UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE D E FÍSICA Y MATEMÁTICA UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO NUMÉRICO
UNIDAD TEMÁTICA I: SOLUCIÓN DE ECUACIONES OBJETIVO DIDACTICO: Aplicar los i!"r"#$"s %&$oos " r"sol'ci(# " "c'acio#"s #o li#"al"s ) sis$"%as " "c'acio#"s li#"al"s* a pro+l"%as %a$"%,$icos "s$a+l"ci"#o "rror"s -'" s" co%"$"# "# caa apro.i%aci(#
I.2.- MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER RESOLVER ECUACIONES NO LINEALES OBJETIVO DIDACTICO/ R"sol0"r pro+l"%as %"ia#$" la "$"r%i#aci(# " las ra1c"s " "c'acio#"s al2"+raicas #o li#"al"s3 E.is$"# is$i#$os al2ori$%os para "#co#$rar las ra1c"s o c"ros " !4.5 6 7* "s "cir "l 0alor 4o 0alor"s5 " . $al -'" !4.5 6 7* p"ro #i#2'#o "s 2"#"ral8 "s "cir* #o 9a) '# al2ori$%o -'" !'#cio#" co# $oas las "c'acio#"s* )a -'" caa '#o " "llos $i"#" s's propias li%i$acio#"s o "!"c$os* por lo -'" s" 9ac" #"c"sario "l "s$'io " los pros ) los co#$ras " caa %&$oo3 Toos "s$os %&$oos so# i$"ra$i0os* ) s" p'""# 'sar para "c'acio#"s -'" co#$i"#"# '#a o %'c9as 0aria+l"s* "#$r" "llos "s$,#/
A. MÉTODOS DE INTERVALOS:
M&$oo :r,!ico M&$oo " ;is"cci(# M&$oo " R"2la Falsa3 Solo "s$'iar"%os "l M&$oo " ;is"cci(#
B. MÉTODOS ABIERTOS:
M&$oo " N"<$o# = Rap9so# M&$oo " la S"ca#$"3 M&$oo " N"<$o# = Rap9so# Moi!icao* para "l caso " ra1c"s %>l$ipl"s3 Solo "s$'iar"%os "l M&$oo " N"<$o# = Rap9so# ) "l M&$oo " la S"ca#$"
MÉTODO DE BISECCIÓN S'po#2a -'" !4.5 "s '#a !'#ci(# co#$i#'a so+r" "l i#$"r0alo ?a*+@ $al -'" !4a53!4+5 7 4"s "cir* !4.5 ca%+ia " si2#o5 si2#o5 "#$o#c"s "#$o#c"s $i"#" '#a ra1B ra1B o c"ro c"ro so+r" so+r" "s$" "s$" i#$"r0 i#$"r0alo alo33 El método de Bisección co#sis$" "# i0iir r"p"$ia%"#$" "l i#$"r0alo ?a*+@ %a#$"#i"#o la %i$a o#" !4.5 ca%+ia " si2#o* ) as1 s'c"si0a%"#$" 9as$a alca#Bar '#a +'"#a apro.i%aci(# " la ra1B3
ALGORITMO: Dao '# i#$"r0alo ?a* +@ ) '# "rror " $ol"ra#cia 7* s" si2'" "l si2'i"#$" al2ori$%o/ 3 Si #o s" s" co#oc" "l i#$"r0alo* i#$"r0alo* "!i#a ?a*+@ o#" o#" s" pr"s'%a pr"s'%a la ".is$"# ".is$"#cia cia " la la ra1B 3 Genere una Tabla Tabla con los siguientes datos:
G3 Defina: c =
1
a b 2
Li!a. ALE"ANDRA NOGUERA# MS $ De%a&'a(en') !e *+,ia Ma'e('ia UNE*M 2/0/
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H3 Si b − c ≤ ε * par" "l %&$oo ) ac"p$" co%o ra1B 4S" p'"" "0al'ar $a%+i&# ∣ f x ∣≤ε 5* "# caso co#$rario* 9a2a la si2'i"#$" "0al'aci(#/ si f1.f13 4/ "#$o#c"s 9a2a a5 ) %a#$"#2a "l 0alor " 3 4"# la si2'i"#$" i$"raci(#5* p"ro si f1.f13 6/ 9a2a 35 ) %a#$"#2a "l 0alor " a. Co#$i#>" ll"#a#o la $a+la ) "s$'ia#o la co#ici(# para parar "l %&$oo3
O3,e&7ai8n/ Para 0"r c',#$as i$"racio#"s so# #"c"sarias '$iliBa#o "l %&$oo " la ;is"cci(# s" 'sa/ ln
n≥
[ ] b − a ε
ln 2
Esta fórmula para el número de iteraciones solamente se puede utilizar en el método de Bisección.
E9e(%): E#c'"#$r" la ra1B " f1; 5 ),1; < ; < 0 "# "l i#$"r0alo ?*@* aplica#o "l M=')!) !e Bi,ei8n3 Es$o "s* "#co#$rar '# 0alor " $al -'" ∣ f c ∣≤ ε =0,01 3 S)>i8n: D"$"r%i#a#o "l #>%"ro " i$"racio#"s* s" $i"#"/ ln
n≥
[ ] [ b − a ε
ln 2
ln
=
]
− 1 2
ln 2
0.01
≃6 . 6 4 ≈7
iteraciones
Luego la raíz de la ecuación dada es c = -1.289 con una aproximación menor que
ε
.
MÉTODO DE NEWTON / RAPHSON Es$" %&$oo s" "'c" a par$ir " la i#$"rpr"$aci(# 2"o%&$rica " la "ri0aa* s" $i"#" -'" la pri%"ra "ri0aa "# . "s "-'i0al"#$" a la p"#i"#$"/ f x 0 = x 1 = x 0 −
f x 0 f x 0
f x 0 − 0 x 0 − x 1
* -'" s" r"or"#a para o+$"#"r/
" %a#"ra 2"#"ral* la !(r%'la "l M=')!) !e Ne?')n-Ra%@,)n 0i"#" ".pr"saa " la
si2'i"#$" !or%a/
2
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x n 1 = x n −
f x n f x n
El %&$oo " N"<$o# = Rap9so# "#c'"#$ra la p"#i"#$" 4la r"c$a $a#2"#$"5 " la !'#ci(# "# '# p'#$o c'al-'i"ra 4pr"!"ri+l"%"#$" c"rca#o a la ra1B5 ) '$iliBa "l c"ro " la r"c$a $a#2"#$" co%o "l si2'i"#$" p'#$o " r"!"r"#cia* "l proc"so s" r"pi$" 9as$a ll"2ar a la apro.i%aci(# " la ra1B "s"aa3 ALGORITMO: 3 D"!i#a .# 3 :"#"r" '#a $a+la " a$os G3 Calc'l" !J4.#5 H3 Si f x n1 ≤ε * ac"p$" .#K co%o la ra1B apro.i%aa ) par" "l %&$oo* " lo co#$rario* "# la si2'i"#$" i$"raci(# 9a2a . #6.#K ) co#$i#>" "l ll"#ao " la $a+la 9as$a -'" s" c'%pla la co#ici(# f x n1 ≤ε
E9e(%): E#c'"#$r" la ra1B " f1; 5 ),1; < ; < 0 "# "l i#$"r0alo ?*@* aplica#o "l M&$oo " N"<$o#Rap9so#3 Es$o "s* "#co#$rar '# 0alor " c $al -'" ∣ f c ∣≤ ε =0,01 3 S)>i8n: S"a# .# 6 3 4p'#$o %"io "l i#$"r0alo co#ocio5
P)& ) 'an')# ,e a,>(e 5 -0#20 )() a &a+ 3>,a!a
MÉTODO DE LA SECANTE El %&$oo " la s"ca#$" co#sis$" "# apro.i%ar la ra1B " la !'#ci(# !4.5 co# "l c"ro " '#a r"c$a s"ca#$" $raBaa "#$r" os p'#$os so+r" la 2r,!ica " !4.5 ) "l proc"so s" r"pi$" 9as$a -'" la ra1B "s "#co#$raa3 S" p'""# pr"s"#$ar os casos/
Ca! "1#
Ca! "2#
ALGORITMO: 3 Si #o s" co#oc" "l i#$"r0alo* "!i#a ?a*+@ o#" s" pr"s'%a la ".is$"#cia " la ra1B 3 Genere una tabla de datos
3
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G3 To%" "# c'"#$a -'" c =
b− a f b f b − f a
H3 Si f c ≤ε * ac"p$" c co%o la ra1B apro.i%aa ) par" "l %&$oo* " lo co#$rario* 9a2a la si2'i"#$" "0al'aci(#/ si f1.f13 4/ "#$o#c"s 9a2a a5 ) a53 4"# la si2'i"#$" i$"raci(#5* p"ro si f1.f13 6/ 9a2a 35 ) ) 35a. Co#$i#>" ll"#a#o la $a+la ) "s$'ia#o la co#ici(# para parar "l %&$oo3
E9e(%): E#c'"#$r" la ra1B " f1; 5 ),1; < ; < 0 "# "l i#$"r0alo ?*@* aplica#o "l M=')!) !e a Sean'e3 Es$o "s* "#co#$rar '# 0alor " $al -'" ∣ f c ∣≤ ε =0,01 3 S)>i8n:
P)& ) 'an')# ,e a,>(e 5 -0#2 )() a &a+ 3>,a!a
EJERCICIOS PROPUESTOS 3 R"s'"l0a los ""rcicios prop'"s$os -'" s" "#c'"#$ra# "# la p,2i#a * 9aci"#o 'so " los M&$oos/ ;is"cci(#* R"2la Falsa* N"<$o#Ra9pso# ) S"ca#$"3 To%" "# co#si"raci(# los i#$"r0alos " pr"s'#ci(# " ".is$"#cia " ra1B "#co#$raos "# "l M&$oo :r,!ico3 Co#si"r" ∣ f x ∣≤ ε = 5x 10 − 5 para
"$"#"r caa '#o " los %&$oos3 Al !i#aliBar* "s$a+l"Bca co#cl'sio#"s "# c'a#$o a la co#s"c'ci(# " ic9a ra1B ) " la co#0"r2"#cia " los %&$oos "%pl"aos3 3 a2a 'so "l :ra!icaor " F'#cio#"s " i#o
4
Fw27.exe
o al2># o$ro 2ra!icaor para co%parar "l
Li!a. ALE"ANDRA NOGUERA# MS $ De%a&'a(en') !e *+,ia Ma'e('ia UNE*M 2/0/
