OPERASI MATRIKS
Penjumlahan Matriks
Jika matriks A dan B memiliki ordo yang sama, maka jumlah matriks A dan B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen matriks B yang bersesuaian (seletak). Jumlah matriks A dan B dinotasikan dengan A + B.
Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan menjadi matriks C (ditulis C = A + B) jika dan hanya jika:Ordo C = ordo A = ordo Bcij=aij+bij untuk semua i baris dan j kolom
Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan menjadi matriks C (ditulis C = A + B) jika dan hanya jika:
Ordo C = ordo A = ordo B
cij=aij+bij untuk semua i baris dan j kolom
Contoh : Diketahui : A=10-12-35, B=-11043-2, C=-2150, dan
D=1-2-43
Tentukanlah :
A + B b. B + A c. C + D d. D + C e. A + C
Pembahasan : a. A+B=10-12-35+-11043-2
=1+-10+1-1+02+4-3+35+-2=01-1603
B+A=-11043-2+10-12-35
=-1+11+00+-14+23+-3-2+5=01-1603
C+D=-2150+1-2-43=-1-113
D+C=1-2-43+-2150=-1-113
Karena ordo A ordo C maka A + C dikatakan tidak terdefinisi.
Dari contoh terlihat oleh kita bahwa matriks A + B = B + A, dimana matriks A dan B memiliki ordo yang sama. Dengan demikian, pada penjumlahan matriks berlaku sifat komutatif.
Apabila A dan B adalah dua matriks yang berordo sama maka A + B = B + A. Sifat tersebut dinamakan sifat komutatif penjumlahan dua matriks.
Apabila A dan B adalah dua matriks yang berordo sama maka A + B = B + A. Sifat tersebut dinamakan sifat komutatif penjumlahan dua matriks.
Bukti : Misalkan =aijm×n , B=bijm×n , dan A+B=C=cijm×n , dengan
cij=aij+bij. Oleh karena elemen-elemen matriks A maupun matriks B adalah bilangan real yang mengikuti pada hokum komutatif,
maka cij=aij+bij=bij+aij. Sehingga dapat dikatakan A + B = B + A
(terbukti).
Lalu, apakah sifat asosiatif berlaku dalam penjumlahan matriks? Untuk dapat menjawab pertanyaan itu coba simaklah contoh berikut.
Contoh : Diketahui : A=-1032, B=-241-5 , dan C=3-3-14
Tentukanlah : a. A + B + C b. (A + B) + C c. A + (B + C)
Pembahasan : a. A+B+C=-1032+-241-3+3-3-14
=-1+-2+30+4+-33+1+-12+-5+4=0131
A+B+C=-1032+-241-5+3-3-14
=-1+-20+43+12+-5+3-3-14
=-344-3+3-6-14=0113
A+B+C=-1032+-241-5+3-3-14
=-1032+110-1=0131
Dari Contoh di atas dapat kita ketahui bahwa pada penjumlahan matriks berlaku sifat asosiatif.
Apabila A, B, dan C adalah tiga matriks yang berordo sama, maka A + B + C = A + (B + C) = (A + B) + C . Sifat tersebut dinamakan sifat asosiatif penumlahan matriks.
Apabila A, B, dan C adalah tiga matriks yang berordo sama, maka A + B + C = A + (B + C) = (A + B) + C . Sifat tersebut dinamakan sifat asosiatif penumlahan matriks.
Bukti : Misalkan A=aijm×n , B=bijm×n , dan C=cijm×n. Oleh karena
elemen-elemen matriks A, B, dan C merupakan bilangan real yang mengikuti pada hukum assosiatif, maka berlaku hubungan-hubungan:
aij+bij+cij=aij+bij+cij=aij+bij+cij,sehingga dapat
dikatakan A+B+C=A+B+C=A+B+C (terbukti).
Pengurangan Matriks
Telah kita ketahui bahwa jika a dan b dua bilangan real, maka berlaku : a-b=a+-b dengan –b adalah lawan dari b.
A-B=A+-Bkarena setiap matriks mempunyai matriks lawan, maka sama seperti pada bilangan real, pada matriks pun berlaku:
A-B=A+-B
Dengan kata lain, pengurangan matriks A oleh matriks B dilakukan dengan cara menjumlahkan amtriks A dengan lawan dari matriks B.
Contoh : Diketahui matriks A=2-1-34 dan B=-5-226
Tentukanlah matriks A-B !
Pembahasan : A-B=2-1-34--5-226=2-1-34+52-2-6=71-5-2
Contoh : Diketahui matriks A=1-32-1, B=2-113, dan C=-134-2.
Tentukanlah: a. A-B c. (A-B)-C
b. B-A d. A-(B-C)
Pembahasan : a. A-B=1-32-1-2-113=1+-2-3+12+-1-1+-3=-1-21-4
B-A=2-113-1-32-1=2+-1-1+31+-23+1=12-14
A-B-C=1-32-1-2-113--134-2
=-1-21-4--134-2=0-5-3-2
A-B-C=1-32-1-2-113--134-2
=1-32-1-3-4-35=-215-6
A-B B-AA-B-C A-(B-C) Dari Contoh di atas dapat kita ketahui bahwa dalam pengurangan matriks tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif.
A-B B-A
A-B-C A-(B-C)
Contoh : Apabila A adalah matriks persegi berordo 2, selesaikanlah tiap persamaan
berikut!
A+32-14=5-116
-130-2+A=2-114
Pembahasan : a. A+32-14=5-116A=5-116-32-14=2-322
-130-2+A=2-114A=2-114--130-2=3-116
Perkalian Matriks
Perkalian Matriks dengan Bilangan Real
Perkalian bilangan real k dengan matriks A ditulis kA adalah suatu matriks yang elemen-elemennya diperoleh dengan cara mengalikan setiap elemen matriks A dengan bilangan real k.
Dengan demikian, jika A=abcd, maka kA=kakbkckd.
Dua matriks A dan C dapat memenuhi persamaan C = kA jika dan hanya jika: k bilangan real, A dan C matriks berordo sama. cij=kaij untuk semua i baris dan j kolom.
Dua matriks A dan C dapat memenuhi persamaan C = kA jika dan hanya jika:
k bilangan real, A dan C matriks berordo sama.
cij=kaij untuk semua i baris dan j kolom.
Telah kita ketahui bahwa untuk sembarang bilangan real a berlaku:
a+a=2a
a+a+a=3a
Lalu, apakah pada matriks berlaku bahwa A + A = 2A, A + A + A = 3A, dan seterusnya? Untuk mengetahuinya, simaklah uraian berikut.
Matriks A=1235, maka berdasarkan definisi penjumlahan matriks diperoleh:
A+A=1235+1235=1+12+23+35+5=2.12.22.32.5=21235=2A
A+A+A=1235+1235+1235
=1+1+12+2+23+3+35+5+5=3.13.23.33.5=31235=3A
Dengan demikian pada matriks berlaku A + A + … + A = kA sebanyak k.
Contoh : Dikethaui: A=1235 dan B=3146
Tentukanlah bentuk yang paling sederhana dari matriks:
3A b. A + 2B c. 2A-3B
Pembahasan : a. 3A=31235=3.13.23.33.5=36915
A+2B=1235+23146=1235+62812=741117
2A-3B=21235-33146=24610-931218=-7-1-6-8
Sama halnya dengan penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian matriks dengan bilangan real memenuhi sifat-sifat tertentu, seperti yang tercantum dalam sifat berikut.
Apabila k dan l adalah bilangan-bilangan real, A dan B adalah matriks berordo m×n, maka: k+lA=kA+lA 4. 1A=AkA+B=kA+kB 5. -1A=-AklA=klA
Apabila k dan l adalah bilangan-bilangan real, A dan B adalah matriks berordo m×n, maka:
k+lA=kA+lA 4. 1A=A
kA+B=kA+kB 5. -1A=-A
klA=klA
Contoh : Dikethaui A=301-2 dan 3A+3B=69-30
Tentukan matriks B.
Pembahasan : 3A+3B=3(A+B)=69-30=323-10
Dengan demikian, A+B=23-10
A+B=23-10301-2+BA=23-10
B=23-10-301-2=-1302
Jadi, B=-1302
Perkalian Matriks
Dua buah matriks A dan B sepadan untuk dikalikan, artinya matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak kolom matriks B. Sementara hasil perkalian matriks A dengan matriks B ditentukan dengan cara mengalikan baris-baris matriks A dengan kolom-kolom matriks B kemudian menjumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom tersebut.
Definisi :Dua matriks A dan B dapat dikalikan dan menghasilkan matriks C jika dan hanya jika: Cm×n=Am×p . Bp×ncij=ai1b1j+ai2b2j+…+aipbpj
Definisi :
Dua matriks A dan B dapat dikalikan dan menghasilkan matriks C jika dan hanya jika:
Cm×n=Am×p . Bp×n
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aipbpj
Contoh : Di antara matriks-matriks berikut, manakah yang dapat dikalikan?
A=12, B=-1205, C=0312-26, dan D=47
Pembahasan : Diketahui matriks A2×1, B2×2, C3×2, dan D1×2.
Berdasarkan definisi 3.4, maka matriks-matriks yang dapat dikalikan adalah:
A2×1 . D1×2 4. C3×2 . B2×2
B2×2 . A2×1 5. D1×2 . A2×1
C3×2 . A2×1 6. D1×2 . B2×2
Perkalian Matriks Berordo 1×n dengan matriks berordo n×1
Apabila A adalah matriks baris berordo 1×n dan B adalah matriks kolom berordo n×1 maka hasil perkalian matriks A dengan matriks B, misal C, adalah matriks baru berordo 1×1. Matriks C1×1 adalah suatu skalar.
Misalkan A=a11a12a13 dan B=b11b21b31
Maka A . B=a11a12a13b11b21b31=a11b11+a12b21+a13b31
Contoh : Diketahui A=-125 dan B=36-2
Tentukanlah hasil perkalian matriks A dan B !
Pembahasan : A . B=-12536-2=-1 . 3+2 . 6+5-2=-1
Perkalian Matriks Berordo m×n dengan Matriks Berordo n×1
Apabila A adalah matriks berordo m×n dan B adalah matriks berordo n×1, maka hasil perkalian matriks A dengan matriks B misal C adalah matriks baru berordo m×1.
Misalkan A=a11a12a13a21a22a23 dan B=b11b21b31.
Maka A . B=a11a12a13a21a22a23b11b21b31=a11b11+a12b21+a13b21a21b11+a22b21+a23b31
Contoh : Tentukanlah hasil dari: 123452-13-5
Pembahasan : 123452-13-5=1-1+2.3+3-54-1+5.3+2-5=-101
Perkalian Matriks Berordo m×n dengan matriks berordo n×p
Apabila A adalah matriks berordo m×n dan B adalah matriks berordo n×p, maka hasil perkalian matriks A dengan B, missal C, adalah matriks baru berordo m×p.
Misalkan matriks A=a11a12a21a22 dan B=b11b12b21b22
Maka A . B=a11a12a21a22b11b12b21b22=a11b11+a12b21a11b12+a12b22a21b11+a22b21a21b12+a22b22
Contoh : Diketahui matriks A=2-13-420 dan B=1-23-2-12
Tentukanlah matriks A . B!
Pembahasan : A . B=2-13-4201-23-2-12
=2.1+-13+3-12-1+-1-2+3.2-4.1+2.3+0-1-4-1+2-2+0.2=-4620
Contoh : Diketahui matriks A=413a, B=-1a2a+b7, dan C=115720
Jika A . B=C, tentukanlah nilai a dan b !
Pembahasan : A . B=C
413a-1a2a+b7=115720
-4+2a+b4a+7-3+a2a+b3a+7a=115720
Diperoleh: 1) 4a+7=15 , maka a=2
-4+2a+b=1 -4+2 . 2+b=1b=1
Jadi, nilai a=2 dan b=1
Sifat-sifat Perkalian Matriks
Pada bahasan sebelumnya kita telah mempelajari sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan matriks. Apakah sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan atau pengurangan matriks berlaku pula pada perkalian matriks? Untuk mengetahuinya, simaklah beberapa contoh berikut.
Contoh : Diketahui matriks: A=124-3, B=3-152, dan C=-243-1
Tentukanlah: a. A . B d. AB . C
B . A e. AB+C
A . BC f. A . B+A . C
Pembahasan : a. A . B=124-33-152=3+10-1+412+-15-4+-6
=133-3-10
B . A=3-152124-3=3+-46+35+810+-6=-19134
A . BC=124-33-152-243-1=133-3-10-243-1
=-26+952+-36+-30-12+10=-1749-24-2
AB . C=124-33-152-243-1=124-3-913-418
=-9+-813+36-36+1252+-54=-1749-24-2
B+C=3-152+-243-1=1381
AB+C=124-31381=175-209
A . C=124-3-243-1=42-1719
A . B+A . C=133-3-10+42-1719=175-209
Dari contoh di atas terlihat oleh kita bahwa matriks A . B B . A, sementara A . BC=AB . C dan AB+C=A . B+A . C. Dengan demikian, pada perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif, tetapi berlaku sifat asosiatif dan distributif.
Sifat 1:Apabila A, B, dan C adalah matriks-matriks yang sepadan untuk dikalikan, maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks, yaitu: Tidak bersifat komutatif, kecuali untuk matriks-matriks khusus. A.B B.ABersifat asosiatif, A . BC=AB . CBersifat distributif, AB+C=A . B+A . C
Sifat 1:
Apabila A, B, dan C adalah matriks-matriks yang sepadan untuk dikalikan, maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks, yaitu:
Tidak bersifat komutatif, kecuali untuk matriks-matriks khusus. A.B B.A
Bersifat asosiatif, A . BC=AB . C
Bersifat distributif, AB+C=A . B+A . C
Kita ingat kembali bahwa pada penjumlahan matriks, ada matriks identitas yaitu matriks nol (O) sehingga A+O=O+A. Pada perkalian matriks, ada pula matriks identitas, tetapi bukan matriks nol (O), melainkan matriks satuan I. matriks satuan I adalah matriks persegi, missal berordo n, yang semua elemen; diagonal a11=a22=a33=…ann=1 dan elemen lainnya nol. Beberapa contoh matriks satuan adalah:
I=1001, I=100010001, dan I=1000010000100001
Bagaimanakah sifat matriks nol dan matriks identitas I terhadap perkalian matriks? Simaklah sifat-sifat perkalian matriks berikut.
Sifat 2 :Pada perkalian matriks, Ada matriks identitas I sehingga AI = IA = AJika A . B=O, maka belum tentu A=O atau B=OJika A . B=A . C, maka belum tentu B=CA . B'=B' . A'
Sifat 2 :
Pada perkalian matriks,
Ada matriks identitas I sehingga AI = IA = A
Jika A . B=O, maka belum tentu A=O atau B=O
Jika A . B=A . C, maka belum tentu B=C
A . B'=B' . A'
Contoh : Dikethaui matriks: A'=21-35 dan B'=45-13
Tentukanlah matriks A . B.
Sifat 2 (4)Pembahasan : A . B'=B' . A'=45-1321-35=-729-1114
Sifat 2 (4)
Ingat A''=A A . B=A . B''=-7-112914
Ingat A''=A
Pemangkatan Matriks Persegi
Apabila A adalah sebuah matriks persegi, maka pemangkatan matriks A didefinisikan sebagai berikut. Apabila A adalah sebuah matriks persegi, maka pemangkatan matriks A didefinisikan sebagai berikut.
A2=A . A, A3=A . A2, A4=A . A3,
Contoh : Diketahui A=1-325 dan B=2-103
Tentukanlah: a. A2+B b. A3 c. A+B2
Pembahasan : a. A2=A . A=1-3251-325=-5-181219
A2+B=-5-181219+2-103=-3-191222
A3=A . A2=1-325-5-181219=-41-75559
A+B=1-325+2-103=3-428
A+B2=A+BA+B=3-4283-428=1-442256
