Trabajo Virtual en vigas y pórticos

Teoría del Método de Trabajo Virtual


METODO DEL TRABAJO VIRTUAL EN VIGAS Y MARCOS El Metodo del Trabajo Virtual, esta basado en el Principio de los Desplazamientos Virtuales, con la diferencia que se usa sobre cuerpos deformables; constituye un método muy útil para el calculo de deflexiones elásticas en estructuras. Estas deflexiones pueden ser lineales o angulares en cualquier dirección. El método queda enunciado: “Si una estructura deformable, en equilibrio y soportando una carga dada o sistema de cargas, esta sujeta a una deformación virtual como resultado de alguna acción adicional, el trabajo virtual externo de la carga dada o sistema de cargas es igual al trabajo virtual interno de los esfuerzos causados por la carga dada o sistema de cargas” Dado que las deformaciones debidas a la flexión son la causa principal de las deflexiones en marcos y en vigas, estas pueden ser determinadas por el Método del Trabajo Virtual, mediante la ecuación:

1⋅ Δ = ∫

L

0

mM dx EI

donde: 1 =

Carga unitaria virtual externa que actúa sobre la viga o marco en la dirección de ∆.

∆ = Desplazamiento externo del punto causado por las cargas reales actuando sobre la viga o marco. m = Momento virtual interno en la viga o marco, expresado en función de x y causado por la carga unitaria virtual externa. M = Momento interno en la viga o marco, expresado en función de x y causado por las cargas reales. E = Modulo de elasticidad del material. I =

Momento de inercia de la sección transversal, calculado respecto al eje neutro.

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De manera similar, si se debe determinar la rotación de la tangente o ángulo θ de la pendiente en un punto sobre la curva elástica de la viga, se aplica el momento concentrado unitario en el punto, y se determinan los correspondientes momentos internos; se tiene entonces la siguiente ecuación:

1⋅ θ = ∫

L

0

mθ M dx EI

Al aplicar estas ecuaciones es importante ver claramente que las integrales definidas en el lado derecho representan realmente la cantidad de energía de deformación virtual almacenada en la viga. Si las fuerzas o mementos concentrados actúan sobre la viga, o si la carga distribuida es discontinua, se deben resolver varias integrales; para las cuales se escogen varias coordenadas x dentro de la región que no tenga discontinuidad de cargas. No es necesario que cada x tenga el mismo origen; sin embargo, la x seleccionada para determinar el momento real M debe ser la misma x usada para determinar el momento virtual m o mθ dentro de la misma región.

PROCEDIMIENTO DE ANALISIS. Este procedimiento se puede usar para determinar el desplazamiento y/o la pendiente en un punto sobre la curva elástica de una viga o marco usando el Método del Trabajo Virtual. Momentos virtuales m o mθ: Colocar una carga unitaria sobre la viga o marco en el punto y en la dirección o desplazamiento buscado. Si va a determinarse la pendiente, coloque un momento concentrado unitario en ese punto. Establezca coordenadas x apropiadas que sean válidas dentro de las regiones de la viga o marco donde no haya discontinuidad de carga real o virtual. Se retiran las cargas reales, y se calcula el momento m o m θ en función de cada coordenada x. Se usa m o mθ positivos si produce tracción en las fibras inferiores de la viga. Momentos Reales M:

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Con las mismas coordenadas x establecidas para m o mθ se determinan los momentos internos M causados solo por las cargas reales. Como se supone inicialmente que m o mθ son positivos, es importante que M también sea positivo (que actúe en la misma dirección). Esto es necesario ya que el trabajo interno positivo o negativo depende del sentido direccional de la carga y del desplazamiento. Ecuación de trabajo virtual: Se aplica la ecuación de trabajo virtual para determinar el desplazamiento Δ o la rotación θ requeridos. Es importante el signo algebraico de cada integral calculada dentro de su región especificada. Si la suma algebraica de todas las integrales para la viga entera o marco es positiva, quiere decir que Δ o θ tendrá el mismo sentido que el de la carga unitaria o momento concentrado unitario. Bibliografía consultada: Análisis Estructural. R.C. Hibbeler. Teoría Elemental de Estructuras. Yuan-Yu Hsieh. Estructuras Análisis y Diseño. McCormac Elling. Tomo I

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