MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Angel Cumbe, Elmer Bernal
1. I MP LE ME NT AC I ÓN
DE L M É TO DO
El método de Gauss-Jordan se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales, es una variante de la eliminación de Gauss. Consiste en encontrar una matriz escalonada reducida por filas, a partir de la matriz ampliada compuesta por la matriz de coeficientes y el vector de las constantes del sistema de ecuaciones.
Figura 1. Ejemplo de matriz ampliada de un sistema de tres ecuacione ecuaciones. s.
Figura 2. Matriz escalonada reducida por filas.
El vector que compone la última columna de la matriz en la figura 2, corresponde a las soluciones del sistema.
Figura 3. Soluciones del sistema aplicando el método de Gauss-Jordan.
2. D ES AR RO L LO
(1) (2) (3)
,2, ++ ,2,2222 ++ ,2, == 2 , + ,22 + , =
Primera Etapa
2
= 3
, , 2 , = 2,, 2,,22 2,, | 2
Si consideramos un sistema de tres ecuaciones con las incógnitas
,
,
, se tiene que
.
Figura 4. Matriz ampliada.
En esta etapa se realiza una eliminación hacia adelante, en la cual se reduce el sistema de ecuaciones a un sistema triangular. Por ejemplo, para eliminar la primera variable de la ecuación (2), se encuentra un coeficiente pivote , luego de forma respectiva se resta los coeficientes coeficientes de la ecuación (2) menos los coeficientes de la ecuación (1) multiplicados por el coeficiente pivote, de la siguiente manera.
(2)
= ,2, 2, − ,2, ×, + 2,2 − ,2, ×,2 2 + 2, − ,2, ×, = 2 − 2,, ×
(2)
↓ 0 + ′2,22 + ′2, = ′2 0, ′,22,2 ′,2, ′2 0 0 ′′, ′′
Esta operación se realiza hasta reducir el sistema una matriz triangular superior.
Figura 5. Matriz triangula superior.
Segunda Etapa
= . , ,, + ,,22 + ,, = , + , 22 + , = ′
En la segunda etapa se normaliza la diagonal principal del sistema, por ejemplo, en la primera ecuación se divide para el coeficiente de la variable
(1)
(1)
↓
10 ′1,2 ′′′2,, ′′′2 0 0 1 ′′
Figura 6. Matriz de forma triangula superior con la diagonal normalizada.
El superíndice prima indica que el coeficiente ha modificado.
Tercera Etapa En la tercera etapa se realiza una eliminación hacia atrás, esta vez se eliminan las ecuaciones por encima de la diagonal principal, hasta formar una matriz escalonada reducida por filas. Por ejemplo, para la ecuación (2) se tiene la siguiente operación.
(2)
= 2, 0 + 2 + (2, −2, ) = (2 − 2, ) 0 + 2 + 0 = (3)
↓
10 01 00 2 0 0 1
Figura 7. Matriz de forma escalonada reducida por filas.
El superíndice indica el número de veces que se ha modificado el coeficiente.
3. C Ó DIGO
EN MA TL AB
Primero se obtiene el valor de mediante la función “size”. Luego se concatenan horizontalmente la matriz de coeficientes con el vector de las constantes , para formar la matriz ampliada , haciendo uso de la función “horzcat ”.
Primera Etapa En la primera etapa se realiza la eliminación hacia adelante mediante tres bucles, el bucle que empieza en la línea 6 realiza un barrido diagonal. El bucle de la línea 7 realiza un barrido vertical calculando el coeficiente pivote que se utilizara para la eliminación. El bucle de la línea 9 realiza un barrido horizontal eliminando las incógnitas por debajo de la diagonal principal.
Segunda Etapa En esta parte del programa se normaliza los coeficientes de la diagonal principal. No es necesario que se realice después de la primera etapa, puesto que se puede realizar antes, pero se realiza después de la primera etapa por cuestiones de orden.
Tercera Etapa En la tercera etapa se realiza una eliminación hacia atrás con el mismo número de bucles que en la primera etapa.
4. B IBL IOGR AF ÍA [1] Chapra, S., Canale, R., Enr quez Brito, J. and Roa Hano, M. (2007). M e todos nume ricos para ́ ́ ́ ingenieros. Me xico: McGraw-Hill Interamericana. ́ [2] L, V. (2014). Metodos numericos y programacion en excel-vba para ingenieros quimicos. [Place of publication not identified]: Editori al Academica Espan.
