Nilai Mutlak (Persamaan dan Pertidaksamaan)
Disusun Oleh 1. Muchlasin 2. Edo 3. Fariz 4. Yahdi 5. Ilyas
Kelompok 2 Kelas D – Sore Sore Teknik Industri
Universitas Muhammdiyah Gresik Tahun Ajaran 2016/2017
Kata Pengantar
Puji syukur kehadirat tuhan yang maha esa karena penysunan makalah Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Harga Mutlak ini telah selesai. Makalah ini disusun untuk memenuhi kebutuhan siswa tentang ilmu Matematika. Makalah ini disajikan dengan materi-materi yang dapat meningkatkan keterampilan, ilmu pengetahuan tentang Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai harga Mutlak. Mutlak. Diharapkan Makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua tentang Konsep Nilai Mutlak. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Tuhan Yang Maha Esa senantiasa meridhai segala usaha kita.
Persamaan dan Pertidaksamaan dengan Nilai Mutlak
1) Persamaan Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari suatu bilangan bil angan real a, dinotasikan dengan |a|, berharga a untuk a > 0, -a untuk a < 0, dan 0 untuk a = 0. Perhatikan notasi berikut : |a| = Nilai mutlak tidak menimbulkan masalah dalam proses perkalian dan pembagian, tetapi tidak sama halnya dengan proses penambahan dan pengurangan. Perhatikan sifat-sifat nilai mutlak berikut : a. |ab| = |a| |b| b. = c. |a + b| |a| + |b| d. |a – b| b| |a| - |b| e. Pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak a. |x| < a ⇔ -a < x < a b. |x| > a ⇔ x < -a atau x > a Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari |x – 4| 4| < 2. Penyelesaian: |x – 4| 4| < 2 -2 < x – 4 < 2
⇔
-2 + 4 < x < 2 + 4
⇔
2
⇔
Jadi, himpunan penyelesaiannya penyelesaiannya adalah {x | 2 < x < 6} atau (2, 6).
2) Teorema Persamaan Nilai Mutlak
Misalkan x adalah suatu bilangan rill, maka nilai mutlak dari x didefinisikan sebagai berikut :
Beberapa sifat pada nilai mutlak dari sebarang bilangan riil a : 1. |ab| = |a|.|b| 2. |-a| = |a| 3. |x2| = x2 4. Untuk c tak negatif, maka |x| < c jika dan hanya han ya jika -c < x < c
Teorema 1 :
Jika a, b € R dan b
Bukti : Misalkan
Teorema 2 :
≠ 0 maka
Untuk sebarang
a, b € R berlaku
Bukti : Perhatikan, sehingga menurut sifat 4 di atas, dan dengan menjumlahkan kedua ketaksamaan di atas diperoleh
Menurut sifat 4,
(ketaksamaan di atas sering disebut ketaksamaan segitiga)
Teorema 3 :
Bila a, b € R maka berlaku
Bukti : Menurut ketaksamaan segitiga,
3) Pertidaksamaan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat
ungkapan >, ≥, <, atau ≤. Sedangkan ketidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak (absolut) adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya disebut pertidaksamaan palsu. Contoh:
(a) x ≠ y (b) x < y
(c) 2x ≥ 5 (d) x2 - 5 + 6 ≤. 6
(e) │1 – x│> – x│> 2,dan sebagainya , untuk setiap x, y € R (himpunan bilangan real).
Jika a – b adalah bukan bilangan negatif, maka a lebih besar atau sama
dengan b, ditulis a ≥ b, atau b lebih kecil dari atau sama dengan a, ditulis b ≤ a. Jika bilangan tersebut selain a = b, maka a > b atau b < a. Secara geometri, a > b jika koordinat a berada di sebelah kanan dari koordiat koordiat b. Misalkan a, b, dan c adalah bilangan real. Maka berlaku sifat berikut: a. Trikotomi Tepat satu diantara yang berikut ini berlaku:a > b, a = b, atau a < b. b. Transitif Jika a > b dan b > c maka a > c c. Penambahan Jika a > b maka a + c > b + c d. Perkalian Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc
Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc
Penulisan Himpunan
Penulisan Interval
{x | a < x < b}
(a, b)
{x | a ≤ x ≤ b} {x | x < a}
[a, b]
Grafik (
)
a
b
[
]
a
b
(-∞, (∞, a)
) a
{x | x ≥ b}
[b, ∞)
[ b
Contoh
Selesaikan pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2 dan perlihatkan grafik himpunan penyelesaiannya. Penyelesaian: 2x – 7 7 < 4x – 2 2 2x < 4x + 5 (kedua ruas ditambahkan 7)
⇔
-2x < 5 (kedua ruas ditambahkan (-4x))
⇔
x > -5/2 (kedua ruas dikalikan (-1/2))
⇔
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > -5/2}. Notasi intervalnya adalah (-
5/2, ∞).
4) Kesimpulan
A. Nilai Mutlak
Nilai mutlak adalah jarak pada garis bilangan real antara bilangan yang dimaksud dengan dengan nol.
untuk
bilangan real didefinisikan
Contoh: , ,
B. Persamaan Nilai Mutlak Sifat-sifat nilai mutlak 1. 2. 3.
, (ketaksamaan segitiga) segitiga )
4. 5. 6. 7. 8.
atau
C. Pertidaksaan Nilai Mutlak
Untuk
bilangan real dan
Jika
, maka
, maka
Daftar Pustaka
http://evinurfalah.blogspot.co.id/2016/01/pertidaksamaan-dan-nilai-mutlak.html http://sepatu-bekas1.blogspot.co.id/2013/09/v-behaviorurldefaultvmlo.html http://www.madematika.com/2015/09/mengenal-istilah-kesamaan persamaan.html http://askyourdaddy.blog.uns.ac.id/2014/09/24/teorema-teorema-tentang-nilaimutlak/ https://ahmadthohir1089.wordpress.com/2014/08/15/insyaallah/
