BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Irisan kerucut dapat didefinisik didefinisikan an sebagai: sebagai: tempat tempat kedudukan kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap F tetap F (yang (yang disebut fokus) memiliki rasio yang konstan terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L tetap L (disebut (disebut direktriks) yang tidak mengandung F. Irisan kerucut adalah lokus dari lokus dari semua titik yang membentuk kurva duakurva duadimensi, dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan kerucut dengan sebuah bidang. sebuah bidang. mpat mpat jenis yang dapat terjadi adalah !ingkaran, "arabola, "arabola, lips, dan lips, dan #iperbola. #iperbola. $ala $alam m mema memaha hami mi geometri irisan irisan kerucu kerucut, t, sebuah sebuah kerucu kerucutt diangg dianggap ap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. %ebuah generator adalah adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut. verteks kerucut. 1.2 Rumusan Masalah
&. 'pa yang dimaksud dengan Irisan erucut *. 'pa yang yang terjadi jika kerucut diiris dalam berbagai arah +. agaimana persamaan yang terdapat dalam !ingkaran . agaimana persamaan yang terdapat dalam lips . agaimana persamaan yang terdapat dalam "arabola /. agaimana persamaan yang terdapat dalam #iperbola 1.3 Tu Tujuan juan
&. 0enget 0engetahu ahuii arti arti dari dari Irisa Irisan n eruc erucut. ut. *. 0enget 0engetahu ahuii bentuk-b bentuk-bent entuk uk irisan irisan kerucut kerucut.. +. 0enget 0engetahu ahuii persam persamaan aan !ingka !ingkaran ran.. . 0eng 0enget etah ahui ui persa persama maan an lip lips. s. . 0enget 0engetahu ahuii persa persamaa maan n "arab "arabola ola.. /. 0enget 0engetahu ahuii persa persamaa maan n #ipe #iperbo rbola. la.
&
BAB II PEMBAHAAN
2.1 Pengert!an Ir!san "eru#ut
$ala $alam m matematika, matematika, !r!san keru#ut adalah lokus lokus dari dari semua semua titik yang membentuk kurva dua kurva dua-dimensi dimensi,, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebu ebuah bidang. bidang. $alam lam memahami geometri irisan irisan kerucu kerucut, t, sebuah sebuah kerucu kerucutt dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. %ebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut. verteks kerucut. %ecara geometri %ecara geometri analitis, analitis, irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai: tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik tersebut tersebut ke sebuah titik tetap F tetap F (yang (yang disebut fokus) memiliki rasio yang konstan terhadap terhadap jarak titik-titik titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L tetap L (disebut (disebut direktriks) yang tidak mengandung F.
ksent ksentrisi risitas tas adalah adalah rasio rasio antara antara FM da dan M'M . lips (e (e1&2*), 1&2*), parabola parabola (e1&) 1&) dan dan hipe hiperb rbol olaa ( e1*) dengan dengan fokus fokus ( F F ) dan direktriks yang tetap.
3asio yang konstan tersebut disebut eksentrisitas, eksentrisitas, dilambangkan dengan e, dan merupakan merupakan bilangan non-negatif. non-negatif. 4ntuk e 1
5,
irisan san
keruc rucut
terseb sebut
adalah
lingkaran, e 6 & sebuah elips, e 1 & sebuah parabola, dan e 7 & sebuah hiperbola.
*
2.2 $e%metr! Ir!san "eru#ut Dan &en!s'&en!sn(a &en!s'&en!sn(a
8ika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola adalah parabola..
8ika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. hiperbola.
%ebu %ebuah ah elips elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun.
!ingkaran adalah adalah kasus kasus khusus khusus dari dari elips, elips, yang yang terben terbentuk tuk jika jika bidang bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu sumbu kerucut. $ala $alam m koordinat koordinat kartesius kartesius,, graf grafik ik dari dari persamaan kuadrat dengan dengan dua
variab variabel el selalu selalu mengha menghasil silkan kan irisan irisan kerucu kerucut, t, dan semua semua irisan irisan kerucu kerucutt dapat dapat dihasilkan dengan cara ini. 8ika terdapat persamaan dengan bentuk: ax 2 ) 2hxy 2hxy ) ) by2 ) 2 gx ) ) 2 fy ) fy ) c * +
maka: ♣ 8ika h2 = ab, persamaan ini menghasilkan parabola menghasilkan parabola.. ♣ 8ika h2 < ab, persamaan ini menghasilkan elips. elips. ♣ 8ika h2 > ab, persamaan ini menghasilkan hiperbola. hiperbola. ♣ 8ika a = b an, lingkaran. b an, h * +, persamaan ini menghasilkan lingkaran. ♣ 8ika a ) b * +, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.
+
2.3 L!ngkaran
!ing !ingka kara ran n
dide didefi fini nisi sika kan n
seba sebaga gaii
temp tempat at
kedudukan atau lokus titik-titik "(9,y) yang jaraknya r sampai suatu titik 0 yang dinamakan pusat lingkaran adalah sama. "ersam "ersamaan aan lingka lingkaran ran menjad menjadii sederh sederhana ana bila bila pusat pusat lingk lingkar aran an berim berimpi pitt deng dengan an asal asal O. erlak erlaku u hokum hokum "ythagoras x2 "ythagoras x2 + y2 = r2
ila pusat lingkaran lingkaran dipindahkan dipindahkan dari O ke 0(h,k), maka juga dengan hukum pythagoras diperleh persamaan lingkaran : (x – h)2 + (y – k)2 = r2
x ◊ (x (x – h), y ◊ (y (y – k) Dapat ditulis x2 + y2 - 2hx - 2ky + (h2+k2+r2)=0 (h2+k2+r2)=0 h dan k bisa positif 2 negatif ◊ persamaan lingkaran : Ax2 + Ay2 Ay2 + Dx + y + F = 0
' 1 dan 1 5
2.- El!s
lips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. edua titik tertentu itu disebut titik focus.
5 8+ 7
Aa+
41 ' # +
0
P6 (
41 # +
Ba+
/
D+'7
$ari gambar diatas, titik F& dan F * dan adalah titik focus elips dan ', , ,
$ adalah titik puncak elips. lips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu : &. ;aris ;aris yang ang memu memuat at foku fokuss dina dinama makan kan sumb sumbu u mayo mayor. r. "ada gamb gambar ar,, sumb sumbu u mayor elips adalah '. *. ;aris ;aris yang yang tega tegak k luru luruss sumb sumbu u mayo mayorr di titik titik tenga tengah h diseb disebut ut sumb sumbu u mino minor. r. "ada gambar , sumbu minor elips adalah $. %edangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips. lip lipss juga juga dide didefin finisi isika kan n seba sebaga gaii temp tempat at kedu kedudu duka kan n titi titikk-tit titik ik yang yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e 6 & ).
;ambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan : ♦ "usat elips =(5,5) ♦ %umbu simetri adalah sumbu 9 dan sumbu y ♦ Fokus F& (-c,5) dan F * (c,5) ♦ %umbu mayor pada sumbu 9, puncak '(-a,5) dan (a,5) , panjang sumbu
mayor 1 *a ♦ %umbu minor pada sumbu y, puncak (5,b) dan $(5,-b) , panjang sumbu
minor 1 *b ♦ ksentrisitas : e =
♦ $irektriks : x =
a e
! a
atau x =
♦ "anjang lactus rectum
=
*"
a* !
*
a
Persamaan El!s
erikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips. a Persamaa Persamaan n el!s el!s (ang (ang 7erus 7erusat at ,! ,! 0++ 0++
/
%elain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik fokusnya. ♥
Persamaan el!s (ang 7er9%kus a,a sum7u 6
* *
*
*
*
" x + a y = a "
x * y * atau * + * =&, a 〉 " a "
*
$en $engan gan : - "u "usat sat (5, (5,5) 5) - Fokus F & (-c,5) dan F* (c,5)
♥
Persamaan el!s (ang 7er9%kus a,a sum7u (
$en $engan gan : - a "u "u* xsat sa* t+(5, (5,5) " *5) y * = a * " *
atau
- Fokus F & (5,-c) dan F* (5,c) 8atatan :
!=
a
*
−
"
x
*
"
*
+
y
*
a
*
=&, a 〉 "
*
8%nt%h 1
Fokus di F & (-,5) dan F * (,5) maka c 1 ( fokus pada sumbu 9 ) "anjang sumbu mayor 1 &5, maka *a 1 &5. %ehingga a 1 "
a
=
*
−
!
*
=
*.
− &/ =
>
=+
"ersamaan elipsnya : x * a*
+
y * "*
=
&
⇔
x * *
+
y * +*
=
8adi persamaan elipnya adalah
&
⇔
x * *.
x *
+
y *
* +
y * >
>
=
&
=&
8%nt%h 2
?
x *
$ike $iketa tahu huii pers persam amaa aan n elip elipss
&/
+
y *
=&
>
, tent tentuk ukan an koor koordi dina natt titi titik k punc puncak ak,,
koor koordi dina natt titi titik k foku fokus, s, panj panjan ang g sumb sumbu u may mayor, or, sumb sumbu u mino minor, r, ekse eksent ntri risit sitas, as, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum @ &a:a7 :
$ari persamaan elips
x * &/
+
y * >
=&
, diperoleh a * 1 &/, maka a 1 A b * 1 >, maka b
1 +. c* 1 a* - b* , sehingga c * 1 &/ B > 1?, maka c 1
?
.
$ari data diatas diperoleh :
-
-
-
"anjang sumbu mayor 1 *a 1 *. 1 C
-
"anjang sumbu minor 1 *b 1 *. + 1 /
-
ksentrisitas:
! e
-
a
-
"ersamaan direktriks :
x =
a
-
=
e
,5 )
?
1
=
?
=
&/
?
=
&/ ?
?
?
-
-
*
"anjang lactus rectum 1
"* a
* .> =
-
&C =
-
=
-
& *
7 Persamaa Persamaan n el!s el!s (ang (ang 7erusa 7erusatt ,! P;< P;<
♠ Persamaan el!s (ang 7er9%kus a,a sum7u utama (ang terletak a,a = sejajar sum7u 6
( x − α ) a*
*
+
( y − β ) "*
*
=&
$engan : -
"usat (D,E)
-
-
-
"anjang sumbu mayor1*a
-
"anjang sumbu minor1*b
-
"ersamaan direktriks x = α ±
( x − α ) "*
* +
( y − β )
a* !
*
a*
=
&
♠ Persamaan el!s (ang 7er9%kus a,a sum7u utama (ang terletak a,a = sejajar sum7u (
$engan : -
"usat (D,E)
-
-
-
"anjang sumbu mayor1*a
-
"anjang sumbu minor1*b
-
"ersamaan direktriks y = β ±
a* !
8%nt%h 1
y + &/ x − &C y −&& = 5
&a:a7 >
Hyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku
( x − α ) a*
*
+
( y − β ) "*
*
=&
x * + > y * + &/ x − &C y −&& = 5 x * + &/ x + > y * −&C y = && ( x * + x ) + > ( y * − * y ) = &&
>
{
*
{
*
( x − * ) − * * } + > ( x − * ) − } + >
{ ( y −&)
{ ( y − &)
*
*
*
*
−&
&& } =&&
−&} = &&
*
( x − * ) − &/ + > ( y −&) − > = && *
*
*
*
( x − * ) + > ( y − &) = && + &/ + > ( x − * ) + > ( y − &) = +/
( x − * ) >
*
+
( y − &)
*
=&
$ari persamaan diatas diperoleh : D1*, E1&, a *1> maka a1+, b *1 maka a1*, !=
a * − " * = +* − ** = > − =
-
"usat ( D,E )1 ( *,& )
-
-
-
"anjang sumbu mayor1*a1*.+1/
-
"anjang sumbu minor1*b1*.*1
2.- Para7%la
"arabo "arabola la adalah adalah tempat tempat kedudu kedudukan kan titik-t titik-titi itik k yang yang jaraknya sama s ama terhadap suatu titik tertentu dan garis tertentu.
Persamaan Para7%la
a Persamaa Persamaan n Para7%la Para7%la (ang 7erun 7erun#ak #ak ,! 0++ 0++ ,an 9%kus 9%kus 4+ 4+
&5
5 P6( 8
? '(
um7u !metr! > ( * +
/
F (p,0)
0
81
D!rektr!ks > 6 * '
$ari gambar diatas, =(5,5) merupakan puncak parabola, garis g adalah direktriks direktriks parabola dengan persamaan direktriks direktriks 9 1 -p, F(p,5) merupakan fokus parabola, %umbu 9 merupakan sumbu simetri parabola dengan persamaan parabola y 1 5 dan & adalah panjang lactus rectum dari parabola. 0isalk 0isalkan an "(9,y "(9,y)) adalah adalah sembar sembarang ang titik titik pada pada parabo parabola, la, berdas berdasark arkan an definisi parabola maka berlaku : 8arak "F 1 jarak "
( x − p ) * + ( y − 5 ) *
( x + p )*
=
( x − p ) * + y *
=
( x + p )*
x *
x + p*
+
y*
*
*
x
*
−
*p
−
x
*
+
- p x
−
y *
=
p
+
−
y
-p
p
*
=
−
=
x*
+
*
p x + p*
* p x − * p x + y*
=
5
5
x
$engan demikian persamaan parabola yang berpuncak di =(5,5) dengan fokus F( p,5)adalah
y *
=
-p
x
8atatan >
&&
&.
8ika 8ika p 7 5 mak makaa par parab abol olaa ter terbu buka ka keka kekana nan n
*.
8ika 8ika p 6 5 mak makaa par parab abol olaa ter terbu buka ka keki kekiri ri..
+.
$engan :
- "u "uncak (5,5)
- Fokus F ( p,5 ) - "ersamaan direktriks : 9 1 -p - "ersamaan sumbu simetri : y 1 5 Persamaan Para7%la (ang 7erun#ak ,! 0++ ,an 9%kus 4 +
5 .
.
P 6(
4 + 81
8
/ .
0isalkan titik "(9,y) adalah sembarang titik pada berdasarkan definisi ? parabola, 6'
D!rektr!ks > ( * '
parabola berlaku : 8arak "F 1 jarak " um7u !metr! > 6 * +
( x − 5 )
*
+
( y − p )*
x * + ( y − p ) * x *
−
y*
=
( y + p )*
y * + p*
x*
p y
+
=
-p
−-
x *
−
( y + p )*
=
=
−
p*
−
* py − * py = 5
5
y
$engan demikian persamaan parabola yang berpuncak di =(5,5) dengan fokus F(5,p)adalah
&*
x *
-p
=
y
8atatan >
&.
8ika p 7 5 maka par paraabola te terbuka ke keatas.
*.
8ika p 6 5 maka par paraabola te terbuka ke kebaJah aJah..
+.
$engan :
- "uncak (5,5)
- Fokus F ( 5, p ) - "ersamaan direktriks direktriks : y 1 - p - "ersamaan sumbu sumbu simetri : 9 1 5
7 Persamaa Persamaan n ara7%la ara7%la (ang (ang 7erun# 7erun#ak ak ,! Aa7 Aa7 5 ( -pGa ,yGb )
8
P6(
.
um7u !metr! > ( * 7
F ( p+a ,b )
A a7
8 0
1
/
$irektriks : 9 1 - pG a
Persamaan ara7%la (ang 7erun#ak ,! Aa7 a,alah >
( y − " ) *
=
- p ( x − a)
8atatan >
&.
8ika p 7 5 maka parabola terbuka kekanan
&+
*.
8ika p 6 5 maka parabola terbuka kekiri.
+.
$engan : - "uncak (a,b) - Foku Fokuss F ( pGa pGa , b ) - "ersam "ersamaan aan direkt direktrik rikss : 9 1 - p G a - "ersam "ersamaan aan sumbu sumbu sime simetri tri : y 1 b
( x − a ) *
=
- p ( y − ")
8atatan >
&.
8ika p 7 5 maka parabola terbuka keatas.
*.
8ika p 6 5 maka parabola terbuka kebaJah.
+.
$engan : - "uncak (a,b) - Fokus F ( a , p G b ) - "ersamaan direktriks : y 1 - p G b - "ersamaan sumbu simetri : 9 1 a
8%nt%h 1.
y *
=
Cx
@
&a:a7 :
$ike $iketa tahu huii pers pers.. "ara "arabo bola la
parabola
- p x
adalah =−
Cx
y * y *
= −
=
Cx
-p x
, dima dimana na persa persama maan an umum umum
.
%ehingga
diperoleh
, maka p 1 - * 6 5. 8adi parabola terbuka ke kiri. $ari
hasil yang didapat , diperoleh : -
Fokus parabola di F ( p , 5 ) 1 ( -* , 5 )
-
"ersamaan direktriks : 9 1 - p 1 - (-* ) 1 *
&
-
"ersamaan sumbu simetri : y 1 5
-
$ari fokus F ( - * , 5 ) , 9 1 - * , diperoleh
y *
= −
C .( −*) =&/ , sehingga diperoleh y = ± . 8adi
koordinat titik-titik ujung lactus rectumnya adalah -
( * , ) dan ( -* , - ).$engan demikian panjang lactus rectumnya adalah * . 1 C.
8%nt%h *
$iketahui titik puncak ( * , +, ) 1 ( a , b ), maka diperoleh a 1 *, b 1 +,
F (/,+) F ( p + a , " )
}
p G a 1 / , p G * 1 / ,
p1
8adi persamaan parabolanya adalah
( y − " ) *
=
- p ( x − a)
( y − +) *
=
-.- ( x − * )
( y − +) *
=
&/ ( x − * )
8%nt%h 3
y * − - x + - y + C = 5 @
&a:a7 >
&
y * − - x + - y + C = 5 y * + - y = - x − C
( y + * )
*
( y + * )
*
( y + * )
*
−
**
=
-x − C + -
=
-x − -
*
=
-x − C
( y + *) = - ( x −&) * ( y −" ) = - p ( x −a )
}
p 1 , p 1 &
a 1 & , b 1 - *, dengan demikian diperoleh : -
2.@ H!er7%la
#iperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. edua titik tertentu itu disebut titik focus. 5
" y = − x a
y
=
" a
x
< (9,y) +7
.
' a+
a+
42 '#+ 0
. 41 #+
/
+ '7
&/
$ari gambar diatas, titik = merupakan pusat hiperbola, titik F & F* adalah focus hiperbola, titik puncak ( -a,5) (a,5), panjang sumbu mayor 1 *a dan panjang sumbu minor 1 *b.
Persamaan H!er7%la
a Persamaa Persamaan n H!er7% H!er7%la la (ang (ang 7erusa 7erusatt ,! ++ 4ntuk hiperbola yang berfokus pada sumbu 9, persamaan hiperbolanya
adalah : *
" x
*
−
*
a y
*
=
* *
a"
a ta u
x * a
*
−
y* "
=
*
&
$engan : -
"usat ( 5,5 )
-
-
-
"anjang sumbu mayor 1 *a
-
"anjang sumbu minor 1 *b
-
"ersamaan asimptot : y = ±
" a
-
"ersamaan direktriks : x = ±
-
ksentrisitas: e =
x
a* !
! a
-
"anjang lactus rectum
-
! * = a * + "*
=
*" * a
4ntuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya
adalah : *
" y
*
−
* *
a x
=
* *
a"
atau
y * a*
−
x* "*
=
& &?
$engan : -
"usat ( 5,5 )
-
-
-
"anjang sumbu mayor 1 *a
-
"anjang sumbu minor 1 *b
-
"ersamaan asimptot : y = ±
a "
"ersamaan direktriks : y = ±
-
x
a* !
8%nt%h 1 >
$iketahui persamaan hiperbola
x * +/
a.
oordinat titik puncak
b.
oordinat titik fokus
c.
"ersamaan asimptot
d.
"ersamaan direktriks
e.
ksentrisitas
f.
"anjang lactus rectum
y*
−
= & , tentukan :
*
&a:a7 >
x * $ari persamaan hiperbola &/
−
y* >
=
diperoleh a*1&/, maka a1 dan a *1>, & , diperoleh
maka a1+ !=
a * + " * = * + +* = &/ + > = * =
a.
koordinat titik puncak : ( - a,5 )1( - ,5) ( a,5 )1(,5)
b.
koordinat titik fokus : ( - c, 5 )1( -,5 ) ( c,5 )1( ,5 )
c.
persamaan asimptot : y = ±
d.
" a
persamaan direktriks : x = ±
x=±
a* !
=±
+
x
*
=±
&/
= ±+
&
&C
eksentrisitas : e =
e.
f.
!
=
a
panjang lactus rectum
=
*"*
=
*.+*
=
-
a
>
=
*
-
& *
8%nt%h 2 :
$ari puncak (5,+) (5,-+) diperoleh a1+, dari fokus (5,) (5,-) diperoleh c1. " = ! * − a * = * − +* = * − > = &/ = 8adi persamaan hiperbolanya adalah
y * a*
−
x* "*
=& ⇔
y* +*
−
x* *
=& ⇔
y* >
−
x* &/
=&
7 Persamaa Persamaan n h!er7%l h!er7%la a (ang 7eru 7erusat sat ,! P P ;<
4ntuk hiperbola hiperbola yang berfokus berfokus pada sumbu sumbu utama dan sejajar sumbu 9, persamaan hiperbolanya adalah :
( x − α ) a*
*
−
( y − β ) "*
*
=
&
$engan : -
"usat ( D,E )
-
-
-
"anjang sumbu mayor 1 *a
-
"anjang sumbu minor 1 *b
-
"ersamaan asimptot : y − β = ±
-
"ersamaan direktriks : x = α ±
" a
( x − α )
a* !
&>
4ntuk hiperbola hiperbola yang berfokus berfokus pada sumbu sumbu utama dan sejajar sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah : *
( y − β )
−
a*
( x − α )
*
"*
=
&
$engan : -
"usat ( D,E )
-
-
-
"anjang sumbu mayor 1 *a
-
"anjang sumbu minor 1 *b
-
"ersamaan asimptot : y − β = ± "ersamaan direktriks : y = β ±
-
a "
( x − α )
a* !
8%nt%h 3 : * * $iketahui persamaan hiperbola − x + + y − * x − &C y + *? = 5 .
a.
koordinat titik pusat
b.
koordinat titik puncak
c.
koordinat titik fokus
d.
persamaan asimptot
e.
persamaan direktriks
&a:a7 >
Hyatakan terlebih dahulu persamaannya ke dalam bentuk baku baku
( x − α ) a
*
* −
"
*
*
( y − β )
=
*
&
*
− x + + y − * x −&C y + *? = 5 *
*
− x − * x + + y −&C y = −*?
(
*
)
(
*
)
− x + / x + + y − / y = −*?
*5
{
*
*
{
*
} { ( y − +)
− ( x + + ) − +
} + +{ ( y − +)
− ( x + + ) − > + + *
*
−+
*
} = −*?
}
*
− > = *?
*
− ( x + +) + +/ + + ( y − + ) − *? = −*? − ( x + +) + + ( y − + )
*
*
= −*? + *? − +/
*
*
= −+/
− ( x + +) + + ( y − + ) *
*
( x + +) − + ( y − + ) = +/
( x + +)
*
−
( y − +)
>
&*
*
=
&
$ari persamaan diatas, diperoleh diperoleh α = −+ da# β = + , a*1>, maka a1+ dan b *1&*, maka b1 * + , ! =
a * + " * = > +&* = *&
a.
oordinat titik pusat ( D,E )1(-+,+)
b.
oordinat titik puncak ( D - a, E )1( -+-+, -+ )1( -/,-+ ) ( D G a, E )1( -+G+,-+ )1(5,-+)
c.
oordinat titik fokus : F &( D - c, E )1( -+-+- *& ,+ ) F * ( D G c, E )1( -+G *& , + )
d.
"ersamaan asimptot : y − β = ±
e.
"ersamaan direktriks :
x = α ±
a* !
⇔ x = −+ ±
+* *&
" a
( x − α )
⇔ x = −+ ±
> *&
⇔ y −+ = ±
⇔ x = −+ ±
* + +
+ ?
( x + +)
*&
*&
BAB III PENUTUP
3.1 "es!mulan
Irisan kerucut adalah lokus dari lokus dari semua titik yang membentuk kurva duakurva duadimensi, dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan kerucut dengan sebuah bidang. sebuah bidang. mpat mpat jenis yang dapat terjadi adalah !ingkaran, "arabola, "arabola, lips, dan lips, dan #iperbola. #iperbola. 8ika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, generator, maka maka irisannya adalah parabola. parabola. 8ika bidang pengiris sejajar dengan dua genera generator tor,, maka maka irisan irisanny nyaa akan akan memoto memotong ng kedua kedua kulit kulit dan memben membentuk tuk sebuah hiperbola. hiperbola. %ebuah elips terjadi elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generat generator or mana mana pun. pun. !ingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut. !ingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan atau lokus titik-titik "(9,y) yang jaraknya r sampai suatu titik 0 yang dinamakan pusat lingkaran adalah sama. lips adalah tempat kedudukan kedudukan titik-titik titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap, kedua titik tertentu itu disebut titik focus. "arabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap suatu titik tertentu dan garis tertentu.
**
DA4TAR PUTA"A
"urcell, dkk. *55. alkulus jilid *. 8akarta : rlangga. 0aman %uherman. &>C/. ;eometri 'nalitik $atar. 8akarta : arunika. !eithold, dkk. &>>+. alkulus dan Ilmu 4kur 'nalitik. 8akarta : rlangga. http:22translate.google.co.id2translatehl1idlangpair1enK idu1http:22JJJ.algebralab.org2lessons2lesson.asp9L+Ffile L+$'lgebraMconicsMcircle.9ml http:22translate.google.co.id2translatehl1idlangpair1enK idu1http:22en.Jikipedia.org2Jiki2#yperbola http:22id.Jikipedia.org2Jiki2IrisanMkerucut http:22id.Jikipedia.org2Jiki2lips http:22id.Jikipedia.org2Jiki2"arabola http:22dartono.multiply.com2journal2item2&5
*+
