LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD) Satuan Pendidikan Mata Pelajaran Kelas/Semester Mater/Pokok Bahasan/SPB
: SMA Negeri Malang : Matematika : X/1 : Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel / Konsep Nilai Mutlak.
A. Identitas kelompok Kelompok : ............................................ .......................................................... .............. Kelas : ............................................ .......................................................... .............. Anggota Kelompok : ............................................ .......................................................... .............. : ............................................ .......................................................... .............. : ............................................ .......................................................... .............. : ............................................ .......................................................... .............. B. Tujuan Pembelajaran Pembelajaran Melalui kegiatan pengamatan, tanya jawab, penugasan, diskusi, dan penemuan diharapkan peserta didik aktif, bekerja sama dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggung jawab dalam menyelesaikan menyelesaikan masalah serta dapat :
1. Melatih sikap sosial dengan berani bertanya, berpendapat, mau mendengar orang lain, bekerja sama dalam diskusi di kelompok, sehingga terbiasa berani bertanya, berpendapat, mau mendengar orang lain, dan bekerja sama dalam aktivitas seharihari; 2. Menunjukkan ingin tahu selama mengikuti proses; 3. Peserta didik dapat menjelaskan konsep nilai mutlak dengan benar dan kritik 4. Peserta didik dapat menyusun persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak linier satu variabel dengan benar dan kreatif 5. Peserta didik dapat menyelesaikan masalah konstektual yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak linier satu variabel secara aljabar dengan teliti dan kreatif. C. Petunjuk 1) Isilah identitas pada bagian yang disediakan! 2) Bacalah dan pahami petunjuk belajar dengan teliti! 3) Bacalah lembar kerja siswa dengan teliti dan cermat! 4) Waktu pengerjaan adalah 2 45 menit. 5) Jawablah pertanyaan pada tempat yang disediakan dengan lengkap dan sistematis! 6) Tanyakan pada bapak/ibu guru jika terdapat hal yang kurang jelas!
×
D. Uraian Materi
,jika ≥0 || = {−,jika <0
Definisi : Untuk setiap bilangan real , harga mutlak dari ditulis
|| dan
Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real.
Sifat dari nilai mutlak :
a. b. c. d. e. f.
≥ 0 dan || = |−| |. . | = ||. || |−| = || | | = = |||| | + | ≠ | | + | | | − | ≠ | | − | | AYO MENGAMATI
E. Latihan Masalah 1 Pahamilah Masalah 1 berikut ini! . Kegiatan pramuka merupakan salah satu kegiatan ekstrakurikuler yang diadakan di sekolah. Suatu pasukan pramuka sedang belajar baris berbaris di lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah dari pimpinan regu, yaitu “Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah kedepan. Jika perintah pimpinan pasukan adalah “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak ke belakang sejauh 3 langkah. Bagaimana pergerakan langkah mereka dan berapa langkah yang telah dilakukan ?
Perhatikan pergerakan langkah di bawah ini: “Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah kedepan. Jika perintah pimpinan pasukan adalah “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak ke belakang sejauh 3 langkah. langkah. Bila kita sepakati :
Tanda positif (+) menunjukkan arah ke kanan atau ke depan dan tanda negatif (-) menunjukkan arah ke kiri atau ke belakang. Sehingga diperoleh : No
Deskripsi Aba-aba
1
4 Langkan ke depan
2
3 Langkah ke belakang
Notasi Matematika
Banyak Langkah
… …
… …
Dalam pergerakan langkah pasukan pramuka di atas menggunakan arah tetapi dalam menghitung banyaknya langkah yang dijalani pasukan pramuka tidak menggunakan arah. Dalam matematika banyaknya langkah yang dijalani pasukan pramuka merupakan konsep nilai mutlak. Jika kita hanya menghitung banyaknya langkah, bukan arahnya maka : |…|
+
|……| ……|
…..
+
….
Setelah memahami Masalah 1. Perhatikan beberapa contoh perpindahan posisi pada garis bilangan sebagai berikut dan isilah titik-titik berikut ! • •
•
Garis bilangan digunakan sebagai media untuk menunjukkan nilai mutlak Tanda panah digunakan untuk menentukan besar nilai mutlak, dimana arah ke kiri menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif dan begitu juga sebaliknya. Arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif. Besar nilai mutlak dilihat dari panjang tanda panah dan dihitung dari bilangan nol.
1.
pada garis bilangan di atas,
|3|
Tanda panah bergerak ke arah 3 berawal dari bilangan 0 menuju bilangan 3. Hal ini berarti nilai = 3 Atau berjarak berjarak 3 satuan dari bilangan 0.
|3|
2.
pada garis bilangan di atas,
…
…
Tanda panah bergerak ke arah berawal dari bilangan menuju berarti nilai = atau berjarak satuan dari bilangan 0.
… …
…
… Hal ini
3.
pada garis bilangan di atas,
…
−
Tanda panah bergerak ke arah berawal dari bilangan 0 menuju bilangan Hal ini berarti nilai = atau berjarak satuan dari bilangan 0.
… …
…
4.
pada garis bilangan di atas,
…
|−3| …
Tanda panah bergerak ke arah berawal dari bilangan menuju bilangan .Hal ini berarti nilai = atau berjarak satuan dari bilangan 0.
…
… …
…
Untuk lebih memahami konsep nilai mutlak lengkapilah tabel berikut : Bilangan Non Negatif
0 1 4 5 6 7 8 9 10 …
()
Nilai Mutlak =
|| … … … … … … … … … … …
Bilangan Negatif
(−) -1 -2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 …
−
Nilai Mutlak
= || … … … … … … … … … … …
…
Berdasarkan pengamatan pada penyelesaian masalah 1, masalah 2 dan tabel di atas kesimpulan tentang nilai mutlak yang diperoleh adalah :
-10 -9 -8 -7 -6 = | | … … … … …
0 1 2 3 4 5 = | | … … … … … …
-5
-4
-3
-2
-1
…
…
…
…
…
9
10
6
…
7
…
8
…
…
…
Plotlah hasil dari tabel di atas pada koordinat kartesius!
Jika anggota himpunan bilangan real (ditulis bernilai …
∈ ) maka nilai mutlak dari akan
AYO MENGAMATI
Pahamilah Masalah 2 berikut! Gunakan definisi untuk menentukan nilai mutlak berikut a.
Tentukan
⌈ − 2⌉ untuk x bilangan real
Penyelesaian :
−2=0 =⋯ … ≥ ⋯ ⌈ + 2⌉ = {… + 2 … < … Diperoleh interval dengan menggambarkan garis bilangan berikut
|2+3| untuk x bilangan real Penyelesaian : += 2 = …. =⋯ …… |2+3| = { …… ……
b. Tentukan
Identitas: Nama
:
No Absen
:
Kelas
:
Kerjakan soal berikut dengan benar dan tepat 1. Tentukan nilai mutlak berikut menggunakan definisi a. Tentukan untuk x bilangan real b. Tentukan untuk x bilangan real c.
| − 3| |3−2| Tentukan − untuk x bilangan real
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD) Satuan Pendidikan Mata Pelajaran Kelas/Semester Materi/Pokok Bahasan/SPB
A. Identitas Nama Peserta Didik Nomor Absen Kelas
: SMA Negeri Malang : Matematika : X/1 : Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel/Persamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel
: .......................................................... : .......................................................... : ..........................................................
B. Tujuan Pembelajaran Melalui kegiatan pengamatan, tanya jawab, penugasan, diskusi, dan penemuan diharapkan peserta didik aktif, bekerja sama dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggung jawab dalam menyelesaikan masalah serta dapat : 1) Mengidentifikasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel 2) Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel secara aljabar atau grafik C. Petunjuk 1) Isilah identitas pada bagian yang disediakan! 2) Bacalah dan pahami petunjuk belajar dengan teliti! 3) Bacalah lembar kerja siswa dengan teliti dan cermat! 4) Waktu pengerjaan adalah 2 45 menit. 5) Jawablah pertanyaan pada tempat yang disediakan dengan lengkap dan sistematis! 6) Tanyakan pada bapak/ibu guru jika terdapat hal yang kurang jelas!
×
D. Uraian Materi Masalah 3 Pahamilah permasalahan berikut!
Sungai pada keadaan tertentu mempunyai sifat cepat meluap di musim hujan dan cepat kering di musing kemarau. Diketahui debit air sungai ters ebut adalah liter/detik pada cuaca normal dan mengalami perubahan debit sebesar liter/detik di cuaca tidak normal. Tunjukkan nilai penurunan minimum dan peningkatan maksimum debit air tersebut.
Nilai mutlak peningkatan dan penurunan debit air tersebut dengan perubahan liter/detik dapat ditunjukkan dengan persamaan , adalah debit air sungai
| − | =
Penyelesaian:
Berdasarkan Definisi yang telah dipelajari di Lembar Kerja Peserta Didik mengenai Konsep Nilai Mutlak maka
≥ | − | = {− −+jika jika <
| − | = ≥,− = + <,−+= = −
Akibatnya berubah menjadi i) Untuk atau ii) Untuk atau Hal ini berarti penurunan minimum debit air adalah Dengan pemahaman yang telah dimiliki, maka dapat digambarkan sebagai berikut
( − )
Dari ilustrasi di atas dapat dinyatakan penurunan minimum debit air adalah liter/detik dan peningkatan maksimum debit air adalah liter/detik Hal tersebut merupakan masalah yang berkaitan dalam persamaan nilai mutlak.
…
…
Terdapat sifat persamaan nilai mutlak Sifat Untuk setiap 1) Jika
,, dan bilangan real dengan ≠ 0 |+| = dengan ≥ 0, maka salah satu sifat berikut berlaku i) |+ | = , untuk ≥ − ii) −(+) = , untuk <=− 2) Jika |+ | = dengan < 0, maka tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan |+| = Ada tiga bentuk persamaan sebagai berikut. 1) Persamaan nilai mutlak linear satu variabel berbentuk 2) Persamaan nilai mutlak linear satu variabel berbentuk
| ()| = | ()| =() dengan ( ) > 0 Persamaan nilai mutlak linear satu variabel berbentuk | ()| = |()|
3) Penyelesaiaan persamaan dapat menggunakan definisi atau dengan mengkuadratkan.
Perhatikan contoh penyelesaian persamaan nilai mutlak linear satu variabel 1)
2)
| | = 4 || = {…… ,jika… ,jika… Jika ≥ 0 → || = 4 =⋯ Karena 4 ≥ 0 maka ……. Jika < 0 → || = 4 −=⋯ =⋯ Karena −4<0 maka ……. Jadi, nilai yang memenuhi adalah =………} |2−1| = 3 … …… = ⋯ ∨ … …… = ⋯ … …… = ⋯ ∨ … …… = ⋯ …= ⋯ ∨…= ⋯ =⋯∨ =⋯ Jadi, nilai yang memenuhi adalah = ……… } Atau |2−1| = 3 (2−1) = (3) (………) − (…) = 0 (2−1−3)(2−1+3) = 0 (−−1)(5−1) = 0 =⋯∨ =⋯ Jadi, nilai yang memenuhi adalah = ……… } AYO MENCOBA
E. Latihan Kerjakan soal-soal di bawah ini! 1) Buatlah contoh persamaan nilai mutlak linear satu variabel dan bukan persamaan ! 2) Tentukan penyelesaian persamaan nilai mutlak dari 3) Tentukan himpunan penyelesaian dari ! 4) Tentukan himpunan penyelesaian dari ! 5) Tentukan himpunan penyelesaian dari !
| + 5| = 1! |2−4| = 3 | + 1| = − 2 | − 2| =|2+5| Tentukan himpunan penyelesaian dari || + | − 5| = 5!
6) 7) Waktu rata-rata yang diperlukan sekelompok siswa berlari menempuh 1 mil adalah 9 menit. Catatan waktu lari siswa bisa lebih cepat atau lebih lambat 1 menit dari waktu rata-rata ini. Tulislah sebuah persamaan untuk menampilkan situasi ini. Selesaikan persamaan ini untuk menentukan waktu tercep at dan waktu terlama yang ditempuh sekelompok siswa tersebut.
PENYELESAIAN :
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD) Satuan Pendidikan Mata Pelajaran Kelas/Semester Materi/Pokok Bahasan/SPB
A. Identitas Nama Peserta Didik Absen Kelas
: SMA Negeri Malang : Matematika : X/1 : Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel / Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel
: .......................................................... : .......................................................... : ..........................................................
B. Tujuan Pembelajaran Melalui kegiatan pengamatan, tanya jawab, diskusi kelompok, penugasan individu dan kelompok, serta penemuan, peserta didik diharapkan dapat terlibat aktif, bekerjasama dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggung jawab menyelesaikan masalah serta dapat 1. Mengidentifikasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dalam bentuk linier satu variabel 2. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel dengan perhitungan aljabar maupun dengan grafik . C. Petunjuk 1) Isilah identitas pada bagian yang disediakan! 2) Bacalah dan pahami petunjuk belajar dengan teliti! 3) Bacalah lembar kerja siswa dengan teliti dan cermat! 4) Waktu pengerjaan adalah 2 45 menit. 5) Jawablah pertanyaan pada tempat yang disediakan dengan lengkap dan sistematis! 6) Tanyakan pada bapak/ibu guru jika terdapat hal yang kurang jelas!
×
D. Uraian Materi Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Seperti lowongan kerja mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus dari ujian, dan batas berat bersih suatu kendaraan yang diperbolehkan oleh dinas perhubungan.
Contoh lain dari pertidaksamaan adalah uraian permasalahaan berikut. Masalah 4 Seorang bayi lahir prematur di sebuah Rumah Sakit Ibu dan Anak. Untuk mengatur suhu tubuh bayi tetap stabil di suhu 34 C, maka harus dimasukkan ke inkubator selama 2 hari. Suhu inkubator harus dipertahankan berkisar antara 32 C hingga 35 C. Bayi tersebut lahir dengan BB seberat 2.100-2.500 gram. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebesar 0,2 C, tentukan interval perubahan suhu inkubator. °
°
°
°
Dari uraian permasalahan diatas dapat dikatakan, Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat variabel yang berada didalam tanda mutlak. Untuk setiap a dan x bilangan real 1. Jika dan , maka 2. Jika dan , maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut 3. Jika maka atau dan Bentuk umum pertidaksamaan nilai mutlak dengan kedua ruas bernilai positif adalah .
≥ 0 | | ≤ − ≤ ≤ < 0 | | ≤ || > 0 ≥ − | ()| < |()|
Cara menyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel ada 2, yaitu: a. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak b. Mengkuadratkan Kedua Ruas Pertidaksamaan Langkah mengkuadratkan kedua ruas pertidaksamaan hanya boleh dilakukan ji ka kedua ruas bernilai positif. Perhatikan contoh penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel 1) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan Jawab : a. Dengan menggunakan definisi nilai mutlak
| − 2| ≤ 3
…≥⋯……..≥⋯ ………≥⋯………≥⋯… …≥≥⋯ ….≤ ⋯ atau… ≥ ⋯
Gambarlah himpunan penyelesaian pada garis bilangan
Jadi, nilai yang memenuhi adalah
= ………………….}
b. Dengan mengkuadratkan kedua ruas
| − 2| ≥3→(−2) ≥ 3 (−2−3)(−2+3)≥0 (……)(…….) 0
Gambarlah himpunan penyelesaian pada garis bilangan
Jadi, nilai yang memenuhi adalah
= ………………………}
AYO MENCOBA
E. Latihan Kerjakan soal-soal di bawah ini! 1) Dengan menggunakan definisi nilai mutlak tentukan penyelesaian permasalahan berikut : a) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan b) Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2) Dengan mengkudratkan kedua ruas tentukan penyelesaianpertidaksamaan
|5−8| ≤ 1 |3−2| ≥ |2+7|
| + 3| ≤ |2−3|
3) Tegangan normal yang di distribusikan PLN ke rumah-rumah adalah 220 volt. Akan tetapi tegangan nyata di rumah-rumah di toleransi boleh berbeda paling besar 11 volt dari tegangan normal 220 volt. Tuliskan sebuah pertidaksamaan untuk menampilkan situasi seperti ini. Selesaikan pertidaksamaan ini untuk menentukan kisaran tegangan nyata yang masi bisa ditoleransi oleh PLN! 4) Jarak terpendek yang diperlukan untuk menghentikan suatu mobil sejak pengereman dilakukan disebut jarak henti. Jarak henti ini merupakan faktor penting yang perlu diuji sebelum peluncuran produk mobil baru. Data mengenai jarak henti dapat digunakan untuk menghitung waktu reaksi pengemudi (selang waktu mulai pengemudi melihat kejadian sampai dia bereaksi menginjak pada rem) berdasarkan tingkat kelajuan mobil (dalam meter/jam). Suatu penelitian menyatakan bahwa jarak henti dapat dinyatakan dengan formula : d = |0,44v 2 + 1,1v|, dimana v adalah kelajuan dan d dalam meter. Pada batas kelajuan berapakah jarak henti mobil lebih dari 200 meter? 5) Gambarlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan !
3+4≤12,,∈
PENYELESAIAN :
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (PEGANGAN GURU)
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD) Satuan Pendidikan : SMA Negeri Malang Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Semester : X/1 Mater/Pokok Bahasan/SPB : Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel / Konsep Nilai Mutlak. A. Identitas Nama Peserta didik No. Absen Kelas
: .......................................................... : .......................................................... : ..........................................................
B. Tujuan Pembelajaran Melalui kegiatan pengamatan, tanya jawab, penugasan, diskusi, dan penemuan diharapkan peserta didik aktif, bekerja sama dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggung jawab dalam menyelesaikan masalah serta dapat :. 1. Mengidentifikasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel. 2. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan dan Pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel secara aljabar atau grafik C. Petunjuk 1) Isilah identitas pada bagian yang disediakan! 2) Bacalah dan pahami petunjuk belajar dengan teliti! 3) Bacalah lembar kerja siswa dengan teliti dan cermat! 4) Waktu pengerjaan adalah 2 45 menit. 5) Jawablah pertanyaan pada tempat yang disediakan dengan lengkap dan sistematis! 6) Tanyakan pada bapak/ibu guru jika terdapat hal yang kurang jelas!
×
D. Uraian Materi
,jika ≥0 || = {−,jika <0
Definisi : Untuk setiap bilangan real , harga mutlak dari ditulis
|| dan
Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real.
Sifat dari nilai mutlak : g. h.
i. j. k. l.
≥ 0 dan || = |−| |.| = ||. || |−| = || | | = = |||| | + | ≠ | | + | | | − | ≠ | | − | |
E. Latihan Masalah 1 . Kegiatan pramuka merupakan salah satu kegiatan ekstrakurikuler yang diadakan di sekolah. Suatu pasukan pramuka sedang belajar baris berbaris di lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah dari pimpinan regu, yaitu “Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah kedepan. Jika perintah pimpinan pasukan adalah “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal ini b erarti bahwa pasukan akan bergerak ke belakang sejauh 3 langkah. Bagaimana pergerakan langkah mereka dan berapa langkah yang telah dilakukan ?
Perhatikan pergerakan langkah di bawah ini: “Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah kedepan. Jika perintah pimpinan pasukan adalah “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak ke belakang sejauh 3 langkah. Bila kita sepakati : Tanda positif (+) menunjukkan arah ke kanan atau ke depan dan tanda negatif (-) menunjukkan arah ke kiri atau ke belakang. Sehingga diperoleh : No
Deskripsi Aba-aba
1
4 Langkan ke depan
2
3 Langkah ke belakang
Notasi Matematika
|+4| |−3|
Banyak Langkah
4 3
Dalam pergerakan langkah pasukan pramuka di atas menggunakan arah tetapi dalam menghitung banyaknya langkah yang dijalani pasukan pramuka tidak menggunakan arah.
Dalam matematika banyaknya langkah yang dijalani pasukan pramuka merupakan konsep nilai mutlak. Jika kita hanya menghitung banyaknya langkah, bukan arahnya maka : |4|
+
|-3|
4
+
3
Setelah memahami Masalah 1. Perhatikan beberapa contoh perpindahan posisi pada garis bilangan sebagai berikut dan isilah titik-titik berikut ! • •
•
Garis bilangan digunakan sebagai media untuk menunjukkan nilai mutlak Tanda panah digunakan untuk menentukan besar nilai mutlak, dimana arah ke kiri menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif dan begitu juga sebaliknya. Arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif. Besar nilai mutlak dilihat dari panjang tanda panah dan dihitung dari bilangan nol.
1.
1. pada garis bilangan di atas,
|3|
Tanda panah bergerak ke arah 3 berawal dari bilangan 0 menuju bilangan 3. Hal ini berarti nilai = 3 Atau berjarak 3 satuan dari bilangan 0.
|3|
2.
pada garis bilangan di atas,
berawal dari bilangan 0 menuju bilangan Hal ini berarti nilai = atau berjarak satuan dari bilangan 0. Tanda panah bergerak ke arah
3.
pada garis bilangan di atas,
−
Tanda panah bergerak ke arah
− berawal dari bilangan 0 menuju bilangan
− . Hal ini berarti nilai , − = atau berjarak satuan dari bilangan 0. 4.
pada garis bilangan di atas,
|−3|
−3
Tanda panah bergerak ke arah berawal dari bilangan 0 menuju bilangan .Hal ini berarti nilai = 3 atau berjarak 3 satuan dari bilangan 0.
|−3|
−3
Masalah 2
Lina bermain lompat-lompatan di lapangan. Dari posisi diam, Lina melompat ke depan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, dilanjutkan 2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah ke belakang, dan akhirnya1 langkah lagi ke belakang. Bagaimana pergerakan langkah Lina dan berapa banyak lompatan yang dilakukan Lina?
Penyelesaian: Bila disepakati : Tanda positif (+) menunjukkan arah ke kanan atau ke depan dan tanda negatif (-) menunjukkan arah ke kiri atau ke belakang. Sehingga diperoleh : Deskripsi
No
perintah
Notasi Matematika
Banyaknya Langkah
1
2 langkah ke depan
+2
2
2
3 langkah ke belakang
-3
3
3
2 langkah ke depan
+2
2
4
1 langkah ke belakang
-1
2
5
1 langkah ke belakang
-1
1
Pergerakan lompatan Lina dari posisi awal bisa dinyatakan dengan : 2
+
3
+
2
+
1
+
1
Untuk lebih memahami konsep nilai mutlak lengkapilah tabelberikut : Bilangan Non Negatif
Nilai Mutlak =
Bilangan Negatif
Nilai Mutlak = |x|
0
0
-1
1
()
||
(−)
1
1
-2
2
4
4
-4
4
5
5
-5
5
6
6
-6
6
7
7
-7
7
8
8
-8
8
9
9
-9
9
10
10
-10
10
…
…
…
…
−
Berdasarkan pengamatan pada penyelesaian masalah 1, masalah 2 dan tabel di atas kesimpulan tentang nilai mutlak yang diperoleh adalah : -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
= ||
= | |
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Plotlah hasil dari tabel di atas pada koordinat kartesius!
Berdasarkan pengamatan pada penyelesaian masalah 1, masalah 2 dan tabel di atas kesimpulan tentang nilai mutlak yang diperoleh adalah :
Jika anggota himpunan bilangan real (ditulis akan bernilai positif
∈ ) maka nilai mutlak dari
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD) Satuan Pendidikan Mata Pelajaran Kelas/Semester Materi/Pokok Bahasan/SPB
A. Identitas Nama Peserta Didik Nomor Absen Kelas
: SMA Negeri Malang : Matematika : X/1 : Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel/Persamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel
: .......................................................... : .......................................................... : ..........................................................
B. Tujuan Pembelajaran Melalui kegiatan pengamatan, tanya jawab, penugasan, diskusi, dan penemuan diharapkan peserta didik aktif, bekerja sama dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggung jawab dalam menyelesaikan masalah serta dapat : 1) Mengidentifikasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel 2) Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel secara aljabar atau grafik C. Petunjuk 1) Isilah identitas pada bagian yang disediakan! 2) Bacalah dan pahami petunjuk belajar dengan teliti! 3) Bacalah lembar kerja siswa dengan teliti dan cermat! 4) Waktu pengerjaan adalah 2 45 menit. 5) Jawablah pertanyaan pada tempat yang disediakan dengan lengkap dan sistematis! 6) Tanyakan pada bapak/ibu guru jika terdapat hal yang kurang jelas!
×
D. Uraian Materi Masalah 3 Perhatikan berikut!
Sungai pada keadaan tertentu mempunyai sifat cepat meluap di musim hujan dan cepat kering di musing kemarau. Diketahui debit air sungai ters ebut adalah liter/detik pada cuaca normal dan mengalami perubahan debit sebesar liter/detik di cuaca tidak normal. Tunjukkan nilai penurunan minimum dan peningkatan maksimum debit air tersebut. Nilai mutlak peningkatan dan penurunan debit air tersebut dengan perubahan liter/detik dapat ditunjukkan dengan persamaan , adalah debit air sungai
| − | =
Penyelesaian:
Berdasarkan Definisi yang telah dipelajari di Lembar Kerja Peserta Didik mengenai Konsep Nilai Mutlak maka
≥ | − | = {− −+jika jika <
| − | = ≥,− = + <,−+= = −
Akibatnya berubah menjadi iii) Untuk atau iv) Untuk atau Hal ini berarti penurunan minimum debit air adalah Dengan pemahaman yang telah dimiliki, maka dapat digambarkan sebagai berikut
( − )
(−)
Dari ilustrasi di atas dapat dinyatakan penurunan minimum debit air adalah liter/detik dan peningkatan maksimum debit air adalah liter/detik Hal tersebut merupakan masalah yang berkaitan dalam persamaan nilai mutl ak.
(+)
Terdapat sifat persamaan nilai mutlak Sifat Untuk setiap
,, dan bilangan real dengan ≠ 0 1) Jika |+| = dengan ≥ 0, maka salah satu sifat berikut berlaku |+| = , untuk ≥ − i) ii) −(+) = , untuk <=− 2) Jika |+ | = dengan < 0, maka tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan |+| = Ada tiga bentuk persamaan sebagai berikut. 1) Persamaan nilai mutlak linear satu variabel berbentuk 2) Persamaan nilai mutlak linear satu variabel berbentuk
| ()| = | ()| =() dengan ( ) > 0 Persamaan nilai mutlak linear satu variabel berbentuk | ()| = |()|
3) Penyelesaiaan persamaan dapat menggunakan definisi atau dengan mengkuadratkan.
Perhatikan contoh penyelesaian persamaan nilai mutlak linear satu variabel 1)
2)
| | = 4 ,jika ≥ 0 || = {−,jika <0 Jika ≥ 0 → || = 4 =4 Karena 4 ≥ 0 maka memenuhi Jika < 0 → || = 4 − = 4 =−4 Karena −4<0 maka memenuhi Jadi, nilai yang memenuhi adalah =4,−4} |2−1| = 3 2−1=3 ∨ −(2−1) = 3 2−3=1 ∨ −2−3=−1 −=1 ∨ −5=−1 = −1 ∨ = 15 Jadi, nilai yang memenuhi adalah =−1, Atau |2−1| = 3 (2−1) = (3) (2−1) − (3) = 0 (2−1−3)(2−1+3) = 0 (−−1)(5−1) = 0 = −1 ∨ = 15 Jadi, nilai yang memenuhi adalah =−1,
E. Latihan Kerjakan soal-soal di bawah ini! 1) Buatlah contoh persamaan nilai mutlak linear satu variabel dan bukan persamaan ! 2) Tentukan penyelesaian persamaan nilai mutlak dari 3) Tentukan himpunan penyelesaian dari !
| + 5| = 1! |2−4| = 3 Tentukan himpunan penyelesaian dari | + 1| = − 2! Tentukan himpunan penyelesaian dari | − 2| =|2+5|! Tentukan himpunan penyelesaian dari || + | − 5| = 5!
4) 5) 6) 7) Waktu rata-rata yang diperlukan sekelompok siswa berlari menempuh 1 mil adalah 9 menit. Catatan waktu lari siswa bisa lebih cepat atau lebih lambat 1 menit dari waktu rata-rata ini. Tulislah sebuah persamaan untuk menampilkan situasi ini. Selesaikan persamaan ini untuk menentukan waktu tercep at dan waktu terlama yang ditempuh sekelompok siswa tersebut.
KUNCI JAWABAN LKPD PERSAMAAN NILAI MUTLAK 1) Buatlah contoh persamaan nilai mutlak linear satu variabel dan bukan persamaan !
Jawab : Contoh persamaan :
| + 5| = 9 |5| = | + 6| || −5=|−2| Bukan persamaan |5| = 9 | + 6| = | + 6| || −=|−2| • • •
• • •
2) Tentukan penyelesaian persamaan nilai mutlak dari Jawab :
3)
| + 5| = 1!
≥ −5 | + 5| = {−( ++5,jika 5),jika < −5 Jika ≥ −5,maka ∶ + 5 = 1 sehingga = −4 Jika < 5,maka ∶ −( + 5) = 1 sehingga = −6 Atau + 5 = 1 sehingga = −4 + 5 = −1 sehingga = −6 Jadi, nilai yang memenuhi adalah =−4,−6} Tentukan himpunan penyelesaian dari |2−4| = 3! Jawab : |2−4| = 3 2 − 4 = 3 ∨ −(2−4) = 3 2−3=4 ∨−2−3=−4 −=4 ∨−5=−4 = −4 ∨ = 45 Jadi, nilai yang memenuhi adalah =−4, Atau |2−4| = 3 (2−4) = (3) (2−4) − (3) = 0 (2−4−3)(2−4+3) = 0 (−−4)(5−4) = 0 = −4 ∨ = 45 Jadi, nilai yang memenuhi adalah =−4, }
4) Tentukan himpunan penyelesaian dari Jawab :
5)
6)
| + 1| = − 2!
≥ −1 | + 1| = {− +−1,jika 1,jika < −1 Jika ≥ − 1 → | + 1| = − 2 +1=−2 −=−2−1 Karena 0=−3 maka tidak mempunyai penyelesaian Jika < − 1 → | + 1 = − 2 −−1=−2 −−=−2+1 −2=−1 Karena = maka tidak memenuhi <−1 Jadi, nilai yang memenuhi adalah } Tentukan himpunan penyelesaian dari | − 2| =|2+5|! Jawab | − 2| = |2+5| ↔ ( − 2) = (2+5) ( − 2) − (2+5) = 0 [( − 2) + (2+5)][( − 2) − (2+5)] = 0 (3+3)(−−7) = 0 = −1 ∨ = 7 Jadi, nilai yang memenuhi adalah =−2,7} Tentukan himpunan penyelesaian dari || + | − 5| = 5! ,jika ≥ 0 || = {−,jika <0 ≥5 | − 5| = {− −+5,jika 5,jika < 5 Jika < 0 → || + | − 5| = 5 − + (−+5) = 5 −2+5=5 −2=0 Karena = 0 maka tidak memenuhi < 0 Jika 0 ≤ < 5 → || + | − 5| = 5 + (−+5) = 5 −=5−5 Karena 0 = 0 maka tidak mempunyai penyelesaian Jika ≥ 5 → || + | − 5| = 5 + ( − 5) = 5 2=10 Karena = 5, maka memenuhi ≥ 5 Jadi, nilai yang memenuhi adalah =5}
7) Waktu rata-rata yang diperlukan sekelompok siswa berlari menempuh 1 mil adalah 9 menit. Catatan waktu lari siswa bisa lebih cepat atau lebih lambat 1 menit dari waktu rata-rata ini. Tulislah sebuah persamaan untuk menampilkan situasi ini. Selesaikan persamaan ini untuk menentukan waktu tercep at dan waktu terlama yang ditempuh sekelompok siswa tersebut. Jawab : Misalkan catatan waktu siswa adalah menit maka kita bisa memodelkan situasi nyata ini dengan persamaan nilai mutlak.
| − 9| = 1
Untuk menentukan waktu tercepat dan terlama kita tinggal menyelesaikan persamaan nilai mutlak tersebut.
•
•
≥ −9 | − 9| = {−(− −9,jika 9),jika < 9 jika ≥ −9 maka − 9 = 1 =1+9 =10 jika < 9 maka −( − 9) = 1 −+9=1 −=1−9 −=−1 =8
Jadi waktu tercepat siswa 8 menit dan terlama 10 menit
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD) Satuan Pendidikan Mata Pelajaran Kelas/Semester Materi/Pokok Bahasan/SPB
A. Identitas Nama Peserta Didik Absen Kelas
: SMA Negeri Malang : Matematika : X/1 : Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel / Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel
: .......................................................... : .......................................................... : ..........................................................
B. Tujuan Pembelajaran Melalui kegiatan pengamatan, tanya jawab, diskusi kelompok, penugasan individu dan kelompok, serta penemuan, peserta didik diharapkan dapat terlibat aktif, bekerjasama dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggung jawab menyelesaikan masalah serta dapat 1. Mengidentifikasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dalam bentuk linier satu variabel 2. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel dengan perhitungan aljabar maupun dengan grafik . C. Petunjuk 1) Isilah identitas pada bagian yang disediakan! 2) Bacalah dan pahami petunjuk belajar dengan teliti! 3) Bacalah lembar kerja siswa dengan teliti dan cermat! 4) Waktu pengerjaan adalah 2 45 menit. 5) Jawablah pertanyaan pada tempat yang disediakan dengan lengkap dan sistematis! 6) Tanyakan pada bapak/ibu guru jika terdapat hal yang kurang jelas!
×
D. Uraian Materi Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Seperti lowongan kerja mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus dari ujian, dan batas berat bersih suatu kendaraan yang diperbolehkan oleh dinas perhubungan.
Contoh lain dari pertidaksamaan adalah uraian permasalahaan berikut. Masalah 4 Seorang bayi lahir prematur di sebuah Rumah Sakit Ibu dan Anak. Untuk mengatur suhu tubuh bayi tetap stabil di suhu 34 C, maka harus dimasukkan ke inkubator selama 2 hari. Suhu inkubator harus dipertahankan berkisar antara 32 C hingga 35 C. Bayi tersebut lahir dengan BB seberat 2.100-2.500 gram. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebesar 0,2 C, tentukan interval perubahan suhu inkubator. °
°
°
°
Dari uraian permasalahan diatas dapat dikatakan, Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat variabel yang berada didalam tanda mutlak. Untuk setiap a dan x bilangan real 1. Jika dan , maka 2. Jika dan , maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut 3. Jika maka atau dan Bentuk umum pertidaksamaan nilai mutlak dengan kedua ruas bernilai positif adalah .
≥ 0 | | ≤ − ≤ ≤ < 0 | | ≤ || > 0 ≥ − | ()| < |()|
Cara menyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel ada 2, yaitu: a Menggunakan Definisi Nilai Mutlak b Mengkuadratkan Kedua Ruas Pertidaksamaan Langkah mengkuadratkan kedua ruas pertidaksamaan hanya boleh dilakukan jika kedua ruas bernilai positif. Perhatikan contoh penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel 1) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan Jawab : a. Dengan menggunakan definisi nilai mutlak
| − 2| ≤ 3
−3≥−2≥3 −3+2≥−2+2≥3+2 −1≥≥5 ≤ −1 atau ≥ 5
Jadi, nilai yang memenuhi adalah
= | ≤ −1 atau ≥ 5, ∈ }
b. Dengan mengkuadratkan kedua ruas
| − 2| ≥3→(−2) ≥ 3 (−2−3)(−2+3)≥0 ( − 5)( + 1) 0
Jadi, nilai yang memenuhi adalah
= | ≤ −1 atau ≥ 5, ∈ }
E. Latihan Kerjakan soal-soal di bawah ini! 1) Dengan menggunakan definisi nilai mutlak tentukan penyelesaian permasalahan berikut : c) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan
2)
|5−8| ≤ 1 d) Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan |3−2| ≥ |2+7| Dengan mengkudratkan kedua ruas tentukan penyelesaianpertidaksamaan | + 3| ≤ |2−3|
3) Tegangan normal yang di distribusikan PLN ke rumah-rumah adalah 220 volt. Akan tetapi tegangan nyata di rumah-rumah di toleransi boleh berbeda paling besar 11 volt dari tegangan normal 220 volt. Tuliskan sebuah pertidaksamaan untuk menampilkan situasi seperti ini. Selesaikan pertidaksamaan ini untuk menentukan kisaran tegangan nyata yang masi bisa ditoleransi oleh PLN! 4) Jarak terpendek yang diperlukan untuk menghentikan suatu mobil sejak pengereman dilakukan disebut jarak henti. Jarak henti ini merupakan faktor penting yang perlu diuji sebelum peluncuran produk mobil baru. Data mengenai jarak henti dapat digunakan untuk menghitung waktu reaksi pengemudi (selang waktu mulai pengemudi melihat kejadian sampai dia bereaksi menginjak pada rem) berdasarkan tingkat kelajuan mobil (dalam meter/jam). Suatu penelitian menyatakan bahwa jarak henti dapat dinyatakan dengan formula : 2 d = |0,44v + 1,1v|, dimana v adalah kelajuan dan d dalam meter. Pada batas kelajuan berapakah jarak henti mobil lebih dari 200 meter? 5) Gambarlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan !
3+4≤12,,∈
KUNCI JAWABAN LKPD PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK 1)
Ingat Definisi nilai mutlak Jika atau maka Dari definisi dapat diperoleh hubungan sebagai berikut
| ()| () − () |+| ↔ + − atau + a) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan |5−8| ≤ 1 Jawab : ↔ −1≤5−8≤1 ↔−1+8≤5−8+8≤1+8 ≤ ↔ ≤ ↔ ≤≤ ↔ atau
≤ atau ≥ , ∈ Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan |3−2| ≥ |2+7| Jawab : |3−2| |2+7| ↔ 3 − 2 − (2+7) atau 3−2 ≥ (2+7) ↔5 − 5 atau 9 ↔ − 1 atau 9
Jadi, nilai yang memenuhi adalah HP = b)
Jadi, nilai yang memenuhi adalah HP =
| ≤ −1 atau ≥ 9, ∈ }
2) Dengan mengkuadratkan kedua ruas Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan Jawab :
| + 3| ≤ |2−3|
| + 3| ≤ |2−3| →(+3) ≤ (2−3) (+3) − (2−3) ≤ 0 ( +6+9) − (4 −12+9) ≤ 0 (−3 +18) ≤ 0 3(−+6) ≤ 0 ≤ 0 atau ≥ 6
Jadi, nilai yang memenuhi adalah HP =
| ≤ 0 ≥ 6, ∈ }
3) Tegangan normal yang di distribusikan PLN ke rumah-rumah adalah 220 volt. Akan tetapi tegangan nyata di rumah-rumah di toleransi boleh berbeda paling besar 11 volt dari tegangan normal 220 volt. Tuliskan sebuah pertidaksamaan untuk menampilkan situasi seperti ini. Selesaikan pertidaksamaan ini untuk menentukan kisaran tegangan nyata yang masi bisa ditoleransi oleh PLN! Jawab : Misalkan tegangan nyata di rumah-rumah sebagia variabel x volt maka kita bisa memodelkan tegangan nyata di rumah-rumah ini dengan pertidaksamaan nilai mutlak.
|−220| ≤ 11
Untuk menentukan kisaran tegangan nyata yang masih dalam batas toleransi PLN kita tinggal menyelesaikan model matematika pertidaksamaan nilai mutlak.
•
•
− 220,jika ≥ 220 |−220| = {−(−220 ),jika < −220 jika ≥ 11 maka −220≤11 ≤11+230 ≤231 jika < −11 maka −(−220) ≤ 11 −+220≤11 −≤11−220 209≤≤231 ≥209
Artinya, tegangan nyata di rumah-rumah yang masih toleransi oleh PLN terletak antara 209 volt sampai 231 volt. 4) Oleh karena kelajuan selalu bernilai positif, maka |0,44 v2 + 1,1v| = 0,44 v 2 + 1,1v. Selanjutnya, agar jarak henti mobil lebih dari 200 meter, maka diharuslah lebih besar dari dua ratus. Jawab :
|0,44v + 1,1v| >200 ↔ |0,44v + 1,1 v| >200 ↔ 0,44v + 1,1v − 200 > 0 ↔ 22v + 5,5v−10000 >0 = 22, = 55 = −10000
−4 −± √ = 2 = −55± √ 3025+880000 44 = −55± 44√ 883025 = −55 ±44939,7 ≈ −55 +44939,7 ≈20,1 / ≈ −55 −44939,7 ≈ −22,6 /
Jadi, batas kelajuannya jarak henti mobil lebih dari 100 meter adalah -22,6 < v < 20,1 meter/jam .
3+4≤12,,∈
5) Gambarlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan ! Jawab: , ganti tanda ketidaksamaan sehingga diperoleh garis
3+4≤12 3+4=12 Titik potong dengan sumbu ,=0 3+4(0) = 1 2 ↔ 3 = 1 2 ↔ = 4 Titik potong dengan sumbu ,=0 3(0)+4=12↔4=12↔=3 Titik potong dengan sumbu koordinat di (4, 0) dan (0, 3). Diperoleh grafik 3+4=12. •
•
•
Ambil titik uji (0,0) untuk mendapat daerah penyelesaian dari pertidaksamaan , diperoleh 0 (Benar) Dengan demikian, titik (0, 0) memenuhi pertidaksamaan Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah daerah di bawah garis batas (yang diarsir)
3+4≤12
3(0)+4(0) ≤ 12 ≤ 12
3+4≤12
