INTRODUCCIÓN Una fuerza es una interacción mecánica que hace variar la velocidad de un cuerpo con con masa masa.. Exis Existe ten n múlt múltip iple less clasi clasififica caci cion ones es de fuerz fuerzas as,, como como pued pueden en ser ser en función del tipo de interacción (fuerzas de contacto o fuerzas a distancia) o en función de la superficie sobre la que esta se aplique (fuerzas distribuidas o puntuales), este último tipo de fuerzas es uno de los temas fundamentales de este trabao.
Existen multitud de eemplos de fuerzas distribuidas, como por eemplo la que eerce el peso de la nieve sobre un coche tras una nevada, o la de un puente puente por la que pasan pasan veh!cu veh!culos los continu continuame amente nte.. Una car"a car"a distri distribui buida da puede puede ser por eemplo la representada en la si"uiente fi"ura#
$al % co como mo pu pued ede e ob obse serv rvar arse se,, es esta ta fu fuer erza za titien ene e un va valo lorr q( q(x) x) pa para ra ca cada da coordenada coorden ada x, lo cual supone un problema adicional. &ormalment &ormalmente e para hacer un sumatorio de fuerzas, simplemente sumamos vectores, pero cuánto vale la la fuerza que supone la car"a 'q' en su totalidad a respuesta es la si"uiente# el área contenida debao de la curva , que como %a muchos habrán intuido se puede calcular mediante una inte"ración directa. El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. *ás concretamente el momento de inercia es una ma"nitud escalar que reflea la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de part!culas en rotación, respecto al ee de "iro. El momento de inercia sólo depende de la "eometr!a del cuerpo % de la posición del ee de "iro+ pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempea un papel análo"o al de la masa inercial en el caso del movimiento rectil!neo % uniforme. Es el valor escalar del momento an"ular lon"itudinal de un sólido r!"ido.
El Centro De Gravedad Es un punto que ubica el peso resultante de un sistema de part!culas, comprende un sistema de fuerzas paralelas que pued puede e ser ser reem reempl plaz azad ado o por por un solo solo peso peso resu resultltan ante te (equivalente) en el punto - de aplicación definido. El punto de aplicación de la fuerza peso en un cuerpo es siempre el mismo, sea cual sea la posición del cuerpo. /ara determinar el centro de "ravedad ha% que tener en cuenta que toda part!cula de un cuerpo situada cerca de la superficie terrestre está sometida a la acción de una fuerza, diri"ida verticalmente hacia el centro de la $ierra, llamada fuerza "ravitatoria. Existen cuerpos de dimensiones mu% pequeas en relación a la $ierra, por lo tanto se puede admitir que la fuerza de "ravedad que actúa sobre las diferentes part!culas del cuerpo son paralelas % de ma"n ma"nititud ud cons consta tant nte. e. /or /or tal tal moti motivo vo se pued puede e calc calcul ular ar la ubic ubicac aciión del del cent centro ro de "rav ravedad edad localizando la recta de acción de la fuerza resultante de este este con conun untto de fuerz uerzas as.. 0i el cuerp uerpo o es homo"1neo, el centro de "ravedad coincidirá con su centro "eom1trico. /or otro lado, si un cuerpo es mu% pequeo comparado con la aceleración de la "ravedad, esta ma"nitud será la misma para todas las part!culas, entonces el centro de masa % el centro de "ravedad serán coincidentes. Un cuerpo r!"ido está compuesto por un número infinito de part!culas % los principios usados para determinar las ecuaciones son aplicados al sistema de part!culas que componen un cuerpo r!"ido, resulta necesario usar una inte"ración en vez de una suma discreta de t1rminos. a fuerza más corriente que actúa sobre un cuerpo es su propio peso. En todo cuerpo por irre"ular que sea, existe un punto tal en el que puedo considerarse en 1l concentrado todo su peso, este punto es considerado el centro de "ravedad . El centro de "ravedad puede ser un punto exterior o interior del cuerpo que se considere.
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El conocimiento de la posición de los centros de "ravedad, es de suma importancia en la resolución de problemas de equilibrio, porque son los puntos de aplicación de los vectores representativos de los respectivos pesos. El centro de "ravedad de una l!nea está en el punto de aplicación de un sistema de fuerzas paralelas aplicadas a cada uno de los fra"mentos elementales en que se puede considerar descompuesta la misma % proporcionales respectivamente a las lon"itudes de estos elementos de l!nea. 0i se trata de un elemento rectil!neo, el centro de "ravedad se ha%a en su punto medio. El de un arco de circunferencia puede calcularse mediante recursos de cálculo referencial, % se encuentra situado sobre el radio meio, a una distancia del centro. En conclusión el centro de "ravedad es el punto en el que se encuentran aplicadas las fuerzas "ravitatorias de un obeto, o es decir es el pto. en el que actúa el peso. 0iempre que la aceleración de la "ravedad sea constante, el centro de "ravedad se encuentra en el mismo punto que el centro de masas2. El equilibrio de una part!cula o de un cuerpo r!"ido tambi1n se puede describir como estable o inestable en un campo "ravitacional. /ara los cuerpos r!"idos, las cate"or!as del equilibrio se pueden analizar de manera conveniente en t1rminos del centro de gravedad. El 3entro de "ravedad es el punto en el cual se puede considerar que todo el peso de un cuerpo está concentrado % representado como una part!cula. 3uando la aceleración debida a la "ravedad sea constante, el centro de "ravedad % el centro de masa coinciden. En forma análo"a, el centro de "ravedad de un cuerpo extendido, en equilibrio estable, está prácticamente cuenco de ener"!a potencial. 3ualquier desplazamiento li"ero elevará su centro de "ravedad, % una fuerza restauradora lo re"resa a la posición de ener"!a potencial m!nima. Esta fuerza es, en realidad, una torca que se debe a un componente de la fuerza peso % que tiende a hacer rotar el obeto alrededor de un punto pivote de re"reso a su posición ori"inal. Un obeto está en equilibrio estable mientras su 3entro de "ravedad quede arriba % dentro de su base ori"inal de apo%o. 3uando 1ste es el caso, siempre habrá una torca de restauración . &o obstante cuando el centro de "ravedad o el centro de masa cae fuera de la base de apo%o, pasa sobre el cuerpo, debido a una torca "ravitacional que lo hace rotar fuera de su posición de equilibrio. os cuerpos r!"idos con bases amplias % centros de "ravedad baos son, por consi"uiente más estables % menos propensos a voltearse. Esta relación es
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evidente en el diseo de los automóviles de carrera de alta velocidad, que tienen neumáticos % centros de "ravedad cercanos al suelo. El centro de "ravedad de este auto es mu% bao por lo que es casi imposible que se voltee. $ambi1n la posición del centro de "ravedad del cuerpo humano tiene efectos sobre ciertas capacidades f!sicas. /or eemplo, las mueres suelen doblarse % tocar los dedos de sus pies o el suelo con las palmas de las manos, con más facilidad que los hombres, quienes con frecuencia se caen al tratar de hacerlo. En "eneral, los hombres tienen el centro de "ravedad más alto (hombros más anchos) que las mueres (pelvis "rande), % es por eso que es más fácil que el centro de "ravedad de un hombre quede fuera de apo%o cuando se flexiona hacia el frente. 3uando el centro de "ravedad queda fuera de la base de soporte, el obeto es inestable (ha% una torsión desplazadora). En los circos usualmente ha% actos de acróbatas % lo que sucede es que el acróbata, cualquiera sea el acto que ha"a tiene una base de soporte mu% an"osta, o sea el área pequea del contacto de su cuerpo con su soporte. *ientras que el centro de "ravedad permanezca sobre esta área, 1l está en equilibrio, pero un movimiento de unos cuantos cent!metros ser!a suficiente para desbalancearlo.
Aplicación Del Centro De Gravedad El centro de "ravedad sirve para calcular el equilibrio de un sistema, este sistema puede ser infinidad de cosas, por eemplo una casa, % aqu! el centro de "ravedad a%udar!a a calcular a la persona que "u!a la construcción, los puntos en los cuales poner las columnas % 4o la columna principal..
Relación Con El Moméntm En al"unos problemas que contienen de materia o en ellos interfiere el momento lineal, o talvez se resuleven por sumatoria de momentos, el centro de "ravedad a%uda a simplificar notablemente estos eercicios.
E!emplo"# 3alcule las fuerzas que se aplican al si"uiente sistema. 45 46 4
78 29:" 69 :" 7;
$or momento"# 0matoria 7% < 9 78 =7; 29 2>? < 9 78 = 7; < 69? 0umatoria de momentos desde el punto 8 < 9 29x (45) = 2>?(46) 7;. <9 (2945 = 2>?46 7;) < 9 69 = @AA ? 7; <9 ?9A4? < 7; < 292,5 & 78<69?292,5 78<29B,C &
$or centro de gravedad"# 0acamos el 3- < (45 x29 = 46 x 69)4(29 = 69) < (2945 = 29 )459 < (B945 )4 59 < B4> < 9,BBBBBB 3entro de "ravedad < D4masas 9,BBBBBB < 7;459 7;< 292,5 & /or lo que vemos que podemos resolver por cualquiera de los m1todos.
E!emplo %&E!ercicio' de centro de gravedad en general( 0i tenemos un "rupo de bloques id1nticos, de 69 cm de lar"o, se apilan de modo que cada uno sobresal"a del bloque anterior B.9 cm, % se coloca uno encima de otro. 3uántos bloques se podrán apilar de esta forma antes de que la pila se cai"a 5
a pila se caerá cuando su centro de masa no est1 más sobre su base de apo%o. $odos los ladrillos tienen la misma masa, % el centro de masa de cada uno está colocado en su punto medio. 0i tomamos el ori"en en el centro del ladrillo inferior, la coordenada horizontal o de masa (o centro de "ravedad) para los primeros dos ladrillos del rimero está dada por la ecuación de 3* en donde m1 < m2 = m % x6 es el desplazamiento del se"undo ladrillo#
)cm* + (m-.m*( 4 (m = m) Xcm2 = m(x1+x2 )/ 2m = (x1+x2)/2 = (0+4.0 cm)/2 = 2.0 cm
as masas de los ladrillos se cancelan (debido a que todas ellos tiene la misma masa) /ara tres ladrillos, Xcm3 = m(x1+x3+x2 )/ 3m = = (0+4.0+8.0)/3 = 4.0 cm /ara cuatro ladrillos, Xcm4 = m(x1+x3+x4+x2 )/4m= (0+4.0+8.0+12)/4 = 6.0 cm F as! se si"ue sucesivamente. Esta serie de resultados demuestra que el centro de masa del rimero se mueve horizontalmente, 6.9 cm por cada ladrillo que se a"re"ue. /ara una pila de seis ,el centro de masa estará a 29 cm del ori"en, directamente sobre el borde del ladrillo inferior (6.9 cm x @ ladrillos adicionados < 29 cm, que es la mitad de la lon"itud del ladrilio), de modo que el primero estará en equilibrio inestable. Esto si"nifica que la pila puede no caerse si colocamos el sexto ladrillo con mucho cuidado, pero es mu% dif!cil que en la práctica se pueda lo"rar. En cualquier caso, el s1ptimo definitivamente hará que la pila se cai"a.
Centro De Ma'a a densidad o masa por volumen unitario está relacionada mediante la ecuación donde g es la aceleración debida a la "ravedad % G es la densidad del cuerpo, sustitu%endo esta relación en las si"uientes ecuaciones % cancelando g en los numeradores % denominadores se obtienen ecuaciones que se pueden utilizar para encontrar el centro de masa de un cuerpo#
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Un concepto importante que cabe recordar es la definición de estática# /E' la rama de la 01'ica 2e trata del 3alance de 0er4a' 'o3re n o3!eto 2e permanece en repo'o o en e'tado de movimiento ni0orme5" Es importante notar que la estática es un caso particular de la dinámica (o movimiento) % es tan importante que los in"enieros % los arquitectos la estudian en sus carreras %a que de lo contrario no podr!an conocer las fuerzas que conforman las distintas estructuras, construcciones, etc., que disean % forman. Una parte principal de sus aplicaciones está en los edificios estáticos % tiene que ver con su definición como cuerpo r!"ido. as fuerzas actuando sobre este tipo de obetos (cuerpo r!"ido) tienen dos efectos# 2. &o importa dónde se est1n aplicando sobre el obeto, la suma vectorial de dichas fuerzas produce una aceleración lineal del centro de su masa. 6. Hependiendo dónde se aplican, pueden producir torcas que actúan para rotar el obeto. /ara calcular el centro de masa de un sistema de cuerpos es necesario conocer la masa de dicho cuerpo % la distancia respecto a la cual está actuando la fuerza externa+ 1sta depende de su posición de equilibrio+ es decir#
Honde m- es la masa del cuerpo uno % m* es la masa del cuerpo dos, - % * son las distancias respectivas a cada una, tomando en cuenta su punto de equilibrio. Eemplo# Un obeto de 6:" de masa se encuentra unido a otro con masa de 29:", por una varilla de @9 cm, para sacar el centro de la masa de este sistema utilizarás la fórmula anterior, que resulta en#
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Centroide El centro de "ravedad es Ia suma de los productos de los pesos de cada part!cula multiplicada por sus posiciones respectivas dividida entre el peso total del cuerpoJ. $ambi1n se de0ine como el centro "eom1trico de un obeto. 0u ubicación puede ser determinada a partir de fórmulas similares a las usadas para obtener el centro de masa. En particular si el material que compone un cuerpo es uniforme u homo"1neo, la densidad o peso espec!fico será constante en todo el cuerpo, % por tanto este t1rmino saldrá de las inte"rales % se cancelará a partir de los numeradores % denominadores de las ecuaciones anteriores. as fórmulas resultantes definen el centroide del cuerpo %a que son independientes del peso del cuerpo % dependen sólo de la "eometr!a de 1ste. 0e consideraran tres casos espec!ficos# centroides de l!neas, de superficies % de masa.
Centroide' De 61nea' 0i la simetr!a del obeto es parecida a la de una barra del"ada o alambre, la relación ser!a con respecto a una l!nea, el equilibrio de las torcas o momentos de los diferenciales d6 con respecto a cada uno de los ees coordenados , 7 % 4 resulta en#
Centroide' De 8per0icie' O 9rea' He manera similar el centroide del área superficial de un obeto, como una placa o un cascarón, se puede determinar subdividiendo el área en elementos dA % calculándolos de esos elementos de área con respecto a cada uno de los ees coordenados, esto es#
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Centroide' De :ol;mene' 0i un obeto es subdividido en elementos de volumen d:, la ubicación del centroide para el volumen del obeto puede ser determinada calculando los momentos con respecto a cada uno de los ees coordenados. as fórmulas resultantes son las si"uientes#
E!emplo ocaliza el centroide del arco parabólico que forma la estructura de la fachada del edificio mostrado#
8olción 9rea 7 3ra4o' de momento a lon"itud diferencial del elemento d6 puede ser expresada en t1rminos de las diferenciales d % d7 usando el $eorema de /itá"oras.
3omo < 7*, entonces d4d7 < *7. /or lo tanto, expresando d6 en t1rminos de 7 % d7, tienes#
El centroide está localizado en % 7.
Integracione' 8plicando las ecuaciones e inte"rando con respecto a 7 mediante las fórmulas anteriores, tienes que#
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9.?9?542. BC> < 9.B29 m 9.ABAB42.BC> < 9.@CB m
7uerzas Histribuidas Una car"a distribuida puede ser por eemplo la representada en la si"uiente fi"ura#
$al % como puede observarse, esta fuerza tiene un valor q(x) para cada coordenada x, lo cual supone un problema adicional. &ormalmente para hacer un sumatorio de fuerzas, simplemente sumamos vectores, pero cuánto vale la fuerza que supone la car"a 'q' en su totalidad a respuesta es la si"uiente# el
F =∫ q ( x ) dx 0
L
M =∫ q ( x ) xdx 0
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´ = M X F
$ara na di'tri3ción rectanglar= He esta forma cuando queramos realizar el cálculo de las reacciones de una vi"a, la contribución de las fuerzas distribuidas las calcularemos de esta forma cuando las fuerzas distribuidas forman un rectán"ulo tenemos#
>UER?A RE8U6TANTE R= L
R=∫ dF 0
L
R=∫ qdx =qL
R= qL
0
MOMENTO= L
M =∫ qxdx = 0
qL
2
2
M =
2
qL 2
DI8TANCIA DONDE ACTUA 6A >UER?A R= ´ = L X 2
2
qL
M 2 ´ = X = F qL
L
=
2
ue"o el 'i'tema e2ivalente estar!a formando por una fuerza equivalente de q (área del rectán"ulo) situada a 46 del ori"en de coordenadas (coincidiendo con el centro de masas).
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$ara na di'tri3ción trianglar= 3uando se da una distribución de fuerzas con una forma trian"ular, se puede calcular las formulas de la fuerza resultante, el momento % la distancia en la que cae la fuerza, que vendr!a a ser en el centro de masas.
>UER?A RE8U6TANTE R= L
R=∫ dF 0
L
R=∫ wdx= qL 0
w w0 = X L w=
w0 L L
R=∫ 0
X
w0 L
Xdx
R=
w 0 L 2
MOMENTO= M =
w0 L
2
3
DI8TANCIA DONDE ACTUA 6A >UER?A R=
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L
w 0 w0 L M =∫ x xdx = L 3 0
2
w0 L
2
´ = M = 3 = 2 L X F w0 L 3
´ = 2 L X 3
2
Entonces en una distribución de fuerzas de forma trian"ular tenemos que la fuerza resultante es el área del trián"ulo que vendr!a a ser la base () multiplicado por la car"a dividido entre 6, además esta fuerza está ubicada a 645 de % el momento es el producto de la fuerza resultante con la distancia D.
$ara na di'tri3ción en na par<3ola= 3uando se da una distribución de fuerzas con una forma parabólica, se puede calcular las formulas de la fuerza resultante, el momento % la distancia en la que cae la fuerza, que vendr!a a ser en el centro de masas.
>UER?A RE8U6TANTE R= L
L
R=∫ dF R=∫ wdx 0
L
R=∫ 0
0
w0 2
L
2
X dx
w0 2 w w0 w X = = 2 2 2 X L L
R=
w 0 L 3
MOMENTO= L
M =∫ x 0
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w 0 L
2
2
X dx =
w 0 L 4
2
2
M =
w 0 L 4
DI8TANCIA DONDE ACTUA 6A >UER?A R= w0 L
2
´ = M = 4 = 3 L X F w0 L 4
´ = X
3 L 4
3
Entonces en una distribución de fuerzas de forma parabólica tenemos que la fuerza resultante es la inte"ral de la función que contiene a la parábola que vendr!a a ser la base () multiplicado por la car"a entre 5, además esta fuerza está ubicada a 54B de % el momento es el producto de la fuerza resultante con la distancia D.
MOMENTO DE INERCIA El *omento de Knercia, tambi1n denominado 0e"undo *omento de Lrea+ 0e"undo *omento de Knercia o *omento de Knercia de Lrea, es una propiedad "eom1trica de la sección transversal de los elementos estructurales.
Inercia = a inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, %a sea en dirección o velocidad. Inercia a la Rotación = 3ualquier cuerpo que efectúa un "iro alrededor de un ee, desarrolla inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación % la dirección de su ee de "iro. a inercia de un obeto a la rotación está determinada por su *omento de Knercia, siendo 1sta M ‟la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de "iro‟‟. Momento de Inercia" E!emplo = El momento de inercia realiza en la rotación un papel similar al de la masa en el movimiento lineal. /or eemplo, si con una honda se lanza una piedra pequea % una "rande, aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequea se acelerará mucho más que la "rande. El momento de inercia es pues similar a la inercia, con la diferencia que es aplicable a la rotación más que al movimiento lineal. a inercia es la tendencia de un obeto a permanecer en reposo o a continuar movi1ndose en l!nea recta a la misma velocidad. a inercia puede interpretarse como una nueva definición de masa. El momento de inercia es, pues, masa rotacional % depende de la distribución de masa en un 14
obeto. 3uanta ma%or distancia ha% entre la masa % el centro de rotación, ma%or es el momento de inercia. El momento de inercia se relaciona con las tensiones % deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bao flexión unto con las propiedades de dicho material.
Momento' de inercia de 0igra' plana' conocida' m<' tili4ada' = Rect
Tri
Tri
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C1rclo de radio R , respecto de cualquier ee que pase por su centro de "ravedad#
8emic1rclo de radio R , respecto de los ees que pasan por su centro de "ravedad (el ee X paralelo al lado plano)#
Cadrante (3uarto de c!rculo) de radio R , respecto a los ees que, siendo paralelos a los lados planos, pasan por su centro de "ravedad#
CÓMO CA6CU6AR E6 MOMENTO DE INERCIA DE UNA >IGURA $6ANA COM$UE8TA = Eemplo 2 # plana compuesta # 3alcular el momento de inercia de la si"uiente fi"ura
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-er pa'o= 0e divide la fi"ura compuesta en fi"uras planas sencillas de las que conozcamos las fórmulas para calcular su área % su momento de inercia. En este caso en particular podemos dividirla en 5 rectán"ulos#
*do pa'o= 0e determinan las áreas de estas fi"uras simples % se identifican como A-, A* % A@ A- < base por altura < 59 x 2,> < @C,99 cm6 A* < base por altura < 2,2 x 5@,6 < 5A,C6 cm6 A@ < base por altura < 59 x 2,> < @C,99 cm6 Atotal < 82 = 86 = 85 < @C = 5A,C6 = @C < 2@6,C6 cm6 @er pa'o = 0e 3alcula la ubicación del centro de masa de la fi"ura compuesta # as coordenadas del centro de masa de una fi"ura plana compuesta vienen dadas por las si"uientes formulas #
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Honde I8iJ es el área de la fi"ura simple estudiada, IDiJ es la abscisa del centro de masa de dicha fi"ura simple % IFiJ la ordenada del centro de masa de la misma fi"ura simple. 7iamos un sistema rectan"ular de coordenadas e indicamos la distancia que ha% desde el ori"en hasta el centro de masa de cada una de las fi"uras simples en las que dividimos la fi"ura compuesta. Necuerde que el centro de masa de un rectán"ulo está ubicado a un medio de su base % a un medio de su altura.
/ara su posterior uso estas distancias son identificadas como # )- < 2@ cm )* < 2@ cm )@ < 2@ cm - < 5A,9@ cm * < 2>,@ cm @ < 9,>@ cm 0ustitu%endo estos valores en las fórmulas#
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El centro de masa de la fi"ura compuesta estará ubicado en las coordenadas &-B , -"B(
0e confirma el enunciado que dice # I0i una fi"ura plana posee un ee de simetr!a, su centro de masa estará ubicado sobre 1ste.J Esta fi"ura en particular posee un ee de simetr!a horizontal % un ee de simetr!a vertical, lue"o su centro de masa estará ubicado en el punto de intersección de sus dos ees de simetr!a.
to pa'o= 0e calculan las distancias que ha% desde cada centro de masa de las fi"uras sencillas hasta el centro de masa de la fi"ura compuesta.
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En este caso notamos que todos los centros de masa de las fi"uras sencillas están contenidos en el ee IF -J del centro de masa de la fi"ura compuesta, lue"o#
)-G , )*G % )@G + cm 3on relación a las distancias con el ee ID -J #
-G + -F,BB cm *G + cm @G + -F,BB cm Bto pa'o = 0e calculan los momentos de inercia de las fi"uras sencillas con respecto a sus ees (que serán paralelos a IF -J % ID-J)+ para lo cual utilizaremos las fórmulas que se encuentran en la primera pá"ina de esta "u!a. Rect
los lados del mismo, pasan por su centro de "ravedad#
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to calcula el una de las fi"uras sencillas aplicando el teorema es decir el $eorema de
pa'o = 0e momento de inercia de cada respecto a los ees ID-J e I F-J del ee paralelo, 0teiner.
%mo pa'o = 0e calculan los momentos de inercia de la fi"ura compuesta a partir de los momentos anteriores #
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