ) h h; 0

´ = R ( x )=l$% 6R

#upon%a -ue el in%reso de una compaOa petrolera (en miles de dólares! está dado por R= R ( x )=100 x − x , x ≥ 0 2

Donde ) es el nAmero de miles de barriles de petróleo -ue se venden diariamente* Cálculo Diferencial

!83


• •

Encuentre la función -ue da el in%reso mar%inal para cual-uier valor de ) * Encuentre el in%reso mar%inal cuando se venden ;H HHH barriles, es decir )+:4.

Rempla/ando 100 x + 100 h−( x + 2 xh +h ) −100 x + x 2 2 2 100 h− x −2 xh −h + x 2 100 h−2 xh− h 2 2 l$% ¿ l$% ¿ l$% ¿ 100 ( x + h )−( x + h) −( 100 x− x ) h ; 0 h ( 100−2 x −h ) h; 0 ´ = R ( x )=l$% 6R = = ¿ ¿= h ;0 ¿= l$% =l$ h h h h h h;0 h; 0 h 2

[

2

2

]

Como x9;H ´ = R ( x )=100−2 ( 20 )=100 − 40=60 6R #i se incrementa la producción en ;8 mil barriles el in%reso se incrementa en KH mil dólares

$órmulas de la Deri8ada

#i f , g y h son funciones de'nidas en x 1 ConstanteA #i f ( x )= 3 entonces

" 3 ∈ R

f < ( x )=0

3'emplos1 a. #i f ( x )=5 entonces f < ( x )=0 −2 entonces f < ( x )=0 b. #i f ( x )= 3

:. 9Ultiplo Constante1 #i

f ( x )= 3x

entonces f < ( x )=3

3'emplos1


!84


a. #i b. #i

f ( x )=3 x entonces f < ( x )=3 f ( x )=−2 x entonces f < ( x )=−2

=. &otencia #i

f ( x )= x

(

entonces f < ( x )=( x (−1

3'emplos1 a. #i f ( x )= x 4 entonces f < ( x )= 4 x 3 b. #i f ( x )= x−2 entonces f < ( x )=−2 x −3 3 1/ 2 c. #i f ( x )= x 3 /2 entonces f < ( x )= x 2

. 9Ultiplo &otencia #i

f ( x )= 3x

(

entonces f < ( x )=3( x (−1

3'emplos1 a. #i f ( x )= 4 x 3 entonces f < ( x )=12 x2 b. #i f ( x )=3 x−4 entonces f < ( x )=−12 x −5 10 −1/ 2 c. #i f ( x )=5 x 2/ 3 entonces f < ( x )= x 3

7. Deri8ada

f ( x )= g ( x )+ h ( x ) de la 4uma #i f < ( x )= g < ( x )+ h< ( x ) 3'emplos1 a. #i f ( x )=2 x 3+ x 2− 2 x + 5 entonces f < ( x )=6 x 2 + 2 x − 2 −4 1 −1 / 2 b. #i f ( x )= x−3 + x 1/2 entonces f < ( x )=−3 x + x 2

;. Deri8ada de un producto #i

f ( x )= g ( x ) × h ( x )

f < ( x )= g < ( x ) × h ( x )+ g ( x ) × h < ( x )

3'emplos1 a. #i f ( x )=( x2 + 2 )( 1−3 x ) entonces 2 f < ( x )=2 x ( 1−3 x ) +( x + 2 )(−3 ) 2 2 2 f < ( x )=2 x −6 x −3 x −6=−9 x + 2 x − 6


entonces

entonces

!85


b. #i

3 2

−1

2

f ( x )= x ( 3 x + x )

3 f < ( x )= x 2

−1 2

entonces 3 2

( 3 x + x ) + x (6 x − x−2) −1

2

5

3

9 3 −3/ 2 −1 / 2 f < ( x )= x 2 + x + 6 x 2 − x 2 2

9. Deri8ada de un Cociente #i f < ( x )=

g( x ) f ( x )= h ( x )

con h ( x )≠ 0 entonces

g < ( x ) ×h ( x )− g ( x ) × h < ( x )

[ h ( x )]2

3'emplos1 2

x +1 entonces a ( x)= 2 x + 1 2 2 x ( 2 x + 1 )−( x + 1 ) 2 4 x 2+ 2 x − 2 x 2−2 2 x 2 +2 x −2 f < ( x )= = = (2 x + 1)2 ( 2 x + 1)2 ( 2 x + 1 )2 2 3 x b. f ( x )= 3 , entonces 2− x 2 −3 x ¿

¿

6 x ( 2 − x ) −3 x f < ( x ) =¿ 3

5. Deri8ada f ( x )=

de

3 con h ( x ) −3h < ( x )

f < ( x )=

2

¿

un

Cociente

h ( x ) ≠ 0

con

entonces

2

[ h ( x )]

3'emplos1


numerador

constante

#i

!86


a. ( x)=

b. (x)=

5

x

2

3

x

1 /2

entonces f < ( x )=¿ 2

entonces

f < ( x )=

5 ( 2 x ) 2 2

( x )

( )

1 −3 x 2

−1 2

( x )

1 2 2

=

−10 x −10 = 3 4 x

x

3 − x 2 = x

−1 2

3

=

2 x x

1 2

=

−3 3 /2

2 x

3'ercicios Derivar cada una de las si%uientes funciones 8*

f ( x )=100

?*

f ( x )=

7&

−1 3

8H* f ( x )= x−2 + x1 /2 5

x

!6&

2

5 x −2 f ( x )= 2 1 + 2 x

x−3 x √ x √ x

8* f ( x )=

f ( x )=

@*

f ( x )= x

L*

3 − 1/ 2 f ( x )= x 2

5

>*

f ( x )=21 x

K*

f ( x )= x

− 2/ 3

2

f ( x )= 4 x

8>* f ( x )=

1 4

;*

88*

( x )=( x 3−1 ) (5 x 2 +6 x ) 8?* f ( x )=

8J* f ( x )= ;H* f ( t )=

*

1 √ x

2

x + 1

3

x x-1

t −√ t 3

2

8;* f ( x )=√ x −

7 6 x

f ( x )= 4 x −5 x + 3

√ t

8@*

¿ ¿ f ( x )=¿

8L* f ( x )= 4

3

√ x 3

;8* g ( x ) = 3


1

√ 8 x 2

!87


x+ 5

;;* f ( x )=

√ x 2 3

2

;@* y = 2 x −3 x + 1 2 x −1

;>* y = x 3√ x

3 4 ;?* f ( x )=√ x ( √ x −6 x + 3 )

2 x √ x

;K* y =

;J* y = 3

x

√ x

3'ercicios Calcule la derivada de cada función en el punto indicado 8* ?* J*

2

y =3 x − 4 #( x =2 1 2 y = x − 2 #( x =−1 x 3 3 y =3 √ x − 3 #( x = 4 √ x

;* @* ("

2

y = x + x + 2 #( x =−2 1 3 y = x − 3 #( x =1 x 3 y = x √ x #( x =4

>* %" ,"

x + 1 y = #( x =−3 x −1 2 y =2 √ x + #( x =4 √ x x y = 3 #( x =8 √ x

3'ercicios Determine la ecuación de la lnea tan%ente a la %rá'ca de las si%uientes funciones, utilice el 0inplot para %ra'car las funciones* 8* f ( x )= x 2−3 x + 4 en (8,;! 7allamos la pendiente de la recta tan%ente a la curva ! = f < ( x )=2 x −3 , como )+, entonces m+:8*=, m+ Rempla/ando en la ecuación de la recta y − y 1= ! ( x − x 1 ) y −2 =−1 ( x −1 ) y =− x + 1+ 2 y =− x + 3


!88


ra'cando %

"9xk;2>xE?

7 6 5 4

"92xE>

3 2 1

x 1

2

3

4

5

−1 −

;* f ( x )= x 3 + 3 en (8,?! 7allamos la pendiente de la recta tan%ente 2 ! = f < ( x )=3 x , como )+, m+= Rempla/ando en la ecuación de la recta y − y 1= !( x − x1 ) y − 4 =3 ( x −1 ) y =3 x −3 + 4 y =3 x + 1 ra'cando %

"9xk>>

"9>x8 −2

−1


1

x 2

!8


>*

2 1 f ( x )= x + 2 x

en (28,;!

7allamos la pendiente de la recta tan%ente 2 != f < ( x )=2 x − 3 x

, como )+, m+4 Rempla/ando en la ecuación de la recta y − y 1= ! ( x − x 1 ) y −2 =0 ( x + 1 ) y =2 ra'cando %

"9xk;E8F xk;

"9;

x −2

?*

−1

0

f ( x )=2 x −5 x #( (−1,3 )

1

3

7allamos la pendiente de la recta tan%ente 2 ! = f < ( x )=6 x −5 , como )+ " y =3 , m+ Rempla/ando en la ecuación de la recta y =!x +b 3 =1 ( − 1 ) + b 3=−1 + b b =4

Entonces la ecuación de la recta es "9x? +a %ra'ca es


2

!


% 4

3

y=x+4

f(x)=2x^-! x 2

1

x −4

−3

−2

−1

1

2

3

−1

−2

−3

−

@*

f ( x )=3 x + 2 x

K*

f ( x )=3 x −2 x + 1 #( (−1,2 )

J*

f ( x )= x −3 x #( (−2,−2 )

L*

f ( x )= x −2 x #( ( 1,− 1 )

*

f ( x )=5 x + 2 #( (−1,−3 )

8H* f ( x )= 4 x − x 3 #( (−1,−3 )

2

en 8,7*

3

3

88* f ( x )= x 2 + √ x #( (1,2 ) !3&

f ( x )=2 x −3 x −3 #( (−1,−2 )

!5&

f ( x )=2 x − x #( (−1,−1 )

3

2

3

3 8;* f ( x )= x #( ( 0,0 ) x −1

8?* f ( x )=2 x 4−2 x −2 #( ( 0,−2 )

3

!6&

8 f ( x )= 2 #( ( 2,1 ) x + 4

/nálisis 9ar0inal En el mundo de los ne%ocios " en las ciencias económicas se llama anWlisis mar(inal a la utili/ación de la derivada para estimar el cambio


!!


-ue experimenta una función -ue modele una situación relacionada con la economa (in%reso, costo, utilidad, producción, etc*! , al incrementar en una unidad la variable independiente (+ial " 7un%erford, ;HHHG #alas et al*, 8!* )rofundi/ando un poco más en conceptos económicos en los -ue la derivada está presente, se aprecia lo importante -ue resulta para un profesional de las ciencias económicas tanto la derivada como las mAltiples aplicaciones de esta* &demás de las funciones mar%inales de in%reso, costo, utilidad, producción " tasa de impuesto, están otras como la elasticidad de la demanda, la propensión al ahorro o al consumo en las -ue la derivada sirve de pie/a fundamental para su análisis* Tomado de Vistoria y aplicaciones de la deri8ada en las ciencias económicasQ Consideraciones didácticas 6uis 1arcíaH 9ar 9orenoH 3delmira >adillo y Carmen /cárate

&roblemas 8* $na compaOa -ue fabrica estufas puede producir (x! unidades diarias cuando la inversión de capital asciende a x millones de dólares, " 300 = ( x )= 400 + 280 x + x

a* Calcular la tasa de cambio del nAmero de estufas producidas respecto al capital cuando la inversión se incrementa de @ a K millones de dólares 300 =< ( x )=280 − 2 x

#i la inversión del capital se incrementa de @ a K millones de dólares, x9@ 300 =< ( x )=280 − 2 =280−12 =268 5


!2


b* 5nterprete el resultado en a* #i la inversión del capital se incrementa de @ a K millones de dólares el nAmero de unidades producidas se incrementan en ;KL unidades ;* El costo de producir q unidades de un producto está dado por 1 3 2 C ( q )= q −4 q , en dólares* cuántas unidades se tienen -ue producir 3

para obtener un costo mar%inal de ?L dólaresN #abemos -ue el costo mar%inal es C < ( q ) , es decir C < ( q )= 48 Derivando la función costo 2 C < ( q )=q −8 q 5%ualando 2 48 =q −8 q Despejando 2 q −8 q −48 =0 Yactori/ando ( q −12 ) ( q + 4 )= 0 Es decir q =12 * q =−4

Como

q =−4

no tiene sentido para el problema,

)or tanto para obtener un in%reso mar%inal de ?L dólares se tienen -ue producir 8; unidades >* +os costos semanales de un ne%ocio pe-ueOo son

2

x C ( x )=30 x + 10

,

donde x es el nAmero de unidades producidas cada semana* El precio del mercado competitivo para el producto de este ne%ocio es de


!3


?K $*M* por unidad* Calcule e interprete la utilidad mar%inal cuando se producción " vente se incrementan en 8H8 unidades* 5nicialmente hallamos la función utilidad (1 ) , sabemos 1 = & −C , pero & = px , donde p= 46 , lue%o & =46 x , rempla/ando

(

1 = 46 x − 30 x +

2

x 10

)

2

x 1 = 46 x −30 x − 10 2 x 1 =16 x − 10

Derivando x 1 < =16 − 5

Como x98HH, rempla/amos 100 1 < =16 − =−4 5

#i la producción " venta se incrementan en 8H8 unidades la utilidad disminuirá en ? $*M*

b* c* d*

?* +a ecuación N => ( p ) representa el nAmero de %alones N de %asolina normal sin plomo -ue vende una estación de combustible a un precio de p pesos por %alón* a* Describir -ue si%ni'ca > ( 8263 ) Describir el si%ni'cado de > < (8263 ) * Bu. pasa si > < (8263 ) es positivaN Bu. pasa si > < (8263 ) es ne%ativaN @* +a función y = f ( p ) representa el volumen de ventas semanales ( y ) de cierto producto cuando se vende a un precio de p por unidad* Cálculo Diferencial

!4


a* b* c* d*

Describir -ue si%ni'ca > ( 10 ) Describir el si%ni'cado de > < (10 ) * Bu. pasa si > < (10 ) es positivaN Bu. pasa si > < (10 ) es ne%ativaN

K* $n fabricante estima -ue si se %astan x miles dólares en publicidad, entonces se venderán 6 = f ( x ) unidades a* Describir -ue si%ni'ca > (8 ) b* Describir el si%ni'cado de > < (8 ) * c* Bu. pasa si > < (8 ) es positivaN d* Bu. pasa si > < (8 ) es ne%ativaN J* +os bene'cios trimestrales de una compaOa de bienes races (en miles de dólares! están dadas por −1 2 P ( x )= x + 7 x +30 3

, donde x (en miles de dólares! es el %asto en publicidad por trimestre* a* Determine la tasa de cambio de la %anancia respecto al %asto en publicidad* b* Calcule e interprete la tasa de cambio de los bene'cios cuando x =11 * c* Calcule e interprete la tasa de cambio de los bene'cios cuando los %astos en publicidad se incrementan en 8@ mil dólares* L* El costo (en dólares! de producir ) unidades de cierto artculo es 2 c ( x )= 5000+ 10 x + 0.05 x 7alle el costo mar%inal (Es decir la ra/ón de cambio de C con respecto a x, cuando x98HH* * El costo, en dólares, para producir ) pares de jeans es


!5


C(x!9;HH  >x  H*H8x;H*HHH;x> a* Encuentre la función costo mar%inal* b* 7alle C ( 100) " expli-ue su si%ni'cado* Bu. pronosticaN 8H* +a función costo de un artculo es C(x!9L?HHH  H*8Kx 3 H*Kx ;  H*HH>x> a* Encuentre la función costo mar%inal* b* 7alle C ( 100) " expli-ue su si%ni'cado* Bu. pronosticaN 88*

El costo, en dólares, para producir ) pares de jeans es C(x!9;H  ;x 3 H*H;x;H*HHHHJx> a* Encuentre la función costo mar%inal* b* 7alle C (100) " expli-ue su si%ni'cado* Bu. pronosticaN 8;*

#upon%a -ue la función in%reso de ciertos productos está dada por1 15 R ( x ) = + 30 x −15 2 x + 1 , donde x está en miles de unidades " R ( x ) en miles de dólares* Encuentre el in%reso mar%inal R < ( x ) cuando se venden ;H HHH unidades, es decir ) + :4 Xué si(ni$caY

8>*

#i la ecuación del costo promedio de un fabricante es 5000 2 c´ =0.0001 q −0.02 q + 5 + q

Encontrar el costo promedio mar%inal cuando se producen @H unidades 8?* +os sociólo%os han estudiado la relación entre el in%reso " el nAmero de aOos de educación en miembros de un %rupo urbano particular* Ellos encontraron -ue una persona con x aOos d educación antes de buscar empleo re%ular puede esperar recibir un in%reso anual medio de " dólares anuales , donde


!6


5/ 2

y =5 x + 5900

Encuentre e interprete la ra/ón de cambio del in%reso con respecto al nAmero de aOos de educación cuando x9* 1

#upon%a -ue la función in%reso total para una mercanca es 2 R ( x )= 25 x ' 0.05 x a* Encuentre la función in%reso mar%inal, es decir V8)* b* Encuentre el in%reso mar%inal en x 9 @H c* Bu. si%ni'caN

8K* El in%reso total (en dólares! obtenido por la venta de % de libreros es 2

x R ( x ) =150 x − 4

, determine1 a. +a función in%reso mar%inal [ R< ( x ) ] b* Calculo el in%reso mar%inal si las ventas se incrementan en >HH unidades 8J* El volumen de ventas de un disco fono%rá'co particular está dado como una función del tiempo t por la fórmula 2 2 ( t )= 10000 + 2000 t −200 t , donde t se mide en semanas " # es el nAmero de discos vendidos por semana determine la tasa de cambio cuando a* t9? " -u. si%ni'caN b* t9L " -u. si%ni'caN c* Compare los resultados -u. encuentraN 8L* El costo en miles de pesos de la elaboración de ) miles de CD en cierta productora de discos, está dado por C ( x )=1500−3 x + x 3 , a* Encuentre la tasa de cambio del costo con respecto a la cantidad*


!7


b* Calcule C (8HH!, -u. si%ni'caN 8* #upon%a -ue un ma"orista espera -ue su in%reso mensual por la venta de televisores pe-ueOos sea 2 R ( x ) =100 x − 0.1 x , 0 ≤ x≤ 800 , donde x es el nAmero de unidades vendidas* Encuentre su in%reso mar%inal e interpr.telo cuando la cantidad vendida es >HH, @HH " KHH ;H* #upon%a -ue el in%reso de una compaOa petrolera (en miles de dólares! está dado por la ecuación R(x! 9 8HHx 3 x;, x  H , donde x es el nAmero de miles de barriles de petróleo -ue se venden diariamente* Encuentre el in%reso mar%inal cuando se vende ;H HHH barriles (es decir x9;H! ;8* #upon%a -ue el fabricante de un producto sabe -ue dada la demanda de este producto, su in%reso está dado por R(x! 9 8 @HHx 3 H*H;x;, cHn _ x _8 HHH , donde x es el nAmero de unidades vendidas " R(x! está en dólares* Encuentre el in%reso mar%inal en x9@HH, interprete el resultado* ;;*

+a producción semanal de cierto producto es B(x!9 ;HHx  Kx; , donde x es el nAmero d trabajadores en la lnea de ensamble* En la actualidad ha" KH trabajadores en la lnea* Encuentre B(x! " calcule el cambio en la producción ocasionada por la suma de un trabajador, interprete el resultado


!8


;>* +a demanda de q unidades de cierto producto depende del precio por unidad p (en miles de pesos!* En cada una de las ecuaciones de demanda encuentre la tasa de variación de las unidades demandadas respecto al precio cuando p=24 * 5nterprete cada resultado* a*

q =( p −1)( p + 3 p )

d*

q=

%*

q =250−30 p + p

2

3

5000 −1 p 2

b*

q=

e*

q=

h*

40000 p 4000 2

p q =5− 2 √ p

c* f* i*

600 q= p + 2 1 q =20− p 4 100 q= −1 p √

;?* El costo promedio en dólares de producir televisores Toshiba de ;J pul%adas está dado por 50000 ? ( x )= −105 x x

, donde ) representa el nAmero de televisores producidos por semana* Calcule e interprete la tasa de variación del costo promedio si la producción se incrementa de 8HH a 8H8 televisores por semana* ;@* El presidente de una importante constructora de vivienda informa -ue el nAmero de empleos creados por la construcción (en millones! está dado por N ( x ) =1.42 x , donde ) denota el nAmero de pies de casa* #upon%a -ue se espera -ue el nAmero de pies de casa en los si%uientes meses sea 2 7 t + 140 t + 700 x ( t )= 2 3 t + 80 t + 550 , millones de unidades cuál es la ra/ón de cambio del nAmero de empleos creados en un aOoN


!


;K* El nAmero de libras de dura/no p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del nAmero de libras de insecticida % con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la si%uiente fórmula 200 + 300 x p= 1 + x a* Calcular la tasa de cambio de libras de dura/nos de buena calidad respecto a las libras insecticida b* Calcular la tasa de cambio de libras de dura/nos de buena calidad respecto a las libras insecticida cuando las libras de insecticida se incrementan a @ libras* 5nterprete el resultado ;J* #e pronostica -ue la población de cierta ciudad pe-ueOa t aOos a partir de ahora es 50000 t + 3000 N = t + 1 a* Determine b* +a tasa de cambio del nAmero de habitantes respecto a los aOos c* Calcular la tasa de cambio del nAmero de habitantes dentro de 8H aOos* 5nterprete el resultado ;L* #upon%a -ue el nAmero promedio de minutos M -ue re-uiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 40 + 30 t 6 = 2 t + 1 , donde t es el nAmero de das en el trabajo* 7allar e interpretar M para t98@* ;*

#upon%a -ue la demanda de un producto se de'ne mediante 200000 p= 2 q +2 q+ 1


2


, donde p es el precio " - es la cantidad solicitada* 7allar e interpretar p  cuando -98H* >H* El nAmero de estudiantes por computador en las escuelas pAblicas de Estados $nidos se puede modelar con la función f ( x )=

375.5 −15 x x + 0.03

, donde x es el nAmero de aOos -ue han transcurrido desde el aOo escolar -ue 'nali/o en 8L8 a* Encuentre 'V8)* b* Calcule f < ( 20) . 5nterprete el resultado* >8* El volumen de ventas, y (en miles de dólares!, se relaciona con los %astos de publicidad x (en miles de dólares! se%An 200 x y = x + 10

7allar e interpretar " cuando x98H* 5nterprete el resultado* >;* Como resultado de los avances tecnoló%icos en la producción de calculadoras cada ve/ más poderosas " compactas, cae el precio de las -ue existen en el mercado ho" en da* #i suponemos -ue dentro de UxV meses, el precio de cierto modelo será 30 p ( x )= 40 + x + 1 , dólares* Calcule p< (24 ) * 5nterprete el resultado >>*

Dada la ecuación de la demanda q + 750 p= q + 50 7alle e interprete la variación del precio cuando q =5


2!


>?*

Dada la función de in%reso 2 2 & =( 0.01 ! −0.5 !+ 9 ) ( 50 !− ! ) , donde m es el nAmero de empleados* 7allar la tasa de variación del in%reso si !=10 *

>@*

El costo anual de inventario C de un fabricante es 1008000 C = + 6.3 q q

, donde q es el tamaOo del pedido cuando se reponen existencias* Calcular e interpretar el cambio del costo anual cuando q se incrementa en >@8 unidades* >K* +a producción de cierta hortali/a en un invernadero, @ ( x ) en P%*, depende de la temperatura, x en - C , se%An la expresión1 2 @ ( x )=( x + 1 ) ( 32 − x ) Calcule e interprete la tasa de variación de la producción cuando la temperatura se eleva de ;H a ;8 C*


22


Re0la de la Cadena #i ' " ( son funciones diferenciables donde y = f ( 4 ) y 4 =g ( x ) , entonces " es una función diferenciable de ), " dy =f < ( 4 ) % g < ( x ) dx

, o su e-uivalente dy dy d4 = % dx

d4 dx

Re0la de la potencia #i y =4 ( , donde u es diferenciable de ) , entonces dy d4 = ( 4 (− 1 dx

dx

3'ercicios Derive cada una de las si%uientes funciones 6

3 −2 x

4

2 x −5

.

¿ ¿ f ( x )=¿

¿ ¿ f ( x )=¿

2

x + 3 x −11

>*

¿ ¿ ¿ 2 f ( x )= ¿ 3

?* f ( x )=√ x + 3 x 2

@* f ( x )=

8 ( x

2

−3 )5

5


K* f ( x )= 5 √ 1 − x

3

6

23


3 4 J* f ( x )= √ x + 9

8H*

f ( x )=

L* f ( x )= √ 1−5 x 3 88*

( 3 x + 1)5 −3 x

f(x! 9 (x ; 3 !;F>

7 3

8;*

( x −3 x )2

x + 1

¿ ¿ f ( x )=¿

8?*

2

3

x −4 x

¿ ¿ 5 f ( x ) = ¿

1

f(x! 9

2

2 x − x + 6

8>*

* f ( x )= 4√ 7 x 2−3 x + 1

8@*

¿ ¿ f ( x )=¿

8L*

f ( x )=√ x + 4 x + 5

;8*

f ( x )=

;?*

f ( t )=t √ t + 3

7

8K* ( x )=

8J* ( x )=

1 3

(2 x + 3 x + 5 )

3 4

3

(3 x + 4 x + 1 )

8* ( x )=

;@*

3 2

;H* ( x )= √ 2 x −1 −√ x

5

;;*

1

(3 x + 1) −3 x

2

7 2 x + 1 f ( x )= √ 3 √ x 2 + 1

y=

1 2

2

( x −3 x )

;>* ( x )=

2

1

1

√ ( x2 +1 )

3

2

4

( x + 3 )3

;K* 3 =√ ( x 5 −2 x )5

;J*

&roblemas +a producción diaria para cierta fabrica está dada por1  ( x ) = 200

√ 2x+1

, donde x es la inversión de capital dada en miles de dólares* a* Calcular la tasa de cambio de la producción respecto a la inversión de capital


24


Derivamos1

( )(

1 * ( x ) =200 2

2x+1 )

* ( x ) =200 (2x+1)

-

1 2

(2 )

-12

b* Determinar la tasa de cambio de la producción si la inversión de capital se incrementa en 8HHH a ;HHH dólares )or datos x98, rempla/ando * ( x ) = 200 (2(1)+1)

-12

-12

= 200 (3)

= 200 ( 0.57 )

≅

115

c* 5nterprete el resultado* #i%ni'ca -ue cuando la inversión de capital se incrementa en 8HHH a ;HHH dólares la producción diaria se incrementará aproximadamente en 88@ unidades d* Calcule la tasa de cambio de las unidades producidas respecto a la inversión si esta se incrementa de J a L mil dólares #i la inversión si esta se incrementa de J a L mil dólares, x9J 200 f < ( x )= =51.6 √ 2 ( 7 ) + 1 5nterprete el resultado Cuando la inversión de capital se incrementa de J a L mil dólares el nAmero de unidades producidas se incrementan aproximadamente en @; unidades ;* +a demanda de computadores viene dada por la ecuación = √ 3400-x 2 , donde x es el nAmero de computadores " p es el precio de cada uno en miles de pesos Determine la tasa de cambio del precio respecto a las unidades demandas


25


Derivamos  1 2 = ( 3400- x ) x 2

1 2

. ( -2x ) =

1

( 3400- x 2 )

1 2

.(-x)

 -x = x √ 3400- x 2

b* Calcule la tasa de cambio si x9* Rempla/ando en  -9 -9 -9 -9 = = = = x √ 3 400- 92 √ 3400-81 √ 3319 57.6

≅

-015

c*5nterprete el resultado #i la demandada de computadores se incrementa de  a 8H unidades el precio disminu"e aproximadamente en H*8@ mil pesos >* $n fabricante determinó -ue para su producto el costo promedio diario (en cientos de dólares! está dado por ´ = 324 + 5 + 19 C √ q 2+ 35 q 18 Determine el costo mar%inal si la producción se incrementa en 8L unidades da 5nicialmente hallamos el costo total, dado por la expresión C =q ´ C Rempla/ando


26


C =q

C =

[

324

√ q2 + 35

324 q

√ q 2+ 35

5 19 q 18

+ +

+5 +

]

19 q 18

Derivamos para hallar el costo mar%inal 2 2 2 −1 / 2 324 √ q +35−324 q ( q + 35) 19 C < = + 2 18 q + 35 )ara determinar la variación del costo cuando la producción se incrementa en 8L unidades da hacemos q =17 −1 /2 2 2 2 324 √ 17 + 35 −324 ( 17 ) ( 17 + 35) + 19 C < = 2 18 17 + 35 5832 −5202 19 + C < = 324 18 19 C < =1.94 + =3 18

#i la producción se incrementa en 8L unidades, el costo se incrementará en > cientos dólares* ?* Cuando un determinado artculo se vende a

dólares por unidad, la 40000 demanda de los consumidores estará dada por q = unidades al p

p

mes* #e estima -ue dentro de t meses el precio del artculo estará dado por p=t 3 /2 +4 dólares por unidad* Cuál será la ra/ón de cambio de la demanda respectos al tiempo dentro de K meses @*

El costo de producir q unidades de un producto está dado por C+444 E 4q E 4.q:


27


#i las unidades producidas q se pueden obtener por q+ 544 > :.7p , donde p es el precio por unidad* $tilice la re%la de la cadena para

determinar la ra/ón de cambio del costo respecto al precio unitario cuando p+54 K* $n fabricante determinó -ue para su producto el costo promedio (en dólares! está dado por 5 c´ = 2 + 5000 √ q + 3 Encuentre e interprete el costo 1ar=inal si la produccin se incre1enta en !! unidades J* +a función de costo total para un fabricante está dada por 2 5 q +4 C ( q )= 2 + 2500 √ q + 6 , estimar el costo mar%inal cuando la producción se incrementa en 8@ unidades&

L* +a cantidad mensual demandada x de cierta marca de computadores personales se relaciona con el precio p ( en dólares! as 100 x = √ 810000 − p2 9

Determine la tasa de cambio de la demanda respecto al precio Calcule la tasa de cambio cuando p+44. 5nterprete el resultado *

+a ecuación de demanda de cierto artculo es 300 p= 2 x + 1 Determine la tasa de cambio del precio con respecto a las unidades demandadas*


28


Calcule la tasa de cambio cuando x9>* 5nterprete el resultado 8H* +a concentración de monóxido de carbono en el aire debido a las emisiones de los automóviles dentro de t aOos está dada por 2 2/ 3 , partes por millón C ( t )=0.01 ( 0.2 t + 4 t + 64 ) 7alle la tasa con -ue cambia el nivel de monóxido de carbono en el aire cuando t9@* Bu. si%ni'caN 88* El nAmero de personas -ue ven una serie de televisión con varios aOos de salir al aire se aproxima a la función 2 /3 N ( x ) =(60 + 2 x ) , N8)* 8 dado en millones! denota el nAmero de espectadores semanales de la serie en la semana ). Calcule NV8:*, -u. si%ni'caN 8;*

+a demanda de cierto producto .sta dada por la ecuación p+ √ 2500− x 2 , en donde ) unidades pueden venderse a un precio Zp cada una* Determine la demanda mar%inal a un nivel de precio de ?H unidades* 5nterprete el resultado*

8>*

+a demanda de x cientos de unidades de un producto está dada por − 1/ 2 x =98 ( 2 p + 1 ) −1 , donde p es el precio unitario en dólares* Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto al precio cuando p9;?

8?*

El importe en dólares del in%reso por la venta de un producto es −1 R=1500 x + 3000 (2 x + 3 ) − 1000 , donde x es el nAmero de unidades vendidas* Encuentre el in%reso mar%inal cuando se venden 8HH unidades* 5nterprete el resultado* 8@* #upon%a -ue el volumen de venta semanal, " (en miles de unidades vendidas!, depende del precio unitario del producto de acuerdo con


2


−2/ 5

y =32 ( 3 p + 1 )

, p >0

, donde p se da en dólares* Cuál es la tasa de cambio en el volumen de venta cuando el precio es de S;8N 5nterprete el resultado*

8K*

+as %anancias anuales brutas de cierta compaOa fueron 2 f ( t )=√ 10 t + t + 236 miles de dólares t aOos despu.s de su formación en enero de 8>* & -u. ra/ón aumentaron las %anancias brutas en 8J " ;HHLN

8J* En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es C ( q )=0.2 q 2+ q +900 * Con base en la experiencia se ha determinado -ue aproximadamente q ( t )=t 2+ 100 t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción* Calcular la ra/ón a la cual cambia el costo total de fabricación con respecto al tiempo 8 hora despu.s de iniciada la producción*


2!


D3RI=/D/ D3 6/4 $NCION34 3;&ON3NCI/634 +a función lo%artmica y = #  ( x ) entonces y = #  ( x ) % [  < ( x ) ]

&plicando la Re%la de la Cadena, es posible entonces escribir1

( )

d 4 ( a ) =( a4 ) ln (a ) d4 dx dx Siempre y cuando

u

sea una función continua y derivable en x .

3'ercicios Encuentre la derivada de cada una de las si%uientes funciones1 f(x! 9 ? ex 2

x + 2 x − 1

f ( x )= #

f(x! 9 e@x f(x!9x; ex


f(x! 9 >e?x 2

6 x

f ( x )=( x + 3 x + 5 ) #

2!!


f(x!9 e-.12/% ln ( x )

x

2

2

f(x!9

x

f ( x )=(1−3 # )

# 4 x f ( x )=3 # + 1

f ( x )=2 3

f ( x )=3

x 2

f ( x )= #

f ( x )= x 2

x

f ( x )= # ln ( x )

x x

2 x

f ( x )=3

x

&roblemas 8* +a ecuación de la demanda para cierta mercanca es p=10 #−q , donde se demanda q unidades cuando el precio es de p dólares* a* Calcule la tasa de cambio del precio respecto a las unidades demandadas cuando q+: Derivamos −q p< =10 # (−1 ) −q p< =−10 # Como q+:, −2 p< =−10 # =−1.35 b*

5nterprete el resultado Cuando las unidades demandas se incrementa en > el precio disminu"e e 8*>@ dólares ;*

+a ecuación de la demanda para cierta clase de articulo está dada por1 x = 5 000 e

-0.04

, donde se demanda x unidades cuando el precio es p* a* 7alle x Derivando


2!2


( -0.04 ) x*= 5 000 e -0.04 x*= -200 e -0.04

b* Calcule x cuando p9;@ Rempla/ando -0.04(25) x*= -200 e =−200 e -1=200 ( 0.36 ) −74 c* Bu. si%ni'caN #i el precio se incrementa en ;K las unidades demandadas disminu"en en J?* ≅

>* El costo promedio (en miles de pesos! de producir 9 unidades de cierto producto está dado por ´= C

7000 # q

q 700

a* Encuentre la función de costo mar%inal* 5nicialmente debemos hallar el costo total por la expresión C = q ´ C Rempla/ando C =q

[

7000 # q

q 700

]

Es decir C =7000 #

q 700

)ara hallar el costo mar%inal derivamos la función costo total, C < =

7000 # 700

C < =10 #

q 700

q 700

b* Calcule el costo mar%inal para q =700 " 5nterprete el resultado* Rempla/amos 9,


2!3


1

C < ( 700 )= 10 #  C ( 700 )=27.18

Es decir si la producción de la unidad JH8 aumenta el costo total de producción en ;J*8L mil de pesos* ?* Despu.s -ue una persona ha trabajado por t horas con una má-uina en particular su tasa de rendimiento estará dada por R=10 (1 −# ) −t 5

Cómo varia el rendimiento para t9?N 5nterprete el resultado ?* +a ecuación de demanda par cierto producto está dada por −0.1 x * Dado -ue el in%reso es & = x % p encuentre el in%reso p= 4 + # mar%inal cuando la demanda se incrementa en 88 unidades*  +a ecuación de oferta de cierta mercanca es

x / 3

, donde se miles de unidades cuando el precio es de p dólares*

a b c

a*

p=20 #

ofrecen x Determine +a tasa de cambio del precio respecto a las unidades ofertadas +a tasa de cambio cuando la oferta se incrementa en K mil unidades* 5nterprete el resultado

K* $n estudiante ad-uiere %ran nAmero de conocimientos durante el repaso para un examen* En un tiempo de t semanas despu.s del examen el porcentaje de esos conocimientos -ue el estudiante es capa/ de recordar está dado por 0.5 t 180 + 20 # ( ) P t = 0.5 t 1 +# Calcule )(t!


2!4


b*

Calcule )(H! " )(8!* Bu. si%ni'canN 5nterprete los resultados J* $na cadena de tienda femenina, determinó -ue t das despu.s de concluir una promoción de ventas, el volumen de ventas estaba dado por −0.5 t 2 ( t )= 20000 ( 1 + # ) , millones de pesos* Encuentre la ra/ón de cambio del volumen de ventas respecto al nAmero de das si t+=* Bu. si%ni'caN L* El precio de cierto artculo en dólares por unidad en el tiempo t (medido en semanas! está dado por p=8 + 4 #−2 t +t #−2 t , determine la tasa de cambio del precio respecto al tiempo si t9;* 5nterprete el resultado* * +a depreciación de unos bienes industriales se deprecian a una ra/ón tal -ue su valor contable dentro de t aOos será + (t )= 50000 #−0.4 t dólares, con -u. rapide/ cambiará el valor contable de los bienes dentro de > aOosN 8H* #e%An la 5nternet #ociet", las conexiones de 5nternet están proliferando a una ra/ón cada ve/ más creciente* El nAmero de computadores hu.sped (en millones! se estima en N ( t )= 3.45 #0.64 t , en t aOos (t9H corresponde al principio de 8?!* Con -u. rapide/ aumento la cantidad de computadores hu.sped en 8K " 8N 88* En un estudio reali/ado en el ;HHH, el porcentaje pro"ectado de ho%ares -ue usa la banca en lnea es f ( t )=1.5 # 0.78 t , donde t se mide en aOos " t+4 corresponde al inicio del ;HHH* 7alle f < ( t ) , calcule f ( 4 ) interprete el resultado*


2!5


8;* +os viajes a.reos han aumentado drásticamente en los Altimos >H aOos* En un estudio reali/ado en el ;HHH, una empresa a.rea previó un incremento exponencial aAn ma"or en los viajes a.reos hasta el ;H8H* +a función f ( t )=666 #0.0413 t proporciona la cantidad de pasajeros (en millones! para el aOo t , donde t9H corresponde al ;HHH* Determine f < ( t ) X-u. si%ni'caY , calcule f < ( 5) " ' < ( 9 ) interprete los resultados 8>* #i se invierten Sp durante n aOos con una tasa de inter.s r (dado en decimales! compuesto continuamente, el valor futuro despu.s de n aOos está dado por la función #9 pH*8n Calcule la tasa de crecimiento del valor futuro de una inversión de ; millones de pesos a 8 aOo* 8?* Cierta má-uina industrial se deprecia de manera -ue su valor despu.s de t aOos es −0.4 t , dólares* @ ( t )= 20000 # & -u. ritmo cambia el valor de la má-uina con respecto al tiempo despu.s de @ " 8H aOosN Bu. encuentraN 8@* +a demanda de consumo de cierto artculo es ? ( p )=3000 #−0.01 p unidades por mes cuando el precio de mercado es p dólares por unidad* Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto para p=100 " p=200 * Bu. encuentraN


2!6


D3RI=/D/ D3 6/4 $NCION34 6O1/R7T9IC/4  < ( x )  ( x )

#i y = ln [  ( x ) ] entonces y < =

3'ercicios Encuentre la derivada de cada una de las si%uientes funciones1 f ( x )= 4 ln ( x )

f ( x )= ln ( 8 x )

f ( x )= ln ( 4 x + 9)

f ( x )= ln ( x ) ' ln ( x −1 )

f ( x )= ln √ 8 x

f ( x )= ln ( x −1 )+ ln ( 2 x + 1)

1 2 f ( x )= ln ( x −1 ) 3 2 f ( x )= ln ( 3 x −3 x + 7 )

f ( x )= ln

f ( x )= ln ( x √ x + 5 )

f ( x )= ln ( 8 x −2 x ) ' 2 x

f ( x )= ln ( √ x −1)

ln ( x + 1 ) f ( x )= x + 1

3 x + 2 f ( x )= ln 2 x −5

3

2

3

x

2

f ( x )= ln [ t ( t −1 )]

x −1 2

3

( )

1 4

&roblemas

a*

8* $n fabricante de %eneradores el.ctricos encontró -ue sus ventas han aumentado han aumentado constantemente se%An la ecuación y = x$( ( x ) , donde ) es el nAmero de aOos -ue la compaOa está operando, )+4 en 8J> " " es el volumen de ventas en millones de dólares Calcular la tasa de cambio del volumen de ventas con respecto al tiempo


2!7


1 y < = ln ( x ) + x % x y < = ln ( x ) + 1

b. 7alle la tasa de cambio

del volumen de ventas con respecto al tiempo para 8JJ, para hallar la tasa de cambio hacemos )+= y < = ln ( 3 )+1 =2.09861

c*

5nterprete el resultado )ara 8JJ el volumen de ventas se incrementará en ;*HLK8 millones de dólares ;* $n fabricante determina -ue se venderán ) unidades de cierto artculo de lujo cuando el precio sea p8)* + : > ) ln8) = * cientos de dólares por unidad a* Encuentre la función in%reso 59 )Hp8)* " de in%reso mar%inal 5(x!* 7allamos la función in%reso 3 112− x$( ( x ) & = x ¿ 2 3 & =112 x − x ln ( x ) 2 & = 112 x −3 x ln ( x ) Derivamos 6 x$( ( x ) + 3 x 1 x & < =112−¿ & < =112− 6 x$( ( x )−3 x

(¿ ¿ 2 )

b* Determine el in%reso mar%inal obtenido al producir la -uinta unidadN 7acemos )+ & < =112− 6 ( 4 ) ln ( 4 ) −3 ( 4 ) & < =66.72 +a producción de la -uinta unidad incrementa el in%reso en KK*J; dólares


2!8


>* +a ecuación de demanda de un producto es 60 3 q = + ln ( 65 − p ) p

Calcule e interprete la tasa de variación de la demanda si p=2 ?* El ahorro # de un pas (en miles de millones de dólares! está relacionado con el in%reso nacional 5 (en miles de millones de dólares! mediante la ecuación 2 = ln

[ ] 5

− &

3+ #

a* 7alle la propensión mar%inal (#! al consumo respecto al in%reso* b* Calcule e interprete la propensión mar%inal si 598* @* +a ecuación de la demanda de cierto articulo está dada por 3 x =30− ln ( p + 1) 2

, calcule la tasa de cambio de las unidades demandadas con respecto al precio cuando p9; K* #upon%a -ue el costo total (en dólares! para un producto está dado por C8)* + 744 E :44 ln8:) E* , donde ) es el nAmero de unidades producidas

a* Encuentre la función costo mar%inal (es decir C(x!! b* Encuentre el costo mar%inal cuando se producen ;HH unidades e interprete el resultado J* El nAmero t de aOos -ue una inversión tarda en duplicarse es una función de la tasa de inter.s r compuesta continuamente, de acuerdo con t ¿ ln

() 2 


2!


a* Con -ue tasa

dt d

cambia el tiempo re-uerido respecto de r si r 9

8H, compuesto continuamente b* Bue sucede con la tasa de cambio si r se hace mu" %rande o mu" pe-ueOa L* El in%reso total en dólares por la venta de ) unidades de un producto está dado por R(x! 9

2500 x ln ( 10 x + 10 )

a* Encuentre la función in%reso mar%inal b* Encuentre el in%reso mar%inal cuando se venden 8HH unidades e interprete el resultado * #upon%a -ue la oferta de ) unidades de un producto a un precio p de dólares está dado por P=10 + 50 ln ( 3 x + 1 )

Encuentre la ra/ón de cambio del precio de oferta cuando el nAmero de unidades es >>* 8H*

+a función demanda de un producto está dada por p +

4 000 ln ( 2 x + 10 )

,

donde p es el precio unitario en dólares cuando se demandan ) unidades* Encuentre la ra/ón de cambio del precio con respecto al nAmero de unidades vendidas cuando se venden ?H " H unidades -u. encuentraN 88* En un ne%ocio se estima -ue cuando se emplean x miles de personas, su utilidad será p(x! millones de dólares, donde P ( x )= 10 + ln

( )

x −12 x 2 25

, para x > 0


22


Bu. nivel de empleo maximi/a la utilidadN Cuál es la utilidad máximaN 8;* Entre los aOos 8JK " 8L, el porcentaje de madres -ue re%resaron al trabajo un aOo despu.s de haber dado a lu/ se determina mediante 0(x! 9 8*88  8K@*? ln (x! donde x es el nAmero de aOos despu.s de 8JH* #i este modelo es preciso despu.s de 8Lcon -ue ra/ón cambiará el porcentaje en el ;HHN 8>* El in%reso R en millones de pesos, por la producción " venta de q miles de unidades de cierto producto se obtiene por la expresión 25 q R= ln ( q + 2 ) Calcule e interprete la tasa de variación del in%reso si la producción se incrementa en 88 mil unidades* 8?* $na compaOa está contratando personas para trabajar en su planta* )ara el trabajo -ue las personas deben efectuar los expertos en e'ciencia estiman -ue el costo promedio C de reali/ar la tarea es una función del nAmero de personas contratadas x es 2 C =0.003 x −0.216ln ( x )+ 5 a* Determine el nAmero de personas -ue deberán ser contratadas para minimi/ar el costo promedio* b* Cuál es el mnimo es costo promedioN


22!


D3RI=/D/ D3 6/4 $NCION34 TRI1ONO9?TRIC/4 d [ s#( ( 4 ) ] d4 =cos (4 ) % dx dx d [ cos ( 4 ) ] d4 =−s#( (4 ) % dx dx

d [ csc ( 4 ) ] d4 =−csc (4) cot ( 4 ) % dx dx d [ s#c (4 ) ] d4 =s#c ( 4) tan (4 )% dx dx


222


d [ tan ( 4 ) ] d4 = s#c2( 4 ) % dx dx

d [ cot ( 4 )] d4 =−csc 2( 4) % dx dx

3'ercicio Derivar1 "9 sen(;x! Derivando "9 cos(;x!(;! ó "9 ;cos(;x! "9 cos(>x! Derivando "9 2 sen(>x!(>! ó "9 2>sen(>x! "9tan(8Fx! Derivando "9 sec;(8Fx!(28Fx;! ó "9 (28Fx ;!sec;(8Fx! ?*

"9cot;(x! Derivando "9;cot(x!csc;(x!

@*

"9sec;(>x;! Derivando "9;sec(>x;!sec(>x;!tan(>x;!Kx sec(>x;!sec(>x;!tan(>x;! y=

K*

J*

ó

"98;x

1 csc ( x )

cos ( x ) −−csc ( x ) cot ( x ) csc ( x ) cot ( x ) cot ( x ) s#( ( x ) = = = = cos ( x ) Derivando y < = 2 2 1 csc x ( ) csc ( x ) csc ( x ) s#( ( x ) 2 y = x s#( ( x ) tan ( x )

Derivando

( x ) 2 2 2 xs#( ( x ) + x cos ¿ tan ( x )+ x s#( ( x ) s#c ( x ) y < =¿ 2


223


y < =2 xs#( ( x ) tan ( x ) + x cos ( x ) tan ( x ) + x s#( ( x ) s#c ( x ) 2

2

2

s#( ( x ) 1 " 2#c ( x )= cos ( x ) cos ( x ) s#( ( x ) 2 s#( ( x ) 2 1 y < =2 xs#( ( x ) + x cos ( x ) + x s#( ( x ) 2 cos ( x ) cos ( x ) cos ( x )

Como1

tan ( x )=

x s#( ( x ) 2 x s#( ( x ) 2 y < = + x s#( ( x ) + 2 cos ( x ) cos ( x ) xs#( ( x ) y < = [ 2 s#( ( x ) + x cos ( x ) + xs#c ( x )] cos ( x ) y < = xta( ( x ) [ 2 s#( ( x ) + x cos ( x ) + xs#c ( x ) ] 1 + s#( ( x ) L* y = x + cos ( x ) 2

y < =

2

cos ( x ) ( x + cos ( x ) )−( 1 + s#( ( x ) ) ( 1 −s#( ( x ) )

( x + cos ( x ))2 2 2 x cos ( x ) + cos −[ 1− s#( ( x ) ] y < = ( x + cos( x ))2 2 2 x cos ( x ) + cos −1 + s#( ( x ) y < = ( x + cos ( x ))2

Como1 s#(2+ cos2= 1 x cos ( x ) y < = ( x + cos ( x ))2 8H*

f ( x )= s#( ( x )+ cos ( x )

88*


f ( x )= s#( ( 3 x ) −cos ( 2 x )

224


8;*

f ( x )=√ x tan ( x )

8>*

f ( t )= t s#c ( x )

8?*

y=

8@*

1+ s#( ( x ) y= x + cos ( x )

8J*

y = s#( ( x )

8L*

x +1 y= xs#( ( x )

8*

(  )  + cot ¿ y = csc (  ) ¿

;H*

"9x;sen@(;x!

;8*

8K*

x 2− tan ( x ) s#( ( x ) y= x 2

3

2

"9sen?(x;>x!

;;*

f ( x )=2 csc ( x )+ 5cot ( x )

;>*

y =cos ( 3 x )

;?*

(t!9 #ec(@t!tan(?t!

;@*

y = x s#( (  ) tan (  )

;K* ;L*

1− s#c ( x ) tan ( x ) s#( ( x ) y= 1 + cos ( x )

;J*

y=

;*

3

2

"9sen>cos(t! y = s#( ( x ) Csc ( x )

3'ercicio 8* $na compaOa -ue vende abri%os para caballero obtiene la utilidad de sus ventas aproximadamente por

[

P (t )=20000 1 −cos

( )]

7 t 0 ≤ t ≤ 36 6

, donde P (t ) es la utilidad por mes dada en dólares t meses desde el 8 de enero de ;H8>* Calcule la tasa de variación de la utilidad mensual al 8 de abril de ;H8>


225


;* El propietario de un almac.n de electrodom.sticos encuentra -ue durante el aOo sus ventas varan de acuerdo a la expresión

[

y =150 1.5 −s#(

( )]

7 t , 0 < t ≤ 12 4

, donde t es el nAmero de meses -ue han transcurrido en el aOo* Calcule e interprete la tasa de variación de la venta en abril " a%osto*


226


D3RI=/D/4 D3 ORD3N 4&3RIOR Como la derivada de una función es de por s otra función, podemos calcular una derivada de la derivada* +a derivada de la 8 ra derivada recibe el nombre de ;da derivad derivada* a* Tambi.n ambi.n podemo podemoss encont encontrar rar er to to derivadas de > , ? , @ orden " superior 3'ercicios Encuentre la derivada indicada " 9 ?x> 28Kx, " " 9 x@ 3 x8F;, " " 9 x>  x28, " " 9 >x?  x8F>, " " 9 √ x , " &roblemas 8* #upo #upon% n%a a -ue -ue dado dado el in%r in%res eso o por por la vent venta a de cier cierto to prod produc ucto to " la cantidad vendida encuentre la tasa de cambio del in%reso mar%inal a* R(x! R(x! 9 8HH 8HHx x 3 H*H8 H*H8x x;G x 9 8H b* R(x! R(x! 9 JHx JHx  H*@x H*@x; 3 H*HH8x>G x 9 8HH c* R(x! R(x! 9 8@x 8@x  >H(? >H(?x x 8! 8!28 3 >G x 9 ;@


227


92;I9O4 @ 97NI9O4 R36/TI=O4 &rueba de la primera deri8ada"

)ara encontrar los máximos " mnimos relativos de una función realice los si%uientes procedimientos1 X )rocedimiento Ejemplo 3 2 8 Encuentre la pr primera der derivada ada de la la f ( ( x x )=2 x −12 x + 6 2 función* f < ( x x )=6 x −24 x 2 ; 5%uale ale la la der deriivada ada a H " de despe speje lo los f < ( x x )=6 x −24 x = 0 valores de ) -ue -ue satisfacen 'U8)*+4. 6 x ( x −4 )=0 [. Estos se denominan 8alores Entonces si Kx9H, x9H críticos* críticos* +os valores -ue hacen -ue #i x 3 ? 9 H, x 9 'V8) 'V8)** sea sea inde inde$n $nid ida a tamb tambié ién n son son ? valores crticos. +os valores crticos son H " ? > #ustitu"a los valores crticos en la f ( ( 0 )=6 función ori%inal para encontrar los f ( ( 4 )=−58 puntos críticos +os puntos crticos son (H,K! " (?,2@L! ? EvalAe 'U8)* en al%unos valores de ) f(28!9>H " f(8!928L a la i/-uierda " a la derecha de cada 7a" un máximo punto crtico para ara constr struir un f(>!928L " f(@!9>H dia%rama de si%nos 7a" un mnimo #i 'U8)*  H a la i/-uierda " 'U8)*  4


228


a la der derecha echa del del valo valorr crt crtic ico, o, el punto crtico es un punto máximo relativo #i 'V8)*  4 a la i/-uierda i/-uierda " 'V8)*  H a la derecha del valor crtico es un punto mnimo relativo rá'camente Punto CrEtico

% 30

alor CrEtico

"#ximo 20 Rela$i%o

alor CrEtico

10

+Q(x)

−2

−1

1

2

3

4

x 5

6

+(x)

7

−10

−20

−30

f < ( x x )=6 x −24 x 2

−40

f < ( x x 2−1 )

Punto CrEtico −50

−

3'ercicios "#ni$o Relati%o Determine los máximos " mnimos relativos de cada función, utili/ando la prueba de la primera derivada . " + )= > =) E : . " + ) : E ;) E ;

J* 8H*

3

2

y = x −3 x + 1

;*

" 9 >x 3 x> @* " 9 x? 3 Lx;  > 2

L*

"+ x> 3 >x 2 ?88*

1 y = x − x 2

x>

>* " 9 x> 3 8;x  ; K* " 9 x;F>  ; * y = x 2 + 4 x

9 8 3 >x >x ;82 ;* " 9 3

2

x x y = − − 2 x + 1 3 2


22


=.

8@*

. 4

2

=2 x −16 x + 4

3

2

=2 x −3 x −12 x +1

&rueba de la se0unda deri8ada

)ara encontrar los máximos " mnimos relativos de una función realice los si%uientes procedimientos1 X )rocedimiento Ejemplo 3 2 8 Encuent entre la pri prime merra der derivada ada de la la f ( ( x x )=2 x −12 x + 6 2 función* f < ( x x )=6 x −24 x 2 ; 5%uale la la der deriivad vada a H " de despeje eje lo los f < ( x x )=6 x −24 x = 0 valores de ) -ue -ue satisfacen 'U8)*+4. 6 x ( x −4 )=0 [. Estos se denominan 8alores Entonces si Kx9H, x9H críticos* críticos* +os valores -ue hacen -ue #i x 3 ? 9 H, x 9 'V8) 'V8)** sea sea inde inde$n $nid ida a tamb tambié ién n son son ? valores crticos. +os valores crticos son H " ? > #ustitu"a los valores crticos en la f ( ( 0 )=6 función ori%inal para encontrar los f ( ( 4 )=−58 puntos críticos +os puntos crticos crticos son (H,K! " (?,2@L! ? EvalAe 'VV8)* en cada valor crtico f(x!98;x2;? para el cual f(x!9H #i x9H #i f( f(x xH! gH, gH, un máxi máximo mo relat elativ ivo o f(x!98;(H!2;?92;? ocurre en xH 4curre un máximo relativo #i f(xH!  H, un mnimo relativo #i x9? ocurre en xH f(?!98;(?!2;?9;? #i f( f(x xH! 9 H ó f(xH! es 4curre un mnimo relativo inde'nida, la prueba de la se%unda derivada fallaG use la prueba de la primera derivada


23


rá'camente % 30

Punto CrEtico

f < < ( 4 )=24 > 0

20

alor CrEtico 10

−2

−1

alor CrEtico

6*%imo Relativo 1

x 2

3

4

5

6

−10

−20

f < < ( 0 ) =−24 < 0

Punto CrEtico −30

−40

6nimo Relativo

−50

3'ercicios Determine los máximos " mnimos relativos de cada función, utili/ando la prueba de la se%unda derivada " %ra'-ue 4 2 y =2 x −16 x + 4 #e halla la primera derivada1 y < =8 x 3−32 x 3 #e i%uala a cero 8 x −32 x =0 2 Yactori/ando 8 x ( x x − 4 ) =0 Es decir 8 x =0 por lo -ue x =0 ó x 2−4 =0 es decir x =± √ 4 =± 2 por lo -ue tendramos tres valores crticos, x 1=0 , x2 =2 y x 3=−2 Reempla/ando los valores crticos en la función ori%inal1 #i x 1=0 entonces y 1= 4 , tendramos un punto crtico en -H .F #i x 2=2 entonces y 1=−28 , tendramos un punto crtico en *H B*(F


7

23!


#i x 3=−2 B*(F

entonces y 1=−28 , tendramos un punto crtico en B*H

7allamos la ;da derivada y < < =24 x 2−32 #e evalAa el valor crtico en la ; da derivada1 #i x 1=0 entonces y < < =−32 entonces existe un máximo relativo en el punto -H .F #i x 2=2 entonces y < < =64 entonces existe un mnimo relativo en el punto *H B*(F #i x 2=−2 entonces y < < =64 entonces existe un mnimo relativo en el punto B*H B*(F )ara %ra'car inicialmente si%a los si%uientes pasos ubi-ue en el plano cartesiano los valores crticos,  lue%o los puntos crticos,  En cada punto crtico la curva cambia de dirección teniendo en cuenta -ue #i es un máximo la forma de la curva toma la forma #i es un mnimo la forma de la curva toma la forma )ara 'nali/ar una las lneas +a %ra'ca resultante es


232


8

%

4

x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−4 −8 −12 −16 −20 −24 −28

;*

y = x −3 x + 1

@*

x x y = − − 2 x + 1 3 2

L*

y =2 x −9 x + 12 x

3

2

3

2

3

2

>*

f ( x )= x −3 x + 4

K*

x x y = − − 6 x + 2 3 2

J* " 9 8 3 >x >x;2x>

*

2 3 f ( x )= x −8 x 3

8H* ( x )= 1 x 4− 3 x 2 + 4 x

3

3

?*

2

2

f ( x )= x −3 x − 4 3

2

88*

f ( x )= 1 + x

8?* ( x )= 3 x 2 + 81 2

x

8J* ( x )=3 x 2+ 4 √ x

4

8;*

f ( x )= x −32 x + 8

8>*

y = x + 4 x + 4 x

8@*

4 f ( x )= 4 x

8K*

3 4 f ( x )=5 x + x

8L*

f ( x )= x

4

2

5 /3


4

3

8* f ( x )=( x −2 ) ( x −4 ) 2

2

233


;H*

y =−( x −3)

;>*

f ( x )=

2 3

x

√ x −7 2

;8* ;?*

f ( x )= f ( x )=

5 ( 3 x 4 + 6 x 2 + 2 )3 2 2 x

√ x −1 2

;;*

f ( x )= x √ 1 − x

2

;@* ( x )=( x −1)1 /3 ( x + 1 )2/ 3

3'ercicios Encuentre los máximos " mnimos relativos de cada función si existen 8* f(x! 9 x ex

;* f(x! 9 x e;2x

>* f(x! 9 x; e2x

?* f(x! 9 ex  e2x

@* f(x! 9 x ln (x!

K* f(x! 9 x; ln (x! J* f(x! 9 x; Lln(x! L* f(x! 9 ln (x! 3 x

&roblemas 8* El análisis mar0inal es la rama de la economa -ue estudia la variación de ciertas cantidades como precio, in%reso, costo " F o utilidad, cuando se presentan pe-ueOos cambios en el nivel de producción* +a utilidad 1 percibida por la producción " venta de L unidades es 1 LF G ILF  CLF , donde CLF es el costo total e ILF el in%reso -ue se obtiene por ILFGp × L , donde p es el precio por unidad* #i un fabricante estima -ue si produce L miles de unidades por mes de cierto artculo su costo total C viene expresado por la relación1 2 C ( q )=0.1 q + 0.2 q −100 , dólares El precio por unidad está dado por p ( q )= 0.11 q + 41.8 , dólares


234


b* Determina los máximo "Fmnimos relativos (si existen! 7allamos la función in%reso ILFGp × L ILFG (0 % 11 q + 41 % 8 )( q ) ILFG 0 % 11 q2 + 41 % 8 q 7allamos la utilidad 1 LF G ILF  CLF 1 LF G 0.11 q 2+ 41.8 q −(0.1 q 2+ 0.2 q −100 ) 1 LF G 0.11 q 2+ 41.8 q −0.1 q2− 0.2 q +100 1 LF G 0 % 01 q 2−0 % 2 q + 100 Derivamos

1 WLF G 5%ualamos a cero " despejamos

0 % 02 q −0 % 2

0.02 q −0 % 2= 0 q =10

El valor crtico del nivel de producción se alcan/a en LG)- (8HHHH unidades!* Rempla/ando en la utilidad 1 LF G

2

0 % 01 ( 10 )

−0 % 2 ( 10 ) + 100

1 LF G ,, 7allamos la se%unda derivada 1 WWLF G 0 % 02

)or tanto existe un mnimo relativo* 5ndica -ue la mnima utilidad -ue se puede obtener es de  dólares " se alcan/a cuando se producen 8H HHH unidades* c*

6eri'-ue -ue se cumplan las condiciones •

I-9o /  !-9o / Es decir -ue el costo mar%inal " el in%reso mar%inal

son e-uivalentes en el punto crtico


235


+a función in%reso es ILFG 0 % 11 q2 + 41 % 8 q derivando obtenemos el in%reso mar%inal IWLFG 0.22 q , rempla/ando -98H, IWL-FG 0.22 (10 ) entonces IWL-FG*"* +a función costo es C ( q )=0.1 q2 + 0.2 q −100 derivando obtenemos el costo mar%inal C < ( q )=0.2 q + 0.2 , rempla/ando -98H, C < ( q 0 )= 0.2( 10)+ 0.2 entonces C < ( q 0 )=2.2 )or tanto la condición se cumple 2

2

d & d C q < ( q0 ) ( ) 0 2 2 dq dq

7allamos la se%unda derivada del in%reso 2

d & =0.22 2 dq

" la se%unda derivada del costo 2

d C = 0.2 2 dq

)or tanto no se cumple la condición

;* $na compaOa -ue fabrica estufas puede producir (x! unidades diarias cuando la inversión de capital asciende a x millones de dólares, " 300 = ( x )= 400 + 280 x + x

a* Calcule los máximos " mnimos relativos si existen 7allamos la primera derivada 300 = < ( x )=280 x − 2 x


236


5%ualamos la derivada en cero 300 280− 2 =0 x

Despejamos la variable para hallar el o los valores crticos 300 280= 2 x 300 2 x = =1.07143 280 x =± 1.0351

El valor -ue tiene sentido para el problema es )+.4=7 4btenemos el punto crtico 300 = ( x )= 400 + 280 ( 1.0351 )+ 1.0351 300 = ( x )= 400 + 280 ( 1.0351 )+ =979.6 1.0351

El punto crtico es (8*H>@8, J*K! 7allamos la se%unda derivada =< < ( x )=

600

x

=< < ( x )=

3

Rempla/ando el valor crtico

600 1.0351

Como =< < ( x ) relativo*

3

=541

es ma"or -ue cero entonces existe un mnimo

b* 5nterprete el resultado en c* +a mnima cantidad de estufa -ue se pueden producir son aproximadamente LH con una inversión de capital de 8*H>@8 millones de dólares*


237


>* #e estima -ue un trabajador de un taller -ue produce marcos puede pintar " marcos en ) horas despu.s de comen/ar a trabajar a las L1HH a*m*, se puede modelar con la expresión 2 3 y =3 x + 8 x − x Encuentre los valores crticos de esta una función 7allamos la primera derivada de la función "9 >  8Kx 3 >x ; 5%ualamos la derivada a cero1 >  8Kx 3 >x; 9 H 2 -b! √ b -4ac $tili/ando la ecuación %eneral para la solución de una 2a

ecuación cuadrática 2 a x + bx + c =0 , obtenemos dos soluciones x89@*@ " x;92H*8 Bu. valores crticos tienen sentido en este problemaN El valor -ue tiene sentido para el problema es @*@8, por lo -ue x es el nAmero de horas trabajadas despu.s de iniciar labores " este no puede ser ne%ativo Encuentre los puntos crticos Rempla/amos el valor crtico @*@ en la función ori%inal 9 >(@*@!  L(@*@!; 2 (@*@!> 9 8K*@  ;?;2 8KK*> 9 ; El punto crtico está en (@*@, ;! d* Determine los máximos o mnimos relativos si existen Bu. si%ni'caN 7allamos la se%unda derivada de la función "98K 3 Kx, rempla/amos el valor crtico, "98K 3 K(@*@! 9 28J Como "gH, ocurre un máximo relativo* #i%ni'ca -ue la máxima producción de se obtiene @*@ horas despu.s de haber iniciado labores, pintando ; marcos ra'cando la función inclu"endo la la se%unda derivada


238


(5&5, 2) 90

%.3x;8/2$x/3 80

70

60

50

40

30

20

s o d a t n i P s o c r a 1 e d & t n a C

%QQ.!6$6x 10

Boras Araba9adas

1

2

3

4

5

−10

?*

6

7

8

%QQ> " (Mxi1o elati-o)

+a demanda de cierto producto está dada por p= 42− 4 q

, " la función costo promedio 80 c´ =2 + q

Calcule el precio -ue maximi/a la utilidad* Debemos hallar la función utilidad de'nida como $tilidad ($!95n%reso (R! 3 Costo total (C! +a función 5n%reso (R! es el producto del precio por la cantidad, es decir R= qp R= q ( 42− 4 q ) 2 R= 42 q− 4 q

+a función costo total es el producto de la cantidad por el costo promedio es decir C =q c´

( )

80 q C =2 q + 80

C =q 2 +


23


Rempla/ando en la ecuación de la función utilidad 2 1 =( 42 q −4 q )−(2 q + 80 ) 2 1 = 42 q− 4 q −2 q −80 2 1 =− 4 q + 40 q −80 Derivamos la utilidad 1 < =−8 q + 40 5%ualamos a cero −8 q + 40 =0

Despejamos 40 =8 q 40 q = =5 8

El valor crtico se obtiene cuando se demandan @ unidades* Rempla/amos en la ecuación de la utilidad 2 1 =−4 ( 5 ) + 40 ( 5 )− 80=20 Es decir -ue existe un punto crtico cuando se demandan @ unidades " la utilidad es de ;H unidades monetarias* 7allamos la se%unda derivada de la función utilidad 1 < < =−8 Como la se%unda derivada es menor -ue cero, entonces la máxima utilidad es de ;H unidades monetarias " se obtiene cuando se demandan @ unidades #i rempla/amos la cantidad en la ecuación de la demanda p= 42− 4 ( 5 )= 42− 20 =22 )or lo tanto el precio -ue maximi/a la utilidad es de ;; unidades monetarias


24


@* Cierta empresa l-uida el costo total de almacenamiento " envio de materiales para un proceso de manufactura de acuerdo con la expresión

(

C ( 3 )=100 100 + 9 3 +

144 3

)

, donde C ( 3 ) se da en dólares " @ es el nAmero de toneladas de material -ue se almacena " enva* Determine los máximos "Fo mnimos relativos -ue tienen sentido para el problema -u. si%ni'ca! Derivamos el costo

( ) 5%ualamos a cero ( − )=

C < ( 3 ) =100 9 −

100 9 9−

144 2

3

144 2

3

144 2

3

0

=0

Despejando 144 2 =16 3 = 9 3 =± √ 16 =± 4

Es decir, se tendra dos valores crticos @+ " @+, como @ es la cantidad de toneladas de material @ 92? no tiene sentido, por lo tanto lo depreciamos " trabajamos solo con @+* 7allamos el punto crtico, rempla/ando @+ en la función ori%inal

(

C ( 4 )=100 100 + 9 ( 4 )+

144 4

)

C ( 4 )=17200


24!


Es decir, se tiene un punto crtico en (4,17200 ) #e halla la ;da derivada1 C < < ( 3 ) =

28800 3

3

#e evalAa el valor crtico en la ; da derivada1 28800 C < < ( 4 )= 3 4

C < < ( 4 )= 450

+ue%o existe un mnimo relativo en el punto (?,8J;HH! El costo mnimo de almacenamiento es de 8J;HH dólares " se obtiene cuando se almacena " enva ? toneladas de material* K* +a función costo total de producción de 2

q C = + 3 q−67 4

producto está dada por cual se venderan puede obtenerN $tilidad1 5n%reso

q

q

1 , " p= (45 −q ) el precio al

#abemos -ue el in%reso es1 & = pq rempla/ando 1 & = ( 45 −q ) × q 5

1 2 & =9 q − q 5

+a utilidad es 1 =C − & rempl/ando

(

)(

5

unidades* Cuál es la máxima utilidad -ue se

1 =C − &

2

unidades de cierto

q 1 2 1 = 9 q − q − + 3 q −67 5 4

) Cálculo Diferencial

242


2

1 2 q 1 = 9 q− q − −3 q + 67 5 4 2 1 2 q 1 = 9 q− q − −3 q + 67 5 4 −9 2 1 = q + 6 q + 67 20

Derivando −9 1 < = q + 6 10

5%ualando a cero1 −9 q + 6 =0 10

9 q 10 9 6 = q 10 20 q= D 7 3 6=

Tenemos un valor critico cuando se venden Rempla/amos en la función ori%inal −9 2 1 = ( 7 ) + 6 ( 7 )+ 67 20 −9 2 1 = ( 7 ) + 6 ( 7 )+ 67 20 1 = 86.95

7

unidades

Encontramos un punto crtico cuando se vende J unidades " la utilidad es de LK*@ $*M* 7allamos la se%unda derivada1 −9 1 < < = < 0 10


243


)or lo tanto existe un máximo relativo, es decir la máxima utilidad es de LK*@ $*M* " se obtiene cuando se venden J unidades* J* $na or%ani/ación de investi%ación de mercado a'rma -ue si una compaOa %asta ) millones de pesos en publicidad por televisión, la utilidad obtenida puede estimarse mediante la función 2 − 0.5 x P= 40 x # , donde  se expresa en millones de pesos* a* Cuál debera ser el %asto en publicidad por televisión con el 'n de maximi/ar la utilidadN b* Cuál es la utilidad máxima -ue se puede obtenerN 7allamos la primera derivada de la utilidad respecto a la inversión en publicidad −0.5 x ) +40 x 2 ( #−0.5 x ) (−0.5 ) P< =80 x ( #  − 0.5 x P =80 x # −20 x2 #−0.5 x 5%ualamos a cero −0.5 x 80 x # −20 x 2 #−0.5 x =0 Despejamos −0.5 x 80 x # =20 x 2 #−0.5 x x =4 Existe un valor crtico cuando se invierten ? millones de pesos en publicidad* Rempla/amos en la función ori%inal 2 −0.5( 4 ) P ( 4 )=40 ( 4 ) # P=86.61

Es decir -ue el punto crtico es (?, LK*K8! 7allamos la se%unda derivada P = [ 80 #

+ 80 x #−0.5 x (−0.5 ) ]−[ 40 x #−0.5 x + 20 x 2 #−0.5 x(−0.5 ) ]   −0.5 x P = [ 80 # −40 x #−0.5 x ]−[ 40 x #−0.5 x −10 x 2 #−0.5 x ] −0.5 x   P = 80 # − 40 x #−0.5 x − 40 x #−0.5 x + 10 x 2 #−0.5 x  

−0.5 x


244




−0.5 x

−0.5 x

2

−0.5 x

P = 80 # −80 x # + 10 x # −0.5 x   P = 10 # ( 8− 8 x + x 2)

, evaluamos el valor crtico en la se%unda derivada ( )+! −0.5 ( 4) P ( 4 )=10 # (8 −8 x +( 4 )2)  P ( 4 )=−10.82 

b*

a* +a inversión en publicidad -ue maximi/ar la utilidad es de ? millones de pesos* +a utilidad máxima -ue se puede obtener es de LK*K8 millones de pesos L* $n estudio de e'ciencia indica -ue un trabajador -ue lle%a a las L1HH a*m* ensamblará 3 9 2 @ (t )=−t + t + 15 t $nidades por hora 2

En -u. momento de la maOana opera con e'ciencia máximaN Derivamos1 @< =−3 t 2 + 9 t + 15 5%ualamos a cero1 −3 t 2+ 9 t +15 =0 Yactori/ando1

t (¿¿ 2−3 t −5 )= 0 −3 ¿

)or lo -ue1 t 2 −3 t −5=0 &l resolver aplicando formula %eneral encontramos dos races1 t 1 =−1.1 " t 2 =4.1 )or ser t tiempo depreciamos t 1 =−1.1 " tomamos como valor crtico a t 2 =4.1 Rempla/ando en la función ori%inal1 @ < =−3 ( 4.1 )2 +9 ( 4.1 ) +15 =1.47 5ndica -ue existe un punto crtico en (?*8, 8*?J! 7allamos la se%unda derivada1 @< < =−6 t + 9 Rempla/ando t 2 =4.1 1 @ < < =−6 ( 4,1 ) + 9 =−15.6 < 0


245


Entonces en .")H )".:F existe un máximo relativo 5ndica, -ue el momento de la maOana en -ue el trabajador opera con ma"or e'ciencia es .") horas despu.s de iniciar labores ensamblando )".: unidades por hora * $n empresario ha calculado -ue el costo total de repartir x unidades de cierto producto -ue fabrica es1 217800 C =2 x + x

Determinar a* Cuántas unidades se tienen -ue repartir para minimi/ar el costo totalN b* Cuál es el costo mnimo relativo -ue se puede obtenerN 217800 Derivamos1 C < =2− 2

5%ualamos a cero1

x 217800

2=

x

2

217800 Despejando1 x 2= 2

)or lo -ue1 x =108900 #acando la ra/ cuadrada en ambos lados de la i%ualdad obtenemos dos races1 x 1=330 9 x 2=−330 )or ser x unidades depreciamos x 2=−330 " tomamos como valor crtico a x 1=330 2

217800 =1320 Rempla/ando en la función ori%inal1 C =2 (330 )+ 330

5ndica -ue existe un punto crtico en (>>H, 8>;H!


246


435600 7allamos la se%unda derivada1 C < < = 3

x

435600 =1320 >0 Rempla/ando x 1=330 1 C < < = 3 330

Entonces en (>>H, 8>;H! existe un mnimo relativo a* )ara minimi/ar el costo total se tienen -ue repartir >>H unidades* b* El costo mnimo -ue se puede obtener es de 8>;H $*M* 8H* $n fabricante ha determinado -ue para cierto producto, el costo promedio ( en dólares por unidad! está dado por 200 2 c´ =2 q −36 q +210 − q

, donde : / q / 4 a* 7alle la función costo total ( C =q c´ ! b* Determine los máximos "Fmnimos de la función costo total (si existen! c* 5nterprete los resultados 88* El in%reso total (en dólares! obtenido por la venta de % de libreros es 2

x R ( x ) =150 x − 4

, determine1 a* El o los valores relativos si existen b. +os máximos o mnimos relativos si existen c. 5nterprete el resultado

8;* En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada por


247


L8)*+=4 E 54) > ) : miles de pesos

, donde ) es la inversión en publicidad en miles de pesos a* Encuentre los valores crticos de esta una función b* Encuentre los puntos crticos c* Determine los máximos o mnimos relativos si existen Bu. si%ni'caN 8>* El costo promedio, en dólares, de la producción de x discos compactos en cierta compaOa de discos está dado por 2000 C ´( x )=−0.0001 x + 2 − a* b* c* d*

x

Encuentre los valores crticos de esta una función Bu. valores crticos tienen sentido en este problemaN Encuentre los puntos crticos Determine los máximos o mnimos relativos si existen Bu. si%ni'caN

8?* El volumen de ventas de un disco fono%rá'co particular está dado como una función del tiempo t por la fórmula 2 2 ( t )= 10000 + 2000 t −200 t , donde t se mide en semanas " # es el nAmero de discos vendidos por semana* a* Encuentre los valores crticos de esta una función b* Bu. valores crticos tienen sentido en este problemaN c* Encuentre los puntos crticos d* Determine los máximos o mnimos relativos si existen Bu. si%ni'caN 8@* El costo promedio de fabricar cierto artculo es ´ =5 + 48 + 3 x2 C x

, donde ) es el nAmero de artculos producidos


248


a* b* c* d*


8K* $na empresa vende todas las unidades -ue produce en ? mil pesos cada una* El costo total de la empresa C por producir ) unidades está dado en miles de pesos por 2 C =50−1.3 x + 0.001 x a* Encuentre los valores crticos de esta una función b* Bu. valores crticos tienen sentido en este problemaN c* Encuentre los puntos crticos d* Determine los máximos o mnimos relativos si existen Bu. si%ni'caN 8J*

+a función de costo para una empresa, está dada por

a* b* c* d*

3

x C ( x )=300 x −10 x − 3 2


8L* +a función de costo de una fabricante es C8)*+444  7) E 4.) :, cuando se producen x artculos por da* a* Encuentre los valores crticos de esta una función b* Encuentre los puntos crticos c* Determine los máximos o mnimos relativos si existen Bu. si%ni'caN 8* $n estudio de tiempo mostró -ue, en promedio, la productividad de un trabajador despu.s de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de 2 3 P (t )=27 t + 6 t −t , 0 ≤ t ≤ 8


24


a* b* c* d*

Donde ) es el nAmero de unidades producidas por hora Encuentre los valores crticos de esta una función Bu. valores crticos tienen sentido en este problemaN Encuentre los puntos crticos Determine los máximos o mnimos relativos si existen Bu. si%ni'caN

;H* El análisis de producción diaria de una empresa muestra -ue, en promedio, el nAmero de unidades por hora " producidas despu.s de t horas de producción es 1 2 3 y =70 t + t −t , 0 ≤ t ≤ 8 a* b* c* d*

2


;8* #upon%a -ue el costo promedio, en dólares, para producir un embar-ue de cierto producto es ´ =5000 x + 125000 , x > 0 C x

a* b* c* d*

Donde x es el nAmero de má-uinas usadas en el proceso de producción Encuentre los valores crticos de esta una función Bu. valores crticos tienen sentido en este problemaN Encuentre los puntos crticos Determine los máximos o mnimos relativos si existen Bu. si%ni'caN

;;* $na compaOa está contratando personas para trabajar en su planta* )ara el trabajo -ue las personas deben efectuar los expertos en e'ciencia estiman -ue el costo promedio c´ de reali/ar la tarea es x una función del nAmero de personas contratadas espec'camente*


25


c´ =0.003 x −0.216 ln ( x ) + 5 2

a* Determine el nAmero de personas -ue deberan ser contratadas para minimi/ar el costo promedio* Cuál es el mnimo costo promedioN ;>* +a función costo promedio para cierto producto está dada por ´ =0.2 q + 28 + 200 C q q

, donde es el nAmero de unidades producidas* 7allar e interpretar los valores máximos "Fo mnimo, -ue tienen sentido para el problema (si existen! ;?* Dada la función in%reso R=30 x 2/ 3−2 x donde x es la cantidad vendida* Cuál es la cantidad -ue maximi/a el in%resoN Cuál es el in%reso máximoN ;@* +as ventas totales de cierta empresa & se relacionan con la inversión en publicidad de acuerdo con f ( x )=−0.01 x3 + 1.5 x 2+ 200 * Cuál es la inversión en publicidad -ue maximi/a las ventasN " Cuál es la venta máxima -ue se puede obtenerN ;K* El costo promedio (en miles de pesos! de producir 9 unidades de cierto producto está dado por ´= C

7000 # q

q 700

, donde

son las unidades producidas* Calcule e interprete los valores máximos "Fo mnimos relativos -ue tienen sentido para el problema (si existen! " %ra'-ue q


25!


;J* $na fábrica -ue elabora un producto tiene una capacidad de producción de 8;H unidades diarias* +a función de costo promedio está dada por 75000 C ( q )=100 + 30 q + q

Encuentre el nivel de producción -ue minimi/a el costo promedio* ;L* +a producción de cierta hortali/a en un invernadero, @ ( x ) en P%*, depende de la temperatura, x en - C , se%An la expresión1 2 @ ( x )=( x + 1 ) ( 32 − x ) a* Cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernaderoN b* Bu. producción de hortali/a se obtendraN ;* $na compaOa determina -ue si se %astan ) miles de dólares en publicidad de cierto producto, entonces se venderán 2 ( x ) unidades del producto, donde 200 x + 1500 2 ( x ) = 2 0.02 x + 5 Cuánto se debe %astar en publicidad para maximi/ar el nivel de ventasN >H* El costo promedio de producir x unidades de cierto artculo se obtiene mediante la función 48 C (´ x )=3 x + 1 + x

, donde C se da en miles de dólares* Calcule la cantidad de unidades -ue se deben producir para minimi/ar el costo promedio " el costo promedio mnimo -ue se puede obtener*


252


D3RI=/D/ I9&67CIT/


253


+a diferenciación implcita es una t.cnica para derivar funciones -ue no están dadas en la forma usual " + '8)** $na ecuación de la forma . ( x , y )  0, expresa a " como función de % en forma implcita* #e usa la palabra implcita puesto -ue "a " no está dada de manera e%plcita como función de % * sin embar%o se supone o -ueda implcito -ue la ecuación de'ne a " por lo menos como una función derivable en % * )rocedimiento para derivar implcitamente )ara una ecuación -ue supuestamente de'ne a " de manera implcita como una función derivable en % , la derivada 8J*

dy dx

puede encontrarse1

Derivar cada t.rmino de la ecuación respecto a % " " * Cuando se

deriva respecto a " se le a%re%a 8L*

dy dx

Despeja

dy dx

*

, " ten%a en cuenta las restricciones*

3'ercicio Encuentre

dy dx

mediante diferenciación implcita e indi-ue las

restricciones si existen* 8*

2

2

x + 4 y = 4

dy dy dy −2 x =0, d#sp#)a(d" 8 y =−2 x , = dx dx dx 8 y dy − x si!p$ifica(d" = +a ecuación se restrin%e en dx 4 y

?#i/a(d" 2 x + 8 y


"9H

254


;*

3

2

2 y −7 x =5

?#i/a(d" 6 y

dy dy 14 x dy 7 x −14 x = 0 d#sp#)a(d" = 2 si!p$ifica(d" = 2 dx dx 6 y dx 3 y

2

+a ecuación se restrin%e en "9H >*

xy = 4 dy dy − y ?#i/a(d" y + x =0, d#sp#)a(d" = dx dx x

H la ecuación se restrin%e en

x9H ?*

3

3

2 x + y −12 xy =0 2

?#i/a(d" 6 x + 3 y 2

#(t"(c#s 6 x + 3 y d#sp#)a(d" 3 y

2

2

2

(

)

dy dy − 12 y + 12 x =0, dx dx

dy dy −12 y −12 x =0, dx dx

dy dy −12 x =−6 x 2 + 12 y , dx dx

dy 2 2 fact"iEa(d" ( 3 y −12 x )=−6 x + 12 y , dx 2

dy −6 x + 12 y d#sp#)a(d" = , dx 3 y 2−12 x

dy 4 y −2 x si!p$ifica(d" = 2 dx y −4 x

@*

2

y ln ( x ) = x #

y

d#i/a(d" ln ( x )

dy y dy + =# y + x # y dx x dx


255


dy dy y − x # y = # y − dx dx x dy y y y fact"iEa(d" ( ln ( x )− x # )=# − dx x y dy x# − y d#sp#)a(d" = dx x ( ln ( x )− x # y ) d#sp#)a(d" ln ( x )

%"

2 2

8 ( x + y ) = 100 ( x ' y 2

2

2

)

16 ( x + y ) % ( 2 x + 2 y y ) =100 ( 2 x −2 y y

Derivando

2



2

)



32 x ( x + y ) + 32 y y ( x + y )=200 x − 200 y y

Despejando

2



2

2

2



32 y y ( x + y ) + 200 y y =200 x −32 x ( x + y 

2



2

y < [ 32 y ( x + y ) + 200 y ]=200 x −32 x ( x + y 2

2

2

200 x−32 x ( x + y 2

y < =

J*

)

2

8 [ 25 x −4 x ( x + y ) ] 2

8 [ 4 y ( x + y ) + 25 y ] 2

2

25 x −4 x ( x + y 2

y < =

)

32 y ( x + y ) + 200 y 2

2

y < =

2

2

2

)

4 y ( x + y ) + 25 y 2

3 4

2

3 4

x + y = 5

Derivando

3 x 4

−1 4

−1

+ 3 y 4 y  =0 4


2

2

)

256


−1

3 4  −3 y y = x 4 4

Despejando

−1 4

−1

−3 x 4 

y =



y =

− y x

4

3 y 4

−1 4

−1

=

− x 4 −1

y

4

1 4

1 4

4 L* x =√ y +√ y

Re2expresando

−1

1 1= y ( y 2 

4

,"

3

−3

−1 2

1 + y 4

−3 4

) (

1 1 4 x + 2 x )= y < + 4 3 = y < √ 4 5 √ 2 √ x 4 √ x 8 √ x

(

5

4 √ x + 2 √ x 4

x = y + y

1 4

1 1 1= y 2 y  + y 4 y  2 4

Derivando

8 √ x

1 2

= y <

x √ y + 1= y √ x + 1

Re2expresando

1 2

x ( y + 1) = y ( x + 1 )

1 2


4

3

)

257


Derivando

−1

1 2

1

( 1 ) % ( y+ 1) + x % 1 ( y+ 1 ) 2 % y  = y  % ( x +1 ) 2 + y % 1 ( x +1 ) 2 2 −1

1 2

1 ( y + 1) + x y  ( y + 1 ) 2 2 1  x y ( y + 1) 2

(

−1 2



1

% ( 1)

−1

1 2

−1

1 − y ( x + 1 ) = y ( x + 1 ) 2 2

−1

2

1 = y ( x + 1 ) + y ( x + 1 ) 2 2

1 2



−1

)

−( y + 1 )

−1

1 2

1

1 1 y x ( y + 1 ) 2 −( x + 1 )2 = y ( x + 1 ) 2 −( y + 1 )2 2 2 

−1



y =

−1 

y =

y ( x + 1 ) −2 ( y + 1 ) 2

−1

x ( y+ 1 ) −2 ( x + 1 ) 2

)-"

x + y

#

1 2

1 2

=ln ( x + y )


1 y ( x + 1 ) 2 2 1 x ( y+ 1 ) 2

−( y + 1 )

−1 2

−( x + 1 )

1 2

1 2

258


x + y

Derivando

#

% ( 1 + y )=

x + y

Despejando

#



1+ y  x + y

+ y  # x + y =

1 + y  x + y

( x + y) # x + y +( x + y) y # x + y =1 + y < ( x + y ) y # x + y − y < =1 −( x + y ) # x + y x + y

y < =

88*

3 x + 6 y =1

8?*

y + y = ln ( x )

2

2

2

8;*

1−( x + y ) #

( x + y )# x + y −1 2

2

2 x −3 y = 4

8@* 2

2

x + xy −2 y =0

8>*

y = 4 x

8K*

( 2 x + 3 )3= x

3

8J* ( 3 x y2 + 1 )4=2 x −3 y

8L* ( x 2+ 3 y 2 )5=2 xy

G.

1 1 + =1 x y

;H*

( 1−2 x y 3 )5= x + 4 y

;8* ( 2 x +3 y )5= x +1

::.

( x −2 y )2= y

;>*

# =ln ( xy )

;?*

;@*

xy

x ln ( 2 y + 10 )=0 2


2

2

x y −3 xy + y =−8

25


&roblemas +a producción de cierta planta es 2

, unidades por da

2

0.06 x + 0.14 xy + 0.05 y =7236

, donde % es el nAmero de horas2trabajador cali'cado utili/ado " " es el nAmero de horas2trabajador no cali'cado* &ctualmente, se emplean KH horas2trabajador cali'cado " >HH horas2trabajador no cali'cado cada da* Calcule int.rprete la tasa de variación del nAmero de horas2

( ) dy dx

trabajador no cali'cado

Derivamos implcitamente respecto al nAmero de horas2trabajador cali'cado ( ) ! dy dy 0.12 x + 0.14 y + 0.14 x + 0.1 y =0 dx

dx

Despejamos dy dy 0.14 x + 0.1 y =−0.12 x − 0.14 y dx

dx

Yactori/amos dy [ 0.14 x + 0.1 y ]=−0.12 x −0.14 y

dx dy −0.12 x −0.14 y = dx 0.14 x +0.1 y Como x =60 " y =300 dy −0.12 ( 60 )−0.14 ( 300 ) = dx 0.14 ( 60 )+ 0.1 ( 300 ) dy −49.2 = dx 38.4

rempla/amos


26


dy =−1.28 dx

#i las horas3trabajador cali'cado se incrementan en K8, las horas2 trabajo no cali'cado disminu"en en 8*;L horas por da* ;* De cada función de costo conjunto hallar e interpretar la ra/ón de cambio del insumo y para los valores de x e y dados a* 5 + 5 x + 22 y = 160 para x =20 , y =25 b* 30 + 3 x + 5 y =57 para x =4 , y =3 c* x 3+ 2 x y 2+ 2 y 3= 41000 para x =10 , y =20 d* x 2 y 2−3 xy + y +8 =200 para x =10, y =15 e* 100 x +64 y −0.01 x2 −0.25 y 2=3000 para x =10, y =20 5 x − y = 3 para x =50, y =10 f* x + 3 y %* 2 x 3 + 3 x 2 y 2 +(1 + y)3=189 para x =3, y =2 h* x √ y2 + 1=150 para x =10, y =15 i* # x + # y + xy + 5=7.8 para x =0.1, y =0.2 x5( (5 + y )= 30 para x =10 , y =15 2 x ln ( y + 10 ) =322 para x =10 , y =20 >* #upon%a -ue la producción semanal de una compaOa relaciona las horas de trabajo, ) , " los dólares de inversión de capital, " , por medio de 1 3

2 3

30 x y =384000

Encuentre la ra/ón de cambio de la inversión de capital con respecto a las horas de trabajo, cuando las horas de trabajo son @8; " la inversión de capital es de SK? HHH*


26!


?* #upon%a -ue el volumen de ventas de un compaOa y (en miles de dólares! se relaciona con los %astos de publicidad x (en miles de dólares! de acuerdo con xy ' 20 x + 10 y = 0

Encuentre la ra/ón de cambio del volumen de ventas respecto al %asto de publicidad cuando x =10 (miles de dólares! @* #upon%a -ue una compaOa puede producir 8; HHH unidades cuando el nAmero de horas de trabajo cali'cado " , " no cali'cado, % , satisfacen =5 + 8) E * =- \ 8" E :*-=

Encuentre la tasa de cambio de las horas de trabajo cali'cado respecto de las horas de trabajo no cali'cado cuando )+:77 " "+:. )odemos usar esto para hacer una aproximación del cambio de horas de trabajo cali'cado re-uerido para mantener el mismo nivel de producción cuando se aumentan las horas de trabajo no cali'cado en una hora K* #upon%a -ue la producción de 8H HHH unidades de cierta cosecha a%rcola se relaciona con el nAmero de horas de trabajo, % , " el nAmero de acres de la cosecha " , de acuerdo con =44) E =4 444" + )" > 4.444:) : > 7"

Encuentre la ra/ón de cambio del nAmero de horas respecto al nAmero de acres J* #i la función de demanda de 9 unidades de un producto a Mp por unidad está dada por 2 p ( q + 1) + :44 444


262


Encuentre la ra/ón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p+Z54* 5nterprete el resultado L* #i la función de demanda de 9 unidades de un producto a MP por unidad está dada por 2 p ( 2 q + 1 ) + 44 444

Encuentre la ra/ón de cambio de la cantidad respecto del precio cuando p+Z74. 5nterprete el resultado* * +a demanda de cierto producto está dada por la ecuación p: E q: + :744, donde - son las unidades -ue pueden venderse a una precio de Zp cada una* Determine la demanda mar%inal a un nivel de precio de ?H dólares* 5nterprete el resultado* 8H* +os ahorros # de un pas se de'nen implcitamente en t.rminos de su in%reso nacional 5 por medio de la ecuación 2 1 2 2 + & = 2& + & 4

, donde # e 5 están dadas en miles de millones de dólares* Encuentre la propensión mar%inal al consumo cuando 598K " #98; 88* $n fabricante planea vender un nuevo producto al precio de $#S8@H por unidad " estima -ue si %astan x miles de dólares en desarrollo e " miles de dólares en promoción, los consumidores compraran aproximadamente (>;H"F";!(8KHxFx?! unidades del producto* #i los costos de fabricación de este producto son $#S@H por unidad, cuánto debera %astar el fabricante en desarrollo " cuanto en promoción para %enerar la ma"or utilidad posible en la venta de este


263


productoN nota1 $tilidad9(X de unidades!(precio por unidad 2 costo por unidad! 2 cantidad total %astada en desarrollo " promoción 8;* $na lechera produce leche entera " leche descremada en cantidades x e " %alones, respectivamente* #upon%a -ue el precio de la leche entera es p ( x )= 1000− x , " el de la leche descremada es q ( y)= 100− y * #upon%a -ue C ( x , y )= x " + xy + y " es la función de costos conjuntos de los productos* Cuáles deberan ser x e " para maximi/ar las utilidadesN 8>* $n fabricante de cal/ado produce semanalmente x miles pares de /apatos para caballero " y miles de pares de /apatos para dama, si la producción es x =2 " y =5 la relación entre x " y esta relacionada por la ecuación1 2 2 2 x + y =25 7allar e interpretar la ra/ón de cambio de la cantidad de /apatos para dama respecto a la cantidad de /apatos de caballero* 8?* Cuando el precio de cierto artculo es p dólares por unidad, los clientes demandan x cientos de unidades de dicho producto, donde 2 2 x + 3 px + p =79 Cuántas unidades se demandan si el precio es de @ dólares por unidad " disminu"e en >H centavos de dólaresN


264


36/4TICID/D 3N 6/ D39/ND/ El %rado de respuesta de los consumidores a los cambios de los precios varia en %ran medida en diferentes productos Costo del combustible 3 consumo )recio de los medicamentos 3 enfermos #i los cambios de los de los precios son considerables, decimos -ue la demanda es elásticaG cuando los cambios son leves en la demanda del producto, se dice -ue la demanda es inelástica* +os economistas miden la elasticidad de la demanda en un intervalo dividiendo el cambio porcentual de la demanda por el cambio porcentual del precio* De'nimos la elasticidad de la demanda en un punto (- & , p&! como 9

p dq ∨¿ q dp

(-&, p&!

(1 3ta es la s.ptima letra del alfabeto %rie%o!


265


+os economistas clasi'can las curvas de la demanda de acuerdo con la respuesta de la demanda a los cambios de precios usando la elasticidad •

•

•

#i  g 28, la demanda es elástica " el decremento porcentual en la demanda es ma"or -ue el porcentaje correspondiente al incremento porcentual en el precio* #i 28g  g H, la demanda es inelástica " el decremento porcentual en la demanda será menor -ue el incremento porcentual correspondiente en el precio* #i  9 28, la demanda es elástica unitaria " el decremento porcentual de la demanda es aproximadamente i%ual al incremento porcentual correspondiente en el precio*

Tambi.n podemos utili/ar diferenciación implcita para encontrar dq-dp para evaluar la elasticidad puntual en la demanda* &roblemas 8* +a ecuación de demanda para cierta mercanca es -p>9;? HHH calcule, indi-ue el tipo e int.rprete la elasticidad en la demanda cuando p9; #abemos -ue la elasticidad en la demanda se define  9 Conocemos p, debemos hallar - "

p dq q dp

dq dp

)ara hallar - rempla/amos el valor de p en la ecuación ori%inal, 3  ( 2 ) =24 000 =

24 000 =3000 8

7allamos

dq dp

derivando implcitamente la ecuación ori%inal


266


 2 +3 =0  2  -3  3 = 3 =   

3

Rempla/ando en la ecuación de la elasticidad p 3 q − =−3 9 q

p

Como  g 28, la demanda es elástica por lo tanto el decremento porcentual en la demanda será menor -ue el incremento porcentual correspondiente en el precio* ;* +a ecuación de la demanda para cierta mercanca es p=10 #−q , donde se demanda q unidades cuando el precio es de p dólares* 7alle la elasticidad en la demanda cuando q+: e indi-ue su tipo Derivamos la función dq −q 1=10 # (−1) dp

Despejando dq −1 = −q dp

10 #

+a elasticidad en la demanda es p dq q dp

9

Rempla/ando −q 10 # −1 F=

[ ] −q

q

10 #

#impli'cando −1 −1 F= = q

2


267


Como 28gg8, la demanda es elástica unitaria por lo tanto el decremento porcentual en la demanda será menor -ue el incremento porcentual correspondiente en el precio* >* Dada la ecuación de la demanda q =500− 40 p + p 2 donde p es el precio en dólares " 9 las unidades demandadas* #i el precio es de 8@ dólares determinar el nAmero de unidades -ue se deben demandar para -ue la elasticidad se elástica unitaria* Derivamos implcitamente1 dq =−40 + 2 p dp

Como p+7, rempla/amos dq =−40 + 2 ( 15) dp dq =−10 dp

+a fórmula de la elasticidad es  9 elástica unitaria  928, sustitu"endo 15 −1 = (−10 )

p dq q dp

* Como elasticidad se

q

Despejando 15 q= (−10 ) −1 q =150 ¿

)ara -ue la elasticidad sea elástica unitaria se tienen -ue demandar 8@H unidades* &roblemas


268


a* b* c* d* e* f* %* h* i* j* P* l*

8* En cada uno de los si%uientes problemas dada la ecuación de la demanda, encuentre la elasticidad de la demanda, indi-ue su tipo " expli-ue cómo afectará un incremento de precio el in%reso total1 p  ?- 9 LH cuando el precio p 9 ?H ;p  >- 9 8@H cuando el precio p98@ p;  ;p  - 9 ? cuando el precio p9K p-9L8 cuando el precio p9> p-  p 9 @HHH cuando el precio p9?@H " -9 ;p;- 9 8H HHH  HHHp; cuando el precio p9@H " -9 ?@H; (p  8!(-  8!8F; 9 8 HHH cuando el precio p9> p;(;-  8! 9 8H HHH cuando el precio p9;H p 9 8HH2H*8- cuando el precio p9>K*J " -98H -9 ;@H 3 >Hp  p;, cuando p98; p9LK2K-2>-;,cuando -9> 100 p= cuando p=25 √ q + 4 &roblemas ;* +a ecuación de la demanda de cierta mercanca es x =5000 ' 100ln ( p + 40 ) , donde se demandan % unidades cuando el precio unitario es de p dólares* Calcular e indicar el tipo de la elasticidad en la demanda si el precio es de KH dólares >* +a relación de la demanda para cierto producto es q =250−30 p + p2 , donde q unidades pueden venderse a un precio p cada una* Calculo la elasticidad en la demanda e indi-ue su tipo cuando el p+:

?* Dada la ecuación de la demanda q 2−2 q √ p − p2−31= 0 hallar e indicar el tipo de la elasticidad de la demanda cuando el precio es de  dólares* 5nterprete el resultado*


26


@* Dada la ecuación de la demanda 200 p + 2 q− p2 =10000 * Calcular el nAmero de unidades -ue se tienen -ue demandar para -ue la elasticidad sea elástica unitaria si p+:4* K* +a relación de demanda para cierto producto es p=250 −0.5 q * Calcular el nAmero de unidas -ue se deben demandar para -ue la elasticidad sea elástica unitaria* J* Dada la ecuación de demanda 2 q =30− ln ( p + 1 ) 3 p

, donde es el precio " q la cantidad demandada* Cuántas unidades se tienen -ue demandar para -ue la demanda sea elástica unitariaN L* #ea la función de demanda 3

3

p + q =9

#i p=2 determinar para -ue cantidad la demanda es elástica unitaria*


27


D3RI=/D/4 &/RCI/634 $unciones de dos o más =ariables Existen ma%nitudes -ue dependen de dos o más variables independientes por ejemplo el área del rectán%ulo depende de la lon%itud de cada uno de sus lados, el costo de producción de una artculo depende del costo de los materiales " de la mano de obra, la temperatura -ue tiene un %as depende del volumen -ue ocupa " de su presión, la concentración de una sustancia en cual-uier punto de la vena lue%o de haber suministrado una in"ección depende del tiempo, la velocidad de la san%re " la distancia en -ue se encuentra el punto de la in"ección, +as funciones de dos variables se simboli/an 'A : ;  " se representan %eneralmente z 9 ' ( ) " ! De5nición"B #ea D un conjunto de pares ordenados, ( ) , " !, de nAmeros reales, D ⊂ ;* $na función real de dos variables reales es una re%la -ue asi%na a cada par ordenado ( ) , " ! e n D un Anico nAmero real, denotado por ' ( ) , " !* El conjunto D es llamado el dominio de la función " el conjunto de todos los valores de la función es el ran%o de la función* 3'ercicios Evalu. las si%uientes funciones para los valores dados de las variables independientes z + ) :E)"E" : )+, "+ z + 8*:E8* 8*E8* : z +E z + :

z + ) : "=)" = )+:, "+: z + 8:*:8:*=8:*8:* = z + =:5 z + ;


27!


x− y >* E = G )+, "+= x + y 4 −(−3 ) E = 4 +(−3 )

. C8) ,) : *+;44E) E;) : ) +44, ) :+ 74 C8) ,) : *+;44E844*E;874* C8) ,) : *+;44E;44E=44 C8) ,) : *+:744

7 1 E =7

E =

p 1+ 4 p2

q ( p1 , p 2) =

@*

p 1− p2

9.

x + y

E ( x , y ) = x #

=* 3 + ( −3 ) =3 ( 1 ) e E ( x , y ) =( 3 ) # E ( x , y ) =3 n c u e n t r e q 8  4 , = 7 *

40 + 4 ( 35 ) 180 = 40−35 5 q ( p1 , p 2) =36

q ( p1 , p 2) =


encuentre z8=.

272


: G. z+:)= ")"  )+, "+

5. z+=) E " )+, "+: 2

4.

8;*

x + xy E= x − y q ( p1 , p 2) =

. C8),) : *+744E7)  C8:44, =44*

G )+=, "+: 5 p1 − p 2

p 1+ 3 p2

,

con8, =,

7.

con 8:, =, , *

; =

8K* %()&,)=! 9 ;)&() 3 @!G %(?,L! h(r,s,t,u!9

2

Gx − yE 4= . ( G , x , y , E ) = xy −GE

2

x + 4 xy G= xyE

*

8L*

2 x

#(c4#(t# f (0,7 )

encuentre q874, 4*

8?*

f ( x , y ) = y # + y

=.

9) :

s ln ( t4 )

9.

h(r,s,t,u!9

s 2

t −4

2

G h(2

>,>,@,?!

G

h(8,@,>,8! &roblemas 8* El costo (en dólares! de una pe-ueOa compaOa de muebles por fabricar una unidad de varios artculos distinto de maderas está dado por C8), "*+ 7 E 7) E::" , donde ) representa el nAmero de pes de tablas utili/ados " " expresa

el nAmero de horas de trabajo necesarias para ensamblado " acabado*


273


#i para hacer un librero se necesitan ;H pies de tabla " ;*@ horas de trabajo, encuentre el costo de fabricación* )or datos )+:4 " "+:.7 rempla/ando C 8:4 ,:.7*+ 7 E 78:4* E::8:.7* C 8:4 ,:.7*+ 7 E 44 E77 C 8:4, :.7*+;4 d#lares

El costo de fabricación de un librero será de 8KH dólares ;* #upon%a -ue la producción de  unidades del producto de una compaOa se determina mediante la función de producción de Cobb2 Dou%las 1 /4 3 /4 @=30 H 5 , donde [ representa la inversión de capital en dólares " ! las horas de trabajo* a* Encuentre  si [ 98H HHH dólares " !9K;@ horas* Rempla/ando 1 4

3/4

@=30 ( 10000 ) ( 625) =30 ( 10 ) ( 125 )=37500

Cuando el capital invertido es 8H HHH dólares " se trabajan K;@ horas las unidades producidas serán >J @HH b*

Bu. pasa s la inversión " las horas trabajadas se reducen a la mitadN Entonces [ 9@ HHH dólares " !9>8;*@ horas* Rempla/ando 1 4

3 /4

@=30 ( 5000 ) ( 312.5 ) =30 ( 8.40 ) ( 74.32 )=18750

Cuando el capital invertido " las horas trabajadas se reducen a la mitad la producción tambi.n se reduce a la mitad*


274


c* #i se mantiene la inversión de capital en 8H HHH dólares, trace la %rá'ca de  como función de !. 1 +a ecuación sera @=30 ( 10000 ) 4 53 /4 =300 53 / 4 900

800

700

) M (

600

?  7 , C ' 7  2 P ? 4 7  7 ,

500

400

300

200

N '

−8

100

−4

B? A*R7? (D) 4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

56

60

64

68

72

76

80

84

88

−

#upon%a -ue la función de utilidad de dos bienes \ "  estás dada por L+R] :* Determinar la utilidad si un consumidor ad-uiere  unidades de \ " K de * b* #i el consumidor compra  unidades de , cuántas unidades de \ se deben comprar para mantener el mismo nivel de utilidad* c* #i el consumidor compra L8 unidades de \, cuántas unidades de  se deben comprar para mantener el mismo nivel de utilidad* ?* En economa la cantidad  de bienes (televisores, vestidos, litros de pintura, etc*! más económica -ue pude pedir una tienda se obtiene con la fórmula de tamaOos de lote de îlson1 + '8[, M, %*+ √ 2 H6 / h Cálculo Diferencial

275


, donde Q es el costo del pedido, M el nAmero de artculos vendidos por

semana " h el costo de almacenamiento por artculo (servicios, impuestos, se%uridad, etc*!* Encuentre '8:44, ;:7, *. 5nterprete la respuesta*

* *

@* #upon%a -ue la producción de  unidades del producto de una compaOa se determina mediante la función de producción de Cobb2 Dou%las 2 / 3 1/3 @=70 H 5 , donde [ representa la inversión de capital en dólares " ! las horas de trabajo* Encuentre  si [ 9K? HHH dólares " !9 @8; horas* Bu. pasa s la inversión " las horas trabajadas se duplicanN c* #i la inversión de capital se mantiene en K? HHH dólares, trace la %rá'ca de  como función de !. K* #upon%a -ue el nAmero de unidades producidas de una mercanca, z , está dada por z+:4)", donde ) es el nAmero de má-uinas -ue funcionan de manera apropiada " " el nAmero promedio de horas de trabajo por má-uina* Encuentre la producción para una semana en la -ue1 a* 8; má-uinas funciona de manera adecuada " el nAmero promedio de horas de trabajo por má-uina es >H b* Cuántas horas en promedio de trabajo deben mantenerse en funcionamiento 8H má-uinas -ue funcionan de manera adecuada para producir J;HH unidades de mercancaN c* Cuántas má-uinas en buen estado se deben tener para producir J;HH unidades trabajando en promedio ;? horasN J* +a QirP Qell" Qand" Compan" elabora dos tipos de dulces, Qisses " Qreams* +a %anancia, en dólares, para la empresa está dada por


276


8), "* + 44) E ;" > 4.4) : > 4.:7" :

a*

, donde ) es la cantidad de libras de Qisses " " el nAmero de libras de Qreams vendidos por semana* Cuál es la %anancia si se venden ;H libras de Qisses " 8H libras de QreamsN b* Cuántas libras de Qisses se deben vender si se mantiene la venta de 8H libras de Qreams " se desea obtener %anancias de > HHH dólaresN c* Cuántas libras de Qreams se deben vender si se mantiene la venta de ;H libras de Qisses " se desea obtener %anancias de > HHH dólaresN L* +as ecuaciones de demanda para los productos & " = están dadas por 16 −( P + P ) " q B= 2 2 q A = # A

B

P A PB

, donde q ? " qB son las cantidades demandadas de & " = cuando los precios unitarios son  ? " B* Calcular las demandas de & " = si sus precios son S8HHH " S;HHH * En cierta fabrica la producción de @ unidades de cierto producto está relacionada con los insumos x e y mediante la ecuación 1 /2 @ =( 5 3 + 10 5) , donde 5 es el nAmero de unidades de mano de obra " H la inversión de capital* Cuando 5=800 horas " H = 400 $*M* se producen 8HH unidades* a* Cuál será el incremento de la inversión de capital si se desea incrementar la producción en un 8H manteniendo 'ja las horas de trabajoN b* Cuál será el incremento de las horas de trabajo si se desea incrementar la producción en un @ manteniendo 'ja la inversión de capitalN


277


Diferenciación &arcial +a derivada de una función de una variable mide la rapide/ de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente* )ara funciones de dos variables ) e " podemos medir dos ra/ones de cambio1 una se%An cambia " , dejando a ) 'ja " otra se%An cambia ), #upon%a -ue dejamos variar sólo a ) , dejando a " 'ja, di%amos "+b, en donde b es una constante* Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable ) , a saber (8)*+'8), b** #i ( tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivada parcial de ' con respecto a ) en 8a, b** De forma análo%a podemos hacerlo para " variable " ) 'ja*


278


En %eneral, si z+'8), "* la derivada parcial de / respecto a x se expresa como

IE Ix

" la derivada parcial de / respecto a " se expresa como

* 4bs.rvese -ue variable, x, " más variables*

IE Ix

dE dx

IE Iy

representa la derivada de una función de una

representa la derivada parcial de una función de dos o

+as notaciones empleadas para representar la derivada parcial de z+'8), "* respecto a ) son1 I E I f I f ( x , y ) , , , f x ( x , y ) , f x , E x Ix I x Ix

#i ) permanece constante en la función z+'8), "* " se toma la derivada respecto a " , tenemos la derivada parcial de z respecto a " , -ue se denota I E I f I f ( x , y ) , , , f y ( x , y ) , f y , E y Iy I y Iy

3'ercicios +, )ara cada función hallar las derivadas parciales por cada variable :. z+ ) E=" =

IE =4 x3 Ix

IE = 9 y 2 Iy


27


=. z+ =)" E" : . z+8) =E:" : *=

IE =3 y Ix

IE =3 x + 2 y Iy

2 IE =3 ( x 3+ 2 y 2 ) (3 x 2) Ix

2 IE =3 ( x 3 + 2 y 2 ) ( 4 y ) Iy 2 IE =12 y ( x3 + 2 y 2 ) Iy

2 IE =9 x 2 ( x 3 + 2 y 2 ) Ix

C8),"*+;44) E 4) : "

IC =−4 + 20 xy Ix IC =10 x2 Iy

7.

;.

@ ( s , t )=

2

I@ 2 ( s + t ) − ( 2 s −3 t ) ( 2 s = Is (s 2+ t 2 )2 2 2 2 I@ 2 s + 2 t −4 s + 6 st = Is (s 2 + t 2 )2 2 2 2 t + 6 st −4 s I@ =¿ 2 ¿ 2 2 Is ( s + t )

I@ −3 ( s + t ) −( 2 s −3 t ) ( 2 t ) = Is (s 2 + t 2)2 2 2 2 I@ −3 s −3 t − 4 st + 6 t = Is ( s2 + t 2)2

IE y =2 # 2 x + Ix x

IE = ln ( x ) Iy

2

2 s −3 t 2

s + t

2 x

E =# + y$( ( x )

2

9. z+7) ::" 5. z+ )7 ;)E" =" : G.

f ( x , y ) =√ 2 x −5 y 2

2


2

2

2

I@ 3 t −4 st −3 s = Is (s 2+ t 2 )2

2

28


4.

C8), "*+444)"E)": 5 p1 + 4 p 2

.

q=

:.

E =ln ( 1 + x y ) − y #

p 1+ p 2 2

− x

3'ercicios Encuentre la derivada parcial de cada función se%An las condiciones dadas xy 8* '8), "*+) = > 7)" E ": , f ( x , y ) = 2 ;* , respecto a " en el 2 respecto a ) en el punto8, :* x − y punto (;, 28! I f =12 x2− 5 y Ix

, como )+ rempla/amos

"

I f =12 (1 )2−5 (−2 ) =22 Ix

"+:

x (¿ ¿ 2− y 2 )2 2 2 I f x ( x − y ) − xy (−2 y ) = ¿ Iy

, como )+: " "+ rempla/ando " resolviendo I f 10 = Iy 9


28!


, respecto a ) E = y # xy , respecto a " en el punto (H, 8! en el punto (8, 8! f ( x , y ) =√ x + y

;*

3

3

3

−2

IE = # xy + xy # xy Iy

2

I f 1 3 3 3 x = ( x + y ) ( 3 x 2 )= 3 Ix 3 ( x 3+ y3 )2

√

, como )+ " "+, rempla/ando " resolviendo 2

, como )+4 " "+, rempla/ando " resolviendo IE =1 Iy

I f 1 1 =3 = =0.629 3 3 3 2 Ix ( 1 + 1 ) √ 4

√

8L* %()&,)=! 9 ; )&()=; 3 @!G 8* h(r,s,t,u!9 2 s 2 G respecto a u t −4 respecto a )= en el punto en el punto %(?,L! h(2>,>,@,?! ;H*

h(r,s,t,u!9

s ln ( t4 )

G ;8*

respecto a s en el punto h(8,@,>,8!

h(r,s,t,u!9

s ln ( t4 )

G respecto a t

en el punto h(8,@,>,8!

;;* #i z+:) E =" , demuestre ;>* #i E =# y/ x , demuestre -ue )z ) E -ue "z " + 4 >/x 3 ;/" 9H ;?*

#i

2

− x / y

E = x #

, demuestre ;@*

#i z+ ) = E " =, demuestre -ue


282


-ue

)z ) E "z " + =z

)z ) E "z " + :z

;K* #i -ue

xy

E = y #

)z )  "z " +

,

−# xy

demuestre ;J* #i E = y , demuestre -ue y − x x/" 3 "/x 9

(−) x

2

x y

Costo Con'unto y Costo 9ar0inal #upon%a -ue una empresa fabrica dos bienes de consumo utili/ando las mismas materias primas en distintas proporciones* En este caso, la función de costo de con'unto tiene la forma CGXEH yF donde ) " " representan la las cantidades de cada bien " C expresa el costo total de ambos bienes* Entonces I C / I x es el costo mar0inal respecto al producto % " I C / I y es el costo mar%inal respecto al producto " * &roblemas 8* El costo (en dólares! de fabricar un artculo está dado por C ( x , y )= 30 + 3 x + 5 y , donde ) es el costo de una hora de mano de obra " " es el costo de una libra de material* #i el costo de la mano de obra es de S? por hora " el de material S> por libra* Calcule el costo mar%inal respecto a la mano de obra " al costo de material e int.rprete los resultados* Respecto a la mano de obra hallamos I C / I x


283


IC =3 Ix

)or tanto, si el costo de la mano de obra es de S? por hora " el de material S> por libra el costo de fabricar el producto se incrementará en > dólares por cada 8 dólar -ue se incremente la mano de obra, si el precio del material permanece constante* Respecto a la mano de obra hallamos I C / I y IC =5 Iy

)or tanto, si el costo de la mano de obra es de S? por hora " el de material S> por libra el costo de fabricar el producto se incrementará en @ dólares por cada 8 dólar -ue se incremente la libra material, si el precio de la mano de obra permanece constante* El costo total de producir un artculo es 2 C ( x , y )= 30 + 10 x + 20 y ' xy

a*

, donde x es la tarifa por hora de la mano de obra " y el costo por libra de materia prima* +a tarifa actual por hora de la mano de obra es de S8@ " la materia prima cuestan SK por libra Cómo afectará el costo total un incremento de S8 por libra de materia primaN 7allamos la derivada parcial del costo respecto a la materia prima IC =20− x Iy

Rempla/ando IC =20−15 =5 Iy

b*

#i se incrementa la materia prima en SJ el costo de producción se incrementa en S@ S8 por hora en los costos de mano de obraN


284


IC =20 x − y Ix

Rempla/ando

IC = 20 ( 15 )−6 =300 −6=294 Ix

S;?

#i se incrementa la mano de obra en S8K el costo se incrementa en

>* +a producción de cierta planta es @=0.006 x 2 + 0.14 xy +0.05 y 2 unidades por da, donde R es el nAmero de horas2trabajador cali'cado utili/ado " 8 es el nAmero de horas 3trabajador no cali'cado utili/ado* &ctualmente, se emplean KH horas2trabajador2cali'cado " >HH horas2 trabajador no cali'cado cada da* $tilice el cálculo para estimar el cambio -ue debe hacerse en el nAmero de horas de trabajo no cali'cado para compensar un incremento de 8 hora en el trabajo cali'cado, de manera -ue la producción se manten%a en su nivel actual Derivamos parcialmente respecto a las horas2trabajador cali'cado I@ =0.012 x + 0.14 y Ix

)ara -ue la producción se manten%a en su nivel actual x9KH, rempla/amos 0 =0.012 ( 60 )+ 0.14 y 0 =0.72+ 0.14 y

Despejando 0.14 y =−0.72 y =−5.14


I@ =0 Ix

" como

285


)ara -ue la producción se manten%a en su nivel actual las horas2 trabajo no cali'cado tienen -ue disminuirse en @*8? horas da aproximadamente ?* +a utilidad obtenida por la producción de dos productos está dada por1 2 P=7 x + 0.3 y + 2 y + 900 a* Cuál es el costo si se producen ;H unidades de x " >H de y N b* #i se desea obtener una utilidad de ;HHH $*M cuántas unidades de x se tienen -ue producir si se desea mantener la producción de y N c* #i se desea obtener una utilidad de ;HHH $*M cuántas unidades de y se tienen -ue producir si se desea mantener la producción de x N d* 7allar e interpretar e* 7allar e interpretar

IP Ix IP Iy

@* +a función costo conjunto para dos productos es C8), "*+ 74 E ) : E 5)" E " = a* Calcule el costo mar%inal respecto a ) " respecto a " en 87, =*.

b* 5nt.rprete los resultados*

El costo total de producir un artculo es 2

x y C8), "*+ 4 E ) E ;" E 100

a* b*

, donde ) es el costo por libra de las materias primas " " representa el costo por hora de la mano de obra* De -u. manera afectará el costo total un aumento de S8 por libra de materia primaN S8 por hora en los costos de mano de obraN


286


J* El costo conjunto (en dólares! de los producto X " J esta dado por C8), "*+ 4 E =) :E" :E)"

, donde x expresa la cantidad del producto X " y la cantidad del producto * #i se producen ;H unidades del producto X " 8@ del producto J , calcule e interprete el costo mar%inal1 a* Respecto a x b* Respecto a y L* #i la función costo conjunto para dos productos es C8), "*+ x √ y2 + 1

#i se produce 8H unidades de % " 8@ de " calcule e interprete a* El costo mar%inal respecto a ). b* El costo mar%inal respecto a ". * +a función de costos conjuntos para producir q ? unidades del producto & " qB unidades del producto = está dada por qB 1/ 2

( q A )

2

(¿ ¿ 3 + q A ) 17

+ q A q B1/ 3+ 600

c =¿

a. Encuentre la función costo mar%inal con respecto a q ? " qB b. EvalAe las funciones costos mar%inales obtenidas en el enciso anterior cuando q ? +9 " qB + 5* 5nterprete los resultados


287


&roducti8idad 9ar0inal +a producción total de un producto depende de varios factores, los cuales la empresa puede modi'car* +os dos factores más importantes son la mano de obra " el capital invertido* Consideremos  el nAmero de unidades de mano de obra empleada " N el monto de capital invertido, entonces el nAmero de unidades del producto producidas en un mes (la producción total! P se denota P  ,-= N/ esta función se conoce como función de producción de la empresa " las variables  " N son ejemplos de factores de insumos de producción +a derivada parcial I P / I 5 mar0inal de la mano de mar0inal del capital*

se obra

&roblemas


denomina producti8idad I P / I H producti8idad "

288


8* Dadas las funciones de producción P-N= /, calcule e int.rprete las productividades mar%inales para los valores dados de  " N * ! es el nAmero de horas trabajadas por semana, [ en millones de pesos "  miles de artculos producidos por semana a. 8!, [*+ 9! E 7[ E :![ > !: > :[ : !+= " [+4

+a productividad mar%inal de mano de obra se obtiene por I P / I 5 , derivando 8!,[* IP =7 + 2 H −2 5 =7 + 2 ( 10 )−2 ( 3 )=21 I5

#i se labora > mil horas de trabajo a la semana " se invierten 8H millones de pesos entonces el nAmero de unidades producidas ) se incrementa en ;8 por cada incremento unitario en +* Es decir por cada unidad de hora trabajada -ue se incremente (8 HHH! semanal la producción se incrementa en ;8 un mil unidades, manteniendo la inversión de capital Q 'ja* +a productividad mar%inal de capital se obtiene por derivando 8!, [* IP =5 + 2 5− 4 H =−29 I5

I P / I H

,

#i se labora > mil horas de trabajo a la semana " se invierten 8H millones de pesos entonces el nAmero de unidades producidas ) disminu"e ; por cada incremento unitario en Q* Es decir por cada millón de pesos adicional -ue se incremente el monto de capital la producción disminu"e en ; unidades manteniendo el nAmero de horas laboradas + 'ja*

b" P ($ , 3 )=15 $3 −3 $2 +5 3 2 +500 G $ = 48 " 3 =16 c* 8!, [*+ 5! > 7!: E =![E9[  [ : !+G; " [+5


28


d* 8!, [*+ 74! E =! : > != E :![ : > =!:[ > :[ = !+; " [+7 e* 8!, [*+ :7! E :! : > =!= E 7![ : > 9!:[E :[ : > [ = !+:5 " [+4 1 f* P ( 5 , H )=( 5 3 +10 5 ) 2 9 5 =800 y 3 = 400 %* P ( 5 , H )=2 53 + 2 52 H 2+( 1 + H )3 9 5 =768 y H =15 h* P ( 5 , H )=300 H 1 /2 51 /3 9 5= 400 y H =133 ;* +a productividad de cierto pas de Europa 4ccidental está dada por la función P ( 5 , H )= 40 5 4 /5 H 1/ 5 unidades, donde se utili/a 5 unidades de mano de obra " H unidades de capital* a Cuál es la productividad mar%inal de la mano de obra " la productividad mar%inal del capital cuando los %astos respectivos son de >; " ;?> unidadesN b El %obierno debera alentar la inversión en capital en ve/ del %asto en mano de obra en ese momento para incrementar la productividad del pasN >* +a productividad de cierto pas de Europa 4ccidental está dada por la función P ( 5 , H )=30 52 /3 H 1/ 3 unidades, al utili/ar 5 unidades de mano de obra " H unidades de capital* a* Cuál es la productividad mar%inal de la mano de obra " la productividad mar%inal del capital cuando los %astos respectivos son de 8;@ " ;J unidadesN b* El %obierno debera alentar la inversión en capital en ve/ de incrementar el %asto en mano de obra en ese momento para incrementar la productividad del pasN


2


$unciones de Demanda #upon%a -ue dos productos se venden a los precios p " p: (ambos en dólares!, la cantidad demanda de cada uno de los productos depende de los precios de ambos productos en el mercado, #i q representa la demanda del primer producto entonces q+'8p,p: * es la función demanda de dicho producto " si q: representa la demanda del se%undo producto entonces q:+(8p,p: *, por lo tanto las derivadas parciales de q " q: se conocen como funciones de demanda mar0inal &roblemas *, +a función demanda par dos productos están dadas por q+=44 > 5p  p: q:+44 > 7p  4p:

a* Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p+ 4 " del se%undo p:+5 q+=44 > 584* > 85*+55 q:+44 > 784* > 485*+:94

& los precios dados la demanda del producto ; es ma"or b* Encuentre la demanda mar%inal de q respecto al precio p I q1 I p1

=−8


2!


)or cada S8 -ue se incremente el precio del producto 8 la demanda del producto 8 disminu"e en L unidades, manteniendo constante el precio del producto ; c* Encuentre la demanda mar%inal de q: respecto al precio p: I q2 I p2

=−10

)or cada S8 -ue se incremente el precio del producto ; la demanda del producto ; disminu"e en 8H unidades, manteniendo constante el precio del producto 8

c*

Encuentre la demanda mar%inal de q respecto al precio p: I q1 I p2

=−4

)or cada S8 -ue se incremente el precio del producto ; la demanda del producto 8 disminu"e en ? unidades, manteniendo constante el precio del producto 8 ;* +a función demanda para dos productos están dadas por q+G44 > Gp E :p: q:+:44 E ;p  4p:

a* Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p+ 4 " del se%undo p:+: b* Encuentre la demanda mar%inal de q respecto al precio p c* Encuentre la demanda mar%inal de q respecto al precio p: d* Encuentre la demanda mar%inal de q: respecto al precio p: d* Encuentre la demanda mar%inal de q: respecto al precio p >* Dadas las funciones q ?, qB, p ? " pB las demandas " los precios (en dólares! de dos productos ? " B calcule las demandas mar%inales1 de q ? respecto al precio p ?, q ? respecto al precio pB, qB respecto al precio pB " qB respecto al precio p ?


22


Yunción Demanda a. q ?+44 > =p ?  :pB " qB+:74  7p ?  ;pB q ?+;44 > p ? E ;pB " qB+:44 E 5p ?  pB

c* d* e* f* %*

600 400 400 y q B =10000 − + pB + 1 p A + 4 p B + 4 10 7 q A =500 − −5 p B y qB =400 −2 p A + p A + 2 p B + 3 400 500 q A =3000 + + 50 pB y q B=2000 + − 100 p A p A + 3 pB + 4 600 400 q A =2500 + − 40 p B y qB =3000− 100 p A + p A + 2 p B + 5 500 100 q A = " q B= 3 P A √ P B PB √ P A

q A =5000 −50 p A−

50 √ p B 3

h*

q A =

√ P A

75 p1 y q A = 3 2 √ ( p B )

P $

PB

4

7

7

9



;

7

4

4

7

4

:

4

7

:

=

?* +as ecuaciones de demanda para los productos & " = están dadas por 16 −( P + P ) " q B= 2 2 q A =64 # A

B

P A PB

, donde q ? " qB son las cantidades demandadas de & " = cuando los precios unitarios son  ? " B* a* Encuentre la demanda para cada uno de ellos si el precio del primero es p ?+ 4. " del se%undo pB+4.: b* Encuentre la demanda mar%inal de q ? respecto al precio p ? c* Encuentre la demanda mar%inal de q ? respecto al precio pB d* Encuentre la demanda mar%inal de qB respecto al precio p ?


23


e* Encuentre la demanda mar%inal de qB respecto al precio pB @* $na tienda tiene dos tipos de CD vir%en* #e ha estimado -ue si se vende el primer tipo de CD a p8 " el se%undo tipo de CD a p; el in%reso total a la semana (5!, se denota & ( p1 , p 2) =−5 p1 −10 p2 + 18 p 1 p2 + 100 p 1+ 200 p2 2

2

#i el primer tipo de CD se vende en > $*M* " el se%undo en ; $*M*, hallar e interpretar la ra/ón de cambio del in%reso respecto al primer tipo de CD* K* Dos productos & " = son complementarios si competitivos o sustitutos si

I q A I PB

> 0 "

I qB I P A

I q A I PB

< 0 "

I qB I P A

< 0 , son

> 0 de lo contrario no son

ni sustitutos ni complementarios* Dadas las ecuaciones de la demanda para dos artculos & " = determine si son competitivos o complementarios o nin%uno de los dos, para p A =3 " pB =2 2 P B

2 P A 9 q = B 2 2 p A + 1 p B + 2

a*

q A =

b*

q A =125 − p A − 0.1 p B 9 q B =130−0.1 p A −2 p B 2 2 q A =1000 + −20 pB 9 q B =1500−70 p A + p A + 1 pB + 2 50 p B 30 p A q A = 9 qB = 3 √ p A √ p B 250 300 q A = 9 q = B 3 √ p A pB √ p A √ p B

c* d* e*

2

2

2


2

24


Otras aplicaciones 8* +a fórmula del inter.s compuesto anual está dada por

(

 A ( P , , t )= P 1 + 100

)

t

, donde & es el valor futuro de una inversión de ) dólares en los t aOos a una tasa de inter.s anual r* a* Calcule

IA I

en &(8HH,8H,@!

b* Bu. indica la funciónN e interprete el resultado ;* El director de mercadeo de una fábrica de bicicletas propone el si%uiente es-uema1 ofrecer x bicicletas " triciclos a un a%ente de ventas por1 −0.02 x− 0.01 y , dólares R ( x , y )=3500 −3500 # a* Calcule

IR Ix

en R(;HH,8HH!

b* Bu. indica la funciónN e interprete el resultado >* $na empresa fabrica paOuelos se%An la si%uiente función de producción 2 2 2 6 1 6 2 5 @ ( 6 1 , 6 2 , 5 )=( 6 1) + 2 ( 6 2) + 5 − 200 , donde 6 1 es el tiempo -ue se utili/a

la má-uina 8, 6 2 el tiempo -ue se utili/a la má-uina ; " + es el nAmero de horas de mano de obra* Calcula e interpreta la productividad mar%inal respecto de las horas empleadas en las má-uinas 8 " ;, " respecto de + para @ (16,8,24 ) *


25


>I>6IO1R/$7/ •

7&R#7=&RER R*, RE4+D# * Matemáticas &plicadas a la &dministración, Economa " Ciencias #ociales* Editorial Mc ra0 7ill* #.ptima Edición

•

=$D5CQ YR&Q #* Matemáticas &plicadas a la &dministración, Economa " Ciencias #ociales* Editorial Mc ra0 7ill* Cuarta Edición* ;HHJ

•

+E5T74+D +* El Cálculo para Ciencias &dministrativas, =ioló%icas " #ociales* Editorial 7arla* 8LL

•

+E5T74+D +* El Cálculo con eometra &naltica* Editorial Mexicana* Buinta Edición

•

#TE^&RT * Cálculo Trascendente Tempranas* Ed* Thompson +earnin%* Cuarta Edición

•

74YYM& +* D*, =R&D+E * Cálculo &plicado a la &dministración Economa " Ciencias #ociales* Editorial Mc ra0 7ill* #exta Edición*

•

#4+ER Y* Y*, AOe/ R* " &randa #* M* Yundamentos de Cálculo con aplicaciones a las Ciencias Económicas " &dministrativas* Ecoe Ediciones*


26


•

&R& * C*, +&RDER R* ^* Matemáticas &plicadas a la &dministración " a la Economa* )earson, )rentice 7all* Tercera Edición

•

+&R#4 R* E, 74#TET+ER R* )* Cálculo* Editorial Mc ra0 7ill

•

+&R#4 R*, ED^&RD# =* Cálculo 8 De una variable* Editorial Mc ra0 7ill* ovena Edición* ;H8H*

•

7&E$##+ER E* Y* 3 )&$+ R* #* 3 ^44D R* * Matemáticas para &dministración " Economa* Editorial )earson )rentice 7all* Decimose%unda Edición* M.xico ;HHL*

•

#44 T& T&* Matemáticas para &dministración " Economa* Editorial Thomson* Tercera Edición* ;HH@

•

&D4E$5 &=&+&, M&RT* +a función Matemática* #erie Desarrollo del )ensamiento Matemático  ;H* Yederación 5nternacional Ye " &le%ra* Enero de ;HHL* Caracas 6ene/uela

•

5ME, RE* Yunciones* )earson Educación, M.xico, ;HHK

•

=ECERR& E#)54&, 4# M&$E+* Matemáticas 6, El placer de dominarlas sin complicaciones* $niversidad acional &utónoma de M.xico, ;H??* )rimera Edición

•

#&+&#, #*, 75++E, E*, ETE, *, C&+C$+$#1 $na " varias variables* 6olumen 5* Cuarta Edición* Editorial Reverte* EspaOa ;HHJ


27


•

$&$&, Enri-ue* Ecuaciones en Derivadas )arciales* $niversidad &utonoma de Madrid* EspaOa* ;HH?

•

&T4& , CEDE&# +*, &$5+&R * Yunciones* Thomson Editores #* &* M.xico ;HHJ*

•

C&#TR4 ) , 4w+E * )roblemario de Matemáticas para &dministración " Economa* Thomson Editores #*&* M.xico ;HH;*

•

6&R4& M&+$M=RE# $& +$5#* M.todos Clásicos de Resolución de Ecuaciones Diferenciales 4rdinarias* #ervicio de )ublicaciones, $niversidad de +a Rioja, EspaOa 8K*

Matemáticas ;1

AebB0rafía • • • • • • • • • •

http1FF000*%fc*edu*coFestudiantesFanuarioF;HH8FsistemasFser%ioFno de8@*html http1FFdescartes*cnice*mec*esFDescartes8F=achC#T;F&plicacione sdelasderivadasFconcavidad*htm http1FF000*ciens*ula*veFmatematicaFpublicacionesF%uiasFserviciodo centeFmariavictoriaFfuncionesvariasvariables;H88*pdf $niversidad de los &ndes, Yacultad de Ciencias* M.rida 6ene/uela 8HFMa"oF;H88 http1FFeducation*ti*comFxchan%eF+&T54&MER5C&FMatematicasFCalc uloF8J?;F&reaEntreCurvas*pdf http1FF000*mat*uson*mxFyjldia/FDocumentsFDerivadasFDerivadaYu nTri%on*pdf http1FFes*0iPipedia*or%F0iPiFYunciC>=>ntri%onomC>&trica https1FFes*0iPipedia*or%F0iPiF#eno;Ltri%onometrC>&Da; http1FF000*ciencias*ula*veFmatematicaFpublicacionesF%uiasFservicio docenteFmariavictoriaFfunciones*pdf http1FF000*in%*unp*edu*arFmatematicaFModulosF$nidadJ*)DY


Mis Notas de Clase -Cálculo Diferencial 24 de Mayo 2015.docx

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