MAKALAH KALKULUS II
Volume Benda Putar Pada Sumbu X dan Y
Disusun Oleh :
Kelompok 1
Ketua : Abdi Ramandha
Anggota : 1. Abed Nego P.S
2. Anggi Fariz
3. Arlan Kurniawan
4. Arvan Budi Heryanto M.
Kelas : IN2B
FAKULTAS TEKNIK
PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI
UNIVERSITAS BINA DARMA PALEMBANG
TAHUN AKADEMIK 2014/2015
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan yang maha kuasa, atas izin dan rahmatnya penulis dapat menyelesaikan makalah kalkulus II ini tepat pada waktunya tanpa halangan apapun.
Akhirnya dengan segala kerendahan hati izinkanlah penulis untuk menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam menyusun makalah ini.
Penulis menyadari bahwa penyusunan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat di butuhkan. Harapan dari penulis semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi mahasiswa – mahasiswi Universitas Bina Darma Palembang.
Palembang, Juni 2015
Penulis
Bab I
Pendahuluan
Latar Belakang
Kalkulus adlah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, dan deret tak terhingga. Kalkulus Adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaiman geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi,dan teknik; serta dapat memecahkan masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, yaitu kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus.pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusu mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisi matematika. Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan hanya berfikir bagaimana menyelesaikan maslah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.
1.2 Rumusan Masalah
1. Volume Benda Putar
2. Contoh-contoh Volume Benda Putar
1.3 Tujuan
Untuk mempelajari bebrapa kegunaan integral seperti Volume Benda Putar dalam kalkulus.
Bab II
Pembahasan
2.1 Volume Benda Putar
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adlah tabung dengan besar volume adalah hasil kali luas alas dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasil kali antara luas alas dan kita nyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adlah panjang selang (a,b) maka volume benda putar dihitung menggunakan integral tertentu sebagai berikut :
V=abAxdx
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan cincin silinder.
METODE CAKRAM
Benda ruang hasil putaran yang paling sederhana adalah tabung tegak atau bisa kita sebut sebagai cakram, yang dapat dibentuk dengan memutar persegi panjang menurut suatu garis yang berimpit dengan salah satu sisinya, seperti yang terlihat pada gambar berikut.
Sehingga, volume dari cakram tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.
Dengan R dan t secara berturut-turut adalah jari-jari dan tinggi cakram.
Untuk melihat bagaimana penggunaan volume cakram dalam menentukan volume benda putar yang lebih umum, perhatikan gambar berikut.
Untuk menentukan volume benda putar, perhatikan persegi panjang yang terletak pada bidang datar. Apabila persegi panjang tersebut diputar dengan pusat pada suatu garis, akan terbentuk salah satu cakram dalam benda putar yang volumenya,
Sehingga volume benda putar tersebut dapat didekati dengan menggunakan n buah cakram yang memiliki tinggi Δx dan jari-jari R(xi) yang menghasilkan,
Pendekatan volume benda putar tersebut akan semakin baik apabila banyak cakramnya mendekati tak hingga, n atau ""Δ"" 0. Sehingga, kita dapat mendefinisikan volume benda putar sebagai berikut.
Secara sistematis, menentukan volume benda putar dengan metode cakram dapat dilihat seperti berikut.
Rumus yang serupa juga dapat diturunkan apabila sumbu putarannya vertikal. Apabila sumbu putarannya adalah vertikal (sumbu-y), maka rumus volume benda putarnya adalah sebagai berikut.
Untuk membedakan antara volume benda putar dengan pusat di garis horizontal ataupun vertikal, perhatikan gambar berikut.
Aplikasi paling sederhana dari metode cakram adalah menentukan volume benda putar hasil putaran daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f dan sumbu-x. Jika sumbu putarannya adalah sumbu-x, maka dengan mudah dapat ditentukan bahwa R(x) sama dengan f(x). Perhatikan contoh berikut.
Contoh: Penggunaan Metode Cakram
Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang dibatasi oleh grafik,
Dan sumbu-x (0 x π) dengan pusat putaran sumbu-x.
Pembahasan Dari persegi panjang biru di atas, dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun ruang adalah,
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut.
METODE CINCIN SILINDER
Menurut pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu tertentu, akan terbentuk suatu benda putar dengan volume sebesar luasan tersebut dikalikan dengan keliling putaran.
Dikarenakan keliling lingkaran = 2πr, jika luas bidang yang diputar = A, maka volume = 2πr × A digunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar.
Agar dapat lebih memahami perhatikan beberapa contoh dibawah ini
Contoh soal volume benda putar dengan metode cincin silinder
Carilah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu x, dan 0 x 2 jika diputar terhadap sumbu x?
Jawab :
Soal Volume Benda Putar
Carilah Volume benda putar yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y = 4 – X2 sumbu X dan ordinat pada x = 0 dan x = 3, diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu X dan sumbu Y.
Penyelesaian :
Diputar pada Sumbu X
V=abπy2 dx
=02π4-x22dx
=02π16-8x2+x4dx
=π16x-83x3+15x502
=π162-83(2)3+15(2)5-0
=π32-643+325
=π32-21,3+6,4
=17,1 π Satuan Volume
Diputar pada Sumbu Y
V=ab2πxy dx
=022πx4-x2dx
=2π024x-x3dx
=2π42x2-14x402
=2π2x2-14x402
=2π2(2)2-14(2)4-0
=2π8-4
=2π4
=8 π Satuan Volume
Daftar Pustaka
Rumus matematika.2013.http://rumus-matematika.com/metode-menghitung-volume-benda-putar/.diunduh 29 Mei 2015. Pukul 15.45 wib.
Varbeg, Dale, dkk.2007.Jilid 1. Edisi 9.Jakarta : Erlangga.
