METODO DEL TRABAJO VIRTUAL
El Método Método del Traba Trabajo jo Virtua Virtual, l, está está basado basado en el Principi Principio o de los Desp Despla laza zami mien ento tos s Virt Virtua uale les, s, con con la dife difere renc ncia ia que que se usa usa sobr sobre e cuer cuerpo pos s defor deformab mables les;; consti constituy tuye e un método método muy til til para para el cálcu cálculo lo de defle! defle!ion iones es elásticas en estructuras" Estas de fle!iones pueden ser lineales o an#ulares en cualquier direcci$n" El método queda enunciado %i una estructura estructura deformable, en equilibrio y soportando una car#a dada o sistema sistema descar# descar#as, as, está sujeta a una deforma deformaci$n ci$n &irtual como resultad resultado o de al#una acci$n adicional, el trabajo &irtual e!terno de la car#a dada o sistema de car#as es i#ual al trabajo &irtual interno de los esfuerzos causados por la car#a dada o sistema de car#as' (onsidere una part)cula sobre la que actan &arias fuerzas *+, * """""""" *-" %upon#a %upon#a que la part)cula realiza un desplazamiento desplazamiento peque.o desde / 0asta /1, el cual cual en ocas ocasion iones es es posib posible le,, pero pero no nece necesar sariam iament ente e suce sucede de"" 2as 2as fuerza fuerzas s pueden estar balanceadas y la part)cula en reposo o la part)cula puede mo&erse bajo la acci$n de las fuerzas dadas en una direcci$n diferente a la de //1" / este desplaz desplazamie amiento, nto, denotad denotado o por
δ
r, se le llama desplazamiento &irtual, puesto
que en realidad no sucede" El s)mbolo
δ
r representa una diferencia3 de primer
orden y se le usa para distin#uir el desplazamiento &irtual del desplazamiento dr que podr)a suceder si la part)cula estu&iera en mo&imiento" (omo se &erá más adelante, los desplazamientos &irtuales pueden usarse para determinar si se satisfacen las condiciones de equilibrio de una part)cula dada" da" /l trab traba ajo rea realiz lizado por las fue fuerza rzas * ,, * , " " " , *- duran urantte el δ
desplazamiento &irtual
r se le llama trabajo &irtual" El trabajo &irtual de todas
las fuerzas que actan sobre la part)cula es4 δ
δ
56*j7
r8*9
δ
r 8 7 7 7 8 *- 7
o <:= 6 > 7
δ
r?
*@
*
/A /A δr
/ *B
δ
r 6 :*, 8 * 8 7 7 7 8 * 7
δ
r
Donde con > se representa la resultante de las fuerzas dadas" Por tanto, el trabajo &irtual total realizado por las fuerzas *3, * , " " " , *- es i#ual al trabajo &irtual realizado por su resultante >" El principio del trabajo &irtual para una part)cula establece que si una part)cula está en equilibrio, el trabajo &irtual total de las fuerzas que actan sobre la part)cula es cero para cualquier desplazamiento &irtual de la partida" /s), esta condici$n necesaria establece que si la part)cula está en equilibrio, la resultante > de las fuerzas es cero y, por tanto, se concluye con base en la ecuaci$n
δ
que el trabajo &irtual
suficiente para afirmar que si el trabajo &irtual desplazamiento &irtual, el producto escalar > 7
δ
5 es cero" 2a condici$n es δ
5 es cero para cualquier
r es cero para cualquier
δ
r,
y que la resultante > debe ser cero" Aplicaciones del trabajo virtual El principio del trabajo &irtual es particularmente efecti&o cuando se aplica a la soluci$n de problemas que in&olucran maquinas o mecanismos compuestos de &arios cuerpos r)#idos conectados entre s) Por ejemplo, la prensa de banco /(C a, la cual se usa para comprimir un bloque dc madera" %e desea determinar la fuerza ejercida por la prensa sobre el bloque cuando se aplica en ( una fuerza P suponiendo que no 0ay fricci$n" >epresentando con la reacci$n que ejerce el bloque sobre la prensa, se dibuja el dia#rama de cuerpo libre de la misma y se considera el desplazamiento &irtual que se obtiene al incrementar en forma δ
positi&a el an#ulo en
" /l seleccionar un sistema de ejes coordenados con
ori#en en /, se nota que F C se incrementa mientras que G ( disminuye"
%e muestra un incremento positi&o
δ
FC y un incremento ne#ati&o H
δ
G(
2as reacciones /F, /G y I no realizan trabajo durante el desplazamiento &irtual considerado y solo se debe calcular el trabajo realizado por P y " (omo y FC tienen sentidos opuestos, el trabajo &irtual de es
δ
5 6 J
δ
P y el incremento tienen el mismo sentido, el trabajo &irtual de P es 8P:J
δ
δ
G(? J JP
δ
FC" (omo δ
5P 6
G( " El si#no ne#ati&o en la relaci$n anterior pudo
0aberse pre&isto al obser&ar que las fuerzas y P tienen, respecti&amente, direcciones opuestas a los ejes positi&os ! y y" %i se e!presa las coordenadas F C y G( en términos del /n#ulo y diferenciando, se obtiene4 FC 6 l sen y ( 6 l cos δ
FC 6 K cos
δ
δY (
6 Jl sen
δ
Por tanto, el trabajo &irtual realizado por las fuerzas y P es
δ
56
δ
5 8
6 Jl cos Estableciendo l cos
δ
δ δ
δ
5P 6 H
δ
FC H P
δ
8 Pl sen
δ
G(
5 6 L se obtiene
6 Pl sen
δ
6 @KP tan En este problema es clara la superioridad del método del trabajo &irtual sobre las ecuaciones de equilibrio con&encionales4 al utilizar el método del trabajo &irtual se pudieron eliminar todas las reacciones desconocidas mientras que al plantear la ecuaci$n de equilibrio
∑ MA
6L solo se 0ubieran podido eliminar dos de estas"
Esta propiedad del método del trabajo &irtual se puede utilizar para resol&er problemas >elacionados con máquinas y mecanismos" %i el desplazamiento &irtual considerado es consistente con las restricciones impuestas por los apoyos y uniones, todas las reacciones y las fuerzas internas se eliminan y solo debe considerarse el trabajo de las car#as, las fuerzas aplicadas y las fuerzas de fricci$n" También el método del trabajo &irtual puede utilizarse para resol&er problemas que in&olucran estructuras completamente restrin#idas, aunque en realidad nunca se presenten los desplazamientos &irtuales considerados" Por ejemplo, considere el armaz$n /(C" %i se mantiene fijo el punto / mientras que al punto C se le aplica un desplazamiento &irtual 0orizontal, solo es necesario considerar el trabajo realizado por P y C !" Entonces, se puede determinar el &alor de la componente de reacci$n C ! de la misma forma en que se calcul$ la fuerza del ejemplo anterior; por tanto, se obtiene4 Bx = —1/2P tan En forma análo#a se puede determinar la componente de la reacci$n / !" al mantener fijo el punto C y aplicar un desplazamiento &irtual 0orizontal al punto A. 2as restantes componentes / G y CG se pueden calcular rotando el armaz$n ABC como si fuera un cuerpo r)#ido, respecti&amente, con relaci$n a C y A. El método de trabajo &irtual también se puede emplear para determinar la confi#uraci$n de un sistema en equilibrio sujeto a la acci$n de &arias fuerzas dadas" Por ejemplo, puede obtenerse el &alor del /n#ulo para el cual el mecanismo" Está en equilibrio bajo la acci$n de las fuerzas P y " >esol&iendo la ecuaci$n para tan . Es necesario se.alar que lo atracti&o del método del trabajo &irtual depende en #ran medida de la e!istencia de relaciones #eométricas simples entre los diferentes desplazamientos &irtuales in&olucrados en la soluci$n de cierto problema dado" (uando no es posible obtener dic0as relaciones #eométricas simples es necesario recurrir al método con&encional"
