Matematika 2 Egzamino klausimai 2010 Integralai Integ ralai:: 1. Apib Apibrė rėžk žkite ite pirm pirmyk ykštė štėss funk funkci cijo joss ir neap neapib ibrė rėžti žtini nio o inte integr gral alo o sąvo sąvoka kas, s, paai paaišk škin inki kite te neapibrėžtinio neapibrėžtinio integralo pagrindines savybes.
1 apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) pirmykšte funkcija atkarpoje [a;b], jeigu visuose šios atkarpos taškuose x teisinga lygybė F ' ( x ) = f ( x ) arba dF ( x ) = f ( x) dx 2 apibrežimas. Aibė visų duotossios funkcijos f(x) pirmykščių funkcijų F(x)+C, čia C=const., vadinama funkcijos f(x) neapibrėžtiniu integralu ir žymima simboliu ∫ f ( x) dx . Funkcija f(x) vadinama pointegraline funkcija, sandauga s andauga f(x)dx — pointegraliniu reiškiniu, ženklas ∫ — integralo ženklu, x — integravimo kintamuoju. Vadinasi, ∫ f ( x) dx = F ( x) + C , C=const, kai F ' ( x) = f ( x) . Neapibrėžtinio integralo pagrindines savybes:
1. Neapibrėžtin Neapibrėžtinio io integralo integralo išvesti išvestinė nė lygi lygi pointegral pointegralinei inei funkcija funkcijai,i, t.y. ( ∫ f ( x) dx) ' = f ( x) , nes ( ∫ f ( x) dx) ' = ( F ( x) + C ) ' = F ' ( x) = f ( x) . 2. Neapibrėžtinio integralo diferencialas yra lygus pointegraliniam reiškiniui, t.y. d ( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x ) dx . 3. Bet kurios kurios funkcijos funkcijos F(x) difere diferencialo ncialo neapibrėž neapibrėžtinis tinis integral integralas as lygus tai funkcijai, funkcijai, sudėtai sudėtai su konstanta, t.y. ∫ dF ( x) = F ( x) + C , nes ∫ dF ( x ) = ∫ F ' ( x) dx = ∫ f ( x)dx = F ( x) + C . 4. Neapibrėžtinio integralo tiesiškumo savybė: ∫ (α f ( x ) + β g ( x) ) dx = α ∫ f ( x)dx + β ∫ g ( x) dx . 5.Integralo formulių invariantiškumas Jeigu ∫ f ( x) = F ( x) + C ir u = ϕ ( x) — funkcija turinti tolydžią išvestinę, tai ∫ f ( u ) du = F ( u) + C . 2. Suda Sudaryk rykite ite funkc funkcijo ijoss y=f(x y=f(x)) integ integra ralin linęę (Rym (Rymano ano)) sumą sumą atkarp atkarpoje oje [a;b]. [a;b]. Apibr Apibrėžt ėžtini inio o integralo apibrėžimas. Paaiškinkite apibrėžtinio integralo geometrinę prasmę.
Jeigu funkcijos f(x) integraline suma turi baigtine riba, tai funkcija vadiname integruojama Rymano prasme atkarpoje [a;b] arba integruojama atkarpoje [a;b] Apibrėžimas . Baigtinė integralinės sumos riba, kai λ→0, nepriklausanti nuo atkarpos [a;b] skaidymo būdo bei bei nuo taškų ci parinkimo, vadinama funkcijos f(x) apibrėžtiniu integralu atkarpoje [a;b] .
Apibrėžtinis integralas žymimas simboliu Kreivinės trapecijos plotas S =
b
b
a
a
n
∫ f ( x)dx . Taigi ∫ f ( x)dx = lim (λ→0) ∑
f(ci) Δxi. (2)
i=1
b
∫ f ( x)dx . Tai ir yra integralo geometrinė prasmė. a
3. Užrašyk Užrašykite ite apibrėžtini apibrėžtinio o integralo integralo įvertinimo įvertinimo savybę savybę ir mokėkite paaiškin paaiškinti ti jos esmę. Sakykime , kad f(x) ir g(x) – integruojamos atkarpoje [a;b] funkcijos. Tuomet teisingi šie teiginiai: b
b
1.
f a
skaičiai.
x
g
x
dx
=
b
g x dx ; čia
f x dx a
a
ir
- bet kokie realieji
Tiriant si integrala pointegraline funkcija lyginame su laipsnine funkcija ln 3
x x
≥3 ∞
∫
Kadangi
3
1
x 3
:
1 x
dx
e
1
x
+∞
diverguoja tai
ln x
∫ x dx taip pat diverguoja. 3
e
7.Sudarykite 7.Sudarykite funkcijos z=f(x,y) dvimatę integralinę sumą uždaroje srityje D. Dvilypio integralo apibrėžimas. apibrėžimas. Paaiškinkite jo geometrinę geometrinę prasmę. n
Dvimatę integralinę sumą uždaroje srityje D galime uzrasyti taip:
∑ f ( x , y )∆S i
i
i
i =1
Apibrėžimas: Jeigu egzistuoja baigtine dvimates integralines sumos riba, kai λ → 0, nepriklausanti nuo srities D padalinimo i dalis ∆ si ir tasku M( xi ; y i ) parinkimo, tai si riba vadinama funkcijos f(x,y)
dvilypiu integralu srityje D. Funkcija f(x,y) vadinama integruojama srityje D.dvilypis integralas zymimas taip: f ( x, y )dxdy arba f ( x, y )dS , funkcija f(x,y) vadinama pointegraline funkcija,
∫ ∫ D
∫ ∫ D
sritis D – integravimo sritimi, ds – ploto vienetu. Geometrine prasme: cilindroido turis V= f ( x, y )dS
∫ ∫ D
8.Mokėkite 8.Mokėkite apskaičiuoti apskaičiuoti dvilypį integralą stačiakampėje ir polinių koordinačių sistemose.
Staciakampeje Dvilypiu integralu skaičiavimas pakeičiamas pakartotinių (vienalyčių) integralų skaičiavimu. Pagal
srities D nustatymo būdus išskirsime 3 atvejus. 1. Sakyk Sakykime ime kad integra integravimo vimo sritis sritis D = {( x, y) | a ≤ x ≤ b, ϕ 1 ( x) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x)} , cia φ1 (x)ir φ2 (x) yra tolydžios funkcijos. Ir φ 1 (x) ≤ φ2 (x), ∀ x ∈ [ a, b] Dar sakysime kad bet kokia tiese, lygegreti ašiai Oy ir einanti per srities D vidinį tašką, kerta srities sieną tiktai tiktai 2 taškuose M1 ir M2 . Tokią sritį vadinsime taisyklingą ašies Oy atžvilgiu. Tarkime kad f(x,y) integruojama M Y= φ (x) B A M srityje D, t.y. egzistuoja dvilypis integralas f ( x, y )dxdy , jei su 2
∫ ∫
1 Y= φ1 (x)
D
bet kuria kuria fiksuota fiksuota kintamojo kintamojo x reikšme iš intervalo intervalo [a;b] [a;b] funkcija funkcija f(x,y) yra integruojama atkarpoje [φ1 (x), φ2 (x)] kintamojo y atžvilgiu, t.y. jeigu egzistuoja apibrėžtinis integralas S ( x) =
2
ϕ 2 ( x )
a
b
b
ϕ 2 ( x )
a
ϕ 1 ( x )
∫ f ( x, y)dy, ∀ x ∈ [a, b] , tai teisinga formulė ∫ ∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y)dy .
ϕ 1( x )
D
Dešnėje lygybės pusėje esantis integralas vadinamas kartotiniu integralu. Ji reikai suprasti taip: tarus, kad kintamasis x yra fiksuotas( pastovus) , iš pradžių apskaičiuojamas vidinis ϕ 2 ( x )
integralas
∫ f ( x, y)dy , poto gauta kintamojo x funkcija S(x) integruojama atkarpoje [a,b]
ϕ 1( x )
2. Jeigu Jeigu sritis sritis D taisyk taisykling lingaa ašies ašies Ox atžvilg atžvilgiu, iu, t.y. t.y. D = {( x, y) | c ≤ y ≤ d ,ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y )} , tai analogiškai galime užrašyti
d
ψ 2 ( y )
c
ψ 1 ( y )
∫ ∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx D
Čia pirmiausia apskaičiuojamas apibrėžtinis integralas
c x= ψ1 (y)
ψ 2 ( y )
∫ f ( x, y)dx , tarus, kad kintamojo y reikšmė yra pastovi, poto
x= ψ2 (y) D
ψ 1 ( y )
N1
gaunamas rezultatas integruojamas atkarpoje [c,d] 3. Atskiru atveju, atveju, kai kai integrav integravimo imo sritis sritis D yra stačiakampi stačiakampiss D = {( x, y ) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } turime b
d
d
b
a
c
c
a
N2
d
∫ ∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx∫ f ( x, y)dy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx , taigi, kai integravimo rėžiai kartotiniame D
integrale yra pastovūs, tai pakeisti integravimo tvarka labai lengva. Dvilypis integralas polinėje koordinačių sistemoje D riboja apskritimų lankai, tiesės, einančios per koordinačių Tai atvejais, kai integravimo sritį D
pradžią, pradžią, kreivės, kreivės, kurių kurių polinės polinės lygtys lygtys yra nesudėtingo nesudėtingos, s, dvilypį dvilypį integralą integralą patogiau patogiau integruoti integruoti polinėje koordinačių koordinačių sistemo sistemoje. je. Išreikškime Išreikškime dvilypį dvilypį integralą integralą f ( x, y)dxdy kartotiniais
∫ ∫ D
integralais polinėje koordinačių sistemoje. Kai polius sutampa su stačiakampės koordinačių sistemos pradžia, o polinė ašis su Ox teigiamąja pusaše, ryšys tarp taško M(x,y) Dekarto ir polinių koordinačių M ( ρ , ϕ ) išreiškiama lygtimis: x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ čia ρ - taško M polinis spindulys (0 ≤ ρ ≤ ∞) , ϕ - polinis kampas (0 ≤ ϕ ≤ 2π ) . Tegul f(x,y) – tolydžioji funkcija, D koordinatinių apibrėžta uždaroje aprėžtoje srityje D. Sritį D linijų ρ = const ir ϕ = const tinklu, t.y. koncentriniais apskritimais ir iš poliaus išeinančiais spinduliais padalykime į n elementarių dalių. Spinduliai ϕ i ir (ϕ i + ∆ϕ i ) ir dviejų apskritimų ρ i ir ( ρ i + ∆ρ i ) lankai apriboja kreivinį keturkampį abcd . Jo kraštinės ab ilgis lygus ∆ ρ i ir lanko ad ilgis lygus ρ i ⋅ ∆ϕ i . Šio keturkampio plotas ∆S i ≈ ρ i ∆ϕ i ∆ρ i . Parinkę i – toje srityje (i = 1, n) tašką M i ( xi , yi ) - kreivinio keturkampio viršūnę, iš dvilypio integralo apibrėžimo, gauname: n
n
∫ ∫ f ( x, y)dxdy = lim ∑ f ( x , y )∆S = lim ∑ f ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ ) ⋅ ρ ∆ϕ ∆ ρ = = ∫ f ∫ ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ ) ρ d ϕ d ρ λ →0
D
i
i
i
i =1
λ →0
i
i
i
i
i
i
i
i =1
D
, čia λ = max{d i } , d i - i-tosios srities skersmuo. Reiškinys dS = ρ d ρ d ϕ vadinamas ploto diferencialu (elementu) polinėje koordinačių sistemoje. Toliau dvilypį integralą išreikšime D kartotiniais integralais . sakykime, kad sritis D yra taisyklinga ρ atžvilgiu. Tarkime, kad sritį D AEB ir spinduliai OA ir OB, kurie su poline ašimi sudaro kampus α ir apriboja dvi kreivės ACB ir AEB β . Tegul kreivių ACB ACB ir AEB AEB lygtys yra ρ = ρ 1 (ϕ ) ir ρ = ρ 2 (ϕ ) . Tuomet: I =
β
ρ 2 (ϕ )
α
ρ 1 (ϕ )
∫ ∫ f ( x, y)dxdy = ∫ d ϕ ∫ f () ρ d ρ . D
x
figūros, figūros, apribotos apribotos kreive xy = 2 ir tiesėmis y = 2 x , y = , plotą 2 pirmajame pirmajame ketvirt ketvirtyje. yje. Apskaičiuok Apskaičiuokite ite
∫ ∫ x
2
+ y 2 dxdy polinėje koordinačių sistemoje, kai
Apskaičiuok Apskaičiuokite ite
dvilypį integralą integralą
sritis D = {( x; y )
0 ≤ x + y ≤ 2 x, y ≥ 0} .
D
2
2
9.Sudarykite 9.Sudarykite pirmojo tipo kreivinio integralo integralinę sumą. Pirmojo tipo kreivinio integralo apibrėžimas . n
Jei egzistuoja egzistuoja baigtine baigtine sumos
∑ f ( x , y i
i
) ∆S i
integraline riba, kai λ → 0 nepriklausanti nuo lanko L
i =1
padalijimo i dalinius lankus būdo bei taškų M i( xi ; y i ) parinkimo, vadinama funkcijos f(x,y) pirmojo tipo kreiviniu integralu kreive L. n
∫ f ( x, y)ds = lim ∑ f ( x , y ) ⋅ ∆s λ →0
L
i
i
i
i =1
10.Užrašykite formules pirmojo tipo kreiviniam integralui apskaičiuoti, kai kreivės lygtis : a) y = f ( x ) , x ∈ [ a; b ] ; b) x = x ( t ) , y = y ( t ) , t ∈ [ t 1 ; t 2 ] ; c) ρ = ρ ( ϕ ) , ϕ ∈ [ϕ 1 ; ϕ 2 ] ir mokėkite jas taikyti . a) Kai y = f ( x ) , x ∈ [ a; b] , tai
∫
f ( x, y )ds
L
b
= ∫ f ( x, y ( x)) 1 + ( y ' ( x)) 2 dx a
b) Kai Kai x = x( t ) , y = y( t ) , t ∈ [ t 1 ; t 2 ] , tai b) Kai Kai kreive kreive L apibre apibreziama ziama Apskaičiuokite integralą
∫ x ds , kai L kreivės y = ln x lankas, jungiantis taškus A(1;0) 2
L
ir B( 2; ln 2) . Apskai Apskaičiu čiuokit okitee
y = a(1 − cos t )
∫ y ds , 2
integra integralą lą
L
kai L
pirmo pirmoji ji cikl cikloi oidė dėss x = a ( t − sin t ) ,
arka.
Apskaičiuokite
∫ x
2
+ y 2 ds , kai L - apskritimas x 2 + y 2 = 2 x .
L
11.Sudarykite 11.Sudarykite antrojo tipo kreivinio integralo integralinę sumą. Antrojo tipo kreivinio integralo apibrėžimas . 12.Užra 12.Užrašykite šykite antrojo antrojo tipo kreivinio kreivinio integralo integralo apskaiči apskaičiavim avimo o formulę, formulę, kai kreivė kreivė apibrėžta apibrėžta lygtimi y = f ( x ) , x ∈ [ a; b ] ir mokėkite jį apskaičiuoti .
Apskaičiuokite
∫ ( xy − 1)dx + x ydy parabolės 4 x + y 2
L
2
= 4 lanku nuo taško A(1;0) iki
taško B( 0;2) . 13,Užra 13,Užrašykite šykite antrojo antrojo tipo kreivinio kreivinio integralo integralo apskaiči apskaičiavim avimo o formulę, formulę, kai kreivė kreivė apibrėžta apibrėžta lygtimi x = x( t ) , y = y ( t ) , t ∈ [ t 1 ; t 2 ] ir mokėkite jį apskaičiuoti . Apskaičiuokite
∫ x ydy − y xdx , kai L : x = 2
L
2
cos t , y = sin t , 0 ≤ t ≤
π
2
.
14Išveskite 14Išveskite formulę kintamos jėgos darbui apskaičiuoti.
Tarkime, kad materialusis taškas juda kreive L, veikiamas kintamos jėgos F ( x, y, z ) - P ( x, y, z )i + Q ( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k . Apskaičiuosime šios jėgos atliktą darbą. Kreivės L padaliname į n dalinių lankų Ai −1 , Ai . Kiekviename lanke pasirenkame po tašką M i ( xi , yi , z i ) . lanką L Tarkime, kad kiekviename daliniame lanke jėga F yra pastovi ir lygi F ( M i ) = F ( xi , yi , z i ) , o materialusis taškas juda ne lanku Ai −1 Ai , bet atkarpa Ai −1 Ai . Tada materialaus taško poslinkis bus lygus ∆S i = ∆ xi i + ∆ yi j + ∆ z i k . Kadangi darbas yra lygus jėgos ir poslinkio vektorių skaliarinei sandaugai, tai jėgos F atliktas darbas bus apytiksliai lygus: A ≈
n
∑ i =1
F ( M i )∆S i
n
= ∑ ( P ( xi , yi , z i ) ∆ xi + Q( xi , yi , z i )∆ yi + R( xi , yi , z i )∆z i ) , perėję prie ribos, kai i =1
∫
max ∆S i → 0 , gauname: A = P ( x, y, z )dx + Q ( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz L
darbą, kurį atlieka jėga F = ( x + y ) i + ( x + z ) j + ( y + z ) k , perkeldama materialųjį tašką tiese iš taško M 1 (1;1;3) į tašką M 2 ( 3;2;1) .
Apskaičiuokite
15.Užrašykite 15.Užrašykite Gryno formulę, paaiškinkite jos esmę ir mokėkite ją taikyti .
Tarkime, kad sritis D, kurią apriboja uždara kreivė L, yra taisyklingoji. Teorema: Tarkime, kad srityje D, kurią apriboja uždara kreivė L, yra apibrėžtos tolydžios f-jos P(x,y),
Q(x,y),
turinčios
tolydžias
dalines
išvestines
∂ P ∂Q ∂ y , ∂ x ,
tada
∂Q ∂ P ∫ D ∫ ∂ x − ∂ y dxdy = ∫ L P ( x, y)dx + Q( x, y)dy ir kreivė L yra apeinama teigiamąja kryptimi. Įrodymas: Tarkime, kad duota sritis D. Apskaičiuojame dvilypį integralą pakeisdami jį kartotiniu. y ( x ) b b y ( x ) b y2 ( x) ∂ P ( x, y ) ∂ P ( x, y ) ∂ P ( x, y ) dx = = = = dxdy dx dy dy dx P x y ( , ) ∫ D ∫ ∂ y ∫a y ∫( x) ∂ y ∫a y ∫ ( x) ∂ y ∫ a y1 ( x ) 2
2
1
1
b
b
b
= ∫ ( P ( x, y2 ( x)) − P ( x, y1 ( x))) dx = ∫ P ( x, y2 ( x))dx − ∫ P ( x, y1 ( x))dx . a
a
Pirmasis
integralas
a
b
∫ P ( x, y ( x))dx yra gaunamas iš kreivinio integralo ∫ P ( x, y)dx , kai integruojame kreivę l , kurios 2
l
a
b
∫
∫
lygtis yra y = y2 ( x) . Kadangi y = y2 ( x) yra lanko AEB lygtis, tai P ( x, y2 ( x))dx = P ( x, y )dx a
AEB
b
∫
∫
. Analogiškai gauname, kad antrasis integralas lygus P ( x, y1 ( x))dx = P ( x, y )dx . Iš šių lygybių a
ACB
∂ P ( x, y ) gauname ∫ ∫ ∂ y dxdy = ∫ P ( x, y )dx − ∫ P ( x, y )dx = ∫ P ( x, y )dx + ∫ P ( x, y ) dx . Lanka nkai D AEB ACB AEB BCA AEB ir BCA BCA sudaro kontūrą L L, todėl kreivinių integralų suma lygi kreiviniam integralui kontūru L. Lankais AEB ir BCA yra judama neigiamąja kreivės L apėjimo kryptimi. Integravimo kryptį L pakeitę pakeitę teigiamąja teigiamąja kreivės kreivės apėjimo kryptimi, gausime
∂Q ∂ P ∫ D ∫ ∂ x − ∂ y dxdy = ∫ L P ( x, y)dx + Q( x, y)dy Taikydami
2 2 Gryno formulę, apskaičiuokite kreivinį integralą xydx + ( x + y dy ) , kai L
∫
L
- apskritimas x 2 + y 2 = 4 x , apeinamas teigiamąja kryptimi. 16.Antrojo tipo kreivinio integralo nepriklausomumo nuo integravimo kelio sąlygos: (įrodykite teoremą apie integralą uždaruoju kontūru; suformuluokite ir mokėkite taikyti teoremą apie dalinių išvestinių lygybę).
Antrojo tipo kreivinis integralas nepriklauso nuo integravimo kelio tada ir tik tada, kai integralas bet kokiu uždaru kontūru L, esančiu srityje D, yra lygus nuliui. Įrodymas: Tarkime, kad kreivinis integralas
∫ Pdx + Qdy AB
nepriklauso nuo integravimo kelio, o
priklausom priklausom tik nuo lanko pradžios pradžios ir galo galo taškų taškų A ir B. B. Tada Tada Iš pastarosios lygybės gauname, kad
∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy = 0 ACB
BEA
∫ Pdx + Qdy = 0 L
AEB
∫ Pdx + Qdy = − ∫ Pdx + Qdy ACB
BEA
ACB
.
. Iš čia gauname, kad
. Kadangi lankai ACB ir BEA sudaro uždarą kontūrą L, tai
. Dabar tarkime, kad kreivinis integralas bet kokiu uždaro kontūru L yra lygus 0, t.y.
∫ Pdx + Qdy = 0 L
∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy
. Tarkime, kad kontūrą L sudaro lankai ACB ir BEA. Tada
∫
=−
∫ − ∫
gauname, kad integralas . Gauname, kad integralas nepriklauso nuo integravimo kelio. ACB
BEA
AEB
Patikrinkite ar integralui
∫
=
L
∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy ACB
AEA
∫ ACB
+
∫ BEA
=0
. Iš čia
, o tai reiškia, kad
∫ 2 xydx + x dy galioja teorema apie dalinių išvestinių lygybę. 2
AB
Diferencial Difer encialinės inės lygtys: lygtys: 17. Užrašykite antrosios eilės tiesinę homogeninę diferencialinę lygtį. Jos sprendinių tiesinio nepriklausomumo nepriklausomumo apibrėžimas. Vronskio determinanto determinanto apibrėžimas, apibrėžimas, jo taikymas sprendinių sprendinių tiesiniam priklausomumui priklausomumui nustatyti. Fundamentalioji sprendinių sistema.
( n)
=
Apibrėžimas: Apibrėžimas: n-tosios eilės diferencialine lygtimi vadiname lygtį F ( x, y, y ' ,..., y ) 0 -tosios eilės lygties bendrasis sprendinys priklauso nuo n konstantų C 1 , C 2 ,..., C n y ( n ) f ( x, y, y ' ,..., y ( n −1) ) . N -tosios
=
ir
= ϕ ( x, C 1,..., C n ) . ϕ - n kartų diferencijuojama f-ja. Suformuluosime Koši uždavinį: ieškomas = f ( x, y, y ',..., y ( n −1) ) sprendinys y tenkinantis pradines sąlygas y ( x0 ) = y0 , y ' ( x0 ) = y0 ,
turi tokią išraišką y lygties y ( n ) y ' ' ( x0 )
=
y0 ,...
Vronskio determinantas: Tarkime, kad f-jos y1
Determinantas W ( y1 , y2 ) =
y1
y2
y '1 y '2
= y1 ( x ) , y1 ≠ y0 ( x)
yra diferencijuojamos intervale (a,b).
yra vadinamas Vronskio determinantu.
Sprendinių tiesinės nepriklausomybės teoremos: 1 Teorema: Jei y1 , y2 yra tiesiškai priklausomos intervale (a,b), tai W ( y1 , y2 ) Įrodymas: kadangi y1 , y2 tiesiškai priklausomos , tai y1
W ( y1, y 2) =
y1
y2
y1 ' y2 '
=
Cy2
y2
Cy2 ' y2 '
+
= 0 , ∀ x ∈ (a, b)
= Cy2 , y1 ' = Cy2 ' , iš čia gauname
= Cy1 y2 '−Cy1 y2 ' = 0
+
2 Teorema: Jei lygties y ' ' p1 ( x) y ' p2 ( x ) y
= 0 (1) atskirieji sprendiniai
y1 , y2 yra tiesiškai nepriklausomi
intervale (a,b), tai W ( y1 , y2 ) ≠ 0, ∀ x ∈ ( a, b) . Įrodymas: Tarkime, kad y1 , y2 yra pirmos lygties sprendiniai tiesiškai nepriklausomi intervale (a,b). Teoremą
įrodysime prieštaravimo metodu. Tarsime, kad bent viename intervalo (a,b) taške W ( y1 , y2 )
= 0 . Sudarome lygčių
C 1 y1 ( x0 ) + C 2 y2 ( x0 ) = 0 . Šios sistemos determinantas yra lygus Vronskio determinantui taške x0 , t.y. jis C y ' ( x ) C y ' ( x ) 0 + = 2 2 0 1 1 0
sistemą
~
~
~ ~
= C 1 , C 2 = C 2 ir bent vienas iš skaičių C 1 , C 2 yra nelygus ~ ~ . Šis sprendinys tenkina pradines sąlygas ~ = C nuliui. Sudarome pirmosios lygties atskirąjį sprendinį y 1 y1 + C 2 y2
lygus nuliui. Tai reiškia, kad egzistuoja sprendinys C 1
~ ~ C 1 y1 ( x0 ) + C 2 y 2 ( x0 ) = 0 ~ ~ ≡ 0 , tenkina pirmąją lygtį ir tas pačias y ( x0 ) = 0 ir y ' ( x0 ) = 0 . ~ . Akivaizdu, kad f-ja y ~
C 1 y1 ' ( x0 ) + C 2 y2 ' ( x0 ) = 0
= 0 ir y' ( x0 ) = 0 . Tačiau pirmoji lygtis gali turėti tik vieną sprendinį, tenkinantį duotąsias ~ ~ ~ sutampa. C ir y ∀ x ∈ (a, b) . Kadangi bent vienas iš skaičių sąlygas, todėl atskirieji sprendiniai y + y C 1 1 2 y2 = 0
( x0 ) pradines sąlygas y
~ ~ C 1 , C 2 yra nelygus nuliui, tai iš pastarosios lygybės išplaukia, kad y1 ir y2 yra tiesiškai priklausomi. Gavome
prieštaravimą teoremos sąlygai, sąlygai, kad y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi, todėl padaryta prielaida W ( y1 , y2 ) taške x0 yra neteisinga. Vadinasi W ( y1 , y2 ) ≠
=0
0 kiekviename taške x0 ∈ (a, b) .
3 Teorema: Jei Vronskio determinantas sudarytas iš (1) lygties atskirųjų sprendinių y1 , y2 yra nelygus nuliui bent
viename intervalo (a,b) taške x0 , tai jis nelygus nuliui kiekviename to intervalo taške.
≠ 0 taške x0 , tai y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi intervale (a,b). Taip yra todėl, kad jeigu jie būtų tiesiškai priklausomi, tai W ( y1 , y2 ) = 0 intervale (a,b) ir taške x0 . Tai prieštarautų teoremos sąlygai. Kadangi y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi, tai iš antros teoremos gauname, kad W ≠ 0 su visais x0 iš
Įrodymas: Kadangi W ( y1 , y2 )
intervalo (a,b). 4 Teorema: (1) lygties atskirieji sprendiniai y1 , y2 yra tiesiškai nepriklausomi tada ir tik tada, kai W ( y1 , y2 ) ≠ intervale (a,b).
0
Įrodymas: Būtinumas: Iš antros teoremos išplaukia, kad jei
y1 , y2 yra tiesiškai nepriklausomi, tai W ( y1, y2 ) ≠
0 intervale
(a,b). Pakankamumas: Pakankamumas: Tarkime, kad
W ( y1 , y2 )
W ( y1, y2 ) ≠
0 intervale (a,b). Jei y1 , y2 būtų tiesiškai priklausomi, tai
= 0 . Kadangi tai prieštarauja padarytai prielaidai tai y1 , y2
- tiesiškai nepriklausomi.
5 Teorema: Tarkime, kad y1 ir y2 sudaro (1) lygties fundamentaliųjų sprendinių sistemą. Tada y1 ir y2 yra tiesiškai
nepriklausomi.
Įrodymas: Teoremos teiginys išplaukia iš to, kad y1 ir y2 sprendinių fundamentalumas ir tiesinis nepriklausomumas
yra apibrėžiami ta pačia sąlyga W ( y1 , y2 ) ≠
0.
ar sprendiniai sprendiniai y1 = sin 2 x ir y2 = sin x cos x yra tiesiškai nepriklausomi ir apskaičiuokite Vronskio determinantą.
Nustatykite Nustatykite
18.Įrodykite teoremą apie antrosios eilės tiesinės homogeninės dif. lygties bendrojo sprendinio struktūrą. Teorema: jei y1 , y2 sudaro lygties y ' '+ p1 ( x ) y '+ p2 ( x ) y = 0 (2) fundamentaliųjų sprendinių sistemą, tai lygties
bendrasis sprendinys yra lygus: y = C 1 y1 + C 2 y2 ; C 1 , C 2 - konstantos. Įrodymas: iš pradžių įrodysime, kad y
= C 1 y1 + C 2 y2
tenkina (2) lygtį. Kadangi y1 ir y2 yra atskirieji antrosios eilės sprendiniai, tai y1 ' '+ p( x) y1 '+ p2 ( x) y1 = 0 ; y2 ' '+ p1 ( x) y2 '+ p2 ( x) y2 = 0 . Atsižvelgę į šias lygybes bei įrašę y y išraišką į (2) lygtį gauname (C 1 y 1 + C 2 y 2 )' '+ p 1 ( x )(C 1 y 1 + C 2 y 2 )'+ p 2 ( x )(C 1 y 1 + C 2 y 2 ) = C 1 ( y 1 ' '+ p 1 ( x ) y 1 '+ y 1 ) + + C 2 ( y 2 ' '+ p 1 ( x) y 2 '+ p 2 ( x) + y 2 ) = C 1 ⋅ 0 + C 2 ⋅ 0 Įrodysime, kad y tenkina (2) lygtį. Tarkime, kad duotos pradinės sąlygos y ( x0 )
= y0 , y ' ( x0 ) = y0 ' . Atsižvelgę į
C 1 y1 ( x0 ) + C 2 y2 ( x0 ) = y0 . Šią sistemą C 1 y1 ' ( x0 ) + C 2 y2 ' ( x0 ) = y0 '
pradines sąlygas ir bendrojo bendrojo sprendinio y išraišką gauname lygčių sistemą
sprendžiame nežinomųjų C 1 ir C 2 atžvilgiu. Šios sistemos koeficientų determinantas
y1 ( x0 )
y2 ( x0 )
y1 ' ( x0 ) y2 ' ( x0 )
yra lygus
Vronskio determinantui taške x0 iš intervalo (a,b). Kadangi y1 ir y2 sudaro fundamentaliųjų sprendinių sistemą, tai šis determinantas nelygus nuliui. Tai reiškia, kad lygčių sistema turi vienintelį sprendinį C 1 * ir C 2 * . Įrašę šias konstantų reikšmes į bendrąjį sprendinį gauname atskirąjį sprendinį y* = C 1 * y1 + C 2 * y2 , tenkinantį duotąsias pradines sąlygas. O tai reiškia, reiškia, kad y
= C 1 y1 + C 2 y2
yra bendrasis (2) lygties sprendinys.
19. Suformuluokite teoremą apie antrosios eilės tiesinės nehomogeninės dif. lygties bendrojo sprendinio sprendinio struktūrą. Nagrinėsime lygtį y ' '− p1 ( x) y '+ p2 ( x) y = f ( x) (1), p1 , p2 - tolydžios tam tikrame intervale (a,b) f-jos. 1 teorema: (1) lygties bendrasis sprendinys lygus (1)-ąją (1)- ąją lygtį atitinkančios homogeninės lygties sumai, t.y. y ' '+ p1 ( x) y '+ p2 ( x ) y = 0 bendrojo sprendinio y * ir (1)-os lygties atskirojo sprendinio y ( x0 ) C 1 y1 ( x0 ) + C 2 y2 ( x0 ) = y0 − y . Atsižvelgę į pradines sąlygas, gauname lygčių sistemą y = y * + y . Lygčių ' ( x0 ) C 1 y '1 ( x0 ) + C 2 y '2 ( x0 ) = y '0 − y
sistemos determinantas
y1 ( x0 )
y2 ( x0 )
y '1 ( x0 ) y '2 ( x0 )
≠ 0 , nes y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi homogeninės lygties
~
~
sprendiniai. Todėl sistema turi vienintelį sprendinį C 1 ir C 2 . F-ja y
= y * + y = C 1 y1 + C 2 y2 + y prad pradži žiųų įrod įrodom ome, e, kad kad y = y * + y
~ ~ tenkina duotąsias pradines = C + y C y 1 1 2 y 2 = r
sąlygas. Vadinasi y Įrodymas: Iš
)' '+ p1( x)( y * + y )'+ p 2( x )( y * + y ) = f ( x) . ( y * + y
tenkin tenkinaa (1) lygtį. lygtį. Įrašę Įrašę y išra išraiš išką ką į (1) (1) lygt lygtį, į, gaun gaunam ame: e: Tarkim rkime, e, kad kad duota uota pra pradinė inė sąlyga lyga:: y ( x0 )
=
y0
ir
y ' ( x0 ) = y '0 . Homogeninės lygties bendrą sprendinį pažymime taip: y* = C 1 y1 + C 2 y2 . Tada y = C 1 y1 + C 2 y2 + y yra bendrasis (1) lygties sprendinys 20. Antrosios eilės tiesinių homogeninių dif. lygčių su pastoviaisiais koeficientais sprendimas (kai (kai charakte charaktering ringosios osios lygties šaknys šaknys skirtingo skirtingoss arba arba sutampa sutampa - su įrodymai įrodymais, s, kai šaknys šaknys kompleksinės kompleksinės – be įrodymo, įrodymo, bet mokėkite naudotis formule). Nagrinėsime lygtį: y ' '+ py '+ qy = 0 (1). Norėdami rasti šios lygties bendrąjį sprendinį, turime rasti du tiesiškai nepriklausomus lygties sprendinius y1 ir y2 . Tada šios lygties bendrasis sprendinys lygus: y = C 1 y1 + C 2 y2 .
= eλ x , λ - const. Tada y ' = λ eλ x , y ' ' = λ 2eλ x , įrašome y ir jo išvestinių išraiškas į (1) lygtį. Gauname: λ 2eλ + pλ eλ + qeλ = 0 . Iškeliame e λ x ( λ 2 + pλ + q ) = 0 . Kadangi e λ x ≠ 0 , tai f-ja y = e λ x bus (1) lygties sprendinys tik tada, kai galios lygybė: λ 2 + pλ + q = 0 . Pastaroji
Tarkine, kad (1)-os lygties atskirasis sprendinys turi tokią išraišką: y
lygtis yra vadinama (1) lygties charakteringąja lygtimi. Charakteringosios lygties šaknis pažymėkime λ 1 ir λ 2 ir nagrinėkime 3 atvejus: 1. λ 1 , λ 2 yra realios skirtingos šaknys. Šiuo atveju gauname du atskiruosius sprendinius y1 = e λ 1 x , y2 = e λ 2 x . Kadangi
y1 y2
=
eλ 1 x eλ 2 x
= e( λ −λ ) ≠ const , todėl y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi ir (1) lygties bendrasis sprendinys 1
2
perrašomas taip: y = C 1eλ x + C 2e λ x . 1
2. λ 1
2
= λ 2 = λ . Šiuo atveju gauname tik vieną atskirąjį sprendinį y1 = eλ x . Tiesiškai nepriklausomą atskirąjį
sprendinį y2 ieškome taikydami formulę y2 = y1
e
∫
− ∫ p1 ( x ) dx
y12
dx . Gauname y2
=e
λ 1
= λ 2 = λ , tai pagal Vieto teoremą p = −(λ 1 + λ 2 ) = −2λ . Gauname y
y1
=
y2
e λ x xe
λ x
=
1
λ
2
λ x
e − ∫ pdx
∫ e
2 λ x
dx = e
λ x
e − px
∫ e
2 λ x
dx . Kadangi
= eλ x ∫ dx = xeλ x . Kadangi
≠ const tai y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi ir (1) lygties bendrasis sprendinys lygus:
y = C 1eλ x + C 2 xeλ x .
3. Tarkime, kad charakteringosios lygties šaknys yra kompleksiniai skaičiai, tai yra λ 1, 2 atskirieji sprendiniai tokie: y1
= e( α + β i ) x
ir y2
= α ± β i . TTada ada
(1) lygties
= e( α − β i ) x . Taikydami formulę e z = e x + y = e x (cos y + i sin y)
gauname y1 = eα x (cos β x + i sin β x) ir y2 = eα x (cos β x − i sin β x) . Kadangi kompleksinės f-jos y1 ir y2 yra (1) lygties sprendiniai, tai šių f-jų realiosios ir menamosios dalys taip pat yra (1) lygties sprendiniai. Tai gauname du tiesiškai nepriklausomus (1) lygties sprendinius y1 = eα x cos β x ; y2 = eα x sin β x . Todėl (1) lygties bendrasis sprendinys lygus: y = eα x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x )
tiesinės homogeninės diferencialinės lygties 4 y ' '+4 y '+ y = 0 atskirą sprendinį, tenkinantį pradines sąlygas y (0) = 2, y ' (0) = 0 . Raskite
