VI. INTEGRASI NUMERIK 6.1 Pendahuluan
Formulasi dari Integrasi suatu fungsi ditulis dalam bentuk : b
I = ∫ f ( x )dx
(6.1)
a
yang merupakan integral suatu fungsi f(x) terhadap variabel x yang dihitung antara batas x = a sampai x = b. eperti yang ditun!ukan ditun!ukan dalam "ambar 6.1. #ang dimaksud dengan integrasi adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan sumbu x $ dari batas x = a sampai x = b . F(x)
y "ambar 6.1 %uas Integrasi
I
x &
a
b
Integrasi Integrasi numerik numerik merupaka merupakan n pendekatan pendekatan dari integras integrasii analitis analitis untuk untuk mempermudah mendapatkan solusinya$ dimana kadang'kadang suatu integral sulit diselesaikan dengan analitis. Integrasi Integrasi numerik numerik merupaka merupakan n integral integral tertentu yang yang didasarkan didasarkan pada perkiraan perkiraan dengan membagi luasan dalam se!umlah pias keil. %uas totalnya adalah !umlah dari luas pias semuanya. etode integrasi integrasi numerik numerik dapat dibedak dibedakan an dalam dalam dua kelompo kelompok$ k$ yaitu yaitu kelompok metode *e+ton'otes dan kelompok metode "auss. #ang termasuk etode etode *e+ton *e+ton'ot 'otes es dian diantar taran anya ya adalah adalah metode metode ,rapes ,rapesiu ium m dan metod metodee impson$ impson$ sedangkan sedangkan untuk untuk kelompok metode "auss ontohnya adalah metode "auss'kuadratur. 6.2 Metode Trapesiu -alam metode ini kurva lengkung dari fungsi f(x) seperti pada gambar 6. digantikan dengan garis lurus. ehingga luasan bidang diba+ah kurva fungsi f(x) didekati dengan luas trapesium y F(b) F(a) I
&
a
x b
"ambar 6. %uasan ,rapesium /ntuk menghitung integrasi sesuai dengan persamaan (6.1)$ maka :
I ≅ (b'a)
f ( a ) + f (b)
(6.)
.
0enggunaan garis lurus untuk mendekati garis lengkung menyebabkan ter!adinya kesalahan sebesar luasan yang tidak diarsir. esarnya kesalahan dapat diperkirakan dari persamaan berikut : 2='
1 1.
h4 f 3ξ $ dimana f5 adalah turunan kedua dari fungsi f(x)$ h adalah (b'
a) dan ξ adalah titik tengah interval a dan b. ontoh 1. : 8
7itung
x I = ∫ e dx dengan metode trapesium satu pias. &
0enyelesaian : ' 9pabila diselesaikan seara analitis : I = e8 ' e& = 4$;<1 ' -engan integrasi numerik : I = (8 ' &)
e
8
+e
&
= 111$1;64
.
esalahannya : ε = (4$;<1 '111$1;64) > 4$;<1 x 1&& ? = '1&@$86 ? /ntuk memperkeil kesalahan yang ada maka dilakukan pembagian luasan diba+ah kurva dengan !umlah n pias trapesium dengan lebar yang sama. eperti dapat dilihat pada "ambar 6..$ lebar pias h = (b'a) > n $ dengan demikian dapat ditulis : xr = = a A r h f r r =# f(xr ) y = f(x) C
0
f n
f
rA1
f r f & *
E
Do
D1
D
Dr
D rA1
=a
D
Dn'1 Dn =b
"ambar 6.. -erivation of the ,rapesium Bule %uas dari *0C adalah sebagai luasan trapesium : 1 .
h ( f r + f r + 1)
(6.4) ,otal luas diba+ah kurva dapat didekati dengan !umlah n trapesium : I≅
1 .
h ( f & A f 1) A
1 .
h ( f 1 A f ) A
1 .
h ( f A f 4) A ..... A
1 .
h ( f n' n' A f n'1 n'1) A
1 .
h ( f n'1 n'1 A f n)
I ≅ h ( atau I≅
1 .
1 .
(6.8)
f & A f 1 A f A ..... A f n'1 n'1 A
1 .
f n)
(6.)
n −1
h f (a) A f (b) A ∑ f ( x r ) G r =1
(6.6) esarnya kesalahan yang ter!adi pada penggunaan banyak pias adalah : 2t = '
1 1.
H
H dimana nilai nilai h (b − a) f 3 $ dimana .
f
3
adalah
rata'rata nilai f5(x) untuk nilai x antara a dan b
H untuk untuk kebany kebanyakan akan fungsi$ fungsi$ bentuk
f
3
dapat didekati didekati
dengan oleh persamaan :
H 3
=
f
f I (b ) − f I ( a ) b −a
(6.@) ehingga bentuk persamaan trapesium dengan memperhitungkan koreksi yaitu : I≅
1 .
h f (a) A f (b) A
n −1
1
r =1
1.
∑ f ( xr ) G '
h . f I (b ) − f I ( a ) G
(6.<) etode trapesium dapat digunakan untuk integrasi suatu fungsi yang diberikan dalam bentuk numerik pada intervaal diskret. oreksi pada u!ung'u!ungnya dapat didekati didekati dengan dengan mengga mengganti nti diferen diferensia siall fJ(a) fJ(a) dan fJ(b) fJ(b) dengan dengan diferen diferensia siall beda hingga : ontoh . : elesaikan elesaikan soal pada ontoh 1. dengan menggunakan menggunakan metode trapesium empat pias dengan lebar pias 1. penyelesaia penyelesaian n: %uas trapesium dengan 8 pias $ h = 1 n −1
I≅
1 .
h f (a) A f (b) A ∑ f ( x r ) G
I≅
1 .
1 e& A e8 A (e 1 A e A e4)G = @$;;1;&
f (r) =
r =1
f ( r +1) − f ( r ) h
(6.;) erikut penggunaan progam untuk aturan trapesium untuk mengevaluasi :
.
∫ e
−1. x
dx
1
atatan : nilai eksak : I = (/ntuk penggunaan integral yang lainnya bisa dengan melakukan perubahan pada baris & dan dan 4& sesuai persoalannya) persoalannya) 1& B2 ,B902KI/ B/%2 & -2F F*F (D)=2D0('D>) 4& -9,9 1$ 8& B29- 9$ & I*0/, L*/2B EF ,BI05M* 6& %2, 7=('9)>* @& %2, 0=(F*F(9)AF*F())> 0=(F*F(9)AF*F())> <& FEB B=1 ,E *'1 ;& %2, 0 = 0AF*F(9ABN7) 1&& *2D, B 11& 0BI*, LI*,2"B9% I5M7N0 eluaran dari program ini adalah: */2B EF ,BI0O ,BI0O 1& I*,2"B9% I .8@@8&1<@1 */2B EF ,BI0O ,BI0O 1&& I*,2"B9% I .8@@4&4841 */2B EF ,BI0O ,BI0O 1&&& I*,2"B9% I .8@@4&88< *ilai yang benar dari integral tersebut adalah &.8@@4&84@$ nilai nilai terakhir diatas ukup akurat sampai @ desimal. ,etapi memakan +aktu yang ukup lama dalam running programnya.
