Manual de Matemáticas Financieras

MANUAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS

Nombre del alumno: ______________________________________________ Grupo: ______________________________________________

Licenciatura: _______________________________________________

Manual de Matemáticas Financieras I

Indice Fracciones

……………………………………………………………………….

2

Logaritmos

……………………………………………………………………….

3

Propiedades de los logaritmos…………………………………………………….

3

Progresiones ……………………………………………………………………….

5

Interés Simple ……………………………………………………………………….

12

Tasas Equivalentes………………………………………………………………….

16

Tiempo Real y Tiempo Aproximado……………………………………………….

19

Fórmula para encontrar en qué tiempo se duplica un capital………………….

20

Descuento

……………………………………………………………………….

23

Ecuaciones de Valores Equivalentes……………………………………………..

28

Interés Compuesto

……………………………………………………………….

35

Tasa nominal, efectiva y equivalente………………………………………………

50

Ecuaciones de valores equivalentes a interés compuesto……………………..

63

Anualidades ……………………………………………………………………….

67

Anualidades vencidas………………………………………………………………

70

Cálculo de renta de una anualidad……………………………………………….

76

Anualidades anticipadas…………………………………………………………..

84

Anualidades generales…………………………………………………………….

87

Amortización ………………………………………………………………………

89

Depreciación ………………………………………………………………………

92

Apuntes Ing. /Lae Jesús Alberto Sánchez Valtierra

Página 1


FRACCIONES

Propias.- Es la fracción que no se pasa de la unidad o el entero. Ejemplo: ½, ¾, ⅝

FRACCIONES

Impropias: Es la fracción que se pasa de la unidad o es igual a esta. Ejemplo: 2/8, 5/4, 9/8 Números Mixtos: Está formada de entero y fracción. Ejemplo: 2½, 3 2/5

Suma y resta de fracciones Para sumar o restar fracciones es necesario que las fracciones tengan el mismo denominador. Se pueden presentar dos casos: 1.-Fracciones con igual denominador Para sumar o restar fracciones de igual denominador, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador. 2.-Fracciones con distinto denominador Para sumar o restar fracciones con distinto denominador: 1.o Obtenemos fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador, para lo cual hemos de reducir a común denominador. 2. o Se suman o se restan los numeradores, dejando el mismo denominador. Multiplicación de fracciones El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores de las fracciones. División de fracciones Inversa de una fracción La inversa de una fracción es otra fracción que tiene por numerador el denominador de la primera, y como denominador, el numerador de la primera. Inversa de a b → b a Al dividir dos fracciones obtenemos otra fracción. Podemos realizarlo de dos formas: 1.o Multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda: 2.o Multiplicamos los términos de ambas fracciones de manera cruzada.


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LOGARITMOS El logaritmo es el exponente al que tenemos que elevar la base para obtener el número. El logaritmo en base “a” de un número “n” es otro número “b” que cumple esta ecuación:

Loga n=b

a

b

Log10 100=2

=n

10 =100 2

Bases de Logaritmos 10

decimales o comunes

e

naturales o neperianos

Log 3510 = 3.545307 Característica

 Mantisa

Aparte, una vez obtenido el resultado se calcula el antilogaritmo para obtener el número real. Log 50 = 1.6989 Antilog 1.6989 = 50

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Log (AB)= log A + log B Log (A/B)= log A – log B Log (Ax) = x log A Logb N = log N Log b

Esta propiedad de cambio de base expresa que todos los logaritmos pueden ponerse en términos de una sola base.


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EJEMPLOS:

1) 85437 (15274) = 125386 Log 85437 + log 15274 – log 125386 = 4.9316 + 4.1839 – 5.0982 = 4.0173 Antilog 4.0173 = 10406.3876 2) (0.3876)2 (1.3979)3 = 2 log 0.3876 + 3 log 1.3979 = 2 (-0.4116) + 3 ( 0.1454) = -0.8232 + 0.4362 = -0.387 Antilog -0.387 = 0.4102 3) 6 ( 1+ i )-5 = 3 Log 6 + log ( 1 + i ) -5 = log 3 Log 6 -5 log ( 1 + i ) = log 3 -5 log ( 1 + i ) = log 3 – log 6 Log ( 1 + i ) = log 3 – log 6 -5 Log ( 1 + i ) = 0.4771 – 0.7781 = 0.0602 -5 1 + i = antilog 0.0602 = 1.1486 1 + i = 1.1486 i = 1.1486 -1 i = 0.1486 4) 3,000 ( 1 + .20 )n = 10,000 Log ( 1.20 )n = log 3.3333 n = log 3.3333 log. 1.20 n = 0.5228 0.0791 n = 6.6093 5) ( 1 + 0.18 )n -1 = 0.35 ( 1.18 )n = 0.35 + 1 n = log 1.18 = log 1.35 n = log 1.35 log 1.18 n = 1.8131


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PROGRESIONES

Es una sucesión de números llamados Progresiones Aritméticas

términos, tales que dos números cualesquiera consecutivos de la sucesión estén separados por una misma cantidad llamada diferencia común. FÓRMULAS: U = t1 + (n-1) d

S e clasifican en:

S = n [ t1 + (n-1) d] 2 S = n ( t1 + U) 2 U = último término de la progresión t = primer término de la progresión d = diferencia n = número de términos S = suma de una progresión

Es una sucesión de números llamados Progresiones Geométricas

términos, tales que dos números cualesquiera consecutivos de la sucesión estén separados por una misma cantidad llamada diferencia común. FÓRMULAS:

U = t1 r n – 1 S = t1 (1 - rn) si r < 1 1-r S = t1 (rn – 1) si r > 1 r-1 r = razón común


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1, 4, 7, 10 . . . creciente Es una progresión aritmética cuya diferencia común es 3

30, 25, 20, 15 . . . decreciente Es una progresión aritmética cuya diferencia común es -5

3, 6, 12, 24, 48 . . . Es una progresión geométrica cuya razón común es 2

-2, 8, -32, 128 . . . Es una progresión geométrica cuya razón común es -4


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EJEMPLOS DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS: 1.- Determine el décimo término y la suma de la siguiente progresión aritmética: 3, 7, 11 . . .

DATOS:

FÓRMULA:

t1 = 3 d=4 n =10

U = t + (n-1) d U = 3 + (10 – 1) 4 U = 3 + (9) (4) U = 3 (36) U = 39

DESARROLLO: S = n [2 t1 + (n-1) d] 2 S = 10 [ 2 (3) + (10 – 1) (4) ] 2 S = 10 6 + 9 (4) 2 S = 10 (42) = 420 = 210 2 2

S = n (t1 + U) 2 S = 10 (3+39) 2 S = 10 (42) = 420 = 210 2 2


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2) Determine el último término y la suma de la siguiente progresión aritmética: 48, 45, 42 . . . Si cuenta con 15 términos.

DATOS:

FÓRMULA:

t1 = 48 d = -3 n =15

U = t1 + (n-1) d U = 48 + (15 – 1)-3 U = 48 + (-42) U=6

DESARROLLO: S = n [2 t1 + (n-1) d] 2 S = 15 [ 2 (48) + (15 – 1) (-3) ] 2 S = 15 96 + (-42) 2 S = 15 (54) = 810 = 405 2 2

3) Determine la suma de los números pares del 1 al 100:

DATOS:

FÓRMULA:

t1 = 2 d=2 n = 50 U = 100

S = n (t1 + U) 2

DESARROLLO:

S = n (t1 + U) 2 S = 50 ( 2 + 100) 2 S=

50 (102) = 5100 = 2550 2 2


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4) Determine el último término y la suma de la siguiente progresión aritmética: 1.00, 1.05, 1.10 . . . Si cuenta con 12 términos.

DATOS:

FÓRMULA:

t1 = 1 d = .05 n = 12

U = t1 + (n-1) d U = 1.00 + (12 – 1) .05 U = 1.00 + (11) (.05) U = 1.00 + 0.55 U = 1.55

DESARROLLO:

S = n (2 t1 + U) 2 S = 12 (1.00 + 1.55) 2 S = 12 (2.55) = 30.6 2 2 S = 15.3

5) Se recibe un préstamo bancario de $12,000.00, el cual se acuerda pagar mediante 12 pagos mensuales de $1,000.00 más intereses sobre saldos insolutos a razón de 5%; ¿qué cantidad de intereses se paga en total?

DATOS:

FÓRMULA:

t1 = 600 d = -50 n = 12

S = n (2 t1 + U) 2

$12,000.00 (0.05%)= 600.00 $11,000.00 (0.05%)= 550.00 $10,000.00 (0.05%)= 500.00 DESARROLLO: S = n (2 t1 + U) 2 S = 12 (2 (600) + (12-1) -50 2 S = 12 (1200 + 11 ( -50 ) 2 S = 12 (650) = 2 S = 7800 = 3900 2


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EJEMPLOS DE PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: 1.- Nos piden la suma de los 10 primeros términos y el último término: 1, 2, 4, 8 DATOS:

FÓRMULA:

t1 = 1 r=2 n =10

U = t1 r n-1 S = t 1 ( rn – 1 ) r-1 DESARROLLO:

U = t1 r n-1

S = t 1 ( rn – 1 ) r-1

U = (1) (2) 10 – 1 S = 1 ( 210 – 1 ) = 210 – 1 = 1023 2-1 1

9

U = 1 (2 ) = 512

2.- Nos piden la suma de los 5 primeros términos y el último término: 2, 2, 2, 3 15 75 DATOS:

FÓRMULA:

t1 = 2 3 r= 1 5

U = t1 r n-1

DESARROLLO:

U= 2 3

1 – ( 1 )5 ____ 5____ 1 - __r__ 5

U= 2 3

1 ____1____ _ 3125____ __4__ 5

U= 2 3

___3124_____ _ 3125____ __4__ 5

U= 2 3

_

15620 __ = _ 12500

31240 __ = 0.83307 37500


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3.- La inflación de un país se ha incrementado en un 40% en promedio durante los últimos 5 años, ¿cuál es el precio actual de un bien que tenía un precio de $100.00 hace 5 años?

DATOS:

FÓRMULA:

t1 = 100 r = 1.4 n=6

U = t1 r n-1

DESARROLLO: U = t1 r n-1 U = 100 ( 1.4 )6-1 U = 100 ( 1.4 )5 U = 100 ( 5.3782 ) U = 537.82 4.- Un jugador de ajedrez le solicitó al Rey que después de haberle enseñado este juego en pago le diese un grano de trigo por el primer cuadro, dos por el segundo, 4 por el tercero y, así sucesivamente; el Rey aceptó, ¿cuántos granos perdió en pago? DATOS:

FÓRMULA:

t1 = 1 r=2 n = 64

U = t1 r n-1

DESARROLLO: U = t1 r n-1 U = 1(2)64-1 U = 1(2)63 U = 1(9.2233) = 9.2233 S = t 1 ( rn – 1 ) r-1 S = 1 __(2)64 -1_ = 1.8446 x 1019 2–1


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INTERÉS SIMPLE En el sistema de interés simple solo el capital devenga intereses, es decir, Los intereses no se capitalizan, no se convierten en capital para ganar dinero.

El interés (o rédito), es una compensación que paga el que recibe el dinero por el provecho que ha podido sacar de él.

ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN UNA OPERACIÓN DE INTERÉS SIMPLE C= Capital (principal, capital invertido) t= Tiempo o plazo I= Interés i= Tasa M= Monto

FÓRMULAS 1) M= C + I

4) C= ____M___ (1+it)

2) I= C i t

5) I= M – C

3) M= C (I + i t)

6) C= M – I


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EJEMPLOS:

1.-

El Sr. López solicitó un préstamo por $20,000.00 para pagarlo 2 meses después, en donde para liquidarlo desembolsó $21,400.00

a) ¿Cuál es el capital? C= 20,000.00

b) ¿Cuál es el tiempo? t= 2 meses c) ¿Cuánto pagó de intereses? M= C + I I= M – C I= 21,400.00 – 20,000.00 I= $1,400.00 d) ¿Cuál es el monto de la operación? M= 21,400.00 e) ¿Qué tasa de interés simple se aplicó? I= C i t i= ___I_____ = __ 1,400_________ Ct 20,000 (2 meses) i= 0.035 x 100 i= 3.5% mensual X 12 i= 42% anual


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2) Se obtiene un crédito por $180,000.00 a 160 días por 30% de interés simple, ¿qué cantidad deberá pagar al vencer su deuda?

DATOS:

FÓRMULA:

C = 180,000.00 t = 160 días i = 30% M= ?

M= C ( 1 + i )

DESARROLLO:

M= 180,000

[(

1 + (o.30) ( 160 360

)]

M= $204,000.00

3.- Martha desea adquirir un inmueble dentro de 2 años, supone que el enganche que habrá de pagar en esa fecha será de $60,000.00; desea tener esa cantidad dentro de 2 años, ¿qué cantidad debe invertir en su depósito de renta fija que rinde 3% de interés mensual simple? DATOS:

FÓRMULA:

t = 2 años M = 60,000.00 i = 3% mensual = 0.36% anual C= ?

C= ____M____ (1+it)

DESARROLLO: C=

60,000.00 = 60,000.00 1 + (0.36) (2) 1.72

C= 34,883.72


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4.- ¿Cuál es la tasa de interés anual si hoy invierto $500,000.00 y en un año recibo $800,000.00?

DATOS:

FÓRMULA:

C = 500,000 M= 800,000 i= ?

I = C I t ; Despejamos i: i= __ I_____ Ct I= M – C I= 800 000 – 500 000 I= 300,000

DESARROLLO: i= __ 300,000____ = (500,000) ( 1 ) i= 0.6 x 100 i= 60% 5.- ¿Qué cantidad debe invertir hoy al 1.8% de interés simple mensual para tener 20,000 dentro de 2 meses? DATOS:

FÓRMULA:

C= ? M= 20,000 i = 1.8% mensual t= 2 meses

C= ____M_____ (1+it)

DESARROLLO: C= __ 20,000______ = 1 + (0.018) ( 2 ) C= ____20,000______ = 1.036 C= $19,305.01


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TASAS EQUIVALENTES Dos tasas de interés con diferentes periodos de conversión son equivalentes si producen el mismo monto compuesto al cabo del mismo periodo de tiempo. 1.- ¿A qué tasa de interés simple anual $2,500.00 acumulan intereses por $500.00 en 6 meses?

DATOS:

FÓRMULA:

C = 2,500 I = 500 t = 6 meses i= ?

I=CIt Despejamos i: i= __ I___ Ct

DESARROLLO: i= __ 500______ = (2 500 ) ( 6 ) i= _____500_____ = 15 000 i= 0.0333 (12) i= 0.4 x 100 i= 40%

2.- Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa de 54% anual?

DATOS: i= 54% anual / 12 SOLUCIÓN:

i= 54 / 12 i= 4.5% mensual


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3.- Encuentre el interés simple de un préstamo de $1,500.00 a 45 días con el 35% de interés anual simple (tiempo comercial) DATOS:

FÓRMULA:

C = 1 500 t= 45 días i = 35% anual = 0.35 / 360

I= C i t

DESARROLLO:

I= 1 500

( _0.35_ )

(45)

=

360 I= 65.62%

4.- Una persona le prestó $400.00 a un amigo y 4 meses después le cobró $440.00, ¿qué tasa anual de interés pagó el amigo? DATOS:

FÓRMULA:

C = 400 M = 440 t = 4 meses i= ?

I=CIt Despejamos i: i= __ I___ Ct

I= M – C I= 440 - 400 I= 40 DESARROLLO: i= __ 40______ = ( 400 ) ( 4 ) i= _____40_____ = 16 000 i= 2.5 (12) i= 0.03 x 100 i= 30%


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5.- José Luis pide un crédito por $200,000.00, ¿cuánto deberá pagar si desea liquidarlo dentro de 27 días, considerando una tasa del 40% de interés simple anual? DATOS:

FÓRMULA:

C = 200 000 t= 27 días i = 40% anual = 0.4 / 360 M= ?

M= C ( 1 + i t )

DESARROLLO:

M= 200 000

( 1+

( _0.4_ ) (27)

)=

360 M= 200 000 (1.03) = M= $206,000.00


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TIEMPO REAL

Y

TIEMPO APROXIMADO



Considera los días exactos

Considera el año comercial de 360 días

¿Cuántos días hay del 1° de Marzo al 1° de Abril? a) Tiempo Real b) Tiempo aproximado

= =

31 días 30 días

¿Cuántos días hay del 15 de Junio al 15 de Diciembre? a) Tiempo Real Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

=

183 días

=

180 días

15 31 31 30 31 30 _15_ 183

b) Tiempo aproximado 30 días x 6 meses = 180

¿Cuántos días hay del 14 de Mayo al 15 de Noviembre? a) Tiempo Real Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

17 30 31 31 30 31 _15_ 185


b) Tiempo aproximado 16 30 30 30 30 30 _15_ 181

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FÓRMULA PARA ENCONTRAR EN QUÉ TIEMPO SE DUPLICA UN CAPITAL 1.- Encuentre el interés simple en tiempo real y aproximado de un préstamo de $1,000.00 a 60 días con el 35% de interés anual simple.

DATOS:

FÓRMULA:

C = 1 000 t = 60 días i = 35 % anual simple = 0.35 I= ?

I=Cit

DESARROLLO: Tiempo Real I= 1 000

Tiempo aproximado

( _0.35_ )

(60)

=

I= 1 000

( _0.35_ )

365

(60)

=

360

I= 57.53%

I= 58.33%

2.- Una señora paga $205.08 con un pagaré de $185.00 firmado el 10 de Mayo con el 38% de interés anual simple, ¿cuándo lo pagó? DATOS:

FÓRMULA:

C = 185 M = 205 i = 38 % anual simple = 0.38 I= 205.08 – 185 = 20.08 t= ?

t= ___I__ Ci

DESARROLLO: Tiempo Real

Tiempo aproximado

t= _______20.08_____ =

t= _______20.08_____ =

(185)

( _0.35_ )

(185)

( _0.35_ )

365 t= 104.25 = 105 días

360 t= 102.82 = 103 días

23 de Agosto

23 de Agosto

MAY 21

JUN 30

JUL 31

AGOS 23


MAY 20

JUN 30

JUL 30

AGOS 23

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3.-María va a depositar $3,500.00 el 13 de Marzo, piensa retirar su inversión el 17 de Julio, la cuenta paga 6% de interés anual simple, ¿cuál será el monto a retirar? DATOS:

FÓRMULA:

C = 3 500 i = 6 % anual simple = 0.06% t= 13 de Marzo al 17 de Julio M= ?

M= C( 1 + i )


(

Tiempo aproximado

M= 3 500 1+

( 0.06 ) (126) ) =

M= 3 500

(1+ ( 0.06 ) (124) ) =

365

360

M= $3,572.49

M= $3,572.33

t= 126 días

t= 124 días

MAR ABR 18 30

MAY 31

JUN 30

JUL 17

MAR ABR 17 30

MAY 30

JUN 30

JUL 17

4.- El 14 de Agosto una persona adquiere una licuadora que cuesta $300.00 y la pagó el 26 de Noviembre con un abono de $380.00, ¿qué tasa de interés anual simple pagó? DATOS:

FÓRMULA:

C = 300 M = 380 t= 14 de Agosto al 26 de Noviembre M= ?

i= __I__ Ct


Tiempo aproximado

i= _____80_______ x 365 x 100 (300) (104)

i= _____80_______ x 360 x 100 (300) (102)

i= 93.58%

i= 94.11%


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5.- ¿Cuál será el monto el 24 de Diciembre de un capital de $10,000.00 depositado el 15 de Mayo del mismo año en una cuenta de ahorro que paga 49% anual simple?

DATOS:

FÓRMULA:

C = 10 000 i = 49 % anual simple = 0.49% M=?

M= C ( 1 + i t )

t= Real = 223 Aprox. = 219 DESARROLLO: Tiempo Real M= 10 000

Tiempo aproximado

(1 + ( 0.49 ) (223) ) =

M= 10 000

(1+ ( 0.49 ) (219) ) =

365

360

M= 10 000 ( 1.2993 )

M= 10 000 ( 1.2980 )

M= $12,993.69

M= $12,980.83

Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

16 30 31 31 30 31 30 24_ 223


15 30 30 30 30 30 30 24_ 219

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DESCUENTO

Descuento Real o Justo

Este se calcula sobre

el valor real que se anticipa y no sobre el nominal FÓRMULAS D= C d t M= C + D M= C ( 1 + d t )

“Descuento” Descuento Comercial

Este se calcula sobre

el valor nominal (es decir, el monto) Es el valor que el documento tiene escrito para ser pagado en la fecha de vencimiento.

FÓRMULAS D= M d t C= M - D C= M ( 1 - d t ) D Descuento d Tasa de descuento


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EJEMPLOS: 1.- Una persona tiene un pagaré por $185,000.00, el cual se vence dentro de 2 meses y lo desea adelantar; calcule el valor actual del documento. Tasa de descuento 20% anual DATOS:

FÓRMULA:

M = 185 000 t = 2 meses / 12 d = 20%

M= C ( 1 + d t ) Despejar C: C= ____M____ (1+dt)

DESARROLLO:

PARA SACAR DESCUENTO REAL O JUSTO:

C=

C= ____M____ (1+dt)

___ 185 000_____ = 1+

( 0.20 ) (2) 12

C= $179,032.25 PARA SACAR DESCUENTO COMERCIAL:

C=

C= ____M____ (1+dt)

___ 185 000_____ = 1-

( 0.20 ) (2) 12

M= $178,833.33


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2.- Una empresa descuenta un documento por el cual recibe $945.05. El tipo de descuento es del 25% y el valor nominal del documento era de $1,000.00, ¿cuánto tiempo faltaba para el vencimiento de su obligación? DATOS:

FÓRMULA:

C = 945.05 M = 1 000 d = 25% anual = 0.25% t=?

D= C d t Despejar t: t= ___D__ C d

DESARROLLO:

D= 1 000 - 945.05 = 54.95 PARA SACAR DESCUENTO COMERCIAL:

t=

t= __D__ M d

___ 54.95_____ = (1 000) (0.25)

t= 0.2198 x 360 = t= 79.128 = 80 días PARA SACAR DESCUENTO REAL:

t=

t= __D__ C d

___ 54.95_____ = ( 945.05 ) (0.25)

t= 0.2325 x 365 = t= 84.89 = 85 días


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3.- BANORTE descuenta a un cliente un pagaré con valor nominal de $2’500,000.00 que vence en 60 días con una tasa del 20%. Ese día BANORTE descuenta en el Banco Agrícola ese mismo documento al 18%, usando el descuento comercial, ¿cuál fue la utilidad de BANORTE?

DATOS:

FÓRMULA:

M = 2 500 000 t = 60 días d = 20%

C= M ( 1 - d t )

DESARROLLO:

PRIMERO SACAR DESCUENTO COMERCIAL C= 2 500 000

(

1-

( 0.20 ) ( 60 ) 360

C= $2’416,666,667 D= M – C D= 2 500 000 - 2 416 666.67 D= 83 333.33 C= 2 500 000

(

1-

( 0.18 ) ( 60 ) 360

C= $2’425,000.00 D= M – C D= 2 500 000 - 2 425 000 D= 75 000

-

83 333.33 75 000.00 8,333.33 Esta es la ganancia de BANORTE


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4.- ¿Cuál es el descuento real de un documento que vence dentro de 50 días, que tiene un valor nominal de $3,850.00, si se le descuenta al 18% 30 días antes de su vencimiento? DATOS:

FÓRMULA:

M = 3 850 d = 18% = 0.18% t = 50 días – 30 días transcurridos = 20 días D=?

M= C ( 1 + d t ) Despejar C: C= ___M__ 1+dt

DESARROLLO: C=

_____ 3 850____ = 1 + ( 0.18 ) ( 30 )

C= $3,793.87 D= M – C D= 3 850 - 3 793.87 = 56.13 5.-¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron $1,439.79; si se descontó comercialmente al 17% 85 días antes de su vencimiento? DATOS:

FÓRMULA:

C = 1 439.79 d = 17% = 0.17% t = 85 días D=?

C= M ( 1 - d t ) Despejar M: M= ___C____ (1-dt)

DESARROLLO: M=

_____ 1 439.79____ = 1 - ( 0.17 ) ( 85 ) 360

M= $1,499.99


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ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES Es muy frecuente que en las operaciones financieras se hagan 2 ó más transacciones diferentes que deban replantearse para expresarlas en una operación única.

PASOS

PARA

RESOLVER ECUACIONES EQUIVALENTES

DE

VALORES

PASO 1. Colocar todas las cantidades en una escala de tiempo y valor. DEUDAS NÚMEROS

TIEMPO 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

PAGOS LETRAS

PASO 2. Llevar todas las deudas a su fecha de vencimiento inicial con su tasa de interés específica.

PASO 3. Llevar todas mis deudas y pagos a una “fecha focal” “fecha focal” = Fecha donde se igualan cargos y abonos.

PASO 4. Igualar: Pagos = Deudas NOTA: a) Siempre que se calculen los pagos en la fecha de vencimiento y esa sea la fecha focal, lo que busco es el monto. b) Y cuando la fecha focal es antes de la fecha de vencimiento, lo que busco es el capital.


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EJEMPLOS: 1.- La Sra. Martínez adeuda $5,000.00, mismos que ya incluyen los intereses, y debe pagarlos dentro de 8 meses. Hace un pago de $3,000.00 dentro de 2 meses, ¿cuánto deberá pagar al cabo de los 8 meses si se considera la operación al 30% anual y se usa como fecha focal dentro de 8 meses?

1

0

1

2

3

4

5 A

6

7

8

9

10

$3,000.00

DATOS:

FÓRMULA:

1 5,000.00 A 3,000.00 i= 30% anual

M= C ( 1 + i t )

DESARROLLO: M= 3 000 [1 + ( 0.30 ) ( 6 )] = 12 M= $3,450.00 Igual a lo de abajo: 5 000 - 3 450 + x X= 5 000 – 3 450 X= $1,550.00


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2.- El Nacional Monte de Piedad cobra 5.5% mensual por los préstamos que hace sobre prendas pignoradas. ¿Cuánto tendrá que pagar dentro de 3 meses una persona que empeñó hace un mes un televisor, por el cual le prestaron $800.00 y el día de hoy empeña un reloj por el cual le prestan $750.00?

HOY 1= $800.00 T.V.

Hace un mes

0

1

2 3 4 2= $750.00 RELOJ

DATOS:

FÓRMULA:

1 800.00 2 750.00 i= 5.5% mensual = 0.055%

M= C ( 1 + i t )

5

DESARROLLO: M= 800 [1 + ( 0.055 ) ( 4 )] = M= $976.00 M= 750 [1 + ( 0.055 ) ( 3 )] = M= $873.75 976.00 – 873.75 = 1,849.75


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3.- Una pareja de recién casados adquiere un refrigerador que cuesta $2,200.00 y paga $800.00 de contado. El saldo acuerda pagarlo con 3 pagos iguales a 30, 60 y 90 días; el interés que cobran es del 30% anual simple, ¿a cuánto asciende cada uno de esos pagos? Valor Abono Saldo

-

2 200 800 1 400 1 $1,400.00

30%

30

60

90

X C

X B

X A

FÓRMULA: M= C ( 1 + i t )

DESARROLLO: M= 1 400 [ 1 + ( 0.30 ) ( 90 )] = 360 M= $1,505.00 A= M = X B= M= X [ 1 + ( 0.30 ) ( 30 )] = 1.025 X 360 C= M= X [ 1 + ( 0.30 ) ( 60 )] = 1.05 X 360 1 505= X + 1.025 X + 1.05 X 1 505= 3.075 X X= 1 505 3.075 X= $489.43


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4.- ¿Cuál será el precio de contado de un automóvil que se pagó con: a) Un enganche de $48,500.00 b) Un abono de $38,500.00 realizado 6 meses después de la compra c) Un pago final de $35,500 8 meses después de la compra El costo del préstamo fue del 2% mensual simple.

0

1

2

3

4

1) 48 500

5

6

7

2) 38 500

8

9

10

3) 35 500

FÓRMULA: C= ____M______ (1+it)

DESARROLLO: C= __ 35 500___ 1 + (0.02) (8) C= $30,603.44

C= __ 38 500___ 1 + (0.02) (6) C= $34,375.00

X= 48 500 + 30 603.44 + 34 375 = $113,478.44


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5.- Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $200 000.00 con 40% de interés simple y que vence dentro de 4 meses; además, debe pagar otra deuda de $150,000.00 contraída hace 2 meses con 35% de interés simple y que vence dentro de 2 meses. Considerando un interés del 42%, ¿qué pago deberá hacer hoy para saldar sus deudas si se compromete a pagar $100,000.00 dentro de 6 meses?

200 000

40% 150 000 35%

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 5 100 000

6

Fecha focal 42%

FÓRMULA: M= C ( 1 + i t )

DESARROLLO: M= 200 000 [ 1 + ( 0.40 ) ( 1 )] =

M= $280,000.00 ACTUALIZAR EL PAGO:

1) C= ____M____ (1+it) C= ____280 000___ = [ 1 + ( 0.42 ) ( 4 )] 12 C= 245,614.03


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2) C= 150 000 [ 1 + ( 0.35 ) ( 4 )] 12 C= 167,500.00 C= ____M____ (1+it) C= ___167 500____ [ 1 + ( 0.42 ) ( 2 )] 12 C= 156,542.05 ACTUALIZAR EL PAGO C= ____M____ (1+it) C= ___100 000____ [ 1 + ( 0.42 ) ( 6 )] 12 C= 82 644.62

X= 245 614.03 + 156 542.05 =

402 156,08 - 82 644.62 319 511.46


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INTERÉS COMPUESTO

FÓRMULA:

M= C ( 1 + i )n

M= Monto C= Capital i= Tasa de interés por periodo n= Número de periodos de capitalización EJEMPLOS: 1.-Se depositan $500.00 en un banco a una tasa de interés del 18% anual capitalizable mensualmente. a)¿cuál será el monto acumulado en 2 años? b) ¿cuánto ganó por interés?

DATOS:

FÓRMULA:

C = 500 i = 18% anual capitalizable mensualmente = 0.18% 12 n = 2 años = 24 meses M=?

M= C ( 1 + i )n

DESARROLLO: M=

500 ( 1 + ( 0.18 )24 12

M= $714.75

M= C + I I= M – C 714.75 – 500 = 214.75


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2.- Una persona deposita hoy $50,000.00 a precio fijo por 2.20% de interés mensual y no retira su depósito y reinvierte sus intereses; ¿cuánto tendrá en su cuenta 3 meses después? DATOS:

FÓRMULA:

C = 50 000 i = 2.20% interés mensual n = 3 meses M=?

M= C ( 1 + i )n

DESARROLLO: M=

50 000 ( 1 + 0.0220 )3

M= $53,373.13

3.- Se obtiene un préstamo bancario de $15,000.00 a plazo de un año y con interés del 12% convertible trimestralmente; ¿cuál es el monto que debe liquidarse? DATOS:

FÓRMULA:

C = 15 000 i = 12% c0nvertible trimestralmente = 0.12 12 n=1 M=?

M= C ( 1 + i )n

DESARROLLO: M=

15 000 ( 1 + ( 0.12 )4 4

M= $16,882.63


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4.- Se obtiene un préstamo bancario de $15,000.00 a plazo de 7 meses y medio al 12% convertible trimestralmente; ¿cuál es el monto que habrá de liquidarse?

DATOS:

FÓRMULA:

C = 15 000 i = 12% convertible trimestralmente = 0.12 4 n = 7 meses y medio = 2.5 trimestres M=?

M= C ( 1 + i )n

DESARROLLO: M=

15 000 ( 1 + ( 0.12 )4 4

M= $16,150.43 5.- Una persona deposita su dinero en el banco a un plazo de 2 años y a una tasa de 0.15% convertible semestralmente. Debido a una emergencia retira su dinero a los 15 meses; ¿cuál será el monto acumulado que se le entregó si depositó $12,000.00? DATOS:

FÓRMULA:

C = 12 000 i = 0.15% convertible semestralmente = 0.15% 2 n = 15 meses = 2.5 M=?

M= C ( 1 + i )n

DESARROLLO: M=

12 000 ( 1 + ( 0.15 )2.5 2

M= $14,378.13


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EJEMPLOS: 1.- ¿Cuánto debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $50,000.00 dentro de 3 años y la tasa de interés es del 20% convertible semestralmente? DATOS:

FÓRMULA:

M = 50 000 i = 0.20% anual convertible semestralmente = 0.20 2 n = 3 años = 6 semestres C= ?

C= _____M_____ ( 1 + i )n

DESARROLLO: C= ____50 000____ = ( 1 + 0.20 )6 2 C= ___50 000_____ = 1.771561 C= $28,223.69 2.- ¿Qué cantidad debe depositarse ahora en una cuenta de inversión que paga interés del 25% convertible trimestralmente si se desea tener $50,000.00 dentro de 3 años? DATOS:

FÓRMULA:

M = 50 000 i = 0.25% anual convertible trimestralmente = 0.25 4 n = 3 años = 12 trimestres C= ?

C= _____M_____ ( 1 + i )n

DESARROLLO: C= ____50 000____ = ( 1 + 0.24 )12 4 C= ___50 000_____ = 2.069889992 C= $24,155.87


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3.- ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un documento por $65,000.00 que incluye capital e intereses al 30% convertible trimestralmente y que tiene vencimiento en 18 meses? DATOS:

FÓRMULA:

M = 65 000 i = 0.30% anual convertible trimestralmente = 0.30 2 n = 18 meses = 6 trimestres C= ?

C= _____M_____ ( 1 + i )n

DESARROLLO: C= ____65 000____ = ( 1 + 0.30 )6 4 C= ___60 000_____ = 1.543301526 C= $42,117.49 4.- ¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $250,000.00 en un plazo de 19 meses y la tasa es del 13% convertible bimestralmente? DATOS:

FÓRMULA:

M = 250 000 i = 13% convertible bimestralmente = 0.13 6 n = 19 meses = 9.5 bimestres C= ?

C= _____M_____ ( 1 + i )n

DESARROLLO: C= ____250 000____ = ( 1 + 0.13 )9.5 6 C= ___250 000_____ = 1.818952147 C= $203,939.98


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5.- Una distribuidora automotriz ofrece a sus clientes un 10% de descuento en la compra de contado de un automóvil nuevo que cuesta $50,000.00, o bien, 50% del precio al contado y 50% a 6 meses sin descuento y sin intereses, ¿qué alternativa debe escoger si el dinero puede ser invertido a una tasa de interés mensual del 4%?

DATOS: 1° Sacamos el costo al contado: 50 000 X 0.10 = 5 000 - 5 000 45 000 === Precio al contado menos 10% de descuento. 2 A crédito: 50% del precio al contado: 45 000 / 2 = 22,500.00 PRECIO DE CONTADO: PRECIO A CRÉDITO:

$45,000.00 $25,000.00 la mitad del precio

EN EL BANCO: M= 25 000 ( 1 + 0.4 )6 = 31 632.97 + 25 000.00 56 632.97 - 50 000.00 6 632.97 - 5 000.00 1 632.97

C= ___25 000___ = ( 1.04)6 C= ___25 000___ = 1.265319018 C= $19,757.86


Página 40


EJEMPLOS: TASA DE INTERÉS 1.- ¿A qué tasa de interés convertible semestralmente debe depositarse un capital de $28,223.70, para que al cabo de 3 años se logre un monto de $50,000.00? DATOS:

FÓRMULA:

C = 28 223.70 M = 50 000 n = 3 años = 6 semestres i= ? convertible semestralmente =

M= C ( 1 + i )n

i 2

DESARROLLO: 50 000 = 28 223.70 ( 1 +

i )6 2

(1+

i )6 = ___50 000__ = 2 28 223.70

(1+

i )6 = 1.7715 2

1+

i 2

= ( 1.7715 )

1+

i 2

= 1.0999

i 2

= 1.0999 - 1

i 2

= 0.0999

i = 0.0999 ( 2 ) i = 0.1999 x 100 i = 20%


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2.- ¿A qué tasa de interés convertible trimestralmente debe depositarse un capital de $24,156.00 para que al cabo de 3 años produzca $50,000.00? DATOS:

FÓRMULA:

C = 24 156 M = 50 000 n = 3 años = 6 semestres i = ¿? convertible trimestralmente =

M= C ( 1 + i )n

i 4

DESARROLLO: 50 000 = 2 156 ( 1 +

i )12 4

(1+

i )12 = ___50 000__ = 4 24 156

(1+

i )12 = 2.069879119 4

1+

i 4

= ( 1.7715 )

1+

i 4

= 1.0624

i 4

= 1.0624 - 1

i 4

= 0.0624

i = 0.0624 (4 ) i = 0.249984601 x 100 i = 25%


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3.- Se depositan $3,000.00 en un banco a una tasa de interés del 17% anual capitalizable semestralmente, ¿cuánto se gana por intereses en un plazo de 17 meses? DATOS:

FÓRMULA:

C = 3 000 M = 50 000 n = 17 meses = 17/6= 2.8 i = 17% anual capitalizable semestralmente =

M= C ( 1 + i )n

0.17 2

DESARROLLO: M= 3 000 ( 1 + 0.17 2

)2.8

M= 3 769.85 I= M – C 3 769.85 – 3 000 = I= 769.85 4.- ¿Cuánto debe depositarse en un banco si se desea un monto de $5,000.00 dentro de 10 meses y la tasa de interés es del 18% convertible semestralmente? DATOS:

FÓRMULA:

C= ? n= 10 meses = 5 i = 18% anual convertible semestralmente =

C= ____M_____ ( 1 + i )n 0.18 2

DESARROLLO: C= ____5 000_____ = ( 1 + 0.18 )5 2 C= _____5 000___ = 1.159274074 C= 4,313.04


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5.- ¿Cuánto debe pagarse a la Caja Popular que hizo un préstamo de $10,000.00 a año y medio, si la tasa aplicada es del 0.25% anual convertible mensualmente?

DATOS:

FÓRMULA:

C = 10 000 n = 1 año y medio = 18 meses i = 0.25% anual convertible mensualmente =

M= C ( 1 + i )n

0.25 12

DESARROLLO: M= 10 000 ( 1 + 0.25 12

)18

M= 10 000 (1.449396365) = M= 14 493.96


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DESPEJAR TIEMPO EN INTERÉS COMPUESTO M= C (1 + i )n

1.- ¿En cuánto tiempo se duplica una inversión de $1,000.00, si se considera una tasa de interés: a) 36% anual convertible mensualmente b) 24% anual convertible bimestralmente

Inciso a):

DATOS:

FÓRMULA:

C = 1 000 M = 2 000 i = 36% anual convertible mensualmente =

M= C ( 1 + i )n

0.36 12

DESARROLLO: 2 000 = 1 000 ( 1 + 0.36 )n 12 ( 1 + 0.03 )n = 2 000 1 000 1.03 = 2 nlog 1.03 = log 2 n= log 2 = log 3 n= 23.441 meses = 23 meses 13.2 días

1 La fracción .44 la multiplico por 30 para transformar los días

Inciso b):


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DATOS:

FÓRMULA:

C = 1 000 M = 2 000 i = 24% anual convertible bimestralmente =

M= C ( 1 + i )n

0.24 6

DESARROLLO: 2 000 = 1 000 ( 1 + 0.24 )n 12 ( 1 + 0.04 )n = 2 000 1 000 1.04 = 2 nlog 1.04 = log 2 n=

log 2 = log 1.04

n= 17.67 = 17 bimestres 40.2 días 2.- ¿En cuánto tiempo reduce su valor un peso al 50% dada una inflación del 10% anual? DATOS:

FÓRMULA:

C = $1.00 M = 0.50 centavos i = 10% anual

M= C ( 1 + i )n

DESARROLLO: 0.50 = 1 ( 1 + 0.10 )n ( 1.10 )n = 0.5 1 ( 1.10 )n = 0.5 nlog 1.10 = log 0.5 n= __log 0.5_ = log 1.10 n= 7.27 años .27 x 12 = 3.24 meses .24 x 30 = 7 días n= 7 años, 3 meses, 7 días


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3.- ¿En cuánto tiempo se triplica un capital si la tasa de interés es del 30% y se compone semestralmente? Expresar el resultado en meses.

DATOS:

FÓRMULA:

C= 1 M=3 i = 30% semestral = 0.30 2

M= C ( 1 + i )n

DESARROLLO: 3 = 1 ( 1 + 0.30 )n 2 3 = 1 ( 1 + 0.15 )n = ( 1.15 )n = __3__ 1 n ( 1.15 ) = 3 n= __log 3___ = log 1.15 n= 7.86 semestres

7.86 x 6 = n= 47.16 meses


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4.- ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si la tasa de interés es del 30% y se compone trimestralmente? Expresa el resultado en años.

DATOS:

FÓRMULA:

C= 1 M=2 i = 30% trimestral = 0.30 4

M= C ( 1 + i )n

DESARROLLO: 2 = 1 ( 1 + 0.30 )n 4 ( 1 + 0.075 )n = __2__ 1

nlog 1.075 = log 2 n= __log 2____ = log 1.075 n= 9.58 / 4 que son los trimestres que hay en un año n= 2.39 años


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5.- Una inversión duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de interés, ¿en cuánto tiempo lo triplica? DATOS:

FÓRMULA:

C= 1 M=2 n= 18 meses i= ?

M= C ( 1 + i )n

DESARROLLO: 1° buscamos el interés 2 = 1 ( 1 + i )18

(1+ i)= 2 1 + i = 1.0392 i = 1.0392 – 1 i= 0.0392

2° buscamos el tiempo 3 = 1 ( 1 + 0.0392 ) ( 1.0392 ) = 3 nlog 1.0392 = log 3 n=

log 3__ = log 1.0392

n= 28.57 .57 x 30 = 17.1 n= 28 meses 17.1 días


Página 49


Tasa nominal

Tasa Efectiva

Es la tasa e interés anual que se pacta y que rige durante el lapso que dure la operación.

Es aquella en la cual el interés se capitaliza en forma trimestral semestral, anual, etc. . . ., y la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual.

FÓRMULA:

ie= ( 1 + J )m - 1 m ie= tasa de interés efectiva J= tasa nominal (anual convertible) m= número de periodos de capitalización en un año

Tasa Equivalente

Es cuando dos tasas de Interés anuales con diferentes Periodos de capitalización Producen al cabo de un año El mismo interés compuesto. FÓRMULA: ( 1 + i )n = ( 1 + J )m m


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EJEMPLOS: Tasa Efectiva 1.- ¿Cuál es la tasa efectiva que se recibe de un depósito bancario de $1,000.00 pactado al 18% de interés anual convertible mensualmente? DATOS: Ie= ? J= 18% int. anual convertible mensualmente = 0.18 12 m= 12 meses ( 1 año )

FÓRMULA: ie= ( 1 + J )m - 1 m

DESARROLLO: ie= ( 1 + 0.18 )12 -1 12 ie= 0.1956 x 100 ie= 19.56% interés simple anual

M= C ( 1 + i )n 1 000 ( 1 + 0.18 )12 = 12 M= 1 195.61

I= M – C 1 195.61 – 1 000 = I= 195.61 I= C i t i= __I___ Ct 195.61_____ = 0.1956 x 100 1 000 ( 1 año ) i= 19.56%


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2.- ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $250,000.00, que se pactó al 16% de interés anual convertible trimestralmente? DATOS:

FÓRMULA:

Ie= ? J= 16% int. anual convertible trimestralmente = 0.16 4 m= 1 año ( 12 meses )

ie= ( 1 + J )m - 1 m



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3.- ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $15,000.00 que se pactó al 10% de interés anual convertible semestralmente?

DATOS: Ie= ? J= 10% int. anual convertible semestralmente = 0.10 2 m= 1 año



M= C ( 1 + i )n 15 000 ( 1 + 0.10 )2 = 2 M= 16 537.50 I= M – C I= 16 537.50 – 15 000 = I= 1 537.50 I= C i t i= __I___ Ct i=

1 537.50_____ = 0.1025 x 100 15 000 ( 1 año )

i= 10.25%


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4.-¿ Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $50,000.00 que se pactó al 20% de interés anual convertible bimestralmente? DATOS: Ie= ? J= 20% int. anual convertible bimestralmente = 0.20 6 m= anual ( 1 año )



M= C ( 1 + i )n M= 50 000 ( 1 + 0.20 )6 = 6 M= 60 871.30 I= M – C I= 60 871.30 – 50 000 = I= 10 871.30 I= C i t i= __I___ Ct i=

10 871.30_____ = 0.2174 x 100 50 000 ( 1 año )

i= 21.74%


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5.- ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo de $25,000.00 que se pactó al 6% de interés anual convertible bimestralmente? DATOS: Ie= ? J= 6% int. anual convertible bimestralmente = 0.06 6 m= anual ( 1 año )


DESARROLLO: ie= ( 1 + 0.06 )6 -1 6 ie= 0.0615

M= C ( 1 + i )n M= 25 000 ( 1 + 0.06 )6 = 6 M= 26 538.00 I= M – C I= 26 538 – 25 000 = I= 1 538 I= C i t i= __I___ Ct i=

1 538_____ = 25 000 ( 1 año )

i= 0.0615


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EJEMPLOS: Tasa Nominal 1.- ¿Cuál es la tasa nominal convertible trimestralmente que produce un rendimiento del 40% anual? DATOS:

FÓRMULA:

J= ?

ie= ( 1 + J )m - 1 m

Ie= 40% anual convertible trimestralmente = 0.40 4 m= 4

DESARROLLO: 0.40 = ( 1 + J )4 -1 4 ( 1 + J )4 = 0.40 + 1 4 ( 1 + J )4 = 1.40 4 1 + J = ( 1.40 ) 4 1 + J = 1.0877 4 J = 1.0877 - 1 4 J = 0.0877 4 J = 0.0877 ( 4 ) J= 0.3508 X 100 J= 35.08%


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2.- Determinar la tasa nominal convertible semestralmente que produce un rendimiento anual del 35%

DATOS:

FÓRMULA:

J= ?

ie= ( 1 + J )m - 1 m

Ie= 35% anual convertible semestralmente = 0.35 2 m= 2

DESARROLLO: 0.35 = ( 1 + J )4 -1 2 ( 1 + J )4 = 0.35 + 1 2 ( 1 + J )4 = 1.35 2 1 + J = ( 1.35 ) 2 1 + J = 1.1618 2 J = 1.1618 - 1 2 J = 0.1618 2 J = 0.1618 ( 2 ) J= 0.3236 X 100 J= 32.36%


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3.- Determinar la tasa nominal convertible mensualmente que produce un rendimiento del 7.2 anual

DATOS:

FÓRMULA:

J= ?

ie= ( 1 + J )m - 1 m

Ie= 7.2% anual Convertible mensualmente = 0.072 12 m= 12

DESARROLLO: 0.072 = ( 1 + J )12 -1 12 ( 1 + J )12 = 0.072 + 1 12 ( 1 + J )12 = 1.072 12 1 + J = ( 1.072 ) 12 1 + J = 1.0058 12 J = 1.0058 - 1 12 J = 0.0058 12 J = 0.0058 ( 12 ) J= 0.0696 X 100 J= 6.96 %


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1.- Determinar la tasa nominal convertible trimestralmente que resulte equivalente a una tasa del 25% convertible semestralmente. DATOS:

FÓRMULA:

J= ?

( 1 + i )n = ( 1 + J )m m

ie= 25% anual

DESARROLLO: ( 1 + 0.25 )2 = ( 1 + J )4 = 4 ( 1.25 )2 = ( 1 + J )4 = 4 ( 1 + J )4 = 1.265625 4 1 + J = ( 1.265625 ) 4 1 + J = 1.06066 4 J = 1.06066 - 1 4 J = 0.06066 4 J = 0.06066 ( 4 ) J= 0.242640 X 100 J= 24.26% M= 100 ( 1 + 0.25 )2 = 1.265625 X 100 = 126.56% 2 M= 100 ( 1 + 0.25 )4 = 1.265576451 X 100 = 126.55% 4


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2.- ¿Qué tasa nominal convertible mensualmente resulta equivalente a una tasa del 14% convertible trimestralmente.

DATOS:

FÓRMULA:

J= ?

( 1 + i )n = ( 1 + J )m m

ie= 14% anual

DESARROLLO: ( 1 + 0.14 )4 = ( 1 + J )12 = 4 12 ( 1.1475 )2 = ( 1 + J )12 = 12 ( 1 + J )12 = 1.1475 12 1 + J = ( 1.1475 ) 12 1 + J = 1.011531452 12 J = 1.011531452 - 1 12 J = 0.011531452 12 J = 0.011531452 ( 12 ) J= 0.138377428 X 100 J= 13.83% M= 100 ( 1 + 0.1383 )2 = 1.1474 X 100 = 114.74% 12 M= 100 ( 1 + 0.14 )4 = 1.14752 X 100 = 114.75% 4


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3.- ¿Qué tasa de interés mensual resulta equivalente a una tasa del 12% semestral? DATOS:

FÓRMULA:

J= ?

( 1 + i )n = ( 1 + J )m m

ie= 12% anual

DESARROLLO: ( 1 + 0.12 )2 = ( 1 + J )12 = ( 1 + J )12 = 1.122 ( 1 + J )12 = 1.2544 1 + J = ( 1.2544 )

1+

J = 1.01906

J= 1.01906 -1 J= 0.01906

M= 100 ( 1 + 0.12 )2 = 1.25.44% M= 100 ( 1 + 0.1906 )12 = 125.44%


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4.- ¿Qué tasa de interés trimestral resulta equivalente a una tasa del 12% semestral? DATOS:

FÓRMULA:

J= ?

( 1 + i )n = ( 1 + J )m m

ie= 12% anual

DESARROLLO: ( 1 + 0.12 )2 = ( 1 + J )4 = ( 1 + J )4 = 1.122 = ( 1 + J )4 = 1.2544 1 + J = ( 1.2544 )

1+

J = 1.0583

J= 1.0583 -1 J= 0.01583 X 100 J= 5.83%

M= 100 ( 1 + 0.12 )2 = 1.25.44% M= 100 ( 1 + 0.0583 )4 = 125.43%


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ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES A INTERÉS COMPUESTO

1.- ¿Qué cantidad debe pagarse trimestralmente para saldar una deuda de 3 pagos mensuales de $100.00 cada uno dada una tasa del 2% mensual?

i= 0.02

0

1

2

3

100 A

100 B

100 C

M= C ( 1 + i )n A M= 100 (1.02)2 = 104.04 B M= 100 (1.02)1 = 102.00 C M= 100

= 100.00 $ 306.04


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2.- ¿Qué cantidad debe pagarse semestralmente para saldar una deuda de 3 pagos bimestrales de $300.00 cada uno dada una tasa del 3% bimestral?

i= 0.03

0

1

2

3

300 A

300 B

300 C

M= C ( 1 + i )n

A M= 300 (1.03)2 = 318.27 B M= 300 (1.03)1 = 309.00 C M= 300

= 300.00 $ 927.27

3.- Resuelva el mismo problema tomando como fecha focal el mes 0 M= C ( 1 + i )n Despejar C: C= ____M_____ ( 1 + i )n C= ___300______ = 291.26 ( 1 + 0.03 )1

C= ___300______ = 282.77 ( 1 + 0.03 )2 C= ___300______ = 274.54 ( 1 + 0.03 )3 =848.57


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4.- Se tiene una deuda bancaria de $500,000.00 pagadera en 2 abonos de $250,000.00 cada uno a 3 y 6 meses; se desea liquidar en 3 pagos bimestrales, el primero de $100,000.00, y el segundo de $200,000.00, ¿ de cuánto será el tercer pago considerando una tasa del 36% anual convertible mensualmente?

i= 0.36%

250 000

0

1

2

Primer bimestre Pagó $100,000.00

3

250 000

4

5

6

Segundo bimestre pagó $200,000.00 Se va a actualizar 4 meses

1 M= C ( 1 + i )n 2 M= 250 000 ( 1 + 0.36 )3 = 273,181.75 12 + M= 250,000.00 TOTAL = 523,181.75

A M= 100 000 ( 1 + 0.36 )4 = 112 550.88 12 +

B M= 200 000 ( 1 + 0.36 )2 = 212,180.00 12

324,730.88

523 181.75 - 324 730.88 = 198 450.87


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5.- En la compra de una TV con valor de $3,000.00 se paga $1,500.00 de contado y se firma un documento por la diferencia a pagar a 6 meses, considerando un interés del 2% mensual ¿de cuánto es el importe del documento? i= 0.02% 3 000 – 1 500 = 1 500 M= 1 500 ( 1 + 0.02 )2 M= 1 689.24


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ANUALIDADES Conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo.

Inmediatas vencidas Diferidas ciertas Inmediatas anticipadas Diferidas

SIMPLES Inmediatas vencidas Diferidas contingentes Inmediatas anticipadas Diferidas

ANUALIDADES Inmediatas vencidas Diferidas ciertas Inmediatas anticipadas Diferidas

GENERALES Inmediatas vencidas Diferidas contingentes Inmediatas anticipadas diferidas


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TIEMPO: Anualidad Cierta: sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Anualidad Contingente:

cuando la fecha del primer pago, la fecha del último pago o ambos, no se fijan de antemano; depende de algún hecho que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuándo.

INTERESES: Anualidad Simple:

cuando el periodo de pago coincide con el de la capitalización de los intereses.

Anualidad General:

el periodo de pago no coincide con el periodo de

capitalización.

PAGOS: Anualidad Vencida:

los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al

final de cada periodo.

Anualidad Anticipada: los pagos se realizan al principio de cada periodo.

INICIACIÓN: Anualidad Inmediata: es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo que sigue inmediatamente a la formalización del trato.

Anualidad diferida: se pospone la realización de los cobros o pagos.


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EJEMPLOS:

De los siguientes planteamientos diga qué tipo de anualidad es:

1.- Una mina en explotación tiene una producción anual de 600.000 dólares y se calcula que se agotará en 5 años, ¿cuál es el valor actual de la producción si el rendimiento del dinero es del 11%? Anualidad simple, cierta, vencida e inmediata

2.- Una persona adquiere en Septiembre un televisor a crédito y acepta liquidarlo mediante pagos entregados al principio de cada uno de los 12 bimestres comenzando en Enero del año siguiente y con intereses del 20% anual efectivo. Anualidad general, cierta, anticipada y diferida

3.- Se vende un camión en mensualidades que deben liquidarse el primer día de cada mes a partir del próximo mes con interés del 12% anual con capitalización quincenal. Anualidad general, cierta, anticipada e inmediata

4.- El paga de la renta de una casa-habitación Anualidad simple, cierta, anticipada e inmediata

5.- Una pensión por jubilación que asigna una cantidad mensual. Anualidad simple, contingente, anticipada e inmediata


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ANUALIDADES VENCIDAS FÓRMULAS: M= R [(1 + i )n -1] i C= R [(1 + i )-n -1] i R= Renta o pago por periodo C= Capital M= Monto

PROBLEMAS: 1.- Qué cantidad se acumularía en un semestre si se depositan $100,000.00 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente?

DATOS:

FÓRMULA:

R= 100 000 i= 36% anual Conv. Mensualmente 0.036 12 n= 6

M= R [(1 + i )n -1] i

100 000 [ (1 + 0.36)6 -1 ] M= _____________12________ 0.36 12 M= 19 405.22965 = 0.03 M= $646,840.98


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2.- ¿ Cuál es el monto de $20,000.00 semestrales depositados durante 4 años y medio en una cuenta bancaria que rinde 18% capitalizable semestralmente? DATOS:

FÓRMULA:

R= 20 000 i= 18% anual Capitalizable semestralmente 0.18 2 n= 4 y medio = 9 semestres

M= R [(1 + i )n -1] i

20 000 [ (1 + 0.18)9 -1 ] M= _____________ 2________ 0.18 2 M= 23,437.86559 0.09 M= $260,420.72

3.- ¿Qué cantidad se acumula en una cuenta de ahorros si se depositan $200.00 mensuales durante 5 años si el banco promete 8.5% capitalizable mensualmente? DATOS:

FÓRMULA:

R= 200 i= 8.5% anual Capitalizable mensualmente 0.085 12 n= 5 años

M= R [(1 + i )n -1] i

200 [ (1 + 0.085)60 -1 ] M= ___________12________ 0.085 12 M= 105.4601195 7.083333333 M= $14,888.48


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4.- ¿Qué cantidad se acumulará en un trimestre si se depositan $100.00 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 30% anual convertible mensualmente? DATOS:

FÓRMULA:

R= 100 i= 30% anual Convertible mensualmente 0.30 12 n= 3 años

M= R [(1 + i )n -1] i

100 [ (1 + 0.30)3 -1 ] M= __________12________ 0.30 12 M= 7.6890625 0.025 M= $307.56

5.- El Dr. Chaparro deposita $100.00 al mes de haber nacido su hijo, continua haciendo depósitos mensuales por la misma cantidad hasta que su hijo cumpla 18 años, para ese día entregarle lo acumulado como regalo de cumpleaños. Suponga que durante ese tiempo la cuenta pagó 8.52% anual convertible mensualmente. DATOS:

FÓRMULA:

R= 100 i= 8.52 anual Convertible mensualmente 00852 12 n= 18 años (18 x 12)

M= R [(1 + i )n -1] i

100 [ (1 + 0.0852)216 -1 ] M= __________12________ 0.0852 12 M= 360.97856222 7.1 M= $50,842.05


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PROBLEMAS: 1.- ¿Cuál es el valor actual de una renta bimestral de $4,500.00 depositados al final de cada uno de 7 bimestres, si la tasa de interés es del 9% bimestral? DATOS:

FÓRMULA:

R= 4 500 i= 9% bimestral = 0.09%

C= R [ 1- (1 + i )n ] i

n= 7 bimestres M= 4 500 [ (1- (1 + 0.09 )-7 ] 0.09 M= $22,648.28

2.- ¿Cuál es el valor en efectivo de una anualidad de $1,000.00 al final de cada 3 meses durante 5 años, suponiendo un interés anual del 16% anual convertible trimestralmente? DATOS:

FÓRMULA:

R= 1 000 i= 16% anual Convertible trimestralmente 0.16 4 n= cada 3 meses durante 5 años = 4 x 5 = 20

C= R [ 1- (1 + i )n ] i

1 000 [ (1 + 0.16)-20 ] C= __________ 4________ 0.16 4 C= 543.6130538 0.04 C= $13,590.32


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3.- ¿Qué conviene más para comprar un auto: a) Pagar 260,000.00 de contado b) 130,000.00 de enganche y 12,000.00 al final de cada uno de los 12 meses siguientes, si el interés se calcula a razón del 18% convertible mensualmente.

DATOS:

FÓRMULA:

R= 12 000 i= 18% anual Convertible mensualmente 0.18 12 n= 12

C= R [ 1- (1 + i )n ] i

12 000 [ (1 + 0.18)- 12 ] C= __________ 12_____ = 0.18 12 C= 1963.350937 = 0.015 C= $130,890.06 + 130,000.00 260,890.06

4.-Se calculan los intereses a una tasa del 22% convertible trimestralmente, ¿qué pago único de inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $800.00 si el primero de ellos se hace dentro de 3 meses? DATOS: R= 800 i= 22% anual Convertible trimestralmente 0.22 4 n= 15 pagos trimestrales

FÓRMULA: C= R [ 1- (1 + i )n ] i

800 [ (1 + 0.22)- 15 ] C= __________ 4________ 0.22 4 C= 441.6535615 = 0.055 C= 8,030.06


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5.- Calcular monto y capital de $40,000.00 anuales durante 6 años a una tasa del 22% DATOS: R= 40 000 i= 22% anual n= 63 años

FÓRMULA: M= R [(1 + i )n -1] i C= R [ 1- (1 + i )n ] i

M= 40 000 [ (1 + 0.22)6 -1 ] 0.22 M= 91,892.15836 = 0.22 M= $417,691.6289

C= 40 000 [ 1- (1 + 0.22)-6 ] 0.22 C= 27 868.87697 = 0.22 C= $126,676.7135


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CÁLCULO DE RENTA DE UNA ANUALIDAD FÓRMULAS M= R [(1 + i )n -1] i Despejar R:

C= R [ 1- (1 + i )n ] i Despejar R:

R=

R= ____Ci_____ 1- (1 + i )n

M [(1 + i )n -1]

EJEMPLOS: 1.- Una persona adquiere hoy a crédito una computadora que cuesta $19,750.00 y conviene pagarla con 4 mensualidades vencidas, ¿cuánto tendrá que pagar cada mes si le cobran 1.8% de interés mensual? DATOS:

FÓRMULA:

C= 19,750.00 i= 1.8% interés mensual n= 4 mensualidades vencidas

R= ____Ci_____ 1-(1 + i )n

R= 19 750 ( 0.018 ) = 1-(1 + 0.018)4 R= ___355.5________ = 0.068873068 R= 5,161.66 2.- ¿Cuánto debe depositar el Sr. Juárez al final de cada mes durante los próximos 7 años en un fondo que paga 13.5% convertible mensualmente con el objeto de acumular $100,000.00 al realizar el último depósito? DATOS:

FÓRMULA:

C= 100 000 i= 13.50 conv. Mens. 0.135 12 n= 7 años (12 x 7 = 84 )

R= ____Ci_____ [(1 + i )n -1]

R= 100 000 ( 0.135/12) = [(1 + 0.135/12 )84 -1] R= 100 000 (0.01125) 1.559274728 R= 721.489


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3.- Una empresa contrata una deuda de $100,000.00 en un banco, el interés es del 22% anual convertible mensualmente, ¿cuánto tendrá que pagar mensualmente la empresa para saldar su deuda en 15 meses? DATOS:

FÓRMULA:

C= 100 000 i= 22 % anual conv. Mens. 0.22 12 n= 15 meses

R= ____Ci_____ 1- (1 + i )-n

R= 100 000 ( 0.22/12) = [(1 + 0.22/12 )-15 -1] R=

1 833.33 = 0.238533849

R= 7,685.84

4.- Laura compra a crédito un refrigerador de $6,750.00 y conviene pagarlo con 6 mensualidades vencidas, ¿cuánto tendrá que pagar al mes si le cobran 8% de interés mensual? DATOS:

FÓRMULA:

C= 6 750 i= 8% interés mensual 0.08

R= ____Ci_____ 1- (1 + i )-n

n= 6 meses R=

6 750 (0.08) = 1- (1 + 0.08)-6

R=

540 = 0.369830373

R= 1,460.12


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5.- Una empresa contrata una deuda de $1’000,000.00 con un banco. El interés es del 13% anual convertible mensualmente; ¿cuánto tendrá que pagar mensualmente para saldar su deuda en 3 años? DATOS:

FÓRMULA:

C= 1’000 000 i= 13% interés anual conv mens. 0.13/12

R= ____Ci_____ 1- (1 + i )-n

n= 3 años = 36 meses R=

1’000 000 ( 0.13/12 1- (1 + 0.13/12)-36

R= 10,833.33333 = 0.311521599 R= 33,693.95


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EJEMPLOS: 1.- Lucero debe pagar hoy $350,000.00, como no tiene esa cantidad disponible platica con su acreedor y acuerda pagarle mediante 6 abonos mensuales de $62,000.00, el primero de ellos dentro de 1 mes, ¿qué tasa de interés va a pagar?

DATOS:

FÓRMULA: C= R [ 1- (1 + i )n ] i

C= 350 000 n= 6 R= 62 000 350 000 = 62 000 [ 1- (1 + i )-6 ] i 1- (1 + i )-6 = 350 000 i 62 000 1- (1 + i )-6 = 5.64516129 i

0.01

-5.79547647

X

-5.64516129

0.02

-5.60143089

0.15031518 -0.01

-0.01-X

0.19404558

0.01–X = 0.15031518 -0.01 0.19404558 0.01 –X = -0.007746385153 0.01-X = 0.7746385153 -0.01 X= 0.017746385 X 100 X= 1.77% mensual


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2.- Una lavadora cuesta $1,250.00 y se vende a 12 pagos mensuales de $125.00, el primero de ellos dentro de un mes, ¿qué tasa de interés se paga?

DATOS:

FÓRMULA:

C= 1 250

C= R [ 1- (1 + i )n ] i

n= 12 R= 125 1 250 = 125 [ 1- (1 + i )-12 ] i 1- (1 + i )-12 = 1 250 i 125 1- (1 + i )-6 = 5.64516129 i

0.02

-10.57534122 0.57534122

-0.01

-0.02-X

X 0.03

-10

0.62133723

-9.95400399

0.02–X = 0.57534122 -0.01 0.621337230 0.02 –X = 0.925972551 (-0.01) -X= 0.009259725512 – 0.02 X= 0.01010740274 X 100 X= 1.074027449% mensual


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3.- Un televisor de $449.50 se vende con $49.50 de cuota inicial y 18 pagos mensuales de $27.50, el primero de ellos dentro de un mes, ¿qué tasa de interés se va a pagar?

DATOS:

FÓRMULA:

C= 449.50

C= R [ 1- (1 + i )-n] i

n= 18 R= 27.50 449.50 – 49.50= 400 400 = 27.50 [ 1- (1 + i )-18 ] i 1- (1 + i )-18 = 400 i 27.50 1- (1 + i )-18 = 14.54545455 i

0.02

-14.99203125 0.44657625

-0.01

-0.02-X

X 0.03

14.545455

1.23851817

-13.75351308

0.02–X = 0.44657625 -0.01 1.23851817 0.02-X = 0.36057303 (-0.01) 0.02-X= -0.0036057303 -0.02 X= 0.02360573 X 100 X= 2.36% mensual


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4.- ¿A qué tasa de interés se deben hacer los depósitos semestrales vencidos de $1,200.00 para acumular $8,000.00 en 3 años?

DATOS:

FÓRMULA: M= R [ (1 + i )-n-1] i

M= 8 000 n= 3 años R= 1 200 8 000 = 1 200 [ (1 + i )6 -1] [ (1 + i )6 -1] = 8 000 = 6.666666667 1 200

0.05

6.80191281

-0.05-X -0.01

0.135246143 X 0.04

6.666666667

0.16893735

6.63297546

0.05–X = 0.135246143 0.01 0.16893735 0.05-X = 0.8005699814 (0.01) 0.05-X= -0.00800569814-0.05 X= 0.041994301X 100 X=4.199430186 %


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5.- Usted desea juntar o reunir un monto de $5,000.00, para ello lo hará mediante 5 abonos mensuales vencidos de $762.00, ¿qué tasa de interés anual debe de tener para reunir la cantidad?

DATOS:

FÓRMULA: M= R [ (1 + i )-n-1] i

M= 5 000 n= 6 abonos mensuales R= 772 5 000 = 772 [ (1 + i )5-1] [ (1 + i )5-1] = 5 000 = 6.476683938 772

0.04

6.63297546

-0.04-X

0.156291522

-0.01

X 0.03

6.476683938

0.16456558

6.46840988

0.04–X = 0.156295223 0.01 0. 16456558 0.04-X = 0.9497721819 (0.01) X= -0.00949721819 -0.05 X= -0.030502781X 100 X= 3.05%


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ANUALIDADES ANTICIPADAS

MONTO: Maa= R [(1 + i )n -1] ( 1 + i ) i Maa= R (1 + i )n+1 -1 -1 i

CAPITAL: Caa= R [ 1- (1 + i )n ] ( 1 + i ) i Maa= R 1+ (1 + i )n+1 i


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EJEMPLOS: 1.- Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $250.00 al principio de cada mes, si la cuenta paga 1.3% mensual de interés ¿cuánto habrá ahorrado durante el primer año? Maa= R [(1 + i )n -1] ( 1 + i ) i Maa= 250 [(1 + 0.13)12 -1] ( 1 + 0.013) = 3,265.98 0.013

Maa= R (1 + i )n+1 -1 -1 i

Maa= 250

(1 + 0.013 )12 +1 -1 -1 0.014

=3

2.- ¿Qué renta anual anticipada es equivalente a una renta mensual anticipada de $680.00 a una tasa de 25% convertible mensualmente? Caa= R [(1 + i )n -1] ( 1 + i ) i Caa= 680 [ 1-(1 + 0.25/12)-12 ] ( 1 + 0.25/12 = 7,304.87 0.25/12


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3.- La Sra. Gavaldón debe pagar $90,000.00 dentro de 2 años y para reunir esta cantidad decide hacer 12 depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 4.2% bimestral de interés, ¿de cuánto deben ser sus depósitos si hoy realiza el primero? R= _____M___ (1 + i )n + 1 -1

R= 90 000 (1 + 0.242)12 + 1 -1= 5,682.63 0.042


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ANUALIDADES GENERALES Las anualidades generales son aquellas en las que el periodo de pago no coincide con el de capitalización, por consiguiente se tiene que convertir la tasa de interés al periodo de pago. Ejemplo: Encontrar el monto de un conjunto de 4 pagos trimestrales vencidos de $5,000.00 i= 36% anual convertible mensualmente ( 1 + i )4 = ( 1 + 0.36/12 )12 ( 1 + i )4= 1.425760887 1 + i = (1.425760887) 1/4 1 + i = 1.092727 i= 1.092727 – 1 i= 0.092727 trimestral M= R [(1 + i )n -1] i M= 5 000 [(1 + 0.092727 )4 -1] 0.092727 M= 22,957.76


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Encontrar el monto de un conjunto de 10 depósitos vencidos de $2,500.00 , si el interés que se gana es del 30% convertible semestralmente ( 1 + i )12 ( 1 + 0.30/2 )2 ( 1 + i )12 = (1.15)2 1 + i = (1.3225) 1/12 i= 1.023567073 -1 i= 0.023567073 mensual M= R [(1 + i )n -1] i M= 2 500 (1 + 0.023567073 )10 -1] 0.023567073 M= 27,824.98

A qué cantidad pagada hoy equivalen 25 pagos quincenales vencidos de $280.00, si el interés es del 25% convertible semestralmente ( 1 + i )24 = (1 + 0.25/2 )2 ( 1 + i )24 = (1.265625) 1 + i = (1.265625)1/24 i= 1.009863581 -1 i= 0.009863581 quincenal C= R [ 1- (1 + i )-N] i C= 280 [ 1- (1 + 0.00986358055)-25] 0.00986358055 C= 6,176.89


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AMORTIZACIÓN En el área financiera significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos que, generalmente son iguales y se realizan a intervalo de tiempo iguales. Amortizar es extinguir una deuda actual mediante pagos periódicos.

Ejemplo: Sergio Campos contrae hoy una deuda de $95,000.00 al 18% convertible semestralmente que amortizará mediante 6 pagos semestrales iguales, el primero de los cuales vence dentro de 6 meses. a) calcular el valor de los pagos:

R= ____Ci_____ 1- (1 + i )n

R= ____95 000 (0.09)_____ 1- (1 + 0.09 )-6 R= ____8 550_____ = 8 550____ 1- (0.596267326) 0.403732674 R= 21,177.37

0 1 2 3 4 5 6

PAGO 0 21,177.37 21,177.37 21,177.37 21,177.37 21,177.37 21,177.37

INT. S/EL SALDO 0 8,550.00 7,413.54 6,174.79 4,824.55 3,352.80 1,748.59


AMORTIZACIÓN 0 12,627.37 13,763.83 15,002.81 16,352.81 17,824.57 19,428.83

SALDO 95,000.00 82,372.63 68,608.80 53,606.21 37,253.40 19,428.83 0

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Calcule el valor de los pagos y realice la tabla de amortización para saldar un adeudo de 4,000.00 contratado al 42% convertible bimestralmente, si la deuda ha de quedar saldada al cabo de un año hacienda pagos bimestrales comenzando dentro de 2 meses.

R= ____Ci_____ 1- (1 + i )n

R= ____4 000 (0.07)_____ 1- (1 + 0.07 )-6 R= ____280_____ __= 1- 0.666342223

280____ 0.333657776

R= 839.18

BIM. 0 1 2 3 4 5 6

PAGO 0 839.18 839.18 839.18 839.18 839.18 839.18

INT. S/EL SALDO 0 280 240.85 198.97 154.16 106.20 54.90


AMORTIZACIÓN 0 559.18 598.33 640.20 685.02 732.98 784.29

SALDO 4,000.00 3,440.82 2,842.49 2,202.29 1,517.27 784.29 0

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DERECHOS ADQUIRIDOS POR EL DEUDOR Y SALDO A FAVOR DEL ACREEDOR Resulta fácil ver que, por ejemplo, en una operación de compra venta a crédito después de que el deudor ha realizado algunos pagos, ha adquirido parcialmente el bien, mientras que el acreedor, al haber recibido esos pagos, ya no es prioritario de todos los derechos sobre el bien, sino solo de una parte (el saldo a su favor) En general, en cualquier operación de amortización de una deuda y en cualquier momento: Derechos del Deudor + Derechos del Acreedor = Valor de la Operación

FÓRMULA: SALDO= C (1 + i)n - R [ (1 + I )n ]- 1 i

Ejemplo:

Se tiene una deuda de $80,000.00 contratado al 10% convertible semestralmente que se liquida con 6 pagos semestrales (pagos vencidos)

R= ____Ci_____ 1- (1 + i )-n

R= ____80 000 (0.05)_____ 1- (1 + 0.05 )-6 R= 15,761.39

BIM. 0 1 2 3 4 5 6

PAGO 0 15 761.39 15 761.39 15 761.39 15 761.39 15 761.39 15 761.39

INT. S/EL SALDO 0 4 000 3 411.9305 2 794.457525 2 146.110901 1 465.346946 750.5447933


AMORTIZACIÓN 0 11,761.39 12,349.4595 12,966.93248 13,615.2791 14,296.04305 15,010.92

SALDO 80 000 68,238.61 55,889.1505 42,922.21802 29,306.93892 15,010.89587 0

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DEPRECIACIÓN Es la pérdida de valor que sufre un bien desde el momento en el que se adquiere, por el uso que se le da o bien por el transcurso mismo del tiempo; exceptuando a los terrenos y algunos metales. Esta pérdida debe reflejarse contablemente con el fin de: a) Determinar el costo de los bienes o servicios que se generan con dichos activos. b) Establecer un fondo de reserva que permita reemplazar el bien al final de su vida útil.

Cargos por depreciación: Son los cargos que periódicamente se realizan a los resultados por la depreciación del bien y se crea un fondo para contar con los recursos necesarios para reemplazarlo al concluir su vida útil.

Valor en libros: Es la diferencia entre el valor original y la depreciación acumulada a una fecha determinada, el cual no necesariamente corresponde a su valor de mercado.

Valor de salvamento o valor de desecho: Es el valor que tiene el activo al final de su vida útil, y debe ser igual al valor en libros en esa fecha.

La base de depreciación de un activo es igual a su costo original menos su valor calculado de salvamento, es la cantidad que debe ser cargada a resultados en el transcurso de su vida activa.

Agotamiento: Es el concepto que se utiliza en el caso de los activos que no pueden reemplazarse, es decir, la pérdida progresiva de valor por la reducción de su cantidad aprovechable. Ejemplo esto son las minas que, por la extracción de que son objeto, van disminuyendo paulatinamente su capacidad y su valor, hasta que se agotan totalmente.


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OBJETIVOS DE LA DEPRECIACIÓN:

1. Reflejar en los resultados la pérdida de valor del activo. 2. Crear un fondo interno para financiar la adquisición de un nuevo activo al finalizar la vida útil del antiguo.

NOTACIONES UTILIZADAS: C= Costo original del activo S= Valor de salvamento (S puede ser negativo) n= Vida útil calculada en años B = C – S= Base de depreciación del activo Dk= Cargo por depreciación por el año k(1

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MÉTODOS PARA CALCULAR LA DEPRECIACIÓN:

Método de Línea Recta.- Es el más simple y el que más se utiliza. Es el único aprobado por las autoridades para cumplir con las disposiciones fiscales al respecto. Este método supone que la depreciación anual es la misma durante toda la vida útil del activo. De acuerdo con ello, la base de depreciación se divide entre el número de años de vida útil calculada y se determina el cargo que anualmente se hará al fondo de reserva y a los resultados. Al final de la vida útil, la depreciación acumulada más el valor de salvamento del bien debe ser igual al valor de reposición.

Ejemplo: Se compra un equipo de cómputo con valor de $16,000.00 y se calcula que su vida útil será de 4 años, antes de que deba se reemplazado por equipos más modernos. Su valor de desecho se calcula en $2,500.00

a) Determinar la depreciación anual por el método de línea recta. b) Elaborar una tabla de depreciación.

Solución: Utilizando la fórmula D= B = C – S n n D=

16 000 – 2 500 = 4

13 500 4

D= 3 375

De esta forma, la depreciación anual será de $3 375, cantidad que se incrementará en el fondo de reserva para depreciación y disminuirá en el valor en libros del activo.


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Esto se refleja claramente en la siguiente tabla:

Año 0 1 2 3 4

Kilómetros recorridos 0 3 375 3 375 3 375 3 375

Depreciación anual 0 3 375 6 750 10 125 13 500

Depreciación acumulada 16 000 12 625 9 250 5 875 2 500

Método de porcentaje fijo.- Este método tiene en consideración el hecho de que la depreciación es mayor en los primeros años de uso y menor en los últimos. Para reflejarlo se carga un porcentaje fijo del valor en libros del activo a los resultados de la empresa. Dicho valor en libros disminuye cada año y, por lo tanto, la depreciación disminuye también consecuentemente. La depreciación anual estará dada por la fórmula: Dk= Vk-1 d El valor en libros al final del primer año estará dado por:

V1 = V0 – V0d = C - Cd Donde V es el valor en libros y d la tasa de depreciación anual fijada. En el segundo año, el valor en libros estará dado por:

V2 = V1 – V1d = V2(1-d) = C(1-d)(1-d)(1-d) Por lo tanto, se está en presencia de una progresión geométrica cuyo término común es (1-d)

El valor en libros al final de cada año puede determinarse utilizando la fórmula: Vk = C(1-d)k En el último año, el valor de salvamento será igual al valor en libros: S= C(1-d)n = Vn


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Dados S y n, se puede determinar la tasa de depreciación utilizando la fórmula S= C(1-d)n = Vn Este método solo puede aplicarse si el valor de salvamento es positivo; de lo contrario, esta fórmula carecería de sentido. En caso de que el valor de desecho calculado fuese 0, puede sustituirse por 1 para poder aplicar dicha fórmula.

Ejemplo: Una compañía compra una camioneta para el reparto de su mercancía en $75,000.00, calcular que su vida útil será de 5 años y que al final de ella su valor de desecho será de $10 000

a) Determinar la tasa de depreciación d que debe aplicarse b) Elaborar la tabla de depreciación correspondiente

Solución: Es este caso se conoce el valor de desecho y el número de años de vida útil. S= C(1-d)n 10 000 = 75 000(1-d)5 10 000 = (1-d)5 75 000 0.13333333 = (1-d)5 (0.13333333)1/5 = 1-d 0.66832506 = 1-d d = 1 – 0.668325 d = 0.33167494 d = 33.1675%

Este porcentaje se aplica para calcular la siguiente tabla de depreciación correspondiente; si existe diferencia, debido al redondeo de las cifras, se debe ajustar en el último cargo por depreciación.


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Año

Kilómetros Depreciación recorridos anual 0 0 0 1 24 875.63 24 875.63 2 16 625.00 41 500.63 3 11 110.90 52 611.53 4 7 425.70 60 037.23 5 4 962.78 65 000.00* *La diferencia de 0.01 se debe a redondeo.

Depreciación acumulada 75 000.00 50 124.38 33 499.37 22 388.47 14 962.77 10 000.00

Valor en libros 0.331675 0.331675 0.331675 0.331675 0.331675 0.331675

Método de suma de dígitos.- Este método al igual que el del porcentaje fijo, es un método acelerado de depreciación que asigna un cargo mayor a los primeros años de servicio y lo disminuye con el transcurso del tiempo. Para determinar el cargo anual se multiplica la base de depreciación del activo por una fracción que se obtiene de la siguiente manera:

1. Se suman los dígitos (suma de dígitos) de 1 a n de los años de vida esperada del activo. Ejemplo: Si un activo tiene una vida esperada de 4 años, se suman los dígitos enteros correspondientes a los años de servicio esperados: 1+2+3+4 = 10. Esta cifra también puede determinarse utilizando la siguiente fórmula:

s = n(n+1) 2 En el caso anterior se tiene:

s= 4(4+1) 2 s= 4(5) 2 s= 10 La cifra que así se obtenga será el denominador de la fracción a depreciar.

2. Los dígitos correspondientes a los años de vida útil del activo se ordenan inversamente al tiempo y así, inversamente, se asignan a cada uno de los años de vida útil. Estos serán los numeradores de la fracción.


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Ejemplo: En el caso del activo con vida de 4 años se tiene:

Año: Años en orden invertido: Suma de dígitos: Fracción que se depreciará:

1 4 10 _4__ 10

2 3 10 _3_ 10

3 2 10 _2_ 10

4 1 10 _1_ 10

3. La fracción que así se obtenga se multiplica por la base de depreciación del activo (C-S) y se obtiene el cargo anual. En consecuencia se tiene que:

D1 = n (C-S) S y generalizando:

D1 = n - 1 (C-S) s

Dn = 1 (C-S) s

Dk = n-k+1 (C-S) s

La depreciación acumulada (Ak) se obtiene multiplicando la base de depreciación (CS) por la suma de las fracciones acumulada hasta ese año. Ejemplo:

Se compra mobiliario de oficina con valor de $8 975, se espera que su vida útil sea de 5 años y tenga un valor de desecho de $2 000 a) Elaborar la tabla de depreciación usando el método de suma de dígitos. Solución: 1. Se determina la base de depreciación: B=C–S B= 8 975 – 2,000 B= 6 975

2. Se calcula el denominador de la fracción (suma de dígitos): n=5

s = n(n+1) 2 s = 5 (6) 2 s= 15


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3. Se determinan los numeradores de las fracciones: Año: Años en orden invertido: Fracción que se depreciará: _

Cabe destacar que

5 15

4 15

1 5 5_ 15

2 4 4 15

3 3 3 15

3 15

2 15

1 = 15 15 15

4 2 2 15

5 1 1 15

4. Se multiplica cada fracción por la base de depreciación para determinar el cargo de cada año.

Este procedimiento puede simplificarse con la utilización de las fórmulas como se verá en la siguiente tabla.

Año

Fracción

Base de depreciación

Depreciación anual

Depreciación acumulada

0 1 2 3 4 5

0 5/15 4/15 3/15 2/15 1/15

0 6 975 6 975 6 975 6 975 6 975

0 2 325 1 860 1 395 930 465

0 2 325 4 185 5 580 6 510 6 975

Valor en libros 8 975 6 650 4 790 3 395 2 465 2 000

Método por unidad de producción o servicio.- Al adquirir un activo se espera que dé servicio durante un determinado periodo (años, días, horas), o bien que produzca una cantidad determinada de kilos, toneladas, unidades, kilómetros, etc. Si se conoce la vida esperada del bien en función de estos parámetros, puede depreciarse de acuerdo con las unidades de producción o servicio que genera durante un periodo determinado.


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Ejemplo:

Una compañía arrendadora de autos adquiere un automóvil para su flotilla con un costo de $152 000. La empresa calcula que la vida útil del automóvil para efectos de arrendamiento es de 60 000 km y que, al cabo de ellos, el valor de deseco de la unidad será de 62 000. El kilometraje recorrido por la unidad durante los 3 primeros años fue:

Años 1 2 3

Kilómetros 24 000 22 000 14 000

a) Determinar el monto de depreciación por kilómetro recorrido. b) Elaborar la tabla de depreciación correspondiente.

Solución:

En primer lugar se determina la base de depreciación: B=C–S B = 152 000 – 62 000 B = 90 000

Esta base de depreciación se distribuye entre los kilómetros “útiles” para efectos de arrendamiento con el fin de encontrar la depreciación por kilómetro. d/km = 90 000 60 000 d/km = $1.50

La depreciación por kilómetro es de $1.50. Conociendo este dato, la tabla siguiente muestra la depreciación correspondiente:


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Año 0 1 2 3

Kilómetros recorridos 0 24 000 22 000 14 000

Depreciación anual 0 36 000 33 000 21 000

Depreciación acumulada 0 36 000 69 000 90 000

Valor en libros 152 000 116 000 83 000 62 000

Método del fondo de amortización.- Este método toma en consideración los intereses que gana el fondo de reserva que se va constituyendo; por lo tanto, el incremento anual del fondo estará dado por la suma del cargo anual por depreciación más los intereses ganados en el periodo de referencia. La aportación anual al fondo de amortización se deriva de la fórmula M= R (1+i)n -1 I Para determinar el pago periódico se despeja R: R=

_____Mi_____ (1+i)n -1

En este caso M = B, pues es el monto que se debe acumular al cabo de n años, a una tasa de interés i y R = D, el cargo anual que debe realizarse al fondo. Por lo tanto Dk = B ____i_____ = ___Bi______ = _____Bi____ (1+i)n -1 (1+i)k -1 (1+i)n -1 Para determinar la depreciación acumulada Ak calcula el monto de un pago periódico D a un plazo k y a una tasa de interés i por periodo: Ak = D ___(1+i)k -1__ i Donde: Ak =D _(1+i)k -1; i

M= R __(1+i)n -1__ i

El monto acumulado al cabo de n años debe ser igual, como ya se señaló, a la base de depreciación del activo. Ejemplo: Se adquiere mobiliario nuevo para un hotel. Su costo de adquisición es de $40,000.00 y se calcula que tendrá una vida útil de 5 años, al cabo de los cuales su valor de desecho será de 0. El interés vigente es del 35% anual.


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a) Determinar el cargo anual por depreciación utilizando el método del fondo de amortización. b) Elaborar la tabla de depreciación correspondiente. Solución: En primer lugar se calcula la base de depreciación: B=C–S B = 40 000 – 0 B = 40 000

Acto seguido, mediante la fórmula D = B ____i____, se determina el cargo anual por depreciación: (1+i)n -1 D = B ____i_____ (1+i)n -1 D = 40 000 ____0.35____ (1+0.35)5 -1 D = 40 000 ____0.35______ 4.48403344 -1 D = 40 000 ____0.35______ 3.48403344 D = 40 000(0.10045828) D = 4018.33

La aportación que se debe hacer anualmente al fondo de amortización es de $4,018.33

La siguiente tabla de depreciación que se presenta es equivalente a una tabla de amortización, pero con la adición de una columna para anotar el valor en libros.


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Años 0 1 2 3 4 5 6

Depósito anual 0 4 018.33 4 018.33 4 018.33 4 018.33 4 018.33 4 018.33

Intereses ganados 0 0 1 406.42 3 305.08 5 868.27 9 328.58 19 908.34

Depreciación anual 0 4 018.33 5 424.75 7 323.41 9 886.6 13 346.91 39 999.99

Depreciación acumulada 0 4 018.33 9 443.08 16 766.48 26 653.08 39 999.99

Valor en libros 40 000.00 35 981.67 30 556.92 23 233.52 13 346.92 0.01

Como puede observarse, en épocas de inflación y altas tasas de interés, el monto de las aportaciones que realiza la empresa es relativamente pequeña, pues el grueso de la depreciación está dado por los intereses que gana el fondo. Esta situación se invierte si los intereses que gana el fondo son bajos. Depreciación en épocas inflacionarias.- En épocas inflacionarias, el rápido incremento de los precios de todos los bienes y servicios impiden que un sistema de depreciación basada en costos históricos cumpla con los objetivos arriba mencionados, pues si la base de depreciación se mantiene sin actualizar, los precios de los bienes no revelarán los costos actuales de producción, ni el fondo que se establezca permitirá reemplazar al bien. Valor de reposición

Cuando las organizaciones enfrentan situaciones de alta inflación sus encargados de finanzas tienen una gran responsabilidad: hacerlas productivas descontando el efecto de la inflación. Esto es, el importe que se necesitará embolsar en el futuro para reponer un activo que se encuentra en servicio en un momento determinado. Este cálculo resulta complejo, pues influyen varios factores:

a) la vida útil esperada del activo b) La obsolencia del activo c) La inflación esperada


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Ejemplo:

¿Cuál es el valor de reposición de un equipo cuyo costo de adquisición es de $5,000, si su vida útil esperada es de 4 años y se prevé que la inflación anual promedio será de 30%? Solución: Se aplica la fórmula del monto e interés compuesto y se obtiene: M = C(1+i)n M = 5 000 (1+0.30)4 M = 5000 (2.8561) M = 14 280.50 El valor de reposición esperado en 4 años es de $14,280.00


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Manual de Matemáticas Financieras

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