Segundo teorema de castigliano
Segundo teorema de castigliano castigliano En 1876, Alberto castigliano castigliano enuncio un teorema teorema que nos permite encontrar cualquier componente de deflexión de una estructura a partir de la energía de deformación de la misma. Al a erlo aplicado a las reacciones redundantes de una estructura indeterminada, se obtiene un corolario que se conoce tambi!n como segundo teorema de castigliano. El teorema original dice:
"a componente de deflexión del punto de aplicación de una acción sobre una estructura, en la dirección de dic#a acción, acción, se puede obtener ealuando la primera primera deriada parcial de la energía interna de deformación estructura con respecto a la acción aplicada. El teorema es aplicable tanto a fuer$as como a momentos, obteni!ndose en el primer caso la componente de deflexión en la dirección de la fuer$a % en el segundo la rotación en el plano del momento. &ara demostrarlo se puede utili$ar la iga figura mostrada en la que se supone que existe una relación lineal entre cargas % deflexiones. En la parte 'a( de la misma se considera que la fuer$as & % ) se #an aplicado gradual % simult*neamente % la deflectan seg+n la línea de tra$os. tra$os. En irtud del supuesto supuesto de linealidad linealidad entre cargas % deflexiones, deflexiones, el trabao extremo real reali$ i$ad ado, o, que que es igua iguall a la ener energí gíaa inte intern rnaa de defo deform rmac ació ión, n, como como se demo demost stró ró anteriormente, est* dado por-
Si se le aade a#ora el sistema una pequea carga d& con la misma dirección % sentido de la carga & original. Se producir* una deflexión adicional seg+n se indica en la parte 'b( de la misma figura. A su e$ resulta un trabao adicional-
/ si se desprecia el producto de las dos diferenciales dic#o trabao se reduce a-
El mismo estado final se podría #aber obtenido aplicando desde el principio '& 0 d&( % ), gradual % simult*neamente. Es eidente que en tal caso se obtendría de una e$ la posición deflectada de la parte 'b( de la figura % en consecuencia el trabao total externo estaría dado por-
)ue al despreciar de nueo el producto de dos diferenciales se conierten en-
&ero d2 3 4 5 por consiguiente, de las ecuaciones anteriores se obtiene-
espeamos a#ora la ecuación-
eempla$ando este alor en la ecuación anteriormente obtenida de la ecuación d resulta-
/ despeando-
)ue era lo que quería demostrar, pues el #ec#o de #aber mantenido a ) constante, equiale matem*ticamente a deriar parcialmente con respecto a &. por lo tanto, el teorema de castigliano se puede expresar en general así-
Si el signo de la respuesta da negatio quiere decir que la deflexión es opuesta al sentido de la acción con respecto a la cual se tomó la deriada. Si se quiere aeriguar la deflexión en un punto donde no #a% aplicada ninguna acción, o en una dirección distinta de la acción aplicada, sencillamente se aplica una acción imaginaria en el sitio % dirección deseados #asta encontrar la deriada parcial de la energía de deformación- luego la acción imaginaria se iguala a cero. eneralmente se a#orra tiempo si la deriación se efect+a antes de integrar las expresiones que dan la energía de deformación. &or consiguiente, si se requiere aeriguar una deflexión lineal en una armadura, basta aplicar
"as deflexiones lineales por flexión est*n dadas por-
&ara secciones rectangulares 9 : 1.;, circulares5 9 : 1<=>, perfiles - 9 ? 1 % se toma como A el *rea del alma. &ara secciones rectangulares de dimensiones # % b '#@b(-
El efecto de corte es-
/ el de torsión-
Si se quieren aeriguar rotaciones, en el lado i$quierdo de las expresiones anteriores se escribiría % las deriadas parciales se tomarían con respecto a un momento aplicado en el punto de la rotación deseada. En todos los casos es mu% importante dar las fuer$as internas de signos apropiados. El teorema de castigliano se puede aplicar a cualquier componente de reacción. Si se tiene en cuenta que la deflexión correspondiente es nula, es claro que en tal caso los lados derec#os de las ecuaciones de deflexiones deberían dar cero. Esta obseración constitu%e en el corolario del teorema % resulta mu% +til para ealuar las reacciones redundantes en estructura est*ticamente indeterminadas.
Eemplo Sea la m!nsula de la figura mostrada, sometida a las fuer$as indicadas. Se desea #allar el moimiento ertical en el punto B.
Solución. "as le%es de esfuer$o ser*n-
"a energía el*stica aldr*.
A partir de la expresión se obtiene la flec#a en B
/ puesto que.
