BAB I
PEMBAHASAN
1. In Integ tegra rall Lip Lipat at Ti Tiga ga Sama seperti kita mendefinisikan integral tunggal untuk fungsi suatu variable dan integral lipat dua variable, kita dapat mendefinisikan integral lipatiga untuk fungsi tiga variable. Pertama-tama marilah kita menangani kasus paling sederhana di mana
f didefinisikan pada kotak segiempat B= { ( x, y, z ) ∣ ɑ ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s }
1
!angkah
pertama
adalah
membag membagii B men"ad men"adii kotakkotak-kot kotak ak bagian. #ita lakukan ini dengan memb membag agii selan selang g l
i 1
[r ,s]
men" men"ad adii
n
i
∆ x , memb membag agii m selang-
me men"adi
bagian berlebar sama memb membag agii
men"adi
[ x x − , x ]
sel selang-bagian
berlebar sama
[c,d]
[ a , b]
selang selang-ba -bagia gian n berleb berlebar ar sama
∆y
dan
∆ z . Bidang-
bidang $ang melalui titik u"ung selangbagian-selangbagian ini $ang se"a"ar terhadap terhadap bidang-bidang bidang-bidang kordinat kordinat membagi kotak bagian.
B ijk = [ x x i −1 , x i ] × [ y j− 1 , y j ] × [ z z k − 1 , y k ]
B men"ad men"adii
lmn kotak-
%ang diperlihatkan dalam &ambar '. Masing-masing kotak bagian mempun$ai volume
∆ V = ∆ x ∆ y ∆ z
#emudian kita bentuk jumlah Riemann rangkap-tiga rangkap-tiga
l
m
n
f ( ∑ ∑ ∑ ( x ¿ = = =
¿
ijk
2
¿
, y ijk , zijk ) ∆ V
i 1 j 1 k 1
deng dengan an titik titik sampe sampell
¿ ¿ ¿ , yijk , z ijk ) ( x x ijk
B ijk . Berdasarkan
terle terletak tak pad padaa
( 16.1.5 ) , kita definisikan integral
analog analogii dengan dengan defini definisi si integr integral al lipat-d lipat-dua ua
lipat-tiga sebagai limit dari "umlah (iemann rangkap-tiga dalam
f pada kotak
Defnisi Integral lipat-tiga lipat-tiga dari dari 3
( 2) .
B adalah
∭ f ( ( x , y , z ) dV = B
l
m
n
f ( ∑ ∑ ∑ ( x ¿ = = =
lim
ijk
l , m , n → ∞ i 1 j 1 k 1
¿
¿
, y ijk , z ijk ) ∆ V
f kontinu. #ita dapat
Sekali Sekali lagi, integral integral lipat-tig lipat-tigaa selalu selalu ada "ika "ika
memilih titik sampel sebagai sebarang titik di dalam kotak-bagian, tetapi "ika kita
memilih titik sampel ini sebagai titik
x ( ¿ ¿ i , y j , z k ) kita peroleh ekspresi $ang
¿
kelihatan lebih sederhana untuk integral lipat-tiga
∭ f ( ( x , y , z ) dV = B
l
lim
m
n
∑ ∑ ∑ f ( ( x , y
l , m , n → ∞ i=1 j=1 k = 1
i
j
, z k ) ∆ V
%ang diperlihatkan dalam &ambar '. Masing-masing kotak bagian mempun$ai volume
∆ V = ∆ x ∆ y ∆ z
#emudian kita bentuk jumlah Riemann rangkap-tiga rangkap-tiga
l
m
n
f ( ∑ ∑ ∑ ( x ¿ = = =
¿
ijk
2
¿
, y ijk , zijk ) ∆ V
i 1 j 1 k 1
deng dengan an titik titik sampe sampell
¿ ¿ ¿ , yijk , z ijk ) ( x x ijk
B ijk . Berdasarkan
terle terletak tak pad padaa
( 16.1.5 ) , kita definisikan integral
analog analogii dengan dengan defini definisi si integr integral al lipat-d lipat-dua ua
lipat-tiga sebagai limit dari "umlah (iemann rangkap-tiga dalam
f pada kotak
Defnisi Integral lipat-tiga lipat-tiga dari dari 3
( 2) .
B adalah
∭ f ( ( x , y , z ) dV = B
l
m
n
f ( ∑ ∑ ∑ ( x ¿ = = =
lim
ijk
l , m , n → ∞ i 1 j 1 k 1
¿
¿
, y ijk , z ijk ) ∆ V
f kontinu. #ita dapat
Sekali Sekali lagi, integral integral lipat-tig lipat-tigaa selalu selalu ada "ika "ika
memilih titik sampel sebagai sebarang titik di dalam kotak-bagian, tetapi "ika kita
memilih titik sampel ini sebagai titik
x ( ¿ ¿ i , y j , z k ) kita peroleh ekspresi $ang
¿
kelihatan lebih sederhana untuk integral lipat-tiga
∭ f ( ( x , y , z ) dV = B
l
lim
m
n
∑ ∑ ∑ f ( ( x , y
l , m , n → ∞ i=1 j=1 k = 1
i
j
, z k ) ∆ V
Sama seperti untuk integral lipat-dua, metode praktis untuk penghitungan integr integral al lipat-t lipat-tiga iga adalah adalah men$at men$ataka akann$ nn$aa sebagai sebagai integr integral al berula berulang ng sebagai sebagai berikut.
Teorema Fubini untuk Integral Lipat-Tiga jika
4
kontinu pada kotak
B = a , b × b , c × r , s b
s
f
, maka
d
∭ f ( ( x , y , z ) dV =∫∫∫ f ( ( x , y , z ) dy dz dx )ntegral berulang pada ruas kanan *eorema +ubini bermakna baha pertama x dengan dengan mempertahank mempertahankan an
kita kita mengin menginteg tegralk ralkan an terhad terhadap ap
tetap, tetap, kemudian kemudian kita integralkan integralkan terhadap
y
y da dan
z
dengan dengan mempertahankan mempertahankan
z
tetap, dan akhirn$a kita integralkan terhadap z . *erdapat lima kemungkinan urut urutan an lain lain $ang $ang dapa dapatt kita kita laku lakuka kan n dala dalam m meng mengin inte tegr gral alka kan, n, semu semuan an$ $a memberikan nilai sama. Misaln$a, "ika kita integralkan terhadap
y , kemudian
z , dan kemudian x , kita mempun$ai b
s
d
a
r
c
dydz dx ∭ f ( ( x , y , z ) dV =∫∫∫ f ( ( x , y , z ) dydz B
CONTOH 1
∭ xyz dV 2
Hitunglah integral lipat-tiga $ang diberikan oleh
B ={ ( x , y , z ) ∣ 0 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3 } PENYELEAIAN
B
, dengan
B adalah kotak segiempat
#ita dapat menggunakan salah satu dari enam urutan pengintegralan $ang mungkin. /ika kita memilih untuk mengintegralkan terhadap
x , kemudian
y , dan kemudian z , kita peroleh 3
2
1
∭ xyz dV =∫∫ ∫ xyz dxdy dz 2
B
2
0
−1
0
3
2
¿∫ ∫ 0
−1
3
2
¿∫ ∫
2
yz 2
dydz
−1
3
[ ]
0
3
¿∫
2
y z
2 y =2
4
3 z 4
0
dy dz
x = 0
2
0
¿∫
=1 2 x
[ ] 2
x yz
dz
y =−1
2
dz
3 3
z ¿ 4
]
0
¿ 27 4
Sekarang kita definisikan integral lipat-tiga pada daerah umum terbatas
E dalam ruang tiga dimensi benda pe"al dengan prosedur $ang hampir sama seperti $ang kita gunakan untuk integral lipat-dua. #ita lingkupi sebuah kotak
B
definisikan fungsi
E dalam
$ang ber"enis sama seperti persamaan '. #emudian kita F
agar fungsi ini sesuai dengan
bernilai 0 untuk titik-titik pada
f pada
E tetapi
B $ang diluar E . Menurut definisi,
∭ f ( x , y , z ) dV =∭ F ( x , y , z ) dV E
B
)ntegral ini ada "ika
f kontinu dan perbatasan
E adalah 1dapat
dikatakan mulus2. )ntegral lipat-tiga mempun$ai sifat $ang pada dasarn$a sama seperti integral lipat-dua
#ita batasi perhatian kita pada fungsi kontinu
f dan pada "enis
daerah sederhana $ang tertentu. 3aerah pe"al E dikatakan sebagai !erjeni" 1 "ika daerah ini terletak diantara grafik dua fungsi kontinu
x dan
y ,
dengan kata lain 5
dengan
E = { ( x , y , z ) ∣ ( x , y ) ∈ D , u1 ( x , y ) ≤ z≤ u2 ( x , y ) }
D adalah pro$eksi
E pada bidang- xy seperti diperlihatkan
dalam &ambar 4. Perhatikan baha perbatasan atas benda pe"al E adalah permukaan dengan persamaan adalah permukaan z =u1 ( x , y ) .
z =u2 ( x , y ) , sedangkan perbatasan baah
Berdasarkan "enis argumentasi $ang sama $ang menghasilkan , dapat diperlihatkan baha "ika
E
adalah daerah "enis ) $ang diberikan oleh
persamaan 5, maka
6
[
u2( x, y )
∭ f ( x , y , z ) dV =∬ ∫ E
D
]
f ( x , y , z ) dz dA
u1( x , y )
Makna dari integral sebelah dalam pada ruas kanan persamaan 6 adalah
x dan
baha
u2 ( x , y )
y
dipegang tetap, dan karenan$a
dipandang sebagai konstanta, selama
u1 ( x , y )
dan
f ( x , y , z ) diintegralkan
terhadap z . #hususn$a, "ika pro$eksi
D dari E pada bidang- xy adalah daerha
bidang "enis ' seperti dalam gambar 7
Maka,
E= { ( x , y , z ) ∨a ≤ x ≤ b , g 1 ( x ) ≤ y≤ g2 ( x ) , u1 ( x , y ) ≤ z≤ u2 ( x , y ) } dan persamaan 6 men"adi b g2 ( x ) u2( x, y )
7
∭ f ( x , y , z ) dV =∫ ∫ ∫ f ( x , y , z ) dzdydx E
a g1 ( x ) u1( x, y )
Sebalikn$a, "ika D adalah daerah bidang )) seperti dalam gambar 8
Maka,
E= { ( x , y , z ) ∨c ≤ y ≤ d , 1 ( y ) ≤ x≤ 2 ( y ) , u1 ( x , y ) ≤ z≤ u2 ( x , y ) } dan persamaan 6 men"adi
d 2( y ) u2( x, y )
8
∭ f ( x , y , z ) dV =∫ ∫ ∫ f ( x , y , z ) dzdxdy E
c 1( y ) u1( x, y )
CONTOH #
Hitunglah
∭ z dV ,d!ngan E E
adalah bidang empat tetrahedron pe"al $ang
dibatasi oleh empat bidang x =0, y =0, z =0, dan x + y + z =¿
PENYELEAIAN
#etika kita men$usun integral lipat-tiga adalah bi"aksana untuk menggambar dua diagram $aitu satu berupa daerah pe"al E lihat gambar 5 dan ' adalah pro$eksi
D pada bidang- xy lihat gambar 6. Batas baah bidang-empat adalah bidang z =0
gunakan
dan batas atasn$a bidang
u1 ( x , y )=0 dan
bidang-bidang
+ y + z =1 atau
( z =1− x − y ) , sehingga kita
u2 ( x , y )=1− x − y dalam rumus 9. Perhatikan baha
x + y + z =1 dan
z =0 berpotongan pada garis
x + y =1 atau
( y =1− x ) di bidang- xy . Sehingga pro$eksi E adalah daerh segitiga $ang diperlihatkan dalam gambar 6, dan kita mempun$ai
E= { ( x , y , z ) ∨ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x , 0 ≤ z ≤ 1− x − y }
9 Pendeskripsian E sebagai daerah "enis ' ini membuat kita bisa menghitung integral sebagai berikut 1 1− x 1− x − y
∫∫ ∫ ∭¿
z dV =¿
0
0
z dz dy dx
0
E
1 1 − x
¿∫ ∫ 0
0
2 z= 1− x − y
[ ] z
2
z= 0
dy dx
¿1 2
1 1− x
∫ ∫ ( 1− x − y ) dy dx 2
0
0
1 − x − y −¿
¿
y =1− x
−( ¿3 ¿ ¿ 3 ] y =0 dx ¿ ¿ 1 ¿ 2
1 ¿ 6
¿
¿
1 6
1
∫¿ 0
1
∫ ( 1− x ) dx 3
0
[
−(1 − x )4 4
]
1
0
1 24
3aerah pe"al E adalah "enis 4 "ika berbentuk
E = {( x , y , z ) ∨( y , z ) ∈ D ,u 1 ( y , z ) ≤ x ≤ u 2 ( y , z ) }
kali ini dengan
D adalah pro$eksi
Permukaan belakang adalah
E pada bidang- yz lihat gambar 9.
x =u1 ( y , z ) dan permukaan depan adalah
u2 ( y , z )
dan kita mempun$ai
1
[
u2( y , z)
∭ f ( x , y , z ) dV =∬ ∫ E
D
u2( y , z)
]
f ( x , y , z ) dA
Akhirn$a daerah jeni" $ berbentuk
E= { ( x , y , z ) ∨( x , z ) ∈ D , u1 ( x , z ) ≤ x≤ u2 ( x , z ) }
dengan
D
adalah pro$eksi
permukaan kiri dan
y =u2 ( y , z )
E
pada bidang- xz ,
adalah permukaan kanan lihat gambar :. ;ntuk
daerah "enis ini kita mempun$ai
1
[
u2 ( x , z )
∭ f ( x , y , z )=∬ ∫ E
y =u1 ( y , z ) adalah
D
u1 ( x , z )
]
f ( x , y , z ) dy dA
3alam masing- masing persamaan '0 dan '' boleh "adi terdapat dua ekspresi D daerah bidang
$ang mungkin untuk integral tersebut tergantung pada apakah
ber"enis ' atau "enis 4 dan berpadanan terhadap persamaan 9 dan :. CONTOH $
∭ √ x + z 2
Hitung 2
2
dV ,
dengan E adalah daerah $ang dibatasi oleh paraboloid
E
y = x + z
2
y = 4
dan bidang
PENYELEAIAN %
E diperlihatkan dalam gambar <. /ika kita pandang benda sebagai
Benda pe"al
daerah "enis ', maka kita perlu menin"au pro$eksi
D ke bidang − xy , $ang
berupa daerah parabola dalam gambar '0 "e"ak dari
y = x + z
adalah parabola y = x 3ari
2
y = x + z
2
2
2
2
di bidang z =0
kita dapatkan
z =" √ y − x
2
, sehingga permukaan perbatasan
2 2 baah dari E adalah z =−√ y − x dan permukaan atasn$a adalah z =√ y − x
. #arena itu pen"abaran E sebagai daerah "enis ' adalah
{
E= ( x , y , z ) ∨−2 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 4,−√ y − x ≤ z ≤ √ y − x 2
Sehingga kita peroleh
2
2
}
2
√ y − x
4
2
∭ √ x + z dV =∫ ∫ ∫ √ x + z dzdydx 2
2
2
2
−2 x2 −√ y − x2
E
=alaupun ekspresi ini benar, ekspresi ini sagat sukar untuk dihitung. Sebagai g antin$a marilah kita menin"au E sebagai daerah "enis 7. 3engan demikian pro$eksin$a
D3
ke dalam bidang
− xz
2
2
x + z ≤ 4 $ang
berupa >akram
diperlihatkan pada gambar ''.
Maka perbatasan kiri dari E adalah paraboloid
y = 4 , sehingga dengan mengambil
kanan adalah bidang
u2 ( x , z )=4 dalam persamaan '', kita mempun$ai
∭ √ x + z 2
2
[
4
∬ ∫ √ x + z dy
dV =
E
D3
2
2
x + z
2
2
]
dA
¿∬ ( 4 − x2 − z2 ) √ x 2+ z 2 dA D 3
2
y = x + z
2
dan perbatasan
u1 ( x , z ) = x + z 2
2
dan
=alaupun integral ini dapat dituliskan sebagai 2
√ 4− x
2
∫ ∫ ( 4 − x − z ) √ x + z 2
− 2 −√ 4 − x
2
2
2
dzdx
2
Adalah lebih mudah untuk beralih ke kordinat polar di bidang- xz : x = r cos
# .
)ni memberikan
∭ √ x + z dV =∬ ( 4− x − z ) √ x + z dA 2
2
E
2
2
2
2
D3
2 $ 2
2 $
2
0
0
¿ ∫ ∫ ( 4 −r ) r r d r d #=∫ d#∫ ( 4 r 2−r 4 ) dr 2
0
0
[
4r ¿ 2 $ 3
3
5 2
]
128 $ r − = 5 0 15
a. Penerapan Integral Lipat Tiga b
)ngat baha "ika
f ( x ) % 0 , maka integral tunggal
luas dibaah kurva
y = f ( x )
integral lipat dua
∬ f ( x , y ) dA D
∫ f ( x ) dx a
mulai dari a ke b, dan "ika
men$atakan
f ( x , y ) % 0 maka
men$atakan volume di baah permukaan ❑
z = f ( x , y ) dan di atas D. Penafsiran integral lipat-tiga terkait, dengan
f ( x , y , z ) % 0
∭ f ( x , y , z ) dV E
$ang
tidaklah terlalu berguna karena aka berupa
1hipervolume2 dari beda empat dimensi, dan tentu sa"a amat sukar untuk divisualisasikan. ingat baha E han$alah daerah asal domain fungsi f ? grafik
f
terletak diruang empat dimensi. meskipun demikian, integral lipat-tiga ❑
∭ ( x , y , z ) dV E
dapat ditafsirkan dalam >ara $ang berbeda dalam situasi fisis $ang
berlainan, tergantung pada penafsiran fisis dari x , y , z dan
f ( x , y , z ) .
Marilah kita mulai dengan kasus khusus di mana
f ( x , y , z )=1 untuk semua
titik dalam E . Maka integral lipat-tiga memang en$atakan volume E
∭ dV
V ( E )=
E
1
Sebagai >ontoh, anda dapat melihat ini pada kasus daerah "enis ' dengan meletakkan
f ( x , y , z )= 1 dalam rumus 6
[ ] u2 ( x, y )
∭ 1 dV =∬ ∫ E
D
∬ [ u ( x , y )−u ( x , y ) ] dA
dz dA =
u1 ( x, y )
2
1
D
dan dari materi sebelumn$a kita mengetahui baha ini men$atakan volume $ang terletak di antara permukaan-permukaan z =u1 ( x , y ) dan z =u2 ( x , y ) . CONTOH &
&unakan integral lipat-tiga untuk men>ari volume bidang@empat
& $ang dibatasi
oleh bidang-bidang x + 2 y + 2 z =2 , x =2 y , x =0 , dan z =0 .
PENYELEAIAN
Bidang-empat
& dan pro$eksin$a D pada bidang xy diperlihatkan dalam
gambar '4 dan '7. Perbatasan baah
& adalah bidang z =0 dan perbatasan atas
adalah bidang x + 2 y + 2 z =2 , $aitu z =2− x − 2 y . #arena itu, kita mempun$ai
∭ dV
V ( & ) =
&
1
¿∫ 0
x 1− 2 2− x −2 y
∫ ∫ x 2
dzdydx
0
x
1
¿∫ 0
1−
2
∫ ( 2− x −2 y ) dy dx x 2
¿
1 3
Perhatikan baha kita tidak perlu menggunakanintegral lipat-tiga untuk menghitung volume. )ntegral ini han$alah metode alternatif untuk pen$usunan perhitungan Semua penerapan integral lipat-dua dapat langsung dipeluas ke integral lipattiga. Misaln$a, "ika fungsi kerapatan dari benda pe"al $ang menempati daerah E adalah
' ( x , y , z ) , dalam satuan massa tiap satuan volume, di sembarang titik
( x , y , z ) $ang diberikan, maka massa-n$a adalah
∭ ' ( x , y , z ) dV
m=
1
E
3an momen-n$a terhadap tiga bidang koordinat adalah
1
∭ x' ( x , y , z ) dV ( =∭ y' ( x , y , z ) dV xz
E
E
∭ z' ( x , y , z ) dV
( xy =
E
Pusat massan$a terletak di titik
( x´ , ´ y , z´ ) , dengan
(yz x´ = m
1
y´ =
( xz
z´ =
m
( xy m
/ika kerapatann$a konstan, pusat massa benda pe"al disebut sentroid dari
E .
Momen inersia terhadap tiga bidang koordinat adalah
) x = ⨌ E
1
( y 2 + z 2) ' ( x , y , z ) dV ) y = ⨌ E
( x 2+ z 2 ) ' ( x , y , z ) dV ) z= ⨌ E
( x + y ) ' ( x , y , z ) dV 2
2
Muatan listrik total pada suatu benda pe"al $ang menempati daerah E dan mempun$ai kerapatan muatan
* ( x , y , z ) adalah
∭ * ( x , y , z ) dV
/=
E
/ika kita mempun$ai tiga variabel a>ak kontinu ,%,dan , fungsi kerapatan bersama mereka adalah fungsi tiga variabel sedemikian rupa sehingga peluang baha , %, terletak dalam E adalah
x f (¿ , y , z ) dV
∭¿
+ ( ( ,- , ) ∈ E )=
E
#hususn$a, b
d
s
a
c
r
∫∫∫ f ( x , y , z ) dz dy dx
+ ( a ≤ ≤ b , c ≤ - ≤ d , r ≤ ≤ s) =
+ungsi kerapatan bersaman$a memenuhi
∞
∞
∞
∫ ∫ ∫ f ( x , y , z ) dz dy dx =1
f ( x , y , z ) % 0
−∞ − ∞ −∞
CONTOH '
Carilah pusat massa dari sebuah benda pe"al berkerapatan konstan $ang dibatasi oleh silinder parabolik x = y
2
dan bidang bidang
x = z , z = 0 danx =1 PENYELEAIAN
Benda pe"al E dan pro$eksin$a pada bidang-D$ diperlihatkan dalam &ambar '8. Permukaan baah dan atas dari E adalah bidang bidang z =0 dan z = x , sehingga kita katakan
E sebagai daerah "enis '
{
E= ( x , y , z ) |−1 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1,0 ≤ z ≤ x 2
}
Maka, "ika kerapatan adalah ' ( x , y , z )= ' , massan$a adalah 1
1
x
−1 y2
0
∭ ' dV =∫∫∫ ' dz dx dy
m=
E
1
1
1
¿ ' ∫∫ x dx dy = ' ∫ −1 y2
¿
−1
1
'
2 x= 1
[ ] x
2
x= y
2
1
dy
∫ ( 1− y ) dy= '∫ ( 1− y ) dy 2 4
4
−1
[
0
5 1
y ¿ ' y − 5
]
= 0
4 ' 5
#arena kesimetrisan E dan ' terhadap bidang- xz , kita segera dapat mengatakan baha ( xz = 0, dan karena itu,
y =0 . Momen lainn$a
adalah 1
( yz =⨌ E x' dV =
1 x
∫∫∫ x' dz dx dy −1 y2 0
1
1
1
¿ ' ∫∫ x dx dy = ' ∫ 2
−1 y
−1
2
¿ 2 ' 3
1
∫ 0
¿ ' ∫∫ −1 y2
¿
'
dy
x = y
2
7 1
[
( xy =⨌ E z'dV =
1
3
( 1 − y ) dy = 2 ' y − y 3 7 6
1
1
=1 3 x
[ ] x
x
−1 y2
0
2
0
4 ' 7
∫∫∫ z' dz dx dy
2 z= x
[ ] z
1
]=
dx dy=
z= 0
'
1
1
∫∫ x 2
2
dxdy
−1 y2
1
( 1− y ) dy = 2 ' ∫ 3 7 6
0
#arena itu, pusat massan$a adalah
(
( x´ , ´ y , z´ ) =
) (
( yz ( xz ( xy = 5 , 0, 5 , , m m m 7 14
)
#. Integral Lipat Tiga (alam )**r(inat ilin(er (an )**r(inat B*la a. )**r(inat ilin(er
(r , # , z ) , dengan r ,# dan z
#oordinat silinder dari titik P adalah diperlihatkan dalam gambar '. Andaikan pro$eksin$a
D
pada bidang- xy
E adalah daerah "enis ' $ang
digambarkan dengan mudah dalam
koordinat polar lihat &ambar 4. #hususn$a , andaikan baha
f kontinu dan
E={( x , y , z )∨ ( x , y ) ∈ D ,u 1 ( x , y ) ≤ z ≤ u 2 ( x , y ) } 3engan D diberikan dalam koordinat polar oleh
D={ ( r ,# )∨( x , y ) 0 ≤ # ≤ 1 , 1 (# ) ≤ r ≤ 2( # )}
#ita mengetahui baha
[
u2( x, y )
∭ f ( x , y , z ) dV =∬ D ∫
1
E
u1 ( x , y )
*etapi kita "uga mengetahui bagaimana koordinat polar dalam materi sebelumn$a
2
∬ E f ( x , y , z ) dV # r cos # , r sin ¿
¿
]
f ( x , y , z ) dA
menghitung integral lipat-dua dalam
(umus 4 adalah rumus untuk pengintegralan lipat-tiga dalam koordinat silinder. (umus ini mengatakan baha kita mengalaihkan integral lipat-tiga dari koordinat
siku-siku
ke
koordinat
x =r c2s#, y = r sin # , membiarkan
z
silinder
dV oleh
menuliskan
apa adan$a, dengan mengunakan
limit-limit pengintegralan $ang sesuai untuk menggantikan
dengan
z , r dan
# , serta dengan
rdzdrd#. &ambar 7 memperlihatkan bagaimana
menghafalkan ini. Adalah menguntungkan untuk menggunakan rumus ini ketika
E adalah daerah pe"al $ang se>ara mudah dideskripsikan dalam koordinat f ( x , y , z ) melibatkan ekpresi x 2+ y 2 .
silnder, dan tertuma ketika fungsi
CONTOH 1 2 2 Benda pe"al E terletak didalam silinder x + y =1 , dibaah bidang z =4
,dan di atas paraboloid
2
z =1− x − y
2
lihat gambar 8. #erapatan disebarang
titik sebanding terhadap "arakn$a dari sumbu silinder. Carilah massa E .
PENYELEAIAN
3alam koordinat silinder, persamaan silinder adalah adalah z =1−r
2
r =1 dan paraboloid
, sehingga kita dapat menuliskan
E={( r ,# ,. )∨0 ≤ #≤ 2 $ , 0 ≤ r ≤ 1, 1−r ≤ z ≤ 4 } 2
( x , y , z ) sebanding terhadap "arak dari sumbu- z , maka
#arena kerapatan
fungsi kerapatan adalah
f ( x , y , z )= 3 √ x + y = 3r 2
2
dengan # adalah konstanta kesebandingan. #arena itu, dari (um '6.9.'7, massa E adalah
∭ 3 √ x + y 2
m=
2
dV
E
2 $ 1
¿ ∫∫ 0
4
∫ ( 3r ) rdzdrd#
0 1−r 2
2 $ 1
¿ ∫∫ 3 r 2 [ 4 −( 1−r 2)] dr d# 0
0
2 $
1
0
0
¿ 3 ∫ d#∫ ( 3 r 2 +r 4 ) dr
5 1
[ ]
r ¿ 2 $3 r + 5 3
¿
0
12 $3 5
CONTOH # 2
√ 4− x
2
2
∫ ∫ ∫ ( x + y ) dzdydx 2
Hitunglah
2
−2 −√ 4− x 2 √ x 2+ y2
PENYELEAIAN
)ntegral berulang ini adalah integral lipat tiga pada daerah pe"al
{
E= ( x , y , z ) ∨−2 ≤ x ≤ 2,−√ 4 − x ≤ y ≤ √ 4 − x , √ x + y ≤ z ≤ 2 2
dan pro$eksi E pada bidang E adalah keru>ut z =√ x
2
2
2
2
}
− xy adalah >akram x 2+ y 2 ≤ 4 . Permukaan baah
+ y 2 dan permukaan atasn$a adalah bidang z =2 lihat
gambar 5. 3aerah ini mempun$ai pen"abaran $ang "auh lebih sederhana dalam koordinat silinder
E= { ( r , # , z )∨0 ≤ # ≤2 $ ,0 ≤ r ≤2, r ≤ z ≤2 } #arena itu, kita mempun$ai 2
√ 4− x
2
2
∫ ∫ ∫ ( x + y ) dz dy dx =∭ ( x + y ) dV 2
−2 −√ 4− x 2 √ x 2+ y2
2
2
2
E
2 $ 2
2
¿ ∫∫ ∫ r 2 rdzdrd# 0
0
r
2 $
2
0
0
¿ ∫ d#∫ r 3 (2 −r ) dr
[
¿ 2 $
1 2
4
1
r − r 5
]
2
5
0
=
16 $ 5
!. )**r(inat B*la
3efinisikan koordinat bola
( ' , # , ϕ ) dari sebuah titik lihat gambar 6 dan kita melihat kaitan berikut antara koordinat siku-siku dan koordinat bola
3
x = ' sin ϕ cos # y = ' sin ϕ cos # z = ' cos ϕ
3alam s$stem koordinat ini mitra dari kotak persegi pan"ang adalah ba"i bola (spherical wedge) E= { ( ' ,# , ϕ ) ∨ a ≤ ' ≤ b , 0 ≤ # ≤ 1 , c ≤ ϕ ≤ d }
a % 0, 1 − 0 ≤ 2 $,dand −c ≤ $ .
dengan
=alaupun kita definisikan integral dengan membagi benda pe"al kotak-kotak ke>il, dapat diperlihatkan baha pembagian pe"al men"adi ba"i-ba"i bola ke>il memberikan hasil sama. Sehingga E men"adi ba"i bola $ang lebih
lipat tiga men"adi benda selalu kita bagi
Eijk dengan menggunakan bola
ke>il ber"arak
sama
#=# j ,
' = ' i , setengah bidang
dan setengah
∆ ' , 'i ∆ ϕ
∆ ϕ¿ ,
busur lingkaran dengan "ari-"ari
' i sin ϕ k ∆ #
dan
ϕ = ϕ k .
Eijk hampir berupa kotak persegi pan"ang
&ambar 9 memperlihatkan baha dengan ukuran
keru>ut
busur
lingkaran
dengan
'i sin ϕ k ,sudu4∆# ¿ . Sehingga hampiran terhadap volume
'i , sudut "ari-"ari
Eijk diberikan
oleh
{
∆ V ijk = ( ∆ ' ) ( 'i ∆ ϕ )( ' i sin ϕ k ∆ # )= 'i sin ϕ k ∆ ' ∆ # ∆ ϕ 2
}
+aktan$a, dapat diperlihatkan dengan bantuan *eorema Nilai (ata-rata soal latihan 7<, baha volume Eijk se>ara eksak diberikan oleh
~ sin ϕ ∆ ' ∆ # ∆ ϕ ∆ V ijk = ' i k ~
2
dengan
~ # ,ϕ ) ( 5 , ~ ~
i
( x ¿ijk , y ijk ¿ , z ¿ijk , )
j
k
suatu
titik
di
dalam
Eijk .
adalah koordinat siku-siku dari titik ini. Maka
∭ f ( x , y , z ) dV = E
adalah
l
lim
m
n
¿ f ( x ∑ ∑ ∑ = = =
l , m , n → ∞ i 1 j 1 k 1
ijk
¿
¿
, y ijk , z ijk , ) ∆ V ijk
Misalkan
~
~
5i , sin ϕ k cos # j , 5i l
¿
lim
m
n
∑ ∑ ∑ f ¿
l , m , n → ∞ i =1 j =1 k = 1
~
~
~
~
~ sin ϕ ∆ ' ∆ # ∆ ϕ sin ϕ k sin # j , 5 i cos ϕ k ¿ ' i k i j k ~
2
*etapi "umlah ini adalah "umlah (iemann untuk fungsi
# ' sin ϕ cos # , ' sin ϕ sin # , ' cos ¿ 2 F ( ' , # , ϕ )= ' sin ϕf ¿ Akibatn$a, kita sampai pada rumus untuk pengintegralan lipat tiga dalam koordinat bola
4
ϕ 2 ' sin ϕ cos # , ' sin ϕ sin # , ' cos ¿ ' sin ϕ d'd#dϕ
¿ ¿ f ¿ b
∫¿ a 1
∫¿ 0 d
∫
f ( x , y , z ) dV = ¿
(umus 8 mengatakan baha kita mengkonversi integral lipat tiga dari koordinat sikusiku ke koordinat bola dengan >ara menuliskan ϕ cos # y =¿ ' sin ϕ sin # z = ' cos ϕ x = ' sin ¿
dengan
limit
pengintegralan
$ang
sesuai,
dan
mengganti
dV dengan
2
' sin ϕ d'd#dϕ . )ni diilustrasikan dalam gambar :
(umus ini dapat diperluas untuk men>akup daerah bola $ang lebih umum seperti E= { ( ' ,# , ∅ )|0 ≤ # ≤ 1 , c ≤ ∅ ≤ d , g1 (# , ∅ ) ≤ ' ≤ g2 ( # , ∅ ) } 3alam kasus ini rumus sama seperti dalam 8 ke>uali baha limit pengintergralan
g1 ( # , ∅ ) dan
untuk ' adalah
g2 ( # , ∅ ) .
Biasan$a koordinat bola digunakan dalam integral lipat F tiga ketika permukaan seperti keru>ut dan bola membentuk perbatasan dari daerah pengintegralan. CONTOH $ 3
⨌B !
Hitung
( x + y + z ) 2
2
2 2
dV , dengan B adalah bola satuan
B ={ ( x , y , z )| x + y + z ≤ 1 } 2
2
2
PENYELEAIAN
#arena perbatasan B adalah bola, kita gunakan koordinat bola
B ={ ( ' , # , ∅ )|0 ≤ ' ≤ 1,0 ≤ # ≤ 2 $ , 0 ≤ ∅ ≤ $ } Sebagai tambahan, koordinat bola adalah tepat karena 2
2
2
x + y + z = '
2
/adi, 8 memberikan
∭!
3 2 2
( x + y + z ) 2
2
$ 2 $ 1
∫ ∫∫ !
dV =
B
0
0
3 2 2
( ' )
2
' sin ∅ d'd# d ∅
0
2 $
$
1
@
∫ sin
@
[ −cos ∅ ]0 ( 2 $ ) 1 ! ' 3
∅
d∅
0
2
0
$
¿
∫ d# ∫ ' !
'
3
d'
0
[ ]
1
3
0
4 $ ( ! −1) 3
CATATAN
Akan sangat "anggal untuk menghitung integral dalam Contoh 7 tanpa koordinat bola. 3alam koordinat siku-siku integral berulang ini mungkin akan berupa 1
√ 1− x √ 1− x − y 2
2
∫ ∫
2
∫
− 1 −√ 1− x − √ 1− x − y 2
2
!
3 2 2
( x + y + z ) 2
2
2
CONTOH &
&unakan koordinat bola untuk men>ari volume benda pe"al $ang terletak di atas keru>ut
z =√ x + y 2
2
dan di baah bola x
2
+ y 2 + z 2= z . !ihat &ambar <.
PENYELEAIAN
Perhatikan baha bola melalui titik asal dan mempun$ai pusat
( ) 0,0,
1 2
.
#ita tuliskan persamaan bola dalam koordinat bola sebagai 2
' = ' cos ∅ atau
' = cos ∅
#eru>ut dapat dituliskan sebagai
' cos ∅= √ ' sin 2
)ni memberikan
2
∅
2
2
cos # + ' sin
2
∅
2
sin # = ' sin ∅
sin ∅=cos ∅ , atau
=
∅
dalam koordinat bola adalah
{
|
$ E= ( ' , # , ∅ ) 0 ≤ # ≤ 2 $ , 0 ≤ ∅ ≤ , 0 ≤ '≤ cos ∅ 4
}
$ 4 . #arena itu pendeskripsian benda pe"al E
&ambar '' memperlihatkan bagaimana E tersapu "ika kita mengintegralkan mulamula terhadap ' , kemudian
∅
, dan kemudian
# . Golume E adalah
$ 2 $ 4 cos∅
∭ dV =∫∫ ∫ ' sin 2
V ( E )=
E
0
0
∅
d' d ∅ d#
0
$ 2 $
@
4
∫ d#∫ sin 0
0
∅
3 ' = cos∅
[ ] '
3
d∅
' = 0
$ 4
@
[
2 $ 2 $ 3 sin ∅ cos ∅ d ∅= 3 0 3
∫
−cos4 ∅ 4
]
$ 4
0
= $ 8
