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Inducción a las competencias
Matemáticas, Segundo Grado Educación Secundaria
MÉXICO ARGENTINA BRASIL COLOMBIA COSTA RICA CHILE ESPAÑA GUATEMALA PERÚ PUERTO RICO VENEZUELA
2 Datos de catalogación bibliográfica ARRIAGA CORONILLA, ALFONSO, MARCOS MANUEL BENÍTEZ CASTANEDO y MARÍA DEL CARMEN CORTÉS ALTAMIRANO MATEMÁTICAS 2, Inducción a las competencias PEARSON EDUCACIÓN. México, 2008 ISBN 13: 978-970-26-1535-4 Área: Secundaria Formato: 20.5 x 27 cm
Páginas: 272
Editado por:
EDIMEND, S.A. de C.V.
Director editorial:
Francisco Méndez Gutiérrez
Editor general:
Alberto García Rodríguez
Revisión Técnica:
Rosalía Blancas Noriega
Diseño y formación editorial:
Alexandro Portales Padilla
Corrección de estilo y editorial:
Rosalía Blancas Noriega
Diseño de portada:
Elizabeth Martínez Suástegui
Ilustraciones:
Hugo Miranda Ruiz
Fotografías:
Archivo EDIMEND
Coordinación editorial PEARSON: Gloria Morales Veyra / Sandra Pérez Morales SEGUNDA EDICIÓN, 2008 DR
2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. © Atlacomulco 500 - 5o piso Col. Industrial Atoto C.P. 53519, Naucalpan de Juárez Estado de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-1535-6 ISBN 13: 978-970-26-1535-4 IMPRESO EN MÉXICO PRINTED IN MEXICO
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INTRODUCCIÓN Al maestro: El propósito de este libro es servir de apoyo para que sus alumnos consoliden conocimientos, sean más competentes y asuman de manera responsable las tareas de participación social que les corresponde. El estudio de las matemáticas en la educación secundaria se orienta a lograr que los alumnos aprendan a plantear y resolver problemas en distintos contextos, a justificar la validez de los procedimientos y resultados, así como a utilizar adecuadamente el lenguaje matemático para comunicarlos. Bajo esta perspectiva, la participación del docente será la de organizar el trabajo de sus alumnos a través de la solución de problemas, para que aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces, y que sean los propios estudiantes quienes de forma colaborativa y crítica presenten propuestas de resolución que posibiliten nuevos aprendizajes. La intención de las actividades contenidas en este libro es precisamente la de que en su resolución se propicie en los alumnos el desarrollo de las competencias matemáticas como son: Planteamiento y resolución de problemas, Argumentación, Comunicación y Manejo de técnicas; para ello, es conveniente promover el trabajo individual, en equipo y el grupal, ya que la interacción con los demás fortalece la responsabilidad y la motivación para aprender. En la organización del trabajo, tome en cuenta el intercambio de experiencias con los demás docentes de la asignatura; aproveche la vinculación de los contenidos con los de otras asignaturas y realice un trabajo interdisciplinario; de esta manera, favorecerá el desarrollo integral de los alumnos y posibilitará que alcancen uno de los principales propósitos de todas las asignaturas: la formación de individuos autónomos, capaces de aprender por cuenta propia. Al alumno: Ahora que estás en el segundo grado de secundaria debes sentirte orgulloso de avanzar en tu educación, ya que el primer beneficiado eres tú. Al cursar el primer grado te diste cuenta de lo importante que son las matemáticas; el hecho de que hayas aprobado el curso anterior se relaciona con tu capacidad de pensar, razonar y saberte ubicar en tu entorno. En este libro, MATEMÁTICAS 2, Inducción a las competencias, tratamos de llevarte a entender el contenido teórico de las matemáticas para que posteriormente lo apliques a situaciones particulares (seas competente); no encontrarás fórmulas, series numéricas, símbolos, signos o cuestiones abstractas que te den de forma automática la respuesta a un problema. Al resolver los problemas planteados te darás cuenta de tu capacidad para generar métodos y situaciones que te permitirán resolver problemas sin la necesidad de ajustarte a modelos prescritos; tendrás la posibilidad de que integres y apliques las matemáticas de manera propia, ajustando las situaciones teóricas a problemas cotidianos. Las competencias que desarrollarás en el estudio de las matemáticas, de acuerdo con cada eje, te permitirán: • En el Planteamiento y resolución de problemas: identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones, utilizando más de un procedimiento de solución. • En la Argumentación: formular líneas de pensamiento que den sustento al procedimiento de solución encontrado. • En la Comunicación: expresar y representar información matemática, así como interpretarla. • En el Manejo de técnicas: Hacer uso eficiente de procedimientos y formas de representación al efectuar cálculos, ya sea que te apoyes o no en la tecnología. Por último, te damos la bienvenida a tu segundo año de secundaria y esperamos que hagas de esta etapa una de las mejores de tu vida.
Los autores
ESTRUCTURA DEL LIBRO
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Los contenidos de MATEMÁTICAS 2, Inducción a las competencias, fueron desarrollados pensando en jóvenes como tú que requieren y hacen uso de conocimientos ágiles y precisos para ser competentes. Para alcanzar estos objetivos y aprovechar al máximo los recursos de esta obra, te presentamos al detalle las secciones del libro: ENTRADA DE BLOQUE: En ella se establecen los logros que se esperan de ti al término del mismo. LÍNEA DEL TIEMPO: Esta sección tiene como propósito mostrar la influencia que tienen entre sí los avances de la sociedad y las matemáticas en un esfuerzo por resolver los problemas que se hacen presentes en cada contexto. Recuerda que las matemáticas son producto de la participación de la sociedad. Antes de iniciar el trabajo de cada bloque, comenta su contenido y a lo largo del trabajo del libro identifica la temporalidad de los esfuerzos de la humanidad por comprender y avanzar en el estudio de las matemáticas
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Indica cuáles son los que se pretenden alcanzar al finalizar el apartado.
EJES TEMÁTICOS: Señalados con un color diferente, te ayudarán a identificar a cuál corresponden los contenidos que se estudiarán: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la información. TEMA: Indica el contenido general que se desarrollará y su correspondiente APARTADO. ACTIVIDAD PREVIA: Te ayuda a recuperar lo que aprendiste en otro momento, y así aprovechar tu experiencia. Frecuentemente se propone el trabajo en equipo, fomentando el desarrollo colaborativo, y se plantean situaciones en las que desarrollarás tu capacidad para construir nuevos conocimientos. Interconexión con otras asignaturas: Te permite saber en qué áreas del saber humano se aplican las matemáticas.
5 Recuadros de información: Para reforzar los conceptos y hacer más accesibles los temas tratados.
Vocabulario: Incluye la definición de aquellas palabras que pueden presentar alguna dificultad por su significado. En el texto las encontrarás destacadas en color rojo.
Se sabe que…: Te brinda datos que enriquecen el tema principal del apartado.
Actividad: Incluye ejercicios para que practiques, adquieras seguridad, alcances la autonomía y desarrolles competencias en el manejo de técnicas. Actividad complementaria: Contiene referencias de actividades adicionales que puedes realizar con otros materiales y recursos.
PIENSA: Te invita a reflexionar acerca del tema que estás estudiando, para que adquieran mayor sentido las actividades que desarrollas.
Actividad Extra: Te ayudará a reforzar los conocimientos desarrollados en el tema. Si eres competente y te gustan los retos, ésta será una de tus secciones favoritas.
¿CUÁNTO APRENDÍ? Te servirá a ti y a tu maestro como diagnóstico, para que identifiques en cuáles temas debes esforzarte y aplicarte más. El propósito de esta sección es que aprendas a reconocer tres cosas: “Qué aprendí, qué estoy aprendiendo y qué me falta por aprender”. Al finalizar cada bloque encontrarás las secciones de APLICACIÓN DE APRENDIZAJES y exploración de recursos: en la primera tendrás la oportunidad de aplicar específicamente algunas habilidades matemáticas al resolver situaciones; en la última, tendrás la oportunidad de mostrar tu creatividad y hacer uso de la tecnología para hacer presentaciones de los temas que elijas.
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ÍNDICE INTRODUCCIÓN......................................................................................................................................................................3 ESTRUCTURA DEL LIBRO........................................................................................................................................................4
BLOQUE 1 ENTRADA DE BLOQUE.......................................................................................................................................................... 9 Sentido numérico y pensamiento algebraico............................................................................................... 10 Tema: SignificAdo y uso de las OPERACIONES............................................................................................... 10 Apartado 1: PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS I (Multiplicación y división de números con signo)............ 10 Apartado 2: PROBLEMAS ADITIVOS (Adición y sustracción de expresiones algebraicas)........................ 21 Apartado 3: OPERACIONES COMBINADAS I (Expresiones algebraicas equivalentes).............................. 29 Forma, espacio y medida........................................................................................................................................... 33 TEMA: MEDIDA................................................................................................................................................................ 33 Apartado 4: ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR I (Medición de ángulos)........................................................... 33 TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS.................................................................................................................................. 44 Apartado 5: RECTAS Y ÁNGULOS I (Posiciones relativas de dos rectas en el plano)............................... 44 Apartado 6: RECTAS Y ÁNGULOS II (Posiciones relativas entre dos rectas paralelas cortadas . por una transversal).......................................................................................................................... 51 Manejo de la información...................................................................................................................................... 65 TEMA: Ánalisis DE LA INFORMACIÓN..................................................................................................................... 65 Apartado 7: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD I (Factor inverso de proporcionalidad)................... 65 Apartado 8: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD II (Proporcionalidad múltiple)................................... 73 TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN..................................................................................................... 78 Apartado 9: DIAGRAMAS Y TABLAS (Conteo)..................................................................................................... 78 Apartado 10: GRÁFICAS I (Polígonos de frecuencias)...................................................................................... 84 APLICACIÓN DE APRENDIZAJES....................................................................................................................................... 96 EXPLORACIÓN DE RECURSOS TECNOLÓGICOS............................................................................................................ 97 ¿CUÁNTO APRENDÍ?............................................................................................................................................................ 98
BLOQUE 2 ENTRADA DE BLOQUE...................................................................................................................................................... 101 Sentido numérico y pensamiento algebraico............................................................................................. 102 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE las OPERACIONES............................................................................................. 102 Apartado 1: OPERACIONES COMBINADAS II (Jerarquía de las operaciones).......................................... 102 Apartado 2: PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS II (Multiplicación con expresiones algebraicas).............. 110 Forma, espacio y medida......................................................................................................................................... 118 TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS................................................................................................................................ 118 Apartado 3: CUERPOS GEOMÉTRICOS (Construcción de prismas y pirámides)....................................... 118 TEMA: MEDIDA.............................................................................................................................................................. 129 Apartado 4: JUSTIFICACIÓN DE FÓRMULAS I (Volúmenes de prismas y pirámides rectos)................... 129
7 Apartado 5: ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR II (Medidas de volumen y capacidad)................................ 132 Manejo de la información.................................................................................................................................... 143 TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN................................................................................................................... 143 Apartado 6: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD III (Equivalencia de razones).................................. 143 TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN................................................................................................... 146 Apartado 7: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN (Moda, mediana y media aritmética)......................................................................................................................................... 146 APLICACIÓN DE APRENDIZAJES..................................................................................................................................... 151 exploración de recursos tecnológicos.......................................................................................................... 152 ¿CUÁNTO APRENDÍ?.......................................................................................................................................................... 153
BLOQUE 3 ENTRADA DE BLOQUE...................................................................................................................................................... 155 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO............................................................................................. 156 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES..................................................................................................... 156 Apartado 1: PATRONES Y FÓRMULAS (Sucesiones aritméticas)................................................................... 156 Apartado 2: ECUACIONES I (Ecuaciones con incógnita en los dos miembros)......................................... 161 Apartado 3: RELACIÓN FUNCIONAL (Funciones lineales)..............................................................................171 FORMA, ESPACIO Y MEDIDA......................................................................................................................................... 184 TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS................................................................................................................................ 184 Apartado 4: JUSTIFICACIÓN DE FÓRMULAS II (Ángulos de los polígonos)............................................... 184 Apartado 5: FIGURAS PLANAS I (Recubrimiento de un plano)..................................................................... 191 MANEJO DE LA INFORMACIÓN.................................................................................................................................... 196 TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN................................................................................................... 196 Apartado 6: GRÁFICAS II (Funciones asociadas)............................................................................................. 196 Apartado 7: GRÁFICAS III (Ordenada al origen)............................................................................................. 199 Apartado 8: GRÁFICAS IV (Inclinación o pendiente de una recta)..............................................................202 APLICACIÓN DE APRENDIZAJES.....................................................................................................................................205 exploración de recursos tecnológicos..........................................................................................................206 ¿CUÁNTO APRENDÍ?.......................................................................................................................................................... 207
BLOQUE 4 ENTRADA DE BLOQUE......................................................................................................................................................209 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO............................................................................................. 210 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE OPERACIONES ................................................................................................... 210 Apartado 1: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN (Productos y cocientes de potencias)............................... 210
8 FORMA, ESPACIO Y MEDIDA.................................................................................................................................... 217 TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS................................................................................................................................ 217 Apartado 2: FIGURAS PLANAS II (Criterios de congruencia de triángulos)............................................... 217 Apartado 3: RECTAS Y ÁNGULOS III (Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo)...223 MANEJO DE LA INFORMACIÓN.............................................................................................................................. 231 TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN................................................................................................................... 231 Apartado 4: NOCIÓN DE PROBABILIDAD I (Probabilidad de eventos independientes)......................... 231 TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN...................................................................................................234 Apartado 5: GRÁFICAS V (Interpretación y utilización de gráficas).............................................................234 Apartado 6: GRÁFICAS VI (Modelación por medio de funciones lineales)............................................... 237 APLICACIÓN DE APRENDIZAJES..................................................................................................................................... 241 exploración de recursos tecnológicos.......................................................................................................... 242 ¿CUÁNTO APRENDÍ?.......................................................................................................................................................... 243
BLOQUE 5 ENTRADA DE BLOQUE...................................................................................................................................................... 245 Sentido numérico y pensamiento algebraico............................................................................................. 246 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES..................................................................................................... 246 Apartado 1: ECUACIONES II (Sistemas de ecuaciones con coeficientes enteros).................................... 246 Forma, espacio y medida.........................................................................................................................................250 TEMA: TRANSFORMACIONES.....................................................................................................................................250 Apartado 2: MOVIMIENTOS EN EL PLANO (Rotación y traslación de figuras)..........................................250 Manejo de la información....................................................................................................................................259 TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN...................................................................................................259 Apartado 3: GRÁFICAS VII (Representación gráfica de sistemas de ecuaciones)...................................259 TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN...................................................................................................................265 Apartado 4: NOCIÓN DE PROBABILIDAD II (Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes)........ 265 APLICACIÓN DE APRENDIZAJES..................................................................................................................................... 267 Exploración de recursos tecnológicos..........................................................................................................268 ¿CUÁNTO APRENDÍ?..........................................................................................................................................................269 FUENTES DE CONSULTA.................................................................................................................................................... 271 Bibliografía para el alumno.................................................................................................................................. 271 Bibliografía para el docente.................................................................................................................................. 271 Sitios de internet.......................................................................................................................................................... 272 Bibliografía consultada........................................................................................................................................... 272
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BLOQUE 1 Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Resuelvan problemas que impliquen efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de nú� meros con signo. 2. Justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero. 3. Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos. 4. Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades. 5. Interpreten y construyan polígonos de frecuencia.
Contexto histórico 1000 a.C. Los fenicios desarrollan el alfabeto.
1700 a.C
753 a.C. Fundación de Roma.
575 a.C. Anaximandro, fundador de la cartografía, introduce en Grecia el reloj de sol.
1000 a.C
1350 a.C
280 a.C. Se construye el Coloso de Rodas, cuya altura es de 110 pies.
650 a.C
240 a.C. Arquímedes inventa la catapulta, y determina las leyes de la hidráulica, las poleas y el centro de gravedad de un objeto.
50
300 a.C
Hechos matemáticos 1650 a.C El papiro de Rhind, documento matemático egipcio, presenta soluciones de ecuaciones simples.
540 a.C
300 a.C
Pitágoras abrió dos escuelas de matemáticas en Grecia, en las cuales por primera vez se admitieron mujeres.
Euclides escribe la obra de geometría Los elementos, en donde resume y organiza el conocimiento matemático desarrollado en Grecia durante los tres siglos anteriores.
240 a.C Arquímedes de Siracusa calcula el valor aproximado de Pi y descubre cómo calcular el volumen de una esfera.
MATEMÁTICAS 2
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SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Multiplicación y divisón de números con signo
Tema: Significado y uso de las operaciones APARTADO 1: PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS I
Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo. Temperatura (ºC)
0
Actividad Previa Reúnete con alguno de tus compañeros para resolver la siguiente situación: En la parte exterior de un refrigerador hay un indicador que señala la tempera� tura de su interior; las variaciones de temperatura deben anotarse cada hora en un registro. El encargado del refrigerador debe estar atento a los cambios y mantener, mediante un termostato, la temperatura dentro de cierto rango. La lectura registrada al iniciar su trabajo era de 27 °C.
Tiempo (horas) 1 2 3 4 5 6
27
En el transcurso de la jornada anotó los siguientes datos: bajó 2 °C; subió 3 °C; subió 5 °C; bajó 7 °C; bajó 4 °C y subió 4 °C. Completa la tabla y la gráfica de registro. Contesta. ¿En qué hora se presentó la mayor variación? ¿Y la menor? ¿Qué temperatura tenía marcada el registro cuando llegó el em� pleado del siguiente turno? ¿Con qué número representas esta información?
Tiempo
Entrada
1a. hora
2a. hora
3a. hora
4a. hora
4a. hora
5a. hora
Temperatura
A continuación te proponemos algunos ejercicios que te pueden servir para recordar el manejo de cantidades positivas y negativas. Considera que, por cuestiones de uso, el 0 (cero) se considera como origen. 1. Representa mediante un número positivo o negativo cada una de las siguientes situaciones. a) 2.5 °C bajo cero
b) Un descuento del 3.25%
g) Perder 2 1 kg de peso
c) 2 375 m sobre el nivel del mar
h) 25 pasos a la izquierda
d) $200 de ganancia
i) Crecer 2 cm de estatura
j) 4 °C sobre cero
e) Perder
3 2
f) 200 m bajo el nivel del mar 2
de un capital
2. Escribe cuatro ejemplos de situaciones en las que consideres posible el uso de números positivos y negativos. Argumenta tus respuestas. a)
c)
b)
d)
¿De qué otra forma puede escribirse 14? ¿Por qué?
BLOQUE 1
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¿Hay alguna diferencia entre 22.5 y 2.5?
Inverso aditivo
¿Por qué?
Dos números son inversos aditivos entre sí cuando su suma es cero. (13) 1 (23) 5 0 (1n) 1 (2n) 5 0
Anota una conclusión, ¿cómo puedes identificar la dife� rencia entre un número positivo y un número negativo?
3. En la siguiente recta numérica, a cada letra le corresponde un número. Determina qué número le corresponde al punto donde se ubica cada letra. En los casos que se trate de una fracción, escríbela tanto en su forma común como en su forma decimal. D
S
25
N
Q
24
A
BG
23
T
22
M
P
E
RO
J
11
12
0
21
C
F
H
13
L
I
K
14
15
Se sabe que...
A
F
K
P
B
G
L
Q
C
H
M
R
D
I
N
S
E
J
O
T
En la recta numérica si a y b son dos números cualesquiera puede suceder: a > b; a está a la derecha de b a 5 b; a está en el mismo punto que b a < b; a está a la izquierda de b
4. A partir de la observación de la recta numérica, en la que se encuentran algunos números con signo, escribe entre cada pareja de los elementos señalados el símbolo > (mayor que), < (menor que) o 5 (igual que), de manera que la relación sea correcta. 24.5
23.25
1
26
25 4
25
a) 24.5
b) 23
1
24
24
23
c) 22
1 4.75 d) 1
3 4
22 2
1 2
21 1 2
22
21
1 2
3
0
1 2.5 e) 1 3
11
1 2
1 2.5 13.25
10.75
21.75
f) 25
1
14
11
1 3.25
1 4
25
1 4.75
1 4
11 2
1
12
13
3 4
2
g) 1
h) 0
1 2.5
1 2
14
i) 1 5
j) 24
15 4
15
1 4
16
25
0
1 4
MATEMÁTICAS 2
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5. En la recta numérica, considera como lugar de inicio el punto dado (0), en cada caso, realiza el recorrido indicado (movimiento positivo hacia la derecha y negativo hacia la izquierda) en las tablas y determina la posición de ese nuevo punto.
0 Origen
Recorrido
Nueva posición
2
6
a) 4
Origen
Recorrido
Nueva posición
f) 22
4
2
b) 5
27
g) 4
1.5
c) 23.2
21.3
h) 24.5
2.5
d) 4.2
22
i)
1 2
e) 4
2
j)
1 2
3 4
1 2
2 3 2
En cada situación se modificó el punto de origen. Comenta por qué es esto posible.
6. Sobre la recta numérica realiza, a partir de cero, los recorridos correspondientes en cada caso; agrupa y reduce cada expresión a un solo número. En el caso de las fracciones, no olvides simplificar.
27
26
25
24
23
22
21
0
11
12
a) 5 1 4 2 2 5
h) 4 1 2 2 8 1 5 5
b) 1 5 2 7 1 4 5
i) 1 2 3 1 5 2 7 5 10 10 10 10
c) 1 5 1 3 2 2 2 2 5
j) 24.4 1 2.2 2 1.1 1 6.6 5
d) 2 3 1 2 1 5 5 4 4 4 e) 2.5 2 3.5 1 4.2 5
13
14
15
16
17
Reglas de la suma (1a) 1 (1b) 5 1(a 1 b) Ej: (15) 1 (13) 5 1(5 1 3) = 18 (2a) 1 (2b) 5 2(a 1 b)
f) 23 1 5 22 5
Ej: (25) 1 (23) 5 2(5 1 3) 5 28 (1a) 1 (2b) 5 signo del (a 2 b) o (b 2 a) mayor Ej: (15) 1 (23) 5 1(5 2 3) = 12
g) 24 1 6 23 5
(25) 1 (13) 5 2(5 2 3) = 22
BLOQUE 1
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Sustracción (minuendo) 2 (sustraendo) 5 (resta) Transformada en adición (minuendo) 2 (sustraendo) 5 (minuendo) 1 (inverso de sustraendo) 5 (resta) (1a) 2 (1b) 5 (1a) 1 (2b) (1a) 2 (2b) 5 (1a) 1 (1b)
7. Explica en cada caso cómo se obtiene el valor numérico y el porqué del signo en el resultado. a) 15 1 2 5 17 b) 23 2 2 5 25 c) 17 2 2 5 15 d) 15 2 7 5 22 8. Convierte cada una de las siguientes sustracciones en una adición. Resuelve y compara tus resultados con los que obtengan tus compañeros. Sustracción
Adición
Resultado
Sustracción
Adición
Resultado
a) (17) 2 (12)
(
)1(
)
g) (26.5) 2 (25.3) (
)1(
)
b) (14.5) 2 (12.3)
(
)1(
)
h) (13) 2 (18)
(
)1(
)
3 1 ) 2 (1 ) 4 2
(
)1(
)
i) (1
1 5 ) 2 (1 ) ( 3 6
)1(
)
(
)1(
)
j) (14.2) 2 (25.3) (
)1(
)
5 2 ) 2 (2 ) 6 3
(
)1(
)
k) (29) 2 (27)
(
)1(
)
f) (22.6) 2 (14.9)
(
)1(
)
l) (2
7 2 ) 2 (2 ) ( 10 5
)1(
)
c) (1
d) (19) 2 (23) e) (1
MATEMÁTICAS 2
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Explica brevemente cómo convertiste cada sustracción en una adición.
Suprimir paréntesis Si a un paréntesis lo antecede un signo 2, todos los términos contenidos en él cambian de signo:
¿Qué le sucede a los números contenidos en un paréntesis precedido de un signo negativo?
2(1a 2b) 5 2a 1 b 2(2c 1d) 5 1c 2 d
¿De qué manera cambia 2(23 1 4 25 1 8) al suprimir el paréntesis?
Actividad 1.1 Representa, por medio de una multiplicación, cada una de las siguientes adiciones de sumandos iguales. Verifica tus resultados con los de tus compañeros. a) (14) 1 (14) 1 (14) 5 (
)3(
b) (22) 1 (22) 1 (22) 1 (22) 5 ( c) (12.2) 1 (12.2) 5 (
)3(
)5 )3(
)5
)5
d) (1
1 1 1 ) 1 (1 ) 1 (1 )5( 2 2 2
e) (2
1 1 1 1 ) 1 (2 ) 1 (2 ) 1 (2 ) 5 ( 4 4 4 4
)3(
f) (11.2) 1 (11.2) 1 (11.2) 1 (11.2) 5 (
)5 )3( )3(
)5 )5
Explica los procedimientos que usas para efectuar la operación... 1) entre dos números enteros: 2) entre dos números decimales: 3) entre dos números fraccionarios:
BLOQUE 1
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Descomponer una multiplicación en sumandos: 3n 5 n 1 n 1 n Agrupar sumandos iguales: a 1 a 1 a 1 a 5 4 a 3
¿Cúal es el número que multiplicado por 1 4 da por resultado 11? 3 (1 ) 3 ( ) 5 5 11 4 Actividad 1.2 Representa con una adición de sumandos iguales cada una de las siguientes multiplicaciones. Luego, resuelve cada caso. a) (14) 3 (15) 5
5
b) (13) 3 (12.5) 5 2 c) (16) 3 (1 ) 5 3 d) (15) 3 (23) 5
5 5 5
e) (14) 3 (28.4) 5 4 f) (16) 3 (2 ) 5 5 g) (24) 3 (2 7 ) 5 8 h) (23) 3 (25) 5
5 5 5 5
i) (24) 3 (25.5) 5
5
j) (25) 3 (2 2 ) 5 5 3 En el ejercicio a) (14) 3 (15), ¿cómo resultó el producto de dos números positivos? En el caso d) (15) 3 (23), ¿cómo resultó el producto de dos números de diferente signo? En el caso i) (24) 3 (25.5), ¿qué hiciste? Explica y da una conclusión.
Podemos afirmar que el producto de dos números de diferente signo es siempre: Además, que el producto de dos números de igual signo es siempre: De tus afirmaciones anteriores, deduce las leyes de los signos para la multiplicación de números con signo: (1a) 3 (2b) 5
, (2a) 3 (1b) 5
,
(1a) 3 (1b) 5
, (2a) 3 (2b) 5
.
MATEMÁTICAS 2
16 Actividad 1.3
Usa tus conocimientos sobre algoritmos de las operaciones y leyes de los signos y encuentra los productos que resultan de cada una de las siguientes multiplicaciones. a) (18) 3 (17) 5
g) (17) 3 (25) 5
b) (29) 3 (18) 5
h) (26) 3 (24) 5
c) (12.2) 3 (13.2) 5
i) (11.2) 3 (22.4) 5
d) (24.5) 3 (12.3) 5
j) (25.2) 3 (22.5) 5
e) (1
3 2 ) 3 (1 ) 5 4 3
k) (1
5 3 ) 3 (2 ) 5 6 4
f) (2
8 7 ) 3 (1 ) 5 9 8
l) (2
2 3 ) 3 (2 ) 5 5 4
Algoritmo: Procedimiento ordenado para realizar una operación. Método. Proceso.
¿Qué procedimiento seguiste para multiplicar dos números enteros?
¿Qué procedimiento seguiste para multiplicar dos números decimales?
¿Qué procedimiento seguiste para multiplicar dos números fraccionarios?
Actividad Extra Observa que la diferencia entre los factores de la primera multiplicación y los de la segunda es que el 3 se multiplica por 2 para obtener el 6.
37 3 3 5
37 3 3 3 2 5 37 3 6
Ahora efectúa las multiplicaciones y observa los resultados.
37 3 3 5
37 3 6 5
¿Qué resultado supones que se encontrará en la siguiente multiplicación? Compruébalo.
37 3 9 5
Si ya tienes un modelo de comportamiento de estos números, escribe los siguientes productos y verifica tus resultados.
37 3 12 5
37 3 18 5
37 3 24 5
37 3 15 5
37 3 21 5
37 3 27 5
BLOQUE 1 Actividad 1.4 Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Ten en cuenta que, en adelante, debes considerar que los números siempre tienen un signo. a) En mi cuenta de ahorro tenía $5 325.00. Si en cada uno de los siguientes tres meses ahorré $136.50, ¿cuánto tengo ahorrado ahora en mi cuenta?
b) Pensé en un número, lo multipliqué por 8 y le resté 56. Si obtuve por resultado cero, ¿cuál es el número que pensé?
c) Cierto día, en el norte de Alaska, la temperatura varió 22.3 °C en cada hora, a par� tir de las 2 de la mañana cuando la temperatura era de 212.5 °C. Si la variación se mantuvo durante cinco horas consecutivas, ¿cuál era la temperatura a las 7 de la ma� ñana?
d) El peso de Marcela ha variado de 64.500 a 55.500 kg en los últimos seis meses, de manera que cada mes la variación ha sido constante, ¿qué número representa esta variación?
17
MATEMÁTICAS 2
18 Actividad 1.5
En las siguientes multiplicaciones falta uno de los factores. Determínalo y anótalo dentro del paréntesis correspondiente. 14 2 a) (17) 3 ( ) 5 156 f) (1 )3( )52 24 3 b) (
) 3 (11.5) 5 13.3
c) (15) 3 (
g) (
) 5 230
h) (12.8) 3 (
d) (
) 3 (13.2) 5 216
e) (1
3 )3( 4
12 ) 5 1 20
4 3 7 5 28 da origen a 28 4 7 5 4 y 28 4 4 5 7 De manera inversa, 45 4 9 5 5 da lugar a 5 3 9 5 45
División exacta
D4d5c
d = divisor
) 5 156
3 15 )52 5 30 4 1 j) (2 )3( )51 10 2 i) (
La multiplicación y la división son dos operaciones inversas, por ejemplo:
D = Dividendo
) 3 (22.5) 5 17.5
c = cociente
) 3 (1
Actividad 1.6 Considera los tres elementos de cada una de las multiplicaciones de la actividad 1.5 y escribe una de las dos divisiones que se obtienen en cada caso. a) ( ) 4 (
) 5
f) (
)4(
)5
b) ( ) 4 (
) 5
g) (
)4(
)5
c) ( ) 4 (
) 5
h) (
)4(
)5
d) ( ) 4 (
) 5
i) (
)4(
)5
e) ( ) 4 (
) 5
j) (
)4(
)5
c3d5D
Con fracciones ( a ) 4 ( c ) 5 ad b d bc
ad c a 3 5 bc d b
Actividad 1.7 Si consideramos que la multiplicación y la división son dos operaciones inversas, ¿de qué manera expresarías las leyes de los signos para la división? Anota cada concepto en las líneas de la derecha usando tus propias palabras. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. (1a) 4 (2b)
,
(2a) 4 (1b)
,
(1a) 4 (1b)
,
(2a) 4 (2b)
.
BLOQUE 1
19
Actividad 1.8 Resuelve cada una de las siguientes divisiones. Toma en cuenta los signos de los elementos participantes. a) (124) 4 (13) 5
e) (170) 4 (25) 5
i) (228) 4 (14) 5
b) (236) 4 (29) 5
f) (17.04) 4 (13.2) 5
j) (12.99) 4 (21.3) 5
c) (26.93) 4 (16.3) 5 d) (1
6 ) 4 (1 8 2 l) (2 ) 4 (2 5
g) (20.52) 4 (20.2) 5
3 15 ) 4 (2 ) 5 2 6
h) (2
k) (1
9 3 ) 4 (1 ) 5 8 4
Propiedad uniforme de la igualdad Si a los dos miembros de una igualdad se les multiplica 1 o se les divide por un mismo número, la igualdad subsiste. 1
x 57 5
5 ( x ) 5 5(7) 5 x 5 35
2
3 )5 4 1 )5 2
Se sabe que...
2
Toda cantidad diferente dividida entre su igual da por resultado 1
3x 5 12
2.5
25
1
1
1 ( 25 5 1; 2.5 5 1; 2 4 2 5 1).
3x 5 12 3 3
Subsiste: Que sigue existiendo. Permanece.
x 5 35
Actividad 1.9 Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones. Comprueba los resultados y compáralos con los de tus compañeros. a) 8x 5 72
e) 24x 5 2.4
x5
x5
b) 6x 5 236
f) 22.5x 5 212.5
x5 c)
x5
x 5 24 25
g)
5 20 x5 6 18
x5 d) 2
x5
4 2 x5 12 3
h)
x5
x 5 22 7 x5
MATEMÁTICAS 2
20
x i) 1 5 1 4
j) x
2
1 3
x5
5 4 5
x5
Actividad 1.10 Resuelve cada uno de los siguientes problemas. Compara tus resultados y comenta los proce h) 5 con tus compañeros. j) 5 dimientos a) Un ciclón recorrió una distancia de 12 km por hora hacia el oeste a partir de un punto. Si se extinguió después de 14 horas, ¿a qué distancia se ubicó del punto inicial? 40o
35o
30o
25o
20o
15o
10o 95o
90o
85o
80o
75o
70o
65o
60o
55o
b)������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������ A partir del año 1980, el promedio de vida se ha incrementado en 0.08 años cada año. Si el pro� medio de vida en ese año era de 65 años, ¿cuál es el promedio de vida actualmente?
c) Cecilia participa en una competencia de salto de longitud. Si del punto límite camina 15 pasos en sentido contrario a la fosa y un paso de ella equivale a 0.70 m y su salto es de 3.80 m, ¿con qué número con signo representas el recorrido previo al salto?
Actividad Complementaria
Si tienen oportunidad de trabajar en la computadoras, desarrollen la lección “Variación proporcional (3)”, que está en la página 58 del libro Hoja electrónica de cálculo. EMAT. México, SEP, 2000.
BLOQUE 1
Tema: Significado y uso de las operaciones APARTADO 2: PROBLEMAS ADITIVOS
21 Adición y sustración de expresiones algebraicas
Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.
Actividad Previa Recordarás que es frecuente representar un número por medio de una literal. Forma un equipo con tus compañeros y propónganse situaciones como: “Pablo tiene que ir de la ciudad a su pueblo que se encuentra a 42 km de distancia. Como decide hacerlo caminando, ha dividido el total de la distancia en cuatro tramos. En el primer tramo recorre cierta distancia; en el segundo tramo recorre lo doble que en el primero; en el tercer tramo recorre lo triple que en el primero, y en el último tramo hace un recorrido que es igual al primer tramo. Si la longitud del primer tramo es x, ¿cómo representas la longitud del segundo? ¿Y la del tercer tra� mo? . ¿Cuál es la longitud del primer tramo? ¿Y la del segundo? ¿Y la del tercero? . Observa el gráfico.
Se sabe que... Cualquier número puede representarse por una literal. a, b, c, representan números cualesquiera.
Lenguaje común: El que se utiliza cotidianamente al hablar o escribir. Lenguaje algebraico: Símbolos numéricos y literales que representan una situación.
42 km
1. Traduce cada una de las siguientes expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico. Comenta tus estrategias y compara tus respuestas con las de tus compañeros. a) Un número.
b) La suma de dos números.
c) La diferencia de dos números.
d) El producto de dos números.
e) La división de dos números.
g) El triple de un número.
h) La mitad de un número.
f) El doble de un número.
i) La tercera parte de la suma de dos números.
j) La suma de un número con su triple es igual a 20.
k) El doble de un número disminuido en 5 es igual a 11.
l) La suma del doble de un número más el triple de otro número es igual a 15.
m) La suma de tres números consecutivos.
n) La suma de dos números consecutivos.
o) La suma de tres números consecutivos pares.
p) La mitad de la suma de dos números consecutivos pares.
MATEMÁTICAS 2
22
2. Traduce al lenguaje común cada una de las siguientes expresiones algebraicas. a) n
b) 4b
i) a 1 3
j) c 1 d 1 e
c) 2f 5 6
k) n 1 n 1 1
d) m 1 2m 1 3m
e) 2r 2 3 5 1
l) 4p 2 4
m) 2a 1 2b 5 40
f) x 1 x 1 2 1 x 1 4
g
n) p 1 p 1 1 1 p 1 2
o) q 1 q 1 1 2
h) y 1 y 1 1 1 2 3
p) x 1 x 1 2 1 x 1 4 6
g)
3
55
BLOQUE 1
23
Actividad 2.1 Las expresiones algebraicas que constan de un término están formadas por una parte numérica o coeficiente y por una parte literal. Por ejemplo: 23m2, su coeficiente es 23 y su parte literal m2; ab, su coeficiente es 1 y su parte literal ab. Identifica en cada caso las partes de los términos algebraicos y completa la tabla. Término
Coeficiente
Se sabe que...
Parte literal
Un término algebraico es una expresión formada por variables y constantes que no se encuentran separadas por los signos de 1 o 2 .
a) 15m 3n 2 b) 2p 2q 3 r c) 12.8 h 3k
Coeficiente: Factor numérico de un término algebraico.
d) m 2 e) 2
3 2 3 m n 4
Se sabe que...
f) 24a b 2
2
Cuando un coeficiente o un exponente no están escritos, su valor es 1. Ejemplos:
g) 7r 3s 2
h) 23.25 m 3np 2 i) 2n j)
1a 2b 5 a 2b
x 5 1x
a 2b 5 a 2b1
m 5 m1 De modo que:
5 3 2 a b c 6
a 5 1a 1
Actividad 2.2 Si 4m2 = m2 1 m2 1 m2 1 m2, quiere decir que el coeficiente 4 es el resultado de sumar 1 1 1 1 1 1 1, que son los coeficientes de los cuatro sumandos m2 (1m2 1 1m2 11m2 11m2). Observa que cada sumando lleva la misma parte literal, es decir, son términos semejantes. Agrupa los siguientes términos algebraicos. a) 3a 1 2a 1 4a 5
g) 23a3 1 2a3 1 5a3 5
b) 5m 2 3m 1 2m 2 2m 5
h) 2b2 2 5b2 1 7b2 5
c) 21.5m3n 2 3m3n 2 4.3m3n 5
i) 5n 1 n 1 2n 2 n 5
d) 4.5ab 2 2.2ab 5
j) 2.5p 2 3.5p 5
e) 28.2m 1 4.5m 5
k) 4a 1 2a 1 2a 5
f) 2
3 2 7 2 a 1 a 5 4 4
2 l) 2 4 a2b 1 a2b 5 9 9
MATEMÁTICAS 2
24 Actividad 2.3
Reduce a su más simple expresión los siguientes grupos de términos algebraicos. Recuerda que la reducción sólo se puede realizar con términos que tengan igual su parte literal. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. a) 3a 1 2b 1 4a 1 5b 5 b) 4d 1 2e 2 2 3d 1 6e 2 5 c) 2 4.5f 32 3.2h 2 0.8h 1 1.5f 3 5 d) 2 2m 3 1 3n 2 1 5m 3 1 7n 2 5 e) 3.2a 3 b 2 1 1.2a 2 b 3 1 3.8a 3 b 2 2 0.6a 2 b 3 2 2.2a 3 b 2 5 f) 4x 2 2y 2 4 1 4y 1 5 1 2 2 7x 5 g) n 1 n 1 2 1 n 1 4 1 n 1 6 5 h) 2 4.5m 3n 2 3m 3 1 1.4m 3n 1 2m 3 2 3.1m 3n 5 3 1 2 5 a1 b2 a2 b5 8 3 8 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 5 3 2 j) 1 a b 1 a b 1 a b 1 a b 5 2 3 4 6 i) 2
Actividad 2.4 La medida de los lados de cada uno de los siguientes polígonos se encuentra expresada por un término algebraico. Calcula su perímetro. 4b 2x
2c
2x 4b
4b
c
c
4b
2x
2c
m
m
4d 7d
7d 12d
m
m m
BLOQUE 1
25 7m
4a
3m 5a
2y
5m
2y 2.5a
y
5a
3c
8x 3x 8x
5c
4c
3.16c 5x
Actividad 2.5 Para cada uno de los siguientes enunciados, determina la expresión algebraica correspondiente. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. a) La edad de Pedro es el doble de la edad de María y ambas suman 24 años. b) Las edades de José y su hermano suman 28 años. José es dos años mayor que su hermano. c) Alberto realizó dos pruebas en el bimestre. La suma de sus calificaciones es 14, y en una prueba obtuvo dos puntos menos que en la otra. d) Las estaturas de dos hermanos tienen una diferencia de cinco centímetros. e) El perímetro de un triángulo cuyos lados, de menor a mayor, difieren en dos decímetros. f) El perímetro de un triángulo mide 36 cm. Sus lados son entre sí como los números 3, 4 y 5. g) El segundo de los ángulos interiores de un triángulo es lo doble del primero y el tercero es el triple del primero.
MATEMÁTICAS 2
26 Actividad 2.6
Reúnete con tus compañeros de equipo para que analicen y comenten cada cuestión antes de responder. Después sustituyan las literales para comprobar sus respuestas. a) Si un número natural está expresado por m, ¿cuál es su consecutivo? ¿Y cuál es su antecesor? Su consecutivo es:
Si m = 790, entonces: 5
y su antecesor es:
5
b) Si a es un número natural par, ¿cuál es el siguiente número par? ¿Y el siguiente?
. ¿Y el siguiente?
Si a 5 4, ¿cuáles son su siguiente y su antecesor? c) Si n es un número natural, escribe tres números consecutivos. ¿Cómo expresarías algebraicamente la suma de esos tres números consecutivos? Si agrupas términos semejantes, ¿a qué se reduce? Si n 5
, entonces su suma es
5
d) Considera cuatro números pares consecutivos a partir de d. Representa algebraicamente su suma. Redúcelos, agrupando términos semejantes. Analiza esta nueva expresión y anota lo que observas. e) Expresa algebraicamente cinco números consecutivos. Agrúpalos. f) Considera la serie: 1, 3, 5, 7, 9, 11. Exprésala algebraicamente y reduce términos semejantes. Haz lo mismo con: 2, 4, 6, 8, 10, 12. ¿Qué observas en ambas reducciones?
BLOQUE 1
27
Actividad 2.7 Formen equipos, respondan cada una de las siguientes situaciones y anoten la justificación de sus respuestas mediante un ejemplo numérico.
Se sabe que... Un número es divisible entre otro, si al hacer la división el cociente es entero y el residuo cero.
a) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de tres números consecutivos es divisible entre 3”.
si si
Números consecutivos: x, x 1 1, x 1 2 Su suma: 3 x 1 1 es divisible entre 3 x57 7 1 8 1 9 5 24 24 4 3 5 8
x51
1121356 64352
b) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de d) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de cuatro números consecutivos es divisible entre 2, cinco números consecutivos es divisible entre entre 3 y entre 4”. 5”.
c) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de e) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de dos números consecutivos es un número par” dos números consecutivos es un número divisi� ble entre 2”.
28
MATEMÁTICAS 2 f) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de h) Comprueba si es cierto o no que: “la suma cuatro números consecutivos pares es un núme� de cinco números consecutivos pares es un ro divisible entre 2 y entre 4”. número divisible entre 5”.
g) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de i) Comprueba si es cierto o no que: “la suma dos números consecutivos impares es un núme� de cinco números consecutivos pares es un ro par”. número divisible entre 5 y entre 10”.
j) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de tres números consecutivos impares es un número impar”.
BLOQUE 1
29 Expresiones algebraicas equivalentes
TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES APARTADO 3: OPERACIONES COMBINADAS I
Conocimientos y habilidades Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.
Actividad Previa Es posible representar una situación por medio de una expresión algebraica. También es frecuente utilizar figuras geométricas para facilitar la comprensión, pues objetivamente nos permiten entender situaciones concretas a partir de los conceptos de forma y medida (perímetro y área). Por ejemplo: El caso de las fórmulas. Si el perímetro y el área de un rectángulo están dados por 2a 1 2b y ab, respectivamente, dibuja el rectángulo correspondiente señalando sus dimensiones.
Se sabe que... Las unidades de área resultan del cuadrado de la unidad lineal.
En primer grado estudiaste que la unidad de área: 1 u2 5 , que se obtiene de un cuadrado cuyo lado mide una unidad. Como el área resulta de multiplicar lado por lado, entonces: 1u 3 1u 5 1u2
Es posible calcular el área de un rectángulo o de un cuadrado conociendo sus medidas. Por ejemplo: Determina el área de un cuadrado cuyo lado mide 7 cm.
A 5 3 5 7 cm 3 7 cm 5 49 cm . 2
Producto de potencias El producto de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. m2 3 m3 5 m2 1 3 5 m5 a 3 a2 5 a1 1 2 5 a3
7 cm
7 cm
5 cm En el caso de un rectángulo, a 5 7 m; b 5 5 m, entonces:
A 5 7 m 3 5 m 5 35 m2.
MATEMÁTICAS 2
30 Actividad 3.1
Para cada uno de los siguientes cuadriláteros, calcula su área. 2 cm 10 cm
5.5 dm 2 cm
4 cm
2.5 dm
0.1 m
105 m 60 m
0.1 m
Actividad 3.2 Para cada uno de los siguientes cuadrados, calcula su área, dado uno de sus lados. 5b 3a
7c
1.2n
1 x 2
BLOQUE 1
31
Actividad 3.3 Para cada uno de los siguientes rectángulos, determina su área. 6b
2a
a
x12 3
2b
2n 1 1
d22
n
5
Si te dan el área y uno de los lados, ¿qué harías para calcular el otro lado?
Actividad 3.4 En el recuadro se muestra cómo se obtiene el área de cada cuadrilátero. Utiliza esa idea para expresar el área de cada figura de dos maneras diferentes (expresiones algebraicas equivalentes). Observa el ejemplo.
y
y 2
2 4 2
y
Ejemplo: El área de la figura compuesta, dados sus lados.
2
2y
y a)
y
y y1y
y12 A 5 y (y 1 2)
A5
A 5 y 1 2y
A5
2
MATEMÁTICAS 2
32 b)
y
Propiedad distributiva El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos del número en cuestión por cada sumando. Ejemplo:
212 A5
A5
c)
a 3 (b 1 c 2 d) 5 a 3 b 1 a 3 c 2 a 3 d
e) 2
2
2
y12
y12
A5
A 5
A5
A 5
d)
f) 2
2 2
2
2
2
2
y12
y12
A5
A 5
A5
A 5
Actividad Extra Encuentra las áreas de dos cuadrados cuya suma sea 10 unidades cuadradas. ¿Cuánto miden los lados de cada cuadrado?
BLOQUE 1
33
forma, espacio y medida Medición de ángulos
Tema: medida APARTADO 4: ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR I Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.
Actividad Previa Reúnete con tus compañeros para realizar este ejercicio. Consiste en reconocer tu juego de geometría. Anota el nombre de cada instrumento, sus características y el uso que se le da a cada uno de ellos en la construcción de figuras geométricas.
Nombre
Características
Usos
¿Cuál es el uso principal que se le da al transportador? Observa tu entorno y menciona en dónde está formado un ángulo.
Ángulo: Sección del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto.
MATEMÁTICAS 2
34 Actividad 4.1
En las siguientes imágenes, marca con rojo la mayor cantidad de ángulos que observes. Considera que son imágenes planas. Fíjate en los ejemplos.
Escribe cómo le explicarías a tus compañeros lo que es un ángulo.
Actividad 4.2 Haciendo uso correcto del transportador, mide la abertura que está marcada con un arco rojo, entre cada par de semirrectas o semiplanos y anota su medida.
BLOQUE 1
35
Actividad 4.3
recto
Tu transportador te da la posibilidad de medir diferentes ángulos. Dentro de esa diversidad existe una clasificación de los ángulos, de acuerdo con su abertura. Observa la figura y su notación:
90º f obtuso
f
f
Ubica en el transportador circular cada ángulo y, en equipos, completa en el siguiente cuadro las características; escribe un concepto de cada uno de ellos en tu cuaderno.
f 180º
f
Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso Ángulo llano
0º i 360º f
V
entrante
270º Se sabe que...
Rango de medida Entre
perígono
colineal o llano
i = lado inicial; f = lado final; v = vértice
Clase
agudo
,y
o sea, mayor de
, pero menor de
.
,y
o sea, mayor de
, pero menor de
.
C
Igual a Entre Igual a
Ángulo entrante
Entre
Ángulo perígono
Igual a
,y
o sea, mayor de
, pero menor de
.
a B
a, o bien ABC.
Actividad 4.4 Utiliza tu transportador para que construyas cada uno de los siguientes ángulos. Indica en cada caso de qué clase de ángulo se trata. a) ABC 5 120°
c) DEF 5 60°
e) GHI 5 90°
b) JKL 5 45°
d) MNO 5 180°
f) PQR 5 240°
A
El ángulo a puede denotarse como
MATEMÁTICAS 2
36 Actividad 4.5
Utilizando sólo regla y compás, construye un ángulo congruente a cada ángulo dado. Anota a qué clase pertenece y verifica con el transportador la igualdad de las medidas. Observa el proceso de construcción. Ángulo obtenido Ángulo dado M 1) Traza una semirrecta M’ 2) Traza un arco M A
N
A’
N
A
N’
3) Mide el arco
A’ N’ 3) Mide el arco y márcalo
A’
N’ 4) Traza para formar el ángulo
2) Traza un arco Resulta: N’ A’ M’ 5 NAM a)
d)
D
C
E A
B ABC 5
; Clase:
b)
DEF 5
; Clase:
K
e)
H
G
F
I J GHI 5
JKL 5
; Clase:
c)
; Clase:
f)
O M
P
; Clase:
Q R
N
MNO 5
L
PQR 5
; Clase:
BLOQUE 1
37
Actividad 4.6 Observa los siguientes ángulos. Estima su medida y anota qué clase de ángulos son. Compara tus aproximaciones con las de tus compañeros (¡NO MIDAS! Si al final quieres verificar cuánto te aproximaste, hazlo). a)
d)
Medida estimada: Clase:
b)
Medida estimada: Clase:
e)
Medida estimada: Clase:
c)
Medida estimada: Clase:
f)
Medida estimada: Clase:
Medida estimada: Clase:
¿En qué tipo de unidades expresaste la medida de cada uno de los ángulos anteriores?
MATEMÁTICAS 2
38
Completa las siguientes equivalencias: 1o = 60’ y 1”= También las unidades de tiempo varían de manera sexagesimal, por lo tanto: 1 hora 5 minutos y 1 minuto 5 segundos. Otra forma de clasificar los ángulos es “por su suma”. En este caso se trata de parejas de ángulos cuya suma es igual a cada uno de los ángulos, que por su clase siempre tienen la misma medida, es decir: Por su abertura
Medida constante
Por su suma
Algebraicamente
Recto
90°
Complementarios
a + b 5 90°
Llano o colineal
180°
Suplementarios
a + b 5 180°
Perígono
360°
Conjugados
a + b 5 360°
Gráficamente Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Ángulos conjugados
a
b
b
b
a a + b 5 90°
a
a + b 5 180°
a + b 5 360°
Actividad 4.7 En cada una de las siguientes figuras aparece la medida de un ángulo. Determina la medida del ángulo señalado con una literal. b)
a)
c) 30°
120°
90°
b
a
a5
b5
d)
c5
e) 25°
d
e 75°
d5
e5
c
BLOQUE 1
39
Actividad 4.8 Para cada uno de los siguientes ángulos determina la medida de su complemento, su suplemento y su conjugado correspondiente. Observa los ejemplos y completa la tabla. Ángulo
Complemento
45°
90° — 45° = 45°
Suplemento
Conjugado
30° 30’ 48° 10’ 78° 45’
179°60’ — 78°45’ = 101°15’
Explica qué hiciste para hallar el conjugado de 48o 10’. Actividad 4.9 Resuelve cada una de las siguientes situaciones y ejercicios. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. a) Para sostener verticalmente un poste se re- c) La hora de entrada a la escuela es a las 7:30. quieren cables que van sujetos de la parte La primera sesión de este día es Taller y la más alta del poste al piso. Uno de los ángulos clase dura 100 minutos. ¿A qué hora empieza que se forma entre el cable y el piso mide 58°, la segunda sesión? ¿cuánto mide el otro ángulo?
58° b) Al trazar las diagonales de un cuadrilátero, uno d) En el trayecto de mi casa a la escuela tardé de los ángulos formados entre ellas mide 40°, 50´, si llegué al plantel a las 7:20, ¿a qué hora ¿cuánto mide el ángulo que se encuentra junto salí de casa? a él? 40°
MATEMÁTICAS 2
40
e) Un papalote se sostuvo en cierta posición, por h) Una película en DVD tiene marcado un tiempo lo que se amarró a un soporte en el suelo. En de duración de 190 minutos. Si se comienza a esa posición el hilo formó un ángulo de 78° proyectar a las 19:45, ¿a qué hora finalizará? 30´ con el piso, ¿qué ángulo formó con la vertical?
78° 30´
f) En un lanzamiento de jabalina, ésta queda i) La mamá de Elsa va a hornear un pavo. Si lo clavada en el piso formando un ángulo de colocó en el horno a las 5:45 pm y lo sacó a 60° 30´, con el piso, en dirección del tirador, las 21.30 horas, ¿cuánto tiempo estuvo asán¿qué ángulo se forma en dirección contraria? dose el pavo en el horno?
60° 30´
?
g) El ángulo interior de un polígono regular de j) A las 19 horas, 24 minutos y 36 segundos se 13 lados mide 152° 18´, ¿cuál es la medida de cronometró el tiempo de llegada del ganasu ángulo exterior? dor de la carrera de maratón. Si el tiempo del recorrido fue de 4 horas, 15 minutos y 24 segundos, ¿a qué hora se dio el disparo de salida para todos los competidores?
BLOQUE 1
41
¿Para qué se utilizan las medidas angulares en Geografía? Actividad 4.10 Ciertos trabajos requieren hacer operaciones con unidades angulares y de tiempo, llamadas “denominados”. Te proponemos que realices algunos para afinar tu habilidad en las conversiones de unidades en el sistema sexagesimal. a) Cierta nave se encuentra en el océa- d) El lanzamiento de un cohete a la Luna se no Pacífico en un punto cuya posición es realizó a las 7 horas, 30 minutos, 30 segun35° 40´ 20”, latitud Norte. Llegará a puerto dos del día 12 de mayo. El tiempo estimado cuando en la misma dirección se encuende vuelo es de 13 días, 8 horas, 20 minutos, tre a 72° 50´ 45”. ¿Qué arco debe recorrer 24 segundos. ¿Para qué día y a qué hora se para llegar a su destino? calcula que se realice el alunizaje?
b) Suma:
e) Suma: 45º 1 46’ 1 54’’ 120º 1 8’ 1 22’’
c) Resta:
15 h 1 34 min 1 45 seg 12 h 1 45 min 1 24 seg
f) Resta: 180º 174º 1 45’ 1 15’’
12 días 1 14 h 1 35 min 1 20 seg 8 días 1 10 h 1 45 min 1 30 seg
MATEMÁTICAS 2
42
Actividad Complementaria
Para medir los ángulos de la siguiente página, construye este recurso. Necesitas un cuadrado de papel para doblar y seguir el procedimiento mostrado en los esquemas.
450
150
900 750 750
300
300 900 600 1200 900 1200 600
1200 600 900 600 1200 900
600 900
60
0
600
1
3
900
2
4
5
BLOQUE 1
43
Medir ángulos con el transportador de papel. Mide los siguientes ángulos (puedes sumar, restar, superponer... los ángulos de tu “transportador de papel”).
Actividad Extra Las manecillas del reloj forman ángulos. Por ejemplo, observa que a las 4:00 los ángulos que se forman miden 120º y 240º, respectivamente. Encuentra la medida de la pareja de ángulos que se forman cuando las manecillas del reloj marcan las siguientes horas. a) 3:00
y
d) 4:30
y
b) 7:00
y
e) 8:20
y
c) 11:00
y
f) 11:15
y
MATEMÁTICAS 2
44
Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Tema: Formas geométricas APARTADO 5: RECTAS Y ÁNGULOS I
Conocimientos y habilidades Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.
Actividad Previa Supongamos que cada uno de los siguientes rectángulos es un plano que puede extenderse de manera infinita en todos sus sentidos. Sobre cada uno de ellos, traza dos líneas rectas en cualquier dirección. Posteriormente, completa los enunciados propuestos. a)
b)
c)
d)
e)
f)
Al hacer tus trazos, ¿en cuáles casos las rectas no se cortaron? Y si se prolongaran de manera indefinida, ¿habrá un punto donde se corten? Obsérvalas bien. ¿En cuáles de los trazos que realizaste se cortaron las líneas rectas? Al cortarse las rectas en un punto, ¿qué se forma? ¿Cuántos? ¿Qué clase de ángulos encontraste? ¿Algunas rectas que se cortaron formaron ángulos rectos? ¿Cómo son entre sí?
BLOQUE 1
45
¿Cómo se llama a las rectas que por más que se prolonguen nunca se cortan? Comenta con tus compañeros las respuestas que obtuvieron y anota tus conclusiones relatando qué es lo que puede suceder al trazar dos líneas rectas en un plano.
Las posiciones relativas de dos rectas en el plano son dos: se cortan (secantes), o no se cortan (paralelas). A dos rectas que no son paralelas ni perpendiculares también se les conoce como oblicuas.
Oblicuo: Inclinado. Que no es perpendicular ni paralelo a otro (rectas, no paralelas ni perpendiculares).
Actividad 5.1 A continuación aparecen cuatro líneas rectas. Ubícalas en cada plano, por parejas, según se indica y completa las cuestiones que se te plantean. Trabaja en equipo con la idea de resolver lo que se plantea.
A
B
C
D
a)
AB y GH
CD y EF
c)
AB y CD e)
E G F
H
b)
EF y GH
CD y GH
d)
f)
AB y EF
En el ejercicio a), ¿se cortaron las rectas?
,
¿Cuántos ángulos se formaron?
,
¿De qué clase son esos ángulos? Estima sus medidas:
, y
¿Qué otro ejercicio es semejante a éste?
, .
¿Habría algún cambio si en lugar de la recta GH se hubiera considerado la recta HG ? ¿Por qué?
.
MATEMÁTICAS 2
46 Rectas paralelas Rectas que no se cortan en el plano. Rectas perpendiculares Rectas que se cortan en el plano formando ángulos rectos.
En el ejercicio c), ¿se cortaron las rectas? ¿Cuántos ángulos se formaron? ¿De qué clases son esos ángulos? Estima sus medidas:
y
¿Qué otro ejercicio es semejante a éste? ¿Habría algún cambio si en lugar de la recta E F se hubiera considerado la recta FE ? ¿Por qué? ¿Qué nombre reciben estas parejas de líneas rectas? ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos que se forman?
Actividad 5.2 A continuación aparecen algunas situaciones similares a las del ejercicio anterior. Escribe sobre la figura, en el ángulo, a qué clase pertenece de acuerdo a su amplitud. Sigue el ejemplo.
Rectas oblicuas
a)
c)
b)
d)
Rectas no perpendiculares que se cortan en el plano.
Rectas SECANTES Dos rectas que tienen un punto en común.
obtuso
¿Cómo se les llama a las rectas de la figura a)? ¿Cuántos ángulos se forman?
, ¿cuánto mide cada ángulo?
.
BLOQUE 1
47
¿Cómo se les llama a las rectas de la figura b)?
,
¿Por qué?
.
En la figura c), ¿cuántas clases de ángulos se forman?
,
¿Cuáles son?
.
y
¿Cuánto suman?
.
¿Hay en esa figura ángulos de la misma clase?
;
Si los midieras, ¿cómo consideras que resultan sus medidas?
.
Analiza la figura d) y anota tus observaciones.
Adyacente: Que está inmediato, contiguo o junto.
Ángulos adyacentes Son dos ángulos que tienen un lado común y el otro lado de uno es la prolongación del otro lado del otro ángulo.
Actividad 5.3 Observa la siguiente figura y responde cada cuestión.
a b
d
c
¿Qué parejas de ángulos tienen la misma medida? ¿Qué parejas de ángulos suman 180°? ¿Cuál es el ángulo opuesto por el vértice al a ? Y ¿al b? ¿Cuáles son los ángulos adyacentes al a ? ¿Y al b? ¿Y al c? ¿Y al d?
Se sabe que... Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno son la prolongación de los lados del otro.
MATEMÁTICAS 2
48 Actividad 5.4
Observa la siguiente figura y completa cada proposición.
a b
d
c 5 65°
¿Qué ángulo es igual al c ? ¿Cuánto suman el a y el c ? ¿Qué parejas de ángulos son opuestos por el vértice?
y
,
¿Cómo son entre sí? ¿Cuánto mide el b ? ¿Qué ángulos son adyacentes al d ?
y
¿Cuál es el ángulo opuesto por el vértice al a ?
,
¿Cuánto mide el a ? ¿Cuánto suman a 1 b 1 c 1 d 5 ?
.
Actividad 5.5 En cada una de las siguientes figuras aparece la medida de uno o dos ángulos. Determina el valor de los ángulos que se señalan e identifica las parejas de ángulos adyacentes u opuestos por el vértice, según se solicite. a) a5
b
a
b5
d5
Ángulos opuestos por el vértice: y
c 5 55°
d
y Ángulos adyacentes: y y
BLOQUE 1
49
b)
c e 40°
a
b 140°
a5
b5
c5
d5
e5
f5
Ángulos opuestos por el vértice: y
d
y
f
y y Ángulos adyacentes: y y y y
c)
105° m n p
s
m5
n5
p5
s5
t5
v5
a5
b5
c5
d5
e5
f5
t v
50°
d)
90° a b c
d e 90° f
MATEMÁTICAS 2
50
Actividad Extra Trabaja en equipo. Completen la demostración del teorema: “Dos rectas que se cortan en el plano forman ángulos opuestos por el vértice iguales”, completando las siguientes proposiciones justificarán cada afirmación. No se pretende que escriban axiomas o propiedades, completen según su forma de entender y comunicar. FIGURA
HIPÓTESIS
Demostración
M
Deducir una cosa partiendo de proposiciones verdaderas y evidentes.
A q p
O
Dos rectas se cortan en el punto O y forman los ángulos: p, q, r y s
r
s
Axioma Verdad evidente que no requiere demostración. Se acepta.
N
B
RAZONAMIENTO
p1q5
Teorema
,
Proposición verdadera que requiere demostración.
¿Por qué?
r1q5
,
¿Por qué?
p1q5r1q
,
HIPÓTESIS
¿Por qué?
p1q2q5r1q2
,
¿Por qué? Conclusión: p 5 r
Lo que se establece provisionalmente como base de investigación para confirmar o negar su validez.
¿Por qué? TESIS
p5r
El punto O, ¿se encuentra en la recta AB o en la recta BA?
TESIS Conclusión que se obtiene con razonamientos.
El punto O, ¿se encuentra en la recta MN o en la recta NM ? ¿Qué representa el punto O ?:
Actividad Complementaria
Si tienen oportunidad de trabajar en las computadoras, desarrollen la lección “Posiciones relativas de las rectas en el plano”, que está en las páginas 102 y 103 del libro Geometría dinámica. EMAT. México, SEP, 2000.
BLOQUE 1
51 Posiciones relativas entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal
TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS APARTADO 6: RECTAS Y ÁNGULOS II Conocimientos y habilidades Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.
Actividad Previa En cada uno de los siguientes rectángulos, considerados como planos, traza tres líneas rectas en cualquier dirección. Posteriormente, comenta las diferentes posibilidades que encontraste. Compara y comenta con tus compañeros. Anota tus conclusiones. a)
b)
c)
d)
Seguramente tres de tus trazos coinciden con las siguientes descripciones, indica cuáles. Tres rectas paralelas. Dos rectas paralelas y una transversal. Dos rectas paralelas y una transversal, perpendicular a ellas. Tres rectas que se cortan en un punto. Dos rectas convergentes y una transversal.
Transversal: Recta que corta dos líneas en dos puntos diferentes.
e)
MATEMÁTICAS 2
52
Estos casos y otros que hayan surgido los vamos a resumir en los siguientes:
A
B
C
D
E
F
M
M
R
S
R
Tres rectas paralelas.
AB CD EF
Dos paralelas cortadas por una transversal.
S
RS T
U
N
T
MN es una transversal; en el primer caso resultó perpendicular a las paralelas.
U
N
R
G
F
Convergente: Dirigirse dos o más líneas hacia un punto.
TU
I
J
Dos rectas convergentes cortadas por una transversal.
FG y IJ, cortadas por RS
S Actividad 6.1 Observa junto con uno de tus compañeros la figura. Contiene información que les permitirá completar las cuestiones que se plantean.
REGIÓN
EXTERIOR
A a c REGIÓN
C
Describe la figura:
M
b d
¿Qué ángulos se encuentran en la región interior? ¿Qué ángulos se encuentran en la región exterior?
N REGIÓN
¿Cuántos ángulos se forman? ¿Cuáles son?
D
h
g
INTERIOR
f
e
B
EXTERIOR
BLOQUE 1 ¿Cuáles parejas de ángulos son iguales? ¿Cuáles parejas de ángulos suman 180°? Estima la medida de cada ángulo, ¿consideras que algún ángulo de la parte superior tiene la misma medida que alguno de la parte inferior? ¿Cuáles? ¿Qué parejas de ángulos de la región interior suman 180°? ¿Qué parejas de ángulos de la región exterior suman 180°? Ángulos entre paralelas Alternos externos: ángulos exteriores que se encuentran a uno y otro lado de la transversal. Alternos internos: ángulos interiores que se encuentran a uno y otro lado de la transversal. Correspondientes: ángulos que se encuentran del mismo lado de la secante formando parejas, un interno con un externo. Actividad 6.2 En la figura CD
AB y RS es una secante. Completa las siguientes cuestiones. ¿Cuántos ángulos se forman?
R
C
g e
h f
D
Por su amplitud, ¿cuántas clases de ángulos hay? ¿De qué clases son? ¿Cuáles son sus medidas? Usa el transportador.
A
c a
d b
B ¿Qué ángulos son iguales al a ?
S
¿Qué ángulos son iguales al b ?
53
MATEMÁTICAS 2
54
Si seleccionas al azar una pareja de ángulos, ¿cuál es el total de combinaciones que se presentan? Si es necesario, observa de nuevo la figura de la página anterior. ¿Qué parejas de ángulos de la región interior son iguales? ¿Por qué? ¿Qué parejas de ángulos de la región exterior son iguales? ¿Por qué? ¿Qué parejas de ángulos del lado derecho de la secante son iguales? ¿Por qué? ¿Qué características en común tienen esas parejas de ángulos? ¿Qué parejas de ángulos del lado izquierdo de la secante son iguales? ¿Por qué? ¿Qué características en común tienen esas parejas de ángulos? ¿Qué parejas de ángulos llamarías alternos internos? ¿Qué parejas de ángulos llamarías alternos externos? ¿Cuánto suma cada pareja de ángulos adyacentes? Representa por medio de una expresión algebraica la suma de los ángulos adyacentes exteriores. Y la de los adyacentes interiores. ¿Cuánto suman cada pareja de ángulos internos que están del mismo lado de la secante? ¿Cuánto suman cada pareja de ángulos externos que están del mismo lado de la secante? Completa cada una de las siguientes relaciones. a 5
a 5
a 5
b 5
b 5
a 1 b 5
c 1 d 5
e 1 f 5
f 5
g 5
BLOQUE 1
55
Actividad 6.3 Observa la figura y completa la clasificación de los ángulos que hemos venido trabajando. Clasificación de los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una secante. Complétala.
S
P
1 3
2
Ángulos opuestos por el vértice: 1 y 4, Q
4
Ángulos adyacentes externos: 1 y 2, Ángulos adyacentes internos: 5 y 6,
F
5 7
6
G Ángulos correspondientes: 7 y 3,
8
Ángulos alternos externos: 1 y 8,
T
Ángulos alternos internos: 3 y 6, Ángulos colaterales internos: 4 y 6, Ángulos colaterales externos: 1 y 7,
Colateral: Que se encuentra del mismo lado.
Teorema
Los ángulos correspondientes son iguales.
Teorema
Los ángulos alternos internos son iguales.
Teorema
Los ángulos alternos externos son iguales.
Actividad 6.4 Reúnete en equipo con el fin de hacer algunas consideraciones sobre la clasificación del ejercicio anterior a partir de las siguientes preguntas. ¿Qué parejas de ángulos son iguales? ¿Qué parejas de ángulos suman 180°? Nota: Por el momento aceptaremos estas últimas respuestas como proposiciones verdaderas; es necesario demostrarlas de manera formal.
MATEMÁTICAS 2
56 Actividad 6.5
En las figuras siguientes FG JK y PQ es una secante. Considerando la medida arbitraria del ángulo dado, determina las medidas de los demás.
P
F
a c
J
e g
despejando: a 5
a5
c5
d5
e5
K
f5 g5
h5
G
70°
d
f h
a 1 70° 5
, 2
Q
p
F
p r
J
t
u 140°
v
q
G
s
K
v 1 140° 5
despejando: v 5
p5
q5
r5
s5
t5
u5
, 2
Q
Actividad Complementaria
Al trabajar en la computadora, ¿qué programa utilizarías para trazar rectas? ¿Cómo harías para que la computadora trace en la pantalla dos rectas que al intersecarse formen ángulos de 30° y 150°? ¡Demuéstralo en la computadora!
BLOQUE 1
57
Actividad 6.6 Analiza las figuras y completa los planteamientos. FIGURA 1: AB es cortada por MN
M FIGURA 2: AB se desplaza a la posición
A’B’, de manera que: MN es
secante a AB
A’B’ M
A
a
B
A’
a’
m n
B’
r
N A
s b
a c
N
AB se ha desplazado en la dirección de MN, paralelamente, hasta tomar la posición A’B’. ¿ Q u é
á n g u l o s
s e
c o r r e s p o n d e n ?
¿Cómo son entre sí a y a’ ? ¿Cómo les llamarías a dos ángulos que se corresponden? ¿Qué otras parejas de ángulos son correspondientes?
B
MATEMÁTICAS 2
58 Actividad 6.7
Reproduce en una lámina la figura. Colócala en un lugar visible para poder realizar un ejercicio oral. Se han elegido algunas parejas de ángulos; hay que identificar cada una de ellas por su nombre, de acuerdo con la clasificación.
A P
a p
m
Q
q PQ RS;
R
d
S
h
r
AB secante que las corta.
s B
a) a y m
k) a y q
b) a y d
l) p y d
c) a y r
m) p y h
d) m y s
n) q y h
e) a y s
o) r y s
f) p y q
p) d y h
g) m y p
q) q y s
h) h y m
r) q y d
i) h y r
s) r y m
j) p y r
t) d y s
¿Cuáles parejas de ángulos cambiarían de nombre con el que se les puede identificar, si las rectas PQ y RS de la actividad 6.7 no fueran paralelas? Por ejemplo: la pareja de ángulos a y m no cambiarían de nombre, siguen siendo ángulos adyacentes y suplementarios.
Actividad Complementaria
Si tienen oportunidad de trabajar en las computadoras, desarrollen la lección “Relaciones de los ángulos entre paralelas”, que está en las páginas 104 y 105 del libro Geometría dinámica. EMAT. México, SEP, 2000.
BLOQUE 1
59
Actividad 6.8 En las siguientes figuras hay una pareja de ángulos con los que puedes formar una relación (no midas, su apertura es arbitraria). A partir de que la obtengas, determina el valor de los ángulos que se solicitan.
a) Rectas paralelas cortadas por una diagonal.
x5 a5
x a c
e
c5
x 1 40°
b
e5 x 1 40° 5
d
b5
f
d5 f5 b) Rectas paralelas cortadas por una diagonal.
x5 p5 r5
x
3x p q
t5
s t
r u
3x 5 q5 s5 u5
c) Rectas no paralelas cortadas por una secante. a5 95° b a c
c5 g5 b5
130° f g h
h5 f5
MATEMÁTICAS 2
60 Actividad 6.9
En la siguiente figura MN AB y MP BC, determina la medida de cada uno de los ángulos que se solicitan.
C
a5
60°
b 5 c 5
M
90° c d
b
d 5
eN
e 5 f 5 g 5
A
90°
g
f P
a
B
Actividad Complementaria
Calca la siguiente figura. Recórtala en tres partes, de manera que en cada una de ellas quede uno de los ángulos. Pega los ángulos sobre la línea, de manera que el primer lado coincida con ella y el vértice se ubique en el punto O.
a
b
c
¿Cuánto mide el ángulo de vértice en O? Al pegar los ángulos, ¿los hiciste coincidir de manera que aparezcan solamente tres líneas rectas? ¿Cuánto suman esos tres ángulos? Anota una conclusión relativa a los ángulos del triángulo que recortaste y acomodaste sobre la línea recta.
0
BLOQUE 1
61
Actividad 6.10 Tratando de hacer consistente la afirmación anterior y tus conocimientos sobre ángulos entre paralelas, te proponemos que completes lo siguiente para demostrar que: “Los ángulos interiores de un triángulo cualquiera suman 180°”. FIGURA
M
HIPÓTESIS
C m
c
N n Dado ABC, de ángulos interiores a, b y c. Sea MN
a
AB, al trazarla se forman los ángulos m y n.
b
A
B RAZONAMIENTO
¿Cómo son entre sí los ángulos m y a ? Por su posición en la figura, ¿cómo se llaman? ¿Cómo se les llama a los ángulos n y b ? ¿Cómo son sus medidas? ¿Cuánto suman m, n y c? ¿Cómo se le llama al ángulo que forman los tres por estar sobre una recta? Si m 5 a y n 5 b , entonces: a + b + 5 180° Lo que prueba que: Actividad 6.11 A partir de los datos que aparecen en cada figura, determina la medida de cada uno de los ángulos que se indican. ¿Cuánto suman los ángulos a) c) agudos de un triángulo rec60° 100° tángulo?
a
90° a 5
30°
b
b5
b)
d d)
40°
c c 5
c
40°
d5
110°
MATEMÁTICAS 2
62 e)
d
d
d
d5 ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos agudos de un triángulo equilátero?
Actividad 6.12 Observa la siguiente figura y responde las preguntas que se plantean. Se trata del cuadrilátero PQRS en el que se ha trazado la diagonal PR con el propósito de dividir el cuadrilátero en dos triángulos.
S
P
R s
b
a
c p
q
¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo? ¿Cuál es la suma de p 1 q 1 a ? ¿Cuál es la suma de s 1 b c ? ¿Cuáles son los ángulos que se encuentran al interior del cuadrilátero? Completa la igualdad: c 1 p 1 q 1 a 1 b 1 s 5 ¿Cuánto suman los ángulos interiores del cuadrilátero?
Q
BLOQUE 1
63
Polígono convexo El que tiene todos sus ángulos interiores menores de 180°.
Actividad 6.13 En los siguientes cuadriláteros convexos, traza una diagonal y verifica si se puede generalizar que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.
Comenta: La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo es igual a
.
Polígono cóncavo El que tiene al menos un ángulo entrante (mayor de 180° y menor de 360°).
Actividad 6.14 Verifica si es posible generalizar que en todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360°. Analiza la siguiente figura y argumenta una conclusión.
Actividad 6.15 En los siguientes polígonos convexos se encuentra marcado el vértice V. Desde él, traza todas las diagonales posibles y determina para cada figura, cuál es la suma (S ) de sus ángulos interiores.
V
S 5
V
S 5
MATEMÁTICAS 2
64
V
V
V S 5
S 5
S 5
Actividad 6.16 En los siguientes polígonos cóncavos realiza un análisis y comenta lo que puedes hacer para determinar la suma de sus ángulos interiores. Considera estos dos casos; explica cada uno de ellos.
¿Resulta igual la suma de los ángulos interiores de un polígono cóncavo o convexo de n lados? Explica.
Actividad Extra Observa la figura, establece la igualdad en términos de x, resuélvela y determina los valores de los otros ángulos. a a5 b5 c5 4x 5 d5 e5 x5 f5
4x b c
f
d
x
e
BLOQUE 1 Manejo de la información Tema: Análisis de la información APARTADO 7: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD I
65 Factor inverso de proporcionalidad
Conocimientos y habilidades Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.
Actividad Previa En el primer curso aprendiste que una razón es el número que resulta de comparar, por cociente, dos cantidades de la misma especie. Recordemos: La estatura de Rebeca es 120 cm, y la de su padre, de 180 cm, ¿cuál es la razón que resulta de comparar la estatura de Rebeca con la de su padre? La pregunta pudo haberse planteado de manera recíproca, ¿cuál es la razón que resulta de comparar la estatura del padre con la de Rebeca? Compara ambas razones, ¿qué observas? Comenta.
ejemplos de razón La razón entre las edades de dos niños de 10 y 14 años: 10 14
Tiene las mismas propiedades de la fracciones comunes. Se puede simplificar: 5 7
También puede expresarse como: 10:14 = 5:7
Se sabe que... En geometría, dibujo, arquitectura y geografía la razón se utiliza para representar escalas.
Actividad 7.1 Determina la razón que resulte de comparar las siguientes parejas de cantidades en el orden en que se encuentran. Observa que no todas son de la misma especie. a) 12 kg y 16 kg
d) 30 cm y 45 cm
b) 200 mg y 4 g
e) 400 cm y 4 km
c) 15 meses y 2.5 años
f) $900 y $2 250
¿Qué hiciste en los casos en que las unidades son diferentes?
MATEMÁTICAS 2
66 Actividad 7.2
Reúnete con un compañero para que analicen y resuelvan las siguientes situaciones. a) La razón entre las edades de José y su padre e) La superficie del estado de Colima está en 1 es 2 , si el padre tiene 40 años, ¿qué edad razón de 45 con respecto al estado de Chi5 tiene José? huahua. Sabemos que Chihuahua tiene 246 000 km2 de superficie, ¿qué superficie tiene Colima?
94
b) Elsa consume diariamente 23 del total de calo- f) La población de México está en razón 98 enrías que consume su hermano. Si el hermano tre hombres y mujeres, según el censo del año consume 2 400 calorías, ¿cuántas calorías con2 000. Si entonces eran 49 000 000 de mujeres, sume Elsa? ¿cuántos hombres había?
c) La distancia entre el D.F. y Toluca está en razón g) La siguiente tabla representa datos de dos 11 con respecto a la distancia entre el D.F. y magnitudes proporcionales. ¿Cuál es el factor 50 Morelia, que es de 302 km. ¿Cuál es la distande proporcionalidad? cia del D.F. a Toluca? x 3 5 8 y 9 15 24
1
d) Arturo gasta en razón 5 de lo que gasta h) De 30 kg de betabel se pueden obtener 4 kg su hermana en ropa. Si la hermana gastó de azúcar. ¿Cuál es el factor de proporciona$900, ¿cuánto gastó Arturo? lidad que se usa para saber cuánta azúcar puede obtenerse de cualquier cantidad de betabel?
BLOQUE 1
67
Actividad 7.3 Considera las siguientes parejas de figuras. La figura de la derecha es una reproducción, en la razón dada, de la figura de la izquierda. Completa lo que se solicita. a) Razón de semejanza: 1 2 largo 5 A’ B’ ancho 5
D’ A
7 cm
B
3.4 cm
D
C
Determina la razón simplificada entre A’B’ y AB. Determina la razón simplificada entre A’D ’ y AD. ¿Son iguales estas razones a la razón dada? ¿Cuál es el perímetro de A’B’C’D ’? ¿Y el de ABCD ? Establece la razón entre los perímetros y simplifícala. ¿Qué observas? Comenta:
C’
MATEMÁTICAS 2
68
b) María mandó a hacer una ampliación de su fotografía. El tamaño de reproducción que escogió está en escala 52 de la original. Escala: Razón entre las medidas reales y las de una imagen que representa la realidad sobre un plano o mapa. Escala natural: 1:1 Escala de reducción: 1:2, 2:3... Escala de ampliación: 2:1, 3:2...
ancho 5 1.8 cm 2 cm
alto 5
Establece las razones simplificadas entre los lados correspondientes. ¿Cómo son entre sí esas razones?
.
¿Sucederá lo mismo con la razón de los perímetros?
.
Verifica
.
Supongamos que la reproducción hubiera quedado del mismo tamaño que la original, ¿cuál sería la escala? c) Toma las medidas y reproduce la siguiente figura en una escala 1:3.
¿Cuál es el perímetro de la figura dada? ¿Y el perímetro de la figura que obtuviste? Escribe la razón del lado mayor de la figura original, en relación con el lado mayor de la figura que obtuviste ¿Cómo son entre sí esas razones? ¿Son iguales a la razón dada?
BLOQUE 1 Actividad 7.4 En parejas, resuelvan los siguientes problemas. Comparen sus resultados con los de los equipos más cercanos y argumenten sus respuestas. a) Para colocar una imagen en el periódico mural de esta semana se realizó un dibujo de una persona a 13 de la estatura de uno de los compañeros. Si el dibujo mide 56 cm de alto, ¿cuál es la estatura del compañero?
¿Cuál es el factor de proporcionalidad que permite resolver el problema?
b) Al participar en un maratón, mi vecino había avanzado 2 del recorrido total cuando alguien 3 estaba llegando a la meta. Si en ese momento había recorrido 8 km, ¿cuál era la longitud del recorrido total?
¿Cuál es el factor de proporcionalidad que permite resolver el problema?
c) En un mapa de la escuela la distancia entre dos ciudades es de 15 cm. Si en el mapa se puede observar que está hecho a una escala de 1:500,000, ¿a qué distancia en realidad se encuentran dichas ciudades?
¿Cuál es el factor de proporcionalidad que permite resolver el problema?
d) Mi papá me pidió que calcule la altura que tiene un mueble que quiere comprar; si la fotografía que presenta la publicidad tiene como referencia que está hecha 2 del tamaño original, ¿qué 25 altura tiene en realidad el mueble si en la fotografía mide 12 cm de alto?
¿Cuál es el factor de proporcionalidad que permite resolver el problema?
69
MATEMÁTICAS 2
70 Actividad 7.5
Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Compara las respuestas con las de tus compañeros. a) Hace cinco años Marcos pesaba 60 kg, lo d) La renta que paga mi hermano es de $3 000, que equivale a 2 de su peso actual, ¿cuánto lo que equivale 25 de su salario, ¿cuál es el 3 pesa Marcos? salario de mi hermano?
b) En un mapa escolar, la distancia entre la Ciu- e) La producción petrolera que se obtiene del dad de México y Cuernavaca es de 1 cm mar es de 2 200 000 barriles por día. Esto reen línea recta. Si el mapa está a escala presenta las 25 partes de la producción total. 1:10 000 000, ¿cuál es la distancia real entre las ¿Cuántos miles de barriles se producen en dos ciudades? México cada día?
c) En México la población que tiene algún tipo f) En un embarazo normal, al tercer mes el 3 de trabajo es de 60 500 000 personas, lo que feto mide 75 mm, lo que representa 20 de lo 11 viene representando 20 del total de habitanque medirá al nacer. Si todo marcha bien, tes del país. ¿Cuántos habitantes había en el ¿cuánto medirá ese niño el día de su nacimomento que se tomó esta información? miento?
BLOQUE 1
71
Actividad 7.6 Trabajemos nuevamente con figuras. La de la derecha es una reproducción de la figura de la izquierda. Considera la razón dada para dar respuesta a los planteamientos que se te hacen. a) Razón de semejanza: 2 5 2 cm ancho 5
1 cm
largo 5 Explica el procedimiento y anota las operaciones que realizaste para determinar las medidas de la figura original.
b) Esta imagen apareció en un espectacular para anunciar ropa. Los folletos promocionales tenían la misma imagen hecha a una escala de 1:250. Escribe las operaciones efectuadas.
3 cm
largo 5
ancho 5
5 cm
MATEMÁTICAS 2
72
c) De una fotografía se obtuvo una ampliación y una reducción en razones 3 y 3 , respectiva2 4 mente. Original Ampliación
cm
cm
cm
Reducción
9 cm
9 cm cm Escribe la serie de razones que se obtienen de las medidas, simplifica y compara con las razones dadas. En estas figuras los lados correspondientes son: Y los ángulos correspondientes son:
FACTOR inverso o recíproco Al multiplicar una fracción y un número dado se obtiene cierto producto; si este producto se multiplica por el recíproco de la fracción se obtiene el número dado inicialmente. recíprocos
Ejemplo:
83
3 4 56 y 63 58 4 3
BLOQUE 1
73
TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN APARTADO 8: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD II
Proporcionalidad múltiple
Conocimientos y habilidades Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.
Actividad Previa Utilizando las proporciones has resuelto problemas como este: Se compraron cuatro piezas de tela en $4 400, ¿cuánto se pagará por 11 piezas de esa misma tela? Resuélvelo en el siguiente espacio.
Considerando lo aprendido, resuelve ahora este problema. Apóyate utilizando la tabla. En cierto hospital, la dietista debe preparar cuatro comidas a partir de estos ingre� dientes: 200 gramos de pasta, 360 gramos de carne, 4 huevos y 300 gramos de legumbres. ¿Qué cantidad requiere de cada uno de los ingredientes para preparar seis comidas? Comidas 4 6
Pasta 200 gramos
Carne 360 gramos
Huevos 4 piezas
Legumbres 300 gramos
Establece las razones correspondientes a cada columna y simplifícalas.
¿Qué puedes observar? Comenta:
Proporciones múltiples ... (se forma por tres o más razones iguales
a 5 c 5 e b d f
a 3 d 5 b 3 c 5 c 3 f 5 d 3 e...
Proporción: Es la igualdad de dos razones. a:b = c:d a c = b d
MATEMÁTICAS 2
74 Actividad 8.1
a) Un ganadero tiene 34 vacas y sólo dispone de b) Para realizar una excursión a la sierra, se cal� alimento para 10 días. ¿Cuántas vacas tiene cula que se necesitan 20 litros de agua dia� que vender para que el elimento le alcance rios por cada tres personas. ¿Cuántos litros se para 5 días más? necesitarán si se va a realizar una excursión con 120 personas durante 7 días?
c) En el recuadro se enlistan los ingredientes para hacer un pastel de manzana: Determina la can� tidad necesaria de cada uno de los ingredientes, si sólo se dispone de 8 tazas de manzana. 12 tazas de manzana rebanada 1 2
taza de harina
1 4
cucharadita de sal
2 cucharadas de mantequilla 1 cucharadita de nuez 1 cucharadita de canela 1 1 tazas de azúcar 2
d) Dos personas deben reunir $40 000 para un e) Tres hermanas deben reunir $5 600 para la negocio y quieren que la aportación de cada manutención de su casa aportando proporcio� quien sea proporcional a sus ingresos (las ga� nalmente a los ingresos mensuales de cada nancias las distribuirán también proporcional� una. María gana $2 500, Josefina gana $3 500 mente). Paula gana mensualmente $30 000. y Marisol gana $2 000. ¿Cuánto debe aportar Antonio gana $20 000 por mes. ¿Cuánto debe cada una de ellas? aportar cada quien?
Actividad 8.2 Lee con cuidado los siguientes enunciados y resuelve las situaciones que se plantean. a) Julián está organizando una fiesta y pretende decorar el salón con globos. Por cada 5 globos rojos colocará 2 azules. Para bailar, por cada 3 discos de salsa pondrá 4 de rock. Si coloca 100 globos rojos, ¿cuántos azules habrá? ¿Cuántos discos de rock colocará si se escuchan 9 de salsa? Habrá 35 invitados y calcula que cada uno consumirá 5 vasos de refresco. ¿Serán suficientes 160 vasos?
BLOQUE 1 b) En un colegio hay 8 niñas por cada 5 niños. ¿Cuántos estudiantes son en total si hay 105 niños? Si en un grupo están inscritos 39 alumnos, ¿cuántas niñas hay en ese salón? Comprueba tus resultados.
c) Una señora fue a la carnicería a comprar $20 de carne molida. El carnicero quiere saber cuánto debe marcar en la báscula para despacharla, si el precio es de $48 el kg. Luego, la señora, le pide que aparte le ponga 400 g de esa misma carne. ¿Cuánto debe pagar por esta cantidad? ¿Cómo demuestras que tu resultado es correcto?
d) Un cliente le dio a coser a doña Lupe un lote de 78 pantalones. Ella estima que con tres cos� tureras podrá terminar 12 pantalones en 3 días. El cliente desea saber en cuántos días hábiles deberá regresar por su lote completo de pantalones terminados. Comprueba tu resultado.
e) Un contratista desea colocar piso de cerámica en una superficie de 32 m2. Cada loseta es un cuadrado de 33 cm por lado. Contrató a Juan, quien puede colocar 1 m2 en 2 horas. También con� trató a Manuel, quien puede colocar 4 m2 por cada jornada de 8 horas. Entre los dos, ¿en cuánto tiempo terminan el trabajo?
75
MATEMÁTICAS 2
76 Actividad 8.3
Resuelve las siguientes situaciones problemáticas. Compara tus procedimientos y resultados con los de tus compañeros. a) Los lados del rectángulo están en razón 1:2. Determina su perímetro y su área: P = A=
l 5 6 cm a 5 3 cm
Enseguida completa lo que se pide. Si se duplica el largo, ¿qué sucede con el perímetro? ¿Y con el área? Si se duplica el ancho, ¿qué sucede con el perímetro? ¿Y con el área? Si ambas medidas se duplican, ¿qué sucede con el perímetro? ¿Y con el área? ¿En qué casos existe proporcionalidad entre los perímetros? y, ¿entre las áreas? Comprueba tus resultados; de ser necesario, ilústralos. b) La siguiente pareja de cubos están en razón 2:1, en el orden a, b ¿Cómo son entre sí las medidas de sus lados?
b
a
¿Cuántas veces cabe la superficie de una cara del cubo b en una cara del cubo a ? Si llenas el cubo a con cubos b, ¿cuántos necesitas para llenarlo? Establece la razón entre los lados, entre las áreas de una cara y entre los volúmenes. ¿Alguna resulta equivalente con la razón dada?
¿Cuál?
Escribe la proporción correspondiente. ¿A qué se debe que sean semejantes? c) Calcula el volumen del siguiente prisma cuadrangular y posteriormente contesta lo que se pide. ¿Qué sucede con el volumen si uno de los lados de la base se duplica? ¿Qué pasa con el volumen si en la base se duplica un lado y se
V5
10 cm
triplica el otro? ¿Qué sucederá si se duplican las tres dimensiones del prisma?
2 cm
2 cm
BLOQUE 1
77
Se han planteado tres preguntas alternas al problema, en cada caso tuviste que calcular el volumen. Establece las seis razones que resulten de comparar los volúmenes y señala si hay algún caso en que éstos sean proporcionales. d) Consideremos ahora un paralelepípedo rectángulo cuyas aristas son a, b y c. Escribe la expresión algebraica para determinar el volu� men:
Paralelepípedo: Prisma cuyas bases son dos paralelogramos iguales.
V1 5 Si se duplica el lado b, ¿cuál es el volumen? V2 5 Si se duplican los lados a y c , ¿cuál es el volumen? V3 5 Si se duplican los tres lados, el volumen es: V4 5
V V V V V V Establece las razones: 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; V2 V3 V4 V3 V4 V4
a c
De los cuatro paralelepípedos del problema, ¿cuáles tienen un volumen proporcional?
b
Arista: Segmento de recta donde se unen dos caras de un poliedro.
e) Según un instructor de alpinismo, se requiere que por cada cinco personas que realicen un ascenso se deben llevar, para consumo, 7.5 litros de agua por día. ¿Cuántos litros de agua se requieren para un grupo de 15 personas que realizará una escalada de 10 días?
f) En un recorrido de 325 km, un automóvil consume 25 litros de gasolina. ¿Cuántos litros de gaso� lina se requieren para hacer un recorrido de 800 km por día, durante tres días?
MATEMÁTICAS 2
78
Tema: Representación de la información
Conteo
APARTADO 9: DIAGRAMAS Y TABLAS Conocimientos y habilidades Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.
Actividad Previa Situaciones como ésta se presentan cada día. Lee con cuidado y responde lo que se te solicita. Hugo, Paco y Luis son tres compañeros de segundo de secundaria que deci� dieron visitar a su amiga Sofía. Al entrar a la sala encontraron un sofá de tres plazas. Utiliza las iniciales de sus nombres para ubicarlos de todas las formas posibles en los sofás que a continuación se simulan (no sabemos si sobran o faltan sofás).
H
¿De cuántas maneras diferentes pudieron sentarse? ¿Cómo podrás obtener el número de acomodos posibles sin hacer el diagrama? Del modo en que lo obtuviste, ¿empleaste una multiplicación, de cuáles números? ¿Por qué? Generaliza la situación mediante una expresión algebraica.
BLOQUE 1
79
Actividad 9.1 Recuperemos la información anterior. Resulta que en la sala de Sofía no había otro lugar para sentarse. Por lo que Sofía decide sentarse junto a sus compañeros. Realiza un esquema de simulación utilizando la siguiente cuadrícula (si faltan aumenta, si sobran, déjalas en blanco).
¿De cuántas maneras diferentes se acomodaron? Este número es el resultado de multiplicar:
3
,
que en forma algebraica lo puedo expresar: Ya que estaban acomodados, llegó Pedro. ¿Cuántos amigos hay ahora reunidos? ¿Con qué expresión podemos hacer el cálculo del número de combinaciones, suponiendo que to� dos se sientan en el sofá? . ¿Cuántas combinaciones resultan?
Actividad 9.2 Representa cada una de las siguientes situaciones mediante un diagrama cartesiano y completa lo que se indica. a) En el menú de cierto restaurante se ofrecen tres plati� llos calientes y cuatro postres.
Platillos
¿De cuántas formas se puede pedir un platillo caliente y un postre? ¿Cuántos puntos ubicaste en el diagrama? ¿Con qué operación podrías obtener de manera inme� diata la respuesta? Explica y representa la situación con una expresión general. Postres
MATEMÁTICAS 2
80
b) En una familia hay cuatro personas: papá, mamá, hijo e hija. Al sentarse a la mesa, que es cuadrada, cada uno ocupa uno de los lados. ¿Cuántos puntos ubicaste en el diagrama?
Personas
¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse? Si el lugar del papá siempre es el mismo, ¿de cuántas formas diferentes se pueden acomodar? Lugares
Y si el papá y la mamá siempre tienen lugares fijos, ¿cuántas posibilidades de acomodo existen?
¿Con qué operación podrías obtener de manera inmediata las respuestas? Explica cada caso y represéntalo por medio de una expresión algebraica. Vocales
c) ���������������������������������������������������� ¿Cuántos códigos de una letra y de un dígito se pue� den formar con las vocales del alfabeto y los números 1, 2, 3, 4? ¿Cuántos puntos ubicaste en el diagrama? Si tuvieras que hacerlo con las 26 letras del alfabeto y los 10 números dígitos, ¿cuántos códigos formarías? Números
BLOQUE 1
81
Actividad 9.3 Representa cada una de las siguientes situaciones mediante un diagrama de árbol y completa lo que se indica. a) Si tienes una moneda y un dado. ¿Qué resultados puedes obtener al lanzar la moneda? ¿Qué resultados puedes obtener al lanzar el dado? Si lanzas la moneda y el dado, ¿qué obtienes? Completa el diagrama.
2
5
¿Cuántos resultados diferentes puedes obtener al hacer un lanzamiento? ¿Cuáles son? b) A una reunión asisten 5 hombres y 4 mujeres y deciden bailar en parejas de distinto sexo. H1
H2
M1
H3
M2
H4
M3
¿Cuántas parejas diferentes se pueden formar? ¿Cómo puedes obtener el resultado de forma inmediata?
H5
M4
MATEMÁTICAS 2
82 Actividad 9.4
En algunas ocasiones no es posible que mediante una operación puedas establecer el número de combinaciones. Analiza la siguiente situación y resuelve. Probablemente tengas que hacer un listado ordenado. Utiliza tu cuaderno. Si tienes cuatro monedas de las siguientes denominaciones: 10¢, 20¢, 50¢ y $1, ¿cuál es el número total de precios que puedes pagar usando alguna o todas tus monedas?
Actividad 9.5 Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Luego de llegar al resultado, trata de expresar cada situación con una expresión algebraica. Puedes hacer un diagrama en tu cuaderno. a) ¿Cuántos grupos de 2 o más personas se pue� c) Hay 5 niños en fila. Si el más chiquito quiere den formar con 4 integrantes? estar adelante, hay 4 maneras de elegir al segundo de la fila, 3 de elegir al tercero, 2 maneras de elegir al cuarto y una para elegir el quinto y último.
3
3
3
5
Exprésalo algebraicamente. b) ¿De cuántas maneras se pueden poner en una d) La prueba de una olimpiada de matemáticas fila 3 niños y 3 niñas si los niños quieren ocupar tiene 5 problemas, numerados del 1 al 5. Por el primero y el último lugar? cada problema se pueden recibir 0, 1 o 2 puntos. ¿De cuántas maneras puede un estu� diante obtener un puntaje total de 7?
BLOQUE 1 e) ¿Cuántas veces hay que tirar un dado para h) ¿De cuántas formas distintas se pueden aco� asegurarse de sacar por lo menos 2 veces el modar cinco bolas de billar en una fila? mismo número?
f) ¿Cuántos códigos de una letra y un número dí� i) Paco tiene 3 pantalones y 5 camisas. ¿Cuán� gito se pueden formar con las 26 letras del alfa� tas mudas de ropa puede elegir? beto y los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
g) Hay 10 libros que me interesa sacar de la bi� j) En un coche viajan 5 personas. ¿De cuántas blioteca, pero sólo me prestan 3. ¿Cuántas formas distintas pueden ir sentadas si sólo 2 elecciones posibles tengo? de ellas saben conducir?
83
MATEMÁTICAS 2
84
TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Polígonos de frecuencias
APARTADO 10: GRÁFICAS I Conocimientos y habilidades Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.
Actividad Previa Supongamos que la siguiente tabla de frecuencias representa los resultados obteni� dos en un grupo de 1° de secundaria en una prueba mensual de Español. Con la información que aparece, completa la tabla y realiza dos gráficas: una de barras y una gráfica poligonal representativa de esta situación.
Polígono de frecuencias Gráfica poligonal o lineal. Se forma uniendo los puntos medios de la parte superior de las barras de un histograma de frecuencia.
Calificación 5
Conteo
Frecuencia 4
6 7
Frecuencia
Calificaciones de Español
24 8 9
20
10
16
Total
12
8 Histograma: Representación gráfica en forma de barras en la que la superficie queda determinada por una variable y su frecuencia.
4
0
5
6
7
8
9
10 Calificación
BLOQUE 1 Frecuencia
85
Calificaciones de Español
24
20
16
12
8
4
0
5
6
7
8
9
10
Calificación
Calcula ahora la frecuencia relativa. Completa la tabla. Calificación 5
Frecuencia absoluta 4
Frecuencia relativa
%
4 5 0.08 50
8
6
Frecuencia absoluta: Número de veces que se repite un dato.
7 Frecuencia relativa: Parte del total de frecuencia que le corresponde a cada dato. Se expresa como porcentaje o como decimal.
8 9 10 Total
100
Aprendiste a dibujar una gráfica circular, considerando la razón entre el 100% con 360° y las proporciones que se pueden formar con cada una de las frecuencias relativas y el ángulo por trazar. ¿Podrías hacer la gráfica circular correspondiente en tu libreta de apuntes...? ¡Hazlo! Utilizaremos gran parte de la información del ejercicio anterior para estudiar otro tipo de gráfica llamada poligonal, la cual se encuentra muy relacionada con un histograma.
MATEMÁTICAS 2
86 Actividad 10.1
Lee con mucha atención la siguiente situación y completa su resolución en el momento y espacio que se te solicite o que esté en blanco. Trabaja en pareja para que vayan aclarando sus dudas.
Muestra: Es una parte de una población. Grupo de datos que se usa para hacer cierta investigación.
El orientador de una escuela desea determinar cuántas horas estudian los alumnos por semana y representar esta información mediante una gráfica. Seleccionó una muestra, al azar, de 30 estudiantes y tomó notas al entrevistar a cada uno de los seleccionados: 15, 23, 19, 15, 18, 23, 14, 20, 13, 20, 17, 18, 12, 20, 13, 21, 18, 29, 17, 18, 20, 26, 15, 14, 17, 33, 23, 30, 27, 16. En primer lugar, ordenó de menor a mayor los datos obtenidos (muestra o espacio muestral). Ordena de menor a mayor los datos. 12,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, 33.
, ,
, ,
, ,
, ,
,
,
,
,
,
Observó que el número de datos diferentes es grande, al hacer la diferencia entre el dato mayor y el menor: 2
Intervalo de clase: Es la cantidad de valores que se encuentran entre dos límites dados.
Punto medio o marca de clase: Valor que representa la información que contiene un intervalo de clase.
5
Se dio cuenta de que el número de renglones en la tabla y, en consecuen� cia, el número de puntos en la gráfica era elevado y aportaría escasa infor� mación. Por tal motivo, decidió agruparlos por “clases”. Esto lo obtuvo a par� tir de decidir cuántos intervalos de clase quería formar y, en consecuencia, cuántos puntos habría de señalar en la gráfica. Decidió que formaría 5 intervalos, y procedió a obtener el tamaño de la “clase”: 21 : 5 ≈ 4.2, por lo que dejó cinco valores Las clases obtenidas son: 12216, 17221,
,
,
, 32236.
Completa la tabla.
Horas de estudio 12216
Frecuencia absoluta 9
Punto medio 12 1 16 2
14
Frecuencia relativa 9 30
5 0.3
30%
30 30
5 1.0
100%
17221
32236 Total
BLOQUE 1
87
Al final, decidió mostrar la información en dos gráficas, un histograma y un polígono de frecuencias. Con la información que aparece ejemplificada, completa ambas gráficas. Frecuencia
Polígono de frecuencias
Frecuencia
14
14
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
14
Horas
34
Histograma
14
34
Horas
Algunas personas acostumbran hacer la representación de ambas gráficas encimadas, ¿por qué crees que lo hacen? Completa: Frecuencia
Horas de estudio
14 12 10 8 6 4 2
14
34
Horas
MATEMÁTICAS 2
88 Actividad 10.2
Lee con atención la siguiente situación y realiza lo que se indica. En cierta empresa se hizo una encuesta en la que participaron 100 personas; se le preguntó a cada una de ellas cuánto adeudaban en sus tarjetas de crédito. Las respuestas variaron, los adeudos iban de 0 a $10 000. Para mostrar la información se hizo un polígono de frecuencias, de acuerdo con los registros de la tabla. Te corresponde completar la tabla y hacer la gráfica.
Adeudo
Frecuencia absoluta
0 2 menos de 2 000
9
2 000 2 menos de 4 000
24
Punto medio 0 1 2 000 2
Frecuencia relativa
1 000
19 100
5 0.19
4 000 2 menos de 6 000 6 000 2 menos de 8 000
17
8 000 2 10 000
7
Total
100
Frecuencia relativa 35% 30% 25% 20%
15% 10% 5%
0
1 000
3 000
5 000
7 000
9 000
Adeudo
19%
BLOQUE 1
89
Actividad 10.3 Ten en cuenta la información proporcionada y posteriormente completa lo que falta y responde a las situaciones que se te plantean. El siguiente histograma representa los aciertos obtenidos en un examen por los alumnos de los cuatro grupos de 2° año. Histograma (puntuaciones de un examen) 50 42 40
37 30
30 22 18
20
15 10
7 1
0
6
2
20 - 24
25 - 29
30 - 34
35 - 39
40 - 44
45 - 49
50 - 54
55 - 59
60 - 64
65 - 69
En la gráfica se nos olvidó identificar los ejes. Anota allí mismo el indicador correspondiente. ¿Cuántos alumnos presentaron el examen? ¿Cuál es el intervalo de clase? Completa la tabla que dio origen a la gráfica. Puntuación 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 Total
Frecuencia absoluta
Punto medio
Frecuencia relativa
22
%
MATEMÁTICAS 2
90
Traza un polígono de frecuencias sobre el histograma. Si tuvieras que dar una calificación, en relación con el puntaje obtenido, ¿cuántos alumnos consideras que resultarían reprobados? ¿Y aprobados?
Actividad 10.4 En pareja, consideren la siguiente situación y respondan los cuestionamientos que se plantean. Un corrector de textos contabiliza el número de errores que encuentra en cada página de un texto que consta de 50 páginas. Obtiene el siguiente número de errores por página: 2
3
5
0
1
4
0
6
2
1
1
0
2
4
5
3
1
2
3
2
2
5
4
1
3
2
6
8
2
0
1
0
2
3
1
5
10
2
1
3
3
1
2
4
4
6
2
0
1
3
a) Construye la tabla de frecuencias correspondiente.
Errores
Frecuencia absoluta
Punto medio
Frecuencia relativa
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
50
100%
BLOQUE 1
91
b) Construye el histograma de las frecuencias absolutas. f
Errores c) Construye el polígono de frecuencias de esta distribución. f
Errores d) ¿Qué porcentaje de páginas, con respecto al total de las que se han corregido, tienen dos errores? e) ¿Qué porcentaje de páginas respecto del total tienen menos de seis errores? ¿Y seis errores o más? f) ¿Qué porcentaje de páginas con respecto al total tienen como mínimo cinco errores?
MATEMÁTICAS 2
92 Actividad 10.5
Resuelvan en grupo la siguiente situación. En mi grupo hay:
mujeres y
hombres.
Las estaturas de los hombres, expresadas en centímetros, son: Y ordenadas de menor a mayor quedan: Las estaturas de las mujeres, expresadas en centímetros, son: Y ordenadas de menor a mayor quedan: Determinen la clase, procurando que se formen seis intervalos de estaturas entre hombres y mujeres. Haz una tabla de frecuencias de cada subgrupo. Clase hombres
Frecuencia absoluta
Punto medio
Frecuencia relativa
Clase mujeres
Frecuencia absoluta
Punto medio
Frecuencia relativa
BLOQUE 1
93
Con la información de ambas tablas, traza en el siguiente plano cartesiano ambos polígonos de frecuencias. Frecuencia absoluta
estatura
0
¿Cuál es la estatura promedio de las mujeres? ¿Y de los hombres?
Actividad Extra a) Desarrollen esta actividad en equipo; expongan la información obtenida. En la unidad habitacional donde vive Juan hay departamentos. Las familias que los habitan gastan en alimentación semanal la cantidad, en pesos, que aparece en la tabla.
Gasto semanal en alimentación por familia 1 170
1 207
1 581
1 277
1 305
1 472
1 077
1 319
1 537
1 849
1 332
1 418
1 949
1 403
1 744
1 532
1 219
896
1 500
1 671
1 471
1 399
1 041
1 379
821
1 558
1 118
1 533
1 510
1 760
1 826
1 309
1 426
1 288
1 394
1 545
1 032
1 289
695
803
1 440
1 421
1 329
1 407
718
1 457
1 449
1 455
2 051
1 677
1 119
1 020
1 400
1 442
1 593
1 962
1 263
1 788
1 501
1 668
1 352
1 340
1 459
1 823
1 451
1 138
1 592
982
1 981
1 091
MATEMÁTICAS 2
94
Ordena de menor a mayor los datos de la muestra.
Determinen la cantidad de intervalos con que van a trabajar. Elabora una tabla de frecuencias para cada intervalo. Clase
Frecuencia absoluta
Punto medio
Frecuencia relativa
BLOQUE 1
95
Construye el polígono de frecuencias y su congruente histograma en los siguientes ejes. Ten cui� dado al hacer las divisiones y colocar los puntos y valores correspondientes, así como lo que se representa en cada eje.
¿En qué intervalo de clase se encuentra la mayor frecuencia? De la tabla ordenada, ¿cuál es el gasto que, en común, hacen más familias? ¿Cuál es el gasto promedio que hacen las familias?
Actividad Extra Reforcemos la lectura de gráficas. Después de la segunda vuelta se graficó el lugar que fueron ocupando los pilotos en una carrera de 16 vueltas. CARRERA DE ANIVERSARIO Número de automóvil
Lugar de llegada a la meta
15
1º
6
2º
7
3º
12
4º
3
5º
9
6º
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
Español: Analicen la información y escriban un texto que comunique lo ocurrido.
Vueltas
Escribe una breve reseña de los lugares que fue ocupando el piloto que quedó en segundo lugar.
96
Aplicación de aprendizajes Imaginación espacial
La competitividad y el éxito que una persona puede alcanzar dependen, entre otros factores, de un buen aprendizaje y del desarrollo de habilidades y destrezas que la formación matemática ofrece. En esta ocasión llevaremos a cabo algunas actividades que permiten el desarrollo de la habilidad de imaginación espacial; con ésta se puede pasar de manera más sencilla de representaciones espaciales a planas o viceversa. Esta habilidad matemática no se limita a cuestiones geométricas: tiene que ver también con la observación de las relaciones que se establecen entre las formas geométricas, las expresiones aritméticas y las representaciones algebraicas. Al concluir esta práctica compara tus resultados con los que obtuvieron tus compañeros de grupo. Hagan comentarios al respecto y lleguen a conclusiones. Las balanzas se utilizan para pesar cierto tipo de objetos. Imagina que te asignan una balanza y sólo te dan cuatro pesas, cada una con diferente peso: de 1 kg, de 3 kg, de 9 kg y de 27 kg. El instructivo indica que con esas cuatro pesas puedes llegar a equilibrar el peso de objetos de hasta 40 kg, pesando siempre kilogramos completos. Por ejemplo: Para equilibrar un objeto de 20 kg se puede hacer de la siguiente manera:
5
Es tu turno. Indica cómo harías con esas pesas para mantener en equilibrio los siguientes pesos: a) 2 kg: b) 4 kg: c) 5 kg: d) 7 kg: e) 15 kg: f) 25 kg: g) 29 kg: h) 33 kg: i) 38 kg: j) 40 kg:
97
Exploración de recursos tecnológicos
La tecnología es un recurso muy versátil para realizar trabajos. Las computadoras, por ejemplo, lo mismo se utilizan para efectuar de manera rápida operaciones, que para graficar, reproducir música, reproducir o hacer películas, jugar, escribir notas o tareas, almacenar fotografías, comunicarse vía Internet, etcétera. A lo largo del curso tenemos oportunidad de elaborar y presentar trabajos de calidad. Uno de los medios que más se están empleando es el intercambio de archivos de cómputo conocidos como “presentaciones”. Una presentación se diseña con un programa con el que podemos dar a conocer lo creativos que somos, a través de la utilización de imágenes, textos y sonidos con los que podemos mostrar una noticia, expresar un pensamiento, transmitir un mensaje, preparar una lección, etcétera. Este primer proyecto de utilización de recursos tecnológicos será a través de las presentaciones; consulta con tu profesor si en la escuela tienen un programa para diseñarlas o, si tienes computadora en casa, verifica cuál programa puedes utilizar. Si no tienes acceso a una computadora puedes efectuar tu presentación en hojas extendidas (para rotafolio) o en acetatos para retroproyector, por ejemplo, y apóyate con otros recursos que agreguen sonido o luz. Forma un equipo de trabajo, con otro compañero del grupo y elaboren su primera presentación. Aprovechemos los conocimientos adquiridos acerca de las rectas y ángulos. Iniciemos con la presentación del tema, indicando, por ejemplo, cómo se ven dos rectas paralelas en el plano. Aprovechen para presentar las rectas paralelas con diferentes inclinaciones (horizontales, verticales o inclinadas), escribiendo su correspondiente título, un pequeño texto que indique las características que tienen dos rectas paralelas y mostrando ejemplos.
rectas paralelas en el plano
No olviden anexar los datos de quien elaboró la presentación (nombre de los integrantes del equipo, grupo, asignatura, nombre de la escuela y fecha de elaboración).
región interior
Agreguen a la presentación otras pantallas que presenten información y ejemplos para el caso de dos rectas perpendiculares y el caso de dos rectas inclinadas.
Puedes ampliar tu presentación agregando el caso de las rectas paralelas cortadas por una secante, cómo se identifican las regiones interior y exterior, cómo se identifican los ángulos adyacentes, los opuestos por el vértice, los ángulos interiores, los exteriores, los alternos internos, los alternos externos y los correspondientes. Presenten el trabajo al grupo y vayan formando su carpeta de presentaciones.
MATEMÁTICAS 2
98
¿CUÁnto APRENDÍ? Instrucciones: Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Ocupa los espacios para anotar tus procedimientos, operaciones y resultados. 1. Encuentra un número que al multiplicarse por 22 y dividirse entre 3, dé por resultado 212.
2. La suma de tres números enteros consecutivos es igual a un múltiplo de 3, mayor que 20. Encuentra tres números que cumplan con esta condición.
3. Los lados de un rectángulo son 2 m de ancho y 4 m de largo. Si el largo se incrementa en dos uni� dades, ¿cuál es el área del nuevo rectángulo?
4. Se sabe que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180°. Uno de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo mide 27° 30’, ¿cuánto mide el otro ángulo agudo?
5. Analiza la siguiente figura que surge de un paralelogramo. A partir de los datos que en ella se dan, determina los ángulos que se solicitan. Completa las afirmaciones y justifícalas.
55° b
d
c
e
a
r
s
n
m p
20°
BLOQUE 1
a 5
d 5
b 5
s 5
c 5
r 5
m 5
n 5
p 5
e 5
a, b, c, ¿qué ángulos son en la figura?
99
,
¿Cuál debe ser su suma? a 5
,
¿Cómo deduces el valor de a? ¿Cuánto suman el ángulo b y el de 55°? ¿Qué tipo de ángulos son? a 5 e , ¿por qué? p 5 r , ¿por qué? c 5 n , ¿por qué? a 1 b 1 c 1 e 1 r 1 n 5 360°, ¿por qué suman 360o? 6. Elisa y sus compañeros de oficina participaron en una rifa y ganaron. A ella le dieron $2 500, porque al comprar el boleto solamente aportó el 15% de su costo. Si hubiera comprado ella sola el boleto, ¿cuánto hubiera ganado?
7. El plano de una casa está hecho en escala 1:200. En dicho plano la sala mide 2.5 cm de largo por 1.25 cm de ancho. ¿Cuáles serán las dimensiones de la sala ya que esté construida la casa?
MATEMÁTICAS 2
100
8. Se quiere poner un florero en el escritorio del salón, de manera que contenga 5 rosas por cada 3 claveles. ¿Cuántas rosas debe tener el florero si hay 12 claveles?
9. Para un concurso de oratoria se quieren seleccionar 3 alumnos de los 5 que obtuvieron la mejor puntuación. Los jueces quieren que cualquiera que sea la elección, uno de ellos, el de menor edad, quede seleccionado. ¿De cuántas maneras se puede elegir a los otros dos? Realiza una gráfica o haz una lista.
10. La siguiente tabla representa la vida útil, en meses, que han tenido 30 baterías para automóvil. 24
36
4
40
16
5
18
6
30
60
3
72
66
78
3
28
67
72
15
3
18
48
71
22
57
9
54
4
12
72
Ordena los datos. Establece la clase con que vas a trabajar. Elabora la tabla de frecuencia absoluta. No olvides la columna de puntos medios. Representa los datos mediante un polígono de frecuencias.
101
BLOQUE 2 Como resultado de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Evalúen, con o sin calculadora, expresiones numéricas con paréntesis y expresiones algebraicas, dados los valores de las literales. 2. Resuelvan problemas que impliquen operar o expresar resultados mediante expresiones algebraicas. 3. Anticipen diferentes vistas de un cuerpo geométrico. 4. Resuelvan problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de los términos de las fórmulas para obtener el volumen de prismas y pirámides rectos. Establezcan relaciones de variación entre dichos términos. 5. Resuelvan problemas que impliquen comparar o igualar dos o más razones. 6. Resuelvan problemas que impliquen calcular e interpretar las medidas de tendencia central.
Contexto histórico 150 a.C. Los romanos inventan la argamasa.
250 a.C.
44 a.C. César es nombrado emperador vitalicio de Roma.
50
100 a.C.
476 Caída de Roma.
80 Inauguración del Coliseo en Roma.
500
350
200
Hechos matemáticos 1 Se considera que el matemático chino Liu Hsin es el primero en usar fracciones decimales.
75 Herón. Desarrolla estudios acerca de medición y estudio total de las raíces.
300
480
Pappo. Se dedica a formar una colección matemática.
Tsu Chung-chi. Aproxima el valor de Pi a 355/113.
MATEMÁTICAS 2
102
SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Tema: Significado y uso de las operaciones APARTADO 1: OPERACIONES COMBINADAS II
Jerarquía de las operaciones
Conocimientos y habilidades Utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos.
Jerarquizar: Ordenar, del más al menos importante.
Actividad Previa Teniendo en cuenta el orden de importancia, resuelve las siguientes operaciones. Compara tus resultados y procedimientos con tus compañeros.
Paréntesis: Son símbolos utilizados para agrupar. En el caso de la multiplicación (3a) (2a) Debe inferirse que entre los paréntesis está el signo 3 aunque no se escriba.
Informática: No todas las calculadoras tienen un sistema operativo que jerarquice las operaciones. El uso de paréntesis ayuda a darle orden a la ejecución de las operaciones.
334155
8 3 3 1 8 5
53413365
8 3 5 1 3 3 5 5
(8 3 3) 1 5 5
8 3 (3 1 5) 5
61733145
9 2 2 3 3 1 4 5
LOS SIGNOS (1) Y (2) Además de indicar si una cantidad es positiva o negativa, separan cantidades u operaciones. En matemáticas, los paréntesis se utilizan para indicar agrupamientos de una o más cantidades en expresiones que involucran más de una sola operación, el resultado surge resolviendo las operaciones por niveles de importancia. Cuando un grupo de operaciones no tiene paréntesis, recuerda que son agrupaciones con el siguiente orden: 1o Potencias 2o Multiplicaciones y divisiones 3o Adiciones y sustracciones
BLOQUE 2
103
Actividad 1.1 Resuelve las siguientes situaciones con números naturales. Algunos casos presentan paréntesis para facilitar los agrupamientos. a) 4 1 3 3 7 5
f) 9 2 2 3 4 5
b) 5 1 42 5
g) 6 3 4 1 3 3 2 2 3 5
c) 32 1 4 3 2 1 6 3 3 5
h) (3 1 9) 2 2 3 3 5
d) 16 1 (13 2 22) 5
i) 4 3 23 2 3 3 3 1 5 3 (4 1 3) 5
e) 4 3 [3 1 2 3 (4 2 2) 1 4] 5
j) 25 2 (3 2 2) 1 (4 2 1) 5
Actividad 1.2 Avancemos otro poco. Efectúa las siguientes operaciones. Recuerda la jerarquización. a) 2.4 1 3.1 3 2 2 5
f) 29 2 2 3 (8 1 4) 5
b) 25 2 32 5
g) 26 3 4 1 3 X 22 2 8 5
c) 0.32 2 4 3 2 2 6 3 2 3 5
h) (2 3 1 9) 1 2 3 2 3 5
3 1 4 2 d) 2 3 2 5 2 5 10 4
i) 2
2
2 e) 2 2 2 1 2 3 2 2 2 5 3 3 3 3 3
1 1 4 5 2 1 1 2 3 5 2 2 6 6 3
3 3 7 4 j) 10 1 10 3 2 2 2 4 5
Observa que en el ejercicio anterior algunos casos quedan con dos signos operadores juntos. Una función del paréntesis es evitar estas situaciones.
UN USO DE PARÉNTESIS 2 (a …) equivale a: 2 3 (a …5 2 a … 1 (b …) equivale a: 1 3 (b …5 1 b … 2 5(a …) 5 25a … 1 5(a …) 5 15a ...
Entre los signos 2 o 1 y el paréntesis hay un signo 3 que no está escrito, pero existe.
Signos operadores: Son los que se utilizan en el lenguaje matemático. Los básicos: 1, 2, 3, 4 .
MATEMÁTICAS 2
104 Actividad 1.3
En las siguientes situaciones aparecen señalados algunos agrupamientos mediante paréntesis. Resuélvelas. Si puedes, utiliza tu calculadora. a) 2 1 3 (2 3 1 5) 5
f) 22 [2 5 1 5 (4 2 3) 1 7] 5
b) 4 (5 2 7) 1 (2 9 2 3) 5
g) 22 2 (2 4.5 1 2.25) 2 3 (22 2 1.25) 5
c) 2 (2 1 1 4) 2 (2 7 1 3) 5 d) 2
h) 4.2 2 2.2 (2 3.4 1 2.6) 2 (2 1.1 1 2.3) 5
3 1 2 5 2 1 4 2 3
e) 2 2
i)
2 3 1 3 1 2 2 2 2 5 5 2 2 4 2
5 6
1 1 1 1 2 2 1 5 2 4 3 2
j) 22 2
1 1 0.75 1 4 5 2
UN USO DE PARÉNTESIS Para sustituir una variable por un valor numérico. Hallar el valor de G, en G 5 3a 2 2 2a 1 4 si: a 5 22
G 5 3 (22)2 2 2 (22) 1 4 5 5 3 (4) 1 5
12
1
4
1 4 5 8
5 20
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
a (b 1 c 2 d) 5 ab 1 ac 2 ad Combina a la multiplicación con la suma.
El factor común debe multiplicarse por todos y cada uno de los sumandos. Equivale a una multiplicación de un monomio por un polinomio.
BLOQUE 2
105
Actividad 1.4 Haciendo uso de los paréntesis, determina la expresión algebraica (fórmula) que permita calcular el perímetro de cada una de las siguientes figuras. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. a)
c)
m
4
m
3
a P5 b)
5
P5 d)
3
A
b b
24
8
3
P5
B
d24
P5
e)
h 3
2
4
P5
Actividad Extra
Clave: Nota o explicación de un código para su comprensión.
Ésta es la clave para resolver un cuadrado mágico de 3 3 3: x11
x24
x13
x12
x
x22
x23
x14
x21
Recuerda que las líneas verticales, las horizontales y las diagonales suman lo mismo.
Compruébalo con estos tres casos. x53
Suma:
x 5 22
Suma:
Ahora, ¿cuál es la suma en el cuadro fórmula?
x 5 3a 22
Suma:
MATEMÁTICAS 2
106 Actividad 1.5
En parejas consideren las siguientes expresiones. Consideren como datos los valores dados en la tabla. Utilicen paréntesis para hacer la sustitución, realicen la operación y resuelvan.
Variables Actividad
a
a1b
a2b
2(f1h)
2 2g 1 ( 2h 1 k )
2a 2 2 3b 1 5 5
b sustitución
2
3
operaciones
solución
sustitución
22
operaciones
24
solución
Variables Actividad
f
g
h sustitución
21
2
23
operaciones
solución
sustitución
4
2
22
operaciones
solución
f g 1 ( 2h 1 2g )
BLOQUE 2
107
Actividad 1.6 Sabiendo que: a 5 3; b 5 2; c 5 22; d 5 1 y e 5 23, en parejas, calculen el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones. a) 2a 2 (2 2c) 5
f) 23ac 1 a b 5
b) 4c 2 (a 2 d) 1 e 5
g) 3.5a 2 2.3b 1 c 5
c) 2(a 1 b)2 2 (c 2 e)2 5
h) 2(4.2e 1 1.2c) 1 bcd 5
d) 4ad 2 2ce 5
i)
b d a 1 2 5 a c c
j)
4b 1 6c 5a 5 2 5 5d
e) 22
2c 1 (2 3d 2) 5 b
Al hecho de agrupar términos algebraicos que tengan igual su parte literal se le llama reducción de términos semejantes. Ejemplo: 8a 1 2b 2 3a 1 b 5 (8a 2 3a) 1 (2b 1 4b) 5 5a 1 5b Actividad 1.7 Reduce a su más simple expresión los siguientes polinomios. Pon mucha atención en los signos al momento de suprimir paréntesis. Compara tus resultados con los de tus compañeros. Observa el ejemplo a) 23a 2 (22a) 5
Reducir: Agrupar dos o más términos semejantes mediante una suma algebraica con el fin de obtener su mínima expresión.
b) 2(3m 2 2 2m 2) 5 c) 2(24h 3) 1 5 (2h 3) 5
Polinomio: Es una expresión formada por varios términos algebraicos.
d) 4 (3b 2 3) 1 3b 5 e) 8 (n 1 1) 2 8 (n 2 1) 5 f) 24 (a 2 2) 2 (22a 1 8) 5 24a 1 8 1 2a 2 8 = 22a g) 4a 2 2 2ab 1 5b 2 2 (2a 2 1 4ab 2 3b 2) 5 h) 5mn 2 2m 2 3m (n 2 1) 1 2n (m 1 1) 1 3n 5 i) 2x 2 y 2 3xy 2 1 3x (2xy 2 4y 2) 5 j) a (a 1 1) 2 b (b 2 1) 1 a 2 2 b 2 1 3 5
Actividad Extra Resuelve la siguiente situación. En una tribu del Amazonas se sigue usando el trueque: – Un collar y un escudo valen una lanza. – Una lanza vale tres cuchillos. – Dos escudos valen tres cuchillos. ¿Con cúantos collares pueden comprar una lanza?
Términos semejantes: Son dos o más términos que tienen igual su parte literal.
MATEMÁTICAS 2
108 Se sabe que... Una ecuación lineal o de primer grado es aquella igualdad que se satisface para uno y sólo un valor de la incógnita.
PROPIEDAD UNIFORME Si en ambos miembros de una igualdad se agrega un mismo sumando o un mismo factor, la igualdad no cambia. 1 1 (2x) 5 (28) 2 2 Su uso tiene como propósito cancelar elementos simétricos o inversos:
a 1 6 5 13, entonces a 1 6 2 6 5 13 2 6 ; 2x 5 28 entonces
1 1 2x (28) 2 2 28 a 5 13 2 6 ; x 5 2
a 1 6 2 6 5 13 2 6 ;
Incógnita: Cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación o en un problema.
Actividad 1.8 Encuentra el valor de x en cada una de las siguientes ecuaciones. Suprime paréntesis y aplica las propiedades de la igualdad. Observa el ejemplo y compara tus resultados con los de tus compañeros.
Ejemplo:
24 (2x 1 3) 5 236
Aplicando la propiedad distributiva: 28x 212 5 236 Aplicando la propiedad uniforme: 28x 212 1 12 5 236 1 12 28x 5 224
Reduciendo Aplicando la propiedad uniforme: Simplificando: a) 3(x 1 5) 5 24
f) 2(y 2 3) 5 8
b) 4(z 1 6) 5 216
g) 5(w 2 2) 5 250
c) 2(3h 1 4) 5 216
h) 2 6(x 1 5) 5 30
d) 2(2x 1 4) 5 2(x 1 2)
i) 5(x 2 3) 2 2 5 23
e) 2(22x15)522(x14)119
j)
3 5 y5 4 6
224 28x 5 28 28 x 5 13
BLOQUE 2
109
Si 2x 5 7 aplicando la propiedad uniforme, obtén x 5 7 utilizando dos procesos diferentes. ¿Cuál fue mejor y por qué? Actividad 1.9 En equipo, completen y resuelvan las siguientes ecuaciones. Comprueben sus resultados sustituyendo las literales por el valor obtenido en la ecuación inicial. a) x 1 6 5 12 e) b 2 4 5 13
Ejemplos 6
x162 6
x5 b) 3x 5 12 3x 3
6
5 12 2
5
c) 2 5m 5 2 15 25m 5 m5
12 3
f) z 5 23 8 (
) z 5( 8
) (23)
z 5 y g) 5 220 24 215 y ( ) 5( 24 y 5
d) 2x 1 4 5 14
) (220)
h) 2 3x 2 6 5 15
2x 1 4 2
x5
5 13 1
b 5
x 5
2x 5 2x
b 2 4 1
5 14 2
2 3x 2 6 1
2 3x 5 23x
5
5 15 1
5
x 5
Actividad Extra COMPROBACIÓN Si en ambos miembros de una ecuación el valor numérico es el mismo, la solución (o raíz de la ecuación) es correcta.
Resolver la siguiente situación. Tres amigos van a tomar café. Piden la cuenta, que es de $25 por los tres cafés. Cada uno pone $10, en total $30. Con los $5 sobrantes, cada uno se queda con $1 y dejan $2 de propina; es decir, cada uno pagó $9, que por los tres serían $27; más $2 de propina, $29. ¿Dónde está el peso que falta?
110
MATEMÁTICAS 2
Multiplicación con expresiones algebraicas
Tema: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES APARTADO 2: PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS ii
Conocimientos y habilidades Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.
Actividad Previa Resuelve la siguiente situación: En un terreno rectangular se encuentra construida una casa. El terreno tiene un largo de 18 m, pero se pretende aumentarlo en 6 m con el fin de hacer un espacio para estacionamiento. Se desea calcular el área del terreno, pero se desconoce la medida del ancho.
¿Cuál es el área del terreno original? ¿Cuál es el área del terreno que se agrega? ¿Cuál es la suma de esas dos áreas? Explica cómo calculaste el área de un rectángulo. ¿De qué dimensiones queda el terreno? largo 5 Si el área se calcula multiplicando
; ancho 5 por
con esos datos, la multiplicación?
, ¿cómo indicarías, .
Resuelve la multiplicación, ¿qué resultado obtienes? Compara este resultado con el que obtuviste de sumar las dos áreas. ¿Qué observas? Comenta y justifica.
BLOQUE 2
111
Actividad 2.1 Determina la expresión algebraica que permita calcular el área para cada una de las siguientes figuras y realiza las operaciones correspondientes con el fin de expresar la solución en la forma más simple. a) 4
A5
a
3
b)
m
A5
m
5
c)
h 3
A5
2
4
3
d)
b
A5
3
b
e) 8
A
B 24
A5
d
MATEMÁTICAS 2
112
TÉRMINO ALGEBRAICO Se forma por dos factores, un numérico (llamado coeficiente) y otro literal. Ejemplo:
2
En 3a 2b
En 2 3 mn 3 2 El coeficiente es: 2 3
El coeficiente es: 3 La parte literal es: a 2b
La parte literal: mn 3
Expresiones algebraicas Monomio
Un término
a, 3a 2b 3, 14m 3n 2p
Binomio
Dos términos
a 1 b, 2a 2 3bc 2
Trinomio
Tres términos
3a 2 1 2ab 2 b 3
Polinomio
Más de tres términos
4x 2 2 2y 1 3x 2y 2 1 7
Hasta el momento hemos trabajado con una gran variedad de expresiones algebraicas. Conviene detenernos un poco para que practiques, específicamente, algunas operaciones. Actividad 2.2 Suma los siguientes monomios. Recuerda que solamente puedes reducir términos semejantes, para tal efecto puedes agrupar los coeficientes en uno solo y conservar la parte literal. a) (7a) 1 (4a) 5
f) (2x 2) 1 (25x 2) 5
b) (9b 3) 1 (3b 3) 1 (27b 3) 5
g) (24a 2b 3) 1 (4a 2b 3) 1 (2a 2b 3) 5
c) (8a 2) 1 (24a) 1 (3a 2) 1 (a) 5
h) (2.3a) 1 (23.4a) 1 (1.3a) 5
d) (22.5m) 1 (25.2m) 1 (24.3m) 5
i) (7a 2) 1 (24a 3) 1 (7a 3) 1 (4a 2) 5
2 e) 3 m 2 n 3 1 2 m 2 n 3 5 3 4
j) 2
2 2 1 2 6 a 1 2 a 2 1 a 5 5 2 10
PROPIEDAD ASOCIATIVA Pueden agruparse dos o más sumandos, por parejas.
a 1 b 1 c 5 (a 1 b) 1 c 23 1 4 2 5 5 (23 1 4) 2 5 5 1 2 5 5 2 4
BLOQUE 2
113
Actividad 2.3 Suma los siguientes polinomios. Si lo consideras necesario, puedes acomodar verticalmente los polinomios, de manera que tengas columnas de términos semejantes. a) (4a 1 3b) 1 (22a 1 5b) 5
b) (4x 2 1 3x 2 7) 1 (22x 2 1 5x 1 6) 5
c) (4m 2 1 3n 2 7p) 1 (22m 2 1 5n 1 6p) 5
d) (22.5a 1 2.2b) 1 (22.3a 1 1.5b) 1 (1.4a 2 2.3b) 5
e) (4m 1 2n 1 3) 1 (22m 2 5n 2 2) 1 (2m 1 3n) 5
f)
1 2 1 3 5 3 a2 b1 c 1 2 a1 b2 c 5 2 3 4 4 6 4
ADICIÓN
Para operar verticalmente, acomoda en una columna los términos semejantes. Ejemplo: (2a 2 1 3a 1 2) 1 (3a 2 2 1) 1 (2a 2 2 a 1 3) 5 2a 2 1 3a 1 2 3a 2 2 1 2 2a 2 2 a 1 3 Suma:
7a 2 1 2a 1 4
Actividad 2.4 Resta los siguientes monomios. a) (3g 3h 2) 2 (1 4g 3h 2) 5
d) (23.5ab 3) 2 (27.75ab 3) 5
b) (3m 4n) 2 (22m 4n) 5
e)
c) 2(4b 3c 2d) 2 (5b 3c 2d) 5
f) (23a 4m 2) 2 (23a 4m 2) 5
4 2 3 2 m n 2 2 m 2n 3 5 9 3
MATEMÁTICAS 2
114 Actividad 2.5
Resta los siguientes polinomios. Al igual que en la adición, puedes disponer los polinomios en columna con el fin de obtener el resultado con más facilidad. a) (14m 3 1 2n 2) 2 (8m 3 1 4n 2) 5
b) (4a 2 2 2b 1 3) 2 (2 2a 2 1 4b 2 3) 5
c) (4x 3 1 2y 2 5z 3) 2 (1 2 2x 3 1 4y 2 3z 3) 5
d) (3.4g 1 2.2h 4 2 3.5k ) 2 (2 2.2g 1 1.4h 4 2 0.5k ) 5
e)
2 1 4 7 2 3 3 m n 1 mn 2 2 mn 2 2 m 2n 2 mn 2 2 mn 5 3 2 6 10 4 5
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS El producto se obtiene de multiplicar cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro (propiedad distributiva). (a 1 b)(c 2 d) 5 ac 2 ad 1 bc 2 bd Actividad 2.6 Con el propósito de reafirmar tus conocimientos sobre la multiplicación de monomios y polinomios, contesta las preguntas y calcula lo que se solicita. Un término algebraico está formado por dos partes, ¿cuáles son?
y
Explica cómo las identificas. Al multiplicar 3a 2bc por −2a 3b, lo haces en orden. ¿Qué haces en primer lugar? Y, ¿en segundo lugar? Explica, ¿de qué manera obtienes el producto de dos potencias de la misma base, como a2 y a3, y como b y b? ¿Qué haces con el elemento c del primer término? ¿Cuál es el resultado de esa multiplicación de monomios?
BLOQUE 2
115
FIGURAS A continuación aparecen algunas figuras compuestas. Identifícalas por la letra mayúscula que aparece en su interior. En la parte inferior aparecen como subíndices del área por calcular. 2a
M
N 3a
7a 5
G
F
3b
D
E 6b
3b
I
J
K
a14
a12
a
P 5 perímetro
G a11
4c
C
H A 5 área
4c
3b
5
AM 5 AN 5 AM+N 5 AC 5 AC+D 5 AC+D+E 5 AF 5 AG 5 AH5 AF+G 5 AG+H 5 AF+G+H 5 AI5 AJ 5 AK5 AI+J5 AJ+K 5 AI+J+K 5 Actividad 2.7 Practica un poco más la adición, calculando los perímetros de las figuras anteriores. El perímetro debe corresponder al exterior, en el caso de los agrupamientos de figuras. pM 5 PJ5 PH 5
pM+N 5
PI+J5
PG+H 5
PC+D+E 5
PI+J+K 5
PI 5
PG 5
PN 5
PK 5
PF+G5
PC 5
PJ+K5
PF+2G+H 5
PF 5
MATEMÁTICAS 2
116 Actividad 2.8
Se han resuelto algunas multiplicaciones, el archivo electrónico en que se hicieron los ejercicios se dañó. En la copia de seguridad de los archivos se recuperaron uno de los factores y el producto. A partir de esa información, determina el factor que falta, completando la siguiente tabla. Producto
Factor conocido
a) 6a 3b 3
3a 2b
b) 8m 3n
−4m 2n
c) 4a 5 1 8a 4
4a 3
d) 15x 5 2 10x 3 1 10x 2
5x 2
e) 2y 3 2 2y 2
2y 2
f) 4a 2b 1 8ab 2 2 4abc
4ab
g) a 2 1 ac 2 ad 1 ab
a
h) 3m 4 2 4.5m 3 1 7.5m 2 i)
1.5m
2 3 4 2 a 2 a 6 9
j) 2
Factor desconocido
2 2 a 3
3 5 2 3 2 b 1 b c 8 6
1 3 b 2
Actividad 2.9 Los datos que aparecen en la tabla están referidos a un prisma. Para calcular el volumen del prisma se usa la fórmula: V 5 abc, donde a, b y c son sus tres dimensiones. Completa la tabla calculando el valor faltante en cada caso. a
b
2x
c
V
5x
30x 3
c b
m
2m
4m 3 1 2m 2
a 2s
s 2 1s 1 1
2s 4 1 2s 3 1 2s 2
BLOQUE 2
117
Actividad 2.10 Una parte de una huerta de perales ha dejado de producir frutos por falta de sustancias nutritivas en el suelo. El propietario decide plantar otro tipo de árbol frutal en esa superficie. Hace un croquis como el siguiente para aclarar sus dudas. (Las medidas de las respuestas son absolutas, ya que se omitieron las unidades de medida de longitud.) Calcula el área que se tiene que reforestar. Calcula el área en la que se conservan los perales. Calcula el área total de la parcela. Calcula el perímetro de la zona que se va a reforestar. Calcula el perímetro del terreno que se conservará sembrado de perales. Calcula la suma de estos dos perímetros.
100
Calcula el perímetro de la parcela. 60 Resultaron diferentes, ¿por qué?
x
Actividad Extra Considera que este segmento es cada lado del cuadrado y cada arista del cubo.
Calcula el volumen del cubo.
a15
V5
Calcula el área del cuadrado.
A5
a) ¿Cuántos sólidos forman al cubo?
b)
MATEMÁTICAS 2
118
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA Tema: Formas geométricas APARTADO 3: CUERPOS GEOMÉTRICOS
Construcción de prismas y pirámides
Conocimientos y habilidades Describir las características de cubos, prismas y pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico.
Actividad Previa Al centro de una caja de cristal se ha colocado un prisma. Hay observadores en cinco direcciones de la caja. El que está al frente observa un rectángulo (ya dibujado). ¿Qué observan las personas que están en las otras cuatro direcciones. Realiza los trazos.
Se sabe que... Los poliedros son sólidos geométricos formados por caras planas.
Se sabe que... Un prisma es un poliedro cuyas bases son dos polígonos iguales y paralelos y cuyas caras laterales son paralelogramos.
¿Todos los cuerpos geométricos son poliedros?, ¿cuáles no? Explica y da ejemplos. ¿Sabes cuál es el poliedro más grande creado por el hombre?
BLOQUE 2 Actividad 3.1 Utilizando los recursos que consideres pertinentes o a mano alzada, dibuja la forma en que te imaginas cada uno de los siguientes poliedros (no copies). a) Cubo
d) Prisma triangular
b) Prisma cuadrangular
e) Prisma rectangular
c) Pirámide triangular
f) Pirámide cuadrangular
119
MATEMÁTICAS 2
120 Actividad 3.2
En parejas resuelvan la siguiente situación. Se da una proposición y cuatro posibles respuestas. Seleccionen la respuesta correcta. Caras: Polígonos que limitan un poliedro. Arista: Segmento de recta donde se intersecan dos caras. Vértice: Punto donde concurren tres o más planos. Cúspide: Vértice opuesto a la base de una pirámide.
Cúspide
Vértice Cara
Arista
a) Número de vértices de un prisma pentagonal.
10
20
15
5
6 vértices
12 vértices
b) Elementos de un prisma de 18 aristas.
12 caras
6 caras
c) Número de aristas de un poliedro que tiene 4 vértices y 4 caras.
4
6
8
12
isósceles
escalenos
Paralelogramos
Cilindro
Prisma
Cono
Hexagonal
Octagonal
9
12
12
10
Cuadriláteros
escalenos
3
6
9
Esfera
Cilindro
Prisma
d) Caras laterales de un prisma. equiláteros e) Es un poliedro.
Esfera
f) Es una pirámide que tiene 9 caras.
Triangular
Pentagonal
g) Vértices de una pirámide que tiene 9 caras.
8
16
h) Vértices en un prisma que tiene 9 caras.
8
14
i) Caras laterales de una pirámide recta. rectángulos
isósceles
j) Número de vértices de un prisma triangular.
12
k) Es un cuerpo no redondo.
Cono
BLOQUE 2
121
l) Pirámide de 7 caras.
Pentagonal
Hexagonal
Octagonal
Triangular
4
3
6
Triangular
Hexagonal
Pentagonal
16
4
8
4
m) Número de vértices de una pirámide triangular.
9
n) Pirámide formada por 6 caras.
Octagonal
o) Número de aristas de un prisma rectangular.
8
12
p) Número de aristas de un paralelepípedo.
12
16
Actividad 3.3 En parejas, analicen las respuestas seleccionadas en el ejercicio anterior para tratar de dar un concepto de los siguientes sólidos. Escriban con sus propias palabras, no tomen alguna definición textual de algún libro ni del glosario. Poliedro: Sólidos: Son cuerpos que ocupan un lugar en el espacio; tienen tres dimensiones: largo, ancho y profundidad (altura).
Prisma: Pirámide: Paralelepípedo: Cuerpo redondo:
Actividad Extra Investiga cuáles son los cinco poliedros regulares. Represéntalos en el siguiente espacio (en forma tridimensional). En tu cuaderno anota la definición de cada uno de ellos y representa su desarrollo. 1. 2. 3. 4. 5.
MATEMÁTICAS 2
122 Actividad 3.4
En la columna de la izquierda aparecen las representaciones, en el plano, de algunos poliedros. En la columna de la derecha aparece su desarrollo (el poliedro desarmado). Observa con cuidado y completa los espacios que faltan (no necesariamente la solución es única). a) Cubo
Ejemplo:
a a a a b) Prisma cuadrangular
c) Prisma triangular
d) Prisma rectangular
e) Prisma hexagonal
BLOQUE 2 f) Pirámide triangular
g) Pirámide cuadrangular
h) Pirámide rectangular
i) Paralelepípedo
123
MATEMÁTICAS 2
124 j) Pirámide hexagonal
PRISMA Es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos llamados bases y por tantos paralelogramos como lados tenga la base, llamados caras laterales.
Al desarrollar un poliedro, en el plano, queda representado un polígono compuesto, formado por todas las caras que determinan al poliedro en cuestión. Dichos polígonos tienen área, la cual corresponde al propio poliedro. Observa.
Base
c
Bases
c
Caras laterales
b a
b
Base
a La base es un rectángulo de área: B 5 ab Como son dos bases: 2B 5 2ab Para las caras laterales tenemos una superficie rectangular cuya base es: a 1 b 1 a 1 b (que corresponde al perímetro de la base) y su altura, c, por lo que, reduciendo, el área lateral: AL 5 (2a 1 2b)c, que es equivalente al perímetro de la base por la altura: AL 5 Ph. El área total del prisma quedará determinada por la suma de estas dos áreas:
A T 5 Ph 1 2ab o bien, A T 5 AL 1 2B
BLOQUE 2 Actividad 3.5 Realiza un ejercicio similar al anterior, con el propósito de determinar el área total de una pirámide. Tú decides la forma de la base.
PRISMAS Y PIRÁMIDES Se nombran de acuerdo con la forma del polígono que tiene como base.
Actividad 3.6 Determina el área lateral, las áreas de las bases y el área total de los siguientes poliedros. Observa el ejemplo. Ejemplo: Determinar el área total de un prisma rectangular como el de la figura. A L 5 Ph 5 2(6 cm 1 4 cm)(12 cm) 5 2(10 cm)(12 cm) 5 240 cm2 B 5 (6 cm)(4 cm) 5 24 cm2, por lo que: 2B 5 2(24 cm) 5 48 cm2 A T 5 A L 1 2B 5 240 cm2 1 48 cm2 5 288 cm2 Solución: A T 5 288 cm2 12 cm
4 cm 6 cm
125
MATEMÁTICAS 2
126
a) Determinar el área total de un prisma cua- d) Un dado tiene una arista de 1.5 cm, determidrangular que tiene una altura de 10 m y cuya nar su área total. base es un cuadrado que mide 5 m por lado.
b) Una caja de cerillos tiene la forma de un para- e) Jesús tiene que pintar una alberca que tiene lelepípedo recto y sus dimensiones son 2 cm, forma de prisma rectangular. Sus dimensiones 7 cm y 4 cm. Si quieres hacer una reproducción son: largo, 10 m; ancho 6 m y profundidad, en cartulina, ¿cuál es el mínimo de papel que 3 m. Si con un litro puede pintar 2 m2, ¿cuántos necesitas para armarla? litros de pintura necesita para hacer todo el trabajo?
c) Al realizar un corte transversal desde uno de f) La base de la gran pirámide de Egipto es un los vértices de un prisma rectangular, se obtuvo cuadrado cuyo lado mide aproximadamente la siguiente pirámide. Determina su área total. 230 m. Si la línea que une el punto medio de cada lado de la base con el vértice superior de la pirámide mide 186 m, ¿qué área de la pirámide queda expuesta a la erosión?
10 cm 3 cm
3 cm 5 cm
BLOQUE 2
127
Actividad 3.7 Observa cada uno de los siguientes sólidos, que se dan en tres dimensiones en el plano. Dibuja las vistas planas o proyecciones que se solicitan (en dos dimensiones). En tu cuaderno, puedes seleccionar algunos objetos del entorno y hacer algo similar. Sólido tridimensional
Sólido tridimensional
Vista frontal
Vista superior
Vista lateral derecha
Vista lateral izquierda
Vista frontal
Vista superior
Vista lateral derecha
Vista lateral izquierda
MATEMÁTICAS 2
128 Sólido tridimensional
Sólido tridimensional
Sólido tridimensional
Vista frontal
Vista superior
Vista lateral derecha
Vista lateral izquierda
Vista frontal
Vista superior
Vista lateral derecha
Vista lateral izquierda
Vista frontal
Vista superior
Vista lateral derecha
Vista lateral izquierda
Actividad Extra Resuelve la siguiente situación. Con 2 km3 de arcilla se construyen dados de 1 cm3. ¿Cuántos dados se pueden construir? Si los formas en fila, ¿qué longitud alcanzan?
BLOQUE 2
129 Volúmenes de prismas y pirámides rectos
Tema: Medida APARTADO 4: JUSTIFICACIÓN DE FÓRMULAS I
Conocimientos y habilidades Justificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.
Actividad Previa En cursos anteriores aprendimos que, según ciertos convenios, existen diversas unidades. En el caso del volumen la unidad es un cubo de arista 1u ( 5 1u), el cual al llenar el espacio que ocupa un sólido determina el número de unidades cúbicas que contiene (volumen). Observa la figura. En este cubo.
Cuenta el número de unidades; largo:
; ancho:
y alto:
El área de la base se obtiene multiplicando
3
. 5
u2.
¿Cuántos cubos amarillos llenarán al prisma rojo? 3
3
5
u3.
Suponiendo que cada uno de los cubitos amarillos mide 1 cm por lado, ¿cuáles son las dimensiones del prisma? Largo: ; ancho: ; alto: . En este caso. ¿cuál es el volumen del cubo rojo? Si consideramos que el cubito amarillo mide 1 m por lado, ¿cuál es el volumen del cubo grande? Los que inventaron las matemáticas consideran que el volumen debe medirse con cubos que midan una unidad por lado; dentro del Sistema Métrico Decimal, esa unidad es el metro cúbico (m3).
MATEMÁTICAS 2
130 Actividad 4.1
Considerando las dimensiones en cada uno de los siguientes sólidos, escribe, mediante una expresión algebraica, la fórmula para calcular su volumen. a) Un cubo
b) Un prisma rectangular
a
r c
a a V5
c) Un paralelepípedo
p
q
V 5
a
b
V 5
¿Qué son en cada caso a 3 a; p 3q y a 3 b? ¿Qué son en cada caso a, r y c ?
Actividad 4.2 Antes de iniciar esta actividad se requiere que tengas a la mano cartulina, escuadras, compás, tijeras y pegamento; un cuarto de kilogramo de alpiste u otro material de grano pequeño (sal de cocina, ajonjolí, arena, tierra cernida, harina, etc.). Calca los siguientes modelos para que los reproduzcas en cartulina. Después realiza las actividades que se indican.
Las bases de estos dos poliedros son iguales. Las alturas de estos dos poliedros son iguales.
BLOQUE 2
131
Calca, recorta y arma los poliedros; una de las bases de cada sólido no se pega (tendrá la función de tapa). Llena la pirámide de alpiste. Esta es nuestra unidad de medida. ¿Con cuántas pirámides llenas el prisma? Si el volumen aproximado del prisma es de 54 cm3, ¿cuál es el volumen de la pirámide?
PIRÁMIDE RECTA Es un sólido en el que la base es cualquier polígono y sus caras laterales son triángulos isósceles. Actividad 4.2 Considera la siguiente figura y de acuerdo con la conclusión obtenida en el ejercicio anterior, calcula los volúmenes del prisma y de la pirámide. Toma los datos de la figura.
Español: Utilizando la argumentación, escribe qué relación encuentras entre el volumen de una pirámide y un prisma de iguales base y altura.
¿Cómo expresarías un concepto de prisma recto?
MATEMÁTICAS 2
132
Medidas de volumen y capacidad
TEMA: MEDIDA APARTADO 5: ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR II
Conocimientos y habilidades Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas.
Actividad Previa Conviene que repasemos las unidades de volumen y sus formas de conversión. Observa, analiza y encuentra la utilidad de las siguientes tablas de equivalencias.
UNIDADES DE VOLUMEN UNIDAD BÁSICA
MÚLTIPLOS
SUBMÚLTIPLOS
km3
hm3
dm3
m3
dm3
cm3
mm3
kilómetro cúbico
hectómetro cúbico
decámetro cúbico
metro cúbico
decímetro cúbico
centímetro cúbico
milímetro cúbico
UNIDADES DE VOLUMEN
UNIDADES DE VOLUMEN
Al convertir de una unidad menor en una inmediata superior se divide entre 1 000.
Al convertir de una unidad mayor en una inmediata inferior se multiplica por 1 000.
3 1 000
km3
3 1 000
hm3
4 1 000
3 1 000
dm3
4 1 000
3 1 000
m3
4 1 000
3 1 000
dm3
4 1 000
3 1 000
cm3
4 1 000
mm3
4 1 000
Ejemplos: Convertir 45 m3 a cm3: 45 3 1 000 3 1 000 5 45 000 000 45 m3 5 45 000 000 cm3 Convertir 358 400 mm3 a cm3: 358 400 4 1 000 5 358.4 358 400 mm3 5 358.4 cm3
BLOQUE 2
133
Es frecuente que las unidades de volumen se relacionen con las unidades de capacidad, por lo que te ofrecemos la información necesaria para hacer las transformaciones que requieras para resolver algunos problemas.
La capacidad es una magnitud Para medir la cantidad de líquido que cabe en un recipiente se puede utilizar el litro como unidad de medida. Si se tiene un cubo que mide 1 decímetro de arista, su volumen será igual a: 1 decímetro cúbico y su capacidad es de 1 litro.
1 dm
1 dm 1 dm Volumen 5 1 dm3 Capacidad 5 1
Unidades de capacidad UNIDAD BÁSICA
MÚLTIPLOS k
h
da
kilolitro
hectolitro
decalitro
litro
SUBMÚLTIPLOS d
c
m
decilitro
centilitro
mililitro
Para hacer conversiones entre unidades de capacidad, nos apoyamos de la respectiva tabla. EQUIVALENCIAS 1 m3 5 1 000
EQUIVALENCIAS 1 d 5 100 cm3
1 dm3 5 1
1 c 5 10 cm3
1 cm3 5 0.001
1 m 5 1 cm3
MATEMÁTICAS 2
134 3 10
k
3 10
h
3 10
3 10
3 10
da
4 10
4 10
d
4 10
4 10
3 10
c
4 10
m
4 10
Ejemplos: Convertir 0.0025 a m : 0.0025 3 10 3 10 3 10 5 2.5 0.0025 5 2.5 m Convertir 52 300 a h : 52 300 4 (10 3 10) 5 52 300 4 100 5 523 52 300 5 523 h Actividad 5.1 Realicen en parejas las siguientes conversiones. Al terminar, comparen sus respuestas. a) 49 m3 a dm3
f) 12.55 dm3 a cm3
b) 456 568 mm3 a cm3
g) 0.0088 dm3 a m3
c) 36 654 235 m3 a km3
h) 12 345 m a
d) 1 200 000 c a
i) 0.0025
e) 45 500 cm3 a
j) 12
am
a dm3
BLOQUE 2 Actividad 5.2 Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Trabaja en parejas y al finalizar compara tus resultados con los de tus compañeros. a) Cuando Jesús terminó de pintar la alberca y d) Para fabricar un dado de 1.5 cm de arista se estuvo en condiciones, trató de llenarla con requieren 5 gramos de material plástico. ¿Qué agua. ¿Recuerdas que las dimensiones de la cantidad de material se requiere para fabrialberca son 10 3 6 3 3 m? Si se llena al tope, car otro dado cuya arista mida lo doble? ¿Qué ¿cuántos litros de agua se requieren? volumen tendrá este nuevo dado?
b) Un frasco de suavizante de telas contiene e) ¿Qué volumen ocupan las canteras que for1.9 . En la lavadora dice que hay que agregar, man la gran pirámide de Egipto? Recuerda a cada carga, 50 cm3 de suavizante, ¿para que es cuadrangular y mide 146 m de altura y cuántas cargas sirve el frasco? 230 m cada lado de su base.
c) Marilú lleva a la escuela diariamente 6 libros f) Cierta marca de leche se envasa en paraque miden aproximadamente 1 cm de grueso, lelepípedos que miden 11 cm de ancho, 15 cm 27 cm de largo y 20.5 cm de ancho. ¿Qué volude alto y 6 cm de profundidad, ¿será un espamen ocupan esos libros en su mochila? cio suficiente para que pueda contener un litro de leche? ¿Por qué?
135
MATEMÁTICAS 2
136
g) Un almacén cuenta con un espacio de 5 m de i) En un envase con forma de prisma cuadrangulargo, 3 m de ancho y 2 m de alto. Se quieren lar se vende un litro de jugo. Si el envase mide almacenar cajas de 1 m de largo, 0.6 m de an17 cm de altura y 8 cm cada lado de la base, cho y 0.4 m de alto, ¿cuántas cajas se pueden ¿qué volumen del envase queda vacío? almacenar?
h) Una cisterna tiene forma de paralelepípedo j) Un bote con forma de prisma rectangular conrecto. Sus dimensiones son: 2 m de largo, 1.5 m tiene tres cuartas partes de aceite. Si mide 25 de ancho y el agua alcanza una profundidad de cm de alto y su base es un rectángulo de 15 cm 2.20 m cuando está a su máxima capacidad. 3 10 cm, ¿qué volumen de aceite contiene? ¿Cuántos litros de agua se pueden reservar en la cisterna?
Actividad 5.3 En cada una de las siguientes situaciones problemáticas se ha calculado previamente el volumen, pero falta una de las medidas del poliedro en cuestión. Calcula el elemento faltante. a) Para empacar unos floreros se ocupan peque- b) Una pastilla de jabón para lavar ropa tiene forma ñas cajas en forma de prisma rectangular. de paralelepípedo recto. El volumen del jabón Para que el florero quede justo y sin peligro es de 1125 cm3, con una base de 7.5 3 10 cm. de romperse, se rellena el total de la caja con ¿Cuál es la otra medida del sólido? bolitas de unicel. Si el volumen que se ocupa es de 384 cm3 y la altura de la caja es de 12 cm, ¿cuánto mide el área de su base?
BLOQUE 2 c) A una barra de queso con forma de prisma e) Un contenedor de ferrocarril, en forma de prisse le hizo un corte transversal de manera que ma cuadrangular, tiene un volumen de 360 m3. quedó dividido en dos prismas triangulares Si el cuadrado de la base mide 6 m por lado, iguales. Originalmente el volumen que ocu¿cuánto mide su altura? 3 paba el queso era de 1 620 cm . Si el área de la base del corte mide 40.5 cm2, ¿cuánto mide el otro lado?
d) Cierta marca de chocolate se envasa en cajas f) En una construcción se usan pilares hexagoque tienen forma de prisma triangular y su nales que reducen el volumen de los espacios 2 base es un triángulo equilátero que mide 7 cm en 1.68 m3. Si la altura de cada pilar es de de área. ¿Cuánto mide el otro lado de la caja, 4 m, ¿qué área del piso ocupan? si se sabe que ocupa un volumen de 175 cm3?
137
MATEMÁTICAS 2
138 Actividad 5.4
Analiza las siguientes situaciones y responde las preguntas que se plantean. Trata de justificar cada una haciendo los cálculos correspondientes. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. a) Se tiene un prisma cuadrangular como el de la figura. Si construyes otro prisma en el que las dimensiones sean la mitad de las del original, ¿cuál es la razón de semejanza entre la altura del menor con respecto a la del mayor?
8 cm
4 cm 4 cm ¿Cuáles son las dimensiones de este prisma? ¿Qué relación hay entre las áreas de las caras frontales? ¿Cuánto mide cada área? ¿Cuál es su razón de semejanza? ¿Cuáles son los volúmenes de ambos? Analiza y comenta tus respuestas.
BLOQUE 2 b) En un prisma rectangular se hicieron cortes del centro de una de las bases a las aristas de la base opuesta para obtener una pirámide.
20 m
5m 10 m
¿Cuál es el volumen del prisma? ¿Cuál el volumen de la pirámide? ¿Cuántas veces contiene el prisma a la pirámide? ¿Sucederá lo mismo con cualquier prisma? Si la altura se reduce a la mitad, ¿qué sucede con el volumen?
139
MATEMÁTICAS 2
140 Actividad 5.5
¿Has observado que si a partir de un sólido haces algunos cortes puedes obtener otros sólidos? Cada corte que realizas es un plano que determina en el sólido un polígono determinado. Analiza el ejemplo y utiliza tu imaginación para realizar los demás ejercicios. Ejemplo: Si hacemos un corte paralelo a a) Realiza un corte perpendicular a la base de una de las caras de un paralelepípedo, una pirámide cuadrangular que pase por obtenemos un polígono igual a la cara su cúspide y los puntos medios de los lados paralela. paralelos de la base.
¿Qué figura se obtiene? Un rectángulo igual ¿Qué figura se obtiene? y paralelo a una de las bases
b) En el siguiente cubo, haz un corte para obtener c) Realiza dos cortes perpendiculares que pasen una pirámide cuya base sea un triángulo por los puntos medios de las aristas de este isósceles. prisma.
Explica tu procedimiento:
¿Qué obtuviste?
BLOQUE 2 d) Encuentra los puntos de corte del siguiente e) Realiza un corte paralelo a la base de la cubo, de manera que obtengas el mayor triánsiguiente pirámide hexagonal. gulo equilátero.
Explica tu procedimiento y justifica.
¿Qué obtuviste?
Actividad 5.6 Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Estima las medidas lineales para posteriormente hacer con ellas los cálculos pertinentes. a) Calcula el volumen de tu salón de clases.
c) Acomoda 15 libros de matemáticas, uno sobre otro, de manera que se forme un prisma. Calcula el volumen de ese prisma.
b) Si en tu salón hay un estante, calcula cuántos d) Un edificio tiene 12 pisos, en cada piso hay un litros de aire contendrá. departamento de 120 m2 de área. Sin escribir las operaciones, ¿cuál es el volumen que ocupan los 12 departamentos?
141
MATEMÁTICAS 2
142
e) ¿Cuántos mililitros de agua le caben a cada f) Cada sobre para CD es un cuadrado de una de las pirámides cuadrangulares siguien12.5 cm por lado y un espesor de 0.05 cm. tes, las cuales tienen un lado de las bases y las ¿Qué volumen ocupan 100 sobres para CD alturas iguales? acomodados en forma de prisma?
Actividad Extra Resuelve la siguiente situación. a) Un lechero dispone solamente de dos jarras para medir la leche que vende, una de 3 y la otra de 5 . ¿Cómo le hace para medir 1 sin desperdiciar la leche?
b) Se hicieron cuatro cubos macizos con un mismo material. Los aristas miden 6 cm, 8 cm, 10 cm, y 12 cm, respectivamente. Hay que colocarlos en los platillos de una balanza de manera que queden en equilibrio. ¿Qué cubo o cubos pondrás en cada platillo? Argumenta tu respuesta.
BLOQUE 2
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MANEJO DE la INFORMACIÓN Tema: Análisis de la información
Equivalencia de razones
APARTADO 6: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD III Conocimientos y habilidades Resolver problemas de comparación de razones con base en la noción de equivalencia.
Actividad Previa En ocasiones, para entender la relación que hay entre dos cantidades hacemos uso de una razón, misma que da sentido a la comparación que puede hacerse con otras razones. Resuelve la siguiente situación: En el grupo 2o A, hay 5 hombres por cada 6 mujeres; en el grupo 2o B, hay 6 hombres por cada 7 mujeres. ¿En cuál de los grupos la proporción de hombres es mayor? ¿Qué razón se obtiene al comparar hombres y mujeres en 2o A? ¿Qué razón se obtiene al comparar hombres y mujeres en 2o B? Compara las razones obtenidas. ¿Qué haces para saber cuál es la mayor? Una forma de comparar es convirtiendo esas razones a un común denominador. Completa. 2o A: 5 = y 2o B: 6 = 6 42 7 42 ¿A qué grupo le correspondió la mayor razón? ¿En qué grupo hay más hombres? Si te hubieran preguntado: ¿En cuál de los dos grupos la proporción de mujeres es mayor?, ¿cómo lo hubieras planteado? Resuelve.
Actividad 6.1 Resuelve las siguientes situaciones problemáticas. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. a) En el D.F., por cada 5 automóviles americanos b) En un censo de escolaridad se obtuvo que en están registrados 7 automóviles japoneses. En las escuelas del Distrito Federal hay inscritos Zacatecas, por cada 3 automóviles americanos 10 hombres por cada 9 mujeres; en Chiapas están registrados 4 japoneses. Proporcionalpor cada 5 hombres, 4 mujeres, y en Oaxaca mente, ¿en qué entidad hay más automóviles por cada 4 hombres, 3 mujeres. ¿En qué esamericanos? tado hay más mujeres estudiando?
MATEMÁTICAS 2
144
c) Para hacer una bebida refrescante, la pro- e) Un vendedor ambulante vende aguas de naran3 porción entre la esencia frutal y el agua ja y zanahoria. Con 2 4 de jugo de naranja carbonatada es de 9 partes por 30, respecy1 1 de agua hace la de naranja, y con tivamente. Para hacer un refresco de cola se 1 4 3 de jugo de zanahoria y 1 1 de agua 2 2 usan 3 partes de escencia por 9 de agua. hace la de zanahoria. ¿Cuál de las dos bebi¿Qué bebida contiene mayor cantidad de das contiene mayor cantidad de agua? escencia?
d) En cierta fábrica de dulces tres son las má- f) El automóvil de mi papá gasta 3 de gasolina quinas que los producen. La primera produce por cada 27 km recorridos. El automóvil de mi 7 dulces defectuosos por 10 en buen estado; tío gasta 2 de gasolina por cada 16 km y el la segunda 3 dulces defectuosos y 5 buenos, de los vecinos gasta 5 por 45 km. Proporcioy la tercera 8 defectuosos por 15 buenos. Si nalmente, ¿cuál de los automóviles es el más te dijeran que sólo trabajarán dos máquinas, económico? ¿de cuál detendrías la producción?
g) En una fábrica de clavos y tornillos, por cada 15 clavos se producen 6 tornillos y 10 tuercas. Cierta semana la producción fue: lunes, 23 100 piezas; martes, 29 400 piezas; miércoles, 18 900 piezas; jueves, 27 300 piezas y viernes, 17 850 piezas. Utiliza la siguiente tabla para anotar tus resultados y realiza una gráfica comparativa entre los tres productos en la siguiente página. Día Producto Clavos Tornillos Tuercas Total
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
BLOQUE 2
145
Piezas
Días
h) El radio de la Luna es 3 del radio de la Tierra, y el radio del Sol mide 108 radios terrestres. ¿Cuál 11 es la razón entre los radios de la Luna y el Sol? Si el radio de la Luna es de 1 738 km, ¿cuál es el radio del Sol?
Actividad Extra Resuelve las siguientes situaciones. a) En el Banco A una inversión de $5 500 produjo un rendimiento de $350; en el Banco B se invirtieron $5 000 y el rendimiento fue de $320, y en el Banco C por $6 000 invertidos se obtuvieron $340 de rendimiento. Si tu fueras a invertir, ¿qué banco escogerías?
b) Tres amigos compran un terreno en $170 000. El primero se quedó con 2 partes; el segundo con 5 partes y el tercero con 3 partes. ¿Cuánto tendrá que pagar cada uno?
MATEMÁTICAS 2
146
Moda, mediana y media aritmética
Tema: Representación de la información APARTADO 7: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN
Conocimientos y habilidades Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética. Medidas de tendencia central Moda, mediana y media aritmética o promedio.
Actividad Previa La siguiente tabla representa el gasto que hace cada alumno de cierto grupo en la cooperativa escolar. Completa la tabla, traza el polígono de frecuencias correspondiente y contesta las preguntas planteadas.
Frecuencia Gasto en $
Conteo
10
Frecuencia
Gasto en la cooperativa
24
4 20
12 16
14 15
12
20 8
25
4
Total
0
Moda El elemento de mayor frecuencia en una muestra. Mediana El elemento central de la muestra ordenada. Media aritmética o promedio La suma de todos los casos entre el número de casos.
5
10
15
20
25
30
Gasto
¿Cuál es el gasto que tiene la mayor frecuencia? Del total de alumnos, el caso que está en el punto medio del conteo, ¿qué gasto hizo? Con los datos que tienes, ¿será posible calcular el gasto promedio por alumno? ¿Cuál es el gasto promedio? Explica cómo lo calculaste: ¿Qué observación puedes hacer acerca de las tres respuestas?
BLOQUE 2 Actividad 7.1 Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Compara tus respuestas con tus compañeros. a) Alfredo obtuvo en el primer bimestre, en todas d) Un chofer de autobuses foráneos hace un sus asignaturas, las siguientes calificaciones: recorrido diario de ida y vuelta a diferentes 7, 7.5, 9, 5, 6, 10, 9, 8 y 6. ciudades del país. En la semana recorrió: ¿Cuál es su promedio? lunes, 475 km; martes, 360 km; miércoles, 680 km; jueves, 590 km; viernes, 710 km y sábado 327 km. En promedio, ¿cuántos kilómetros recorrió por día?
b) Los gastos diarios de una familia en trans- e) En una huerta familiar hay 5 manzanos cuya porte son: lunes $40; martes, $32.50; miércoles, producción en esta temporada fue: 250, 300, $63.50; jueves, $37.50 y viernes, $48. A partir del 220, 400 y 330 manzanas. ¿Cuál fue la producpromedio diario, ¿cuánto se debe reservar mención promedio de manzana de los 5 árboles? sualmente para transporte?
c) ¿Cuál es el dato central o mediana de las f) Los siguientes datos corresponden al número siguientes cantidades: 47, 58, 45, 40, 55, 49, 51? de canastas anotado por un equipo de básquetbol en sus últimos 10 encuentros: 40, 40, 52, 30, 22, 27, 32, 18, 29, 40. Determina la moda.
147
MATEMÁTICAS 2
148 Actividad 7.2
A partir de la información que aparece en la siguiente gráfica, contesta las preguntas. Temperaturas registradas en Teotihuacán Grados centígrados
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Ene.
Feb.
Mar.
Abr.
May.
Jun.
Jul.
Ago.
Sep.
Oct.
Nov.
Meses
Dic.
¿En qué mes se registró la temperatura más alta? ¿En qué mes se registró la temperatura más baja? ¿Cuál fue la temperatura más baja registrada? ¿Cuál fue la temperatura más alta registrada? ¿En qué meses se mantuvo estable la temperatura? ¿Cuál puede decirse que es la moda de estas temperaturas? ¿Cuál es la temperatura promedio a lo largo de ese año?
Actividad 7.3 Considera la siguiente situación y realiza lo que se indica. Los resultados siguientes representan los puntajes obtenidos por los alumnos de preparatoria en un examen de Estadística. 23
60
79
32
57
74
52
70
82
36
80
77
81
95
41
65
92
85
55
76
52
10
64
75
78
25
80
98
81
67
41
71
83
54
64
72
88
62
74
43
60
78
89
76
84
48
84
90
15
79
34
67
17
82
69
74
63
80
85
61
BLOQUE 2
149
La tabla siguiente es para que ordenes las puntuaciones de menor a mayor, en cada fila.
Establece la clase. Completa la tabla. Puntuación
Frecuencia absoluta
— — — — — — — — — — Total
60
Punto medio
Producto
MATEMÁTICAS 2
150 Elabora la gráfica correspondiente. Frecuencia
Puntaje
0
¿Cuál es la moda? ¿Cuál es la mediana? ¿Cuál es la media aritmética? Con base en los resultados obtenidos, comenta con tus compañeros qué conclusiones se pueden obtener acerca del desempeño académico del grupo en el examen de estadística. Anótalas. Actividad Extra Resuelve las siguientes situaciones. a) La compañia de luz seleccionó a 20 clientes de cierta zona. Sus recibos marcaban las siguientes cantidades a pagar, en pesos: 540, 480, 580, 500, 250, 470, 750, 460, 600, 700, 670, 680, 390, 350, 560, 660, 330, 620, 650 y 670. Determina la mediana, la moda y la media aritmética.
b) En los 24 días que han transcurrido en este mes, que tiene 31, ha llovido cuatro días más que los días en que no ha caído lluvia. Si se mantiene esta proporción de días lluviosos, ¿cuántos días, de los restantes del mes, se espera que llueva?
151
Aplicación de aprendizajes Imaginación espacial
Al finalizar el bloque anterior trabajaste la imaginación espacial entre pesas. Veamos su aplicación en algunas formas geométricas. Recuerda que al resolver la práctica es conveniente comparar tus resultados con los que obtuvieron tus compañeros y llegar a conclusiones. 1. Dibuja la figura que corresponda, de acuerdo con los datos:
Si de
sigue,
antes de
¿qué figura debe estar?
2. Une mediante líneas, sin que se crucen, cada figura con su correspondiente pareja.
A
B C D E
F
G
H I
L
J
K
3. Encierra en un círculo las piezas que se puedan superponer en la figura anaranjada.
152
Exploración de recursos tecnológicos
¿Cómo le fue a tu equipo con la presentación que desarrollaron acerca de los ángulos que se forman en las rectas que se cortan por otra? En esta ocasión vamos a diseñar otra presentación, pidiendo que también la trabajen en equipo de dos personas, pero cuidando las entradas o aparición de textos en cada pantalla que diseñen. Tomen de este Bloque el tratamiento de las medidas de volumen y capacidad, que se encuentra en el apartado 5, o bien las medidas de tendencia central y de dispersión, que se encuentra en el apartado 7. Después de diseñar la pantalla del título, introduzcan preguntas en el desarrollo de la presentación del tema. Consideren la posibilidad de agregar un tipo de sonido si la respuesta es correcta y otro tipo de sonido si la respuesta elegida por el usuario es equivocada, o bien, si es posible que liguen la respuesta con otra pantalla háganlo, buscando la posibilidad de regresar a la pantalla de inicio para que el usuario también aprenda al ver la presentación. Por ejemplo: si están trabajando con las unidades de volumen y capacidad, presenten como información aquella que marca la diferencia entre el volumen y la capacidad, las unidades de medida que utilizan y hagan preguntas como ¿cuántos litros de agua cabrán en un recipiente cúbico cuyas medidas son: una base cuadrada de 10 cm por lado y la altura de 20 cm? Consideren que la respuesta equivocada tenga cierta lógica, como 200 litros, considerando que el usuario piense que sólo basta multiplicar las 10 unidades de la base por las 20 de altura, sin considerar la conversión a decímetros o sin utilizar la imaginación espacial y la estimación, dadas las medidas proporcionadas. Si desarrollan el apartado 7, después de dar información acerca de lo que significan la moda, la mediana y la media aritmética, y al presentar ejemplos de cada una de estas medidas, pueden agregar problemas sencillos, como el del inciso c) de la actividad 7.1 o la gráfica de la actividad 7.2. Al igual que en el ejemplo mostrado en el párrafo anterior, consideren un sonido diferente para cada tipo de respuesta, o bien una pantalla alusiva al acierto o al error. Hagan la presentación de su trabajo y pidan al grupo sugerencias para mejorarla.
BLOQUE 2
153
¿CUÁnto APRENDÍ? Instrucciones: Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Ocupa los espacios para anotar tus procedimientos, operaciones y resultados. 1. Resuelve: 23 (22 1 4) 2 [ 2 3 (2 4 1 6) 1 2 ] 5 2. Resuelve y comprueba la ecuación: 3 (x 1 2) 1 9 5 36
3. Determina el área de la parte azul oscuro de la figura.
7x
3x
4. Resuelve las siguientes operaciones con polinomios.
3x2
a) (2x 3 1 3x 2 1 6) 1 (5x 3 2 2x 2 1 7) 1 (2 3x 3 2 3x 2 2 9) 5 b) (4a 3b 2 2 2b 2 4c 2) 2 (2a 3b 2 2 2b 2 3c 2) 5 c) 4a 2b 3 (2 a 2b 2 3a 3 1 2ab 2 1) 5 5. Determina el área lateral (de las paredes, incluyendo puertas y ventanas), el área total y el volumen de una habitación que mide 3 m de ancho por 4 m de largo y cuya altura es de 3.75 m.
6. En el siguiente prisma se han hecho algunos cortes transversales; determina el volumen del prisma y el volumen de la pirámide en términos de y, de acuerdo con los datos que se proporcionan.
10y
3y 5y
MATEMÁTICAS 2
154
7. Arturo pretende construir una pecera de cristal, con tapa, que mida 80 cm de arista. ¿Cuánto cristal necesita para construirla? ¿Cuántos litros de agua necesita para llenarla a toda su capacidad?
8. En una granja, por cada 3 huevos rojos se producen 7 huevos blancos. Si en una semana se producen 7 500 huevos, ¿cuántos huevos de cada tipo resultan?
9. Los alumnos que toman taller de lectura obtuvieron las siguientes calificaciones: 7, 8, 7, 8, 9, 6, 10, 10, 7, 5, 6, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 5, 7. Encuentra la moda, la mediana, la media aritmética, elabora una tabla de frecuencias y traza su gráfica poligonal. frecuencia Calif.
Frec. 6
5 6
5
7
4
8
3
9
2
10
1
Total 0
Moda:
calificaciones 5
Mediana:
6
7
8
9
10
Media aritmética:
155
BLOQUE 3 Como resultado de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Elaboren sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. 2. Resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax 1 b 5 cx 1 d; donde los coeficientes son números enteros o fraccionarios, positivos o negativos. 3. Expresen mediante una función lineal la relación de dependencia entre dos conjuntos de cantidades. 4. Establezcan y justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier polígono. 5. Argumenten las razones por las cuales una figura geométrica sirve como modelo para recubrir un plano. 6. Identifiquen los efectos de los parámetros m y b de la función y 5 mx 1 b, en la gráfica que corresponde.
Contexto histórico 1122 Concordato de Worms.
1095 El Papa Urbano II predica la primera cruzada.
800
950
1100
1310 Dante Alighieri escribe La Divina Comedia.
1250
1507 Leonardo da Vinci pinta la Mona Lisa.
1400
1515 El Papa encarga a Nicolás Copérnico la reforma del calendario.
1550
Hechos matemáticos 820 Mohammed Ibn Mûsâ al-Khowârizmî desarrolla numerales hindúes y el álgebra; de su nombre proviene la palabra Álgebra.
870 Iâbit Ibn Qorra hace aportaciones al Álgebra, cuadrados mágicos y números amigables.
1325 Thomas Bradwardine desarrolla estudios de aritmética y geometría en polígonos formados por líneas que se cruzan.
1514 El matemático holandés Vander Hoecke es el primero en usar los signos de adición y sustracción, como se hace hoy en día en Álgebra.
MATEMÁTICAS 2
156
SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Sucesiones aritméticas
Tema: Significado y uso de las literales APARTADO 1: PATRONES Y FÓRMULAS Conocimientos y habilidades Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtener la regla que genera una sucesión de números con signo.
Actividad Previa En el curso anterior se te plantearon situaciones como la siguiente: completa la sucesión de números pares que tiene como primer elemento el número 2. Observa la información y responde las cuestiones planteadas. Lugar:
1,
2,
3,
4,
5,
Sucesión:
2,
4,
6,
8,
10, 12,
Diferencia:
2
2
2
2
6,
2
PROGRESIÓN O SUCESIÓN ARITMÉTICA Es una secuencia de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera es una constante. Es creciente si se agrega: 1, 2, 3, 4, 5, ... y es decreciente si se agrega 21, 22, 23, 24, 25, a) ¿Cuál es el elemento que ocupa el primer lugar? b) ¿Cuál es el elemento que ocupa el sexto lugar?
c) ¿Cuál es el elemento que ocupará el décimo lugar? d) ¿Cómo se obtiene la sucesión?
e) Ésta es una progresión aritmética en la que la diferencia es: f) ¿Cuál es el vigésimo elemento de la sucesión?
g) Si el primer elemento es a, ¿cómo representarías el segundo elemento? h) Y, conociendo el segundo término, ¿cómo representas el tercero?
i) Si la diferencia la identificamos como d, en términos de d, ¿cómo represen tarías el segundo y tercer términos? segundo:
y tercero:
j) Ésta es una sucesión creciente, ya que:
BLOQUE 3
157
a, b, c, d, e, f… x son los términos ordenados de una progresión en la que la diferencia es d, hasta el último término (n). Los valores de los términos serán: 1o 5 a 2o 5 a 1 d 3o 5 (a 1 d ) 1 d 5 a 1 2d 4o 5 (a 1 2d ) 1 d 5 a 1 3d 5o 5 (a 1 3d ) 1 d 5 a 1 4d 6o 5 (a 1 4d ) 1 d 5 a 1 5d … último término 5 a 1 (n 2 1)d Ejemplo: Si el primer elemento es el 2 y la diferencia es 3: 1o 5 2 2o 5 2 1 3 5 5 3o 5 5 1 3 5 8 4o 5 8 1 3 5 11 5o 5 11 1 3 5 14 duodécimo lugar 5 2 1 (12 2 1) 3 5 2 1 (11) 3 5 2 1 33 5 35 Lugar 12
Sucesión: Números relacionados entre sí en forma secuencial. Progresión aritmética.
Actividad 1.1 A continuación se dan cinco sucesiones o progresiones aritméticas. Analízalas y responde las preguntas que se plantean. a) 12, 8, 4, 0, 24, 28, 212,… ¿Cuál es la diferencia de la progresión? ¿Cómo obtuviste esa diferencia? Demuéstralo. b) 1 , 3 , 1, 5 ,... 2 4 4 ¿Cuál es la diferencia de la progresión? ¿Cómo obtuviste esa diferencia? Demuéstralo. c) 2, 8 , 6 , 4 ,... 5 5 5 ¿Cuál es la diferencia de la progresión? ¿Cómo obtuviste esa diferencia? Demuéstralo. d) 25, 21, 3, 7, 11, … ¿Cuál es la diferencia de la progresión? ¿Cómo obtuviste esa diferencia? Demuéstralo. e) 7, 4, 1, 22, 25, 28, 211, … ¿Cuál es la diferencia de la progresión? ¿Cómo obtuviste esa diferencia? Demuéstralo.
MATEMÁTICAS 2
158 Actividad 1.2
En cada una de las siguientes situaciones se proporcionan: el primer elemento (término) de una serie y la diferencia que corresponde a la progresión aritmética. Determina los siguientes seis términos de la sucesión. a) Primer término: 4; d 5 3
b) Primer término: 2; d 5 24
c) Primer término: 25; d 5 2
d) Primer término: 23; d 5 23
e) Primer término: 2.5; d 5 1.5
f) Primer término: 22.2; d 5 2
g) Primer término: 23.5; d 5 21.5
h) Primer término:
3 1 ;d5 4 2
i) Primer término: 2
j) Primer término:
1 2 ; d 5 2 3 3
3 3 ;d52 4 4
BLOQUE 3
159
Actividad 1.3 En cada una de las siguientes situaciones se da la diferencia y un elemento de la sucesión. Escribe tres elementos a la derecha y tres elementos a la izquierda, de manera que la serie de los siete elementos sea correcta. a) d 5 3
d) d 5 22
2
b) d 5 2.5
1
e) d 5 21.2
3 c) d 5 4
1.5
f) d 5 2
21
1 4
1 1 2
2
3 2
Actividad 1.4 Para cada una de las siguientes progresiones aritméticas, determina el término que se señala en cada caso, a partir del primero que se da. a) 7, 10, 13, … 7o término:
d) 27, 23, 1, … 9o término:
b) 19, 12, 5, …
e) 3, 21, 25, …
10o término:
12o término: 3 3 f) 2 , ,… 5 10 8o término:
c) 2 , 5 , 1, … 3 6 14o término: Explica qué hiciste.
Actividad 1.5 A continuación aparecen algunas sucesiones. Determina la diferencia que corresponda a cada caso. a) 5, 10, 15, … d 5 b) 19, 11, 3, … d 5 c) 2 , 5 , 1, … 3 6 d 5 ¿Cómo obtuviste la diferencia? Explica.
d) 27, 22, 3, … d 5 e) 3, 21, 25, … d 5 3 3 , ,… 5 10 d 5 f) 2
MATEMÁTICAS 2
160 Actividad 1.6
Encuentra la expresión algebraica que determine el modelo para obtener el último término (x) de cada sucesión. Compara tus resultados con algunos compañeros cercanos. Ejemplo x 5 a 1 (n 2 1) (2) a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … b) 211, 27, 23, 1, 5, 9, … c) 4, 2, 0, 22, 24, 26, … 7 17 27 37 d) 2 , 6, 2 , 11, 2 , 16, 2 , ... e) 24.5, 23, 21.5, 0, 1.5, 3, 4.5, …
Actividad 1.7 Determina cinco términos significativos de la sucesión que modela cada una de las expresiones siguientes, a partir del valor indicado. a) n 1 4 22,
29.6,
b) n 2 3.5 22.2, c) n 27 5, d) n 2
e) n 1 1.8
f) n 2 2, g) n 1
3 2
8 , 16
3 4 1 2
5 , 6
h) n 2 12 27,
Actividad Extra Resuelve lo siguiente. a) Investiga en qué ramas de la ciencia tiene significado la serie de Fibonacci. Escribe la serie.
b) Calcula la distancia que recorre un peón que arroja un cubo de agua en cada uno de los 30 árboles de un lado de cierta calzada, sabiendo que el primer árbol dista 10 m del pozo, los árboles distan 6 m entre sí y al final deja el cubo al lado del pozo.
BLOQUE 3
TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES APARTADO 2: ECUACIONES I
161 Ecuaciones con incógnita en los dos miembros
Conocimientos y habilidades Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax 1 bx 1 c 5 dx 1 ex 1 f con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos.
Actividad Previa Ya en algún momento anterior aplicaste algunas de las propiedades de la igualdad para resolver ecuaciones. Resuelve cada una de las siguientes situaciones. No dejes de comparar tus procedimientos con los de tus compañeros.
a) Una balanza está en equilibrio cuando sus dos platillos contienen igual peso. ¿Cuál es la igualdad que representa la situación de esta imagen?
b) En esta balanza, ¿cuál es la igualdad?
¿Qué movimiento realizarías con los elementos de la balanza anterior para determinar el valor de x? Represéntalos en la balanza y numéricamente. ¿Cuál es el valor de x?
MATEMÁTICAS 2
162
c) Establece la ecuación correspondiente. ¿Qué operación realizas en los dos miembros para despejar x? ¿Cuánto vale x?
d) Uno más. ¿Cuál es la ecuación? Al eliminar los términos comunes en ambos miembros, la igualdad queda: El paso siguiente es despejar x, hazlo: ¿Cuál es el valor de x?
Actividad 2.1 Cada expresión debe ser una igualdad. Determina cada nueva igualdad hasta encontrar el valor de la incógnita. Comenta con tus compañeros cada procedimiento y los resultados obtenidos.
a) x 2 7 5 19
c) y 2 2.5 5 4.7
e) z 2 7.25 5 1.75
b) x 1 12 5 33
d) y 1 3.8 5 3.16
f) z 1 0.25 5 5.75
Explica el procedimiento que se siguió para eliminar el término numérico de cada igualdad.
BLOQUE 3 g) 9x 5 63
163
i) 2.5y 5 32.75
k) 0.7z 5 3.5
Divide entre 9 Divide entre 2.5 Divide entre 0.7
h)
x 5 8 6
j)
y 5 4 0.5
l)
z 5 2.05 0.7
Multiplica por 6 Multiplica por 0.5 Multiplica por 0.7
Explica el procedimiento que se siguió para cancelar el término numérico de cada igualdad. Escribe una propiedad para cancelar términos o elementos de una ecuación (igualdad).
Actividad 2.2 Aplica la propiedad correspondiente y resuelve cada una de las siguientes ecuaciones. Comprueba los resultados y compáralos con los de tus compañeros. a) 9x 5 72
c) 26x 5 2.4
x5
x 5
b) 4x 5 220
x5
d) 21.5x 5 26.25
x 5
Comprobar: Verificar. Probar que una cosa que se dudaba es verdadera. Comprobar una ecuación consiste en sustituir las variables por los valores obtenidos, hacer operaciones y ver si la igualdad resulta cierta.
MATEMÁTICAS 2
164 e)
x 5 2 6 25
x5
f)
1 4 x 5 2 12
x5
x 2 g) 1 5 3 2
h)
i)
20 5 x5 30 6
x 5 j)
x 5 23 5
x 5
x 4 k) 1 5 6 2
x5 x 4 5 2 1 6 2
x5
x 5 l)
x 2 52 2 5
x 5
BLOQUE 3 Actividad 2.3 Para cada una de las siguientes situaciones, establece la ecuación que permita dar solución al ejercicio. Resuelve y verifica tus resultados. a) Pagué $87 por un libro y una playera. La pla- d) Entre Marilú y Cecilia tienen $1 154; Cecilia yera costó $15 menos que el libro. ¿Cuánto patiene $506 menos que Marilú, ¿cuánto dinero gué por cada artículo? tiene cada una?
b) Un número disminuido en 14.5 unidades es e) Me gasté $13.75 al comprar un chocolate y igual a 27. ¿Cuál es ese número? una paleta. La paleta costó $9.50, ¿cuánto costó el chocolate?
c) Al comprar un bolso se hace un descuento de f) Por un costal de 8 kg de café se pagan $740, $13.50, y se pagan $122.50, ¿cuál era el costo ¿cuánto cuesta un kilogramo? del bolso?
165
MATEMÁTICAS 2
166 3
g) Por 4 de kg de azúcar pagué $7.50, ¿cuánto h) La quinta parte de un pastel pesa 0.45 kg, cuesta un kilogramo? ¿cuánto pesa el pastel entero?
Actividad 2.4 Sigue las indicaciones para resolver y comprobar la siguiente ecuación. Completa lo que se requiera. 5(x 1 4 ) 1 12 5 2(x 2 3 ) 2 1 Aplica la propiedad distributiva: Agrupa los términos semejantes: Aplica la propiedad uniforme: Cancela los términos simétricos: Reduce términos semejantes: Aplica la propiedad uniforme: Por lo que: x 5 Para comprobar, sustituimos la solución o raíz (valor de x) en la ecuación original. Sustituyendo en la ecuación original 5 [ ( ) 1 4 ] 1 12 5 2 [ ( )23]21 Suprimiendo paréntesis rectangulares: Agrupando: Suprimiendo paréntesis: Reduciendo: 5 NOTA: Si los valores obtenidos son idénticos, la raíz o solución de la ecuación es correcta.
BLOQUE 3
167
Actividad 2.5 En cada una de las siguientes ecuaciones determina el valor de x. Suprime paréntesis y aplica las propiedades de la igualdad utilizando los procedimientos lógicos aprendidos. No olvides comprobar tus resultados y compararlos con los de tus compañeros. a) 2(x 1 4) 5 14
f) 3(y 2 5) 5 30
b) 22(z 2 6) 5 236
g) 4(w 2 4) 5 224
c) 2(22h 1 6) 5 226
h) 27(x 1 5) 5 105
d) 4(x 1 4) 5 2(x 1 2)
i) 5(x 2 3) 2 2.5 5 20
e) 2(22x 1 5)5 22(x 1 4) 1 19
j)
3 5 y5 4 6
Ecuación lineal: Igualdad que se satisface para un valor de su incógnita.
MATEMÁTICAS 2
168 Actividad 2.6
Resuelve los siguientes problemas. Compara los resultados; no olvides comentar los procedimientos con tus compañeros. a) Juan tiene 24 años menos que su papá y las d) Paco y Pepe ganaron un premio de $12 800, edades de ambos suman 64 años, ¿qué edad a Pepe le corresponden $1 014 menos que a tiene cada uno? Paco, ¿cuánto recibe cada uno?
b) La suma de las edades de tres personas es de e) La edad de Estela es el triple de la de su her88 años. La mayor tiene 20 años más que la mana y ambas edades suman 40 años, ¿qué menor y la de en medio tiene 18 años menos edad tiene cada una? que la mayor, ¿qué edad tiene cada una?
c) Si al triple de la edad de tu profesor le aña- f) La edad de Elsa es la mitad de la de Pablo; des 7 años, entonces tendría 100 años. ¿Qué la edad de José es el triple de la de Elsa y la edad tiene realmente? edad de Andrea es el doble de la de José. Si las cuatro edades suman 132 años, ¿cuál es la edad de cada uno de ellos?
BLOQUE 3 g) Entre Aldo, Bety y Ceci tienen $130. Ceci tiene i) En un grupo hay 60 alumnos, entre hombres y el doble de lo que tiene Aldo y $15 menos de mujeres. El número de mujeres excede en 15 lo que tiene Bety, ¿cuánto dinero tiene cada al doble de los hombres. ¿Cuántos hombres y uno de ellos? cuántas mujeres hay en ese grupo?
h) Encontrar tres números enteros consecutivos, j) Un padre deja una herencia de $16 500 000 a tales que: el doble del menor más el triple del tres de sus hijos y dos hijas. Cada hija debe mediano más el cuádruple del mayor sean recibir $2 000 000 más que cada hijo. ¿Cuánto igual a 740. recibe cada hija y cuánto cada hijo?
Actividad 2.7 Resuelve y comprueba cada una de las siguientes ecuaciones. Compara las respuestas con las de tus compañeros. a) 5x 5 8x 2 5
b) 9x 2 11 5 210 1 12x
169
MATEMÁTICAS 2
170
c) 2.5x 1 7 2 1.5x 5 9.5x 2 3.5
g) 4(x 1 1.5) 5 2(x 2 1.5)
d) x 2 (2x 1 1) 5 8 2 (3x 1 3)
h) 2.2(x 1 4) 5 2(x 1 8)
e) y 1 3(y 2 1) 5 6 2 4(2y 1 3)
i) 14z 2 (3z 2 2) 5 [5z 1 2 2 (z 2 1)]
f)
1 3 (x 1 4) 5 (x 1 8) 2 4
j)
y y 2y 1 135 1 20 2 4 8
Actividad Extra El perímetro de un rectángulo es de 98 m. Se sabe que el largo mide 15 m más que el ancho. ¿Cómo representas algebraicamente la medida de cada lado? ancho 5
, largo 5
Forma la ecuación y resuelve. ¿Cuánto mide cada lado? ancho 5
, largo 5
BLOQUE 3
171
Funciones lineales
Tema: significado y uso de las literales APARTADO 3: RELACIÓN FUNCIONAL
Conocimientos y habilidades Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma y 5 ax 1 b.
Actividad Previa Resuelve el siguiente problema: El precio de un dulce es de $2, ¿cuánto costarán 2, 3, 4 y 5 dulces de esos mismos? Completa la tabla. x
1
2
3
4
5
y
¿Cuál es la relación que estableciste para llenar la tabla? y= y
Traza la gráfica.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
x
MATEMÁTICAS 2
172 Actividad 3.1
En otro momento has utilizado el plano cartesiano o sistema de coordenadas rectangulares. Te invitamos que a partir de la información proporcionada, completes lo que haga falta. Conviene trabajar esta parte en parejas. y
17
Segundo cuadrante
Primer cuadrante
16
o eje de las “y ”.
15 14
Eje de las ordenadas
P (13, 14)
13 12 11
x’
27 26 25 24 23 22 21 0 21
11 12 13 14 15 16 17
x
22 23 24 25 26
Eje de las abcisas
Tercer cuadrante
27
Cuarto cuadrante
o eje de las “x ”. y’
P (x , y) x y y son las coordenadas de un punto. En P (13, 14) la abscisa es 13 y la ordenada es 14 a) ¿Qué par ordenado se encuentra en el origen del sistema de coordenadas? b) En el eje de las abscisas, ¿hacia qué lado se encuentran los números positivos? c) En el eje de las ordenadas, ¿hacia qué lado se encuentran los números positivos? d) En el eje de las abscisas, ¿hacia qué lado se encuentran los números negativos? e) En el eje de las ordenadas, ¿hacia qué lado se encuentran los números negativos?
BLOQUE 3
173
f) ¿Qué ángulo forma el eje de las “ x ” con el eje de las “ y ”? g) Los ejes cartesianos son dos rectas que se cortan en el punto h) En el par ordenado (3, 5), ¿cuál es el valor de la abscisa? ¿Y cuál el valor de la ordenada? i) Al punto (0, 0) también se le da el nombre de: j) Ubicación en el plano cartesiano de un punto, por los signos de sus coordenadas: Cuadrante
Abscisa
1
Ordenada
1
2 3 4
Si un automóvil se desplaza a velocidad (v ) constante recorre cierta distancia (d ) dependiendo del tiempo (t ). d 5 vt Cuando la velocidad v 5 80 km/h, ¿qué distancia recorrerá en (t ): 1 h, 1.5 h, 3 h?
,
,
.
La distancia recorrida depende del tiempo; a esta relación de dependencia se le llama función y puede expresarse como: d 5 80t o bien, f (t ) 5 80t Para cada valor que se asigne a t (variable independiente), obtendrás un único valor de d (variable dependiente). y
Ejemplo: Si y 5 3x (f (x) 5 3x) y el dominio es 1, 2, y 3, las imágenes correspondientes son: y 5 3(1) 5 3; y 5 3(2) 5 6 y y 5 3(3) 5 9. Cada elemento del dominio y su correspondiente imagen determinan un punto en el plano cartesiano, así: (1, 3), (2, 6) y (3, 9) son las coordenadas resultantes, mismas que al ubicarse en el plano determinan una gráfica. FUNCIÓN Una función (f ) de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna un elemento y de E a cada elemento x de D. D
a z w x
DOMINIO
f (a) f (z) f (x) f (w)
E
IMÁGENES
19
(3, 9)
18 17 16
(2, 6)
15 14 13
(1, 3)
12 11 26 25 24 23 22 21 0 21 22 23
11 12 13 14 15 16
x
MATEMÁTICAS 2
174 Actividad 3.2
En términos generales, un plano cartesiano lo utilizamos para ubicar la posición de puntos, formar figuras y trazar gráficas. Los siguientes ejercicios te ayudarán a comprender estas situaciones. Es conveniente trabajar en equipos. a) Una lancha recorre 20 km por cada litro de gasolina que consume. ¿Qué fórmula representa esta situación? Completa la tabla y traza la gráfica.
y
y
Puntos
140
20
A (1, 20)
120
2
B( ,
)
100
3
C( ,
)
80
4
D( ,
)
60
5
E( ,
)
40
6
F( ,
)
20
7
G( ,
)
0
x
y5
1
(Kilómetros)
(litros)
1
2
3
4
5
6
7
8
x
9
En una función de la forma y 5 ax, ¿cuál es la gráfica que se obtiene? b) Representa gráficamente la función y 5 2x 1 1. Completa la tabla, ubica los puntos en el plano cartesiano y traza la gráfica. y 7
x
2x 1 1
y
Puntos
6 5
B(
,
)
2
C(
,
)
1
D(
,
)
0
E(
,
)
21
F(
,
)
22
G(
,
)
27 26 25 24 23 22 21 0 21
23
H(
,
)
22
3
2(
)115
4 3 2 1
23 24 25 26 27
1
2
3
4
5
6
7
x
BLOQUE 3
175
Actividad 3.3 Las gráficas tienen una gran aplicación en todas las ramas de la ciencia (física, química, biología, economía, etcétera). A continuación se proponen algunas situaciones que deberás resolver completando las tablas y haciendo la representación gráfica. a) En Estados Unidos de América hay una gran cantidad de inmigrantes que trabajan jornadas que les reditúan algunas cantidades de dólares, como el siguiente caso: En Arizona, un recolector de tomate gana 3 dólares por hora. El salario de cada campesino está en función del número de horas que trabaje. ¿Cuánto ganará?
x
y5
1
y (
)5
7
8
2 4 8
dólares
24 21 18 15 12 9 6 3 0
1
2
3
4
5
6
9
horas
Reconsiderando esta situación “Ricardo se ha propuesto trabajar 4 horas diarias”. ¿Cuánto es lo que ganará? Arturo recibe un salario de 15 dólares al día. ¿Cuántas horas trabaja? Lilia solamente trabaja 6 horas. ¿Cuánto gana? Señala en la gráfica con un punto rojo las abscisas y ordenadas de cada uno de estos tres puntos.
Se sabe que... Cualquier gráfica de la función de la forma y = ax es una recta que pasa por el origen.
MATEMÁTICAS 2
176
b) Un automóvil hace un gasto de 1 litro de gasolina por cada 10 km de recorrido. x
y5
y
Puntos
A(
, 20 )
3
B(
,
)
4
C(
,
)
5
D(
,
)
6
E(
,
)
8
F(
,
)
10
G(
,
)
2
(
)5
y (Kilómetros)
140 120 100 80 60 40 20
0
1
2
3
4
5
6
¿Cuántos litros de gasolina gastará en un recorrido de 75 km? Sólo le quedan 7.5
de gasolina; ¿qué distancia recorrerá?
¿Cuál es la gráfica de una función de primer grado?
7
8
x
9 (litros)
BLOQUE 3
177
c) Un ciclista recorre una distancia de 40 km en una hora y quiere superar su propio récord, de 335 km sin parar, pero solamente aguanta 8 horas a ese ritmo.
recorrido en km
x
y5
2
(
y
Puntos
A(
, 80 )
3
B(
,
)
4
C(
,
)
5
D(
,
)
6
E(
,
)
8
F(
,
)
10
G(
,
)
)5
280 Ciencias II: Recuerda que se considera movimiento rectilíneo aquel cuya trayectoria es una línea recta. Al graficar el desplazamiento de un objeto que se mueve a velocidad constante, la gráfica correspondiente también es una línea recta en la que las variables son la distancia en función del tiempo.
240 200 160 120 80 40 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
tiempo en horas
¿Cuántos km recorre en 1 hora con 30 minutos? ¿En cuánto tiempo recorrió 100 km? Si hubiera aguantado 9 horas, ¿cuánto habría recorrido? Otro ciclista salió al mismo tiempo y llevaba una velocidad de 20 km/h. Traza la gráfica correspondiente, considerando los mismos tiempos que los del otro ciclista, para ubicar los puntos. ¿Qué distancia habrá recorrido en 4 horas? Si lo que se pretende es hacer un recorrido de 300 km, ¿qué tiempo hará este segundo ciclista en completar el recorrido?
La función y 5 6x representa una situación de variación proporcional directa. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Cuál es la razón que determina esa constante? Demuéstralo numéricamente.
MATEMÁTICAS 2
178
d) Una pieza de 2 m de tela tiene un costo de $60, por medio de la gráfica encuentra otros costos. costo
$
480 420 360 300 240 180 120 60
Tela
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
m
¿Qué precio tiene una pieza de 6 m de tela? Si solamente necesito 1 m, ¿cuánto me cuesta? Por una pieza de 16 m, ¿cuánto debe pagarse? Alicia sólo puede gastar $330. ¿Cuánta tela comprará? José necesita 320 m, ¿cuánto debe pagar? e) La siguiente tabla y la gráfica muestran lo que cuesta imprimir un volante publicitario: Completa la tabla y traza la gráfica.
Costo $
900 No. de volantes
50
Costo en $
75
100
200
500
750 600 450 300 150 Volantes
100 200 300 400 500 600
¿Cuánto costará un volante? ¿Y cuánto 400? Con $900, ¿cuántos volantes podrías mandar a imprimir? ¿Con qué expresión (costo-volante) expresas esta función?
BLOQUE 3
179
f) Jaime renta una bicicleta en las siguientes condiciones: al rentar debe pagar $5 por cada 15 minutos de uso. En los primeros quince minutos deberá pagar 5 (1) 5
5 $5
En los segundos quince minutos: 5(2) 5
5
En una hora y quince minutos: 5(5) 5
5
Jaime toma la bicicleta como si fuera propia, de modo que el que le renta la bicicleta calcula el cobro de acuerdo con la relación y 5 5x. De esta manera puede saber lo que hay que pagar por cada 15 minutos. x
1
2
3
4
5
6
y 5 5x y
Renta $ 55 50 45 40 35 30 25 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tiempos de 15 minutos
¿Cuánto paga Jaime si ocupa la bicicleta una hora? Si el empleado le cobra $45, ¿qué tiempo usó la bicicleta? Jaime sólo tiene $70, ¿para cuánto tiempo de renta de una bicicleta le alcanzará? Si quiere rentar la bicicleta 24 horas, ¿cuánto debe pagar? Cierto día sólo cuenta con $40, ¿para cuánto tiempo de alquiler de la bicicleta le alcanza?
Marilú asegura que el punto (4, 5) pertenece a la recta y 5 2x 2 3. ¿Cómo puedes comprobar si esto es cierto?
MATEMÁTICAS 2
180 Actividad 3.4
Como has podido observar, en cuestiones comunes el primer cuadrante es el que se utiliza con más frecuencia, pero hay situaciones en las que es necesario usar los cuatro cuadrantes. Resuelve las siguientes situaciones, completa la tabla y realiza la gráfica. a) Representa gráficamente la función y 5 2x, dados algunos valores de x. x
4
3
2
1
0
21
22
23
24
y
x
y
Si x 5 0.5, ¿cuál es el valor de y ? y 5 2.5, ¿cuánto vale x ? Si la abscisa es 3, ¿qué valor representa en la ordenada? Éstas son cuatro rectas:
y5 x 15 y5 1x2 3 2 3 4 ¿En qué punto corta cada una de ellas los ejes de coordenadas? y 5 3x 1 2
y5x24
25
BLOQUE 3
181
b) Representa gráficamente la función y 5 2x 2 1, dados algunos valores de x. Completa la tabla y traza la gráfica. x
4
3
2
1
0
21
22
23
24
25
y
y
x
Si x 5 1.5, ¿cuál es el valor de y ? y 5 2, ¿cuánto vale x ? Si la abscisa es 7, ¿qué valor representa en la ordenada? Actividad Extra Resuelve la siguiente situación y contesta. En tu cuaderno representa gráficamente la función f (x) 5 24 . Considera como dominio: 12, 8, 6, 4, 2. x
1. Elabora una tabla de valores. 2. En un plano cartesiano, traza la gráfica. 3. La expresión representa una variación proporcional inversa. ¿Cuál es la constante? 4. Si la constante estuviera representada por a, ¿cómo obtendrías su valor?
MATEMÁTICAS 2
182
c) No todas las gráficas resultan ser una línea recta. Representa gráficamente la función: y 5 x 2 2 2, dados algunos valores de x. Ejemplo: y 5 (3)2 2 2 5 9 2 2 5 7 x
y
y
4 3
14
7
2
13
1
12
0
11
21 10
22 23
9
24
8
x
7 6 5 4 3 2 1 25 24 23 22 21 0
1 2 3 4 5
¿Qué forma tiene la gráfica? Cuando x 5 1.5, ¿cuál es el valor de y ? Si y toma un valor de 10, ¿cuánto vale x ? Investiga cuál es el nombre de esta gráfica. Actividad Extra En el plano cartesiano se ha representado la gráfica de una función. Como puedes observar, se trata de una recta. x
y
Escribe las coordenadas de los puntos marcados y encuentra la expresión algebraica que le corresponda.
y5
5
y
4 3 2 1 23 22 21 21 22 23 24 25
1
2
3
4
5
6
x
BLOQUE 3
183
Actividad Extra Determina las coordenadas de los puntos ya ubicados y después ubica los puntos cuyas coordenadas se dan.
y 10
F
C
9 8
G
D
7 6 5
J
H4
E
A
3 2
O
I
1
K
B
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 21
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
22
L
Q
23
M
24
R
25 26
N
S
27
P
28 29
U T
210
Ubicados
Ubicar
Ubicados
Ubicar
Ubicados
Ubicar
A(
,
)
A (4, 7)
H(
,
)
H (21, 5)
O(
,
)
O (0, 25)
B(
,
)
B (1, 6)
I(
,
)
I (23, 2)
P(
,
)
P (5, 29)
C(
,
)
C (9, 7)
J(
,
)
J (24, 0)
Q(
,
)
Q (2, 25)
D(
,
)
D (2, 5)
K(
,
)
K (25, 23)
R(
,
)
R (6, 28)
E(
,
)
E (8, 0)
L(
,
)
L (28, 24 )
S(
,
)
S (9, 26)
F(
,
)
F (23, 7)
M(
,
)
M (21, 29)
T(
,
)
T (4, 23)
G(
,
)
G (28, 8)
N(
,
)
N (24, 26)
U(
,
)
U (6, 26)
MATEMÁTICAS 2
184
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Ángulos de los polígonos
Tema: Formas geométricas APARTADO 4: JUSTIFICACIÓN DE FÓRMULAS II
Conocimientos y habilidades Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
Actividad Previa Desde cada vértice, traza todas las diagonales posibles de los siguientes polígonos convexos y completa o contesta las cuestiones planteadas.
Polígono Convexo: el que tiene todos sus ángulos interiores hacia afuera (menores de 180°) Cóncavo: el que tiene por lo menos un ángulo entrante (mayor de 180° pero menor de 360°).
A
B
D ¿Cuántos lados tiene cada polígono?
C E
H
G
F
En general, ¿qué nombre reciben? ¿Cuántas diagonales fue posible trazar en cada uno de ellos? ¿Qué relación hay entre el número de lados y el número de diagonales?
convexo D
cóncavo C
Estrella: el que tiene lados cruzados.
estrella
H
L
G
J
F
A
B
E
I
K
En estos cuadriláteros (cóncavo, convexo y estrella), ¿cuántas diagonales te fue posible trazar? , y ¿Qué relación hay entre el número de lados y el número de diagonales?
¿Qué diferencia hay en estos enunciados? 1. Dos rectas que se cortan. 2. Dos rectas que se cruzan.
BLOQUE 3
185
Hagamos lo mismo con los siguientes pentágonos (cóncavo, convexo y estrella).
D
O J
E
H
C
M
N
I
L A
B
F
G
K
¿Cuántas diagonales te fue posible trazar en cada polígono?
,
y ¿Qué relación hay entre el número de lados y el número de diagonales? Compara las relaciones, la de los cuadriláteros y la de los pentágonos, ¿son iguales? Comenta con tus compañeros y con tu profesor esta última respuesta. Traten de obtener una conclusión. Anótala.
En tu libreta dibuja un triángulo cóncavo, uno convexo y uno estrellado. Comenta con tus compañeros la posibilidad del trazo. Justifica. Actividad 4.1 Consideremos ahora un triángulo. Traza sus diagonales y contesta los planteamientos que se te hacen. C ÁNGULOS DEL TRIÁNGULO Los ángulos interiores de un triángulo cualquiera suman 180°.
A
B
¿Cuántas diagonales se pudieron trazar en el triángulo? ¿Por qué? ¿Pudiste trazar los triángulos cóncavo y estrella? ¿A qué atribuyes esta respuesta?
MATEMÁTICAS 2
186 Actividad 4.2
Consideremos ahora, en conjunto, los siguientes polígonos convexos. Traza todas las diagonales posibles en cada uno de ellos y registra tus resultados en las tablas de la siguiente página.
BLOQUE 3
Polígono
Número de lados
Número de diagonales
Triángulo Cuadrilátero
187
Polígono
Número de lados
Número de diagonales
Decágono Endecágono
Pentágono Dodecágono Hexágono De 13 lados Heptágono Octágono Eneágono
Probablemente llegaste a la expresión: nales de todo polígono de n lados.
De 14 lados De n lados
n (n23) , misma que te permite saber el número de diago2 Se sabe que...
Todo polígono puede ser formado por triángulos. También, todo polígono puede ser descompuesto en triángulos.
Actividad 4.3 Seguramente observaste que, de inicio, las figuras predominantes al trazar las diagonales son los triángulos. Ya es de tu conocimiento que todos los polígonos se pueden descomponer en triángulos. Observa las siguientes figuras y contesta lo que se solicita.
¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo? Si desde un vértice de un rectángulo o cualquier otro cuadrilátero convexo se traza la diagonal, ¿cuántos triángulos se forman? ¿Cuánto suman todos los ángulos de los triángulos formados? ¿Puedes asegurar que los 6 ángulos de los dos triángulos equivalen a los 4 ángulos del rectángulo? Justifica tu respuesta.
MATEMÁTICAS 2
188 Actividad 4.4
Ahora considera los siguientes polígonos convexos. Desde el vértice, marcado con V, traza todas las diagonales posibles y, de acuerdo con la información que obtengas, completa la tabla. Observa el ejemplo.
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
BLOQUE 3
Polígono
189
Número de lados
Número de diagonales
Número de triángulos
6
3
4
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Eneágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
De 13 lados
De 14 lados
De n lados
MATEMÁTICAS 2
190 Actividad 4.5
Sin duda llegaste a la conclusión de que: “si desde uno de los vértices de un polígono convexo se trazan las diagonales, se forman tantos triángulos como lados tenga el polígono menos dos” (n 2 2 ). ¿Qué harías para determinar la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo? Explica. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo la identificamos con “S”, escribe una fórmula general que modele la situación.
Actividad 4.6 Completa la siguiente tabla, determinando la suma de los ángulos interiores de los polígonos que se señalan. Compara tus procedimientos y respuestas con las de tus compañeros. Observa el ejemplo. Número de lados
Nombre del polígono
Procedimiento
Suma de los ángulos interiores
Heptágono
S 5 180° (7 2 2)
900°
3 4 5 6 7 8 9 10 12
Actividad Complementaria
Desarrollen la actividad “Suma de los ángulos interiores de un triángulo”, en Geometría dinámica. EMAT. México, SEP, 2000, pp. 46-47.
BLOQUE 3
TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS APARTADO 5: FIGURAS PLANAS I
191
Recubrimiento de un plano
Conocimientos y habilidades Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.
Actividad Previa En equipos, comenten qué tipo de figuras geométricas tienen las losetas o mosaicos de los pisos de las casas donde viven, o del salón. En equipos, comenten las siguientes interrogantes: ¿Por qué creen que se utiliza esa forma geométrica? ¿Habrá otras formas que se puedan utilizar para recubrir un plano? En caso de que las haya, ¿cuáles figuras geométricas se pueden utilizar? ¿Qué figuras regulares puedes combinar para recubrir un plano?
Actividad 5.1 Supón que quieres recubrir el piso de tu casa con losetas que tienen forma de figura geométrica regular (la misma figura para todas las losetas); antes de comprarlas conviene que hagas algunas reflexiones: Iniciemos con triángulos equiláteros. a) ¿Cuánto miden los ángulos interiores de un triángulo equilátero? b) ¿Cuántos triángulos equiláteros se necesitan para que no queden huecos en el piso? c) ¿Al hacer coincidir los vértices de esos triángulos, ¿qué ángulo deben cubrir? d) Completa con triángulos equiláteros el recubrimiento del siguiente plano.
192
MATEMÁTICAS 2 e) Cubre con cuadrados el siguiente plano.
f) Veamos con pentágonos regulares. ¿Cuánto miden sus ángulos interiores? g) Si unimos los lados de dos o más pentágonos regulares, ¿se cubre el plano? h) Veamos con hexágonos regulares. ¿Cuánto miden sus ángulos interiores? i) ¿La suma de los ángulos de dos o más hexágonos regulares permite cubrir el piso? j) Completa con hexágonos regulares el recubrimiento del siguiente plano:
BLOQUE 3 Actividad 5.2 a) Haz tu propio diseño y cubre el siguiente plano con figuras iguales al triángulo dibujado. Comenta si puedes o no recubrir el plano y justifica tu comentario.
Presenta tu diseño al grupo. En alguna ocasión me dijeron que con cualquier cuadrilátero se puede cubrir un plano, ¿será cierto? ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero cualquiera?
193
MATEMÁTICAS 2
194 Actividad 5.3
Reproduce varias veces el siguiente cuadrilátero en una hoja, recórtalo y recubre el siguiente plano.
BLOQUE 3 Actividad 5.4 Ahora tú. Diseña un cuadrilátero, reprodúcelo varias veces, recórtalo y recubre el siguiente plano.
Actividad Complementaria
Si tienen oportunidad de trabajar en las computadoras, efectúen la actividad “Recubrimiento del plano con polígonos regulares”, que se encuentra en la páginas 106-109 del libro Geometría dinámica. EMAT. México, SEP, 2000.
Actividad Extra Resuelve lo siguiente. a) Encuentra los 10 cuadrados que hay en esta figura. b) Hay quien afirma que esta figura tiene más de 40 triángulos. ¿Cuántos le encuentras?
195
MATEMÁTICAS 2
196
MANEJO DE LA INFORMACIÓN Funciones asociadas
Tema: Representación de la información APARTADO 6: GRÁFICAS ii Conocimientos y habilidades Construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos.
Actividad Previa En equipo, comenten si una gráfica lineal puede servir para conocer el costo de varios artículos, el cambio de moneda o el cálculo de un porcentaje. ¿Cómo han utilizado las gráficas lineales y qué otro uso le podrían dar? Expongan sus ideas ante el grupo. Se sabe que para convertir una medida de grados Celsius en grados Fahrenheit se puede utilizar la fórmula °F 5 95 °C 1 32, que significa multiplicar por nueve quintos los grados Celsius que queremos convertir y al resultado sumarle 32. Para convertir grados Fahrenheit en Celsius, podemos despejar esa fórmula o bien, utilizar °C 5 5 (°F 2 32) que significa restarle 32 a los 9 grados Fahrenheit que deseamos convertir, al resultado multiplicarlo por 5 y finalmente dividir entre 9. Actividad 6.1 Otra forma de efectuar esas conversiones es por medio de las gráficas de relaciones lineales. Observa que en la primera fórmula, si tenemos cero grados centígrados, el equivalente es 32 grados Fahrenheit; en la segunda fórmula, si tenemos cero grados Fahrenheit, el equivalente es 217.7 grados centígrados. Si tienes dudas comenta con tu equipo de dónde salen esos valores. Al trazar la gráfica con ese par de puntos coordenados, obtenemos lo siguiente: Observa la gráfica y contesta:
°F 90 80 70 60 50 40
(0, 32)
30 20
(217.7, 0)
10
218 217 216 215 214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 210
1
2
3
4
5
6
°C
BLOQUE 3 a) ¿A cuántos °C aproximadamente equivalen 40 °F? b) ¿A cuántos °F aproximadamente equivalen 213 °C? c) ¿A cuántos °F aproximadamente equivalen 29 °C?
Actividad 6.2 Para resolver las siguientes situaciones, te sugerimos que te auxilies de una gráfica lineal y marques en ella los puntos que dan respuesta a las interrogantes. a) Con el propósito de controlar la masa corporal de los hombres, los nutriólogos manejan una tabla en la que: una altura de 165 cm y una de 170 cm corresponden a masas ideales de 68 kg y 72 kg, respectivamente. Traza la gráfica y determina en ella, ¿cuál es la masa de una persona que mide 175 cm?, y ¿cuál es la estatura de una persona que tiene una masa de 70 kg?
b) Un médico dispone de 1 hora diaria para dar consulta. El tiempo dedicado a cada paciente depende del número de pacientes que acuden a consulta: 1 paciente 60 minutos 2 pacientes 30 minutos 3 pacientes 20 minutos Así hasta atender un máximo de 15 pacientes. Si x es el número de pacientes y y es el de minutos dedicados a cada uno de ellos, ¿cuál es la expresión que representa la situación? Dibuja la gráfica. ¿Tiene sentido unir los puntos de la gráfica con una línea? ¿Por qué?
197
MATEMÁTICAS 2
198 Actividad 6.3
Analiza la gráfica y contesta las interrogantes.
Peso de una varilla de aluminio de 1 cm de diámetro Masa (gramos)
500 400 300 200 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Longitud (cm)
a) ¿Cuánto pesa la varilla de 20 cm? b) ¿Cuánto mide la varilla de 500 g? c) ¿Cuánto pesará una varilla de 1 m? d) ¿Cuánto pesa el cm de varilla?
Actividad Complementaria
Si tienen oportunidad de trabajar en computadoras, efectúen la actividad “Lineales que caen”, que está en las páginas 84-86 del libro Hoja electrónica de cálculo. EMAT. México, SEP, 2000.
BLOQUE 3
199
Ordenada al origen
Tema: Representación de la información APARTADO 6: GRÁFICAS iIi
Conocimientos y habilidades Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y 5 mx 1 b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante.
Actividad Previa Analicen en equipo la expresión y 5 mx 1 b Sin hacer la gráfica, comenten: ¿Sabes por dónde va a pasar? ¿Sabes qué inclinación tendrá? ¿Será necesario tabular para ver la tendencia de las parejas ordenadas o se puede ver directamente en la expresión? Expongan sus conclusiones.
Actividad 7.1 Trabajen en parejas, tabulen y grafiquen las siguientes funciones: a) y 5 x 1 1
x
0
b) y 5 x 1 2
y
x
y
0
1
1
2
2
3
3
4
4
ordenadas y 8 7 6 5 4 3 2
5
5
1 21 0 21
1
2
3
4
5
6
7
x abscisas
MATEMÁTICAS 2
200
Observaciones (comenta con tu compañero de equipo): 1) ¿En qué punto corta la gráfica de la función y 5 x 1 1 el eje de las ordenadas? 2) La ordenada del punto (0 , 1) es 1 y tiene relación con la función y 5 x 1 1. 3) ¿En qué punto corta la gráfica de la función y 5 x 1 2 el eje de las ordenadas? y tiene relación con la función y 5 x 1 2.
4) La ordenada del punto (0 , 2) es
5) En este tipo de funciones y 5 mx 1 b, donde m 51, sólo cambió el valor de b. ¿Cómo resultó ser la inclinación de ambas rectas?
¿Cuál es el menor número de puntos que se requieren para trazar una función lineal? Actividad 7.2 En parejas observen las siguientes funciones. ¿Ocurrirá lo mismo que con las funciones anteriores? Tabulen y grafíquenlas: a) y 5 2x 1 1 x 0
b) y 5 2x 1 2 y
x
ordenadas y
y
0
8 7
1
1
6 5
2
2
3
3
4
4
4 3 2 1 21 0
5
5
Observaciones (comenta con tu compañero de equipo): 1) ¿Cómo son entre sí las rectas obtenidas?
21
1
2
3
4
5
6
7
x abscisas
BLOQUE 3
201
2) De acuerdo con las funciones, ¿en qué punto corta cada recta el eje de las ordenadas? ¿Qué podrían concluir? Si grafican la función y 5 2x 2 1, ¿se mantendrá la inclinación de la recta y ahora pasará por el punto (0 , 21)? Compruébenlo.
Actividad 7.3 ordenadas y
En parejas observen las siguientes funciones. Tracen las gráficas por donde suponen que van a pasar. Tabulen y verifiquen si tuvieron razón.
8 7
a) y 5 2x 1 3
6 5
b) y 5 2x 2 2
4 3
c) y 5 2x 2 4
2 1 21 0
Propongan otras funciones y comprueben sus observaciones.
1
2
3
4
5
6
7
21
x abscisas
Actividad Complementaria
Si tienen oportunidad de trabajar en las computadoras, efectúen la actividad “Analizando gráficas de rectas”, que está en la página 123 del libro Hoja electrónica de cálculo. EMAT. México, SEP, 2000.
Actividad Extra El tanque de agua de mi casa tiene capacidad para 1 000 litros y se llena a razón de 10 litros/minuto. Hoy en la mañana tenía un cuarto de tanque cuando le empezó a caer agua. Se llenó después de una hora. ¿Cuál de las siguientes gráficas presenta mejor dicha información? a) Cantidad de agua en el tanque (litros) 750
y
750
500
y
25
50
75
x
0
y
25
50
75
x
0
y
500
250
Tiempo (minutos)
d) Cantidad de agua en el tanque (litros) 750
500
250
Tiempo (minutos)
c) Cantidad de agua en el tanque (litros) 750
500
250 0
b) Cantidad de agua en el tanque (litros)
250 25
50
75
x
Tiempo (minutos)
0
25
50
75
x
Tiempo (minutos)
MATEMÁTICAS 2
202
Inclinación o pendiente de una recta
Tema: Representación de la información APARTADO 6: GRÁFICAS iV
Conocimientos y habilidades Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y 5 mx 1 b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante. Actividad Previa En equipos, después de haber aprendido a analizar el valor de b en funciones de la forma y 5 mx 1 b, comenten lo que podría significar el valor de m en este tipo de funciones. ¿Qué podría significar el hecho de que el valor de m sea positivo o negativo? ¿En qué afectaría que los valores de m fueran distintos? Expongan ante el grupo sus observaciones.
Actividad 8.1 Tabulen y grafiquen las siguientes funciones. a) y 5 x x
b) y 5 2x y
x
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
ordenadas y
y
8 7 6 5 4 3 2 1 21 0
5
5
21
1
2
3
4
5
6
7
x abscisas
Además de observar que este tipo de gráficas pasan por el punto (0, 0) porque no se presenta valor de b en las funciones y son del tipo y 5 mx 1 b, ¿qué otra cosa observan con respecto a la inclinación de las rectas?
BLOQUE 3
203
Actividad 8.2 ordenadas y
Tabula y grafica la función y 5 3x
8
x
y
7
0
6 5
1
4
2
3
3
2
4
1
5
21 0
1
2
3
4
5
6
7
x abscisas
21
¿Cuál es valor de m? ¿Qué significa ese valor en relación con la inclinación de la recta?
¿Ya te diste cuenta de que la inclinación de las rectas tiene que ver con las unidades en el eje de las ordenadas y en el de las abscisas? y 5 x 3
y 5 2x
y
3
2
1
2
3
21
21 0
x
3
2
2
1
1
y
3
2
1 21 0
y 5 3x
y
1
2
1 3
21
21 0
x
1
21
2
3
x
1
1
1 Actividad 8.3
Grafica las siguientes funciones. Observa el valor de m en cada una de ellas, deduce por dónde pasará cada recta, trázalas y posteriormente verifícalas por medio de la tabulación correspondiente. 1 1 y 5 x y 5 x y 5 2 2x y y y 1 2 3 2 22 21 0 3 3 x 21 2 2 1 21 0 21
1 1
2
3
x
21 0 21
22 1
2
3
23
x
24
Una forma de analizar es observando que el numerador de m indica cuántas unidades se desplaza la recta en el eje “ y ”; mientras que el denominador indica cuántas unidades se desplaza la recta en el eje “ x ”.
MATEMÁTICAS 2
204 Actividad 8.4
A partir de las observaciones anteriores, traza la recta que corresponde a las siguientes funciones. Verifica tus trazos por medio de las tabulaciones. y 5
Se sabe que...
2 x 3
y 5
y
La pendiente de una recta, en el plano cartesiano es igual a la diferencia de los valores del eje y dividido entre las diferencias de los valores del eje x, de dos puntos de una recta. Se representa, generalmente, por m.
y
3
3
2
2
1
1
21 0
3 x 2
1
2
3
21 0
x
21
1
2
3
21
¿Cuáles son las pendientes de cada una de ellas?
x
y
Actividad 8.5 Gráfica en tu cuaderno las funciones siguientes. 1 x12 2
a) y 5 2x 1 5
d) y 5 x 2 5
g) y 5 3x 1 2
j) y 5
b) y 5 2x 1 4
e) y 5 x 2 6
h) y 5 4x 1 2
k) y 5 23x 1 3
f) y 5 x 2 8
i) y 5 5x 1 2
l) y 5 23x 2 3
c) y 5 2x 2 3
Actividad Extra En tu cuaderno traza en un solo plano cartesiano las funciones.
y5
2 x12 3
y
y 52
3 x14 2
¿Qué ángulo forman las rectas? ¿Cuáles son sus pendientes?
y
Obsérvalas y escribe otras dos funciones cuyas gráficas resulten perpendiculares.
Aplicación de aprendizajes Imaginación espacial
Hasta el momento has trabajado la imaginación espacial sin requerir del uso de instrumentos de geometría. En esta ocasión tendrás oportunidad de utilizarlos, dado que también es importante desarrollar destrezas en el manejo de dichos instrumentos al trazar figuras de manera precisa. 1. Utilizando solamente compás, reproduce la siguiente figura y crea otra que tenga tu propio diseño.
2. Como seguramente te habrás dado cuenta, el diseño anterior tenía como base los vértices de un hexágono. Utilizando solamente el compás, realiza los trazos necesarios para ubicar en la circunferencia los vértices de un pentágono y los de un heptágono. Compara tus resultados con los de tus compañeros más cercanos y comenten el procedimiento empleado en cada caso.
205
206
Exploración de recursos tecnológicos Para la presentación correspondiente a este bloque, ahora el equipo desarrollará un juego, parecido a un rompecabezas. Tomen, por ejemplo, el apartado 5, que se refiere a recubrimiento de un plano. ¿Recuerdas que al final de la actividad 5.2 se menciona que un cuadrilátero puede cubrir un plano? Hagamos la prueba: definan una figura (medidas de los 4 lados) de color. Establezcan una especie de concurso, compitiendo a ver quién hace menos tiempo en cubrir un plano con el cuadrilátero que se definió; solamente habría que copiarlo y aplicarle movimientos de traslación, rotación o simetría para buscar que al acoplar las piezas el plano se vaya cubriendo. Queda descalificado aquel que modifique el tamaño de las figuras. Es importante cuidar que la figura tenga un color sólido y sus orillas sean de un color contrastante, para que al ir cubriendo el plano se note cómo se ensamblaron los cuadriláteros. Inténtenlo primero como equipo, para asegurarse de que funciona, midan el tiempo que se tardan y después lleven a cabo el concurso. Agréguenle sonido cuando alguien complete el recubrimiento del plano. Finalmente, hagan un concurso más, buscando cuál diseño tiene mayor atractivo. Ánimo y suerte con su diseño.
BLOQUE 3
207
¿CUÁnto APRENDÍ? Instrucciones: Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Ocupa los espacios para anotar tus procedimientos, operaciones y resultados. 1. A partir de 7, determina los ocho primeros términos de la serie cuya diferencia es 22.5. 2. ¿Cuál es el 20o término de la serie: 4, 1, 22, 25,… 3. Resuelve y comprueba la ecuación 2(x 1 3) 1 7 5 2x 2 3(x 2 4)
4. A una fiesta asistieron 40 personas. Si son 5 mujeres menos que el doble de hombres, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres asistieron al festejo?
5. Calcula la suma de los ángulos interiores de un polígono de 20 lados.
6. La gráfica representa la relación entre la longitud de un cable y su costo. Analiza la gráfica y contesta en relación con lo que en ella observes. costo
$
a) ¿Cuál es el costo por 3 m de cable?
70
b) ¿Cuántos metros podré comprar con $20?
cable
0
m 6
MATEMÁTICAS 2
208
7. Traza la gráfica de las siguientes funciones. b) y 5 22x 1 4
a) y 5 2x 1 5
y
y
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
21 0
1
2
3
21
4
5
6
7
21 0
x
1
2
3
4
5
6
7
21
x
8. Analiza las siguientes funciones e identifica su gráfica, colocando en el paréntesis de la función la letra que le corresponda. 1 ( ) y 5 2x 1 2 ( )y5 x12 2
y
y
6
6
6
4
4
4
2
2
2
22 0 22
A
y
2
4
6
x
22 0 22
B
2
4
6
x
22 0 22
C
2
4
6
x
209
BLOQUE 4 Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Resuelvan problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica. 2. Resuelvan problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos. 3. Interpreten y relacionen la información proporcionada por dos o más gráficas de línea que representan diferentes características de un fenómeno o situación. 4. Resuelvan problemas que implican calcular la probabilidad de dos eventos independientes. 5. Relacionen adecuadamente el desarrollo de un fenómeno con su representación gráfica formada por segmentos de recta.
1559 Sube al trono Isabel I de Inglaterra.
1540
1582 Bajo la recomendación de una comisión de matemáticos, el Papa Gregorio XIII crea un nuevo calendario que fue adoptado en todo el mundo hasta 1918.
1560
1609 Se dan a conocer las Leyes de Kepler.
Contexto histórico 1614 Galileo observa por primera vez las manchas solares.
1610
1646 Se construye el Taj Mahal.
1640
1670
Hechos matemáticos 1591 Francisco Viéte presenta en su libro Introducción al arte analítico el primer trabajo matemático que usa letras para variables y constantes.
1629 En la obra La nueva ciencia del Álgebra, de Albert Girard, aparece el teorema fundamental del Álgebra.
1642 El matemático Blaise Pascal construye la primera máquina de calcular, conocida como la Pascalina, la cual podía efectuar sumas y restas de hasta 6 cifras.
1688 Revolución Gloriosa en Inglaterra.
1700
1662 John of Gaunt publica el primer libro de estadística.
MATEMÁTICAS 2
210
SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Tema: Significado y uso de operaciones APARTADO 1: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Productos y cocientes de potencias
Conocimientos y habilidades Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Actividad Previa En parejas, resuelvan los siguientes ejercicios para recordar el uso de los exponentes. Comparen los resultados, y si no coinciden, argumenten sus procedimientos hasta estar de acuerdo con las respuestas.
1. Convierte las siguientes expresiones, en factores o en potencia, según sea el caso. a) m 3 5 m m m
k) x 2 5
b) a 4 5
l) x 6 5
c) c 5 5
m) m m m m 5 m 4
d) g g g 5
n) b b b b 5
e) a a 5
o) x x x x x x x 5
f) d 8 5
p) y y y y y 5
g) e 3 5
q) a a b b 5
h) x 2 y 3 5
r) m m m q q 5
i) c 4 d 3 5
s) r s s t t t 5
j) a 2 a 3 5
t) a 2 a 3 5
BLOQUE 4
211
Actividad 1.1 Desarrolla los siguientes productos de potencias y posteriormente expresa el resultado como potencia. a) x 2 x 3 5 x x x x x 5 x 5
d) c c 4 5
g) g 2 g 4 5
b) m 2 m 3 5
e) d 2 d 4 5
h) h 4 h 3 5
c) a 3 a 2 5
f) f 2 f 2 5
i) y 3 y 3 5
Observa la relación que guardan los exponentes de los factores y el exponente del resultado final. ¿Cómo podríamos resolver de manera directa el producto de potencias de la misma base? Completa el siguiente enunciado y coméntalo con el grupo. Al multiplicar potencias de una misma base los exponentes se Actividad 1.2 Resuelve de manera directa los siguientes productos de potencias. a) a 6 a 3 5
d) b 5 b 2 5
g) c 3 c 4 5
b) d 5 d 5 5
e) e e 6 5
h) f 4 f 2 5
c) g 8 g 5
f) h h 2 h 3 5
i) i 3 i 8 5
¿Cómo se resuelven los cocientes de potencias de la misma base? Actividad 1.3 Con el procedimiento de descomposición en factores, completa la resolución de los siguientes cocientes: a)
34 3 3 3 3 3 3 3 5 32 5 32 333
b) 53 5 5 3 c) 4 5 4 2 d) 42 5 4 3 e) 2 5 2 4 f) 4 5 4 4
1 23232 23 5 5 25 2 3 2 3 2 3 2 3 2 22 h) 24 5 2 i) 42 5 4 j) 42 5 4 2 k) 33 5 3 2 l) 55 5 5
g)
¿Por qué en los últimos cinco incisos queda el número 1 en el numerador?
MATEMÁTICAS 2
212 Actividad 1.4
Desarrolla las siguientes divisiones; expresa el resultado como potencia. Compara tus resultados con los de tus compañeros más cercanos. a4 b5 h5 a) 2 5 d) 4 5 g) 5 5 a b h
c6 5 c2 e3 c) 7 5 e b)
d8 5 d5 f4 f) 6 5 f
h) g 5 g3 i i) 2 5 i 2
e)
Observa. ¿Qué relación guardan los exponentes de los cocientes y el exponente del resultado final? ¿Cómo se podría resolver de manera directa el cociente de potencias de la misma base? Completa el siguiente enunciado y coméntalo con el grupo.
Al dividir potencias de una misma base, los exponentes se Actividad 1.5 Resuelve de manera directa los siguientes cocientes. x5 x6 a) 3 5 x 5 2 3 5 x 2 c) 2 5 x x b)
y4 5 y4
d)
z2 5 z4
y5 e) y 5 z f) 3 5 z
Actividad 1.6 En equipo, analicen la siguiente situación y argumenten su respuesta ante el grupo. 2 Al desarrollar expresiones como m 5 un grupo de alumnos mostró que el resultado es: m mm m2 1 m2 5 5 3 ; otro equipo dijo que 5 5 m 225 5 m23 , ¿cuál de los dos tiene la razón? 5 mmmmm m m m
Actividad 1.7 Convierte los siguientes cocientes en potencias negativas. 2 1 a) 3 5 2a 23 d) 2 5 a
b) c)
3 d4
4 g8
b
5
e)
5
f)
1 e3
2 h6
g)
5
h)
5
i)
2 c3
2 f4
1 x5
5 5 5
BLOQUE 4 Actividad 1.8 Convierte las siguientes potencias negativas en expresiones con exponentes positivos. a) y¯ 3 5
e) 3y¯ 2 5
b) a¯ 4 5
f) c¯ 3 5
c) m¯ 2 5
g) 2m¯ 2 5
d) 5x¯ 3 5
h) 4h¯ 2 5
Actividad 1.9 Efectúa las siguientes operaciones. f)
b6 b25
b) c 3 c 2 c 5
g)
d 5 d4
c) e 5 e 3 e 2 5
h)
f 3f 2 f 5
d)
g 4g 2 g 3 5
i)
h 3h 2 5 h5
e)
x 2x 6 5 x3
j)
y y 2y 3 5 y8
a) a 4 a 5 5
Actividad 1.10 En equipos, propongan cómo se puede resolver la potencia de una potencia. Argumenten ante el grupo su respuesta. a) (23)2 5
b) (m 4)3 5
Un grupo de alumnos destacados encontró que el resultado de cada inciso es: 26 y m12. ¿Los resultados de tu equipo coinciden con los de ellos?
213
MATEMÁTICAS 2
214 Actividad 1.11
Efectúa las siguientes potencias de potencias. a) (x 2)4 =
e) (y 3)2 =
b) (m 3)3 =
f) (r 7)2 =
c) (a 2)5 =
g) (c 4)4 =
d) (u 3)3 =
h) (z 3)5 =
¿Cómo se resuelve de manera directa la potencia de una potencia? Completa el siguiente enunciado y coméntalo con el grupo. Para calcular la potencia de una potencia, sus exponentes se Veamos cómo se pueden usar este tipo de expresiones. Las potencias se utilizan como auxiliares en la notación científica para expresar magnitudes muy grandes (astronómicas) o muy pequeñas (microscópicas). Este tipo de notación se escribe con un número entre 1 y 10, multiplicado por una potencia de 10. Por ejemplo: a) Se estima que la edad aproximada de nuestro planeta es 460 000 000 años; otra forma de escribir esa cantidad es 4.6 3 108 años. b) La masa de un electrón se puede expresar como 9.1 3 10–28 gramos, en lugar de 0.000000000000000000000000000910 gramos. Actividad 1.12 Escribe la cantidad que corresponde a cada una de las siguientes expresiones dadas en notación científica. a) 3.6 3 103 5
e) 5.9 3 102 5
b) 2 3 103 5
f) 9.4 3 104 5
c) 6.1 3 102 5
g) 1.5 3 105 5
d) 8.2 3 104 5
h) 7 3 106 5
BLOQUE 4
215
Actividad 1.13 Escribe en notación científica las siguientes magnitudes. Distancia media aproximada del Sol a:
Notación científica
a) Mercurio: 57 890 000 km
b) Venus: 108 200 000 km
c) Tierra: 149 600 000 km
d) Saturno: 1 433 000 000 km
e) Urano: 2 863 000 000 km
Con la notación científica se pueden realizar, de manera más sencilla, cálculos con cantidades muy grandes o muy pequeñas. Ejemplos: a) 315 000 3 250 000 5 (3.15 3 105) (2.5 3 105)
b)
5 (3.15 3 2.5) (105 3 105)
5 (3.15 3 2.5) 1010
5 7.875 3 1010
8 400 000 8.4 3 106 5 20 000 2 3 104 5 4.2 3 102
Actividad 1.14 Efectúa las siguientes operaciones. a) (2.8 3 104) (3 3 103) 5
f) (1.5 3 106) (4 3 102) 5
b) 225 000 000 3 300 000 5
g) 120 000 000 3 25 000 5
c) 800 000 3 1.5 5
h)
400 000 5 800
d)
4.5 3 107 5 3 3 105
i)
225 000 000 5 300 000
e)
150 000 5 25 000
j)
8 3 105 5 3 3 107
MATEMÁTICAS 2
216
¿Cómo podrá resolverse la raíz de una potencia? En equipos, propongan alguna forma de encontrar la solución de
x 65
Reflexionemos: La raíz y la potencia son operaciones inversas; si la potencia de una potencia se efectúa multiplicando los exponentes, ¿qué operación se utilizará para encontrar la raíz de una potencia? Si contestaron que la operación de la raíz de una potencia es la división, tienen razón; si ésa no fue su respuesta, repasen cuáles son las operaciones inversas. En equipo, expliquen cómo se resolvieron las siguientes raíces: a)
81 5 4 2
53
5 32
34
b)
3
8 5 23 3
5 23
52
Actividad 1.15 Resuelve las siguientes raíces de potencias. Comprueba tus resultados. a) 34 5
3
b) y 9 5
3
c) 26 5
3
d) a 12 5
e) x 8 5
4
f) 16 5
g) 52 5
5
h) x 10 5
Actividad Extra Juan es hijo único y piensa que para su existencia sólo tuvieron que ver su papá y su mamá. No se ha dado cuenta de la cantidad de antepasados que tienen que ver con su vida. Recordémosle que además de ser hijo de dos personas (mamá y papá), es nieto de cuatro personas (sus abuelos), bisnieto de otras ocho, tataranieto de dieciséis, chozno de treinta y dos, y así sucesivamente. Tomando en cuenta diez generaciones, ¿cuántas personas han tenido que ver con la existencia de Juan?
Chozno: Nombre que se da al hijo del tataranieto.
BLOQUE 4
217
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Criterios de congruencia de triángulos
Tema: Formas geométricas APARTADO 2: FIGURAS PLANAS II Conocimientos y habilidades Determinar los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
Actividad Previa En parejas, reproduzcan el siguiente triángulo. Asegúrense de que la figura sea la misma y de que las medidas coincidan totalmente; encuentren una forma de comprobar que dichos triángulos son congruentes.
C
B A Actividad 2.1 Utiliza tu compás para encontrar cuántos segmentos son congruentes al segmento FG y colócales una marca en el paréntesis correspondiente.
F
M
G
R (
(
I
P
)
(
)
)
Q S
U (
)
N
(
L (
H
J
(
)
K
)
T
)
O V
(
)
W
MATEMÁTICAS 2
218 Actividad 2.2
Con los siguientes tres segmentos construye un triángulo ABC. Recuerda tomar como base el segmento más largo. Compara con tus compañeros cercanos el triángulo que cada quien construyó. ¿Resultaron congruentes los triángulos?
A C C
B B A
Si los trazos están bien hechos, seguramente observarás que los triángulos son congruentes. Sabemos que como estos triángulos tienen la misma medida en sus lados correspondientes, dichos triángulos son congruentes. A partir de la afirmación anterior, completa la siguiente expresión:
Dos triángulos son congruentes si sus correspondientes tienen la misma medida.
Este caso de congruencia de triángulos consideró como referencia la medida de sus tres lados.
BLOQUE 4
219
Actividad 2.3 Construye un triángulo congruente a cada uno de los siguientes.
E
a)
F
D b)
A
C
B
¿Para saber si dos triángulos son congruentes será suficiente con saber si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son congruentes? Actividad 2.4 A partir de los datos que se dan, construye los triángulos y compáralos con los que construyeron tus compañeros más cercanos. a) Lados: 4 cm y 3 cm
b) Dos lados de 6 cm cada uno.
ángulo entre los lados: 90° ángulo entre los lados: 45°
MATEMÁTICAS 2
220
¿Qué elementos utilizaste?
Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes dos
Hasta este punto hemos encontrado los siguientes casos de congruencia: Caso 1: Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes sus tres lados correspondientes. Caso 2: Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. ¿Habrá otro caso? ¿Habrá otros tres elementos, diferentes a los tratados, con los que se pueda afirmar que dos triángulos son congruentes? Probemos, como caso 3 de congruencia de triángulos, si se conocen dos ángulos y el lado comprendido entre ellos. Actividad 2.5 A partir de los datos que se dan en cada inciso, construye los triángulos y compáralos con los que construyeron tus compañeros más cercanos. a) Lado AB: 5 cm
b) Lado GH: 6 cm
ángulos adyacentes al lado AB: 60° y 45° ángulos adyacentes al lado GH: 45° y 45°
BLOQUE 4
221
Si con esos datos resultaron congruentes, completa la expresión del recuadro; en caso de que no hayan resultado congruentes verifiquen si los trazos cumplen con las medidas dadas.
Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes un y sus ángulos adyacentes. Actividad Complementaria
¿Habrá otro caso, diferente a los tratados, con el que se pueda afirmar que dos triángulos son congruentes? Ya encontramos que se cumple al tener tres lados congruentes (LLL); que se cumple al tener dos lados congruentes y el ángulo comprendido entre ellos (LAL) y que también se cumple cuando tenemos congruentes un lado y sus ángulos adyacentes (ALA). ¿Si sólo tenemos como información los tres ángulos, será suficiente para saber si dos triángulos son congruentes?
Si el grupo tiene oportunidad de trabajar en computadora, desarrollen la lección “Figuras directas o inversamente compuestas”, que está en las páginas 124 y 125 del libro Geometría dinámica. EMAT. México, SEP, 2000.
Actividad 2.6 A partir de los datos que se dan, construye los triángulos y compáralos con los que construyeron tus compañeros más cercanos para verificar si son congruentes. a) ángulos: 45°, 45° y 90°
b) ángulos: 30°, 60° y 90°
MATEMÁTICAS 2
222 Actividad 2.7
Construye un triángulo congruente a cada uno de los siguientes; toma como referencia el caso de congruencia que se indica. a) Congruencia: Lado, Lado, Lado.
b) Congruencia: Lado, Ángulo, Lado.
C
F
3 cm
A
5 cm
3 cm
B
3 cm
D
45° 3.5 cm
E
c) Congruencia: Ángulo, Lado, Ángulo
30°
G
H
5 cm
Actividad Extra
F
M
M
M
Completa las secuencias, anotando en los cuadros de la derecha la posición en que queda la letra después de realizar los giros de 90°, en sentido contrario a las manecillas del reloj, que se indican en la figura que está a su izquierda.
BLOQUE 4
TEma: formas geometricas III APARTADO 3: RECTAS Y ÁNGULOS III
223 Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo
Conocimientos y habilidades Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
Actividad Previa En parejas, tracen un triángulo en una hoja de cartulina o de cualquier otro tipo de papel suficientemente rígido, recórtenlo y busquen en él un punto tal que al colocarlo en la punta de un lápiz que sostengan de forma vertical, el triángulo se mantenga en equilibrio. Propongan un método que permita encontrar de manera segura ese punto de equilibrio y coméntenlo con el grupo. Vamos a identificar algunas líneas de los triángulos. Actividad 3.1 Mide la altura de los siguientes triángulos. a)
c)
Altura: Altura:
b)
d)
Altura: Altura:
MATEMÁTICAS 2
224 Actividad 3.2
Mide la altura de cada uno de los siguientes triángulos.
C a)
b)
c)
B
A
B
Altura:
C
A
A
B
Altura:
C
Altura:
Observa que la altura se mide como un segmento perpendicular a la base, ¿qué otra característica tiene ese segmento? Actividad 3.3 Mide la altura de los siguientes triángulos.
a)
b)
Altura:
Altura:
c)
Altura:
BLOQUE 4 Actividad 3.4 Si ya encontramos que la altura de un triángulo es el segmento perpendicular que va de un vértice a un punto situado en el lado opuesto (o en su prolongación), traza las tres alturas de cada uno de los siguientes triángulos. a)
b)
Si tus trazos fueron correctos, los segmentos de las tres alturas se cruzaron en un mismo punto. Llama O a ese punto de coincidencia. Por cierto, a dicho punto se le conoce como ortocentro.
Actividad 3.5 Organizados en parejas, tracen dos triángulos distintos e intercámbienlos con otro equipo. Encuentren el ortocentro de los triángulos que recibieron.
225
MATEMÁTICAS 2
226 Actividad 3.6
Organizados en equipos, recuerden qué es la mediatriz de un segmento y cómo se traza. Hagan los comentarios con el grupo para verificar que están todos de acuerdo y tracen la mediatriz a cada uno de los lados del siguiente triángulo ABC.
C
A
B
¿Es cierto que también se cortan las tres mediatrices en un mismo punto?
.
Escribe la letra C al punto de coincidencia. Mide con el compás la distancia que hay de cada vértice al punto C. ¿Es la misma distancia? . Traza desde C una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo ABC. Al punto donde se cruzan las tres mediatrices de un triángulo se le conoce como circuncentro.
Actividad 3.7 Traza en tu cuaderno un triángulo cuyos lados midan, respectivamente, 7 cm, 6 cm y 5 cm. Encuentra su circuncentro.
BLOQUE 4
227
Actividad 3.8 Encuentra el circuncentro de cada uno de los siguientes triángulos. a)
D
U Q
b)
R
S
T
Actividad 3.9 Resuelve el siguiente problema. Compara tu resultado con el de tus compañeros más cercanos. Mi primo tiene 3 perros en su patio trasero. A dos de ellos les puso su casa en las esquinas de la pared del fondo, a una distancia de 5 m entre ellas. La casa del otro perro está en el lado opuesto, justo a 4 m de las otras dos. En el siguiente espacio haz un croquis de ubicación de las casas de los perros y del lugar donde mi primo debe colocar el recipiente de comida, para que les quede a la misma distancia.
MATEMÁTICAS 2
228
Organizados en equipos, recuerden cómo se traza una bisectriz y tracen la correspondiente a cada uno de los siguientes ángulos. b)
c)
a)
Actividad 3.10 Traza la bisectriz de cada ángulo del triángulo ABC.
C
A
B
¿Observaste que también coinciden en un punto las tres bisectrices? Llama I a ese punto de coincidencia. Por cierto, dicho punto se conoce como incentro y desde él se puede trazar una circunferencia inscrita que toca los tres lados del triángulo. Compruébalo.
BLOQUE 4
229
Actividad 3.11 Encuentra el incentro de los siguientes triángulos.
X L a)
R
b)
V
W
Q
c)
J
K
P
F U d)
S
e)
T
D
E
Hay otras tres líneas en el triángulo que también coinciden en un punto. Estas líneas van del punto medio de cada lado del triángulo hacia el vértice opuesto, a cada una de estas líneas se les conoce como mediana. Localiza el punto donde coinciden las tres medianas en los siguientes triángulos.
a)
b)
Llama B a ese punto de coincidencia. A dicho punto se le conoce como baricentro y se dice que tiene la propiedad de ser el punto que permite sostener al triángulo en equilibrio. Compruébalo.
MATEMÁTICAS 2
230
Actividad Extra ¿Recuerdas la actividad previa realizada al inicio de este apartado? En una hoja de cartulina o de cualquier otro tipo de papel suficientemente rígido, traza un triángulo cuyas medidas sean 9, 12 y 15 centímetros, respectivamente, recórtalo y ubica su baricentro. Verifica que en realidad es el punto de equilibrio de la figura.
Actividad 3.12 En el siguiente espacio, traza un triángulo isósceles cuyos lados midan 7, 7 y 5 cm; encuentra su incentro y su circuncentro.
Contesta: a) ¿Qué nombre reciben las líneas con las que se localiza el incentro?
Actividad Complementaria
Si el grupo puede trabajar en computadoras, resuelvan la actividad “Bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera”, que se encuentra en Geometría dinámica. EMAT. SEP, 2000, pp. 82 y 83.
b) ¿Qué nombre reciben las líneas con las que se localiza el circuncentro? c) ¿En un triángulo equilátero coincidirán el incentro y el circuncentro? Compruébalo. d) ¿Coincidirán en un triángulo equilátero su ortocentro y su baricentro? Argumenta tu respuesta.
BLOQUE 4
231
MANEJO DE LA INFORMACIÓN
Probabilidad de eventos independientes
Tema: Análisis de la información APARTADO 4: NOCIÓN DE PROBABILIDAD I
Conocimientos y habilidades Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.
Actividad Previa En equipo, lean el drama que me sucedió el fin de semana. El domingo lancé en varias ocasiones una moneda. En el primer lanzamiento el resultado fue sol, pensé que si la volvía a lanzar ahora saldría águila; la lancé y para mi sorpresa volvió a salir sol. Supuse entonces que en el siguiente lanzamiento ya saldría águila, lancé y… no, no podía ser cierto; ¡volvió a salir sol! De inmediato me imaginé que esa moneda estaba cargada y que entonces en el siguiente lanzamiento saldría sol otra vez. Lancé la moneda y me llevé una gran sorpresa: ahora salió águila. Inquieto por los resultados, primero pensé que ése no era mi día de suerte, pero también me quedé pensando, ¿el resultado del lanzamiento de una moneda depende del resultado del lanzamiento anterior? ¿Será que cada evento es independiente? Argumenten su respuesta y expónganla al grupo.
Actividad 4.1 En parejas, registren en la tabla 1 el lanzamiento de una moneda en cinco ocasiones. Tabla 1. Lanzamiento
1
2
3
4
5
Resultado
¿Cuántas veces cayó sol?
¿Cuántas veces cayó águila?
¿Resultaron primero los soles y después las águilas? A partir de la información anterior, si lanzas la moneda, ¿tienes seguridad de la cara que resultará? Lanza nuevamente en cinco ocasiones la moneda y registra los resultados en la tabla 2. Tabla 2. Lanzamiento Resultado
6
7
8
9
10
MATEMÁTICAS 2
232 ¿Cuántas veces cayó sol?
¿Cuántas veces cayó águila?
¿Obtuvieron los mismos resultados que en la tabla anterior? ¿El orden en el que se presentaron los resultados de la tabla 1 coincide con el de la tabla 2? ¿Los eventos son dependientes o independientes? Argumenten su respuesta. En el lanzamiento de una moneda normal, cada evento es independiente, es decir, la probabilidad de que en cada lanzamiento caiga sol es de 1 . Comenten la razón de este resultado. 2
Actividad 4.2 Contesta las siguientes preguntas. 1
a) La probabilidad de que al lanzar una moneda caiga águila es 2 , ¿qué significa ese número? 1
b) La probabilidad de que al lanzar un dado resulte el número 4 es 6 , ¿qué significa ese número? c) Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado resulte un número mayor que 4. d) Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado resulte un número par. e) ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener del lanzamiento de una moneda y un dado? Escríbelos: f) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda y un dado el resultado sea (sol, 2)? g) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda y un dado el resultado sea (sol, 6)? h) Calcula la probabilidad de que al lanzar una moneda y un dado el resultado sea (águila, par). i) Escribe los cuatro posibles resultados del lanzamiento de dos monedas. j) Calcula la probabilidad de que al lanzar dos monedas el resultado sea (sol, sol). k) Calcula la probabilidad de que al lanzar tres monedas el resultado sea (águila, águila, águila). Argumenta tu respuesta.
BLOQUE 4
233
Actividad 4.3 Resuelve las siguientes situaciones problemáticas. a) Organicé una rifa con 100 números. Jorge me b) En una bolsa de tela tengo seis canicas vercompró los boletos 25, 26 27 y 28; Felipe, los des y cuatro negras. ¿Cuál es la probabilidad boletos 20, 40, 60 y 80. ¿Quién tiene mayor de que al sacar en dos ocasiones una canica probabilidad de ganar? y regresarla a la bolsa las dos canicas sean de color verde?
Actividad Complementaria
Si el grupo tiene oportunidad de trabajar en computadora, desarrollen las lecciones “Jugando con dados y apuestas” y “Apuestas”, que están en las páginas 136-138 y 144-146, respectivamente, del libro Hoja electrónica de cálculo. EMAT. México, SEP, 2000.
Actividad Extra La siguiente tabla muestra las frecuencias de los promedios obtenidos por los alumnos de una escuela secundaria al finalizar el segundo bimestre. PROMEDIOS
Menor que 7
Entre 7 y 8.5
Mayor que 8.5
Primer grado
14
19
12
Segundo grado
9
13
22
Tercer grado
12
10
19
Si se toma al azar un alumno, ¿qué es más probable?: a) ¿Que sea de primer grado o de tercero? b) ¿Que sea de segundo grado con promedio mayor que 8.5, o que sea de tercero con promedio menor que 7?
MATEMÁTICAS 2
234
Interpretación y utilización de gráficas
Tema: Representación de la información APARTADO 5: GRÁFICAS V
Conocimientos y habilidades Interpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que representan características distintas de un fenómeno o situación para tener información más completa y, en su caso, tomar decisiones.
Actividad Previa Para entender lo que sucede a nuestro alrededor se van tomando lecturas de diversos acontecimientos. Por ejemplo, la venta de ropa tiene su variación de precios conforme las estaciones del año se van aproximando. Veamos en la siguiente tabla los registros de temperatura que se hicieron en Ciudad Juárez, en 1998, y en equipo den respuesta a las preguntas.
Mes
Geografía: Haz un registro de la temperatura de tu localidad durante una semana y representa gráficamente tus resultados. ¿Qué clima corresponde al espacio geográfico donde vives?
Temperatura promedio, °C
Enero
11.1
Febrero
10.5
Marzo
13.7
Abril
16.2
Mayo
24.2
Junio
28.4
Julio
30.0
Agosto
28.8
Septiembre
28.1
Octubre
20.9
Noviembre
15.3
Diciembre
9.5
a) ¿En qué mes se registra el promedio de temperatura más baja? b) ¿En qué mes se registra el promedio de temperatura más alta? c) ¿En qué mes conviene usar ropa más fresca?
BLOQUE 4
235
d) ¿En qué mes hay que usar ropa más abrigadora? e) ¿Qué promedio de temperatura se espera para el mes entrante? Seguramente tuvieron que revisar en más de una ocasión la tabla para dar respuesta a cada pregunta. Una forma de simplificar este análisis es por medio de gráficas. Actividad 5.1 En el siguiente espacio, traza la gráfica que corresponde a la tabla anterior. 40
Temperatura (°c)
30
20
10
0
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
Meses del año
Actividad 5.2 En 1998, además de la temperatura, también se obtuvieron los siguientes registros del promedio mensual de precipitación pluvial en Ciudad Juárez, Chihuahua. Mes
Precipitación pluvial (mm)
Mes
Precipitación pluvial (mm)
Enero
2.0
Julio
16.5
Febrero
7.0
Agosto
32.5
Marzo
6.0
Septiembre
22.0
Abril
1.0
Octubre
59.8
Mayo
0.0
Noviembre
11.0
Junio
10.0
Diciembre
8.5
Para saber más acerca de las cifras de temperatura y precipitación pluvial en tu entidad, puedes consultar http://www.inegi.gob.mx
MATEMÁTICAS 2
236
En el siguiente espacio, traza la gráfica que corresponde a la tabla anterior y contesta las preguntas.
Precipitación (mm)
80 60 40 20
0
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
Meses del año
D
a) ¿En qué mes se registra el promedio más bajo de precipitación pluvial? b) ¿En qué mes se registra el promedio más alto de precipitación pluvial? c) ¿Es cierto que cuando hace más frío, llueve menos? d) ¿Es cierto que cuando llueve más, hace más frío? e) Supón que te gusta la lluvia pero no el frío, ¿en qué mes visitarías esa ciudad? f) Supón que te gusta el clima templado y un poco de lluvia, ¿en qué mes visitarías esa ciudad?
Actividad 5.3
40
80
30
60
20
40
10
20
0
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
Precipitación (mm)
Temperatura (ºC)
Investiga cuál es la temperatura promedio mensual y cuánta lluvia cae en tu localidad. Con los dos tipos de información, elabora en el siguiente espacio las gráficas correspondientes. Traza con color rojo la gráfica de la temperatura y con color negro la gráfica de la precipitación pluvial.
0
Meses del año
BLOQUE 4
237 Modelación por medio de funciones lineales
TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN APARTADO 6: GRÁFICAS VI
Conocimientos y habilidades Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera. Actividad Previa El registro de datos nos permite conocer con más detalle lo que sucede a nuestro alrededor. Aun cuando en ocasiones alcanzamos a percibir cuáles son las condiciones en que se dan ciertos acontecimientos, conviene no confiar esa información sólo a la memoria. Por ejemplo: ¿cuánto tiempo ocupas en promedio para dirigirte de tu casa a la escuela?, ¿cuánto tiempo ocupas para llegar desde la escuela a tu casa? Aun cuando la distancia es la misma, ¿ocupas el mismo tiempo en el desplazamiento de tu casa a la escuela y viceversa? Actividad 6.1 La siguiente gráfica corresponde al llenado de un depósito de agua que se utiliza en una lavandería. Una vez lleno se cierra la llave de alimentación y se vuelve a abrir cuando el depósito queda vacío. Analiza la gráfica y responde las preguntas. Litros (l )
Llenado de un depósito de agua.
1000 800 600 400 200
0
40
80
120
160
a) ¿En cuánto tiempo se llena?
200
240
280
320
360
400 440 Tiempo (min)
Ciencias II: ¿Cuál es la utilidad de representar por medio de gráficas lineales de posicióntiempo diversos resultados?
MATEMÁTICAS 2
238 b) ¿En cuánto tiempo se vacía?
c) ¿Cuánto tiempo permanece cerrada la llave? d) ¿Ocupa el mismo tiempo para llenarse que para vaciarse? e) ¿Cuánto tiempo permanece lleno el depósito? f) Al abrirse la llave, ¿cuántos litros de agua entran al depósito cada minuto? g) Al vaciarse, ¿cuántos litros de agua salen por minuto?
Actividad 6.2 El tanque de agua de mi casa tiene una capacidad para 1 000 litros y se llena a razón de 20 litros por minuto. Traza la gráfica que corresponda a la cantidad de agua que va subiendo y contesta las preguntas. 1 000
Litros de agua
800 600 400 200 0
10
20
30
40
50
Tiempo (minutos)
a) ¿En cuánto tiempo se llena el tanque de agua si se encuentra vacío? b) Si el tanque tiene 100 litros, ¿cuánto tiempo tengo que esperar hasta que se llene? c) Algunas personas se despreocupan al saber que el tanque de agua está lleno y dejan abierta la llave todo el tiempo mientras se bañan. Si a los 5 minutos salen 107 litros de agua y el tanque ya no recibe más agua, ¿en cuánto tiempo se vaciará el tanque?
BLOQUE 4
239
d) ¿Cuánta agua gasta una persona que tarda 25 minutos en bañarse, si por la llave salen 17 litros de agua cada minuto? e) Una persona que al bañarse abre la llave, se moja, cierra la llave, se enjabona y abre la llave para enjuagarse consume sólo 37 litros de agua. ¿Cuántos litros ahorra una persona con las características anteriores, a diferencia de una que tarda 25 minutos en bañarse y deja todo el tiempo abierta la llave del agua? Se sabe que... En el siglo xix se extendieron las enfermedades contagiosas, propagadas por la falta de aseo y después de un brote de cólera, en Londres, se manifestó la necesidad de contar con instalaciones higiénicas para el aseo personal.
Actividad 6.3 Dos familias viajan de la ciudad A, a la ciudad B que se encuentra a 240 kilómetros de distancia. La primera viaja a una velocidad de 80 kilómetros por hora; la segunda sale 30 minutos después que la primera y viaja a una velocidad de 90 kilómetros por hora. Traza, en el siguiente espacio, la gráfica que representa la distancia que recorre cada familia al viajar a la velocidad indicada y contesta las preguntas.
Ciencias II: ¿Las gráficas de esta actividad corresponden a las gráficas lineales de posición contra tiempo de objetos en movimiento? Argumenta tu respuesta
MATEMÁTICAS 2
240
a) ¿A los cuántos minutos después de que salió la primera familia se encontrarán ambas familias? b) ¿Llegan ambas familias al mismo tiempo a la Ciudad B?
Actividad 6.4 La siguiente gráfica corresponde al promedio mensual de ventas en una papelería. Analízala y contesta las preguntas. Pesos
Promedio mensual de ventas
140 000
84 000
28 000
0
Ago. Sept. Oct. Nov. Dic. Ene. Feb. Mzo. Abr. May. Jun.
Meses
Si por cada $60 000 de venta promedio mensual se requiere de un empleado, ¿en qué meses deben atender dos empleados? ¿En algún mes deberán atender más de dos empleados?
241
Aplicación de aprendizajes Imaginación espacial
Una de las cuestiones más importantes en la geometría y en la habilidad matemática de imaginación espacial es poder identificar las diversas formas y líneas que puede contener una figura. 1. Observa las siguientes figuras y realiza los trazos necesarios para dividir cada una en el número de partes, exactamente iguales, de acuerdo con la cantidad señalada en cada caso.
2
3
4
6
2
3
6
8
Al terminar, recuerda comparar tus resultados con los de tus compañeros. Hagan comentarios al respecto. 2. Con 12 clips o pasadores para el cabello (horquillas) puedes formar polígonos. Por ejemplo, puedes formar un cuadrado. a) ¿Cuántas unidades tendrá por lado el cuadrado? b) Calcula su área. c) Con la misma cantidad de clips o pasadores para el cabello, forma otros dos polígonos. Procura formar uno que tenga la mayor área posible y otro que ocupe la menor área. Compara tus polígonos con los de tus compañeros más cercanos. ¿Quién obtuvo los mejores resultados? 3. Resuelve. Un bloque de madera, en forma de cubo, pesa 16 kg. Para poder cubrir un hueco, es necesario dividir a la mitad cada lado del cubo. ¿Cuánto pesará cada parte?
242
Exploración de recursos tecnológicos Para este bloque seguramente el equipo ya adquirió suficiente experiencia para elaborar una presentación. Agréguenle ahora imágenes con movimiento; si están trabajando en computadora y ésta no tiene imágenes con movimiento, pueden buscarlas en Internet, por ejemplo en la página www.gifs.net
Manejo de la información
Consideren para su presentación el eje temático de “Manejo de la información” y utilicen todo lo que hasta ahora han aprendido a desarrollar en sus presentaciones. Si no se les ocurre algo en particular, desarrollen entonces la actividad 4.2, buscando que al hacer preguntas se muestren posibles respuestas. No olviden que resulta atractivo el agregar sonido a las respuestas, según sean bien o mal resueltas. Tengan presente que al colocar la respuesta equivocada, ésta debe ser lógicamente obtenida.
Elige: Presentación elaborada por:
1 6
1 2
BLOQUE 4
243
¿CUÁnto APRENDÍ? Instrucciones: El propósito de esta sección es que al resolver cada cuestión aprendas a reconocer cuánto aprendiste y qué aspectos necesitas reforzar para que seas más competente. Es importante que resuelvas de manera individual y posteriormente en grupo revisen los resultados de cada cuestión. Recuerda que cuanto más te conozcas, mejores logros podrás tener. 1. Cada segundo, el Sol pierde aproximadamente 4.3 3 109 kilogramos de masa solar. ¿Cuánta masa solar pierde en una semana?
2. Encuentra el circuncentro del siguiente triángulo.
3. Encuentra el incentro del triángulo de la derecha.
244
MATEMÁTICAS 2
4. Si en la carretera un automóvil se desplaza a una velocidad de 90 kilómetros por hora y diez minutos después trata de alcanzarlo otro automóvil que se desplaza a una velocidad de 110 kilómetros por hora, ¿en cuánto tiempo lo alcanzará? Traza las gráficas correspondientes en el siguiente espacio.
5. En una bolsa hay 25 canicas del mismo tamaño; 10 son de color blanco, 8 son de color negro y 7 son de color amarillo. Si en cada ocasión se saca una canica, se registra y se regresa a la bolsa, calcula las probabilidades que se piden. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en dos extracciones las canicas sean blancas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en tres extracciones las canicas sean amarillas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en cuatro extracciones las canicas sean negras?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que en tres extracciones las canicas sean todas de color diferente?
6. Si lanzo al aire tres monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las tres caigan sol?
245
BLOQUE 5 Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Resuelvan problemas que impliquen el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. 2. Determinen el tipo de transformación (traslación, rotación o simetría) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada. 3. Identifiquen y ejecuten simetrías axiales y centrales y caractericen sus efectos sobre las figuras. 4. Resuelvan problemas que implican calcular la probabilidad de dos eventos que son mutuamente excluyentes.
Contexto histórico 1815 Ocurre la batalla de Waterloo. 1767 Watt perfecciona la máquina de vapor.
1750
1799 Henry Cavendish es el primero en medir la fuerza de gravedad entre dos objetos.
1800
1770 Johann Lambert. Demostró que el número Pi era irracional e hizo aportes al desarrollo de la geometría hiperbólica.
1877 Thomas Alva Edison inventa el fonógrafo. 1859 Charles Darwin publica El origen de las especies.
1850
1799 Gauss publica el Teorema Fundamental del Álgebra. Su trabajo incluye teoría de números, geometría diferencial y geometría no euclidiana.
1903 María Skladovska Curie es la primera mujer que gana el premio Nobel en ciencia.
1900 1812 Laplace publica en París su Teoría Analítica de las Probabilidades donde hace un desarrollo riguroso de la teoría de la probabilidad con aplicaciones a problemas demográficos, jurídicos y explicando diversos hechos astronómicos.
1950
1980 Las compañías Philips y Sony definen las especificaciones del CD.
2000
Hechos matemáticos 1882 Se prueba que la cuadratura del círculo es imposible.
1983 El metro es redefinido oficialmente como la distancia que viaja la luz 1 en de segundo. 299 792 458
MATEMÁTICAS 2
246
SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Tema: Significado y uso de las literales APARTADO 1: ECUACIONES II
Sistemas de ecuaciones con coeficientes enteros
Conocimientos y habilidades Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.
Actividad Previa En equipo lean, y comenten cómo se puede resolver la siguiente situación: La semana pasada me di cuenta de que en la cooperativa escolar dos compañeros de primer grado compraron chocolates y jugo: el primero compró 3 chocolates y 2 jugos, por los que le cobraron $33; el segundo, compró 2 chocolates y 2 jugos, por los que le cobraron $26. ¿Cuánto pagaron por cada chocolate y por cada jugo? Presenten al grupo la forma en que lo resolvieron.
¿Será cierto que en el proceso de solución de un sistema de ecuaciones se busca simplificarlo algebraicamente hasta dejar una sola ecuación con una incógnita, la cual ya resulta fácil de resolver? Actividad 1.1 En parejas, resuelvan las siguientes situaciones. Comparen sus resultados y comenten los procedimientos que emplearon. a) La suma de dos números es 15 y su diferencia b) Axel pagó $20.00 por dos lápices y dos mares 3, ¿cuáles son esos números? cadores; Israel pagó $27.00 por dos marcadores y cuatro lápices, de la misma calidad y precio que los de Axel. ¿Cuánto les costó cada marcador?
BLOQUE 5 c) Un terreno de forma rectangular tiene un pe- d) El domingo fui acompañado al cine. Pagué rímetro de 56 m. Si se duplica su ancho, el $171.00 por dos boletos de entrada y un paperímetro resultaría de 72 m. ¿Cuánto mide de quete de palomitas y refrescos. Ahí encontré largo el terreno? a mis tres primos, pagando $294.00 por sus entradas y dos paquetes de palomitas y refrescos. ¿Cuánto cuesta la entrada al cine?
A un amigo del grupo de tercero le comenté que el sábado acompañé dos veces a mi tía al mercado. La primera vez compramos 2 kg de arroz y 2 kg de pollo, pagando entonces $90; la segunda vez, compramos 2 kg de arroz y 1 kg de pollo, por los que nos cobraron $50. Le dije que no supe cuánto había costado el kilogramo de pollo y me contestó que eso era fácil de resolver. Mi amigo me mostró dos ecuaciones que representaban lo que le había comentado: 1. 2x 1 2y 5 90 2. 2x 1 y 5 50 con la letra x representó al arroz; con la y, al pollo. Me dijo que eso era un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que si restaba las dos ecuaciones resultaba que y 5 40, lo que representaba el precio del kilogramo de pollo; ya con eso era fácil ver que al sustituir en la segunda ecuación me quedaba 2x 1 40 5 50, de donde resultaba que 2x 5 10 y, por tanto, x 5 5, lo que correspondía al precio del kilogramo de arroz. ¿Es correcto el procedimiento que siguió el estudiante de tercero? Hagan los comentarios al respecto en el grupo.
247
MATEMÁTICAS 2
248 Actividad 1.2
Encuentra el valor de las incógnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones. Si consideras que sumar o restar las dos ecuaciones te simplifica el trabajo, hazlo. Compara tus resultados con los que obtengan tus compañeros más cercanos. a) 2x 1 y 5 31
e) x 1 y 5 47
x 1 y 5 25 x 2 y 5 13
b) 3x 1 2y 5 50
f) 4x 1 y 5 29
2x 2 2y 5 15 x 1 y 5 11
c) 4x 2 3y 5 10
g) x 1 y 5 10
2x 1 5y 5 11 x 2 y 5 22
d) x 1 3y 5 3
h) 4x 2 3y 5 22
2x 2 y 5 1 4x 1 3y 5 22
Actividad Extra Considera el número que está al inicio de la figura como el valor de la variable, sustitúyelo en cada expresión y completa el valor que corresponda en los cuadrados.
4
x13
2x 2 4
2x 2 2
x12
x14
x23 5x
x25
3x 2 1
x26
8
BLOQUE 5 Actividad 1.3 Resuelve las siguientes situaciones. a) Al visitar un museo, una familia pagó $70 por e) Por 12 envases de plástico de un litro y 5 endos boletos de adulto y cuatro de niño; otra vases de medio litro me cobran $92, pero si familia pagó $60 por dos boletos de adulto y me llevo sólo 4 de un litro y 5 de medio litres de niño. ¿Cuánto cuesta cada boleto de tro me cobran $44. ¿Cuánto cuestan los envaadulto? ses de un litro?
b) Calcula las dimensiones de un terreno de for- f) Al salir de vacaciones me llevé una maleta ma rectangular que tiene un perímetro de 99 m. grande y una mediana. Juntas, las maletas peSe sabe que de largo mide el doble que de san 51 kg. Si la maleta grande pesa 13 kg más ancho. que la mediana, ¿cuánto pesa cada una?
c) Por dos pares de calcetines y dos pares de g) Si dos ángulos son suplementarios y el ángulo calcetas del uniforme pagué $130. Un compamayor mide 16° más que el otro, ¿cuánto mide ñero pagó $95 por dos pares de calcetines y cada ángulo? un par de calcetas. ¿Cuánto cuesta el par de calcetines?
d) La suma de dos ángulos consecutivos de un h) La suma de dos ángulos de un triángulo es polígono es 136°; su diferencia es de 90°. 130°; su diferencia es 30°. ¿Qué tipo de trián¿Cuánto mide cada ángulo? gulo es?
249
MATEMÁTICAS 2
250
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Rotación y traslación de figuras
Tema: Transformaciones APARTADO 2: MOVIMIENTOS EN EL PLANO
Conocimientos y habilidades Determinar las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construir y reconocer diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.
Actividad Previa Observa los siguientes pares de figuras. Escriban en el paréntesis una S si una es reflejo de la otra (simétricas), o una T si sólo hubo desplazamiento (traslación) en el plano. Argumenten el porqué de cada respuesta y comparen sus resultados con los de los demás equipos. a)
D
C D’
C’
c)
A
B
A’ (
B’
C
)
B
D b)
B
B’
C’
A
A’ (
B’
D’
)
d)
C
B D
C
C’
A (
A’
E
A (
B’
C’
) )
E’
D’ A’
BLOQUE 5
251
Con el propósito de reforzar la identificación de los movimientos de las figuras en el plano veamos por separado cada uno de éstos. Traslación Al trasladar por el plano una figura, ¿cambia su forma? Observa:
C’
C B’
A’ C’’ A
B
A’’
B’’
Al trasladar la figura ABC, el lado AB se mantiene paralelo a los lados A’B’ y A’’B’’. ¿También se mantienen paralelos los lados A’C’ y A’’C’’ con respecto al lado AC ? ¿Sucede lo mismo a BC con los lados B’C’ y B’’C’’? ¿Qué podrías concluir con respecto a la traslación? Actividad 2.1 Traslada 5 cm el siguiente cuadrilátero en la dirección que se indica. Compara tus resultados con los que obtuvieron los compañeros más cercanos.
D
C
A
B
MATEMÁTICAS 2
252 Actividad 2.2
Identifica, escribiendo en el paréntesis la letra N, cuál de los siguientes triángulos no cumple con las condiciones de traslación de la figura PQR. ¿Cómo comprobarías tu apreciación?
R A (
)
E (
)
P
Q B (
C (
D (
)
)
Simetría axial Recuerda que en la simetría axial la distancia entre cada vértice de la figura original y el eje de simetría (o eje axial) se mantiene también en la imagen correspondiente.
H
H’
I
I;
G
G’
F
F’
Eje de simetría (o eje axial)
)
BLOQUE 5
253
Actividad 2.3 Traza las figuras simétricas que se indican.
Actividad 2.4 Traza en tu cuaderno una figura y obtén la simétrica en dos ejes. Presenta tu diseño al grupo.
Actividad 2.5 Escribe en el paréntesis la letra S a las figuras que cumplan con la simetría. ¿Cómo comprobarías tu apreciación?
H
K R R’ J S
I (
Q
Q’
S’
I’
)
J’ P P’ H’
K’
(
)
MATEMÁTICAS 2
254
O
O’
B B’
N
N’
P M
C A
A’
(
C’ (
P’
M’
)
)
Simetría central Como su nombre lo dice, este tipo de simetría no es con relación a un eje, sino a un punto al que se le considera centro de simetría. Observa las siguientes figuras a las que se les aplicó simetría central.
C
B Centro de simetría
A’ D’
D A B’
C’
BLOQUE 5
255
U
Centro de simetría
T S
S’
T’
U’
Actividad 2.6 En equipo, comenten cómo se pueden trazar este tipo de simetrías y expongan sus observaciones.
Actividad 2.7 A partir del centro O de simetría que se da, traza la figura simétrica en cada caso. a)
C
O
A
B
MATEMÁTICAS 2
256 b)
H
I O
J
G c)
O1
E
F
¿Será cierto que la simetría central es semejante a dos movimientos de simetría axial a partir de ejes perpendiculares? Actividad 2.8 Considera S1 como eje de simetría y traza la figura A’B’C’ simétrica de ABC, traza después la figura A’’B’’C’’ simétrica de A’B’C’, considerando a S2 como su eje de simetría. Comprueba que entre las figuras ABC y A’’B’’C’’ hay un centro de simetría. Después, compara tus resultados con los de tus compañeros más cercanos. S1 B
C
A
S2
BLOQUE 5
257
Rotación Si observas las figuras ABC y A’’B’’C’’ del ejercicio anterior, pareciera como si la figura ABC hubiera girado 180º alrededor del centro de simetría. Actividad 2.9 En equipos, observen la rotación que se aplicó a la siguiente figura. Comenten qué condiciones se cumplen en cada rotación.
C’’ C’ B’ C’’’
A’
B
B’’
A’’ A A’’’
C O
B’’’
Actividad 2.10 De acuerdo con el ángulo, el sentido y el centro de giro que se indican, traza la rotación de las siguientes figuras. Compara tus trazos con los de los compañeros más cercanos. a) 90°
L
O J
K
MATEMÁTICAS 2
258 b) 60°
O C D
A
B
Actividad Extra Considera la recta LM como eje de simetría y obtén la figura simétrica A’B’C’D’ que corresponda a la figura ABCD; traza después la figura A’’B’’C’’D’’ simétrica de A’B’C’D’ con respecto a la recta PQ. Observa que los ejes de simetría LM y PQ se cortan en el punto O, ¿podrá ser este punto el centro de rotación de ABCD y A’’B’’C’’D’’ ? C
A
Actividad Complementaria
Si el grupo tiene oportunidad de trabajar en las computadoras, desarrollen la lección “Uso de la simetría central”, que está en las páginas 88-91 del libro Geometría dinámica. EMAT. México, SEP, 2000.
M D
B
Q
O
P L
BLOQUE 5
259
MANEJO DE LA INFORMACIÓN
Representación gráfica de sistemas de ecuaciones
Tema: Representación de la información APARTADO 3: GRÁFICAS VII
Conocimientos y habilidades Representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretar la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.
Actividad Previa En parejas, completen la conversión de las siguientes ecuaciones en expresiones de la forma y 5 mx 1 b; grafíquenlas y encuentren las coordenadas del punto de intersección de las rectas. 1. x 1 y 5 11
y5
2. x 2 y 5 23
–y 5 –3 –x
y5 x+3
y5
y5x13 x
y
x
21
21
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
y y
0
x
Comprueben si los valores de las coordenadas son las soluciones de las ecuaciones planteadas. ¿Podrá ser ésta una forma de resolver un sistema de ecuaciones? Argumenten su respuesta.
MATEMÁTICAS 2
260 Actividad 3.1
Resuelve, por medio de la gráfica, el siguiente sistema de ecuaciones. Compara tus resultados con los del compañero más cercano. 1. 4x 1 y 5 8 2. x 2 y 5 2
y
0 x
Solución: (
,
)
BLOQUE 5 Actividad 3.2 Utiliza el método de graficación y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. a) 1. x 1 y 5 6 2. 2x 1 y 5 9
0 Solución: (
,
)
b) 1. 4x 2 y 5 14 2. 2x 1 y 5 4
0
Solución: (
,
)
261
MATEMÁTICAS 2
262 c) 1. 2x 1 y 5 4 2. 4x 1 y 5 5
0 Solución: (
,
)
d) 1. x 1 y 5 10 2. x 1 y 5 4
0 Solución: (
,
)
BLOQUE 5 e) 1. x 1 y 5 4 2. 2x 1 2y 5 8
0
Solución: (
,
)
Contesta las siguientes preguntas. a) ¿Los cinco sistemas de ecuaciones de esta actividad tuvieron solución? b) ¿Qué pasó con el sistema de ecuaciones del inciso d ? c) ¿Qué pasó con el sistema de ecuaciones del inciso e ? d) Cuando las rectas del sistema de ecuaciones no coinciden en ningún punto, se dice que dicho sistema es INCOMPATIBLE. ¿En qué inciso sucedió este caso? e) Cuando las rectas del sistema de ecuaciones tienen todos sus puntos comunes, se dice que el sistema es INDETERMINADO. ¿En cuál inciso sucedió este caso? f) ¿Qué ventajas o desventajas le ves a este método de solución? Coméntalo con el grupo.
263
MATEMÁTICAS 2
264 Actividad 3.3
Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones y escribe si son compatibles, incompatibles o indeterminados. a) 2x 1 y 5 22
3x 1 y 5 24
b) 2x 1 2y 5 8
c)
x1y52
x 1y54 2 x1y53
d) x 2 y 5 5
2x 2 2y 5 10
Ciencias II: ¿Las gráficas de estos sistemas de ecuaciones son semejantes a las gráficas lineales de posición-tiempo? Argumenta tu respuesta.
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265 Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes
Tema: Análisis de la información APARTADO 4: NOCIÓN DE PROBABILIDAD II
Conocimientos y habilidades Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia. Actividad Previa En este apartado vamos a jugar principalmente con dados y a obtener conclusiones sobre cómo aprovechar mejor los conocimientos matemáticos. Iniciemos con un recordatorio: en equipos de dos o tres personas, vamos a calcular las probabilidades que se piden. Si tienen dudas, apóyense como equipo para que todos recuerden cómo se obtienen los resultados. Al lanzar un dado: a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 3 o el 1? b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 2 o el 4? c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 5 o el 6? La condición para poder sumar la probabilidad de dos o más eventos es que éstos sean mutuamente excluyentes, es decir, que el resultado de uno no sea al mismo tiempo resultado del otro. Ejemplo: la 1 1 probabilidad de que al lanzar un dado salga el 1 o el 6 es P(1) 1 P(6) 5 1
6 5 2 6
6
Los tres incisos de la actividad anterior se refieren a eventos mutuamente excluyentes. Analícenlos y justifiquen sus respuestas.
Si hasta este punto no hay más dudas, resuelvan de manera individual las siguientes actividades y comparen sus resultados como equipo. Argumenten sus respuestas y cuiden que ningún elemento del equipo tenga dificultades al responder. Actividad 4.1 Calcula. ¿Cuál es la probabilidad de que salga... a) un número par?
d) un número impar o 2?
b) en un número par o 3?
e) un número par o impar?
c) un número impar?
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Al calcular la probabilidad de que ocurra el evento A o el B (cualquiera de los dos), ¿su resultado es equivalente a la suma de la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que ocurra B?
Actividad 4.2 En equipo, calculen las siguientes probabilidades y argumenten sus respuestas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga número par y menor que 5? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga número impar o menor que 5? c) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga número impar o menor que 4?
Actividad 4.3 Identifiquen en cuál de los incisos de la actividad anterior la probabilidad es mayor, ¿podrían asegurar que en tres tiradas sale ese resultado? Lancen el dado y verifiquen su respuesta.
Actividad 4.4 Resuelve la siguiente situación y compara tus respuestas con las de tus compañeros más cercanos. En un bote hay 5 pinturas de color turquesa, 4 de color gris y 3 blancas. Calcula la probabilidad de que al sacar una pintura al azar sea del color que se indica en los siguientes incisos. a) Turquesa
d) Turquesa o gris
b) Gris o blanca
e) Gris
c) Blanca
f) Turquesa o blanca
Si en el ejercicio anterior sacas una pintura al azar, ¿cuál es el color que tiene mayor probabilidad de salir?, ¿y el de menor probabilidad?
Actividad Complementaria
Si el grupo tiene oportunidad de trabajar en las computadoras, desarrollen la lección “El problema del cumpleaños”, que está en las páginas 108-109 del libro Hoja electrónica de cálculo. EMAT. México, SEP, 2000.
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Aplicación de aprendizajes Imaginación espacial
En el desarrollo de la habilidad matemática de imaginación espacial has trabajado con figuras planas. En esta sección trabajarás con representaciones de figuras en tres dimensiones. Imagina arreglos formados por cubos.
Si lo estuvieras viendo desde la parte superior, ¿cómo lo representarías para que supiéramos cuántos cubos tiene en cada columna?
Visto de frente, este arreglo se representaría así:
Seguramente se vería así: 3
2
2
1
1
Y visto de lado, se representaría así:
1
1
2
1
3
2
1
1
1
2
1
2
3
1. Dibuja las representaciones para los siguientes arreglos: vista superior, de frente y de lado.
2. A continuación se presenta la vista desde la parte superior de algunos arreglos con cubos. Dibuja en tu cuaderno los arreglos correspondientes. a) Vista superior 4
2
3
b) Vista superior
2
1
2
1
3
4
2 1
3. En tu cuaderno sugiere algunos arreglos vistos desde la parte superior y trázalos. De ser posible, preséntalos al grupo para que éste también los desarrolle.
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Exploración de recursos tecnológicos
Finalmente, con esta presentación se cierra la práctica de elaboración de trabajos en computadora para mostrar algunas lecciones o para poner a prueba la forma en que aprendemos. En esta ocasión el tema a desarrollar es totalmente libre, recuerda lo atractivo que resulta llevarlo a cabo de manera interactiva, preguntando y calificando las respuestas dadas, agregándole colores, entradas de texto más espectaculares, sonidos e imágenes con movimiento. Al terminar de desarrollar la presentación no olviden mostrarla al grupo para que se hagan propuestas de mejora. Consideren también la posibilidad de hacer una pequeña exposición, con las presentaciones que fueron desarrollando a lo largo del curso. Seguramente se sorprenderán ustedes mismos de los avances que alcanzó el grupo. No olviden otorgar un reconocimiento al equipo cuya presentación resulte más atractiva y con mayor manejo del contenido. Felicidades por este avance, a descansar y a prepararse para el curso siguiente, con el que cierras el ciclo de estudios de educación básica en México.
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¿CUÁnto APRENDÍ? Instrucciones: El propósito de esta sección es que al resolver cada planteamiento aprendas a reconocer cuánto aprendiste y qué aspectos necesitas reforzar para que seas más competente. Es importante que resuelvas de manera individual y, posteriormente, en grupo revisen los resultados de cada cuestión. Recuerda que cuanto más conozcas, mejores logros podrás tener. 1. Delia y Nancy fueron de compras. Delia trajo 2 blusas y 3 faldas, por las que pagó $540; Nancy sólo compró una blusa y 2 faldas, de la misma calidad y precio que las de Delia, por las que pagó $330. ¿Cuánto costó cada blusa y cada falda?
2. Considera el triángulo ABC. Trasládalo 6 cm hacia arriba; traza su simétrico a la derecha, considerando la recta S como eje de simetría, y aplícale a la nueva figura una rotación de 135° en sentido inverso al movimiento de las manecillas de un reloj.
S C
B
A
O
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3. Observa las siguientes figuras e identifica mediante qué movimientos en el plano (traslación, simetría axial, simetría central o rotación) se obtuvo la de la derecha. Puedes considerar como máximo dos movimientos. a)
Movimiento(s):
b)
Movimiento(s):
4. Por medio de la graficación, resuelve el siguiente sistema de ecuaciones. 2x 1 y 5 4 x 2 y 5 5
5. Resuelve la siguiente situación. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dardo caiga en un espacio de color negro o verde?
FUENTES DE CONSULTA Bibliografía para el alumno ASIMOV, Isaac. El libro de los sucesos. Lasser Press, México, 1982. GONICK, Larry y Smith, Woollcott. La estadística en cómic. Zendrera Zariquiey, Barcelona, 2002. MAGNUS, Hans. El diablo de los números. Siruela, Madrid, 1998. PERERO, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1994. SAGAN, Carl. Cosmos. Planeta, Barcelona, 1999. TAHAN, Malba. El hombre que calculaba. Limusa, México, 1986. Revistas ¿Cómo ves? Revista de divulgación de la ciencia, UNAM, México. Conversus —donde la ciencia se convierte en cultura—. IPN, México.
Bibliografía para el docente AEBLI, Hans. Doce formas básicas de enseñar. Una didáctica basada en la psicología. Narcea, Madrid. 1995. ASIMOV, Isaac. Nueva guía de la ciencia. Plaza & Janés, Barcelona, 1997. ÁVILA, A. (Directora), L. M. Aguayo, D. Eudave, J. L. Estrada, A. Hermosillo, J. Mendoza, Ma. E. Saucedo, E. Becerra. La reforma realizada. La resolución de problemas como vía del aprendizaje en nuestras escuelas. Financiado por la Dirección General de Investigación Educativa de la Secretaría de Educación Básica y Normal, SEP, México, 2004. BROUSSEAU, Guy. Educación y Didáctica de las matemáticas. En: Educación Matemática, Vol. 12, Nº 1, pp. 5-38, Iberoamérica, México, 2000. CARRAHER, Terezihna, et al. En la vida diez, en la escuela cero. Siglo XXI, México, 1991. DE LA PEÑA, José Antonio. Algunos problemas de la educación en matemáticas en México. Siglo XXI, México, 2002. HOFSTADTER, Douglas. Gödel, Escher, Bach: una eterna trenza dorada. CONACYT, México, 1979. INEE. PISA para docentes: La evaluación como oportunidad de aprendizaje, México, 2005. PEREDA, Luis. Didáctica de la resolución de problemas. Desclee de Brouwer, Bilbao, 1987. PIAGET, Jean. et al. Psicología y pedagogía. Crítica, Barcelona, 2005. SEP, Antología. Matemáticas. Crítica, Barcelona, 2005. SKINNER, B. F. Sobre el conductismo. Fontanella, Barcelona, 1975. STACEY, K y Groves, S. Resolver problemas: Estrategias. Narcea, Madrid, 1999. VYGOTSKY, Levv S. El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Crítica, Barcelona, 2003.
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MATEMÁTICAS 2 Sitios de Internet http://www.agua.org.mx (para tener más cultura acerca del uso óptimo del agua). http://almez.pntic.mec.es/ (presenta un recorrido descriptivo a lo largo de los siglos y de las diferentes civilizaciones que hicieron aportaciones al campo de las Matemáticas). http://descartes.cnice.mecd.es/ (página interactiva con los contenidos de matemáticas en la enseñanza secundaria, juegos, trucos, etcétera). http://www.divulgamat.net (se encuentra el Centro virtual de la Divulgación de las Matemáticas. Historia, textos on-line, gacetas, etcétera). http://fismat.umich.mx/omm/ (página oficial de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas). http;//olimpiada.mat.uson.mx/ (página de las Olimpiadas Sonorenses de Matemáticas; incluye exámenes, y problemas). http;//www.inegi.com.mx/ (página oficial del Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática; contiene información estadística de las diferentes regiones del país). http://www.matematicas.net/ (página dedicada al fascinante universo de las Matemáticas. Encontrarás apuntes, ejercicios, exámenes, juegos, enlaces, historia, etcétera). http://www.mlevitus.com/ (página de juegos, acertijos y recreaciones matemáticas). http://sepiensa.org.mx/ (página de la Secretaría de Educación Pública, con diversas actividades e información de Matemáticas).
Bibliografía consultada Almanaque Universal Navarrete. Editorial Navarrete, Perú, 1998. BALDOR, Aurelio. Álgebra. Séptima reimpresión. Publicaciones Cultural, México, 1990. BALDOR, Aurelio. Geometría plana y del espacio. Cultural Centroamericana, España, 1979. CLEMENS, Stanley, et al. Geometría. Addison-Wesley Iberoamericana, EUA, 1989. COLLINS, William, et al. Álgebra 1. Glencoe/McGraw-Hill, EUA, 1998. GOODSON y Miertschin. Álgebra con aplicaciones técnicas. Limusa, México, 1991. JACOBS, Harold R. Geometry. Freeman, EUA, 1974. Microsoft Encarta, 2006. Biblioteca de Consulta. NEWMAN, James R. El mundo de las matemáticas. Colección Sigma, tomo 1. Grijalbo, Barcelona, 1976. OTEYZA, Lam, Hernández, Carrillo. Álgebra. 2a. ed., Pearson Educación, México, 2003. REAL ACADEMIA ESPAÑOLA. Diccionario de la lengua española. 22a. edición, España, 2001. SEP. Geometría dinámica. EMAT, Educación secundaria, México, 2000. SEP. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo. EMAT. Educación secundaria, México, 2000. SEP. Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México, 2000. SEP. Plan de estudios. Educación Básica. Secundaria, SEP, México, 2006. SEP. Programa de estudio. Matemáticas. Educación Básica. Secundaria, SEP, México, 2006. SWOKOWSKI, Earl, Jeffer; A. Cole, Aguilar S. Gerardo. Algebra y trigonometría con geometría analítica. Universidad de Missouri Press, EUA, 2006.
