Manual de Experimentacao Agraria

UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE

Manual Experimentação Agrária

Gilead Mlay, Prof. Associado, Departamento de Produção e Protecção Vegetal, Faculdade de Agronomia e Engenharia Florestal

Sérgio Dista, Assistente Estagiário, Departamento de Matemática e Informática, Faculdade de Ciências e

Inácio C. Maposse, Prof. Auxiliar, Departamento de Produção e Protecção Vegetal, Faculdade de Agronomia e Engenharia Engenharia Florestal

Experimentação Agrária


CAPITULO I: INTRODUÇÃO

Experimento é um inquérito planeado para obter factos novos ou para confirmar resultados de estudos prévios. O objectivo final da experimentação é a produção de informação que pode ser usada na tomada de decisões. O problema com experimentos biológicos é a existência de grande variação que é inerente às nas unidades experimentais. Esta variação incontrolável incontrolável influencia os efeitos experimentais que se pretende estudar. Exemplo: Ensaios para comparar variedades da mesma cultura (ex: variedades de milho). Para fazer a comparação, a área experimental é dividida em parcelas, e sementes das variedades são semeadas em mais de uma parcela por variedade. No fim do experimento, podemos podemos fazer comparações das variedades com base em variáveis medidas. Contudo, experiência mostra que quando a mesma variedade é produzida em todas as parcelas existirá ainda a variação da produção entre parcelas. As características principais desta variação são:

i. ii. iii.

Parcelas vizinhas têm resultados mais semelhantes do que parcelas distantes (afastadas). Pode existir um gradiente de factores de crescimento(ex: fertilidade do solo) que vai criar diferenças na expressão das variáveis medidas nas parcelas. Se o mesmo ensaio for repetido em anos diferentes ou em campos diferentes, pode haver mudanças significativas na produção média.

Com a situação acima referida, coloca-se a questão: como podemos planificar um experimento de modo a ser possível possível separar separar os efeitos efeitos experi experimenta mentais is da variação variação incontrolá incontrolável? vel? Como podemos podemos analisa analisarr os dados dados do ensai ensaioo de modo modo que que possamos possamos tirar conclusõe conclusões, s, e/ou e/ou decisõe decisõess válidas válidas? ?

Uma abordagem científica de experimentação inclui os seguintes elementos: i. O Plano de Pesquisa: a. Reconhecimento que existe um problema b. Formulação do problema. Precisa de identificar as causas principais do problema c. Os objectivos de pesquisa. O que é que o investigador pretende estudar estudar e porquê? ii. Escolha de factores e seus níveis iii. Especificação de variáveis a medir iv. Definição do espaço de inferência para o experimento v. Escolha das unidades experimentais vi. Escolha de delineamento experimental vii. Colocação aleatória dos tratamentos às unidades experimentais viii. viii. Esboço da análise que corresponde ao delineamento escolhido, incluindo o modelo estatístico que é a base de ANOVA ix. Colecção de dados x. Análise Análise de de dados dados xi. Interpretação de Resultados e Conclusões

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Manual de Experimentação Agrária



CAPITULO I: INTRODUÇÃO

Experimento é um inquérito planeado para obter factos novos ou para confirmar resultados de estudos prévios. O objectivo final da experimentação é a produção de informação que pode ser usada na tomada de decisões. O problema com experimentos biológicos é a existência de grande variação que é inerente às nas unidades experimentais. Esta variação incontrolável incontrolável influencia os efeitos experimentais que se pretende estudar. Exemplo: Ensaios para comparar variedades da mesma cultura (ex: variedades de milho). Para fazer a comparação, a área experimental é dividida em parcelas, e sementes das variedades são semeadas em mais de uma parcela por variedade. No fim do experimento, podemos podemos fazer comparações das variedades com base em variáveis medidas. Contudo, experiência mostra que quando a mesma variedade é produzida em todas as parcelas existirá ainda a variação da produção entre parcelas. As características principais desta variação são:

i. ii. iii.

Parcelas vizinhas têm resultados mais semelhantes do que parcelas distantes (afastadas). Pode existir um gradiente de factores de crescimento(ex: fertilidade do solo) que vai criar diferenças na expressão das variáveis medidas nas parcelas. Se o mesmo ensaio for repetido em anos diferentes ou em campos diferentes, pode haver mudanças significativas na produção média.

Com a situação acima referida, coloca-se a questão: como podemos planificar um experimento de modo a ser possível possível separar separar os efeitos efeitos experi experimenta mentais is da variação variação incontrolá incontrolável? vel? Como podemos podemos analisa analisarr os dados dados do ensai ensaioo de modo modo que que possamos possamos tirar conclusõe conclusões, s, e/ou e/ou decisõe decisõess válidas válidas? ?

Uma abordagem científica de experimentação inclui os seguintes elementos: i. O Plano de Pesquisa: a. Reconhecimento que existe um problema b. Formulação do problema. Precisa de identificar as causas principais do problema c. Os objectivos de pesquisa. O que é que o investigador pretende estudar estudar e porquê? ii. Escolha de factores e seus níveis iii. Especificação de variáveis a medir iv. Definição do espaço de inferência para o experimento v. Escolha das unidades experimentais vi. Escolha de delineamento experimental vii. Colocação aleatória dos tratamentos às unidades experimentais viii. viii. Esboço da análise que corresponde ao delineamento escolhido, incluindo o modelo estatístico que é a base de ANOVA ix. Colecção de dados x. Análise Análise de de dados dados xi. Interpretação de Resultados e Conclusões

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Uma proposta de pesquisa (A Research Proposal)

1. Introdução antecedentes  Uma descrição breve sobre o assunto de pesquisa, incluindo antecedentes  Definição do problema e breve revisão da literatura sobre o mesmo  Objectivos da pesquisa  Questões principais da pesquisa 2. Revisão bibliográfica detalhada  Qual é estado de conhecimento sobre o problema de pesquisa? (Aspectos teóricos/ metodológicos e empíricos) 3. Metodologia Teoria (Quadro (Quadro teórico teórico ou Quadro Quadro Conce Conceptual ptual))  Teoria  Delineamento do estudo incluindo materiais Variáveis que serão serão medidas medidas  Variáveis  Métodos de análise 4. Calendário das actividades 5. Orçamento 6. Lista de Referências Os objectivos desta disciplina são os de estudar:

(i) (ii) (iii) (iv)

princípios básicos para planificar experimentos biológicos; delineamento simples simples com muitas aplicações na agricultura e silvicultura; métodos de análise de dados na base dos delineamentos em (ii); interpretação de resultados de análise estatística.

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CAPITULO II: CONSIDERAÇÕES BÁSICAS NA EXPERIMENTAÇÃO Definições de alguns termos

(a) Um experimento é um inquérito planeado para obtenção de novos factos ou para confirmar resultados de estudos prévios e para gerar informações a serem usadas na tomada de decisões. Exemplo:  recomendação de uma nova variedade de milho;  métodos químicos para tratamento de madeira  recomendação de fertilizantes para uso numa cultura  recomendação de uma dieta para uma classe de animais. Quer em agricultura, quer em florestas, os experimentos são conduzidos para responder a questões chave cuja resolução se afigura necessária para incrementar a produção e/ou assegurar uma boa utilização de produtos agrícolas e florestais. (b) Unidade experimental: este é o mais pequeno material experimental no qual o tratamento é fixado em casualizações singulares. Exemplos:

• Talhão/parcela de terra em experimentos de fertilizantes e variedades • Um pedaço de madeira num experimento de tratamento químico • Um cercado com animais em pastoreio

(c) Tratamento: Este é um procedimento ou uma condição aplicada à unidade experimental que, efectivamente está para ser dimensionada ou comparada com outras. Exemplos

• • • • •

Métodos de tratamento de madeira com um dado agente químico Variedades de uma dada cultura. Níveis de fertilizante nitrogénio aplicados a uma variedade de milho Época de sementeira de uma cultura Métodos de pastoreio

(d) Factor: Quando um conjunto de tratamentos está concebido em níveis diferentes, isto é referido como um factor. Exemplo: Quatro níveis (0,Kg/ha, 50kg/ha, l00 Kg/ha e l50 Kg/ha) do fertilizante Sulfato de Amónia em experimentos de fertilização no milho. Os quatro níveis juntos formam o factor "fertilizante". (e) Erro experimental: Esta é a dimensão da variação entre unidades experimentais igualmente tratadas. Esta variação é devida à variabilidade inerente às unidades experimentais e ao falhanço das unidades experimentais em serem processadas ou avaliadas identicamente (por erro do observador, limitações dos instrumentos usados, etc.). A presença do erro experimental em experimentos biológicos dá uma justificação à aplicação de técnicas estatísticas. Na ausência do erro experimental, técnicas estatísticas não são necessárias, desde que a observação singular em cada tratamento seja adequada para determinar se existem diferenças entre

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tratamentos. Delineamentos dos experimentos e métodos estatísticos fornecem meios para dimensionar o erro experimental e também para o seu controlo. Fontes do erro experimental para experimentos de campo — variabilidade de plantas — variabilidade sazonal — variabilidade de solo — variabilidade de animais — defeitos nos instrumentos de medição (f) Exactidão (Accuracy) e Precisão (Precision) Exactidão refere-se a contiguidade duma estimativa ao valor verdadeiro (parâmetro). É uma medida relacionada com viés (‘Bias’) Viés = E (X) – θ Precisão e repetibilidade de medição estão relacionadas com o erro experimental Princípios de Delineamento Experimental Introdução Quando um experimento é conduzido e uma diferença é notada entre as médias dos tratamentos, é preciso ter-se uma base para atribuição do efeito aos tratamentos, desde que se torne claro que também, a diferença seja devida à inerente variabilidade nas unidades experimentais ou falta de uniformidade na condução física do experimento. Igualmente, se não for revelada alguma diferença entre tratamentos, é preciso, ter-se uma base para dizer que não existem efeitos dos tratamentos desde que seja possível que diferenças entre tratamentos não tenham sido detectadas devido a um maior erro experimental. Neste caso, o experimento falhou na detecção das diferenças que, de facto, existem.

Uma outra consideração importante em experimentação são os limites do seu espaço de inferência. Isto é, deve-se definir com antecedência, os limites dentro dos quais os resultados do experimento serão aplicáveis. Replicação (repetições)

Quando o tratamento aparece mais do que uma vez, diz-se que foi replicado. Replicações têm as seguintes funções. (i) Elas permitem a estimação do erro experimental que é necessário para avaliar a significância das diferenças entre as médias dos tratamentos. Exemplo: Suponha que duas variedades A e B são comparadas em termos de produção de grão. Dois talhões do mesmo tamanho são estabelecidos e a variedade A é semeada no primeiro talhão enquanto a variedade B é semeada no segundo talhão. No fim do experimento, o rendimento em kg de cada talhão é registado e a variedade com o mais elevado rendimento é considerada como a melhor. Assim, a conclusão não deve ser verdadeira desde que isto presume que, qualquer diferença entre os rendimentos é causada pela variedade e nada mais. Isto, nunca pode ser correcto, mesmo se a mesma variedade fosse semeada em ambos os talhões, os rendimentos iriam diferir por causa de variação inerente aos talhões e falta de uniformidade na condução

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física do experimento. Por isso, é necessário isolar tal variação da variação total. Isto pode ser atingido se o experimento for replicado. (ii) Replicação melhora a precisão do experimento devido à redução do erro padrão das médias dos tratamentos. Se r é igual ao número de repetições, o erro padrão das médias dos tratamentos é definido como

σ r

Obviamente quando o r aumenta, o erro padrão das médias dos tratamentos é reduzido.

Note: Deve manter um balanço entre melhoramento da precisão dum experimento e o aumento dos custos do experimento. (iii) Dentro das replicações é possível aumentar o âmbito de inferência do experimento, por selecção e uso apropriado de uma gama de unidades experimentais. Exemplo: Um ensaio de variedades pode ser conduzido de tal modo que um número suficiente de replicações é introduzido para cobrir o tipo de solos da área de estudo. Também, no sentido de contabilizar de ano para ano a variabilidade atmosférica, o experimento pode ser repetido de acordo com o número de anos. O número de replicações depende de: - modelo e magnitude (extensão) da variabilidade de solos no campo experimental - tamanho da diferença entre as médias dos tratamentos - nível de significância estabelecido - número de tratamentos -recursos disponíveis Determinação de número de repetições Na comparação de dois tratamentos é necessário que o experimento seja suficientemente largo para garantir se existe uma diferença verdadeira entre os tratamentos, o experimento obterá resultados significativos. O nível de precisão dum experimento é medido pela variância do erro ('error variance'). Portanto, o nível de precisão desejável pode ser especificado em duas maneiras: -pelo tamanho da diferença verdadeira entre as médias dos tratamentos, -pela largura do intervalo de confiança Seja d igual à diferença verdadeira especificada pelo investigador. Seja xi − x j igual à diferença entre as duas médias amostrais. Se xi − x j > d, a diferença é significativa r

Se xi − x j < d, a diferença não é significativa O tamanho da amostra desejável pode ser determinado com a seguinte fórmula

t α

=

xi

− x j 2s 2 r

6




Substitua xi − x j por ⎮d⎮para obter:

t α

| d |

=

2s 2 r

Portanto, r =

2t α 2 s 2 2

d

Outra regra: s xi − x j

=

d

3

ou O d é pelo menos igual a 3 erros padrões. Isto garante dois erros padrões para atingir o nível de significância de 5% e mais um erro padrão para medir o risco de não detectar diferença verdadeira. Em termos gerais, o número de repetições varia de 4 a 8 Casualização/Aleatorização: Este é o procedimento para fixar os tratamentos nas unidades experimentais de tal maneira que, cada tratamento tenha probabilidade igual de ser destinado a qualquer unidade experimental (favorável ou não favorável). As razões de fazer casualização: -Para eliminar viés através de controlo dos erros sistemáticos -Para garantir que as observações sejam independentes.

Exemplo: Suponha que duas variedades A e B de milho; cada uma é semeada em 4 talhões como se mostra a seguir: 1 A

2 A

3 A

4 A

5 B

6 B

7 B

8 B

──────────────────────────>

A fertilidade decresce no sentido indicado pela seta. Se o campo tiver um gradiente de fertilidade com uma redução gradual da produtividade da esquerda para direita, a variedade B estará então em desvantagem porque ela está sempre à direita da variedade A. Por isso, a comparação do rendimento atingido será a favor da variedade A. Para minimizar tais problemas, as variedades precisam de ser fixadas aleatoriamente às unidades experimentais. A casualização pode ser efectuada com o uso de tabelas de números aleatórios. Porém, mesmo com a casualização o problema pode persistir, pois não há garantia de que as duas variedades 7




estarão igualmente expostas às condições ambientais. É preciso considerar outras medidas, como a formação de blocos (“blocking”), que veremos adiante. Essas outras medidas são colectivamente referidas como controlo local. Controlo local O controlo local refere-se às técnicas de delineamento ou análise que são usadas para reduzir ou controlar o erro experimental. O controlo local é assim, a selecção dum delineamento e/ou análise da covariância.

(i) "Blocking": Este consiste no esboço dum experimento entretanto, algumas das variações naturais ao longo da colecção das unidades experimentais são fisicamente manipuladas, tal que, elas não façam uma contribuição ao erro experimental. Esta técnica envolve a priori , agrupamento de unidades experimentais em grupos homogéneos, conhecidos como blocos. Os blocos são fixados desta maneira como forma de maximizar as diferenças entre eles, enquanto se minimizam as diferenças dentro deles. Os tratamentos são assim aleatoriamente fixados dentro dos blocos. As diferenças observadas entre os tratamentos dentro dos blocos são largamente devidas aos efeitos de tratamentos e são menos vistas como tendo sido devido à variação aleatória. As diferenças entre blocos não são incluídas no erro experimental reduzindo-se assim, a magnitude do erro experimental. Especificamente, as razões de 'blocking' são:  para aumentar a precisão do experimento  para que as comparações entre os tratamentos sejam mais uniformes devido ao facto de as comparações entre os tratamentos serem feitas dentro de blocos com parcelas homogéneas.  para aumentar o âmbito de inferência. Os blocos não devem ser vistos necessariamente como entidades físicas, pois o agrupamento de unidades experimentais pode ser feito com entidades de outra natureza como espaço de tempo, idade, raça, etc. (ii) Análise de covariância: Quando variação dentro das unidades experimentais for em parte devido à variação em algumas características não suficientemente controladas para ser útil na fixação das unidades experimentais em blocos, assim, o erro experimental pode ser reduzido pelo uso da análise de covariância. O método preciso do uso de observações suplementares. Para tal, deve se assegurar que a covariável não sofre efeitos dos tratamentos e que é medida antes da aplicação dos tratamentos.

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CAPITULO III: DELINEAMENTO COMPLETAMENTE CASUALIZADO Quando usar o delineamento? O delineamento é útil quando as unidades experimentais são essencialmente homogéneas. Isto é, quando a variação entre as unidades experimentais é pequena. Vantagens e desvantagens do delineamento

Vantagens 

  

O delineamento é flexível no sentido de que o número de tratamentos e repetições é constrangido apenas pela disponibilidade de unidades experimentais. Neste delineamento, o número de repetições pode variar entre os tratamentos, embora, o mesmo número de repetições para todos tratamentos seja preferível. A análise estatística é simples. A perda de informação quando há talhões perdidos é menor relativa aos outros delineamentos. O número de graus de liberdade para estimar o erro experimental é máximo.

Desvantagens 

O delineamento não é eficiente. Dado que a aleatorização não é restringida, o erro experimental inclui a variação inteira entre as unidades experimentais, menos a variação devida aos tratamentos.

Casualização e 'layout'

Assuma que um investigador pretende avaliar 5 variedades de milho. Ele conseguiu um terreno homogéneo que é suficiente para conduzir o ensaio utilizando 4 repetições para cada variedade. A homogeneidade do terreno permite o uso do delineamento completamente casualizado. Faça casualização e apresente o 'layout'. Passo 1 Divida o terreno em 20 parcelas segundo as dimensões do investigador. Enumere as parcelas de 1 a 20.

1

5

9

13

17

2

6

10

14

18

3

7

11

15

19

4

8

12

16

20

Passo 2 Seleccione vinte números da tabela de números aleatórios usando um ponto de partida aleatoriamente escolhido. O número de dígitos deve ser mais um acima do número de dígitos para o número total de parcelas. No exemplo, o número de dígitos que será utilizado é 3 já que o número de dígitos para o número total de parcelas é 2.

9




─────────────────────────────────────────────────────────

N.A

Seq.

N.A

Seq.

N.A

Seq.

N.A

Seq.

N.A

Seq.

─────────────────────────────────────────────────────────

523 676 243 929

1 2 3 4

863 376 043 062

5 6 7 8

371 783 063 514

9 10 11 12

910 727 461 332

13 14 15 16

785 178 908 718

17 18 19 20

─────────────────────────────────────────────────────────

N.A= Número aleatório Seq.=Sequência. (A sequência dos números aleatórios na tabela)

Passo 3 Ordene os números aleatórios de menor para maior ─────────────────────────────────────────────────────────────

Seq.

Ord.

Seq.

Ord.

Seq.

Ord.

Seq.

Ord.

Seq.

Ord.

─────────────────────────────────────────────────────────────

1 2 3 4

11 12 05 20

5 6 7 8

17 08 01 02

9 10 11 12

07 15 03 10

13 14 15 16

19 14 09 06

17 18 19 20

16 04 18 13

─────────────────────────────────────────────────────────────

Seq.= Sequência, Ord = Ordem.

A sequência irá representar os tratamentos e a ordem, a parcela onde um tratamento específico será colocado. No exemplo, sequência 1-4 representa a 1ª variedade, 5-8 a 2ª variedade, 9-12 a 3ª variedade, 13-16 a 4ª variedade e 17-20 a 5ª variedade. No caso da 1º variedade, será colocada nas parcelas 11, 12, 5, e 20. A mesma coisa pode ser repetida para as outras variedades. Passo 4 Utilizando a informação do passo 3 o seguinte 'layout é obtido 1 V2

5 V1

9 V4

13 V5

17 V2

2 V2

6 V4

10 V3

14 V4

18 V5

3 V3

7 V3

11 V1

15 V3

19 V4

4 V5

8 V2

12 V1

16 V5

20 V1

10




Análise de variância: Qualquer observação que é feita numa unidade experimental pode ser representada por um modelo linear aditivo. O Modelo Linear Aditivo (Uma observação por unidade experimental): Y ij

= µ + τ i + ε ij ; i=1,2,...,t; j=1,2,...,ri

Onde: εij =O termo erro correspondente ao tratamento i na repetição j e εij ~ iidN (0, σ2 ) (iid = identicamente e independentemente distribuídas) Y ij = O valor observado na unidade experimental j que recebeu o tratamento i. µ= A média geral que é igual a

τi =

i

1 n

t

∑ i =1

r i µ i ; onde n =

t

∑ r e µ é a média verdadeira para o tratamento i i =1

i

i

− (Efeito do tratamento i )

Para especificar o modelo completamente, precisa-se de apresentar os pressupostos sobre os efeitos dos tratamentos ( τ )i (a) Modelo Fixo Os τi são fixos e

t

∑ r τ = 0 i

i

i =1

Os tratamentos são deliberadamente seleccionados, e a repetição do experimento irá trazer no experimento exactamente os mesmos tratamentos significando os mesmos τi. Assim, no modelo fixo os τi são constantes fixos e o interesse é de fazer inferência apenas sobre os tratamentos que serão testados. (b) Modelo Aleatório No modelo aleatório, os tratamentos testados são uma amostra aleatória duma população de tratamentos e a repetição do experimento será trazer novos tratamentos. Neste caso o interesse é de fazer inferência sobre a população de tratamentos e não apenas sobre os tratamentos que serão testados. No modelo aleatório, assume-se que τi ~ iidN (0, σ2 )τ e são independentes dos εij.

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Notação ──────────────────────────────────────────────────────────────────

Tratamento

Observações

──────────────────────────────────────

1

2

3

...

j

...

ri

Total Média

────────────────────────────────────────────────────────────────── 1 Y 11 Y 12 Y 13 ... Y 1j ... Y 1r1 Y 1. Y 1.

2

Y 21

Y 22

Y 23

...

Y 2j

...

Y 2r2

Y 2.

Y 2.

3 . . . i . . . t

Y 31 . . . Yi1 . . . Y T1

Y 32 . . . Yi2 . . . Y T2

Y 33 . . . Yi3 . . . Y T3

... ... ... ... ... ... ... ... ...

Y 3j . . . Yij . . . Ytj

... ... ... ... ... ... ... ... ...

Y 3r3 . . . Y Iri . . . Y trt

Y 3. . . . Yi. . . . Yt.

Y 3. .

. . . Y i .

. . .

Y t . ──────────────────────────────────────────────────────────────────

Note t

n=

∑ r (O número total de observações) i

i =1

r i

t

t

Y.. = ∑∑ Y ij = ∑ Y i. (O valor total para todas as observações) i =1 j =1

Y .. .=

1

i =1

r i

t

∑∑

n i=1 j=1

Y ij

=

1

t

∑

n i=1

Y i. =

Y .. n

(A média para todas as observações)

r i

Y i. =

∑ Y

ij

(O valor total para tratamento i)

j =1

r i

∑Y Y i. =

ij

j =1

r i

=

Y i. r i

(Média para tratamento i)

(i) Variação total (Soma dos Quadrados Totais -SQT)

⎛ t r ⎞ ⎜⎜ ∑∑ Y ij ⎟⎟ ⎝ i=1 j=1 ⎠ Y 2 −

2

i

SQT =

t

r i

t

r i

∑∑ (Y − Y ) = ∑∑ i =1 j =1

2

ij

..

i =1 j =1

ij

n

12




( ∑∑ Y )

2

ij

Onde

é factor de correcção (FC) e n é o numero total de observações para o ensaio

n

Ou SQT =

r i

t

∑∑ Y

2 ij

− nY ..2

i =1 j =1

(ii) Os diferentes componentes da variação total A variação total pode ser apresentada pela seguinte identidade: t

r i

r i

t

r i

t

t

r i

∑∑ (Y − Y ) ≡ ∑∑ (Y − Y + Y − Y ) ≡ ∑∑ (Y − Y ) + ∑∑ (Y − Y ) 2

2

..

ij

i.

ij

i =1 j =1

i.

2

..

ij

i =1 j =1

2

i.

i.

i =1 j =1

i =1 j =1

..

t

r i

+ 2∑∑ (Y ij − Y i. )(Y i. − Y .. ) i =1 j =1

Podemos apresentar o terceiro termo da identidade da maneira seguinte: r i

t

r i

t

∑∑ (Y − Y )(Y − Y ) = ∑ (Y − Y )∑ (Y − Y ) i.

ij

i.

..

i.

i =1 j =1

..

i.

ij

i =1

j =1

mas r i

∑ (Y − Y ) = 0 ij

i

j =1

r i

t

Portanto: 2

∑∑ (Y − Y )(Y − Y ) = 0 i.

ij

i.

..

i =1 j =1

Então t

r i

t

r i

t

r i

t

r i

∑∑ (Y − Y ) ≡ ∑∑ (Y − Y + Y − Y ) ≡ ∑∑ (Y − Y ) + ∑∑ (Y − Y ) i =1 j =1

2

ij

..

i =1 j =1

t

2

ij

i.

r i

i.

..

t

i =1 j =1

≡ ∑∑ (Y ij − Y i. ) + ∑ 2

i =1 j =1

SQT

≡

i =1

SQE

+

Y i .2 r i

−

2

ij

i.

i =1 j =1

2

i.

..

Y ..2 n

SQTrat

SQT = Soma dos Quadrados Totais, Variação Total SQE = Soma dos Quadrados do Erro, variação de cada observação da média do tratamento correspondente (variação dentro da população), variação devido ao erro. SQTrat = Soma dos Quadrados dos Tratamentos, variação das médias dos tratamentos da média geral (variação entre tratamentos), variação devido aos tratamentos 13




Note: τ i = i − é o efeito verdadeiro do tratamento i e o seu estimador é τ ˆi = Y i − Y .. . Assim, a SQTrat poder ser apresentada da seguinte maneira: SQTrat =

t

r i

t

∑∑τ ˆ = ∑ r τ ˆ 2 i

i =1 j =1

i

2 i

i =1

Tabela de Análise de Variância para os Delineamentos Completamente Casualizados ──────────────────────────────────────────────────────────────────

Fonte de

G.l SQ QM __________________________________

Quadrado Médio Esperado

Modelo fixo

Modelo Casual

────────────────────────────────────────────────────────────────── 1 t 2 2 SQTrat 2 σ ε 2 + r 0σ τ 2 Tratamentos t-1 SQTrat σ ε + r i τ i t − 1 t − 1 i =1

∑

Erro

n-t

SQE

Total

n-1

SQT

SQE n − t

σ ε 2

σ ε 2

──────────────────────────────────────────────────────────────────

⎛ t 2 ⎞ ⎜ ∑ r i ⎟ ⎜ n − i =1 ⎟ ⎜ n ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Onde r 0 = t − 1

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Inferências sob o modelo de efeitos fixos Um teste de igualdade simultâneas de todas as médias H 0 : τ 1

= τ 2 = ... = τ t = 0

Ha: A hipótese nula não verdadeira (pelo menos um τ i é diferente de zero A hipótese nula acima pode ser apresentada também da seguinte forma: Ho: µ 1= µ 2=...= µ t Ha: A hipótese nula não é verdadeira A hipótese nula está a dizer que não há diferença entre as médias das populações. Num experimento qualquer, espera-se que haja algumas diferenças entre as médias amostrais. Quanto desta variação é devida à amostragem e aos factores não controláveis (variação casual)? De outra maneira, até que ponto podemos dizer que a variação é tão grande que não pode ser atribuída inteiramente aos factores casuais, mas também às diferenças entre as médias dos tratamentos? A resposta depende muito do tamanho da variância entre as populações ( σε2 ). F=

QMT QME

~ Fn-t, t-1 se a hipótese nula fôr verdadeira. ;

Se a hipótese nula for verdadeira, significa que Σriτi2 é igual a zero e E(QMT)=E(QME) e F=1. Se a hipótese nula não for verdadeira, Σriτi2 >0 e E(QMT)>E(QME) e F>1. Efeitos significativos dos tratamentos são indicados apenas quando o valor da estatística F é suficientemente maior que 1. Por outras palavras, se o valor de F calculado for inferior ao valor de F critico (que se pode encontrar na tabela de F), quer dizer que a hipótese nula não é falsa. Não existe variação significativa nos efeitos dos tratamentos. Na prática valores de F menores que 1 podem ser encontrados. Tais valores serão justificados pelas seguintes razões: • Flutuação de amostragem aleatória ('Random sampling fluctuation'). Devido a tais flutuações, sempre existe uma possibilidade do QMT ser um valor subestimado enquanto que o QME é uma estimativa exagerada. • Um modelo linear não correcto. Uso dum modelo não correcto pode gerar valores de F menores que 1 por causa do erro experimental incluir a variação que um modelo correcto pode tirar.

15




EXEMPLOS PARA O MODELO FIXO

(1) Quando o número de repetições é igual para todos os tratamentos Foi conduzido um ensaio para comparar o rendimento de duas variedades estrangeiras de Soja (A e B) com uma variedade local (C). O delineamento completamente casualizado com 10 repetições foi utilizado para o ensaio. Os dados do ensaio são em baixo apresentados em termos de rendimento de grão em kg por talhão. Variedade (i) A 3,0 B 2,6 C 3,1 Y .. = Y .. =

Repetições (j) 2,9 2,4 3,2

2,7 2,4 2,9

3,0 2,3 3,1

2,8 2,6 3,0

3,1 2,6 3,0

y i.

2,9 2,6 3,0

3,0 2,9 3,0

3,0 2,3 3,1

3,1 2,5 3,1

y i.

29,5 3,0 25,2 2,5 30,5 3,1

∑∑Y = 3,0 + 2,9,...,3.1 = 85, 2 ij

Y .. rt

=

85, 2 10*3

= 2,84

Pressupostos para a Análise de Variância A análise de Variância apoia-se em vários pressupostos, sendo: - homogeneidade de variâncias - distribuição normal dos resíduos - linearidade e aditividade de componentes do modelo O teste de Homogeneidade das variâncias Antes de fazer a análise de variância, é necessário verificar se as variâncias das três populações são homogéneas ou não. Ho: σ 12 = σ 22 = σ 32 Ha: A hipótese nula não é verdadeira Para testar as hipóteses, o teste de Hartley pode ser usado. (a) O teste de Hartley F =

2 S max 2 S min

~ F v ,t

Onde: Max( S i2 )=a variância máxima Min( S i2 )=a variância mínima F v, t =o valor da tabela de Hartley. O v são os graus de liberdade associados a S i2 . Se o v não for constante para todas as variâncias, use o v mínima. O t representa o número de tratamentos.

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Se o valor calculado é menor do que o valor crítico, não se pode rejeitar a hipótese nula. Se o valor calculado é maior do que o valor crítico a hipótese nula é rejeitada. Do exemplo: s12 = 0,0161 s22 = 0,0329 2 s3 = 0,0072 F =

0,0329 = 4,569 0,0072

F9,t=3, α=0,05 = 5,34 Dado que o valor calculado é menor do que o valor crítico, não se pode rejeitar a hipótese nula. Isto significa que não há evidência que mostra que as variâncias são heterogéneas e assim, o pressuposto de homogeneidade das variâncias é mantido. (b) O teste de Bartlett

M =

2,3026( A log10 S p2

− C ) 2 ~ χ t −1 se a hipótese nula for verdadeira 1 ⎛ 1 ⎞ 1+ ⎜ D − ⎟ 3(t − 1) ) ⎝ A ⎠

onde: A =

t

∑ f ; i =1

B =

t

∑ f S i =1

C =

2 i

i

t

∑ f log i =1

D =

f i - são os graus de liberdade para a a variância amostral associada ao tratamento i

i

t

i

1

∑ f ; i =1

i

2

10

2 p

S

S i

=

B A

=

(r 1 − 1) S 12

+ (r 2 − 1) S 22 + ... + (r t − 1) S t 2 ( r 1 − 1) + (r 2 − 1) + ... + ( r t − 1)

Pode-se usar a fórmula seguinte se o número de repetições é constante: t ⎛ ⎞ 2 2,3026 f ⎜ t log10 S p − ∑ log10 S i2 ⎟ i =1 ⎝ ⎠ ~ χ 2 se a hipótese nula for verdadeira M = t −1 ⎢ t + 1⎥ 1+ ⎢ ⎥ ⎣ 3tf ⎦

Onde: t = o número de tratamentos f = graus de liberdade para cada variância

17




t

S p2

=

∑ S

2 i

i =1

t

Do exemplo t

s p2

=

∑s i =1

2 i

t

t

i =1

m=

0,0161 + 0,0329 + 0,0072 3

= 0,0187

= −1,7281

log10 s p2

∑ log

=

10

si2

= log10 s12 + log10 s22 + log10 s32 = −5,4187

2,3026 * 9 * [3(− 1,7281) − (− 5,4187 )] = 4,082 3 +1 1+ 3* 3* 9

χ22, α=0,05=5,99 Dado que o valor calculado é menor do que o valor crítico não se pode rejeitar a hipótese nula. O resultado do teste de homogeneidade mostra que as inferências estatísticas baseadas na análise de variância serão válidas. Análise de Variância i. Factor de Correcção (CF) 2

⎛ t r ⎞ ⎜⎜ ∑∑ yij ⎟⎟ ⎝ i =1 j =1 ⎠ = FC rt

85,2 3 *10

= 241,968

ii. Soma dos Quadrados Totais (SQT) SQT =

t

r

∑∑ y i =1 j =1

2 ij

− FC = 3,0 2 + 2,9 2 + ... + 3,12 − 241,968 = 2,092

18




iii. Soma dos Quadrados dos Tratamentos (SQTrat) t

SQTrat =

∑ y i =1

2 i.

r

− FC =

29,2 2

+ 25,2 2 + 30,5 2 10

− 241,968 = 1,586

iv. Soma dos Quadrados do Erro (SQE) SQE = SQT – SQtrat

=2,092-1,586 =0,506

Tabela da Análise de Variância

Fonte de variação Variedades Erro Total

G.L 2 27 29

SQ 1,586 0,506 2,092

QM 0,793 0,019

Fcal 41,737

F27,2;α=0,05 3,35

F27,2;α=0,01 5,49

Coeficiente de Variação (CV): Expressa o nível de precisão dum experimento. CV =

QME y..

*100

Nos experimentos agrícolas o valor do CV é considerado: Baixo - CV<10% Médio - 10%30% Há ensaios que por natureza têm coeficientes de variação elevados devido à variabilidade do material experimental. Este problema é comum em ensaios de pastoreio e de alimentação de animais. Nos ensaios de pastoreio contribuem para o erro experimental a variação entre cercados uma vez que são maiores que parcelas usadas para ensaios agronómicos; a variação entre animais. Nos animais procura-se sempre considerar a idade e a raça para minimizar o erro experimental, mas há outros factores difíceis de controlar, como o estado fisiológico do animal. Do exemplo anterior, CV =

QME y..

*100 =4,9%

O nível de precisão do ensaio é alto e portanto as inferências baseadas nos dados do ensaio serão seguras.

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Da tabela da análise de variância, há evidência suficiente ao nível de significância de 1% para concluir que os rendimentos médios das três variedades não são iguais. Quando uma tabela da análise de variância mostra efeitos significativos dos tratamentos, um investigador pode apresentar uma tabela de diferença entre as médias com o erro padrão das diferenças. Y i. − Y s. ; i ≠ s é um estimador não enviesado ('unbiased estimator') de µi-µj e com o erro padrão

correspondente de : S Y −Y i.

s.

=

⎛ 1 1 ⎞ + ⎟⎟ se ri é igual a rs a formular será r ⎝ i r s ⎠

QME ⎜⎜

S Y −Y i.

s.

=

2QME r

Do exemplo y A =3,0 y B =2,5 yC =3,1

s yi. − ys .

=

2QME r

=

2 * 0,019 10

= 0,062

A Tabela de Diferenças entre as Média ──────────────────────────────────

Variedades

Diferença

Erro padrão

──────────────────────────────────

A e B A e C BeC

0,5 -0,1 -0,6

0,062 0,062 0,062

──────────────────────────────────

O teste de DMS Para responder ao objectivo do ensaio, os rendimentos médios das variedades estrangeiras serão comparados com o rendimento médio da variedade local, usando o teste de DMS. DMS α / 2=0, 025

= t 27 ,α / 2=0,025 * s y − y = 2,052 * 0,062 = 0,127 i.

s.

Se yi. − y s. >DMSα/2 significa que a diferença entre as duas médias é significativa. Se yi. − y s.
20




21




(2) Quando o número de repetições varia entre os tratamentos Os dados abaixo apresentados são de conteúdo de ácido ascórbico de três variedades de pêssegos maduros. O conteúdo de ácido ascórbico é medido em mg por 100g. Faça análise de variância e o teste F ao nível de significância de 0,05. Variedade (i)

Replicações

yi.

yi.

r i

∑ y j =1

A B C

2 ij

5,34 5,58 5,26 5,47 5,39 5,50 5,42 5,47 5,71 5,62 54,76 5,48 300,0284 7,12 6,89 6,93 6,82 7,06 6,80 6,91 6,76 55,29 6,91 382,2331 6,28 6,01 6,27 6,15 6,38 6,40 6,12 6,24 6,31 6,37 62,53 6,25 391,1433

(a) Teste de homogeneidade das variâncias

Ho: σ 12 = σ 22 = σ 32 Ha: A hipótese nula não é verdadeira O teste de Hartley s12 = 0,0181 s22 = 0,0157 2 s3 = 0,0159

F =

Fcal =

2 S max 2 S min

~ F v ,t se a hipótese nula for verdadeira

0,0181 = 1,15 F v=7, t=3=α=0,05 = 6,94 0,0157

Dado que o valor calculado é menor do que o valor crítico, não se pode rejeitar a hipótese nula. O teste de Bartlett Quando os graus de liberdade não são iguais a seguinte formula é usada. M =

2,3026( A log10 S p2

− C ) 2 ~ χ t −1 se a hipótese nula for verdadeira 1 ⎛ 1 ⎞ 1+ ⎜ D − ⎟ 3(t − 1) ) ⎝ A ⎠

22




onde: A =

t

∑ f ; i =1

B =

t

∑ f S i =1

C =

2 i

i

t

∑ f log i =1

D =

f i - são os graus de liberdade para a a variância amostral associada ao tratamento i

i

t

i

1

∑ f ; i =1

2

S i

10

=

2 p

S

i

B A

=

(r 1 − 1) S 12

+ (r 2 − 1) S 22 + ... + (r t − 1) S t 2 ( r 1 − 1) + (r 2 − 1) + ... + ( r t − 1)

A = 25 B = 0,4159 C = -44,1874 D = 0,3651 s p2 =0,0166 log( s p2 )=-1,7790 m = 0,0483

χ22,α=0,05=5,99 Dado que o valor calculado é menor do que o valor crítico, não se pode rejeitar a hipótese nula. Análise de variância i. Factor de Correcção (FC) 2

⎛ t r ⎞ ⎜⎜ ∑∑ yij ⎟⎟ (54,76 + 55,29 + 62,53)2 i =1 j =1 ⎝ ⎠ = = 1063,7081 , onde n = r1 + r2 + r3 FC = 28

n

ii. Soma dos Quadrados Totais (SQT) SQT =

t

r

∑∑ y

2 ij

− FC = 5,34 2 + 5,582 + ... + 6,37 2 − 1063,7081 = 9,6957

i =1 j =1

iii. Soma dos Quadrados dos Tratamentos (SQTrat) SQTrat =

t

2

yi.

∑ r − FC = i =1

i

54,76 2 10

+

55,29 2 8

+

62,532 10

− 1063,1081 = 9,2798

23




iv. Soma dos Quadrados do Erro (SQE) SQE = SQT – SQTrat = 9,6957-9,2798 = 0,4159 Quadro da Análise de Variância

Fonte de variação Variedades Erro Total

G.L 2 25 27

SQ 9,2798 0,4159 9,6957

QM 4,6399 0,0166

Fcal 279,51

F27,2;α=0,05 3,39

F27,2;α=0,01 7,77

CV = 2,1% O nível de precisão do ensaio é alto e portanto, as inferências baseadas nos dados do ensaio serão seguros. Comparação simultânea das médias dos Tratamentos Ho: µ1= µ 2= µ 3 Ha: A hipótese nula não é verdadeira. Dado que o valor de F calculado é maior do que o valor crítico, existe efeitos significativos das variedade variedadess de pêssego pêssegoss sobre sobre o conteúdo conteúdo do acido acido ascórbico ascórbico (p<0,01). (p<0,01).

24




EXEMPLO PRÁTICO: Foi realizado um ensaio para saber se os tratamentos com químicos diferem no rendimento da cultura de couve. Foram testados 3 tratamentos (A, B, C), com 8 repetições. Os dados são apresentados na tabela seguinte e estão em Kg/talhão.

Variedade (i) A 4 B 4 C 5

Repetições (j) 5 5 3

5 4 3

4 3 3

6 4 3

6 5 3

4 3 4

5 3 5

Faça análise de variância ao nível de significância de 5%. Resolução:

Ho: µ A = µB = µC Ha: A hipótese nula não é verdadeira Tratamento Totais

A 39

B 31

C 29

99

Factor de correcção (FC): 2

⎛ t r ⎞ ⎜⎜ ∑ ∑ yij ⎟⎟ (39 + 31 + 29)2 i =1 j =1 ⎝ ⎠ = = 408,375 FC= r * t

8*3

Soma dos quadrados totais (SQT): SQT =

t

r

∑ ∑ y

2 ij

− FC = 4 2 + 52 + ... + 5 2 − 408,375 = 22,625

i =1 j =1

25




Soma de quadrados dos tratamentos (SQTrat): t

SQTrat =

∑ y i =1

r

2 i.

=

39 2

+ 312 + 29 2 8

− 408,375 = 7,0

Soma de quadrados do erro (SQE) SQE = SQT − SQTrat SQE = 22.625 − 7.0 SQE = 15.625


Fonte de variação Tratamento Erro Total

GL 2 21 23

SQ 7.0 15.625 22.625

QM 3.5 0.744

Fcal 4.7

F21,2,0.05 3.47

Fcal > Fcrit ⇒ Rejeita-se Ho. Com base no teste e no nível de significância, temos evidência suficiente para rejeitar a Ho. Então, os tratamentos químicos aplicados dão diferentes rendimentos em Kg/talhão da cultura de couve. Teste DMS

Tratamento Totais Médias DMS = t t ( r −1) *

2QME r

= t 21,α =0,05 *

A 39 4,875 2QME r

B 31 3,875

= 2,080 *

C 29 3,625 2 * 0,744 8

y .... 99

= 0,897

26




Tratamentos a serem comparados A – B A – C B–C

Diferença das médias 1.0 1.25 0.25

DMS 0.897 0.897 0.897

Decisão Significativo Significativo Não significativo

Exercícios

1. Desejamos saber se 4 tratamentos de pesticidas para broca de milho diferem na eficácia. Um talhão foi sujeito a diferentes tratamentos. No fim de um determinado período específico foi-se medir a eficácia do tratamento, e obtiveram-se resultados seguintes: T1 64 T4 95 T2 76 T3 58

T3 74 T2 70 T1 88 T4 90

T4 80 T1 72 T3 66 T2 90

T2 80 T3 60 T4 87 T1 80

T4 88 T1 79 T2 75 T3 82

T1 71 T3 75 T4 85 T2 82

a) Use α = 0.05 b) Use α = 0.01 2. Um experimento foi conduzido para comparar três métodos de empacotamento duma certa comida congelada. O critério foi o conteúdo de Ácido Ascórbico (mg/100mg) depois de um determinado tempo. Os dados obtidos foram as seguintes: A 14.29 19.10 19.09 16.25 15.09 16.61 19.63

Método de empacotamento B 20.06 20.64 18.00 19.56 19.47 19.07 18.38

C 20.04 26.23 22.74 24.04 23.37 25.02 23.27

a) Forneça evidência suficiente a nível de significância de 0.01 que os dados indicam uma diferença no método de empacotamento b) Use α = 0.05

27




3. Três grupos de animais foram usados num experimento para comparar o tempo de resposta, em segundos, a três diferentes estimulantes. Os resultados obtidos foram os seguintes: I 16 14 14 13 13 12 12 17 17 17 19 14 15 20

Estimulante II 6 7 7 8 4 8 9 6 8 6 4 9 5 5

III 8 10 9 10 6 7 10 9 11 11 9 10 9 5

Forneça evidência suficiente que os dados indicam uma verdadeira diferença no meio da população? a) Use α = 0.05 b) Use α = 0.01 c) Com base no teste DMS, compare as médias. 4. Um estudante do 5º ano pretende avaliar quatro variedades de feijão. A faculdade atribuí u - lhe um terreno homogéneo e ele decide conduzir o ensaio utilizando três repetições para cada variedade. Faça casualização e apresente o “layout” do ensaio. 5. Acredita-se que a concentração de colesterol de alta densidade (HDL) no plasma sanguíneo esteja associada ao reduzido risco da doença da artéria coronária. Para investigar os mecanismos que contribuem para a baixa incidência da doença do coração em atletas da modalidade de longa distância, mediram-se concentrações de HDL (ml de HDL por 100 ml de plasma sanguíneo) para 20 atletas de elite, 8 atletas considerados bons e 72 não praticantes da modalidade. Usar os dados sumarizados para testar a possibilidade que a prática da modalidade aumenta a concentração de HDL?

Média Variância

Elite (n=20) 56 146.41

Bom (n=8) 52 118.81

Não (n=72) 49 110.25

a) Formular as Hipóteses. b) Com teste DMS compare todos pares possíveis de média. 6. Em 5 vasos, cada um com adubação diferente, cultivou-se algodão. Determinou-se a resistência à tracção em 3 fibras retiradas ao acaso em cada vaso. Investigar se a adubação produz efeitos sobre a característica do algodão que foi observada. Os resultados constam do quadro que se segue.

28




Adubação com K 2 O em kg/ha

0 7.62 8.00 7.93

50 8.14 8.15 7.87

100 7.76 7.73 7.74

150 7.17 7.57 7.80

200 7.46 7.68 7.21

7. Investigadores desejam comparar 4 programas de saúde física para agricultores. 30 agricultores foram casualizados e destinados a um dos 4 programas. A tabela que se segue mostra resultados das diferenças entre a saúde dos agricultores antes e depois da participação no programa. Programa A 13 24 19 18 9 21 17 22 24

B 11 13 20 14 11 21 14 8

C 12 19 9 14 21 7 6

D 22 26 22 22 26 19

a) Podemos concluir com estes dados que os 4 programas diferem na sua eficácia? ( α = 0.05) b) faça o teste DMS, para comparar as médias.

29




8. Deseja-se estudar as alturas, em metros, das árvores de 3 tipos de povoamento florestal. Do levantamento que se fez resultou a tabela seguinte: Povoamentos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Tipo 1 23.4 24.4 24.6 24.9 25.0 26.2 26.3 26.8 26.8 26.9 27.0 27.6 27.7 -

tipo 2 22.5 22.9 23.7 24.0 24.4 24.5 25.3 26.0 26.2 26.4 26.7 26.9 27.4 28.5

tipo 3 18.9 21.1 21.2 22.1 22.5 23.6 24.5 24.6 26.2 26.7 -

a) Com base nestes dados verificar se existe diferença significativa de um tipo para outro. 9. Um editor deseja escolher uma capa dentre 3 possíveis para um novo livro. Para testar as três capas, recolheu uma amostra aleatória de 15 consumidores e remeteu cada capa a 5 dentre eles tomados aleatoriamente. Seguidamente pediu a cada um deles para atribuir uma nota de 1 a 20. Eis os resultados obtidos. C 1

C 2

C 3

14 6 12 10 8

16 14 8 8 14

14 16 14 14 12

a) Com base nestes resultados tirar as conclusões apropriadas. Resultados

2. Fcal = 20.83 7. Fcal = 6.48 9. Fcal = 2.31

30




CAPITULO IV: DELINEAMENTO DE BLOCOS COMPLETOS CASUALIZADOS Quando usar o delineamento

Este delineamento usa-se para reduzir o erro experimental, através da eliminação da contribuição das fontes de variação conhecidas nas unidades experimentais. Isto é, se as unidades experimentais não forem homogéneas mas podendo ser significativamente agrupadas, de modo que a variabilidade dentro de cada grupo (bloco) seja minimizada e a variabilidade entre blocos seja maximizada então este delineamento torna-se apropriado para uso. Definição Um bloco é um grupo de unidades experimentais que fornecem efeitos homogéneos numa variável de resposta. Um bloco completo é um grupo homogéneo de unidades experimentais nas quais cada um dos tratamentos aparece o mesmo número de vezes (que no caso normal cada tratamento aparece só uma vez). Portanto a noção de 'Blocking' refere a agrupamentos específicos de unidades experimentais nas quais subconjuntos de unidades experimentais homogéneas são identificadas. Exemplos de casos em que (DBCC) é apropriado: (a) Num experimento com animais: onde os animais são agrupados na base de características como: peso, sexo, idade, estágio de aleitamento, raça, etc. (b) Ensaio de culturas ou árvores no campo onde cada bloco consiste em agrupamento de talhões. Experimentos no campo devem tomar em conta os seguintes aspectos para o processo da formação de blocos:

• Selecção de fonte de variabilidade a ser usada como base na formação dos blocos; • Selecção do tipo de bloco e sua orientação. Uma fonte ideal de variação a ser usada como base para o processo "BLOCKING" é aquela que é larga (ampla) e prognosticável tal como: (i) A heterogeneidade do solo no caso dum ensaio de variedades ou dum ensaio de fertilizantes onde o rendimento é a característica de interesse primária. (ii) Declive do campo num estudo da reacção da planta ao stress hídrico.

31




Tipo de blocos a usar

(a) Quando o gradiente for unidireccional use blocos que são longos e estreitos. A orientação dos blocos deve ser de modo que o seu comprimento seja perpendicular à direcção do gradiente como se mostra abaixo.

Direc ão do radiente.

(b) Quando o gradiente de fertilidade ocorre em duas direcções; ambos de igual tamanho e perpendiculares um do outro usa-se blocos quadrados ou blocos estreitos (rectangulares), com o seu comprimento perpendicular à direcção de um dos gradientes; e a técnica de covariância para outro gradiente. Alternativamente usa-se o delineamento dos quadrados latinos.

Bloco quadrado Bloco Estreito e Comprido

Se o modelo de variabilidade não for conhecido os blocos devem ser quadrados. Layout e Casualização O número de unidades experimentais (talhões) dentro do bloco deve corresponder ao número de tratamentos como se mostra no exemplo abaixo: Ensaio com 6 tratamentos e quatro repetições (replicações) Gradiente

1

4

2

5

3

6

Bloco I

Bloco II

Bloco III

Bloco IV

32




Como se mostra acima, a área experimental é dividida em 4 blocos. O tipo e a orientação dos blocos são baseados nas indicações previamente apresentadas. Cada bloco é dividido em 6 talhões representando o número de tratamentos. Casualização Esta é feita separadamente para cada bloco. Passo 1: Enumere cada talhão consecutivamente de cima para baixo como se apresenta para o bloco 1. Passo 2: Seleccione seis números da tabela de números aleatórios usando um ponto de partida aleatoriamente escolhido: Número Aleatório 36 55 09 30 56 81

Sequência de selecção 1 2 3 4 5 6

Passo 3: Ordene os números aleatórios do menor para o maior como se mostra abaixo. Número aleatório

Sequência

Ordem

1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 (F)

3 4 1 2 5 6

36 55 09 30 56 81

Passo 4: Conceda os seis tratamentos para os seis talhões, usando a sequência em que ocorreram os números aleatórios como os números dos tratamentos e a correspondente ordem como número do talhão para o qual o particular tratamento está para ser fixado (assinado). Se os tratamentos são A, B, C, D, E, e F, a concessão será como se mostra abaixo 1 C

4 B

2 D

5 E

3

6 F

A

Repita as quatro fases para os blocos restantes, separadamente. 33




Análise de variância O Modelo Linear Aditivo (Uma observação por unidade experimental):

Y ij = µ + τi + Βi + εij ; εij ~ iidN(0,σ²) onde: Y ij = é o valor observado no bloco j que recebeu o tratamento i (i=1,2, ...,t ; j = 1,2,...,r) µ = média geral τi = µi.-µ efeito do tratamento i Βj = µ.j-µ o efeito do bloco j εij = Erro ( a parte de variação devido a factores não controlados). Antes da análise deve-se decidir o tipo de modelo que se tem: modelo fixo, modelo casual (aleatório) ou modelo misto. Modelo fixo: Neste caso tanto os tratamentos e blocos são seleccionados, e não casuais (aleatórios); Significa que todos os tratamentos em que as suas inferências estão para ser consideradas são incluídos no ensaio (experimento). O mesmo aplica-se para os blocos. Neste caso, efeitos de blocos e tratamentos podem ser testados pelo quadrado médio do erro. Para este modelo, um pressuposto adicional é: Στi = ΣΒj =0, significa que os efeitos dos tratamentos e dos blocos são medidos como desvio da média geral. Modelo Aleatório: Neste caso os tratamentos e blocos, incluídos no ensaio (experimento) são amostras casuais das respectivas populações dos tratamentos e dos blocos. Inferências neste caso são tomadas acerca da população dos tratamentos e blocos em simultâneo no ensaio, e não separadamente. Ambos efeitos de blocos e tratamentos podem ser testadas pelo uso do quadrado médio do erro. Para este modelo, os pressupostos adicionais são: τi ~ iidN(0, στ2 ) Βj ~ iidN(0, σΒ2 ) E τ's Β's e ε's são independentemente distribuídos Modelo Misto: Este tipo de modelo é aplicável onde um dos factores (bloco ou tratamento) é aleatório e o outro é fixo. Muitas vezes os blocos são casuais e os tratamentos são fixos nos casos onde este modelo é válido.

34




Formato de Análise ─────────────────────────────────────────────────────────────

Blocos

Tratamento

1

2

...

j

...

Totais Médias Y i. r Y i.

───────────────────────────────────────────────────────────── Y 1. 1 Y 11 Y 12 ... Y 1j ... Y 1r Y 1 .

2 . . . i . . . t

Y 21

Y 22

...

Y 2j

...

Y 2r

Y 2.

Y 2.

Y i1

Y i2

...

Y ij

...

Y ir

Y i..

Y i.

Y t1

Y t2

...

Y tj

...

Y tr

Y t..

...

Y . j

...

Y .r

Y t . ───────────────────────────────────────────────────────────── Totais de Blocos Y .1 Y .. Y .2 ... Y .j ... Y .r

(Y .j) Médias de Blocos

Y .2

Y .1

Y ..

(Y . j ) ──────────────────────────────────────────────────────────── ─ t

Onde: Y .. =

t

r

∑∑Y

e

ij

i =1 j =1

Y ..

=

..

r

∑∑Y i =1 j =1

ij

rt

..

Os estimadores de efeitos dos tratamentos e dos blocos são:

= Y i. − Y .. β ˆ j = Y . j − Y .. τ ˆi

Análise de Variância

⎛ t r ⎞ ⎜⎜ ∑∑Y ij ⎟⎟ i =1 j =1 ⎠ (i) Factor de Correcção (FC): FC= ⎝

2

rt

t

(ii) Soma dos Quadrados Totais (SQT): SQT =

r

∑∑Y i =1 j =1

2 ij

− FC

35




r

∑Y (iv) Soma dos Quadrados dos Blocos (SQB): SQB =

j =1

t

2 . j

− FC t

(v) Soma dos Quadrados dos Tratamentos (SQTrat): SQTrat =

∑Y

2 i.

i =1

r

− FC

(vi) Soma dos Quadrados do Erro (SQE): SQE = SQT – SQB – SQTrat

Quadro de Análise de Variância ──────────────────────────────────────────────────────────────────

Fonte

GL

SQ

QM

F

Quadrados Médios Esperados

───────────────────────────

Modelo Fixo

Modelo Aleatório

────────────────────────────────────────────────────────────────── QMB SQB

Blocos

r-1

SQB

Tratamentos

t-1

SQTrat

Erro

(r-1)(t-1)

Total

rt-1

SQE SQT

r − 1

QME

SQtrat

QMT

t − 1 SQE

( r − 1)(t − 1)

-

QME

----

σ2ε +

-

r

----

t

∑τ t − 1 i =1

σ2ε

….

2 i

σ2ε+rσ2τ σ2ε

…….

──────────────────────────────────────────────────────────────────

1. Erro padrão da média dum tratamento S Y

i.

QME

=

r

2. Erro padrão da diferença entre duas médias S Y −Y i.

s.

=

2QME r

3. Coeficiente de Variação (CV) CV =

QME Y ..

x100

36




Exemplo

Um ensaio para avaliar o rendimento de 5 variedades de milho produziu os resultados apresentados abaixo. Os rendimentos foram medidos em kg por 100m 2 Variedades

1 34 26 37 23 120

A B C D Total

Blocos 3 33 42 39 30 144

2 26 37 45 28 136

4 36 34 41 37 148

5 31 36 53 35 152

Total 160 175 215 150 700

Faça Análise de Variância e dê conclusões? Resolução: Passo 1: Faça um teste de homogeneidade das variâncias 2 ⎛ ⎞ r ⎛ ⎞ ⎜ ⎜⎜ ∑ yij ⎟⎟ ⎟ r ⎜ ⎟ 1 j =1 ⎝ ⎠ 2 2 ⎜ ∑ yij − ⎟ si = r − 1 ⎜ j =1 r ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ s A2 = 14,5; s B2 = 34,0; sC 2 = 40,0;

2

H o : σ A

s D2

= 31,3

= σ B2 = σ C 2 = σ D2

H a : A hipótese nula não é verdadeira

Fcal=

2 smax 2 smin

=

40,0 14,5

= 2,76

F 4,5:α =0 ,05

= 25,5

Dado que o Fcal e inferior ao Fcrit, não se pode rejeitar a hipótese nula. Conclui-se com base no teste de Hartley ao nível de significância de 0,05 não há evidencia que mostre que as variâncias são diferentes. Passo 2: Faça a análise de variância com base nos dados amostrais sem transformação (Dado que o pressuposto de homogeneidade das variâncias não foi violado) Factor de correcção (FC):

7002 = 24500 FC = 20

Soma de quadrados totais (SQT): SQT = 34 2 + 26 2 +

K

+ 32 2 − 24500

SQT = 950 2

1602 + 1752 + 215 2 + 150 SQTrat − 24500 Manual de=Experimentação Agrária 5 SQTrat = 490


37


Soma de quadrados do tratamento (SQTrat): Soma de quadrados dos blocos (SQB)

120 2 + 136 2 + 144 2 + 148 2 + 152 2 − 24500 4 SQB = 160 SQB =

Soma de quadrados do erro (SQE) SQE = 950 − 490 − 160 SQE = 300

Quadrado médio do tratamento (QMTrat):

490 3 QMTrat = 163.33 QMTrat =

Quadrado médio do bloco (QMB)

160 4 QMB = 40 QMB =

Quadrado médio do erro (QME):

300 3*4 QME = 25 QME =

Cálculo de F para tratamentos:

163.33 25 F cal = 6.53 F cal =

Tabela da Análise de Variância Fonte de variação Bloco Tratamento Erro Total

GL 4 3 12 19

SQ 160 490 300 950

QM 40 163.3 25

Fcal

F12,3,0.05

6.53

3.49

38




Com base no teste F e no nível de significância de 5%, o agrónomo pode então concluir que as v ariedades estudadas não têm, em média, a mesma produção.

39




Exemplo prático Um ensaio foi conduzido para comparar seis proporções de sementeira de arroz, variedade IR8. O ensaio foi desenhado num DBCC com 4 repetições (replicações). Do ensaio resultaram os seguintes dados que se apresentam abaixo:

Rendimento do grão de arroz variedade IR8 ────────────────────────────────────────────

Rendimento do grão, kg/ha

Tratamento ───────────────────────────────── kg Semente/ha Total Média Rep I RepII RepIII RepIV yi. yi. ────────────────────────────────────────────

25 50 75 100 125 150

5.113 5.346 5.272 5.164 4.804 5.254

5.398 5.952 5.613 4.831 4.848 4.542

5.307 4.719 5.483 4.986 4.432 4.919

4.678 4.264 4.749 4.410 4.748 4.098

20.496 20.281 21.217 19.391 18.832 18.813

5.124 5.070 5.304 4.848 4.708 4.703

────────────────────────────────────────────

Totais dos blocos ( y. j ) 30.953 31.184 29.846 26.947 Médias dos Blocos ( y. j ) 5.159 5.197 4.974 4.491 Total de todas as observações ( y.. ) Média geral ( y.. )

118.930 4.955

────────────────────────────────────────────

Factor da Correcção (FC) FC =

y..2 rt

1190.0302

=

4*6

= 589.347.704

Soma de Quadrados Totais (SQT) SQT =

t

r

∑∑ y i =1 j =1

2 ij

− FC

=(5.113²+5.398²+...+4.098²)-589.347.704 = 4.659.968 Soma de Quadrados dos blocos (SQB) r

SQB =

∑ y j =1

t

2 . j

− FC

40




=

30.9532

+ 31.2842 + ... + 26.9475 6

− 589.347.704 = 1.894.728

Soma dos Quadrados dos Tratamentos (SQTrat) t

SQTrat =

=

∑ y

2 i.

i =1

r 20.4962

− FC

+ 20.2812 + ... + 18.8132 4

− 589.347.704 = 1.131.481

Soma dos Quadrados do Erro (SQE) SQE = SQT – SQB – SQTrat =4.659.968-1.894.728-1.131.481 =1.633.759 Tabela de Análise de Variância ──────────────────────────────────────────────────────────────

Fonte de Variação

GL

SQ

QM

Fcal

Fcrít. α=0,05 α=0,01

──────────────────────────────────────────────────────────────

Blocos Tratam. Erro Total

3 5 15 23

1.894.728 1.131.481 1.633.759 4.659.968

631.576 226.296 108.917

5,80** 3,29 2,08 2,90 -

5,42 4,56 -

──────────────────────────────────────────────────────────────

CV =

QME y..

x100 = 6,7%

Conclusão Tratamentos: Desde que o valor do F calculado seja menor do que o valor do F tabelado ao nível de significância de 5% conclui-se que não há evidência que mostre que as seis proporções de sementeira são diferentes em termos de rendimento de arroz. b) Blocos: A pesar de se fazer cálculos da Soma de Quadrados, Quadrado Médio e valor de F para os Blocos, o teste dos efeitos deste não tem qualquer utilidade, uma vez não constituir uma hipótese de interesse. Por outro lado tal teste viola regras estatísticas uma vez que os blocos não estão replicados. Portanto, a inclusão dos blocos nas fontes de variação serve apenas para se absorver a variação que de outro modo seria incluída no Erro Experimental. Eficiência de Formação de Blocos 41




O cálculo da Eficiência Relativa (E R) envolve a determinação da magnitude de redução do erro experimental devido a formação de blocos. Isto é, ganho de eficiência atingido no processo de formação de blocos em relação ao delineamento completamente casualizado. Calcula-se da seguinte maneira: ER =

(r − 1)QMB + r (t − 1)QME ( rt − 1)QME

Onde: QME= Quadrado Médio do Erro no DBCC QMB= Quadrado Médio dos Blocos Se os graus de liberdade do erro forem menores que 20 o valor ER é ajustado com a seguinte fórmula: k =

[(r − 1)(t − 1) + 1][t (r − 1) + 3] [(r − 1)(t − 1) + 3][t (r − 1) + 1]

Do exemplo: ER =

3 * 631.576 + 4 * 5 * 108.917 (24 − 1) * 108.917

= 1,63

Mas note que os graus de liberdade do erro são 15, por isso é necessário usar um factor de ajuste K:

[3 * 5 + 1][6 * 3 + 3] = 0,882 [3 * 5 + 3][6 * 3 + 1] ERajustada

= k * ER = 1,63 * 0,982 = 1,60

O resultado mostra que o uso do DBCC em vez do DCC aumentou a precisão do ensaio em 60 porcento.

42




O teste de DMS (i) O Erro padrão duma média ( S Y ) i.

QME

=

S Y

i.

r

Do exemplo s yi .

108.917

=

4

= 165.013 kg/ha

(ii) O Erro padrão duma diferença entre duas médias (syi-yl )

=

S Y −Y i.

s.

2QME r

Do exemplo, s yi . − y s .

=

2 * 108.917

= 233.36kg / ha

4

Assumindo que a proporção de sementeira de 50Kg/ha é um sistema padrão na área de estudo e o experimento teve como objectivo a comparação deste sistema padrão com os outros, o teste de DMS será apropriado para tal. DMS α = 0, 05

= t ( r −1)(t −1),α = 0, 05 * s y

i.

− ys.

= 1,753 * 233,36 = 409,080

─────────────────────────────────────────────────────

Pares comparados

Diferenças entre as médias

Decisão

─────────────────────────────────────────────────────

(25kg e 50Kg) (75Kg e 50Kg) (100Kg e 50Kg (125Kg e 50Kg) (150Kg e 50Kg)

5.124 - 5.070 = 54 5.279 - 5.070 = 209 4.848 - 5.070 = 222 4.708 - 5.070 = 362 4.703 - 5.070 = 367

" " " "

não é significativa " " " "

─────────────────────────────────────────────────────

Na base do teste DMS ao nível de significância de 0,05 não existem diferenças significativas em produção média entre o sistema padrão e os outros. Isto é, a diminuição ou o aumento da proporção de sementeira da proporção padrão não tem efeito significativo na produção de arroz. Análise de Variância com Talhão Perdido

Suponha que no experimento com arroz foi perdido o talhão com tratamento 4 no bloco II. Para fazer análise de variância é necessário estimar o valor para o talhão perdido. Tal valor é artificial e não

43




contribui com informação adicional. Para fazer análise de variância com talhão perdido, use o procedimento seguinte; Passo l Use a fórmula seguinte para estimar o valor perdido. y =

Onde:

rB0 + tT − G0 ( r − 1)( t − 1)

y = estimativa do valor perdido. B0 = é total dos talhões restantes no bloco em que figura o talhão perdido. r = número de repetições t = é o número de tratamentos T = é o valor total do tratamento do talhão perdido nos outros blocos G0= é o total dos talhões disponíveis.

Do exemplo y =

4(26.353) + 6(14.560) − 114.099 ( 4 − 1)(6 − 1)

= 5.245

Passo 2 Substitua o valor y no lugar do dado perdido e faça análise de variância. Do exemplo obtemos os resultados seguintes. Tabela de Análise de Variância ─────────────────────────────────────────

Fonte

GL

SQ

QM

─────────────────────────────────────────

Blocos Tratamentos Erro Total

3 5 15 23

2.116.459 1.078.040 1.526.706 4.721.205

705.486 215.608 101.780

─────────────────────────────────────────

Passo 3 Faça as seguintes modificações nos resultados de Análise de Variância do passo 2:

(a) Subtraia 1 nos graus de liberdade tanto para o total como para o erro (b) Calcule o factor de correcção, usando a fórmula seguinte:

[ B0 − (t − 1) y ]2 [26.353 − (6 − 1)(5.245)] = = 546 B = 6(6 − 1) t (t − 1) (c) Subtraia o factor B da soma dos quadrados totais e da soma dos quadrados dos tratamentos.

44




Portanto, SQT Adjustado = SQT - B = 4.721.205-546 = 4.720.659 SQTtrat(Adjustado) = SQTtrat - B =1.078.040 - 546 =1.077.494 Então a tabela de análise de variância final é: Fonte de variação

G.L

SQ

QM

Fcal

F α =0,05

F α =0, 01

Blocos Tratamentos Erro Total

3 5 14 22

2.116.459 1.077.494 1.526.706 4.720.659

705.486 215.499 109.050

1,98

2,96

4,69

Passo 4 Para fazer comparações entre médias onde um tratamento tem um valor perdido, use a fórmula seguinte:

s yi . − y s .

=

s

2

⎡2 ⎤ t ⎢ r + r (r − 1)(t − 1)⎥ = ⎣ ⎦

DMS α = 0, 05

= t 14,α = 0, 05 * s y

i.

− ys.

⎡2 ⎤ 6 + ⎥ = 255,79kg / ha 4 4 * 4 − 1 * 6 − 1 ( ) ( ) ⎣ ⎦

109.050⎢

= 2,145 * 255,79 = 548,7

45




Exercício

1. Três sistemas de serviço de comida foram testados em 5 hospitais. A variabilidade de interesse foi o tempo (em minutos) utilizado por refeição servida. A refeição do meio dia foi servida por cada hospital e por cada método, com seguintes resultados. Hospital

Método B 9.68 9.69 10.49 8.55 8.30 46.71

A 7.56 9.98 7.23 8.22 7.59 40.58

1 2 3 4 5 total

C 11.65 10.69 11.77 10.72 12.36 57.19

Total 28.89 30.36 29.49 27.49 28.25 144.48

Depois de eliminados os efeitos dos hospitais, sugere a estes dados uma diferença entre os métodos em tempos médios por cada refeição servida. Use nível de significância de 5%. 2. Dezasseis (16) obesos participaram num estudo para comparar 4 regimes de perda de peso. Os obesos foram agrupados consoante ao peso inicial e cada 4 obesos de cada grupo de peso inicial foram casualmente destinados para um dos 4 regimes. No fim do período experimental, as seguintes perdas de peso ( em libras) foram registados. Peso inicial (em libras) 150-174 175-199 200-225 >225 TOTAL

Regime A 12 15 15 18 60

B 26 29 27 38 120

C 24 23 25 33 105

D 23 25 24 31 103

TOTAL 85 92 91 120 388

Dê evidência ao nível de significância de 0.01 que os dados dão uma diferença nos regimes. 3. Quatro variedades participaram num experimento para comparar 3 métodos de alívio de stress hídrico. Cada variedade foi colocada numa situação de stress em três diferentes ocasiões. Os diferentes métodos para a redução do stress foram usados para cada variedade. Os resultados que estão na tabela são quantidades de decréscimo do nível de stress, medido antes e depois dos tratamentos. Variedade 1 2 3 4

A 16 16 17 28

Tratamento B 26 20 21 29

C 22 23 22 26

Faça a tabela de ANOVA e faça o teste F com nível de significância de 5% para tirar conclusões.

46




4. Foi conduzido um ensaio para estudar o efeito da rega e de adubação na capacidade de retenção de água pelas folhas de alface. Para isso foram usados dois níveis de rega (nível baixo R 0 e médio R 1 ) e dois níveis de adubação ( 0kg/ha - N0; 50kg/ha - N1 ). O delineamento usado foi o de blocos completos casualizados. Os resultados do ensaio estão apresentados na tabela abaixo. Blocos Tratamento R 0N0 R 0N1 R 1N0 R 1N1 Totais

I 10.4 15.6 23.1 19.0 68.1

II 8.0 12.3 33.8 31.5 85.6

III 15.6 20.0 23.1 21.2 79.9

IV 7.4 23.8 46.9 28.3 106.4

totais 41.4 71.7 126.9 100.0 340

a) Dê o modelo estatístico para o ensaio. b) Assumindo homogeneidade das variâncias, faça Análise das Variância e o teste F ao nível de significância de 0.05. c) Faça comparações apropriadas para os componentes significativos d) Sumarize as suas conclusões sobre o ensaio. 5. Os delineamentos de blocos completos casualizados, são muito usados na investigação agronómica. Porém, têm as suas vantagens e desvantagens e limitações. a) Em que casos é aconselhável o seu uso? b) Quais são as suas limitações e vantagens?

47




6. Foi realizado um ensaio para comparar 6 variedades de feijão vulgar ( A, B, C, D, E, F ). Para isso foi usado o Delineamento de Blocos Completos Casualizados. Os dados do ensaio são apresentados abaixo em termos de rendimento de grão em Kg/parcela. A 60

E 65

C 66

F 59

D 59

B 56

Bloco I

F 45

A 55

C 59

E 58

D 50

B 57

Bloco II

B 55

C 51

E 43

D 54

A 45

F 50

Bloco III

a) Faça o teste apropriado ao nível de significância de 5% b) Com base no teste DMS, faça a comparação das variedades A e B com a variedade D. Dê conclusões. c) Calcule a eficiência do uso de blocos em relação ao DCC. A que conclusões você chega? 7. Imagine agora que no mesmo ensaio acima, o rendimento do tratamento D no bloco II foi perdido devido a inundações. A 60

E 65

C 66

F 59

D 59

B 56

Bloco I

F 45

A 55

C 59

E 58

D ?

B 57

Bloco II

B 55

C 51

E 43

D 54

A 45

F 50

Bloco III

8. A tabela abaixo apresenta dados sobre a produção de milho da SEMOC em ton/ha, de quatro variedades de milho em cinco tipos de solo. Tipo de solo Arenoso Areno-limoso franco Areno-argiloso Argiloso Totais

A 4.00 4.48 4.16 4.40 5.76 22.8

Variedade B C 4.00 5.52 4.72 4.72 5.28 5.44 4.72 5.76 5.28 5.76 24 27.2

D 3..76 4.00 4.32 4.96 4.96 22

Totais 17.28 17.92 19.2 19.84 21.76 96

a) Faça um teste apropriado ao nível de significância de 5% e tire as conclusões sobre a produção de milho na SEMOC?

48




9. O Departamento de Florestas da Faculdade de Agronomia e Engenharia Florestal tem um estudo sobre o crescimento de três variedades de Eucaliptus spp em diferente regiões. Para o estudo usou-se o Delineamento de blocos completos Casualizados. A tabela mostra os resultados em metros/dia Região Maputo Beira Nampula Quelimane Totais

A 50 54 58 49 211

variedade B 57 60 61 59 237

C 60 62 58 56 236

Totais 167 176 177 164 684

a) Faça Análise de Variância e o teste F ao nível de significância de 5%. b) Faça o teste DMS para comparar as médias. c) Tire algumas conclusões. 10. São dados os pesos de três ratos aos 30, 34, 38, 42, 46 dias de idade. Considere que cada animal é um bloco e que as idades são tratamentos. a) Faça Análise de Variância e interprete os resultados. b) Critique a concepção deste ensaio, no que respeita aos tratamentos. Rato 1 2 3

30 83 63 55

34 86 69 61

Idade 38 103 79 79

42 116 81 79

46 132 98 91

Resultados 1. Fcal = 13.17 3. Fcal = 3.74 9. a) Fcal = 8.68 9. b) A-B - significativo; A-C - significativo; A-D - não significativo

49




CAPITULO V: DELINEAMENTO DOS QUADRADOS LATINOS (DQL) Quando usar o delineamento?

O delineamento de Quadrados Latinos (DQL) é usado nas situações em que existam duas fontes de variação conhecidas dentro das unidades experimentais. As duas fontes de variação são assim usadas como critério no processo de " BLOCKING". As duas direcções do "blocking" são comumente referidas como o "blocking" das linhas e o "blocking" das colunas. Neste delineamento cada tratamento ocorre somente uma vez em cada bloco da coluna e em cada bloco da linha. Com este procedimento torna possível estimar a variação dentro dos blocos da linha, assim como dos blocos das colunas, removendo-os do erro experimental. Exemplo: A

B

C

D

B

A

D

C

C

D

A

B

D

C

B

A

Nota-se acima, que cada tratamento aparece somente uma vez em cada coluna e linha, sendo o número das replicações (repetições) igual ao número de tratamentos. O uso do delineamento depende das seguintes condições: i. O número de tratamentos deve ser igual ao número de replicações. ii. Não pode haver uma interacção entre as duas fontes de variação e os tratamentos. iii. A casualização dos tratamentos deve ser feita de tal modo que cada tratamento apareça apenas uma vez em cada coluna e linha. Exemplos onde DQL pode ser usado

(i) Campos de experimentação onde existam dois gradientes de fertilidade do solo orientados perpendicularmente um do outro. (ii) Experimento em que a direcção de sombreamento é perpendicular ao gradiente de fertilidade do solo dominante no local do experimento. (iii) Experimentos de processamento de alimentos em que há variação na qualidade do produto final ao longo dos dias úteis da semana e em que há diferentes operadores de máquinas de processamento, trabalhando em igual número de turnos.


50


Vantagens e Desvantagens do Delineamento

Vantagem 

Permite-se o controlo de duas fontes de variação

Desvantagens  

Os graus de liberdade para o erro são reduzidos Ensaios envolvendo um largo número de tratamentos aparecem como impraticáveis por causa do largo número de replicações requerido.

Na prática, o delineamento é usado quando o número de tratamentos estiver compreendido entre 4 e 8. Aleatorização e Layout

(i) Faz-se um plano inicial ou selecciona-se um plano inicial dum livro de experimentação (ex. Cochrane e Cox, Experimental Designs 1957) como se mostra abaixo para quadrado latino de 5x5 onde A,B,C,D,E são os tratamentos. Plano 1

A

B

C

D

E

B

A

E

C

D

C

D

A

E

B

D

E

B

A

C

E

C

D

B

A

Note que cada letra (tratamento) aparece apenas uma vez na linha e na coluna. (ii) Casualize a organização das linhas do plano inicial usando os números aleatórios. Neste caso, faz-se a selecção de números aleatórios com dois dígitos, da tabela de número aleatórios como se mostra abaixo. ────────────────────────────────────────

Nºs aleatórios

Sequência

Ordem

────────────────────────────────────────

92 16 72 49 70

1 2 3 4 5

5 1 4 2 3

────────────────────────────────────────

Onde: A sequência representa como os números foram ordenados na tabela. Ordem= A magnitude relativa dos números.


51


Use a ordem para representar as linhas do plano inicial e a sequência para representar as linhas do plano novo. Para o exemplo acima, linha 5 do plano inicial torna-se a linha 1 de plano novo, linha 1 torna-se a linha 2, etc como se mostra abaixo. Plano 2

E

C

D

B

A

A

B

C

D

E

D

E

B

A

C

B

A

E

C

D

C

D

A

E

B

(iii) Casualize as colunas do 2º plano usando os mesmos passos acima descritos. Da tabela de números aleatórios: ────────────────────────────────

Nº aleatório

sequência

Ordem

────────────────────────────────

02 41 16 65 49

1 2 3 4 5

1 3 2 5 4

────────────────────────────────

Da tabela acima, a coluna 1 do plano 2 torna-se coluna 1 do plano 3, coluna 3 torna-se coluna 2, etc como o plano que se mostra abaixo: Plano 3: Plano final E

D

C

A

B

A

C

B

E

D

D

B

E

C

A

B

E

A

D

C

C

A

D

B

E


52


Análise de Variância Modelo estatístico (modelo fixo)

Y ij(k) = µ + ßi + τj + Γ(k) + εij; Onde:

Y ij(k) = é o valor observado da intersecção da i ésima linha e jésima coluna e associado com o k ésimo tratamento. (i = 1, 2 , ..., t; j = 1, 2 , ..., t; k = 1, 2, ..., t) βi = efeito da linha i τj = efeito da coluna j Γ(k) = efeito do tratamento k εij = erro. Pressupostos do modelo - Os componentes do modelo são aditivos - εij ~ iidN (0,σ²) t

-

t

∑ β = 0; ∑τ i

j

i =1

j =1

t

= 0 e ∑ Γ( k ) = 0 k =1

Estimação e os Cálculos para o DQL

Apenas dois subscritos (ij) são necessários para identificar uma observação qualquer porque só um tratamento aparece para uma dada linha e coluna. O terceiro subscrito (k) será necessário para indicar qual é o tratamento que foi aleatoriamente colocado na célula (i,j). Os totais usados na estimação de parâmetros e na Análise de Variância são: i. O valor total para todas as observações t

Y ...

t

= ∑∑Y ijk i =1 j =1

ii. O valor total da linha i t

Y i..

= ∑ Y ijk j =1

iii. O valor total da coluna j t

Y . j .

= ∑ Y ijk i =1

iv. v.

O total do tratamento k: é Y ..k Estimador de efeitos dos tratamentos:

Γˆ = Y ..k − Y ...


53


Análise de Variância

a. O Factor de Correcção (FC)

⎛ t t ⎞ ⎜⎜ ∑∑Y ijk ⎟⎟ ⎝ i=1 j =1 ⎠ FC =

2

t 2

b. A Soma dos Quadrados Totais (SQT) SQT =

t

t

∑∑Y − FC 2 ijk

i =1 j =1

c. A Soma dos Quadrados das Linhas (SQL) t

SQL =

∑Y

2 i..

i =1

− FC

t

d. A Soma dos Quadrados das Colunas (SQC) t

SQC =

∑Y

2 . j .

j =1

− FC

t

e. A Soma dos Quadrados dos Tratamentos (SQTrat) t

SQTrat =

∑Y k =1

t

2 ..k

− FC

f. A Soma dos Quadrados do Erro (SQE) SQE = SQT – SQL – SQC – SQTrat



54


─────────────────────────────────────────────────────────────── SQ QM Quadrados Médios Esperados ───Fonte de Variação G.L ────────────────────────────────

Modelo Fixo

Modelo Casual

─────────────────────────────────────────────────────────────── ───Linhas t-1 SQL QML -----

Colunas

t-1

Tratamentos

t-1

Erro Total

(t-1)(t-2) t2-1

SQC

QMC

SQTrat QMT SQE SQT

---

σ ε 2

+ t

---

t

1

∑Γ t − 1

2 i

σ2ε

k =1

σ ε 2

+ t σ Γ2

σ ε 2

QME

σ ε 2

────────────────────── ────────────────────────────────────────────

Exemplo Foi conduzido um ensaio da variedade de milho , envolvendo três híbridos (A , B e D ) e uma variedade de controlo C usando 4×4 DQL. O ensaio resultou em dados abaixo apresentados. ─────────────────────────────────────────────────────────────── ───

Nº da Rendimento do grão linha ─────────────────────────────────────────── Col.1 Col. 2 Col. 3 Col.4

Total

─────────────────────────────────────────────────────────────── ───

1 2 3 4

1,640(B) 1,475(C) 1,670(A) 1,565(D)

1,210(D) 1,185(A) 0,710(C) 1,290(B)

1,425(C) 1,400(D) 1,665(B) 1,655(A)

1,345(A) 1,290(B) 1,180(D) 0,660(C)

5,620 5,350 5,225 5,170

─────────────────────────────────────────────────────────────── ──

Total

6,350

4,395

6,145

4,475

21,365

─────────────────────────────────────────────────────────────── ──

Da tabela acima, obtêm-se totais (y ..k ) e médias ( ў ..k ) de tratamentos, como se mostra a seguir: Tratamento A y..1 = [1,670+1,185+1,655+1,345) = 5,855 y..1

=

y..1

4

=

5,855 4

= 1,464

Tratamento B y..2 = 1,640+1,290+1,665+1,290 = 5,885 y..2

=

y..2

2

=

5,885 4

= 1,471


55


Tratamento C y..3 =1,475+0,710+1,425+0,660 = 4,270 y..3

y..3

=

=

4

4,270 4

= 1,068

Tratamento D y..4 = 1,565+1,210+1,400+1,180 = 5,355 y..4

=

y..4

=

4

5,355 4

= 1,339

──────────────────────────────────────── Tratamento Total ( y..k ) Média ( y..k ) ────────────────────────────────────────

A B C D

5,855 5,885 4,270 5,355

1,464 1,471 1,068 1,339

────────────────────────────────────────

(i) Factor de correcção (FC) 2

⎛ 4 4 ⎞ ⎜⎜ ∑∑ yijk ⎟⎟ 21,3652 i =1 j =1 ⎝ ⎠ FC = = = 28,528952 2 4

16

(ii) Soma de Quadrados Totais (SQT) SQT =

4

4

∑∑ y i =1 j =1

2 ijk

− FC = (1,649 2 + 1,210 2 + ... + 0,660 2 ) − 28,528952

= 29,9428746 − 28,528952 = 1,413923 (iii) Soma de Quadrados das Linhas (SQL) 4

SQL =

∑ y i =1

4

2 i ..

=

5,620 2

+ 5,350 2 + 5,225 2 + 5,170 2 4

− FC = 0,030154

(iv) Soma de Quadrados das Colunas (SQC)


56


4

SQC =

∑ y

2 . j .

j =1

− FC =

4

6,350 2 + 4,3952

+ 6,1452 + 4,4752 4

− FC = 0,827342

(v) Soma de Quadrados dos Tratamentos (SQTrat) 4

SQtrat =

∑ y k =1

2 ..k

4

− FC =

5,8552 + 5,8852

+ 4,2702 + 5,3552 4

− FC = 0,426842

(vi) Soma dos Quadrados do erro (SQE) SQE = SQT – SQL – SQC – SQTrat

= 1,413923 - 0,030154 - 0,827342 - 0,426842 = 0,129585 Tabela da Análise de Variância ─────────────────────────────────────────────────────────────── ──

Fonte

GL

SQ

QM

F

F6,3 α=0,05 α=0,01

─────────────────────────────────────────────────────────────── ──

Linhas Colunas Tratamentos Erro Total

3 3 3 6 15

0,0301554 0,827342 0,426842 0,129585 1,413923

0,010051 0,275781 0,142281 0,021598

0,47 12,77** 6,59*

4,76

09,78

─────────────────────────────────────────────────────────────── ── CV =

QME y...

x100 =

0,021592 1,335

x100 = 11%

O valor de CV calculado mostra que o nível de precisão está dentro dos limites aceitáveis e assim, as inferências baseadas nestes dados serão provavelmente seguras. Os resultados do teste de F mostram que existem efeitos significativos das variedades no rendimento de milho (p<0,05). Notemos, no entanto, que este teste não nos diz que variedades são significativamente diferentes. Erro padrão duma média s y.. k

=

QME t

=

0,021598 4

= 0,0735

Erro padrão duma diferença entre duas médias


57


s y.. k − y.. s

=

2QME t

=

2 * 0,021598 4

= 0,1039

Quadro de Diferenças entre as Médias

Variedades

y..k − y..s

s y.. k − y.. s

A e B A e C A e D BeC BeD CeD

-0,007 0,396 0,125 0,403 0,132 -0,271

0,1039 0,1039 0,1039 0,1039 0,1039 0,1039

Eficiência do Delineamento

As linhas e as colunas servem unicamente para explicar a variação que de outro modo iria contaminar o Erro Experimental, enfraquecendo os testes. Assim, à semelhança do que afirmámos em relação aos blocos, os testes associados às linhas e às colunas não são relevantes e nem obedecem a um rigor estatístico. Assim que se tiver usado o DQL pode-se calcular a eficiência relativa ao DCC e DBCC. Eficiência Relativa(ER) do DQL -Relativa ao DCC: ER( DCC ) =

QML + QMC + (t − 1)QME

(t − 1)QME

Onde QML = Quadrado Médio da linha. QMC = Quadrado Médio da coluna QME = Quadrado Médio do erro t = Número de tratamentos.

ER ( DCC ) =

0,010051+0,275781+(4-1)(0,021598) = 3.25 (4-1)(0,021598)

Os resultados mostram que usando o delineamento de quadrados latinos em vez do delineamento completamente casualizado, a eficiência foi aumentada em 325%.


58


-Relativa ao DBCC ER( DBCC , linha) =

QML + (t − 1)QME

ER( DBCC , coluna) =

t * QME QMC + (t − 1)QME t * QME

Quando os graus de liberdade para o erro no DQL forem menores que 20, o valor da ER será ajustada pelo seguinte factor.

(t − 1)(t − 2) + 1][(t − 1)2 + 3] [ k = [(t − 1)(t − 2) + 3][(t − 1)2 + 1] Do exemplo: ER (DBCC,linha) =

0,010051 + (4 − 1) * 0,021598

ER (DBCC,Coluna) =

4 * 0,021598

= 0,87

0,275781 + (4 − 1) * 0,021598 4 * 0,021598

= 3,94

Porque os graus de liberdade do erro são apenas seis, os dois valores acima necessitam de ser ajustados:

(4 − 1)(4 − 2) + 1][(4 − 1)2 + 3] [ k = = 0,93 [(4 − 1)(4 − 2) + 3][(4 − 1)2 + 1] ER (DBCC, linha) ajustada = 0,87x0,93 = 0,81 ER (DBCC, coluna) ajustada = 3,94x0,93 = 3,66

Os resultados mostram que "blocking" por linhas não aumentou a precisão comparado com o DBCC enquanto blocking por colunas aumentou a eficiência em 366%. A implicação global é de que o DBCC com colunas como blocos será tão eficiente como o delineamento dos quadrados latinos. O Teste de DMS

Comparação entre as variedades híbridas com a variedade de controlo. y A − yC

= 1,464 − 1,068 = 0,396

y B

− yC = 1,471 − 1,068 = 0,403

y D

− yC = 1,339 − 1,068 = 0,271

DMS α=0,05 = 1,943*0,1039=0,2019 Então


59


y A

− yC >DMS0,05 = significativa

y B

− yC >DMS0,05 = significativa

y D

− yC >DMS0,05 = significativa.

Os híbridos A e B são significativamente superiores à variedade de controlo em termos de rendimento médio, enquanto que o híbrido D é significativamente inferior à variedade de controlo em termos de rendimento médio. Análise de Variância com Talhão Perdido

Suponhamos que no experimento com milho foi perdido o talhão da 4ª linha e 3ª coluna (1,655 é perdido). Passo 1 Usa-se a fórmula seguinte para estimar o valor perdido y =

t ( Lo + Co + To ) − 2Go

( t − 1)( t − 2 )

Onde t = número de tratamentos Lo = é o total de valores na linha com o valor perdido Co = é o total de valores na coluna com o valor perdido To = é o total do tratamento do valor perdido (soma do tratamento cujo valor foi perdido). Go = é total dos talhões disponíveis (grande total sem o valor do talhão perdido). Do Exemplo: y

=

[4(3,515 + 4,490 + 4,200) − 2(19,710)] = 1,567 t/ha 3* 2

Passo 2 : Substitua o valor y no lugar do dado perdido e faça Análise de Variância. Do exemplo, obtemos os resultados seguintes: Quadro de Análise de Variância ───────────────────────────────────────

Fonte

G.L

SQ

QM

───────────────────────────────────────

Linha Coluna Tratamentos Erro Total

3 3 3 6 15

0,039142 0,793429 0,405689 0,126658 1,364918

0,013047 0,264476 0,1352297 0,0211097

─ ───────────────────────────────────────

Passo 3 Faça as seguintes modificações para os resultados da análise de variância em passo 2 -Subtraia 1 grau de liberdade tanto para o total como para o erro. -Calcule o factor de correcção como:


60


[G0 − L0 − C 0 − (t − 1)T 0 ]2 B = [(t − 1)(t − 2)]2 [19,710 − 3,515 − 4,490 − (4 − 104,200]2 = = 0,022251 [(4 − 1)(4 − 2)]2 Subtraia o factor B da soma dos quadrados totais e da soma dos quadrados dos tratamentos Portanto: SQ T(ajustada) = SQT–B = 1,364918-0,022251 = 1,342667 SQTrat(ajustada) = SQTrat – B = 0,405689-0,022251 = 0,383438 Então o quadro da Análise de Variância final será: ─────────────────────────────────────────────────────────────── ───

Fonte de variação

G.L

SQ

QM

F

F5,3 α =0,05 α=0,01

─────────────────────────────────────────────────────────────── ───

Linha Coluna Tratamentos Erro Total

3 3 3 5 14

0,039142 0,793429 0,383438 0,126658 1,342667

0,013047 0,264476 0,127813 0,025332

<1 10,44* 5,41 5,05 5,41

12,06 12,06

─────────────────────────────────────────────────────────────── ───

Para fazer comparação entre médias onde um tratamento tem valor perdido, use a fórmula seguinte para calcular o erro padrão duma diferença entre duas médias: s y.. k − y.. s

⎡2 ⎤ 1 + ⎥ ⎣ t (t − 1)(t − 2) ⎦

=

s2 ⎢

=

0,025332 ⎢

Do Exemplo s y.. k − y.. s

⎡2 ⎤ 1 + = 0,12995 ⎥ = 0,12995 ⎣ 4 (4 − 1)(4 − 2) ⎦

Exemplo prático

Pretende-se estudar o rendimento na produção das sementes da árvore de Leucaena com duas fontes de variação: tipo de solo e período de sementeira. Os dados são apresentados na tabela seguinte (nº de sementes/árvore).


61


Tipo de solo 1 2 3 4 5 totais

1 A58 C60 E64 B68 D68 318

Período de sementeira 2 3 4 D80 B78 E74 A62 D81 B81 C65 A67 D89 E69 C68 A70 B70 E70 C70 346 364 384

5 C66 E70 B74 D80 A65 355

totais 356 354 359 355 343 1767

Faça Análise de Variância e o teste F ao nível de significância de 5%. Resolução Factor de correcção (FC):

17672 FC = = 124891.56 25 Soma de quadrados totais (SQT):

= 58 2 + 60 2 + SQT = 1319.44 SQT

K

+ 80 2 + 65 2 − FC

Soma de quadrados dos tratamentos (SQTrat): 2

322 2 + 371 2 + 329 2 + 398 2 + 347 SQTrat = − FC 5 SQTrat = 784.24

Soma de quadrados das linhas (SQL) 2

356 2 + 354 2 + 559 2 + 355 2 + 343 − FC SQL = 5 SQL = 29.84


62


Soma de quadrados das coluna (SQC) 3 18 2 + 34 6 2 + 36 4 2 + 38 4 2 + 3 552 − FC SQ C = 5 S Q C = 471.84

Soma de quadrados do erro (SQE)

= 1319.44 − 29.84 − 471.84 − 784.24 SQE = 33.52 SQE

Quadrado médio do tratamento (QMTrat): 784.24 4 QMTrat = 196.06 QMTrat =

29.84 4 QM L = 7.46 QML =

Quadrado médio da linha (QML) Quadrado médio da coluna (QMC)

471.84 4 33.52 QMC = = 117.96 QME QMC =

12 QME = 2.793

Quadrado médio do erro (QME): Cálculo de F para tratamentos:

196.06 2.793 F cal = 70.19 F cal =


63


Tabela da Análise de Variância Fonte de variação Linhas Coluna Tratamento Erro Total

GL 4 4 4 12 24

SQ 29.84 471.84 784.24 33.52 1319.44

QM 7.46 117.96 196.06 2.793

Fcal 2.67 42.23* 70.19*

F4,12,0.05 3.26 3.26 3.26

Com base no teste F e ao nível de significância de 5%, pode-se concluir que as variedades não têm a mesma produção de sementes por árvore. Exercício

1. Um investigador pretende avaliar o diâmetro do caule (em cm) da Zea mays em diferentes pontos da zona norte do País. Segundo o investigador, as zonas seriam definidas em função da altitude: 10m, 80m, 240m. O investigador acha que o período de cultivo seria importante para o seu estudo. a) Faça a casualização e apresente o Layout. b) Faça o esqueleto da ANOVA e diga qual seria o problema do Delineamento escolhido? c) Dê o modelo estatístico e os seus pressupostos. 2. Muitas vezes os investigadores usam Delineamento de Quadrados Latinos para verificar se existem diferenças significativas entre tratamentos. a) Quando recomendaria o seu uso? b) Qual é a diferença entre o DQL e DBCC? c) Quais são os indicadores que mostram que no próximo Experimento seria aconselhável ou não o uso do DQL? Justifique como? 3. O INIA (Instituto Nacional de Investigação Agronómica) realizou um experimento usando o Delineamento de Quadrados Latinos. O ensaio consistia em avaliar o efeito de 5 tipos de tratamento e num determinado período. Os resultados estão apresentados na tabela seguinte: PERÍODO 1 2 3 4 5

1 A10 B12 C14 D13 E12

2 B14 C18 D23 E20 A17

VARIEDADE 3 C16 D13 E11 A15 B8.0

4 D19 E23 A22 B13 C18

5 E21 A19 B15 C11 D9.0

a) Faça Análise de Variância e o teste F ao nível de significância de 5%. b)Tire conclusões. 4. Um estudante do 5º ano da Faculdade de Agronomia e Engº Florestal pretende verificar se existem diferenças significativas entre as variedades de tomate se aplicados adubos em diferentes condições de solo.

Condições


Adubo

64


do solo 1 2 3 4 Totais

N D20 A27 B31 C35 113

P A28 B30 C38 D18 114

K B27 C34 D20 A30 111

Orgânico C30 D14 A23 B20 87

Totais 105 105 112 103 425

a) Dê o modelo estatístico para o ensaio? b) Assumindo que as variâncias são homogéneas, faça Análise de Variância e o teste F ao nível de significância de 5% e 1%. c) Com base no teste DMS, faça comparações entre os tratamentos d) Aconselharia no próximo ensaio o uso de DBCC? Porquê? e) Calcule o CV e elabore as conclusões. 5. Foi realizado um ensaio para avaliar o efeito de quatro tipos de ração (A, B, C e D), sobre a produção de leite de vaca. Para tal foi usado o Delineamento de Quadrados Latinos e, cada animal foi submetido a cada um dos quatro tipos de ração num período de três semanas e o leite total no fim das três semanas foi registado (em decilitros). Os resultados estão apresentados na tabela abaixo. VACA período 1 2 3 4 Totais

1 A191 B190 C214 D221 817

2 B195 D203 A139 C152 689

3 C292 A218 D245 B204 959

4 D249 C210 B163 A134 756

totais 928 821 761 711 3221

a) Faça a Análise de Variância e o teste F ao nível de significância de 5%. Comente os seus resultados. b) Calcule o erro padrão da diferença entre duas médias dos tratamentos c) Calcule o erro padrão duma média dum tratamento.


65

Manual de Experimentacao Agraria

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