I.
INTRODUCCION Este principio es muy importante dado que establece una relación entre el trabajo de las cargas o acciones exteriores, que se componen luego en las solicitaciones (esfuerzos normales, cortantes, flectores y torsores), con la energía de deformación interna, que dependerá del estado tensional y de las deformaciones del cuerpo. El Principio de Trabajos Virtuales (P.T.V.) fue utilizado por Galileo (1564-1642) para el diseño y cálculo de mecanismos y desarrollado teóricamente con un enunciado más matemático y formal por Lagrange (1736-1813), ya que desarrolla la teoría variacional y escribe su “Mecánica Analítica” donde coloca
las bases de dicha disciplina. No obstante, a lo anterior el núcleo teórico del P.T.V. f ue enunciado por Santiago Bernoulli (1654-1705) y por Daniel Bernoulli (1700- 1782): “Si una estructura, estando en equilibrio, sufre una deformación virtual debido a la acción de una carga adicional, el trabajo virtual externo de la carga en cuestión, es igual al trabajo tr abajo virtual interno, desarrollado por las tensiones causadas por la carga”.
En cuanto a lo que concierne a la mecánica de cuerpos rígidos, dado que por definición estos cuerpos no sufren deformación sino desplazamientos, el P.T.V. debe ser reformulado. El mismo fue enunciado por Johann Bernoulli en el año 1717 de la siguie nte manera: “Dado un cuerpo rígido mantenido en equilibrio por un sistema de fuerzas, el trabajo virtual efectuado por este sistema, durante un desplazamiento virtual, e s nulo”. Por tal motivo algunos autores prefieren llamar la P.T.V como Principio de los Desplazamientos Virtuales (P.D.V.), sin embargo, en el presente texto se conservará la denominación original.
I.
INTRODUCCION Este principio es muy importante dado que establece una relación entre el trabajo de las cargas o acciones exteriores, que se componen luego en las solicitaciones (esfuerzos normales, cortantes, flectores y torsores), con la energía de deformación interna, que dependerá del estado tensional y de las deformaciones del cuerpo. El Principio de Trabajos Virtuales (P.T.V.) fue utilizado por Galileo (1564-1642) para el diseño y cálculo de mecanismos y desarrollado teóricamente con un enunciado más matemático y formal por Lagrange (1736-1813), ya que desarrolla la teoría variacional y escribe su “Mecánica Analítica” donde coloca
las bases de dicha disciplina. No obstante, a lo anterior el núcleo teórico del P.T.V. f ue enunciado por Santiago Bernoulli (1654-1705) y por Daniel Bernoulli (1700- 1782): “Si una estructura, estando en equilibrio, sufre una deformación virtual debido a la acción de una carga adicional, el trabajo virtual externo de la carga en cuestión, es igual al trabajo tr abajo virtual interno, desarrollado por las tensiones causadas por la carga”.
En cuanto a lo que concierne a la mecánica de cuerpos rígidos, dado que por definición estos cuerpos no sufren deformación sino desplazamientos, el P.T.V. debe ser reformulado. El mismo fue enunciado por Johann Bernoulli en el año 1717 de la siguie nte manera: “Dado un cuerpo rígido mantenido en equilibrio por un sistema de fuerzas, el trabajo virtual efectuado por este sistema, durante un desplazamiento virtual, e s nulo”. Por tal motivo algunos autores prefieren llamar la P.T.V como Principio de los Desplazamientos Virtuales (P.D.V.), sin embargo, en el presente texto se conservará la denominación original.
II.
OBJETIVOS
Conocer el metodo metodo de Trabajo Trabajo Virtual.
Ver sus aplicaciones de Trabajo Virtual en diferentes sistemas sistemas Articulados y no Articulados.
Saber las limitaciones de estas aplicaciones aplicaciones del Trabajo Virtual.
III.
MARCO TEORICO
Método del trabajo virtual El método del trabajo virtual es la más útil y versátil de las técnicas energéticas. Puede usarse para determinar deformaciones en cualquier lugar de una estructura, que sean causadas por cualquier tipo o combinación de cargas. La única limitación de la teoría es que debe poderse aplicar el principio de superposición. La palabra “virtual" significa que existe en efecto, pero no de hecho. Una fuerza
virtual es una fuerza ficticia que se incorpora en algún punto de la estructura. El trabajo virtual es el movimiento de esta fuerza virtual a tr avés de una distancia. Al aplicar el método del trabajo virtual la distancia es generalmente el desplazamiento real de la estructura baje sus cargas reales aplicadas. Puede usarse el principio de la conservación de la energía para las fuerzas virtuales como: Trabajo virtual externo = Energía de deformación virtual interna
Fi ura 1.1
1 A
f
………………….ECUANCION 1. 1
Donde: 1 = la fuerza virtual unitaria, A = la deflexión real del punto A en la dirección de la fuerza virtual, f = las fuerzas internas en las fibras debidas a la fuerza virtual, = deformaciones reales internas en las fibras debidas a las cargas reales.
Las diversas secciones siguientes ilustran la aplicación de la ecuación para
cargas axiales, de flexión, y de torsión.
Trabajo virtual para cargas axiales El método del trabajo virtual se aplica fácilmente a estructuras articuladas cuyos miembros están cargados axialmente, tal como la armadura de El miembro izquierdo de la ec. (1.1) es el trabajo virtual externo de la carga unitaria virtual de la Fig. 1.2 (b) por la deflexión real At- de la Fig. 1.2 (a). El miembro derecho de la ec.(1.1)es la energía de deformación interna total. Es el producto de la fuerza interna producida por la carga virtual y la deformación producida por las cargas reales sobre cada miembro. El trabajo puede ser positivo o negativo. Si la fuerza v la deformación tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo. Si tienen sentidos opuestos, el trabajo es negativo. La Fig. 1.3 (a) indica cualquier barra y su fuerza virtual. En sistemas cargados axialmente, a la fuerza virtual interna sobre la barra se le representa con la letra u. El cambio en longitud debido a las cargas reales es . La deformación, . se determina como = PL/AE. La deformación de cualquier punto sobre una estructura articulada puede determinarse entonces según 1
PL
u AE
………ECUACION 1.2
DONDE:
1 = carga virtual. Ib o N. =
deflexión pulg, o in, u = fuerza virtual sobre una barra interna resultante de la carga virtual. Ib o N, P = fuerza interna en la barra producida por las cargas reales. lb o N, L = longitud de la barra, plg o m, A = área de la sección transversal de la barra, plg- o m-, F = módulo de elasticidad, lb/plg1 2 o Pa.
Fi ura Fi ura
Trabajo virtual para cargas de Torsión La solución de problemas que involucran cargas de torsión es análoga a la de las cargas de flexión. La Fig. 1.4 (a) indica una flecha circular sujeta a un par de torsión aplicado, T. Queremos calcular la rotación angular B . En B se aplica un par unitario ficticio. El par de torsión interna producido por el par de torsión virtual es t.
Trabajo virtual externo = trabajo virtual interno 1
t .T .dx G.J
trabajo virtual para cargas de flexión La deflexión de una viga puede determinarse mediante el método del trabajo virtual. Para obtener la deflexión en cualquier punto específico, se aplica una carga unitaria ficticia en ese punto, en la dirección de la deflexión deseada. A partir de esta carga ficticia resultante un momento virtual interno. El producto de este momento por la rotación de la sección sobre la que ocurre el momento es el trabajo virtual interno. La Fig. 1.4 (al indica una viga v su carga real. Supongamos que queremos determinar la deflexión en el punto D. Aplicamos una fuerza ficticia unitaria en D. como se indica en la Fig. 1.4 (b). Esta carga ficticia produce un momento m en cada lugar x, como se indica en la Fig. 1.4 (el. Las cargas reales hacen que la cara vertical sobre la cual actúa m gire un ángulo d θ. La deflexión de una viga se calcula mediante: Trabajo virtual externo = trabajo virtual interno. 1
m.d
---------------------- 1
m.M .dx E.I
……..ECUACION 1.3
Fi ura
El procedimiento para calcular la deflexión de una viga mediante el trabajo virtual es como sigue: 1. Se aplica una carga unitaria ficticia a la viga descargada en el lugar donde se desea la pendiente o la deflexión. 2. Se calculan las reacciones para esta carga virtual Se corta la viga en las secciones necesarias, se traza un diagrama de cuerpo libre, y se escriben las ecuaciones para el momento interno m como función de la variable x. 3. Se aplican las cargas reales a la viga. Se calculan las reacciones correspondientes a las cargas reales, se corta la viga en las secciones necesarias, Y se escriben las ecuaciones para M como funciones de la variable x. 4. Se incorporan las ecuaciones en la ec. (1.3) y se despeja x. Las secciones “necesarias” de los pasos 2 y 3 son aquellas que aparecen cada vez que el sistema de cargas produce un cambio en la e cuación básica, ya sea de m, o de M.
IV.
APLICACIONES DEL TRABAJO VIRTUAL
1) TRABAJO VIRTUAL APLICADO A ELEMENTOS SOMETIDOS A TORCIÓN
Si una probeta cilíndrica de longitud L es sometida a un torque T, el ángulo de torsión está dado por la siguiente ecuación:
=
TL G I p
En donde G es el módulo de corte del material de la probeta e I p es el momento de inercia polar de la sección circular de dicha probeta. En la figura 1 se indica una probeta de sección circular de radio R, sometida a un momento torsor T. En consecuencia, el valor del módulo de corte G es igual a:
G=
T L I p
Sobre la base de la ecuación anterior, se puede determinar experimentalmente el módulo de corte G del material constituyente de la probeta. Si los esfuerzos cortantes no sobrepasan el límite de proporcionalidad, dicho esfuerzo se distribuye linealmente, es cero en el eje central de la probeta y tiene un valor máximo en la periferia. La figura 2 indica la distribución de esfuerzos cortantes, en una sección transversal cualquiera, de una probeta de sección cilíndrica sometida a torsión. En este caso, el valor del esfuerzo cortante es igual a:
=
T W p
Siendo Wp el módulo resistente a la torsión y está definido por:
W p =
Donde:
1 R
I polar
1
I polar
πd
1
4
32
4
πR
2
Siendo d el diámetro de la probeta, por lo tanto d = 2R. Reemplazando el momento de inercia polar, en función del radio, se obtiene la siguiente expresión para el módulo resistente: 3
πR
W p =
2
Por lo tanto, el esfuerzo cortante en la periferia del cilindro es igual a:
=
2T 3
πR
De la figura 1, considerando la igualdad de arcos, según el radio R y la generatriz L, se puede deduce lo siguiente: R =
γL
Donde es la distorsión angular. Se puede deducir que dicho valor es:
G
O
R
Figura 1 Probeta de sección circular de radio R y longitud L, sometida a un momento torsor T
τ
max
O
Figura 2 Distribución del esfuerzo cortante
Para un elemento sometido a torsión, se aplica un momento torsor virtual unitario, en el punto donde se desea determinar dicha magnitud 1.Δ
t. dθ
Entonces: Por el análisis de momentos torsores:
∫ .G.Jdx
dθ=
Por el principio de conservación de la energía We=Ui Se tiene:
∫ .G.J.dx
1.Δ
2) TRABAJO VIRTUAL APLICADO A ARMADURAS
En esta sección aplicaremos el método de las fuerzas virtuales para determinar el desplazamiento de un nodo de armadura. Para ilustrar los principios, se determinará el desplazamiento vertical del nodo A de la armadura de la figura (b). Este Fig. (a)
desplazamiento es causado por las “cargas reales”
Pi y P2, y como esas cargas sólo causan fuerzas axiales en los miembros, sólo es necesario tener en cuenta el trabajo virtual interno debido a cargas
Fig.b
axiales. Para obtener este trabajo virtual supondremos que cada miembro tiene área transversal A constante, y que la carga virtual n y la carga real N son constantes en toda la longitud del miembro. El resultado es que el trabajo virtual interno para un miembro es:
Y por consiguiente la ecuación para todo trabajo virtual en armaduras es:
1∗∆
Donde:
1 carga untaría virtual extrema que actúa sobre el nodo de la armadura, en la dirección establecida de ∆. ∆ desplazamiento del nodo causado por las cargas reales sobre la armadura. fuerza virtual interna en un miembro de la armadura, causado por la carga unitaria virtual externa. Fuerzas internas en un miembro de la armadura, causadas por las cargas reales.
Longitud de un miembro. Área transversal de un miembro. Módulo de elasticidad.
En este caso, la carga unitaria virtual externa genera las fuerzas “n” virtuales
internas en cada uno de los miembros de la armadura, figura(a). Cuando se aplican las cargas reales a la armadura, hacen que el nodo se desplace A en la misma dirección que la carga unitaria virtual, figura 14-306, y cada miembro sufre un desplazamiento NL/AE en la misma dirección que su fuerza n respectiva. En consecuencia, el trabajo virtual externo
1∗∆ es igual al trabajo
virtual interno, o a la energía de deformación interna (virtual) almacenada en todos los miembros de la armadura, es decir, la ecuación anterior.
2.1. PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS: El procedimiento siguiente es un método para determinar el desplazamiento de cualquier nodo de una armadura, usando el método de la fuerza virtual. Fuerzas virtuales en n:
Poner la carga unitaria virtual en el nodo de la armadura en el que se vaya a determinar el desplazamiento. La carga debe estar dirigida a lo largo de la línea de acción del desplazamiento.
Estando puesta así la carga unitaria, y quitadas las cargas reales de la armadura, calcular la fuerza interna n en cada miembro de la armadura. Suponer que las fuerzas de tensión son positivas, y que las de compresión son negativas.
Fuerzas reales en N:
Determinar las fuerzas N en cada miembro. Esas fuerzas sólo se deben a las cargas reales que actúan sobre la armadura. De nuevo, suponer que las fuerzas de tensión son positivas y que las de compresión son negativas.
E cuación del trabajo virtual:
Aplicar la ecuación del trabajo virtual para determinar el desplazamiento que se busca. Es importante conservar el signo algebraico de cada una de las fuerzas n y N correspondientes, al sustituir esos términos en la ecuación.
Si la suma resultante
∑ es positiva, el desplazamiento ∆ tiene
la misma dirección que la carga unitaria virtual. Si se obtiene un valor negativo, A es opuesto a la carga unitaria virtual.
3) TRABAJO VIRTUAL EN ELEMENTROS POR CAMBIOS DE TEMPERATURA
En algunos casos, los elementos de una armadura podrían cambiar su longitud debido a la temperatura. Si α es el coeficiente de expansión térmica de un
elemento y ΔT es el cambio en su temperatura, el cambio de longitud en un elemento es ΔL = α. ΔT.L. Por lo tanto, el desplazamiento de una junta seleccionada en una armadura debido a este cambio de temperatura puede determinarse a partir de la siguiente ecuación: Donde:
1.∆ ∑α.n.ΔT.L
1: Carga unitaria virtual externa que actúa sobre la junta de la armadura en el sentido indicado de Δ. n: Fuerza normal virtual interna de un elemento de una armadura causada por la carga unitaria virtual externa Δ: Desplazamiento externo de la junta causado por el cambio de temperatura. α: Coeficiente de expansión térmica del elemento. ΔT: Cambio de temperatura del elemento
L: Longitud del elemento.
.∆ ∑ α.n.ΔT.L
Al aplicar 1
tenga en cuenta que si alguno de los elementos
experimenta un aumento de temperatura, ΔT será positivo, en tanto que una disminución de la temperatura resultara un valor negativo para ΔT. Un resultado positivo de la deflexión o desplazamiento que se busca significa que esta ocurre en la misma dirección de la carga unitaria, mientras que un resultado negativo indica que sucede en la dirección opuesta a la carga unitaria.
4) METODO DE LAS FUERZAS VIRTUALES APLICADOS EN VIGAS
En esta sección aplicaremos el método de las fuerzas virtuales para determinar el desplazamiento y la pendiente de un punto en una viga. Para ilustrar los
∆
principios, se determinará el desplazamiento del punto A de la viga que se ve en la siguiente figura a.
w
A x d
V M dx r
x
Cargas reales Figura (a)
Este desplazamiento se debe a la “carga real distribuida “
, y como causa tanto
cortante como momento en el interior de la viga, en realidad consideraremos el trabajo virtual interno debido a ambas cargas. Sin embargo, se ha demostrado
que las deflexiones en la viga debidas al cortante son despreciables en comparación con las causadas por la flexión, en especial cuando la viga es larga y esbelta. Ya que en la práctica éste es el tipo de viga que se usa con más
frecuencia, sólo consideramos la energía de deformación virtual debida a la flexión. TRABAJO
DEFORMACIÓN
ENERGÍA DE
CAUSADA POR:
DEFORMACIÓN
Carga axial
Cortante
Momento de flexión
Momento de torsión
2 2 2
INTERNO VIRTUAL
Al aplicar la ecuación del trabajo virtual total entonces, la ecuación del trabajo virtual para la viga:
En esta cuación:
1.∆
1 ú ó ∆ ∆ ú , ó . , ó , ó . á , . De forma parecida, si se va a determinar la pendiente de la tangente en un
punto de la curva de la viga, se debe aplicar un momento de par unitario virtual
en ese punto, y se determina el momento interno virtual
correspondiente. En
este caso, sin tener en cuenta las deformaciones por cortante, se obtiene:
1.
Por ejemplo, la carga unitaria virtual externa produce un momento virtual interno
en la viga, en la posición , figura b. Cuando se aplica la carga real , hace que el elemento en se deforme o gire un ángulo , figura a. Si el material responde en forma elastica, es igual a / . En consecuencia, el trabajo virtual externo 1.∆ es igual al trabajo virtual interno para la toda la viga, ∫ /. A
1
x v m dx r
x
Cargas virtuales Figura (b)
A diferencia de las vigas, como se dice aquí, también algunos miembros, pueden estar sometidos a una energía de deformación virtual apreciable, causada por la carga axial, cortante y momento de torsión. Cuando ese es el caso, debemos incluir en las ecuaciones anteriores los términos de energía para esas cargas, como se plantea acontinuación:
1∆
Al aplicar las ecuaciones (a) y (b) es importante es importante tener en cuenta que las integrales del lado drecho representan la cantidad de energía de
deformacio virtual de flexion que está que está almacenada en la viga. Si sobre la viga actúan fuerzas concentradas o momentos de par, o si la carga distribuida es discontinua, no se puede hacer una sola integración en toda la longitud de la
viga. En lugar de ello se deben definir coordenadas separadas, dentro de las regiones que no tengan discontinuidad de la carga. También, no es necesario
tenga el mismo origen; sin embargo, la seleccionada para determinar el momento momento real M en determinada region debe ser la misma que la definida para determinar el momento virtual dentro de la misma región. Por ejemplo, examine la viga de la figura c. Para determinar el desplazamiento en D, se puede usar para determinar la energía de deformación en la región AB, para la región bc, para la región DE y para la región DC. En todo caso, cada coordenada debe selecionarse de tal modo que se puedan fo rmular con facilidad tanto como . que cada
P
A
B
C
E
D
x1
x3 x4 Cargas reales Figura (c)
1 A
C
B
E
D
x1
x3 x2
x4
Cargas virtuales virtuales Figura (d)
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS El siguiente procedimiento es un método que puede emplearse para determianar el desplazamiento y la pendiente en un punto de la curva elástica de una viga, usando el método del trabajo virtual.
Momenetos virtuales
Colocar una carga unitaria virtual sobre la viga en el punto, y dirigida a lo largo de la línea de acción del desplazamiento deseado. Si se debe determinar la pendiente, poner un momento unitario de par virtual en el punto.
Definir las coordenadas adecuadas, que sean válidas dentro de las regiones de la viga donde no haya discontinuidad de carga real ni virtual. Con la carga virtual en su lugar , y todas las cargas reales quitadas de la viga, calcular el momento interno Suponer que
en función de cada coordenada .
actúa en dirección positiva, de acuerdo con la concención
establecida de signos para vigas:
w
Carga distribuida positiva V V
Fuerza cortante interna positiva M
M
Momento flexionante interno positivo CONVENCIÓN DE SIGNOS PARA VIGAS
Momentos reales.
Usando las mismas coordenadas que las definidas para los momentos internos M causados por las cargas reales.
Como se puso que
, determinar
positivos actuaban en la “dirección positiva”
convencional, es importante importante que M positivo actúe en está está misma dirección. Esto es necesario, ya que el trabajo interno virtual positivo o negativo depende del sentido de la dirección dirección tanto de la carga virtual, definido por desplazamiento causado por Ecuación del trabajo virtual
±.
± ±, como ∆
Aplicar la ecuación del trabajo virtual para determinar el desplazamiento o la
pediente que se buscan. Es importante conservar el signo algebraico de cada integral calculado dentro de su región especificada. Si la suma algebraica de todas las integrales, en toda viga, es positiva,
∆
tienen la misma dirección que la carga unitaria virtual o el momento unitario de par virtual, respectivamente. Si se obtiene un valor negativo, la carga unitaria o al momento de par virtuales.
∆ es contrario a
5) TRABAJO VIRTUAL APLICADO A MARCOS En los marcos predominan las solicitaciones por flexión, de esta forma, si nuestro objetivo es determinar el desplazamiento de un punto, debemos aplicar una carga virtual unitaria en ese punto, según la dirección del desplazamiento que deseamos determinar.
FÓRMULA:
∗ 1∗∆ ∗ 6) TRABAJO VIRTUAL APLICADO A PORTICO
La expresión derivada a partir de la aplicación del principio del trabajo a pórtico se presenta a continuación:
Donde: M= momento flector debido a cargas reales. m= momento flector debido a la aplicación de carga virtual unitaria. La anterior expresión debe ser evaluada en tramos en los cuales la función de momento sea continua. Es posible que en vigas o pórticos se tengan otras posibles situaciones que causen deflexiones. Aunque es poco el aporte de estas a la energía de la deformación, la cual será en forma primaria debido a la flexión, se expondrá de igual forma. Las acciones adicionales que se incluirán son debidas a fuerza axial, fuerza cortante, momentos torsores y gradientes de temperatura.
donde: M= momento debido a cargas reales. m= momento debido a cargas virtuales. N= fuerza normal debido a cargas reales. n= fuerza normal debido a cargas virtuales. V= fuerza cortante debido a cargas reales. v= fuerza cortante debido a cargas virtuales. T= momento torsor debido a cargas reales. t= momento torsor debido a cargas virtuales. A= área o sección transversal. As= área de corte. J= momento polar de inercia. I= momento de inercia. E= módulo de elasticidad. G= módulo de corte.
7) TRABAJO VIRTUAL DEBIDO A CARGAS EXTERNAS
Externas: Es el desplazamiento debido a cargas externas y se calcula por medio de la ecuación.
∆
8) TRABAJO VIRTUAL DEBIDO A ERRORES DE FABRICACION O DEFLEXION: A veces pueden presentarse errores al fabricar los miembros de una armadura, Si eso sucede, el desplazamiento de un nodo de armadura en determinada dirección, respecto a su posición esperada, se puede determinar con la aplicación directa de la siguiente ecuación:
1.∆∆ En esta ecuación: 1 = carga unitaria virtual externa que actúa sobre el nodo de la armadura en la dirección establecida para
= Fuerza virtual interna en un miembro de la armadura, causada por la carga unitaria virtual externa. ∆ = desplazamiento externo del nodo, causado por los errores de fabricación. ∆ = diferencia de longitud del miembro, respecto a su longitud teórica, causado por un error de fabricación.
V.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE TRABAJO VIRTUAL
1) TRABAJO VIRTUAL APLICADO A ELEMENTOS SOMETIDOS A TORCIÓN
Desarrollar una expresión para el giro de la sección D, por efecto de las fuerzas mostradas. La viga esta empotrada en A y es de sección circular de radio R
I momento de inercia, G = 0.4 E E =2,1.105 N/mm2 Se presentará únicamente flexión y torsión en los tramos de la viga AD El giro pedido está dado por:
∫ ∫
………….(1)
En la que: Para DC, M = 0 Mt = -Pδ m=0 mt = -1 Para CB, M = Pδ Mt = 0 m=1 mt = 0 Para BA, M = Pδ Mt = 0 m=1 mt = 0 Siendo m y mt los momentos generados por un par unitario en D (del mismo sentido y ubicado según el mismo plano xy del para real P δ). Reemplazando en (1) tenemos:
=+ = 1 1 = 1 = 1 2.5 2) TRABAJO VIRTUAL APLICADO A ARMADURAS Determinar la deflexión horizontal en el nodo G de la armadura mostrada por el método del trabajo virtual. (
2,900 / )
SOLUCIÓN
Paso 01: Resolver la armadura por el sistema real.
∑ 0 16 4012 2024 0 480 480 16 960 16 60 ∑ 600 60 ∑ 4020 0 60
Paso02: Análisis por Nudos.
Nudo A:
0
600 60 ó
Nudo B:
0 600 60 ó
tan− 1216 36.86° 0 60 36.86° 0 60 36. 86° 774.99≈75ó
0 60 75 36.86° 0 6045 15ó
Nudo D:
0 0 0 150 15ó
Nudo E:
0 0
0 200
20
Nudo G:
0 36.86º15 0 15 36. 86ª
Por lo tanto la armadura real queda de la siguiente forma:
Paso 04: Reolver el armadura por el sistema virtual: Para este sitema se propone una carga puntual unitaria y se procede normalmente.
0 1.50 1.5
0 16 1240 24 16 1.5
0 10 1
Nudo A:
0 1.5 0 1.5ò
Nudo B:
0 1 36.86º 0 36.1 86º 1.25ò
0 1 0 1ò
0 1.51.2536.86º 0 1.50.75 0.75ò
Nudo D:
0 0.750
0 0
0.75ò
Nudo E:
0 0
0 0
Nudo G:
0 36.86°0.750 0 0.75 36. 86° 1.25
0 1.2536.86°1 110 00
La armadura virtual queda como se muestra a continuación:
Paso 05: Elavoramos un cuadro resumen para agrupar los datos obtenidos.
( )
MIEMBRO
L(in)
A(in^2)
F(K)
Fv(K)
AB
192 in
4 in^2
60k
1k
AC
144 in
4 in^2
60k
1.5k
3.240
BC
240 in
4 in^2
-75k
-1.25k
7.500
BD
144 in
4 in^2
-15k
-0.75k
405.000
2.880
CD
192 in
4 in^2
0
0
0.000
CE
144 in
4 in^2
0
0
0.000
CG
240 in
4 in^2
25k
1.25k
2500.000
DG
144 in
4 in^2
- 15k
-0.75k
405.000
EG
192 in
4 in^2
-20k
0
0.000
Paso 06: sustituimos los datos obtenidos en la fórmula:
∆ 1 ∆ 29,0100 16,930/ 2 /2 ∆ 16,29,90300/ ∆ 0.5838 5 ∆ 0.5838 2.15 0.58382. 1 ∆1.4595
3) TRABAJO VIRTUAL EN ELEMENTROS POR CAMBIOS DE TEMPERATURA En la armadura representada calcular el desplazamiento vertical del nudo B, ocasionado por un incremento de temperatura de 60 ºF en las barras CE y EG. El Coeficiente de dilatación lineal del material de las barras es α = 0.0000075/ °F
C
E
G
m 0 1 A
H B
D
F
4 @ 10 = 40 m
SOLUCION Aplicamos la carga virtual vertical en el punto B
E
C
G
A
H B
D
F
1 Tn
Calculo de las reacciones
m 0 1 AX
4 @ 10 = 40 m A Y
1 Tn
H Y
∑ MA0 110 Hy40 0 . ∑ Fy0 AyHy1 . Determinamos las fuerzas axiales virtuales de las barras CE y EG, Por el método de nudos obtenemos C
E
G
D
F
A
H B
0.75 Tn
0.25 Tn
1 Tn
NUDO A FAC 45°
A FAB
0.75 Tn
∑ Fy0 0.75 ×sin450 . NUDO B
∑ Fx0 ×cos450 .
FBC 1.06 Tn B
FBD
1 Tn
∑ Fy0 .
∑ Fx0 .
NUDO C
FCE
C 45°
1.06 Tn
45°
FCD
1.00 Tn
∑ Fy0 ∑ Fx0 11.06×cos45 ×45 0 1.06×450.35×45 0 . . NUDO E
0.5 Tn E
FEG
FED
∑Fy0 .
∑Fx0 .
No es necesario calcular las demás fuerzas axiales ya que solo nos interesa las barras CE Y EG, pero mostraremos las fuerzas axiles virtuales de cada barra en la siguiente figura: C
6 0 . - 1
-0.5
- 0 . 3 5
+1.00
E
G
-0.5
0.00
5 3 . 0 +
0.00
+0.25
F
- 0 . 3 5
A
H +0.75
B
+0.75
D
1 Tn
0.75
+0.25
0.25
BARRAS
n
LONGITUD(m)
ESTADO
AB
0.75
10.00
Tensión
BD
0.75
10.00
Tensión
DF
0.25
10.00
Tensión
FH
0.25
10.00
Tensión
AC
1.06
14.14
Compresión
CE
0.50
10.00
Compresión
EG
0.50
10.00
Compresión
GH
0.35
14.14
Compresión
BC
1.00
10.00
Tensión
DE
0.00
10.00
…………
FG
0.00
10.00
………..
CD
0.35
14.14
Compresión
DG
0.35
14.14
Tensión
Para calcular el desplazamiento vertical del nudo B se usara la fórmula:
1.∆ ∑ α.n.ΔT.L
Solamente las barras CG y EG intervienen en los cálculos puesto q el resto de ellas no sufren variación de longitud. Ahora se tiene:
0.0000075) 0.5 60 °F 10m ∆B (0.0000075 ) 0. 5 6 0 °F 10m ( °F °F ∆B 2× (0.0000075 °F )0.5 60 °F10m ∆ .
El signo negativo indica que el movimiento es hacia arriba y no como se colocó en el desarrollo.
4) METODO DE LAS FUERZAS VIRTUALES APLICADOS EN VIGAS Determine el desplazamiento y la pendiente en el punto B de la viga de la figura mostrada. EI es constante. w=4Tn/m C
B
A L/2= 3m
L/2= 3m L= 6m
SOLUCIÓN 1) Hallamos las reacciones
WL C
B
R1
A
R3 L/2= 3m
L/2= 3m
R2
L= 6m
0 → 0 0 → 0 → 2 2) Hallamos las fuerzas internas 2.1) Tramo CB:
0 ≤ ≤ 3 M1
w
N1 V1
x1
0 2
2.2) Tramo AB:
0 ≤ ≤ 3 M2
w R1=0
N2 A
2
V2
R3=WL/2
x2
0 2 2
3) Fuerzas virtuales
R2=WL
1 C
B
R1
A
R3 L/2= 3m
L/2= 3m
R2
L= 6m
3.1) Cálculo de las reacciones:
0 → 0 0 → 1 0 → 2 3.2) Fuerzas internas en el tramo CB: 0 ≤ ≤ 3 m1 n1 x1
v1
00 0 3.3) Fuerzas internas en el tramo AB: m2 n2
0 ≤ ≤ 3
R1=0 A
v2
R3=L/2
x2
R2=1
10 2 4) Cálculo de los momentos virtuales
1 C
B
R1
A
R3 L/2= 3m
L/2= 3m
R2
L= 6m
4.1) Cálculo de las reacciones:
0 → 0 0 → 0 0 → 1 4.2) Fuerzas internas en el tramo CB: 0 ≤ ≤ 3 m
1
n1 x1
v1
00 0
4.3) Fuerzas internas en el tramo AB: m
0 ≤ ≤ 3
2
n2
R1=0 A
v2
R3=1
x2
R2=0
00 1 5) Cálculo del desplazamiento en el punto B
La ecuación del trabajo virtual es:
∆ Luego el desplazamiento en el punto B será: ∆ 1 1 ∆ 0 2 2 2 2 1 ∆ 2 2 2 5 1 ∆ 4 2 4 3 1 5 ∆ 12 2 8 4 /0 3 3 3 ∆ 1 53 12 32 3 83 4 53 ∆ 12 2 8 4 Pero: 4/ 6 229. 5
6) Cálculo de la pendiente en el punto B La ecuación del trabajo virtual es:
Luego la pendiente en el punto B será: 1 1 0 1 2 2 2 1 2 2
3 1 . 2 2 . . 6 /0 1 3 3 . 2 2 .3. 6 32 92 92 Pero: 4/ 6 126 5) TRABAJO VIRTUAL APLICADO A MARCOS Para la estructura mostrada calcular el desplazamiento horizontal del punto 2. EI es constante.
SOLUCIÓN
CUADRO RESUMEN:
CALCULO DEL DESPLAZAMIENTO:
6) TRABAJO VIRTUAL APLICADO A PORTICO Determinar la deflexión en el punto C de la estructura, usando el método de la carga unitaria. E=2509980 Tn/m 4 G=1091295 Tn/m 4 I=0.0054 m4 A=0.25 m2
4/5
SOLUCIÓN 1) PARA RESOLVER POR EL MÉTODO DE TRABAJO VIRTUAL SE UTILIZA LA SIGUIENTE FORMULA:
. . . ∆ . = = =
2) REACCIONES
0 R3=6
0 R1+R2-34=0 R2+R3=34
0 R1(6)-10(4)-24(3)-6(4) =0 R1=22.67; R2=11.33 3) FUERZAS INTERNAS a) Tramo ED (0
N=11.33
6 M= 6 V=
b) Tramo DC (0
N=0
411.33 M=2 11. 3 3 V=
c) Tramo BC (0
N=0 V=22.67 M=22.67X
d) Tramo AB (0
4) FUERZAS VIRTUALES (en el punto C)
0 R3=0
0 R1+R2-1=0 R2+R3=1
0 -1(4) +R1(6) =0 R1=2/3; R2=1/3
a) Fuerzas internas Tramo ED
N=
V=0 M=0
b) Fuerzas internas Tramo DC N=0
M= V=
c) Fuerzas internas Tramo BC
N=0
M= V=
d) Fuerzas internas Tramo AC
N=
V=0 M=0
5) TABLA RESUMEN TRAMO
ORIGEN
LIMITES
M
V
ED
E
0-6
6 18
6 68
DC
D
0-4
BC
B
0-2
22.67X
AB
A
0-6
0
2 11.33 411.33 22.67 0
N
m
v
11.33
0
0
0 0 22.67
1 3 2 3 0
n
1 3
1 0 3 2 0 3 2 0 3
6) CALCULAMOS EL DESPLAZAMIENTO EN EL PUNTO C.
. . . ∆ . = = = 1 1 ∆ 11.333 2 11. 3 3 411. 3 31/3 3 2 22.673 22.672/3 22.672/3
∆ 22.66 37.9022 4.44 40.3022 30.2267 90.68 ∆ 113.34 2.4 25.7867 ∆ 433.3mm 7) TRABAJO VIRTUAL DEBIDO A CARGAS EXTERNAS Determinar por el metodo del trabajo virtual la deflexion horizontal y vertical en B, E=29000 Ksi. Fuerzas debidas a las cargas externas F.
SOLUCION Fuerzas debidas a las cargas externas F.
Fuerzas debidas a una carga vetical unitaria colocada en el nudo B ( )
Fuerzas debidas a una carga horizontal unitaria colocada en el nudo B ( h)
La deflexion en uno de la armadura puede calcularse como :
v=0.39 pulg
h=0.13 pulg
8) TRABAJO VIRTUAL DEBIDO A ERRORES DE FABRICACION O DEFLEXION En la estructura de barras del esquema las dimensiones de las barras son como se muestra ¿Calcular el desplazamiento vertical en el nodo C, si al momento de fabricar
las barras se comete un error, la barra 2 se fabrica con 5 mm en exceso y la barra 6 con 0.25 mm en exceso?
Resolución. 1)
La expresión a utilizar es :
1.∆∆ Se tiene que calcular las fuerzas internas que genera la carga virtual de 1 tn aplicada verticalmente en el nodo C
0 4301450 4 1.5 0 2410 2 0.5 2)
Para encontrar las fuerzas internas usaremos el método de los nodos: a) En el nodo A.
0 0.5 53°0 0.625 ó 0
1 53°0 1 0.375 b) En el nodo B.
0 0.62537° 37°0 0.625 ó 0 0.625cos37° 37°0 1 ó
c) En el nodo D.
0 0 0 1 0 1 ó
d) En el nodo E
0 1 37° 1.50 0.625 ó 0 3 37°0 30.375
