– 1 –
1. Fizikos įvadas Fizikos tyrimo objektas. Žodis "fizika" yra graikiškos (physis) kilmės ir reiškia gamtą. Fizika tiria paprasčiausius ir bendriausius gamtos reiškinių dėsningumus, materijos sandarą ir jos judėjimo jud ėjimo dėsnius. Fizikos tyrimo objektas yra mus supanti gamta. Kai tariame žodį "mus" – suprantame, kad tai yra Žemė su visais jos gyventojais. Fizikos tyrimo objektu ir yra visa tai, kas supa Žemę, kas yra paviršiuje ir jos gelmėse, kas yra dujose, skysčiuose ir kietuose kūnuose, kokios medžiagų savybės, kokie materijos judėjimo dėsningumai. Trumpai pažvelkime į tą gamtos dalį, kuri supa Žemę. Tai yra begalinė erdvė su joje esančiais kūnais (planetomis, žvaigždėmis, kometomis, asteroidais ir t.t.). Bendrai mes sakome, kad tai yra Visata. Erdvės dalį, kurios matmenys yra per 1020 m, vadiname Galaktika. Erdvės dalis, kurią galime tirti šiuolaikiniais galingais teleskopais ir radioteleskopais, vadinama Metagalaktika. Metagalaktikos matmenys apytiksliai yra 1026 m, šis atstumas prilygsta 1010 šviesmečių. Dažnai šį atstumą vadiname Visatos spinduliu, nors tai neatitinka tikrovės. Palyginimui pateikime atstumą iki Saulės, kuris yra 1,5 1011 m ir Žemės spindulį, kuris lygus 6,4 106 m. Pagrindinės atomų struktūrinės dalelės yra protonai ir neutronai. Mokslininkai paskaičiavo, kad Metagalaktikoje yra apie 1080 protonų ir neutronų. Saulėje yra apie 1057 protonų ir neutronų, o Žemėje – apie 41051. Dalindami 1080/1057, gausime skaičių 1023. Skaičius 1023 artimas Avogadro skaičiui. Galime sakyti, kad Metagalaktikoje yra vienas molis žvaigždžių. Iš Metagalaktikoje esančių protonų ir neutronų galėtų susidaryti 1023 žvaigždžių, kurių dydis prilygsta Saulei. Mokslininkų nuomone, žvaigždžių masės yra nuo vienos šimtosios iki šimto Saulės masių. Sudėtingiausias Visatos reiškinys yra gyvybė. Mūsų žiniomis tobuliausiai išsivysčiusi Visatos būtybė yra žmogus, kurio organizmą sudaro apie 1016 ląstelių, o kiekvieną ląstelę apie 1012 - 1014 atomų. Negyvoji gamta egzistuoja daugelyje formų. Įvairūs protonų, neutronų ir elektronų deriniai sudaro daugiau nei šimtą elementų ir per 1500 izotopų. Atskiri elementai, jungdamiesi į patvarias grupes, gali sudaryti daugiau nei 106 įvairių junginių. Eksperimentiniai mokslai sudarė galimybę pažinti mus supantį pasaulį: klasifikuoti žvaigždes, rasti jų masę ir sudėtį, atstumą ir žvaigždžių judėjimo greičius, klasifikuoti gyvas būtybes ir iššifruoti jų genetinius kodus, sintezuoti neorganinius kristalus, biochemines medžiagas ir naujus cheminius elementus, matuoti molekulių ir atomų spektrų dažnius, kurie yra 102 - 1020 Hz. Nežiūrint į Visatoje vykstančių reiškinių sudėtingumą, vystantis mokslui, pavyko nustatyti daugybę ypatumų, suformuluoti eilę fundamentalių dėsnių, remiantis kuriais galima aprašyti gamtoje vykstančius reiškinius. Fizikos paskaitose daugiausia bus kalbama apie geriausiai mums žinomus, dažniausiai stebimus ir lengviausiai aprašomus reiškinius.
Fizikos mokslo sandara. Fizika yra eksperimentinis mokslas. Jos dėsniai – eksperimentiškai nustatyti faktai. Šalia eksperimentinės fizikos sėkmingai vystosi ir teorinė fizika. Ji formuluoja gamtos dėsnius ir remdamasi šiais dėsniais aiškina reiškinius. Teorinės fizikos pagalba galima numatyti naujus galimus reiškinius. Fizika tyrinėja daugybę reiškinių, todėl ji dažnai skirstoma į atskiras fizikos disciplinas. Pagal tiriamus objektus fizika skirstoma į elementariųjų dalelių fiziką, branduolio fiziką, atomų ir molekulių fiziką, dujų ir skysčių fiziką, kietojo kūno fiziką, plazmos fiziką. Suskirstymas nėra vienareikšmis. Pagal kitą kriterijų – proceso tyrimą arba materijos judėjimo formą galima išskirti materialaus taško ir kietojo kūno mechaniką, kondensuotų medžiagų mechaniką, termodinamiką ir statistinę fiziką, elektrodinamiką, sąveikos teoriją, kvantinę mechaniką ir kvantinę lauko teoriją. Minėti fizikos skyriai tarpusavyje glaudžiai susiję ir nėra aiškios ribos dėl objektų ir reiškinių panašumo. Pagal tyrimo tikslą gali būti išskirta taikomoji fizika. Ypatingas dėmesys fizikos moksle yra skiriamas svyravimams ir bangoms. Ši judėjimo rūšis turi bendrus dėsningumus. Lygtys, aprašančios svyravimo ir jų plitimo reiškinius, yra identiškos. Šis fizikos skyrius nagrinėja mechaninius, akustinius, elektrinius, optinius svyravimus ir jų plitimą erdvėje. Svyruojamasis judesys labiausiai paplitęs gamtoje, todėl neatsitiktinai jo aprašymui fizikoje skiriama daug dėmesio.
Fizikos vystymosi etapų apžvalga. Įvairūs gamtos reiškiniai ir mus supančių kūnų sandara domino žmones dar gilioje senovėje. Nuo 6 amžiaus prieš mūsų erą iki 2-jo mūsų eros amžiaus gimė medžiagų atominės struktūros idėja (Demokritas, Epikuras, Lukrecijus). Sukurta geocentrinė planetų sistema (Ptolomėjus), (Ptolomėjus), nustatyti paprasčiausi statikos dėsniai (sverto taisyklė),
– 2 – šviesos lūžio ir atspindžio dėsniai, suformuluoti hidrostatikos principai (Archimedas), stebimi kai kurie elektrinių reiškinių ir magnetizmo pasireiškimai. Spartus fizikos mokslo vystymasis prasidėjo 17 amžiuje ir yra neatskiriamai susijęs su italų mokslininko Galilėjaus vardu. Galilėjus suprato, kad visus reiškinius reikia aprašyti matematiškai. Jis parodė, kad vieno kūno poveikis kitam apsprendžia ne jo greitį bet pagreitį. Galilėjus suformulavo mechaninį reliatyvumo principą, įrodė, kad laisvojo kritimo pagreitis nepriklauso nuo kūno tankio ir jo masės, pagrindė Koperniko teiginius, tyrė optinius, astronominius, šiluminius ir kitus reiškinius. Jo mokinys Toričelis nustatė atmosferos slėgį ir pagamino pirmąjį barometrą. Anglų mokslininkas Boilis ir prancūzas Mariotas ištyrė dujų tamprumo savybes ir nustatė dėsnį, žinomą jų vardu. 1600 m. Gilbertas tyrė elektrinius ir magnetinius reiškinius ir parodė, kad žemė yra didelis magnetas. Didžiausias 17 amžiaus pasiekimas priklauso Niutonui, suformulavusiam (1687 m.) mechanikos dėsnius. Kepleris nustatė planetų judėjimo dėsnius, o Niutonas remdamasis jais, suformulavo Visuotinės traukos dėsnį, kurio dėka jam pavyko nuostabiu tikslumu apskaičiuoti Mėnulio, kitų planetų ir kometų judėjimą, paaiškinti okeanų potvynius ir atoslūgius. Tiesa, Niutonas rėmėsi absoliučios erdvės ir absoliutaus laiko sąvoka. Tuo metu olandų fizikas Hiuigensas ir vokiečių fizikas Leibnicas suformulavo impulso tvermės dėsnį. Antroje 17 amžiaus pusėje sparčiai vystosi mokslas apie šviesą. Konstruojami teleskopai. Italų fizikas Grimaldi pastebi šviesos difrakcijos reiškinį, o Niutonas tiria šviesos dispersijos reiškinį. 1676 m. danų fizikas Riomeris pirmą kartą išmatuoja šviesos greitį. Šveicarų fizikai Bernuli ir Eileris, prancūzas Lagranžas sukuria idealaus skysčio hidrodinamiką. Prancūzų fizikas Diufe nustato dviejų rūšių elektros krūvių egzistavimą ir jų sąveikos pobūdį. Amerikiečių fizikas Franklinas nustato elektros krūvio tvermės dėsnį. Anglų mokslininkas Kevendišas ir nepriklausomai nuo jo prancūzas Kulonas nustato nejudančių krūvių sąveikos dėsnį. Sparčiai tiriami šiluminiai reiškiniai: šiluminė talpa, šilumos laidumas, šiluminis spinduliavimas. Jau tuo metu įsivyrauja du požiūriai į šviesos prigimtį: viena – korpuskulinė, kita – banginė teorija. Anglų mokslininkas Jangas ir prancūzas Frenelis, paaiškina šviesos interferenciją ir difrakciją. Italų mokslininkai Galvanis ir Volta tiria elektros srovės reiškinius. Anglų mokslininkai Devis ir Faradėjus nustato srovės cheminį poveikį. 1820 m. danų fizikas Erstedas nustato elektros srovės poveikį magnetinei rodyklei. Tais pačiais metais prancūzų fizikas Amperas įrodo, kad visi magnetiniai reiškiniai susiję su elektros krūvių judėjimu ir eksperimentiškai nustato srovių sąveikos dėsnį. 1831 m. Faradėjus atranda elektromagnetinės indukcijos dėsnį. 1826 m. Omas nustato elektrinio laidumo dėsnį. Nustatomos pagrindinės kūnų magnetinės savybės. Sukuriama kietų kūnų tamprumo teorija. Vokiečiai Majeris ir Helmholcas, anglas Džaulis nustato energijos tvermės dėsnį. 19 amžiaus viduryje eksperimentiškai nustatomas mechaninės energijos ir šilumos ekvivalentas. 1850 m. vokiečių fizikas Klauzijus, remdamasis prancūzų mokslininku Karno ir anglų fiziku Tomsonu suformuluoja fundamentalų šilumos teorijos dėsnį – antrąjį termodinamikos principą. 1859 m. anglų fizikas Maksvelis pirmasis pavartoja tikimybės sąvoką ir nustato molekulių pasiskirstymo pagal greičius dėsnį. Antrojoje 19 amžiaus pusėje Maksvelis sukuria klasikinės elektrodinamikos teoriją. 1886-89 m. vokiečių fizikas Hercas eksperimentiškai patvirtina elektromagnetinių bangų egzistavimą. 1859 m. vokiečių mokslininkai Kirchhofas ir Bunzenas sukuria spektrinės analizės pagrindus. p agrindus. Naują žingsnį fizikoje žengė anglų fizikas Tomsonas 1897 m. nustatęs elektrono egzistavimą. Jis nustatė, kad atomai nėra elementarios dalelės, bet sudėtingos dalelių sistemos. 19 amžiaus pabaigoje ir 20 amžiaus pradžioje olandų fizikas Lorencas sukuria elektroninę metalų laidumo teoriją. t eoriją. 20 amžiaus pradžioje paaiškėjo, kad reikia peržiūrėti erdvės ir laiko sąvokas. To pasėkoje gimsta Einšteino reliatyvumo teorija, kurios pagrindą sukūrė Lorencas ir Punkare. 19 ir 20 amžių sandūroje įvyksta dideli pokyčiai fizikos moksle. 1900 m. vokiečių fizikas Plankas įveda kvanto savoką ir paaiškina šiluminio spinduliavimo dėsnius. Einšteinas kvanto sąvoką perkelia optiniams reiškiniams ir paaiškina fotoefekto fotoefekto reiškinį, kurio negalėjo paaiškinti klasikinė elektrodinamika. Danų fizikas N.Boras 1913 m. sukuria atomo modelį. E.Rezerfordas eksperimentiškai eksperimentiškai nustato branduolio egzistavimą atome ir sukuria planetinį atomo a tomo modelį, kurį papildo N.Boras. 1912 m. vokiečių fizikas Lauje pastebi rentgeno spindulių difrakciją kristaluose. Gimsta struktūrinė analizė (Vulfas, U.L.Bregas ir U.G.Bregas.). Olandų fizikas Debajus, vokiečių fizikas Bornas, amerikietis Karmanas ir austrų fizikas Šrėdingeris sukuria kristalinio kūno gardelės teoriją.
– 2 – šviesos lūžio ir atspindžio dėsniai, suformuluoti hidrostatikos principai (Archimedas), stebimi kai kurie elektrinių reiškinių ir magnetizmo pasireiškimai. Spartus fizikos mokslo vystymasis prasidėjo 17 amžiuje ir yra neatskiriamai susijęs su italų mokslininko Galilėjaus vardu. Galilėjus suprato, kad visus reiškinius reikia aprašyti matematiškai. Jis parodė, kad vieno kūno poveikis kitam apsprendžia ne jo greitį bet pagreitį. Galilėjus suformulavo mechaninį reliatyvumo principą, įrodė, kad laisvojo kritimo pagreitis nepriklauso nuo kūno tankio ir jo masės, pagrindė Koperniko teiginius, tyrė optinius, astronominius, šiluminius ir kitus reiškinius. Jo mokinys Toričelis nustatė atmosferos slėgį ir pagamino pirmąjį barometrą. Anglų mokslininkas Boilis ir prancūzas Mariotas ištyrė dujų tamprumo savybes ir nustatė dėsnį, žinomą jų vardu. 1600 m. Gilbertas tyrė elektrinius ir magnetinius reiškinius ir parodė, kad žemė yra didelis magnetas. Didžiausias 17 amžiaus pasiekimas priklauso Niutonui, suformulavusiam (1687 m.) mechanikos dėsnius. Kepleris nustatė planetų judėjimo dėsnius, o Niutonas remdamasis jais, suformulavo Visuotinės traukos dėsnį, kurio dėka jam pavyko nuostabiu tikslumu apskaičiuoti Mėnulio, kitų planetų ir kometų judėjimą, paaiškinti okeanų potvynius ir atoslūgius. Tiesa, Niutonas rėmėsi absoliučios erdvės ir absoliutaus laiko sąvoka. Tuo metu olandų fizikas Hiuigensas ir vokiečių fizikas Leibnicas suformulavo impulso tvermės dėsnį. Antroje 17 amžiaus pusėje sparčiai vystosi mokslas apie šviesą. Konstruojami teleskopai. Italų fizikas Grimaldi pastebi šviesos difrakcijos reiškinį, o Niutonas tiria šviesos dispersijos reiškinį. 1676 m. danų fizikas Riomeris pirmą kartą išmatuoja šviesos greitį. Šveicarų fizikai Bernuli ir Eileris, prancūzas Lagranžas sukuria idealaus skysčio hidrodinamiką. Prancūzų fizikas Diufe nustato dviejų rūšių elektros krūvių egzistavimą ir jų sąveikos pobūdį. Amerikiečių fizikas Franklinas nustato elektros krūvio tvermės dėsnį. Anglų mokslininkas Kevendišas ir nepriklausomai nuo jo prancūzas Kulonas nustato nejudančių krūvių sąveikos dėsnį. Sparčiai tiriami šiluminiai reiškiniai: šiluminė talpa, šilumos laidumas, šiluminis spinduliavimas. Jau tuo metu įsivyrauja du požiūriai į šviesos prigimtį: viena – korpuskulinė, kita – banginė teorija. Anglų mokslininkas Jangas ir prancūzas Frenelis, paaiškina šviesos interferenciją ir difrakciją. Italų mokslininkai Galvanis ir Volta tiria elektros srovės reiškinius. Anglų mokslininkai Devis ir Faradėjus nustato srovės cheminį poveikį. 1820 m. danų fizikas Erstedas nustato elektros srovės poveikį magnetinei rodyklei. Tais pačiais metais prancūzų fizikas Amperas įrodo, kad visi magnetiniai reiškiniai susiję su elektros krūvių judėjimu ir eksperimentiškai nustato srovių sąveikos dėsnį. 1831 m. Faradėjus atranda elektromagnetinės indukcijos dėsnį. 1826 m. Omas nustato elektrinio laidumo dėsnį. Nustatomos pagrindinės kūnų magnetinės savybės. Sukuriama kietų kūnų tamprumo teorija. Vokiečiai Majeris ir Helmholcas, anglas Džaulis nustato energijos tvermės dėsnį. 19 amžiaus viduryje eksperimentiškai nustatomas mechaninės energijos ir šilumos ekvivalentas. 1850 m. vokiečių fizikas Klauzijus, remdamasis prancūzų mokslininku Karno ir anglų fiziku Tomsonu suformuluoja fundamentalų šilumos teorijos dėsnį – antrąjį termodinamikos principą. 1859 m. anglų fizikas Maksvelis pirmasis pavartoja tikimybės sąvoką ir nustato molekulių pasiskirstymo pagal greičius dėsnį. Antrojoje 19 amžiaus pusėje Maksvelis sukuria klasikinės elektrodinamikos teoriją. 1886-89 m. vokiečių fizikas Hercas eksperimentiškai patvirtina elektromagnetinių bangų egzistavimą. 1859 m. vokiečių mokslininkai Kirchhofas ir Bunzenas sukuria spektrinės analizės pagrindus. p agrindus. Naują žingsnį fizikoje žengė anglų fizikas Tomsonas 1897 m. nustatęs elektrono egzistavimą. Jis nustatė, kad atomai nėra elementarios dalelės, bet sudėtingos dalelių sistemos. 19 amžiaus pabaigoje ir 20 amžiaus pradžioje olandų fizikas Lorencas sukuria elektroninę metalų laidumo teoriją. t eoriją. 20 amžiaus pradžioje paaiškėjo, kad reikia peržiūrėti erdvės ir laiko sąvokas. To pasėkoje gimsta Einšteino reliatyvumo teorija, kurios pagrindą sukūrė Lorencas ir Punkare. 19 ir 20 amžių sandūroje įvyksta dideli pokyčiai fizikos moksle. 1900 m. vokiečių fizikas Plankas įveda kvanto savoką ir paaiškina šiluminio spinduliavimo dėsnius. Einšteinas kvanto sąvoką perkelia optiniams reiškiniams ir paaiškina fotoefekto fotoefekto reiškinį, kurio negalėjo paaiškinti klasikinė elektrodinamika. Danų fizikas N.Boras 1913 m. sukuria atomo modelį. E.Rezerfordas eksperimentiškai eksperimentiškai nustato branduolio egzistavimą atome ir sukuria planetinį atomo a tomo modelį, kurį papildo N.Boras. 1912 m. vokiečių fizikas Lauje pastebi rentgeno spindulių difrakciją kristaluose. Gimsta struktūrinė analizė (Vulfas, U.L.Bregas ir U.G.Bregas.). Olandų fizikas Debajus, vokiečių fizikas Bornas, amerikietis Karmanas ir austrų fizikas Šrėdingeris sukuria kristalinio kūno gardelės teoriją.
– 3 – 1920 m. buvo sukurta kvantinės mechanikos teorija, kuri aprašė mikrodalelių judėjimo dėsningumus ir nusakė mikropasaulio priežastingumo principą. Šios teorijos kūrimui pagrindą sudarė Planko, Einšteino, Boro ir 1924 m. prancūzų fiziko de Broilio hipotezė apie materijos korpuskulinę - banginę prigimtį. 1927 m. buvo gauta elektronų difrakcija kristaluose. Tai patvirtino de Broilio hipotezę. 1926 m. Šrėdingeris suformulavo pagrindinį kvantinės mechanikos dėsnį. Tai banginė lygtis, įskaitanti postuluotą materijos dvilypumą. 1925 m. šveicarų fizikas Pauli suformulavo draudimo draudimo principą. Kvantinė mechanika padėjo išvystyti kietojo kūno kūn o teoriją. Priverstinio spinduliavimo teorija leido sukurti naują radiofizikos radi ofizikos sritį – kvantinę elektroniką. Atsirado lazeriai. Dvidešimtajame amžiuje pradėjo sparčiai vystytis atomo branduolio fizika. Ji padėjo įsisavinti valdomą branduolinę branduolinę reakciją, davusią galingą energijos energijos šaltinį.
Pagrindinės fizikos neišspręstos problemos. Nauji atradimai fizikoje padeda suvokti gamtos reiškinių svarbą ir sudėtingumą. Naujos paieškos fizikoje nemažina spręstinų problemų skaičiaus. Atvirkščiai, tyrinėjant paaiškėja nauji nežinomi reiškiniai. Nors fizikos mokslas žino daug apie gamtos reiškinius, kūnų struktūrą ir Visatą, tačiau šiandien yra daugybė dar neišspręstų problemų. Elementarių dalelių ir branduolio fizikos pasiekimai davė galimybę pažinti Visatos ir žvaigždžių evoliuciją, cheminių elementų susidarymą. Tačiau lieka neaišku, kokia yra materijos būsena, esant labai dideliems tankiams ir slėgiams. Tokia būsena susidaro neutroninėse žvaigždėse ir "juodosiose skylėse". Nežinoma kvazarų ir radiogalaktikų prigimtis, naujų žvaigždžių atsiradimas, intensyvaus spinduliavimo blyksniai. Nežinomas elektringųjų dalelių greitinimo mechanizmas, susijęs su naujų žvaigždžių susidarymu. Elementariųjų dalelių fizikoje nežinomas laisvųjų kvarkų ir gliujonų egzistavimas. Nėra bendros teorijos, apimančios visus eksperimentinius rezultatus. Nėra elementariųjų dalelių spektro teorijos. Neišspręstas traukos kvantinės teorijos užda vinys. Didelį indėlį į atomo branduolio teorijos vystymą įnešė protoninio - neutroninio branduolio modelio sukūrimas, tačiau nuoseklios branduolio teorijos nėra. Nepaprastai sunku tirti branduolio nukleonų sąveikos jėgas eksperimentiškai, dėl jų specifikos. Jos priklauso nuo atstumo tarp nukleonų, nukleonų judėjimo greičių, jų sukinių orientacijos. Nėra eksperimentiškai aptikti cheminiai, ilgai egzistuojantys, elementai su masių skaičiais 114 ir 126, į kurių egzistavimą nurodo teorinė fizika. Viena iš aktualiausių šios dienos branduolio fizikos problemų – tai valdomos branduolių sintezės reakcijos įsisavinimas. Žymus atradimas kvantinėje elektronikoje - tai kvantinių generatorių sukūrimas (mazeriai, irrazeriai, lazeriai). Unikalios kvantinio spinduliavimo savybės: koherentiškumas, galia siaurame spektro intervale siekia 1012 - 1013 W, pluošto skėsčio kampas apie 10-4 rad, nepaprastai didelis elektrinio lauko stipris, viršijantis vidinius atomų laukus ir kt., leidžia juos panaudoti daugelyje fizikinių eksperimentų ir praktikoje. Šito išdavoje gimė netiesinė optika. Pagrindiniai spręstini kvantinės elektronikos uždaviniai – tai tolesnis kvantinių generatorių galingumo didinimas, tolydus lazerių dažnio keitimas, rentgeno ir lazerių sukūrimas. Kietojo kūno fizikoje svarbu sukurti medžiagas su ekstremaliomis savybėmis mechaninio ir šiluminio atsparumo, elektrinių, magnetinių ir optinių savybių požiūriais. Mokslininkus nepaprastai domina aukštatemperatūrinis medžiagų superlaidumas. Ieškoma naujų metodų, leidžiančių sukurti labai mažus ir patikimus puslaidininkinius prietaisus. Fizikus nepaprastai domina medžiagų plazminis būvis. Mokslui yra žinoma, kad plazminėje būsenoje yra didesnioji Visatos dalis ir aukštatemperatūrinė plazma sudaro galimybę sukurti valdomą branduolių sintezės reakciją. Pagrindinis plazmos fizikos uždavinys – tai plazmos įkaitinimas iki 109 K ir išlaikymas tokį laiką, per kurį galėtų įvykti sintezės reakcija. Mokslininkus domina elektromagnetinis ir korpuskulinis plazmos spinduliavimas, leidžiantis paaiškinti elektringųjų dalelių pagreitinimą Visatoje, atsirandant naujoms žvaigždėms, pulsarų spinduliavimą ir kt. Fizika labai glaudžiai susijusi su kitais gamtos mokslais. Ypatingai glaudžiai fizika siejasi su techniniais mokslais. Negalima išvesti i švesti skiriamosios ribos tarp t arp fizikos ir bet kurios kitos techninių mokslų šakos. Daugelio mokslų pagrindą sudaro fizikos fundamentalūs dėsniai. Naujų fizikos sričių vystymasis skatina naujų techninių mokslų atsiradimą. Taip, pvz., mašinų gamyba remiasi mechanikos dėsniais, elektrotechnika ir radiotechnika – elektromagnetinių reiškinių dėsniais, puslaidininkinių prietaisų – kietojo kūno teorija ir t.t. Kokybinius pakitimus technikoje padarė integrinių grandynų sukūrimas. Tas leido pagaminti naujas ryšių ryšių sistemas, sukurti labai mažas, mažas, ekonomiškas, greitaeiges greitaeiges skaičiavimo mašinas mašinas ir kt.
– 4 – Fizikos mokslo metodai. Pradedant studijuoti fizikos kursą, pravartu susipažinti su bendraisiais tyrimo metodais, kurie taikomi fizikos moksle. Fizikinis reiškinys. Fizikinis reiškinys arba procesas – tai dėsningai susietų dydžių kitimas laike. Toks dydžių kitimas
fizikiniame procese vertinamas kiekybiniu kiekybiniu ir kokybiniu šių dydžių virsmu. Fizikinis bandymas. Dėsningi ryšiai tarp fizikinių dydžių nustatomi juos stebint gamtoje arba atliekant laboratorinius
bandymus, kurių metu išlaikomos artimos gamtinio reiškinio vyksmo sąlygos. Laboratoriniai bandymai ir gamtos reiškinių stebėjimas yra pagrindiniai būdai tiesos kriterijui nustatyti. Tikslus ir teisingas fizikinių dydžių matavimas stebėjimo ar bandymo metu sudaro pagrindinę pagrindinę mokslinio tyrimo dalį fizikos fizikos moksle. Fizikos dėsnis. Visi fizikiniai reiškiniai yra tam tikrame priežastingumo ryšyje. Gamtos reiškinių stebėjimo arba
eksperimento metu nustatomi priežastingumo ryšiai ir reiškinių dėsningumai. Bendri dėsningumai, pagal kuriuos vyksta fizikiniai reiškiniai, vadinami fizikos dėsniais. Hipotezė. Dažnai fizikoje naudojamasi hipoteze (prielaida). Tai darome tuomet, kai naujai pastebėtų reiškinių negali
paaiškinti žinomi dėsniai arba jiems prieštarauja. Kaip pavy pavyzdį zdį galima paminėti de Broilio hipotezę, kuri buvo suformuluota 1924 m. prancūzų mokslininko de Broilio, pagal kurią mikrodalelė gali reikštis kaip banga, kurios ilgis h/mv (čia h – Planko konstanta, m – mikrodalelės masė, v – jos greitis). Ši hipotezė buvo vėliau
patvirtinta eksperimentiškai,
stebint elektronų difrakciją kristaluose. Hipotezė, patvirtinta pat virtinta eksperimentu, virsta dėsniu. Fizikinė abstrakcija. Dažnai fizikos eksperimente arba gamtos reiškinyje reikalinga atskirti pagrindinius reiškinių aspektus
nuo antraeilių. Tai daroma įvedant fizikinę abstrakciją. Abstrakcija atspindi tik kai kurias kūnų savybes arba proceso charakteristikas. Kaip, pavyzdžiui, absoliučiai kietasis kūnas, materialusis taškas, tiesi linija, n eklampus skystis ir kt. Šiuo atveju a tveju nagrinėjame kietojo kūno sukimąsi, neatsižvelgdami į jo deformaciją, de formaciją, kurią sukelia išcentrinės jėgos, arba, nagrinėdami jo rimtį, neatsižvelgsime į jo deformaciją, kurią sukelia sunkio jėga. Šiuo atveju atsiribojame nuo deformacijos, o tuo pačiu atsiribojame nuo eksperimento arba reiškinio tikslumo.
2. Kietojo kūno ir materialiojo taško slenkamojo judėjimo kinematika ir dinamika Mechaniniu judėjimu vadiname kūnų arba jų dalių padėties kitimą erdvėje ir laike. Šį judėjimą tirianti fizikos dalis vadinama mechanika. mechanika. Makroskopinių Makroskopinių kūnų, judančių mažais (lyginant su šviesos greičiu) greičiais, judėjimą tiria klasikinė, judančių greičiais, artimais šviesos greičiui – reliatyvistinė mechanika. Mechanikos kurse dažnai naudojamos materialiojo taško ir atskaitos sistemos sąvokos. sąvokos. Materialusis taškas fizikoje – tai materialusis kūnas, kurio matmenys labai maži
lyginant su kitų kūnų matmenimis arba su atstumais nagrinėjamoje situacijoje. Atskaitos sistema fizikoje – tai atskaitos kūnas (ar kūnų grupė) plius per jį (ją)
išvestoji koordinačių sistema, plius prietaisas laikui skaičiuoti. Materialiojo taško M padėtį atskaitos sistemoje nusakome trimis
koordinatėmis x, y, z arba padėties vektoriumi r (2.1 pav.). Pastarąjį galima išreikšti jo komponentėmis: r i x j y k z . Čia
i , j , k - vienetiniai vektoriai (ortai), kurių kryptys atitinka ašių 0x, 0y, 0z kryptis. Klasikinėje mechanikoje erdvė ir laikas yra
absoliutūs, kitaip tariant jie nuo n uo laiko nepriklauso ir nekinta.
Greitis, jo projekcijos ir komponentės. Sakykime, kad, judant materialiajam taškui, jo padėtį atskaitos sistemoje nusakančio padėties vektoriaus r galas iš taško M per laiko tarpą t pasislinko į tašką N, atlikdamas atl ikdamas poslinkį r ir nueidamas
kelią s , lygų trajektorijos, kuria judėjo taškas, ilgiui. Poslinkis – vektorius, jungiantis pradinį ir galinį trajektorijos taškus, kelias – skaliaras. Poslinkį galime užrašyti taip:
r r 1 r .
– 5 –
r Judėjimo spartą apibūdinantis dydis v vadinamas vidutiniuoju greičiu. Jo kryptis sutampa su vektoriaus r t
kryptimi (2.2 pav.). Per nykstamai trumpą laiką dt atliekamas elementarusis poslinkis d r , o
greitis beveik nepakinta. Šis greitis vadinamas momentiniu greičiu:
r d r . v lim t 0 t dt
Jis lygus padėties vektoriaus pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu. Momentinio greičio vektorius v lygiagretus trajektorijos liestinei.
Trumpėjant laikui t , kelias (lanko ilgis) artėja prie poslinkio modulio, todėl greičio modulis
r s ds v lim lim t 0 t t 0 t dt
yra lygus nueito kelio pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu. Greičio vienetas SI vienetų sistemoje yram/ s (metras sekundei). Sprendžiant įvairius uždavinius, kartais yra patogu išskaidyti greičio vektorių į komponentes, kurių kryptys sutampa su Dekarto koordinačių sistemos ašių kryptimis:
v i v x j v y k v z ,
d r d dx dy dz i x j y k z i j k . v dt dt dt dt dt
arba
Greičio projekcijos v x, v y, v z atitinkamose koordinačių ašyse yra lygios materialiojo taško atitinkamų koordinačių išvestinėms laiko atžvilgiu: v x = dx/dt, v y = dy/dt, v z = dz/dt . 2
Greičio modulis
2
2
dx dy dz v v v v . dt dt dt 2 x
2 y
2 z
Suintegravę lygybę ds = vdt laiko atžvilgiu, randame per laiką t nueitą kelią: t t
vdt .
s
t
Tolyginio judėjimo atveju (kai v = const ) ši lygybė įgauna tokią išraišką: t t
s v dt vt . t
Materialiojo taško judėjimo pagreitis. Netolyginio judėjimo atveju svarbu žinoti, kaip sparčiai kinta greitis. Greičio kitimo spartą charakterizuoja pagreitis. Sakykime, kad materialiojo taško greitis taške M (2.3 pav.) laiko momentu t yra v .
Praėjus laikui t trajektorijos taške N greitis jau bus v1 v v .
Netolyginio judėjimo vidutiniu pagreičiu laiko intervale nuo t iki t + t vadinamas vektorinis dydis, lygus v ir t
v a , t
santykiui:
v d v a lim t 0 t dt
o šio santykio riba
vadinama momentiniu pagreičiu (arba tiesiog pagreičiu). Kadangi greitis lygus padėties vektoriaus pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu, tai pagreitis d d r d 2 r a 2 . dt dt dt
Pagreičio vektoriaus komponentės
– 6 – dv y dv x dv z d 2 x d 2 y d 2 z j k i 2 j 2 k 2 . ai dt dt dt dt dt dt
Pagreičio projekcijos koordinačių ašyse a x
dv dv x d 2 x d 2 y dv d 2 z 2 ; a y y 2 ; a z z 2 . dt dt dt dt dt dt
a a x2 a y2 a z2 .
Pagreičio vektoriaus modulis:
Taigi materialiojo taško pagreitis lygus jo greičio pirmajai arba padėties vektoriaus antrajai išvestinei laiko atžvilgiu. SI pagreičio vienetas yra metras sekundei kvadratu (m/s2). Jeigu kūnas netolygiai juda kreive (2.3 pav.), greičio pokyčio vektorių v galima suskaidyti į dvi komponentes v ir
vn ( v v , o vn v , kai taškas N yra arti taško M).
Pirmoji komponentė lygi greičio modulio pokyčiui per laiką t , antroji išreiškia greičio krypties pokytį. Santykio v /t
v v dv lim . t 0 t t 0 t dt
riba vadinama tangentinio pagreičio moduliu: a lim
Antroji pagreičio dedamoji (modulis) – normalinis (įcentrinis) pagreitis – išreiškiama taip: an lim
t 0
vn dt
v2 . R
Pilnasis kūno pagreitis lygus geometrinei tangentinio ir normalinio pagreičių sumai (2.4 pav.): d v a a , a dt n
a a2 an2 .
o jo modulis
Pagal pagreičio dedamąsias judėjimą galima skirstyti į: a) a = 0, an = 0 – tiesiaeigį tolyginį; b) a = a = const ; an = 0 – tiesiaeigį tolygiai kintamą: a = a = v/t ; v = v0 at ; ("+" – greitėjančiam judėjimui, "–" – lėtėjančiam judėjimui) t
t
0
0
s vdt v0 at )dt v0
at 2 ; 2
c) a = 0, an = const – tolyginį judėjimą apskritimu; d) a = const , an 0 – kreivaeigį tolygiai kintamą judėjimą.
Slenkamojo judėjimo dinamika. Niutono dėsniai Pirmasis Niutono dėsnis. Inercinė atskaitos sistema. I. Niutonas (17 - 18 a.) remdamasis G. Galilėjaus (16 - 17 a.) darbais, suformulavo dabar vadinamą pirmuoju Niutono dėsniu mechanikos dėsnį: kiekvienas materialusis taškas (kūnas) išlaiko rimties arba tolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną tol, kol kitų kūnų poveikiai nepriverčia ją pakeisti. Judėjimui palaikyti išorinė
jėga nereikalinga. Iki Galilėjaus buvo manoma priešingai. Kūnų savybė išlaikyti rimties arba tolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną, neveikiant pašalinėms jėgoms arba joms kompensuojantis vadinama inertiškumu. Tos atskaitos sistemos, kurių atžvilgiu kūnas, kompensuojantis išoriniams poveikiams, juda tiesiai ir tolygiai, vadinamos inercinėmis atskaitos sistemomis. Bet kokia kita atskaitos sistema, nejudanti arba judanti tiesiai ir tolygiai inercinės sistemos atžvilgiu, taip pat yra inercinė. Inercinėse atskaitos sistemose kiekvienas fizikos reiškinys vyksta vienodai. Tačiau inercinės sistemos sąvoka tėra mokslinė abstrakcija, nes visiškai nejudančių arba judančių tik tiesiai ir tolygiai kūnų nėra.
Galilėjaus reliatyvumo principas. Galilėjaus transformacijos. Remdamasis inercinėse atskaitos sistemose atliktų stebėjimų ir bandymų rezultatais, G.Galilėjus priėjo išvadą, kad mechaninių reiškinių atžvilgiu visos inercinės atskaitos sistemos
– 7 – yra lygiavertės, jose visi mechaniniai reiškiniai vyksta vienodai ir jokiu mechaniniu eksperimentu neįmanoma nustatyti, ar ta sistema juda, ar ne. Vėliau tai buvo pavadinta Galilėjaus reliatyvumo principu. Sakysime, turime dvi inercines atskaitos
sistemas xyz ir x 'y 'z ', kurių ašys bei koordinačių pradžios laiko momentu t=0 sutampa. Pirmoji sistema sąlyginai nejuda, antroji juda greičiu v0 = const Ox ašies teigiamąja kryptimi (3.1 pav.). Galilėjaus transformacijos – tai formulės, pagal kurias transformuojamos materialiojo taško koordinatės pereinant iš vienos koordinačių sistemos į kitą. Pats transformavimas remiasi prielaida: kiekvienu momentu ryšys tarp koordinačių ir laiko yra toks, koks jis būtų, jeigu sistemos viena kitos atžvilgiu nejudėtų. Klasikinėje mechanikoje laikas yra absoliutus, t.y. jo skaitinė vertė vienoda visose atskaitos sistemose. Todėl ir mūsų ' ' ' ,z . Jų tarpusavio ryšys atveju t=t '. Praėjus laikui t , nejudančioje sistemoje esančio taško koordinatės bus x, y, z, o judančioje x ,y
būtų toks : x = x'+ v0 t ; y = y'; z = z'; t = t '; x' = x-v0 t ; y' = y; z' = z; t ' = t.
arba
Skaliarines lygtis galima pakeisti viena vektorine: r r '00' r 'v0t ; t =t ';
r ' r v0t ; t ' = t.
arba
Užrašytosios formulės vadinamos Galilėjaus transformacijomis.
Klasikinis greičių sudėties dėsnis. Kūno (materialiojo taško) padėtis erdvėje visada nurodoma kurio nors kito kūno (atskaitos kūno) atžvilgiu. Tačiau atskaitos kūnu galime pasirinkti bet kurį kūną ir su juo susieti koordinačių sistemą. Aišku, kad to paties kūno koordinatės skirtingose koordinačių sistemose bus visiškai skirtingos. Taigi kūno padėtis reliatyvi: ji skirtinga įvairių atskaitos kūnų ir su jais susietų koordinačių sistemų atžvilgiu. Tačiau reliatyvi ne tik kūno padėtis, reliatyvus ir pats judėjimas. Panagrinėkime to
paties kūno (vėliavėlės) judėjimą atžvilgiu trijų atskaitos sistemų (3.2 pav.). Viena jų (2) sąlyginai nejuda, kitos dvi juda tiesiai ir tolygiai nejudančiosios atžvilgiu. Aiškiai matyti, kad vėliavėlės poslinkiai skirtingose atskaitos sistemose yra skirtingi. Skirtingi yra ir vėliavėlės greičiai. Materialiojo taško greitis nejudančios xyz sistemos (3.1 pav.) atžvilgiu d r d v v t r ' v0 v ' ; dt dt 0
čia v0 – taip vadinamas pernešimo greitis, v ' – materialiojo taško greitis judančios sistemos atžvilgiu. Iš šios formulės seka, kad
greitis yra reliatyvus, t.y. priklauso nuo atskaitos sistemos (3.2 pav.).
Jėgos ir masės sąvokos. Vienų kūnų poveikį kitiems, dėl kurio pasikeičia veikiamųjų kūnų greitis arba jie deformuojasi, vadiname mechaniniu. Mechaninio poveikio kiekybinis matas yra jėga (vektorinis dydis). Dažnai materialųjį tašką ar kūną
veikia vienu metu keletas jėgų F 1 , F 2 ,..., F n . Jeigu jų visų bendras poveikis toks, kaip ir vienos jėgos F , lygios atskirų jėgų geometrinei sumai:
F F 1 F 2
F n , tai pastaroji vadinama jėgų atstojamąja.
Materialiųjų kūnų inertiškumo kiekybinis matas yra masė. Skiriama inercinė ir gravitacinė masė. Masė, nusakanti inertiškumą, vadinama inercine, o susijusi su gravitacija – gravitacine mase. Šiuolaikinių matavimų tikslumu kūno inercinė ir gravitacinė masės yra lygios.
Impulsas (judesio kiekis). Materialiojo taško impulsas (arba judesio kiekis) yra vektorius, lygus jo masės ir greičio sandaugai:
p mv .
Materialųjį kūną įsivaizduodami kaip materialiųjų taškų visumą, jo impulsą išreiškiame formule:
N
p mi vi .
1
– 8 – Antrasis Niutono arba pagrindinis dinamikos dėsnis. Veikiamas jėgos (kelių jėgų atstojamosios) materialusis taškas įgyja pagreitį. Pagreitis yra tiesiogiai proporcingas jėgų atstojamajai ir atvirkščiai proporcingas taško masei, jei ta masė nekinta:
F d v m ma F , arba a . m dt
Bendruoju atveju antrasis Niutono dėsnis formuluojamas taip: materialiojo taško impulso kitimo sparta tiesiogiai proporcinga jį veikiančių jėgų atstojamajai : d p d mv F . dt dt
Paskutiniąją formulę galima užrašyti ir taip:
d mv F dt ,
t.y. materialiojo taško impulso elementarusis pokytis yra lygus jį veikančios jėgos elementariajam impulsui. Kai masė nekinta, kūno impulso pokytis yra lygus jį veikiančios jėgos impulsui:
mv F t .
SI jėgos vienetas (niutonas) yra tokia jėga, kuri veikdama 1 kg masės kūną suteikia jam 1 m/s2 pagreitį.
Trečiasis Niutono dėsnis. Du materialieji taškai veikia vienas kitą vienodo modulio priešingų krypčių jėgomis:
F 21 = F 12.
Šios jėgos viena kitos neatsveria, nes veikia skirtingus kūnus (3.3 pav.).
Mechaninės sistemos judėjimo dėsnis. Vidinės ir išorinės jėgos. Fizikoje materialiųjų taškų ar kūnų grupė vadinama mechanine sistema. Jėgos, kuriomis tie taškai ar kūnai veikia vienas kitą, vadinamos vidinėmis jėgomis. Jėgos, kuriomis
sistemos kūnus veikia į sistemą neįeinantys kūnai, vadinamos išorinėmis jėgomis. Iš trečiojo Niutono dėsnio seka, kad sistemos vidinių jėgų geometrinė suma lygi nuliui. Mechaninė sistema, kurios neveikia išorinės jėgos, vadinamauždarąja. Kietąjį kūną suprantame kaip materialiųjų taškų visumą, mechaninę sistemą – kaip materialiųjų taškų sistemą. Bendruoju
atveju tokios sistemos mi masės materialųjį tašką veikia vidinės ir išorinės jėgos. Pirmųjų atstojamają pažymėkime f i antrųjų –
F i . Kai greičiai nedideli (vi c ) ir taškų masės nekinta, antrąjį Niutono dėsnį užrašome taip: d 2 m r F i f i ; dt 2 i i
čia r i - i-tojo taško padėties vektorius. Mechaninei sistemai antrasis Niutono dėsnis atrodo taip:
N N d 2 m r F 1 dt 2 i i 1 i 1 f i . N
d 2 N mi r i Kadangi vidinių jėgų suma lygi nuliui, tai m 2 F . dt 1 m
N
m r Pažymėkime i i r C . r C reiškia tam tikro taško, vadinamo masių centru, padėties vektorių. Tuomet m 1
d 2 r m 2c maC F ; dt
d vC d 2r C d r 2 – masių centro pagreitis, o vC C – masių centro greitis. čia aC dt dt dt
Taigi mechaninės sistemos masių centras juda taip, kaip judėtų išorinių jėgų veikiamas materialusis taškas, kurio masė lygi
sistemos masei. Uždarosios sistemos išorinės jėgos neveikia ( F i 0 ), todėl ir aC 0 ir vC const , t.y. masės centras juda
tiesiai ir tolygiai arba yra rimties būsenoje. Todėl, pvz., sprogus minai, atskiros jos dalys lekia skirtingomis kryptimis, o masių centras nejuda.
– 9 – Impulso tvermės dėsnis. Impulso (judesio kiekio) tvermės dėsnis: uždarosios sistemos impulsas, sistemos viduje vykstant bet kokiems procesams, yra pastovus.
m v
i i
const ,
čia mi – į sistemą įeinančio i-ojo kūno masė, vi – jo greitis. Impulso tvermės dėsniu pagrįstas visų reaktyviųjų variklių darbas. Juose degant kurui susidaro didelio slėgio dujiniai degimo produktai. Dideliu greičiu besiveržiantys pro variklio išmetimo vamzdį – tūtą, jie turi didelį impulsą. Tokio pat modulio, tik priešingos krypties impulsą įgauna ir pats variklis, sujungtas su raketos korpusu. Raketos buvo žinomos jau senovės Kinijoje. XVII a. viduryje lietuvis K.Simonavičius pirmą kartą pasaulyje iškėlė daugiapakopių raketų idėją. 1969 m. amerikiečių raketa "Saturnas V" nugabeno du kosmonautus į Mėnulį. "Saturnas V" – 86 m aukščio 3-ų pakopų raketa. Pirmosios pakopos penki varikliai išvysto 32 MN traukos jėgą, kas sekundę sudegindami 14 t kuro. Degimo produktai iš tūtos išsiveržia apie 2,5 km/s greičiu. Kuras – žibalas, oksidatorius – skystas deguonis. Starto masė (su erdvėlaiviu) – 2824 t.
Kintamos masės kūnų dinamika. Iki šiol mes nagrinėjome kūnų judėjimą, kai jų masė judėjimo metu nekinta. Tačiau taip būna ne visada. Pavyzdžiui, raketoje esančio kuro degimo produktai išmetami iš raketos variklio tūtos, ir raketos masė, degant kurui, mažėja. Gamtoje taip pat dažnai sutinkami atvejai, kai kūno masė kinta laike: garuojant vandens lašui masė mažėja (dm/dt <0) arba kondensacijos metu didėja (dm/dt >0). Paveiksle (3.4a) parodyta sistema, kurios masė m, o masės centras juda greičiu v . Sistemos pradinis impulsas p0 mv .
Po tam tikro laiko dt dalis masės dm atsiskiria (3.4b pav.) ir juda greičiu v1 . Sistemos masė sumažėja, o greitis padidėja.
Dabar sistemos judesio kiekį sudaro dviejų kūnų judesio kiekių suma: p m dmv d v dmv1.
Nagrinėjamame pavyzdyje ženklai prie dm įvertina tai, kad masės pokytis dm < 0 . Apskaičiuojame sistemos kūnų impulso pokytį d p :
d p p p0 m dm v d v dmv1 mv md v v v1 dm dmd v.
Narys dmd v yra labai mažas, todėl jį galima atmesti. Lieka d p md v v v1 dm.
Taikome antrąjį Niutono dėsnį: d p md v v v1 dm . F dt dt
Lygtį pertvarkome: F dt md v v v1 dm md v udm. Atsiskyrusios dalies ir pagrindinio kūno greičių skirtumas
u v1 v vadinamas santykiniu (arba reliatyviuoju) greičiu. Tai atsiskiriančių dalelių greitis kūno atžvilgiu. Daliname abi
lygybės puses iš dt ir pertvarkome: d v dm m F u F F R ; dt dt
čia F R u
dm – vadinama reaktyvine jėga. dt
d v dm F . Taigi išmetant iš kūno dalį masės greičiu v1 , Jei pašalinės jėgos sistemos neveikia F 0 , tai m u dt dt R
atsiranda reaktyvinė jėga, verčianti kūną judėti į priešingą pusę.
– 10 –
3. Kietojo kūno sukamojo judėjimo kinematika ir dinamika Sukamojo judėjimo samprata. Skiriami du sukamojo judėjimo atvejai: sukimasis apie ašį ir sukimasis apie tašką (polių). Jeigu bent dviejų besisukančio kūno taškų greičiai lygūs nuliui, reiškia kūnas sukasi apie ašį, einančią per tuos taškus (Žemė ir kitos planetos, variklių velenai ir t.t.). Kūnas sukasi apie polių, kai nejuda tik vienas taškas, o visi kiti juda sferų paviršiais (giroskopas). Sukamasis judėjimas charakterizuojamas posūkio kampu, kampiniu greičiu ir kampiniu pagreičiu (kinematinės charakteristikos), inercijos bei judesio kiekio momentais ir kinetine energija (dinaminės charakteristikos).
Kampinis greitis ir pagreitis. Sukantis apie pastovią ašį materialiajam kūnui, visi jo taškai (nesantys ašyje) juda apskritimais plokštumose, statmenose sukimosi ašiai. Sakysime, taškas A brėžia spindulio R apskritimą (2.5 pav.). Posūkio kampo ir laiko tarpo, per kurį tašką A su sukimosi ašimi jungiantis spindulys pasisuko, santykis vadinamas vidutiniuoju kampiniu greičiu , o šio santykio riba – kampiniu greičiu:
d rad . , ir lim t 0 t t s dt
Kampinio greičio vektorius (2.6 pav.) nukreiptas išilgai sukimosi ašies (žiūrint vektoriaus
kryptimi, kūnas sukasi pagal laikrodžio rodyklę). Kūnui sukantis netolygiai, kampinis greitis kinta. Sakysime, dydžiu kampinis greitis pakito per laiko tarpą t. Santykį
rad t s 2
d vadiname vidutiniuoju kampiniu pagreičiu, o šio santykio ribą lim vadiname kampiniu pagreičiu.Kampinio t 0 t dt
pagreičio vektoriaus kryptis sutampa su kampinio greičio pokyčio d kryptimi.
Tolygiai kintamai besisukančio taško kampinis greitis ir posūkio kampas išreiškiami taip: 0
t ;
0t
t 2
2
.
Linijinio ir kampinio greičių ryšys. Per laiko tarpą t (2.5 pav.) taškas A nueina kelią s = R , todėl šio taško linijinio greičio modulis
s R d lim R lim R R . t 0 t t 0 t t 0 t dt
v lim
Matyti, kad besisukančio kūno visų taškų kampiniai greičiai vienodi, o linijiniai, jeigu skirtingi taškų atstumai nuo sukimosi ašies, nevienodi.
Normalinio ir tangentinio pagreičių modulių ryšys su kampinio greičio ir pagreičio moduliais : an
v2 R 2 ; R
a
dv d R d R R . dt dt dt
Sukamojo judėjimo dinamika Jėgos momentas taško ir ašies atžvilgiu. Jėgos momentas sukamajame judėjime atitinka jėgą
slenkamajame judėjime. Jėgos F i , veikiančios materialųjį tašką A, momentu laisvai pasirinkto taško O
atžvilgiu vadinamas vektorius M i , lygus spindulio vektoriaus r i ir jėgos F i vektorinei sandaugai (4.1 pav.):
M i r i F i .
M i = r F i i sin ( r i , F i ) = R F i i
– 11 –
Dydis Ri = r i sin ( r i , F i ), lygus trumpiausiam atstumui tarp taško O ir jėgos veikimo tiesės, vadinamas jėgos petimi taško O
atžvilgiu. Kietąjį kūną veikiančių išorinių jėgų atstojamasis momentas taško O atžvilgiu lygus kūno atskirus taškus veikiančių išorinių jėgų momentų geometrinei sumai, t. y. M M i .
Jėgos F i momentu ašies Oz atžvilgiu vadinamas skaliaras M zi , lygus jėgos momento M i bet kurio šios ašies taško O atžvilgiu projekcijai šioje ašyje (4.2 pav.):
M zi =( r i F i )z .
Kai jėgos veikimo tiesė yra lygiagreti ašiai arba ją kerta, jėgos momentas tos ašies atžvilgiu lygus 0 . Kelių kietąjį kūną veikiančių išorinių jėgų atstojamasis momentas lygus jėgų momentų algebrinei sumai, t. y. M z =
M
zi
. Šis dydis dar
vadinamas sukimo momentu. Jis yra išorinio poveikio, dėl kurio kinta besisukančio kūno kampinis greitis, matas.
Materialiojo taško inercijos momentas. Slenkamajame judesyje kūno inertiškumą nusako jo masė, o sukamajame judesyje, kaip rodo praktika, inertiškumas priklauso ne tik nuo masės, bet ir nuo to, kai p toli ji išdėstyta nuo sukimosi ašies. Čia inercijos matas yra inercijos momentas. Materialiojo taško inercijos momentas išreiškiamas kaip taško masės m ir atstumo R iki sukimosi ašies kvadrato sandauga: I z = mR2.
Jo matavimo vienetas yra kilogramas metras kvadratu (kg .m2). Kietojo kūno inercijos momentas lygus jį sudarančių materialiųjų taškų inercijos momentų sumai: I z = m1 R12 + m2 R22 +…..+mn Rn2 =
m R . 2 i i
Jeigu kūnas yra vientisas, jo inercijos momentą skaičiuojame taip: visą kūną padalijame į nykstamai mažo tūrio elementus dV , kurių kiekvieno masė dm= dV ir atstumas iki sukimosi ašies R, taigi inercijos momentas dI Z R2dm R 2dV .
Suintegravę lygybę visu kūno tūriu, gauname kūno inercijos momentą ašiesOz atžvilgiu: I Z R 2dV . V
Matome, kad inercijos momentas labai priklauso nuo ašies padėties ir visada yra nusakomas tam tikros ašies at žvilgiu, nagrinėjamu atveju – z ašies atžvilgiu. Simetriškų taisyklingos formos kūnų inercijos momentą nesunku apskaičiuoti, ypač kai sukimosi ašis yra simetrijos ašis ir eina per masės (inercijos, svorio) centrą. Cilindro centrinis inercijos momentas I c = mR2 , ritinio I rit =
2 1 1 mR2 , disko I d = mR2, rutulio I r = mR2. 5 2 2
Heigenso ir Šteinerio teorema. Apskaičiuosime inercijos momentą atžvilgiu ašies, neinančios per kūno masių centrą. Sakysime, yra dvi ašys : O1 z1 eina per masės m kūno masių centrą C , o kita, jai lygiagreti, ašis Oz eina atstumu l nuo pirmosios (4.4 pav.). Tuomet inercijos momentą ašies Oz atžvilgiu galima apskaičiuoti taip: I z = I c + ml 2 ,
čia I c – inercijos momentas atžvilgiu ašies, einančios per masės centrą. Gavome Heigenso ir Šteinerio teoremos matematinę išraišką: inercijos momentas bet kokios ašies Oz atžvilgiu lygus inercijos momentui atžvilgiu jai lygiagrečios einančios per masių centrą ašies O1 z1 plius materialiojo taško (kūno) masės ir atstumo tarp ašių kvadrato sandauga.
Impulso (judesio kiekio) momentas. Materialiojo taško impulso momentu taško O atžvilgiu vadinama materialiojo taško spindulio vektoriaus r i ir jo impulso pi mi vi vektorinė sandauga
Li r i mi vi .
(*)
– 12 –
Vektorius Li
statmenas vektorių r i ir pi
plokštumai (4.5 pav.), jo modulis
Li = r i mi vi sin ( r i vi ) . Kietojo kūno impulso momentas lygus jį sudarančių materialiųjų taškų
L Li .
impulsų momentų sumai:
Materialiojo taško impulso momentu ašies atžvilgiu vadinama impulso momento Li taško O atžvilgiu projekcija L zi per jį einančioje ašyje Oz: L zi r i mi vi z .
Jeigu ašis Oz yra kietojo kūno sukimosi ašis, taško ir kūno impulso momentai atitinkamai lygūs: L zi = Ri mi vi = I ziω . L z I zi I z .
Sukamojo judėjimo dinamikos pagrindinis dėsnis. Lygybę (*) diferencijuojame laiko atžvilgiu:
d Li d d r d r i mi vi i mi vi r i mi vi . dt dt dt dt
d r Šios lygybės dešiniosios pusės pirmasis narys lygus nuliui, nes i vi , o lygiagrečių vektorių vi ir mi vi vektorinė dt
sandauga lygi 0, o antrasis – F i (pagal antrąjį Niutono dėsnį), todėl
d Li r F M i , dt i i
čia M i - jėgų atstojamosios momentas taško O atžvilgiu. Sukantis apie tašką O kietajam kūnui, jo impulso momento išvestinė laiko atžvilgiu (arba impulso momento kitimo greitis) yra lygi išorinių jėgų atstojamajam momentui:
d L M . dt
Pastaroji formulė ir yra besisukančio kietojo kūno dinamikos pagrindinio dėsnio matematinė išraiška. Apie nejudamą ašį Oz besisukančio kūno dinamikos pagrindinio dėsnio matematinę išraišką gauname paskutiniąją formulę užrašę projekcijomis toje ašyje: dL z d M z arba I z M z . dt dt
Jei kūno inercijos momentas nekinta, tai žinant, kad d /dt , pagrindinį sukamojo judėjimo dinamikos dėsnį galima
perrašyti taip:
M z . I z
Impulso (judesio kiekio) momento tvermės dėsnis. Kūno impulso momentas sukimosi taško atžvilgiu nekinta, kai išorinių jėgų atstojamasis momentas tapatingai lygus nuliui:
d L 0 , tai L const . Jei dt
Kai kūnas sukasi apie nejudamą ašį Oz: dL z d I 0; Tuomet L z = ωI z = const. dt dt z
Besisukančio kūno kinetinė energija. Sakysime, apie nejudamą ašį Oz sukasi kietasis kūnas. Masės mi materialiojo taško, nutolusio nuo ašies atstumu Ri, kinetinė energija mi vi2 mi Ri 2 I zi 2 . W Ki 2 2 2
– 13 – 2
I z 2 Paties kietojo kūno kinetinė energija W k W ki I zi 2 , t.y. lygi inercijos momento ir kampinio greičio 2
kvadrato sandaugos pusei. Riedančio kūno kinetinė energija lygi slenkamojo ir sukamojo judėjimų kinetinių energijų sumai: mv2 I 2 . W k 2 2
4. Darbas, energija, gravitacinis laukas Mechaninis darbas. Energija yra universalus kiekybinis visų materijos judėjimo ir sąveikos formų matas. Fizikoje energija skirstoma į mechaninę (kinetinę ir potencinę ), vidinę, gravitacinę, elektromagnetinę ir kt. Energijos pokyčio matas yra darbas.
Materialųjį tašką veikiančios pastovios jėgos F darbas lygus tos jėgos ir materialiojo taško poslinkio vektoriaus
r skaliarinei sandaugai:
A F r .
Ši formulė tinka ir kietąjį kūną veikiančios jėgos darbui apskaičiuoti. Jeigu tiesiai judantį kūną tuo pat metu veikia kelios pastovios jėgos, suminis mechaninis darbas apskaičiuojamas taip: A Ai F i r r F i F r ;
čia F F i – veikiančių jėgų atstojamoji. Darbo vienetas SI vienetų sistemoje – dža ulis (1 Nm = 1 J).
Kintamosios jėgos darbas. Bendruoju atveju gali kisti kaip jėga (kryptis ir modulis), taip ir judėjimo trajektorija. Tokiu atveju darbui apskaičiuoti trajektoriją padalijame į elementariąsias atkarpėles, kurių ilgiai ds. Šiose atkarpose jėga praktiškai pastovi, o kelią ds atitinka elementarusis poslinkis d r , kurio modulis dr ds.
Elementarusis darbas atkarpoje dsi:
dAi = F d r i = F i - dr i - cos(F i;dr )=F i i dr i - cos i = F i - ds , i
čia F = Fcos - jėgos projekcija trajektorijos liestinės orto kryptyje (5.1 pav.).
Kintamosios jėgos darbas visame kelyje MN išreiškiamas taip: N
A F ds. M
Šiam kreiviniam integralui apskaičiuoti reikia žinoti jėgos F priklausomybę nuo s išilgai trajektorijos MN . Iš
paskutiniosios formulės seka, kad jėgos darbas yra teigiamas kai /2 (šiuo atveju jėgos dedamosios F kryptis sutampa su greičio vektoriaus v kryptimi). Jeigu > /2, darbas neigiamas, kai /2, darbas lygus nuliui.
Medžiagos dalelių sąveika ir jėgų laukas. Seniai pastebėta, kad vieno kūno mechaninis poveikis kitam gali būti perduotas ne tik jų kontakto metu, bet ir esant kūnams gana dideliais atstumais vienam nuo kito. Fizikos vystymosi eigoje nutolusių kūnų sąveika buvo aiškinama laikantis toliveikos, vėliau artiveikos požiūrio. Toliveikos požiūriu sąveika perduodama akimirksniu ir be tarpininko (A.Amperas, Š.Kulonas ir kt.). Artiveikos požiūriu (M.Faradėjus, Dž.Maksvelis) sąveika perduodama baigtiniu greičiu ir per tarpininką. Šis tarpininkas fizikoje vadinamas jėgų
lauku. Šiuolaikinės fizikos supratimu jėgų laukas realiai egzistuoja ir, kaip ir medžiaga, yra viena iš materijos formų. Betarpiškai per lauką perduodama šviesos greičiu makroskopinių kūnų arba dalelių sąveika.
Centrinių jėgų laukas. Lauko stipris. 1687m. I.Niutonas atrado visuotinės traukos arba gravitacijos dėsnį, kurio esmę išreiškia formulė F G
m m1 ; r 2
– 14 – čia m ir m1 – sąveikaujančių materialiųjų taškų masės, r – atstumas tarp jų, G – gravitacijos konstanta (G = 6,67.10-11 Nm2kg-2). Jeigu atskaitos tašku pasirinksime pirmąjį materialųjį tašką (koordinačių pradžia), o antrojo padėtį apibrėšime padėties vektoriumi r , gravitacijos dėsnis vektoriškai atrodys taip:
F G
m m1 r ; r 3
r čia - padėties vektoriaus ortas, jo kryptis priešinga jėgos F krypčiai. r
Su gravitacijos jėga susijęs kūno sunkis ( F s m g ), kuris arti Žemės paviršaus
apytiksliai lygus gravitacijos jėgai: m g G
m ž m r ; r 3
čia m Ž - Žemės masė, g - laisvojo kritimo pagreitis: g G
m ž r . r 3
Kaip matyti, laisvojo kritimo pagreitis nepriklauso nuo krentančio kūno masės. Pagal artiveikos teoriją, gravitacinis vieno kūno poveikis kitam perduodamas gravitacijos lauku. Jo šaltinis yra materialusis kūnas arba taškas. Masės m materialiojo taško sukurtojo lauko savybės:
a) šis laukas bet kur jame esančius masės mi materialiuosius taškus veikia atitinkamomis jėgomis F i , kurių tęsiniai susikerta vienam taške, vadinamame jėgų centru; b) gravitacijos jėgos modulis atvirkščiai proporcingas atstumo iki šio taško kvadratui. Bet koks šiomis savybėmis pasižymintis laukas vadinamas centrinių jėgų lauku (5.2 pav.). Bet koks jėgų laukas apibūdinamas lauko stiprumo vektoriumi. Gravitacijos lauko stipris tam tikrame taške moduliu ir
F E . m1
kryptimi lygus jėgai, veikiančiai vienetinės masės kūną :
E 0 , laukas vadinamas stacionariuoju, jei E yra vienodas visuose lauko taškuose, Jeigu vektorius E nekinta laike t
laukas vienalytis. Paskutiniąją formulę galima užrašyti kitaip:
E G E G
o gravitacijos lauko stiprio modulis
m r , r 3
m . r 2
Potencialinių jėgų darbas. Sakysime, kad masės m1 materialusis taškas, esantis m masės taško gravitacijos lauke, atlieka poslinkį d r (5.3 pav.) . Gravitacijos jėga atlieka darbą dA:
dA F d r G
m m1 mm d r cos G 2 1 dr , 2 r r
čia dr – padėties vektoriaus modulio pokytis. Gravitacijos jėgų darbas kelyje tarp taškų 1 ir 2 : r 2
1 1 dr G m M ; 2 r 2 r 1 r 1 r
A G m M
čia r 1 ir r 2 - materialiojo taško pradinę ir galinę padėtį nusakančių padėties vektorių moduliai. Matyti, kad gravitacijos jėgų darbas nepriklauso nuo trajektorijos formos ir kelio ilgio. Šia savybe pasižyminčios jėgos vadinamos potencialinėmis arba konservatyviosiomis. Perkeliant materialųjį tašką uždara trajektorija, potencialinės jėgos darbo neatlieka. Potencialinės jėgos – gravitacijos, elektrostatinės, tamprumo, nepotencialinės – trinties, klampumo.
– 15 – Kinetinė energija ir jos pokytis. Kūno kinetinė energija yra jo mechaninio judėjimo matas. Ji lygi darbui, kuris turi būti atliktas priverčiant kūną judėti.
Jeigu jėga F , veikdama nejudantį kūną, priverčia jį judėti greičiu v , ji atlieka darbą. Jėgos veikiamo kūno energija tuo
pačiu padidėja atliktojo darbo dydžiu: dA = dW k.
Pasinaudojame antrojo Niutono dėsnio skaliarine išraiška, padaugindami abi lygybės puses išds: F = m
Kadangi F .ds =dA, o
dv ds dt
F ds = m
dv ds. dt
ds = v, tai dA = mv.dv = dW k, dt v
mv 2 W k = mvdv = . 2 0
Taigi, m masės ir greičiu v judančio kūno kinetinė energija lygi masės ir greičio kvadrato sandaugos pusei.
Jeigu jėga F veikia judantį kūną, tai jos atliktas darbas lygus kūno kinetinės energijos pokyčiui: A = W k2 – W k = W k.
Energijos kiekį W k judantis kūnas gauna iš darbą atliekančių kūnų. Taigi, darbas A yra vieno kūno kitam perduodamo energijos kiekio matas.
Potencinė energija ir jos pokytis. Sakysime, materialusis kūnas yra potencialinių jėgų lauke. Jo padėtį bet kuriame lauko taške apibūdina tam tikra skaliarinė padėties funkcija W p ( r ) = W p ( x,y,z ). Šios funkcijos verčių skirtumas lygus lauko jėgų
darbui, kai materialusis kūnas perkeliamas iš taško 1 į tašką 2 : 2
A pot = F pot d r = W p1 – W p2 = – W p .
1
Dydis W p( r ) turi energijos dimensiją ir vadinamas materialiojo kūno potencine energija. Potencinės energijos nulinis
lygmuo pasirenkamas laisvai (juo dažnai būna Žemės paviršius). Tada į aukštį h pakelto kūno potencinė energija W p = mgh , o esančio h gylio duobėje W p = -mgh . *
*
Kūno potencinė energija lygi darbui, atliktam potencialinių jėgų, perkeliančių kūną į nulinį energijos lygį.
Tampriai deformuoto kūno potencinė energija. Potencinės energijos turi ne tik kūnai, esantys kitų kūnų potencialinių
jėgų lauke, bet ir tampriai deformuoti kūnai. Pagal Huko dėsnį, taip deformuotame kūne atsiradusi tamprumo jėga F t tiesiogiai proporcinga deformacijos didumui (F t = ks). Tamprumo koeficientas k , priklausantis nuo kūno medžiagos ir formos, skaitine verte lygus tokiai tamprumo jėgai, kuri atsirastų vienu ilgio vienetu deformuotame kūne. Nustojus veikti deformuojančiai jėgai, tamprumo jėgos deformaciją s panaikintų, atlikdamos darbą s
s
0
0
A F t ds ksds
ks 2 . 2
Jei nedeformuoto kūno W p0 = 0, tai tampriai deformuoto kūno W p = A =
ks 2 . 2
Energijos tvermės ir virsmų dėsnis. Mechaninės energijos tvermės dėsnis. Sakysime, materialųjį tašką veikia
potencialinių ir nepotencialinių jėgų atstojamosios F p ir F np . Šių jėgų veikiamas taškas pasislenka iš padėties 1 į padėtį 2, o jėgos atlieka darbą, lygų kinetinės energijos pokyčiui: A p + Anp = W k2 _ W k1 .
Žinome, kad potencialinių jėgų atliktas darbas lygus potencinių energijų skirtumui: A p = W p1 _ W p2.
Iš dviejų paskutiniųjų formulių gauname :
– 16 – W p1 _ W p2 + Anp = W k2 _ W k1 ,
(W k2 + W p2) _ (W k1 + W p1) = Anp . W k1 + W p1 = W 1 ; W k2 + W p2 = W 2 ;
čia W 1 ir W 2 _ materialiojo taško pilnutinė mechaninė energija padėtyse 1 ir 2. Materialiojo taško pilnutinės mechaninės energijos pokytis yra lygus nepotencialinių jėgų atliktam darbui. Jei materialųjį tašką veikia tik potencialinės jėgos, W 2 _ W 1 = 0 arba W 2 = W 1 = const ,
t.y. jo mechaninė energija nekinta. Žinoma, tiek potencinė, tiek kinetinė energija pakinta, tačiau vienos padidėjimas lygus kitos sumažėjiimui, todėl pilnutinė mechaaninė energija lieka pastovi. Uždarąją sistemą sudaro visuma materialiųjų taškų, tarp kurių veikia ti k potencialinės jėgos, todėl, analogiškai kaip ir vieno materialiojo taško, sistemos mechaninė energija nekinta. Tai ir yra mechaninės energijos tvermės dėsnis.
Energijos tvermės ir virsmų dėsnis. Mechaninėje kūnų sistemoje be potencialinių gali veikti ir nepotencialinės jėgos, pvz., trinties, dėl ko mechaninė energija virsta kitų rūšių, pvz., vidine energija. Eksperimentiškai nustatyta, kad, vykstant įvairiems gamtos procesams, vienos rūšies energija virsta kitos rūšies energija, o energijos nuostolių nėra. Apibendrinus eksperimentų rezultatus ir buvo suformuluotas energijos tvermės ir virsmų dėsnis: vykstant bet kokiems procesams izoliuotoje materialioje sistemoje, pilnutinė sistemos energija nekinta. Vienos materijos judėjimo formos gali virsti kitomis, bet pats materijos judėjimas yra amžinas kaip ir pati materija.
5. Mechaniniai svyravimai, bangos ir akustikos elementai Svyravimų klasifikavimas. Svyravimu vadinamas judėjimas, pasikartojantis bėgant laikui. Svyruojantis kūnas arba kūnų visuma vadinama svyravimų sistema. Tokios sistemos pavyzdys yra tampri spyruoklė su prie jos pritvirtintu masės m rutuliuku.
Sistemai nukrypus nuo pusiausvyros padėties, atsiranda tamprumo jėga F 1 , grąžinanti ją į pusiausvyros padėtį. Ši jėga ir kūno inertiškumas ir yra svyravimo priežastis (8.1 pav.).
Svyravimų sistemą be jėgos F 1 gali veikti aplinkos pasipriešinimo (trinties)
jėga F 2 (jos kryptis visada priešinga svyruojančio kūno greičio krypčiai), gali
veikti ir svyravimus skatinanti jėga F 3 ("priverstinė jėga"). Tokiu būdu svyravimų sistemos dinamikos pagrindinis dėsnis (II Niutono dėsnis) projekcijomis Os ašyje atrodo taip: d 2 s F s F 1 s F 2 s F 3 s . m dt 2 m
Priklausomai nuo šių jėgų, skiriami :
a) savieji svyravimai (veikia tik jėga F 1 );
b) laisvieji svyravimai (veikia jėgos F 1 ir F 2 );
c) priverstiniai svyravimai (veikia F 1 , F 2 ir F 3 ).
Harmoniniai svyravimai. Harmoniniu vadinamas svyravimas, vykstantis veikiant grąžinančiajai jėgai F 1 , tiesiogiai proporcingai kūno poslinkiui nuo pusiausvyros padėties (8.1 pav.). Šio svyravimo judėjimo lygtis tokia: d 2 s F 1 s k s, m m dt 2
čia k - spyruoklės tamprumo koeficientas arba standumas, skaitine verte lygus spyruoklėje atsiradusiai tamprumo jėgai, pastarąją deformavus ilgio vienetu. Jis priklauso nuo spyruoklės medžiagos ir jos geometrijos. Minuso ženklas rodo, kad tamprumo jėgos kryptis priešinga deformacijos krypčiai.
– 17 – d 2 s 02 s 0. 2 dt
k Pažymime 02 ir perrašome lygtį: m
Ši formulė yra laisvųjų harmoninių svyravimų diferencialinė lygtis (tiesinė, nes svyravimų parametrai k ir m nekinta). Harmoningai svyruojanti tiesinė sistema dar vadinama tiesiniu harmoniniu osciliatoriumi. Svyravimų lygtį tenkinanti funkcija s sm cos 0t 0
vadinama jos sprendiniu. Svyravimų lygties sprendinį galima užrašyti ir kompleksine forma: s~ s cos( t ) i sin( t ); m
0
0
0
0
čia i 1 yra menamas vienetas. Panaudojus Oilerio formulę cos i sin e i , kompleksinį sprendinį užrašome eksponentine funkcija: s~ sm e i ( 0t 0 ) .
Dydis sm – didžiausias nuokrypis nuo pusiausvyros padėties, vadinamas svyravimų amplitude; kosinuso funkcijos argumentas 0t 0 – svyravimų fazė (matuojama kampo vienetais). Fazė laiko momentu t=0, t.y. 0 vadinama pradine faze. Jos skaitinė vertė priklauso nuo pasirinktos laiko atskaitos pradžios. Vieno pilno svyravimo trukmė vadinama savuoju periodu (T 0), o svyravimų skaičius per laiko vienetą - savuoju svyravimų dažniu f 0 f 0
1 1 ; T 0 . T 0 f 0
Svyravimų skaičius per 2 sekundžių vadinamas savuoju cikliniu dažniu 0 :
0 2 f 0
k . m
Harmoningai svyruojančio kūno greičio projekcija Os ašyje: v s
ds d s m cos 0 t 0 s m 0 sin 0t 0 vm cos 0 t 0 , 2 dt dt
čia sm 0 vm - greičio amplitudė. Pagreičio projekcija
a s
dv s d sm 0 sin 0t 0 sm 02 cos 0t 0 am cos 0 t 0 , dt dt
čia 02 sm am - pagreičio amplitudė. Kadangi dydžiai s, v s , a s kinta sinuso arba kosinuso dėsniu, harmoniniai svyravimai dar vadinami sinusiniais arba kosinusiniais. Poslinkio, greičio ir pagreičio projekcijų grafikai pateikti 8.2 paveikslėlyje. Harmoninio osciliatoriaus kinetinė energija W k t
mv 2 msm2 02 2 sin 0 t 0 , 2 2
o potencinė energija W p t
ks 2 m 02 sm2 cos 2 0 t 0 . 2 2
Matyti, kad šių energijų maksimalios vertės lygios, o fazės priešingos, kad tiek W p , tiek W k periodiškai kinta. Harmoninio osciliatoriaus pilnutinė mechaninė energija W W k t W p t
m 02 s m2 ksm2 . 2 2
Fizinė svyruoklė. Matematinė svyruoklė. Fizine svyruokle vadinamas bet koks kietasis kūnas,
– 18 – galintis svyruoti apie nejudamą horizontalią ašį gravitacijos lauke (8.3 pav.). Tokios svyruoklės nukrypimas nuo pastoviosios
pusiausvyros padėties OA apibūdinamas nuokrypio kampu φ. Svyruoklei nukrypus į dešinę, φ laikomas teigiamu, nukrypus į
kairę – neigiamu. Svyravimai vyksta veikiant sunkio jėgos m g dedamajai F 1 , kurios modulis F 1 m g sin . F 1 vadinama
grąžinančiąja jėga. Kai nuokrypiai yra maži (sin φ ≈ φ), tuomet grąžinančioji jėga tiesiog proporcinga nuokrypiui nuo
pusiausvyros padėties ( F 1 m g ). Jos momentas svyravimų ašies atžvilgiu M F 1 L m g L ;
(1)
čia L - grąžinančios jėgos petys. Minuso ženklas rašomas grąžinančios jėgos projekcijos F 1 suderinimui su nuokrypio kampo φ ženklu. Mažais kampais svyruojančiai svyruoklei pritaikius sukamojo judėjimo dinamikos pagrindinį dėsnį M I z ,
gaunama tokia jos svyravimus aprašanti diferencialinė lygtis d
2
2
d t
čia
d
2
2
d t
m g L , I z
d
arba
2
m g L 2
d t
I z
0 ;
(2)
– svyruoklės kampinis pagreitis, o I z – jos inercijos momentas svyravimo ašies Oz, statmenos brėžinio plokštumai,
atžvilgiu. Iš (2) išplaukia tokia fizinės svyruoklės savojo ciklinio dažnio išraiška T
2 0
2
0
m g L . I z
(3)
I z . m g L
(4)
Masės m ilgio L matematinės svyruoklės inercijos momentas I z m L2 , todėl iš (4) jos svyravimų periodas T 2
L . g
(5)
Pabrėžtina, kad (3), (4) ir (5) formulės teisingos tik mažiems svyravimų kampams (kai sin φ ≈ φ).
Vienos krypties svyravimų sudėtis. Kartais tas pats kūnas atlieka kelis svyravimus išilgai tos pačios tiesės. Atstojamąjį svyruojamąjį judėjimą patogu atvaizduoti amplitudžių vektorių metodu. Tam tikslui svyravimas, kurio lygties sprendinys yra s s m cos 0 t 0 ,
atvaizduojamas
grafiškai
amplitudės
vektoriumi. Amplitudės vektorius sm atidedamas kampu 0 ašies
Os atžvilgiu: teigiamieji kampai atidedami prieš, neigiamieji – pagal
laikrodžio rodyklę. Jeigu vektorių sm pastoviu kampiniu greičiu, lygiu savajam cikliniam dažniui 0 , suktume prieš laikrodžio
rodyklę, jo projekcija ašyje Os kistų būtent harmoniniu dėsniu s s m cos 0t 0 . Sakykime, kūnas tuo pat metu dalyvauja dviejuose svyravimuose, aprašomuose lygtimis s1 s m1 cos 0t 01 ir s 2 sm 2 cos 0t 02 .Braižome
vektorinę
diagramą
(8.4
pav.).
Atstojamasis
svyravimas
aprašomas
lygtimi
s s1 s 2 s m cos( 0 t 0 ). Jo amplitudė, remiantis kosinusų teorema s m s m2 1 s m2 2 2 sm1 s m 2 cos ,
čia ( 02 01 ) . Pažymėję 02 01 , lygtį galime perrašyti taip: s m s m2 1 s m2 2 2 s m1 sm 2 cos .
Du svyravimai, kurių fazių skirtumas lygus 0 arba kartotinis 2 , vadinami sinfaziniais, jei arba kartotinis nelyginiam skaičiui , tokie svyravimai vadinami priešingų fazių svyravimais.
– 19 – Atstojamojo svyravimo pradinė fazė apskaičiuojama pagal formulę: tg 0
sm1 sin 01 s m 2 sin 02 . sm1 cos 01 s m 2 cos 02
Jeigu sudedami skirtingų dažnių svyravimai, atstojamojo amplitudės vektoriaus modulis s m ir jo sukimosi greitis laikui bėgant kinta, nes vektoriai sm1 ir sm 2 sukasi skirtingais kampiniais greičiais. Atstojamasis svyravimas šiuo atveju nėra harmoninis (8.5 pav.). Sudėkime mažai besiskiriančių dažnių 1 ir 2 vienodų amplitudžių sm1 = sm 2 = sm svyravimus: s1 sm cos 1t ; s 2 s m cos 2 t . s s1 s 2 s m (cos 1t cos 2 t ) 2 sm cos
2
1 t cos 2 1 t . 2 2
Pirmasis kosinusas kinta lėtai, todėl dydį 2 s m cos
2 1
2
t galima laikyti
1 , amplitude. Toks amplitudės kitimas 2 vadinamas mušimais (8.6 pav.). Laikas tarp dviejų gretimų amplitudės minimumų svyravimo, vykstančio dažniu
2
vadinamas mušimų periodu T m .
Statmenų harmoninių svyravimų sudėtis. Lisažu figūros. Pirmasis statmenų svyravimų sudėtį aprašė Ž.Lisažu, todėl dviem statmenomis kryptimis svyruojančio materialiojo taško atstojamojo svyravimo trajektorijos vadinamos Lisažu figūromis. Sakykime, materialusis taškas M tuo pačiu metu vienodu dažniu 0 svyruoja išilgai ašių Ox ir Oy . Jo nuokrypiai kinta taip: x xm cos 0t 01 ; y y m cos 0t 02 .
Nuokrypių lygtis pertvarkome taip: x cos 01 cos 0 t sin 01 sin 0t ; xm y cos 02 cos 0t sin 02 sin 0 t . y m
(6) (7)
Iš (6) ir (7) lygčių sistemos eliminuojame laiką, kad gautume trajektorijos lygtį: x 2 y 2 xy cos 01 02 sin 2 01 02 . 2 2 2 xm y m x m y m
(8)
(8) lygtis – elipsės lygtis. Taigi, sudėję statmenus vienodo dažnio svyravimus, gavome judėjimą elipse (8.7 pav.). Bendruoju atveju, sudėjus skirtingų dažnių harmoninius svyravimus, atstojamojo judėjimo trajektorija yra nuolat kintanti sudėtinga kreivė, kurią patogu stebėti oscilografo ekrane.
Slopinamųjų svyravimų diferencialinė lygtis ir jos sprendinys. Jeigu svyravimai vyksta klampioje aplinkoje, be
grąžinančios jėgos F 1 svyruojantį kūną dar veikia klampos jėga F 2 , mažinanti svyravimų energiją, kitaip sakant, slopinanti svyravimą. Kai svyruojančio kūno greitis nedidelis, ši jėga tiesiogiai proporcinga greičiui. Jos projekcija ašyje Os : F 2 s v
ds , dt
čia - proporcingumo koeficientas, vadinamas aplinkos pasipriešinimo koeficientu. Antrasis Niutono dėsnis tokiems svyravimams užrašomas taip:
– 20 – d 2 s F 1 s F 2 s ds k s . 2 m m dt m dt
Pažymėję
m
2 , lygtį perrašome: d 2 s ds 2 02 s 0 , 2 dt dt
čia dydis
vadinamas slopinimo koeficientu. Užrašytoji diferencialinė lygtis yra
2m
tiesinė, nes m, k , , 0 , laikui bėgant nekinta. Šios lygties dalinis sprendinys yra funkcija s s0 e t cos t 0 ,
čia ciklinis slopinamųjų svyravimų dažnis 02 2 , o dydis s 0e t nusako amplitudės kitimą (mažėjimą) (8.8 pav.). Kadangi amplitudė mažėja, tokie svyravimai nėra nei harmoniniai, nei periodiniai. Kaip matyti, jų dažnis mažesnis už savųjų svyravimų dažnį 0 (veikiant klampos ar trinties jėgoms, mažėja greitis). Esant pakankamai klampai ar trinčiai, svyravimai gali ir nevykti. Ribinė slopinimo koeficiento vertė rib 0 (šiuo atveju svyravimas vadinamas aperiodiniu (8.9 pav.). Dviejų gretimų amplitudžių santykis vadinamas slopinimo dekrementu: s m,k s e t 1 0 t 1 T e T , sm,k 1 s0 e
o jo natūrinis logaritmas – logaritminiu slopinimo dekrementu :
ln
s m,k ln e t t . s m,k 1
Logaritminis slopinimo dekrementas savo skaitine verte atvirkščias skaičiui periodų per kuriuos amplitudė sumažėja e kartų.
Priverstinių svyravimų diferencialinė lygtis ir jos sprendinys. Rezonansas. Jeigu svyravimų sistemą veikia visos trys
anksčiau paminėtos jėgos – grąžinanti F 1 , pasipriešinimo F 2 ir periodiškai kintanti priverstinė F 3 , svyravimai vadinami priverstiniais. Sakykime, kad priverstinė jėga kinta kosinuso dėsniu, t.y. harmoningai:
F 3 F m cos t .
Antrasis Niutono dėsnis priverstiniams svyravimams atrodo taip: d 2 s F 1 s F 2 s F 3 s k ds F s cos t . m m m dt m dt 2
Pasinaudodami anksčiau įvestais pažymėjimais lygtį pertvarkome: d 2 s ds 2 02 s F 0 cos t , 2 dt dt
čia F 0
F m priverstinės jėgos redukuotoji amplitudė, t.y. jėgos amplitudės dalis, tenkanti svyravimų sistemos masės vienetui. m
Paskutinioji lygtis yra nehomogeninė. Iš diferencialinių lygčių teorijos žinoma, kad tokios lygties sprendinys yra slopinamųjų svyravimų homogeninės lygties bendrojo ir nehomogeninės lygties dalinio sprendinio suma. Pastarasis išreiškiamas taip: s s m cost 0 .
Šiuo atveju svyravimų amplitudė gaunama tokia:
– 21 – s m
F 0
02
2 2
, 2
4
2
o priverstinės jėgos bei nuokrypio fazių skirtumas tg 0
2 . 2
2 0
Taigi nusistovėjęs priverstinis svyravimas yra priverstinės jėgos dažniu vykstantis harmoninis svyravimas.
Rezonansas. Pasinaudojame priverstinių svyravimų amplitudės išraiška ir nubraižome funkcijos s m f grafikus – taip vadinamas rezonansines kreives (8.10 pav.). Matyti, kad priverstinio svyravimo amplitudė priklauso nuo priverstinės jėgos dažnio. Esant tam tikram dažniui, svyravimo amplitudė didžiausia. Reiškinys, kai priverstinių svyravimų amplitudė padidėja iki didžiausios vertės, vadinamas rezonansu, o jį atitinkantis priverstinės jėgos dažnis – rezonansiniu dažniu rez . Šis dažnis atitinka nuokrypio amplitudės išraiškos vardiklio minimumą. Pošaknio ekstremumuose pirmoji jo išvestinė atžvilgiu lygi nuliui:
4 02 2 8 2 0; 1 0; 2
02
2 2 ; 3
02 2 2 ;
Sprendinys 1 0 atitinka vardiklio maksimumą, 3 neturi fizikinės prasmės kaip neigiamas dažnis. Belieka tik 2 :
2 rez
02
2 2 .
Esant nežymiam slopinimui ( 0 ), rez 0 , kitais atvejais 0 . Priverstinių svyravimų amplitudė rezonanso metu:
s mrez
F 0 2
2 0
Matyti, kad kai 0, s mrez . Kai slopinimas didelis, t.y.
2
.
0
2
, rezonanso negaunama.
Tampriosios bangos. Skersinės ir išilginės bangos. Trikdymo sklidimas tampria terpe vadinamas bangavimu. Tampri terpė yra tokia, kurioje, išnykus išoriniams poveikiams, išnyksta ir jų sukeltos deformacijos. Sklindant bangai, vienų terpės dalelių svyravimai ir svyravimo energija perduodama kitoms, tačiau pačios dalelės nepasislenka. Paslenkant tamprios terpės (pvz., stygos) dalelių sluoksnius lygiagrečiai vienus kitiems, gaunama šlyties deformacija. Jeigu tai atliekama periodiškai, terpės dalelės, verčiamos grąžinančių tamprumo jėgų, ima virpėti apie pusiausvyros padėtį. Dėl dalelių tarpusavio traukos jėgų svyravimai sklinda terpe. Tokia banga vadinama skersine (terpės dalelės svyruoja statmenai bangos sklidimo krypčiai, žiūr. 8.11 pav.). Tamprią terpę periodiškai tempiant arba gniuždant (dujas slegiant), terpė periodiškai tai retėja, tai tankėja. Veikiami priverstinės bei tarpusavio traukos ir stūmos jėgų terpės sluoksniai periodiškai juda priešingomis kryptimis, t.y. virpa, o virpesiai sklinda terpe. Tokios bangos, kai terpės dalelės virpa išilgai bangos sklidimo krypties, vadinamos išilginėmis (žiūr.8.12 pav.). Išilginės bangos sklinda kietaisiais kūnais, skysčiais ir dujomis, skersinės – kietaisiais kūnais ir skysčių paviršiumi. Bangos, sklindančios nykstamai mažo storio strypais arba stygomis, vadinamos vienmatėmis, sklindančios erdve – erdvinėmis, kūno paviršiumi – paviršinėmis. Pagrindiniai bangos parametrai yra bangos ilgis ir bangos periodas T . Bangos
– 22 – ilgis – tai trumpiausias atstumas tarp dviejų dalelių, virpančių ta pačia faze. Bangos periodas T – tai laikas, per kurį aplinkos dalelė atlieka vieną pilną svyravimą. Per šį laiką, t.y. periodą, banga nusklinda atstumą, lygų bangos ilgiui: u T ;
čia u – bangos sklidimo greitis. Dydis
1 f vadinamas bangos dažniu. T
Vienmatės ir sferinės bangos lygtys. Sakykime, kad plonas ir ilgas strypas orientuotas išilgai Ox ašies., o strypo dalelė A, kurios koordinatė x = 0, harmoningai virpinama (8.13 pav.). Dalelės virpesiai, aprašomi lygtimi s A s m cos t o , perduodami kitoms dalelėms, t.y. sklinda strypu greičiu u. Nustatysime dalelės B, kurios koordinatė x, nuokrypį s B . Šios dalelės virpesiai vėluos dalelės A virpesių atžvilgiu laiko tarpu
x . Laiko momentu t dalelės B virpesių fazė bus tokia, kokia buvo A dalelės virpesių fazė laiko u x t t t . u
momentu
x s B s m cos t 0 sm cos t 0 s m cos t kx 0 ; u čia k
u
2
()
– ciklinis bangos skaičius, skaitine verte lygus 2 ilgio atkarpoje telpančių bangos ilgių skaičiui. Vektorius k
(jo kryptis sutampa su bangos sklidimo kryptimi) vadinamas bangos vektoriumi. ( ) lygtis vadinama vienmatės bangos lygtimi. Pagal ją gali būti apskaičiuotas bet kurios strypo dalelės nuokrypis bet kuriuo laiko momentu t . Bangos fazė t kx 0 priklauso ir nuo laiko, ir nuo koordinatės. Vienalytėje ir izotropinėje terpėje harmoningai virpantis mažų matmenų šaltinis skleidžia sferines bangas. Tokių bangų paviršiai (geometrinė vieta taškų, virpančių vienoda faze) yra koncentrinės sferos. Terpės dalelių, esančių atstumur nuo virpesių šaltinio, virpesių fazė t kr 0 . Sferinės bangos amplitudė, tolstant nuo virpesių šaltinio, mažėja atvirkščiai proporcingai atstumui, nes didėja sferinės bangos fronto plotas ir bangos energija pasiskirsto vis didesniame tūryje. Sferinės bangos lygtis užrašoma taip: s
s0 cos t kr 0 ; r
čia s0 - bangos amplitudė vienetiniu atstumu nuo šaltinio. Vienmatės bangos fazė t kx 0 yra koordinatės ir laiko funkcija. Virpančios dalelės, kurios koordinatė x , svyravimų fazė konkrečiu laiko momentu yra apibrėžta. Laikui bėgant šią apibrėžtą fazę bei ją atitinkantį nuokrypį įgauna vis kitos terpės dalelės, t.y. apibrėžtoji fazė sklinda. Greitis, kuriuo sklinda fazė, vadinama faziniu greičiu. Jis priklauso nuo terpės tamprumo ir tankio.
Bangos energija. Sakykime, tankio terpe sklinda plokščioji banga (jos lygtis tokia pati kaip ir vienmatės bangos). Virpa kiekviena terpės dalelė, todėl terpės elementariajame tūryje dV esanti elementarioji masė dm dV turi kinetinės energijos: 2
dmv 2 dm ds dV 2 s m2 sin 2 t kx 0 . dW K 2 2 dt 2
Kadangi bangos sklidimas neįmanomas be deformacijos, deformuota terpė turi ir potencinės energijos. Virpančios elementariosios masės dm potencinė energija lygi jos kinetinei energijai ir kinta tuo pačiu dėsniu. Pilnutinė masėsdm mechaninė energija dW dW K dW p 2dW K dV 2 sm2 sin 2 t kx 0 .
Terpės, kuria sklinda banga, tūrio vieneto energija arba energijos tūrinis tankis:
– 23 – w
dW 2 s m2 sin 2 t kx 0 , dV
o bangos energijos vidutinis tūrinis tankis 1 w 2 s m2 , 2
nes sinuso funkcijos kvadrato vidurkis lygus 1/2.
Bangų interferencija. Bangų interferencija vadinama koherentinių bangų sudėtis. Bangos vadinamos koherentinėmis, jeigu jų pasiektame erdvės taške bangų fazių skirtumas yra pastovus, o virpesių kryptys nėra statmenos. Koherentines bangas skleidžia koherentiniai šaltiniai. Sakykime, vienalyte ir izotropine terpe iš šaltinių Š 1 ir Š 2 sklinda dvi harmoninės bangos. Šių bangų pradinės fazės ir dažniai skiriasi, tačiau virpesių kryptys yra lygiagrečios. Taške P , nutolusiame nuo šaltinių atstumais r 1 ir r 2, bangos persidengia ir susideda (8.14 pav.). Jų lygtys: s1 sm1 cos 1t k 1r 1 01 ; s 2 s m 2 cos 2 t k 2 r 2 02 .
Atstojamojo svyravimo taške P amplitudė s m s m2 1 s m2 2 2 s m1 s m 2 cos 2 1 ,
( )
čia 2 1 – virpesių fazių skirtumas: 2
1 2 1 t k 2 r 2 k 1r 1 02 01.
Iš pastarosios formulės seka, kad, jei bangų cikliniai dažniai vienodi arba labai artimi 1 2 , fazių skirtumas yra pastovus (nuo laiko nepriklauso) ir bangos yra koherentinės. Jeigu bangos sklinda ta pačia terpe, cikliniai bangų skaičiai yra vienodi k 1 k 2 k , todėl bangų fazių skirtumas taške P priklauso tik nuo taško atstumų iki šaltinių Š 1 ir Š 2 ir pradinių fazių skirtumo. Iš ( ) seka, kad didžiausia atstojamojo svyravimo amplitudė, t.y. interferencijos maksimumas bus tuose terpės taškuose, kuriuose bangų fazių skirtumas kartotinis lyginiam : 2
1 2m , (čia m = 0, 1, 2, ...)
Atstojamojo svyravimo amplitudė bus minimali arba išvis lygi nuliui (jei sm1 = s m2) tuose terpės taškuose, kuriuose bangų fazių skirtumas kartotinis nelyginiam : 2
1 2m 1 , (čia m = 0, 1, 2, ...)
Tuose terpės taškuose, kuriuose fazių skirtumo vertės bus tarpinės, tarpinės bus ir amplitudžių vertės. Jeigu interferuojančių bangų pradinės fazės vienodos, t.y. 02 01 , interferencijos maksimumo ir minimumo sąlygas patogu išreikšti bangų nueitų kelių skirtumu. Jei tas skirtumas lygus lyginiam pusbangių skaičiui, gaunamas interferencijos maksimumas, jei nelyginiam – minimumas:
max: r 1 r 2 2m , (čia m = 0, 1, 2, ...), 2
min: r 1 r 2 2m 1 , (čia m = 0, 1, 2, ...). 2 Užsiklodamos susideda ir nekoherentinės bangos, tačiau jų atstojamojo svyravimo amplitudė gana sparčiai kinta, todėl stebėti ar matuoti galime tik vidutinę jos vertę, o atstojamojo svyravimo amplitudės kvadrato vidurkis visuose erdvės taškuose lygus interferuojančių bangų amplitudžių kvadratų sumai ( žiūr. ), nes funkcijos cos 2 1 vidurkis lygus nuliui: s m2 s m2 1 s m2 2 .
Stovinčioji banga. Stovinčioji banga yra vienodų amplitudžių koherentinių bangų, sklindančių priešpriešiais, interferencijos rezultatas:
– 24 – s1 s m cos t kx ; s 2 s m cos t kx ; s s1 s 2 s m cos t kx cos t kx 2 sm cos t cos kx 2 s m cos kx cos t .
Stovinčioji banga – tai dažniu ir amplitude 2 s m cos kx vykstantys harmoniniai virpesiai. Virpesių amplitudė priklauso nuo nagrinėjamojo taško koordinatės x. Virpesių amplitudė yra didžiausia (2sm) taškuose, kur
kx 2m , (čia m = 0, 1, 2, ...), 2
o mažiausia (lygi nuliui), kur
kx 2m 1 , (čia m = 0, 1, 2, ...). 2
Pirmieji vadinami stovinčiosios bangos pūpsniais, antrieji – mazgais. Iš paskutiniųjų lygčių galima apskaičiuoti pūpsnių ir mazgų koordinates. Bėgančioje bangoje visi terpės taškai virpa vienoda amplitude, bet vėluodami faze (fazė priklauso nuo koordinatės x ). Visi terpės taškai tarp gretimų stovinčiosios bangos mazgų virpa ta pačia faze, bet skirtingomis amplitudėmis. Virpesių fazės abiejose mazgo pusėse skiriasi dydžiu , t.y. yra priešingos. Stovinčiosios
bangos
paprastai
gaunamos
susidėjus
bėgančiajai
ir
atsispindėjusiajai nuo dviejų terpių skiriamosios ribos bangoms. Jei antroji terpė tankesnė, atsispindėdama banga keičia fazę į priešingą, ir atspindžio taške būtinai yra mazgas (8.15 pav.). Jei banga atsispindi nuo retesnės terpės, fazė nesikeičia, ir atspindžio taške gaunamas pūpsnys (8.16 pav.). Stovinčioji banga energijos neperneša.
Garso bangos ir jų pagrindinės charakteristikos. Tampriosios bangos, kurių virpesių dažnis apytikriai yra nuo 16 iki 20000 Hz, pasiekusios žmogaus ausį, sukelia garso pojūtį. Tokios bangos vadinamos garso bangomis arba tiesiog garsu. Fizikos dalis, nagrinėjanti garso bangas, vadinama akustika. Ji nagrinėja garso susidarymą, sklidimą ir priėmimą. Tampriosios bangos, kurių dažniai mažesni už 16 Hz, vadinamos infragarsu, kurių didesni už 20 kHz – ultragarsu. Nei infragarsų, nei ultragarsų žmogaus ausis negirdi. Garsas charakterizuojamas intensyvumu (garso stipriu), tono aukščiu ir tembru. Garso bangos intensyvumą apibūdina vidutinis pernešamos energijos tankis. Intensyvumas skaitine verte lygus kiekiui energijos, perneštos per laiko vienetą pro paviršiaus, statmeno bangos sklidimo krypčiai, ploto vienetą. Intensyvumo matavimo vienetas yra
J W 2 . Intensyvumas – 2 m s m
objektyvioji garso charakteristika. Garso pojūtį sukeliantis minimalus intensyvumas atskiriems žmonėms nėra vienodas. Be to, žmogaus ausis nevienodai jautri įvairių dažnių garsams (labiausiai jautri 1000÷4000 Hz garsams). Mažiausias intensyvumas, kuris dar sukelia garso pojūtį, vadinamas girdimumo riba. Pagal tarptautinį susitarimą girdimumo riba priimta laikyti 10-12 W/m2 intensyvumą, esant 1000 Hz dažniui. Kai intensyvumas 10÷102 W/m2, garso banga jau sukelia nebe garso, o skausmo pojūtį. Toks intensyvumas vadinamas skausmo pojūčio riba, jis taip pat priklauso nuo dažnio. Konkretaus garso intensyvumo I santykio su girdimumo riba I 0 logaritmas vadinamas garsumu: I L lg , I 0
t.y. girdimumo ribos garsumas imamas lygus nuliui. Garsumas yra subjektyvioji garso charakteristika, priklausanti nuo ausies jautrio, jis matuojamas belais. Praktikoje naudojamas10 kartų mažesnis dydis – decibelas (dB). Išreiškiant garsumą decibelais, paskutinioji formulė užrašoma taip: L 10 lg
I , dB . I o
– 25 – Bangos, sklindančios kokia nors terpe, pvz., pastato siena, intensyvumo sumažėjimas (bangos gesimas) gali būti išreikštas ta pačia formule: L12 10 lg
I 1 , I 2
čia I 1 – kritusios į terpę, I 2 – išėjusios iš terpės bangos intensyvumas. Pvz., bangos gesimas 30 decibelų reiškia, kad intensyvumas sumažėja 1000 kartų. Žmogus girdi garsą, kurio garsumas nuo 0 iki 130 decibelų (laikrodžio tiksėjimų garsumas apie 20dB, tylaus pokalbio – 60 dB, skausmo pojūčio riba – 130 dB).
Kiekvienas garsas susideda iš atskirų harmoninių virpesių, kurių dažniai skirtingi. Šių atskirų garsinio dažnio svyravimų visuma sudaro garso akustinį spektrą. Kiekvienas garso šaltinis skleidžia jam būdingo akustinio spektro garsą. Garsai, kurių spektras linijinis (diskretinis), vadinami muzikiniais. Svyravimų dažnis apibūdina garso tono aukštį (toną). Be pagrindinio tono garso spektre yra virštonių – dažnių, kartotinių pagrindiniam (mažiausiam) šio garso dažniui. Virštonių skaičius ir jų intensyvumas apsprendžia garso tembrą. Pagal tembrą atskiriame pažįstamų žmonių balsus, muzikinių instrumentų garsus. Garsai, kurių akustinis spektras ištisinis, vadinami triukšmais (pvz., gatvės ūžesys). Garso banga dujose – išilginė banga. Jos sklidimo greitis išreiškiamas formule: v
čia
RT , M
C p – oro molinių šilumų santykis, R – universalioji dujų konstanta, T – dujų temperatūra, M – molio masė. Garso C V
greitis dujose nepriklauso nuo garso dažnio ir yra tos pačios eilės dydis, kaip ir molekulių šiluminio judėjimo vidutinysis greitis, tačiau visuomet truputį mažesnis už jį. Kambario temperatūros ore garso greitis yra apie 340 m/s.
6. Tobulųjų (idealiųjų) dujų fizika Molekulinė fizika – fizikos mokslo šaka, tirianti bet kurios agregatinės būsenos kūnų fizikines savybes juos sudarančių
dalelių sąveikos ir šiluminio judėjimo požiūriu. Jos pagrindinis uždavinys – medžiagos makroskopinių savybių tyrimas, remiantis mikroskopine jos sandara ir žinant, kad: 1) kūnai sudaryti iš dalelių – molekulių, atomų ar jonų; 2) dalelės nuolat ir netvarkingai juda; 3) dalelės tarpusavy sąveikauja – stumia ar traukia vienos kitas. Molekulė – mažiausia stabili medžiagos dalelė, pasižyminti pagrindinėmis tos medžiagos savybėmis. Atomas – mažiausia
cheminio elemento dalelė, sudaryta iš branduolio ir apie jį skriejančių elektronų. Kiekvieną kūną sudaro daugybė dalelių, pavyzdžiui, 1 cm3 vandens yra apie 3,3⋅1022 molekulių. Todėl pagrindinis molekulinės fizikos, kaip mokslo, tyrimo objektas yra statistinis. Todėl tik daugelio dalelių sistemai būdingos tokios savybės, kurios apibūdinamos fizikiniais dydžiais: temperatūra, slėgiu, šiluminiu laidumu, klampa ir pan. Jie išreiškia vidutinį atskirų molekulių poveikį. Be to, daugelio dalelių sistemai būdingi statistiniai dėsningumai, t. y. tokie priežastiniai ryšiai, kurie tik tikimybiškai apibūdina galimas būsenas. Tačiau šie dėsningumai ir dėsniai yra objektyvūs ir išreiškia tiriamųjų reiškinių priežastinius sąryšius. Termodinamika – fizikos mokslo šaka, tirianti makroskopinių kūnų sistemas šiluminiu požiūriu, nesigilinant į jose
vykstančių reiškinių mikroskopinę prigimtį. Todėl termodinaminis tyrimo metodas taikomas sistemos vienos rūšies energijos virsmams kitos rūšies energija nagrinėti. Pačią termodinaminę sistemą sudaro visuma makroskopinių kūnų, kurie sąveikauja tarpusavyje ir su kitais kūnais ir dėl to keičiasi energijos. Sistema, kuri nesąveikauja su išoriniais kūnais ir dėl to nesikeičia su jais nei energija, nei medžiaga, vadinama izoliuotąja. Pagrindinis termodinaminio metodo tikslas – ištirti termodinaminės sistemos būseną.
Sistemos būsena.Termodinaminiai parametrai. Būsenos lygtis. Procesas. Sistemos būseną apibūdina makroskopinių dydžių visuma: slėgis, tūris, temperatūra, savitoji varža, įmagnetėjimas, lūžio rodiklis ir kt. Jos termodinaminę būseną apibūdina
– 26 – termodinaminiai parametrai: slėgis, savitasis tūris ir temperatūra. Termodinaminė būsena yra stacionari, kai visų jos parametrų vertės laikui bėgant nekinta. Kai visų stacionarios būsenos sistemos dalių parametrų vertės vienodos, tai tokia būsena vadinama pusiausvirąja. Jei dėl kokių nors priežasčių ši būsena sutrinka, sistema savaime grįžta į pusiausvyrąją būseną. Šis procesas vadinamas relaksacija. Per relaksacijos trukmę τ termodinaminio parametro nuokrypis nuo pusiausvirosios vertės sumažėja e = 2,72 kartų. Pusiausviroji būsena p ir V , p ir T ar V ir T būsenos diagramoje vaizduojama tašku (9.1 pav.). Kai sistema iš vienos pusiausvirosios būsenos pereina į sekančias, sakoma, kad sistemoje vyksta pusiausvirasis termodinaminis procesas. Bet kurios būsenos parametrai tarpusavy susieti būsenos lygtimi: f ( p,V ,T )=0
Konkretus šių parametrų sąryšis priklauso nuo tiriamojo objekto ir sąlygų. 9.1 pav. Pusiausvirasis termodinaminis
Pavyzdžiui, idealiųjų dujų būsenos lygtis – Klapeirono lygtis – yra tokia:
procesas vaizduojamas kreive 1-2
pV
m RT , M
čia m – dujų masė, M – jų molio masė, R – universalioji dujų konstanta. Prisiminsime, kad idealiosiomis (tobulosiomis) dujomis laikomos tos, kurių: 1) molekulių tarpusavio atstumai dideli palyginti su jų matmenimis; 2) molekulės tarpusavy nesąveikauja; 3) molekulės susiduria absoliučiai tampriai ir juda nuo susidūrimo iki susidūrimo tiesiai ir tolygiai.
Molekulinės kinetinės teorijos pagrindinė lygtis. Tarkime, kad stačiakampio gretasienio formos inde yra idealiosios (tobulosios) dujos. Apskaičiuosime dujų slėgį į ploto S sienelę B, statmeną ašiai Ox (9.2 pav.). Kiekviena masės m0 molekulė, prieš atsitrenkdama į sienelę B greičiu v0 , kurio projekcija Ox ašyje lygi v0 x , turi impulsą m0 v0 , o
atšokusi – m0 v . Kadangi smūgis tamprusis, greičių moduliai lygūs (v
= v0). Molekulės impulso pokytis
p mo v mo vo mo v vo ,
o pokyčio projekcija Ox ašyje
p x mo v vo x 2mo v x .
Sienelei perduotas impulsas lygus 2mo v x . Molekulių labai daug, ir kiekviena jų smūgio metu perduoda sienelei tokį patį impulsą. Per laiką ∆t sienelę pasiekia visos molekulės, esančios tūryje v x t S . Jų skaičius N nV nv x t S . Reikia atsižvelgti į tai, kad 1 vidutiniškai tik pusė molekulių juda sienelės B link (kita pusė – link sienelės A): N nv x t S . Visas impulsas, per laiką t 2
perduotas sienelei B: 1 p nv x t S 2mo v x mo nv x2 S t . 2
Įvertinkime tai, kad ne visos molekulės juda tuo pačiu greičiu v x . Kūno impulso pokytis yra lygus jėgos impulsui: mo nv x2 S t F t .
Kadangi molekulių greičiai ir impulsai skirtingi, tikslinga naudoti vidutinę jėgą, o ji yra proporcinga ne greičio kvadratui v x2 , o greičio kvadrato vidurkiui v x2 . Molekulės greičio modulio kvadratas v 2 v x2 v y2 v z2 , o jo vidurkis
– 27 – v 2 v x2 v y2 v z2 .
Kadangi molekulės juda chaotiškai, todėl vyraujančių judėjimo krypčių nėra, t.y. v x2 v y2 v z2 .
1 Taigi, v 2 3v x2 , arba v x2 v 2 . Sienelę veikiančios vidutinės jėgos impulsas 3 1 1 F t mo nv 2 S t , o jėga – F mo nv 2 S . 3 3
Slėgis, kaip žinome, skaitine verte lygus jėgai, veikiančiai paviršiaus ploto vienetą, todėl dujų molekulių slėgis į sienelę p
2 F 1 nmo v 2 nW k , 3 S 3
čia W k – vienos molekulės slenkamojo judėjimo vidutinė kinetinė energija. Paskutinioji išraiška vadinama molekulinės kinetinės teorijos pagrindine lygtimi. Sulyginę dvi slėgio išraiškas, gauname Bolcmano lygtį: 2 3 p nkT nW k , iš čia W k kT . 3 2
Iš jos seka, kad dujų temperatūra tiesiogiai proporcinga molekulės vidutinei kinetinei energijai. Temperatūra, kurioje molekulės chaotiškojo judėjimo vidutinė kinetinė energija lygi nuliui, vadinama absoliutiniu nuliu. Šioje temperatūroje, pagal klasikinę fiziką, turėtų išnykti chaotiškasis slenkamasis judėjimas. Iš kvantinės mechanikos seka, kad ir absoliutinio nulio temperatūroje atomai svyruoja apie pusiausvyros padėtis, kas yra patvirtinta eksperimentais.
Molekulių pasiskirstymas pagal greičio modulius. Maksvelio skirstinys. Pusiausvirosios būsenos dujų molekulių chaotiškąjį judėjimą bene pirmasis teoriškai ištyrė anglų fizikas Dž.Maksvelis (1831-1879). Jis nustatė, kad dujų molekulių greičių vertės ganėtinai skirtingos. Pasinaudodamas tikimybių teorija, 1850 m. Maksvelis gavo molekulių pasiskirstymo pagal greičių modulius dėsnio matematinę išraišką. Maksvelis įsivaizdavo, kad dujos sudarytos iš didelio skaičiaus n vienodų molekulių. Tarp jų yra dn molekulių, kurių greičių moduliai yra intervale nuo v iki v+dv. Tada dydis dn/n rodo, kokią viso molekulių skaičiaus n dalį sudaro molekulės, kurių greičiai yra nuo v iki v+dv. Turėtų būti aišku, kad šis santykinis molekulių skaičius dn/n yra proporcingas greičių intervalo pločiui dv ir priklauso nuo greičio v, šalia kurio išskirtas intervalas dv: dn f v dv, n dn čia f(v) – tam tikra greičio funkcija f v , vadinama molekulių pasiskirstymo pagal greičių modulius funkcija. Jos ndv
matematinė išraiška tokia: m v2
3/ 2
o m f v 4 o v 2 e 2 kT . 2 kT
Iš jos gauname molekulių skaičių dn 3/ 2
m v2
o m dn f v ndv 4 o nv 2 e 2kT dv . 2 kT
Ši išraiška vadinama Maksvelio skirstiniu. Funkcijos f(v) grafikai, atitinkantys skirtingas temperatūras, pateikti 9.3 paveikslėlyje. Iš f(v) formulės seka, kad f v 0 , kai v 0 ir v , o funkcijos maksimalią vertę atitinka tam tikras greitis vt , vadinamas tikimiausiuoju. Jo vertė surandama iš funkcijos ekstremumo sąlygos (išvestinė greičio atžvilgiu lygi nuliui): vt
2kT 2 RT 2 RT . mo mo N A M
– 28 – Jeigu žinomas greičių intervalas dv, pasinaudoję grafiku, galime nustatyti santykinį molekulių skaičių dn/n, kurių greičiai yra tame intervale. Savo skaitine verte jis lygus užbrūkšniuotam plotui. Iš čia išplaukia, kad ploto, ribojamo pasiskirstymo funkcija visa kreive, skaitinė vertė lygi 1, t.y.
f vdv 1. 0
Maksvelio skirstinys taikytinas ten, kur dalelių šiluminis judėjimas aprašomas klasikinės nereliatyvistinės mechanikos dėsniais. Pasinaudoję Maksvelio dėsniu, gautume tokias azoto molekulių greičių vertes 150 °C temperatūroje: (0÷100 m/s) – 0,6% visų molekulių, (100÷300 m/s) – 12%, (300÷500 m/s) – 30%, 500÷700 m/s) – 29%, (700÷1000 m/s) – 23%, virš 1000 m/s) – 5,4%. Apie 59% visų molekulių greičiai yra (300÷700 m/s) intervale, t.y. tikimiausio greičio 9.3 pav. Skirstinio funkcijos grafikai dviem skirtingoms
150 °C temperatūroje (500 m/s) srityje.
Statistiniai molekulių greičiai. Molekulinėje kinetinėje teorijoje
temperatūroms; abi kreivės nesimetriškos vt atžvilgiu
be tikimiausio greičio vartojamos dar dvi molekulių greičio sąvokos: a) vidutinysis greitis v
8kT 8 RT 8 RT ; M mo mo N A
3kT 3 RT b) vidutinysis kvadratinis arba šiluminis greitis v~ v 2 . mo M
Barometrinė formulė. Bolcmano skirstinys. Tiek išvedant pagrindinę molekulinės kinetinės teorijos lygtį, tiek ir Maksvelio skirstinį nebuvo įvertintos dujų molekules veikiančios pašalinės jėgos ir manyta, kad užimame tūryje molekulės pasiskirstę tolygiai. Tačiau bet kokių dujų molekulės yra visų pirma Žemės gravitacijos jėgų lauke. Dėl gravitacijos jėgų iš vienos pusės ir šiluminio molekulių judėjimo iš kitos pusės didėjant aukščiui virš Žemės paviršiaus tiek oro slėgis, tiek ir molekulių koncentracija mažėja. Išvesime slėgio priklausomybės nuo aukščio formulę idealizuotam atvejui, kai gravitacijos jėgų laukas vienalytis, temperatūra pastovi, molekulių masė vienoda. Jeigu aukštyje h atmosferos slėgis p, tai aukštyje h+dh jis bus p+dp (dp<0, nes didėjant aukščiui slėgis mažėja) (9.4 pav.). Iš čia seka:
( p dp) gdh , p2
čia gdh – oro stulpo, kurio aukštis dh, slėgis, – oro tankis (jei dh mažas, tankis praktiškai vienodas). dp gdh .
Iš idealiųjų dujų būsenos lygties seka:
p+dp dh h2
p
h
p1 h1
m pM , V RT
Mg dp pdh; RT dp Mg dh. p RT
Pakitus aukščiui nuo h1 iki h2, slėgis pakinta nuo p1 iki p2, t.y. p2
h
dp Mg 2 RT h dh ; p1 p 1
9.4. pav. Atmosferos modelis
– 29 – ln
p2 Mg h h ; p1 RT 2 1 p2 p1e
Mg ( h2 h1 ) RT
.
Paskutinioji išraiška vadinama barometrine formule Ji gali būti užrašyta ir taip: p po
Mgh e RT
,
čia po – slėgis jūros lygyje (Žemės paviršiuje). Barometrine formule paremtas aukščio nustatymo prietaisų – altimetrų – veikimo principas. Iš pagrindinės molekulinės kinetinės teorijos lygties išsireiškę slėgius p bei po ir šias išraiškas įrašę į barometrinę formulę, gauname tokio pavidalo išraišką: n no
Mgh e RT
,
čia no ir n – molekulių koncentracijos jūros lygyje ir aukštyje h. Iš barometrinės formulės seka, kad temperatūros didėjimas sąlygoja dujų koncentracijų išsilyginimą visame jų užimame tūryje T , n no . Kai T 0, n 0 , t.y. visos molekulės, veikiamos sunkio jėgos, turi leistis žemyn. Vadinasi, mūsų atmosfera egzistuoja tik dėl molekulių šiluminio judėjimo. Barometrine formule paaiškinama, kodėl Mėnulis negali turėti atmosferos ( g M = 1,6 m/s2), o Marsas turi, bet labai retą ( g = 3,8 m/s2).
Bolcmano skirstinys. Bolcmano skirstinio matematinė išraiška gaunama iš barometrinės formulės atlikus keletą pakeitimų: M mo N A ; R kN A ; n no e
mo gh kT
no e
W p kT
,
čia W p mo gh - molekulės potencinė energija išoriniame potencialinių jėgų lauke. Matyti kad dujų molekulių koncentracija didesnė ten, kur mažesnė jų potencinė energija. Taigi, veikiant jėgų laukui, dujų molekulės pasiskirsto taip, kad tame erdvės tūryje, kuriame mažesnė jų potencinė energija, koncentracija būtų didesnė ir atvirkščiai. Koncentracijos priklausomybė nuo potencinės energijos išreikšta eksponente. Bolcmano skirstinys galioja visoms dalelėms, kurių masės vienodos, o pačios jos juda chaotiškai stacionariniame potencialinių jėgų lauke kur temperatūra visur vienoda.
Idealiųjų (tobulųjų) dujų vidinė energija. Molekulės laisvės laipsniai. Molekulės vieno laisvės laipsnio energija. Klasikinėje mechanikoje laisvės laipsniais suprantamas skaičius nepriklausomų kintamųjų (koordinačių), vienareikšmiškai nusakančių sistemos padėtį erdvėje. Sprendžiant įvairius uždavinius, vienatomė molekulė traktuojama kaip turintis tris slenkamojo judėjimo laisvės laipsnius materialusis taškas (a pav.). Jo sukamojo judėjimo energija nevertinama
r 0; I mr 2 0; W I 2 / 2 0 . suk Dviatomių dujų molekulė klasikinėje mechanikoje traktuojama kaip sistema dviejų materialiųjų taškų, kietai susietų nesideformuojančiu ryšiu (b pav.). Tokia sistema be trijų slenkamojo judėjimo laisvės laipsnių turi dar du sukamojo judėjimo laisvės laipsnius (apie ašis Oz ir Ox, nes sukimasis apie ašį Oy neturi prasmės). Taigi, dviatomė molekulė turi i 5 laisvės laipsnius. z
z
Triatomė molekulė (c pav.) kaip ir
z
daugiaatomė (jei atomai nėra vienoje tiesėje) turi i 6 laisvės laipsnius – tris x
x
x
slenkamojo ir tris sukamojo. Žinoma, realiose molekulėse ryšys tarp atomų nėra
y
y a)
visiškai kietas, todėl ten reikia įvertinti ir
y b)
c)
svyruojamojo judėjimo laisvės laipsnius.
– 30 – Statistinėje fizikoje laisvės laipsniais suprantami nepriklausomi kintamieji, nusakantys sistemos pilnutinę energiją. Materialusis taškas gali turėti tiek kinetinės, tiek ir potencinės energijos. Kinetinę energiją apsprendžia trys greičio komponentės, potencinę – trys jo padėties koordinatės. Taigi, statistinėje fizikoje materialusis taškas apibūdinamas šešiais laisvės laipsniais. Kadangi idealiųjų dujų atomai tarpusavyje nesąveikauja, potencinės energijos jie neturi, todėl ir statistinės fizikos požiūriu teturi tris laisvės laipsnius, dviatomė molekulė – penkis (kai ryšys kietas) arba šešis (jei tamprusis). 3 Idealiųjų dujų atomo vidutinė kinetinė energija W k kT . Kadangi visos judėjimo kryptys lygiavertės (judėjimas 2
chaotiškas), kiekvienam laisvės laipsniui turi tekti toks pat energijos kiekis: W k 1
W k 1 kT . 3 2
1 Logiška manyti, kad ir sukamojo bei virpamojo judėjimo vienam laisvės laipsniui tenka vidutiniškai toks pat, lygus kT , 2
energijos kiekis. Sakysime, tam tikrų idealiųjų dujų molekulės turi tris slenkamojo, n s sukamojo ir nv virpamojo judėjimo laisvės laipsnius. Remiantis klasikine mechanika, vidutinė molekulės energija gali būti išreikšta taip: 1 i W kT 3 n s 2nv kT , 2 2
čia paimta 2nv, kadangi vienam virpamojo judėjimo laisvės laipsniui tenka dvigubai daugiau energijos: vidutiniškai tiek pat kinetinės ir tiek pat potencinės. Jei tarpatominiai ryšiai kieti (atomai nevirpa), dydisnv lygus nuliui. Idealiųjų dujų (jų molekulės tarpusavyje nesąveikauja) vieno molio energija i i U m N AW k N A kT RT , 2 2 U U m
o bet kokios masės m dujų energija
m i RT . M 2
Molekulės vidutinis lėkis ir susidūrimų dažnis. Dujų molekulės visą laiką chaotiškai juda ir dėl to nuolat vienos su kitomis susiduria. Nuo vieno susidūrimo iki kito molekulė, lėkdama tiesiai ir tolygiai, nulekia tam tikrą atstumą l , kuris vadinamas laisvuoju lėkiu. Bendruoju atveju laisvieji lėkiai yra skirtingi, todėl molekulinėje fizikoje naudojama vidutinio laisvojo lėkio l sąvoka. Mažiausias atstumas d, iki kurio suartėja susiduriančių molekulių centrai, vadinamas molekulės efektiniu skersmeniu, o dydis d 2 - susidūrimo efektiniu skerspjūviu (nes, patekus į šį plotą bet kurios, jam statmenai judančios molekulės centrui, molekulės susidurs). Efektinio skersmens didumas priklauso nuo molekulių greičių, t.y. dujų temperatūros. Per 1 s molekulė įveikia kelią, lygų vidutiniam greičiu v , ir jeigu
z1 - vidutinis vienos molekulės susidūrimų skaičius su kitomis (susidūrimų dažnis), tai vidutinis laisvasis lėkis
l
v z1
Susidūrimų dažniui nustatyti tarsime, kad visos molekulės yra vienodi d skersmens rutuliukai, kurie, išskyrus vieną, nejuda. Ši judanti molekulė susiduria tik su tomis, kurių centrai patenka į susidūrimo efektinį skerspjūvį , t.y. yra viduje „laužyto“ cilindro, kurio skersmuo 2d (9.5 pav.). Taigi, vidutinis susidūrimų dažnis yra lygus molekulių skaičiui „laužyto“ cilindro tūryje:
z1 nV n d 2 v n v . Kadangi realiai juda visos molekulės, dėl to vidutinis susidūrimų dažnis yra didesnis 2 kartus:
– 31 –
z 2n v , o molekulės vidutinis laisvasis lėkis mažesnis: 1 . 2 n
l
Taigi, nekintant temperatūrai vidutinis susidūrimų dažnis tiesiogiai, o laisvasis lėkis atvirkščiai proporcingi dujų slėgiui (normaliosiomis sąlygomis pirmasis yra 1010 s-1 eilės, antrasis 10-7 m eilės). Kai indo su dujomis matmenys yra mažesni už vidutinį laisvąjį lėkį, molekulės, statistiškai imant, viena su kita nesusiduria. Tokia dujų būsena vadinama techniniu vakuumu.
7. Termodinamikos pagrindai Dujų savitoji ir savitoji molinė šilumos. Kūno šilumine talpa vadinamas dydis C k, skaitine verte lygus šilumos kiekiui, kurį kūnui gavus arba kurio netekus kūno temperatūra pakinta vienu kelvinu: C k
dQ . dT
Šiluminė talpa priklauso nuo kūno cheminės sudėties, masės ir šilumos perdavimo proceso pobūdžio. Šilumos kiekis, kurį gavus arba kurio netekus vieno medžiagos molio temperatūra pakinta vienu kelvinu, vadinama moline šiluma: C
dQ . dT
Šilumos kiekis, kurį gavus arba kurio netekus medžiagos masės vieneto temperatūra pakinta vienu kelvinu, vadinama savitąja šiluma: c
dQ mdT .
Kadangi šiluminė talpa priklauso nuo šilumos perdavimo proceso pobūdžio, pastarasis charakterizuojamas pastovaus
dQ dQ tūrio C V ir pastovaus slėgio C p molinėmis šilumomis (C p>C V ). Idealiųjų dujų pastovaus tūrio molinė dT V dT p šiluma
d i d i i dQ dU N A kT RT R . dT V dT V dT 2 dT 2 2
C V
Pirmasis termodinamikos dėsnis ir jo taikymas idealiųjų dujų izoprocesams. Energijos tvermės dėsnis, apimantis šiluminius procesus, vadinamas pirmuoju termodinamikos dėsniu. Jis teigia: termodinaminės sistemos pilnutinės energijos pokytis ∆W yra lygus gautojo šilumos kiekio Q ir išorinių jėgų atlikto darbo A* sumai:
W Q A . Termodinaminės sistemos pilnutinė energija W lygi jos pilnutinės mechaninės ir vidinės energijos U sumai: W W k W p U .
Dažnai termodinaminėje sistemoje vyksta tik tokie procesai, kuriuose jos pilnutinė mechaninė energija išlieka pastovi. Tada pilnutinės energijos pokytis lygus jos vidinės energijos pokyčiui, ir pirmasis termodinamikos dėsnis išreiškiamas taip:
U Q A . Šilumos kiekiu vadinama energija, perduota termodinaminei sistemai vienu iš šilumos perdavimo būdų (šilumos laidumu,
konvekcija, šilumos spinduliavimu). To paties kūno dalys, aplinka ir kūnas, atskiri kūnai gali perduoti vienas kitam vidinę energiją, jeigu jų temperatūros yra skirtingos. Toks procesas ir vadinamas šilumos perdavimu. Praktiniu požiūriu labai svarbi termodinaminė sistema yra šiluminė mašina. Gautąjį šilumos kiekį ji sunaudoja savo vidinei energijai padidinti ir darbui A atlikti:
– 32 – Q U A .
Kai sistemai suteikiamas elementarusis šilumos kiekis Q, pirmasis termodinamikos dėsnis užrašomas taip: Q dU A .
Pirmasis termodinamikos dėsnis yra teisingas kiekvienam šiluminiam procesui, nors procesų vyksmo krypties nenusako.
Dujų plėtimosi darbas. Sakysime, cilindre yra dujos, uždarytos judriu nesvariu ploto S stūmokliu. Besiplėsdamos (pvz., jas šildant) dujos paslenka stūmoklį nykstamai mažu atstumu dl (9.6 pav.), atlikdamos elementarųjį mechaninį darbą: A Fdl pSdl dV .
Pilnasis dujų atliktas darbas, joms pereinant iš būsenos „1“ į būseną „2“, apskaičiuojamas sumuojant elementariuosius darbus: V 2
A pdV . V 1
Šis darbas skaitine verte lygus figūros po procesą atvaizduojančia kreive plotui S 12V 2 V 11 (9.7 pav.). Izochorinio proceso metu dujos, aišku, darbo neatlieka
V const , vykstant izobariniam procesui, darbas tiesiogiai proporcingas tūrio pokyčiui: p
1
F
dl
dV
p
V 1
9.6 pav. Dujų plėtimosi darbo skaičiavimui
2 V 2
V
9.7. Darbo grafinis vaizdavimas v2
A pdV p(V 2 V 1 ) pV . v1
Vykstant izoterminiam T const procesui: V 2
V 2
V
mRT mRT 2 dV mRT V 2 ln . A pdV dV M V 1 V M V 1 V 1 V 1 MV
Izochorinis procesas V const . Jeigu termodinaminei sistemai šilumos kiekis suteikiamas izochoriškai, ji nesiplečia ir darbo neatlieka dA pdV 0 . Tada sistemai suteiktas šilumos kiekis sunaudojamas tik vidinei energijai padidinti: dQ dU
m C dT . M V
Suintegravę gautume tokią išraišką: Q
m C T T . M V 2 1
Izobarinis procesas p const . Izobarinio proceso metu termodinaminė sisrema (dujos) plečiasi ir atlieka darbą: V 2
A pdV pV 2 V 1 ; V 1
– 33 – Atėmę vieną iš kitos Mendelejevo ir Klapeirono lygtis pV 1 V 2 V 1 A
Tuomet dujų plėtimosi darbas
m m RT 1 ir pV 2 RT 2 gauname M M
m R T T . M p 2 1
m R T T . M 2 1
Iš paskutiniosios lygybės išplaukia universaliosios dujų konstantos R fizikinė prasmė: R skaitine verte lygi 1 molio idealiųjų dujų atliktam darbui, kai jų temperatūra pakyla 1K. Pirmasis termodinamikos dėsnis izobariniam procesui užrašomas taip: Q
m m C V T 2 T 1 RT 2 T 1 . M M
Izoterminis procesas. (T = const ). Termodinaminės sistemos (dujų) izoterminio proceso metu atliktas darbas: V 2
A pdV V 1
V 2
m dV m V 2 m p1 ln ln RT RT RT V M V M V 1 M p2 . 1
Kadangi izoterminiame procese termodinaminės sistemos vidinė energija nekinta, visas šilumos kiekis sunaudojamas darbui atlikti: Q A
V m m p RT ln 2 RT ln 1 . M V 1 M p2
Siekiant, kad procesas tikrai būtų izoterminis, besiplečiančioms dujoms reikia perduoti šilumos kiekį, ekvivalentišką atliekamam darbui.
Adiabatinis procesas. Jo lygtis ir grafikas. Adiabatiniu vadinamas procesas, kuriam vykstant nėra termodinaminės sistemos šilumos mainų su aplinka dQ 0 . Artimi adiabatiniams yra visi greitaeigiai procesai bei procesai sistemose, apgaubtose šilumai mažai laidžia izoliacija. Pirmasis termodinamikos dėsnis adiabatiniam procesui užrašomas taip: A dU 0
arba A dU ,
t.y. termodinaminė sistema atlieka atlieka darbą savo vidinės energijos sąskaita. Kadangi dU m C V dT , o A pdV , gauname: m pdV C V dT M
(*)
Išdiferencijavę idealiųjų dujų būsenos lygtį, gauname lygybę pdV Vdp
p
m RT , M
kurią padalijame iš (*): C C pdV Vdp R p V . pdV C V C V
3
1
Atskyrę kintamuosius ir pažymėję C p / C V , gauname dp dV . p V
T const
2
p2
Suintegravę V
V
2 p V dp dV p p V V , gauname ln p12 ln V 12 . 1 1
9.8. pav. Adiabatės ir izotermės grafikai
Pertvarkome
p2 V 1 arba p1V 1 p2V 2 const . p1 V 2
Paskutinioji lygtis vadinama adiabatės arba Puasono lygtimi, -Puasono koeficientu. Adiabatinio proceso diagrama (adiabatė) p f V atvaizduojama hiperbole (9.8 pav.). Atkarpa 1-3 atitinka adiabatinį suspaudimą, atkarpa 1-2 – išsiplėtimą.
– 34 – Šio proceso metu atliktas darbas (skaitine verte lygus užbrūkšniuotam plotui) mažesnis, negu izoterminiame procese, nes dujoms adiabatiškai plečiantis, jos atvėsta, o izoterminio proceso metu temperatūra nekinta. Dažnai naudojamos ir kitokios adiabatės išraiškos, gaunamos iš idealiųjų dujų būsenos lygties: pT / 1 const ; TV 1 const ; VT 1/ 1 const .
Šio proceso metu atliktas darbas (skaitine verte lygus užbrūkšniuotam plotui) mažesnis, negu izoterminiam procese. Taip yra todėl, kad, dujoms adiabatiškai plečiantis, jos atvėsta, o izoterminiam procese temperatūra pastovi.
Karno ciklas ir jo naudingumo koeficientas. Cikliniai procesai. Cikliniu procesu arba ciklu vadiname tokį procesą, kai termodinaminė sistema po keleto pakitimų sugrįžta į pradinę būseną. Ciklas būsenos diagramose (p,V ), ( p,T ) ir t.t. atvaizduojamas uždara kreive, o jo pradžia ir pabaiga – tuo pačiu tašku. Termodinaminė sistema, kuri cikliniame procese pasikeičia energija su kitais kūnais, vadinama darbine medžiaga (dujos, garai)Sakykime, vykstant cikliniam procesui (žiūr. 9.9 pav.), darbinė medžiaga iš
p A
pradžių plečiasi iki tūrio V 2, o po to suspaudžiama iki pradinio tūrio V 1. Kad ciklo
Q1 a
metu atliktas darbas būtų teigiamas, kreivė, vaizduojanti plėtimąsi, turi eiti aukščiau kreivės, vaizduojančios suspaudimą. Vadinasi, plėtimosi metu slėgis, o
b
kartu ir temperatūra turi būti aukštesni nei suspaudimo metu. Norint šią sąlygą patenkinti, plėtimosi metu darbinei medžiagai reikia duoti šilumos, o spaudžiant
B
Q2
dalį šilumos atiduos ji pati. V1
Užrašykime pirmąjį termodinamikos dėsnį ciklo dalims AaB ir BbA. Jei sistemos vidinės energijos vertes taškuose A ir B pažymėsime U 1 ir U 2, gausime:
V2
V
9.9 pav. Ciklinio proceso grafikas
Q1 U 2 U 1 A1 ,
čia Q1 – plėtimosi metu termodinaminės sistemos gautas šilumos kiekis, A1 – sistemos atliktas darbas, skaitine verte lygus figūros AaBV2V1 plotui. Suspaudimo metu (kreivė BbA) pašalinės jėgos sistemos atžvilgiu atlieka darbą A2, o sistema atiduoda aplinkai šilumos kiekį Q2. Pirmasis termodinamikos dėsnis suspaudimui: A2 U 1 U 2 Q2 .
Darbas A2 skaitine verte lygus figūros BbAV1V2 plotui. Ciklo metu atliktas naudingas darbas skaitine verte lygus plotui, apribotam kreivėmis AaB ir BbA, arba darbų A1 ir A2 skirtumui: A A1 A2 Q1 Q2 .
Matome, kad ne visa ciklo metu gautoji šiluma virsta darbu. Kad šiluminė mašina dirbtų cikliškai, būtina dalį šilumos, nepavertus jos darbu, atiduoti aplinkai. Šiluminės mašinos darbo efektyvumas apibūdinamas jos naudingumo koeficientu:
A Q1 Q2 . Q1 Q1
Jei šiluminė mašina dirba tokiu pačiu ciklu, tik atvirkščia tvarka, tai darbinė medžiaga plėtimosi metu iš aplinkos paima šilumos kiekį Q2 , esant žemesnei temperatūrai, o suspaudimo metu atiduoda šilumos kiekį Q1 aplinkai, kurios temperatūra aukštesnė. Šiuo atveju darbą atlieka pašalinės jėgos dar labiau atšaldydamos žemesnės temperatūros aplinką, kurioje darbinė medžiaga plečiasi. Tokia mašina vadinama šaldymo mašina arba šaldytuvu. Jos naudingumo koeficientas
Q2 Q2 . A Q1 Q2
Karno ciklas. Idealiosios Karno mašinos naudingumo koeficientas. Norint realizuoti ciklinį procesą, jį reikia sudaryti iš izoterminių ir adiabatinių procesų, kadangi tik pastarieji yra grįžtamieji. Tokį ciklą pirmasis sudarė S.Karno. Darbine medžiaga Karno pasirinko idealiąsias dujas. Trumpai panagrinėkime tiesioginį Karno ciklą (9.10 pav.).
– 35 – Sakykime, idealiosios dujos yra būsenoje 1: Jų tūris V 1, slėgis p1, p
temperatūra T 1. Paimdamos iš šaltinio, kurio temperatūra taip pat T 1, 1
šilumos kiekį Q1 dujos izotermiškai plečiasi iki tūrio V 2. Nesuteikdami T1const
dujoms daugiau šilumos, leiskime joms toliau plėstis adiabatiškai iki tūrio V 3. Šio proceso gale dujų temperatūra sumažėja iki T 2. Po to šios
2
temperatūros dujos izotermiškai suspaudžiamos iki tūrio V 4. Suspaudimo
4
metu aušintuvui jos atiduoda šilumos kiekį Q2. Dar kartą suspaudę dujas 3
T2const
adiabatiškai iki pradinio tūrio V 1 gauname grįžtamąjį ciklą, vadinamą Karno ciklu.
V1
V4
V2
V3
9.10 pav. Karno ciklo grafikas
V
Izoterminiame procese sistemos vidinė energija nekinta (U=const ), todėl visas iš šildytuvo gautas šilumos kiekis Q1 sunaudojamas
besiplečiančių dujų darbui atlikti, pereinant iš būsenos 1 į būseną 2: Q1 A12
V m RT 1 ln 2 . M V 1
Adiabatiškai plečiantis (2 – 3), šilumos mainų su aplinka nėra, todėl besiplečiančios dujos darbą atlieka savo vidinės energijos sąskaita: m A23 U 23 C V T 2 T 1 . M
Izotermiškai (T 2=const ) suslegiamos (3 – 4) dujos atlieka neigiamą darbą ir aušintuvui atiduoda šilumos kiekį Q2<0: A34
V m RT 2 ln 4 Q2 . M V 3
Adiabatiškai suslegiamos (4 – 1) dujos vėl atlieka neigiamą darbą, todėl jų vidinė energija ir temperatūra padidėja: m A41 C V T 1 T 2 A23 . M
Darbas, atliktas ciklo metu: A A12 A23 A34 A41 Q1 A23 Q2 A23 Q1 Q2 .
Karno ciklo naudingumo koeficientas
Q1 Q2 . Q1
Pritaikę Puasono lygtį adiabatėms 2–3 ir 4–1, gautume
Tada naudingumo koeficientas
T 1V 2 1 T 2V 3 1 ; T 1V 1 1 T 2V 4 1 ; iš to seka, kad
V 2 V 3 . V 1 V 4
V m V m RT 1 ln 2 RT 2 ln 3 M V 1 M V 4 T 1 T 2 . m V 2 T 1 RT ln M 1 V 1
Taigi, idealiosios mašinos, dirbančios Karno ciklu, naudingumo koeficientas priklauso tik nuo šildytuvo ir aušintuvo temperatūrų. Pvz., kai T 1 = 400 K, T 2 = 300 K, naudingumo koeficientas tik 0,25. Realiųjų šiluminių mašinų naudingumo koeficientai dar mažesni (dėl trinties, šilumos laidumo ir spinduliavimo).
Grįžtamieji ir negrįžtamieji procesai. Termodinamikos požiūriu visi gamtoje vykstantys procesai skirstomi į grįžtamuosius ir negrįžtamuosius. Grįžtamieji yra tokie, kuriems pasibaigus, mechaninę arba termodinaminę sistemą galima atvirkščiu keliu grąžinti į pradinę padėtį per tas pačias tarpines būsenas, aplinkos kūnuose nepaliekant jokių pokyčių. Jeigu tokie perėjimai atvirkščiu keliu nevyksta arba, procesui pasibaigus, aplinkiniuose kūnuose ar pačioje sistemoje lieka kokie nors pokyčiai, toks procesas yra negrįžtamas. Visi realiai vykstantys procesai, tiksliai juos vertinant, yra negrįžtamieji, nes visus juos lydi trintis, šilumos išsisklaidymas ir t.t. Tačiau grįžtamuosius procesus teoriškai nagrinėti verta vien dėl to, kad galima būtų nustatyti ribas, prie kurių turi artėti visi realūs šiluminiai procesai, kad jų metu naudingu darbu virstų galimai didesnis šilumos
– 36 – kiekis. Grįžtamojo proceso pavyzdžiu gali būti laisvieji neslopinamieji svyravimai. Nesunku suprasti, kad kiekvienas pusiausvirasis procesas yra grįžtamasis. Pavyzdžiui, dujoms izotermiškai plečiantis, joms suteiktas visas šilumos kiekis eikvojamas mechaniniam darbui atlikti Q pdV A . Ir atvirkščiai, išorinėms jėgoms atliekant darbą A, dujos, izotermiškai suspaustos iki pradinio tūrio, grąžins tokį patį šilumos kiekį. Grįžtamasis yra ir adiabatinis procesas, vykstantis be šilumos apykaitos su aplinka.
Antrasis termodinamikos dėsnis. Termodinaminių procesų aprašymui pirmojo termodinamikos dėsnio dažnai nepakanka. Išreikšdamas energijos tvermės ir virsmų dėsnį, pirmasis termodinamikos dėsnis neleidžia nustatyti termodinaminių procesų, vykstančių gamtoje, krypties. Pvz., jis neprieštarauja tam, kad šiluma iš šaltesnio kūno savaime pereitų į karštesnį, svarbu tik, kad nepakistų kūnų sistemos pilnutinė energija. Termodinaminių procesų vyksmo kryptį nusakantis gamtos dėsnis vadinamas antruoju termodinamikos dėsniu. Jis buvo suformuluotas analizuojant šiluminių variklių darbą ir jų naudingumo koeficiento padidinimo galimybes. Savo laiku buvo manančių, kad iš šiluminio variklio pašalinus aušintuvą, niekam nereikės atiduoti šilumos kiekioQ2, ir naudingumo koeficientas taps lygiu 1. Toks hipotetinis be aušintuvo dirbantis šiluminis variklis buvo pavadintas antrosios rūšies amžinuoju varikliu. Kad toks variklis egzistuoti negali, pirmasis išvadą padarė N.Karno. Apibendrinus Karno ir kitų patirtį ir buvo suformuluotas antrasis termodinamikos dėsnis. Kelvino – Planko formuluotė: antrosios rūšies amžinasis variklis egzistuoti negali; t.y. neįmanomas ciklinis procesas, kurio vienintelis rezultatas būtų iš šildytuvo paimto šilumos kiekio pavertimas jam ekvivalentišku darbu.
R.Klauzijaus formuluotė: šiluma negali pati savaime pereiti iš žemesnės temperatūros kūnų į aukštesnės temperatūros kūnus.
Entropija. Iš grįžtamuoju Karno ciklu dirbančios šiluminės mašinos naudingumo koeficiento išraiškos gauname:
Q1 Q2 T 1 T 2 Q1 Q ; 2 . Q1 T 1 T 1 T 2
Santykis gauto arba atiduoto šilumos kiekio ir absoliutinės temperatūros, kurioje jis buvo pateiktas, vadinamas redukuotuoju šilumos kiekiu. Vykstant Karno ciklui, redukuotoji šiluma, gauta plėtimosi metu ir atiduota suspaudimo metu, yra lygios. Panagrinėkime laisvai pasirinktą grįžtamą ciklą AaBbA (9.11 pav.). Visų pirma suskaidykime šį ciklą į dalis, išvesdami adiabates labai arti viena kitos. Jos suskaido ciklą vaizduojančią kreivę į be galo mažas atkarpėles. Per jų vidurį išveskime izotermes. Tada abi kreivės AaB ir BbA bus sudarytos iš daugelio labai artimų izotermių, kurias ciklo metu praeidama sistema gauna iš šaltinių, kurių temperatūros T 1, T 2, ..., T n, elementariuosius šilumos kiekius dQ1, dQ2, ..., dQn. Kiekvienas plotelis, ribojamas dviejų gretimų adiabačių ir izotermių, sudaro elementarųjį Karno ciklą, kuriam galima užrašyti: dQ1 dQ1 dQ2 dQ2 dQn dQn ; ; ; T 1 T 2 T n T 1 T 2 T n
Sudedame lygčių kairiąsias ir dešiniąsias puses: p
n dQi dQi . i 1 T i i 1 T i n
(*)
B
Vadinasi, redukuotųjų šilumos kiekių suma, vykstant procesui,
a
nepriklauso nuo būvio keitimosi būdo, bet tik nuo pradinės ir galinės sistemos būsenų. Iš tikrųjų, tarp taškų A ir B būviui keičiantis pagal punktyrinę liniją, o
T3 T2 T1
iš B į A pagal tą pačią BbA, vėl atlikus tokį patį skaidymą į elementariuosius b
A
T1*
T2
Karno ciklus, gautume analogišką lygybę, kurios dešinioji pusė būtų
T3*
9.11 pav.
nepakitusi. Tai rodo, kad redukuotųjų šilumos kiekių suma, pereinant iš A į B V
būvį keliu AaB ir AcB yra ta pati, t.y. nuo būvio keitimo būdo nepriklauso. Iš (*) gauname, kad jei visas ciklas AaBbA grįžtamasis (jį galima išskaidyti į
elementariuosius grįžtamuosius Karno ciklus), tai visam ciklui redukuotasis šilumos kiekis bus lygus nuliui:
– 37 – dQi n dQi 0. i1 T i i 1 T i n
Jei visas ciklas yra negrįžtamasis, tai jo negalėsime išskaidyti į elementariuosius Karno grįžtamuosius ciklus. Jų tarpe bus ir negrįžtamųjų. Yra įrodyta, kad negrįžtamiesiems ciklams galioja nelygybė: Q1 Q Q Q 2 arba 1 2 0 , T 1 T 1 T 2 T 2
čia lygybės ženklas atitinka grįžtamuosius, nelygybės – negrįžtamuosius. Bet kokiam ciklų skaičiui: n
dQ T
i
i 1
0.
i
Tolygiai kintant sistemos būviui bet kokiu uždaru ciklu, galima laikyti, kad ji keičiasi šiluma su daugybe šilumos šaltinių, kurių temperatūros tolygiai kinta. Kiekvienas šaltinis atiduoda arba paima iš sistemos elementarųjį šilumos kiekį dQ, todėl
dQ, 0 T .
Šis sąryšis vadinamas Klauzijaus lygybe (nelygybe). Buvo parodyta, kad
n
dQ T i 1
i
, vykstant grįžtamajam procesui tarp
i
būsenų A ir B, nepriklauso nuo būsenų kitimo būdo. Kitaip sakant, šią sumą apsprendžia tik pradinė ir galinė sistemos būsenos. Tai rodo, kad ji išreiškia sistemos kažkokios funkcijos pasikeitimą, t.y. tokios funkcijos, kurios vertę apsprendžia sistemos būsena, panašiai kaip vidinę energiją. Klauzijus šią funkciją pavadino entropija. Taigi, entropijos pasikeitimas, pereinant sistemai iš būsenos A į B, vykstant grįžtamajam procesui, išreiškiamas taip: B dQi dQ S B S A ; arba S B S A . T i1 T i A
n
Kiekviena kūnų sistemos ar atskiro kūno būsena apibūdinama jos entropija S , kaip ir vidine energija U . Iš paskutiniosios lygybės galima apskaičiuoti tik entropijos pokytį vykstant atitinkamam procesui. Norint apskaičiuoti absoliutinį dydį, reikia žinoti jos vertę bent vienoje sistemos būsenoje. Jei ciklinis procesas grįžtamasis, tai entropijos pokytis lygus nuliui. Kuria kryptimi kinta entropija, vykstant negrįžtamajam procesui? Sakykime, yra procesų ciklas, susidedantis iš grįžtamųjų ir negrįžtamųjų procesų. Kažkokio proceso pirmoji dalis (A – B) grįžtamoji, o antroji (B – A) negrįžtamoji. Visam ciklui užrašome: dQ T 0, arba
B
dQ A dQ T B T 0 . A
Kadangi pirmoji ciklo dalis vyksta grįžtamai, B
dQ S B S A ; A T
A
A dQ dQ 0 ; S A S B S B S A . (**) T T B B
Kadangi entropija yra sistemos būsenos funkcija, ji priklauso tik nuo pradinės ir galinės sistemos būsenų. Pereinant sistemai iš būsenos B į A, pokytis lygus S A – S B. Matyti, kad entropijos pokytis (procese B – A jį atitinka kairioji nelygybės (**) pusė), kai procesas negrįžtamasis, nebus išreikštas nelygybės (**) dešinės pusės integralu, kaip kad būtų reiškiamas, jei procesas būtų grįžtamasis. Jei sistema izoliuota, t.y. nesikeičia šiluma su aplinka, dQ = 0, ir S A – S B>0. Taigi, vykstant negrįžtamiesiems procesams uždaroje sistemoje, jos entropija didėja, vykstant grįžtamiesiems entropija nekinta. Kadangi visi gamtoje vykstantys procesai yra negrįžtamieji, todėl realiuose procesuose entropija tik didėja. Ši išvada labai svarbi ir vadinama antruoju termodinamikos dėsniu.
– 38 –
8. Realių dujų savybės ir kondensuotų medžiagų savybės Molekulinės jėgos, molekulių sąveikos energija. Idealiųjų dujų modelis, naudojamas molekulinėje
kinetinėje
teorijoje,
tinka
ir
realiosioms dujoms, kurių temperatūros nėra žemos, o slėgiai nėra aukšti. Naudojantis šiuo modeliu išvedant idealiųjų dujų būsenos lygtį nevertinami nei molekulių matmenys, nei jų tarpusavio sąveikos jėgos. Tačiau realiai didinant dujų slėgį mažėja atstumai tarp molekulių, dėl ko vis labiau reiškiasi kaip pačių molekulių tūris, taip 11.1 pav. Molekulių sąveikos jėgų ir energijos priklausomybė nuo atstumo
ir tarpusavio sąveikos jėgos. Normaliosiomis sąlygomis (slėgis – 105 Pa, temperatūra – 0 °C) 1
m3 dujų yra apie 2,7·1025 molekulių, kurių savasis tūris apie 10-4 m3. Tačiau jau esant 500 MPa slėgiui molekulių savasis tūris sudaro apie pusę dujų užimamo tūrio, todėl čia idealiųjų dujų modelis nėra tikslus. Aprašant realiąsias dujas būtina įvertinti ir tarpmolekulines sąveikos jėgas. Jos pasireiškia, kai atstumai tarp molekulių mažesni nei 10-9 m. XX a. pradžioje paaiškėjo, kad tarp atomų ar molekulių tuo pat metu veikia kaip traukos (jas sutarta laikyti neigiamomis), taip ir stūmos (teigiamos) jėgos, kurių moduliai yra atstumo tarp molekulių funkcija (11.1 a pav.). Šių jėgų moduliai lygūs, esant tam tikram atstumui r o. Kai rr o, traukos jėga, kai r >10-9 m, tarpmolekulinės jėgos praktiškai neveikia. Molekulių sąveikos jėgos yra potencialinės, todėl sąveikaujančios molekulės turi potencinės energijos: stūmos potencinė energija yra teigiama, traukos – neigiama. Dviejų molekulių sąveikos potencinė energija lygi stūmos ir traukos potencinių energijų algebrinei sumai. Universalios, t.y. visoms molekulėms tinkančios potencinės energijos formulės nėra, tačiau tą energijos priklausomybę nuo atstumo tarp molekulių gana tiksliai aprašo Lenardo – Džonso formulė: W p
a1 a2 , r 12 r 6
čia pirmasis narys išreiškia stūmos, antrasis – traukos potencinę energiją, koeficientai a1 ir a2 priklauso nuo dujų cheminės prigimties. Potencinės energijos priklausomybė nuo atstumo tarp molekulių centrų pateikta 11.1 b paveiksle. Molekulės chaotiškojo judėjimo vidutinė kinetinė energija, kaip žinome, tiesiogiai proporcinga dydžiui kT , t.y. temperatūrai. Tokiose temperatūrose, kuriose kT>>W pmin, medžiaga yra garų būsenoje, kadangi intensyvus šiluminis judėjimas trukdo molekulėms susijungti. Kai kT~W pmin, medžiaga skysta, kai kT<
Van der Valso lygtis ir jos izotermės. Aprašant realiąsias dujas, būtina įvertinti kaip molekulių matmenis, taip ir jų sąveikos jėgas. Dėl viso to idealiųjų dujų modelis bei būsenos lygtis ( pV m=RT ) realiosioms dujoms netinka. Olandų fizikas Van der Valsas, pasinaudojęs idealiųjų dujų būsenos lygtimi bei įvertinęs dujų molekulių savąjį tūrį ir tarpmolekulines jėgas, išvedė realiųjų dujų būsenos lygtį. Jei idealiųjų dujų molekulės gali laisvai judėti visame jų užimame tūryje V m (vieno
d
molio atveju), tai realiųjų dujų molekulės gali judėti tūryje (V m – b); čia b – dydis, lygus viename molyje esančių molekulių keturgubam savajam tūriui. Jeigu inde, pvz., yra dvi
11.2 pav.
molekulės, kiekvienos jų centras negali priartėti prie kitos molekulės centro mažesniu kaip d atstumu (11.2 pav.). Tai reiškia,
– 39 – kad antrosios molekulės centras negali patekti į sferą, kurios spindulys lygus d . Šios sferos tūris lygus aštuoniems vienos molekulės tūriams. Taigi, vienai molekulei „neprieinamas“ keturgubas jos tūris. Tarp idealiųjų dujų molekulių jokios jėgos neveikia. Tarp realiųjų dujų molekulių veikiančios traukos jėgos sukelia papildomą, taip vadinamąjį vidinį slėgį. Van der Valso paskaičiavimais, vidinis slėgis atvirkščiai proporcingas dujų užimamo tūrio kvadratui:
p
a , V m2
čia a – van der Valso pastovioji, priklausanti nuo tarpmolekulinių traukos jėgų, t.y. dujų rūšies. Įvedęs dvi paminėtas pataisas, Van der Valsas realiųjų dujų būsenos lygtį vienam moliui užrašė taip:
p a2 V m b RT . V m Būsenos lygtis bet kokiam molių skaičiui ν (ν = m/M, V=νV m ) atrodo taip:
2 a V p 2 b RT , V
arba p 2 a / V 2 V b RT ,
čia pataisos a ir b – konkrečių dujų pastoviosios, nustatomos eksperimentiškai. Tam tereikia užrašyti Van der Valso lygtį dviems žinomoms dujų būsenoms ir išspręsti ją a ir b atžvilgiu. Išvesdamas šią lygtį, Van der Valsas įvedė keletą supaprastinimų, todėl lygtis nėra labai tiksli. Buvo mėginta užrašyti tikslesnes realiųjų dujų būsenos lygtis, jų yra virš šimto. Dauguma iš jų gerokai sudėtingesnės, tačiau rezultatų tikslumas ne ką didesnis, negu kad naudojantis van der Valso lygtimi.
Realiųjų dujų izotermės. Iš Van der Valso lygties vienam moliui apskaičiavę tūrio priklausomybes nuo slėgio, kai dujų temperatūra pastovi, gautume realiųjų dujų teorines izotermes arba Van der Valso izotermes (11.3 pav.). Kai dujų temperatūros aukštos (T>T k) , jų forma artima hiperbolei, t.y. slėgis priklauso nuo tūrio panašiai kaip ir idealiųjų dujų. Temperatūrai mažėjant, izotermių forma kinta ir, esant krizinei temperatūrai T k, atsiranda „persilenkimo“ taškas K – krizinę būseną išreiškiantis taškas. Šiame taške pasiekiamas toks dujų tankis, kuris nesiskiria nuo suskystintų dujų tankio šioje temperatūroje. Krizinėje būsenoje išnyksta skirtumas tarp dujinės ir skystos medžiagos fazių. Krizinės temperatūros izotermė vadinama krizine izoterme, o šią būseną atitinkantys parametrai V k, pk ir T k – kriziniais parametrais (vandens t k = 374,1 ºC, pk = 217·105 Pa). Neatšaldžius dujų žemiau krizinės temperatūros, jokiais slėgiais negalima jų paversti skysčiu. Žemesnių už T k temperatūrų Van der Valso izotermės yra sudėtingos, banguotos formos. Eksperimentinės realiųjų dujų izotermės gan gerai sutampa su Van der Valso izotermėmis tik tada, kai dujų temperatūros aukštesnės už krizinę. Kai temperatūra žemesnė už krizinę, eksperimentinė p= f (V ) priklausomybė (11.4 pav.) artima teorinei tik dalyje AB, atitinkančioje dujinį būvį, ir dalyje CD, atitinkančioje skystą būvį. Vidurinioji eksperimentinės izotermės dalis yra ne banguota BFEC, o tiesė BC: taške B dujos pradeda virsti skysčiu (susidaro sotieji garai), o taške C pasiekiama pilna garų kondensacija (dujos virsta skysčiu). Banguotoji Van der Valso izotermės dalis atitinka nestabilias realiųjų dujų būsenas (BF – persotintų arba peršaldytų garų būsena, CE – perkaitinto skysčio būsena). Būsenas, kurias išreiškia eksperimentinės izotermės atkarpos BF ir CF, galima realizuoti ir eksperimentiškai, jei suspaudžiamos dujos yra labai švarios, o suspaudimo ar išsiplėtimo procesai lėti. Taigi, praktiškai nerealizuojamos tik tos būsenos, kurias atitinka kreivės dalis EF. Šios būsenos dar nestabilesnės – dujas spaudžiant, jų slėgis ne didėja, o mažėja. Kaip matome, Van der Valso lygtis aprašo ne tik dujinę, bet ir skystąją medžiagos būseną.
– 40 – Skysčiai Slėgis nejudančiame skystyje. Paskalio dėsnis ir Archimedo keliamoji jėga. Mechanikos skyrius, kuriame nagrinėjami mechaniniai reiškiniai skysčiuose, vadinamas skysčių mechanika (hidromechanika). Jis dar skirstomas į hidrostatiką ir hidrodinamiką. Hidrostatika – tai mokslas, tyrinėjantis mechaninius reiškinius nejudančiame skystyje. Hidrodinamika tiria
skysčių judėjimą. Skystis (taip pat ir dujos) pirmiausia skiriasi nuo kietojo kūno tuo, kad nesipriešina šlyties deformacijai. Todėl jis labai lengvai keičia savo formą, prisitaikydamas prie indo formos. Iš molekulinės fizikos ir termodinamikos skyrių žinome, kad išorinės jėgos nesunkiai gali keisti dujų tūrį, t.y. dujos pasižymi spūdumu. Skysčių spūdumas labai mažas ir artimas kietųjų kūnų spūdumui. Bandant pakeisti skysčio tūrį išorinėmis jėgomis, atsiranda tamprumo jėgos, kurios atsveria išorinį poveikį. Skysčio tamprumas reiškiasi tuo, kad slegiamo skysčio dalelės veikia viena kitą ir šį poveikį perduoda kūnams, su kuriais liečiasi. Šis poveikis apibūdinamas skysčio slėgiu. Jeigu indo, kuriame yra skystis, sienelės elementą dS jo normalės kryptimi skystis veikia jėga dF n (6.1 pav., a), tai slėgis p
yra
dF n . dS
Slėgis – skaliarinis dydis. Jo SI vienetas yra paskalis (1Pa=1N/1m2). Toks pat slėgis veikia ne tik indo sieneles, tačiau ir bet kokį elementą skysčio viduje, tokiame pat gylyje (6.1 pav., b). Paskalio dėsnis teigia, kad panardintą kūną skystis iš visų pusių slegia vienodai.
Tačiau tai teisinga tik tuo atveju, kai galima nepaisyti vadinamųjų tūrinių jėgų. Pavyzdžiui, gravitaciniame lauke skysčio slėgis didėja leidžiantis gilyn. Jeigu slėgis skysčio paviršiuje p0, tai gylyje h (6.2 pav.) – p:
p p0 g h; čia ρ – skysčio
tankis, g – laisvojo kritimo pagreitis. Dėl nevienodo skysčio slėgio skirtingame gylyje atsiranda keliamoji jėga (Archimedo jėga). Archimedo dėsnis teigia, kad kūną veikianti keliamoji jėga yra lygi kūno išstumto skysčio svoriui.
Skysčio paviršiaus įtemptis. Papildomas slėgis po iškreivintu paviršiumi. Kapiliarumas. Kai skystis liečiasi su kita aplinka, pavyzdžiui, nuosavais garais, kitu skysčiu ar kietuoju kūnu, jo paviršius yra skirtingose sąlygose negu likusi masė. Skirtingos sąlygos susidaro todėl, kad skysčio viduje molekules supa to paties skysčio molekulės ir jų sąveikos jėgos kompensuojasi, o ribiniame sluoksnyje skysčio molekulės susiduria su kitos aplinkos molekulėmis, kurių tankis ir sąveikos jėgos gali būti visiškai kitokios. Todėl kiekvieną paviršinio sluoksnio molekulę veikiančios jėgos nėra kompensuotos ir jų atstojamoji veikia arba į skysčio vidų (6.11 pav.), arba į ribinės aplinkos pusę. Tuo atveju, kai skysčio paviršius ribojasi su jo paties garais, dėl didelio tankių skirtumo visas paviršiniame sluoksnyje esančias molekules veikia į skysčio vidų nukreipta jėga. Ši jėga didėja einant paviršinio sluoksnio išorinės ribos link. Todėl, pernešant molekulę iš skysčio gilumos į paviršių, reikia atlikti darbą. Atlikto darbo dydžiu padidėja molekulės potencinė energija. Todėl kiekviena skysčio paviršinio sluoksnio molekulė kitų atžvilgiu turi potencinės energijos perteklių. Šią skysčio paviršinio sluoksnio perteklinę potencinę energiją W p vadiname paviršiaus energija. Kadangi ši energija yra tik paviršiniame sluoksnyje, tai ji tiesiogiai proporcinga paviršiaus plotui S : W p S .
– 41 – Kaip žinome, kiekvieno kūno pastoviąją būseną atitinka minimali potencinė energija, todėl skysčio laisvajame paviršiuje veikia su juo lygiagrečios jėgos, kurios stengiasi sumažinti to paviršiaus plotą, taip pat ir paviršiaus energiją. šios jėgos primena tamprumo jėgas, veikiančias įtempus ploną guminę plėvelę. Jas vadiname paviršiaus įtempties jėgomis. Dėl to formulėje esantis proporcingumo koeficientas σ vadinamas paviršiaus įtempties koeficientu. Iš šios formulės išeina, kad paviršiaus įtempties koeficientas ( σ =Wp / S ) skaitine verte lygus paviršiaus ploto vieneto energijai. Skysčio laisvojo paviršiaus forma priklauso nuo paviršiaus įtempties jėgų, skysčio sąveikos su jį ribojančio kietojo kūno sienelėmis ir skystį veikiančios žemės traukos jėgos. Kreivas skysčio paviršius ties indo sienelėmis vadinamas menisku. Meniską apibūdina ribinis kampas ϑ tarp sušlapintos sienelės ir menisko jų susikirtimo taške (6.12 pav.). Jeigu ϑ <π/2 (6.12 pav., a), tai sakoma, kad skystis sienelę drėkina, o jei ϑ >π/2 (6.12 pav., b) – skystis sienelės nedrėkina. Kai indas platus ir skysčio laisvasis paviršius didelis, ribiniai reiškiniai neturi reikšmės. Plonuose, į skystį panardintuose vamzdeliuose (kapiliaruose) vyksta vadinamieji kapiliariniai reiškiniai. 6.13 paveiksle parodyti du atvejai, kai plonas stiklinis vamzdelis (kapiliaras) panardintas į vandenį (a) ir į gyvsidabrį (b). Stiklinį kapiliarą panardinus į vandenį, skysčio paviršius įgyja įgaubtą formą ir pakyla aukštyn dydžiu h1. Tai reiškia, kad vanduo drėkina stiklą. Gyvsidabrio atveju gaunamas išgaubtas meniskas ir skystis nusileidžia dydžiu h2. Tai reiškia, kad gyvsidabris stiklo nedrėkina. P. Laplasas įrodė, kad paviršiaus įtempties jėgos tokį išlenktą paviršių veikia papildomu slėgiu ∆ p, nukreiptu į paviršiaus kreivumo centrą:
p
2 ; čia σ – paviršiaus įtempties koeficientas; R – paviršiaus kreivumo spindulys. R
Kai kapiliaras apvalus, pasinaudojus Laplaso formule galima apskaičiuoti skysčio pakilimo ar nusileidimo aukštį h. Jei kapiliare skystis pakyla, jį aukštyn kelia Laplaso slėgio jėga 2σ / R, o žemyn spaudžia skysčio stulpo slėgio jėga ρgh. 2 gh, čia ρ – skysčio tankis; g – laisvojo kritimo pagreitis. R
Nusistovėjus pusiausvyrai,
h
Išreiškiame h:
2 . gR
Pernešimo reiškiniai Judant dujų molekulėms, jos palyginti lėtai pereina iš vieno erdvės taško į kitą, nes, nepaisant didelių greičių, kryptingam jų judėjimui kliudo nuolatiniai susidūrimai. Tačiau atskirais atvejais kryptingas judėjimas vis tik stebimas ir juo paaiškinami vadinamieji pernešimo reiškiniai – difuzija, šilumos laidumas, vidinė trintis arba klampa.
Difuzija. Jeigu vienos rūšies dujų molekulių koncentracija vienoje erdvės dalyje skiriasi nuo jų koncentracijos kitoje dalyje, tai, laikui bėgant, dėl chaotiškojo dujų molekulių judėjimo jų koncentracijos išsilygins. Molekulės iš ten, kur jų koncentracija didesnė, pereis į erdvės dalį, kur jų koncentracija mažesnė. Sakykime, nagrinėjamųjų dujų molekulių koncentracija ir tankis kinta išilgai Ox ašies (pav.). Tada pro statmeną ašiai plotelį ∆S per laiką ∆t pereis medžiagos masė
m D
S n1
S t , (*) x
- medžiagos tankio gradientas. Ši x formulė išreiškia Fiko dėsnį. Minuso ženklas rodo, kad medžiaga čia D – difuzijos koeficientas,
n2
pernešama tankio mažėjimo kryptimi. SI vienetų sistemoje difuzijos -
0
x
koeficientas matuojamas m2/s. Skaitine verte jis lygus medžiagos masei, perneštai pro ploto vienetą per laiko vienetą esant vienetiniam tankio
gradientui.
