BAB 14. IRISAN KERUCUT
Kegiatan Belajar 1 : Lingkaran
A. Pengertian Irisan kerucut 1. Definisi Irisan Kerucut Irisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperoleh dengan cara memotong kerucut lingkaran tegak berselimut ganda menurut aturan tertentu. 2. Macam – Macam Irisan Kerucut Berdasarkan letak bidang datar yang mengirisnya, maka irisan kerucut dapat berupa titik, garis, segitiga, lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola. Jika bidang yang mengiris melalui puncak kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa titik . Jika bidang bidang yang mengir mengiris is berimp berimpit it dengan dengan garis garis peluki pelukiss kerucu kerucut, t, maka maka irisan irisan yang Jika terbentuk berupa sebuah garis sebuah garis.. Jika bidang yang mengiris melalui sumbu simetri kerucut dan tegak lurus lingkaran alas, maka irisan terbentuk berupa segitiga berupa segitiga.. Jika bidang yang mengiris tegak lurus sumbu simetri kerucut, tetapi tidak melalui puncak, maka irisan yang terbentuk berupa lingkaran. lingkaran. Jika bidang bidang yang mengir mengiris is sejaja sejajarr garis garis peluki pelukiss kerucut kerucut,, maka maka irisan irisan yang yang terben terbentuk tuk Jika berupa parabla. berupa parabla. Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, tidak memotong lingkaran alas, tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa elips. elips. Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, memotong lingkaran alas, dan tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut maka irisannya berbentuk hiperbola berbentuk hiperbola..
B. Pengertian lingkaran Lingkar Lingkaran an adalah adalah tempat tempat keduduk kedudukan an titik titik-ti -titik tik yang yang berjar berjarak ak sama sama terhada terhadap p satu satu titik titik tertentu. Titik tertentu disebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran.
C. Menentukan Persamaan Lingkaran 1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r Perhatikan gambar di bawah ini !
Y
Persamaan dalam x dan y yang memenuhi pada Gambar di samping adalah : P(x,y) x2 + y2 = r 2
r X O
Kedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupun di luar limgkaran. a. Jika titik titik P(x,y) P(x,y) terlet terletak ak pada lingkaran, lingkaran, maka berlak berlaku u x2 + y2 = r 2. b. Jika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku x2 + y2 < r 2. c. Jika titik titik P(x,y) terletak terletak di di luar lingkaran, lingkaran, maka maka berlaku berlaku x2 + y2 > r 2. 34
Contoh: 1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 ! Jawab: x2 + y2 = r 2 x2 + y2 = 52 x2 + y2 = 25
2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang memenuhi persamaan x2 + y2 = 5 ! Jawab: Pusat lingkaran x2 + y2 = 5 adalah (0,0). Jari-jari r 2 = 5 berarti r = 5 . 3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada pangkal koordinat dan melalui titik (5,12) ! Jawab: Titik (5, 12) terletak pada lingkaran, berarti : 52 + 122 = r 2 25 + 144 = r 2 r 2 = 169 Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pangkal dan melalui titik (5, 12) adalah x2 + y2 = 169. 4. Tentukah apakah titik P(2, 5) terletak pada, di dalam, atau di luar lingkaran x2 + y2 = 81 ! Jawab: x2 + y2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29 Sedangkan r 2 = 81, maka : x2 + y2 < r 2 atau 29 < 81. Jadi, titik P(2, 5) terletak di dalam lingkaran x2 + y2 = 81. 2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r
Y P(x,y) (x – a)2 + (y – b)2 = r 2
r b (a,b) X O
a
Contoh: 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan berjari-jari r = 7 ! Jawab: (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 (x – 3)2 + (y – 6)2 = 72 (x – a)2 + (y – b)2 = 49
2. Suatu lingkaran yang berpusat di titik (-2, 1) melalui titik (4, 9). Tentukan persamaan lingkarannya ! Jawab: Jarak kedua titik merupakan jari-jari, maka : (4 + 2)2 + (9 – 1)2 = r 2 62 + 82 = r 2 r 2 = 100 Persamaan lingkarannya : (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 (x + 2)2 + (y – 1)2 = 100 35
3. Tentukah apakah titik (3, 4) terletak pada, di dalam , atau di luar lingkaran yang mempunyai persamaan (x – 2)2 + (y – 1)2 = 36 ? Jawab: (x – a)2 + (y – b)2 = (3 – 2)2 + (4 – 1)2 = 12 + 32 = 10 2 r = 36 10 < 36 atau (x – 2)2 + (y – 1)2 < r 2 Jadi, titik (3, 4) terletak di dalam lingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 36. 3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Jika bentuk persamaan lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 kita jabarkan menjadi suku-suku yang paling sederhana, maka kita peroleh bentuk sebagai berikut : (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 x 2 – 2ax + a2 + y 2 – 2by + b2 = r 2 x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r 2 x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 - r 2 = 0 atau ditulis :
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Dengan : 1) Pusat lingkaran P(-
1
A, -
2
1 2
B)
1 ( A) 2 2
2) Jari-jari lingkaran r =
+(
1 2
B ) 2
− C
Contoh: 1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + 6x + 4y – 3 = 0 ! Jawab:
Pusat lingkaran = P(-
1
A, -
2
1 2
B) = P(-3, -2)
Jari-jari lingkaran : r = 32 + 2 2 + 3 = 9 + 4 + 3 = 16 = 4 Jadi, pusat P(-3, -2) dan jari-jari r = 4. 2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x2 + 3y 2 - 4x + 8y – 1 = 0 ! Jawab: 3x 2 + 3y 2 - 4x + 8y – 1 = 0 x2+ y2 Pusat P(-
4 3 1 2
Jari-jari r = r= r=
x+ A, -
8 3
1 2
1
y –
23 9
+(
+(
=
=0
B) = P(
1 ( A) 2 2 2 2 ( ) 3
3
1 3
4 3
)
1 2 2
4 6
B ) 2 +
,−
8 6
) = P(
2 3
,−
4 3
)
− C
1 3
23
D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran 1. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Pada Lingkaran dengan Pusat (0,0) Jika diketahui titik P(x1,y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r 2 maka persamaaan garis singgung di titik P(x1,y1) adalah :
x1. x + y1. y = r 2 Y 36
P(x,y) r X O g
Contoh: Sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 25. Titik (3, 4) pada lingkaran itu. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (3, 4) ! Jawab: x1. x + y1. y = r 2 3x + 4y = 25 2. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Di Luar Lingkaran
Persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran O(0, 0) adalah : y = mx ± r m 2 +1 P(a, b) Y
g2 X O g 1
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus dengan garis 4x – 3y – 5 = 0 ! Jawab: Untuk x2 + y2 = 25, maka r = 5
Untuk 4x – 3y – 5 = 0, maka gradien m1 = Gradien garis singgung m2 = -
4 3
3 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah : y = m2x ± r m 2 +1 y=-
y=-
y=-
3 4 3 4 3 4
9 16
x±5
x ± 5.
x+
+1
5 4
25 4
atau y = -
3 4
x-
25 4
3. Persamaan Garis Singgung Pada Lingkaran dengan Pusat (a,b) dan bergradien m Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat (a,b) dan bergradien m dirumuskan sebagai berikut :
37
y - b = m(x – a) ± r m 2
+1
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (2,1) pada lingkaran x2 + y2 +2x –4y –5 = 0! Jawab: Pusat lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0 adalah P(-1, 2) dan jari-jari 10 , maka persamaan garis singgungnya : (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r 2 ⇔ (2 + 1)(x + 1) + (1 – 2)(y – 2) = 10 ⇔ 3(x + 1) – 1(y – 2) = 10 ⇔ 3x + 3 – y + 2 = 10 ⇔ 3x – y = 5
E. Persamaan Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam 1. Garis Singgung Persekutuan Luar (S ) l A Sl
B
Q
R
d
r
O
LP2
L1
Panjang garis singgung persekutuan luar (Sl ) antara dua lingkaran yang jari-jarinya R dan r dengan R > r, serta jarak antara kedua pusat lingkaran adalah d yaitu : d 2
S l =
− ( R − r )
2
Contoh: Diketahui lingkaran yang berpusat di P berjari-jari 4 cm dan lingkaran yang berpusat di Q berjari-jari 2 cm. PQ = 10 cm. Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya ! Jawab: S R T Q
P
Buat QT sejajar dengan SR Sl = d 2 − ( R − r ) 2 QT =
PQ 2
− ( PS − QR )
2
= 10 2 − ( 4 − 2) 2 = 96 = 4 6 cm. 2. Garis Singgung Persekutuan Dalam (S d ) Q M
R
Sd O
P
r
38
d N
L2
L1
Panjang garis singgung persekutuan dalam (Sd ) antara dua lingkaran yang jari-jarinya R dan r dengan R > r, serta jarak antara kedua pusat lingkaran adalah d yaitu : d 2
S l =
− ( R + r )
2
Contoh: Diketahui lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 2 cm, lingkaran lain dengan pusat P dan jari-jari 1 cm, OP = 5 cm. Hitung panjang garis singgung sekutu dalamnya ! Jawab: S R
O
P Q
Buat PS sejajar QR Sd = d 2 − ( R + r ) 2 PS =
OP 2
− (OR + RS )
2
= 5 2 − ( 2 +1) 2 = 16 = 4 cm.
LATIHAN 14.1 1. Tentukan persamaan lingkaran dengan : a. Pusat lingkaran (0, 0) , jari-jari = 6 b. Pusat lingkaran (4, 0), jari-jari = 16 2. Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui : a. Pusat lingkaran (0, 0), melalui (-3, 4) b. Pusat lingkaran (-3, 1), melalui (-9, 1) 3. Tentukan puat dan jari-jari lingkaran berikut ini ! a. 3x2 + 3y2 = 6 b. (x – 1)2 + (y + 8)2 = 9 4. Tentukan puat dan jari-jari lingkaran berikut ini ! a. x2 + y2 + 2x + 6y – 15 = 0 b. 4x2 + 4y2 – 16x + 8y + 11 = 0 5. Tentukan letak titik (2, 3), (1, 2), dan ( 2 ,2) terhadap lingkaran x2 + y2 = 6 ! 6. Tentukan letak titik (2, 3), (4, -6), dan (-2, 0) terhadap lingkaran (x – 7)2 + (y – 2)2 = 50 ! 7. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 5) dan menyinggung sumbu X ! 8. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (3, 4) ! 9. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4 yang bergradien 3 ! 10. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 melalui titik (5, 1) ! 11. Tentukan persaman garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus garis 4x – 3y – 25 = 0! 12. Jarak kedua pusat lingkaran 13 cm, jari-jari lingkaraan itu 6 cm dan 1 cm. 39
a. Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya. b. Tentukan panjang garis singgung sekutu dalamnya.
Kegiatan Belajar 2 : Parabola
A. Pengertian Parabola Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke satu titik tertentu sama dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu (direktriks).
B. Persamaan Parabola 1. Persamaan Parabola dengan Puncak O(0,0) Perhatikan gambar berikut ini !
d
Y
A
L2
P(x,y)
Q B
O
F(p,0)
X
L1 x = -p
Persamaan parabola dengan titik puncak O(0,0) dan titik focus F(p,0) adalah : y2 = 4px Keterangan: - Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola - Titik F(p,0) adalah titik fokus parabola - Garis x = -p adalah garis direktriks - Sumbu X adalah sumbu simetri - L1L2 adalah lactus rectum = 4p Parabola terbuka ke kanan Contoh: Diketahui peramaan parabola y2 = 16x. Tentukan koordinat puncak, koordinat focus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan sketsa gambarnya ! Jawab: a. koordinat puncak O(0,0) b. koordinat focus (4,0) c. sumbu simetri pada sumbu X, dengan persamaan y = 0 d. Persamaan garis direktriksnya x = -4 atau x + 4 = 0
d
Y
A
L2
P(x,y)
Q B
40
O
F(4,0)
X
L1 x = -4
Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(-p,0) persamaannya adalah : y2 = -4px Keterangan: - Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola - Titik F(-p, 0) adalah titik fokus parabola - Garis x = p adalah garis direktriks - Sumbu X adalah sumbu simetri Parabola terbuka ke kiri.
Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(0,p) persamaannya adalah : x2 = 4py Keterangan: - Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola - Titik F(0, p) adalah titik fokus parabola - Garis y = -p adalah garis direktriks - Sumbu Y adalah sumbu simetri Parabola terbuka ke atas. Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(-p,0) persamaannya adalah : x2 = -4py Keterangan: - Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola - Titik F(0, -p) adalah titik fokus parabola - Garis y = p adalah garis direktriks - Sumbu Y adalah sumbu simetri Parabola terbuka ke bawah.
2. Persamaan Parabola dengan Puncak P( , ) Perhatikan gambar berikut ini !
Y
d A
P(x,y)
41
y=β (α,β)
F(α + p, β)
O
X
Persamaan parabola yang berpuncak di titik (α, β) adalah : (y - β )2 = 4p(x - α ) Keterangan : titik puncak P(α, β) titik fokus F(α + p, β) persamaan direktriks : x = α - p persamaan sumbu simetri : y = β Parabola terbuka ke kanan. Contoh: Tentukan persamaan parabola jika titik puncaknya (2, 3) dan titik fokusnya (6, 3) ! Jawab: Puncak (2, 3) dan focus (6, 3), maka : p = 6 – 2 = 4 Persamaan parbolanya : (y - β)2 = 4p(x - α) ⇔ (y - 3)2 = 4.4(x - 2) ⇔ y2 – 6y + 9 = 16(x – 2) ⇔ y2 – 6y + 9 = 16x – 32 ⇔ y2 – 6y – 16x + 41 = 0 Contoh: Diketahui persamaan parabola sebagai berikut : y2 + 4y – 4x + 8 = 0. Tentukan koordinat puncak , koordinat focus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan sketsa gambarnya ! Jawab: y2 + 4y – 4x + 8 = 0 ⇔ y2 + 4y = 4x - 8 ⇔ (y + 2)2 – 4 = 4x - 8 ⇔ (y + 2)2 = 4x - 4 ⇔ (y + 2)2 = 4(x – 1) ⇔ (y - β)2 = 4p(x - α) Berarti : β = -2; α = 1; p = 1 Jadi, koordinat puncaknya (1, -2), koordinat fokusnya (α + p, β) = (2, -2), persamaan sumbu simetrinya y = -2, dan persamaan garis direktriksnya : x = α - p ⇔ x = 1 – 1 ⇔ x = 0 Grafiknya :
Y 1
2
X
O
42
-1 y = -2 -2
F
Untuk parabola yang berpuncak di P(α, β) dan terbuka ke kiri persamaannya adalah : (y - β )2 = -4p(x - α ) Keterangan : titik puncak P(α, β) titik fokus F(α - p, β) direktriks x = α + p persamaan sumbu simetri : y = β
Untuk parabola yang berpuncak di P(α, β) dan terbuka ke atas persamaannya adalah : (x - α ) 2 = 4p(y - β ) Keterangan : titik puncak P(α, β) titik fokus F(α, β + p) direktriks y = β - p persamaan sumbu simetri : x = α Untuk parabola yang berpuncak di P(α, β) dan terbuka ke bawah persamaannya adalah : (x - α ) 2 = -4p(y - β ) Keterangan : titik puncak P(α, β) titik fokus F(α, β- p) direktriks x = β + p persamaan sumbu simetri : x = α
LATIHAN 14.2 1. Tentukan koordinat titik fokus, persamaan sumbu simetri , persamaan direktriks, dan panjang latus rectum parabola berikut : a. y2 = 8x b. y2 = -8x c. x2 = 8y d. x2 = -8y 2. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan keterangan sebagai berikut : a. titik fokus di F(-3, 0) b. titik fokus di F(0, 3) 3. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan fokus pada sumbu X dan melalui titik (1, 2), kemudian gambar parabola tersebut ! 4. Diketahui parabola dengan persamaan (y + 2)2 = 4(x – 1). Tentukan: a. koordinat titik puncak b. koordinat titik fokus c. peramaan direktriks d. persamaan sumbu simetri 5. Suatu parabola dengan persamaan x2 - 2x + 2y - 5 = 0. Tentukan: a. koordinat titik puncak b. koordinat titik fokus c. peramaan direktriks d. persamaan sumbu simetri 43
6. Tentukan persamaan parabola jika titik puncak A(2, 4) dan titik fokus di F(8, 4) !
Kegiatan Belajar 3 : Elips
A. Pengertian Elips Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api.
B. Persamaan Elips 1. Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0) Perhatikan gambar di bawah ini ! Y
P(x,y)
X fFF2 F1
O
d2
d1
Persamaan Elips dengan Pusat di O(0,0) adalah : x 2 a
2
+
y 2 b
2
=
1 atau b2 x2 + a2 y2 = a2b2
Keterangan : - Pusat O(0,0) - Puncak A1(a, 0) dan A2(-a, 0) - Fokus F1(c, 0) dan F2(-c, 0) dengan a2 = b2 + c2 - Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y - Sumbu simetri yang melalui titik fokus F1 dan F2 disebut sumbu utama / sumbu transversal. - Sumbu simetri yang tegak lurus sumbu utama disebut sumbu sekawan. - Sumbu utama = 2a dan sumbu sekawan = 2b -
Direktriks : x =
-
Eksentrisitas : e =
x 2
±
a2 c c a
y 2
+ = 1 merupakan persamaan elips dengan pusat O(0,0) yang sumbu panjangnya 2b dan b2 a2 sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X. 2. Persamaan Elips dengan Pusat ( , )
( x − α ) 2
a2
+
( y − β ) 2
b2
=
1
44
Keterangan: - Pusat (α, β) - Puncak A1(α + a, β) dan A2(α - a, β) - Fokus F1(α + c, β) dan F2(α - c, β) - Sumbu simetri x = α dan y = β - Sumbu panjang = 2a dan sumbu pendek = 2b - Direktriks : x = ± - Eksentrisitas : e = ( x − α )
2
( y − β )
a
2
+
c
α
c a
2
+ = 1 merupakan persamaan elips dengan pusat (α, β) yang sumbu b2 a2 panjangnya 2b dan sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X.
Contoh: Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut ini : a) 9x2 + 25y2 = 900 b) x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0 Jawab: a) 9x2 + 25y2 = 900 x 2 100
+
y2 36
=1
a = 10, b = 6, c = 8 pusat O(0,0) Fokus (8, 0) dan (-8, 0) Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y Sumbu panjang = 2a = 20 Sumbu pendek = 2b = 12 100 1 a2 Direktriks : x = ± = ± = ±12 8 2 c c
Eksentrisitas : e =
a
=
8 10
=
4 5
b) x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0 (x – 2)2 – 4 + 4(y + 3)2 – 36 = -4 (x – 2)2 + 4(y + 3)2 = 36 ( x − 2) 36
2
+
( y + 3)
2
=1
9
pusat (2, -3) a = 6, b = 3, c = a 2 − b 2 = 39 − 9 Fokus (3 3 ± 2, -3) Sumbu simetri : x = 2 dan y = -3 Sumbu panjang = 2a = 12 Sumbu pendek = 2b = 6 Direktriks : x = ± Eksentrisitas : e =
a
36
2
c c a
+
α =
=
3 3 6
±
=
1 2
=3
+ 2 = ±4
3 3
=
27
3
3 +2
3
LATIHAN 14.3 1. Diketahui elips dengan persamaan
x
2
16
+
y
2
9
=1.
45
Tentukan : a) Koordinat titik puncak b) Koordinat titik fokus c) Panjang sumbu mayor dan sumbu minor 2. Diketahui elips dengan persamaan
x 2 16
+
d) Persamaan direktriks e) Nilai eksentrisitas
y2
=1.
25
Tentukan : a) Koordinat titik puncak b) Koordinat titik fokus c) Panjang sumbu mayor dan sumbu minor ( x − 2) 2
3. Diketahui elips dengan persamaan
25
d) Persamaan direktriks e) Nilai eksentrisitas
+
Tentukan : a) Koordinat titik pusat b) Koordinat titik puncak c) Koordinat titik fokus
( y −1) 2 16
=1.
d) Panjang sumbu mayor dan sumbu minor e) Persamaan direktriks f) Nilai eksentrisitas
Kegiatan Belajar 4 : Hiperbola
A. Pengertian Hiperbola Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jarak titik itu terhadap dua buah titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tertentu itu disebut fokus dari hiperbola.
B. Persamaan Hiperbola 1. Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0) Perhatikan gambar berikut ini !
g2
Y g1 P
X F2(-c, 0)
A2
O
A1
F1(c, 0)
Persamaan Hiperbola dengan Pusat di O(0,0) adalah : x 2 a
2
−
y 2 b
2
=1
atau b2 x2 - a2 y2 = a2b2
Keterangan : - Pusat O(0,0) - Fokus F1(c, 0) dan F2(-c, 0) dengan c2 = a2 + b2 - Titik puncak A1(a, 0) dan A2(-a, 0), selisih jarak = 2a dengan c > a -
Persamaan direktriks : x =
-
Persamaan asymtot ; y =
±
±
a2
b a
c
x
46
y
2
a2
−
x
2
b2
=1
merupakan persamaan hiperbola dengan pusat O(0,0) yang sumbu utama pada
sumbu Y. Contoh: Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui puncaknya P1(-5, 0) dan P2(5, 0) serta fokusnya F1(-8, 0) dan F2(8, 0) ! Jawab: Puncak (±5, 0), maka a = 5 Fokus (±8, 0), maka c = 8 b2 = c2 – a2 = 64 -25 = 39
Persamaan hiperbola :
x 2 25
−
y2 39
=1
Contoh:
Diketahui hiperbola dengan persamaan
x 2 64
Tentukan : a) Koordinat puncak b) Koordinat fokus c) Persamaan garis direktriks
−
y2 36
=1 .
d) persamaan garis asymtot e) Sketsa grafiknya
Jawab:
Hiperbola
x 2 64
y2
−
36
=1 ,
berarti :
a2 = 64 → a =8 b2 = 36 → b =6 c = a 2 + b 2 = 64 + 36 = 10 a) Koordinat puncaknya (8, 0) dan (-8, 0) b) Titik fokusnya (10, 0) dan (-10, 0) c) Persamaan garis direktriknya: x = d) Persamaan garis asymtot : y =
±
b a
±
a2 c
⇒x=
x⇒y=
±
6 8
±
64 10
x
e) Grafiknya : Y 6
X F2(-10, 0) A2 (-8,0) O
A1(8,0)
F1(10, 0)
-6
3. Persamaan Hiperbola dengan Pusat ( , ) ( x − α ) a
2
2 −
( y − β ) b
2
2 =
1
Keterangan: - Pusat (α, β) - Titik puncak A1(α + a, β) dan A2(α - a, β) - Fokus F1(α + c, β) dan F2(α - c, β) 47
- Sumbu utama y = β dan sumbu sekawan x = α - Direktriks : x = ±
a
- Eksentrisitas : e =
2
a
2
2
−
( x − α ) b
α
c a
- Asymtot : (y - β) = ( y − β )
+
c
±
b a
(x - α)
2 =
2
1 merupakan persamaan hiperbola dengan pusat (α, β) dan sumbu
utama sejajar sumbu Y. Contoh: Diketahui hiperbola dengan persamaan dalam bentuk umum sebagai berikut : 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0. Tentukan : a) Koordinat titik pusat d) persamaan garis asymtot b) Koordinat titik focus e) Sketsa grafiknya c) Koordinat titik puncak Jawab: Bentuk persamaan diubah ke dalam bentuk umum : 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0 ⇔ 9x2 – 18x – 16y2 – 64y = 199 ⇔ 9(x2 – 2x) – 16(y2 + 4y) = 199 ⇔ 9(x – 1)2 – 9 – 16(y + 2)2 + 64 = 199 ⇔ 9(x – 1)2 – 16(y + 2)2 = 199 + 9 - 64 ⇔ 9(x – 1)2 – 16(y + 2)2 = 144
⇔
( x −1) 2 16
−
( y + 2) 2 9
Bandingkan dengan
=1
( x − α ) a
2
2 −
( y − β ) b
2
2
=
1
Diperoleh: α = 1 dan β = -2 a2 = 16 ⇒ a = 4 b2 = 9 ⇒ b = 3 c = a 2 + b 2 = 16 + 9 = 5 a) Koordinat titik pusat (1, -2) b) Koordinat puncak (α ± a, β) = (5, -2) dan (-3, -2) c) Koordinat fokus (α ± c, β) = (6, -2) dan (-4, -2) d) Persamaan asymtot : (y - β) =
±
b a
(x - α) ⇔ (y + 2) =
±
4 3
(x - 1)
e) Grafiknya:
Y
O
X 48
F2(-4,-2) A2 (-3,-2)
A1(5,-2)
F1(6,-2)
LATIHAN 14.4 1. Suatu hiperbola dengan persamaan
x
2
16
−
y
2
9
Tentukan : a) Koordinat puncak b) Koordinat titik fokus c) Nilai eksentrisitas 2. Diketahui hiperbola :
=1 .
d) Persamaan garis direktriks e) Persamaan garis asymtot
( x − 2) 2 16
−
( y + 1) 2 9
a) Titik pusat b) Titik puncak c) Persamaan sumbu utama dan sekawan d) Persamaan asymtot
=1
e) Titik fokus f) Eksentrisitas g) Persamaan direktriks
49
