PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL Este principio fue desarrollado por John Bernoulli en 1717, y en ocasiones se le conoce también como el método de la carga unitaria. Proporciona un medio general para obtener el desplazamiento y la pendiente en un punto específico de una estructura, ya sea una iga, un marco o una armadura. !i se toma una estructura deformable de cual"uier forma o tama#o y se le aplica una serie de cargas externas P, se producir$n cargas internas u en puntos a traés de toda la Es necesario relacionar las cargas internas y externas mediante las ecuaciones estructura. de equilibrio. %omo consecuencia de estas cargas, ocurrir$n desplazamientos e&ternos ' en
las cargas P y se presentar$n desplazamientos internos ẟ en cada punto de carga interna u. En general, estos desplazamientos no tienen que ser elásticos, y "uiz$ no se relaciones con las cargas( sin embargo, los desplazamientos internos y externos deben estar relacionados por la compatibilidad de los desplazamientos. En otras palabras, si se conocen los desplazamientos e&ternos, los desplazamientos internos correspondientes estar$n definidos de manera )nica. Entonces, el principio del traba*o y los estados de energía puede enunciarse de manera general como sigue+ P ' -raba*o de las cargas e&ternas
uẟ -raba*o de las cargas internas
Para el principio del traba*o irtual se considera "ue la estructura tiene una forma arbitraria. !uponga "ue es necesario determinar el desplazamiento en / en la direcci0n ', el desplazamiento ' puede determinarse si se coloca primero una carga virtual2 sobre el cuerpo de modo "ue esta fuera P’ act)e en la misma dirección "ue '. Por coneniencia se elegir$ P’ con una magnitud unitaria2 es decir, P’1. Para describir la carga se usa el término irtual2 debido a "ue es imaginaria y en realidad no existe como parte de la carga real. !in embargo, la carga unitaria 3 P’4 crea una carg a irtual interna u en un elemento o fibra representatia del cuerpo. /"uí se re"uiere "ue P’ y u se relaci0n en mediante las ecuaciones de e"uilibrio.
5na ez aplicadas las cargas irtual es, el cuerpo est$ sometido a las cargas reales P1, P6 y P. El punto A se desplazar$ una cantidad ', la cual causar$ "ue el elemento se deforme una cantidad dL. %omo resultado, la fuerza irtual e&terna P’ y la carga irtual interna u se pasear$n a lo largo2 de ' y dL, respectiamente, y por lo tanto realizar$n un trabao virtual externo de 18' sobre el cuerpo y un trabao virtual inter no de u!dL sobre el elemento. !i se toma en cuenta "ue el traba*o e&terno es igual al traba*o irtual interno realizado en todos los elementos del cuerpo, es posible escribir la ecuaci0n del traba*o irtual como 1 8 ' u 8 dL 9onde P’ 1 carga irtual e&terna "ue act)a en la direcci0n de '. u carga irtual interna "ue act)a sobre el elemento en la direcci0n de dL. ' desplazamiento e&terno causado por las cargas reales. dL deformaci0n interna del elemento causada por las cargas reales. 9e manera parecida si deben determinarse el desplazamiento rotacional o la pendiente de la tangente en un punto sobre una estructura, se aplica un momento de par irtual M’ con magnitud unitaria en el punto. %omo consecuencia, este momento de par causa una carga irtual u: en uno de los elementos del cuerpo. 1 8 : u" ! dL 9onde momento de un par unitario irtual e&terno "ue act)a en la direcci0n de :. #’ u" carga irtual interna "ue act)a sobre un elemento en la direcci0n de dL. " desplazamiento rotacional e&terno o pendiente en radianes causados por las cargas reales. dL deformaci0n interna del elemento causada por las cargas reales. MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL: ARMADURAS
%arga e&terna. %onsidere el desplazamiento ertical ' de una *unta $ de una armadura. !i las cargas aplicadas P1 y P6 ocasionan una respuesta material lineal elástica, este miembro se deforma en una cantidad ' L %L;AE, donde % es la fuerza normal o a&ial en el elemento, causada por las cargas. !i se aplica la ecuaci0n del traba*o irtual, entonces 1 8 ' n%L;AE 9onde
1 carga unitaria irtual e&terna "ue act)a sobre la *unta de la armadura en la direcci0n indicada de '. n fuerza normal irtual interna en un elemento de una armadura causada por la carga unitaria irtual e&terna. ' desplazamiento e&terno de la *unta causado por las cargas reales sobre la armadura. % fuerza normal interna en un elemento de la armadura causada por las cargas reales. L longitud de un elemento. A transersal de un elemento. $rea m0dulo de elasticidad de un elemento. E
TEOREMA DE CASTIGLIANO En 1<7=, /lberto %astigliano, ingeniero italiano de ferrocarriles, public0 un libro en el "ue e&ponía un método para determinar la defle&i0n o la pendiente en un punto en una estructura, en una armadura, una iga o un marco. Este método, conocido como el segundo teorema de &astigliano, o el m'todo del trabao m(nimo , s0lo aplica a las estructuras "ue tienen una temper atura constante, soportes "ue no ceden y respuesta material elástica lineal. !i debe determinarse el desplazamiento de un punto, el teorema establece "ue éste es igual a la primera deriada parcial de la energía de deformaci0n en la estructura con respecto a una fuerza "ue actpua en el punto y en la direcci0n de desplazamiento. 9e una manera parecida, la pendiente en un en punto de una estructura es igual a momento la primeradederiada parcial de la energía de deformaci0n la estructura con respecto a un par "ue act)a en el punto y con la direcci0n de la rotaci0n. TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA ARMADURAS >a energía de deformaci0n para un elemento de una armadura est$ dada por la ecuaci0n )i %*L+6AE. /l sustituir esta ecuaci0n en la ecuaci0n ' i ?)i;?Pi y si se omite el subíndice i, resulta ' ?;?P %6L;6AE En el caso general L, A y E son constantes para un elemento dado, y por lo tanto puede escribirse así ' % 3?%;?P4 L;AE 9onde
' fuerza desplazamiento de la *unta armadura. e&terna aplicada a lae&terna *unta dedelalaarmadura en la direcci0n de '. P % fuerza interna de un elemento causada tanto por la fuera P como por las cargas sobre la armadura. L longitud de un elemento. A $rea de la secci0n transersal de un elemento. E m0dulo de elasticidad de un elemento.
/rroyo @larez %armen
