MAKALAH TUGAS KELOMPOK III STATISTIKA LANJUT
DISUSUN OLEH
:
NAMA(NPM NAMA(NPM))
: -Risqy Muharam Muharam
(201043500772) (201043500772)
-Ken Fikar Haikal
(201043500743)
-Ongki Haryadi
(201043500753)
-Agus Nu Nur Al Alamsyah
(201043500750)
-Agus Edi Saputra
(201043500755)
-Cepi Muharam
(201043500730)
PROGRAM STUDI
: Teknik Informatika
MATA KULIAH
: STATISTIKA LANJUT
MATE MATERI RI PEMB PEMBAH AHASA ASAN N
: DISTR DISTRIBU IBUSI SI TEORIT TEORITIS IS
FAKULTAS TEKNIK MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI TAHUN AJARAN 2010/2011
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum wr .wb. Puji dan Syukur Kami Panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena berkat limpahan Rahmat dan Karunia-Nya sehingga kami dapat menyusun makalah ini tepat pada waktunya. Makalah ini membahas tentang DISTRIBUSI TEORITIS. Dalam penyusunan makalah ini, kami banyak mendapat tantangan dan hambatan akan tetapi dengan bantuan masukkan dari rekan-rakan sekalian tantangan itu bisa teratasi. Olehnya itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya sebesar-besarnya kepada rekan-rekan kelompok yang telah telah bekerjasa bekerjasama ma dalam dalam penyusu penyusunan nan makalah makalah ini, semoga semoga semua semua mendapa mendapatt balasan balasan yang setimpal dari Tuhan Yang Maha Esa. Kami Kami meny menyad adar arii bahw bahwaa maka makala lah h ini ini masi masih h jauh jauh dari dari kese kesemp mpur urna naan an baik baik dari dari bent bentuk uk penyusunan penyusunan maupun materinya. Kritik konstruktif dari pembaca sangat penulis harapkan untuk penyempurnaan penyempurnaan makalah makalah selanjutnya. selanjutnya. Akhir kata semoga makalah ini dapat memberikan manfaat kepada kita sekalian. Assalamu’alaikum wr.wb.
Jakarta, 25 Maret 2012
Penyusun
BAB I DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS 1. Pendahuluan
Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan. numerik/bilangan.
Peubah Acak
Fungsi yang mendefinisikan titik-titik contoh dalam ruang contoh sehingga memiliki nilai berupa bilangan nyata
disebut : PEUBAH PEUBAH ACAK = VARIABEL VARIABEL ACAK = RANDOM RANDOM
VARIABLE (beberapa buku juga menyebutnya sebagai STOCHASTIC VARIABLE )
X dan x
Biasanya PEUBAH ACAK dinotasikan sebagai X (X kapital) Nilai dalam dalam X dinyatakan dinyatakan sebagai sebagai x (huruf kecil kecil x). Contoh 1 : Pelemparan sekeping Mata Uang setimbang sebanyak 3 Kali S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA} dimana G = GAMBAR dan A = ANGKA X: setiap satu sisi GAMBAR bernilai satu (G = 1) S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}
↓
↓
↓
↓
3
2
2
2
↓
Perhatikan bahwa X{0,1,2,3} Nilai x1= 0, x2= 1 x3= 2, x4= 3
1
↓ 1
↓
↓ 1
0
Kategori Peubah Acak
Peubah Acak dapat dikategorikan menjadi: a.
Peubah bah Acak Diskr iskrit it :
nilainyaberupa nilainyaberupa bilangan cacah, dapat dihitung dan terhingga.
→
untuk hal-hal yang dapat dicacah Misal :
Banyaknya Produk yang rusak = 12 buah Banyak pegawai yang di-PHK= 5 orang
b.
Peubah Acak Acak Kontinyu: Kontinyu:
nilainya berupa selang bilangan, tidak dapat di hitung dan tidak terhingga (memungkinkan pernyataan dalam bilangan pecahan)
→
untuk hal-hal yang diukur (jarak, waktu, berat, volume)
Misalnya
Jarak Pabrik ke Pasar = 35.57 km Waktu produksi per unit = 15.07 menit Berat bersih produk = 209.69 gram Volume kemasan = 100.00 cc
Distribusi Peluang Teoritis
Tabel Tabel atau atau Rumu Rumuss yang yang menca mencantu ntumka mkan n semua semua kemu kemungk ngkina inan n nilai nilai peuba peubah h acak acak beriku berikutt peluangnya. peluangnya. Berhubungan Berhubungan dengan kategori peubah acak, maka dikenal : a. Distri Distribusi busi Pelua Peluang ng Diskrit Diskrit : Binomial Binomial,, Poisson Poisson b. Distribusi Distribusi Peluang Peluang Kontinyu : Normal*) Normal*) t, F, χ²(chi kuadrat)
2. Distribusi Distrib usi Peluang Diskrit
2.1
Distr istrib ibus usii Peluang uang Bino inomial ial
Percobaan Binomial
Percobaan Binomial adalah percobaan yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
1. Percobaan diulang n kali
2. Hasil setiap ulangan ulangan hanya dapat dikategorikan dikategorikan ke dalam 2 kelas; Misal: "BERHASIL" atau "GAGAL" ("YA" atau "TIDAK"; "TIDAK"; "SUCCESS" or "FAILED")
3. Peluang keberhasilan = p dan dalam setiap ulangan nilai p tidak berubah. Peluang gagal = q = 1- p.
4. Setiap ulangan bersifat bebas satu dengan yang lain.
Definisi Distribusi Peluang Binomial
b(x;n,p)
=
C xn p x q n-x
n: banyaknya ulangan x: banyak keberhasilan dalam peubah acak X
untuk x = 0,1,23,...,n
p: peluang peluang berhasil pada pada setiap ulangan q: peluang gagal gagal = 1 - p pada setiap setiap ulangan
Contoh 2 : Tentukan peluang mendapatkan mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali pada pelemparan pelemparan 5 kali sebuah dadu setimbang! Kejadian sukses/berhasil = mendapat "MATA 1" x=3 n = 5 → pelemparan diulang 5 kali
p =
1
q = 1-
6
b(x;n,p)
b( 3;5, 16 )
1 6
=
5 6
C xn p x q n-x
=
=
=
C35 ( 16 ) 3 ( 56 ) 2 5!
52
3! 2!
65
= 10 × 0.003215...= 0.03215...
Contoh 4b: Peluang seorang mahasiswa membolos adalah 6:10, jika terdapat 5 mahasiswa, berapa peluang terdapat 2 orang mahasiswa yang tidak membolos?
Kejadian yang ditanyakan → Kejadian SUKSES = TIDAK MEMBOLOS Yang diketahui peluang MEMBOLOS = q = 6 : 10 = 0.60 p = 1 - q = 1 - 0.60 0.60 = 0.40 0.40
x = 2,
b(x = 2; n = 5, p = 0.40) = ................. ................... ..
n=5
Tabel Peluang Binomial
Soal Soal-so -soal al pelua peluang ng pelua peluang ng binom binomial ial dapat dapat disel diselesa esaika ikan n denga dengan n bantu bantuan an Tabel Tabel Distr Distribu ibusi si Peluang Binomial Binomial (Lihat (Lihat hal 157-162, Statistika Statistika 2)
Cara membaca Tabel tersebut : Misal : n
x
p = 0.10
p = 0.15
p = 0.20 dst
5
0
0.5905
0.4437
0.3277
1
0.3280
0.3915
0.4096
2
0.0729
0.1382
0.2048
3
0.0081
0.0244
0.0512
4
0.0004
0.0020
0.0064
5
0.0000
0.0001
0.0003
Perhatikan Total setiap Kolom p = 1.0000 (atau karena pembulatan, nilainya tidak persis = 1.0000 hanya mendekati mendekati 1.0000)
x = 0 n = 5 p = 0.10
b(0; 5, 0.10) = 0.5905
x =1
b(1; 5, 0.10) = 0.3280
n = 5 p = 0.10
Jika 0≤ x ≤ 2, n = 5 dan p = 0.10 maka b(x; n, p) = b(0; 5, 0.10)+ b(1; b(1; 5, 0.10)+b(2;5,0 0.10)+b(2;5,0.10) .10) = 0.5905 + 0.3280 +0.0729 = 0.9914
Contoh 5 : Suatu Suatu perusaha perusahaan an “pengirim “pengiriman an paket paket ” terikat terikat perjanji perjanjian an bahwa bahwa keterlam keterlambata batan n paket paket akan menyebabkan perusahaan harus membayar biaya kompensasi. Jika Peluang Peluang setiap setiap kiriman akan terlamba terlambatt adalah adalah 0.20
Bila Bila terdapat terdapat 5 paket, paket, hitunglah hitunglah
probabilitas probabilitas : a. Tidak ada paket yang terlambat, sehingga perusahaan tidak membayar biaya kompensasi? (x = 0) b. Lebih Lebih dari 2 paket paket terlambat? terlambat? (x > 2) c. Tidak Lebih dari 3 paket yang terlambat?(x ≤ 3) d. Ada 2 sampai 4 paket yang terlambat?(2 ≤ x
≤
4)
e. Paling tidak ada 2 paket yang terlambat?(x ≥ 2) Jawab a. x = 0
→ b(0; 5, 0.20) = 03277 (lihat di tabel atau dihitung dgn rumus)
b. x > 2 → Lihat tabel dan lakukan penjumlahan penjumlahan sebagai sebagai berikut : b(3; 5, 0.20) 0.20) + b(4; 5, 0.20) 0.20) + b(5; 5, 0.20) = 0.0512+ 0.0064 0.0064 + 0.0003 0.0003 = 0.0579 atau .....
→
1 - b(x
≤
2) = 1 - [b(0; [b(0; 5, 0.20) 0.20) + b(1; 5, 0.20) 0.20) + b(2; b(2; 5, 0.20) 0.20) = 1 - [0.327 [0.3277 7+
0.4096 + 0.2048)= 1 - 0.9421 = 0.0579 0.0579
Rata-rata dan Ragam Distribusi Binomial b(x; n, p) adalah
Rata-rata µ = np Ragam
σ²
= npq
n = ukuran populasi p = peluang peluang keberhasilan keberhasilan setiap ulangan ulangan q = 1 - p = peluang gagal setiap ulangan
2.3
Distribusi Pe Peluang Po Poisson
Percobaan Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut : 1.
Hasil Hasil per percob cobaan aan pada pada suatu suatu selan selang g waktu waktu dan dan temp tempat at tidak tidak tergan tergantu tung ng dari dari hasil hasil percobaan di selang waktu waktu dan tempat tempat yang lain yang terpisah terpisah
2.
Peluang terjadinya suatu hasil percobaan percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit
3.
Pelua eluang ng bahw bahwaa lebih lebih dari dari satu satu hasi hasill perco percoba baan an akan akan terj terjad adii pada pada satu satu sela selang ng wakt waktu u dan luasan tempat yang sama diabaikan
Definisi Distribusi Peluang Poisson Poisson :
po poisso sson ( x; µ )
e =
µ
−
x
µ
x !
e : bilangan natural = 2.71828... x : banyaknya unsur BERHASIL dalam sampel
µ:
rata-rata keberhasilan
Perha Perhatik tikan an rumus rumus yang yang diguna digunakan kan!! Pelua Peluang ng suatu suatu kejadi kejadian an Poiss Poisson on hitung hitung dari dari rata-r rata-rat ataa populasi populasi (µ)
Tabel Peluang Poisson
Seperti halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson dapat diselesaikan dengan Tabel Poisson (Statistika 2, hal 163-164) Cara membaca dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbeda dengan Tabel Binomial Misal:
x
µ = 4.5
µ = 5.0
0
0.0111
0.0067
1
0.0500
0.0337
2
0.1125
0.0842
3
0.1687
0.1404
dst
dst
dst
15
0.0001
0.0002
poisson(2; 4.5) 4.5) = 0.1125 0.1125 poisson(x < 3; 4.5) = poisson(0;4. poisson(0;4.5) 5) + poisson(1; poisson(1; 4.5)+ poisson(2; poisson(2; 4.5) 4.5) = 0.0111 + 0.0500 + 0.1125 = 0.1736
poisson(x > 2;4.5) = poisson(3; poisson(3; 4.5) + poisson(4; 4.5) +...+ +...+ poisson(15;4.5) poisson(15;4.5) atau = 1 - poisson(x ≤ 2) = 1 - [poisson(0;4.5) [poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)] = 1 - [0.0111 + 0.0500 + 0.1125 ] = 1 - 0.1736 = 0.8264
Contoh 6 : Rata-rata Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan melakukan 5 kesalahan ketik ketik per halaman. Berapa peluang peluang bahwa pada pada halaman berikut ia membuat: membuat: a. tidak ada kesalahan?(x = 0) b. tidak lebih lebih dari 3 kesalahan?( kesalahan?( x ≤ 3) c. lebih dari 3 kesalahan?(x >3) d. paling tidak ada 3 kesalahan (x ≥ 3)
Jawab:
µ=5
a. x = 0 → dengan rumus? hitung poisson(0; 5) atau
→ dengan Tabel Distribusi Poisson di bawah x:0 dengan
µ = 5.0 → (0; 5.0) = 0.0067
b. x ≤ 3 → dengan Tabel Tabel Distribusi Distribusi Poisson Poisson hitung poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; poisson(2 ; 5.0) + poisson(3; 5.0) = 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650
c. x > 3 → poisson( x > 3; 5.0) = poisson(4; 5.0) + poisson(5; 5.0) + poisson (6; 5.0) + poisson(7; 5.0) 5.0) + ... ... + poisson(15; poisson(15; 5.0)
atau
→ poisson(x >3) = 1 - poisson(x≤ 3) = 1 - [poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0)] 5.0)] = 1 - [0.0067 [0.0067 + 0.0337 0.0337 + 0.0842 + 0.1404] = 1 - 0.2650 = 0.7350
Pendekatan Pendekatan Poisson untuk Distribusi Binomial :
Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial, dilakukan jika n besar (n > 20) dan p • Pendekatan menetapkan p dan kemudian menetapkan sangat kecil (p < 0.01) dengan terlebih dahulu menetapkan
µ
=nxp
Contoh 7 Dari 1 000 orang mahasiswa 2 orang mengaku selalu terlambat masuk kuliah setiap hari, jika pada suatu hari terdapat 5 000 mahasiswa, mahasiswa, berapa peluang ada lebih dari 3 orang yang terlambat? Kejadian Sukses : selalu terlambat masuk kuliah p =
2 1000
= 0.002
jika diselesaikan diselesaikan dengan peluang peluang Binomial Binomial
n = 5 000
x>3
→ b(x > 3; 5 000, 0.002) tidak ada di Tabel, jika menggunakan rumus sangat tidak praktis.
p = 0.002 0.002
µ
n = 5 000 000
x>3
= n × p = 0.002 × 5 000 = 10
diselesaikan dengan peluang Poisson → poisson (x > 3; 10) = 1 - poisson (x ≤ 3) = 1 - [poisson (0;10) + poisson(1; 10) + poisson(2;10) + poisson(3; 10) = 1 - [0.0000 + 0.0005 + 0.0023 0.0023 ] = 1 - 0.0028 0.0028 = 0.9972 3. Distribusi Peluang Kontinyu
3.1
Distribusi Normal
dalamDistribusi Peluang Normal dinyatakan dalam luas dari di • Nilai Peluang peubah acak dalamDistribusi bawah kurva berbentuk genta\lonceng genta\lonceng (bell shaped curve).
• Kurva maupun persamaan Normal melibatkan nilai x, µ dan σ.
•
Keseluruhan kurva akan bernilai 1, ini mengambarkan sifat peluang yang tidak pernah negatif dan maksimal bernilai satu
Perhatikan Perhatikan gambar di bawah ini:
σ
µ
Gambar1.
x
Kurva Di Distribusi No Normal
Definisi Distribusi Peluang Normal
n(x; µ, σ) =
1 2πσ
untuk nilai x : -∞ < x < ∞
2
e
π = 3.14159...
e = 2.71828.....
µ
: rata-rata populasi
σ
: simpangan baku populasi
σ²
: ragam populasi
•
1 x µ 2 ( ) 2 σ −
−
Untuk memudahkan penyelesaian soal-soal peluang Normal, telah disediakan tabel nilai z (Statistika2, hal 175)
Perhatikan Perhatikan dalam tabel tersebut : 1.
Nilai ya yang dicantu ntumkan ad adalah ni nilai z
z
=
x
−
µ
σ
2.
Luas Lu as kurva kurva yang yang dicant dicantum umkan kan dalam dalam tabel tabel = 0.50 0.50 (sete (setenga ngah h bag bagian ian kurva kurva normal normal))
0
z
3.
Nila Nilaii z yang yang dim dimasu asukka kkan n dala dalam m tabel tabel ini adala adalah h luas luas dari dari sum sumbu bu 0 sampa sampaii deng dengan an nilai nilai
z Dalam soal-soal peluang Normal tanda = . ≤ dan ≥ diab diabai aika kan, n, jadi jadi hany hanyaa ada ada tand tandaa < > Cara membaca Tabel Nilai z z
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
0.0 0.1 0.2 :: 1.0 1.1 1.2
0.3944
: 3.4 Nilai 0.3944 0.3944 adalah untuk luas atau atau peluang 0 < z < 1.25 1.25 yang digambarkan digambarkan sebagai sebagai berikut
0
1.25
Gambar 2. 2.
Peluang 0 < z < 1.25
dan dan
Dari Gambar 2 dapat kita ketahui bahwa P(z >1.25 ) = 0.5 - 0.3944 = 0.1056
0
1.25
Gambar 3. 3.
Peluang (z (z>1.25)
P(z < 25) = 0.5 + 0.3944 = 0.8944
0 Gambar 4. 4.
1.25 Peluang (z (z <1 <1.25)
Luas daerah untuk z negatif dicari dengan cara yang sama, perhatikan contoh berikut : P(-1.25 < z <0) = 0.3944
-1.25
0
Gambar 5. 5.
Peluang ((-1.25 < z < 0)
P(z >-1.25) = 0.5 + 0.3944 = 0.8944 0.8944
-1.25
0
Gambar 6.
Peluang (z>-1. -1.25)
P(z < -1.25) = 0.5 - 0.3944 = 0.1056
-1.25 Gambar 7.
0 Peluang (z < -1. -1.25)
Jika ingin dicari peluang diantara suatu nilai z→ z1 < z < z2, perhatikan contoh berikut :
P(-1.25
-1.25
0
Gambar bar 8.
1.25
Peluang uang (-1 (-1.25< 25
P(-1.30 < z < -1.25) = 0.4032 - 0.3944 = 0.0088
-1.30 -1.25
0
Gambar bar 9.
Peluang uang((-1. -1.30< 30
Peluang (1.25 < z < 1.35) = 0.4115 - 0.3944 = 0.0171
0 Gamba ambarr 10. 10.
1.25
1.35
Pelua eluang ng (1. (1.25
•
Untuk memastikan pembacaan peluang normal, gambarkan daerah yang ditanyakan!
Contoh 11 : Rata-rata upah seorang buruh = $ 8.00 perjam dengan simpangan baku = $ 0.60, jika terdapat 1 000 orang buruh, hitunglah : a. banyak buruh yang menerima menerima upah/jam kurang dari $ 7.80 b. banyak buruh yang menerima menerima upah/jam upah/jam lebih dari $ 8.30 c. .banyak buruh yang menerima upah/jam antara $ 7.80 sampai 8.30
µ = 8.00 a.
σ = 0.60
x < 7.80 z =
x − µ
=
σ
7.80 − 8.00 0.60
= − 0.33
P(x < 7.80) = P(z < -0.33) = 0.5 - 0.1293 = 0.3707 (Gambarkan!) banyak buruh yang menerima menerima upah/jam upah/jam kurang dari $ 7.80 = 0.3707 0.3707 x 1 000 000 = 370.7 = 371 orang b.
x > 8.30 z =
x − µ σ
=
8.30 − 8.00 0.60
= 0.50.
P(x > 8.30) = P(z > 0.50) 0.50) = 0.5 - 0.1915 = 0.3085 0.3085 (Gambarkan!)
Banyak buruh yang menerima upah/jam lebih dari $ 8.30 = 0.3085 x 1 000 = 308.5 = 309 orang
c.
7.80 < x < 8.30 z1 = -0.33
z2 = 0.50
P(7.80 < x < 8.30) = P(-0.33 < z < 0.50) = 0.1915 + 0.1293 = 0.3208 (Gambarkan) Banyak buruh yang menerima upah/jam dari $ 7.80 sampai $ 8.30 = 0.3208 x 1 000 = 320.8 = 321 orang
•
Pendekatan untuk peluang Binomial p bernilai bernilai sangat kecil kecil dan n relatif relatif besar dan
a)
JIKA rata-rata (µ) dengan
b)
≤
20 MAKA lakukan pendekatan dengan distribusi POISSON POISSON
µ=n×
p
JIKA rata-rata rata-rata (µ) > 20 MAKA lakukan pendekatan dengan distribusi NORMAL dengan
µ=n× σ
σ
2
p
= n× p×q
=
n× p×q
Contoh 12 : Dari 200 soal pilihan berganda, yang jawabannya terdiri dari lima pilihan (a, b, c,d dan e), berapa peluang peluang anda akan menjawab menjawab BENAR BENAR lebih dari 50 soal? n = 300 q = 1 - 0.20 = 0.80
p = 1/5 = 0.20
Kerjakan dengan POISSON
µ=n×
P(x >50, p = 0.20) Poisson Poisson (x > 50; 50; µ = 40 ),
p = 200 × 0.20 = 40
µ = 40 dalam TABEL POISSON menggunakan RUMUS., terlalu
rumit! KERJAKAN dengan NORMAL
µ=n×
P (x > 50, p = 0.20) σ
2
σ
= n × p × q = 200 × =
n× p×q =
P(x > 50 , p = 0.20)
z=
50
−
40
32
0.20 × 0.80 = 32
32
→ P (z > ?)
10 =
p = 200 × 0.20 = 40
56568 . . ..
=
176 17 . 677
≈
177 17 . 7
P (z > 1.77) = 0.5 - 0.4616 = 0.0384 = 3.84 %.
BAB II DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS 1. Distribusi Chi-Kuadrat
Uji Uji Chi Chi Kuadr Kuadrat at adala adalah h pengu pengujia jian n hipot hipotesi esiss menge mengenai nai perba perbandi ndinga ngan n antara antara : frekuensi observasi/yg benar-benar terjadi/aktual dengan frekuensi f rekuensi harapan/ekspektasi. harapan/ekspektasi. Pengertian Frekuensi Frekuensi Observasi Observasi dan Frekuensi Frekuensi Harapan
frekuensi observasi → nilainya didapat dari hasil percobaan (o) frekuensi harapan → nilainya dapat dihitung secara teoritis (e)
Kegunaan & Karakteristik Chi-Square
Kegunaan Chi-Square:
1. Uji Chi Square berguna untuk menguji hubungan atau 2. pengaruh dua buah variabel variabel nominal dan mengukur mengukur 3. kuatnya hubungan antara variabel yang satu dengan 4. variabel nominal lainnya (C = Coefisien of contingency).
Karakteristik Chi-Square:
·
Nilai Chi-Square Chi-Square selalu selalu positif.
·
Terdapat beberapa keluarga distribusi Chi-Square, yaitu distribusi Chi-Square dengan DK=1, 2, 3, dst.
·
Bentuk Distribusi Chi-Square adalah menjulur positif.
Hasil penurunan rumus : Fungsi Pembangkit Momen (M(t)) dari distribusi Chi-Kuadrat adalah:
BUKTI :
Jadi, terbukti bahwa M(t) =
Mean (µ) distribusi Chi-Kuadrat
Mean untuk distribusi Chi-Kuadrat ( χ χ 2) adalah turunan pertama M(t) pada saat (t=0). M(t)
= (1-2t)-r/2 , t < ½
M’(t)
= (-r/2).(1-2t)-r/2-1 . (-2) , t < ½ = r.( 1-2t)-r/2-1
,t<½
M’(t=0) = r.( 1-2.0)-r/2-1 = r µ = r
Varians (σ2) distribusi Chi-Kuadrat Varians untuk distribusi Chi-Kuadrat χ (χ 2) adalah turunan kedua M(t) dikurangi kuadrat
turunan pertama pada saat (t=0). M(t)
= (1-2t)-r/2
,t<½
M’(t)
= r.(1-2t)-r/2-1
,t<½
M’’(t)
= r.(-r/2-1) .(1-2t)-r/2-1-1 . (-2)
,t<½
= (r 2 + 2r). (1-2t)-r/2-2
,t<½
M’’(t=0) = (r 2 + 2r). (1-2.0)-r/2-2
,t<½
= r 2 + 2r ·
σ2 = M’’(t=0) – (M’(t=0)2) = r 2 + 2r - r 2 = 2r
Contoh soal distribusi Chi-Kuadrat :
Misalkan seorang Peneliti ingin mengetahui berapa banyak laki-laki yang senang berolah raga ? dengan menggunakan data sebagai berikut :
Data: Laki-laki yang suka olah raga 27 Perempuan yang suka olah raga 13 Laki-laki yang suka otomotif 35 Perempuan yang suka otomotif 15 Laki-laki yang suka Shopping 33 Perempuan yang suka Shopping 27 Laki-laki yang suka komputer 25 Perempuan yang suka komputer 25
2. Distribusi F dan t (student) DISTRIBUSI F
Jika uji t digunakan untuk pengujian dua sampel, uji F atau Anova digunakan untuk pengujian lebih lebih dari dua sampel. Distribusi F digunakan untuk menguji hipotesis, apakah variansi dari sebuah populasi normal sama dengan variansi dari populasi normal lainnya. Satu variansi sampel yang lebih besar ditempatkan ditempatkan pada pembilang, pembilang, sehingga rasio minimalnya minimalnya adalah 1,00. Distribusi F juga digunakan digunakan untuk menguji menguji asumsi-asumsi asumsi-asumsi bagi beberapa statistik statistik uji. Berdasarkan pendapat Douglas A. Lind (2005, p387-388), Distribusi F memiliki ciri-ciri sebagai berikut: 1. Terda Terdapat pat suatu suatu kelua keluarga rga distr distribu ibusi si F. Suatu anggota keluarga distribusi F di tentukan berdasarkan dua parameter : derajat kebebasan pada pembilang dan derajat kebebasan pada penyebut. 2. Distr Distribu ibusi si F bersif bersifat at kont kontinu inu..
3. Distribu Distribusi si F tidak dapat dapat berni bernilai lai negatif. negatif. 4. Bentu Bentukny knyaa tidak tidak simetr simetris. is. 5. Bersi Bersifat fat Asim Asimtot totik ik (Asym (Asympto ptotic tic). ). Distribusi F memberikan sebuah perangkat untuk menjalankan suatu uji variansi dari dua populasi normal. Menentukan validasi sebuah asumsi untuk suatu statistik uji, mulamula kita tetap harus menentukan hipotesis nolnya. Hipotesis nolnya adalah bahwa variansi dari dari suatu suatu popul populasi asi (σ1²), (σ1²), sama sama denga dengan n varian variansi si dari dari popul populasi asi normal normal lainny lainnyaa (σ2²). (σ2²). Hipotesis alternatifnya dapat berupa perbedaan variansi tersebut. Dalam hal ini hipotesis nolnya dan hipotesis alternatifnya adalah : H0 : σ1² = σ2² H1 : σ1² ≠ σ2² Bila Bila kita kita ingin ingin memba membandi ndingk ngkan an nilai nilai rata-r rata-rata ata dua kelom kelompok pok seri seri hasil hasil penga pengama matan tan digunakan uji t (t Test)
⇒
Ada Ada kalany kalanyaa kita kita ingin ingin memb memband anding ingka kan n varian variansi si / keraga keragama man n kedua kedua kelom kelompok pok seri seri hasil hasil pengamatan pengamatan ⇒ untuk ini digunakan uji F (diciptakan oleh R.A. Fisher). Uji F ini dikenal pula dengan nama ANOVA (Analysis of Variance).
Untuk ntuk mela melaku kuka kan n uji uji F, kita kita haru haruss meng menghi hitu tung ng angk angkaa band bandin ing g kedu keduaa vari varian ansi si yang yang bersangkutan. bersangkutan. Dalam hal ini variansi (S2) yang besar ditaruh pada pembilang (numerator) dan variansi (S2) yang kecil ditaruh pada penyebut (denominator), seperti terlihat pada rumus dibawah ini : S12 (besar)
F = S22 (kecil)
Σ ( xi - X ) 2 Ingat : S2 = N-1
Kemudian dibandingkan antara F hasil hitungan dengan F dari tabel (pada α dan df tertentu kelompok 1 dan 2).
Apabila F hitung < F tabel ⇒ maka hipotesa nol benar, artinya tidak ada perbedaan yang nyata dalam hal variansi / keragaman antara kedua kelompok pengukuran tersebut. Sebaliknya, bila F hitung > F hitung l ⇒ maka hipotesa nol salah, artinya ada perbedaa yang nyata dalam hal variansi / keragaman antara kedua kelompok pengukuran tersebut.
Catatan : Simak penjelasan dosen tentang cara pembacaan Tabel Distribusi F.
Contoh soal :
Suatu pengukuran analisis dilakukan dengan metode A dan metode B, dengan hasil sbb :
Metode A
Metode B
95.6
93.3
94.9
92.1
96.2
94.7
95.1
90.1
95.8
95.6
96.3
90.0 94.7
Ditanyakan : dengan metode ANOVA (F Test) apakah ada perbedaan yang nyata dalam hal variansi (pada α = 0.01 ) antara ke 2 metode diatas ? Jawab :
Setelah dihitung maka didapat: X A = 95.65
NA = 6SA2 = 0.323
X B = 92.93
NB = 7
SB2 F hitung =
= 2 A
S
dfA = 6 – 1 = 5
SB2 = 5.14
5.14 = 15,9 0.324
Dari tabel (pada α = 0.01 & df B = 6 dan df A = 5 ) didapat :
dfB = 7 – 1 = 6
F tabel = 10,67 Karena F hitung (15,9) F tabel (10,67) maka hipotesis nol salah, artinya ada perbedaan dalam hal variansi antara metode A dan metode B tersebut.
DISTRIBUSI t (t Test)
Uji Uji t (t Test) Test) terut terutam amaa diguna digunaka kan n untuk untuk memb memband anding ingkan kan dua nilai nilai rata-r rata-rat ata, a, apaka apakah h ada perbedaan perbedaan yang nyata (signifikan) (signifikan) antara antara kedua nilai rata-rata yang diuji. Maka kita mengajukan suatu hipotesa nol (Ho), artinya bahwa tidak ada perbedaan yang nyata antara kedua nilai rata-rata tersebut.
X 1 – X 2 Rumus uji t =
S (x1 – x2)
S12
S22
+
dimana : S (x1 – x2) =
N1
N2
X 1 – X 2 maka : t hitung =
S12
S22
+ N1
S12 = Variansi kelompok 1 S22 = Variansi kelompok 2 N1 = Jumlah data kelompok 1 N2 = Jumlah data kelompok 2
N2
Apabila t yang dihitung lebih kecil dari t yang di tabel (pada α dan df tertentu), maka hipotesis nol benar ⇒ artinya tidak ada perbedaan yang signifikan (nyata) antara kedua nilai rata-rata tersebut. Jika t
hitung
> t tabel, maka hipotesis nol tidak benar ⇒ artinya ada perbedaan yang signifikan
(nyata) antara kedua nilai rata-rata tersebut. Catatan : Simak penjelasan dosen tentang definisi α dan df, serta cara pembacaan Tabel Distribusi t.
Contoh :
Suat Suatu u sampe sampell tanah tanah yang yang menga mengandu ndung ng Cu ( tembag tembagaa ) dianal dianalisi isiss di Labor Laborat atori orium um I dan Laboratorium Laboratorium II. Masing-masing Masing-masing dianalisis 5 kali dengan hasil sebagai berikut (untuk mudahnya satuan dihilangkan).
Laboratorium I
Laboratorium II II
17,7
17,2
17,5
17,4
17,4
17,0
17,8
17,0
17,5
17,3
Perta Pertanya nyaan an : Denga Dengan n t Test Test apaka apakah h ada perbe perbedaa daan n yang yang nyata nyata antara antara hasil hasil analis analisis is kedua kedua Laboratorium tersebut.
Jawab :
Kita pakai hipotesis nol, bahwa hasil analisis kedua Laboratorium tersebut tidak ada perbedaan nyata. Bila dihitung : Jika t hitung = 3,68 Pada α = 0,05 dan df = (N1 + N 2) – 2 = 8 → didapat t tabel = 1,86 Karena t
hitung
(3,68) > dari t
tabel
(1,86) maka hipotesis nol tidak berlaku, artinya hasil analisis
kedua Laboratorium tersebut ada perbedaan yang nyata. n yata.
***
DAFTAR PUSTAKA
Usman, H. & R. Purnomo Setiady Akbar. 2000. Pengantar Statistika. Jakart Statistika. Jakarta: a: Bumi Bumi Aksara. Aksara. Mason, R.D & Douglas A. Lind. 1999. Teknik Statistik Untuk Bisnis dan Ekonomi, Jilid 2. Jakar 2. Jakarta: ta: Pener Penerbit bit Erlangga.
***
