trabajo Virtual

UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC “Escuela académica proesio!al de i!"e!ier#a ci$il%

Método del trabajo virtual El método del trabajo virtual es la más útil y versátil de las técnicas energéticas. Puede usarse para determinar deformaciones en cualquier lugar de una estructura, que sean causadas por cualquier tipo o combinación de cargas. La única limitación de la teora es que debe poderse aplicar el principio de superposición. La palabra !virtual" signi#ca que e$iste en efecto, pero no de %ec%o. &na fuer'a virtual es una fuer'a #cticia que se incorpora en algún punto de la estructura. El trabajo virtual es el movimiento de esta fuer'a virtual a través de una distancia. (l aplicar el método del trabajo virtual la distancia es generalmente el despla'amiento real de la estructura baje sus cargas reales aplicadas.

Puede usarse el principio de la conservación de la energa para las fuer'as virtuales como

Trabajo virtual externo = Energía de deformación virtual interna

6i ura

1

δ × ∆ A =∑ f δ

))))))).E*&(+*-+ .

/onde0  1 la fuer'a virtual unitaria,

∆

A

1 la de2e$ión real del punto ( en la dirección de la fuer'a virtual, f

1 las fuer'as internas en las #bras debidas a la fuer'a virtual, δ

1 deformaciones reales internas en las #bras debidas a las cargas reales.

(LE3 (LE3(+ (+/4 /4- 5-+ 5-+6 6( (**- 7& 7&8P 8PE E



UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC “Escuela académica proesio!al de i!"e!ier#a ci$il% 

Las diversas secciones siguientes ilustran la aplicación de la ecuación para cargas a$iales, de 2e$ión, y de torsión.

Trabajo virtual para cargas axiales El método del trabajo virtual se aplica fácilmente a estructuras articuladas cuyos miembros están cargados a$ialmente, tal como la armadura de El miembro i'quierdo de la ec. 9.: es el trabajo virtual e$terno de la carga unitaria virtual de la 6ig. .; 9b: por la de6e$ión real (t< de la 6ig. .; 9a:. El miembro derec%o de la ec.9.: es la energa de deformación intema total. Es el producto de la fuer'a interna producida por la carga virtual y la deformación producida por las cargas reales sobre cada miembro. El trabajo puede ser positivo o negativo. 8i la fuer'a v la deformación tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo. 8i tienen sentidos opuestos, el trabajo es negativo. La 6ig. .= 9a: indica cualquier barra y su fuer'a virtual. En sistemas cargados a$ialmente, a la fuer'a virtual interna sobre la barra se le representa con la letra u. El cambio en longitud debido a las cargas reales δ

es

δ

δ

. La deformación,

. se determina como

1 PL>(E.

La deformación de cualquier punto sobre una estructura articulada puede determinarse entonces según 1

× ∆ =∑ u  PL÷  AE  )))E*&(*-+ .;

/-+/E0 1

∆

1 carga virtual. b o +. 1 de2e$ión pulg, o in,

u

1 fuer'a virtual sobre una barra intema resultante de la carga virtual. b o +, P 1 fuer'a interna en la barra producida por las cargas reales. lb o +, L 1 longitud de la barra, plg o m, ( 1 área de la sección transversal de la barra, plg< o m<, 6 1 módulo de elasticidad, lb>plg ; o Pa.

(LE3(+/4- 5-+6(*- 7&8PE

;


6i ura 6i ura

Trabajo virtual para cargas de Torsión La solución de problemas que involucran cargas de torsión es análoga a la de las cargas de 2e$ión. La 6ig. .? 9a: indica una 2ec%a circular sujeta a un par de torsión aplicado, @. 7ueremos calcular la rotación θ B

angular

.

En 5 se aplica un par unitario #cticio. El par de torsión interna producido por el par de torsión virtual es t. @rabajo virtual e$terno 1 trabajo virtual interno t .T .dx

× =∫

1 θ

G.J

(LE3(+/4- 5-+6(*- 7&8PE

=


trabajo virtual para cargas de exión La de2e$ión de una viga puede determinarse mediante el método del trabajo virtual. Para obtener la de2e$ión en cualquier punto espec#co, se aplica una carga unitaria #cticia en ese punto, en la dirección de la de2e$ión deseada. ( partir de esta carga #cticia resultante un momento virtual interno. El producto de este momento por la rotación de la sección sobre la que ocurre el momento es el trabajo virtual interno. La 6ig. .? 9al indica una viga v su carga real. 8upongamos que queremos determinar la de2e$ión en el punto /. (plicamos una fuer'a #cticia unitaria en /. como se indica en la 6ig. .? 9b:. Esta carga #cticia produce un momento m en cada lugar $, como se indica en la 6ig. .? 9el. Las cargas reales %acen que la cara vertical sobre la cual actúa m gire un ángulo dA. (LE3(+/4- 5-+6(*- 7&8PE

?

UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC “Escuela académica proesio!al de i!"e!ier#a ci$il% La de2e$ión de una viga se calcula mediante0 @rabajo virtual e$terno 1 trabajo virtual interno. 1

× ∆ =∫ m.d θ

1

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

m.M .dx

× ∆ =∫

E.I ))..E*&(*-+ .=

6i ura

El procedimiento para calcular la de2e$ión de una viga mediante el trabajo virtual es como sigue0 . 8e aplica una carga unitaria #cticia a la viga descargada en el lugar donde se desea la pendiente o la de2e$ión. ;. 8e calculan las reacciones para esta carga virtual 8e corta la viga en las secciones necesarias, se tra'a un diagrama de cuerpo libre, y se escriben las ecuaciones para el momento interno m como función de la variable $. =. 8e aplican las cargas reales a la viga. 8e calculan las reacciones correspondientes a las cargas reales, se corta la viga en las secciones necesarias, B se escriben las ecuaciones para C como funciones de la variable $. ?. 8e incorporan las ecuaciones en la ec. 9.=: y se despeja $. Las secciones !necesariasD de los pasos ; y = son aquellas que aparecen cada ve' que el sistema de cargas produce un cambio en la ecuación básica, ya sea de m, o de C.

EJEMP! "#$% /eterminar la pendiente en el apoyo * de la viga mostrada en la #gura, si E 1 constante para toda la estructura. *onsiderar sólo el efecto de 2e$ión por momento 2ector.

&!'()!*+ (LE3(+/4- 5-+6(*- 7&8PE



UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC “Escuela académica proesio!al de i!"e!ier#a ci$il% &raicamos los dia"ramas de uer'a cor(a!(e ) mome!(o l ec(or de*ido a la car"a real+ calcula!do pre$iame!(e las reaccio!es e! los apo)os+ de acuerdo a los co!ocimie!(os de Es(,(ica- Las reaccio!es ) dia"ramas de uer'as i!(er!as se mues(ra! e! la si"uie!(e i"ura-

(%ora, gra#camos los diagramas de fuer'a cortante y momento 2ector para el caso del momento unitario aplicado en *

E3ECPL- 9F;: &na viga simplemente apoyada (5 de longitud L y rigide' a 2e$ión E, soporta una carga distribuida triangularmente de intensidad má$ima G, tal como se muestra en la #gura. /eterminar las pendientes en los apoyos ( y 5.

(LE3(+/4- 5-+6(*- 7&8PE

H


8-L&*-+0

EJEMP! "#,%

(LE3(+/4- 5-+6(*- 7&8PE

I


/E8PL(J(CE+@- KE4@*(L E+ !*D0 (%ora, gra#camos el diagrama de momento 2ector, debido a la acción de la carga unitaria vertical en *

(LE3(+/4- 5-+6(*- 7&8PE




PE+/E+@E E+ !5D0 Mra#camos el diagrama de momento 2ector debido a la acción del momento unitario aplicado en el apoyo 5.

(LE3(+/4- 5-+6(*- 7&8PE

N


(LE3(+/4- 5-+6(*- 7&8PE

 F

trabajo Virtual

Recommend Documents