Matemáticas I. La Inducción a Las Competencias

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Inducción a las competencias

Matemáticas, Primer Grado Educación Secundaria

MÉXICO ARGENTINA BRASIL COLOMBIA COSTA RICA CHILE ESPAÑA GUATEMALA PERÚ PUERTO RICO VENEZUELA

2 Datos de catalogación bibliográfica ARRIAGA CORONILLA, ALFONSO, MARCOS MANUEL BENÍTEZ CASTANEDO y MARÍA DEL CARMEN CORTÉS ALTAMIRANO MATEMÁTICAS 1, Inducción a las competencias PEARSON EDUCACIÓN. México, 2008 ISBN 13: 978-970-26-1536-1 Área: Secundaria Formato: 20.5 x 27 cm

Páginas: 264

Editado por:

EDIMEND, S.A. de C.V.

Director editorial:

Francisco Méndez Gutiérrez

Editor general:

Alberto García Rodríguez

Revisión técnica:

Rosalía Blancas Noriega

Diseño y formación editorial:

Alexandro Portales Padilla

Corrección de estilo y editorial:

Rosalía Blancas Noriega

Diseño de portada:

Elizabeth Martínez Suástegui

Ilustraciones:

Hugo Miranda Ruiz

Fotografías:

Archivo EDIMEND

Coordinación editorial PEARSON: Gloria Morales Veyra / Sandra Pérez Morales SEGUNDA EDICIÓN, 2008 DR

2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. © Atlacomulco 500 - 5o piso Col. Industrial Atoto C.P. 53519, Naucalpan de Juárez Estado de México

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-1536-4 ISBN 13: 978-970-26-1536-1 IMPRESO EN MÉXICO PRINTED IN MEXICO

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INTRODUCCIÓN Al maestro: En una sociedad que se mantiene en permanente cambio, es indispensable que en sus escuelas se formen ciudadanos capaces de dar respuestas asertivas y pertinentes a la problemática que se presenta día a día en todos los ámbitos de la vida, y que, además de adquirir conocimientos y desarrollar habilidades y actitudes para asumir de manera responsable las tareas de participación social, sean capaces de adquirir herramientas intelectuales para continuar aprendiendo a lo largo de su existencia. El estudio de las matemáticas en la educación secundaria se orienta a lograr que los alumnos aprendan a plantear y resolver problemas en distintos contextos; a justificar la validez de los procedimientos y resultados, así como a utilizar adecuadamente el lenguaje matemático para comunicarlos. Bajo esta perspectiva, se espera que su participación sea la de organizar el trabajo de sus alumnos por medio de la solución de problemas, aprovechando lo que ya saben y así avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces, y sean los propios estudiantes quienes, en forma colaborativa y crítica, presenten propuestas de resolución que les posibiliten mejores aprendizajes. El propósito de las actividades contenidas en este libro es que, con su resolución, se pueda propiciar en los alumnos el desarrollo de competencias matemáticas, como son: Planteamiento y resolución de problemas, Argumentación, Comunicación y Manejo de técnicas. Para lo anterior, es conveniente promover el trabajo individual, en equipo y el grupal, ya que la interacción entre los alumnos fortalecerá la responsabilidad y la motivación para seguir aprendiendo. En la organización del trabajo, es importante que considere el intercambio de experiencias con los demás docentes de la asignatura, aproveche la vinculación de los contenidos con los de otras asignaturas y realice un trabajo interdisciplinario; de esta manera, favorecerá el desarrollo integral de los alumnos y posibilitará que alcancen uno de los principales propósitos de la educación secundaria: la formación de individuos autónomos, capaces de aprender por cuenta propia. Al alumno: En este libro, MATEMÁTICAS 1, Inducción a las competencias, encontrarás información teórica de las matemáticas para que posteriormente la apliques a situaciones particulares de la vida cotidiana; no encontrarás simplemente fórmulas, series numéricas, símbolos, signos o cuestiones abstractas que te den en forma automática la respuesta a un problema. Al resolver los problemas planteados, te darás cuenta de tu capacidad para generar procedimientos de resolución sin la necesidad de ajustarte a modelos prescritos, y tendrás la posibilidad de integrar y aplicar las matemáticas de manera propia, ajustando las situaciones teóricas a problemas personales y cotidianos. Las competencias matemáticas que podrás desarrollar en el estudio de esta asignatura te permitirán, de acuerdo con cada eje temático: • En el Planteamiento y resolución de problemas: identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones, utilizando más de un procedimiento y reconociendo cuál o cuáles son más eficaces. • En la Argumentación: formular líneas de pensamiento que den sustento al procedimiento y/o solución encontrados. • En la Comunicación: expresar y representar información matemática, así como interpretarla. • En el Manejo de técnicas: hacer uso eficiente de procedimientos y formas de representación al efectuar cálculos, ya sea que te apoyes o no en la tecnología. Por último, te damos la bienvenida a tu primer año de secundaria y esperamos que hagas de esta etapa una de las más exitosas de tu vida. Los autores

ESTRUCTURA DEL LIBRO

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Las actividades de MATEMÁTICAS 1, Inducción a las competencias, se diseñaron pensando en jóvenes estudiantes como tú, que requieren y hacen uso de conocimientos ágiles y precisos para ser competentes en el uso de las matemáticas. A fin de alcanzar estos propósitos y aprovechar al máximo los recursos de esta obra, te presentamos a detalle las secciones del libro: ENTRADA DE BLOQUE: En ella se establecen los logros que se esperan de ti al término del mismo. LÍNEA DEL TIEMPO: Esta sección tiene como propósito mostrar la influencia que tienen entre sí los avances de la sociedad y las matemáticas en un esfuerzo por resolver los problemas que se hacen presentes en cada contexto. Recuerda que las matemáticas son producto de la participación de la sociedad. Antes de iniciar el trabajo de cada bloque, comenta su contenido y a lo largo del trabajo del libro identifica la temporalidad de los esfuerzos de la humanidad por comprender y avanzar en el estudio de las matemáticas ACTIVIDAD PREVIA: Te ayuda a recuperar lo que aprendiste en otro momento, y así aprovechar tu experiencia. Frecuentemente se propone el trabajo en equipo, fomentando el desarrollo colaborativo, y se plantean situaciones en las que desarrollarás tu capacidad para construir nuevos conocimientos.

EJES TEMÁTICOS: Señalados con colores diferentes, te ayudarán a identificar a cuál corresponden los contenidos que se estudiarán: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la información.

TEMA: Indica el contenido general que se desarrollará y su correspondiente APARTADO.

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Indica cuáles son los que se pretenden alcanzar al finalizar el apartado.

Interconexión con otras asignaturas: Te permite conocer en qué áreas del saber humano se aplican las matemáticas.

5 Recuadros de información: Refuerzan los conceptos y hacen más accesibles los temas tratados.

Se sabe que…: Te brinda datos que enriquecen el tema principal del apartado.

Vocabulario: Incluye la definición de aquellas palabras que pueden presentar alguna dificultad por su significado. En el texto, las encontrarás destacadas en color rojo.

Actividad: Incluye ejercicios para que practiques, adquieras seguridad, alcances la autonomía y desarrolles competencias en el manejo de técnicas. Actividad complementaria: Contiene referencias de actividades adicionales que puedes realizar con otros materiales y recursos.

PIENSA: Plantea actividades que te invitan a reflexionar acerca del tema que estás estudiando.

Actividad Extra: Te ayudará a reforzar los conocimientos desarrollados en el tema. Si te gustan los retos, seguramente ésta será una de tus secciones favoritas.

¿CUÁNTO APRENDÍ? Te servirá a ti y a tu maestro como diagnóstico, para que identifiques en cuáles temas debes esforzarte y aplicarte más. El propósito de esta sección es que aprendas a reconocer tres cosas: “Qué aprendí, qué estoy aprendiendo y qué me falta por aprender”.

Al finalizar cada bloque encontrarás las secciones APLICACIÓN DE APRENDIZAJES y EXPLORACIÓN DE RECURSOS TECNOLÓGICOS: en la primera tendrás la oportunidad de aplicar específicamente algunas habilidades matemáticas al efectuar operaciones; en la última, tendrás la oportunidad de apoyarte en la tecnología, utilizando hojas electrónicas de cálculo, como herramienta en la solución de problemas.

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ÍNDICE INTRODUCCIÓN..................................................................................................................................................................... 3 ESTRUCTURA DEL LIBRO....................................................................................................................................................... 4

BLOQUE 1 ENTRADA DE BLOQUE.......................................................................................................................................................... 9 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO............................................................................................... 10 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS........................................................................................................... 10 Apartado 1: NÚMEROS NATURALES (Sistemas de numeración)..................................................................... 10 Apartado 2: NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES (Las fracciones en la recta numérica)............. 24 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES............................................................................................................. 29 Apartado 3: PATRONES Y FÓRMULAS I (Sucesiones numéricas y figurativas)........................................... 29 Apartado 4: PATRONES Y FÓRMULAS II (Literales y fórmulas geométricas)............................................... 32 FORMA, ESPACIO Y MEDIDA........................................................................................................................................... 36 TEMA: TRANSFORMACIONES............................................................................................................................................ 36 Apartado 5: MOVIMIENTOS EN EL PLANO (Simetría axial)............................................................................ 36 MANEJO DE LA INFORMACIÓN...................................................................................................................................... 40 TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN.......................................................................................................................... 40 Apartado 6: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD I (Proporcionalidad directa: valor faltante)........... 40 Apartado 7: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD II (Proporcionalidad directa: reparto proporcional).. 43 TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN........................................................................................................... 46 Apartado 8: DIAGRAMAS Y TABLAS I (Conteo).................................................................................................. 46 APLICACIÓN DE APRENDIZAJES....................................................................................................................................... 51 EXPLORACIÓN DE RECURSOS TECNOLÓGICOS............................................................................................................ 52 ¿CUÁNTO APRENDÍ?............................................................................................................................................................ 53

BLOQUE 2 ENTRADA DE BLOQUE........................................................................................................................................................ 55 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO............................................................................................... 56 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES.................................................................................................... 56 Apartado 1: PROBLEMAS ADITIVOS I (Adición de fracciones y decimales)................................................. 56 Apartado 2: PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS I (Multiplicación y división con fracciones).......................... 65 Apartado 3: PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS II (Multiplicación con decimales)........................................... 72 FORMA, ESPACIO Y MEDIDA........................................................................................................................................... 77 TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS....................................................................................................................................... 77 Apartado 4: RECTAS Y ÁNGULOS (Mediatriz y bisectriz).................................................................................. 77 Apartado 5: FIGURAS PLANAS I (Polígonos regulares).................................................................................... 85 TEMA: MEDIDA..................................................................................................................................................................... 95 Apartado 6: JUSTIFICACIÓN DE FÓRMULAS I (Perímetro y área de polígonos)......................................... 95

7 MANEJO DE LA INFORMACIÓN.....................................................................................................................................111 TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN.........................................................................................................................111 Apartado 7: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD III (Proporcionalidad directa: valor faltante con operadores fraccionarios y decimales)................................................................111 Apartado 8: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD IV (Factor constante de proporcionalidad)......... 118 APLICACIÓN DE APRENDIZAJES..................................................................................................................................... 122 EXPLORACIÓN DE RECURSOS TECNOLÓGICOS.......................................................................................................... 124 ¿CUÁNTO APRENDÍ?.......................................................................................................................................................... 125

BLOQUE 3 ENTRADA DE BLOQUE...................................................................................................................................................... 127 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO............................................................................................. 128 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES.................................................................................................. 128 Apartado 1: PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS III (División de números decimales).................................... 128 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES........................................................................................................... 136 Apartado 2: ECUACIONES (Ecuaciones de primer grado)............................................................................. 136 FORMA, ESPACIO Y MEDIDA......................................................................................................................................... 146 TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS..................................................................................................................................... 146 Apartado 3: FIGURAS PLANAS II (Construcción de triángulos y cuadriláteros)......................................... 146 TEMA: MEDIDA................................................................................................................................................................... 160 Apartado 4: ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR I (Perímetro y área de triángulos, romboides y trapecios)... 160 MANEJO DE LA INFORMACIÓN.................................................................................................................................... 169 TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN........................................................................................................................ 169 Apartado 5: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD V (Proporcionalidad: procedimientos expertos).169 Apartado 6: PORCENTAJES (Cálculo de porcentaje)....................................................................................... 175 TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN........................................................................................................ 183 Apartado 7: DIAGRAMAS Y TABLAS II (Tablas de frecuencia)...................................................................... 183 Apartado 8: GRÁFICAS I (Análisis y diseño de gráficas)............................................................................... 186 TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN........................................................................................................................ 191 Apartado 9: NOCIONES DE PROBABILIDAD I (Fenómenos aleatorios)....................................................... 191 APLICACIÓN DE APRENDIZAJES....................................................................................................................................200 EXPLORACIÓN DE RECURSOS TECNOLÓGICOS.......................................................................................................... 201 ¿CUÁNTO APRENDÍ?..........................................................................................................................................................202

BLOQUE 4 ENTRADA DE BLOQUE......................................................................................................................................................203 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO...................................................................................204 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS.........................................................................................................204 Apartado 1: NÚMEROS CON SIGNO (Enteros y fracciones con signo).......................................................204

8 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES..................................................................................................209 Apartado 2: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN (Potencias y raíz cuadrada)................................................209 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES........................................................................................................... 213 Apartado 3: RELACIÓN FUNCIONAL I (Relaciones de proporcionalidad: y = kx).................................... 213 FORMA, ESPACIO Y MEDIDA......................................................................................................................................... 217 TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS..................................................................................................................................... 217 Apartado 4: FIGURAS PLANAS III (Círculo)........................................................................................................ 217 TEMA: MEDIDA................................................................................................................................................................... 221 Apartado 5: JUSTIFICACIÓN DE FÓRMULAS II (Pi: razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro).. 221 Apartado 6: ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR II (Perímetro y área del círculo)............................................ 224 MANEJO DE LA INFORMACIÓN....................................................................................................................................228 TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN.........................................................................................................228 Apartado 7: GRÁFICAS II (Gráfica de una relación de proporcionalidad)................................................228 APLICACIÓN DE APRENDIZAJES.....................................................................................................................................232 EXPLORACIÓN DE RECURSOS TECNOLÓGICOS..........................................................................................................234 ¿CUÁNTO APRENDÍ?..........................................................................................................................................................236

BLOQUE 5 ENTRADA DE BLOQUE...................................................................................................................................................... 237 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO...................................................................................238 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES..................................................................................................238 Apartado 1: PROBLEMAS ADITIVOS II (Adición y sustracción de números con signo).............................238 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES........................................................................................................... 242 Apartado 2: RELACIÓN FUNCIONAL II (Análisis de gráficas de variación proporcional directa)........ 242 FORMA, ESPACIO Y MEDIDA..........................................................................................................................246 TEMA: MEDIDA................................................................................................................................................................... 246 Apartado 3: ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR III (Área de figuras planas).................................................... 246 MANEJO DE LA INFORMACIÓN.................................................................................................................................... 248 TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN......................................................................................................................... 248 Apartado 4: NOCIONES DE PROBABILIDAD II (Equiprobabilidad)............................................................... 248 Apartado 5: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD VI (Proporcionalidad inversa).................................250 TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN.........................................................................................................254 Apartado 6: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN (Moda, mediana y media aritmética)..254 APLICACIÓN DE APRENDIZAJES.....................................................................................................................................258 EXPLORACIÓN DE RECURSOS TECNOLÓGICOS..........................................................................................................260 ¿CUÁNTO APRENDÍ?..........................................................................................................................................................262 FUENTES DE CONSULTA....................................................................................................................................................263 BIBLIOGRAFÍA PARA EL ALUMNO..................................................................................................................................263 BIBLIOGRAFÍA PARA EL DOCENTE..................................................................................................................................263 SITIOS DE INTERNET..........................................................................................................................................................264 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA...........................................................................................................................................264

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BLOQUE 1 Como resultado del estudio de este bloque temático, se espera que los alumnos: 1. Conozcan las características del sistema de numeración decimal (base, valor de posición, número de símbolos) y establezcan semejanzas o diferencias con respecto a otros sistemas posicionales y no posicionales. 2. Comparen y ordenen números fraccionarios y decimales mediante la búsqueda de expresiones equivalentes, la recta numérica, los productos cruzados u otros recursos. 3. Representen sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa. 4. Construyan figuras simétricas respecto de un eje e identifiquen cuáles son las propiedades de la figura original que se conservan. 5. Resuelvan problemas de conteo con apoyo de representaciones gráficas.

Contexto histórico 3500 a.C. Invención de la rueda.

3500 a.C.

3100 a.C.

2785 a.C. Construcción de Stonehenge.

2750 a.C. Construcción de las pirámides de Gizeh.

2700 a.C.

1790 a.C. Hammurabi, rey intelectual de Babilonia.

2300 a.C.

1900 a.C.

1500 a.C.

Hechos matemáticos 3000 a.C.

2000 a.C. aprox.

1800 a.C.

1500 a.C.

Se inventa el ábaco.

Numeración decimal cuneiforme asirio-babilónica.

Numeración cuneiforme babilónica (base 60).

Se inventa el

Numeración jeroglífica.

reloj de sol.

MATEMÁTICAS 1

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SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Sistemas de numeración

Tema: Significado y uso de los números APARTADO 1: NÚMEROS NATURALES

Conocimientos y habilidades Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales.

Actividad Previa Además de los números que actualmente utilizamos, ¿qué otras formas utilizarías para expresar cantidades? Por ejemplo, una manera de representar el número cuatro puede ser: • • • •. Escribe otra forma de expresar el número cuatro, preséntala al grupo y comenta por qué podría representar tal cantidad. Menciona otra cultura que haya escrito sus números de manera diferente a como actualmente los escribimos y ejemplifica como lo hacían. Geografía: Egipto se ubica en el continente africano y en él se encuentra el segundo río más largo del mundo: el Nilo, con 6 671 km de longitud.

Numeración egipcia Uno de los más antiguos sistemas de numeración que se conocen es el egipcio. Los egipcios escribían así cuatro:

, el tres

y el seis

Cada una de estas marcas, llamadas varas, representaba al número uno. Actividad 1.1 Escribe con números egipcios las siguientes cantidades. a) ocho:

b) cinco:

c) siete:

d) dos:

Si actualmente mantuviéramos la escritura de números solamente con varas, ¿cómo representarías el número cien? Afortunadamente, alrededor de 3400 años antes de Cristo, los egipcios hicieron agrupaciones de diez en diez y utilizaron los siguientes símbolos para los números diez, cien, mil y diez mil. Así, el número once los escribían: . Observa que, en lugar de once varas, ahora sólo usaban dos símbolos. Actividad 1.2 Escribe con números egipcios las siguientes cantidades. a) doce:

c) dieciséis:

b) quince:

d) dieciocho:

talón 10 5 10 3 1 flor 1 000 5 10 3 100

cuerda 100 5 10 3 10 dedo 10 000 5 10 3 1 000

BLOQUE 1

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Actividad 1.3 Desarrolla cada número y verifica su equivalencia. a) veinte:



b) doscientos cinco:



c) mil cien:

10 000 1 100 1 100 1 1 1 1

d) diez mil doscientos dos: f) cuarenta y tres:



e) veinte mil ciento quince:



g) trescientos doce:



h) mil quinientos veintiuno:



i) dos mil siete:



j) treinta y tres mil:



Este sistema de numeración era suficiente para expresar grandes cantidades, aunque con el tiempo también llegaron a uti lizarse otros signos:

Pez 100 000



1 0 2 0 2

Hombre asustado 1 000 000

¿Observaste que en este sistema de numeración los valores de los signos se suman? El sistema de numeración egipcio utilizaba el principio aditivo.

Principio aditivo: Suma de valores de los símbolos que forman un número.

Actividad 1.4 Convierte los siguientes números del sistema egipcio a nuestro sistema decimal de numeración. Representa la adición realizada. a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

Para saber más acerca de la numeración egipcia, puedes consultar en la Internet: http://redescolar.ilce.edu.mx

MATEMÁTICAS 1

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Los babilonios y la numeración cuneiforme Hace aproximadamente 5000 años, en Mesopotamia, la numeración se escribía con símbolos en forma de “cuñas” o “clavos”. Los símbolos permitían hacer agrupamientos de 10 en 10 y utilizaban tablillas con marcas cuneiformes. Así representaban el 1 (   ) y así el 10 (  ) Cuneiformes: Caracteres en forma de cuña o clavo.

Actividad 1.5 Observa cómo escribían algunos números y completa, con cuñas, la numeración que se pide.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Al utilizar cuñas de mayor valor se marcaban del lado izquierdo. Actividad 1.6 Observa cómo escribían cantidades mayores que 10 y completa la numeración que se pide.



(12)

(14)

(16)

(22)

(23)



(33)

(42)

(48)

(53)

(57)

Se sabe que... Los babilonios reunieron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, entre otras.

Con el paso del tiempo, los babilonios cambiaron de este sistema aditivo de numeración en el que se hacían agrupamientos de 10 (decimal) por un sistema en el que los agrupamientos eran de 60 (sexagesimal). Observa.

Decimal: Sistema de numeración cuya base es 10.

(1360 1 12) 5 72 (12360 1 23) 5 743 Utilizaban el sistema decimal hasta el número 60; a partir de ahí, el valor lo daba su posición dentro del grupo de símbolos, lo que significa que cada sesenta unidades de un determinado orden formaban una unidad del orden inmediato superior. Así, el uno en el tercer orden significaba 1 3 60 3 60.

Sexagesimal: Sistema de numeración cuya base es 60.

Significaba 1360360 1 1360 12 5 3662

BLOQUE 1

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Actividad 1.7 ¿A qué cantidad corresponden los siguientes dos números babilónicos? a)

b)

(

) 5 (

)5

Numeración romana En la primaria trabajaste con los números romanos. Recuerda que esta numeración tiene cuatro símbolos básicos: I, X, C y M



I 5 1 X 5 10 C 5 100 M 5 1 000 Los romanos utilizaron el alfabeto escrito para la representación de números.

Actividad 1.8 Completa, escribiendo en el paréntesis, el valor numérico que representa cada uno de los siguientes números romanos.

I

( 1 )

X

( 10 )

(

C

)

(

M

)

Actividad 1.9 Compara tus resultados con los de tus compañeros y, en equipo, contesten las siguientes preguntas. Argumenten sus respuestas. a) Si los símbolos básicos representan a partir de productos de 10 (1, 10, 10 x 10, 10 x 10 x 10), ¿cuál es la base del sistema de numeración romano? b) El sistema romano también aplicaba el principio aditivo y tenía una regla de orden en su escritura: los símbolos se escriben de izquierda a derecha, de manera que primero aparezcan los símbolos de mayor valor. ¿En qué consiste el principio aditivo?

MATEMÁTICAS 1

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Posteriormente introdujeron tres símbolos secundarios, cuyo valor era la mitad correspondiente de los números X, C y M. V5

10 55 2

L5

100 5 50 2

D5

1000 5 500 2

Actividad 1.10 Escribe en el paréntesis el valor, en nuestro sistema de numeración decimal, que corresponda a los siguientes números romanos y completa las afirmaciones.

(

V

)

(

Vale la mitad de X

L

)

(

Vale la mitad de

D

)

Vale la mitad de

El sistema romano de numeración se formó con siete símbolos (cuatro básicos y tres secundarios). Actividad 1.11 Completa los siete símbolos que forman el sistema romano de numeración.

Símbolos básicos



I



( 1 )

Símbolos secundarios V

(

)

(

)

(

)

( 5 )

(

)

(

)

Actividad 1.12 Convierte los siguientes números romanos a nuestro sistema de numeración. a) XIII 5

c) XXXII 5

e) LXVI 5

g) CCXXII 5

i) MDCLXVI 5

b) XXV 5

d) LV 5

f) CLV 5

h) DLV 5

j) MMVIII 5

Principio sustractivo: En la numeración romana, resta del valor de un símbolo básico al valor de un símbolo mayor inmediato: iv, ix, xl, xc, cd, cm (únicos casos).

Para evitar escribir más de tres veces un mismo símbolo, los romanos introdujeron el principio sustractivo para las cifras cuatro y nueve de cada orden.

Actividad 1.13 Observa el principio sustractivo y completa la conversión de los siguientes números romanos a nuestro sistema de numeración. Compara tus resultados con los de tus compañeros más cercanos. a) IV 5 5 2 1 5 4

c) XL 5

e) CD 5

b) IX 5 10 2 1 5 9

d) XC 5

f) CM 5

BLOQUE 1

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Actividad 1.14 Formen equipos y contesten. ¿En qué consiste el principio sustractivo? Argumenten sus respuestas y expónganlas ante el grupo.

Algunos relojes tienen la numeración romana en su carátula. Observa cómo tiene escrito este reloj el número cuatro.

Principio multiplicativo: En la numeración romana, una línea encima de un símbolo multiplica su valor por 1 000.

Los romanos también introdujeron el principio multiplicativo en su sistema de numeración, donde una raya trazada sobre una letra multiplica su valor por 1 000 y, dos rayas, lo multiplican por 1 000 000.

¿Qué número está mal escrito en la siguiente expresión? Corrígelo. XI 1 III 5 II 1 X ? Actividad 1.15 Organizados en equipo, observen los siguientes números romanos y su equivalencia en el sistema usual de numeración. Completen los valores faltantes. a) V 5 5 3 1 000 5 5 000

f) IV 5 4 3 1 000 3 1 000 5 4 000 000

b) VII 5 7 3 1 000 5 7 000

g) XV 5 15 3 1 000 3 1 000 5 15 000 000

c) XIII 5

h) LX 5

d) C 5

i) XC 5

e) M 5

j) M 5

Actividad 1.16 Organizados en equipo, contesten con sus propias palabras: ¿en qué consiste el principio multiplicativo? Argumenten su respuesta ante el grupo.

MATEMÁTICAS 1

16 Actividad 1.17

Completa la información acerca de la numeración romana.

NUMERACIÓN ROMANA base

ejemplo

I ADITIVO

X C M

principios

símbolos

ejemplo

secundarios ejemplo

Para saber más acerca de la numeración romana, puedes consultar en la Internet : http://redescolar.ilce.edu.mx

A pesar de lo avanzado de este sistema de numeración, no resultaba adecuado para realizar con rapidez cálculos escritos. Actividad 1.18 Efectúa las siguientes adiciones con números romanos. a)

XXXIII 1XXVIII

b)

MCC 1MCCC

c)

LX 1LX

d)

CCCLVI 1 CCXLV

BLOQUE 1

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Actividad Extra En cada inciso, reacomoda un lápiz para que la expresión sea verdadera. Observa el ejemplo. Ejemplo:

a)

b)

Numeración maya

Se sabe que...

En México y América Central la civilización maya, alrededor del año 36 a.C., utilizaba un símbolo para el cero en su sistema de numeración. Los mayas escribían sus números de abajo hacia arriba.

Hacia el siglo I, los mayas usaban un pequeño óvalo con un arco inscrito para representar el cero. Cinco siglos después, los hindúes empezaron a usar un círculo para representar el cero.

Actividad 1.19 Observa y completa el equivalente de los siguientes números mayas. a)

c) ( 1 )

b)

(

)

d) (



f)

)

i) ( 6 )

g) ( 4 )

e)

)

(

)

j) (

)

(

)

h) ( 5 )

(

Compara tus resultados con los de los compañeros cercanos.

MATEMÁTICAS 1

18 Actividad 1.20

En equipo, completen el equivalente de los siguientes números mayas; preséntenlos al grupo y argumenten sus respuestas.

Equivalencia por orden y posición 3 400

1 200

3 20

100

31

9 1 309

a)



d)

( 12 )

b)



( 41 ) e)

(

)

c)



g)

(

)

h)

(

)

f)

( 20 )

j)

)

( 40 ) k)

( 30 ) i)

(

m)

)

)

(

)

(

)

n)

(

)

l)

(

(

o)

( 33 )

¿Qué número emplearon como base? Actividad 1.21

Se sabe que...

Contesta la siguiente pregunta: ¿de qué base era el sistema maya de numeración?

Principio posicional: Con la existencia del cero, cada símbolo admite dos valores: uno por sí mismo (valor absoluto) y otro por su colocación en el número (valor relativo).

En el sistema de numeración maya, 20 unidades formaban una unidad del orden inmediato superior.

Los mayas basaron su numeración en estudios astronómicos. En su calendario solar (haab), cada mes (huinal) tenía veinte días (kines). Al escribir sus números en diferentes niveles (posiciones), el sistema maya de numeración utilizaba el principio posicional. En este principio, los numerales adoptan dos valores: uno por lo que representa el símbolo (valor absoluto) y el otro por el lugar que ocupa en la cantidad (valor relativo). Cada posición puede ser ocupada por el cero o por cualquiera de los otros diecinueve números.

BLOQUE 1 Actividad 1.22

19 Se sabe que...

Escribe el equivalente de cada uno de los siguientes números mayas. Observa los ejemplos. a) 1 3 20 3 20 5 400 13 20 5 20 13 1 5 1 Total: 421 b)

2 3 20 3 20 3 20 5 16 000 23 20 3 20 5 800 23 20 5 40 23 1 5 2 Total: 16 842

c)

A partir del cero, los mayas inventaron un sistema de numeración posicional.

Geografía: Los mayas se establecieron en parte del istmo de Tehuantepec, la península de Yucatán, Guatemala y Honduras.

d)

Aun cuando sólo se utilizaban tres símbolos, se requería cierta destreza para escribir en este sistema de numeración, pues era necesario llevar un orden de abajo hacia arriba (1, 20, 400…). Actividad 1.23 Escribe con números mayas las siguientes cantidades. a) El número de alumnos de tu grupo. b) El año en el que terminarás la secundaria.

Otros sistemas de numeración Binario (base 2)

Podemos decir que el sistema de numeración maya era vigesimal (base 20) porque se forma con agrupaciones de 20 en 20 y utiliza 20 numerales distintos.

Se sabe que... El sistema de numeración maya utilizó el cero más de seis siglos antes que cualquiera de los sistemas numéricos de los países asiáticos.

MATEMÁTICAS 1

20

¿De qué tamaño serán las agrupaciones para un sistema de base dos? ¿Cuántos numerales tendrá? Se sabe que... Wilhelm Leibnitz (1646-1716) desarrolló el sistema binario utilizado hoy en las computadoras.

Al número que indica las veces que se repite la base como factor se le llama exponente.

Un número escrito en base dos sólo puede ocupar, en cada posición, dos símbolos distintos: 0 o 1. Cada dos unidades forman una unidad del siguiente orden. Observa el ejemplo. Orden 1 Unidades Orden 2 (2 3 1) Orden 3 (2 3 2) Orden 4 (2 3 4) Orden 5 (2 3 8) 1

1

0

exponente



23 5 2 3 2 3 2 5 8 base

1

factores

potencia

1 dos o bien

1

1

0

1

1 dos

1 5 1 24 23 22 21 20 1 3 2 5 2 1316 138 034 132 131 0 3 4 5 0 16 1 8 1 0 1 2 1 1 527 1 3 8 5 8 1 316 5 16 Total: 27

Actividad 1.24 Escribe en nuestro sistema decimal de numeración el equivalente de cada uno de los siguientes números de base dos. a)

1

0

1

1

1 dos 5

c)

1

0

0

1

1 dos 5

1

0

0

0

1 dos 5

d)

1

0

1

0

1 dos 5

b)

Actividad 1.25 Escribe en el sistema decimal de numeración el equivalente de cada uno de los siguientes números en base dos. a) 1 0 1dos 5

b) 1 1 1dos5

c) 1 0 0 0 0 0dos5

d) 1 0 0 0 1 0dos5

¿Cómo convertirías un número del sistema de numeración (base 10) en otro sistema con base diferente?

BLOQUE 1

21

Tomemos como ejemplo el sistema binario; utiliza agrupaciones de dos en

.

De esta manera, vamos encontrando cuántas unidades y grupos de dos en dos se forman.

Binas: Organización de un grupo en parejas.

Si consideramos los siguientes siete elementos y agrupamos en binas obtenemos lo siguiente: por ejemplo queda sola una unidad • • • • • • • • •

•

•

•

•

•

•

•

•

•



75 1

1 1

queda solo un grupo de dos elementos

y un grupo mayor con dos grupos de dos elementos.

a) ¿Cuántas unidades sobraron?

c) ¿Cuántos grupos de cuatro?

b) ¿Cuántos grupos de dos unidades?

d) Ordena las respuestas

c

b

a

¿Formar grupos de 2 en 2 significa lo mismo que dividir entre 2? 75 1

(un grupo de 2 veces 2)

1 2 3 1 (un grupo de 2)

1 1dos

3 2 7 1 (una unidad)

Actividad 1.26 Convierte los siguientes números de base diez a base dos y compara tus resultados con los de tus compañeros cercanos. a) 5 5

b) 9 5

c) 10 5

d) 12 5

Para convertir un número decimal a otra base se hacen divisiones sucesivas entre la base. Observa. ¿Cuántas unidades? ¿Cuántos grupos de 4? ¿Cuántos grupos de 16?

e) 13 5

Convertir 89 a base cuatro 1 4 5 1 1

5 4 22 2 1

2

22 4 89 09 1 1

¿Cuántos grupos de 64?

cuatro

Si quiero convertir un número de base 10 en base 5 debo dividir entre Actividad 1.27 En equipo, conviertan los siguientes números de base diez a base cinco y presenten al grupo sus resultados. Argumenten sus respuestas. (No olviden escribir la base a la que convirtieron.) a) 8 5

b) 9 5

c) 10 5

d) 14 5

Se sabe que... Un número escrito en base 5 (quinario) utiliza sólo cinco numerales distintos: 0, 1, 2, 3 y 4.

MATEMÁTICAS 1

22

Actividad Extra a) Escribe tu edad, expresándola con tres bases distintas. b) Comenta con tus compañeros las ventajas del sistema de numeración decimal. Anota en tu cuaderno dos de ellas.

Sistema de numeración decimal Hagamos un repaso. Actividad 1.28 En equipo, contesten las siguientes preguntas; argumenten ante el grupo sus respuestas. a) ¿Cuál es la base del sistema de numeración decimal? b) Si la base es decimal, ¿cuántos símbolos distintos utiliza? c) ¿Cuáles son esos símbolos? d) ¿Por qué se dice que el sistema decimal de numeración es posicional? e) ¿Qué importancia tiene el cero en un sistema de numeración?

Diofanto planteó a sus discípulos esta situación: “Cuál es el número de tres cifras en el que el producto y la suma de sus cifras son iguales”. Busca en biografias.com quién fue este personaje. Actividad 1.29 En equipo, expresen en notación desarrollada las siguientes cantidades. Observen el ejemplo para recordar cómo se hace. a) Si 364 925 5

300 000 1

60 000 1

4 000

1

900

1

20

1

5



5 3 3 100 000 1 6 3 10 000 1 4 3 1 000 1 9 3 100 1 2 3 10 1 5 3 1



5

b) 8 357 5 c) 57 284 5 d) 3 208 507 5 e) 59 584 5

3 3 105 1 6 3 104 1 4 3 103 1 9 3 102 1 2 3 101 1 5 3 100

BLOQUE 1

23

Dentro del sistema de numeración decimal, cada cifra tiene determinado orden. El numeral 2 567 es de cuarto orden (unidades de millar). ¿Por qué? Actividad 1.30 En equipo, completen la siguiente tabla. Séptimo orden

Sexto orden

Quinto orden

Cuarto orden

Tercer orden

Segundo orden

Primer orden UNIDADES

Octavo orden

Clase de las unidades

DECENAS

Noveno orden

UNIDADES DE MILLAR

Décimo orden

Clase de los millares

CENTENAS

Clase de las unidades de millón

100

1 10

1

Actividad 1.31 En equipo, escriban el orden al que corresponde cada una de las siguientes cantidades. centenas

a) 209

e) 35 874

b) 1 208 507

f) 7

c) 325 634 662

g) 609 589

d) 4 590

h) 46

¿Habías observado que la numeración en los lenguajes oral y escrito se descompone con base en potencias de 1 000? Ejemplo: 2 045 504 = 2 (1 0002) 1 45 (1 000) 1 504 se lee:

Dos millones cuarenta y cinco mil quinientos cuatro.

Español: Se escriben con sc los números que en su origen terminen con s: doscientos, trescientos, seiscientos.

Actividad Complementaria

Si fuera posible, trabajen la actividad “Tarjetas numéricas” del Fichero de actividades didácticas. SEP, 2001.

Actividad 1.32 Escribe la manera correcta de leer las siguientes cantidades (cuida la ortografía). a) 367 097 se lee: b) 4 205 025 se lee: c) 700 049 se lee: d) 50 050 se lee:

MATEMÁTICAS 1

24

Las fracciones en la recta numérica

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS APARTADO 2: NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES

Conocimientos y habilidades Representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Actividad Previa En equipo, comenten qué diferencia hay entre un número fraccionario y uno decimal. Argumenten cómo se distingue uno de otro, escriban algunos ejemplos y compartan con el grupo sus conclusiones.

Actividad 2.1 En la tabla de la Actividad 1.30, que está en la página anterior, faltó considerar las fracciones; ¿podrías completarla? Compara tus resultados con los de tus compañeros de equipo.

100

1

104

DIEZMILÉSIMOS

DÉCIMOS

PUNTO DECIMAL

UNIDADES

PARTE FRACCIONARIA

DECENAS

DECENAS DE MILLAR

PARTE ENTERA

1 10

1 1 000

0.1

0.001

Actividad 2.2 De acuerdo con la tabla, analicemos un caso, por ejemplo el número decimal 25.46. Completa las siguientes expresiones. a) La parte entera es

y la parte fraccionaria es

b) El número se lee así: 46

c) La parte fraccionaria también se escribe como 100 y todo el número como

BLOQUE 1

25 Se sabe que...

Actividad 2.3 Escribe cinco ejemplos de fracciones decimales, expresadas con punto decimal y en la forma a , donde a y b son números naturales, con b diferente b de cero.

Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo punto en la recta numérica.

Haciendo tres cortes rectos en el pastel, ¿cómo harías para tener 8 porciones iguales? Actividad 2.4 Escribe, en cada figura, una fracción de la forma a que represente la parte coloreada. b

( 2 ) 4

(

)

(

)

(

)

(

)

Actividad 2.5

(

)

Cifra: Figura, signo o símbolo con el que se representa un número.

Ubica en la recta numérica las cifras 1, 3, 2, 0, 4.

¿Qué número tomaste como referencia para ubicar los demás números en la recta numérica? ¿Por qué esa cifra? ¿Cómo se pueden ubicar los números fraccionarios en la recta numérica? Actividad 2.6 En cada una de las siguientes rectas numéricas, ubica las fracciones o números decimales que se indican. a) 0

1 2

b) 0

3

d) 0 0

4

4

3

3

ubica: 4 , 2 , 2.5, 1.25

1

c) 0

e)

1

ubica: 1 , 3

ubica: 56 , 73 , 93 , 14 6 ubica: 0.9, 2.2, 1.7



ubica: 2.5, 3.3, 0.5, 2.8

MATEMÁTICAS 1

26 Actividad 2.7

En las rectas siguientes se han señalado algunos puntos como A, B y C. Determina a qué número corresponde cada uno de ellos y escríbelo como número decimal o fracción común. Compara tus resultados con los del grupo. a) 0 b) 0

A A

1

c) 0

A

d) 0 e) 0

B

1

A

B B

1 1

A

B

C

3

2

C

3

C

2

3

C

2

B

1

Fracción común: Cociente indicado en forma a , donde b es b diferente de 0.

2

C

2

3 3

A:

B:

C:

A:

B:

C:

A:

B:

C:

A:

B:

C:

A:

B:

C:

Actividad 2.8 En cada recta numérica hay señalados dos números fraccionarios, decimal o fracción común. Determina el número intermedio (que se debe encontrar exactamente a la mitad) entre éstos y anótalo en el lugar correspondiente. Explica a un compañero qué procedimiento usaste. a) 0 b)

1 4

3 4

0

c) 0

1

0.5

1

0.3

d) 0

0.8

e) 0

0.7

2 1.25

2

1

1.7

2

1

1.7

2

1

2

2.3

Actividad 2.9 Escribe el símbolo > (mayor que), < (menor que) o 5 (igual que) entre cada pareja de números, para obtener una relación correcta. 3 22 1 2 a) d) g) 45.25 45.075 4 8 2 3

2

b)

5 9

c) 4.5

9 5

e) 0.25

1 2

h) 16 5

9 3

4.05

f) 4 10

3 9

i) 4 6

0.66

BLOQUE 1

27

Actividad 2.10 Encuentra dos fracciones equivalentes (una fracción común y otra decimal) a cada una de las siguientes cantidades. Observa el ejemplo. 1 7 1 a) d) g) 5 5 2 5 10 2

1

b) 3 5 6 5 75 4 8 100 c)

2 5 5

e) 0.25 5

2 78

f)

Fracción decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10 (1, 10, 100, 1 000…).

h) 2.3 5

5

i) 4.5 5

En el caso de la fracción 0.25, ¿encontraste otro número decimal equivalente? Comenta tu respuesta con el grupo y con el profesor.

Actividad 2.11 En cada inciso encuentra una fracción, con números de menor valor, equivalente a cada una de las siguientes fracciones. Compara tus resultados con los del grupo. a) 12 5 18

d) 21 5 28

g) 48 5 18

b) 11 5 17

e) 25 5 50

h) 32 5 40

c) 16 5 4

f) 14 5 52

i) 18 5 63

Propiedad de equivalencias Si el numerador y el denominador se multiplican o se dividen entre un mismo número, la fracción que se obtiene tiene igual valor que la original.

Actividad 2.12 Convierte las siguientes fracciones comunes en números decimales. a) 1 5 c) 2 5 e) 1 5 g) 7 5 2 3 2 9 3 b) 3 5 d) 7 5 f) 12 5 h) 5 9 4 8 5

1

i) 45 5 12 3 j) 5 8

Como habrás observado, algunas de las divisiones que realizaste no son exactas. Comenta con tus compañeros y con tu profesor la forma en que se manejarán estas situaciones. Anota tu conclusión.

MATEMÁTICAS 1

28 Actividad 2.13

Convierte cada uno de los siguientes números decimales a una fracción común irreductible (menor fracción equivalente o fracción expresada en los términos más bajos). a) 0.5 5

d) 0.33 5

g) 0.4 5

b) 0.125 5

e) 0.6 5

h) 0.875 5

c) 0.25 5

f) 0.75 5

i) 0.8 5

De las soluciones obtenidas, selecciona aquellas que sean fracciones decimales. ¿Qué tipo de denominador deben tener para ser fracciones decimales? Actividad 2.14 Completa la información, considerando como núcleo las fracciones. indica Fracciones tipos se escribe en la forma se escriben en las formas

común

decimal según sus partes

Actividad Extra Comenta a tus compañeros qué sucederá al resolver las siguientes divisiones. 1 5 1

0 5 1

1 5 0

¿Se obtendría el mismo resultado si en lugar del número 1 hubiera otro número?

BLOQUE 1

29

Tema: Significado y uso de las literales APARTADO 3: PATRONES Y FÓRMULAS I

Sucesiones numéricas y figurativas

Conocimientos y habilidades Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas. Actividad Previa Juega con tus compañeros, de manera ordenada, a formar algunas sucesiones a partir de una situación o regla sencilla, como éstas: a) 2n • Es decir que los alumnos de tu fila se numeren de 2 en 2. 2

4

6

8

b) 5n • Que los alumnos se numeren de 5 en 5. 5

10

15

20

c) 5n 1 2 • Que los alumnos de tu fila se numeren considerando la expresión dada, es decir (7, 12, ...). Propongan una relación (regla) y luego pregunten si cierto número forma parte de la relación. Por ejemplo: ¿El 37 se encuentra en la sucesión de 5n 1 2? ¿El 16 se encuentra en la sucesión de 3n 2 1? Actividad 3.1 Observa la sucesión de los primeros 15 números pares y contesta las preguntas. SUCESIÓN: LUGAR:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 1, 2, 3, 4, 5, 6,

a) ¿Cuál es el elemento de la sucesión que ocupa el lugar 4? b) ¿Cuál es el elemento de la sucesión que ocupa el lugar 10? c) ¿Cuál es el elemento de la sucesión que ocupa el lugar 15?

7,

8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

MATEMÁTICAS 1

30

Lee las siguientes preguntas, respóndelas y escucha las respuestas de tus compañeros. Anota en tu cuaderno tus conclusiones. a) ¿Cuál es el elemento que ocupa el lugar número 20 en la sucesión? b) ¿Qué lugar ocupa el elemento 500 de la sucesión? c) ¿Qué procedimiento sigues para poder encontrar el término 223 de la sucesión? d) ¿Con qué relación identificas esta situación para poder encontrar el elemento de cualquier término? e) Indica la relación utilizando una expresión general.

Actividad 3.2 Encuentra la expresión x 1 ox2 (expresión algebraica) que determine la regla o “modelo” de cada sucesión. Compara tus resultados con los de tus compañeros cercanos. a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

c) 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

b) 1, 4, 7, 10, 13, 16, …

d) 2 , 6, 2 , 11, 2 , 16, 2 , ...

7

17

27

37

Actividad 3.3 En equipo, generen algunas sucesiones y establezcan la relación que modela a cada una de ellas. a)

c)

b)

d)

Actividad 3.4 Determina los primeros siete términos de la sucesión que modela cada una de las expresiones siguientes. a) n  4

e) n2

b) 5n

f)

n 1 2

c) 4n 2 4

g) 2n2

d) 2n  n

h) n3

BLOQUE 1

31

Actividad 3.5 Observa la sucesión de puntos y forma las tres figuras siguientes. Anota el número de puntos, observa el ejemplo. a)



(1)

(3)

(6)

(

)

(

)

(

)

b)



(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

c)



d) Diseña un grupo de figuras que corresponda a cada sucesión. • 1, 2, 4, 8, 16

• 1, 5, 12, 22

Actividad Extra Investiga acerca de algunas sucesiones que se forman en la reproducción y el crecimiento de plantas y animales. Por ejemplo, en los conejos o en las ramas del álamo.

Todo en la naturaleza sigue una sucesión. Observa la figura en el centro de la flor.

MATEMÁTICAS 1

32

Literales y fórmulas geométricas

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES APARTADO 4: PATRONES Y FÓRMULAS II

Conocimientos y habilidades Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.

Variable: Literal que puede tomar cualquier valor. Constante: Número o literal de valor conocido.

Actividad Previa Pide a tus compañeros su participación y anoten en una hoja algunas fórmulas y expresiones algebraicas que conozcan. Identifiquen en cada una de ellas las variables y las constantes. Comenten con el grupo cuáles variables y constantes encontraron. Por ejemplo, para el perímetro de un rectángulo la fórmula es P 5 2a 1 2b ; las variables son P, a y b, y 2 es una constante.

Actividad 4.1 A partir de la situación propuesta, en equipos, contesten lo que se pide. a) En vacaciones, Roberto y su familia realizaron un recorrido para conocer algunas ciudades coloniales. De Toluca hacia Morelia recorrieron 290 km; de Morelia a Guanajuato recorrieron 240 km; de allí partieron hacia Zacatecas, lo que hizo que recorrieran 320 km; de Zacatecas tomaron hacia Querétaro, recorriendo 380 km; ése fue el último lugar previsto en el recorrido. Para llegar a su casa, en Toluca, todavía recorrieron 220 km. • Comenten alguna forma que les permita calcular el total de km recorridos. • ¿Cómo plantearían la respuesta en caso de que no conocieran las cinco distancias y quisieran obtener el total del recorrido? • Si llegaron a una conclusión, escribe la operación que tienen que realizar. • Calcula la distancia total que recorrieron. b) Observen la siguiente poligonal abierta.

B

• Comenten cómo obtendrían la longitud total de la línea.



d C

c

A E

b

• Si la longitud es L, expresa con una fórmula esta situación.

a

D

BLOQUE 1

33

c) En un triángulo equilátero sus lados miden 4 cm, 4 cm y 4 cm. Escribe dos maneras diferentes que te permitan calcular el perímetro de la figura.

Equilátero: Polígono que tiene sus lados iguales.

y Actividad 4.2 Para cada una de las siguientes figuras, escribe una relación algebraica que te dé la posibilidad de calcular su perímetro. Argumenta tu respuesta y compara tu expresión algebraica con la de tus compañeros más cercanos.

m

a)

e)

m

m

y

y

m

y

P= b)

P= f)

a

a

b

a

b b a

c

P=

P= s

c)

b

g)

m

a

m b

c

b P=

P= K

p

d)

h)

q r s P=

K

K

K

K K

P=

MATEMÁTICAS 1

34 Actividad 4.3

Calcula el perímetro de los polígonos para los diferentes valores que asignes en cada caso a las variables (propón las unidades donde no estén marcadas). Observa el ejemplo. a) Ejemplo

a= 5 cm b= 2.5 cm c= 3.5 cm

b)

d e e f

c)

g h

h

a5

5

cm

a5

mm

b5

2.5

cm

b5

mm

c5

3.5

cm

c5

mm

P5

11

cm

P5

d5

m

d5

dam

e5

m

e5

dam

f5

m

f5

dam

P5

P5

g5

g5

h5

h5

P5

P5

j5

j5

k5

k5

l5

l5

m5

m5

n5

n5

P5

P5

o5

o5

p5

p5

q5

q5

P5

P5

g d)

j k

k l

l m

e)

n

m

o

p

p

q

BLOQUE 1

35

Actividad 4.4 Identifica la fórmula correspondiente, relacionando ambas columnas, y compara tus resultados con los de tus compañeros cercanos. Después completa las tablas, utilizando en cada caso los valores asignados. ( ) P = a 1 b 1 c a) Perímetro del triángulo equilátero b3h ( ) A = 2 b) Perímetro del triángulo isósceles (

) P = 3 3 a

d) Perímetro del rectángulo

(

) P = 4 3 l

e) Perímetro del cuadrado

(

) A = a 3 b

f) Área del triángulo

(

) P = 2 3 a 1 b

g) Área del rectángulo

(

) P = 2 3 a 1 2 3 b

c) Perímetro del triángulo escaleno



Perímetro del triángulo escaleno: Fórmula: a

b

5 cm

7 cm

c

Perímetro del triángulo equilátero: Fórmula: a

P

P

Área de un rectángulo Fórmula: b

h

8 cm

2 cm

3 cm

4 cm

9 cm

5 cm

10 cm

4 cm

8 cm

2.5 cm

11 cm

15 cm

15 cm

6 cm

13 cm

7.4 cm

15 cm

10 cm

12 cm

8 cm

18 cm

18 cm

2.5 cm

5 cm

6.5 cm

10 cm

23 cm

20 cm

Perímetro de un rectángulo Fórmula:

Perímetro de un cuadrado Fórmula:

P

l

P

Área de un triángulo Fórmula:

a

b

12 cm

6 cm

2.5 cm

12 m

6m

4 cm

5 cm

5 cm

15 m

10 m

b

h

6 cm

2 cm

7.5 cm

20 m

10 m

15 cm

15 cm

10 cm

25 m

25 m

10 cm

20 cm

12.5 cm

30 m

40 m

Comenta con tus compañeros la utilidad del uso de las fórmulas y anota tus conclusiones.

Actividad Extra En los círculos de la siguiente figura coloca los números del 1 al 9, de tal manera que en cada lado del triángulo la suma sea 20.

A

A

MATEMÁTICAS 1

36

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Tema: Transformaciones

Simetría axial

APARTADO 5: MOVIMIENTOS EN EL PLANO Conocimientos y habilidades Construir figuras simétricas respecto de un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos. Eje de simetría: Línea que divide a una figura en dos figuras iguales (medida) y semejantes (forma).

Actividad Previa Desde la escuela primaria se ha manejado la idea de simetría; por ejemplo, la imagen de la izquierda presenta simetría porque al doblar por la línea marcada en la figura (eje) las partes coinciden. Dibuja en una hoja algunas figuras y recórtalas. De todas ellas, identifica las que sean simétricas, dóblalas por su eje y observa las características que presentan sus lados, sus superficies y sus ángulos. Intercambia tus figuras con las de tus compañeros, con la idea de ampliar tu información.

Actividad 5.1 Observa las siguientes figuras. Encierra en un círculo aquellas que observes que son simétricas con respecto a un eje (simetría axial) y trázalo.

Actividad 5.2 Observa tu entorno y dibuja tres objetos que al representarlos en el plano sean simétricos.

BLOQUE 1 Actividad 5.3 Observa cada una de las siguientes figuras; traza su eje de simetría, si es que lo tienen, y compara tus resultados con los del grupo.

Actividad 5.4 Teniendo en cuenta el siguiente plano, dibuja la figura simétrica respecto del eje señalado con color rojo.

Si te colocas frente a un espejo, ¿cuántas imágenes ves? Si hay dos espejos en un ángulo recto y te colocas entre ellos, ¿cuántas imágenes ves ahora? Verifica. ¿Y si estuvieras entre dos espejos paralelos, uno atrás y el otro frente a ti?

37

MATEMÁTICAS 1

38 Actividad 5.5

¿Has notado que el eje de simetría produce en la figura un efecto parecido al reflejo de un espejo? Supón que el eje trazado es el espejo y obtén, en cada caso, la imagen que se refleja (utiliza compás y regla o escuadras).

x

x

x

P x

y

y

y y x

x x

x

y y

y

y

Actividad 5.6 Analiza con detenimiento el siguiente caso. Observa la figura y contesta o completa cada proposición (utiliza la simbología adecuada). El  A’B’C’ es la imagen del  ABC y son simétricos con respecto al eje xy. Los segmentos de recta AA’, BB’ y CC’ intersecan al eje en los puntos M, N y P, respectivamente, al unir los puntos que se corresponden. a) AM 5 A’M

M N

A B C

P

x

A’ B’

y

; BN 5

; CP 5

b) Por lo anterior, si dos puntos se encuentran a la misma distancia de un punto pero en sentidos opuestos, estos puntos son:

C’

Si te reflejas en un espejo, la imagen resulta simétrica de tu figura y el espejo pareciera ser el eje de simetría.

BLOQUE 1 Simbología

Línea recta



Rayo o semirrecta

Segmento Arco  Ángulo Rectas perpendiculares Rectas paralelas 

Triángulo Congruencia

39

c) Mide con tu transportador cada uno de los siguientes ángulos. 0  AMx 5 90 ;  A’Mx 5 ;  BNx 5 ;  B’Nx 5  CPx 5

d) AA’

;  C’Px 5

;

;

xy, ¿qué otros elementos cumplen con esta propiedad? Anótalos.



e) Podemos afirmar que las líneas rectas que unen los puntos correspondientes de dos figuras que presentan simetría axial son al eje de simetría.

f) AA’

BB’, ¿qué otros elementos cumplen con esta propiedad? Anótalos.



g) Por tanto, son paralelos todos los segmentos de recta que unen dos puntos correspondientes de dos figuras que son respecto de un eje.

h) Mide cada uno de los siguientes ángulos:  A 5  B 5

Actividad Complementaria

Si trabajas con el programa de Geometría dinámica, desarrolla la actividad 17, “Propiedades de la simetría axial” (pp. 58-59).

;  B’ 5

;C5

;  A’ 5

;  C’ 5

;

.

i) Los ángulos correspondientes de dos figuras que presentan simetría con respecto a un eje miden j) Mide con tu regla cada uno de los siguientes segmentos. AB 5



A’B’ 5

BC 5



B’C’ 5

CA 5



C’A’ 5

k) Lo anterior nos confirma que los lados correspondientes de dos figuras simétricas miden l) Si dos figuras son simétricas con respecto a un eje, tienen las mismas y los mismos ,

MATEMÁTICAS 1

40

MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Proporcionalidad directa: valor faltante

Tema: Análisis de la información APARTADO 6: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD I

Conocimientos y habilidades Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible distintos procedimientos.

Actividad Previa En equipo, resuelvan el siguiente problema: “Si por ocho lápices pagas $14, ¿cuánto cuesta una docena de esos mismos lápices?” Junto con tus compañeros, inventen y resuelvan algunas situaciones de esa naturaleza. Comenten los procedimientos que podrían emplear para darles solución.

Actividad 6.1 En un recorrido en carretera, un automóvil se desplaza a una velocidad constante de 60 km por hora. La siguiente tabla presenta la situación. Completa los espacios vacíos.

Factor de proporcionalidad constante: Cociente que se obtiene al dividir dos elementos que se están comparando.

Tiempo en horas

1

Recorrido en kilómetros

60

2

3

4

5

6

Explica: ¿cómo podrías calcular el recorrido que se hace en 12 horas? ¿Usarías el mismo procedimiento para calcular la distancia recorrida en un determinado tiempo? . Comenta tus respuestas con tus compañeros. Encuentra y anota una expresión que generalice esta situación. ¿En qué forma podrías generalizar cualquier otra situación?

Actividad 6.2 Completa cada una de las siguientes tablas. Contesta cómo podrás obtener la respuesta directamente y escribe el factor de proporcionalidad constante. a) En una fábrica de tornillos, un obrero produce 50 tornillos cada hora. Tiempo en horas

1

Número de tornillos

50

2

3

¿Cómo podrías obtener la respuesta de manera inmediata? El factor de proporcionalidad constante es

4

5

6

BLOQUE 1

41

b) Tres vendedores de una tienda departamental acomodan 4 000 productos por jornada laboral. Completa la tabla. Número de vendedores Número de productos

3

6

9

12

15

15

20

25

4 000

El factor de proporcionalidad constante es c) Por cinco naranjas pagué $4. Completa la tabla. Número de naranjas

5

Costo

4

10

El factor de proporcionalidad constante es d) Para festejar el Día del Niño, la directora del plantel quiere obsequiar siete bolsas de dulces a cada grupo. Cada bolsa tiene 80 piezas. Completa la tabla. Número de grupos

1

2

3

4

5

Bolsas de dulces Número de dulces

1 680

El factor de proporcionalidad constante es

Actividad 6.3 Resuelve los siguientes problemas. Utiliza los espacios para anotar tus operaciones. a) A la convención de una empresa asistirán 125 vendedores. Los organizadores estiman que cada vendedor invitará a 8 personas. ¿Cuántas personas se calcula que asistirán a la convención?

b) El automóvil de Paco consume 40 litros de gasolina en un recorrido de 360 km, ¿cuántos litros se requieren para hacer un recorrido de 1 200 km?

MATEMÁTICAS 1

42

c) Si por una caja con 100 lápices se pagan $350, ¿cuánto hay que pagar por 350 lápices de esa misma clase?

d) ¿Cuál es el rendimiento de un automóvil que recorre 60 km y consume 8 litros de gasolina?

En la primaria resolviste por diversos procedimientos situaciones como las anteriores. Algunas personas les llaman regla de tres; otras, proporciones o variación proporcional directa, según el contexto. Cualquiera que sea el caso, se espera que calcules el valor o número que falta para formar una proporción.

PROPORCIÓN

a c a c y forman la proporción 5 b d b d

sólo si a 3 d 5 b 3 c (con b y d distintos de cero).

Actividad 6.4 Trabajen en pareja los siguientes ejercicios. Por separado, cada compañero debe encontrar el número que falta para que se cumpla la igualdad (proporción). Una vez que terminen, intercambien los libros y comprueben si se cumple la igualdad. Si hay diferencias en los resultados, argumenten sus respuestas; selecionen aquella solución que tenga validez. a)

x 15 5 10 30

x5

b) 440 5 110 a 5 28 a

y 6 5 3 25

y5

e) 48 5 12 z 6

z5

d) 36 5 12 42 w

w5

  f) 30 5 6 75 m

m5

 c)

Comenta con tus compañeros y anota tus conclusiones.

¿De qué manera se puede comprobar que el número encontrado es el correcto? Observa que los cocientes que se obtienen al dividir los miembros de la igualdad (razones) dan por resultado el mismo número (constante). Comprueba que en los seis incisos anteriores se forman proporciones, a partir de la obtención del factor de proporcionalidad constante. a) El factor de proporcionalidad constante es:

d) El factor de proporcionalidad constante es:

b) El factor de proporcionalidad constante es:

e) El factor de proporcionalidad constante es:

c) El factor de proporcionalidad constante es:

f) El factor de proporcionalidad constante es:

BLOQUE 1

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN APARTADO 7: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD II

43 Proporcionalidad directa: reparto proporcional

Conocimientos y habilidades Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.

Actividad Previa En equipo, analicen y resuelvan el siguiente problema: Israel, Eric y Mario salieron de paseo; Mario gastó $1 500; Israel, $3 450, y Eric, $2 400. Si Israel llevaba $4 600 para el viaje; Eric, $3 200, y Mario, $2 000, ¿el gasto de cada uno fue proporcionalmente igual? Argumenten su respuesta.

Actividad 7.1 Resuelve los siguientes problemas. Compara tus resultados con los que obtuvieron tus compañeros más cercanos. a) Elizabeth, Delia y Nancy ahorraron $7 200, c) En el equipo de básquetbol, Juan y Pedro son $4 500 y $5 200, respectivamente, para comlos jugadores que regularmente se encargan prar ropa de temporada. Delia gastó cuatro de efectuar los tiros de castigo: Juan encesta quintas partes de lo que ahorró; Nancy, la mitres de cada cinco tiros y Pedro encesta cinco tad de su ahorro, y Elizabeth, $4 800. ¿Proporde cada ocho tiros. Si el siguiente lanzamiencionalmente, quién gastó más dinero? to fuera el decisivo para ganar el juego, ¿a quién elegirías para que lo efectúe?

b) En la escuela se elegirán doce personas para d) Entre cuatro amigos compraron un boleto integrar el comité de representantes de la sode $50 para la rifa de $10 000 como premio ciedad de alumnos. Al hacer las votaciones, los mayor. Uno de ellos aportó $12; otro, $15; el alumnos de tercero obtuvieron 450 votos a favor; tercero, $13, y el cuarto, el resto. Si el boleto los de segundo, 270, y los de primero, 360. El resultó ser el premiado, ¿cuánto le correspongrupo de representantes debe estar compuesto dería cobrar, de forma proporcional, a cada por alumnos de los tres grados. Proporcionaluno? mente a las votaciones, ¿cuántos alumnos de cada grado deberá tener el comité?

MATEMÁTICAS 1

44

A mi vecina le gusta resolver los problemas de proporcionalidad mediante gráficas cartesianas. ¿Recuerdas cómo se forman?

Observa

La gráfica se forma dentro de un par de ejes rectangulares (dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto de origen).

3

Para ubicar un punto, se requieren dos valores (par ordenado). El primer valor corresponde al eje horizontal; el segundo, al eje vertical. Observa la ubicación de los puntos A y B en el siguiente plano cartesiano.

2

A (1, 3) B (4, 2 )

1

Observa lo importante que resulta mantener un orden en cada pareja de valores. ¿Se localizaría en el mismo lugar el punto A, si sus valores hubieran sido (3,1)?

0

1

2

3

4

7

Focos

Actividad 7.2 Traza una recta que vaya del origen (0,0) al punto F y completa la tabla.

Costo ($) Focos

Costo 40

1 2 3

25

4

20

5

F

30

15

6 10 5 0

1

2

3

4

5

6

Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el costo de tres focos? b) Si por cuatro focos me quieren cobrar $25, ¿el precio es justo? c) El punto cuyo par ordenado es (4,25), ¿se encuentra por arriba o por debajo de la recta? d) Si por siete focos me quieren cobrar $33, ¿me conviene el precio?

BLOQUE 1

45

Actividad 7.3 Resuelve los siguientes problemas. a) En la tienda de la colonia, me cobran $50 si me llevo una lata de puré de tomate de 470 gramos y $27 por la de 250 gramos. ¿Cuál resultaría conveniente comprar? Costo ($)

Lata de puré de tomate

b) En una feria hay dos juegos en los que observo que tengo la misma oportunidad de ganar: en el primero de ellos me cobran $2 por participar y me pagarían $3; en el segundo juego, por cada $5 me darían $7. ¿En cuál me conviene jugar? Ganancia

Costo por participar

MATEMÁTICAS 1

46

Tema: Representación de la información APARTADO 8: DIAGRAMAS Y TABLAS I

Conteo

Conocimientos y habilidades Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos personales. Actividad Previa Organizados en equipo, analicen el siguiente problema y comenten con el grupo la solución: En una bolsa de papel tengo tres canicas, todas son del mismo tamaño y material, excepto que tienen diferente color: una es blanca, otra es roja y la otra es negra. Si saco una por una las canicas y las voy acomodando, sin ver de qué color van saliendo, ¿de cuántas formas diferentes puede quedar la combinación de colores? Escríbanlas todas. Actividad 8.1 Resuelve las siguientes situaciones y contesta las preguntas. En el guardarropa de David hay tres pantalones: uno verde, uno azul y otro gris; también hay dos camisas: una gris y otra amarilla. ¿Cuántas combinaciones diferentes para vestirse puede formar? Completa la siguiente tabla y comprueba tu resultado. CAMISAS PANTALONES

BLOQUE 1

47

Recuerda que en la primaria resolviste, por medio de diagramas de árbol, problemas de este tipo. Completa el diagrama en el siguiente espacio. Camisa

Camisa

Pantalón

Pantalón

¿Cuántas combinaciones resultaron?

Actividad 8.2 Resuelve los siguientes problemas. Para cada uno de ellos, elabora su diagrama de árbol. a) En un restaurante se preparan 2 sopas y 4 guisados. ¿De cuántas maneras diferentes puede formarse un menú? DIAGRAMA DE ÁRBOL

IMPORTANTE: Si ya encontraste cómo se podría obtener de manera inmediata la respuesta, coméntalo con el grupo.

Y si se aumenta una sopa y un guisado, ¿cuántos menús se forman? Sigamos con el restaurante: ¿cuántos menús diferentes se podrán formar cierto día que se preparan 2 sopas, 3 guisados y 2 postres?

48

MATEMÁTICAS 1 b) Al lanzar al aire una moneda en dos ocasiones y registrar el resultado, ¿cuáles y cuántos son los resultados diferentes que se pueden obtener? DIAGRAMA DE ÁRBOL

c) Si lanzas 2 dados de diferente color, ¿cuántos y cuáles son los posibles resultados que puedes obtener? DIAGRAMA DE ÁRBOL

Cuando iba para San Bartolo me encontré una peregrinación de 7 autobuses, cada uno llevaba 40 pasajeros, cada pasajero iba con dos niños. ¿Cuántos viajeros viajaban a San Bartolo?

BLOQUE 1 d) Ahora lancemos primero un dado y después una moneda, ¿cuáles son los posibles resultados? DIAGRAMA DE ÁRBOL

e) A una reunión llegaron Alma, Blanca, Cecilia y Diana. Si fueron llegando una tras otra, encuentra todos los posibles ordenamientos en que pudieron haber llegado. DIAGRAMA DE ÁRBOL



49

50

MATEMÁTICAS 1 f) En cierta escuela se imparten 4 talleres: mecánica, contabilidad, computación y electricidad; hay también 3 actividades deportivas: futbol, basquetbol y atletismo. Si a cada alumno le dan la opción de seleccionar taller y actividad deportiva, ¿cuántas posibles combinaciones se registrarán?

g) En una caja hay cinco fichas marcadas con un número distinto. Se extrae una ficha de la caja y se registra su número. ¿Cuántos números diferentes, de dos cifras, se pueden formar si: a) la primera ficha extraída se regresa a la caja? b) además de haber regresado la ficha a la caja, no se acepta que los números sean repetidos (es decir, no se acepta que sean 1,1 o 2,2 o 3,3 o…)? c) la primera ficha extraída no se regresa a la caja?

Actividad Extra Acomoda en las tarjetas los números del 1 al 9, sin que falte ni sobre ninguno, de tal manera que resulte una suma.

Aplicación de aprendizajes Cálculo mental (en sumas y restas)

Cuando una persona realiza cálculos mentales, de manera eficaz, consideramos que sabe matemáticas. El cálculo mental es una oportunidad más para que el cerebro desarrolle agilidad, concentración, originalidad en los cálculos, capacidad de análisis, comparación y combinación de estrategias para encontrar, de forma rápida, resultados precisos, no sólo en problemas matemáticos. Observa cómo aplican el cálculo mental algunas personas: Calcular: 74 2 26 5

74 2 26 5 (74 2 20) 2 6 5 54 2 6 5 (54 2 4) 2 2 5 50 2 2 5 48

74 2 26 5 (74 2 4) – (26 2 4) 5 70 2 22 5 (70 2 20) 2 2 5 50 2 2 5 48

Tú, ¿cómo llevas a cabo el cálculo mental? Resuelve, mentalmente, las siguientes operaciones. a) 27 1 27 5

h) 78 1 33 5

o) 67 2 27 5

b) 44 1 88 5

i) 438 1 54 5

p) 70 2 11 5

c) 16 1 47 5

j) 115 1 1206 5

q) 64 2 25 5

d) 13 1 35 5

k) 60 2 24 5

r) 80 2 12 5

e) 28 1 55 5

l) 46 2 15 5

s) 115 2 16 5

f) 66 1 17 5

m) 29 2 13 5

t) 54 2 28 5

g) 91 1 49 5

n) 38 2 22 5

51

52

EXPLORACIÓN DE RECURSOS TECNOLÓGICOS Algunos recursos tecnológicos como las calculadoras, graficadoras y computadores, entre otros, nos ofrecen la posibilidad de simplificar la obtención de resultados en ciertos procesos, ya sea para desarrollar operaciones, graficar, trazar figuras geométricas, diseñar imágenes, obtener información, comunicarnos con otros, hacer presentaciones de trabajo, componer música… Un punto inicial en la utilización de los recursos tecnológicos es saber qué se busca de ellos y cómo obtenerlo. Utiliza una hoja electrónica de cálculo para explorar cómo se le ordena a una computadora que efectúe operaciones. a) Forma una tabla que presente cuántos kilómetros recorre un automóvil que viaja a 70 km/h. A 1

B Velocidad: 70 km/h

2

Horas

3

1

4

2

5

3

6

4

7

5

8

6

9

7

10

8

11

9

12

10

Recorrido (km)

Si no tienes experiencia en el manejo de la hoja electrónica de cálculo, copia la tabla y escribe en cada celda de la B3 a la B12 la fórmula siguiente: =70*A3 En esta fórmula, el asterisco relaciona, mediante la multiplicación, la cantidad que está a su izquierda y el valor contenido en la celda indicada a su derecha, de tal manera que cuando escribas la fórmula en la celda B12 deberá estar escrita de la siguiente forma: =70*A12

b) Forma una tabla que presente la cantidad de agua que se puede desperdiciar por una llave que se deja abierta durante cinco minutos, si se sabe que al abrirla pasan 7 litros cada minuto.

A 1

B Salida de agua

2

Minutos

Litros de agua

3

1

5 7 * A3

4

2

5

3

6

4

7

5

c) Elabora una tabla que muestre la equivalencia en el cambio de moneda de un país a otro, por ejemplo, de pesos mexicanos a dólares estadounidenses.

BLOQUE 1

53

¿CUÁnto APRENDÍ? A partir de tus conocimientos sobre los sistemas de numeración, completa la siguiente tabla y contesta las preguntas.

Sistema de numeración

Base

Símbolos

Principios en los que se basa la escritura numérica

Romano

Maya

Decimal

Binario

Quinario

1. ¿Qué principio se determina a partir del uso del “cero”? 2. De todos los sistemas de numeración que usan el “cero”, cada cifra admite dos valores: uno por su forma (valor ) y el otro por su posición (valor ). 3. En el número maya

, ¿cuál es el valor absoluto de las unidades de segundo orden?

¿Y cuál es su valor relativo? 4. En la numeración maya, ¿cuál es el mayor valor que se puede escribir en cada orden? 5. En el numeral 36 095 del sistema decimal de numeración, ¿cuál es el valor relativo de las unidades de cuarto orden? ¿Y cuál es el valor absoluto de las unidades de tercer orden? 6. En el numeral 1 0 1 1 1dos, ¿cuál es el valor relativo de las unidades de tercer orden? ¿Y cuál es el valor absoluto de las unidades de tercer orden?

MATEMÁTICAS 1

54

7. Si la base del número 212 es tres, ¿a qué número corresponde en el sistema decimal de numeración? 8. ¿Cómo se lee el numeral 500 035? 9. Escribe una fracción común y una decimal equivalentes a 3 . 4

10. ¿Cuál es el número decimal equivalente a 3 ? 5

2 11. Arturo ganó 23 de un premio y Gerardo 6 , si el premio fue de $54 000, ¿cuánto le correspondió a Arturo?

12. ¿Cuál de estos dos números es mayor: 0.6250 o 0.625? 38

13. ¿Cuál es la fracción más simple que representa a 64 ? 14. ¿Cuáles son los dos números siguientes de la serie 1, 5, 9, 13, ….? 15. Completa la tabla correspondiente a las medidas de un rectángulo, cuya base mide lo doble que en altura. 1m

1

2m

16. Traza dos ejes de simetría de la siguiente figura.

3

5

7

6

17. Si se sabe que las figuras son simétricas, traza el eje de simetría.

18. Si por tres lápices pago $13.50, ¿cuánto pagaré por 5 lápices? 19. Las tres cuartas partes de un pastel pesan 1 250 gramos, ¿cuánto pesa el pastel completo? 20. En una caja hay tres fichas marcadas con letras diferentes, A, B y C. Si saco dos fichas, una tras otra, ¿cuántas combinaciones distintas, de dos letras, puedo formar?

55

BLOQUE 2 Como resultado de este bloque temático, se espera que los alumnos: 1. Resuelvan problemas que impliquen efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones con fracciones. 2. Resuelvan problemas que impliquen efectuar multiplicaciones con números decimales. 3. Justifiquen el significado de fórmulas geométricas que se utilizan al calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. 4. Resuelvan problemas de proporcionalidad directa del tipo valor faltante, con factor de proporcionalidad entero o fraccionario y problemas de reparto proporcional.

Contexto histórico 350 a.C. Declive del imperio babilonio. 1350 a.C. Los egipcios usan relojes solares.

1500 a.C.

1100 a.C. Inicio de la guerra de Troya.

1200 a.C.

900 a.C.

321 a.C. Construcción de la Gran Muralla China.

448 a.C. Construcción del Partenón.

600 a.C.

0

350 a.C.

Hechos matemáticos 600 a.C.

300 a.C.

260 a.C.

En su recorrido por el mundo, Tales de Mileto contribuyó con el desarrollo de la geometría.

Se acepta el sistema hindú (brahmi) de numeración.

Se desarrolla la numeración arábiga.

MATEMÁTICAS 1

56

SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Adición de fracciones y decimales

Tema: Significado y uso de las operaciones APARTADO 1: Problemas aditivos I Conocimientos y habilidades Resolver problemas aditivos con números fraccionarios y decimales en distintos contextos.

Actividad Previa En equipo, propongan dos problemas sencillos de adición y sustracción de números fraccionarios y decimales. Procuren que sean situaciones cotidianas como: “Martha fue al mercado y compró 1 kg de azúcar y 1 de kg de sal. ¿Cuánto pesa la bolsa 2 4 que contiene los productos?” O bien: “Calcula el perímetro de un rectángulo cuyas bases miden 2.5 cm y su altura es de 3.2 cm”.

Actividad 1.1 Escribe la expresión numérica de las cantidades a las que hacen referencia los enunciados. 3 kg 4 a) María va a cocinar tres cuartos de kilogramo de carne. b) Voy a exprimir kilogramo y medio de naranjas. c) En la fiesta de ayer sobró una cuarta parte del pastel. d) Con este medio tanque de gasolina alcanza para hacer el viaje. e) Ana Gabriela Guevara es especialista en la carrera de dos quintos de kilómetro de distancia. f) De un litro de leche se sirvieron dos vasos. Cada vaso tiene una capacidad de un cuarto de litro.

Actividad 1.2 Escribe el entero más cercano a cada una de las siguientes fracciones. a) 5 6

9

b) 25 70

1

e) 1 3

2

g) 8 9

i)

48 325

f) 1 8

h) 25 26

j) 100 1 000

c) 4 5 d)

8

Escribe qué criterios utilizaste para redondear las fracciones.

4 101

7

BLOQUE 2 Actividad 1.3 Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de fracciones de igual denominador. Simplifica los resultados. a)

2 1 1 5 4 4

b)

3 2 7 1 1 5 4 4 4

c) 9 2 3 5 5 5

d)

8 5 2 5 9 9

e) 3 1 2 5 8 8

f)

g)

7 5 8 1 1 5 12 12 12

5 3 1 5 12 12

h) 23 2 16 5 4 4

i)

2 5 1 5 3 3

j) 45 2 25 5 20 20

Actividad 1.4 Los denominadores de los siguientes grupos de fracciones son diferentes. Escribe el grupo de fracciones equivalente a las propuestas, de manera que tengan denominador común. Presenta tus resultados y comenta cómo obtuviste esas fracciones. a) 1 , 3 , 5   5 6 , 9 , 20 2 4 3 12 12 12

f) 5 , 4 , 3 , 1 5 6 3 4 2

b) 2 , 5 , 7   5 4 8 3

g) 5 , 3 , 4 5 6 2 3

c) 1 , 5 , 4   5 4 5 8

h) 9 , 5 , 8   5 7 10 6

d)

2 3 4 , ,    5 10 2 5

e) 1 , 7 , 11 5 2 3 4

i) 5 , 4 , 9 , 7   5 2 5 15 6

57

MATEMÁTICAS 1

58 Actividad 1.5

Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones con fracciones. Siempre que sea posible, simplifica los resultados. 2 a) 5 1 5 3 6 b)

f) 3 1 7 1 1 5 5 10 2

13 11 12 1 1 5 6 18 9

c) 5 1 6

g)

3 h) 7 2 5 4 8

4 23 111 12 5

d) 11 2 5 5 12 6 e)

2 34 1 1 12 5

i) 8 2 2 5 15 6

2 34 2 1 45 5

j)

2 68 2 1 34 5

Actividad 1.6 Completa los siguientes cuadrados mágicos, de manera que en cada renglón, columna y diagonal se obtenga la misma suma. Compara tus resultados con los de tus compañeros cercanos. 11 5

6 5

7 5

3 4 1 2

3 2

5 2

10 5

Actividad 1.7 Obtén un resultado aproximado para cada uno de los siguientes casos. Resuelve y encuentra qué tan próximo estuviste del resultado correcto, si te pasaste o te faltó. a) Para hacer un convivio, varias personas llevaron lo necesario para hacer tortas de jamón; se reunieron 3 paquetes que pesaban 1 kg, 3 kg y 1 kg. ¿Cuánto jamón se reunió? 2

Resultado aproximado: Solución correcta: Error de aproximación:

4

8

2 8

1 8

BLOQUE 2

59

b) En una fiesta, a Ramón le sirvieron 1 del pastel; a Martha 3 ; a Bernardo 2 ; a Patricia 1 16 16 8 8 Emma 1 . ¿Cuánto sobró del pastel?

ya

8

Resultado aproximado: Solución correcta: Error de aproximación: Comenta qué criterios usaste para redondear. Actividad Extra Si requieres de mayor práctica en la adición y sustracción de fracciones, resuelve las siguientes.

Resultado aproximado:

4

5 a) 1 6

1

1 5 3

b)

Correcto: Error de aproximación: Resultado aproximado:

5 16 14 23 5



8

Correcto: Error de aproximación: Resultado aproximado:

4

2 5 c) 2 5 3 6

Error de aproximación:



Resultado aproximado:

4 1

4 3 d) 2 5 5 5

Correcto:

Correcto: Error de aproximación:

Actividad 1.8 Resuelve los siguientes problemas. Simplifica tus resultados y compáralos con los de tus compañeros. a) ¿Qué parte del total recibe cada persona si se reparten equitativamente 18 dulces entre dos personas? ¿Y si se los reparten entre tres personas? ¿Y si los reparten entre seis personas?

MATEMÁTICAS 1

60 1

1

b) Julián corrió 4 de kilómetro el primer día de entrenamiento; el segundo día corrió 4 de kilómetro y el tercer día corrió 3 de kilómetro. En total, ¿cuántos kilómetros corrió? 4

c) Elena utilizó 34 de taza de azúcar para hacer un pastel, luego utilizó 12 taza más para otra receta. ¿Qué cantidad de azúcar utilizó en total?

3 4 1 2

d) Pablo distribuyó su sueldo de la siguiente forma: 2 para pagar la mensualidad de su auto y 3 1 más para pagar la mensualidad de una cámara fotográfica que compró. ¿Qué fracción de 12 su sueldo utilizó para efectuar sus pagos?

e) En una panadería se producen 200 bolillos. Se surte a dos restaurantes y al público en general. El primer restaurante compra 60 bolillos, el segundo 80, el resto es para el público. ¿Qué fracción de los bolillos producidos compran los restaurantes?

BLOQUE 2

61

f) Ahorré $5 500 en el banco. Si retiro la quinta parte del ahorro, ¿cuánto dinero me quedará en el banco?

g) Para la hechura de un traje se cuenta con un corte de casimir de 4 m; para hacer el pantalón se utilizan 1 m; para el saco, 7 m y para el chaleco 1 m. ¿Cuánto casimir sobra?

14

18

4

h) En mi grupo se destinaron 3 del espacio del periódico mural para noticias internacionales, 8 2 para noticias nacionales y el resto se dejó para actividades recreativas. ¿Qué parte del mural 8 corresponde a estas últimas? PERIÓDICO MURAL

Internacional

Nacional

i) En la escuela se desarrollan las actividades de acuerdo con el siguiente horario: clases en las primeras 12 horas, 12 hora de recreo y clases en las últimas 1 horas. Si las clases 4 inician a las 8:00, ¿a qué hora es la salida de la escuela?

2

1

2

3

j) Javier tiene 1 kg de harina y ocupa 4 kg para hacer tortillas. ¿Cuánta harina le falta para 2 preparar un pastel si se requiere 1 kg de harina?

MATEMÁTICAS 1

62

Una fracción común también se puede expresar como número decimal Actividad 1.9 Escribe como número decimal cada una de las siguientes fracciones. 45 d) 5 10

18 g) 5 2

523 345 j) 5 5 69 5

78 b) 5 100

523 e) 5 100

512 250 34 h) 5 20

89 k) 5 50

95 c) 5 1 000

f) 4 7895 1 000

5 a) 5 0.5 10

i)

512 5 250

54 l) 5 500

Actividad 1.10 Se sabe que... Las proporciones de un cuerpo en el arte clásico se dan en función de la medida de la cabeza, la cual debe ser 17 del total de la estatura.

Resuelve los siguientes problemas. Compara tus resultados con los de tus compañeros. Estima previamente cada resultado. a) A principios de diciembre, un ciclista pesaba 72.5 kg y en ese mes aumentó 1.300 kg. ¿Cuánto pesaba a principios de febrero, si en enero bajó 2.250 kg de peso?

Estatua de Diadumenos, Museo Metropolitano de Arte, Nueva York.

1 7

b) Marcos creció 0.095 m en los últimos seis meses. Si ahora mide 1.845 m, ¿cuál era su estatura hace medio año? 6 7

BLOQUE 2 Se sabe que... 1 milla terrestre = 1.609 km 1 milla marina = 1.852 km

c) ¿Cuál es la diferencia, en metros, entre una milla náutica y una milla terrestre?

d) A Ramiro le dio una infección que le provocó fiebre. Le pusieron el termómetro a las 9:00 a.m. y marcó 38.9 °C; 3 horas después, marcaba 36.7 °C. ¿De cuánto fue la variación de temperatura?

e) En el informe mensual de la tarjeta de crédito de José aparecen los siguientes cargos: $325.75, $178.90, $458.35, $249.10 y $346.55. Si en ese periodo solamente puede disponer de $1 000, ¿todavía tiene crédito disponible? Explica cuál es su situación.

63

MATEMÁTICAS 1

64

f) El talón de pago de mi mamá muestra que gana $5 789.45 quincenales; sin embargo, le hacen algunos descuentos, como son: Seguro Social: $79.80; Sindicato: $24.70; Fondo de ahorro: $57.89; Seguro de vida: $124.65 e Impuesto sobre el trabajo: $765.80. ¿Cuánto es lo que recibe neto?

g) Pedro, Raúl y Sergio miden su estatura. Pedro mide 1.41 m, Sergio 1.46 m y se sabe que la suma de las tres alturas es de 4.2 m. ¿Cuál es la estatura de Raúl?

h) El salón de clases de María tiene forma rectangular y mide 8.75 m de largo y 6.25 m de ancho. Calcula su perímetro.

Actividad Extra Redondea cada una de las siguientes cantidades al entero más próximo. 12 cm a) 12.25 cm d) $ 0.90 g) 12.48 m b) 25.85

e) 12.099 m

h) 134.750 km

c) 20.12 h

f) 45° 38’



i) 12 h 10 min

BLOQUE 2

65 Multiplicación y división con fracciones

Tema: Significado y uso de las operaciones APARTADO 2: PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS I

Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.

Actividad Previa En equipo, propongan problemas que requieran de una multiplicación o división de fracciones, como los siguientes: “Se tiene una caja con 24 frascos de mayonesa. Si cada frasco pesa 34 kg, ¿cuál es el peso del contenido de la caja?” Recuerda que la multiplicación de fracciones homogéneas y heterogéneas se efectúa de manera similar: (numerador 3 numerador) y (denominador 3 denominador). Comenta cómo efectúas la división de fracciones. 3 233 6 1 2 3 5 5 5 4 334 12 2 3

Fracciones homogéneas: Que tienen igual denominador 1 , 2 , 5 , ... . 3 3 3 Fracciones heterogéneas: Que tienen distinto denominador 1 , 2 , 3 , ... . 2 3 4

Actividad 2.1 Las siguientes situaciones te resultarán cotidianas y, en una u otra forma, es seguro que podrás resolverlas. Comenta con tus compañeros tus estrategias y escríbelas. a) En una tienda departamental ofrecen dos floreros por el precio de $130, ¿cuánto se tiene que pagar por los dos?

1 12 . Si cada florero cuesta

b) A Roberto le pagan $120 por cada hora de trabajo. Cierto día solamente trabajó ¿Cuánto ganó ese día?

c) Raquel compró

3 23

2 34 kg de carne. Si cada kilogramo cuesta $48, ¿cuánto tendrá que pagar?

h.

MATEMÁTICAS 1

66

d) María y Carmen tienen 63 estampas entre los dos; 13 de esas estampas es de María, el resto es de Carmen. ¿Qué parte del total es de Carmen? ¿Cuántas estampas son de Carmen? ¿Cuántas son de María?

e) Para premiar a los participantes en unas competencias se tienen tres bolsas con paletas de dulce: una con 20, otra con 25 y la tercera con 60. Si en la primer competencia el primer lugar recibirá 1 del total de paletas; el segundo lugar 2 del total de paletas y el tercero recibirá 1 del 2 5 10 total de paletas. ¿Con cuál o cuáles bolsas es posible resolver la entrega de los premios?

1

f) Mi abuelo tiene un terreno en el que su casa ocupa 4 del área total; el resto del terreno lo quiere repartir entre sus cuatro hijos. ¿Qué parte del total del terreno le corresponde a cada hijo?

3 g) Paco y Pepe llegaron tarde a la fiesta de Rocío y les dieron los 16 que quedaban del pastel. ¿Qué porción del total del pastel le dieron a cada uno, suponiendo que les tocaron porciones iguales?

h) Jaime llega siempre puntual al trabajo; por ello, lo premiaron con la octava parte de la mitad de su salario. Si su sueldo es de $4 000, ¿cuánto dinero recibió como premio?

Actividad 2.2 Seguramente, al resolver las situaciones anteriores hiciste algunas operaciones con las fracciones. Resuelve las siguientes multiplicaciones con fracciones. No olvides simplificar los resultados. Compara tus respuestas y coméntalas. 3 a) 2 3 5 4 b)

5 2 3 5 6 3

c) 2 3 5 3 1 5 4 2 5

1 12 31 23 31 34 5 1 e) 5 3 1 5 2 4 3 f) 3 3 5 5 5

d)

g) 1 3 73 35 6 8

j)

h) 2 3 3 3 4 3 5 5 4 6 5

k)

1

i)

7 5 3 5 8 6

3 5 8 3 3 5 5 8 9

4 34 3 2 35 5 7 3 1 l) 3 35 5 8 4 7

BLOQUE 2

¿Por qué 1

1 2

1

3 2 < 1?

Actividad 2.3 Resuelve cada una de las siguientes situaciones problemáticas. Comenta tus procedimientos y soluciones con tus compañeros. 1

a) El peso de un objeto en la Luna es 6 de su peso sobre la Tierra. Un astronauta con su traje y equipo espacial pesan 210 kg en la Tierra. ¿Cuánto pesarán en la Luna?

b) Mi mamá tiene en la casa un frasco con 120 botones de diferentes colores; la mitad son negros. De los botones restantes, una tercera parte es café y otra verde. Una sexta parte es amarilla y la otra es azul. ¿Cuántos botones hay de cada color?

c) En un salón de clases hay 30 estudiantes, de los cuales 3 son alumnas. ¿Cuántas alumnas hay 5 en esta clase? ¿Y cuántos alumnos?

d) A una persona le preguntaron cuánto pesaba y respondió así: “la mitad de la cuarta parte de mi peso es igual a 10 kg”. ¿Cuánto pesa esa persona?

e) La sexta parte de los 2 de la estatura de Cecilia es igual a 17 cm. ¿Cuál es su estatura? 3

2

f) Por la mañana vendí 3 del total de periódicos que tenía. Por la tarde vendí la mitad de los que quedaban. ¿Qué fracción del total de periódicos representan los que se vendieron por la tarde? Si me quedé con 20 periódicos, ¿cuántos había al empezar la venta?

67

MATEMÁTICAS 1

68

g) Un tinaco está a 45 de su capacidad. Durante el día se consumió la mitad del agua que contiene. ¿Qué fracción de la capacidad total del tinaco se consumió?

Si la capacidad del tinaco es de 400 litros, ¿cuántos litros quedan? h) En una pequeña finca se cultivan tres variedades de café. Según la altura de la plantación, a mayor altura, mayor calidad. Este año se produjeron 885 kg. De menor altura fueron 2 de la 5 producción y de mayor altura 1 de la producción. ¿Cuántos kg de café de cada variedad se 3 produjeron?

i) Gonzalo vive en Morelia y decide visitar a su hermano que radica en Mérida. El primer día recorre 2 del total de la distancia; el segundo día recorre 2 de lo que le falta. Si la distancia entre 7 5 Morelia y Mérida es de 1 225 km, ¿cuántos km le falta recorrer para llegar a su destino?

Actividad 2.4 Has observado que al tener los denominadores iguales en la adición y en la sustracción de fracciones las operaciones se simplificaban. En la multiplicación no es necesario buscar que los denominadores sean iguales, pues esto no afecta el resultado al hacer la conversión. Practica un poco resolviendo estos ejercicios. Completa la tabla de acuerdo con los encabezados. OPERACIONES

1 10 1 5 3 18 2 1 4 1 1 5 3 2 5 2 8 2 5 3 9 7 14 2 5 8 12 2 3 3 5 6 4 3 1 1 3 3 5 4 2 3

CONVERSIÓN

10 6 1 5 18 18

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN SIMPLIFICADA (DE SER POSIBLE)

16 18

8 9

BLOQUE 2

69

En las dos últimas operaciones realizaste la conversión, ¿varió el resultado al convertir los factores a un común denominador? Explica tu respuesta. DIVISIÓN

6 5 2 4 5 3 25 5 No hay cambio; observa: 2 4 5 5 2 3 3 5 6 otra forma puede ser: 2 4 5 5 6 4 25 5 6 4 25 5 6 25 3 5 1 25 5 5 3 5 15 15 Algunas personas realizan la división de fracciones multiplicando en forma cruzada

Actividad 2.5 Con los mismos criterios (operar horizontalmente con fracciones homogéneas), resuelve las siguientes divisiones. Simplifica los resultados. 2 a) 6 4 3 5 5 2 12 12 1

d) 45 4 15 5 90 30

3 g) 9 4 5 5 10

b) 15 4 5 5 18 18

2 e) 3 4 5 3 4

h) 12 4 4 5 7 49

c) 6 4 2 5 20 20

3 f) 5 4 5 5 6

4 i) 8 4 5 5 9

Seguramente, en la primaria utilizaste el procedimiento de los “productos cruzados” para resolver la división de fracciones. Recuérdalo, resolviendo los siguientes ejercicios. 4 2 3 1 a) 4 5 5 6 3 4 2

d) 6 4 2 5 20 10

b) 8 4 7 5 7 9

e) 45 4

c) 9 4 2 5 7 5

f) 2 4 8 5 6

Completa 1 4 3 5 1 3 2 4 2

g) 3 4 2 5 3 4

2

15 5 2

h) 5 4 6

6

5 35 5

i) 5 4 6

2 34 5

5

1 3 2 3 4 5 4 5 2 4

¿Por qué ambos procedimientos conducen al mismo resultado? Actividad 2.6 Resuelve las siguientes divisiones de fracciones y simplifica los resultados. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. a) 4 4 3 5 8 5 b)

6 3 4 5 9 18

2

c) 3 4 5

1 26 5

2 d) 4 5

4

2 12

e) 5 4 7 5 9 7 f) 15 4

15 5 3

5

g)

15 37 4 5 37 5

j) 16 4 18 5 9

h)

2 12 4 2 34 5

k)

i) 9 4 9 5 12 12

4 68 4 78 5

l) 9 4 9 5 100 10

8

2

MATEMÁTICAS 1

70

¿Por qué 1 12 4

1 2

> 1?

Actividad 2.7 Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Comenta con el grupo tus procedimientos y soluciones. a) Un billete de lotería resultó premiado con $3 000. El billete lo compraron entre dos personas; una de ellas cooperó con 2 de su costo, ¿cuánto dinero recibirá cada una? 5

b) Alma, Brenda y Carmen tienen bolsas de dulces. Alma tiene 12 dulces, de los cuales tres tienen chocolate; Brenda tiene ocho dulces, de los cuales dos tienen chocolate y Carmen tiene 16 dulces, de los cuales cuatro tienen chocolate. ¿Qué parte de los dulces de cada una de ellas tiene chocolate?

c) Una persona cuyo peso era de 70.5 kg se sometió a un tratamiento que duró tres semanas 3 y redujo 4 kg cada semana. ¿Cuánto pesó esa persona al finalizar el tratamiento?

d) Un recipiente contiene agua hasta los 45 de su capacidad total. Si se le quita la mitad del agua que contiene: ¿Qué fracción de la capacidad total del recipiente falta para llenarlo?

Si la capacidad del recipiente es de 80 litros, ¿cuántos litros quedan en el mismo?

BLOQUE 2 e) Un testamento ordena dividir un ejido en tres parcelas. La primera debe tener 4 de la superficie 7 total del ejido y la segunda debe ser igual a la mitad de la primera. ¿Qué fracción de la propiedad representa la tercera parcela?

Si la extensión del ejido es de 14 000 m2, ¿cuál es la superficie de cada parcela?

f) Una persona sale de compras. Gasta 37 de su dinero en el supermercado; después 12 de lo que le queda en una tienda de regalos y, finalmente, 1 de lo restante en una librería. Si le quedan 2 $180, ¿cuánto dinero tenía al salir de casa?

g) En un grupo hay 24 niñas y 21 niños en un día de clases, faltó la sexta parte de las niñas y la tercera parte de los niños. ¿Cuántos niños faltaron? ¿Cuántas niñas no asistieron a clase?

¿Qué cantidad de alumnos faltó ese día?

7

h) Se consumieron 8 de un tambo de aceite. Reponiendo 38 litros, el tambo queda lleno en sus 3 partes. Calcula la capacidad del tambo. 5

Actividad Extra Analiza y resuelve el siguiente problema. Un pastor tiene tres hijos y su ganado consta de 11 ovejas. Próximo a morir le dio al mayor la mitad de las ovejas, al mediano la cuarta parte del rebaño y al menor la sexta parte. Al no poder repartir exactamente la herencia, un vecino les prestó una oveja, de manera que el mayor se llevó 6, el mediano 3 y el pequeño 2; sobrando la oveja del vecino, quien se la volvió a llevar. ¿Está bien repartida la herencia? Explica tu respuesta.

71

MATEMÁTICAS 1

72

Tema: Significado y uso de las operaciones

Multiplicación con decimales

APARTADO 3: PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS II

Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.

Actividad Previa En equipo, propongan algunos problemas cotidianos relacionados con la multiplicación de números decimales. Recuerden que los números colocados a la izquierda del punto decimal representan los enteros y los que están a la derecha, las fracciones decimales: décimos, centésimos, milésimos, etcétera. Comenten lo que hacen para colocar correctamente el punto decimal en el producto. Actividad 3.1 Convierte las siguientes fracciones comunes en fracciones decimales (con denominador 10, 100 o 1 000, según sea el caso). Explica a un compañero la relación que existe entre los números decimales y las fracciones. 6 3 a) 5 10 5

42 d) 5 25

g)

425 5 2

12 b) 5 5

34 e) 5 50

h)

125 5 200

5 c) 5 4

12 f) 5 20

i)

12 5 30

Actividad 3.2 Toma las primeras seis respuestas del ejercicio anterior y exprésalas como números decimales. a) 6 5 0.6 10

c)

e)

b)

d)

f)

Actividad 3.3 Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Observa el ejemplo. a) Mario y Rafael participaron en una rifa y ganaron un premio en efectivo por la cantidad de $750. Si Mario solamente cooperó con la cuarta parte del boleto, ¿cuánto dinero del premio le corresponde?

750 3 1 4

5

750 4

Le corresponden $187.50.

BLOQUE 2

73

b) El salario mensual de mi hermano es de d) Un jardinero poda el césped de un jardín que $5 725.50 y paga la renta de su casa, que tiene un área de 975 m2. ¿Cuánto aventajó si equivale a una tercera parte de su sueldo. le faltan por podar las tres cuartas partes de ¿Cuánto paga de renta? la superficie del jardín?

c) Alberto participó en una competencia corrien- e) El depósito de gasolina de un automóvil tiene do 1 de km en 35 segundos. ¿Cuántos metros una capacidad de 45 litros. 1Si el marcador 4 recorrió por segundo? señala que el tanque está a 8 de su capacidad, ¿de cuántos litros se dispone para que el motor siga funcionando?

Se sabe que hacia el siglo v los hindúes multiplicaban así:

456 3 38 5 17 328 Descubre el procedimiento y practica otros casos.

4 1 7

5

1

2 1

3

4

2 3

6 5 0

2

1

8 3

4

8 8 8

Algoritmo: Orden en que deben realizarse las operaciones que resuelven un problema.

Actividad 3.4 Seguramente, al resolver las situaciones anteriores te diste cuenta de lo importante que resulta conocer los algoritmos de las operaciones. Si requieres practicar al respecto, resuelve las siguientes multiplicaciones. a) c) e) g) i) 3.27 9.75 1.125 900.55 754.36 3 9.5 31.25 3 0 . 25 3 20.07 3 34.09

b) d) f) h) j) 48.36 85.69 44.44 0.065 5.008 3 94 3 0.07 3 5.06 3 0.07 3 2000

Escribe el criterio que utilizaste para colocar el punto decimal en cada uno de los productos obtenidos.

Se sabe que... En 1616, en una obra del matemático John Napier, por vez primera aparecen los decimales tal y como los conocemos hoy: con punto para separar la parte entera de la fraccionaria.

MATEMÁTICAS 1

74 Actividad 3.5

Resuelve mentalmente cada uno de los siguientes ejercicios. Expresa el resultado en su forma decimal. 1 1 a) 45 3 e) 1 3 i) 1 345 3 0.0001 5 5 5 1 000 10 b) 2 367 3 c) 7 3

1 5 1 000

1 5 100

d) 45 3

1 5 10 000

f) 93 3 1 000 5

j) 0.001 3 0.01 5

g) 456 3 0.0001 5

k) 0.625 3 0.001 5

h) 8 3 0.1 5

l) 46.78 3 0.01 5

Actividad 3.6 Completa las siguientes tablas. Observa los resultados que se obtienen al multiplicar por un número mayor que la unidad y qué sucede si el factor es menor que uno. a) Un automóvil consume 0.125 litros de gasolina por cada kilómetro recorrido. Recorrido en km

2

1

Consumo en

0.9

0.7

0.5

0.25

0.1

0.25

0.2

0.1

0.125

b) El precio de una tonelada (1 ton) de naranjas es $2 500. Naranjas en ton

5

1

0.75

0.5

Costo en $

c) Gabriela Guevara le da una vuelta a la pista olímpica en 0.8 minutos. Recorrido en vueltas

2

1

Tiempo en min

0.75

0.5

0.25

0.125

0.8

d) Cada litro de leche contiene 7.5 gramos de proteínas. 2

Leche en

1

Proteínas en g

0.75

0.5

0.375

0.25

0.1

7.5

e) El área de un rectángulo, dadas las medidas de sus lados... Largo en m

3

2

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

Ancho en m

6

5

4

3

2

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

Área en m2

BLOQUE 2 ¿Qué sucedió cuando una cantidad la multiplicaste por un número decimal mayor que 1? Explica.

¿Qué sucedió cuando una cantidad la multiplicaste por un número decimal menor que 1? Explica.

Actividad 3.7 Resuelve cada uno de los siguientes problemas. Compara con tus compañeros tus procedimientos y las soluciones que obtuviste. a) Si consideramos que el valor del dólar se encuentra en $11.27, ¿cuánto dinero necesito para poder comprar 750 dólares?

b) Tengo 12 bloques grandes y 7 pequeños. Los bloques de igual tamaño tienen la misma masa. La masa de un bloque grande equivale a la masa de dos bloques pequeños. Si cada bloque pequeño tiene una masa de 5.5. kg, ¿cuánta masa tienen todos los bloques?

c) Un abogado cobra $725 por 60 minutos de trabajo. Si para atender un asunto ocupó 6.75 horas, ¿cuánto tuvo que pagar su cliente?

75

MATEMÁTICAS 1

76

d) En un taller de hojalatería están colocadas, una encima de otra, varias placas de acero: según su grosor, ocho de 0.7 cm; tres de 2.4 cm; cinco de 1.75 cm y 12 de 0.85 cm. ¿Qué altura tiene el montón de láminas?

e) La tabla nutricional impresa en el empaque de un paquete de pan integral dice que cada ración aporta: 9 gramos de proteínas, 1.5 gramos de grasas y 57.5 gramos de hidratos de carbono. ¿Qué cantidad de nutrientes incorpora a su dieta una persona que ingiere tres de esas raciones?

Si un niño come diariamente dos raciones de pan, ¿qué cantidad de nutrientes consume al cabo de una semana?

f) La siguiente tabla muestra tres tarifas diferentes para el cobro de llamadas telefónicas de larga distancia. Tarifa diurna

Tarifa nocturna

Sábado, domingo y días festivos

Primer minuto

Cada minuto adicional

Primer minuto

Cada minuto adicional

Primer minuto

Cada minuto adicional

$2.05

$2.25

$1.5

$1.3

$1.85

$1.05

¿Cuánto te puedes ahorrar en una llamada de 25 minutos si llamas un domingo en lugar de hacerlo un día de la semana por la noche?

¿De cuánto será el cargo con tarifa nocturna si hablas un martes y tu llamada dura 14 minutos?

Y si esta última llamada la hubieras hecho con tarifa diurna, ¿cuánto habrías pagado de más?

BLOQUE 2

77

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Mediatriz y bisectriz

Tema: Formas geométricas APARTADO 4: RECTAS Y ÁNGULOS

Conocimientos y habilidades Utilizar las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo para resolver diversos problemas geométricos. Semirrecta: Recta limitada en un sentido pero ilimitada en el otro.

Actividad Previa En equipos, presenten a los demás una figura conocida para que en ella identifiquen los puntos, rectas y ángulos que la determinan.

Segmento de recta: Porción de recta limitada por dos puntos.

Actividad 4.1 Observa la siguiente tabla, que corresponde a la notación de algunos elementos de geometría. Punto

Línea recta

Semirrecta

Segmento

Paralelas

A A

A

B A

B A

A

AB

AB

B AB

Perpendiculares

B

A C

C

C

B

D

A

B

D AB CD

Ángulo

AB CD

 ABC

Observa las siguientes figuras; en ellas se señalan algunos puntos, líneas, rectas, rayos o semirrectas, segmento de recta, rectas paralelas, rectas perpendiculares y ángulos. Observa las figuras e identifica los elementos señalados en la tabla; después, llena el cuadro de la página siguiente.

C

E

R

G

H

K

A F

B

J

D

I

N L

M

S

R

U W

T

V

P

N

O

Q

MATEMÁTICAS 1

78 Elementos solicitados

Notación de cada elemento seleccionado

a) 10 puntos b) 5 líneas rectas c) 8 segmentos d) 5 semirrectas e) 4 paralelas f) 4 perpendiculares g) 5 ángulos

Actividad 4.2 Utilizando solamente el compás, determina sobre cada línea recta de la derecha un segmento que tenga la misma medida del segmento dado. Usa la simbología correspondiente para identificar cada segmento. a) A

B

b) C

D

c)

E

F

d) G

H

e)

I

J

f)

K

Congruencia: Igualdad de forma y dimensiones.

L Sólo para comprobar, utiliza tu regla graduada y mide ambos segmentos. ¿Qué tan exacto fue tu trazo?

Utiliza la notación adecuada para señalar la congruencia entre los segmentos de recta correspondientes del ejercicio anterior. ,

,

,

,

,

.

BLOQUE 2

79

Actividad 4.3 Con regla y compás, traza la mediatriz de cada uno de los siguientes segmentos de recta. Observa el recuadro para recordar cómo se realiza el trazo, o si conoces otro procedimiento, coméntalo con tus compañeros. A a)

P A

Q

B

C b) A

B

B

F

c)

G A

J

B

K

D

Actividad 4.4 En la siguiente figura, RS es la mediatriz de AB y M es el punto de intersección. Completa o contesta las siguientes cuestiones, según se indique. a) ¿Cuánto mide el  BMR ?

R

, ¿y el  AMS ?

b) ¿Cómo son entre sí AB y RS ?

F

c) ¿Cómo son entre sí las longitudes de AM y BM ?

A

M G

B

d) Por ello, M resulta ser el e) Entonces, RS es la f) ¿Cómo son entre sí FA y FB ? ¿y GA y GB ?

H S



del segmento ;

g) Si H es un punto cualquiera de la mediatriz, ¿cuáles son las distancias a los extremos del segmento? y ; ¿cómo son entre sí sus medidas?

h) De lo anterior, ¿cuál es tu conclusión?

de AB

MATEMÁTICAS 1

80

i) ¿Qué puntos resultan simétricos con respecto a la mediatriz RS ?

j) De acuerdo con sus ángulos, ¿qué tipo de triángulos son AFB, AGB y AHB ? ¿Por qué? k) En la figura de la página anterior, utiliza tu compás y encuentra al menos un punto sobre la mediatriz tal que al trazar sus distancias a los extremos del segmento se forme un triángulo equilátero. Realiza el trazo y justifica. l) ¿Podrías encontrar un punto tal sobre la mediatriz que, al trazar sus distancias a los extremos del segmento, se forme un triángulo escaleno? Justifica tu respuesta y verifícalo en el trazo. m)Si se desplaza el punto F sobre la mediatriz, hasta formar un triángulo rectángulo, resultaría que: MA = MF = MB, ¿por qué?

n) ¿Qué debes hacer para obtener un rombo a partir del trazo de la mediatriz de un segmento? Explica y demuéstralo haciendo la figura correspondiente.

Se sabe que... Isósceles, los griegos lo interpretaban por “piernas iguales”.

¿Y escaleno?

“Cojo”.

BLOQUE 2

81

Actividad 4.5 Traza las mediatrices de cada uno de los lados de los siguientes triángulos.

P

E D

A

Q

C

B F

R

a) ¿Qué sucedió con las tres mediatrices de cada triángulo? b) ¿Cómo son entre sí las distancias desde ese punto a los vértices del triángulo? c) Con tu compás, haciendo centro en ese punto, traza una circunferencia que pase por los tres vértices. d) ¿Qué medida tiene el radio de cada una de esas circunferencias? e) Dados tres puntos no lineales, ¿podrías hacer pasar una circunferencia por ellos? Inténtalo para estas dos situaciones: A, B y C; P, Q y R.

B

Q

A

R P

C

MATEMÁTICAS 1

82 Actividad 4.6

Resuelve cada una de las siguientes situaciones. a) Cada una de las diagonales de un cuadrado c) Las diagonales de un rombo miden 6 cm y mide 5 cm. Construye el cuadrado correspon4 cm, respectivamente. Construye el rombo. diente.

b) Observa y determina si las siguientes figuras d) La segunda figura es el reflejo de la primera, son simétricas. Justifica por medio de trazos. y la tercera es el reflejo de la segunda. Ubica los ejes de simetría en la posición correcta. 2a 1a 3a

Actividad 4.7 Utiliza tu transportador para medir cada uno de los siguientes ángulos.

C

T  ABC 5

 UTS 5

A

M

 HGF 5

G

R U

B

F

S

H

E

 RHK 5

 DEM 5

D

H

K

BLOQUE 2

83

Actividad 4.8 Haciendo uso del transportador, divide cada uno de los ángulos anteriores en dos ángulos iguales y anota cuánto mide cada una de esas partes. T S C  5  5 A

U

B F

M 

G

5

E



H

5

D

¿Cómo se llama la línea recta que divide un ángulo en dos ángulos iguales? Con tus propias palabras, escribe el concepto de bisectriz.

Siempre que trazamos dos semirrectas que parten de un mismo punto se forman dos ángulos. ¿Tendrán los dos ángulos la misma bisectriz? Es conveniente señalar con un arco al ángulo en cuestión o bien apegarnos a un convenio: “los ángulos se denotan en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj”. Algunas personas denotan un ángulo utilizando tres letras mayúsculas (ABC), otras solamente utilizan la letra que está en el vértice (B), y otras más una letra minúscula (b).

Las manecillas del reloj analógico forman ángulos entre 0o y 360o .

Actividad 4.9 Con regla y compás, traza la bisectriz de cada uno de los siguientes ángulos. Verifica la exactitud del trazo midiendo con el transportador. Observa el recuadro para recordar cómo se realiza el trazo, o si conoces otro procedimiento, coméntalo con tus compañeros. a) b) c)

MATEMÁTICAS 1

84 Actividad 4.10

P

Traza las bisectrices de cada uno de los ángulos de los siguientes triángulos. Observa si coinciden en un mismo punto. D A

E

B

C

F a) ¿Qué sucedió con las tres bisectrices de cada triángulo?

Q

R

b) Si trazas una perpendicular desde cada lado a ese punto y las mides, ¿cómo resultan sus medidas? c) Con tu compás, haciendo centro en ese punto, traza una circunferencia que toque los tres lados del triángulo. Esa circunferencia queda inscrita en el triángulo. d) Cada lado del triángulo es

a la circunferencia inscrita.

e) ¿Qué ángulo se forma entre cada lado y el radio trazado al punto donde se tocan la circunferencia y el lado del triángulo?

Actividad Complementaria

Si es posible, resuelvan la actividad 7, “Mediatriz de un segmento”, que está en las páginas 38 y 39 del libro Geometría dinámica. EMAT. SEP, 2000, México.

Actividad 4.11 Resuelve cada una de las siguientes situaciones. a) Construye un triángulo equilátero cuyos lados midan 6 cm. Traza sus ejes de simetría, bisectrices y mediatrices.

Actividad Extra

¿Qué observas?

Construye un triángulo equilátero. Traza sus mediatrices y bisectrices. ¿Qué sucede? ¿Podrías inscribir un círculo en el triángulo? ¿Podrías inscribir el triángulo en un círculo?

¿Sucederá lo mismo con un cuadrado ¿Y con cualquier polígono regular? Prueba con un pentágono y un hexágono regulares. Saca tus conclusiones.

CONSTRUCCIÓN Y TRAZOS

BLOQUE 2

85

Polígonos regulares

Formas geométricas APARTADO 5: FIGURAS PLANAS I Conocimientos y habilidades Construir polígonos regulares a partir de distintas informaciones.

Actividad Previa Consigan algunas tiras de papel (o rollo de calculadora) y hojas tamaño carta. Realicen un concurso, entre equipos, para construir la mayor cantidad de polígonos a partir del doblado de papel. Observen los ejemplos. A continuación se muestran los dobleces hechos a una tira de papel para obtener “triángulos equiláteros”. A

D

B

C

doblar

D A

B

D

E

F

B

doblar

G

A

B

G

D F

F C

desdoblar

doblar

H

C

Con tiras de papel, forma un “hexágono regular”.

2 1

3

C

MATEMÁTICAS 1

86

Con un cuadro de papel forma un “triángulo equilátero”. Dobla de modo que el vértice D coincida con EF y marca el punto G. A

B

A

E

B

A

E

B

C

D

C

F

D

C

F

D

A

G

F

E

B

A

G

E

B

D

C

D

Con una hoja de papel, partiendo de un triángulo equilátero, construye un “hexágono regular”. doblar

Con una hoja rectangular construye un “cuadrado”.

BLOQUE 2

87

Con tiras de papel construye un “pentágono regular”. Realiza este nudo y estíralo con cuidado.

En cada caso, mide los lados y los ángulos para comprobar su regularidad.

Polígono regular: El que tiene todos sus lados y sus ángulos iguales.

Actividad 5.1 A continuación aparecen algunos polígonos. Encierra en un círculo los que sean polígonos regulares. En cada caso, mide los lados y los ángulos para comprobar su regularidad.

¿Qué criterio aplicaste para seleccionar los polígonos que son regulares? Observa a tu alrededor y menciona algunos objetos o figuras que, al dibujarlos en el plano, se observen como polígonos regulares.

MATEMÁTICAS 1

88 Actividad 5.2

Cuando un polígono es regular, las mediatrices de sus lados se cortan en un punto que es el centro de dos circunferencias, una que inscribe al polígono y otra que lo circunscribe. Haciendo los trazos correspondientes, verifica cuáles de los siguientes polígonos son regulares. Traza dos mediatrices y la circunferencia correspondiente. Haz diferentes pruebas. Triángulo inscrito:

Triángulo circunscrito:

¿Sería válido afirmar lo mismo en el caso de trazar las bisectrices? Resuelve algunos casos y coméntalos. ¿Cuáles de estos polígonos no son regulares? ¿Por qué?

BLOQUE 2

89

Actividad 5.3 Usando el transportador, mide cada uno de los siguientes ángulos y dibuja un ángulo congruente a cada uno de ellos utilizando regla y transportador. a)

A

B  BCA 5

C b)

D

E F

 DEF 5

c) G

H

I

 GHI 5

J

d)

L

 JKL 5

K M

e)

N P

 MPN 5

MATEMÁTICAS 1

90 Actividad 5.4

Usando regla y compás, traza un ángulo igual al ángulo dado. En la ilustración se muestra la forma de trazar un ángulo igual a otro. Verifica la precisión del trazo midiendo con el transportador ambos ángulos. Anota la medida. ángulo Obtenido Ángulo dado a) Trazar una semirrecta a) Trazar un arco c) Trasladar la medida b) Medir el arco limitado a)

b) Trazar el arco

A

B C

b)

F

D

E

c)

I

H

G

d) Trazar

BLOQUE 2

91

Ángulos de los polígonos

Exterior ( e): El que se forma entre un lado y la prolongación del lado adyacente o contiguo.

centro

i

Interior ( i): El que se forma entre dos lados y dentro del polígono.

Central ( c): El que se forma entre dos radios consecutivos.

c

e

radio

Actividad 5.5 En el siguiente grupo de polígonos regulares identifica en cada uno de ellos un ángulo exterior ( e): márcalo con rojo; un ángulo interior ( i): márcalo con verde y un ángulo central ( c): márcalo con azul. Precisa tu identificación denotándolos con tres letras. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Observa el ejemplo. I A J K Z S T F

Q D

L X

B P i

E

H

G

C

CUADRADO

 i 5 DCB e5 c5

 EQUILÁTERO i5 e5 c5

R

M O

N

A

E Y

W

OCTÁGONO

i5 e5 c5

D

U V HEXÁGONO

i5 e5 c5

C

B

PENTÁGONO

i5 e5 c5

Actividad 5.6 Dada la medida del ángulo central, traza el polígono regular correspondiente. De acuerdo con el espacio, decide la magnitud de sus lados. Comenta tus procedimientos con el grupo. a)  c 5 1200

c)  c 5 600

b)  c 5 900

d)  c 5 450

MATEMÁTICAS 1

92 Actividad 5.7

Dada la medida del ángulo interior, traza el polígono regular correspondiente. De acuerdo con el espacio, decide la magnitud de sus lados. Comenta tus procedimientos con el grupo. a)  i 5 1080

c)  i 5 1400

b)  i 5 1500

d)  i 5 1600

Actividad Complementaria

Si es posible, resuelvan la actividad 13, “Construcción del paralelogramo”, que está en las páginas 50 y 51 del libro Geometría dinámica. EMAT. SEP, 2000, México.

Actividad 5.8 Sigue las instrucciones para el trazo de las figuras que se indican (usa solamente regla y compás). Conforme avances, responde o completa cada enunciado. Comenta tus respuestas con el grupo. a) Con tu compás apoyado en x, traza una cir cunferencia con centro en O y radio correspondiente al espacio del que dispones. Con tu compás toma la medida del radio y, a partir de un punto, haz marcas sobre la circunferencia, una a continuación de la otra. ¿Cuántas marcas hiciste?

O

Asigna a cada marca una letra mayúscula (A, B, C…). Con tu regla, une los puntos marcados. ¿Cuántos lados tiene el polígono? Con tu regla, traza los ángulos centrales. ¿Cuántos ángulos son? ¿Qué tipo de triángulos se forman? ¿Por qué?

¿Qué nombre recibe este polígono?







BLOQUE 2 b) Toma como referencia las marcas del trazo anterior y construye un triángulo equilátero.

O

¿Por qué podemos afirmar que es un triángulo equilátero? Une los vértices del triángulo con el centro de la circunferencia. ¿Qué tipo de triángulos se forman? ¿Por qué? ¿Podrías formar con esta figura una estrella de seis picos? Trázala y coloréala. c) Considera que las rectas dadas son perpendiculares y se intersecan en el punto O. De acuerdo con el espacio disponible, traza una circunferencia con centro en O.

O

¿En cuántos puntos es intersecada la circunferencia? Asigna una letra a cada uno de esos puntos y únelos. ¿Cómo se llama el polígono que obtienes? Haciendo uso de tus conocimientos de simetría, ¿podrías construir un octágono? Obténlo.

93

MATEMÁTICAS 1

94

Actividad Extra Si no tienes a la mano un transportador; puedes construir un recurso que te ayudará a medir algunos ángulos de los más usuales. Haz esta serie de dobleces a un trozo cuadrado de papel. Utiliza un cuadrado de 10 cm por lado.

s

u

t

v w x

r m n o g h l

a

p i j

b

c

d

450

150

900 750 750

300

300

q k

900 600 1200 900 1200 600

e

900

1200 600 900 600 1200 900

600

600 600

900

Con el recurso didáctico que acabas de formar, mide los siguientes ángulos.

C

F  ABC 5

E

 DEF 5

A

B

D I

 GHI 5

H

G

¿Con qué ángulos del cuadrado se midió el ángulo GHI?  Comprueba con el transportador y comenta con tus compañeros los resultados obtenidos.

BLOQUE 2

95 Perímetro y área de polígonos

Tema: medida APARTADO 6: Justificación de fórmulas I

Conocimientos y habilidades Justificar las fórmulas de perímetro y área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.

Actividad Previa Crear un formulario. Formen equipos para construir un geoplano. Cada equipo propone una figura para que otro calcule el área y el perímetro contando las unidades y considerando las figuras equivalentes. El formulario es para verificar las respuestas. Pueden auxiliarse con dobleces y recortes de papel para facilitar la justificación de las fórmulas en el cálculo de áreas.

Formulario: Grupo de fórmulas dadas con símbolos o instrucciones. Geoplano: Recurso didáctico diseñado en un plano cuadriculado.

Actividad 6.1 A continuación aparecen varios polígonos; determina el perímetro y el área de cada uno de ellos, considerando como unidad lineal: 1 u 5 y como unidad de área: 1 u2 5 .

P5 A5 P5 A5

P5 A5 P5 A5

P5 A5

P5 A5

P5 A5

Comenta con tu profesor y con tus compañeros acerca de los procedimientos que empleaste para calcular el perímetro de cada una de las figuras anteriores.

MATEMÁTICAS 1

96

Comenta qué procedimientos utilizaste para obtener el área de cada figura. ¿De qué manera se podrían facilitar estos procedimientos? Escribe tu conclusión. ¿Tuviste alguna dificultad para obtener los perímetros y áreas de los triángulos y el trapecio? Haz un comentario y plantea una posible solución.

Actividad 6.2 Determina el área de cada una de las siguientes figuras. Identifica las que tengan áreas equivalentes. Contesta o completa lo que se te pide. 3

1

6

4 5

2 9

8

10

11

7

15 12

13

14

16

Escribe qué procedimiento seguiste para determinar el área de cada figura. ¿Qué usaste como unidad de medida? Escribe el área de cada figura. No olvides anotar las unidades correspondientes. Anota las parejas de figuras que tienen áreas equivalentes. ¿Consideras que si descompones una de las figuras (por dibujo o por recorte) podrías formar la otra figura que encontraste con área equivalente? Anota tus comentarios y ejecuta en tu libreta alguno de los casos.

BLOQUE 2

97

Actividad 6.3 Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. a) Se tiene un rectángulo cuya área mide 24 u2 (unidades cuadradas). Determina tres rectángulos que cumplan con esta condición y halla el perímetro de cada uno de ellos. Utiliza la cuadrícula para construirlos.

¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo con mayor perímetro que tenga esa misma área? b) La línea trazada sobre la cuadrícula une los vértices opuestos de un cuadrado. Determina el cuadrado correspondiente y calcula su perímetro y su área.

¿Cuánto mide el lado del cuadrado que obtuviste? ¿Cuánto mide su perímetro? ¿Y su área? c) Cuando el profesor nos dijo que dibujáramos un cuadrado para obtener su perímetro, varios de los cuadrados resultaron de diferentes tamaño porque la medida del lado no coincidió. Algunas de ellas, las más escogidas, fueron: 3 cm, 5 cm, 6 cm, 4 cm, 2 cm y 8 cm. Entonces nos propuso hacer esta tabla y responder las preguntas. Lado en cm Perímetro en cm

2

3

4

5

6

8

MATEMÁTICAS 1

98

¿Cómo se calcula el perímetro del cuadrado que tiene 2 cm de lado? ¿Y del que mide 5 cm de lado? ¿Y del que mide 8 cm de lado? ¿Y si la medida del lado no está definida y la expresamos con n ? ¿Podrías escribir la fórmula para calcular el perímetro de un cuadrado cualquiera? d) Consideremos la tabla propuesta para determinar ahora el área de cada cuadrado. Lado en u

2

3

4

5

6

8

Área en u2

Puedes apoyarte dibujando cada cuadrado en la siguiente cuadrícula y comparando. Considera que cada es 1 u y cada es 1 u2.

¿De qué manera puedes simplificar el conteo? Si cada lado lo representamos por l, ¿cuál es la fórmula para calcular el área de cualquier cuadrado?

BLOQUE 2

99

e) Determina el perímetro de cada uno de los siguientes rectángulos; luego, completa los planteamientos que se proponen.

1

3

2

P5

P5

P5 6

5

P5

4

P5

P5

Anota el procedimiento que seguiste para obtener cada perímetro. ¿Cómo son entre sí los lados opuestos de cada rectángulo? ¿Y cómo resultan ser esas medidas? Es decir, que un rectángulo tiene dos lados largos

y dos lados cortos

Entonces, el perímetro de la primera figura se puede obtener a partir de: 2 3 3 1 2 3 6 5 18 ¿Coincide esta solución con tu respuesta? Verifica este procedimiento con el resto de los rectángulos.

Divide esta figura de tal forma que obtengas cuatro figuras congruentes (misma forma y misma área).

MATEMÁTICAS 1

100

f) Utiliza la siguiente tabla para determinar el perímetro de seis rectángulos, más uno especial, de los que se conocen sus lados Largo en m

8

12

24

45

80

110

a

Ancho en m

6

9

12

15

40

60

b

Perímetro en m

Escribe dos ejemplos que muestren cuál es el procedimiento que utilizaste para encontrar el perímetro de cada rectángulo. En el último de los rectángulos, ¿cuál es tu respuesta? Coméntala con tus compañeros y con tu profesor. Acuerden si ésa es una fórmula para calcular el perímetro de cualquier rectángulo. g) Ahora, calcula el área de las figuras del ejercicio e).

1

3

2

A5

A5

4

A5 6

5

A5

A5

A5

¿Qué procedimiento seguiste para obtener el área de cada rectángulo? Si consideramos que en uno de los rectángulos el largo mide a y el ancho mide b, ¿cuál es la fórmula para calcular el área de cualquier rectángulo? La figura 6, a 5 b es un cuadrado, donde a 5 b; entonces, su área puede expresarse como: A 5 a 3 b 5 a 3 a 5 a 2 o bien A 5

BLOQUE 2

101

Actividad 6.4 Tomando como referencia el primer cuadrilátero, se han hecho algunos movimientos con la posición de los vértices sin alterar las medidas de los lados. Escribe tus comentarios en relación con lo que sucede con las formas, los perímetros y las áreas de cada serie de figuras. CUADRILÁTEROS polígonos de cuatro lados PARALELOGRAMOS TRAPECIOS Cuadriláteros Cuadriláteros con un par de de lados opuestos lados paralelos iguales y paralelos Rectángulo Rombo Cuadrado Romboide

¿Qué sucede con el rectángulo?

TRAPEZOIDES Cuadriláteros sin lados paralelos

Rectángulo Isósceles Escaleno

¿Qué sucede con el cuadrado? Actividad 6.5 La siguiente serie de ejercicios pretende que comprendas la naturaleza de algunas fórmulas útiles para el cálculo del área de ciertos polígonos. Apóyate en la cuadrícula y completa cada planteamiento. Utiliza como referencia tus conocimientos sobre el cuadrado y el rectángulo. a) Área del romboide. Un romboide es un paralelogramo, por lo que sus lados opuestos son

ancho

y El área del triángulo cambia al recortarse y pegarse ¿Por qué?

largo cortar

ancho

5

b

largo a

¿Las áreas del romboide y del rectángulo son equivalentes? Explica. pegar ¿Cuál es la fórmula para calcular el área del rectángulo?

¿Cuál es la del romboide?

MATEMÁTICAS 1

102

Se sabe que... La diagonal es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

b) Área del rombo.

¿Cómo son entre sí las áreas de los cuatro triángulos en qué se dividió el rombo?

diagonal

Si duplicamos cada triángulo y los acomodamos como se indica en la imagen, ¿qué figura se forma?

d



menor

D diagonal mayor

¿Qué viene representando el área del rectángulo en relación con el área del rombo? ¿Cuál es la fórmula para calcular el área del rectángulo?

D

Si el área del rectángulo es el doble que la del rombo, entonces la fórmula para calcular el área del rombo queda:

d

c) Área del trapecio. Al reproducir el trapecio original e invertirlo para agruparlo con el primer trapecio, ¿cuánto mide el área de la nueva figura con respecto al trapecio original?

base menor

b altura h

B



base mayor

b cortar

B

¿Qué figura se obtiene al recortar y pegar el triángulo punteado?

b

pegar ¿Cómo es el área de la figura obtenida en relación con la del trapecio original?

h B b

B



h Si la fórmula para obtener el área de esta última figura es: A 5 (B + b) 3 h, ¿cuál es la fórmula para obtener el área de esta última figura? A 5 ¿Por qué divides entre dos?

BLOQUE 2

103

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a uno de los lados desde el vértice opuesto. d) Área del triángulo. Si se traza la altura a un triángulo cualquiera se forman dos triángulos; de acuerdo con sus ángulos, ¿de qué clase son?

altura a base b

Si se reproducen esos triángulos y se acomodan como en la segunda figura, ¿qué polígono se forma? ¿Esta figura conserva las medidas de b y a con respecto a la original?

a

Entonces, su área es: ¿Qué parte de la figura viene siendo el triángulo?

b



Por tanto, la fórmula para calcular el área de un triángulo cualquiera es: e) Área del hexágono regular. lado I

Apotema: Segmento que va del centro del círculo al punto medio de uno de los lados de un polígono regular inscrito.

¿Cómo son entre sí los triángulos que forman el hexágono? La apotema es igual a la altura de cada y el lado representa su base. En este caso, ¿con qué fórmula calculas el área de un triángulo?

apotema a

perímetro P 5

¿Cuál es el perímetro de este hexágono? sión del área del hexágono? Escribe la fórmula cualquier polígono regular?

¿Cuántos triángulos iguales forman un hexágono? ¿Cómo obtendrías el área del hexágono? Comenta y anota su fórmula. ¿De qué manera se relaciona con la expre¿Podrá utilizarse para calcular el área de

MATEMÁTICAS 1

104 Actividad 6.6

Analiza con cuidado las siguientes situaciones y contesta lo que se pide. a) En la siguiente cuadrícula, cada cuadrito representa una unidad cuadrada (u2). Dibuja y anota las medidas de los lados de cuatro polígonos que tengan un área de 6 u2. ¿Cuántos rectángulos diferentes de área 12 u2 se pueden hacer?

Anota en esta tabla las medidas de los rectángulos que encontraste con área 12 u2. Puedes hacerle más celdas.

Medida del largo

Medida del ancho

Área 12 u2 12 u2 12 u2

¿Son todos los perímetros iguales? ¿Por qué? Explica.

Perímetro

BLOQUE 2

105

b) Si el perímetro de un rectángulo es de 50 cm, anota tres posibles medidas de sus lados. Analiza con cuidado las siguientes situaciones y contesta lo que se pide. Posibilidad Largo Ancho(cm2). a) En la siguiente cuadrícula. A cada cuadrito lo llamaremos centímetro cuadrado 1 las medidas de Dibuja y anota los lados de 2 4 polígonos que tengan un área de 6 cm2. 3

¿Cuántos rectángulos diferen2 de área 12 cm se hexágono pueden regular. ¿Qué po c) Lates figura siguiente es un hacer? drías decir de ella en relación con sus lados, ángulos o figurasen que lo tabla forman? Anota esta las medidas de los rectángulos que encontraste con área 12 cm2. Puedes hacerle más celdas.

Medida del largo

Medida del ancho

Área

Perímetro

12 cm2

Las siguientes figuras pueden obtenerse como partes del hexágono regular. 12 cm2 12 cm2

¿Son todos los perímetros iguales?, ¿Por qué? Explica. ¿Cuántos

forman un

¿Cuántos

forman un

¿Cuántos

¿Cuántos

Si el área de un

forman un

forman un

?

?

?

?

es 5 cm2, ¿cuánto medirá el área de un

? Justifica tu respuesta.

Si el área de un

es 9 cm2, ¿cuánto medirá el área de un

? Justifica tu respuesta.

106

MATEMÁTICAS 1 d) Al unir los puntos ABCD se obtuvo el cuadrado EFGH, y al unir los puntos medios de éste resultó el cuadrado IJKL. Si AB 5 24 cm, ¿cuántos mide el lado JK?

A

H

D L

I

G

E K

J B

F

C

e) Tenemos dos cuadrados iguales superpuestos, de manera que el vértice de uno está siempre en el centro del otro. ¿En qué posición el área comprendida entre los dos cuadrados es la mayor posible?

C

E

A B D

f) Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen perímetros iguales. Si el hexágono tiene un área de 6 m2, ¿qué área tiene el triángulo? Ayúdate haciendo una figura.

g) Tenemos un cuadrado de 10 cm de lado. Calcula el área del cuadrado sombreado si A, B, C y D son los puntos medios de los lados del cuadrado. Ayúdate calcando y recortando la figura.

B

A

C D

BLOQUE 2 h) Considera un cuadrado de 4 cm por lado como el que se ilustra. Cálcalo y divídelo en triángulos de áreas equivalentes. Recorta los triángulos y forma aquí un rombo.

Actividad Extra ¿Cuáles de estas figuras tienen mayor perímetro? ¿Su área también es la mayor? Anota tus comentarios.



107

MATEMÁTICAS 1

108 Actividad 6.7

Resuelve cada uno de los siguientes problemas. Comenta con el grupo los procedimientos utilizados y las respuestas obtenidas. a) Para instalar una malla ciclónica alrededor de su propiedad, Alfredo estudia el plano de su terreno y encuentra las medidas indicadas en la figura de abajo. ¿Cuántos metros de malla debe comprar Alfredo? 11 m 15 m

9m

22 m b) Una familia instalará losetas en su sala; hace un diseño del piso y toma las medidas. Si el instalador le cobra $135.00 por metro cuadrado (m2), ¿cuánto le costará la instalación en total? 3.2 m

4.3 m

7m

c) Marilú quiere poner alfombra en un cuarto que ha construido. Para esto, toma las medidas de los laterales del cuarto y las representa en la figura de abajo. ¿Aproximadamente cuánta alfombra debe comprar? 2.6 m

2.6 m

2.6 m

4m

BLOQUE 2 d) Una familia desea instalar cortinas verticales a las tres ventanas de su sala. Cada ventana mide 75 cm de ancho por 80 cm de alto. Si el instalador le indica que las cortinas deben cubrir 5 cm adicionales a cada lado (ancho y alto), ¿cuál será el área que cubrirán las cortinas?

e) Se tiene una fotografía en forma de cuadrado de 2 cm por lado. ¿Cuánto miden su perímetro y su área? Si se hace una ampliación de manera que el lado mida lo doble, ¿cuánto miden su perímetro y su área? Ayúdate haciendo un dibujo.

¿Qué comentario puedes hacer en relación con el aumento del perimetro? ¿Y del área?

f) ¿Cuánto mide el área del rectángulo?

3m

4m

Si este rectángulo se corta por las líneas de puntos (diagonales), ¿qué figuras se forman? ¿Cómo son entre sí las áreas de cada figura resultante?

109

110

MATEMÁTICAS 1 g) La recámara de Alfredo tiene la forma de un cuadrado y mide 4 m por lado. Quiere poner alfombra de pared a pared. Si el m2 de la alfombra que escoge cuesta $ 160, ¿cuánto tiene que invertir para hacer el arreglo?

h) Doña Rosalía tiene una parcela con forma rectangular que quiere delimitar con una barda. Si el largo del terreno es 30 m y desea que la barda tenga 3 m de altura, independientemente de la base, ¿cuántos metros cuadrados de barda colocará si deja un espacio de 4 m para un portón?

i) Antes de un partido de futbol decidieron marcar nuevamente con cal el contorno de la cancha. Si las medidas de la cancha son: largo 100 m y ancho 50 m, ¿cuál es la medida del contorno que deben marcar? Si por cada kilogramo de cal se pueden marcar 2 m, ¿cuánta cal se requiere?

BLOQUE 2

111 Proporcionalidad directa: valor faltante con operadores fraccionarios y decimales

MANEJO DE LA INFORMACIÓN Tema: Análisis de la información APARTADO 7: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD III

Conocimientos y habilidades Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando operadores fraccionarios y decimales.

Actividad Previa Para este apartado se espera que perfecciones el uso de las proporciones al resolver problemas sencillos, como: “Si por 12 pares de calcetines se pagan $222.60, ¿cuánto se pagará por 5 pares de esos mismos?” Seguramente puedes proponer otros problemas similares y cotidianos.

Geografía: En el antiguo Egipto la tierra se distribuía en terrenos rectangulares iguales, por los cuales se pagaba un impuesto anual. Cuando el río Nilo inundaba parte de un terreno, se le hacía un descuento al dueño, y pagaba solamente el porcentaje de la porción de tierra no afectada.

En un almacén, cierta camisa está rebajada en un 10%. Como la venta aumentó, decidieron incrementarle un 10%. ¿Cuándo se obtuvo el mejor precio para comprarla, antes de que la rebajaran o después del aumento? Actividad 7.1 En cada una de las siguientes igualdades falta un término. Determina su valor y comprueba si cada una de las igualdades resulta ser una proporción. En el primer inciso completa el análisis. a) 75 5 27 225 a

Valores medios

Valores de los extremos

¿Cómo son entre sí los productos de 225 3 27 y 75 3 a ? Esta igualdad es una proporción solamente si: “El de los medios es igual al producto de los

”.

¿Cuál es el valor de a ? En las siguientes igualdades, determina el valor numérico del término desconocido expresado con una letra. 2 3

1.2 4.5 b) 5 5.6 b

6 d) 5 d 12

c) 6.75 5 c 12.5 60.25

e) e 5 0.12 2.44 24.4

1

f) 12 5 2 1 f 4

MATEMÁTICAS 1

112 1

2

1

3 2 g) h) 5 23 5 3 y x 24 4

Actividad 7.2 Resuelve cada uno de los siguientes problemas. Comenta con el grupo tus procedimientos y tus resultados. a) Un estanque de 2 430 litros de capacidad se d) Si un ciclista tarda una hora y media en llegar llena en 5.4 horas. ¿Cuántos litros por minuto de una ciudad a otra con una velocidad de arroja la llave? 25 km/h, ¿cuánto tardará en llegar a una velocidad de 30 km/h?

b) Una actriz de teatro memoriza 30 líneas de su e) Una rueda da 34 de vuelta cada medio minuparlamento en 25 minutos. En esa misma rato, ¿cuántas vueltas dará en media hora? zón, ¿cuánto tiempo necesita para memorizar 240 líneas?

c) Un automóvil recorre cierta distancia en dos f) Un escritor redacta 3 páginas completas en horas y media a una velocidad constante de una hora y trabaja diariamente 6.5 horas. 60 kilómetros por hora. ¿Cuánto le tomará re¿Cuántos días requiere para escribir un libro correr la misma distancia a una velocidad de de 702 páginas? 75 kilómetros por hora?

BLOQUE 2

113

g) Un paquete de 18 huevos cuesta $15.60, ¿cuán- i) En cinco minutos los riñones filtran 0.625 litros to costará un paquete con una docena? de sangre. ¿Cuántos mililitros de sangre se filtrarían en una hora y media?

h) Un taxista cobra $6.50 al ser abordado y luego j) Tres personas reunieron el capital necesario $0.65 por cada 80 m recorridos. ¿Cuánto copara abrir una tienda, aportando: el primero 2 brará por un recorrido de 12 km? oo partes, el segundo 1 y el tercero lo que 5 3 faltaba. Al repartir las ganancias, al segundo le correspondieron $49 500, ¿qué ganancias obtuvo cada uno de los otros dos?

Actividad 7.3 En las siguientes figuras, una de sus partes está coloreada. Escribe la fracción correspondiente y el porcentaje que representa. a) Ejemplo c) e)

fracción 50 = 0.5, 50 % 100 b)

fracción

,

fracción

,

%

fracción f)

,

%

fracción

,

%

fracción

,

%

d)

%

MATEMÁTICAS 1

114 Actividad 7.4

Expresa cada una de las fracciones obtenidas en el ejercicio anterior, primero como fracción decimal y luego como decimal. 50

a) 10 = 0.50

c)

e)

b)

d)

f)

Actividad 7.5 Seguramente, y con frecuencia, te has encontrado con situaciones como las siguientes. Resuélvelas. Comenta tus procedimientos y soluciones con tus compañeros. a) En una tienda departamental se anuncian to- c) Tres amigos compraron un billete de lotería das las llantas con 20% de descuento. Si la que salió premiado con $300 000. Al querer que se desea comprar viene marcada con un cobrar su dinero se les hizo una retención de precio de $440, ¿cuánto se tendrá que pagar 5% por concepto de trámites. Cada uno de ellos por una llanta? llevaba la idea de cobrar: $150 000, el primero; $75 000, el segundo y $60 000, el tercero, porque según su aportación para la compra del billete: el primero puso la mitad; el segundo la cuarta parte y el tercero la quinta parte. Cada uno cobró lo que esperaba; entonces, ¿de dónde salió para pagar el dinero que les retuvieron? Busca la solución y comenta en dónde estuvo el error.

b) Manuel ahorra para comprar una bicicleta d) El precio de un libro es $122.50, pero a los cuyo precio es $1 250. Cuando reúne el dinero estudiantes nos hacen un descuento de 10%. va al almacén a comprarla, pero se entera que ¿Cuánto hay que pagar por dicho libro? ¿Cuánademás tiene que pagar 15% de IVA, ¿cuánto tos libros tengo que comprar para que uno de dinero le hace falta para poder comprar la biellos me salga gratis? cicleta?

BLOQUE 2

115

e) En algunos negocios no se aceptan tarjetas de f) Si 75% del cuerpo humano está compuesto por crédito, a menos que el cliente acepte pagar líquidos, ¿cuál es el peso de los sólidos que con3% sobre el total de su cuenta. Si al automóvil forman a una persona cuya masa corporal es de cierta persona le hacen un servicio y la de 80 kg? cuenta asciende a $900 y lo tiene que pagar con su tarjeta, ¿por cuánto deberá de firmar el pagaré de la tarjeta bancaria?

Actividad 7.6 Para cada una de las siguientes situaciones, completa o genera una tabla. En los casos en que se requiera, completa o contesta lo que se te pide. a) Obtener el perímetro de diversos cuadrados. Lado en cm

1

2

3

4

5

6

7

8

Perímetro en cm

¿Qué ocurre con el perímetro cuando el lado se duplica? ¿Qué ocurre con el perímetro cuando el lado se triplica? Y si el lado se cuadruplica, ¿qué ocurre? ¿Podrías decir que los lados y sus perímetros son magnitudes proporcionales? ¿Por qué?

9

10

MATEMÁTICAS 1

116

b) Obtener el área de diversos cuadrados.

Lado en cm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

9

10

Área en cm2

¿Qué ocurre con el área cuando el lado se duplica? ¿Qué ocurre con el área cuando el lado se triplica? Y si el lado se cuadruplica, ¿qué ocurre? ¿Son magnitudes proporcionales los lados y sus áreas que aparecen en la tabla? ¿Por qué? c) A velocidad constante, un automóvil hace los siguientes recorridos.

Tiempo en h Distancia en km

1.5

2

3

4.5

5

6

7.5

8

150

¿Varían en forma proporcional los tiempos y las distancias? Explica tu respuesta. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿A qué velocidad se desplaza el automóvil?

BLOQUE 2

117

d) Cierto refresco de 2.5 tiene un costo de $14.50. Por el día de hoy están con un descuento de 20%. ¿Cuánto te ahorras en la compra de 1 a 10 refrescos? Número de refrescos

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Precio normal $ Descuento % Precio de oferta $

¿Varían en forma proporcional el precio normal y el precio de oferta? e) En un mapa a escala, cada 0.5 cm representan aproximadamente 100 km. Si en el mapa unes dos ciudades y la distancia es de 2.75 cm, ¿a qué distancia real se encuentran esos dos lugares que seleccionaste?

f) Si por cada paquete de seis galletas que se come una persona consume 25.75 gramos de carbohidratos, ¿cuántos carbohidratos consumirá si se come una tercera parte del paquete?

Actividad Extra Imagina que en las siguientes cajas hay galletas de chocolate o de vainilla. El número que muestran es la cantidad de galletas que contienen. Curiosamente, al venderse cierta caja quedaría el mismo número de galletas de cada sabor. ¿Cuál caja hace que esto pueda ocurrir?

12

8

14

9

23

29

MATEMÁTICAS 1

118

análisis de la información APARTADO 8: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD IV

Factor constante de proporcionalidad

Conocimientos y habilidades Interpretar el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

Actividad Previa Se sugiere que recuperes gran parte del contenido que has venido manejando con el uso de tablas y la resolución de problemas. Por tanto, conviene iniciar con algunas situaciones análogas a las ya resueltas anteriormente.

Actividad 8.1 Resuelve cada una de las siguientes situaciones y, en los casos que se indica, contesta o completa las situaciones que se proponen. Comenta con tus compañeros los procedimientos que seguiste y las respuestas a las que llegaste. a) Marilú trabaja en una fábrica empacando chocolates en cajas que contienen 18 piezas iguales. Su jefa le pide solicitar chocolates suficientes para cumplir con los siguientes pedidos. Número de orden

Número de cajas

0123

3

0145

5

0133

2

0120

3

0140

1

0138

7

0125

9

¿Cuántas cajas de chocolates en total debe solicitar Marilú? ¿Qué procedimiento utilizaste para llenar la tabla?

Número de chocolates

BLOQUE 2 b) Mis hermanas harán pastelillos que compartirán con la familia: Ceci hará 12 pastelillos; Malú, 18 pastelillos; Gabi, 24 y Marce quiere hacer 36 pastelillos. En el recuadro aparece la lista de ingredientes para hacer 6 pastelillos. ¿Qué cantidad de cada ingrediente necesitará cada una de mis hermanas? Completa la siguiente tabla. Receta Huevos

1

Harina

1 12

Mantequilla

3

Leche

1 14

Azúcar

1 2

Sal

1

119

1 huevo

1 12

tazas de harina

3 cucharadas de mantequilla

1 14

tazas de leche

1 2

taza de azúcar

Ceci

Malú

1 cucharadita de sal

Gabi

Marce

Explica cómo lo resolviste. c) En la tienda ”Súper Ropa” tienen en oferta las chamarras con 10% de descuento, además de 10% que ya tenían descontado, pero si se hace el pago de contado descuentan otro 10%. Si una chamarra cuesta $600, ¿cuánto costará?

¿Qué hubiera convenido más: esos descuentos o que te hicieran el 30% de descuento? Comenta.

MATEMÁTICAS 1

120

d) En las papelerías hay mapas tamaño carta; minimapas en los que cada lado mide la mitad del tamaño carta, y doble carta, en los que cada lado mide el doble del de tamaño carta. En el mapa tamaño carta cada centímetro representa, aproximadamente, 100 km. ¿Qué distancia representa ese centímetro en el minimapa y en el mapa doble carta? OCÉ O AN PA CO FI CÍ

Golfo de México

68

ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA N

C de

NO ÉA

lfo Go

OC

O

E

nia

IC CÍF PA

or alif

S

Golfo de México

O 68 Bloque 1 • El espacio geográfico y los mapas

115º

110º

105º

100º

95º

90º

ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA 30º

30º

N

Golfo de México

O

IC CÍF PA

20º

E S

nia for ali

áncer

C de

Trópico de C

lfo Go

NO ÉA OC

25º

O

25º áncer Trópico de C

HABITANTES POR KM 1995 20º

80 y más 40 a 79 BELICE

20 a 39 10 a 19 0a9

15º

115º

110º

105º

100º

95º

Golfo de Tehuantepec

Mar Caribe 15º

GUATEMALA 90º

Mapa 1.10 Densidad de población en la República Mexicana.

e) Mi hermano compró un automóvil y llego al siguiente acuerdo con el vendedor: le hace un descuento de 10% sobre la cantidad que pague al contado; 5% sobre la cantidad que pague dentro de 1 mes, 2% sobre lo que pague dentro de 6 meses, pero hay que pagar 5% de más sobre lo que aplace 1 año. Si el auto cuesta $125 000, y lo paga de la siguiente forma: la mitad al contado; 30% del resto dentro de 1 mes; 15% del resto en 2 meses y lo que quede en 1 año. ¿Cuánto pagará en total por el coche?

f) En la casa de Alfredo hay tres árboles alineados. A cierta hora del día tomamos las medidas de las sombras: la del árbol mayor midió 12 m; la del mediano medía la mitad del mayor, y la del pequeño era la cuarta parte de la sombra del árbol mediano. Si el menor de los árboles tiene una altura de 2 m, ¿cuáles son las alturas del árbol mediano y del árbol mayor?

BLOQUE 2

121

g) El bisabuelo de Jaime ha dejado como herencia un ejido de 600 hectáreas (6 000 000 m2). En el testamento señala que a su hijo se le dé la mitad; a su nieto la mitad de lo que resta; a Jaime la mitad de lo que queda y al hijo de Jaime lo que sobre. ¿Cuánto le correspondió a cada generación?

h) Una fotografía cuadrada se ha ido reduciendo de manera que la primera copia es 34 de la original; la segunda reducción es 2 de ésta y la reducción deseada es 1 de la anterior. 3

2

Si cada lado de la original mide 48 cm, ¿cuáles son las medidas de cada una de las tres copias? ¿Con cuántas fotografías de la reducción deseada puedes cubrir la fotografía original?

Aplicación de aprendizajes

122

Cálculo mental (multiplicaciones)

Al finalizar el Bloque anterior trabajaste en un proyecto para desarrollar la habilidad de cálculo mental en sumas y restas. En esta ocasión avanzarás en esta habilidad de cálculo al efectuar multiplicaciones. 1. Para cada uno de los siguientes incisos, encuentra tres parejas de factores cuyo producto se indica. Guíate por el ejemplo. a) 12. 3 3 4 , b) 16.

6 3 2 y

,

12 3 1

y

c) 18.

,

y

d) 20.

,

y

2. Para cada uno de los siguientes incisos, encuentra cuatro parejas de factores cuyo producto se indica. a) 24.

,

,

y

b) 36.

,

,

y

c) 40.

,

,

y

d) 42.

,

,

y

3. El 48 tiene 5 distintas parejas de factores que lo forman y el 60 tiene 6, encuéntralas. a) 48.

b) 60.

Algunos números guardan cierta relación en sus operaciones, que resulta interesante descubrir. 4. Completa las siguientes multiplicaciones. Observa los factores y los resultados. 5 3 5 = 25

25 3 25 =

15 3 15 = 225

35 3 35 =

123 ¿Observaste que en cada caso los factores son iguales y terminan en 5? Seguramente también observaste que todos sus productos terminan en 25. ¿Cómo saber cuáles son las cifras faltantes de dichos productos? Observa que el complemento del producto de 25 3 25 es 6, esto es: 625 Y el complemento del producto de 35 3 35 es 12, esto es: 1225 Haciendo conjeturas: a) observo que de 5 3 5 obtengo 25

25 3 25 = 625



Y de 2 3

obtengo

b) Observo que de 5 3 5 obtengo 25

35 3 35 = 1225 Y de 3 3

obtengo

c) Puedo entonces pensar que de 5 3 5 obtengo 25

45 3 45 = Y de 4 3

25 obtengo

¡Compruébalo! d) Vuelve a probar: en la siguiente multiplicación, de 5 3 5 obtengo 25

55 3 55 = Y de 5 3

25 obtengo

¡Compruébalo! ¿Te resultó correcta la observación? Si así fue, encuentra entonces, de manera directa, el producto de cada una de las siguientes multiplicaciones. e) 65 3 65 =

g) 85 3 85 =

f) 75 3 75 =

h) 95 3 95 =

¿Sucederá algo parecido con otro tipo de factores? como: 24 x 24 34 x 34 o bien 46 x 46, 56 x 56

124

EXPLORACIÓN DE RECURSOS TECNOLÓGICOS Una de las ventajas en la utilización de los recursos tecnológicos de computación es aprovechar la rapidez con que se efectúan las operaciones, permitiendo entonces ponerle mayor atención a los procedimientos para la solución de problemas. Analiza el siguiente caso: Se cuenta con 60 metros de malla ciclónica para cercar un terreno de forma rectangular. ¿Qué medidas deberá tener el terreno para que ocupe la mayor área posible? Una forma de aprovechar la computadora es por medio de una hoja electrónica de cálculo. Prepara la hoja de trabajo, en donde se muestre en las dos primeras columnas las medidas del largo y ancho del terreno, y en otra columna el cálculo del área correspondiente. No olvides colocar el signo de igualdad antes de la fórmula para calcular el área del rectángulo.

1

A

B

C

Largo

Ancho

Área del rectángulo

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Procura encontrar expresiones más precisas y rápidas para calcular el área. Como se trata de un rectángulo, seguramente recuerdas que el perímetro es 2(largo 1 ancho). Si el perímetro para este caso es de 60 m, una forma automática de calcular el área podría ser dar la medida del largo del terreno (columna A), dejar la expresión 530-A2 como fórmula para la columna B y la expresión 5A2*B2 como fórmula para la columna C. Comprueba si esto se cumple y encuentra otra forma más eficaz para este cálculo de áreas. No olvides contestar la pregunta del problema: ¿Qué medidas deberá tener el terreno para que ocupe la mayor área posible?

BLOQUE 2

125

¿CUÁnto APRENDÍ? Resuelve las siguientes situaciones. 1

3

1. Voy al mercado a comprar 2 kg de carne; 4 de kg de jitomate, 12 kg de cebolla; medio cuarto de kg de chiles y 2 1 kg de plátanos. Si todo lo voy a colocar en una bolsa, ¿cuánto pesará? 2

2. Marina compró 800 g de arroz, pero a su sobrina le regaló 1 de kg, ¿cuánto arroz le quedó? 4

3. En una obra, en el primer trimestre se construyó la cuarta parte del total, y en el segundo trimestre, la mitad de lo que faltaba. Si en tres meses más deben entregar la construcción, ¿qué parte les falta?

4. José recibirá una herencia de $54 000, a condición de que le entregue 10% a su hijo, ¿con cuánto dinero se quedará José?

1

5. Ayer 5 del grupo obtuvo excelente en la tarea, si el grupo es de 35 alumnos, ¿cuántos están aspirando a la excelencia?

6. Un premio de $6 000 se reparte entre cuatro personas. A la primera le corresponde la tercera parte; a la segunda, la cuarta parte; a la tercera, la quinta parte, ¿cuánto recibe la cuarta persona?

7. Arturo trabaja en la Compañía de Luz y le pagan cada dos semanas. Cada “catorcena” le descuentan el 24% entre impuestos y prestaciones. Si su salario es de $243.75 por día, ¿cuánto recibe cada dos semanas?

126

MATEMÁTICAS 1

8. Construye un polígono de cuatro lados, inscrito 9. Construye un polígono regular que tenga un y circunscrito en circunferencias que tengan el ángulo central de 36°. mismo centro. Realiza el trazo completo.

10. Calcula el área de la siguiente figura.

3 cm

6 cm

10 cm

3 cm 12 cm 11. ¿Cuánto cuesta tapizar las cuatro paredes de una habitación, que mide 4 m de largo por 3 m de ancho y tiene una altura de 3 m, si el m2 de tapiz cuesta $45.50?

12. Si al pagar en efectivo me hacen un descuento de 10%, ¿cuánto pago en la compra de un traje marcado en $1 780?

13. Al comprar un perfume que tenía 15% de descuento se cobra 15% de IVA. ¿Qué conviene más: que te hagan el descuento sobre el precio original y luego te carguen el IVA, o bien que carguen el IVA sobre el precio original y luego te hagan el descuento?

14. Patricio tiene que pagar una deuda de $2 000. Si lo hace en los próximos 5 días, paga 50%, y si su pago es antes del décimo día le descuentan la mitad de 50%. Si pagó el noveno día, ¿cuánto pagó?

127

BLOQUE 3 Como resultado de este bloque temático, se espera que los alumnos: 1. Resuelvan problemas que impliquen efectuar divisiones con números decimales. 2. Resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x 1 a 5 b; ax 1 b 5 c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales. 3. Resuelvan problemas que impliquen el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje 5 cantidad base 3 tasa. 4. Resuelvan problemas que impliquen el cálculo de cualquiera de los términos de las fórmulas para calcular el área de triángulos, romboides y trapecios. Asimismo, que expliquen la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras. 5. Interpreten y construyan gráficas de barras y circulares de frecuencias absolutas y relativas. 6. Comparen la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos aleatorios para tomar decisiones.

Contexto histórico 64 Nerón incendia Roma.

1270 Marco Polo inicia sus viajes.

1096 Se origina la primera cruzada.

0 Cero

0

300 240 En su Aritmética, Diofanto obtiene números negativos como soluciones de ecuaciones y los considera como absurdos.

600

900

1200

1500

Hechos matemáticos 600 El chino Zu Chong-zhi y su hijo Zu Fen-shi encuentran que π está entre 3.1415926 y 3.1415927

876 Aparece en la India el primer uso conocido del cero.

1202 Con su Aritmética, álgebra geometría y secuencias, Fibonacci acelera la adopción de los numerales indoarábigos en Europa.

MATEMÁTICAS 1

128

SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

División de números decimales

Tema: Significado y uso de las operaciones APARTADO 1: Problemas multiplicativos III Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.

Actividad Previa En equipos, propongan alguna situación cotidiana o algún caso que tenga relación con la división de números decimales. Comenten dónde se ubica el punto decimal al efectuar la operación. Actividad 1.1 Representa por medio de un número decimal las siguientes fracciones. No olvides la relación que existe entre los números decimales y las fracciones decimales. Anota cada cociente. 3 6 a) 5 5 0.6 5 10 b)

42 5 100

c)

12 5 10

e) 425 5 25

g) 5 5 2

d)

5234 5 100

f) 125 5 10

h) 12 5 8

Recuerda que el cociente de dos números, cuando el divisor es diferente de cero, se puede expresar como un número decimal. Neutro Multiplicativo Si a 3 b = a , b actúa como elemento neutro y su valor equivale a 1. Ejemplo:

Actividad 1.2 Encuentra una fracción equivalente y el cociente que corresponda a cada una de las siguientes razones, de manera que el denominador sea un número entero. 3.5 7 a) 5 5 7 0.5 1

31=

3 4

1.25 5 0.2

g)

3.475 5 0.25

b)

0.5 5 0.2

e)

225.875 5 0.75

h)

4225 5 0.125

c)

45.75 5 2.3

f)

6 5 0.005

i)

0.0075 5 0.0025

731=7; 3 4

d)

Explica cómo obtuviste las equivalencias.

Propiedad fundamental de las fracciones. Si el numerador y el denominador se multiplican o se dividen por un mismo número, el valor de la fracción no cambia. 3 3 2 6 3 6 ; 6 6 3 2 5 3 5 5 5 5 4 5 4 4 2 8 4 8 9 9 3 3 ¿Qué se hizo en cada una de las dos situaciones? ¿Qué fracciones hacen la función de elemento neutro?

BLOQUE 3

129

Comenten su procedimiento con sus compañeros y comparen sus observaciones con relación a esta propiedad de las fracciones.

Actividad 1.3 Resulta frecuente escuchar enunciados como los que se presentan a continuación. Expresa cada uno de ellos mediante un número decimal. No olvides anotar las unidades. a) La distancia entre dos poblados es de doce kilómetros y trescientos metros. b) Cierto chocolate cuesta tres pesos con cincuenta y cinco centavos. c) Arturo mide un metro con setenta y ocho centímetros. d) La botella de refresco contiene dos litros con quinientos mililitros. e) Un automóvil gasta ciento veinticinco mililitros de gasolina por kilómetro recorrido. f) El paquete de carne tiene una masa de tres kilogramos con setecientos cincuenta gramos. Anota cuatro diferentes enunciados que hayas escuchado (o invéntalos) y complétalos, como en el ejercicio anterior. g) h) i) j) En los casos anteriores se han utilizado enunciados relacionados con el Sistema Métrico Decimal, pero además utilizamos de manera cotidiana otros sistemas, como el inglés, el de unidades angulares y el de unidades de tiempo.

Se sabe que... Las unidades angulares y las unidades de tiempo tienen como base el 60. 1h 5 60 min ; 1 min 5 60 seg 10 5 60’ ; 1’ 5 60’’

Actividad 1.4 Analiza las siguientes situaciones y contesta lo que se indica. a) Roberto y Mónica están en desacuerdo con respecto al cálculo del precio de 1 de kg de queso. 4 1 Roberto dice que como 4 de kg es equivalente a 0.250 kg se debe multiplicar el precio de 1 kg por 0.250 para obtener el total a pagar. Mónica dice que se debe dividir el precio del kg de queso entre 4, ya que corresponde a la cuarta parte. ¿Quién de los dos tiene la razón? ¿Qué diferencias encuentras entre los dos procedimientos? A tu juicio, ¿quién propone el procedimiento de cálculo más rápido?

$ kg 4 4 5

$ kg 3 0.250 5

MATEMÁTICAS 1

130 Realiza las siguientes operaciones. 1) 28 000 3 0.5 5

4) 40 3 0.2 5

7) 80 3 0.125 5

28 000 4 2 5 40 4 5 5 80 4 8 5 2) 400 3 0.05 5

5) 3 750 3 0.04 5

8) 450 3 0.02 5

400 4 20 5 3 750 4 25 5 450 4 50 5 3) 200 3 0.1 5

6) 800 3 0.01 5

9) 500 3 0.001 5

200 4 10 5 800 4 100 5 500 4 1 000 5 Compara los procedimientos. ¿En qué casos te pareció más sencillo multiplicar? ¿En cuáles es más sencillo dividir? Explica en qué casos podrías sustituir una multiplicación por una división para que sea más fácil obtener el resultado. b) La dueña de una tienda compró 100 kg de frijoles y quiere repartirlos en bolsas de 0.5 kg. Quiere saber cuántas bolsas necesita. Alguien le propone resolverlo mediante la operación 100 4 0.5 para obtener el total de bolsas; otra persona le dice que mejor multiplique 100 3 2. ¿Con cuál de las dos llega a la respuesta correcta? ¿Qué diferencias hay entre ambos procedimientos? ¿Cuántas bolsas necesitaría en el caso de empacar los 100 kg en bolsas de 0.250 kg? ¿Y en bolsas de 0.125 kg? Obtén una conclusión en cuanto a los dos procedimientos que se pueden utilizar. c) El profesor Armando llegó hoy a la escuela a las 7.5 horas y le marcaron un retardo de 30 minutos, pues su entrada es a las 7:00 horas. En el reporte le anotaron que se hace acreedor a un descuento de 1 hora de salario. 2

¿Cómo aclararías esta diversidad de términos para que el planteamiento del problema sea uniforme? ¿Cuál es la forma correcta de anotar la hora a la que llegó? En términos precisos, ¿a qué se debe que las unidades de tiempo no concuerden con el sistema decimal? Explica.

BLOQUE 3

131

¿Qué otro tipo de unidades de medida conoces que tenga esas características?

Propón algún ejemplo relacionado con la localización de un punto geográfico.

Actividad 1.5 Repasa el uso del algoritmo de la división con decimales.



Geografía: Los trópicos de Cáncer y Capricornio distan 27° 27’ 27” de la línea ecuatorial. El ecuador y el meridiano de Greenwich determinan un plano cartesiano o sistema de coordenadas.

1 2 4 2 . 5 8 7 7 2 5 . 6 4 4 6 0 . 7 2 5 7 9 1 4 5 6 . 2

8 . 2 8 5 . 6 4 7 . 5 4 6 . 1 8 5 1 . 1 1 1 1 . 1 9.7 4 5 6 . 7 1 5

0 . 3 2 8 4 9 . 6 2 5 0 . 2 5 0 . 0 7 2 5

Propiedad multiplicativa. Si el dividendo y el divisor se multiplican por un mismo número, el valor del cociente no cambia. Observa: (elemento 3.5 1 000 3 500 1 000 neutro mul0.007 3.5 equivale a , donde 3 5 51 .007 1 000 7 1 000 tiplicativo) Realiza en tu cuaderno la división inicial, compara tu proceso con el ejemplo y comenta tus conclusiones.

MATEMÁTICAS 1

132

Anota el procedimiento que seguiste para colocar de manera correcta el punto decimal.

¿Qué hiciste con el dividendo y el divisor para no alterar su valor? Compara tus resultados con los de tus compañeros y busquen una forma precisa de comprobar la división.

Pregunta a tu profesor acerca de la posibilidad de usar la calculadora, al menos para comprobar resultados. Analiza las ventajas y las desventajas que tiene el uso de la calculadora en este momento. Coméntalas con el profesor y con tus compañeros. Actividad 1.6 Resuelve cada una de las siguientes situaciones y completa las tablas. a) Seis autos de carreras realizaron un recorrido de 600 kilómetros en los tiempos que se señalan en la tabla. ¿Qué velocidad aproximada desarrolló cada vehículo? Competidor

1

2

3

4

5

6

7

Tiempo (h)

4

4.5

5

2.5

4.2

3.5

3

Velocidad (km/h)

150

240

b) En una huerta las naranjas se embolsan según se muestra en la tabla. ¿Cuál es el precio de cada naranja? Número de naranjas

12

18

36

72

144

Costo por bolsa ($)

6.60

9.00

16.20

28.80

50.40

Costo por naranja ($)

c) Conociendo uno de los lados y el área de un rectángulo, calcula la medida del otro lado. Área en m2

3.125

7.48

20.25

32.25

82.192

256.75

Lado (m)

1.25

3.40

4.50

5.00

8.80

16.25

Lado (m)

2.5

BLOQUE 3

133

Actividad 1.7 Construye una tabla de equivalencias de unidades de los sistemas más utilizados (métrico decimal, sistema inglés y sistema internacional de medidas) y utilízala para trabajar problemas con unidades homogéneas. a) En la siguiente tabla se da una medida de longitud en cada renglón. Completa las casillas con la equivalencia correspondiente. Observa el ejemplo gráfico y los que aparecen en la tabla. 0

cm

5

mm

cm

50

5

dm

50 mm

0 m

dam

45

4.5

hm

km

4

4 000

b) En la siguiente tabla se dan medidas de superficie. Completa las casillas con la equivalencia correspondiente. Observa el ejemplo. mm2

cm2

dm2

1 600 mm2 40 mm

m2

40 1 600 cm2

40 mm

16

40 cm

0.16 45

40 cm

c) Ahora, trabajemos un poco con algunas unidades de capacidad. m

c

d

da

h

k

250 375 2

250 m  d) Seguramente, podrás completar con facilidad esta tabla con unidades de masa. mg

cg

dg

g

dag

500 45 9

hg

= 0 .250

kg

MATEMÁTICAS 1

134 Actividad 1.8 Resuelve las siguientes situaciones.

a) Margarita recibió un préstamo bancario. A plazo de un año debe pagar un total de $26 347.20 en cuotas mensuales e iguales. ¿Cuánto debe pagar mensualmente?

b) Marcela realizará un viaje al extranjero y necesita cambiar sus ahorros por dólares. Si en su cuenta tiene $7 208.50 y ese día el dólar se cotiza en $11.89, ¿cuántos dólares recibirá?

c) En un taller de laminado se compraron 250 láminas que tienen una masa de aproximadamente 1 700 kg. ¿Cuál es la masa de cada una de esas láminas? 1 700

kg

250 Láminas

kg

1 Lámina

d) El abuelo de Ricardo hizo su testamento. Para ello hizo valuar todas sus propiedades que, junto con los ahorros que tiene en el banco, hacen un total de $1 448 580. Su voluntad es que, cuando muera, su esposa y sus tres hijos reciban lo doble de lo que recibirá cada uno de sus ocho nietos. Si la cantidad de dinero se conserva, ¿cuánto recibirá su esposa? ¿Y cuánto recibirá cada uno de sus nietos?

BLOQUE 3

135

Actividad 1.9 Resuelve las siguientes situaciones. a) Con 1 de gasolina, cierto automóvil recorre 14.8 km. Si en determinado momento el tanque contiene 9.5 de gasolina, ¿podrá recorrer 160 km? ¿Cuántos km le faltan o por cuántos puede exceder el recorrido?

b) El rendimiento de mi motocicleta es de 27 km por cada de gasolina. ¿Cuánto combustible gastará al hacer un recorrido de 345 km?

Actividad Extra En el grupo 1° A quieren elaborar juegos de dominó con números decimales. Cada equipo utiliza una hoja de cartulina tamaño carta (28 cm 3 22 cm) para elaborar sus fichas. Cada juego consta de 28 fichas y éstas miden 2.5 cm de ancho por 5 cm de largo. Procurando aprovechar al máximo el material, ¿para cuántas fichas de dominó alcanza cada hoja? Elabora tus fichas. En una hoja de cartulina o de otro material grueso, prepara las 28 tarjetas, copia en ellas los números siguientes y juega con tus compañeros. Diseña otros dominós en los que empleas otro tipo de operaciones.

�

0.2 5

0.5 2

0.25 8

1.7 0.3

�

�

�

�

1.5 0.5

2.3 2.7

1.2 0.2

�

1.2 5

�

0.6 5

1.5 2

�

�

�

�

5.5 0.5

�

3.6 0.4

2.5 0.5

2.5 2 �

�

�

�

6.6 0.6

3.3 2.7

�

2.3 0.7

2.3 0.3

4.5 0.5

�

�

�

�

0.5 6

4.2 0.2

�

2.5 2.5

�

0.8 5

� �

�

6.3 0.3

�

0.4 5

0.5 4

2.6 2.4

�

�

0.25 4

�

1.8 4.2

0.5 8

�

3.4 0.6

�

1.5 4 �

�

0.5 10

2.5 0.5

�

1.25 4

�

5.2 0.2

0.2 0.8

3.5 0.5

�

�

�

�

2.8 3.2

1.2 0.8

�

3.1 0.9

�

0.4 10

0.7 0.3

2.6 0.4

�

�

�

�

0.6 10

3.1 0.1

�

�

1.1 0.1

0.4 0.6

MATEMÁTICAS 1

136

Ecuaciones de primer grado

Tema: Significado y uso de las literales APARTADO 2: Ecuaciones

Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: x 1 a 5 b, ax 5 b y ax 1 b 5 c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales o decimales.

Actividad Previa En equipo, hagan un concurso, sugiriendo por turnos que se resuelvan situaciones como: “Hallar el número que sumado con 2.25 es igual a 14.4” o “¿cuál es el número que multiplicado por 3 es igual a 12 ?”. Cada equipo debe sugerir un 5 20 problema y plantearlo a los demás. Gana el equipo que resuelva en menos tiempo los problemas.

La propiedad de la igualdad de la suma significa que, como el signo de igualdad puede representar una balanza en equilibrio, lo que se sume a un lado del signo debe ser sumado al otro lado de la igualdad para mantener el balance o la igualdad. ¿Crees que se conserve la igualdad si restamos, multiplicamos o dividimos por el mismo número ambos miembros de la igualdad? Actividad 2.1 Escribe dentro de cada cuadro el número que haga de cada relación una igualdad. Procura hacerlo mentalmente. Compara las respuestas con las de tus compañeros. a)

1559

e)

b) 18 2

5 6

f) 45 2

c) 7 3

5 56

g) 9 3

d) 64 4

5 8

h) 35 4

1 7 5 13

5 25

i) 26 1

5 40

m) 13 1

5 33

j)

2 7 5 13

n)

2 9 5 21

5 72

k)

3 6 5 48

o)

3 9 5 63

5 5

l)

4 9 5 4

p)

4 8 5 48

Para resolver una ecuación del tipo a 1 x 5 b debes aplicar la propiedad de igualdad llamada cancelativa: a 1 x 2 x 5 b 2 x ; a 5 b 2 x, donde 1x 2 x 5 0 (neutro aditivo). ¿Qué se hace en cada miembro de la igualdad a + x – x = b – x ?

BLOQUE 3

137

Actividad 2.2 Trabajemos ahora con números decimales una situación similar a la anterior. a)

1 2.5 5 7.5

b) 2.05 1

c)

5 4.15

2 7.8 5 3.1

f)

1 1.7 5 3.9

g) 9.6 2

k) 7.4 1

5 6.2

l) 24.5 2

5 10.6

5 12.5

h)

2 8.9 5 3.3

m) 1.2 3

3 2.2 5 4.4

n)

3 0.9 5 0.72

o)

4 1.5 5 5

d) 0.05 3

5 5

i)

e) 10.5 4

5 3.5

j) 45 4

5 7.5

Explica lo que hiciste en cada tipo de operación para encontrar el valor faltante.

5 3.6

Literal: Letra o símbolo que se utiliza para representar un número.

Recuerda que para resolver una ecuación del tipo ax 5 b debes aplicar la ax b x x 5 b, la propiedad se aplica: a 5 . En el caso propiedad 5 a(b) a a a a ax b x ¿Qué se hace en cada miembro de las igualdades y a 5 a(b)? 5 a a a

( ( ( (

Actividad 2.3 En las siguientes relaciones se ha sustituido el recuadro por una literal; calcula el valor que le corresponde en cada caso a la literal. Anota la operación que realizaste para llegar a la solución y verifica que el valor obtenido cumpla con la igualdad. a) a 1 2.5 5 5.7

a5

c) 5.75 1 c 5 12.82

Operación realizada:

Operación realizada:

Comprobación:

Comprobación:





b) 4.46 2 b 5 2.25

b5

d) 15.45 2 d 5 8

Operación realizada:

Operación realizada:

Comprobación:

Comprobación:





c5

d5

MATEMÁTICAS 1

138 Actividad 2.2 e) e 2 4.6 5 6.8

e5

h) h 2 3.5 5 2.25

Operación realizada:

Operación realizada:

Comprobación:

Comprobación:





f) f 3 2.5 5 12.5

f5

i) i 3 1.25 5 125

Operación realizada:

Operación realizada:

Comprobación:

Comprobación:





g) 45 4 g 5 20

g5

j) 5.75 4 j 5 12.82

Operación realizada:

Operación realizada:

Comprobación:

Comprobación:





h5

i5

j5

La multiplicación se puede expresar de diferentes maneras; por ejemplo, 5 • h se puede escribir como 5 3 h o como 5(h) o como (5)(h) o como 5h. Lo que se busca es emplear el menor número posible de símbolos. También en el caso de la división, m 4 5 se puede expresar como m : 5 o como m/5 m o como 5 . Actividad Actividad 2.4 2.4 Determina la igualdad que se forma a partir de lo que se propone. Realiza las operaciones y reduce. Comenta con el grupo cada procedimiento y los resultados obtenidos. a) x 2 5 5 9

c) y 2 2.7 5 4.2

e) z 2 4.25 5 1.75

Sumar 5 a cada lado de la Sumar 2.7 a cada lado de la Sumar 4.25 a cada lado de igualdad: x 2 5 1 5 5 9 1 5 igualdad: la igualdad: Ejecutar la operación x 5 14

b) x 1 12 5 25

d) y 1 9.8 5 13.16

f) z 1 2.25 5 7.7

¿Qué hiciste para cancelar el término numérico de cada igualdad?

BLOQUE 3

139

La propiedad de la igualdad de la suma establece que, si a los dos miembros de una igualdad se les suma o se les resta la misma cantidad, la igualdad no se altera. ¿Será válida para las fracciones? Justifica. Actividad 2.5 Realiza la operación que se indica en cada caso, con la idea de determinar el valor de la literal que aparece. a) 7 x 5 63

d) 2.5 y 5 425

Dividir entre 7

Dividir entre 2.5

b) 0.75 z 5 3.15

e)

x 58 9

Dividir entre 0.75

Multiplicar por 9

y 5 2.2 0.5

f)

c)

Multiplicar por 0.5

z 5 25 0.7

Multiplicar por 0.7

Observaste que, en cada igualdad, a la izquierda del signo 5 aparece una operación indicada con un número conocido y una literal. Para eliminar el elemento numérico, ¿que operación se sugiere?, ¿y qué relación tiene con la original? Redacta una propiedad para cancelar términos o elementos de una ecuación (igualdad). Si a los dos miembros de una igualdad se les multiplica o se les divide por un mismo número, la igualdad subsiste. Actividad 2.6 En cada caso se presenta una situación con el uso de una balanza. Plantea la ecuación, resuélvela y verifica cada respuesta. Coméntala con el grupo. Observa el ejemplo. a)

b)

x53

x5

MATEMÁTICAS 1

140 c)

g)

x5 d)

x5 h)

x5 e)

x5 i)

x5 f)

x5 j)

x5

x5

3 manzanas y 1 pera tienen la misma masa que 10 duraznos; 6 duraznos y una manzana tienen la misma masa que una pera. ¿Cuántos duraznos tienen la misma masa que una pera?

BLOQUE 3 Actividad 2.7 Las siguientes expresiones se encuentran en lenguaje común. Tradúcelas al lenguaje algebraico. Cuando nos referimos a número, se trata de un número cualquiera. a) Un número.

k) Un número impar.





b) Un número aumentado en dos unidades.

141 Lenguaje algebraico: Expresión en la que se utilizan números (constantes) y letras (variables) para representar una operación o relación matemática. Por ejemplo: a 1 3 equivale a la suma de un número cualquiera y tres unidades.

l) La tercera parte de un número.

c) Un número disminuido en cinco unidades.

m) La cuarta parte de un número.



d) El doble de un número.

n) El producto de dos números.





e) Un número par.

o) La diferencia de dos números.





f) El triple de un número.

p) La suma de tres números.





g) La mitad de un número.

q) Dos números consecutivos.





h) La quinta parte de un número.

r) El producto de siete y un número.





i) La suma de dos números.

s) Un número dividido entre cinco.





j) El doble de la suma de dos números.

t) La mitad de la suma de dos números.

Actividad 2.8 Resuelve y comprueba cada una de las siguientes situaciones. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. a) Un ciclista hace el recorrido entre Toluca y el b) Por un refresco y un chocolate me cobraron Distrito Federal en dos etapas. En la segunda $13.75. Sé que el refresco cuesta $6.50. ¿Cuánetapa recorre 39.450 km. Si la distancia total to me costó el chocolate? es de 74.800 km, ¿qué distancia recorrió en la primera etapa? $6.50 1 5 $13.75

x Toluca

74. 800 km 39.450 km D.F.

142

MATEMÁTICAS 1 c) La suma de las edades de tres hermanos es de 51 años. Si el mayor tiene 19 años y sus hermanas son gemelas, ¿cuántos años tiene cada hermana?

d) Pensé un número, lo multipliqué por 2 y le resté 4. Si el resultado es 1.6, ¿cuál fue ese número?

e) En la compra de dos discos compactos iguales me hacen un descuento de $19.70; el total a pagar es de $177.30. ¿Cuál es el precio original de cada disco compacto?

2 $19.70 5 177.30

f) El perímetro de un pentágono regular es de 21.5 dm. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?

g) El peso de cuatro cubos de madera iguales es de 6 kg. ¿Cuánto pesa cada uno?

BLOQUE 3

143

h) Mi papá me depositó $250 en la cuenta de mi hermano. Si el saldo actual es de $1 235.74, ¿cuál era el saldo anterior?

i) Al dividir un número entre 5, el cociente es 1.75. ¿Qué número dividí?

j) En una barata, los pantalones están a mitad de precio, pero por ser el último día les hacen un descuento adicional de $50. Si al comprarlo se pagan $397.50, ¿cuál era el precio original de cada pantalón?

k) El perímetro de un triángulo isósceles mide 21.8 cm. Si el lado desigual mide 4.8 cm, ¿cuánto mide cada uno de los lados iguales?

b

b

4.8 cm l) 6 canicas más las que hay en una bolsa hacen un total de 45. ¿Cuántas canicas hay en la bolsa?

144

MATEMÁTICAS 1 m) María fue a un restaurante con una amiga. Pidió la cuenta, la cual ascendía a $130.30 más un impuesto de $19.55. Si pagó con un billete de $200, ¿cuánto le devolvieron de cambio?

n) Por una pera y una manzana se pagaron $9.60. Cada pera cuesta lo doble de una manzana, ¿cuánto cuesta cada fruta?

o) Por una bolsa que contiene 5.5 kg de fruta se pagaron $89.10. ¿Cuánto costó el kg de fruta?

p) En un circo hay dos taquillas; una vende boletos de gradas a $35 cada uno, y la otra vende boletos de luneta a $48. En la función del domingo se recaudaron $25 125. Si en la ventanilla de luneta se vendieron 250 boletos, ¿cuántos boletos se vendieron en la ventanilla de gradas?

¿Cuál es la montaña más alta después del monte Everest?

BLOQUE 3 q) El monte Everest, en Nepal, es la montaña más alta del mundo y mide cerca de 8 835 m de altura, que es lo doble del monte Whitney, en California. ¿Qué altura tiene el monte Whitney?

EVEREST

2a a WHITNEY

r) Con un billete de $20 pagué 7 manzanas y me dieron $2.50 de cambio. ¿Cuánto cuesta cada manzana?

s) Por 5 manzanas del mismo peso se pagaron $22.50. ¿Cuál es el precio de 1 manzana?

t) Las edades de dos hermanos suman 29 años. Si uno de ellos es 5 años mayor que el otro, ¿qué edad tiene cada uno?

Actividad Extra La edad de Juan es 15 de la de su padre. La edad del padre al dividirse entre 2, 3, 4, 6 y 8 da por residuo 1, pero al dividirla entre 5 el residuo es 0. Encuentra la edad del padre de Juan (menor de 50 años).

145

MATEMÁTICAS 1

146

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Tema: Formas geométricas APARTADO 3: Figuras planas II

Construcción de triángulos y cuadriláteros

Conocimientos y habilidades Construir triángulos y cuadriláteros. Analizar las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones. Se sabe que...

Actividad Previa En equipo, planteen alguna situación como las siguientes: “Dadas las medidas de 3 segmentos, consideren si con esos segmentos se puede trazar un triángulo; en caso contrario, argumenten por qué no se puede”. O bien: “Si doy tres ángulos cualesquiera, ¿puedo construir un triángulo?, ¿qué características deben tener los ángulos del triángulo?”.

Es posible construir un triángulo, dados: a) Sus tres lados (si la suma de 2 lados es mayor que el tercer lado). b) Dos lados y el ángulo que forman. c) Un lado y los ángulos adyacentes a él.

Actividad 3.1 Realiza cada una de las construcciones que se indican y, en los casos que se requiera, contesta o completa lo que se solicita. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. a) Construye un triángulo con los siguientes segmentos de recta (las letras iguales indican un vértice común).

A B C

B C A

Compara tu construcción con las de tus compañeros. ¿Formaron figuras diferentes? Explica. ¿Qué puedes comentar acerca de sus lados y sus ángulos? Dadas esas tres medidas, ¿cuántos triángulos diferentes se forman? Por las medidas de sus lados, ¿de qué clase de triángulo se trata?

BLOQUE 3

147

b) Construye un triángulo escaleno cuyos lados midan 8 cm, 7 cm y 4 cm. Se sabe que... Lados correspondientes de las figuras son aquellos que tienen la misma posición en dichas figuras y guardan la misma relación con los demás elementos.

Compara tu construcción con las de tus compañeros. Escribe tus observaciones. ¿Hay un triángulo diferente cuyos lados tengan esas mismas medidas? Explica. ¿Cómo son entre sí todos los triángulos cuyos lados midan 8 cm, 7 cm y 4 cm? ¿Cómo son entre sí todos los triángulos que tengan sus lados correspondientes de la misma medida? c) Con los siguientes segmentos, construye un triángulo cuyos vértices sean P, Q y R.

P P Q

Q R R

Como PQ 5 PR , se trata de un triángulo: Compara tu figura con las de tus compañeros. ¿Qué observas? Dados tres segmentos de recta, ¿cuántos triángulos se pueden formar?

MATEMÁTICAS 1

148

d) Dados los siguientes segmentos, construye un triángulo (M es un vértice):

M M

N P

Compara tu construcción con las de tus compañeros. ¿Hubo algunos triángulos diferentes? ¿Cuántos triángulos se pueden formar a partir de estos dos segmentos? Justifica tu respuesta anterior. Construir triángulos Dados los tres lados de un triángulo, será posible construirlo si y sólo si: a) La suma de dos de sus lados es mayor que el tercer lado. b) La diferencia de dos de sus lados es menor que el tercer lado.

e) Construye un triángulo en el que cada uno de sus tres lados mida 6 cm.

¿De qué tipo de triángulo se trata? Compara la figura con las de tus compañeros. ¿Cómo son entre sí todos los triángulos? Establece una conclusión de lo observado Si dos o más triángulos equiláteros tienen un lado común, dichos triángulos son

BLOQUE 3 f) Con los siguientes segmentos forma un triángulo (las letras comunes determinan un vértice).

A B A

B C C

Compara tu trazo con el de tus compañeros. ¿Qué observaste? ¿Cuánto mide cada uno de los lados? AB 5

; BC 5

; AC 5

;

¿Por qué no se forma un triángulo? ¿Cuál es tu conclusión? g) Con estos tres segmentos de recta construye un triángulo (R, S y T son vértices).

R T R

S S T

Compara tu figura con las de tus compañeros. Anota tus observaciones. Analiza la situación. Explica por qué es imposible construir un triángulo con esas medidas. Entonces, ¿cuáles son las condiciones que deben cumplir tres segmentos para poder formar un triángulo? Prueba con otras situaciones similares. ¿Será válida esta condición para todas las situaciones similares? Argumenta.

149

MATEMÁTICAS 1

150

h) Dado un lado AB y los ángulos de sus extremos (adyacentes), construye el triángulo. A

B

Haz tus observaciones y comenta. i) Dados dos lados y el ángulo entre ellos, forma un triángulo.

A A

B C

A

Compara tu construcción con las de tus compañeros. Anota tus comentarios. Si se te proporcionan las medidas de dos de los lados de un triángulo y el ángulo que forman, ¿podrás construir un triángulo? ¿Cómo son entre sí dos triángulos que tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo que forman? Alturas del triángulo La altura de un triángulo es la perpendicular trazada desde un lado al vértice opuesto.

h

h

h h

h h

BLOQUE 3 j) ¿Qué elementos se deben determinar para poder construir un triángulo? k) Dados dos de los lados y la altura, construye el triángulo. ALTURA: A LADO: LADO:

C

A B

B (BASE) C

¿Cuál es la medida de la base? Compara tu figura con las de tus compañeros. Anota tus observaciones. ¿Cómo resultaron todos los triángulos? Actividad 3.2 Trabajemos ahora con los cuadriláteros. Realiza cada una de las siguientes construcciones y contesta o completa lo que se pide. Compara tus trazos y tus respuestas con las del grupo. a) Calca, colorea y recorta los triángulos que forman cada figura. Con los cuatro triángulos de cada una, forma un cuadrilátero que tenga siempre visible la parte que coloreaste.

Observa el trabajo de tus compañeros. ¿Coincidieron en cada caso las respuestas? ¿Cuántos cuadriláteros diferentes se obtuvieron en cada caso? De ellos, ¿hay algunos paralelogramos? Comenta. ¿Qué características tienen en común los cuadriláteros formados? ¿Qué nombre reciben los cuadriláteros que tienen las características que señalaste en la pregunta anterior?

151

MATEMÁTICAS 1

152

b) Construye un cuadrado, sabiendo que uno de sus lados mide 4 centímetros.

¿Cómo deben ser entre sí los cuatro lados del cuadrado? ¿Será lo mismo para cualquier cuadrado? ¿Por qué? ¿Qué ángulo forman los lados contiguos de un cuadrado? ¿Cuánto mide cada uno de esos ángulos? ¿Cuáles son las dos condiciones que debe cumplir un cuadrilátero para que sea un cuadrado? c) La diagonal de un cuadrado mide 8.5 centímetros. Construye el cuadrado correspondiente.

¿Cómo son entre sí las medidas de las diagonales de un cuadrado? ¿Qué ángulo forman entre sí las diagonales del cuadrado? ¿En qué punto se cortan las diagonales del cuadrado?

BLOQUE 3 d) Los lados de un rectángulo miden 3 y 5.5 cm, respectivamente. Construye el rectángulo.

Observa la figura. Anota dos características de los lados opuestos del rectángulo. ¿Cómo son entre sí los ángulos del rectángulo? ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos de un rectángulo? Si trazas las diagonales, ¿qué puedes comentar en relación con los ángulos que se forman? Afirmación: “las diagonales y el lado mayor de un rectángulo se cortan en su punto medio”. Discute este enunciado con tus compañeros y anota una conclusión que lo justifique. e) La diagonal y el lado mayor de un rectángulo forman un ángulo de 30°. Construye el rectángulo sabiendo que el lado mayor mide 8 centímetros.

¿Cuánto mide el ángulo que se forma entre la diagonal y el lado menor? ¿Cuánto mide el lado menor del rectángulo? Comenta de manera breve el procedimiento que seguiste para construir el rectángulo solicitado. Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenta.

153

MATEMÁTICAS 1

154

f) La diagonal y un lado de un rectángulo miden, respectivamente, 6 y 3 cm. Construye el rectángulo.

Compara la figura que hiciste con las de tus compañeros y anota tus observaciones. ¿Resultaron iguales todos los rectángulos? ¿Qué sería necesario para que todos los rectángulos tuvieran las mismas medidas? g) Las diagonales de un rectángulo miden 6.5 cm y forman entre sí un ángulo agudo de 40°. Construye el rectángulo correspondiente.

¿Qué punto de la diagonal seleccionaste para medir el ángulo? Compara la figura que hiciste con las de tus compañeros y anota tus observaciones. ¿Resultaron iguales todos los rectángulos? Anota tus conclusiones.

BLOQUE 3

155

h) Las diagonales de un rectángulo miden 8 cm. Construye el cuadrilátero correspondiente. Diagonales Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. En el rombo, además, son perpendiculares.

Compara la figura que trazaste con las de tus compañeros y anota tus observaciones. ¿Qué datos son necesarios para que se puedan obtener rectángulos congruentes? Anota por lo menos tres. ¿Cómo defines al rectángulo? i) Las diagonales de un rombo miden 8 y 4 cm, respectivamente. Construye la figura.

¿Cómo son entre sí las diagonales de un rombo? ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos que se forman entre las diagonales del rombo? ¿En qué puntos se cortan las diagonales del rombo? ¿Cómo son entre sí los lados de un rombo? En la figura que hiciste, ¿cuánto mide, aproximadamente, cada uno de los lados del rombo?

MATEMÁTICAS 1

156

j) Dos de los lados de un rombo forman un ángulo de 100° y cada lado mide 6 cm. Construye el rombo.

Compara tu trazo y comenta con tus compañeros los procedimientos empleados. ¿Cuánto miden, aproximadamente, sus diagonales? ¿Cuánto mide, aproximadamente, el otro ángulo? k) En el plano están marcados tres puntos que son vértices de un paralelogramo. Constrúyelo.

B

A

C

¿Qué nombre recibe este tipo de paralelogramo? Dados tres puntos, ¿en qué caso no podría ser posible obtener el paralelogramo correspondiente?

BLOQUE 3 l) Construye el cuadrilátero cuyas diagonales forman un ángulo de 120° al cortarse en su punto medio y miden 6 y 5 cm, respectivamente.

¿Qué tipo de cuadrilátero obtuviste? ¿Cómo son entre sí los lados opuestos? ¿Cuál es la medida de los lados menores? ¿Cuál es la medida de los lados mayores? m) Los segmentos azules son las diagonales de un paralelogramo, y el segmento rojo es un lado. Formarás ahora un romboide.

Comenta tu procedimiento. Compara tu figura con las de tus compañeros. ¿Cuántos cuadriláteros diferentes y cuántos iguales encontraste? Diferentes: Explica.

Iguales:

157

MATEMÁTICAS 1

158

n) Los segmentos azules son los lados opuestos de un romboide, y el segmento rojo es la altura. Constrúyelo.

Compara tu figura con las de tus compañeros. Anota tus observaciones. Si observaste diferencias en las figuras, explica en qué consistieron. ¿A qué crees que se deban estas diferencias? ¿Qué hubiera sido necesario para que todo el grupo obtuviera romboides exactamente iguales? o) Los segmentos azules son las diagonales de un paralelogramo y el segmento rojo es uno de los lados menores. Constrúyelo formando con las diagonales un ángulo de 45o.

¿Las figuras de tus compañeros son iguales a la tuya? Si hay diferencias, anota en qué consisten. ¿Qué tipo de paralelogramo obtienes? ¿Cuál es el menor número de datos precisos que requieres para poder construir un paralelogramo y que éste les resulte igual a todos los que lo construyan?

BLOQUE 3

159

p) Las bases de un trapecio isósceles miden 10 y 4 cm. Su altura es de 4 cm. Traza el cuadrilátero. Trapecio isósceles Sus lados no paralelos son iguales.

b m

altura

m

B

¿Cómo son entre sí las bases del trapecio? Anota dos características. Aproximadamente, ¿cuánto mide cada uno de los lados iguales? q) Un trapecio rectángulo tiene una altura de 3 cm y sus bases miden 9 y 5 cm. Constrúyelo. Trapecio rectángulo

Tiene un ángulo recto.

Aproximadamente, ¿cuánto miden los lados no paralelos? ¿Por qué es un trapecio rectángulo? Actividad Extra Divide la figura en cuatro partes iguales.

MATEMÁTICAS 1

160

Perímetro y área de triángulos, romboides y trapecios

Tema: medida APARTADO 4: Estimar, medir y calcular I

Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios. Realizar conversiones de medidas de superficie.

Actividad Previa Como parte importante del grupo, toma la iniciativa y propón un problema como: “La puerta del salón de clases tiene una altura de (toma la medida) y un ancho de (toma la medida). ¿Quién puede decirme cuánto mide su perímetro? Si la forramos con acrílico por la parte de afuera, ¿qué cantidad debemos comprar para su área? Actividad 4.1 Recordemos algunas equivalencias del Sistema Métrico Decimal. Completa la siguiente tabla.

mm2

cm2

dm2

m2

dam2

hm2

km2

1 25 40 000 0.006254 20.40 7 500 897.5 56.25

Existen otras unidades para medir superficies mayores, sobre todo grandes extensiones de terreno (llamadas medidas agrarias), ¿cuáles son?

y

¿Cuál es la equivalencia de cada una de ellas? a 5

y ha 5

Medidas agrarias a: área 5 100 m2   ha: hectárea 5 10 000 m2 1 ha 5 1 hm2 1a 5 1 dam2

BLOQUE 3 Actividad 4.2 Resuelve los siguientes problemas. Traza una figura para facilitar el planteamiento. Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenta tus procedimientos. a) En un triángulo isósceles, cada uno de los la- c) Se tiene un triángulo equilátero cuyo perímedos iguales mide lo doble que el lado destro es de 15 cm. Calcula su área si su altura es igual. Si el perímetro es de 20.5 cm, ¿cuál es de 4.33 cm. la medida de cada uno de los lados?

2x

2x

x

b) Al apoyar una escalera de 6 m contra una pa- d) El área de un triángulo es de 12 m2. Si su base red se observa que la altura que alcanza es mide 4 m, ¿cuánto mide su altura? igual a la distancia que hay de la base de la pared al pie de la escalera. Si el triángulo que se forma tiene un perímetro de 14.24 m, ¿a qué altura llega la escalera?

6m

h

d h

5

d

161

MATEMÁTICAS 1

162

e) El área de un triángulo es de 13.5 dm2. Si la g) El perímetro de un triángulo escaleno es de altura mide 4.5 dm, ¿cuál es la medida de la 11.8 cm. Se sabe que el lado mayor mide 0.8 base? cm más que el lado menor y que el lado mediano mide 0.5 cm más que el lado menor. ¿Cuánto mide cada lado?

x1

x

x1

f) El perímetro de un triángulo rectángulo es h) El vértice C se desplaza paralelamente al 20.94 cm. Sabemos que el lado mayor mide lado AB formando diversos triángulos. 8.94 cm y que, de los otros dos lados, uno mide lo doble que el otro. Calcula su área.

C x

C1

C2

8.94 cm

2x

A

B

C3 Triángulos ABC ABC1 ABC2 ABC3

¿Cuál de los triángulos tiene mayor área? Explica por qué. ¿Cuál de los triángulos tiene mayor perímetro? Explica por qué. Se sabe que... El área de todos los triángulos cuya base y altura miden lo mismo es constante.



BLOQUE 3 Actividad 4.3 Resuelve los siguientes problemas. Toma en cuenta que para facilitar la identificación de los datos puedes trazar una figura. Comenta tus procedimientos y compara tus respuestas con las de tus compañeros. a) El área de un terreno rectangular en el que se c) Una cancha de voleibol tiene un perímetro de construyó una casa es de 180 m2. Si la medida 54 m. Se sabe que es un rectángulo formado del frente es de 12 m, ¿cuál es la medida del por dos cuadrados iguales. ¿Cuánto miden el otro lado del terreno? largo y el ancho de la cancha? Calcula su área.

b) En una cancha de futbol profesional el largo d) El fin de semana fui a una alberca que tenía es 60 m mayor que el ancho, y su perímetro es un perímetro igual a 104 pasos. Le propuse a de 320 m. ¿Qué longitud hay entre el centro del mi hermano que calculara el número de pasos campo y el centro de una portería? que tenía de largo y de ancho sabiendo que para medir el largo había caminado lo triple que para medir el ancho. ¿Cuántos de mis pasos tiene de largo y cuántos de ancho?

163

MATEMÁTICAS 1

164

e) El área de un rectángulo es de 36 cm2 y sus lados tienen como medida un valor entero. ¿Cuántos diferentes rectángulos se pueden formar? Trázalos en el siguiente espacio.

¿Cuáles son las medidas de todos y cada uno de ellos? Calcula el perímetro de cada rectángulo. ¿Alguno de ellos es un cuadrado? ¿Qué características del cuadrado coinciden con las del rectángulo? ¿Podrías afirmar que el cuadrado es un caso particular de rectángulo? ¿Por qué? f) Supongamos que el lado superior del rectángulo se desplaza paralelamente al lado AB, por lo que se forma varios paralelogramos. Rectángulo C C1 C2 C3 D D1 D2 D3 ABCD Otros paralelogramos

B

ABC1D1 ABC2D2 ABC3D3

A

Suponiendo que AB es igual a 12 cm y BC mide 4 cm, calcula el área (A) de todos y cada uno de los paralelogramos. Aabcd 5

Aabc1d1 5

Aabc2d2 5

Aabc3d3 5

¿Hay alguna diferencia entre las áreas de los cuatro paralelogramos? Explica a qué se debe lo anterior. Con tu regla, toma la medida real de los cuatro lados de cada cuadrilátero y calcula su perímetro (P). Pabcd 5

Pabc1d1 5

Pabc2d2 5

¿Cómo son entre sí los valores de los cuatro perímetros? ¿A qué se debe esta diferencia de valores? Explica.

Pabc3d3 5

BLOQUE 3 Actividad 4.4 Resuelve los siguientes problemas. Comenta tus procedimientos, escucha los de tus compañeros y comparen sus respuestas. a) 1.5 cm, 2 cm y 2.5 cm son las medidas de los lados de cuatro triángulos rectángulos. Forma con ellos un rombo y calcula su perímetro y su área total. 1.5 cm

2.5 cm 2 cm

b) Un papalote con forma de rombo tiene una varilla mayor que mide 9 dm. Si se emplearon 27 dm2 de papel para su construcción, ¿cuánto mide la varilla menor?

x

9 cm c) Las diagonales de un rombo suman 30 cm. Si la diagonal mayor mide 10 cm más que la diagonal menor, ¿cuánto mide cada una de ellas? Calcula el área del rombo en cuestión.

x 1 y 5 30 cm x 5 y 1 10 cm y

x d) Arturo construyó un “rombo” en el que las diagonales le resultaron iguales. Su profesor dice que es un cuadrado, pero Arturo argumenta que se trata de un rombo, ya que esas diagonales son perpendiculares en su punto medio y los segmentos que unen sus extremos son iguales y forman un paralelogramo. Genera un debate a partir de esta información y, de acuerdo con las justificaciones de ambas partes, establece tu conclusión. ¿Es un paralelogramo? ¿Es un rombo? ¿Por qué la confusión?

165

MATEMÁTICAS 1

166

e) Supongamos que la primera figura es la imagen del perfil de una caja. Al hacer presión sobre ella se obtiene la segunda figura. ¿Cuánto mide cada lado de la primera? ¿Y de la segunda? ¿Qué nombre recibe la primera figura? ¿Qué nombre recibe la segunda figura? ¿Qué diferencias y qué coincidencias hay entre las dos figuras? f) Tomemos otra caja y hagamos lo mismo que en el ejercicio anterior. ¿Cuánto mide cada lado largo de la primera? ¿Y de la segunda? ¿Cuánto mide cada lado corto de la primera? ¿Y de la segunda? ¿Qué nombre recibe la primera figura? ¿Qué nombre recibe la segunda figura? ¿En qué son diferentes? ¿En qué coinciden? Explica.

BLOQUE 3

167

g) En un romboide, el perímetro es de 34 cm. Si i) El área de un romboide es de 48 dm2. Si su el lado menor mide 7 cm menos que el lado altura es de 4 dm, ¿cuánto mide la base? mayor, ¿cuánto mide cada uno de sus lados?

h) En un trapecio, las bases suman 38 m y el área j) El perímetro de un trapecio isósceles es de es de 190 m2. ¿Cuánto mide la altura? 75.84 m. Si las bases miden 31.50 m y 15.50 m, respectivamente, ¿cuánto mide cada uno de los lados iguales?

k) Observa el siguiente trapecio rectángulo y determina la medida de la base mayor, el perímetro y el área. 20 u

A

B

22.36 u

20 u

D

E

10 u

C

MATEMÁTICAS 1

168

l) Observa los siguientes cuadriláteros. Supongamos que el lado superior del trapecio isósceles se desplaza sobre una recta, paralelamente al lado AB, formando varios trapecios.

C1

C

D1

C2

D

C3

D2

D3

Trapecio ABCD Otros trapecios

ABC1D1 ABC2D2 ABC3D3 B

A

Toma la medida de los lados del trapecio original, en milímetros, y determina su perímetro (P). Pabcd 5 Ahora, determina el perímetro (P) de los otros tres trapecios. Pabc1d1 5

Pabc2d2 5

Pabc3d3 5

¿Hay alguna diferencia entre los perímetros de los cuatro trapecios? Explica lo que observas. Mide la altura común a todos los trapecios, que en este caso es: bc1 . bc1 5 Mide las bases de cada uno de los cuatro trapecios (Base mayor: B; base menor: b). Babcd 5

Babc1d1 5

Babc2d2 5

Babc3d3 5

babcd 5

babc1d1 5

babc2d2 5

babc3d3 5

Calcula el área (A) de todos y cada uno de los trapecios. Aabcd 5

Aabc1d1 5

Aabc2d2 5

Aabc3d3 5

¿Hay alguna diferencia entre las áreas de los cuatro trapecios? Explica qué observas. ¿Qué sucederá si invertimos el trapecio (

)? Explica.

BLOQUE 3

169

MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Proporcionalidad: procedimientos expertos.

Tema: Análisis de la información APARTADO 5: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD V Conocimientos y habilidades Resolver problemas del tipo valor faltante utilizando procedimientos expertos.

Actividad Previa Hasta ahora, has resuelto diversos problemas haciendo uso de las proporciones. ¿Qué características tienen? Analiza la siguiente situación: “Juan tiene una bolsa con 1 kg de naranjas y Pedro tiene otra bolsa con 3 kg de naranjas”. Si comparas los pesos de esas bolsas, ¿qué puedes afirmar de lo que tiene Juan con respecto a lo que tiene Pedro? . ¿Y de lo que tiene Pedro con respecto a lo que tiene Juan? . Comenta con tus compañeros las respuestas.

Usos de la fracción Una expresión de la fora ma , con b  0 puede b expresar: una fracción, una división, una razón, entre otros, dependiendo del contexto en que se considere.

1

Seguramente, tus respuestas fueron: “Juan tiene una tercera parte ( 3 ) de lo que tiene Pedro” y “Pedro tiene el triple ( 31 ) de lo que tiene Juan”. A los números 1 y 3 se les identifica como razones geométricas. 3

1

La razón geométrica es el número a (con b  0) que resulta de comparar por cociente b dos cantidades de la misma especie. Actividad 5.1 Para cada pareja de cantidades, determina la razón geométrica correspondiente. a) 2 g y 3 g

d) 4 m y 8 m

b) 12 años y 15 años e) 5 y 9 De las respuestas obtenidas, tres se pueden simplificar, ¿cuáles son? Simplifica las razones: c) $45 y $60

f) 3 peras y 5 peras

Simplifica las razones: 12 15

5

45 60

5

4 8

5

MATEMÁTICAS 1

170

En otro de los bloques mencionamos que, si realizamos los productos cruzados y éstos resultan iguales, podemos comprobar si se trata de una proporción. Recuerda que una proporción es la igualdad de dos razones. PROPORCIÓN En una proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos (los productos cruzados son iguales).

a c 5 b d

medios extremos

a:b5c:d medios extremos

Actividad 5.2 Comprueba si las siguientes igualdades forman una proporción. 180 180 12 10 a) 5 18 15

d) 375 5 300 150 120

b) 48 5 168 26 95

e) 2.5 5 3.4 4.8 6.528

c) 2.5 5 8 12.5 40

f) 3.75 5 52.5 9.25 129.5

¿Cuál de las igualdades anteriores no es una proporción? Observa que se cumpla la propiedad fundamental: En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Algunas personas escriben las proporciones en forma horizontal: 12 : 18 = 10 : 15 o 12 : 18 :: 10 : 15; es principalmente de aquí de donde se les denomina medios y extremos a los elementos de una proporción. Se sabe que... En 1798, el economista y político Robert Malthus señaló: “El aumento de la población es infinitamente más grande que el poder de la Tierra para producir la subsistencia del hombre”. Esto es, que mientras la población crecía en proporción geométrica (multiplicándose), la producción de alimentos (en el mejor de los casos) crecía en proporción aritmética (sumándose).

Actividad 5.3 Calcula el valor del elemento desconocido de la siguiente proporción.

16 x 5 25 5

x5

Escribe el procedimiento que seguiste para resolverlo.

BLOQUE 3

171

Actividad 5.4 Expresa el procedimiento que sigues para resolver cada una de las siguientes proporciones. a)

2.2 4.7 5 a 12.6

a5

b)

13 221 5 126 b

b5

c) c 5 345 45 790

c5

d)

5.8 2.9 5 1.4 d

d5

e)

m x 5 n y

x5

¿Cómo le explicarías a tus compañeros el procedimiento que se sigue para encontrar el elemento desconocido de una proporción directa? Para comprobar debe suceder que: a 5 c b d

a3

5

3

Si en la proporción directa se conocen tres elementos y se desconoce uno, ese elemento es cuarta proporcional de los otros tres. Actividad 5.5

Proporción directa: Cuando las cantidades que se relacionan tienen el mismo factor de proporcionalidad.

Aplicando el procedimiento que explicaste, resuelve lo siguiente: a) En 30 min, 5 llaves vierten aproximadamente c) Para levantar las cuatro paredes de una re1 000 de agua en una alberca. ¿Cuántos de cámara que mide 4 m de largo por 3 m de agua tendrá la alberca luego de dejar abierancho se requieren 600 tabiques. ¿Cuántos tatas las llaves durante 4 12 h? biques deben comprarse para construir ocho recámaras iguales a la anterior, pero independientes?

b) En una granja avícola se cuenta con 500 ga- d) En una tierra de cultivo, por cada hectárea de llinas que en un día producen alrededor de terreno se cosechan cuatro toneladas de maíz. 1 250 huevos. ¿Cuántas gallinas se requieren Si solamente se siembran 8 000 m2 de terreno, para tener una producción de 5 000 huevos ¿cuántas toneladas de maíz se espera cosediarios? char?

MATEMÁTICAS 1

172

e) En una fábrica de refrescos, cada 30 min se f) En cierta escuela, de cada grupo de 45 alumllenan 2 500 botellas de 600 ml. Si la fábrica tranos se tiene la expectativa de que en la tembaja diariamente 8 h, ¿cuál será su producción porada de frío dos de ellos se resfríen al día. en seis jornadas de trabajo? Si en la escuela hay 1 620 alumnos, ¿cuántos alumnos resfriados habrá?

Imagen: Valores que corresponden a la variable despejada (dependiente).

Actividad 5.6 Relaciona mediante una flecha los elementos que cumplan con la relación que se indica en cada caso. a) y = 2x b) P = 3a x y 1 2 2 10 3 6 4 4 5 8

Dominio: Valores que se asignan a la variable o variables independientes (no despejadas).

a 1 1.5 2 3 4.5

P 6 3 13.5 9 4.5

Observa que el valor de y depende del valor que se asigna a x. De esta manera, a los valores que va adquiriendo la variable y se les llama dependientes, y a los valores de x se les llama independientes. ¿Cómo le hiciste para determinar qué valor del conjunto de las y (dependientes) le correspondía al de las x (independientes)? En la relación del inciso a), ¿qué número obtienes al dividir el valor de y entre su correspondiente de x  ? ¿Se obtiene el mismo cociente en todas las parejas? En la relación del inciso b), ¿que número obtienes al dividir cada valor y entre su correspondiente x ? ¿Se obtiene el mismo cociente en todas las parejas? La constante de proporcionalidad es el número (constante) que resulta de dividir cada uno de los valores y (dependiente) entre su correspondiente x (independiente). Observa: 2 4 6 1 5 2 ; 2 5 2 ; 3 5 2 … 2 es la constante de proporcionalidad. En ocasiones, conviene conocer el valor unitario (es decir, para x 5 1) en relación de proporcionalidad, ya que te permite ahorrar procedimientos y operaciones. Si conoces el valor unitario, ¿qué harías para calcular cualquier valor?

BLOQUE 3

173

Actividad 5.7 Completa la tabla y responde los planteamientos. a) ¿Qué distancia recorre un automóvil en relación con el consumo de gasolina?

Consumo de gasolina en

Distancia recorrida en km

0.2

0.4

0.6

1.2

2.2

4.0

3

¿Cuánta gasolina se requiere para recorrer 1 km? ¿Cuántos km recorrerá con 1

de gasolina?

Escribe una expresión algebraica para calcular en forma inmediata el consumo de gasolina y otra para la distancia. ¿Qué utilidad le ves a conocer el valor unitario en una situación de proporcionalidad? Explica. b) ¿Qué cantidad de chocolates puedes obtener haciendo determinado gasto?

Número de chocolates

5

Costo de los chocolates en $

16

6

8

12

Determina la constante de proporcionalidad. ¿Cuál es el costo de un chocolate? Si quiero comprar n chocolates, ¿qué fórmula aplicaría para saber su costo?

20

24

MATEMÁTICAS 1

174 Actividad 5.8

Haciendo uso de la constante de proporcionalidad o del valor unitario, resuelve las siguientes situaciones. a) En mi jardín, para pintar 1.5 m2 de barda se d) En cierta población, el municipio cobra un imrequieren 0.495 de pintura. ¿Cuánta pintura puesto de $125 mensuales por cada 100 m2 2 2 2 se requiere para pintar 2 m , 3 m , 5 m de de un terreno en propiedad. ¿Cuánto pagabarda, con ese mismo tipo de pintura? rán quienes tienen terrenos de 180, 220, 450 y 560 m2? Área por pintar en m2

Pintura en

1.5

2

3

5 Superficie en m2

100

Impuestos en $

125

180

220

450

560

0.495

b) Una fotografía muestra a un niño parado junto e) Durante 25 min de ver televisión presentaron a un árbol. Si el niño en realidad mide 1.25 m 7 min de anuncios comerciales. En 70 min de transy en la foto mide 2 cm y el árbol 6 cm. ¿Cuánto misión, ¿cuántos minutos de anuncios verás? mide en realidad el árbol?

c) Ana recibe $180 por cuidar un niño durante 3 h. f) Un producto de 16 onzas se vende a $2.34; el ¿Cuánto cobrará si lo cuida 2, 4 y 8 h? mismo producto en empaque de 12 onzas se vende a $1.88. ¿Cuál es la mejor compra? Tiempo en h Sueldo en $

2

3

4

8

180

Actividad Extra Observa qué movimientos ocurren a la figura y contesta la pregunta.

Figura base

mov. 1

mov. 2

¿Cómo es la figura a la que le corresponde el movimiento 25?

mov. 3

mov. 4

BLOQUE 3

175

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN APARTADO 6: PORCENTAJES

Cálculo de porcentaje.

Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentaje utilizando adecuadamente la expresión fraccionaria o decimal.

Actividad Previa A cada equipo se le da la responsabilidad de proponer una situación cotidiana en la que se utilicen los porcentajes, como: “El IVA es de 15% en la compra de ropa. ¿Cuánto cuesta en total un vestido marcado en $285?” O bien: “Por cada producto que compre en un almacén me descuentan 1% a partir de una docena y sin rebasar los 20 productos iguales. Si compro 15 productos de $49.50 cada uno, ¿cuánto tengo que pagar?”

% El porcentaje se opera como una fracción o número decimal; por ejemplo: 20% puede operarse como 20 o 100 como 0.2

Actividad 6.1 En el Bloque 2 resolviste algunas situaciones en las que se trabajó con porcentajes. Recuperemos y ampliemos esa información. Hablar de porcentaje consiste en decidir qué fracción o parte estamos tomando en cuenta de una cantidad considerada como la unidad o 100% que es el total. Representa, mediante una fracción común y un número decimal, cada una de las siguientes expresiones. a) 50% 5

5

d) 20% 5

5

g) 5% 5

b) 75% 5

5

e) 15% 5

5

h) 30% 5

c) 25% 5

5

f) 10% 5

5

i) 3% 5

5 5 5

j) 2.5% 5 k) 1% 5 l) 3.8% 5

5 5 5

Actividad 6.2 Existe una estrecha relación entre las fracciones, los números decimales y el porcentaje. Para cada una de las siguientes figuras, expresa la fracción que corresponde a la parte coloreada en cada entero, ejecuta la división y expresa el tanto por ciento correspondiente. a)

b)

c)

d)

MATEMÁTICAS 1

176 e)

g)

i)

k)

f)

h)

j)

l)

Actividad 6.3 Calcula en cada caso el porcentaje que se indica. a) 15% de 400 5

d) 8% de 75 5

g) 5% de 150 5

b) 7.5% de 490 5

e) 15% de 1 256 5

h) 10% de 136.35 5

c) 3% de 11.9 5

f) 0.6% de 435.60 5

i) 90% de 15 500 5

Actividad 6.4 Resuelve las siguientes situaciones. Comenta con tu profesor y con tus compañeros los procedimientos utilizados y compara, con el fin de verificar, las soluciones obtenidas. a) En la Comercial Mixteca, a mi abuelo, por ser b) En un torneo de futbol, el “Kikín” anotó 40% adulto mayor, le hacen un descuento de 5% del total de goles anotados por su equipo. en cada compra. Ayer hizo una compra que Si se anotaron 25 goles, ¿cuántos metió el ascendió a $725.85. ¿Cuánto le descontaron? “Kikín”? ¿Cuánto pagó?

BLOQUE 3

177

c) En una tienda departamental, las camisas tie- f) En la compra de un perfume se hace un carnen un descuento de 25%. Si una camisa está go de 15% por concepto de IVA. Cierta loción marcada en $160, ¿cuánto se pagará mientras está marcada en $756 antes del impuesto, dure la oferta? ¿cuál es su precio al público?

d) A Gilberto le darán un aumento de 3.5%. Si g) El automóvil de Patricio se hace viejo. En reganaba $7 500 quincenales; ¿de cuánto será ferencia con el año pasado, ahora gasta 15% su aumento mensual? más de gasolina. Antes, por cada podía recorrer 14 km. ¿Cuántos kilómetros puede recorrer actualmente por cada litro de gasolina?

e) Con cierta dieta se puede perder 3% de masa h) Durante los nueve meses de embarazo, Karicorporal en un mes. Marisela pesa 70 kg y na aumentó 12% de su peso normal. Si antes se somete a ese tratamiento durante siete de concebir pesaba 48 kg, ¿cuál es su peso meses, tiempo calculado para que quede en el momento del parto? en su peso ideal. ¿Cuál es el peso ideal de Marisela?

Actividad Extra Resuelve la siguiente situación. En cierta playa, anualmente se pierde 0.09% de la franja de arena. Si actualmente tiene 39 m de ancho, ¿qué ancho tendrá esa franja dentro de 50 años?

Biología: Calentamiento global. Debido a la contaminación, los polos de la Tierra se deshielan al grado de que, día con día, aunque no se perciba, aumenta el nivel del agua en los océanos.

MATEMÁTICAS 1

178 Actividad 6.5

Veamos ahora otras situaciones que se presentan cotidianamente. Se sabe que el porcentaje se aumentó o se descontó a cierta cantidad: tu reto consiste en hallar esa cantidad. a) En la compra de una camisa de $180 me des- e) En el cheque quincenal de mi papá aparece contaron $18. ¿Qué tanto por ciento rebajaron un total de $1 690 por descuentos. Si, de acuerel precio? do con su contrato, su salario quincenal es de $8 450, ¿qué porcentaje le están descontando?

b) Mariana hizo una dieta y perdió 15 kg de los f) El abuelo de Marcela tiene ahorrados en el 75 que pesaba. ¿Qué tanto por ciento de su banco $1 250 000. Este mes le han abonado a peso original perdió? su cuenta $8 333.33. ¿A qué tasa tiene invertido su dinero?

c) En el año de 1990 la población del D.F. y el g) La masa muscular, la grasa, el agua y los hueárea metropolitana era de 18 000 000 de hasos del cuerpo humano mantienen cierto porbitantes. Para el año 2005 la población se incentaje de equilibrio en el total de su peso. crementó a 24 000 000 de personas. ¿En qué Juan pesa 85 kg y presume que tiene 17 kg porcentaje ha aumentado la población en ese de músculos. ¿Qué porcentaje de su masa son lapso? músculos? Si 75% del cuerpo es agua, ¿qué cantidad de grasa tiene Juan?

d) El dólar estadounidense aumenta su costo de h) Ya me di cuenta de que, según el producto que manera irregular. Hace dos meses, por la comse compre, el impuesto varía. Ayer compré un pra de un dólar se pagaban $10.85, y hace pantalón de $175 y me cobraron $197.75, ¿qué unos días se pagaron $11.05 por dólar. ¿En porcentaje de impuesto le aplicaron? qué porcentaje ha aumentado en ese lapso?

Actividad Extra Resuelve la siguiente situación. Si a un cuadrado de 20 cm de lado, por cada lado se le aumentan 2 cm, su área varía de 400 cm2 a 484 cm2, ¿en qué porcentaje aumenta esa área?

BLOQUE 3 Factor operador En el caso del tanto por ciento, número que multiplicado por cierta cantidad da como producto el total deseado. Ejemplo: Una ganancia de 20% en $150. ( 100% 1 20% 5 120% 5 1.20) 150 3 1.2 5 180 Una pérdida de 30% en una producción de 2  700 productos. ( 100% 2 30% 5 70% 5 0.70) 2 700 3 0.70 5 1 890

Actividad 6.6 Resuelve cada situación, considerando que el porcentaje en que se incrementa un impuesto es sumado a 100% y que el porcentaje de descuento es restado de 100%. a) Ejemplo: Un recargo de 15%

d) Un aumento de 4.20%

Al incrementar una cantidad en 15% se obtiene 115%, o bien como factor operador: 115 5 1.15 100

Factor operador: b) Ejemplo;

e) Una ganancia del 2.5%

Una rebaja de 10% % a considerar: 90% Factor operador: 90 5 0.9 100





c) Un faltante de 8%

f) Un descuento de 30%

Factor operador: Factor operador:

179

MATEMÁTICAS 1

180 Actividad 6.7

Resuelve cada situación, considerando que el porcentaje de recargo se suma al 100% y que el porcentaje de descuento se resta del 100%. a) El INEGI informa que en la República Mexicana la tasa de crecimiento poblacional es de 2%. Si en 2007 hay 108 000 000 habitantes, ¿cuántos habrá para cuando termines la secundaria?

b) El cuerpo de un hombre adulto debe tener como máximo 19% de grasa, en tanto que el de una mujer 28%. Ramiro y Lucía tienen una masa de 78 y 55 kg, respectivamente. ¿Qué masa del cuerpo de cada uno de ellos no es grasa?

c) Año con año, la renta que se paga por una casa aumenta en 4.5%. Si para este año se tienen que pagar $3  971, ¿cuánto se pagaba el año pasado?

d) Se pretende que una fábrica de jabones produzca 3 500 piezas, sin defecto alguno, diariamente. Se sabe que el 2% de la producción resulta defectuosa. ¿Cuántos jabones se tienen que hacer para logra esa meta?

BLOQUE 3 e) En la entidad, el año pasado se obtuvieron $750 000 000 por concepto de impuestos. Se espera que para este año aumente en 7%. ¿A cuánto ascenderán los impuestos este año?

Actividad 6.8 Resuelve las siguientes situaciones. Comenta con tus compañeros y aclara tus dudas. a) Una compañía de gas vende el tanque de 30 kg en $267. En los últimos años, cada cierto tiempo el kg aumenta en 2%, ¿cuál será el precio de un tanque de 20 kg con el siguiente aumento?

b) La familia de Cecilia comió en un restaurante. Al finalizar, se pagaron $1  219 incluyendo la propina. Inicialmente la cuenta era de $1 060, ¿qué % se dejó de propina?

181

182

MATEMÁTICAS 1 c) Hacia el año de 1980 la expectativa de vida de una persona era de 68 años. Para la época actual esa expectativa ha aumentado en 5%. ¿A cuánto asciende la expectativa de vida de una persona en la actualidad?

d) En la compra de un televisor se pagaron $4 950. El aparato estaba anunciado con 25% de descuento. ¿Cuál era su precio original?

e) Por una camisa pagué $230, incluido un recargo de 15% del IVA. ¿Cuál era el precio de la camisa antes del recargo?

BLOQUE 3

183

Tablas de frecuencia

Tema: Representación de la información APARTADO 7: DIAGRAMAS Y TABLAS II

Conocimientos y habilidades Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Actividad Previa En cierto noticiario leyeron la siguiente nota: “México tiene 108 millones de habitantes y la pobreza extrema afecta, en promedio, al 5% de los mexicanos”. Esta misma noticia se dio en otro noticiero en los siguientes términos: “Existen aproximadamente 5 400 000 mexicanos que viven en condiciones de pobreza extrema”. ¿Cuál de las dos noticias te parece más alarmante? . ¿Se están refiriendo a lo mismo? . Promueve con tus compañeros una discusión relacionada con la situación anterior y obtengan alguna conclusión.

Frecuencia: Número de veces que ocurre un suceso.

Actividad 7.1 Lee las siguientes situaciones de cada inciso; analiza las tablas correspondientes y complétalas. a) La siguiente tabla nos muestra el número de errores que tuvieron Mario, Raúl, Marcos, Cecilia, Luisa, Inés y Andrea en la prueba de Geografía. Alumno

Reactivos considerados 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Total de errores (frecuencia)

Mario

5

Raúl Marcos Cecilia Luisa Inés Andrea Totales

Llamamos frecuencia absoluta al número de veces que se considera cada dato. La frecuencia relativa nos indica qué parte del total de las frecuencias corresponde a cada dato. Esta fracción generalmente se expresa como un porcentaje.

MATEMÁTICAS 1

184

Como puedes observar, la prueba tenía 10 reactivos por resolver. Cecilia obtuvo el menor número de errores, 2 de los 10, es decir 2 , ¿a qué porcentaje corresponde este número? 10

¿Cuál es el porcentaje de errores de Andrea? ¿Y el de Marcos? ¿Cuántos alumnos se equivocaron en el reactivo 6? ¿Qué % representa este valor del total de las respuestas de ese reactivo? ¿Cuál fue el reactivo en el que tuvieron más errores? ¿Qué % representa este valor del total de las respuestas de ese reactivo? Para obtener la máxima calificación, ¿qué % de errores se requiere? lo que equivale a

errores, es decir

aciertos;

lo que significa que el porcentaje en este caso sería de

%.

b) En el ejido San Juan se sembró sorgo durante cuatro años consecutivos, en cuatro parcelas de igual superficie. Los resultados de la producción se muestran en la siguiente tabla.

Parcela

Producción en kilogramos 2003

2004

2005

2006

1

1 425

1 670

1 050

870

2

960

790

1 350

1 120

3

1 430

870

1 200

1 120

4

2 440

1 620

575

960

Total

Total

En el año 2003, ¿qué % de la producción anual se cosechó en la parcela 4? En el año 2006, ¿qué % de la producción anual se cosechó en la parcela 1? ¿A qué porcentaje de su total corresponde la mayor producción de la parcela 4? En 2005 se presentó la menor producción en la parcela 4. ¿Qué porcentaje aportó en ese año?

BLOQUE 3

185

c) En un juego de básquetbol femenil se registraron las anotaciones de cada una de las jugadoras. Completa la siguiente tabla de frecuencias. Considera los ejemplos.

Jugadora

Canastas anotadas por cuarto 1

2

3

Valeria

Razón o fracción: Frecuencia Total absoluta

Total de canastas de la jugadora

Frecuencia relativa

Total de canastas del juego

4 6

6

6 46

0.1304

Marcela Gabriela Cecilia Luisa Daniela Andrea Total

12

¿Cuál fue el total de canastas anotadas en el partido? ¿A qué % corresponde este total de canastas anotadas? ¿Quiénes anotaron el mayor número de canastas? En relación con el total de canastas, ¿cuál es el % de sus anotaciones? ¿Quiénes anotaron el menor número de canastas? Observa la tabla. Según tu criterio y con la idea de tener el mejor equipo, ¿cuáles son las cinco jugadoras que seleccionarías para el siguiente encuentro?

MATEMÁTICAS 1

186

Análisis y diseño de gráficas

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN APARTADO 8: Gráficas I

Conocimientos y habilidades Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicar información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.

Actividad Previa En equipo comenten qué tipo de gráficas conocen, cómo se elaboran y qué datos requieren para su elaboración. Actividad 8.1 Considera la siguiente tabla de frecuencias absolutas y completa las gráficas con esos datos. Observa en cada caso el ejemplo. Jugadora

Valeria

Marcela

Gabriela

Cecilia

Luisa

Daniela

Andrea

Total

Canastas

6

9

6

11

4

6

4

46

Canastas

14 12 La gráfica poligonal es una serie de segmentos que unen los puntos ubicados en el plano cartesiano. Los puntos se determinan por el punto medio de cada dato del eje horizontal y su correspondiente frecuencia en el eje vertical (por ordenado).

10 8 6 4 2 0

Jugadora

Vale Marce Gabi Ceci Luisa

Dani Andrea

Otra forma de representar gráficamente la información es mediante gráficas de barras. Seguramente te resultará fácil convertir la gráfica anterior a una gráfica de barras. Utiliza la misma tabla de frecuencias. Traza las barras que faltan.

BLOQUE 3 Canastas

187

Anotaciones en un juego de basquetbol

14

La gráfica de barras es otra forma de representar datos utilizando barras verticales u horizontales.

12 10

Las barras se colocan separadas y su altura o longitud dependen de la frecuencia; también debe llevar título asociado.

8 6 4 2 0

Jugadora

Vale

Marce

Gabi

Ceci

Luisa

Dani

Andrea

Actividad 8.2 Considera la siguiente información, elabora la tabla de frecuencias correspondiente y represéntala mediante una gráfica de barras utilizando las frecuencias absolutas. En cierto grupo de primer año, se hizo una encuesta a 15 alumnos para saber cuántas horas a la semana dedicaba cada uno de ellos para estudiar algunas de las asignaturas con las que han tenido mayor dificultad. Datos obtenidos: Español: 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1. Geografía: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 2. Biología: 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1. Tiempo

Tiempo dedicado al estudio

32

Matemáticas: 3, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 3. Inglés: 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2.

Asignatura Español

28

Matemáticas

24 Geografía

20 16

Inglés

12

Biología

8

Total

4 0

Esp.

Mat.

Geo.

Ing.

Bio.

Asignatura

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

MATEMÁTICAS 1

188

¿A qué asignatura se le dedicó el mayor porcentaje de tiempo por semana? ¿Cuál es la asignatura a la que se dedican menos horas de estudio a la semana? Actividad 8.3 La siguiente gráfica es representativa de la producción de motores fabricados en cierta armadora. Analiza la gráfica de barras y completa los datos de la tabla de frecuencias. Producción de motores por semana Número de motores

40 35 30 25 20 15 10 5 0

Lun

Mar

Mier

Jue

Vier

Día

Tabla de frecuencias Día

Número de Frecuencia motores absoluta

Frecuencia relativa

Lun Mar Mier Jue Vier Total

Existen otras formas para mostrar de manera objetiva la información; una de ellas es por medio de gráficas circulares. La gráfica circular se utiliza para mostrar la relación que existe entre cada una de las partes de un todo.

BLOQUE 3

189 Edad de los alumnos de 10 A

Observa la siguiente tabla de frecuencias relacionada con las diferentes edades de los alumnos de un grupo de primer año. A partir de la información contenida en ella, completa la tabla.

180o



Gráfica circular Para determinar cada ángulo se resuelve una proporción. En el ejercicio:

72o

108o

25 x 5 50 360 de donde:

x5

25 3 360 50

Edad en años

Frecuencia absoluta

12

25

25 5 0.5 50

50%

13

15

15 5 0.3 50

30%

14

10

10 5 0.2 50

20%

Total

50

50 51 50

100%

x 5 1800 25

Ángulo por determinar.

50

Total de elementos.

3 600

Medida angular de la circunferencia.

Frecuencia relativa

Ángulo 180o

360o

Utiliza el transportador para verificar la medida de cada ángulo.

Actividad 8.4 Completa la tabla e identifica en la gráfica el color que representa a cada equipo deportivo. En un grupo de tercer año, los alumnos están distribuidos en diferentes equipos deportivos de la siguiente manera: 15 en futbol, 9 en voleibol, 12 en basquetbol y 14 en atletismo. Equipo

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Ángulo

5 5 5 5 Total

Colorea cada Futbol

según corresponda con la gráfica. Atletismo

Basquetbol

Voleibol

MATEMÁTICAS 1

190 Actividad 8.5

A partir de la información que aparece en la gráfica circular, completa la tabla. Se hizo una encuesta entre los grupos de primer año de una escuela. En ella, se preguntó a 150 alumnos lo siguiente: De los productos que vende la cooperativa escolar, ¿cuál es tu favorito? Producto

Frituras

Paleta

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Ángulo

Paleta Frituras

Sándwich

Sándwich

Torta

Torta

Refresco

Refresco Total

Actividad 8.6 Organizados en equipos, realicen una encuesta con 100 alumnos del plantel. Seleccionen alguna de las siguientes interrogantes, considerando al menos tres respuestas posibles: a) ¿Qué medio de transporte utilizas para llegar a la escuela? b) ¿Qué calificación obtuviste en tu anterior prueba de matemáticas? c) ¿De qué talla es tu uniforme? d) ¿Cuál es tu equipo deportivo favorito? e) De los programas de televisión, ¿cuál es tu favorito? f) Otra situación particular que le interese al equipo. Lleva un registro de frecuencias para que puedas realizar tu tabla y posteriormente trazar la gráfica circular. Frecuencia absoluta

Total

Frecuencia relativa

Ángulo

BLOQUE 3

Tema: Análisis de la información APARTADO 9: NOCIONES DE PROBABILIDAD I

191

Fenómenos aleatorios

Conocimientos y habilidades Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1, y vincular diferentes formas de expresarla. Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar la respuesta.

Actividad Previa En la vida cotidiana suceden fenómenos o eventos; en algunos casos sabemos lo que va a ocurrir (a estos fenómenos se les conoce como deterministas), por ejemplo: si dejamos un cubito de hielo en un vaso de agua, sabemos que se va a derretir; hay otros fenómenos en los que no sabemos qué resultará (se conocen como aleatorios), por ejemplo: si lanzamos un dado, no sabemos cuál de los seis números mostrará la cara superior. En binas, identifiquen si los siguientes fenómenos son deterministas o aleatorios y presenten al grupo otro ejemplo de cada tipo de evento.

Un fenómeno aleatorio puede tener varios resultados posibles y no se puede saber cuál ocurrirá. En un fenómeno determinista, sus condiciones son tales que de antemano sabemos lo que va a ocurrir.

¿Qué tipo de fenómeno es el paso del tiempo? ¿Qué tipo de fenómeno es un sorteo de lotería? Actividad 9.1 Anota cinco ejemplos de fenómenos que consideres aleatorios y cinco que consideres deterministas. Fenómenos aleatorios a) b) c) d) e) Fenómenos deterministas a) b) c) d) e)

MATEMÁTICAS 1

192 Actividad 9.2

Lee con cuidado cada una de las siguientes situaciones y completa o contesta lo que se solicita. a) ¿Alguna vez has jugado a los “volados”? Explica en qué consiste el juego. Probabilidad: Razón del grado de certeza de que ocurra un evento. Su valor va desde cero hasta 1. (0 a 100%).

Al caer la moneda pueden suceder dos eventos, ¿cuáles son? Entonces tienes 1 de 2 probabilidades de ganar, ¿con qué razón representas esta relación?

Si esta fracción la expresas como porcentaje, ¿cuál es tu % probable de ser el ganador? b) Reúnanse en parejas y realicen este experimento: Necesitan de una moneda, lápiz y papel para anotar los resultados. Lancen 100 volados (50 tu compañero y 50 tú). Anoten los resultados (puedes usar una tabla de frecuencias). ¿En cuántas ocasiones resultó “águila”? ¿Y en cuántas “sol”? ¿Ambas caras tienen la misma probabilidad de salir? Expón tus conclusiones. c) Si lanzas un dado, ¿cuáles son los diferentes eventos que pueden suceder? Al seleccionar un número de los seis, ¿cuál es tu probabilidad de ganar? Si le apuestas a que el dado cae en número par, ¿aumenta o disminuye tu probabilidad de ganar?

BLOQUE 3

193

¿Por qué? ¿Cuál es la fracción que representa esta situación? ¿A qué porcentaje corresponde? Si tu opción es que caerá un número mayor que 4, ¿cuál es tu probabilidad de ganar? En este mismo caso, ¿cuál es tu posibilidad de perder? Si sumas estas dos últimas fracciones, ¿qué resultado obtienes? Expresa ambas situaciones en %:

y

.

Ahora obtén la suma: Actividad 9.3 Resuelve cada una de las siguientes situaciones; completa los diagramas en los casos en que se solicite. a) Completa la tabla (puedes aumentar o suprimir renglones) a partir de la siguiente información: si lanzas al aire dos monedas, ¿cuáles son los probables resultados que puedes obtener?

Evento

Moneda 1

Moneda 2

1 2

¿Cuántos eventos sucedieron? Si apuestas a que cae “águila” en las dos monedas, ¿cuál es tu probabilidad de ganar? ¿Y en %?

MATEMÁTICAS 1

194

b) Observa el siguiente diagrama de árbol; completa lo que le falta y contesta lo que se indica a partir de esta información: si lanzas al aire tres monedas de diferente denominación.

Moneda 1

Águila

Sol

Moneda 2

Moneda 3

S

A

¿Cuáles son los posibles resultados de la primera moneda? ¿Y de la segunda? ¿Y de la tercera? ¿Cuántos son los posibles resultados que se obtienen en total? ¿De qué manera podrías obtener el total de resultados sin hacer el diagrama? ¿Qué probabilidad tienes de obtener “sol” en las tres monedas? ¿Y en porcentaje? c) Ahora se cuenta con una moneda y un dado. Al lanzar simultáneamente la moneda y el dado: ¿Cuáles son los probables resultados de lanzar la moneda? ¿Cuáles son los probables resultados de lanzar un dado? ¿Cuántos son los probables resultados que se pueden obtener? Escribe todas las combinaciones que forman el espacio de eventos. Si alguien apuesta a que cae (“águila”, 5), ¿qué probabilidad tiene de ganar? Otro apuesta a que cae “sol” y un número par, ¿cuál es su probabilidad de acierto? ¿Quiénes tendrían posibilidad 0 (cero) de ganar algún lanzamiento?

BLOQUE 3 Actividad 9.4 Resuelve la siguiente situación y elabora el diagrama de árbol correspondiente. a) En un restaurante se prepara un menú que consta de: 3 sopas, 2 guisados y 3 postres. ¿De cuántas maneras diferentes se puede armar un menú? ¿Cuáles son las diferentes combinaciones que pueden pedirse? Diagrama de árbol

Actividad 9.5 Resuelve. Se va a efectuar la rifa de una grabadora; por tal motivo, se emiten 50 boletos cuyo costo es de $25. Juan compró cinco boletos, ¿qué probabilidad tiene de ganar el premio? Javier solamente compró un boleto, ¿cuál es su probabilidad de ganar? Roberto quiere llevarse el premio, ¿qué necesita hacer para ganar? ¿Cuál sería entonces la probabilidad que tiene Roberto? Si Alicia compra todos los números terminados en 5, ¿qué probabilidad tiene de ganar? Julieta tiene una probabilidad de 0% para obtener el premio, ¿a qué se debe?

195

MATEMÁTICAS 1

196 Actividad 9.6

Realiza cada uno de los siguientes experimentos, completa la tabla y responde a las cuestiones planteadas. a) Lanza una moneda 20 veces al aire. Resultados obtenidos:

,

,

,

,

.



,

,

,

,

.



,

,

,

,

.



,

,

,

,

.

Resultados

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Águila Sol Total

¿Qué resultado tuvo la menor frecuencia?

,

¿En qué porcentaje? ¿Qué resultado tuvo la mayor frecuencia?

,

¿En qué porcentaje? Si en el siguiente lanzamiento quieres ganar, ¿qué resultado pedirías? Explica por qué: ¿Tendría alguna importancia que se cambiara la moneda? Explica.



BLOQUE 3

197

b) En equipo, completen el lanzamiento de un dado 50 veces y contesten las preguntas. Resultados

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

1

2

3

4

5

6

Total

¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento caiga 1? ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento caiga 3? ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento caiga 5? ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento caiga 7? ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento caiga 6? De acuerdo con los datos obtenidos, ¿cuál de los seis números del dado tiene menor probabilidad de salir? ¿Y la mayor?

MATEMÁTICAS 1

198 Actividad 9.7

Resuelve cada una de las siguientes situaciones a partir de la información que se va solicitando. a) Al lanzar una moneda, ¿cuántas posibilidades tienes de ganar? Si pides “águila”, ¿cuál es tu probabilidad de ganar? lo que equivale a

%.

Si pides “sol”, ¿qué probabilidad tienes de ganar? lo que equivale a

%.

Algunas personas acostumbran escribir lo anterior de la siguiente manera:

Probabilidad clásica Probabilidad Eventos favorables del evento 5 Eventos posibles

f P(evento) 5 p

P(águila) 5

P(sol) 5

1 2

o 0.5 o 50%

1 o 0.5 o 50% 2

b) Al lanzar un dado, ¿qué probabilidad se tiene de obtener un número impar? ¿Cuáles son los números impares que hay en un dado? ¿Cuántos números impares son? Ahora responde: P(número impar) 5

5

5

%

BLOQUE 3 Actividad 9.8 Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Expresa tus resultados como fracción y como tanto por ciento. a) Al lanzar un dado, ¿qué probabilidad se tiene d) En una baraja española (as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, de obtener un número menor que 3? sota, caballo, rey), ¿qué probabilidad tienes de sacar algún as?

b) En una rifa en la que se vendieron una cente- e) Al lanzar un dado, ¿qué probabilidad hay de na de boletos numerados del 1 al 100, ¿qué que caiga en 1? probabilidad hay de que el ganador sea un número terminado en 7?

c) En una bolsa hay 25 canicas; 5 blancas, f) En una baraja inglesa, ¿qué probabilidad tie10 rojas, 4 verdes y 6 azules. Sin ver, ¿qué nes de que, al sacar una carta, ésta sea de probabilidad tienes de meter la mano y sacar tréboles? una canica roja?

En un cajón hay 40 calcetines: 20 negros y 20 azules. Sin ver, ¿cuántos calcetines tienes que sacar para asegurar que tienes un par del mismo color?

199

200

APLICACIÓN DE APRENDIZAJES Ecuaciones

En los proyectos de aplicación de aprendizajes, de los bloques anteriores, trabajaste la habilidad del cálculo mental. En este bloque aplicarás esta habilidad para resolver mentalmente algunas ecuaciones. Recuerda que una ecuación es una igualdad en la que se desconoce una de las cantidades. Al valor desconocido se le llama incógnita y generalmente se representa por medio de una literal. Encontrar el valor de la incógnita significa resolver la ecuación. Observa el ejemplo:

incógnita

Ecuación: x 1 6 = 15 Resultado: x= 9 1. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones. a) x 1 6 5 10

e) 8 1 c 5 14

h) 5y 5 35

b) b 1 4 5 12

f) 2x 5 10

i) 9c 5 45

c) 2 1 y 5 11

g) 3a 5 18

j) 3d 5 1.5

d) 3 1 d 5 15 2. Ahora las siguientes ecuaciones serán resueltas por filas. El primer inciso lo resuelve mentalmente un alumno de la primera fila; el grupo participa diciendo si la respuesta que se presenta es correcta. El segundo inciso lo resuelve mentalmente un alumno de la segunda fila; el grupo dice si la respuesta es correcta y así sucesivamente, cuando hayan participado todas las filas nuevamente participa la primera fila, ahora con otro alumno y sigue el proceso hasta resolver la siguiente serie de ecuaciones. a)

6x 5 54

k) 10y 1 3 5 63

b)

8y 5 32

l)

c)

u)

y 1 y 5 16

d 2 9 5 15

v) 3x 2 2 5 22

m 1 9 5 21

m) 4d 2 4 5 20

w) 4 1 2b 5 30

d)

z 2 4 5 15

n)

x + x 5 30

x)

a 2 11 5 11

e)

a 2 6 5 20

o)

2y 5 42

y)

2a 5 1

f)

5m 5 60

p)

3m 5 45

z)

3b 5 2

g)

4b 5 36

q)

x 5 13 I)

5c 5 9

h) 2a 1 3 5 13

r)

a 5 10 II)

2x 1 3 5 8

i) 3b 1 2 5 20

s)

4x 2 1 5 19

t)

j)

2 3

c 5 6 III) 4x 2 5 5 10 5 x + 1 5 21 IV) x 2 9 5 99 2

201

EXPLORACIÓN DE RECURSOS TECNOLÓGICOS El cálculo de porcentajes es una operación que se utiliza prácticamente en todas las áreas del conocimiento. Escribe tres ejemplos donde hayas utilizado el cálculo de porcentajes o donde sepas que se utiliza.

Aprovecha la hoja electrónica de cálculo para que formes tu “utilería” para calcular el tanto por ciento de cualquier cantidad. A

B

C

1

D

E

F

HERRAMIENTA PARA EL CÁLCULO DEL PORCENTAJE

2 3

El

% de

es

4 Esta celda es para registrar el porcentaje que buscas.

En esta celda registras la cantidad de la cual deseas conocer el porcentaje.

Registra en esta celda la expresión que calculará el porcentaje buscado. Por ejemplo: prueba si la expresión =(B3/100)*D3 te sirve. En caso de que la expresión no resulte útil, escribe la que sí sea adecuada.

Si ya resolviste el problema anterior, elabora ahora una utilería que te ayude a calcular qué porcentaje representa una cantidad de otra. Por ejemplo, que se muestre de la siguiente forma: A 1

B

C

D

E

PORCENTAJE

2 3 4

¿Qué tanto por ciento representa Representa

de

?

el

%

Recuerda que en las celdas B3 y D3 vas a escribir las cantidades de las cuales vas a encontrar qué tanto por ciento es una cantidad de otra y la celda B4 deberá tener escrita la expresión que indique cómo se efectúa la operación requerida. Verifica la validez de tu utilería, comprobando si obtienes los resultados mostrados en los siguientes ejemplos: a) ¿Qué tanto por ciento representa 20 de 50? Respuesta: Representa el 40%. b) ¿Qué tanto por ciento representa 12 de 60? Respuesta: Representa el 20%. Seguramente tu hoja de cálculo funciona correctamente. Para observar mejor lo que significa el porcentaje calculado, agrégale una gráfica circular o de pastel. Recuerda que una gráfica circular o de pastel expresa en regiones proporcionales, como rebanadas de pastel, los datos que está utilizando. En equipos de dos personas, investiguen cómo se obtiene una gráfica circular con el programa de hoja electrónica de cálculo que estás utilizando. Expongan al grupo su resultado y los procedimientos que emplearon.

MATEMÁTICAS 1

202

¿CUÁnto APRENDÍ? Resuelve cada problema. Aprovecha los espacios para registrar tus procedimientos. 1) Marina realizará un viaje al extranjero. Para 4) Por 2 kg de manzanas y 1 kg de plátanos se alojamiento cuenta con un presupuesto de 475 pagan $41. Si el kg de plátanos cuesta $7, dólares. Si espera viajar durante ocho días, ¿cuánto cuesta el kg de manzanas? ¿cuánto puede gastar por día de alojamiento?

2) El perímetro de un rectángulo es de 40 m. Si 5) El área de un rectángulo es de 72 m2. Si su su largo mide 5 m más que el ancho, ¿cuánto largo mide 12 m, ¿cuánto mide su ancho? mide cada lado?

3) El perímetro de un triángulo isósceles mide 6) Si se realiza una compra con tarjeta de crédi35 cm. Cada uno de los lados iguales mide lo to y no se paga dentro del plazo estipulado, doble que el lado desigual. ¿Cuánto mide se hace un recargo de 2.8% mensual. Si se recada lado? trasa un pago de $725, ¿a cuánto ascenderá la deuda? 2a

a 7) Completa la tabla, traza la gráfica circular correspondiente y contesta las preguntas. Se lanzó 100 veces un dado y se obtuvieron estos resultados: Resultados

Frecuencia absoluta

1

15

2

10

3

8

Frecuencia relativa

5

%

4 5

32

6

15

Total

¿Cuál es la probabilidad de que en el lanzamiento 101 salga 4? ¿Cuál es la probabilidad de que en el lanzamiento 101 salga 5?

203

BLOQUE 4 Como resultado del estudio de este bloque temático, se espera que los alumnos: 1. Identifiquen, interpreten y expresen, algebraicamente o mediante tablas y gráficas, relaciones de proporcionalidad directa. 2. Resuelvan problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales. 3. Construyan círculos que cumplan con ciertas condiciones establecidas. 4. Justifiquen y usen las fórmulas para calcular el perímetro o el área del círculo.

Contexto histórico

1543 La teoría de Copérnico sienta las bases de la astronomía moderna.

1500

1608 Se inventa el telescopio.

1560

1522 Cuthbert Tunstall publica en Inglaterra el primer libro de aritmética.

1654 El holandés Christian Huygens desarrolla el reloj de péndulo.

1620

1712 Thomas Sávery construye su máquina de vapor atmosférica.

1790 Científicos franceses desarrollan el Sistema Métrico Decimal.

1800

1740

1680

Hechos matemáticos 1557 Robert Recorde, en sus Tratados de Aritmética y Álgebra, utiliza por primera vez el signo “5”.

1654 Pascal y Fermat desarrollan las leyes básicas del cálculo de probabilidades.

1760 El conde de Buffon establece una conexión entre probabilidad y  .

MATEMÁTICAS 1

204

SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Enteros y fracciones con signo

Tema: Significado y uso de los números APARTADO 1: NÚMEROS CON SIGNO Conocimientos y habilidades Plantear y resolver problemas que impliquen la utilización de números con signo.

Actividad Previa ¿Ya te diste cuenta en qué estación del año estamos? Reúnete con tus compañeros de equipo, recuerden en qué época del año hace más calor y respondan las siguientes preguntas: ¿Cuál ha sido la temperatura más alta que se ha registrado en la localidad? ¿En qué mes ocurrió? ¿Cuál ha sido la temperatura más baja? ¿Cuándo ocurrió? (Pueden consultar www.zonaclima.com) Para medir la temperatura ordinaria se utiliza el termómetro (de mercurio o de alcohol); el más utilizado es el de mercurio. Cuando la temperatura aumenta, el mercurio se dilata y asciende por el capilar; cuando la temperatura desciende, el mercurio se contrae. En la actualidad se emplean diferentes escalas de temperatura; entre ellas está la escala Celsius. Anders Celsius (1701-1744), astrónomo sueco, fue el primero que propuso para el termómetro una escala de 100 grados que separan el punto de ebullición y el de congelación del agua. Esta escala —también conocida como escala centígrada—, se utiliza en todo el mundo.

Español: Hipo- e hiper- son prefijos que significan bajo y alto, respectivamente.

En condiciones normales, la temperatura corporal del ser humano es cercana a los 37 °C; el cuerpo mantiene cierta temperatura aun cuando el clima sea frío o caluroso. Si la temperatura del cuerpo bajara a 35 °C sufriría hipotermia; si alcanzara los 41 °C sufriría hipertermia. Marca en la recta numérica las temperaturas en las que el cuerpo podría sufrir hipotermia e hipertermia.

0

10

20

30

40

50

C

0

BLOQUE 4

205

Actividad 1.1 Contesta las siguientes preguntas. a) En este momento, ¿cómo es el clima en tu localidad? b) ¿Cuál es la temperatura máxima pronosticada para este día? c) ¿De qué otra manera se le llama a la escala centígrada? Seguramente en el laboratorio de tu escuela hay un termómetro de varilla. Consúltalo. d) ¿A qué temperatura nos encontramos en este momento? La escala más utilizada es la centígrada, en la que 100 °C representa el punto de ebullición del agua, y el 0 °C, el punto de congelación a cierta presión. Existen zonas del planeta donde la temperatura es más baja que los 0 °C.

Actividad 1.2 Lee la siguiente información con respecto a algunas temperaturas y ubica en el termómetro de la derecha el inciso que corresponda a cada temperatura. Compara con tus compañeros las respuestas. a) En el Sáhara el suelo llega a calentarse a 84 °C. b) Sobre los desiertos y océanos la temperatura alcanza los 40 °C. c) La temperatura promedio de la superficie terrestre es de 15 °C. d) Marte tiene una temperatura promedio de 60 °C bajo cero. e) En las zonas polares la temperatura desciende hasta 70 °C bajo cero. f) En 1983, la temperatura en el Antártico llegó a 89 °C bajo cero.

Actividad 1.3 Observa esta recta

24

23

22

21

0

1

En equipo, contesten las siguientes preguntas. a) ¿Con qué otro nombre se conoce a los números mayores que cero? b) ¿Qué signo se utiliza para hacer referencia a estos números? c) ¿Con qué otro nombre se conoce a los números menores que cero? d) ¿Qué signo se utiliza para hacer referencia a estos números?

2

3

4

MATEMÁTICAS 1

206 Actividad 1.4

En grupo, lean la siguiente información y ubiquen en la línea del tiempo los incisos de los años a los que se hace mención. a) Aproximadamente en el año 300 antes de nuestra era Euclides escribió la obra Elementos de geometría. b) Arquímedes hizo varias contribuciones a la física y a las matemáticas. Nació en el año 287 antes de nuestra era y murió en el año 212 antes de nuestra era. c) En el año 260 antes de nuestra era se desarrolló la numeración arábiga. d) Aproximadamente en el año 240 antes de nuestra era, Arquímedes calculó el valor de  y Eratóstenes midió la circunferencia de nuestro planeta. e) En 1489 se introdujeron los signos () y (), que ayudaron a simplificar el estudio y la enseñanza de las matemáticas. f) En 1585, Simón Stevin extendió el sistema de lugares decimales y ayudó a simplificar las matemáticas. g) En 1637, Descartes desarrolló la geometría analítica. h) En 1654, Pascal y Fermat formularon la teoría de la probabilidad. i) En 1672, Leibniz inventó una máquina para multiplicar, dividir y calcular raíces cuadradas. j) En 1795 se introdujo el sistema métrico decimal.

400

Años a.C.

200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Años d.C.

Actividad 1.5 A partir de los datos anteriores, contesta las siguientes preguntas. a) ¿Hace cuántos años escribió Euclides la obra Elementos de geometría ? b) ¿Cuántos años vivió Arquímedes? c) ¿Hace cuántos años se desarrolló la numeración arábiga? d) ¿Desde hace cuántos años se conoce el valor de π? e) ¿Cuántos años hace que se introdujeron los signos  y  ? f) En la recta numérica, los números positivos se ubican a la derecha de cero. ¿Hacia dónde se ubican los números negativos?

BLOQUE 4

207

Actividad 1.6 Ubica en la recta numérica los siguientes números con signo. 1 1 a) 22, 21.5, ,2 2 2 21 0 b) 21,

3 3 , ,2 4 2

c) 0, 1, 21, 2

d) 23, 2

0

22

8 4

2

1 4

0

1 1 , 22.5, 4 4

Observaste que en la recta numérica los números quedan ordenados de menor a mayor, de izquierda a derecha. Con esta observación, ¿qué número está a la derecha, el 13 o el 21? Actividad 1.7 Ordena de menor a mayor los siguientes números. a) 22, 2, 0, 3 b) 1, 2.5, 21, 0.6 c) 3, 0, 21, 22 d) 1.5, 20.5, 21.5, 22.2 Hay números que podemos ubicar a la misma distancia del cero, tanto a la derecha como a la izquierda; por hallarse a ambos lados del cero, a éstos los llamaremos números opuestos (o simétricos). opuestos

22

21

0

opuestos

¿Por qué el cero no tiene opuesto?

1

2

MATEMÁTICAS 1

208 Actividad 1.8

Escribe el número opuesto a cada uno de los siguientes números. a) (25):

c) (1.4):

b) (3):

d) (20.8):

1 : 2 1 f) 2 : 8

e)

g) (210): h)

8 : 9

i) (21.9): j) (7.99):

¿Cuál es el resultado de sumar dos números opuestos? ¿La suma de dos números opuestos da siempre el mismo resultado? A los números opuestos se les conoce como inverso aditivo. ¿Por qué crees que reciban ese nombre? Si no consideramos el signo del número, sólo estamos tratando con el valor absoluto, y su notación simbólica es, por ejemplo:  21  5 1,  2  5 2. Actividad 1.9 Completa el valor absoluto de los siguientes números. a)  25  5 5

b)  28  5 8

c)  23  5

d)  211  5

e)  7  5

f)  1  5

Actividad 1.10 En grupo, lean la siguiente información y contesten las preguntas. El agua y el jabón son excelentes para la higiene personal. Pero piensa que al dejar abierta la llave del agua mientras te lavas las manos se consumen en promedio 38 litros; si se utiliza un tapón en el lavabo, el agua consumida sería sólo de 4 litros. ¡Tú sabes que es necesario cuidar el agua! Si dejas la llave abierta y te lavas las manos tres veces al día: a) ¿Cuántos litros de agua consumirías diario al lavarte las manos? b) ¿Cuántos litros de agua consumirías a la semana? c) ¿Cuántos litros de agua consumirías al mes? Si consideramos que eres de los que utilizan un tapón en el lavabo al lavarse las manos: d) ¿Cuántos litros de agua requerirías al mes para poder lavarte las manos tres veces al día? e) Compara las cantidades que registraste en los incisos c) y d). ¿Cuántos litros de diferencia encontraste?

Actividad Complementaria

Para saber más acerca del uso del agua, puedes consultar la página www.agua.org.mx

¿Has observado cuál de las dos formas utilizas al lavarte las manos?

BLOQUE 4

209

Potencias y raíz cuadrada

Tema: Significado y uso de las operaciones APARTADO 2: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

Actividad Previa En equipo, comenten qué nombre tiene cada una de las partes que intervienen en las operaciones. Por ejemplo: una adición tiene sumandos y al resultado se le llama suma o total. ¿Qué partes tiene la sustracción? ¿Qué partes tiene la multiplicación? ¿Y la división? Si es posible, coloquen un ejemplo de cada operación y señalen las partes que las forman. Actividad 2.1 Calcula el producto de las siguientes multiplicaciones. a) 2 3 2 5 4 3 3 9

d) 11 3 11 5

g) 2 3 2 3 2 5 3 3 3

b) 5 3 5 3 5 5

e) 0.5 3 0.5 5

h) 1 3 1 3 1 3 1 3 1 5

1 1 c) 3 5 4 4

f) 20 3 20 3 20 5

i) 2.2 3 2.2 3 2.2 5 Potenciación

Una forma de abreviar la escritura de varios factores iguales es utilizando exponentes.

Potenciación: a n 5 a 3 a 3 a 5 b Base

n factores

Exponente Potencia

Base: Número que se va a multiplicar (a). Exponente: Indica el número de factores iguales a la base (n). Potencia: Producto obtenido de los factores iguales (b).

Actividad 2.2 Expresa con exponentes las siguientes multiplicaciones. 1 1 1 a) 3 3 5 2 2 2 b) 3.8 3 3.8 5 c) 7 3 7 3 7 5

1 2

3

2 2 2 2 d) 3 3 3 5 5 5 5 5 e) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 7 7 7 7 7 f) 5.8 3 5.8 3 5.8 5

g) 6 3 6 3 6 3 6 3 6 5 h) 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 5 9 9 9 9 9 9 i) 9.9 3 9.9 5

El uso de expresiones al cuadrado ya te resulta familiar. ¿Recuerdas la fórmula para calcular el área del cuadrado? A = (lado)2 = 2

MATEMÁTICAS 1

210 Actividad 2.3

Calcula el área de los siguientes cuadrados. lado 5 2.5 cm lado 5 2 cm lado 5 1.5 cm lado 5 1 cm

a) A 5

b) A 5

c) A 5

d) A 5

Actividad 2.4 Completa, colocando los factores y el producto, cada una de las siguientes expresiones. a) 252 5 25 3 25 5 625

g) 1.22 5

b) 132 5

h)

c) 3 5

2

5

d) 0.82 5 e) 5 8

2

5

f) 302 5

4 9

3

5

64 4 4 4 3 3 5 729 9 9 9

i) 03 5 j) 1 5

3

5

k) 0.23 5 l) 14 5

Si se eleva el 1 a cualquier potencia, el producto siempre es 1. ¿Qué otro número tiene esta característica? Actividad 2.5 Encuentra la base que corresponde a cada una de las siguientes potencias. (10)2 5 100 la base es 10 porque 10 3 10 5 100, entonces: (10)2 5 100 1 a) ( )2 5 25 c) ( )2 5 81 e) ( )2 5 81 1 b) ( )2 5 9 d) ( )2 5 64 f) ( )2 5 100

g) (

)3 5 1

h) (

)3 5 1 000

Toda operación aritmética tiene su correspondiente operación inversa. La adición tiene como operación inversa a la sustracción; la multiplicación, a la división; y la potenciación, a la radicación.

BLOQUE 4

211

La operación mental que efectuaste en la actividad anterior se conoce como radicación. Cada potencia tiene su raíz. Las potencias al cuadrado tienen como operación inversa la raíz cuadrada; las potencias al cubo, la raíz cúbica, y así sucesivamente. Lo anterior nos da la pauta para recordar que cualquier número puede elevarse a una potencia; ejemplo: 32 5 3 3 3 5 9 ;

1 3

4

5 13 1 31 3 1 5 1 ; 3 3 3 3 81

(0.5)3 5 0.5 3 0.5 3 0.5 5 0.625

De manera inversa: 953;

4

1 1 5 ; 81 3

3

0.625 5 0.5

De estas raíces, la más usual es la raíz cuadrada, que puede simbolizarse n o 2 n

Radicación n

Índice

b5a Radical

Raíz Subradical

Radical: Caja, símbolo de la raíz. Índice: Número que indica de qué raíz se trata(n). Subradical: Número al que se extraerá la raíz (b). Raíz: Solución (a) tal que a n 5 b.

Actividad 2.6 Completa las raíces cuadradas de los siguientes números y compruébalas. a) 121 5 11, porque 11 3 11 = 121

f) 81 5

b) 49 5

g) 144 5

c) 100 5

h) 0.25 5

d) 1 5 4

i) 0.64 5

e) 4 5 9

j) 169 5

MATEMÁTICAS 1

212

Alguien consideró que si todos los números naturales tenían un cuadrado, las series: n: 1, 2, 3, 4... n: 1, 4, 9, 16... tienen igual número de elementos. ¿Por qué? Si cada cuadrado tiene raíz cuadrada, entonces todos los números tienen raíz cuadrada. ¿Qué opinas? Actividad Extra Auxíliate de una computadora para formar una tabla de cuadrados y sus correspondientes raíces con los primeros 20 números naturales. nn

1 1

7

nn2 2

72 5 49, entonces 49 5 7

Si n2 5 6, de acuerdo con tu tabla, ¿cuál es el valor de n? ¿Qué harías para resolver situaciones de este tipo?

Actividad 2.7 A partir del área de cada cuadrado, calcula la medida de sus lados. a) lado 5



c) lado 5

Área 5 25 cm2 Área 5 400 mm2

b) lado 5



d) lado 5

Área 5 12.25 u2 Área 5 1 cm2

7

BLOQUE 4

Tema: Significado y uso de las literales APARTADO 3: RELACIÓN FUNCIONAL I

213 Relaciones de proporcionalidad: y = kx

Conocimientos y habilidades Analizar, en situaciones problemáticas, la presencia de cantidades relacionadas y representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica. En particular, la expresión de la relación de proporcionalidad y = kx , asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

Actividad Previa Lee la siguiente información y contesta las preguntas: El combustible que necesitan los motores para poder trabajar es la gasolina, pero como ésta es un derivado del petróleo y las reservas se van agotando, se están buscando otras formas de hacer que los automóviles consuman menos gasolina.

De acuerdo con las tendencias en la tecnología, muy pronto veremos desarrollos de la industria automotriz que disminuirán, además del consumo de gasolina, la emisión de contaminantes por combustión. En equipo, investiguen la información que se pide acerca de un modelo del vehículo automotor que sea más común en tu localidad. a) ¿Cuál es el rendimiento (kilómetros por litro de gasolina) de ese automóvil? b) ¿De cuántos litros de gasolina es la capacidad de su tanque? c) Suponiendo que el rendimiento óptimo de ese automóvil fuera el que respondiste en el segundo inciso, ¿cuántos kilómetros alcanzaría a recorrer si tuviera el tanque lleno? d) Consideras que conocer este tipo de información pueda influir en la decisión de compra de un vehículo? ¿Por qué?

MATEMÁTICAS 1

214 Actividad 3.1

Resuelve el siguiente problema y compara tus resultados con los de tus compañeros. Para hacer su presupuesto semanal de gastos de transporte, al papá de mi amigo se le ocurrió registrar cuántos kilómetros recorría diariamente y cuántos litros de gasolina consumía su coche. Encontró que de lunes a viernes recorre una distancia de 30 kilómetros para llegar al trabajo. Los sábados no utiliza el coche y los domingos sale de paseo con la familia: generalmente van a un lugar situado a 60 kilómetros de su casa. a) ¿Cuántos kilómetros recorre el coche de lunes a viernes? b) ¿Cuántos kilómetros recorre el coche en una semana? Carga gasolina dos veces a la semana: en la primera carga pide 20 litros; en la segunda, 15 litros. c) ¿Cuál es el rendimiento de su automóvil? d) ¿Cuánta gasolina consume para ir y regresar de su trabajo semanalmente? Actividad 3.2 La siguiente tabla corresponde al rendimiento de cierto automóvil. Obsérvala, complétala y contesta las preguntas. Kilómetros recorridos

Litros de gasolina

80

5

a) ¿Cuántos litros de gasolina consume al recorrer 112 kilómetros? b) ¿Cuántos litros de gasolina consume al recorrer 144 kilómetros? c) ¿Cuántos kilómetros puede recorrer si tiene 16 litros de gasolina? d) ¿Cuántos kilómetros puede recorrer si tiene 4 litros de gasolina?

112

7

144

9

e) ¿Cuántos kilómetros recorre por litro de gasolina? f) Escribe una expresión numérica que generalice el rendimiento (kilómetros por litro, o bien, km/ ) de este automóvil g) Para recorrer 328 kilómetros, ¿cuántos litros de gasolina se necesitan?

160

256

16

h) Para ir a un lugar que se encuentra a 500 kilómetros de distancia y la capacidad del tanque de gasolina es de 40 litros, ¿alcanzará con un tanque lleno?

Actividad 3.3 Resuelve lo siguiente. Junto con mi hermana abrí una cuenta de ahorro con $500 en el banco. Si nos comprometemos a depositar $100 cada mes, sin contar con los intereses bancarios: a) ¿Cuánto dinero tendremos ahorrado al año? b) ¿Cuánto dinero tendremos a los dos años?

BLOQUE 4

215

c) ¿Cuánto habremos ahorrado a los cinco años? d) ¿En cuánto tiempo cuadruplicaremos la cantidad depositada inicialmente? e) Completa la siguiente tabla: Meses de ahorro

1

2

Capital ahorrado

600

700

3

4

5

6

12

f) Sin considerar aún los intereses bancarios, escribe la expresión que corresponda al ahorro mostrado en la tabla: Actividad 3.4 Lean en equipo la siguiente información y resuelvan. En la casa de mis primos, el recibo telefónico de este mes indicaba que se tenían que pagar $215 más impuestos. Se sabe que la renta del teléfono es de $165 y cubre 100 llamadas; cada llamada extra se cobra a $1.25 Completa la siguiente tabla y traza la gráfica de barras correspondiente. Considera como variables al número de llamadas y la cantidad a pagar. Renta del teléfono

Llamadas adicionales

Cantidad a pagar

165

1 3 1.25

$166.25

165

5 3 1.25

$171.25

165

10

165

20

165

30 40

a) Si representamos con y la cantidad a pagar, y con x las llamadas adicionales, encuentra la expresión que generaliza el cargo telefónico.

y5

x1

b) Si el presupuesto para este mes consideraba sólo $200 para el servicio telefónico, ¿hasta cuántas llamadas adicionales se podrían haber hecho? Actividad 3.5 Lee la siguiente información y resuelve. Para cepillarse los dientes, además del cepillo y la pasta dental, basta un ligero enjuague, medio vaso de agua y un enjuague final, pero mucha gente deja abierta la llave del agua hasta por tres minutos. Elabora la tabla y la gráfica que muestren el desperdicio de agua cada minuto, si se sabe que por la llave del agua salen cuatro litros por minuto.

MATEMÁTICAS 1

216

Litros Salida de agua ( x ) minutos

( y ) litros

Minutos a) Escribe la expresión algebraica que represente este problema: b) En estas condiciones, si el aseo se hace tres veces al día, ¿cuánta agua desperdicia una persona diariamente? c) ¿Cuánta agua desperdicia en un mes? d) ¿Cuánta agua desperdicia al mes una familia de cinco integrantes?

Actividad 3.6 Actividad Complementaria

Si pueden trabajar en la computadora, realicen la actividad titulada “Variación lineal (1)” que se localiza en las páginas 53 a 55 del libro Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo, EMAT, SEP, 2000, México. También, de ser posible, resuelve en una hoja electrónica de cálculo la actividad 3.6.

Lee y contesta lo que se pide. La llave del tanque del agua de mi casa deja pasar 8 litros por minuto. Cuando está vacío, tarda 2 horas y 5 minutos en llenarse. a) ¿Qué capacidad tiene el tanque de agua? b) Si apenas se va a abrir la llave del agua y el tanque tiene 200 litros, ¿cuánto tardará en llenarse? c) Representa con x el número de minutos, con y los litros, y escribe la expresión algebraica que representa (modela) esta situación. d) Si el tanque tuviera una capacidad para 1 500 litros y estuviera a la cuarta parte de su capacidad, ¿se llenaría en dos horas? Actividad Extra

Para llenar un tanque de agua se utilizan varias llaves. Se sabe que de esta manera la cantidad de agua contenida en el tanque se duplica cada minuto. Si se llena en 20 minutos, estando vacío, ¿en cuánto tiempo se encuentra a la cuarta parte?

BLOQUE 4

217

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Tema: Formas geométricas

Círculo

APARTADO 4: FIGURAS PLANAS III Conocimientos y habilidades Construir círculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas.

Actividad Previa En la actualidad nos parece común encontrar, por todas partes, figuras en forma de círculo: por ejemplo, las bases de las tazas, los platos, las monedas, etcétera. En equipo, encuentren cinco objetos más que tengan forma de círculo y comenten qué elementos conocen del círculo (por ejemplo, el radio) y qué instrumentos utilizan para poder trazar círculos. Comenta con tus compañeros las respuestas a las siguientes preguntas: ¿Cómo se traza una circunferencia? ¿Qué se requiere para que dos circunferencias sean congruentes? ¿Qué diferencia hay entre círculo y circunferencia? ¿Puede existir aislada la circunferencia del círculo? ¿Qué líneas notables de la circunferencia conoces? ¿Qué segmentos notables? ¿Por qué punto debe pasar la cuerda mayor de un círculo? ¿Cuánto mide? ¿Con qué instrumento se traza? ¿Con qué instrumento se mide un arco? Actividad 4.1 Observa el punto P que se encuentra en el siguiente espacio. Marca un punto C como el centro de una circunferencia que pase por el punto P y trázala.

P Se sabe que...

Contesta las siguientes preguntas: a) Tomando como referencia el centro C de esa circunferencia, ¿podrías trazar otra circunferencia, distinta, que pase por P ? Si consideras que se puede, trázala. Si consideras que no se puede, explica por qué no.

La rueda es uno de los objetos importantes en los vehículos y sistemas de transporte terrestre. Las ruedas más antiguas que se conocen datan de la antigua Mesopotamia, entre los años 3 500 y 3 000 a.C. En su forma más simple, la rueda era un disco sólido de madera; con el paso del tiempo eliminaron algunas secciones para reducir su peso y los radios (o rayos) empezaron a emplearse para la rueda, aproximadamente en el año 2 000 a.C.

MATEMÁTICAS 1

218

b) Traza un segmento de C a P. ¿Cómo se llama el segmento que va de C a P ? c) ¿Cuánto mide el segmento CP ? d) Toma otra medida de C a cualquier punto de la circunferencia. ¿Mide lo mismo que el segmento CP ? ¿Por qué? Actividad 4.2 Se sabe que... Desde que Anaxágoras se planteara obtener, sólo con regla y compás (500 a.C.), un cuadrado que tuviera igual área que un círculo dado, grandes genios han tratado de dar respuesta a este irresoluble problema.

Q

Observa la siguiente figura y responde las preguntas. a) ¿Cómo se llama la región limitada por la circunferencia?

O R

b) Traza el segmento OP. ¿Cuánto mide? c) Traza el segmento OQ. ¿Cuánto mide? d) ¿Cuál será la medida de OR ?

Traza el segmento.

e) ¿Qué nombre reciben este tipo de segmentos?

Completa la información del recuadro: El radio es el segmento que une el centro del círculo con La circunferencia es la línea que delimita al

Actividad 4.3 Traza con tu compás las circunferencias que se piden, dados los siguientes radios.

P

a) r 5 2.5 cm

b) r 5 2 cm

c) r 5 3 cm

BLOQUE 4

219

Actividad Extra Utilizando sólo círculos, elabora un diseño original.

Actividad 4.4 A partir de los puntos fijos A y B, traza con tu compás un círculo que pase por dichos puntos.

A

B a) Marca con M el centro del círculo y compara el círculo que trazaste con el que trazaron tus compañeros. ¿Resultaron iguales? b) Traza el segmento AB. ¿Qué nombre recibe este tipo de segmento? O sea que la cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. c) En ese mismo espacio de trabajo, traza otro círculo con centro diferente a M y que pase por A y B. Marca este nuevo centro como D y traza una recta que pase por M y D. d) Observa: ¡Resultaron perpendiculares las rectas AB y MD ! ¿Verdad? e) Toma otro punto de la recta MD y traza desde allí un círculo que pase por A y B. f) ¿Cuántos círculos diferentes que pasen por A y B se podrán trazar? ¿Por qué? g) ¿El tamaño de la cuerda AB cambió? h) ¿Pasa la recta MD por el punto medio del segmento? i) ¿Por qué punto del círculo de centro M pasará la cuerda de mayor tamaño? j) ¿Cómo se le llama a la cuerda que pasa por el centro del círculo? k) En relación con el radio, ¿cuánto mide el diámetro? l) ¿Trazaste algún círculo en el que AB sea su diámetro?

, ¿Cuál es su centro?

Recuerda que si una recta es perpendicular a un segmento y pasa por el punto medio de éste, dicha recta se conoce como mediatriz.

MATEMÁTICAS 1

220 Actividad 4.5

Traza la circunferencia que inscriba a cada figura. a) Un cuadrado

b) Un octágono regular

Actividad 4.6 Considera el segmento DE como cuerda del círculo con centro C, y la recta MN como la mediatriz de DE . Localiza sobre la recta MN el centro F de un círculo de 5 cm de radio que pasa por los puntos D y E.

D

C M

N

E

Actividad 4.7 Actividad Complementaria

Si es posible trabajar en las computadoras, desarrollen la práctica 51, “Cuerdas”, de las páginas 134 y 135 del libro Geometría dinámica. EMAT. SEP, 2000, México.

En equipo, comenten cómo se puede resolver el siguiente problema. Se requiere colocar un poste que ilumine con la misma intensidad tres cabañas (A, B y C) que se encuentran separadas, tal como se muestra en los siguientes puntos. Localicen el sitio exacto donde debe ser instalado el poste.

A

B

C

BLOQUE 4

221 Pi: razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro

Tema: Medida APARTADO 5: JUSTIFICACIÓN DE FÓRMULAS II

Conocimientos y habilidades Determinar el número Pi como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

Actividad Previa En equipo, observen las ruedas de cada bicicleta y determinen en cuál de ellas las ruedas alcanzan la mayor longitud de desplazamiento al dar una vuelta con respecto a su centro.

En la ( A )

( B )

( C )

¿Esta diferencia de desplazamiento tiene que ver con el radio de su circunferencia? ¿Por qué? ¿Cómo se calcula la longitud o perímetro de la circunferencia? Actividad 5.1 Lee y resuelve la siguiente situación. En el laboratorio se observó que al hacer rodar una vuelta tres envases cilíndricos de 8, 6 y 7 cm de diámetro, sus desplazamientos fueron de 25.1, 18.8 y 22 cm, respectivamente. ¿Qué relación tiene la medida de la circunferencia con su diámetro? Completa la tabla. Diámetro del cilindro

Longitud de la circunferencia

Relación: Circunferencia Diámetro

6 cm

18.84 cm

3.14

7 cm

22

8 cm

25.1

¿Cómo resultaron los cocientes? En todos los casos, este valor se aproxima a 3.14 y se representa con la letra griega π (Pi).

¿Qué harías para determinar cuánto mide una circunferencia conociendo sólo el valor del diámetro? Y si sólo conocieras el valor del radio, ¿cómo obtendrías la longitud de la circunferencia?

MATEMÁTICAS 1

222 Actividad 5.2 Efectúa el siguiente experimento. a) Mide el diámetro de la circunferencia. Diámetro 5

b) Coloca, lo más preciso posible, un hilo sobre la circunferencia. c) Retira el estambre o hilo y mídelo. Longitud del estambre o hilo 5 d) ¿La relación circunferencia sigue siendo 3.14? diámetro

Longitud del estambre (o hilo) 5 Diámetro de la circunferencia

5

Actividad 5.3 Calcula la longitud de las circunferencias cuyos diámetros o radios se dan a continuación. a) Diámetro 5 4 cm Longitud de la circunferencia 5 b) Radio 5 5 cm Longitud de la circunferencia 5 c) Radio 5 2.5 cm Longitud de la circunferencia 5 d) Diámetro 5 3 cm Longitud de la circunferencia 5 Actividad 5.4 Calcula la medida del diámetro que corresponde a las siguientes circunferencias. a) Circunferencia 5 25.128 m Diámetro 5 b) Circunferencia 5 37.692 cm Diámetro 5 c) Circunferencia 5 34.551 mm Diámetro 5 d) Circunferencia 5 47.115 dm Diámetro 5 Actividad 5.5 Resuelve los siguientes problemas. a) ¿Cuál es la longitud del listón que se utilizaría para adornar la orilla de un reloj de 10 cm de radio? b) ¿Cuánto mide la circunferencia circunscrita a un cuadrado cuyas diagonales miden 6 cm?

BLOQUE 4

223

Actividad 5.6 Descubre si la longitud de una circunferencia aumenta en la misma proporción que su diámetro. a) Completa la tabla, considera en primer lugar una circunferencia de 2 cm de diámetro. Diámetro

Circunferencia

2 cm

6.28 cm

x2 x5

4 cm

¿Resultó ser el doble?

6 cm

¿Resultó ser el triple?

8 cm

¿Resultó ser el cuádruplo?

10 cm

¿Resultó ser el quíntuplo?

¿Disminuirá la circunferencia en la misma proporción si se reduce el diámetro a la mitad, a la tercera o a la cuarta parte? Actividad 5.7 Considera en primer lugar una circunferencia con diámetro de 6 cm y calcula la longitud de las circunferencias al disminuir el diámetro. Completa la tabla. Circunferencia

Diámetro

18.84 cm

6 cm 3 cm

Mitad de 6

2 cm

Tercera parte de 6

1.5 cm

Cuarta parte de 6

1.2 cm

Quinta parte de 6

1 cm

Sexta parte de 6

¿Crece o decrece la circunferencia en la misma proporción que su diámetro? Escribe tu conclusión.

Actividad Extra Supongamos que hemos rodeado la Tier rra por el Ecuador con una cinta. El radio de la Tierra mide 6 548 km. ¿Cuánto debe medir la cinta? Si ahora queremos levantar la cinta a un metro a lo largo de todo el recorrido, ¿cuánta cinta deberíamos añadir para completar la circunferencia? ¿Y si hiciésemos lo mismo con un balón de futbol?

1m r

MATEMÁTICAS 1

224

APARTADO 6: ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR II

Perímetro y área del círculo

Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.

Actividad Previa En equipo, comenten la nota histórica del apartado 4, que decía que las ruedas originalmente estaban formadas de material sólido y con el tiempo le fueron quitando material para reducir su masa. Ya saben calcular el perímetro de un círculo, pero ¿cómo se calcula su área?

Recordemos cómo se calcula la longitud de una circunferencia. Actividad 6.1 Calcula la longitud de las circunferencias con las siguientes medidas. Compara tus resultados con los de tus compañeros. a) Diámetro 5 12 cm

c) Radio 5 30 mm

Circunferencia 5 Circunferencia 5 b) Radio 5 10 cm

d) Diámetro 5 20 u

Circunferencia 5 Circunferencia 5

Actividad 6.2 Observa con cuidado la figura. Identificarás una circunferencia en la que se han inscrito estos polígonos regulares:

0 Se ha trazado la apotema de cada uno de ellos. ¿Qué sucede con la longitud de la apotema al aumentar el número de lados?

BLOQUE 4

225

Identifica el radio trazado. ¿De cuál polígono es la apotema cuya longitud se aproxima más a la longitud del radio? Cada punto de la circunferencia puede ser el lado de un polígono regular. ¿Qué pasaría en este caso con las medidas de la apotema y el radio? Ahora analizaremos la situación separando los polígonos. Actividad 6.3 Calcula el área de los siguientes polígonos regulares inscritos en un círculo, dadas las medidas de la apotema y de los lados. a)

c)

Apotema 5 1 cm Lado5 2 cm Área 5

b)

Apotema 5 1.1 cm Lado5 1.6 cm Área 5

d)

Apotema 5 1.2 cm Lado5 1.4 cm Área 5

Apotema 5 1.3 cm Lado5 1.1 cm Área 5

Actividad 6.4 En equipo, reflexionen y respondan a las siguientes preguntas. a) Conforme aumenta el número de lados de un polígono regular inscrito en una circunferencia, ¿qué sucede con la medida del radio y la apotema? b) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de cada uno de los triángulos que se forman?

Observa que si en la fórmula para obtener su área cambiamos la base del triángulo por el perímetro del círculo, resultaría lo siguiente: base 3 altura 5 (2πr) 3 altura de donde sólo nos quedaría (π r ) “por” altura 2 2

Y al encontrar que la altura equivale al radio, resulta: (π r ) r O mejor aún, el área del círculo se calcula por medio de la expresión: A = π r 2.

MATEMÁTICAS 1

226 Actividad 6.5

Calcula el área de los círculos cuyos datos se dan a continuación. Utiliza los espacios para efectuar las operaciones necesarias. a) Radio 5 3 cm

f) Diámetro 5 10 cm

Área del círculo 5 Área del círculo 5

b) Diámetro 5 5 cm

g) Diámetro 5 18 cm

Área del círculo 5 Área del círculo 5

c) Radio 5 6 cm

h) Radio 5 8 cm

Área del círculo 5 Área del círculo 5

d) Diámetro 5 8 cm

i) Diámetro 5 20 cm

Área del círculo 5 Área del círculo 5

e) Radio 5 10 cm

j) Diámetro 5 22 cm

Área del círculo 5 Área del círculo 5

BLOQUE 4

227

Observa la figura. El diámetro de las circunferencias se va reduciendo a la mitad. ¿Cuántos círculos de los más pequeños se necesitan para cubrir el área del círculo mayor?

Actividad 6.6 A partir de los datos que se ofrecen, calcula el área sombreada de las siguientes figuras (la escala de las figuras es 1:2). a) Lado del cuadrado: 6 cm

c) Base: 5 cm

Diámetro del círculo: 3 cm Altura: 6 cm Diámetro: 2 cm

Área = Área = b) Cuadrados: lado = 1 cm

d) Área =

Triángulo: base = 2 cm

altura = 1 cm

Actividad Complementaria

Rectángulo: base = 2.5 cm

altura = 0.6 cm

4 cm

Círculo: radio = 3 cm 4 cm

Área = Actividad Extra Resuelve la siguiente situación. La figura nos muestra un eclipse parcial de Sol, tal como se observa en un telescopio. Si la diferencia entre los diámetros es de 10 cm y el radio de la imagen de la Luna es de 4 cm, ¿qué área de la imagen del Sol no se cubrió?

Si resulta posible trabajar en las computadoras, resuelvan la actividad “Relación entre la longitud de una circunferencia y el área del círculo”, que está en las páginas 68 a 70 del libro Geometría dinámica. EMAT. SEP, 2000, México.

MATEMÁTICAS 1

228

MANEJO DE LA INFORMACIÓN Tema: representación de la información APARTADO 7: GRÁFICAS II

Gráfica de una relación de proporcionalidad

Conocimientos y habilidades Explicar las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

Actividad Previa Al aplicar la proporcionalidad directa aprendiste que las razones que forman la proporción son iguales. ¿Recuerdas que si aumentas o disminuyes el diámetro de una circunferencia el perímetro también aumenta o disminuye en la misma proporción? Observa la siguiente gráfica y contesta las preguntas. Relación de diámetro-perímetro de un círculo Perímetro (cm)

80 70 60 50 40 30 20 10 0

3

6

9 12 15 18 24 27 Diámetro (cm)

a) Aproximadamente, ¿cuánto mide el perímetro de un círculo de 9 cm de diámetro? b) Si el diámetro crece de 3 a 6 cm, ¿aproximadamente cuánto crece el perímetro? c) Si el diámetro crece de 6 a 12 cm (el doble de lo que creció en el inciso anterior), ¿aproximadamente cuánto crece el perímetro? d) Si el perímetro de un círculo mide aproximadamente 10 cm, ¿cuánto mide su diámetro? Compara tus resultados con los de tus compañeros y hagan comentarios acerca de la gráfica; por ejemplo: ¿en todas las proporciones se obtendrá una gráfica de este tipo?

BLOQUE 4

229

Actividad 7.1 Una jarra de agua de un litro alcanza para cuatro vasos. Considerando esta información, completa la tabla y traza la gráfica. Vasos 20 Jarras

Vasos

1

4

2

8

15

10

3 4 5

5

Contesta:

0 1 2 a) ¿Cuántas jarras se necesitan preparar para servir 10 vasos de agua?

3

4

Jarras

b) ¿Cuántas jarras se necesitan preparar para servir 16 vasos de agua? c) ¿Qué expresión algebraica generaliza esta situación? Actividad 7.2 Una compañía automotriz está probando un nuevo modelo de coche compacto, del cual se dice que tiene un rendimiento de 25 km por litro de gasolina. Completa la tabla, traza la gráfica y responde las preguntas. km

Litros 0

250 200 150

1

25

2

50

3

100

4

50

5

0

km

litros

2

4

6

8

10

6 7

a) ¿Qué expresión algebraica generaliza esta situación?

8

b) ¿Cuántos litros de gasolina consumirá para alcanzar 10 km?

9

c) ¿Cuántos km habrá recorrido con 8.5 litros de gasolina?

10

MATEMÁTICAS 1

230 Actividad 7.3

En condiciones normales si una persona respira aproximadamente 900 veces en una hora, encuentra la expresión algebraica que generaliza esta situación, completa la tabla, traza la gráfica y contesta las preguntas. Respiraciones

9 000

Horas

Respiraciones

1

900

2

7 200

3 4

5 400

5 6

3 600

7 8

1 800

0

1

2

3

4

5

6

7

a) Expresión algebraica que generaliza esta situación: b) ¿Cuántas veces respira en 3 horas? c) ¿Cuántas veces respira en 1.5 horas? d) ¿Cuántas veces respira en 7 horas? e) ¿En cuánto tiempo hará 9 000 respiraciones? f) ¿Cuántas respiraciones hará en 1 minuto?

8

Horas

BLOQUE 4

231

Actividad 7.4 Resuelvan la siguiente actividad en equipo. Argumenten sus resultados. Las siguientes gráficas representan la velocidad a la que compitieron dos ciclistas. Analícenlas y respondan las preguntas. Ciclista 1

km

25 20 15 10 5 0

20

40

60

80

60

80

minutos

Ciclista 2 km

25 20 15 10 5 0

20

40

minutos

a) ¿Quién corrió a mayor velocidad? b) ¿A qué velocidad corrió el ciclista 1? c) ¿A qué velocidad corrió el ciclista 2? d) ¿Cuánto tiempo le llevó al ciclista 1 recorrer 12.5 km? e) ¿Cuánto tiempo le llevó al ciclista 2 recorrer 15 km? f) Si la salida se dió a las 11:45 horas, ¿qué distancia hay entre los dos ciclistas después de 45 minutos de haber iniciado?

APLICACIÓN DE APRENDIZAJES

232

Generalización

Uno de los aspectos importantes para el estudio de las matemáticas es aprender a reconocer los patrones numéricos, a identificar y expresar la regla mediante la cual se forman y a comunicar su generalización. En la vida diaria, el desarrollo de esta habilidad nos permite encontrar regularidades y nos enseña a “leer” lo que está sucediendo o a interpretar acontecimientos o datos. 1. Para iniciar, completa las siguientes secuencias. a) 1, 2, 3, 4, 5, 6,

,

,

,

b) 1, 3, 5, 7, 9, 11,

,

,

,

c) 2, 5, 8, 11, 14, 17,

,

d) 3, 7, 11, 15, 19, 23,

, ,

, ,

,

2. Completa las siguientes secuencias. a) 12, 22, 32, 42,

,

,

,

b) 10, 21, 32, 43,

,

,

,

c) 10, 200, 3000,

,

d) 1, 12, 123, e)

,

,

, ,

, , 8, 16, 32,

, , ,

3. En cada uno de los siguientes incisos, encuentra la expresión (regla) que generaliza la secuencia, observa los ejemplos. a) 1, 2, 3, 4, 5, 6,… Regla: n, dado que indica el valor, se muestra en el lugar correspondiente, esto es: en el lugar 3 se encuentra el valor 3; en el lugar 5 se encuentra el valor 5, y así sucesivamente. b) 2, 4, 6, 8, 10, 12,… Regla: 2n, dado que en el lugar número 1 tenemos 2(1) 5 2; en el lugar 3 tenemos 2(3) 5 6; en el lugar 5 tenemos 2(5) 5 10, y así sucesivamente. c) 3, 6, 9, 12, 15, 18… Regla: d) 4, 8, 12, 16, 20, 24… Regla: e) 5, 10, 15, 20, 25, 30… Regla: f) 3, 4, 5, 6, 7, 8… Regla: g) 3, 5, 7, 9, 11, 13… Regla: h) 1, 3, 5, 7, 9, 11… Regla: i) 7, 9, 11, 13, 15, 17… Regla: j) 1, 4, 7, 10, 13, 16… Regla:

233

4. Obtén ahora la generalización de cada una de las siguientes tablas. Puedes considerar que en la primera columna te están informando qué lugar ocupa cada número de la sucesión. Si lo consideras útil, guíate por el ejemplo. a) L n



n

5

1

4

2

7

2

6

3

9

3

8

4

11

4

10

5

13

5

12

6

15

6

14

L

n

n = 2 L + 3

e)

1

4

1

4

2

5

2

7

3

6

3

10

4

7

4

13

5

8

5

16

6

9

6

19

L

n

n =

L n c)



L

1

L n b)



d)

f)

1

2

2

7

2

5

4

11

3

8

6

15

4

11

8

19

5

14

10

23

6

17

12

27

n =

n=

n=

n=

5. Practiquemos la actividad con todo el grupo: organizados en parejas, escriban en su cuaderno una expresión algebraica como las anteriores y elaboren la tabla correspondiente; presenten la tabla al grupo para que encuentren dicha expresión.

234

EXPLORACIÓN DE RECURSOS TECNOLÓGICOS El cálculo de potencias es inverso al cálculo de raíces, así, elevar al cuadrado es lo inverso de extraer raíz cuadrada. Calcula los siguientes cuadrados: a) 225

d) 725

g) 102=

b) 325

e) 825

h) 1002=

c) 425

f) 2.525

i) 10002=

Calcula las siguientes raíces: a) 255

d) 4415

g) 2.255

b) 365

e) 4005

h) 1.25

c) 15

f) 9005

i) 2565

Calcular potencias de mayor orden (elevar al cubo, a la cuarta potencia,…) o sus correspondientes operaciones inversas (raíz cúbica, raíz cuarta,…) requieren de un poco más de tiempo. La hoja electrónica de cálculo nos puede ayudar a simplificar esta tarea. a) Elabora una tabla que presente el cuadrado, el cubo, la cuarta y la quinta potencia de los números naturales del 1 al 10. Por ejemplo, que se muestre de la siguiente forma: A

B

1

C P

2

n

3

1

4

2

5

3

6

4

7

5

8

6

9

7

10

8

11

9

12

10

n cuadrada

O T

E

n al cubo

N

C

I

D

E

n a la cuarta

n a la quinta

A

S

235

La forma más larga para calcular las potencias de los números contenidos en la columna A es colocar la fórmula desarrollada, es decir: A5*A5 para calcular el cuadrado del número escrito en la celda B5; A6*A6*A6 para calcular el cubo del número escrito en la celda C6; A13*A13*A13*A13 para calcular la cuarta potencia del número escrito en la celda D13 y así sucesivamente. Busca una expresión más sencilla para que la computadora efectúe el cálculo de potencias y comprueba su validez. b) Prepara una hoja de cálculo que te ayude a encontrar de manera rápida la potencia de un número y guárdala en tus utilerías. Una posible presentación puede ser: A 1

B

C C Á lculo

2

El número

3

1

En esta celda se registra la cantidad base o factor

D de

E

F

P O T E N C I A S

elevado a la potencia

En esta celda se registra el exponente al cual se elevará la base

es

Esta celda deberá contener la expresión que indica cómo se efectúa el cálculo correspondiente

Verifica la validez de tu utilería, comprobando si obtienes los resultados mostrados en los siguientes ejemplos: a) El número 2 elevado a la potencia 4 es 16 b) El número 3 elevado a la potencia 5 es 243 ¿La utilería que recién hiciste servirá también para el cálculo de raíces? Prueba con los siguientes ejemplos: a) El número 16 elevado a la potencia 0.5 es 4 b) El número 25 elevado a la potencia 0.5 es 5 c) El número 30.25 elevado a la potencia 0.5 es 5.5 ¿La utilería servirá también para calcular raíces cuartas, quintas, etcétera? Expón al grupo tu resultado y los procedimientos que seguiste.

MATEMÁTICAS 1

236

¿CUÁnto APRENDÍ? Resuelve las siguientes situaciones. 1. A mi papá le gusta que los seis focos que tenemos en la casa sean de 100 watts. Cuando están todos encendidos, el consumo es de 600 Wh. Completa la siguiente tabla, traza la gráfica y contesta las preguntas. Watts hora

500

Consumo de energía eléctrica por cada foco Horas

400

Watts

0 300

1

100

2

200

3 100

4 5

0

1

2

3

4

5

Horas

a) ¿Qué expresión algebraica generaliza esta situación? 1

b) ¿Cuánta energía eléctrica consume un foco en 4 3 horas de encendido? c) Los seis focos encendidos, ¿cuánta energía consumen en 5 horas? 2. En el siguiente espacio, traza un círculo de 2 cm de radio y calcula las siguientes medidas: a) Diámetro: b) Perímetro: c) Área:

3. Calcula el área de un cuadrado que mide 1.5 m por lado. 4. Calcula la medida de los lados de un cuadrado que tiene 144 cm2 de área.

237

BLOQUE 5 Como resultado del estudio de este bloque temático, se espera que los alumnos: 1. Resuelvan problemas aditivos que impliquen el uso de números con signo. 2. Expliquen las razones por las cuales dos situaciones de azar son equiprobables o no equiprobables. 3. Resuelvan problemas que impliquen una relación inversamente proporcional entre dos conjuntos de cantidades. 4. Resuelvan problemas que impliquen interpretar las medidas de tendencia central.

Contexto histórico

1837 Samuel Morse idea un alfabeto telegráfico conocido como clave Morse.

1800

1843 Se dan las investigaciones acerca de la genética de Mendel.

1840 1801 Carl Frederic Gauss publica artículos que amplían la teoría de los números.

1862 Louis Pasteur desarrolla la teoría de la infección.

1880

1939 Inicia la 2a. Guerra Mundial con la invasión a Polonia.

1920

Hechos matemáticos 1854 George Boole desarrolla la lógica.

1890 Peano trata los axiomas de los números naturales.

1960

1976 Se da el primer trasplante de corazón humano.

2000

1976 Appel y Haken resuelven el problema de los cuatro colores; se prueba, con ayuda de computadora, que cualquier mapa puede ser coloreado en modo tal que no haya dos regiones limítrofes del mismo color.

MATEMÁTICAS 1

238

SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Adición y sustracción de números con signo

Tema: Significado y uso de las operaciones APARTADO 1: PROBLEMAS ADITIVOS II

Conocimientos y habilidades Utilizar procedimientos informales y algoritmos de adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones.

Actividad Previa En parejas, practiquen a manera de juego la ubicación del desplazamiento de un punto en una recta numérica horizontal. Es importante recordar que los números positivos se mueven hacia la derecha y los negativos hacia la izquierda. Utilicen dos dados de diferente color y designen un color para los números positivos y el otro para los negativos. El punto de partida para ambos jugadores será el cero. Por turnos, un jugador lanza los dados y el otro efectúa el desplazamiento de su punto sobre la recta y dice cuál resultó ser la ubicación final del punto. Van repitiendo el lanzamiento de los lados hasta que uno de los puntos quede fuera de la recta numérica. Ejemplo: Jugador A: 13, 26 quedó en 23, para desde ahí iniciar en el siguiente turno.

210

28

26

24

0

22

2

4

6

8

10

Jugador B: 22, 16, quedó en 4, para desde ahí iniciar en el siguiente turno. Nota: si no cuentan con dados pueden utilizar fichas numeradas o papel recortado e irlos sacando de una bolsa o una caja, de tal manera que no esté determinado el número que va a salir. Lo importante de esta práctica es que se familiaricen con el significado del signo. Actividad 1.1 Efectúa en la recta numérica las siguientes adiciones. a) (2) 1 (4) 5 26 25 24 23 22 21

d) (0) 1 (24) 5 0

1

2

3

4

5

6

b) (3) 1 (2) 5 26 25 24 23 22 21

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

e) (23) 1 (4) 5 0

1

2

3

4

5

6

c) (3) 1 (24) 5 26 25 24 23 22 21

26 25 24 23 22 21

26 25 24 23 22 21

f) (22) 1 (24) 5 0

1

2

3

4

5

6

26 25 24 23 22 21

BLOQUE 5 g) (3) 1 (26) =

239

i) (23) 1 (23) =

26 25 24 23 22 21 0

1

2

3

4

5

6

h) (1) 1 (26) =

26 25 24 23 22 21 0

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

j) (24) 1 (2) =

26 25 24 23 22 21 0

1

2

3

4

5

6

26 25 24 23 22 21 0

Si se suman dos cantidades con el mismo signo, ¿qué signo tendrá su resultado? Actividad 1.2 Efectúa, de manera directa, las siguientes adiciones. Observa los ejemplos. a) (3) 1 (23) 5 0

d) (0) 1 (26) 5

g) (22) 1 (23) 5

j) (9) 1 (29) 5

b) (2) 1 (23) 5 21

e) (21) 1 (5) 5

h) (22) 1 (26) 5

k) (28) 1 (8) 5

c) (0) 1 (24) 5

f) (1) 1 (25) 5

i) (24) 1 (26) 5

l) (27) 1 (7) 5

Actividad 1.3 Completa las siguientes tablas y observa las secuencias de los resultados. a)

3 3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1

3 2 1 0 21 22

5 5 5 5 5 5

b)

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 0 21 22 23

5 5 5 5 5 5

c)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 0 21 22 23

5 5 5 5 5 5

d)

21 21 21 21 21 21 21 21

1 1 1 1 1 1 1 1

3 2 1 0 21 22

5 5 5 5 5 5

Si se suman dos cantidades con signo diferente, ¿qué signo le corresponde al resultado?

MATEMÁTICAS 1

240 Actividad 1.4

Encuentra la suma de las siguientes cantidades. a) (5) 1 (25) =

d) (210) 1 (10) =

g) (211) 1 (11) =

b) (1) 1 (21) =

e) (212) 2 (12) =

h) (16) 1 (-16) =

c) (4) 1 (24) =

f) (220) 1 (20) =

Si sumamos una misma cantidad positiva y negativa, su suma es: . Imagina que en una caja tenemos la misma cantidad de fichas positivas como negativas. Por ejemplo, si fueran diez de cada tipo, podríamos decir que 210 representa el total de fichas negativas y que 110 representa las fichas positivas; tendríamos entonces (210) y (110) y su suma sería: Actividad 1.5 ¿Qué resultado tendríamos si a partir de esa supuesta caja con suma cero le agregamos o le quitamos fichas positivas o negativas? Contesta las siguientes preguntas. Observa el ejemplo. a) Si a esa caja cuya suma es cero le agregamos tres fichas positivas, la suma entonces sería: 0 1 (13) = 3 b) Si a esa caja cuya suma es cero le agregamos dos fichas negativas, la suma entonces sería: c) Si a esa caja cuya suma es cero le quitamos cuatro fichas positivas, la suma ahora es: 0 2 (14) = 24 d) Si a esa caja cuya suma es cero le quitamos dos fichas negativas, ¿qué signo le corresponde al resultado? EN UNA SUSTRACCIÓN: Restar una cantidad negativa equivale a efectuar una adición: 2 (2) 5 1

Actividad 1.6 Efectúa las siguientes sustracciones. a) (6) 2 (5) 5 d) (14) 2 (23) 5

g) (0) 2 (23) 5

b) (10) 2 (3) 5

e) (29) 2 (23) 5

h) (22) 2 (23) 5

c) (10) 2 (–2) 5

f) (11) 2 (24) 5 Se sabe que...

En la escritura hindú, los números “negativos” se representaban por medio de un punto o un pequeño círculo encima o al lado del número y usaban la palabra correspondiente a “negativo” en su idioma para describir estas cantidades. Los chinos usaban el color negro para “positivo” y rojo para “negativo”.

Actividad 1.7 Efectúa las siguientes operaciones. a) (15) 1 (25) 5 10

e) (11) 2 (28) 5 19

i) (215) 1 (25) 5

b) (212) 1 (24) 5

f ) (211) 2 (28) 5



j) (215) 2 (25) 5

c) (12) 2 (24) 5

g) (211) 2 (8) 5



k) (215) 2 (5) 5

d) (11) 2 (8) 5

h) (211) 1 (28) 5



l) (15) 1 (5) 5

BLOQUE 5

241

Actividad Extra Observa las siguientes series y completa los dos números que faltan en cada una. a) 1, 5, 3, 4, 5, 3, 7, 2, b) 3, 8, 6, 4, 12, 2, 24, 1,

,

,

c) 1, 15, 4, 11, 7, 7, 10, 3,

,



d) 20, 25, 15, 24, 10, 23, 5, 22, e) 8, 1, 6, 1 , 4, 1 , 2, 1 , 2 4 8

,

Actividad 1.8 Resuelve las siguientes situaciones. a) La papelería de la escuela compra lápices al mayoreo. La nueva promoción que aprovecharon consistía en que por cada 15 lápices descontaban 2 del precio total. Si cada lápiz se compra en $1.10, ¿cuánto se pagará si se hace un pedido de 600 lápices?

b) En cierto juego de mesa, los jugadores avanzan tantas casillas en el tablero como puntos marcan los dados. Al caer en las casillas blancas, se cobran 2 fichas a la banca; al caer en las rojas se pagan 4 fichas a la banca. En las casillas negras no pasa nada. Conforme cada jugador se queda sin fichas, va saliendo del juego. Mientras jugaba, en el turno número 20, caí en una casilla roja y perdí. Si en total caí 8 veces en casillas negras, 7 veces en blancas y 5 veces en rojas, ¿cuántas fichas tenía al iniciar el juego?

Actividad Extra Completa con números positivos y negativos los siguientes cuadrados mágicos, de tal manera que la suma en cada renglón, columna y diagonal sea la que se indica. a) Suma: CERO b) Suma: TRES c) Suma: TREINTA 2

2 3

3 18

1.6

16 1.4

2

2 4

0.8

10 18

MATEMÁTICAS 1

242

Análisis de gráficas de variación proporcional directa

Tema: Significado y uso de las literales APARTADO 2: RELACIÓN FUNCIONAL II

Conocimientos y habilidades Analizar los vínculos que existen entre varias representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a la misma situación, e identificar las que son de proporcionalidad directa.

Actividad Previa En este bloque retomarás lo aprendido acerca de la proporcionalidad. En equipos, comenten acerca de lo que significa que una relación esté en proporcionalidad directa. ¿Significará que si una cantidad aumenta la otra con la que está relacionada también aumenta en la misma proporción? ¿Y si una cantidad disminuye, la otra también disminuye en la misma proporción? ¿Por qué? Planteen al grupo al menos un ejemplo en el que se muestre que hay proporcionalidad directa. Actividad 2.1 Al observar durante media hora el entrenamiento de un atleta, se supo que recorría, en promedio, 100 metros cada minuto. La expresión que corresponde a la distancia recorrida es d 5 v t. Para este caso, la distancia está dada en (m), la velocidad en metros ( m ), y el tiempo en minutos minuto min m (min). De lo anterior, se tiene entonces: d 5 100 min t. a) Completa la tabla y observa que, en este caso, la constante de proporcionalidad indica por cuánto hay que multiplicar el tiempo. Distancia (metros)

1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100

0

Tiempo (minutos)

Distancia (metros)

0

0

1

100

2 4 8

2

4

6

8

10

Tiempo (min)

10

Suponiendo que el atleta mantuvo una velocidad constante en la hora que dura de entrenamiento: b) ¿Qué distancia recorrió en 10 minutos? c) ¿Qué distancia recorrió en 15 minutos? d) ¿En cuántos minutos recorrió 200 metros? e) ¿En cuántos minutos recorrió medio kilómetro?

BLOQUE 5

243

Actividad 2.2 En el salón de clases utilizamos un proyector para analizar algunos documentales. Observa la tabla de distancias a las que se coloca el proyector para obtener el tamaño de la imagen. Traza la gráfica y contesta las preguntas.

Distancia del proyector a la pantalla Altura de imagen (m)

2

1.5

Distancia (metros)

Tamaño (metros)

1

0.5

2

1

3

1.5

4

2

1

0.5

0

1

2

3

4

5

Distancia (m)

Observa si se obtiene una constante de proporcionalidad entre los valores de la altura de la imagen en relación con la distancia a la pantalla. a) Encuentra la expresión algebraica que representa esta situación. b) Las medidas del salón son de 6 m de frente, 5 m de fondo y 3 m de altura. Si queremos proyectar hacia el frente del salón, ¿cabe la altura de la imagen en la pared?

c) Si queremos que la imagen tenga un tamaño de 1.8 m, ¿a qué distancia de la pared debemos colocar el proyector?

MATEMÁTICAS 1

244 Actividad 2.3 Resuelve las siguientes situaciones.

1. Tengo una máquina que me permite hacer eslabones de una misma medida para formar cadenas. Para hacer una cadena de 1 m se requieren 20 eslabones.

a) Completa la tabla. Longitud de la cadena (m)

b) Traza la gráfica.

Eslabones

Longitud de la cadena (m)

0.5 1

20

2

4 3

3 4

2 1

0

20

40

60

80 Eslabones

c) ¿Qué expresión algebraica representa esta relación?



d) ¿Cuántos eslabones se necesitan para hacer una cadena de 4 m?

2. El lunes pasado jugamos a estimar cuántas veces caLongitud bían mis zapatos a lo largo del salón, colocando la alcanzada (m) punta de uno con el talón del otro. Uno de los compañeros me entregó la siguiente gráfica: 6 a) Al contar 20 zapatos, ¿qué longitud se abarcó? 5

b) Al contar 10 zapatos, ¿qué longitud se abarcó?



c) ¿Cuánto mide cada uno de mis zapatos?



d) ¿Qué expresión algebraica representa este caso?



4 3 2 1 0

5 10 15 20 25 Número de zapatos

BLOQUE 5

245

Actividad 2.4 Lee la siguiente situación y contesta las preguntas. E l domingo me encargaron comprar fruta en almíbar. En la tienda encontré tres presentaciones en lata: una de ellas tenía 250 g y costaba $8; otra tenía 400 g y costaba $15; la tercera tenía 750 g y no tenía marcado el precio. Se me ocurrió trazar una gráfica que me ayudara a ver cómo resultaría la relación precio/gramos de la primera lata y resultó lo siguiente: Precio ($)

16 14 12 10 8

P

6 4 2 0

100

200

300

400

500

Presentación (g)

a) ¿Qué precio corresponde a una lata de 200 gramos? b) ¿Qué precio correspondería a una lata de 300 gramos? c) Traza la gráfica correspondiente para la segunda lata. d) De acuerdo con la gráfica que corresponde a la segunda lata, ¿cuál debiera ser el precio de la lata de 300 g? e) Considerando los precios, ¿cuál lata conviene comprar?

MATEMÁTICAS 1

246

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Área de figuras planas

Tema: Medida APARTADO 3: ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR III

Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas en diversas figuras planas y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras.

Actividad Previa En equipos, realicen una estimación del área que tiene el salón de clases. Registren su estimación en el pizarrón. Pidan a un equipo que mida el largo y el ancho del salón; calculen el área y compárenla con las estimaciones registradas. ¿Qué equipo se acercó más al cálculo del área? Inviten a ese equipo a que comente con el grupo cómo efectuaron la estimación. Actividad 3.1 Calcula el área sombreada de las siguientes figuras. Considera cada

como unidad cuadrada (u2).

e) c) a)

a) A 5

d)

b)

b) A 5

c) A 5

d) A 5

e) A 5

BLOQUE 5

247

Actividad 3.2 A partir de las medidas que se dan, calcula el área sombreada de las siguientes figuras. a)

b)

4 dm

3 cm 4 dm 2 dm

12 cm

2 dm

Área 5 Área 5

Actividad 3.3 Calcula el área sombreada de las siguientes figuras. a)

Operaciones

Actividad Complementaria

Si es posible trabajar en computadora, desarrollen la práctica “Resolución de problemas de áreas de figuras conocidas”, que está en las páginas 100 y 101 del libro Geometría dinámica. EMAT. SEP, 2000, México.

8 cm

10 cm

Área 5



Operaciones

b) 6 cm

3 cm 3 cm

Área 5

MATEMÁTICAS 1

248

MANEJO DE LA INFORMACIÓN Tema: Análisis de la información APARTADO 4: NOCIONES DE PROBABILIDAD II

Equiprobabilidad

Conocimientos y habilidades Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

Probabilidad CLÁSICA situación elegida Probabilidad 5 de acertar total de eventos Resultados equiprobables: Son dos o más sucesos que tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Actividad Previa En grupo, comenten la siguiente situación. Después de que se lanzó 25 veces un dado, los resultados fueron: el número 1, salió dos veces; el 2, dos veces; el 3, cuatro veces; el 4, seis veces; el 5, ocho veces, y el número 6, tres veces. Si se lanza otra vez el dado, ¿qué número tiene mayor probabilidad de salir, el 1 o el 5? ¿Por qué consideran que saldrá ese número? ¿Este dado permite pensar que el juego es justo? (Es decir, ¿todos los diferentes resultados tienen la misma probabilidad de salir?) Argumenten sus respuestas.

Actividad 4.1 Tengo 50 canicas en una bolsa de tela. 30 canicas son negras y 20 son verdes; todas son del mismo tamaño. Si tú y yo jugamos a que, sin ver, vayamos sacando por turnos una canica de la bolsa y gana el primero que tenga tres canicas de un solo color, si yo elijo las de color negro, ¿los dos tenemos la misma probabilidad de ganar? El juego sería “justo” si la probabilidad de ganar fuera igual para los dos; es decir, que fuera equiprobable. ¿Es éste un juego “justo”? ¿Qué habría que hacer para que el juego fuera equiprobable? Actividad 4.2

META

SALIDA

Antonio y Hugo me invitan a jugar con un dado de colores: dos caras son negras, dos blancas y dos rojas. Conforme sale un color, se avanzaría la ficha correspondiente. Gana el que llegue primero a la meta.

Antes de iniciar el juego se me ocurrió lanzar el dado en varias ocasiones y registré los resultados: N, B, B, N, R, N, R, B, N, R, N, B, N, B, N

BLOQUE 5

249

a) Si quisiera ganar, ¿qué color convendría elegir? b) ¿Con los resultados obtenidos al lanzar el dado se puede pensar que todas sus caras tienen la misma probabilidad de salir? c) Si se mantuviera la misma proporción de resultados, ¿cuál es el número probable de caras rojas que se obtendrá en 30 lanzamientos del dado? d) ¿Cuántas veces es probable que haya salido cara blanca en 24 lanzamientos? Actividad 4.3 En una urna hay 10 fichas negras y 10 blancas. Juan y yo jugamos, por turnos, a sacar, sin ver, una ficha en cada ocasión. Una vez que el primer jugador saca una ficha, la conserva. Si el segundo saca una ficha del mismo color, gana el primer jugador; en caso contrario, gana el segundo jugador. ¿Es éste un juego justo? Argumenta tu respuesta y si tienes oportunidad practica el juego con un compañero para comprobarla. ¿Será justo un juego si, después de que el primer jugador saca una ficha, registra el color y la regresa a la urna? Argumenta tu respuesta. Actividad Extra En una feria encontré a un grupo de personas jugando con dos dados. El tablero de juego tenía 11 casillas, numeradas del 2 al 12, como se observa en la imagen. Sólo se podía colocar una ficha en cada casilla. El número 7 le pertenecía al dueño del juego; los participantes podían jugar colocando su ficha en el número de su elección. Se lanzaban los dados, se sumaba lo que mostraran las caras superiores y quien estuviera en la casilla de ese número ganaba todas las fichas que se colocaron.

3

2

4

12

11

7 5

6

10 8

9

¿Era éste un juego justo? ¿Todos los números tienen la misma probabilidad de salir? ¿Por qué?

MATEMÁTICAS 1

250

Proporcionalidad inversa

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN APARTADO 5: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD VI

Conocimientos y habilidades Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

Actividad Previa En equipo, lean la siguiente situación y argumenten su respuesta. Para asear los salones de la escuela, un trabajador tarda 4 horas; si el aseo lo hicieran dos personas al mismo ritmo que la primera, ocuparían la mitad del tiempo; si lo realizaran cuatro personas, ocuparían la cuarta parte del tiempo. Podemos darnos cuenta que ésta no es una proporción directa, porque mientras más trabajadores hay, proporcionalmente menos tiempo se ocupa. Gráficamente, ¿qué línea podrá resultar de esta relación si en una proporción directa se obtiene una recta? Completen la siguiente tabla y tracen la gráfica. Trabajadores

1

2

Horas empleadas

4

2

4

8

16

¿Resulta ser una recta? . Comparen su gráfica con la que obtuvieron los demás equipos y lleguen a una conclusión. Actividad 5.1 Quiero cambiar el color de las paredes de mi casa. Una persona tarda 1 hora en pintar 8 m2. El área total de las paredes es de 192 m2. A este ritmo: a) ¿Cuánto tiempo se tardará una persona en pintar la casa? b) Si dos personas inician el trabajo a esa misma velocidad, ¿en cuánto tiempo pintarán la casa? c) Si en lugar de dos personas fueran cuatro, ¿en cuánto tiempo terminarán de pintar? d) Y si en lugar de cuatro fueran seis personas, ¿en cuánto tiempo pintan la casa? e) Completa la tabla y ubica los puntos en la gráfica.

Horas 24

Pintores

Horas

20

1

16

2

12

4

8

6

4 1

2

3

4

5

6

Pintores

BLOQUE 5

251

f) Recuerda que los cocientes que se obtienen al comparar las variables en una proporción directa son constantes. ¿Sucede lo mismo en esta situación? Observa que, a mayor número de pintores, disminuye el tiempo empleado. Si disminuye el número de trabajadores, ¿el tiempo que se requiere para terminar el trabajo aumenta?

Proporcionalidad inversa: Aquella en la que cada par de elementos que se relacionan tienen el mismo producto.

Este tipo de relaciones en las que si una variable aumenta y la otra disminuye forman una proporcionalidad inversa. ¿Cuánto tiempo tardarán seis pintores en pintar la casa?

Actividad 5.2 Observa la tabla con los datos de la situación anterior, inciso e) de la Actividad 5.1, y responde las siguientes preguntas. a) En las proporciones directas encontraste que el cociente de las variables era siempre una constante. En una relación inversa, ¿cómo podemos encontrar una constante? b) ¿En todas las parejas que forman la relación se obtiene el mismo producto? Actividad 5.3 Resuelve las siguientes situaciones. 1. A una tabla en equilibrio se le colocó un objeto pesado y se encontró que, si al otro lado se colocaba una pesa de 5 kilogramos a 60 cm del centro, el equilibrio se mantenía. Si se colocaba una pesa de 4 kilogramos, la distancia al centro de la tabla debía ser de 75 cm para seguir en equilibrio, y si se colocaba una pesa de 7.5 kilogramos a 40 cm de distancia del centro, el equilibrio se mantenía. Observa que, a mayor peso, la distancia al punto de equilibrio es más corta. ¿Esta relación corresponde a una proporcionalidad directa o inversa? ¿Por qué?

Completa la tabla. Pesas (kg)

Distancia (cm) al centro de la tabla

4

75 cm

5

60 cm

7.5

40 cm

10

Distancia al centro de la tabla (cm)

Traza la gráfica.

80 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pesas (kg)

MATEMÁTICAS 1

252

Para mantener el equilibrio, ¿a qué distancia del punto de equilibrio tendrían que colocarse:

a) 6 balones?



b) 20 balones?



c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que se obtiene?



d) ¿Qué expresión algebraica corresponde a esta situación?

2. De mi casa al parque camino 120 pasos. Cada uno de mis pasos mide 75 cm. Si mis pasos midieran 60 cm, ¿cuántos tendría que dar para llegar de mi casa al parque? Y si diera pasos de 80 cm, ¿llegaría al parque en menos de 100 pasos? Elabora la tabla Medida de mi paso

Cantidad de pasos

Traza la gráfica Cantidad de pasos

80 cm 75 cm

120

60 cm

¿Qué expresión algebraica corresponde a esta situación?

Medida de pasos

Actividad 5.4 Resuelve las siguientes situaciones. 1. A velocidad constante de 80 km/h, un automóvil recorre en 2 12 horas la distancia entre dos ciudades. Si su velocidad fuera de 75 km/h tardaría 10 minutos más.

a) ¿Cuánto tardaría en llegar si se desplaza a una velocidad constante de 50 km/h?



b) ¿Cuánto tardaría en llegar si se desplaza a una velocidad de 60 km/h?



c) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que se obtiene?

BLOQUE 5 2. Para llenar un tanque de agua se utilizan cuatro llaves que dejan pasar la misma cantidad de litros de agua por minuto. Si el tanque se encuentra vacío, y se abren las cuatro llaves a toda su capacidad, el tanque tarda una hora en llenarse.

a) Si sólo se abren tres llaves, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse?



b) Si sólo se abren dos llaves, ¿en cuánto tiempo se llenará?



c) Si se abren tres llaves a la mitad, ¿en cuánto tiempo se llena el tanque?



d) Si sólo se abre una llave, ¿en cuánto tiempo se llena el tanque?



e) Si el tanque está vacío y a las 10:00 sólo se abre a la mitad una llave, ¿a qué hora estará lleno el tanque?

253

MATEMÁTICAS 1

254

Tema: Representación de la información APARTADO 6: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN

Moda, mediana y media aritmética

Conocimientos y habilidades Comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos referidos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central.

Actividad Previa Organizados en equipos, practiquemos un poco el cálculo de algunos promedios. De la siguiente serie de números: 8, 7, 7, 6, 7, 9, 8, 8, 6 y 7, veamos qué equipo puede encontrar primero la media aritmética, la moda y la mediana. Medidas de tendencia central Moda: El dato de mayor frecuencia. Mediana: El dato que está a la mitad de la muestra ordenada. Media aritmética: El promedio obtenido de dividir la suma de los datos entre el total de ellos.

Actividad 6.1

Frecuencia

En la entrega de boletas nos informaron que obtuvimos las siguientes calificaciones en matemáticas: Calificaciones en abril Matemáticas 10 C

a) ¿Cuántos alumnos tienen 10 de calificación?

14



12

b) ¿Qué calificación tuvo mayor frecuencia?

10



8

c) ¿Cuántos alumnos obtuvieron calificación superior a 7?

6



4

d) ¿Cuántos alumnos tiene el grupo? 2 0

5

6

7

8

9

10 Calificaciones

e) ¿Cuál es el promedio del grupo? f) ¿Qué medida representa mejor las calificaciones del grupo: la moda o la media aritmética?

BLOQUE 5

255

Actividad 6.2

Frecuencia

A partir de lo que se presenta en la gráfica, responde. Tiempo empleado en la resolución del examen 8 7 6 5 4 3 2 1 0 46

49

52

55

58

61 Minutos

a) ¿Cuántos alumnos terminaron en el menor tiempo? b) ¿A los cuántos minutos terminó el mayor número de alumnos? c) ¿Cuántos alumnos terminaron el examen en una hora? d) ¿Cuántos alumnos presentaron examen? e) ¿Cuál es la mediana de los 25 tiempos empleados en la resolución del examen? Si al ordenar una serie de datos encuentras que quedan dos en medio, su mediana se calcula sumando éstos y dividiéndolos entre dos.

MATEMÁTICAS 1

256 Actividad 6.3

La siguiente gráfica corresponde a la precipitación pluvial media de México desde 1941 hasta 2004. Analízala y contesta las preguntas. Precipitación pluvial (mm de agua)

Precipitación pluvial media mensual, 1941-2004

160 140 120 100 80 60 40

c Di

No v

ct O

pt Se

o Ag

l Ju

n Ju

ay M

r Ab

ar M

b Fe

En

0

e

20

Meses

a) ¿Qué mes presenta el mayor nivel de precipitación pluvial? Moda: b) Calcula la mediana de las precipitaciones pluviales. c) Calcula el promedio de todos los datos. Media aritmética: d) ¿En qué mes se registró el mayor aumento de precipitación pluvial? e) ¿En qué mes la precipitación pluvial fue más baja?

Actividad Extra Investiga cuáles han sido los niveles de precipitación pluvial en tu entidad, compáralos con los del país y comenta para qué nos pudiera ser útil conocer estos niveles. ¿De qué manera se podría aprovechar esta información? Si tienes Internet, te sugerimos consultar la página www.inegi.gob.mx para obtener la información que se pide.

BLOQUE 5 Actividad 6.4 Resuelve las siguientes situaciones. 1. El tiempo que ocupo en llegar a la escuela de acuerdo con los días de la semana es el siguiente: lunes y miércoles tardo 25 minutos; martes, 30 minutos; jueves, 35 minutos, y viernes 45 minutos. Debo calcular la media aritmética, la mediana y la moda. ¿Cuál de las tres medidas me conviene considerar para no llegar tarde a la escuela?

2. Encuentra cinco números que cumplan con las siguientes condiciones: el menor número es el 30; la mediana 34; la moda, 35, y la media aritmética, 33.

3. El promedio de cinco números es 40. Al eliminar dos de ellos, el nuevo promedio es 36. ¿Cuál es el promedio de los dos números eliminados?

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APLICACIÓN DE APRENDIZAJES Cálculo mental (promedio)

A lo largo del curso se te presentaron diversas oportunidades para calcular el promedio en cada una de tus asignaturas. Seguramente recurriste al método tradicional de suma de calificaciones y división entre el total de calificaciones y tal vez hayas deseado tener otras calificaciones para mejorar tu promedio. Juguemos un poco con los promedios y el cálculo mental. 1. Contesta lo que se pide en cada inciso: a) Escribe cuatro números que al ser divididos entre 3 su residuo sea 1.

,

,

,

b) Escribe cinco números que al ser divididos entre 5 su residuo sea 3.

,

,

,

,

c) Escribe seis números que al ser divididos entre 6 su residuo sea 2.

,

,

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,

,

d) Escribe cinco números que al ser divididos entre 7 su residuo sea 5.

,

,

,

,

e) Escribe cinco números que al ser divididos entre 9 su residuo sea 4.

,

,

,

,

2. Calcula los siguientes promedios. Observa el ejemplo. a) En Español, mis calificaciones fueron: 8, 8, 8, 8, 8, observa que todas las calificaciones son iguales, por tanto el promedio es: 8 b) En Matemáticas las calificaciones fueron: 10, 8, 9, 8, 10.

Promedio:

c) En Biología las calificaciones fueron: 8, 6, 6, 7, 8.

Promedio:

d) En Geografía las calificaciones fueron: 6, 10, 10, 6, 8.

Promedio:

e) En Lengua Extranjera las calificaciones fueron: 8, 8, 7, 9, 8.

Promedio:

f) En Educación Física las calificaciones fueron: 10, 10, 10, 10, 10. Promedio:

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3. Resuelve los siguientes casos: a) En Geografía, el promedio de las cinco calificaciones de Elizabeth fue 9. Sólo se acuerda de las tres últimas calificaciones (10, 8, 8) y sabe que la segunda calificación fue mejor que la primera. ¿Qué calificación obtuvo en la segunda evaluación?

b) En primer grado llevé nueve asignaturas y mi promedio final fue 8. Mi calificación fue la misma en Español, Matemáticas y Biología. Si en cada una de estas tres materias hubiera tenido 10, mi promedio general habría sido de 9. ¿Qué calificación obtuve en Biología?

c) Mi primera calificación en Tecnología fue 8. ¿Cuántos puntos debo obtener en las otras cuatro calificaciones para que el promedio final en esta materia sea 9?

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EXPLORACIÓN DE RECURSOS tecnológicos

Para este momento, seguramente ya comprobaste que la hoja electrónica de cálculo es una herramienta que permite simplificar la obtención de resultados en ciertos procesos, ya sea a través de tablas o gráficas. ¿Cómo se utiliza la hoja electrónica en la resolución de problemas de proporcionalidad? En la sección de “Exploración de recursos” tratada en el Bloque 1 formamos tablas de proporcionalidad directa. En este bloque trataremos casos de proporcionalidad inversa. Ejemplos: Si una persona se traslada de una ciudad a otra a una velocidad de 60 km/h tardaría 4 horas en llegar. ¿Cuánto tiempo disminuiría en el traslado si viajara a una velocidad de 80 km por hora, o a mayor velocidad? Elabora una tabla, en la hoja de cálculo, que te permita responder de manera rápida las interrogantes al respecto. Puedes guiarte con la siguiente tabla, o elaborar la tuya.

1

A

B

C

Distancia entre 2 ciudades

Velocidad (km/h)

Tiempo (horas)

2 3

En esta celda se registra la distancia que hay entre las dos ciudades.

En esta celda registras la velocidad en el traslado.

En esta celda se registra la expresión que sirve para que la computadora efectúe los cálculos. Recuerda que el tiempo se calcula con el cociente entre la distancia y la velocidad.

261

Amplía la tabla para efectuar el cálculo del tiempo a partir de las velocidades que se indican: Distancia (km) entre las 2 ciudades

Velocidad (km/h)

200

40

Tiempo (horas)

60 80 100 110

Traza, con la computadora, la gráfica correspondiente, dejando en el eje horizontal el tiempo y en el eje vertical la velocidad. Expón al grupo tus resultados y los procedimientos que empleaste.

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MATEMÁTICAS 1

¿CUÁnto APRENDÍ? Indicaciones: El propósito de esta sección es que, al resolver cada cuestión, aprendas a reconocer cuánto aprendiste y qué aspectos necesitas reforzar para que seas más competitivo. Es importante que resuelvas de manera individual y posteriormente en grupo revisen los resultados de cada cuestión. Recuerda que, entre más te conozcas, mejores logros podrás tener. 1. En el poblado donde nacieron mis padres normalmente hace frío. El domingo a mediodía el termómetro marcaba 12 °C; en las siguientes 18 horas la temperatura descendió 15 °C. ¿Qué temperatura había el lunes a las 6 de la mañana?

2. En mi grupo hay 25 mujeres y 15 hombres. Al azar se va a elegir a un representante de grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida sea mujer? Argumenta tu respuesta.

3. Para abrir una zanja y arreglar el drenaje, un trabajador tarda dos jornadas de 8 horas cada una. Si se contrata a otro trabajador que mantenga el mismo ritmo que el primero, tardarían 1 jornada. Si en lugar de dos, el trabajo lo realizan tres personas, ¿cuánto tiempo tardarían?

4. Encuentra las calificaciones de un equipo de cinco alumnos, si se sabe que la media aritmética es 8.4; la moda, 8; la mediana también, 8; el menor número, 7, y el mayor, 10.

FUENTES DE CONSULTA Bibliografía para el alumno GONICK, Larry y Smith, Woollcott. La estadística en cómic. Zendrera Zariquiey, Barcelona, 2002. MAGNUS, Hans. El diablo de los números. Siruela, España, 1998. PERERO, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1994. SAGAN, Carl. Cosmos. Planeta, España, 1999. TAHAN, Malba. El hombre que calculaba. Limusa, México, 1986.

Bibliografía para el docente AEBLI, Hans. Doce formas básicas de enseñar. Una didáctica basada en la psicología. Narcea, Madrid, 1995. ASIMOV, Isaac. Nueva guía de la ciencia. Plaza & Janés, Madrid, 1997. ÁVILA, A. (directora), L.M. Aguayo, D. Eudave, J.L. Estrada, A. Hermosillo, J. Mendoza, Ma. E. Saucedo, E. Becerra. La reforma realizada. La resolución de problemas como vía del aprendizaje en nuestras escuelas. Financiado por la Dirección General de Investigación Educativa de la Secretaría de Educación Básica y Normal. SEP, México, 2004. BROUSSEAU, Guy. Educación y didáctica de las matemáticas. En: Educación Matemática, Vol. 12, Nº 1, pp. 5-38, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 2000. CARRAHER, Terezihna, et al. En la vida diez, en la escuela cero. Siglo XXI, México, 1991. DE LA PEÑA, José Antonio. Algunos problemas de la educación en matemáticas en México. Siglo XXI, México, 2002. HOFSTADTER, Douglas. Gödel, Escher, Bach: una eterna trenza dorada . CONACYT, México, 1979. INEE. PISA para docentes: la evaluación como oportunidad de aprendizaje . México, 2005. PEREDA, Luis. Didáctica de la resolución de problemas. Desclee de Brouwer, Bilbao, 1987. PIAGET, J., et al . Las estructuras matemáticas y las estructuras operatorias de la inteligencia. En: La enseñanza de las matemáticas. Aguilar, Madrid, 1965. SKINNER, B.F. Sobre el conductismo. Fontanella, Barcelona, 1975. STACEY, K y Groves, S. Resolver problemas: estrategias. Narcea, Madrid, 1999.

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MATEMÁTICAS 1 Sitios de Internet http://www.agua.org.mx Para saber más de la cultura sobre el agua y su uso óptimo. http://www.descartes.cnice.mecd.es/ Página interactiva con los contenidos de matemáticas en la enseñanza secundaria, juegos, trucos, etcétera. http://www.divulgamat.net Centro Virtual de la Divulgación de las Matemáticas. Historia, textos on-line, gacetas, etcétera. http://www.ichi.fismat.umich.mx/omm/ Página oficial de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. http://www.inegi.gob.mx Página oficial del Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática. Encontrarás datos estadísticos correspondientes al país. http://www.matematicas.net/ Página dedicada al fascinante universo de las matemáticas. Encontrarás apuntes, ejercicios, exámenes, juegos, enlaces, historia, etcétera. http://www.mlevitus.com/ Página de juegos, acertijos y recreaciones matemáticas. http://www.olimpiada.mat.uson.mx/ Página de las Olimpiadas Sonorenses de Matemáticas; incluye exámenes, problemas y fotos. http://redescolar.ilce.edu.mx/act-permanentes Encontrarás información y actividades relacionadas con la escritura en otras culturas. http://sepiensa.org.mx/ Página de la Secretaría de Educación Pública, con diversas actividades e información de matemáticas. http://www.zonaclima.com Encontrarás información acerca de la temperatura de diferentes regiones del país.

Bibliografía consultada BLOCK, D. Los números en primer grado: cuatro generaciones de situaciones didácticas. En: Educación Matemática, Vol. 11, Nº 1, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1999. COLLINS, William, et al . Álgebra 1. Glencoe/McGraw-Hill, EUA, 1998. Microsoft Encarta. Biblioteca de Consulta. 2006. IFRAH, Georges. Las Cifras. Alianza editorial, Madrid, 1988. MASINI, Giancarlo. El romance de los números. Círculo de Lectores, S.A., Madrid, 1980. NEWMAN, James R. El mundo de las matemáticas. Colección Sigma, tomo 1. Ediciones Grijalbo, Madrid, 1976. SEP. Geometría dinámica. EMAT, Educación secundaria, México, 2000. SEP. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo. EMAT, Educación secundaria, México, 2000. SEP. Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México, 2000. SEP.Plan de Estudios. Educación Básica. Secundaria, México, 2006. SEP. Programa de estudio. Educación Básica. Matemáticas. Secundaria, México, 2006. SMITH, Karl J. The nature of modern mathematics. Brooks/Cole, EUA, 1980. SODI, M. Demetrio. Así vivieron los mayas. Panorama, México, 1983. THOMPSON, J. Eric. Un comentario al Códice de Dresde. Libro de jeroglíficos mayas. Fondo de Cultura Económica, México, 1993. WILLERDING, Margaret. Conceptos matemáticos. Un enfoque histórico. CECSA, México, 1971. VON HAGEN, Wolfgang Víctor. Los reinos americanos del sol. Aztecas, mayas, incas. Labor, Madrid, 1964.