Material Del Profe Circ Un

UNID UN IDAD AD DE GE GEOM OMET ETRÍ RÍA A LA CIRCUNFE CIRCUNFERENCI RENCIA A Y UN PAR DE RECTA RECTASS EN EL EL PLANO PLANO

Fidel Oteíza Morra Morra Lucrecia Zamorano Zamorano Aravena Osvaldo Baeza Rojas

CONTENIDO

247 Presentación de de la unidad

248 Propuesta metodológica metodológica

250 Organización de la Unidad

253 Descripción sintética de las actividades actividades Tabla Nº 1: 1: Re Resumen de de ac actividades rec recuursos y titiempo Cuadros co con la la des desccripción si sintética de de la las ac actividades

253 2555 25

264 Sugerencias didácticas específicas

279 Referencias Referenc ias bibliográficas

280 Anexos Anexo 1: Conceptos enriquecidos Anexo 2: Acerca de los procesadores geométricos Anexo 3: Listado de guías Anexo 4: Listado de de archivos y applets relacionados Anezo 5: Interse Interseccion cciones es entre una una circunfer circunferencia encia y dos rectas rectas

280 282 285 286 294

PRESENTAC PRESE NTACIÓN IÓN DE DE LA UNIDAD UNIDAD Este material entrega las orientaciones para poner en práctica pr áctica el Modelo interactivo para aprender matemática en la unidad La circunferencia y sus ángulos, del programa de Matemática de Segundo Medio. Para el trabajo trab ajo en sala, se provee de guías, material complementario, evaluaciones y software. Los contenidos considerados en el programa para esta unidad son los siguientes: Ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia. Teorema que relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito. Distinción entre hipótesis y tesis. Organización lógica de los argumentos. Uso de algún programa computacional geométrico que permita visualizar regularidades y medir ángulos. En relación con los aprendizajes de los alumnos, el Mineduc espera que ellos: 1. 2. 3. 4.

Conozcann el teorema Conozca teorema que que relaci relaciona ona las las medidas medidas de los los ángulos ángulos del del centro centro y de los ángul ángulos os inscritos en una circunferencia y lo apliquen a la resolución de problemas. Conjeturen Conjet uren acerca de regularid regularidades ades geomét geométricas ricas asociad asociadas as a la circunfer circunferencia, encia, sus element elementos os (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; busquen formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis. Analic Ana licen en propied propiedades ades y relaci relaciones ones en figuras figuras geométr geométrica icass que se pueden pueden inscribi inscribirr o circunscircunscribir a una circunferencia. Descr De scrib iban an cuerp cuerpos os util utiliz izand andoo curvas curvas de nive nivel. l.

El tiempo estimado por el programa oficial para esta unidad es de 20 a 25 horas. En las próximas páginas se presentan la metodología, las actividades y los recursos para poner en práctica esta propuesta.

Presentación de la unidad

247

PROPUESTA METODOLÓGICA El programa oficial, además de los contenidos acerca de la circunferencia y sus ángulos, incluye dos contenidos de carácter transversal. El primero se refiere a las nociones de teorema y demostración, y el segundo, al uso de un procesador geométrico. Analizado lo anterior y teniendo como telón de fondo la experiencia de aplicación en liceos en la que se evidenció el escaso conocimiento acerca de los conceptos elementales de la Geometría, se adoptaron las siguientes orientaciones para el tratamiento de la unidad: 1.

2. 3.

4.

5.

6.

248

Concentrar los esfuerzos en ubicar las actividades en el contexto de la Geometría como cuerpo organizado de conocimientos, esto es –a diferencia de la propuesta hecha en la unidad sobre semejanza, en la que se usaron diferentes contextos para que los estudiantes pudieran explorar y conjeturar– en el tratamiento de esta unidad se trabaja con “actores” geométricos. Introducir la noción de “concepto enriquecido”, en el sentido de considerar, en las nociones elementales, el nivel de desarrollo de los estudiantes, buscando no quedarse con las nociones esperadas vistas en niveles inferiores (ver sugerencias didácticas específicas). Dedicar algunas sesiones a “invitar a los actores principales”, haciendo uso de una estrategia que comienza con “geometría mental”, esto es, recordando los conceptos de punto, recta, plano, ángulo, entre otros, mediante la imaginación. Luego, se debe dar la oportunidad para que los alumnos observen y experimenten con estas ideas mediante un procesador geométrico. Ello les permite ver en la pantalla lo que antes “vieron” con su imaginación. Por último, deben realizar actividades mediante guías, de modo que viertan al papel las nociones y relaciones necesarias para estudiar la circunferencia y las propiedades que la unidad presenta. Unificar los contenidos mediante la pregunta: ¿Qué sucede cuando en un plano coinciden una circunferencia y dos rectas? Las preguntas complementarias son las siguientes: ¿Qué situaciones se presentan? ¿Qué elementos se pueden distinguir en esas situaciones? ¿Qué relaciones es posible establecer entre esos elementos? De este modo se encuentran cuerdas, secantes, tangentes, ángulos al centro, ángulos inscritos y las relaciones entre esos elementos. La unidad es un espacio privilegiado para tratar las nociones de teorema, hipótesis, tesis y demostración. Se lo propone desde el trabajo previo con triángulos, en los que se aprovecha que el teorema de la suma de los ángulos interiores es –o debería ser– conocido por la mayoría de los alumnos, para poner en evidencia la estructura de un teorema y la forma en que se procede a una demostración. Más adelante, se darán oportunidades para que ellos generen conjeturas acerca de las figuras con las que trabajen, y busquen argumentos para determinar la posible validez de sus conjeturas. Por último, se propone hacer uso intensivo de la tecnología informática: primero para visualizar los conceptos (ver applets y sitios web que se proponen); luego, para realizar construcciones como generar una circunferencia que pasa por tres puntos, trazar cuerdas, determinar la magnitud de un ángulo, entre otras. Para proseguir, se deben explorar relaciones posibles y

Unidad de Geometría

hacer conjeturas acerca de qué relaciones son generales. Los procesadores son también adecuados para comprobar la exactitud de ciertas conjeturas, lo que es una buena antesala a la demostración. La mayor dificultad que encontramos al tratar el tema en cursos de Segundo Medio, fue una suerte de congelamiento de los conceptos básicos de la geometría. Fue difícil superar una fase de recuerdo impreciso para llegar a una de uso dinámico de los conceptos. De allí que se buscara recordarlos y luego hacerlos variar, mostrarlos en diferentes posiciones, establecer relaciones y usar la imaginación, el papel y la pantalla del computador para que cobraran vida. Si se espera que los jóvenes establezcan relaciones y descubran conjeturas, es indispensable que se familiaricen con los actores y puedan anticipar su comportamiento. En síntesis, se invita a los actores, de modo que el estudiante tome conciencia de “lo que tiene disponible” cuando trabaja con alguno de ellos; se alienta la exploración de relaciones como candidatos a conjeturas; se propone analizar la anatomía de las demostraciones; se da oportunidad para conocer nuevos teoremas y trabajar sus demostraciones, y se propone utilizar el potencial de los procesadores geométricos para apoyar todo el proceso.

Propuesta metodológica

P R O P U E S T A M E T O D O L Ó G I C A

249

ORGANIZACIÓN DE LA UNIDAD En este apartado se describe una secuencia de las actividades diseñadas para la unidad, se entregan algunas orientaciones acerca de la evaluación de los aprendizajes y se propone un conjunto de criterios para seleccionar y organizar las actividades de acuerdo con las características del grupo curso con el que usted trabaja.

La secuencia 1.

2.

3. 4. 5.

Se introducen los actores. En cuatro sesiones de 45 minutos, se recuerdan y se enriquecen los

conceptos básicos de la Geometría necesarios para tratar los temas de la unidad. Se hace mediante un ejercicio de visualización (ver sugerencias didácticas específicas), el uso de imágenes dinámicas generadas con un procesador geométrico y mediante guías (de la 1 a la 5). El propósito de esta fase introductoria es familiarizar a los estudiantes con los conceptos de punto, recta, plano, ángulo y triángulo, de modo que estén en condiciones de explorar acerca de sus propiedades y algunas relaciones que conducen a los teoremas que trata la unidad. Se estudia la estructura de una demostración. Analizando las propiedades de los ángulos interiores del triángulo y la relación entre un ángulo exterior y la suma de los dos no adyacentes, en el triángulo también se estudia la estructura de un teorema matemático. Se enfatiza el reconocer la estructura “si ..., entonces ...”, y las distinciones de hipótesis y tesis. Se sugiere trabajar sobre la base de las preguntas: ¿qué es una demostración?, ¿por qué en matemática se demuestra lo que se afirma? Primera evaluación. La circunferencia. Mediante la guía Dada una circunferencia, ¿qué está disponible? (Guía 8), el propósito es dar a los alumnos la oportunidad de recordar y completar sus conocimientos acerca de la circunferencia, preparando la exploración de la etapa siguiente. Un ejercicio de clasificación. Las Guías 9, 10 y 11, se trabajan con las preguntas: Si en un plano coinciden una circunferencia y un par de rectas, ¿qué situaciones se presentan?, ¿qué nuevos elementos se pueden observar en las figuras en las que hay intersecciones? Las rectas pueden ser coincidentes, cortarse o ser paralelas. Haga usted el ejercicio de completar la tabla que aquí se propone. Par de paralelas No interceptan a la circunferencia (intersección vacía) Interceptan a la circunferencia

250


Par de rectas coincidentes

Par de rectas que se cortan

Si realiza la actividad, observará que en los casos de intersecciones no vacías, se presentan cuerdas, secantes, tangentes, ángulos inscritos y cada uno de los elementos y/o situaciones en las que se pueden estudiar los teoremas relativos a esos elementos. La actividad genera una oportunidad para nombrar y def inir los “actores nuevos”, tales como los señalados: cuerdas, secantes, tangentes, ángulos al centro, arcos de circunferencia y ángulos inscritos. Por lo tanto, esta es una actividad preparatoria para la búsqueda de conjeturas acerca de las relaciones entre esos elementos. 6.

La relación entre un ángulo inscrito y el ángulo al centroque suscriben un mismo arco.

Guías número 12 a 16. De acuerdo con lo anterior, se exploran las relaciones entre esos ángulos haciendo uso de un procesador geométrico. Luego, se busca que los alumnos enuncien sus conclusiones. En los ensayos del material tres alumnos llegaron a la conclusión de que “el del centro es el doble del inscrito”; algunas compañeras verif icaron con el procesador que eso era efectivo, algo así como la comunidad científica verificando los resultados de un investigador. Como docentes, acogimos los hallazgos (durante un tiempo el Teorema de Luis y compañía) y señalamos que había buenas razones para pensar que estábamos frente a un teorema, pero que faltaba la demostración; “no basta que el procesador esté de acuerdo”. Consecuentemente, la etapa termina con la demostración propiamente tal, y la aplicación del modelo a la resolución de problemas, ejercitación y dominio de la técnica. 7.

Segunda evaluación.

8.

Se exploran y luego se demuestran las relaciones entre los segmentos de cuerdas que se cortan. Guías números 17 a la 20. Ejercitación, aplicaciones y dominio de la técnica.

9.

Se explora y se demuestra la relación entre los segmentos que se producen al trazar rectas secantes, desde un punto exterior a una circunferencia. Guías números 21 a 25.

O R G A N I Z A C I Ó N D E L A U N I D A D

Ejercitación, aplicaciones y dominio de la técnica. 10. La secuencia termina con la evaluación final de la unidad.

Acerca de la evaluación de los aprendizajes Evaluación diagnóstica. La

etapa de “invitación a los actores”, permitirá conocer lo que los estudiantes saben de los conceptos y relaciones necesarias para la unidad. Será el momento de decidir –ver apartado siguiente– la organización que usted le dará a la unidad en su caso específico. Evaluación formativa o en curso. Usar las guías y fichas de la etapa de exploración para asegu-

rarse de que hay progreso. Estar atentos a que todos los alumnos puedan identificar los conceptos y las propiedades de las figuras, en particular, las figuras que resultan de las intersecciones estu-

Organización de la unidad

251

D A D I N U A L E D N Ó I C A Z I N A G R O

diadas. Reforzar si es necesario, evaluar los argumentos que los estudiantes pueden formular en la etapa de formalización, hacer uso de presentaciones con el computador, para que grupos de estudiantes muestren sus hallazgos y sus argumentos a sus compañeros, y evaluar las técnicas de construcción y de resolución de problemas revisando el trabajo en las guías. Se incluyen dos pruebas para la evaluación durante el proceso, y una para la evaluación final.

Criterios para seleccionar las actividades De acuerdo con los resultados del diagnóstico inicial o del conocimiento que el profesor o la profesora tengan de sus estudiantes, se pueden distinguir entre las siguientes situaciones o énfasis: 1.

Alumnos con poco conocimiento de geometría y con poca motivación para aprender.En

este caso, poner el acento en las actividades de exploración inicial, usar el laboratorio de computación y tratar sólo una demostración con cierta profundidad, dejar los otros teoremas como “aceptados hasta otra oportunidad”. 2.

3.

Alumnos con algún conocimiento de geometría y condiciones que permiten un uso más o menos intensivo del laboratorio de computación. Hacer uso de los applets que acompa-

ñan la unidad y de un procesador geométrico para tratar en forma dinámica los temas por estudiar, con énfasis en la generación de conjeturas que luego son confirmadas mediante mediciones en el procesador y formalizadas por el docente. Alumnos que avanzan rápido y con los que se logra interés por aprender. Explorar, usar el computador y dar mayor énfasis al carácter axiomático de la matemática, buscando, argumentos y modos de demostrar las propiedades estudiadas.

Esas situaciones se pueden dar simultáneamente en un grupo curso. Si tiene estudiantes que se adelantan o se interesan más que sus compañeros, puede diferenciar el tratamiento usando las guías que le permitirán tener grupos que enfaticen el uso de tecnología, trabajando en el laboratorio, por ejemplo, y otros, o con aquellas que se refieren a las demostraciones. Recuerde que cuenta también con el Material de referencia, que contiene demostraciones. Finalmente, puede complementar el material con textos que permitan a los estudiantes trabajar en forma independiente. En la página siguiente se muestra un mapa con las diferentes actividades y los recursos preparados para cada una de ellas. En la sección Sugerencias didácticas específicas, se revisan las actividades propuestas con más profundidad y se introducen los guiones1 que se podrían usar para orientar la realización de las actividades propuestas.

1

252

En particular, en la sección de Sugerencias didácticas específicas , encontrará un guión para orientar lo que llamamos “imaginería” o “geometría” metal. También, como material anexo, se describe con un ejemplo lo que llamamos concepto enriquecido .


DESCRIPCIÓN SINTÉTICA DE LAS ACTIVIDADES El cuadro siguiente presenta la secuencia de actividades, enunciando brevemente en qué consiste la actividad, señalando los recursos de apoyo de que dispondrá el profesor o la profesora, y una estimación del tiempo necesario para desarrollar lo propuesto. Actividad

1

2

La motivación y la imaginería

Presentación de los actores invitados: elementos básicos de la geometría

Tipo

N

C

Recursos Guías, sugerencias didácticas específicas y material de apoyo

Sugerencias para la introducción Guía Nº 1: Recordando elementos de la geometría Guía Nº 2: Ángulos y relaciones entre ángulos Guía Nº 3: Ejercicios con ángulos y sus relaciones Guía Nº 4: Rectas, ángulos y triángulos Guía Nº 5: Clasificación y propiedades de los triángulos

Tiempo estimado en sesiones de 45 minutos

1

4

3

Demostraciones: dos teoremas en el triángulo

C

Guía Nº 6: Demostraciones en los triángulos Guía Nº 7: Demostraciones en los triángulos (Mini evaluación)

4

Primera evaluación

C

Primera prueba escrita

1

5

Dada una circunferencia, ¿qué está disponible?

N

Guía Nº 8: Elementos básicos de la circunferencia

1

6

7

Exploración: las intersecciones entre una circunferencia y dos rectas

Demostración: el teorema del ángulo inscrito

N

C

Guía Nº 9: Intersecciones entre una circunferencia y dos rectas Guía Nº 10: Examinando elementos asociados a la circunferencia Guía Nº 11: Examinando elementos asociados a la circunferencia Guía Nº 12: Demostraciones en la circunferencia (ángulos) Guía Nº 13: Demostraciones en la circunferencia (Mini evaluación)

2

3

2

La circunferencia Descripción y unsintética par de rectas de las en actividades el plano

253

S E D A D I V I T C A S A L E D A C I T É T N I S N Ó I C P I R C S E D

8

9

Guía Nº 14: Ejercicios con elementos de la circunferencia Guía Nº 15: Ejercicios con elementos de la circunferencia Guía Nº 16: Ejercicios con elementos de la circunferencia

Trabajo de la técnica: elementos y relaciones en la circunferencia

N

Segunda evaluación

N

Segunda prueba escrita

2 1

N

Guía Nº 17: Exploración del teorema de las cuerdas en una circunferencia

10 Exploración, el teorema de los segmentos en cuerdas que se cortan

Guión Nº 18: Demostraciones en la circunferencia (cuerdas) Guía Nº 19: Demostraciones en la circunferencia (Mini evaluación)

11 Demostración, teorema sobre los segmentos de cuerdas que se cortan

C

12 Trabajo de la técnica: teorema de las cuerdas

N

Guía Nº 20: Ejercicios del Teorema de las cuerdas

1 1

N

Guía Nº 21: Exploración del teorema de las secantes

13 Exploración: teorema de secantes que interceptan una circunferencia

14 Demostraciones: teorema de las secantes

C

15 Trabajo de la técnica, cuerdas y secantes

N

16 Evaluación final

N

Guía Nº 22: Demostraciones en la circunferencia (secantes) Guía Nº 23: Demostraciones en la circunferencia (Mini evaluación) Guía Nº 24: Ejercicios del Teorema de las secantes Guía Nº 25: Ejercicios de los teoremas de las cuerdas y la secante Tercera prueba escrita

Tiempo actividades nucleares / Tiempo total

254

3


2

2

3

2

18/31 horas

Descripción de actividades nucleares y complementarias 1. La motivación y la imaginería (actividad nuclear)

Esta actividad tiene como propósito orientar al alumno para que comprenda las estrategias y la secuencia que se desarrollan en esta unidad. Se trata de que los alumnos vuelvan a relacionarse con los elementos básicos de la Geometría, y que comprendan que el trabajo se centra en lo que sucede cuando algunos elementos geométricos se interceptan en un plano (intercepción entre rectas y entre rectas y circunferencias). Se sugiere que el profesor o profesora haga “vivir” nuevamente los conceptos básicos de la Geometría, “actores invitados”, con la imaginación. Los alumnos, con los ojos cerrados, harán una visita guiada por el profesor a los conceptos de punto, recta, plano, ángulo, algunas relaciones entre ellos (incidencia entre una recta y un plano, por ejemplo). Se espera, además, que lleguen a la noción de concepto enriquecido, es decir, se sugiere que el profesor o profesora haga algo más que sólo recordar los elementos con los que es necesario trabajar en la unidad. Esto significa que a los actores invitados se les actualiza y se les enriquece de manera tal, que se pueda utilizar todo lo que está disponible cuando se considera o se encuentra con uno de ellos. La actividad se realiza en la sala de clases. El profesor o profesora interactúa con los alumnos, creando un ambiente que motive el interés por actualizar y enriquecer los conceptos básicos de la Geometría necesarios en esta unidad. Recursos

D E S C R I P C I Ó N S I N T É T I C A D E L A S A C T I V I D A D E S

Ver guión acerca de la visualización en la sección Sugerencias didácticas específicas y el anexo 1 sobre Conceptos enriquecidos. Anexo 4 Applet 1: La noción de semiplano. Tiempo estimado: 1 hora

Descripción sintética de las actividades

255


2. Presentación de los actores invitados (actividad complementaria)

El propósito de esta actividad es actualizar y enriquecer las nociones elementales que se incluyen en la unidad. Estas nociones son las que llamamos “Actores invitados”. Para esto, el profesor o profesora debe aplicar las guías 1 a 5. Las guías 1 y 2 repasan los conceptos de punto, recta, plano y ángulos. La Guía 3 ejercita las propiedades de los ángulos, y las guías 4 y 5 presentan al triángulo y sus propiedades. Mientras los alumnos desarrollan individualmente las guías 1 y 2, el profesor o profesora, debe apoyar y nivelar a los alumnos que presenten dif icultades. Se pensó en la Guía 3 para ejercitar los contenidos repasados en las dos guías anteriores. Se sugiere repetir el apoyo a los alumnos en la guía 4 y nuevamente ejercitarlos en la guía 5. El profesor o profesora debe tener siempre presente que el fin de esta actividad es preparar a sus alumnos para abordar los contenidos que trata la unidad. Recursos

Guías 1, 2, 3, 4 y 5. Applets 2 y 3. Tiempo estimado: 4

horas

3. Demostraciones: teoremas en los triángulos (actividad complementaria)

El propósito de esta actividad es introducir o recordar y enriquecer los conceptos de teorema, hipótesis, tesis y demostración. Se propone que los estudiantes recuerden o establezcan conjeturas y las enuncien usando la expresión “Si….., entonces ...”. Conviene que conozcan los pasos y los argumentos de algunas demostraciones. Luego, ellos deberán desarrollar sus propias demostraciones guiados por el profesor o profesora. Parte de la discusión se centrará en razón de las demostraciones. Puede que salgan o que el profesor o profesora explique que se demuestra por varias razones. Algunas de las razones por las que en matemática se demuestra lo que se afirma, pueden ser las siguientes: para estar seguros, para comunicar a otros los resultados de su razonamiento, para relacionar lo nuevo con lo conocido, para comprender o dejar explícito por qué una relación es general y para organizar el conocimiento adquirido. Se hace uso del caso, supuestamente conocido, de la suma de los ángulos interiores del triángulo para reforzar la estructura de un teorema, sin que la dif icultad de la demostración oscurezca esa estructura y la noción de demostración. Recursos

Guías 6 y 7. Archivos en PowerPoint en Guía 6a y Guía 7a, en el CD. Tiempo estimado: 2 horas

256


4. Primera evaluación (actividad complementaria)

Es una prueba para responder en forma individual. Contiene preguntas acerca del triángulo y sus elementos. El grado de dificultad es mínimo, con el fin de que los alumnos obtengan resultados positivos, y sea un impulso motivador para mejorar su actitud durante el resto de la unidad. Recursos

Primera prueba escrita. Tiempo estimado: 1 hora

5. Dada una circunferencia, ¿qué está disponible? (actividad nuclear)

Esta actividad tiene como propósito actualizar y enriquecer las nociones que cor responden a elementos básicos de la circunferencia. Para comenzar, se propone una visualización o “Geometría a ojos cerrados” para lograr una noción de circunferencia y recordar algunos elementos, como por ejemplo, centro, radio, diámetro, cuerda, secante, tangente, punto de tangencia, arco. Además, se cuenta con una guía de apoyo para recordar esos conceptos y para tomar conciencia de todo lo que está disponible cuando se encuentra uno de ellos en un problema o en una demostración. Tam bién se puede usar un procesador geométrico.


Recursos

Guía 8. Applets 5, 6, 7 y 8.

Un procesador geométrico, anexo 2. Tiempo estimado: 1 hora


257


6. Exploración: las intersecciones entre una circunferencia y dos rectas (actividad nuclear)

El propósito de esta actividad es que los alumnos exploren y nombren las situaciones y los elementos que se generan cuando en un plano coinciden dos rectas y una circunferencia. Una vez identificadas dichas situaciones conviene preguntarse: ¿qué nuevos actores aparecen? Usted puede generar una discusión general acerca de los casos y usar una tabla de doble entrada como la que se presenta en la guía para resumir los casos en la pizarra o en un papelógrafo. Se trata de integrar los conceptos de arco, diámetro, radio, secante, tangente, ángulo inscrito, ángulo del centro, ángulo semiinscrito a través de la exploración y de manera que el alumno identifique claramente los conceptos encontrados. Recursos

Guías 10 y 11. Transparencia en el Anexo 5. Tiempo estimado: 3 horas

7. Demostración: el teorema del ángulo inscrito (actividad complementaria)

Esta actividad pretende que el alumno, una vez que explore posibles relaciones entre los nuevos y antiguos actores, sea capaz de conjeturar ordenando sus ideas con la estructura: “Si…entonces...”, es decir, “Si hipótesis, entonces tesis”. Además en este momento conviene enriquecer los conceptos de axioma, términos primitivos, teorema, hipótesis, tesis y demostración. Comience por resumir las conjeturas y/o peguntas que se han formulado los estudiantes. ¿Cómo podemos estar seguros de que se cumplan estas relaciones? Presente la demostración del teorema, use las proposiciones y/o argumentos que le puedan dar sus alumnos. Esta actividad contempla dos etapas: en la primera (Guía 12), el profesor o profesora demuestra usando las conjeturas y argumentos que los alumnos resumen en su trabajo de la guía. En la segunda (Guía 13), se sugiere que el alumno demuestre el caso particular del ángulo inscrito en una semicircunferencia. Recursos

Guías 12 y 13. Applets 9, 14, 18, 19 y 20. Tiempo estimado: 2 horas

258


8. Trabajo de la técnica: elementos y relaciones en la circunferencia (actividad nuclear)

Esta actividad tiene como propósito que los alumnos desarrollen y resuelvan una serie de problemas propios de la Geometría, como cálculo de medidas de ángulos, utilizando los “conceptos enriquecidos” y las relaciones y teoremas tratados durante la unidad. Se sugiere que el profesor o profesora aproveche cada problema, tanto para aplicar técnicas como para hacer un recorrido por los “actores invitados” y la teoría que fundamenta las aplicaciones. Conviene que los alumnos trabajen en grupos de dos o tres y luego compartan entre todos sus respuestas. Se sugiere además que el profesor o profesora analice los resultados y procedimientos de resolución de cada problema y los relacione con las actividades realizadas durante la unidad. El profesor o profesora puede utilizar las imágenes entregadas en el material para apoyar la puesta en común de la guía. Recursos

Guías 14, 15 y 16. Applets 13, 16, 17, 19 y 20. Tiempo estimado: 3 horas


9. Segunda evaluación (actividad nuclear)

Mediante esta actividad, se espera que los alumnos sean capaces de resolver una serie de problemas en donde se aplican conocimientos, lenguaje formal y relaciones y teoremas para calcular ángulos en la circunferencia. Además, se espera que los alumnos puedan leer, seleccionar e interpretar una serie de datos en lenguaje formal que se desarrolla durante la unidad, con el fin de resolver los problemas y situaciones planteadas. Se sugiere que esta evaluación se realice en forma individual. Conviene resolver completamente esta prueba en la clase para aclarar dudas, corregir errores y consolidar el conocimiento adquirido. Recursos

Segunda prueba escrita. Tiempo estimado: 2

horas Descripción sintética de las actividades

259


10. Exploración: el teorema de los segmentos en cuerdas que se cortan (actividad nuclear)

Mediante esta actividad se espera que los alumnos logren descubrir la relación entre los segmentos determinados por dos cuerdas que se interceptan en el interior de la circunferencia. Se propone orientar al alumno mediante una guía, para que determine que el producto de los dos segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los dos segmentos determinados en la otra. Conviene trabajar en grupos de dos o tres alumnos para que discutan entre ellos los argumentos y los conocimientos utilizados al plantear las conjeturas que darán paso al teorema. Se sugiere, además apoyar fuertemente el trabajo de los grupos en el desarrollo de esta guía, pues requiere de conocimientos anteriores y la relación no es evidente. Cierre la sesión planteando, y eventualmente demostrando, el teorema correspondiente. Recursos

Guía 17. Un procesador geométrico. Applets: 10. Tiempo estimado: 1 hora

11. Demostración: teorema sobre los segmentos de cuerdas que se cortan (actividad complementaria)

Al momento de realizar esta actividad, se espera que los alumnos tengan un mejor conocimiento de “la demostración”, ya que se ha tratado en forma transversal a lo largo de la unidad. La idea es retomar este tema cuando sea pertinente para que el alumno se familiarice con “la demostración”. Debe ser capaz de distinguir entre hipótesis y tesis, y ser capaz de seguir una secuencia lógica, argumentando cada paso con teoría formal. Al igual que en los casos anteriores, se trata de dar un paso más en la demostración, invitando al alumno a que la desarrolle con el profesor o profesora y que luego desarrolle otra en forma individual con la atenta mirada del docente. Esta última puede ser evaluada formativa o sumativamente, dependiendo de las condiciones en que se desarrolle la actividad. Recursos

Guías 18 y 19. Applet 10. Tiempo estimado: 2 horas

260


12. Trabajo de la técnica: teorema de las cuerdas (actividad nuclear)

El propósito de esta actividad, es aplicar el teorema de las cuerdas en una serie de ejercicios y problemas de la Geometría. Al igual que en las actividades anteriores, se propone utilizar cada problema para desarrollar habilidades en la aplicación de la técnica de relacionar lo conocido con lo nuevo, y cómo aplicarlo en las nuevas situaciones planteadas. Use la Guía 20 para trabajo grupal. Pida luego que se comparen los resultados y los procedimientos de resolución utilizados. También conviene analizar, con el curso completo, las soluciones, los procedimientos, las dificultades y los problemas que le parezcan más interesantes. Recursos

Guía 20. Trasparencias Guía 20a, en el material digital del profesor o profesora. Tiempo estimado: 1 hora

13. Exploración: teorema de las secantes (actividad nuclear)


Esta actividad tiene como propósito que los alumnos descubran la relación entre los segmentos determinados por dos secantes que se interceptan en el exterior de la circunferencia. Se propone una serie de actividades orientadas a que el alumno logre determinar que si desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, entonces los productos de las distancias desde P a los puntos de intersección de cada secante con la circunferencia, son iguales. Se sugiere trabajar en grupos de dos o tres alumnos y propiciar una discusión en torno a los conocimientos y argumentos utilizados para plantear las conjeturas que permitirán llegar al teorema. Esta guía requiere de un fuerte apoyo del profesor o profesora a cada grupo. Conviene cerrar esta actividad presentando en forma completa los pasos y planteamientos que hacen posible presentar el teorema de las secantes. Recursos

Guía 21. Applet 15, también el 11 y el 12 en el Anexo 4. Tiempo estimado: 1 hora


261


14. Demostraciones: teorema de las secantes (actividad complementaria)

El propósito de esta actividad es lograr que el alumno analice por qué en matemática se demuestra lo que se afirma, que busque el sentido de la demostración. Para esto se sugiere que el profesor o profesora demuestre paso a paso el teorema de las secantes, destacando nuevamente la distinción entre hipótesis, tesis, demostración y argumentos. Luego, en forma individual, puede demostrar otro teorema relacionado, de forma tal que el alumno comprenda o perciba mejor la necesidad de hacer de la demostración una actividad más significativa. Se recomienda revisar con el curso la demostración del teorema planteado en la minievaluación. Recursos

Guías 22 y 23. Applets 11, 12 y 15, en el anexo 4. Tiempo estimado: 2 horas

15. Trabajo de la técnica: teoremas de las cuerdas y de la secante (actividad nuclear)

En esta actividad el propósito es aplicar el teorema de las secantes en problemas propios de la Geometría. La idea es que el alumno identifique claramente los segmentos determinados por secantes que se interceptan en el exterior de la circunferencia. Esta reflexión le permitirá seleccionar los datos necesarios para aplicar correctamente el teorema de las secantes. Este acto de selección, análisis y aplicación abre caminos para desar rollar habilidades en la resolución de problemas. Se sugiere trabajar en forma grupal al desarrollar la guía, para comparar resultados y procedimientos de resolución. Conviene además resolver toda la guía en clase, de manera que el profesor o profesora resuelva dudas, aclare conceptos, refuerce técnicas y conocimientos adquiridos. Recursos

Guías 24 y 25. Tiempo estimado: 3 horas

262


16. Tercera evaluación (actividad nuclear)

Esta actividad tiene como propósito detectar si el alumno logra aplicar correctamente los conocimientos adquiridos respecto del teorema de las cuerdas y del teorema de las secantes. Se plantea una serie de ejercicios en los que debe identificar y relacionar datos, proponer formas de resolver, aplicar el conocimiento y, si es posible, comprobar resultados. Se sugiere resolver la prueba en forma individual y desarrollarla completamente en clase, aprovechando la oportunidad de dar un cierre a la unidad. Recursos

Tercera prueba escrita. Tiempo estimado: 2 horas



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SUGERENCIAS DIDÁCTICAS ESPECÍFICAS Actividad Nº 1 La motivación y la imaginería La imaginería y los actores invitados

El profesor o profesora, utilizando la imaginación de sus alumnos, invita a los “actores” que participarán en la unidad (las nociones elementales2). Se las presenta, actualiza y “enriquece” (más adelante, en este apartado, se describe esta característica). Se trata de traer a la mente del alumno visualizaciones de objetos geométricos de modo que vuelva a reconocerlos, a convivir con ellos. Poner de manifiesto que los elementos de la Geometría son entes de razón y, por lo tanto, son esencialmente mentales: lograr que los alumnos hagan algunos experimentos mentales con las propiedades que tienen los objetos geométricos, imaginar una recta en un plano, “ver” su infinitud, colocar una circunferencia en el mismo plano de la recta, determinar los casos posibles de intercepción entre la recta y la circunferencia, etc. Culminada esta actividad, los alumnos deberían poseer una noción de un concepto enriquecido de las nociones anteriores. La segunda parte de esta actividad, propone que el profesor o profesora invite a los “actores” que participan en la unidad, usando geometría a ojos cerrados. Una forma de desarrollar la imaginación

El profesor o profesora motiva una experiencia de geometría sin papel, sin pizarra, sin computador, sólo con la imaginación. Va sugiriendo imágenes mientras observa al grupo y se asegura de que sus instrucciones están induciendo la imaginación de los alumnos. A continuación, procede de la forma en que prácticamos al ensayar la unidad. Visualizar el plano como una superficie, una placa o un vidrio sin límites, como una generalización de nuestra experiencia sensible con superficies planas. Representar en la pizarra, en el papel y la pantalla un rectángulo en diferentes ángulos, y luego “destruir” esa imagen extendiendo los límites para generar un plano. “Ustedes saben lo que es un plano. Ahora, les propongo que lo veamos con nuestra imaginación. Cierren los ojos. ¿Pueden imaginar un plano? Algo así como el vidrio de una vitrina, sin nada, nada encima, que se extiende, se extiende, ... no tiene límites. ¿Pueden verlo? ¿Pueden “mirarlo desde arriba”? ¿Hacerlo “girar” hacia delante? ¿Hacia atrás? Es impor tante. En ese plano y en otros semejantes, jugaremos con la geometría que estamos aprendiendo”.

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Puntos, rectas, semirrectas, trazos, circunferencias, arcos, ángulos, planos, semiplanos y algunas de las propiedades que se dan cuando se interceptan entre ellos.


Un plano es una abstracción, un concepto que no se da en la realidad. Una superficie plana real es finita y si la observamos adecuadamente, tiene asperezas y nos es totalmente “plana”. En Geometría el concepto de plano es un “concepto primitivo”, esto es, un concepto que no se define, sino que se usa como una base para definir otros conceptos. Visualizar la recta “sobre” el plano. Imaginen una recta sobre ese plano, extendiéndose en ambas direcciones, “sin límite”, “más allá”. Imaginen puntos sobre ella, “tantos como s e pueda o se quiera”. ¿Pueden ver una recta sobre el plano? Sólo una recta. Observen cómo se extiende hacia un lado y hacia el otro, sin límite, más allá, hacia ambos lados. ¿Ven cómo la recta divide al plano en dos partes? A estas partes se las llama semiplanos. Colorea uno de rojo y el otro de azul, con colores brillantes, luminosos. ¿Los pueden ver? Ahora, ¿pueden girar la recta? ¿Qué pasa con los colores? Marquen dos puntos en la recta. ¿Los pueden ver? La recta quedó dividida en tres partes. Cada punto generó dos semirrectas. ¿Pueden ver qué partes se superponen, se intersectan? Entre los dos puntos quedaron puntos de dos semirrectas diferentes. Decimos que ese es un trazo. ¿Lo pueden ver?, ¿le pueden poner un color? La recta en el plano determina dos semiplanos , dos regiones y una frontera , la propia recta. Agréguenles colores. Regresemos a nuestro plano sin objetos, en limpio. Si trazamos un punto, llamémoslo A. ¿Pueden visualizar una recta que, estando en el plano, pasa por ese punto? ¿Cuántas rectas pueden cumplir esas condiciones? Todas esas rectas forman un haz de rectas. Si ahora tenemos dos puntos en el plano, A y B. ¿Cuántas rectas podemos trazar de modo que contengan a ambos puntos? Esta es una situación importante. Por dos puntos pasa una y sólo una recta. Se dice que dos puntos determinan una recta. Regresemos a un plano en limpio. Marquemos dos puntos: A y B. Por A tracemos un haz de rectas, píntenlas de un color. Por B tracen otro haz de rectas, píntenlas con otro color. Miren el conjunto. ¿Hay alguna recta que pasa por A y por B, esto es, que pertenezca a ambos haces de rectas? Si la pueden visualizar, esa es la única recta que pasa por ambos puntos. Es la recta que está determinada por los puntos A y B. Ahora trabajemos con dos rectas en el plano. Si en un plano coinciden dos rectas ¿qué situaciones podemos distinguir? Dos rectas en el plano pueden cortarse, ser paralelas o coincidir. ¿Pueden ver esas situaciones? ¿Hay más posibilidades?

S U G E R E N C I A S D I D Á C T I C A S E S P E C Í F I C A S

Explorar las tres situaciones mediante visualizaciones con colores. Si las rectas se cortan, aparecen nuevos elementos: el punto de intersección, semirrectas y ángulos. Explorar esos elementos, visualizar cada una de las cuatro regiones como intersección entre los semiplanos generados por cada recta. Mostrar el punto de intercepción y las semirrectas. Relacionar con la medida de ángulos. Si coinciden, también coinciden los semiplanos. Visualizar rectas de diferente color, superpuestas y los semiplanos, con colores mezclados. Los semiplanos coinciden, son intersecciones. Si las rectas son paralelas, se generan tres regiones en el plano separadas por dos fronteras, las rectas: visualizarlas, observar cómo los semiplanos determinados se superponen parcialmente; visualizar las paralelas “alejándose sin cortarse”, “como líneas del ferrocarril que no cambien de dirección”. Mostrar que se mantiene la distancia entre ellas. Construir rectas paralelas en el papel y reconocer las regiones. Repasar la construcción con regla y escuadra (traslación paralela y con regla y compás). Sugerencias didácticas específicas

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S A C I F Í C E P S E S A C I T C Á D I D S A I C N E R E G U S

De este modo, recordar ángulos agudos, ángulos obtusos, ángulos opuestos por el vértice, ángulos suplementarios y complementarios. Explorar, mediante una visualización dinámica, o en una simulación en el computador, lo que sucede al mover las rectas. Mostrar que cada vez que se cortan dos rectas se generan esos elementos y que guardan relaciones conocidas:los opuestos son congruentes, los contiguos son suplementarios, las bisectrices son perpendiculares. Mostrar varios casos en diferentes posiciones, regresar a las construcciones iniciales: un plano, una recta, dos semiplanos, una segunda recta, tres posibilidades, los ángulos que se generan cuando se interceptan, sus relaciones; detenerse en el caso del ángulo recto. Asegurarse de que los alumnos dominen estas situaciones, que las pueden nombrar, que las reconocen en diferentes posiciones. Una observación a partir de la experiencia

Al realizar el ejercicio de imaginación con alumnos de Segundo Medio, quedó muy clara una distinción: los elementos de la Geometría son entes de razón3 , se dan sólo en la mente. Cuando en relación con un edificio o con un objeto nosotros decimos “punto, recta, segmento paralelas, etc.”, estamos refiriéndonos a objetos o aspectos de los objetos que posiblemente generaron en nosotros las ideas de los objetos de la Geometría, pero en otro plano. En la práctica no se encuentran los entes matemáticos; el número dos es abstracto, dos manzanas son concretas, las podemos contar, pero no es el número dos. A la vez, fue interesante que al preguntar para qué estudiamos Geometría, una de las respuestas fuera: “Estamos rodeados de Geometría”; otra, “Usamos la geometría para hacer planos o para proyectar la mayoría de las cosas que los humanos hacemos”. Siguiendo con los pasos del ejercicio de imaginación, también alternamos con la experiencia sensible. “Toca la punta del lápiz”, “Sigue con la yema de los dedos el borde de una regla”, “Nombremos las figuras geométricas que encontramos en la sala”, fueron experiencias que luego integramos al enriquecimiento de los conceptos geométricos. La siguiente es una lista de los principales conceptos que el profesor o profesora debe hacer “visitar” a los alumnos en el “tur” guiado en su imaginación, que puede (y debe) ser ampliada. • • • • • • • •

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Plano Recta Trazo Semiplano Frontera Paralelas Semirrectas Ángulo

• • • • • • • • •

Medida de ángulos Ángulos agudos Ángulos obtusos Ángulos opuestos por el vértice Ángulos suplementarios Ángulos complementarios Ángulos congruentes Ángulos rectos Bisectriz

En el libro The Mathematical Experience , se muestra un unicornio que dice: “Tú me piensas, luego existo”. Con esta metáfora, parafraseando a René Decartes, muestran la naturaleza de un ente de razón. Es un ente que existe en tanto y en cuanto es pensado.


Junto con “visitar” los conceptos anteriores, el profesor o profesora debe llevar a la imaginación de sus alumnos las relaciones que se dan entre dichos conceptos. Algunas de ellas son: Una recta divide al plano en dos semiplanos. Dos rectas en el plano coinciden, son paralelas o se cortan. Si se cortan, el punto de intersección divide, a cada recta, en dos semirrectas. Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos, o en radianes. Ángulos que tienen la misma medida son congruentes. Dos ángulos que suman 180º se llaman suplementarios. Dos ángulos que suman 90º se llaman complementarios. Dos rectas que se cortan forman cuatro ángulos, de a pares son opuestos por el vértice y son congruentes entre sí, y dos ángulos contiguos son suplementarios. La bisectriz de un ángulo es perpendicular a la bisectriz del ángulo suplementario que se forma con dos rectas que se cortan.

Actividad Nº 2: Presentación de los actores invitados


Una vez que los alumnos tienen en su imaginación los elementos básicos de la Geometría, se supone que los problemas, las aplicaciones y las relaciones que siguen no deberían sorprenderlos pues “pueden verlas”, reconocerlas, nombrarlas y “moverlas”, hacerlas variar, para usarlas en diferentes situaciones. Esta es una capacidad que poseen las personas a las que “les va bien” en matemática. Conocen los elementos, los pueden relacionar y son capaces de hacerlos variar, desplazarse, combinarse y de realizar, con su imaginación y su inteligencia, lo que Albert Einstein llamó experimentos mentales. “Si hago esto, eso y eso otro, entonces sucede que ...”. A continuación conviene que los alumnos desarrollen las guías 1 a la 5, pues en ellas recordará y enriquecerá nuevamente los conceptos de planos, puntos, rectas, trazos, ángulos y triángulos. En las guías 1, 2 y 3 se trata de tomar a los actores invitados (planos, puntos, rectas, trazos, ángulos con sus propiedades y aplicaciones) y desarrollar pequeñas tareas orientadas a enriquecer estos conceptos. En este momento conviene hacer un alto y plantear un mini cierre basado en lo aprendido de los conceptos enriquecidos y a partir de la pregunta ¿qué está disponible en un ángulo para un alumno de Segundo Medio? En la Guía 4 se realiza una exploración respecto de las posiciones que pueden presentarse considerando tres rectas en el plano, hasta llegar al caso de tres rectas que se cortan en tres puntos (de dos en dos). Es decir, se parte nuevamente con un plano en blanco, una hoja en blanco, como una forma de visualizar el plano. Se ubican, sucesivamente, tres rectas en ese plano y se pregunta: ¿qué figura se formó?

Sugerencias didácticas específicas

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La Guía 4 considera los casos siguientes: 1. 2.

3. 4. 5. 6. 7.

Las tres rectas coinciden. Se reduce a una recta que divide el plano en dos semiplanos. Dos rectas coinciden y la otra corta a las anteriores. Corresponde al caso de dos rectas que se cortan. Es la intersección que da origen a un ángulo con todas las relaciones y elementos conocidos con anterioridad. Observemos, nuevamente, los ángulos opuestos por el vértice y los que son complementarios. Dos rectas coinciden y la tercera es paralela. Corresponde al caso de dos rectas paralelas. ¿Cuántos semiplanos? ¿Qué regiones se pueden distinguir? Las tres rectas son paralelas. ¿Cuántos semiplanos? ¿Cómo interceptan esos semiplanos? Dos rectas son paralelas y la tercera las corta. Es una figura que se estudia al comenzar la Geometría. Reconoce los ángulos internos, los externos, los alternos y los correspondientes entre paralelas y las relaciones que existen entre ellos. Las tres rectas se cortan en un punto, formando un haz de rectas (sólo tres). Las tres rectas se cortan, formando un triángulo. Es el caso en que tomadas de a dos, no son paralelas. Observemos los elementos que se pueden distinguir y algunas relaciones.

Las rectas, al interceptarse, generan puntos, segmentos, ángulos, una región interior y una exterior y semirrectas. ¿Cuántos vértices? ¿Cuántos segmentos? ¿Cuántos ángulos? ¿Cuántos ángulos externos? ¿Qué formas pueden tomar los triángulos? Un triángulo es una figura como las siguientes4:

Si A, B y C son tres puntos no alineados, entonces la reunión de los segmentos AB, AC y BC se llama triángulo y se indica como ABC. Los puntos A, B y C se llaman vértices y los segmentos AB, AC y BC se llaman lados (p.76). Luego, mostrar que cada pareja de vértices define una recta, donde el triángulo queda determinado por tres rectas que se cortan en puntos no alineados. Detenerse en la suma de los ángulos internos. Repetir la argumentación usando ángulos for mados entre paralelas. Más adelante, usaremos esta situación para introducir la noción de teorema, hipótesis, tesis y demostración. Al ejemplificar, mostrar diferentes triángulos trazarlos en diferentes 4

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Tomado de Geometría Moderna de E. Moise y F. Downs, Fondo Educativo Interamericano, Editorial Nor ma, Colombia, 2a edición pp. 76 y 77, 1976.


posiciones, que sus ángulos sean variados, tanto agudos como obtusos, y detenerse en el triángulo rectángulo; que los alumnos tengan la oportunidad de observar y/o de dibujar triángulos escalenos, isósceles y equiláteros. Recordar y argumentar acerca de la suma de los ángulos interiores y de las propiedades de los exteriores. ¿Cuál es el concepto de triángulo en la mente de un alumno de segundo medio? ¿Qué elementos y qué relaciones están disponibles cuando trabajamos con un triángulo? Observar los ángulos externos, relacionarlos con los interiores no adyacentes. ¿Cuál es el concepto de triángulo en la mente de un alumno de segundo medio? ¿Qué elementos y qué relaciones están disponibles cuando trabajamos con un triángulo? Este es el punto de llegada de esta secuencia, enriquecer el concepto de triángulo y asegurarse de que los estudiantes lo tengan disponible. Regresemos a las tres rectas que se cortan. ¿Cuántos vértices? ¿Cuántos ángulos? ¿Cuántos ángulos externos? ¿Qué formas pueden tomar los triángulos? Recordar la clasif icación en escalenos, isósceles y equiláteros.

Actividad Nº 3: Demostraciones; dos teoremas en el triángulo Una vez desarrolladas las guías 1 a 5 existe una serie de actores en escena con algunas relaciones. A partir de lo anterior se enuncian conjeturas con el esquema siguiente: Si

,

entonces


.

La idea es introducir la noción de demostración. Además, será la oportunidad para recordar, introducir, enriquecer los conceptos de axioma, definición, teorema, hipótesis, tesis y demostración. Es importante que los jóvenes comprendan, tanto lo que es una demostración, como las razones de por qué son importantes. Recurra a la historia de la matemática para poder ilustrar cómo ha sido desarrollada. Muestre que los matemáticos griegos, cinco siglos antes de Cristo, introdujeron la noción de “afirmaciones que se refieren a toda una familia de objetos”. Thales, al afirmar “Toda recta que pasa por el centro de una circunferencia la divide en dos partes iguales”, introduce, por primera vez en la historia, la noción de una afirmación general para toda una clase de objetos. Si tiene la oportunidad lea la novela de Guedj (2001), El Teorema del Loro. En las páginas 39-41 introduce esta idea. El libro, escrito por un matemático profesor de Historia de la Ciencia de la Universidad de París, es rica en situaciones que usted podrá usar en clases. Se propone hacer de la demostración un objetivo transversal de la unidad, es decir, tratarla en distintos momentos del desarrollo. El propósito es lograr que el alumno, la alumna, comprenda tanto el significado como el propósito de una demostración. Se propone que la demostración sea hecha en interacción con el grupo: ¿Cuál es el punto de partida?, ¿qué es lo que sabemos?, ¿qué queremos demostrar?, ¿cómo podemos estar seguros? Si tiene un procesador geométrico, es el momento de verificar el valor de la suma de los ángulos interiores y hacer variar la forma de la figura. A continuación se puede orientar a los alumnos a conjeturar acerca de los motivos por los cuales se debe demostrar. Sugerencias didácticas específicas

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Sería conveniente que frente a la expresión “en matemática se demuestra para” se llegara a argumentos como los siguientes: Estar seguros de que una afirmación es general. Hacer explícitas las razones por las cuales una afirmación es verdadera. Comunicar a otros los resultados del pensamiento y recibir la confirmación o refutación de la comunidad científica. Relacionar lo nuevo con lo conocido para fundar, sobre lo conocido y aceptado como verdadero, un nuevo conocimiento. Por último, la demostración es parte de las estrategias que se usan para organizar conocimiento, para hacer de la Matemática un cuerpo organizado de ideas. Use la Guía 6 para que los alumnos anoten los resultados de un trabajo en pizarra en la que usted, planteando preguntas, “demuestra” el teorema referente a la suma de los ángulos interiores. Se eligió este teorema porque muchos alumnos lo recuerdan, y lo usamos en esta oportunidad, para dejar en evidencia la estructura de un teorema, lo que entendemos por hipótesis y lo que se entiende por tesis y –muy central– la argumentación, la demostración. Puede también hacer lo mismo con el teorema acerca del ángulo exterior de un triángulo. Luego, mediante la Guía 7, los alumnos en parejas buscan la hipótesis y la tesis del teorema acerca de la suma de los ángulos exteriores de un triángulo, y proponen argumentos para demostrarlo. Cada pareja cuenta con dos copias de la Guía 6; pídales que usen una copia para anotar los resultados de su trabajo y que dejen la otra para “pasar el trabajo en limpio”. Cuando observe que la actividad ha avanzado lo suficiente, retome la discusión en la pizarra. Por medio de preguntas, reconstruya la situación dando los pasos y las razones formales. Asegúrese de que los estudiantes completan la segunda copia de la Guía 6, con una versión completa y correcta del teorema y su demostración, y que comparan sus argumentos con el resultado final. Para apoyar estas actividades cuenta con dos archivos en PowerPoint: Guía 6a y Guía 7a, en el CD de recursos ver Anexo 4.

Actividad Nº 4 Primera evaluación Mediante esta actividad, se trata de evaluar si los estudiantes pueden identificar los conceptos básicos y propiedades de figuras, en particular aquella que resulta de la intersección de tres rectas en tres puntos de dos en dos. En esta oportunidad se pretende saber si los alumnos conocen a los “actores invitados” y si han logrado enriquecerlos especialmente a través de la aplicación de propiedades de ángulos en triángulos. La prueba es individual y de desarrollo. Se debe entregar información acerca de cómo el alumno aborda los problemas, qué relaciones y conocimientos aplica y cómo lo hace. Es decir, las res puestas y desarrollos nos indican su posición frente a los conceptos enriquecidos. El tiempo de desarrollo estimado para esta prueba es de 45 minutos.

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Actividad Nº 5 Dada una circunferencia, ¿qué está disponible?

Nuevamente proponemos recordar junto a los estudiantes el concepto y algunas construcciones referentes a la circunferencia. Se puede usar la pizarra, la pantalla del computador, un proyector con los applets que acompañan este material y/o hacer algo de “geometría mental”. Depende de cuán cómodo o cómoda usted se haya sentido con esta forma de inducir, las nociones con que se quiere trabajar. En esta oportunidad no reproducimos todas las instrucciones para realizar la visualización. En forma abreviada podría comenzar diciendo: Regresemos con nuestra imaginación a un “plano en limpio”, nuestra “hoja en blanco” o “archivo nuevo” en el computador. Marquemos un punto en el plano y elijamos una distancia; imaginen un trazo. ¿Dónde están todos los puntos del plano que están a esa distancia del punto? ¿Pueden alejarse del punto hasta la distancia definida por el trazo y comenzar a “mover” el punto extremo de modo que no se aleje ni acerque el punto? ¿Están girando alrededor? ¿Están dibujando un a circunferencia? Hacer lo mismo con un compás. Los puntos de la circunferencia equidistan del centro, están a una misma distancia, el radio. Visualicemos una circunferencia en el plano. Observen que divide al plano en dos regiones: una interior y otra exterior. La circunferencia es la frontera entre ambas. Pueden colorear la región interior y la exterior. Hagamos variar el radio; la circunferencia crece o disminuye, según el radio. ¿Pueden trazar un diámetro?


Usted puede introducir las imágenes que estime convenientes para preparar las etapas que siguen. Asegúrese de que el vocabulario llegue a sus alumnos. Es el momento de definir o, mejor, que ellos busquen las definiciones de circunferencia, círculo, arco, radio, diámetro, cuerda, secante, tangente, entre otros elementos básicos. Es bueno tener diversos textos de estudio para que “revisen la literatura” y luego resuman sus hallazgos. Una vez realizada la actividad de imaginación se sugiere desarrollar la Guía 8. Esta guía trata los conceptos de radio, diámetro, cuerda, secante, tangente, arcos y relaciones entre ellos. Las actividades buscan reforzar los conceptos y asegurar un vocabulario básico que permita comunicar los hallazgos y preguntas que los estudiantes encuentren. Conviene cerrar esta actividad completando en conjunto la última hoja de la guía que sintetiza lo aprendido. Una actividad complementaria interesante es la construcción de figuras. Con regla y compás se puede trazar una circunferencia que pasa por tres puntos dados, copiar un ángulo y anticipar: ¿cómo se construye una recta tangente a una circunferencia desde un punto exterior a ella?


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Actividad Nº 6 Exploración: las intersecciones entre una circunferencia y dos rectas

En esta oportunidad el desafío es el siguiente: ¿qué ocurre cuando en un plano coinciden una circunferencia y dos rectas? ¿Qué situaciones se presentan? El propósito es encontrar y nombrar los elementos que resultan de la intersección entre los actores principales. Nuevamente la pregunta, dos rectas y una circunferencia en el plano, ¿qué situaciones son posibles? Se propone generar, mediante guías y trabajo grupal, un afiche que muestre los resultados obtenidos por los alumnos. En la Guía 9, se pide llenar la tabla siguiente: Par de paralelas

Par de rectas coincidentes

Par de rectas que se cortan

No interceptan a la circunferencia (intersección vacía) Interceptan la circunferencia

Dos rectas y una circunferencia en el plano, ¿qué nuevos actores aparecen? (cuerdas, arcos, segmentos en las cuerdas, secantes, tangentes segmentos en las secantes y las tangentes, ángulos al centro, ángulos inscritos y ángulos semiinscritos). Si desea puede ir al Anexo 5 para observar los casos que se presentan en las seis celdas de la tabla. Se propone que cada estudiante haga fichas describiendo/definiendo los “nuevos actores” y, que en grupos, se generen afiches que los resuma. En la celda inferior derecha, dónde se pide clasificar las figuras resultantes de un par de rectas que se cortan y que interceptan la circunferencia, se concentran los casos de mayor interés. En efecto, las figuras que de allí resultan contienen los ángulos inscritos o al centro, las cuerdas que se cortan y las secantes y tangentes, todas situaciones que luego se estudian en detalle. Por esta razón se generaron la Guía 10 y la Guía 11, en las que se presentan las ocho situaciones de interés que se producen en la celda de la tabla antes mencionada. Para ganar tiempo, cada guía contiene cuatro casos. Organice la clase de modo que la mitad de los grupos que forme trabaje con la Guía 10, mientras la otra mitad trabaje con la Guía 11. Realice luego una puesta en común y defina los elementos nuevos, en particular, ángulo inscrito, ángulo al centro, ángulo semiinscrito y arco subtendido. Observe que también están presentes, y se pueden recordar, las cuerdas, secantes y tangentes.

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Actividad Nº 7 Demostración: el teorema del ángulo inscrito

Esta actividad comprende la Guía 12 y la Guía 13. La primera propone, mediante la pizarra o un proyector, enunciar y demostrar tres teoremas: un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad de la medida del ángulo al centro que subtiende el mismo arco; ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco o arcos congruentes, son congruentes y los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito, son suplementarios.

Estos teoremas son el meollo de lo que propone la unidad. Usted puede elaborar sobre la experiencia de la actividad 3, donde se introdujo la noción de teorema y de demostración, y proceder de un modo análogo. Para permitir que los alumnos exploren la relación entre un ángulo inscrito y el del centro que subtiende el mismo arco, usted dispone de algunos applets especialmente preparados. En particular, el applet 14 (Anexo 4) permite variar el ángulo inscrito en una circunferencia; luego, el applet 19 muestra el ángulo inscrito y el del centro que subtiende el mismo arco, con una indicación para comprender la relación entre ambos, y el applet 9, es una animación para visualizar que el ángulo al centro es igual al doble del inscrito que subtiende el mismo arco. También los applets 18 y 20. Si dispone de un procesador geométrico, es la oportunidad para que construyan la figura y usen la herramienta para medir ángulos con el fin de observar esa relación. En las situaciones experimentales, usando Cabri logramos que algunos alumnos encontraran la relación. Luego, otros comenzaron a verificar si el hallazgo “era verdad”. Para finalizar, los orientamos a buscar razones generales, señalando que el procesador nos da una buena pista, pero que no es suficiente. Aunque se ve muy general, las figuras en la pantalla son finitas, tienen un número finito de puntos. En definitiva son una buena representación de las figuras geométricas, pero son eso, una representación. Los applets que se proveen con el material le permiten explorar esta relación sin que usted requiera del procesador. Una vez realizada la exploración, corresponde una sesión “de pizarra” en la que usted llega a la demostración de los teoremas. Puede consultar el material de referencia o los textos de geometría para disponer de esas demostraciones. Hecho el trabajo de pizarra, use la Guía 13 para que los alumnos, en parejas, busquen la demostración de un caso particular de ángulo inscrito, el caso del ángulo recto. Tal como en la actividad 3, pídales que escriban en una de las copias de la Guía 13 y que dejen la otra para anotar la demostración que usted realice, en pizarra, al terminar la sesión. Es importante hacer variar las posiciones relativas del ángulo inscrito para inducir la noción de lugar geométrico, de “arco capaz”. Asegúrese de que los estudiantes más avanzados distingan los diferentes casos, incluido el ángulo “semiinscrito”. Los applets a los que hemos aludido dan la oportunidad de observar y de experimentar con esas variaciones; considere, además, los applets 18 y 20; ambos se refieren al ángulo inscrito, al ángulo al centro y al semiinscrito.



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Actividad Nº 8 Problemas, aplicaciones y dominio de las técnicas

Se dispone de tres guías para aplicar lo aprendido en las actividades anteriores, las Guías 14, 15 y 16. Se pide resolver en forma progresiva situaciones que parten de la identif icación de elementos (Guía 14), y luego el cálculo de las medidas de diversos ángulos. Observe que las aplicaciones que debe hacer del teorema de los ángulos inscritos prepara diversas aplicaciones posteriores, incluidos casos con cuadriláteros. Puede también considerar esta actividad como una preparación para la segunda evaluación. Observe cómo trabajan. Ponga atención en las razones que dan para realizar los cálculos. Es una buena oportunidad para evaluar los aprendizajes. Si observa algún error que se repite o que ciertas relaciones les son particularmente difíciles, detenga la acción de los grupos y trabaje el tema en la pizarra. Sea cuidadoso en enunciar las razones por las cuales es posible determinar los valores pedidos sobre la base de los datos provistos. Respóndase, en voz alta, las preguntas: ¿Qué conocimiento estoy aplicando? ¿Por qué es válido aplicarlo en este caso? Para algunos alumnos, esta puede ser la oportunidad de comprender los teoremas que hubieran quedado algo oscuros. Muchos alumnos requieren de un formato concreto de las relaciones para comprenderlas. La aplicación de la regla en problemas específicos y variados es una instancia importante de aprendizaje.

Actividad Nº 9 Segunda evaluación

La prueba propuesta contiene 15 ítemes relativos al cálculo de ángulos, aplicando el teorema del ángulo inscrito. Siga de cerca la ejercitación propuesta en las Guías 14, 15 y 16. Observe que se busca también relacionar lo recién aprendido con conocimientos anteriores. Si usted trabajó la demostración con su curso, puede agregar algunas preguntas de desarrollo para que los alumnos muestren que conocen la estructura de un teorema y que pueden hacer una demostración. Por ejemplo: a) Demostrar que un ángulo inscrito en una semicircunferencia, es recto; b) Demostrar que los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito suman 180º; c) Demostrar que dos ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden el mismo arco, son congruentes.

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Actividad Nº 10 Exploración: el teorema de los segmentos en cuerdas que se cortan

Si P es el punto de intersección de dos cuerdas AB y CD en una circunferencia, se cumple que AP • PB = CP • PD. La Guía 17 entrega información para que los alumnos exploren la situación antes de enunciar el teorema. Se propone hacer una reflexión en torno a uno de los triángulos para generar una situación asimilable al teorema de Thales. Usted puede usar el Material de referencia para revisar las demostraciones. Como actividad preparatoria a la demostración, puede generar una situación con un procesador geométrico. En las sesiones en que se experimentó esta unidad, los autores hicieron uso de la “calculadora” de Cabri para que los estudiantes comprobaran que los referidos productos son una constante para un punto interior dado en una circunferencia. Mediante un procesador geométrico usted puede sugerir a sus alumnos que tracen dos cuerdas que se corten en una circunferencia. Llame la atención sobre el punto de intersección de las dos cuerdas. Haga luego sugerencias para que experimenten modificando los tamaños y las posiciones de las figuras, de modo que observen cómo varían las cuerdas. Puede ser que algunos noten en qué condiciones una cuerda dimidia a la otra. También es interesante que fijen una como un diámetro y que observen lo que sucede mientras la otra se desplaza. Por último pida que determinen las longitudes de los segmentos en cada cuerda5 y, mediante preguntas, lleve al grupo a constatar que los productos de esos segmentos cumplen con la condición antes anotada. En todo caso, los estudiantes requieren bastante apoyo y sugerencias para concluir con la relación antes citada.


Actividad Nº 11 Demostración: teorema sobre los segmentos de cuerdas que se cortan

Puede recurrir al Material de referencia para disponer de la demostración del teorema. Se basa en la semejanza de triángulos. La posible dificultad se refiere a determinar los elementos homólogos para establecer la proporción. Le recomendamos hacer la demostración. Puede observar el modo en que se procede a hacer una reflexión sobre uno de los triángulos (Guía 17) para obtener la posición en que dos triángulos semejantes, con sus lados respectivamente paralelos, permiten aplicar en forma directa el teorema de Thales. En el Anexo 5, el applet 10, mediante una animación, se muestra cómo proceder a generar la referida reflexión. Es posible que esta actividad sólo la comprendan y la puedan realizar los estudiantes que han tenido éxito en las actividades anteriores.

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En el caso de usar Cabri, este programa dispone de una opción “calculadora” en la que se puede calcular AP • PB – CP • PB, que en este caso es cero, independientemente de la posición y de la magnitud de las cuerdas, lo que prefigura el teorema que se quiere demostrar.


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Puede usar la Guía 18 y la Guía 19. En la primera sólo se anticipa el espacio para anotar la hipótesis, la tesis y los pasos de la demostración. La Guía 19 propone un caso particular del teorema, aquel en que una de las cuerdas que se interceptan, queda dimidiada por el punto de intersección. Se espera que los alumnos apliquen el teorema y obtengan esta relación como un corolario. Recuerde que al producto constante, asociado a un punto y a una circunferencia dada, se la llama potencia (interior) del punto respecto de la circunferencia. Note, además, que dada una circunferencia, a cada punto interior se le puede asociar el escalar resultante del producto de los segmentos de las cuerdas que se interceptan en ese punto.

Actividad Nº 12 Trabajo de la técnica, teorema de las cuerdas

La Guía 20 contiene una serie de situaciones en las que se puede calcular segmentos sobre la base de los datos y el teorema antes estudiado. Es una oportunidad para conectar relaciones geométricas con procedimientos algebraicos. Las situaciones planteadas dan origen a ecuaciones. Puede aprovechar la oportunidad para recordar las técnicas usuales para resolver ecuaciones. Naturalmente se presta para que usted genere más ejercicios y/o que los alumnos se desafíen, mutuamente, inventando aplicaciones del teorema de los segmentos de cuerdas que se interceptan en una circunferencia. Para facilitar la puesta en común y cierre de la actividad, se incluyó en el material digital del profesor, el archivo Guía 20a, que contiene las imágenes en PowerPoint , que acompaña a todos y cada uno de los ejercicios de la guía 20. Usted las puede proyectar directamente o imprimirlas en trasparencias, según el proyector de que disponga.

Actividad Nº 13 Exploración: teorema de secantes que interceptan una circunferencia

Las actividades 13, 14 y 15 son un ciclo análogo a los anteriores, pero ahora aplicado a la relación que existe entre los segmentos que se forman en secantes que interceptan una circunferencia, al ser trazadas desde un mismo punto exterior a ella. En este caso, el producto “secante entera”6 por “parte externa” da origen a la potencia (exterior) de un punto respecto de una circunferencia. Si P es el punto exterior y A, B los puntos de intersección de una secante y C D los de otra, se cumple: PB • PA = PD • PC. La Guía 21 contiene actividades para que los estudiantes elaboren la relación entre los segmentos señalados. Primero se les propone casos numéricos, para luego sugerir que enuncien la propiedad 6

276

Puede hacer notar que es la expresión “secante entera”, usada en diversos textos, se refiere a un trazo, no a la secante en cuanto recta.


general. Considere, además, el applet 15, ver Anexo 4 y CD de recursos. Esta animación permite hacer variar los valores de los segmentos que participan en el teorema. En la parte final de la Guía 21 se le pide al alumno que enuncie esa propiedad general. Al hacer el cierre, permita que compartan los enunciados (que supuestamente serán diferentes, incluso cuando expresen la misma noción o relación). Es importante reconocer todos los aportes y no desdeñar los logros parciales o defectuosamente expresados. El error forma parte de los procesos de búsqueda.

Actividad Nº 14 Demostración: teorema de las secantes

Para acompañar esta actividad se incluyen dos guías. La Guía 22 es un espacio para anotar la demostración del teorema. La Guía 23 propone que demuestren el caso en que desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una secante y una tangente. Esta actividad se presenta como “trabajo calificado”. Los alumnos han explorado la relación entre los segmentos que se generan al considerar dos o más secantes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia y que la interceptan. En la actividad anterior se trató de que llegaran a la propiedad que motiva el teorema que hemos llamado “de las secantes”. Usted puede encontrar la demostración en el Material de referencia. La dificultad que presenta la demostración se refiere a la posición relativa de los dos triángulos que se usan para aplicar la semejanza o el teorema de Thales. Una posibilidad es hacer la construcción en papel y usar una trasparencia recortada superponible, sobre uno de los triángulos y hacer la reflexión que ubica los triángulos en posición, de modo que dos sus lados sean coincidentes y el otro quede paralelo. También puede hacer uso del applet 11 para mostrar los pasos que sigue la demostración: identificar dos triángulos semejantes, girarlos para mostrar la posición de los segmentos homólogos y facilitar la identificación de la proporción que conduce a la demostración de la propiedad, alternativamente, para aplicar el teorema de Thales. El applet 12 muestra la misma situación en una semicircunferencia. El applet 15, ya citado, entrega las medidas de los segmentos para el caso que consideramos, un punto exterior. Tal como en las otras actividades de formalización, asegúrese de usar lo que los alumnos hayan adelantado y que la relación central del teorema quede bien expresada y comprendida en sus respectivos apuntes y en sus mentes, y que la demostración también esté clara y bien formulada. Mantenga la actitud de quién está organizando el conocimiento, use un lenguaje preciso para que la audiencia pueda comprender y no espere lo mismo de ellos. Sus alumnos están aprendiendo un lenguaje que usted ya domina. Lo importante es que sigan el hilo conductor, que comprendan que hacer matemática es construir un todo consecuente y justificable, que comprendan el poder de la demostración, que no se cansen con un ejercicio que pueden encontrar aburrido y ajeno. Le recomendamos leer acerca de los orígenes de la Geometría.



277


Actividad Nº 15 Trabajo de la técnica, cuerdas y secantes

La Guías 24 y la Guía 25 proponen una serie de ejercicios para que los estudiantes apliquen las relaciones aprendidas. La Guía 24 contiene aplicaciones del teorema de las secantes. Si la desarrollan en grupo, será una buena oportunidad para que observe cómo trabajan, dónde encuentran dificultades. En la actividad de puesta en común y cierre, puede af ianzar los aspectos débiles y resaltar las soluciones interesantes o los nuevos hallazgos de los estudiantes. La Guía 25 introduce también ejercicios en los que es necesario recordar lo estudiado en relación con cuerdas que se cortan. Si trabaja en el laboratorio, se puede usar el procesador geométrico para realizar algunos de los cálculos. Revise las figuras en el Anexo 4 que muestran los applets que usted dispone en el CD de recursos. Esta actividad es la última antes de la evaluación final de la unidad. Es importante que usted revise, en forma sucinta, la unidad completa. Puede hacer uso de un archivador con las diferentes guías o las trasparencias provistas para recordar las relaciones estudiadas, los problemas que conviene tener presentes y los teoremas que son la base de la unidad.

Actividad Nº 16 Evaluación final de la unidad

Se propone una prueba que abarca los contenidos de las últimas actividades. Observe que es una prueba de desarrollo. Adáptela a lo que usted ha realizado con su curso. En particular, si ha puesto un énfasis especial en la demostración de teoremas, incluya demostraciones en la prueba final. Si ha trabajado en el laboratorio, agregue una calificación por los trabajos en el computador.

278


REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BAMÓN, RODRIGO; JORGE SOTO y otros, Matemática Activa. Segundo Año Medio, Ediciones Mare-Nostrum, Santiago de Chile, 2002. CORTÉS, VÍCTOR y RUBÍ RODRÍGUEZ, Imaginando Congruencias. Módulos de Matemática, Ministerio de Educación, serie “Grupos Profesionales de Trabajo”, Guedj, Denis, 2001. El teorema del loro: una novela para aprender matemáticas. Barcelona, Editorial Anagrama, 1999. LIMA, ELON LAGES, Medida y forma en geometría: longitud, área, volumen y semejanza, Centro de perfeccionamiento, experimentación e investigaciones pedagógicas, 1994. MOISE y F. DOWNS, Geometría Moderna, Fondo Educativo Interamericano, Editorial Norma, Colombia, segunda edición, 1976.

La circunferencia y un Referencias par de rectasbibliográficas en el plano

279

ANEXOS Anexo 1 Conceptos enriquecidos El concepto que debe tener un alumno o alumna de segundo medio de los elementos de la Geometría, de sus representaciones y de relaciones entre ellos, debe ser más profunda que la lograda en niveles inferiores. Cada vez que se usa un concepto o un procedimiento, aprendemos algo nuevo. Le proponemos plantearse dos preguntas al considerar un concepto matemático que los estudiantes ya han trabajado: 1. 2.

¿Qué nociones, tales como las de ángulo, triángulo o circunferencia, debe manejar un alumno de segundo medio? y ¿De qué se dispone cuando se hace uso de una de esas nociones en la solución de un problema o en una demostración?

Es esperable que los jóvenes conozcan, por ejemplo, los conceptos de ángulo, triángulo y circunferencia, del modo cómo se aprende en la enseñanza básica. Esperamos que, como resultado del trabajo con esta unidad, el alumno amplíe o complemente los conceptos con los que llega a este nivel. La invitación es a considerar estos conceptos desde un punto de vista más elevado, y lograr que tomen conciencia de lo que está disponible cuando los considera o se encuentra uno de ellos en un problema o en una demostración. A modo de ejemplo, veamos cómo se enriquece la noción de ángulo, en la medida que el alumno trabaja con ella en niveles sucesivos. Es muy posible que la primera noción se refiera a la figura formada por dos rayos, tal vez motivada o ejemplificada por la abertura de un par de tijeras o de la relación entre una puerta y el marco que la soporta, en todo caso, una concepción limitada por el nivel alcanzado al aprender el concepto por primera vez. Pero, en la medida en que se lo usa, que se lo encuentra en diferentes situaciones, el concepto gana en generalidad y en las relaciones que es posible esta blecer en torno a él. En las siguientes figuras, a la izquierda se muestra el ángulo ABC como comúnmente se define y visualiza. A la derecha está el mismo ángulo pero “enriquecido” por conocimientos adquiridos en diferentes situaciones en que el concepto aparece en la Geometría.

280


A N E X O S

Veamos qué elementos “enriquecen” al ángulo ABC. Al considerar un ángulo, también están disponibles: Las dos rectas portadoras de los rayos que al cortarse lo determinan: L y L’. Cuatro semirrectas: BA, BC y sus opuestas. Cuatro regiones disjuntas del plano: I, II, III y IV. La medida del ángulo ABC = El ángulo “opuesto por el vértice”, congruente al dado: medida del ángulo DBE = . Cuatro pares de ángulos suplementarios: ángulo ABC con CBD, CBD con DBE, DBE con EBA y EBA con ABC. La bisectriz. La bisectriz de los suplementarios, que es perpendicular a la del ángulo. Con seguridad usted puede agregar más elementos. Cada vez que un alumno se encuentra con un concepto ya conocido, es una oportunidad para que ese concepto se profundice, se relacione con el resto de la estructura del conocimiento matemático y amplíe su repertorio de recursos.

Anexos

281

S O X E N A

Anexo 2: Conceptos enriquecidos ¿Cómo utilizar estos softwares con los alumnos?

Para empezar, aunque parezca redundante, cualquiera sea el software que vaya a utilizar, aprenda a manejarlo bien usted primero. Los sitios web de los fabricantes de estos softwares, generalmente tienen bastante información que le puede servir mientras lo aprende. Una vez que la domine, trate de visualizar a esta herramienta como una expansión de las formas habituales de utilización de recursos materiales en su trabajo de aula. Conciba el computador en este contexto como una posibilidad para el desarrollo profesional, lo que además es una buena motivación para sus alumnos. Nuestra experiencia nos ha mostrado que los softwares de geometría dinámica presentan dos aspectos muy importantes del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría: uno intuitivo, referido al estudio del espacio y de las relaciones espaciales, y otro, lógico, relacionado al raciocinio deductivo y la comprensión y dominio de sistemas axiomáticos. En este contexto, los softwares geométricos proporcionan una muy buena oportunidad para que los alumnos investiguen relaciones entre objetos (circunferencias y rectas en el caso de esta unidad), formulen conjeturas acerca de las regularidades que ellos crean detectar y las confirmen o refuten con cierto grado de certeza utilizando el software. Esta metodología de trabajo está en consonancia con la que se plantea en las guías que abordan el proceso de la demostración en la unidad. Un modo de abordar el trabajo de los alumnos con estos applets es que el profesor o profesora, durante un tiempo razonable (15 minutos), los guíe en la familiarización con las herramientas del software que utilizarán y, a continuación, les proponga una o más construcciones geométricas que contengan los teoremas que los alumnos, al explorar la construcción con las herramientas del software, puedan conjeturar como propiedades estables para dicha construcción. He aquí algunas propuestas de construcciones:

282


Es muy importante que el profesor o profesora propicie la utilización de los recursos propios del software de geometría: la posibilidad de medir trazos, ángulos, áreas, perímetros etc. La potencia de estas herramientas está en que se actualizan dinámicamente cuando el usuario arrastra algún objeto independiente (como un vértice, por ejemplo). Además, la mayoría trae una calculadora interna, que permite buscar regularidades más escondidas, como las que se dan en los teoremas del punto potencia interior y exterior. Además, estos softwares permiten construir objetos y no solo diseñarlos como sería en el Paint de Windows, por ejemplo. Es decir, un objeto bien construido no se deforma perdiendo su esencia. Un cuadrado, si está bien construido, sigue siendo cuadrado aunque arrastremos cualquiera de sus vértices. Esto signif ica que el usuario debió utilizar conceptos y relaciones geométricas en su construcción. Es importante recalcar la posibilidad de estos softwares de arrastrar objetos, pues a partir de esta propiedad se pueden investigar las relaciones (teoremas) que se “ocultan” en las construcciones. Por otra parte, los applets (de “CabriJava” y los de Internet) que vienen en el material del profesor, si bien no se pueden editar (agregar o borrar objetos), proveen la ocasión para que los alumnos puedan visualizar las principales relaciones que se tratan en esta unidad, moviendo solamente algunos objetos.

A N E X O S

Procesadores geométricos

Este material del profesor incorpora, asociado a varias actividades, el uso de software específico para geometría, como apoyo al profesor o profesora y sus alumnos o alumnas en los temas que trata. En el material digital del profesor, vienen applets en “CabriJava©” y links a sitios web con otros applets, relacionados con la unidad de circunferencia. Junto a los recursos anteriores, se propicia que el profesor o profesora utilice softwares de geometría dinámica en cualquier momento durante el desarrollo de esta unidad. Existen varios softwares de muy buena calidad y que se prestan muy bien para las actividades de esta unidad, pero el usuario debiera comprarlos o usar versiones gratuitas de los mismos que trae n limitaciones importantes: “Euklid”, “Cinderella”, etc. A continuación hay una lista y sus respectivas direcciones en internet.

Anexos

283

S O X E N A

Software

Tipo

Descripción

“Cabri Geometry II”

Comercial

Muy buen programa comercial diseñado para “hacer Geometría” al estilo sintético o métrico. Permite estudiar en el plano las propiedades geométricas y lugares geométricos de forma sencilla e intuitiva. Más información en http://www.cabri.net

“Cinderella”

Comercial

Excelente para “hacer geometría interactiva”. Genera materiales Web (páginas con applets , interactivos, rápidos y de muy buena calidad) Más información: http://www.cinderella.de

“Regla y compás”

Libre

“Regla y compás” es un buen programa para generar applets geométricos interactivos. Es un programa alemán (http:// mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/), pero en la siguiente dirección aparece toda la información traducida al castellano por un profesor colombiano: http:// matematicas.uis.edu.co/ryc/

“DrGeo”

Libre

Es un buen e intuitivo programa gratuito para hacer Geometría al estilo de Cabri. Información y descarga en http:// ofset.sourceforge.net/drgeo/

“WinGeo”

Libre

Software para geometría que no es muy intuitivo en su manejo, pero trae las mismas herramientas que los softwares comercia-

les. Forma parte de un conjunto de distintos programas conocidos con el nombre de “Peanut Software” (“ software del maní”) desarrollado por Rick Parris del Phillips Exeter Academy Mathematics Department de Exeter. Descarga e información: http://math.exeter.edu/rparris/

284


Anexo 3: Listado de las guías Guía

Tipo de guía

Nombre de la guía

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Introducción Ejercitación Ejercitación Exploración Ejercitación Exploración Ejercitación Exploración Exploración Exploración Exploración Exploración Ejercitación Ejercitación Ejercitación Ejercitación Exploración

18 19 20

Exploración Ejercitación Ejercitación

21

Exploración

22 23 24 25

Exploración Ejercitación Ejercitación Ejercitación

Recordando elementos de la Geometría Ángulos y relaciones entre ángulos Ejercicios con ángulos y sus relaciones Rectas, ángulos y triángulos Clasificación y propiedades de triángulos Demostraciones en los triángulos Demostraciones en los triángulos - (minievaluación) Elementos básicos de la circunferencia Intersecciones entre una circunferencia y dos rectas Examinando elementos asociados a la circunferencia Examinando elementos asociados a la circunferencia Demostraciones en la circunferencia (ángulos) Demostraciones en la circunferencia - (minievaluación) Ejercicios con elementos de la circunferencia Ejercicios con elementos de la circunferencia Ejercicios con elementos de la circunferencia Exploración de teoremas relacionados con cuerdas (punto potencia interior) Demostraciones en la circunferencia (cuerda) Demostraciones en la circunferencia - (minievaluación) Ejercicios de teoremas relacionados con cuerdas (Punto potencia interior) Exploración de teoremas relacionados con secantes (Punto potencia exterior) Demostraciones en la circunferencia (secante) Demostraciones en la circunferencia - (minievaluación) Ejercicios de los teoremas de las cuerdas y la secante Ejercicios del punto potencia de una circunferencia (miscelánea)

A N E X O S

Anexos

285

S O X E N A

Anexo 4: Listado de archivos y Applets relacionados Imagen

Nombre

Descripción

La noción de semiplano

En este applet , moviendo los puntos marcados se presentan las nociones de semiplano y frontera de una superficie.

1

Archivo: C01-Semiplano.fig Ubicado en el material digital del profesor.

2

3

4

Relaciones entre ángulos

Ángulo agudo y ángulo obtuso

Tangentes a las circunferencias

Este applet muestra la noción de ángulos suplementarios entre cuatro ángulos adyacentes. Archivo: C02-Ángulos opuestos por el vértice y suplementarios.fig Ubicado en el material digital del profesor.

Este applet muestra la noción de ángulo agudo y ángulo obtuso. Archivo: C03-Ángulo obtuso y agudo.fig Ubicado en el material digital del profesor.

En este applet , moviendo los puntos O y O’ se muestran los pares de rectas que son simultáneamente tangentes a dos circunferencias. Archivo: C04-Tangentes a la circunferencia.fig Ubicado en el material digital del profesor.

5

Elementos básicos de la circunferencia

Este applet muestra algunos elementos lineales de la circunferencia más las longitudes del radio y del perímetro. Archivo: C05-Elementos de la circunferencia.fig Ubicado en el material digital del profesor.

286


6

7

Visualización del número pi (1)

Visualización del número pi (2)

Este applet muestra una interesante visualización de cuántas veces “cabe” el diámetro en el perímetro de una circunferencia.

A N E X O S

Archivo: C07-El número pi (1).fig Ubicado en el material digital del profesor.

Este applet muestra cómo se “desenrolla” una circunferencia de radio 0,5 cm sobre una recta formando un segmento de longitud pi. Archivo: C08-El número pi (2).fig Ubicado en el material digital del profesor.

8

Medida de un arco

Este applet muestra la equivalencia existente entre grados y radianes, mostrando la medida de arcos de circunferencia. Archivo: C10-Medida de un arco.fig Ubicado en el material digital del profesor.

9

Este applet muestra los pasos que se siguen para desarrollar la demostración del teorema que relaciona el ánTeorema del ángulo gulo inscrito con el ángulo del centro que subtiende el inscrito con mismo arco. Lo interesante de este applet aparece cuanel del centro do se coloca al punto P en distintas posiciones, generando así tres casos distintos Archivo: Circ1 - Ángulo inscrito y del centro.fig Ubicado en el material digital del profesor.

Anexos

287

S O X E N A

10

Potencia del punto interior a una circunferencia

Este applet muestra a través de una animación controlada por el usuario, los pasos que se siguen para construir la demostración de este teorema. Finaliza la animación con triángulos con dos lados coincidentes y uno paralelo. Archivo: Circ2 - Potencia del punto interior a una circunferencia.fig Ubicado en el material digital del profesor.

288

11

Potencia del punto exterior a una semicircunferencia

Archivo: Circ3 - Potencia del punto exterior a una semicircunferencia.fig Ubicado en el material digital del profesor.

12

Potencia de un punto exterior

Archivo: Circ4 - Potencia de un punto exterior.fig Ubicado en el material digital del profesor.

13

Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

Archivo: Circ5 - Cuadrilátero inscrito en una circunferencia.fig Ubicado en el material digital del profesor.

14

Angulo del centro y ángulo inscrito

Archivo: Estud1 - Angulo del centro y ángulo inscrito.fig Ubicado en el material digital del profesor.


Punto potencia interior y exterior a una circunferencia

Archivo: Estud2 - Punto potencia interior y exterior a una circunferencia.fig Ubicado en el material digital del profesor.

Ángulos opuestos suplementarios en un cuadrilátero inscrito

Archivo: Prop3a - Ángulos opuestos suplementarios en un cuadrilátero inscrito.fig Ubicado en el material digital del profesor.

17

Lados opuestos suplementarios en un cuadrilátero circunscrito

Archivo: Prop3b - Lados opuestos suplementarios en un cuadrilátero circunscrito.fig Ubicado en el material digital del profesor.

18

Teorema del ángulo del centro

Archivo: Prop6 - Teorema del ángulo del centro.fig Ubicado en el material digital del profesor.

19

Teorema del ángulo del centro

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/java/geo/enshup/ enshup.html

15

16

Anexos

A N E X O S

289

S O X E N A

20

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/java/geo/enshukaku/ enshukaku.html

21

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ reglocus/reglocus.html

22

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ ruler/ruler.html

23

24

290

Teorema del ángulo inscrito


Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ scircle/scircle.html

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ simson/simson.html

25

26

27

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ arcir/arcir.html

A N E X O S

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ wanage/wanage.html

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ entwotri/entwotri.html

28

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ enheiko/enheiko.html

29

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ enheikot/enheikot.html

Anexos

291

S O X E N A

30

31

32

33

34

292


Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ enchord/enchord.html

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ enkakus/enkakus.html

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ rootx/rootx.html

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ statue/statue.html

Ubicado en: http://roble.pntic.mec.es/%7Ejarran2/cabriweb/ circunf/potencia.htm

35

36

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ inquad/inquad.html

A N E X O S

Ubicado en: http://www.ies.co.jp/math/products/geo2/applets/ comtan/comtan.html

Anexos

293

Material Del Profe Circ Un

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