En este documento se explica como implementar el método de Gauss-Jordan, para la resolución de sistema de ecuaciones. Así también se explica como estructurar el algoritmo para la programació…Descripción completa
Algoritmos de los Métodos de Gauss y de Gauss-JordanDescripción completa
Full description
Nombre de la materia
Álgebra Lineal Nombre de la Licenciatura
Ingeniería industrial y administración Nombre del alumno
Marco Antonio Jaimes Rodriguez Matrícula
00001086 Nombre de la Tarea
M!todo "auss#Jordan Unidad #
$% M!todo "auss#Jordan Nombre del Tutor
Juan Arturo Arturo &íaz 'el(z)uez Fecha
16*11*$01+
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de la unidad
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Instroducción: Método de Gauss Jordan Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm jordan. Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones ecuaciones y obtener obtener las soluciones soluciones por medio de la reduccin del sistema dado a otro !ue sea e!uivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendr" una incgnita menos !ue la anterior. #a matriz !ue resulta de este proceso lleva el nombre !ue se conoce como $orma escalonada. Este método% permite resolver hasta &' ecuaciones simult"neas. #o !ue lo di$erencia del método Gaussiano es !ue cuando es eliminada una incgnita% se eliminar" de todas las ecuaciones restantes% o sea% las !ue anteceden a la ecuacin principal así como de las !ue la siguen a continuacin. (e esta manera el paso de eliminacin $orma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. )o es necesario entonces utilizar la sustitucin hacia atr"s para conseguir la solucin. El método se ilustra mejor con un ejemplo. *esolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones +.' ,- '.- ,& '.& ,+ / 0.12'' '.- ,- 3 0.' ,& '.+ ,+ / -4.+ '.+ ,- '.& ,& 3 -' ,+ / 0-.5''' 6rimero e7presemos los coe$icientes y el vector de términos independientes como una
matriz aumentada .
Se normaliza el primer rengln dividiendo entre + para obtener8
El término X1 se puede eliminar del segundo rengln restando 0.1 veces el primero del segundo rengln. (e una manera similar% restando 0.3 veces el primero del tercer rengln se elimina el término con X1 del tercer rengln.
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En seguida% se normaliza el segundo rengln dividiendo entre
7.003338
*educiendo los términos en X2 de de la primera y la tercera ecuacin se obtiene8
El tercer rengln se normaliza dividiéndolo entre
10.010 8
Finalmente% los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuacin para obtener8
)tese !ue no se necesita sustitucin hacia atr"s para obtener la solucin. #as ventajas y desventajas de la eliminacin gaussiana se aplican también al método de Gauss9ordan.
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6ara los siguientes sistemas de ecuaciones lineales8 a: 2x + y+ z = 8 3x - 2y - z = 1 4x - 7y + 3z = 1
b: -x + y - z = -2 3x + y + z = 1 4x +2y + 3z = 14
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!onc"usiones: ;un!ue ;un!ue los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos% el primero re!uiere apro7imadamente 2'< menos operaciones. 6or lo tanto% la eliminacin gaussiana es el método simple por e7celencia en la obtencin de soluciones e7actas a las ecuaciones lineales simult"neas. =na de las principales razones para incluir el método de Gauss9ordan% Gauss9ordan% es la de proporcionar proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa. 6ara resolver un sistema de n ecuaciones con n incgnitas se re!uiere >étodo8
)umero apro7. de operaciones
>étodo de Eliminacin de Gauss >étodo de Eliminacin de Gauss 9ordan
#i$"io%ra&'a:
•
>étodo de Gauss9ordan ? #a Guía de >atem"tica http8@@matematica.laguia&'''.com@general@metodo degaussjordanAi7zz+9GGa9BWl
