1
2
Paket Rumus Matematika Dasar (Bilangan dan Perbandingan, Deret Matematika, Himpunan dan Peluang, Bangun Datar dan Bangun Ruang)
Bilangan Bilangan asli (A) A = {1,2,3,4,…} Himpunan bagian A antara lain: Himpunan bilangan ganjil = {1,3,5,7,…} Himpunan bilangan genap = {2,4,6,8,…} Himpunan bilangan prima = {2,3,5,7,…} Bilangan Cacah (C) C = {0,1,2,3,…} Bilangan Bulat (B) B={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} Bilangan Rasional Bentuk umum: , dimana a dan b adalah bilangan bulat Bilangan Irrasional Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam pembagian dua bilangan bulat Contoh : π, √2, log 3 Bilangan Riil Penggabungan bilangan rasional dan irrasional Contoh : ½, π, ¼, √2, log 3 Bilangan Imajiner Bilangan yang pada kenyataan nyata tidak bias terwujud Contoh : √(-1)
Pengukuran Ukuran Panjang km hm Dam
Ukuran Berat Kg Hg dag m
g dm
dg cm
cg mm
mg
Standar lainnya:
3
Ukuran Berat dan Panjang 1 kuintal = 100kg 1 ton = 1,000kg 1 kg = 2 pon
Ukuran waktu 1menit = 60 detik 1 jam = 60 menit 1jam = 3,6 00 detik
1 kg =10 ons 1 ons = 1,000 gram 1 pon = 5 ons
1 inchi 1 kaki 1 yard 1 mil
1 hari 1minggu 1 warsa
1 lustrum = 5 tahun 1 dekade = 10 tahun 1 dasawarsa = 10 tahun 1 abad = 100 tahun
= 24 jam = 7 hari = 1 tahun
= 2,54 cm = 12 inchi = 3 kaki = 1760 yard
Ukuran luas Standar: dari km² → mm² tiap turun tangga dikali 100, tiap naik satu tangga dibagi 100 Lainnya: 1 hm² = 1 ha 1 dam² = 1 are 1 m² = 1 ca Ukuran Volume Standar: dari km³ → mm³ tiap turun tangga dikali 1,000, tiap naik satu tangga dibagi 1,000 Lainnya: 1 liter = 1 dm³ 1 cc = 1 cm³ Ukuran Jumlah 1 rim = 500 lbr 1 lusin = 12 buah
1 kodi = 20 helai 1 gros = 144 buah = 12 lusin
Deret Deret Arimatika Suku ke-n = Jumlah n suku pertama
Deret Geometri Suku ke-n =
Jumlah n suku pertama
,r>1
= Sisipan pada barisan Beda baru =
,r<1 Sisipan pada barisan Beda baru =
Banyaknya suku baru = Banyaknya suku baru = Suku tengah = Suku tengah =
Operasi hitung pada bilangan bulat a + b = a – (-b)
4
a – b = a + (-b) -a – b = -(a+b) -a + b = b – a
Eksponen . : =
Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat. 1. 2. apabila diketahui akar akarnya 3. , apabila diketahui titik puncak A(p,q) 4. , jika diketahui jumlah dan hasil kali akar-akarnya Untuk persamaan kuadrat
, berlaku hal sbb.
1. 2. 3. Nilai maksimum dan minimum. 1. Nilai maksimum diperoleh apabila a<0 2. Nilai minimum diperoleh apabila a>0 Besarnya nilai minimum atau maksimum, A(p,q) ditentukan sbb.
Perbandingan Perbandingan Senilai : jika suatu faktor dinaikan, maka faktor yg lain juga akan naik.
Perbandingan berbalik nilai: jika suatu faktor diturunkan, maka faktor yang lain akan naik. Skala dan peta : perbandingan antara jarak pada peta dengan jarak yang sebenarnya.
5
Kecepatan Rumus umum: v = kecepatan s = Jarak t = waktu
v=sxt
Saling menyusul dan saling berpapasan a. saling menyusul (dari arah yang sama) s1 = s2 b. saling berpapasan (dari arah yang berbeda) s1 + s2 = s total Bagian Pekerjaan Misalkan suatu pekerjaan apabila dikerjakan n orang memerlukan T waktu, dan apabila dikerjakan sendiri-sendiri t1,t2,t3,…,tn, maka akan terjadi hubungan T/t1 + T/t2 + T/t3 + … + T/tn = 1 Kecepatan rata-rata = (s1 +s2)/t total =(v1.t1 + v2.t2)/(t1 + t2)
Himpunan n(A B) = n (A) + n(B) n(A B) n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(B C) – n(A C) + n(A B C) n(A–B) = n(A) n(A B) n(A + B) = n(A B) – n(A B)
Peluang Menentukan jumlah cara Notasi faktorial n faktorial diberi notasi n!=n(n-1)(n-2)(n-3)…3.2.1 contoh : 0!=1 Permutasi Suatu susunan dari suatu elemen elemen yang berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada elemen yang sama. 1. Permutasi n elemen nPn = n! Contoh: angka 1,2,3,4,5 akan disusun menjadi bilangan lima angka, maka banyak susunan yang dihasilkan adalah 5P5 = 5! = 120 bilangan 2. Permutasi r elemen dari n elemen nPr = Contoh: angka 1,2,3,4,5 akan disusun menjadi bilangan yang terdiri dari tiga angka, maka banyak bilangan yang terbentuk = 5P3 = 6
3. Permutasi n elemen apabila ada elemen yang sama P= 4. Permutasi siklis P=(n-1)! Kombinasi Susunan dari beberapa atau semua elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen. nKr=
Menentukan Peluang 1. Peluang suatu Kejadian a. P(A)= A n(A) n(S)
= suatu kejadian = banyak elemen A = banyak elemen ruang sampel
b. 0
Kejadian majemuk
1.
= Komplemen dari A atau bukan A P(A)=P(
)=1
2. Peluang gabungan dua kejadian a. A dan B saling lepas P(A B)= P(A)+P(B) b. A dan B tidak saling lepas P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) 3. A dan B saling bebas P(A B) = P(A). P(B)
Statistik Rata-rata(mean) Rata-rata gabungan Median Modus
data yang berada di tengah pada kumpulan yang sudah diurutkan data yang paling sering muncul, dan dalam suatu 7
kumpulan data bisa terdapat kebih dari satu modus
Bangun Datar dan Bangun Ruang
Bangun datar
Persegi Luas = sisi x sisi Keliling = 4 x sisi
Jajar Genjang Luas = alas x tinggi
Persegi Panjang Luas = panjang x lebar Keliling = 2 x (panjang + lebar)
Lingkaran Luas = Keliling = 2.
Segitiga Luas = x alas x tinggi
layang-layang Luas =
Keliling = sisi1+sisi2+sisi3 Trapesium Luas = x (jumlah panjang
belah ketupat Luas =
sisi sejajar) x tinggi
Bangun Ruang Kubus
Volume = Luas permukaan = Diagonal sisi = Diagonal ruang =
Balok
Volume = Luas permukaan = Diagonal sisi, ada tiga yaitu: = ; ; Diagonal ruang =
Limas
Volume = x luas alas x tinggi Luas permukaan = luas alas + luas sisi tegak
Kerucut
Volume = 8
Luas permukaan = Panjang garis pelukis =
Prisma
Volume = luas alas x tinggi Luas permukaan = (2 x luas alas) + luas sisi tegak Luas sisi tegak = keliling alas x tinggi
Tabung
Volume = Luas permukaan =
Bola
Volume = Luas permukaan =
9
Paket Rumus Matematika Analitis LOGIKA MATEMATIKA Logika matematika merupakan materi yang berhubungan dengan pernyataan dan membentuk pernyataan yang benar dalam konteks matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan pernyataan dan menarik kesimpulan dari premis (pernyataan) yang ada. Dalam menghadapi tes CPNS wajib hukumnya memahami logika matematika. a. i. ii.
iii. 1. 2. 3. 4.
b.
Macam penggunaan Pernyataan Pernyataan tunggal : dinyatakan dengan p atau q Ingkaran (negasi) pernyataan : dinyatakan dengan ̴p atau ̴q Contoh : p = saya makan ̴p = saya tidak makan Pernyataan gabungan Konjungsi : Dan (Λ), contoh : p Λ q = saya makan dan saya kenyang Disjungsi : Atau (V), contoh : p V q = saya makan atau saya kenyang Implikasi : Jika-Maka (→), contoh : p → q = jika saya makan maka saya kenyang Biimplikasi : JIka dan hanya jika (↔), contoh : p ↔ q = saya makan jika dan hanya jika saya kenyang
Konvers, Invers dan Kontraposisi dari Implikasi Jika diketahui operasi matematika p → q, maka berlaku : i. Konvers : q → p ii. Invers : p ̴ → ̴q iii. Kontraposisi : q ̴ → ̴p Dengan ekuivalensi : I. p → q ≡ ̴q → ̴p II. q → p ≡ ̴p → ̴q
c. i. ii. iii. iv. v. vi.
Kesetaraan (de Morgan) ̴( p Λ q ) ≡ ̴p V ̴q ̴( p V q ) ≡ ̴p Λ ̴ q ̴( p → q ) ≡ p Λ ̴ q ̴( p ↔ q ) ≡ (p Λ ̴q) V (q Λ ̴ p) p → q ≡ ̴q → ̴p p → q ≡ ̴p V q
10
d.
e.
Penarikan Kesimpulan 1. Modus Ponens p →q P Q
2.
Modus Tollens p →q ̴q
3.
̴p
Silogisme p →q q→r p→r
Pernyataan yang menunjukkan quantitas i. Semua, negasinya adalah = beberapa / ada ii. Ada, negasinya adalah = semua tidak/tidak ada yang
PENARIKAN KESIMPULAN (Silogisme) a.
Silogisme Kategorial Premis Premis Umum (Term Mayor) Premis Khusus (Term Minor) Simpulan
i. ii. iii. iv.
b.
c.
Fungsi pada simpulan Contoh Predikat Semua manusia berkaki dua Subjek Andi adalah manusia Syarat : Simpulannya : 1. Hapuskan kata yang ada 1. Kata manusia dihapus di kedua Premis 2. Simpulan : 2. Simpulan terdiri dari: Andi berkaki dua (Subjek) & Predikat (subjek) & (Predikat) Dari dua Premis yang negative (mempunyai unsur kata “tidak”) tidak dapat dihasilkan kesimpulan Bila salah satu premis negative maka kesimpulan harus negatif Jika kedua premis adalah Premis Khusus, maka tidak dapat dihasilkan kesimpulan Jika Term Mayor bersifat khusus, dan Term Minor bersifat negatif, tidak dapat dihasilkan kesimpulan
Entimen Premis Premis Umum (Term Mayor) Premis Khusus (Term Minor) Simpulan
Silogisme Hipotetik Premis Premis Umum (Term Mayor)
Fungsi pada simpulan entimen Predikat
Contoh Semua manusia berkaki dua
Subjek
Andi adalah manusia
Entimen: 1. Terdiri dari (Subjek) (Predikat) KARENA (kata yang sama / Term Penengah)
1.
Bentuk Proposisi “Jika (antecedent) Maka (konsekuen)” 11
Term Penengah = Manusia 2. Entimen : Andi berkaki dua karena ia manusia
Contoh Jika (hujan) maka (tanah akan basah)
Premis Khusus (Term Minor) Simpulan
d.
Silogisme Disjungtif Premis Premis Umum (Term Mayor) Premis Khusus (Term Minor) Simpulan
Pernyataan Kategorik Simpulan: 1. Jika Term Minor mengakui (antecedent), maka simpulan adalah (konsekuen) 2. Jika Term Minor mengingkari (antecedent), maka simpulan adalah ingkaran (konsekuen) 3. Begitu pula sebaliknya
Hari Hujan Simpulan : “Tanah basah” 1. Jika Term Minor = Tanah tidak basah Simpulan: Hari tidak hujan
Bentuk Kemungkinan / Pilihan
Contoh Hasan Berbaju putih atau Merah
Menerima / Menolak salah satu Pilihan Simpulan: 1. Jika menerima salah satu pilihan, maka simpulan = menolak pilihan yang lain 2. Begitu pula sebaliknya
Hasan Berbaju Merah
12
Simpulan : “Hasan tidak berbaju Putih”
13
14
