MAKALAH MATEMATIKA
“INTEGRAL”
Disusun Oleh : ANGGI MEIDINA Kelas : XII IPS 2
MADRASAH ALIYAH NEGERI TEGAL TAHUN AJARAN 2010/2011
KATA PENGANTAR
Pertama sekali penulis mengucapkan rasa syukur pada Allah SWT yang telah memberikan kesehatan dan kesempatan pada penulis untuk menyelesaikan makalah bidang studi Matematika dengan judul “Integral”. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang turut membantu menyelesaikan laporan ini, khususnya kepada guru bidang studi Matematika yang telah memberikan teori-teori dan pengalaman dalam bidang studi matematika, sehingga banyaknya masukan-masukan yang penulis terima. Walaupun penulis sudah berusaha sesuai dengan pengetahuan, pengalaman atau kemampuan penulis, namun penulis masih merasakan adanya kekurangan-kekurangan, sehingga saran-saran atau masukan-masukan sangat penulis harapkan. Mudah-mudahan laporan ini bermanfaat bagi pembaca terutama penulis.
Tegal, 16 Desember 2010
Penulis
INTEGRAL A. Anti Turunan (Integral Tak-tentu) Matematika mempunyai banyak pasangan operasi balikan: penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar, serta penarikan logaritma dan penghitungan logaritma. Definisi : Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jika F’(x) = f(x) untuk semua x di I. Notasi : F(x) = ∫ f(x) dx Integral tak tentu adalah Anti/Invers/Kebalikan turunan.
1
2 3 ∫ x dx = 3x + c
Contoh :
3 4 ∫ 4 x dx = x + c
Integral tak tentu adalah operator linear, yaitu bersifat :
1. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx 2. ∫[ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx
+
∫ g ( x) dx
Rumus-rumus Dasar Integral Tak Tentu
1
1.
n n +1 +c, ∫ x dx = n + 1 x
3.
∫ cos xdx = sin x + c
n≠-1
2.
∫ sin xdx = − cos x + c 4.
5. ∫ e x dx = e x + c 7. ∫ 9. ∫
dx 1−x dx 2
2
x x −1 11. ∫ cos ec 2 xdx = ctgx +c 13.
6. ∫ a x dx =
= sin −1 x + c = sec −1 x + c
1
∫ x dx = ln x +c
8.
∫
dx 1+ x
12.
∫ sec xtgnxdx = sec x + c
Contoh :
1
3 4 ∫ ( 2 x + 5 cos x)dx = 2 x + 5 sin x + c
Definisi :
= tgn −1 x + c
10. ∫ sec 2 xdx = tgnx + c
∫ cos ecxctgxdx = cos ecx + c
B. INTEGRAL TENTU
2
ax +c ln a
Misal f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], f dikatakan terintegralkan pada [a,b] jika b
n
lim ∑ f ( xi ) ∆xi ada, selanjutnya ∫ f ( x ) dx disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f
P →0 i =1
a
dari a ke b, dan didefinisikan b
n
∫ f ( x ) dx = lim ∑ f ( xi )∆xi . P →0 i =1
a
b
∫ f ( x ) dx
menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan sumbu x
a
b
∫ f ( x ) dx
dalam selang [a,b], jika
bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang
a
berada dibawah sumbu x. Definisi : a
∫ f ( x ) dx
=0
a b
a
a
b
∫ f ( x ) dx = - ∫ f ( x ) dx , a > b
Teorema Dasar Kalkulus Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut : Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka b
∫ f ( x ) dx
= F(b) – F(a)
a
Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = [ F ( x )] b a
Contoh :
1. Perlihatkan bahwa jika r ∈ Q dan r ≠ b
b
r +1
a
-1, maka
r +1
r ∫ x dx = r + 1 − r + 1 a
Jawab :
r +1 Karena F(x) = x suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut TDK,
b
r +1
b r +1
a r +1
r ∫ x dx = F (b) − F ( a) = r +1 − r +1 a
Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat :
Misal f dan g terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka kf dan f + g terintegralkan, dengan
b
b
1. ∫kf
∫ f ( x)dx
( x ) dx = k
a
a b
∫ [ f ( x) + g (x)]dx
2.
b =
a
∫ f ( x)dx +
a
b
∫ g ( x )dx
a
Contoh : 2
2 ∫ (4 x − 6 x )dx
Hitung
−1
Jawab : 2
2
2
2
−1
−1
2
∫ (4 x − 6 x )dx = 4 ∫ xdx − 6 ∫ x dx
−1
2
2
x 2 x3 = 4 − 6 2 −1 −1 3
4 1 8 1 = 4 − − 6 + = − 12 2 2 3 3 Sifat-Sifat Integral Tentu 1. Sifat Penambahan Selang Teorema : Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka c
b
c
a
a
b
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x)dx bagaimanapun urutan a, b dan c.
Contoh : 2
3.
1
2
2 2 2 ∫ x dx = ∫ x dx + ∫ x dx
1.
0 2
0 −1
1 2
0
0
−1
2.
2
3
2
0
0
3
2 2 2 ∫ x dx = ∫ x dx + ∫ x dx
2 2 2 ∫ x dx = ∫ x dx + ∫ x dx
2. Sifat Simetri Teorema : a
a
−a a
0
Jika f fungsi genap [f(-x) = f(x)] , maka ∫ f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx dan Jika f fungsi ganjil [f(-x) = - f(x)], maka
2.
= 0.
−a
Contoh : π
1.
∫ f ( x )dx
π π x x x 1 cos dx = 2 cos dx = 8 cos . dx =4 2 ∫ ∫ ∫ 4 4 4 4 −π 0 0 5
∫
−5 x
x5 2
+4
dx = 0
C. TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Subtitusi a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g(x) maka ∫ f(g(x))g’(x) dx = ∫ f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c Contoh : Hitunglah ∫
sin
x x
dx . x = x1/2 sehingga du =
Jawab : Misalkan u =
∫
sin
x x
dx = 2 ∫ sin
1 −1 / 2 x dx maka 2
1 x x −1 / 2 dx = 2 ∫ sin udu = 2cosu + c = 2cos 2
x +c
b. Subtitusi Dalam Integral Tentu. Teorema : Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka b
g (b )
a
g (a)
∫ f ( g ( x )) g ' ( x )dx = ∫ f (u )du 1
Contoh : Hitung
∫
x +1 2
0 ( x + 2 x + 6)
dx
Jawab : Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u = jika x = 1, jadi 1
∫
x +1
0 (x
=
2
+ 2 x + 6)
1 9 du
1
dx =
1 1 2( x +1) dx ∫ 2 0 ( x 2 + 2 x + 6) 1
= [ ln u ] 96 = (ln 9 − ln 6) ∫ 26 u 2 2
=
1 3 ln 2 2
2. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri a. ∫ sin n x dx, ∫ cos n x dx Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos x dan kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut sin 2 x = Contoh :
1 − cos 2 x 1 + cos 2 x , cos 2 x = 2 2
1.
b.
2 1 1 + cos 2 x dx = cos x dx = ∫ ∫ (1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) dx 4 2
∫
∫
4
=
1 1 1 ∫ dx + 4 ∫ cos 2x (2) dx + 8 ∫ (1 + cos 4x) dx 4
=
3 1 1 x+ sin 2x + sin 4x + c 8 32 4
sin m x cos n x dx Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut.
Contoh : Tentukan : 1. ∫ c.
∫
sin 3 x cos –4 x dx
dx = - ∫
∫
∫
∫
cotg 2 x (cosec 2 x – 1) dx =
cotg 2 x d(cotg x) -
∫
∫
cotg 2 x cosec 2 x dx –
(cosec 2 x – 1) dx = -
∫
cotg 2 x
1 cotg 3x + cotg x + x + c 3
tg m x sec n x dx, ∫ cotg m x cosec n x dx Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau cosec 2 x. Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x. Contoh : Tentukan : 1.
e.
sin 2 x cos 4 x dx
tg n x dx, ∫ cotg n x dx. Keluarkan faktor tg 2 x = sec 2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg 2 x = cosec 2 x – 1 dalam kasus cotg. Contoh : ∫ cotg 4 x dx =
d.
2. ∫
∫
tg –3/2 x sec 4 x dx
2.
∫
tg 3 x sec –1/2 x dx
sin mx cos nx dx, ∫ sin mx sin nx dx, ∫ cos mx cos nx dx. Gunakan kesamaan : sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x] sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x] cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x] Contoh : ∫ sin 2x cos 3x dx = 1/2 ∫ sin 5x + sin (-x) dx = 1/10
∫
sin 5x d(5x) – ½
∫
sin x dx = - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.
3. Pengintegralan Parsial Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.
∫ udv = uv − ∫ vdu
Contoh : 1. ∫ xe x dx Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex x x x x x ∫ xe dx = xe − ∫ e dx = xe –e + c
4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan). a. Fungsi Integran yang memuat bentuk n ax + b Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u = n ax + b 3 ∫ x x − 4dx Misalkan u = ∫ x3 x − 4dx
Contoh : Hitung
maka u 3 = x – 4 dan 3 u 2 du = dx 3 4 3 3 2 3 ∫ x x − 4dx = ∫ (u + 4)u.3u du = ( x − 4) 7 + ( x − 4) 3 + c
Jawab : Shg
7
b. Integran yang memuat bentuk a 2 − x 2 , a 2 + x 2 , x 2 − a 2 Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t. Contoh :
1. Tentukan
4 −x2
∫
x2
dx
Jawab : Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan =
∫
2 cos t 2
4 sin
t
4 − x 2 = 2 cos t , shg
∫
4 −x2 x2
dx
(2 cos t ) dt = ∫ ctg 2 tdt = - ctg t – t + c
4 − x2 x − sin −1 + c x 2 5. Integral Fungsi Rasional Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis : =
F ( x) =
P( x) , P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0 Q( x)
Fungsi Rasional dibedakan atas :
a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut.
b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut. Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut. Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana Contoh :
5 x −1
x 2 −1
=
2 3 + x −1 x + 1
a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda Contoh : Tentukan
∫
Jawab :
5x + 3
x 3 − 2 x 2 − 3x
5x + 3 3
2
x − 2 x − 3x
=
dx
5x + 3 A B C = + + x( x + 1)( x − 3) x x +1 x − 3
maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1)
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh : A = -1 , B =
∫
5x + 3 x 3 − 2 x 2 − 3x
dx =
−1
2
, dan C =
3
2
sehingga
3 −1 − dx 2 2 ∫ x + ∫ x + 1 dx + ∫ x − 3 dx = - ln x −
1 3 ln x + 1 + ln x − 3 + c 2 2
b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang Contoh : x dx Tentukan ∫ ( x −3) 2 Jawab : x
( x − 3)
2
=
A B + x − 3 ( x − 3) 2 maka x = A(x-3) + B
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga x 1 3 3 dx = ∫ dx + ∫ dx = ln x − 3 − +c ∫ 2 2 x − 3 x −3 ( x − 3) ( x − 3) Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor ( ax +b) k dalam penyebut, maka ada sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :
Ak A1 A2 + + ... + ax + b (ax + b) 2 (ax + b) k c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda Contoh : 6 x 2 −3 x +1 dx Tentukan ∫ ( 4 x +1)( x 2 +1) Jawab : 6 x 2 −3 x +1 2
=
A Bx + C + 4 x +1 x 2 +1
(4 x +1)( x +1) Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap sukunya.
D. PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU 1. Luas Daerah Bidang Rata a. Daerah Antara Kurva dan Sumbu Koordinat. Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik y = f(x), x = a, x = b dan y = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh :
b
A(R) =
∫ f ( x)dx
a
Jika gambar terletak dibawah sumbu X maka integral diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Perhatikan pula gambar daerah rata berikut ini :
Daerah R dibatasi oleh y = d dan x = 0, luasnya
grafik-grafik x = f(y), y = c, A(R) ditentukan oleh : A(R)
d
=
∫ f ( y )dy
c
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu Y maka integral diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Contoh : Tentukan fungsi :
luas
daerah
yang
dibatasi
oleh
Untuk menghitung luas daerah rata ikuti pola berfikir sebagai berikut : 1. Gambar daerah yang bersangkutan 2. Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu 3. Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang 4. Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut 5. Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh integral tertentu.
b. Daerah antara 2 Kurva Perhatikan kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan g(x) ≤ f(x) pada selang [a,b], sebagai gambar berikut :
∆A ≈ ( f ( x ) − g ( x)) ∆x b
A=
∫( f ( x ) −g ( x )) dx
a
Kita gunakan cara : potong, aproksimasikan, dan integralkan.
PENUTUP Kesimpulan : • • • • • •
Integral Tak Tentu suatu operator Anti Turunan Fungsi Integral Tentu sebagai Limit Jumlah Riemann yang mendeskripsikan jumlah dari luas persegi panjang-persegi panjang. Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan dalam menghitung Integral Tentu Beberapa sifat Integral Tentu antaranya : sifat linear, sifat penambahan selang dan sifat simetri. Beberapa teknik-teknik pengintegralan untuk menghitung Intagral Tak Tentu/Integral Tentu antaranya : teknik subtitusi, teknik parsial, subtitusi trigonometri dan subtitusi yang merasionalkan. Integral Tentu dapat digunakan untuk mencari Luas Daerah.
