Unidad Central del Valle del Cauca Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables Programa de Contaduría Pública
Curso de Matemáticas Financieras Profesor: Javier Hernando Ossa Ossa
Ejercicios resueltos resueltos valor presente presente y valor futuro Ejemplo 1. Una persona deposita hoy la suma de $1.000.000, en una corporación financiera que le reconoce un interés anual del 24% capitalizado mensualmente. ¿Cuál será la cantidad acumulada al cabo de 5 años? En el ejemplo tenemos: P: n: r: F:
$1.000.000 5 años 24% anual CMV ?
En el ejemplo anterior, aparentemente existe concordancia entre los períodos de tiempo (5 años) y el interés (24% anual). Sin embargo, a pesar de que la duración total del evento es 5 años, el interés se capitaliza cada mes, lo que significa que el período total se subdivide en meses y por lo tanto el interés debe ser mensual. Realizando las transformaciones pertinentes, se tiene. P= $1.000.000 n= 60 i= 2% mensual F= ? Aplicando la expresión F 3.1 3.1 tenemos: F = P (1 + i )
n
F = 1.000.000(1 + 0,02) 60 F = 1.000.000(1,02) 60 F = $3.281.030,78
Ejercicios resueltos sobre valor presente y futuro
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Utilizando calculadora: Es conveniente borrar las memorias financieras, antes de un nuevo cálculo para evitar que datos incorrectos alteren el resultado. Para ello se debe usar la secuencia de teclas SHIFT AC – EXE, con lo cual las memorias financieras se borran totalmente. El valor que aparece en pantalla después de ejecutar esta secuencia de teclas, es el último resultado dado por la calculadora y no afecta los cálculos siguientes. Para hallar el valor futuro, se deben digitar los valores conocidos y computar el dato requerido. 1,000,000
PV
60
n
2
i%
0
PMT
COMP
FV
EXE
3,281,030.78
Se recomienda digitar cero en las variables que no intervienen en el cálculo. Siempre es necesario pulsar primero la tecla COMP para obtener el valor requerido. El anterior resultado significa, que si el dinero rinde el 2% mensual durante 5 años, es equivalente tener hoy $1.000.000 a tener $3.281.030,78 dentro de 5 años. Se podrá comprar, al cabo de los cinco años, el equivalente a $1.000.000 hoy? Seguramente no, porque el índice de precios puede variar en valores diferentes al 2% mensual.
Ejemplo 2. Dentro de 3 años, una persona recibirá la suma de $5.000.000, correspondiente a un préstamo otorgado hace tres años a una tasa de interés del 36% anual capitalizado mensualmente. Se desea saber: ¿Cuál fue el valor del préstamo? ¿Si se le cancelan el crédito en dos cuotas iguales, la primera hoy y la segunda al final del plazo, ¿cual será el valor de cada pago? Solución: Lo primero que se debe hacer, es hallar la tasa de interés periódica, en este caso 3% mensual. Cómo la tasa de interés es mensual, el tiempo de la operación debe dividirse en periodos mensuales a fin de lograr la correspondencia con la tasa de interés.
a) P =? Profesor:Javier Hernando Ossa Ossa
Ejercicios resueltos sobre valor presente y futuro
3
n = 72 meses i = 3% F =$5.000.000 F=5.000.000
0
1
2
3
4
?
70
71
72
i =3%
Para hallar el valor presente, se utiliza la expresión P = F (1 + i ) P = 5.000.000(1 + 0.3) P = 5.000.000(1.03)
−
n
72
−
72
−
P = 5.000.000(0.119047 ) P = 595.236,87
Hace 6 años otorgó un préstamo por la suma de $595.236,87 Utilizando la calculadora: 5,000,000
FV
72
n
3
i%
0
PMT
COMP
PV
EXE
595,236.87
b) En el segundo caso, la representación gráfica de la situación es la siguiente:
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meses
Ejercicios resueltos sobre valor presente y futuro
4
X=?
0
1
2
3
4
35
36
595.236,87
X=?
37
38
70
71
72
meses
i =3%
P =595.236,87 n =72 meses i = 3% X36 = .? X72 = .? Para resolver este ejercicio, se utiliza un concepto básico de las matemáticas financieras, que dice: “El valor presente, anual o futuro de los ingresos es igual al valor presente, anual o futuro de los egresos, es decir los ingresos deben ser equivalen tes a los egresos”
En este caso, los ingresos corresponden a los valores que recibirá en los periodos 36 y 72, y los egresos corresponden al valor del préstamo. Ingresos Egresos
: X36, X72 : 595.236,87
El valor presente de los ingresos corresponde al valor presente de cada uno de los pagos en los periodos 36 y 72 a la tasa del 3% mensual (los pagos en cada periodo es “X”). Los egresos se encuentran en el periodo cero, es decir en el presente. La expresión para realizar los cálculos es: 36
72
595.236,87 = X (1.03) + X (1.03) 595.236,87 = 0.345032 X + 0.119047 X 595.236,87 = 0.464080 X 595.236,87 X = = 1.182.617,50 0.464080 −
−
Cada pago debe ser por la suma de $1.182.617,5
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Ejercicios resueltos sobre valor presente y futuro
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Cuando en una Flujo de Caja intervienen varios valores ubicados en tiempos diferentes, el valor presente total equivalente o el valor futuro total equivalente, se obtiene sumando los valores presentes o futuros de cada uno de los valores que intervienen en el flujo.
Ejemplo 3. Un ahorrador realiza los siguientes depósitos en una cuenta de ahorro que le reconoce un interés del 2.8% mensual: $100.000 hoy; $50.000 dentro de 3 meses; $50.000 dentro de 5 meses; $80.000 dentro de 8 meses. Se pide: Hallar la cantidad acumulada al término de 15 meses Si quisiera realizar un depósito único hoy, que fuera equivalente a todos los depósitos realizados, ¿cuál sería este valor? El siguiente es el diagrama de tiempo valor: ?
0
1
2
3
50.000
4
5
6
50.000
7
8
9
10
11
12
13
14
15 Meses
80.000
i = 2,8
100.000
La cantidad acumulada al cabo de 15 meses, corresponde a la sumatoria de los valores futuros de cada una de las cantidades que intervienen en el flujo o sea:
F = 100.000(1, 028)15 + 50.000(1, 028)12 + 50. 000(1, 028) 10 + 80. 000( 1, 028) 7 F = 151.320,13 + 69.644,59 + 65.902,38 + 97.060,33 F = 383.927,43
Al cabo de los 15 meses tendrá acumulada la suma de $383.927,4. El pago único hoy equivalente a los pagos parciales realizados, corresponde a la sumatoria de los valores presentes de los depósitos hechos: P = 100.000 + 50.000(1,028) 3 + 50.000(1.028) 5 + 80.000(1,028) P = 100.000 + 46.024.67 + 43.551,63 + 64.142,38 P = $253.718,68 −
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