Donde: 1
: Carga unitaria virtual externa que actúa sobre la viga o marco en la dirección de ∆.
m
: Momento virtual interno en la viga o marco, expresado en función de X Y causado por la carga unitaria virtual externa. : Desplazamiento externo del punto causado por las cargas reales actuando sobre la viga o
∆
marco. M
: Momento interno en la viga o marco, expresado en función de X Y causado por las cargas reales.
E
: Modulo de elasticidad del material.
I
: Momento de inercia de la sección transversal calculado respecto al eje neutro.
De manera similar, se debe determinar la rotación de la tangente o ángulo de la pendiente en un punto sobre el área elástica de la viga, se aplica un momento concentrado unitario en el punto, y se determinan los correspondientes momentos “m” internos. Como el trabajo del momento concentrado
unitario es 1.Ɵ, se tiene entonces:
TEOREMA DE CASTIGLIANO
En 1879, Alberto Castigliano, un ingeniero de ferrocarriles Italiano, publico un libro en el que delineo un método para determinar la deflexión o la pendiente en un punto de una estructura, ya fuese esa una armadura, una viga o marco. Este método llamado también segundo teorema de Castigliano o método del trabajo mínimo es aplicable solo a estructuras con temperatura constante, con soportes sin asentamientos y hechas de material con respuesta elástica lineal.
Para determinar el desplazamiento de un punto, el teorema establece que este es igual a la primera derivada parcial de la energía de deformación en la estructura con respecto a una fuerza que actúa en el punto y en la dirección del desplazamiento.
Para determinar la pendiente de un punto de una estructura es igual a la primera derivada parcial de la energía de deformación respecto a un momento que actúa en el punto y en la dirección de la rotación.
Para obtener el segundo teorema de Castigliano considere en cuerpo (estructura) de cualquier forma arbitraria sometido a una serie de “n” fuerzas P1, P2,……. Pn. como el trabajo externo hecho por esas cargas el igual a la energía de deformación interna almacenada en el cuerpo podemos escribir.
U i = Ue
Sin embargo, el trabajo externo e s una función de las cargas externas
Ui = Ue = F(P1, P2
,…..
Pn)
Ahora, si cualquiera de las fuerzas, digamos Pi, se incrementa de una cantidad diferencial dP i, el trabajo interno también se incrementara, de manera que la nueva energía de deformación resulta ser.
Ui = dUe = Ui +
La ecuación (2-1) representa la energía de deformación en el cuerpo determinada apliacando primero las cargas P1, P2,……. Pn luego Dpi.
La ecuación (2.2) representa la energía de deformación determinada aplicando primero dpi y luego las cargas P1, P2,……. Pn U: + du; = U: + DP;∆
TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA ARMADURAS 2
La energía de deformación para un miembro de una armadura esta dada por ela ecuación U i = N L/2AE. Sustituyendo esta ecuación en la ecuación (2-3) y omitiendo el subíndice i, tenemos:
∑ Como L, A y E son constantes para un miembro dado la ecuación será:
∑
