Métodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO NUMÉRICO

UNIDAD TEMÁTICA I: SOLUCIÓN DE ECUACIONES Aplicarr los diferente diferentess métodos métodos de resoluc resolución ión de ecuaci ecuacione oness no lineal lineales es y OBJETIVO DIDACTICO: Aplica sistemas de ecuaciones lineales, a problemas matemáticos estableciendo errores que se cometen en cada aproximación

I.3.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES OBJETIVO DIDACTICO: El objetivo principal de este tema, es el estudio de los métodos básicos para resolver conjuntos no homogéneos de ecuaciones lineales. Un sistema lineal es un conjunto de n ecuaciones, todas lineales que relacionan n incógnitas. Se representa de la forma siguiente: a11 x 1 a12 x 2 . . a 1n x n=b 1 a21 x 1

a22 x 2

. . . a n1 x 1

. . . a n2 x 2

.

.

.

a2n x n=b 2

.

. . . ann x n=b n

Este Este conj conjun unto to de n ecuac ecuacio iones nes con n incó incógn gnititas as pued puede e ser ser escr escritito o fáci fácilm lmen ente te en form forma a matr matric icia ial,l, obteniéndose el producto de una matriz cuadrada de dimensión nxn por un vector columna de dimensión n, siendo este producto igual a otro vector columna de dimensión n.



a11

a 12

.

.

.

a1n

a 21

a 22

.

.

.

a2n

. . . a n1

. . . a n2

.

. . . ann

.

.

    x1

b1

x2

b2

. = . . . . . xn bn

La notación matricial es equivalente al sistema: Ax = b. No siempre es fácil determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales debido a que este puede: (a) no tener una única única solución, solución, (b) no tener tener solución solución y (c) la solución puede ser exacta pero mal condicionada.

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Cuan Cuando do se tien tienen en sist sistem emas as de ecuac ecuacio iones nes de orde orden n dos dos o tres tres sus sus solu soluci cion ones es se puede pueden n obte obtener ner gráficamente y de manera directa o por métodos directos. Cuando el orden es mayor a “3” empiezan a aparecer ciertas dificultades, es por ello que surgen los métodos numéricos. Para obtener la solución de dicho sistema utilizaremos dos métodos genéricos distintos que se caracterizan por enfoque fundamentalmente diferentes: Métodos directos e iterativos. Los métodos directos se basan en algoritmos de sustitución sistemáticas que permiten modificar la forma de la matriz a través de una secuencia conocida de cálculos. Son métodos bastantes rápidos para los sistemas sistemas relativament relativamente e pequeños (aquellos que generan matrices densas que son las que aparecen de orden pequeños y con muy pocos elementos iguales a cero), pero poco prácticos y eficientes para sistemas grandes, ya que el número de operaciones varía aproximadamente con el orden de estos sistemas. Dentro de estos métodos directos tenemos:

1

Licda. ALEXANDRA NOGUERA, MSc – Departamento de Física y Matemática UNEFM 2010


-

Método de Eliminación de Gauss. Método de Gauss-Jordan Factorización LU

Los métodos iterativos son más eficaces de trabajar con sistemas de tamaño grande (aquellos que generan matrices esparcidas que son las que aparecen de orden grande y con mucho elementos iguales a ceros).Dentro de los métodos iterativos tenemos: El Método de Gauss – Seidel. El Método de Sobrerrelajación Sucesiva (SOR). -

MÉTODOS DIRECTOS Método de Eliminación de Gauss o Triangularización: la eliminación Gaussiana, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss, Gauss, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada". escalonada".El El método de Eliminación Eliminación de Gauss consiste consiste en transformar un sistema sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) (S.E.L.) en otro S.E.L. equivalente equivalente más sencillo sencillo de resolver resolver (se puede resolver por simp simple le inspe inspecc cció ión). n). Cuan Cuando do se habl habla a de un sist sistem ema a equi equiva vale lent nte e se refie refiere re a un sist sistem ema a que que tien tiene e exactamente las mismas soluciones. Antes de comenzar con el desarrollo de cada uno de los métodos señalados, conviene que el estudiante recuerde algunas definiciones vistas en Álgebra Lineal y que le serán útiles para la solución de los sistmas utilizando estos métodos. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES Hay varios tipos de matrices las cuales, debido a su apariencia o comportamiento, se le han dado nombres distintos. La Primera de estas matrices se produce naturalmente cuando la eliminación de Gauss es realizada sobre un sistema lineal de ecuaciones.

2



Teorema 1: Si A = a ij es una matriz nxn que es triangular superior o triangular inferior (o diagonal). Entonces, n

Det(A) =

∏ a ii , el producto de la diagonal principal. i =1

Matriz Simétrica: Se define como una matriz que se mantiene invariante cuando es transpuesta, es decir: A = At Ejemplo:



a11

b

A= b

c

a22

c



d

d

a33

Matriz anti-simétrica: En contraste con la de arriba, una matriz anti-simétrica se define como la matriz que cambia de signo cuando es transpuesta, es decir: At = - A La matriz debe ser cuadrada y el término general debe satisfacer: aij = - aji esta ecuación nos indica que aij = 0, para toda i = j Ejemplo:



0 A= − a −b

a 0 −c

b c 0



Matriz de Banda: Es cualquier matriz cuadrada en la cual los únicos elementos distintos de cero aparecen en una banda alrededor de la diagonal principal. Así que, si A es una matriz de banda, Aij = 0 cuando | i-j| > k

Ancho de banda = 2k+1=2*1+1=3, no incluye las filas extremas

Ejemplo:



A=

a 11

a12

0

0

a 21

a 22

a 32

0

0

a32

a 33

a 34

0

0

a 43

a 44



k: ancho demedia banda

Matriz Estrictamente Diagonal Dominante: n

Se satisface: ∣aii∣

3

∑ ∣aij∣

para i ≠ j

j =1



Ejemplo:



|

7| > | 2| + | 0|

7 2 0 A= 3 5 −1 0 5 −6 | 5| > | 3| + | -1|

;

 ;

|

-6| > | 0| + | 5|

Matriz Positiva Definida: Si xtAx > 0 para cada vector n – dimensional x ≠ 0 (vector cero). Es decir que la matriz de orden 1 generada por la operación xtAx tiene un valor positivo para su única entrada.

t

x *A*x =

[ x1

x2

. ..

xn

]

   a 11

a 12

.. .

a1n

x1

a 21

a 22

.. .

a 2n

x2

. . . a n1

. . . a n2

.. .

. . . a nn

. =∑ ∑ a x ij j i=1 j =1 . . xn

n

n

METODO DE GAUSS El método de Gauss es el método más eficiente de solución de un sistema lineal. Las operaciones sucesivas tienen como objeto reemplazar por elementos nulos todas las posiciones por debajo de la diagonal, razón por la cual el método de Gauss es llamado método de Triangularización. La fórmula de sustitución se aplica tanto a los elementos de la matriz como al vector columna, cualquiera sea el índice i superior a 1 a ij1 = aij −a 1j

a i1

con i ≠ 1 y 1 ≤ j ≤ n+1

a11

b i 1  =b i− b1

ai1

con i ≠ 1 y 1 ≤ j ≤ n+1

a 11

obteniéndose una matriz intermedia cuya primera columna contiene n – 1 valores nulos.



a 11

a 12

.

.

.

a 1n

0

a 22

1

.

.

.

a 2n

. . . 0

1

. . .

. . .

a 1n2

a 1nn

.

.

.

    x1

b1

x2

b2

1

. = . . . . . xn b 1n

repitiendo este procedimiento a la matriz obtenida, y utilizando las fórmulas siguientes: 1

1

1 

a ij2 = a − a ij

4

2j

a

i2

1

a 22

1

1

b i 2 = b −b 2 i

a

1 

a

1 

i2

22





se genera la nueva matriz:

a 11

a 12

a 13

.

.

a1n

0

a 122

a 123

.

.

a 12n

0 . .

a 233

a23n

. .

. .

2 a n3

2 a nn

0 . . 0

0

.

.

    b1

x1

x2

b 12

x3

b23

. .

= . .

2

xn

bn

cada vez se van haciendo cero los elementos de las columnas siguientes, que estén por debajo de la diagonal diagonal principal, principal, aplicando las fórmulas fórmulas correspondien correspondientes tes hasta obtener un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones de la forma:  k −1 

 

 k −1 

a ijk = a

 k −1 

−a

ij



 k − 1

a

 k 

 k −1 

akk

kj

a 11

a 12

a 13

.

.

a 1n

0

a 122

a 123

.

.

a 12n

0 . .

a 233

a23n

. .

. .

0 . . 0

0

0

 k −1 

b i = bi

ik

.

.

n−1 a nn

 k − 1

− bk

    x1

b12

x3

b 23

xn

− 1 k akk

b1

x2

. .

a ik

= . .

2

bn

La solución del sistema lineal puede obtenerse fácilmente al realizar la sustitución sucesiva hacia atrás. Observaciones:

(a) El método no funciona si el coeficiente de la primera fila es cero o si algún coeficiente de la diagonal principal es igual a cero durante el proceso. (b) Los coeficientes aik / akk = mik se denominan MULTIPLICADORES.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante la eliminación de Gauss. -0.04 x1 + 0.04 x2 + 0.12 x3 = 3 0.56 x1 – 1.56 x2 + 0.32 x3 = 1 -0.24 x1 + 1.24 x2 - 0.28 x3 = 3 Solución: La matriz de los coeficientes ampliada con el vector de los términos independientes es: −0 . 04 04

0 . 04 04 0 . 12 12 3  se calculan los factores −1 . 56 0.56 56 0 . 32 32 ∣1 1 . 24 24 −0 . 24 −0.28 3 0.56 −0.24 m 21= =−14, m31= =6 −0.04 −0.04

m 21 y m31 para hacer cero los elementos

a 21= a21− a 11⋅m21= 0, 56−−0,04 ⋅−14  =0 a 31= a31− a11⋅m 31=−0,24 − −0, 04⋅6 = 0

0 .0 .04 4 0 0

5

0. 04 −1 1

0. 12 3 2 ∣ 43 −1 −15

 calcular m32 para anular a32


a 21 y a 31


m 32=

1 =−1 −1

0 . 04 0 0 x 3=

 a32 =a 32− a22⋅m32 =1−−1 ⋅−1 = 0

0 . 04 −1 0

28 =28 1

0 . 12 3 2 ∣ 43 1 28



x 2=

luego se procede a realizar la sustituci

43−2∗28 =13 −1



x 1=

ón hacia atr ás

3− 0.12 ∗28 −0.04∗13 =22 −0.04



X = 22 ; 13 ; 28 

Observaciones:

Los principales inconvenientes del método de eliminación de Gauss son los siguientes: (1) Cuando la matriz A tiene un elemento igual a cero en la diagonal principal, el método fallaría ya que al calcular el multiplicador mik = aik / akk , correspondiente, se produciría una división por cero. Hay casos en que estos problemas pueden superarse, y es haciendo un intercambio de filas o de ecuaciones de manera tal que si kka = 0, este debe quedar por debajo de la fila k. Al elemento akk se le denomina PIVOTE. Si no hay ningún elemento diferente de cero en la columna k, entonces el sistema no tiene una solución única. (2) El elemento PIVOTE muy pequeño: Al usar calculadoras o computadoras, el número de dígitos disponibles para las operaciones es finito, en este caso se presentan los errores de redondeo cuando el pivote es muy pequeño, en comparación con los elementos ubicados debajo debajo de él en la misma columna. Para minimizar los errores de redondeo es recomendable seleccionar como elemento Pivote el elemento de la columna que tenga mayor valor absoluto. Conclusiones: El pivoteo se usa para cambiar el orden secuencial de las ecuaciones para evitar:

a) que los coeficientes coeficientes de la diagonal diagonal tenga valor absoluto absoluto mayor que cualquier cualquiera a de los coeficientes coeficientes debajo de él, y b) para reducir el error de redondeo, aunque los elementos pivotes sean nulos.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema, haciendo uso del método de eliminación de Gauss:

Solución: Observar bien las operaciones en cada paso

6



El sistema equivalente total es:

y por lo tanto la solución del sistema es la tripleta (2, 0, -1).

MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL y SOBRERRELAJACIÓN Los Los sist sistema emass cuya cuya matri matrizz asoci asociada ada conti contien ene e un alto alto númer número o de cero ceross o espar esparci cida dass se resu resuel elve ven n frecuentemente usando técnicas iterativas, en lugar de los métodos directos. Una técnica iterativa para resolver el sistema AX = B, empieza con una aproximación inicial X (o) a la solución X la cual genera una sucesión de vectores {x(k) }∞k=1 que converge a X. Al aplicar las técnicas iterativas, el sistema AX = B se transforma en otro sistema equivalente de la forma: X = TX + C, para alguna matrices T y C. Si X (o) , (k) entonces X(1) = TX(0) + C (recuerde (recuerde las técnicas iterativas iterativas para ecuaciones ecuaciones no lineales), lineales), en general X= (k-1) TX + C. Estas técnicas son recomendables para sistemas lineales muy grandes ya que el tiempo requerido requerido para obtener una precisión suficiente suficiente excede al requerido requerido por las técnicas directas tales como la elimin eliminaci ación ón gaussia gaussiana. na. Estos Estos métodos métodos también también son recomen recomendabl dables es para para sistem sistemas as con matric matrices es de coeficientes esparcidas.

MÉTODO DE GAUSS – SEIDEL Sea el sistema AX = B, si A = L + U + D ⇒ (L + U + D)X = B(siendo L, U y D matrices triangular triangular inferior, triangular superior y diagonal respectivamente) ⇒ DX = -(L + U)X + B ⇒ DX(k) = - (L + U)X (k-1) + B, para determinar X(k) se divide cada elemento del sector derecho por la componente aii(los elementos de la matriz diagonal), la cual debe ser diferente de cero; en resumen se tiene la siguiente fórmula para determinar cada elemento de la sucesión del vector aproximación: X(k) = B – (LX + iiUX) / a Deducción de la fórmula para n = 4:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b4 a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 = b4 Aplicando la descomposición anterior: a11x1 = b1 – (a 12x2 + a13x3 + a14x4) Observe que en cada ecuación, en el a22x2 = b2 – (a 21x1 + a23x3 + a14x4) lado derecho, no debe aparecer la a33x3 = b 3 – (a 31x1 + a32x2 + a34x4) componente que se está despejando. a44x4 = b ax1 + a42x2 + a43x3) 4 – (41 Luego, al despejar cada xi, se tiene: x1 = { b1 – (a a ≠ 0, 12x2 + a13x3 + a14x4)}/ a11, con11 x2 = { b2 – (a 21x1 + a23x3 + a14x4)}/a22, con 22 ≠ a0, x3 = { b3 – (a 0, 31x1 + a32x2 + a34x4)}/a33, con 33 ≠ a x4 = { b4 – (41ax1 + a42x2 + a43x3)}/a44, con 0, 44 ≠ a  0 Si x es una aproximación inicial de la solución entonces: x 1

k 

7

 = { b1 – (a 12x 2

k −1

 k −1

+ a13x 3

+ a14x 4

k −1

)}/ a11, con11a


UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO NUMÉRICO   k  x 2k = { b2 – (a + a23x 3 21 x 1

k −1 

  x 3k = { b3 – (a 31x 1

k 

 − 

+ a14x 4k 1 )}/a22, con 0, 22 ≠ a

 + a32x 2k + a34x 4

k −1 

)}/a33, con 0, 33 ≠ a

    x 4k = { b4 – (41ax 1k + a42x 2k + a43x 3k )}/a44, con 44 ≠ a0,

Recuerde que por ser un método iterativo, al calcular la primera componente, esta debe ser sustituida en la siguiente y así sucesivamente hasta terminar todas las componentes. Compare los superíndices de la componente despejada con los de las componentes que aparecen en la ecuación.

FÓRMULA DE GAUSS-SEIDEL PARA DETERMINAR LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA  k 

xi =

1 aii



i −1

bi −

n

 k 

∑ a ij x j j =1

−

∑

j =i 1

−1  aij x jk



aii ≠ 0, i = 1, . . . , n

Criterios para detener el método: Pueden utilizarse los siguientes controles de pare:  −1  ∥x  k − x  k ∥∞    −   k   k −1  a) <ε ; b) ∥2 < ε ∥x k − x k 1 ∥∞ < ε ; c)∥x − x  k  ∥ x ∥∞

Ejemplo: Utilice el método de Gauss-Seidel con x (0) = 0(vector) y ε = 10-3, para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:  k −1   k −1   k  2x3 / 10 ⇒ 10x1 + x =6 x 1 = 6− x 2 2 – 2x3



 k −1 





= 25− x 1  x 3 k

k −1 

−3x 4

 k 

 k 

k −1 

x1 + 10x2 – x3 + 3x4 = 25

⇒

x2

-2x1 - x2 + 8x 3 - x4 = -11

⇒

x 3 = −11 2x1  x 2  x 4

3x2 – x 3 + 5x4 = -11

⇒

 k 

 k 





 k 

 k −1 

 / 10

/8

/5

 k 

x 4 = −11− 3x2  x 3

TABLA DEL MÉTODO k x

0 1 2 0.00 0.0000 00 0.6000 0.6000 0.172 0.172

 k 

3 4 5 6 7  7 6  0.11 0.1106 06 -0.0 -0.038 389 9 -0.0 -0.074 742 2 -0.08 -0.08134 134 -0.08 -0.0821 21 ∥x − x ∥∞

1

 k 

x2

0.00 0.0000 00 2.4 2.440 400 0 2.6 2.666 668 8 3.58 3.5844 44 3.75 3.7530 30 3.78 3.7840 40 3.78 3.7827 27

3.78 3.7883 83

 0.00 0.0000 00 -0.9 -0.920 20 -1.1 -1.113 136 6 -1.4 -1.402 022 2 -1.4 -1.494 945 5 -1.5 -1.514 147 7 -1.51 -1.5192 92 x 3k

-1.5 -1.518 187 7

 0.00 0.0000 00 -0.920 -0.920 -4.0 -4.022 228 8 -4.6 -4.631 311 1 4.750 4.7507 7 x 4k

-4.7 -4.776 767 7

-4.7 -4.773 733 3 -4.77 -4.7735 35

∥ x 7 ∥∞

= 0.001

SOBRE-RELAJACIÓN Cuando se utilizan métodos iterativos puede suceder que la sucesión no sea convergente o ésta es muy lenta. Hay métodos para superar estas fallas, aquí estudiaremos el método de Sobre-relajación, lo que se busca es acelerar la convergencia, sobre todo en aquellos casos en que la matriz de los coeficientes del sistema No es estrictamente diagonal dominante.

8



La fórmula para aplicar la sobre-relajación a un sistema, surge del método de Gauss-Seidel con una ligera perturbación perturbación o modificación modificación en las componentes recién calculadas calculadas a través de un promedio promedio ponderado ponderado de las dos últimas iteraciones: Si x es una aproximación de x en el sistema Ax = B, entonces R = B - A x , siendo R el resto en la aproximación(valor verdadero menos el aproximado), este resto junto con la fórmula del método de GaussSeidel proporciona la siguiente fórmula:



i −1

w bi −  k 

 k −1 

x i = 1− w  x i



n

∑ aij x j − ∑ j =1

j =i1

aij x j



; aii

0, i = 1, 2, . . , n (*)

≠

aii

Observaciones:

(1) Si w = 1, la modificación (*) representa la forma iterativa de Gauss-Seidel 0
k 

 k −1 

 k −1

= (1-w) x 1

 x 2k = (1-w) x 2

k −1 

 + {b2 – (a 21 x 1

k 

 −1 

 x 3k = (1-w) x 3k

+ a14x 4

 k −1

+ a14x 4

k −1 

+ a23x 3

k 

 k −1

 −1 

+ a34x 4k

Resolver el sistema Ax = b, siendo A =

=8

0 −5 11

6 −5

k −1 

 k 

 k −1 

 k 

 k −1 

x 2 =−0.2x2

x 3 =− 0.2x 3

9

 w  82x 2

k −1 

/4

      −  w  43 5x   / 11 x =  1− w  x  k 

 k −1 

x 2 = 1− w  x 2

 k 

−x

 k −1 

 k −1 

∥2=

k

∑ 

 k 

i=1

 k −1

w −292x 1 5x3

k 1 3

k 3

⇒

Consideraremos para este problema l2 = ∥x  k −1 

)}/a33, con 0, 33 ≠ a

  

3

 k 

)}/a22, con 0, 22 ≠ a

8 y b = −29 , con w = 1.2, x(0)=0 ε = 2*10-3 43

k

⇒

- 5x 2 + 11x3 = 43



−2

4 −2 0

   SOR: x 1 = 1− w  x 1

⇒

-2x1 + 6x = -29 2 – 5x 3

x 1 =−0.2x1

)}/ a11, con11a

   + {b4 – (41ax 1k + a42x 2k + a43x 3k )}/a44, con 0. 44 ≠ a

Ejemplo:

Solución: 4x 1 – 2x 2

k −1

 k  + {b3 – (a + a32x 2 31x 1

 x 4k = (1-w) x 4

 k −1

+ a13x 3

+ {b1 – (a 12x 2

 /6

k 2

 k −1  2

xi − xi



+ + 2 . 4 0.6x 2

−5 . 80 . 4 x1   x 3 −1  k

k

 k   4.6909 0.5454 x 2



k  k 

x1

TABLA 1 2 2.4 -0.98 0.984 4

 -4.84 -4.84 x 2k  k 

x3

3 4 5 6 7 8 0.69 0.6922 22 0.8582 0.9 0.9783 0.9932 932 0.9984 984 0.9995

-3.17 -3.1744 44 -2.33 -2.3389 89 -2.08 -2.0835 35 -2.01 -2.0185 85 -2.0 -2.005 05 -2.0 -2.001 014 4 -2.0 -2.000 002 2

2.05 2.0512 12 2.54 2.5493 93 2.90 2.9054 54 2.97 2.9735 35 2.99 2.9953 53 2.99 2.9983 83 2.99 2.9997 97 3.00 3.000 0

0 .0011 2 0.0012 20 . 0003 2 =0 . 001 0.0011 0166 66 < 2*10-3 ∥x  8 − x 7 ∥2 = 

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utilizando un 0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30 3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85 0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40

= 0.001.

Solución: Primero ordenamos las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal estén los coeficientes mayores para asegurar la convergencia. 3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85 0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30 0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40 Despejamos cada una de las variables sobre la diagonal:

Suponemos los valores iniciales X = 0 y X = 0 y calculamos X 2 2

3

1

Este valor junto con el de X se puede utilizar para obtener X 3

2 2

La primera iteración se completa sustituyendo los valores de X y X calculados obteniendo: 1

10

2 2



En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:

Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración

Como podemos observar, no se cumple la condición

Entonces tomamos los valores calculados en la última iteración y se toman como supuestos para la siguiente iteración. Se repite entonces el proceso:

Comparando de nuevo los valores obtenidos

Como se observa todavía no se cumple la condición

Así que hacemos otra iteración

Comparando los valores obtenidos

11



Dado que se cumple la condición, el resultado es:

X1 = 3.0 , X2 = -2.5 , X 3 = 7.0

Como se puede comprobar no se tiene un número exacto de iteraciones para encontrar una solución. En este ejemplo, se hicieron 3 iteraciones, pero a menudo se necesitan más iteraciones.

PROPUESTO: Se deja de investigación al alumno alguna forma que haga que este método converga más rápidamente.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Resuelva los siguientes sistemas aplicando eliminación Gaussiana, a demás encuentre la inversa de la matriz de coeficientes de cada uno de los sistemas mediante el mismo método: a.)

2X1 + X2 – 3X3 =b) -1 4X1 – X2 –X3 = 1 -X1 + 3X2 + 2X3 = 12

-X1 + 4X2 – X4 = 2

3X1 + X2 – 3X3 = 0

-X1 + 4X3 – X4 = 0 -X2 – X3 + 4X4 = 1

c) 4X1 + 3X2 + 2X3 + X4= 1

d) X1 + 2X2 + X3 = 0

3X1 + 4X2 + 3X3 + 2X4 = 1

2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 = -1

1 1

- X3X2

2+X2X2 + 3X3 = 3 = -2

X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 = -1

2.- Resuelva el sistema utilizando eliminación de Gauss x + y – z = -3 6x + 2y + 2z = 2 -3x + 4y + z = 1 3.- Resolver los sistemas utilizando los métodos de Gauss Seidel y SOR, utilizando los valores de w correspondientes. Si es necesario asuma nuevos valores de w para acelerar la convergencia, de manera que se cumpla con una tolerancia de ε = 2*10-4. 10x1 + x2 – 2x3 = 6 x1 + 10x2 – x3 + 3x4 = 25 w = 1.2 ; 1.25 ; 1.3 -2x1 –x2 + 8x3 – x4 = -11 3x2 – x3 + 5x4 = -11 -5x + 12z = 80 4xx2 = 1 1-+ 4x – y – z = -2 w = 0.8 1 – 4xx2 + x3 = 1 6x + 8y = 45 3 + x4 = 1 2 – 4x x3 – 4x4 = 1

12

w = 1.2 x


Métodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales

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