Integralai: 1. Apibrėžkite pirmykštės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo sąvokas, užrašykite neapibrėžtinio integralo pagrindines savybes.
2. Sudarykite funkcijos
y = f ( ( x x )
integralin !"ymano# !"ymano# sumą atkarpoje
[ a ; b]
. Apibrėžtinio
integralo apibrėžimas. $aaiškinkite apibrėžtinio integralo geometrin prasm. #
Apibrėžtinio integralo samprata
y = f ( x)
Duota funkcija , Tolydi ir apibrėžta intervale [a, b]. 1.
Atkarpą [a, b] padalijame n dali! "neb#tinai ly$i!% a < x1 < x2 < ... < xi −1 < xi < ... < x n .
&.
'iekvienoje dalyje parenkame po ci
ta(ką ) c1 ∈ [ a, x1 ], c2 ∈ [ x1 , x 2 ], ..., ci ∈ [ xi −1 , xi ], ...
*. +ukai-iuoja +ukai-iuojame me funkcijo funkcijo reik(me reik(me pairin pairinktuo ktuoe e ta(kuoe ta(kuoe f ( c1 ) , f ( c 2 ) , ..., f ( ci ) , ..., f ( cn )
.
. +ukontruojame andau$a "intervalo il$ padau$iname i( funkcijo reik(mi! pairinktuoe ta(kuoe% f ( c1 ) ⋅ ∆ x1 , f ( c2 ) ⋅ ∆ x2 , ..., f ( ci ) ⋅ ∆xi , ... ∆ xi = xi − xi −1 (i = 1, n , .
/. 0auta andau$a uumuokime n
∑ f (ci ) ⋅ ∆ xi = f ( c1 ) ⋅ ∆ x1 + f ( c2 ) ⋅ ∆ x2 + ... + f ( cn ) ⋅ ∆xn i =1
. . 0autoji uma priklauy nuo intervalo padalinimo. Tam, kad nepriklauyt!, λ = max [ xi −1 , xi ] i ∈1, n ∆ xi = [ xi −1 , xi ] → 0 ∀i λ → 0 pareikalaukime , arba jei$u ir jei$u , n
∑ f (ci ) ⋅ ∆xi i =1
tai $auta uma nebepriklauy nuo padalinim! kiekio ir $auime uma vadinama integraline suma.
. 2i
Apibrėžtinio integralo geometrinė prasmė
n
lim ∑ f (c i ) ⋅ ∆ xi = S kreiv .trap . λ → 0
i =1
'reivinė trapecijo plota) %. Apibrėžtinio integralo savybės. !$rasm mokėti p akomentuoti#.
+akykime, kad teiin$i (ie tei$iniai)
[ a, b]
g ( x )
f ( x)
ir
3 inte$ruojamo atkarpoje
b
b
b
a
a
a
funkcijo. Tuomet
∫ ( α f ( x ) + β g ( x) ) dx = α ∫ f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx 1% Tiei(kumo avybė) realieji kai-iai.
,
a
∫ f ( x)dx = 0 a
&%
*% 'ai
. a < b
a
b
b
a
∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx , tai
α , β
.
3 bet kokie
a, b, c
% Adityvumo avybė. 'ad ir kokie b#t! kai-iai
teiin$a ly$ybė
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx , jei tik vii try inte$ralai e$4ituoja. /% 5atovau ženklo avybė. b
[ a, b]
f ( x) ≥ 0
1% 6ei
∫ f ( x)dx ≥ 0
atkarpoje
a
, tai
. b
[ a, b]
f ( x) ≤ 0
&% 6ei
∫ f ( x)dx ≤ 0
atkarpoje
a
, tai
.
% 5aly$inimo avybė. 6ei 7% Apibrėžtinio inte$ralo verti.
atkarpoje
b
a
a
∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx
[ a, b]
f ( x) ≥ g ( x)
b
, tai
. b
x∈[ a ;b ]
Tarkime, kad
∫
m( b − a) ≤ f ( x ) dx ≤ M ( b − a)
M = max f ( x )
m = min f ( x )
x∈[ a ;b ]
a
ir
. Tada
.
8% 9idutinė reik(mė teorema.
[ a, b]
f ( x)
6ei funkcija
tolydi atkarpoje
, tai e$4ituoja to atkarpo ta(ka c, kuriame
b
∫ f ( x)dx = f (c)(b − a) a
. f (c) =
1 b−a
b
∫ f ( x)dx
[ a, b]
f ( x)
a
vadinama vidutine funkcijos
reikšme atkarpoje
&. Suformuluokite ir įrodykite teoremą apie integralą su kintamu viršutiniu rėžiu.
[ a, b] Φ ′( x ) = f ( x)
f ( x)
Teorema. 6ei funkcija
: tolydi atkarpoje
ta(ke x .
,
kiekvienam atkarpo
∆ x Įrodymas: 'intamajam x uteikiame pokyt x + ∆ x
∆Φ = Φ( x + ∆ x ) − Φ( x) =
∆Φ
ir apkai-iuojame pokyt x
x
x + ∆ x
a
a
a
x
x + ∆ x
x
∫ − ∫ = ∫ + ∫ − ∫ a
)
=
∫ f (t )dt
x
. x + ∆x
∫ f (t )dt
x
;nte$ralui
taikome vidutinė reik(mė teoremą)
.
x + ∆ x
∆Φ =
∫ f (t )dt = f (c)( x + ∆ x − x) = f (c)∆ x
x
< -ia c yra tarp x ir
x + ∆ x
. Tuomet ∆Φ ∆ x
=
f (c) ∆ x ∆ x
= f (c )
.
5ainaudoj= i(vetinė apibrėžimu) ∆Φ = lim f (c) ∆ x → 0 ∆ x ∆x → 0
Φ ′ = lim
. 'adan$i
c → x
, kai
∆ x → 0
f ( x)
, tai dėl
tolydumo
lim f (c) = lim f (c) = f ( x)
∆ x → 0
c → x
. Tai$i Φ′( x ) = f ( x ) . Φ( x ) ;( -ia eka, kad
[ a, b]
f ( x)
yra funkcijo
pirmyk(tė atkarpoje
. x
[ a, b] Tai$i, kiekviena tolydi atkarpoje
Φ ( x ) = ∫ f ( t )dt
f ( x)
funkcija
a
turi pirmyk(t= funkciją
.
'. (šveskite )iutono*+eibnico formul.
[ a, b]
f ( x)
Teorema. 6ei funkcija
tolydi atkarpoje (ioje atkarpoje, tai
F ( x)
ir
: kuri nor jo pirmyk(tė funkcija
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)
a
.
[ a, b] Įrodymas . >emianti anktene teorema $alima tei$ti, kad tolydi atkarpoje
funkcija
x
∫ f ( t )dt
f ( x)
F ( x)
a
turi pirmyk(t=, ly$ią
. 'adan$i pa$al ąly$ą
ir$i yra funkcijo
x
∫ f ( t )dt = F ( x) + C
f ( x)
a
pirmyk(tė, tai jo turi kirti tik kontanta, todėl
.
a
∫ f ( t )dt = F (a) + C 6ei$u
x = a
a
0 = F ( a ) + C ,
0
, $autume
− F ( a ) = C
,
.
x
∫ f ( t )dt = F ( x) − F (a)
a
Tai$i,
. b
6ei$u
x = b
∫ f ( t )dt = F (b) − F (a)
a
, $autume F (b ) − F (a )
2i formulė vadinama Niutono – Leibnico formule. +kirtumą
prata
b
žymėti
F ( x) a
. Tada b
b
∫ f ( t )dt = F ( x) a = F (b) − F (a) a
.
. )etiesioginio integralo su begaliniais integravimo rėžiais sąvoka. $aaiškin kite jo geometrin prasm.
-. )etiesioginio integralo su begaliniais integravimo rėžiais konvergavimo ir divergavimo požymiai !be rodym/#. (štirkite integralo konvergavimą. 0okėkite j taikyti, nustatant kit/ integral/ konvergavimą ∞
∫ xdx a
a
,
( a > 0)
Dvilypiai integralai: f =( x , y , z ) dvimat integralin sumą uždaroje srityje D. vilypio integralo
1. Sudarykite funkcijos
apibrėžimas. 3eometrinė prasmė. Savybės. #
Rymano integralinės sumos baigtinė riba, kai
integralu a!ibrė"toe sritye D.
x i x i
∬ f ( x , y ) dxdy
f (¿ ¿ , y i) ∙ ∆ x i ∙ ∆ y i=
D n
¿ ∑ = i
1
f (¿ ¿ , y i ) ∙ ∆ S i=lim ¿ λ→ 0
n
¿ ∑ = i
1
lim λ → 0
#ntegralinė suma$
x i f (¿ , y i) ∙ ∆ S n
σ =
¿ ∑ = i
1
+avybė)
¿
→ 0 ( n → ∞) , vadinama funkcios
f ( x , y ) dvilypiu
4. vilypio integralo skai5iavimas sta5iakampėje ir polini/ koordina5i/ sistemose !be rodym/#.
Kreiviniai integralai: 67. Sudarykite pirmojo tipo kreivinio integralo integralin sumą. $irmojo tipo kreivinio integralo apibrėžimas.
66. 8žrašykite formules pirmojo tipo kreiviniam integralui apskai5iuoti, kai kreivės lygtis9
Kai
x ∈ [ a ; b ] tai
y = f ( x )
b
∫ f ( x , y ) dx =∫ f ( x , y ( x ) )√ 1 +( y ( x )) dx '
L
Kai
2
a
¿ x ( t ) , y = y ( t ) ,t ∈ [ t ; t ] tai 1
2
y
( x ( t )) +(¿ ¿ ' (t )) dt ds = √ ¿ '
2
2
t
¿
x (¿) , y (¿ t )
¿
y 2
2
( x ( t )) +(¿ ¿ ' (t )) f ¿ '
t 2
∫
f ( x , y ) ds = ¿ t 1
∫¿ L
Kai ρ= ρ ( φ )
φ ∈ [ φ 1 ; φ2 ]
tai ρ
¿ ¿ ' ¿ ¿ ρ +¿ ds =√ ¿ 2
2
ρ cos φ ρ
¿ ¿ ' ¿ ¿ ρ +¿ 2
2
f (¿¿ , ρ sin φ) √ ¿ φ β
∫
f ( x , y ) ds= ¿ φ α
∫¿ L
62. 8žrašykite materialiosios kreivės lanko masės ir lanko ilgio aps kai5iavimo formules bei mokėkite jas taikyti.
6%. Sudarykite antrojo tipo kreivinio integralo integralin sumą. Antrojo tipo kreivinio integralo apibrėžimas.
6&. 8žrašykite antrojo tipo kreivinio integralo apskai5iavimo formul, kai kreivė apibrėžta lygtimi9
y = f ( x ) , x =[ a ; b ] tai
!ei
b
a
c
∫ P ( x, f ( x))dx + ∫ a(ϕ ( y), y)dy
∫ AB
v
5"?,y% d? @"?,y% dy B
jei f3jai yBf"?% e$4ituoja
ϕ
atvirk(tinė f3ja ?B "y% , ir yBf"?% : monotininė atkaroje AC.
!ei x = x ( t ) , y = y ( t )
t ∈ [ t 1 ; t 2 ] b
b
a
a
a
∫ P ( x, f ( x))dx + ∫ P ( x, f ( x))dx + ∫ a( x, f ( x)) ⋅ f % ( x)dx
∫ AB
v
5"?,y% d? @"?,y% dy B
6'. (šveskite formul kintamos jėgos darbui apskai5iuoti !mec:aninė prasmė#.
6. vilypio ir kreivinio integral/ ryšys. 3ryno formulė !be rodymo, mokėti pakomentuoti, kada taikoma ir taikyti#.
Gryno formulė nustato ryšį tarp dvilypio integralo ir kreivinio integralo antrojo tipo.
&anaudoant 'ryno formul(, galima a!skai)iuoti !lok*)i+ figr+ !lotus.
6-. Antrojo tipo kreivinio integralo nepriklausomumo nuo integravimo kelio sąlygos9 !rodykite teoremą apie integralą uždaruoju kont;ru< suformuluokite ir mokėkite taikyti teoremą apie dalini/ išvestini/ lygyb#.
Diferencialinės lygtys: 61. 8žrašykite antrosios eilės tiesin :omogenin diferencialin lygt. =iesiškai nepriklausomi sprendiniai !apibrėžimas#. >ronskio determinanto apibrėžimas, jo taikymas sprendini/ tiesiniam priklausomumui nustatyti. ?undamentalioji sprendini/ sistema.
Antrosios eilės tiesinė homogeninė diferencialinė lygtis: y + a 1 ( x ) y + a 2 ( x ) y =0 ''
Čia
'
a1 ( x ) , a2 ( x )
y =C 1 y 1 + C 2 y 2
- tolydios funkcijos ! "endrasis sprendinys#
Čia C 1 ir C 2 - laisvosios konstantos$ y 1 ir y 2
%ai
y 1
! tiesiškai nepriklausomi atskirieji sprendiniai
inomas$ tai
y 2
randamas :
y 2= y 1
∫
− a ( x ) dx e ∫ dx y 21 1
Vronskio determinanto radimas:
y 1
%ai
y 2
y 1
%ai
y 2
%ai
ir
= cnst, ∀ x [ a , b ] ! tai tiesiškai priklausomos funkcijos$
! cnst , ∀ x [ a , b ]
! tai tiesiškai nepriklausomos funkcijos.
yra atskirieji lygties sprendiniai$ tada jie sudaro FUNDAMENTALIUJŲ SPRENDINIŲ y 1 , y 2 ! ' intervale ( a , b ) . SISTEMĄ $ jei " ¿ & (et kurie du tiesiškai nerik!a"somi tiesinės homogeninės dif. lygties sprendiniai sudaro FUNDAMENTALIĄJĄ SPRENDINIŲ SISTEMĄ#
64. @rodykite teoremą apie antrosios eilės tiesinės :omogeninės dif. lygties bendrojo sprendinio stru kt;rą.
Teorema:
)ei
sudaro lygties y + a 1 ( x ) y + a 2 ( x ) y =0 ' '
y 1 ir y 2
tai lygties "endrasis sprendinys yra lygus: C 1 ir C 2
'
fundamentali*j* sprendini* sistem+$
y = C 1 y 1 + C 2 y 2
- konstantos.
27. Antrosios eilės tiesinės ne:omogeninės dif. lygtys. Suformuluokite ir rodykite teoremą apie antrosios eilės tiesinės ne:omogeninės dif. lygties bendrojo sprendinio strukt;rą.
y + a 1 ( x ) y + a 2 ( x ) y =f ( x ) ''
,iesinė nehomogenin diferencialin lygtis
'
Teorema#
´ Jei y y
¿
y + a 1 ( x ) y + a 2 ( x ) y =f ( x ) lygties sprendinys, ''
yra bendrasis homogeninės
'
- kuris nors atskirasis nehomogeninės lygties sprendinys,
tai ne$omo%enin&s lygties sprendinys yra
'rod(mas. irmiausia įrodysime$ kad reiškinys
y = y´ + y
y´ + y
¿
¿
yra nehomogeninės lygties
¿ sprendinys. %adangi y´ - homogeninės lygties sprendinys$ o y - nehomogeninės lygties
sprendinys$ tai jie turi tenkinti atitinkamas lygtis$ todėl
y´ + a 1 ( x ) y´ + a 2 ( x ) y´ =0 ' '
'
¿' '
¿'
¿
y + a1 ( x ) y + a2 ( x ) y =f ( x )
/udėj šias lygy"es ir pritaik išvestini* savy"es$ gauname y´ + y
¿
¿ ¿ ¿ ' ' ( y´ + y ) + a ( x ) ¿ 1
%adangi y´ =C 1 y 1 + C 2 y 2 ¿
0i lygy"ė rodo$ kad y = y´ + y =C 1 y 1 + C 2 y 2 + y
¿
yra ne$omo%enin&s !(%ties srendin(s.
1orint išsprsti tiesin nehomogenin diferencialin lygtį$ reikia rasti j+ atitinkan2ios homogeninės lygties "endr+jį sprendinį ir "et kurį atskir+jį nehomogeninės lygties sprendinį.
26. Antrosios eilės tiesini/ :omogenini/ dif. lyg5i/ su pastoviaisiais koeficientais s prendimas !kai c:arakteringosios lygties šaknys skirtingos arba sutampa * su rodymais, kai šaknys kompleksinės be rodymo, bet mokėkite naudotis formule#.
Antrosios eilės tiesinė homogeninė diferiancialinė lygtis:
''
'
y + # y + $y =0
,okia lygtis išsprendiama parinkus ,oliau gauname$
%adangi nėra tokio k $ kad
"3t* lygi nuliui$ tai
4šsprendiant ši+ lygtį ir "us gautas diferencialinės lygties sprendinys 5ar"a du sprend iniai&. 6ra trys atvejai$: % x % x kai 5 7endrasis sprendinys: y =C 1 e + C 2 e • 1
%x
$ 5 7endrasis sprendinys: y = e
2
( C + C x )
•
kai
•
kai sprendiniai yra kompleksiniai skai2iai. 5 7endrasis sprendinys: y = e ( C 1 cos βx + C 2 sin βx )
1
2
αx
= + = "endrasis sprendinys y C 1 y 1 C 2 y 2 ,C 1 ,C 2 %nstants
