Ing. E. De La Rosa Ríos
INGENIERÍA ECONÓMICA
Método del valor presente para evaluar alternativas Ing. E. De La Rosa Ríos. Cuando una cantidad de dinero es convertida en un valor presente equivalente, la magnitud de la cantidad presente es siempre menor que la cantidad del flujo de caja del cual fue calculada. Esto se debe a que cualquier tasa de interés mayor que cero hace que todos los factores P/F tengan un valor menor que 1.0. Por esta razón, los cálculos del valor presente a menudo se denominan como métodos de flujo de caja descontados (FCD). Del mismo modo, la tasa de interés utilizada para hacer los cálculos se denomina como tasa de descuento. Otros términos frecuentemente empleados referentes al valor presente son valuación presente (VP) y valor presente neto (VPN). Cuando el horizonte de planeación de las alternativas tiende al infinito, el valor presente toma el nombre de Costo Capitalizado . Indiferentemente de la manera como se le llama, los cálculos del valor presente son comúnmente utilizados para tomar decisiones económicas. En este capítulo se discutirán las técnicas de comparación de alternativas por el método del valor presente. 1.1 Comparación de alternativas con vidas útiles iguales `por el método del valor presente El método del valor presente (VP) para la evaluación de alternativas es muy popular porque futuros gastos o ingresos son transformados en dinero equivalente hoy . Es decir, todos los flujos de caja futuros asociados con una alternativa son convertidos a valores de dinero presente. En esta forma es muy fácil para una persona no familiarizada con el análisis económico, compara alternativas. La comparación de alternativas que tienen vidas útiles iguales por el método del valor presente es directa. Si ambas alternativas se utilizan en idénticas condiciones para el mismo período de tiempo, se denominan alternativas de igual servicio. Hay casos que el flujo de caja comprende sólo desembolsos, caso en el que es conveniente omitir el signo menos de los desembolsos. Entonces la alternativa con el más bajo valor presente (desembolsos o costos) debe seleccionarse. Cuando se consideran desembolsos e ingresos, es generalmente conveniente considerar los signos correspondientes a ingresos y desembolsos. En este caso, la alternativa seleccionada debe ser la que tenga el más alto valor presente.
Ejemplo 3.1 Hacer la comparación de valor presente para dos máquinas de igual servicio, cuyos costos se presentan a continuación, si la tasa de interés es i =10% anual.
Costo inicial (P) Costo anual de operación (CAO) Valor de salvamento (VS) Vida útil, años
Solución:
Maq. Tipo A $3,000 850 400 5
Maq. Tipo B $4,000 800 500 5
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El DFC de la máquina tipo A: Determinamos los valores de PA de acuerdo al DFC, usamos notación estándar: P A=?
$400
0
1
2
3
4
5
Año
A=$850
$3,000
Determinamos los valores de PA de acuerdo al DFC, usamos notación estándar:
P A
3,000 850 P A , i, n 400 P F , i, n 3,000 850 P A ,10%,5 400 P F ,10%,5
P A
3,000 8503.7908 4000.6209 $5,973.82
De manera similar, utilizando fórmulas de la matemática financiera:
1 i n 1 1 P A 3,000 A F n n i i i 1 1 P A
1 0.105 1 400 3,000 850 $5,973.80 5 5 1 0 . 10 0 . 10 1 0 . 10 PB=?
El DFC de la máquina tipo B: $500
0
1
2
3
4
5
A=$800 $4,000
P B
4,000 800 P A ,10%,5 400 P F ,10%,5 4,000 8003,032.64 5000.6209
P B
$6,722.19
Año
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P B
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1 0.105 1 500 4,000 800 $6,722.17 5 5 0 . 10 1 0 . 10 1 0 . 10
Como P A < PB, debe seleccionarse la máquina tipo A. Observe el signo menos en el valor de salvamento, porque se trata de un costo negativo.
3.2 Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes por medio del valor presente Como se vio en la sección anterior, la comparación por valor presente conlleva una comparación justa, solamente cuando el valor presente representa costos o ingresos asociados con igual servicio. Sería un error comparar alternativas de igual servicio pero con vidas útiles diferentes, ya que siempre estaríamos a favor de la vida útil más corta, en vista de que menos períodos de costos serían considerados. Igual servicio requiere satisfacer también que las vidas útiles sean iguales. Emplear la metodología que toma en cuenta el MCM de las vidas útiles diferentes para así cumplir con el requisito de igual servicio, carece de sustento racional. En tal sentido, planteamos que casos similares al presente deben ser analizados por el método del Costo Anual Equivalente (CAE), se verá más adelante.
3.3 Cálculos del Costo capitalizado Costo capitalizado, es el valor presente de un proyecto que se supone tendrá una vida útil indefinida. Ciertos proyectos de obras públicas, como represas y sistemas de irrigación, ferrocarriles, universidades, organizaciones de caridad, están dentro de esta categoría y deben administrarse por medio del costo capitalizado. Proceso a seguir para el cálculo del costo capitalizado 1°. Dibujo del DFC que muestre todos los gastos y/o ingresos no recurrentes (que ocurren una sola vez) y al menos dos ciclos de todos los gastos o ingresos recurrentes (periódicos). 2°. Se halla el valor presente de todos los gastos (ingresos) no recurrentes. 3°. Se halla el costo anual uniforme equivalente (por ejemplo, A) durante un ciclo de todos los gastos recurrentes y de las series de costos anuales uniformes ocurridos en el año 1 hasta el infinito para obtener un valor uniforme anual equivalente (CAUE), llamado serie anual uniforme (A) hasta ahor a. Se utiliza la siguiente Ecuación:
(3.1)
4°. Se divide el CAUE obtenido en el paso (3°) por la tasa de interés para obtener el costo capitalizado del CAUE. 5°. Se suma el valor obtenido en el paso (2°) al valor obtenido en el paso (4°).
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Validación de la ecuación (3.1) Considerando el valor del dinero en el tiempo, si se deposita $10,000 en una cuenta de ahorros al 20% de interés capitalizado anualmente, el retiro máximo de dinero que se puede hacer al final de cada año a perpetuidad es $2,000, es decir, una cantidad igual al interés acumulado en ese año. Esto permite que los $10,000 iniciales depositados ganen otros $2,000 que se acumularán para el año siguiente. Matemáticamente, la cantidad de dinero que puede acumularse y retirarse en cada período de interés consecutivo para un período infinito de tiempo es:
(3.2)
Así, para l ejemplo: A=10,000 (0.20) = $2,000 por año El cálculo del costo capitalizado propuesto por la ecuación (2.1) se obtiene despejando P de la ecuación (2.2) se obtiene:
(3.3)
Para el caso del ejemplo, si se desea retirar $2,000 cada año eternamente, a una tasa de interés de 20% anual, empleando la ecuación (2.3), se tiene:
Después de obtener el valor presente de todos los flujos de caja, el costo total capitalizado es simplemente la suma de dichos valores presentes. Ejemplo ilustrativo de aplicación: Ejemplo 3.2 Calcule el costo capitalizado de un proyecto que tiene un costo inicial de $150,000 y un costo adicional de inversión de $50,000 a los 10 años. Los costos anuales de operación son de $5,000 para los primeros 4 años y $8,000 de allí en adelante. Además se espera que haya un costo recurrente de reoperación de $15,000 cada 13 años. Asuma que i=15% anual. Solución:
1° DFC: (con todos los flujos no recurrentes y al menos 2 ciclos de flujos recurrentes):
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0
2
4
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6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26 años
5,000 8,000 15,000
15,000
50,000
150,000
2° Hallar el valor presente (P 1) de los costos no recurrentes: P1=150,000+50,000(P/F,15%,10) =150,000+50,000(0.2472) = $162,360 3° Convertimos el costo recurrente de $15,000 cada 13 años en un CAUE (A 1) para los primeros 13 años: A1=15,000(A/F,15%,13)=15,000(0.0291)= $436.50; (este valor al ser recurrente, se aplica a todos los otros 13 períodos también). 4° Se calcula el costo capitalizado de las series anuales:
P 2
3,000
3,000 P ,15%,4 0.5718 $11,436 0.15 F 0.15
Los dos costos anuales se convierten en un costo capitalizado P3:
P 3
A1 A2 i
436.50 5,000 0.15
$36,243
5° El costo total capitalizado (P T) será la suma de los parciales: PT= P1 + P2 + P3 = $210,039
3.4 Comparación del costo capitalizado de dos alternativas
Cuando se comparan dos o más alternativas sobre la base de sus costos capitalizados, se utiliza el procedimiento visto en la sección 2.2 para cada una de ellas. Como el costo capitalizado representa el costo total presente de financiar cualquier alternativa dada, es inmediato la comparación de las alternativas por el mismo número de años (es decir, infinito). La alternativa con menor costo capitalizado representa la mejor opción con criterio económico. Como en el método del valor presente y otros alternos de evaluación, deben tenerse en cuenta sólo las diferencias en los flujos de caja entre alternativas las que deben tenerse en cuenta.
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Si el verdadero valor del costo capitalizado es relevante en lugar de hacer costos comparativos, es mejor usar los flujos de caja actuales y reales que las diferencias.
Ejemplo 3.3 Se consideran dos lugares para la construcción de un puente que cruza un río. El sitio Norte conectaría una carretera principal con un cinturón vial alrededor de la ciudad y descongestionaría el tráfico local. Las desventajas de este sitio son: el puente prácticamente no descongestionaría el tráfico local durante las horas punta y tendría que extenderse desde una colina y abarcar la parte más ancha del río, la vía férrea y las carreteras locales que pasan por debajo. Por tanto, este puente tendría que ser un puente colgante. El sitio Sur, requiere una distancia más corta, lo que permitiría la construcción de un puente metálico apoyado sobre estribos, pero sería necesario construir una nueva carretera. El puente colgante tendría un costo inicial de $30 millones, con costos anuales de inspección y mantenimiento de $15,000. Además, la plataforma de concreto tendría que recubrirse cada 10 años aún costo de $50,000. Se espera que el puente metálico y la carretera de acceso tengan un costo de $12 millones y costos anuales de mantenimiento de $10,000. Además, cada 10 años el puente debe ser arenado y pintado aún costo de $45,000. Se espera que el costo del derecho de vía para el puente colgante sea de $800,000 y de $10.3 millones para el metálico. Si la tasa de interés es 6% anual, compare las dos alternativas sobre la base del costo capitalizado.
Solución: P. COLGANTE 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20 años
15,000 50,000
50,000 800,000
30 millones
El COSTO CAPITALIZADO DEL PUENTE COLGANTE (Pc): P1= Valor presente del costo inicial=30+0.8=30.8 Millones El costo recurrente de operación es: A 1=$15,000 Costo anual equivalente de recubrimiento: A 2=50,000(A/F,6%,10)=$3,793; Costo capitalizado de costos recurrentes: P 2
A1
A2 i
15,000 3,793 0.06
$313,223
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El costo total capitalizado del puente colgante Pc = P1 + P2 = 30,800,000 + 313,233 = $31.1 Millones P. METÁLICO
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20 años
10,000 45,000
45,000
10.3 MILLONES
12 MILLONES
El COSTO CAPITALIZADO DEL PUENTE COLGANTE (Pc): P1 = 12 + 10.3 = $22.3 Millones A1 = $10,000 A2 = 45,000(A/F,6%,10) = 45,000(0.07587) = $3,414
El costo capitalizado de los costos recurrentes (P2): El costo total capitalizado del puente metálico (Pm) es: Pm = P1+ P2 = 22,300,000 + 223,567 = $22,523,567 Siendo Pm < Pc, se debe construir el puente metálico.
P 2
A1 A2 i
10,000 3,414 0.06
$223,567
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Evaluación del equivalente
costo
anual
uniforme
El objetivo de este capítulo es el análisis de los métodos primarios del cálculo del costo anual uniforme equivalente (CAUE) de un activo y como seleccionar la mejor de dos alternativas sobre la base de comparación de costos. Estando la palabra “anual” incluida en el nombre del método, el
proceso del desarrollo del método puede utilizar cualquier interés periódico deseado. CAUE describe más propiamente los flujos de caja porque la mayoría de veces la serie uniforme desarrollada representa costos. Este término es usado para describir el resultado de un flujo de caja uniforme, la mejor alternativa seleccionada debe corresponder a la misma escogida por cualquier otro m étodo de evaluación cuando las comparaciones son manejadas con propiedad.
4.1 Período de estudio para alternativas con vidas útiles diferentes
El costo anual uniforme equivalente (CAUE) es otro método utilizado comúnmente para la comparación de alternativas. El CAUE significa que todos los ingresos y desembolsos (irregulares o uniformes) deben convertirse en una cantidad anual uniforme equivalente (es decir, una cantidad al final del período) que es la misma cada período. La ventaja principal de este método sobre los otros es que no requiere que la comparación se lleve a cabo sobre el mínimo común múltiplo de años cuando las alternativas tienen vidas útiles diferentes. Es decir, el CAUE de una alternativa debe calcularse para un ciclo de vida solamente. Porque como su nombre lo indica, el CAUE es un costo anual equivalente para toda la vida del proyecto. Si el proyecto continuara durante más de un ciclo, el costo anual equivalente para el próximo ciclo y subsiguientes, será exactamente igual que para el primero, suponiendo que todos los flujos de caja fueran los mismos para cada ciclo.
La repetitividad de una serie anual uniforme a través de varios ciclos de vida, puede demostrarse considerando el diagrama de flujo de caja Figura 4.1, que muestra la representación de dos ciclos de vida de un activo que tiene un costo inicial de $30,000, un costo anual de operación de $9,000 y 5 años de vida útil. Para un interés de 22% anual.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Años
$.9 000
$.30 000.
Fig. 4.1
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( ) () El CAUE para dos ciclos de vida, se calcula así:
() ( ) () () () Observamos que el CAUE calculado para un ciclo de vida es igual al CAUE calculado para dos ciclos de vida, será igual si calculamos para 3, 4, etc. ciclos. El CAUE para un ciclo de vida de una alternativa representa el costo anual equivalente de la alternativa cada vez que el ciclo de vida sea repetido. Cuando se tenga información que indique que los costos pueden ser diferentes en los ciclos de vida posteriores (por ejemplo, que una cantidad cambie por otra a causa de inflación), entonces el tipo de horizonte de planeación a usar será discutido más adelante.
4.2 Método del fondo de amortización de salvamento Cuando un activo en una alternativa dada tiene un valor final de salvamento (VS), existen varias maneras de calcular el CAUE. El método del fondo de amortización de salvamento, probablemente sea el más sencillo: el costo inicial (P) se convierte primero en un costo anual uniforme equivalente utilizando el factor A/P (recuperación de capital). El valor de salvamento, después de su conversión a un costo uniforme equivalente, mediante el factor A/F (fondo de amortización), se resta del costo anual equivalente el primer costo. Estos cálculos se expresan así:
CAUE = P(A/P, i%, n) – VS(A/F, i% ,n)
Si la alternativa tiene otro flujo de c aja, debe incluirse en los cálculos del CAUE.
Ejemplo 4.1 Calcule el CAUE de una máquina que tiene un costo inicial de $8,000 y un valor de salvamento de $500 después de 8 años. Los costos anuales de operación (CAO) para la máquina se estiman en $900 y la tasa de interés 20% anual. Solución:
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i = 20%
$500 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Años
A = ¿?
A=$900
$8000
( ) () [()] A2 = costo anual de mantenimiento = $900
CAUE = 2,054.58 + 900 = $2,954.58
4.3 Comparación de alternativas por CAUE La comparación de alternativas por el método del CAUE es probablemente el más sencillo de los métodos de evaluación. La selección se hace sobre la base del CAUE, escogiendo la alternativa que tenga el menor costo, como la más favorable, es decir, la alternativa que tenga el menor CAUE.
La regla más importante que debe recordarse al hacer comparaciones por CAUE es que solamente debe considerarse un ciclo de la alternativa.
Ejemplo 4.2 Los siguientes costos son los estimados para dos máquinas chancadoras de agregados en una planta procesadora: Costo inicial Costo anual de mantenimiento Costo anual de mano de obra Impuestos adicionales Valor de salvamento Vida útil, años
Máquina A $26,000 800 11,000 ---2,000 6
Máquina B $36,000 300 7,000 2,600 3,000 10
Si la tasa de retorno mínima requerida es 15% anual, ¿qué máquina debe seleccionarse? Solución:
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DFC de máquina A:
DFC de máquina B: $3 000
$2 000 0
1
2
3
4
5
6
7
8
$300+7 000+2 600
$800 +11 000
$36 000
$26 000
( ) () [()] ( ) () [() ] Se selecciona la máquina B, puesto que CAUEB < CAUE A
9
10
años
