MAKALAH GEOMETRI ANALIT IRISAN KERUCUT
Disusun Oleh :
CAHYA PUTRI PRAYOGI 10.411.263/2F
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2010/2011
1
KATA PENGANTAR Dalam pembelajaran Geometri Analit terdapat bab tentang Irisan Kerucut. Kami menyusun makalah ini untuk menambah referensi dalam pembelajaran Geometri Analit khususnya tentang Irisan Kerucut. Disini kami mencantumkan latar belakang, rumusan masalah, tujuan, dan pembahasan tentang Irisan Kerucut untuk menjadi bahan diskusi dalam pembelajaran Geometri. Pertama-tama kami ingin mengucapkan puji dan syukur kepada Tuhan yang Maha Esa yang telah memberkati kami sehingga makalah ini dapat diselesaikan. Kami juga ingin mengucapkan terima kasih bagi berbagai sumber yang telah kami pakai sebagai data dan fakta pada makalah ini. Kami menyusun makalah ini tidak lepas dari referensi buku-buku, website di internet, dan penjelasan dari pengajar kami. Dalam penyusunan makalah ini tentu masih terdapat kekurangan. Kami menerima kritikan atau saran dari pembaca. Tak lupa kami ucapkan terima kasih pada semua pihak yang membantu menyusun menyusun makalah ini.
Madiun, Agustus 2011
Penyusun Cahya Putri Prayogi
2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR PENGANTAR......... .................. ................. .......................................... .................................. i DAFTAR ISI.......................................................................... ii BAB I..........................................................PENDAHULUAN ................. .......................... .................. .................. .................. .................................................. ......................................... iii LATAR BELAKANG ............................................. .................................................................... .................................. ....................iii .........iii RUMUSAN MASALAH ............................................ ................................................................... ........................................iv .................iv TUJUAN...................................... TUJUAN............................................................. .............................................. .......................................... ......................... ...... iv
BAB II...........................................................PEMBAHASAN ................................................................................................ 1 PENGERTIAN IRISAN KERUCUT ..................................................................1 LINGKARAN ............................................. .................................................................... .........................................................3 ..................................3 ELIPS ........................................... .................................................................. .............................................. ............................................ ..........................4 .....4 Persamaan Elips ............................................. .................................................................... ............................................... ........................ .......6 PARABOLA .............................................. ..................................................................... .................................................. ........................... ......10 Persamaan Parabola ...........................................................................................10 HIPERBOLA ............................................ ................................................................... ............................................... ........................ ..........16 Persamaan Hiperbola .............................................................................17
BAB III......... III................. ................. ..................................................PENUTUP .........................................PENUTUP ............................................................................................... iv KESIMPULAN ........................................... .................................................................. .........................................................v ..................................v
DAFTAR PUSTAKA........................................................... vi 3
4
BAB I PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai: tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap F tetap F (yang (yang disebut fokus) memiliki rasio yang konstan terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L tetap L (disebut direktriks) yang tidak mengandung F. Irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang titik yang membentuk kurva membentuk kurva duadimensi, dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. sebuah bidang. Empat jenis yang dapat terjadi adalah Lingkaran, Parabola, Parabola, Elips, dan Hiperbola. Hiperbola. Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah generator adalah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.
5
B. RUMUSAN MASALAH
1. Apa yang dimaksud dengan Irisan Kerucut? 2. Apa yang terjadi jika kerucut diiris dalam dalam berbagai arah? 3. Bagaimana persamaan yang yang terdapat dalam Lingkaran? 4. Bagaimana persamaan yang yang terdapat dalam Elips? 5. Bagaimana persamaan yang yang terdapat dalam Parabola? 6. Bagaimana persamaan yang yang terdapat dalam Hiperbola? C. TUJUAN
1.
Mengetahui arti dari Irisan Kerucut.
2.
Mengetahui bentuk-bentuk irisan kerucut.
3.
Mengetahui persamaan Lingkaran.
4.
Mengetahui pe persamaan El Elips.
5.
Mengetahui persamaan Parabola.
6.
Mengetahui persamaan Hiperbola.
6
IRISAN KERUCUT Dalam matematika, matematika, irisan irisan keru kerucut cut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva membentuk kurva dua-dimensi dua-dimensi,, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. bidang. Dala Dalam m mema memaham hamii geometri irisan irisan kerucu kerucut, t, sebuah sebuah kerucu kerucutt dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah generator adalah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut. Secara geometri analitis, analitis, irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai: tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap F tetap F (yang (yang disebut fokus) memiliki rasio yang konstan terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L (disebut direktriks) yang tidak mengandung F.
Eksen Eksentr trisi isita tass adal adalah ah rasio rasio anta antara ra FM dan FM dan M'M M'M . Elips (e (e=1/2), parabola (e (e=1) dan hiperbola (e ( e=2) dengan fokus ( F ) dan direktriks yang tetap.
Rasio yang konstan tersebut disebut eksentrisitas, eksentrisitas, dilambangkan dengan e, dan merupakan bilangan non-negatif. Untuk e =
0,
iris risan
kerucut
terseb sebut
ada adalah
lingkaran, e < 1 sebuah elips, e = 1 sebuah parabola, dan e > 1 sebuah hiperbola.
7
Geometri irisan kerucut dan jenis-jenisnya
Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu
generator, maka irisannya adalah parabola. adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan
memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator
mana pun. Lingkaran adalah adalah kasus kasus khusus khusus dari dari elips, elips, yang yang terbent terbentuk uk jika bidang bidang
pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu sumbu kerucut. Dalam koordinat koordinat kartesius kartesius,, grafik dari persamaan kuadrat dengan dengan dua variab variabel el selalu selalu mengha menghasilk silkan an irisan irisan kerucu kerucut, t, dan semua semua irisan irisan kerucu kerucutt dapat dapat dihasilkan dengan cara ini. Jika terdapat persamaan dengan bentuk: ax 2 + 2hxy 2hxy + by2 + 2 gx + gx + 2 fy + c = 0
maka: ♣ Jika h2 = ab, persamaan ini menghasilkan parabola. parabola.
8
2
♣ Jika h < ab, persamaan ini menghasilkan elips. elips. 2
♣ Jika h > ab, persamaan ini menghasilkan hiperbola. hiperbola. ♣ Jika a = b and h = 0, persamaan ini menghasilkan lingkaran. lingkaran. ♣ Jika a + b = 0, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.
A. LINGKARAN
Ling Lingka kara ran n
dide didefi fini nisi sika kan n
seba sebaga gaii
tem tempat pat
kedudukan atau lokus titik-titik P(x,y) yang jaraknya r sampai suatu titik M yang dinamakan pusat lingkaran adalah sama. Persam Persamaan aan lingka lingkaran ran menjad menjadii sederha sederhana na bila bila pusat pusat lingka lingkaran ran berimp berimpit it dengan dengan asal asal O. Berlak Berlaku u hokum hokum Pythagoras x2 Pythagoras x2 + y2 = r2
9
Bila pusat lingkaran dipindahkan dari O ke M(h,k), maka juga dengan hukum pythagoras diperleh persamaan lingkaran : (x – h)2 + (y – k)2 = r2 x ◊ (x – h), y ◊ (y – k) Dapat ditulis x2 + y2 - 2hx - 2ky + (h2+k2+r2)=0 (h2+k2+r2)=0 h dan k bisa positif / negatif ◊ persamaan lingkaran : Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0
A = C dan B = 0
B. ELIPS
Elips
adalah
tempat
kedudukan kedudukan titik-titik titik-titik yang jumlah jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah adalah tetap. tetap. Kedua Kedua titik titik tertent tertentu u itu disebut titik focus.
10
Y C(0,b)
A(a,0)
F1 ( - c , 0 )
P(x,y)
F1 ( c , 0 )
O
B(a,0)
X
D(0,-b)
Dari gambar diatas, titik F1 dan F2 dan adalah titik focus elips dan A, B, C, D adalah titik puncak elips. Elips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu : 1. Garis yang yang memuat memuat fokus fokus dinamakan dinamakan sumbu mayor. mayor. Pada gamba gambar, r, sumbu sumbu mayor elips adalah AB. 2. Garis yang yang tegak tegak lurus sumbu sumbu mayor mayor di titik tengah tengah disebut disebut sumbu sumbu minor. minor. Pada gambar , sumbu minor elips adalah CD. Sedangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips.
Elip Elipss juga juga dide didefi fini nisik sikan an sebag sebagai ai temp tempat at kedu kedudu duka kan n titi titik-t k-tit itik ik yang yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.
Gambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan : ♦
Pusat elips O(0,0)
♦
Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y
♦
Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0)
♦
Sumbu mayor pada sumbu x, puncak A(-a,0) dan B(a,0) , panjang
sumbu mayor = 2a ♦
Sumbu minor pada sumbu y, puncak C(0,b) dan D(0,-b) , panjang
sumbu minor = 2b 11
c
♦
Eksentrisitas :
e
=
a
♦
Direktriks :
♦
x =
a
atau
e
Panjang lactus rectum
•
x =
2b =
a2 c
2
a
Persamaan Elips
Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips. a) Persamaa Persamaan n elips elips yang yang berpus berpusat at di di O(0,0) O(0,0)
Selain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik fokusnya. ♥
Persamaan elips yang berfokus pada sumbu x,
2
2
2
2
2
b x + a y = a b
2
atau
x 2 a
+
2
y 2 b
2
= 1, a 〉 b
Den Dengan gan : - Pu Pusat sat (0, (0,0 0) - Fokus F 1 (-c,0) dan F2 (c,0)
♥
Persamaan elips yang berfokus pada sumbu y,
2
2
2
2
2
a x + b y = a b
2
atau
Den Dengan gan : - Pu Pusat sat (0, (0,0 0) - Fokus F 1 (0,-c) dan F2 (0,c)
12
x 2 b
2
+
y 2 a
2
= 1, a 〉 b
Catatan : c =
a2 −b2
Contoh 1
Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu mayor 10 satuan. Jawab :
Fokus di F1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x ) Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5 a2 − c2 =
b=
25 − 16 =
9 =3
Persamaan elipsnya :
x 2 a
2
+
y 2 b
2
=1 ⇔
x 2 5
+
2
y 2 3
2
=1
x 2
⇔
25
+
y2 9
=1
x 2 y 2 Jadi persamaan elipnya adalah + =1 25 9 Contoh 2
x 2 Diketah Diketahui ui persam persamaan aan elips elips 16
y 2 + 9
tentukan an koordi koordinat nat titik titik puncak puncak,, 1 , tentuk
=
koor koordi dina natt titi titik k foku fokus, s, panj panjan ang g sumb sumbu u mayo mayor, r, sumb sumbu u mino minor, r, ekse eksent ntri risit sitas, as, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum ! Jawab :
Dari persamaan elips
x
2
16
+
y
2
9
=1 ,
diperoleh a 2 = 16, maka a = 4; b 2 = 9, maka
b = 3. c2 = a2 - b2 , sehingga c 2 = 16 – 9 =7, maka c =
7.
Dari data diatas diperoleh :
-
Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0)
-
Titik focus ( -c,0) = (- 7 ,0 ) dan ( c,0)=(
-
Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8
-
Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6
13
7 ,0 )
7
c
-
Eksentrisitas:
e
=
=
4
a
-
Persamaan direktriks :
x =
a e
4 =
7
16 =
7
16 =
7
7
4
-
Panjang lactus rectum =
2 b2
=
2 .9
a
=
18
4
4
=4
1 2
b) Persamaan Persamaan elips yang berp berpusat usat di P(α,β) P(α,β)
♠Persamaan elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x,
( x − α )
2
a2
+
( y − β )
2
=1
b2
Dengan : -
Pusat (α,β)
-
Titik fokus di F 1 (α-c, β) & F2(α+c, β)
-
Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β)
-
Panjang sumbu mayor=2a
-
Panjang sumbu minor=2b
-
Persamaan direktriks x = α ±
( x − α ) b
2
2
+
(
y
a
2
c
2
) β
−
a2
1
♠Persamaan elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y,
14
Dengan : -
Pusat (α,β)
-
Titik fokus di F 1 (α,β-c) & F2(α,β+c)
-
Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a)
-
Panjang sumbu mayor=2a
-
Panjang sumbu minor=2b Persamaan direktriks y = β ±
-
a2 c
Contoh 1
Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu 2 2 minor dari persamaan elips 4 x + 9 y + 16 x − 18 y −11 = 0
Jawab :
Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku
( x − α )
2
a2
+
( y − β )
2
=1
b2
4 x 2 + 9 y 2 + 16 x − 18 y −11 = 0 4 x 2 + 16 x + 9 y 2 −18 y = 11 4 ( x 2 + 4 x ) + 9 ( y 2 − 2 y ) = 11
{
2
{
2
4 ( x − 2 ) − 2 2 } + 9 4 ( x − 2 ) − 4} + 9
{ ( y −1)
{ ( y −1)
2
2
2
2
−1
}
=11 11
−1} = 11
2
4 ( x − 2 ) − 16 + 9 ( y −1) − 9 = 11 2
2
2
2
4 ( x − 2 ) + 9 ( y − 1) = 11 + 16 + 9 4 ( x − 2 ) + 9 ( y − 1) = 36
( x − 2 ) 9
2
+
( y − 1) 4
2
=1
15
Dari persamaan diatas diperoleh : α=2, β=1, a 2=9 maka a=3, b 2=4 maka a=2, 2 2 2 2 a −b = 3 −2 = 9 −4 = 5
c=
-
Pusat ( α,β )= ( 2,1 )
-
Titik fokus di F 1 ( α-c, β )= ( 2 - 5 ,1 ) & F 2 ( α+c, β )=( 2+ 5 ,1 )
-
Titik puncak ( α-a, β )=( 2-3,1 ) =( -1,1 ) & ( α+a, β )= ( 2+3,1 )=( 5,1 )
-
Panjang sumbu mayor=2a=2.3=6
-
Panjang sumbu minor=2b=2.2=4
C. PARABOLA
Parabo Parabola la adalah adalah tempat tempat kedudu kedudukan kan titik-t titik-titi itik k yang yang jaraknya sama s ama terhadap suatu titik tertentu dan garis tertentu. Titik –tertentu itu disebut titik api ( fokus ) dan garis tertentu itu disebut direktriks.
•
Persamaan Parabola
a) Persamaa Persamaan n Parabola Parabola yang berpun berpuncak cak di O(0,0) O(0,0) dan fokus fokus F(p,0) F(p,0) Y P(x,y) C
Q (-p,y)
Sumbu Simetri : y = 0
O
F (p,0)
C1
Direktriks : x = -p
16
X
Dari gambar diatas, O(0,0) merupakan puncak parabola, garis g adalah direktriks direktriks parabola dengan persamaan direktriks x = -p, F(p,0) merupakan merupakan fokus parabola, Sumbu x merupakan sumbu simetri parabola dengan persamaan parabola y = 0 dan CC1 adalah panjang lactus rectum dari parabola. Misal Misalka kan n P(x, P(x,y y) adal adalah ah semba sembaran rang g titi titik k pada pada para parabo bola la,, berd berdasa asark rkan an definisi parabola maka berlaku : Jarak PF = jarak PQ
( x − p ) 2 + ( y − 0 ) 2 =
( x − p ) x
2
2
+
p x+ −2
y
2
=
2
( x+ p )2
( x+ p )
2
2
px + 2
p+ y=
2
x +
p
2
x 2 − x 2 + p 2 − p 2 − 2 p x − 2 p x + y 2 = 0 4 p px x
2 0
y
− +=
y 2
=
p4x
Dengan demikian persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan fokus F( p,0)adalah
y 2
p4x
=
Catatan :
1.
Jika p > 0 maka parabola terbuka kekanan
2.
Jika p < 0 maka parabola terbuka kekiri.
3.
Dengan :
- Puncak (0,0)
- Fokus F ( p,0 ) - Persamaan direktriks : x = -p - Persamaan sumbu simetri : y = 0
17
Persamaan Parabola yang berpuncak berpuncak di O(0,0) dan fokus F (0,p)
Y .
.
P ( x,y )
F ( 0,p ) C1
C
X
Misalkan adalah sembarang titik pada parabola, berdasarkan definisi Direktrikstitik : y =P(x,y) -p .
Q ( x,-p)
parabola berlaku : Jarak PF = jarak PQ Sumbu Simetri : x = 0 2
( x − 0 )
+
(y
2
p)
−
=
(y
p
x 2 + (y − p )2 = (y+ p )2 x
2
2
2
−y − y +
py p+ y = x
−4
x 2
=
2
p− 2
2
p −
py 2 =py 2 −
0
0
p 4y
Dengan demikian persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan fokus F(0,p)adalah
x 2
p4y
=
18
Catatan :
1. Jika Jika p > 0 maka maka parabo parabola la terbu terbuka ka keata keatas. s. 2. Jika Jika p < 0 maka maka parabo parabola la terbu terbuka ka keba kebawah wah.. 3. Dengan :
- Puncak (0,0)
- Fokus F ( 0, p ) - Persamaan direktriks direktriks : y = - p - Persamaan sumbu sumbu simetri : x = 0
b) Persamaa Persamaan n parabola parabola yang yang berpunc berpuncak ak di A(a,b) A(a,b) Y Q ( -p+a ,y+b )
Sumbu Simetri :y=b
A (a,b)
C
P(x,y)
.
F ( p+a ,b )
C 1
O
Direktriks : x = - p+ a
Persamaan parabola parabola yang berpuncak berpuncak di A(a,b) A(a,b) adalah :
( y − b )2 = 4 p ( x − a)
I.
Catatan :
1.
Jika p > 0 maka parabola terbuka kekanan
2.
Jika p < 0 maka parabola terbuka kekiri.
3.
Dengan : - Puncak (a,b) - Foku Fokuss F ( p+a p+a , b )
19
X
- Persam Persamaan aan direkt direktrik rikss : x = - p + a - Persam Persamaan aan sumb sumbu u simetri simetri : y = b
2
− a ) = 4 p ( y − b) ( x −
II.
Catatan :
1.
Jika p > 0 maka parabola terbuka keatas.
2.
Jika p < 0 maka parabola terbuka kebawah.
3.
Dengan : - Puncak (a,b) - Fokus F ( a , p + b ) - Persamaan direktriks : y = - p + b - Persamaan sumbu simetri : x = a
Contoh 1.
Tentukan koordinat fokus dan persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum dari persamaan parabola
y 2
x8
=
!
Jawab :
Diketah Diketahui ui pers. pers. Parabol Parabolaa
parabola
4 p px x
adalah
8x
= −
y 2 y 2
x8
, dima dimana na persa persama maan an umum umum
= −
p4x
=
.
Sehingga
diperoleh
, maka p = - 2 < 0. Jadi parabola terbuka ke kiri. Dari
hasil yang didapat , diperoleh : -
Fokus parabola di F ( p , 0 ) = ( -2 , 0 )
-
Persamaan direktriks : x = - p = - (-2 ) = 2
-
Persamaan sumbu simetri : y = 0
20
-
y 2
Dari fokus F ( - 2 , 0 ) , x = - 2 , diperoleh
8.( 2) 16
, sehingga diperoleh y = ± 4 . Jadi
= −−=
koordinat titik-titik ujung lactus rectumnya adalah -
( 2 , 4 ) da dan ( -2 , - 4 ).Dengan de demikian ian pa panjang la lactus rec recttumnya
adalah 2 . 4 = 8.
Contoh 2
Tentukan persamaanparabola jika titik puncaknya ( 2 , 3 ) dan titik fokusnya ( 6 , 3)! Jawab :
Diketahui titik puncak ( 2 , 3, ) = ( a , b ), maka diperoleh a = 2, b = 3, Titik fokus
F (6,3) , ) F (p a+ b
}
p + a = 6 , p + 2 = 6 ,
p p=4
Jadi persamaan parabolanya adalah
( y − b)2 = 4 p ( x − a) ( y − 3)2 = 4.4( x − 2) ( y − 3)2 = 16 ( x − 2) Contoh 3
Tentuk Tentukan an koordi koordinat nat titik titik puncak puncak,, titik titik fokus, fokus, sumbu sumbu simetri simetri dan persam persamaan aan 2
direktriks dari persamaan parabola y − 4 x + 4 y + 8 = 0 ! Jawab :
21
y 2 − 4 x + 4 y + 8 = 0 y 2 + 4 y = 4 x − 8
( y + 2 )
2
( y + 2 )
2
2
− 2 = 4 x −8 = 4x −8 + 4
2
( y + 2 ) = 4 x − 4 2
( y + 2 ) = 4 ( x− 1) 2 ( y −b ) = 4 p (x− a )
}
4 p = 4, p = 1
a = 1 , b = - 2, dengan demikian diperoleh : - Titik puncak ( a, b ) = ( 1, -2 ) - Titik fokus F ( p + a , b ) = ( 2, -2 ) - Persamaan direktriks : x = - p = - 1 - Persamaan sumbu simetri : y = b = -2
C. HIPERBOLA
Hiperb Hiperbola ola adalah adalah tempat tempat kedudu kedudukan kan titik-t titik-titi itik k yang yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.
b y = − x a
Y
y =
(- a,0 )
F2 ( -c,0) O ( 0, 22 -b )
a
x
T (x,y)
( 0,b )
.
b
( a,0 )
. F1 ( c,0)
X
Dari gambar diatas, titik O merupakan pusat hiperbola, titik F 1 & F2 adalah focus hiperbola, titik puncak ( -a,0) & (a,0), panjang sumbu mayor = 2a dan panjang sumbu minor = 2b.
•
Persamaan Hiperbola
a) Persamaa Persamaan n Hiperbol Hiperbola a yang berp berpusat usat di ( 0,0 0,0 )
Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya adalah : 2
2
2
2
2
b x − a y =a b
2
x 2 a ta u 2 a
y2
1
−
b2
Dengan : -
Pusat ( 0,0 )
-
Titik fokus F1( -c,0 ) & F 2 ( c,0 )
-
Titik puncak ( -a,0 ) & ( a,0 )
-
Panjang sumbu mayor = 2a
-
Panjang sumbu minor = 2b
-
Persamaan asimptot : y = ±
b a
-
Persamaan direktriks : x = ±
-
Eksentrisitas: e =
c a
23
x
a2 c
-
Panjang lactus rectum =
-
c 2 = a 2 + b2
24
2b 2 a
Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah : 2
2
b y
2
−
2
a x
2
=
2
a b
y at au 2 a
2
x
2
b2
−
1
Dengan : -
Pusat ( 0,0 )
-
Titik fokus F1( 0,-c ) & F 2 ( 0,c )
-
Titik puncak ( 0,-a ) & ( 0,a )
-
Panjang sumbu mayor = 2a
-
Panjang sumbu minor = 2b
-
Persamaan asimptot : y = ±
-
a b
Persamaan direktriks : y = ±
x
a2 c
Contoh 1 :
Diketahui persamaan hiperbola
x 2 36
−
y2 25
= 1 , tentukan :
a. Koor Koordi dina natt titi titik k punc puncak ak b. Koordinat titik fokus c. Pers Persam amaa aan n asi asimp mpto tott d. Persa Persama maan an dire direkt ktri riks ks e. Eksen ksentr tris isit itas as f. Panj Panjan ang g lact lactus us rect rectum um Jawab :
Dari persamaan persamaan hiperbola hiperbola
x 2 16
−
y2 9
= 1 , diperoleh a2=16, maka a=4 dan a 2=9,
maka a=3 c=
a 2 + b2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5
25
a.
koordinat ti titik pu puncak : ( - a,0 )=( - 4,0) & ( a,0 )=(4,0)
b.
koordinat titik fokus : ( - c, 0 )=( -5,0 ) & ( c,0 )=( 5,0 )
c.
persamaan asimptot : y = ±
b a
d.
persamaan direktriks : x = ±
e.
eksentrisitas : e =
c
=
a
a2
=±
3 4
x
42
c
=±
5
16
= ±3
5
1 5
5 4
panjang lactus rectum =
f.
x=±
2b 2
=
a
2.32 4
=
9 2
=4
1 2
Contoh 2 :
Tentukan persamaan hiperbola yang puncaknya (0,3) & (0,-3) serta fokusnya (0,5) & (0,-5). Jawab :
Dari puncak (0,3) & (0,-3) diperoleh a=3, dari fokus (0,5) & (0,-5) diperoleh c=5. b = c 2 − a 2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16 = 4 Jadi persamaan hiperbolanya adalah
y 2 a2
−
x2 b2
=1 ⇔
y2 32
−
x2 42
=1 ⇔
y2 9
−
x2 16
=1
b) Persamaa Persamaan n hiperbola hiperbola yang yang berpus berpusat at di P( P( α,β )
Untuk hiperbola hiperbola yang berfokus berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu
x, persamaan hiperbolanya adalah :
( x − α ) a2
2
−
( y − β ) b2
2
=1
Dengan : -
Pusat ( α,β )
-
Titik fokus F1( α - c, β ) & F 2 ( α + c, β )
-
Titik puncak ( α - a, β ) & ( α + a, β )
26
-
Panjang sumbu mayor = 2a
-
Panjang sumbu minor = 2b
-
Persamaan asimptot : y − β = ± Persamaan direktriks : x = α ±
-
b a
( x − α )
a2 c
Untuk hiperbola hiperbola yang berfokus berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu
y, persamaan hiperbolanya adalah :
( y − β ) a2
2
−
( x − α )
2
b2
=1
Dengan : -
Pusat ( α,β )
-
Titik fokus F1( α , β - c ) & F 2 ( α, β + c )
-
Titik puncak ( α , β - a ) & ( α, β + a )
-
Panjang sumbu mayor = 2a
-
Panjang sumbu minor = 2b
-
Persamaan asimptot : y − β = ±
-
Persamaan direktriks : y = β ±
a b
( x − α )
a2 c
Contoh 3 : 2 2 Diketahui persamaan hiperbola −4 x + 3 y − 24 x − 18 y + 27 = 0 . Tentukan:
a.
koordinat titik pusat
b.
koordinat titik puncak
c.
koordinat ti titik fokus
d.
persamaan as asimptot
e.
persamaan direktriks
27
Jawab :
Nyatakan terlebih dahulu persamaannya ke dalam bentuk baku
( x − α ) a
2
2
−
2
2
( y − β ) b
=1
2
2
−4 x + 3 y − 24 x − 18 y + 27 = 0 2
2
−4 x − 24 x + 3 y − 18 y = −27
(
)
(
{
2
2
{
2
} { ( y − 3)
2
)
2
−4 x + 6 x + 3 y − 6 y = −27 −4 ( x + 3) − 3
} + 3{ ( y − 3)
−4 ( x + 3) − 9 + 3 2
2
2
2
−3
} = −27
}
− 9 = 27
2
−4 ( x + 3) + 36 + 3 ( y − 3 ) − 27 = −27 −4 ( x + 3) + 3 ( y − 3 )
2
2
= −27 + 27 − 36
2
2
= −36
−4 ( x + 3) + 3 ( y − 3 ) 2
2
4 ( x + 3) − 3 ( y − 3 ) = 36
( x + 3) 9
2
−
( y − 3) 12
2
=1
Dari persamaan diatas, diperoleh α = −3 dan β = 3 , a2=9, maka a=3 dan b 2=12, maka b= 2 3 , c =
a 2 + b2 = 9 +12 = 21
a.
Koordinat titik pusat ( α,β )=(-3,3)
b.
Koordinat titik puncak ( α - a, β )=( -3-3, - 3-3, -3 )=( -6,-3 ) & ( α + a, β )=(
-3+3,-3 )=(0,-3) c.
Koordinat titik fokus : F1( α - c, β )=( -3-3- 21 ,3 ) & F 2 ( α + c, β )=(
-3+ 21 , 3 ) d.
Persamaan asimptot : y − β = ±
28
b a
( x − α )
⇔ y −3 = ±
2 3 3
( x + 3)
e.
Persamaan di direktriks :
x = α ±
a2 c
⇔ x = −3 ±
32 21
⇔ x = −3 ±
29
9 21
⇔ x = −3 ±
3 7
21
BAB III PENUTUP KESIMPULAN Irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang titik yang membentuk kurva membentuk kurva duadimensi, dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. sebuah bidang. Empat jenis yang dapat terjadi adalah Lingkaran, Parabola, Parabola, Elips, dan Hiperbola. Hiperbola.
Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola. adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus lurus sumbu kerucut.
Lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan atau lokus titik-titik P(x,y) yang jaraknya r sampai suatu titik M yang dinamakan pusat lingkaran adalah sama. Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap, kedua titik tertentu itu disebut titik focus. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap suatu titik tertentu dan garis tertentu. Titik –tertentu itu disebut titik api ( fokus ) dan garis tertentu itu disebut direktriks. Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap, kedua titik tertentu itu disebut titik focus.
30
DAFTAR PUSTAKA
Purcell, dkk. 2004. Kalkulus jilid 2. Jakarta : Erlangga. Maman Suherman. 1986. Geometri Analitik Datar. Jakarta : Karunika. Leithold, dkk. 1993. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Jakarta : Erlangga. http://translate.google.co.id/translate?hl=id&langpair=en| id&u=http://www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx%3Ffile %3DAlgebra_conics_circle.xml http://translate.google.co.id/translate?hl=id&langpair=en| id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbola http://id.wikipedia.org/wiki/Irisan_kerucut http://id.wikipedia.org/wiki/Elips http://id.wikipedia.org/wiki/Parabola http://dartono.multiply.com/journal/item/10
31
32
