MAKALAH KALKULUS “PENGGUNAAN TURUNAN”
Nama Kelompok : 1.Rudi Purniawan(09021181320054) Purniawan(09021181320054) 2.Danang Paminto L(09121002051) 3. Juita Asri Lestari(09021181320025)
TEKNIK INFORMATIKA
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
KATA PENGANTAR Alhamdulillah puji syukur kami panjatkan atas kehadirat allah SWT yang telahmemberikan kesempatan, kesehatan dan karunianya kepada kami yang tak terhingga jumlahnya sehingga kami dapat menyelesaikan karya tulis ini tepat pa d a w ak t u n ya . Makalah Matematika Dasar ini ynag membahas tentang Aplkasi Turunan dalam Matematika, cabang ilmu lain maupun dalam kehidupan sehari-hari . Dalam pembuatan makalah ini, penulis mendapat bantuan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : Drs.
Asep deni azis Kepala SMK Ma’arif Cicalengka, yang telah memberikan kesempatan dan memberi fasilitas sehingga makalah ini dapat selesai dengan lancar. Akhir kata semoga makalah ini bisa bermanfaat bagi pembaca pada umumnya dan penulis pada khususnya, penulis menyadari men yadari bahwa dalam pembuatan makalah ini masih jauh dari sempurna untuk itu penulis menerima saran dan kritik yang bersifat membangun demi perbaikan kearah kesempurnaan. Akhir kata penulis penulis sampaikan terimakasih.
BAB III PENUTUP Kesimpulan Dari pembahsan diatas dapat dijelaskan atau disimpulkan penggunaan turunan sebagai berikut : 1. Maksimum dan Minimum 2. Kemonotonan dan Kecekungan 3. Maksimum dan Minimum Lokal 4. Masalah Maksimum dan Minimum 5. Menggambar Grafik Fungsi 6. Teorema Nilai Rata-Rata
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Isaac Newton (1642 - 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada perkembangan beberapa cabang ilmu pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi.
1.2. Rumusan Masalah
Apa saja apliksi turunan yang ada dalam ilu matematika, cabang imu lain atau dalam kehidupan sehari-hari? 1.3. Tujuan
Dapat menjelaskan beberapa Aplikasi turunan.
BAB II PEMBAHASAN
1.Maksimum dan Minimum Misalkan kita mengetahui fungsi f fungsi f dan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar A. maka kita akan menentukan f menentukan f memiliki memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap saja bahwa nilai-nilai tersebut ada dan ingin mengetahui lebih lanjut dimana dalam S nilai-nilai itu berada. Pada akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum. Definisi : Andaikan S, daerah asal f asal f , memuat titik C, kita katakana bahwa:
f (c) (c) adalah nilai maksimum f maksimum f pada pada S jika f jika f (c)≥ (c)≥ f (x) (x) untuk semua x di S f (c) (c) adalah nilai minimum f minimum f pada pada S jika f jika f (c)≤ (c)≤ f (x) (x) untuk semua x di S f (c) (c) adalah nilai ekstrim f ekstrim f pada pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum
Misalkan f : D → R dan c є D. Nilai f(c) disebut nilai maksimum apabila f(c) ≥ f(x) untuk setiap x є D. Nilai f(c) disebut nilai minimum apabila f(c) ≤ f(x) untuk setiap x є D. Nilai maksimum atau minimum disebut nilai ekstrim. Contoh 1. Misalkan f(x) = x2, x є [-1,2]. Nilai maksimumnya adalah 4 [= f(2)], sedangkan nilai minimumnya adalah 0 [= f(0)]. Perhatikan grafiknya.
Teorema Eksistensi dan Nilai Ekstrim Jika f kontinu pada [a,b], maka f akan mencapai nilaimaksimum dan minimum pada [a,b].Teorema ini mengatakan bahwa kekontinuan merupakan syarat cukup bagi eksistensi nilai ekstrim.Fungsi pada Contoh 1, misalnya, merupakan fungsi yang kontinu pada [-1,2] dan fungsi ini mempunyai nilai maksimum dan minimum pada [-1,2]. Fungsi yang tidak kontinu mungkin saja mempunyai nilai ekstrim. Sebagai contoh, fungsi yang didefinisikan sebagai berikut : f(x)
= -1, jika x = 0, = x, jika 0 < x < 1, = 2, jika x = 1,
mempunyai nilai maksimum 2 [= f(1)] dan nilai minimum -1 [= f(0)]. Namun demikian, ketakkontinuan tidak menjamin eksistensi nilai ekstrim. Sebagai contoh, fungsi g(x) = ., jika x = 0 atau 1, = x, jika 0 < x < 1, tidak mempunyai nilai ekstrim, baik maksimum maupun minimum. Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim (lokasi titk ekstrim) : Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I selang I sebagai sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan tipe yang dibahas 1.3. beberapa dari selang ini memuat titk-titik ujung; beberapa tidak. Misalnya I Misalnya I = [a,b] memuat titik-titik ujung dua-duanya; (a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak memuat titk ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yan didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung. Jika c sebuah titik pada mana f mana f ’(c) ’(c) = 0 disebut c titik stasioner. Pada titik stasioner, grafik f grafik f mendatar karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim terjadi pada titik-titik stasioner. Jika c adalah titik dalam dari I dari I dimana f dimana f ’ tidak ada, disebut c titik singular. Grafik f Grafik f mempunyai mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal. Nilai-nilai Nil ai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular. Walaupun dalam masalah-masalah praktis sangat langka.
Contoh 2. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = -2x3 + 3x2 + 1 pada [-1,2]. Jawab:
Turunan f adalah f ’(x) = -6x2 + 6x = 6x(1 – x). x). Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, sedangkan titik singularnya tidak ada. Dengan demikian terdapat 4 titik kritis,yakni -1, 0, 1, dan 2 (dua titik ujung selang dan dua titikstasioner). Sekarang bandingkan nilai f di titik-titik kritis tersebut: f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = -3. Menurut Teorema Lokasi Titik Ekstrim, f mesti mencapai nilaimaksimum 6 (di -1) dan minimum -3 (di 2).
2.Kemonotonan dan Kecekungan
Fungsi f dikatakan naik pada I apabila untuk setiap x, y є I dengan x < y berlaku f(x) < f(y).Fungsi f dikatakan turun pada I apabila untuk setiap x, y є I dengan x < y berlaku f(x) > f(y).Fungsi f dikatakan monoton pada I apabila f naik atau turun pada I. Catatan. I dapat berupa selang buka atau tutup. Teorema 3. Misalkan f kontinu dan mempunyai turunan pada I.
Jika f ’(x) > 0 untuk setiap x є I,maka f naik pada I. Jika f ’(x) < 0 untuk setiap xє I, maka f
turun pada I. Contoh 3. Diketahui f(x) = x3 – 12x. 12x. Kita hitung turunannya: 12 = 3(x – 2)(x 2)(x + 2). f ’(x) = 3x2 – 12 Periksa tanda f ’(x) pada garis bilangan real:
Menurut teorema di atas, f naik pada (( -∞,-2) dan juga pada (2,∞); dan turun pada ( -2,2).
Misalkan f mempunyai turunan pada I = (a,b).
Jika f ’ naik pada I,
maka grafik fungsi f cekung ke atas pada I;
jika f ’ turun pada I, maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada I.
Teorema 4. Misalkan f mempunyai turunan kedua pada I. Jika f ’’(x) > 0 untuk setiap x є I, maka grafik fungsi f cekung ke atas pada I. Jika f ’’(x) < 0 untuk setiap x є I, maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada I. Contoh 4. Diketahui f(x) = x3 – 12x. – 12x. Maka, f ’(x) =3x2 – 12 – 12 dan f ’’(x) = 6x. Periksa tanda f ’’(x):
Menurut Teorema di atas, grafik fungsi f cekung ke atas pada (0,∞) dan cekung ke bawah pada (-∞,0). Grafik fungsi f(x) = x3 – 12x. 12x.
Titik (c,f(c)) disebut titik belok (di buku: titik balik) f apabila f cekung ke atas di kiri c dan cekung ke bawah di kanan c,atau sebaliknya. Pada contoh sebelumnya, (0,0) merupakan satu-satunya titik belok f(x) = x3 – 12x 12x.
Turunan Pertama dan Kemonotonan Ingat kembali bahwa turunan pertama f’ (x) (x) memberi kita kemiringan dari garis singgung f singgung f dititik x, kemudian jika f’ (x) (x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jika f’ (x) (x) < 0, garis singgung jatuh ke kanan. Turunan Kedua dan Kecekungan Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah jarum jam, grafik cekung ke bawah. Titik Balik Andaikan f Andaikan f kontinu kontinu di c, kita sebut (c, f f (c)) (c)) suatu titik balik dari grafik f grafik f jika f jika f cekung cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah kemungkinan. Gambar soal : Jika f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun? Penyelesaian: Mencari turunan f f’(x) = 3x 2 + 12x + 9 = 3 (x2 + 4x + 3) = 3 (x+3)(X+1) Kita perlu menentukan ( x +3) x +3) ( x +1) x +1) > 0 dan ( x +3) x +3) ( x + x + 1) < 0 terdapat titik ti tik pemisah -3 dan 1, membagi sumbu x sumbu x atas atas tiga selang ( -∞, -3), (-3, -1) dan (- 1, ∞). Dengan memakai titik uji 4, -2, 0 didapat f didapat f `( x) x) > 0 pada pertama dan akhir selang sel ang dan f dan f `( x) x) < 0 pada selang tengah. Jadi, f naik pada (- ∞, -3] dan [-1, ∞) dan turun pada [ -3, -1] Grafik f (-3) (-3) = 3 f (-1) (-1) = -1 f (0) (0) = 3
3.Maksimum dan Minimum Lokal Definisi : Andaikan S, daerah asal f asal f , memuat titik c. kita katakan bahwa : f( c) c) nilai maksimum lokal f lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c i. sedemikian sehingga f sehingga f (c) (c) adalah nilai maksimum f maksimum f pada (a,b) ∩ S f (c) (c) nilai minimum lokal f lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f sehingga f (c) (c) adalah nilai minimum f minimum f pada (a,b) ∩ S
ii.
f (c) (c) nilai ekstrim lokal f lokal f jika jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal
iii.
Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal.
Nilai f(c) disebut nilai maksimum [minimum] lokal f apabila f(c) ≥ f(x) [f(c) ≤ f(x)] di sekitar c.Nilai maksimum/minimum lokal disebut nilai ekstrim lokal. Uji Turunan Pertama.
Jika f ’(x) > 0 di sekitar kiri c dan f’(x) <0 di sekitar kanan c, maka f(c) merupakan nilai maksimum lokal. Jika f ’(x) < 0 di sekitar kiri c dan f’(x) >0 di sekitar kanan c, maka f(c) merupakan nilai minimum lokal.
Contoh 5. Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal f(x) = x3 – 12x. 12x. Jawab: 12 = 3(x – 2)(x 2)(x + 2) mempunyai tanda: f ’(x) = 3x2 – 12
Menurut Uji Turunan Pertama, f(-2) merupakan nilai maksimum lokal dan f(2) merupakan nilai minimum lokal, sesuai dengan yang kita lihat pada grafiknya.
Uji Turunan Kedua.
Misalkan f ’(c) = 0 dan f mempunyai turunan kedua pada suatu selang yang memuat c. Jika f ’’(c) < 0, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal. Jika f ’’(c) > 0, maka f(c) merupakan nilai minimum lokal. Contoh 6. Untuk f(x) = x3 – 12x, – 12x, f ’(x) = 3x2 – 12 12 = 0 di x = -2 dan di x = 2. Dengan Uji Turuan Kedua, kita hitung f ’’(x) = 6x < 0 di x = -2;jadi f(-2) merupakan nilai
maksimum lokal. Sementara itu f ’’(x)
> 0 di x = 2, dan karenanya f(2) merupakan nilai minimum lokal. Catatan. Hasil di atas sesuai dengan hasil sebelumnya.
4.Masalah Maksimum dan Minimum Contoh 7. Tentukan titik pada lingkaran x2 + y2 = 1 yang terdekat ke titik P(1,2). Jawab: Misalkan s menyatakan jarak titik (x,y) pada lingkaran li ngkaran x2 + y2 = 1 ke titik P(1,2), yakni
Karena meminimumkan s sama dengan meminimumkan s2, kita tinjau D = s2,
Turunkan terhadap x, kita peroleh
Perhatikan bahwa dD/dx = 0 apabila
yaitu apabila x = 1/√5. Dengan memeriksa tanda dD/dx di sekitar 1/√5,kita simpulkan bahwa D mencapai minimum di x =1/√5.Jadi titik terdekat ke P(1,2) adalah (1/√5,2/√5).
5.Menggambar 5.Menggambar Grafik Fungsi Kita telah melihat bagaimana informasi tentang kemonotonan dan kecekungan dapat dipakai untuk menggambar grafik fungsi f(x) = x3 – 12x. 12x. Berikut adalah sebuah contoh lainnya.
Gambarlah grafik fungsi f(x) = √x.(x – 5)2, 5)2, dengan memperhatikan: * daerah asal dan daerah hasilnya, * titik-titik potong dengan sumbu koordinat, * kemonotonan dan titik-titik ekstrim lokalnya, * kecekungan dan titik-titik beloknya (bila ada).
Daerah asal f adalah [0,∞) dan daerah hasilnya juga [0,∞), sehingga grafiknya akan terletak di kuadran pertama. Titik potong dengan sumbu x adalah 0 dan 5, sedangkan titik potong dengan sumbu y adalah 0. Untuk x > 0, turunan pertama f adalah
Jadi, titik-titik stasionernya adalah 1 dan 5,dan tanda f ’(x) adalah
Jadi f naik pada [0,1), turun pada [1,5], dan naik pada (5,∞). Menurut Uji Turunan Pertama, f(1) =16 merupakan nilai maksimum lokal dan f(5) = 0 merupakan nilai minimum lokal (sekaligus global).Sekarang kita hitung turunan keduanya:
Menggunakan rumus akar persamaan kuadrat, kita dapatkan f ’’(x) = 0 ketika x = 1 + 2√6/3 ≈ 2,6.
Di kiri 2,6, f ’’(x) < 0, shg grafiknya cekung ke bawah;sedangkan di kanan 2,6, f ’’(x) > 0, sehingga grafiknyacekung ke atas. (2,6;f(2,6)) merupakan titik belok.
Dengan semua informasi ini, kita dapat menggambar grafik fungsi f(x) = √x.(x – 5)2 5)2 sebagai berikut:
6.Teorema Nilai Rata-Rata Teorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus – tidak begitu penting, tetapi sering kali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup berarti. Dalam bahasa geometri, teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titi k antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajat talibusur AB. Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian, dan dalam Gambar 2 terdapat beberapa. GAMBAR 1 dan 2 Teorema A Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan (Teorema Nilai rata-rata untuk Turunan) . Jika f terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana f (b) (b) – f f (a) (a) / b – a a = f’ = f’ (c) (c) atau secara setara, dimana f (b) (b) – f f (a) (a) = f’ = f’ (c) (c) (b-a) Teorema B Jika F’(x) = G’(x) untuk semua – x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga F(x) = G(x) + C Untuk semua x dalam (a,b) Pak Dono mengatakan bahwa ia telah menempuh 112 km dalam 2 jam tanpa pernah melampaui 55 km/jam.Tentu saja ia berbohong. Tetapi bagaimana kita dapat membuktikannya? Teorema Nilai Rata-rata. Jika f kontinu pada [a,b]
dan mempunyai turunan pada (a,b), maka terdapat suatu c є (a,b) sedemikian sehingga
Catatan. [f(b) – f(a)]/(b f(a)]/(b – a) a) adalah nilai rata-rata f . Contoh Soal :
Diketahui f(x) = x2, x є [0,1]. H itung nilai rata-rata f dan tentukan c є (0,1) sedemikian sehingga f ’(c) sama dengan nilai rata-rata f. Jawab: Nilai rata-rata f pada [0,1] adalah[f(1) – f(0)]/(1 f(0)]/(1 – 0) 0) = 1. Sementara itu f ’(x) = 2x = 1 jika dan hanya jikax = 1/2 Jadi c = . adalah bilangan yang kita cari.
