TUGAS SISTEM GEOMETRI
GEOMETRI AFFINE DAN APLIKASINYA DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Oleh Kelompok 3(1): 1. 2. 3. 4. 5.
Rizqi Fadlilah Iin Septiasari Yunanda Ayman Aula Nur Putri Inayati Lestari Gilang Ra Ramadani Se Setyowati
113174023 113174062 113174065 113174208 113174219
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 2013 1
A. SEJARAH SEJARAH DAN PERKEM PERKEMBANGAN BANGAN GEOMETRI GEOMETRI AFFINE AFFINE 1. Ahli Ahli Mate Matemat matika ika yang yang Terl Terliba ibatt a. Euler
Leonhard Euler adalah salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa . Karya-karyanya banyak ( lebih dari 900 publikasi ) di banyak daerah memiliki pengaruh yang menentukan pada pengembangan matematika , pengaruh yang dirasakan sampai hari ini . Euler lahir di Swiss , di kota Basel , pada 15 April 1707 , dalam keluarga pendeta. Pada saat itu, Basel adalah salah s alah satu pusat utama matematika di Eropa . Pada usia 7 , Euler mulai sekolah sementara ayahnya menyewa tutor pribadi matematika untuknya . Pada 13 , Euler sudah menghadiri kuliah di universitas lokal , dan pada tahun 1723 memperoleh gelar master , dengan disertasi membanding membandingkan kan sistem filsafat filsafat alam Newton Newton dan Descartes Descartes . Pada keinginan keinginan ayahnya , Euler ditindaklanjuti pendidikan dengan mendaftar di fakultas teologi , tetapi mencurahkan seluruh waktu luangnya untuk belajar matematika . Dia menulis dua artikel pada lintasan balik yang sangat dihargai oleh Bernoulli gurunya . Pada 1727 Euler diterapkan untuk posisi sebagai profesor fisika di Basel universitas , tapi ditolak. Pada saat ini pusat baru ilmu pengetahuan telah muncul di Eropa Petersburg Academy of Sciences . Seperti Rusia memiliki beberapa ilmuwan sendiri , banyak orang asing diundang untuk untuk bekerja di pusat ini - di antara mereka Euler . Pada 24 Mei 1727 Euler tiba di P etersburg . Bakat -Nya yang besar segera diakui . Di antara daerah ia bekerja dalam meliputi teori produksi suara manusia , teori suara dan musik , mekanisme visi , dan karyanya pada persepsi
1
teleskopik dan mikroskopik . Atas dasar ini karya terakhir , tidak dipublikasikan sampai 1779, pembangunan teleskop dan mikroskop ini dimungkinkan. Dalam studinya tentang efek warna , Euler berharap untuk menggunakan pengamatan konjungsi Venus dan bulan , karena berlangsung pada 8 September 1729 . Namun, tidak ada efek seperti yang diamati selama hubungannya ini , dan Euler terpaksa menunggu gerhana matahari yang akan terjadi pada tahun 1748 . Dia mengamati gerhana ini di Berlin , di mana ia pindah pada 1741 . Di sini ia bekerja
di Berlin Academy of Sciences dan diangkat sebagai kepala
Observatorium Berlin , dan juga tutor ke keponakan Raja Frederich II dari Prusia . Pengamatan dari gerhana matahari yang dilakukan oleh para ilmuwan dari hari menyebabkan mereka percaya bahwa bulan tidak mengandung atmosfer yang cukup untuk memberikan efek difraksi atau refraksi . Hanya Euler mampu mendeteksi suasana bulan. Dan pada 1761 , ketika Venus melewati wajah matahari , dia mendeteksi atmosfer Venus. Euler bekerja tidak hanya dikhususkan untuk ilmu-ilmu alam . Seorang pria renaisans sejati , ia juga melibatkan diri dalam perdebatan filosofis hari, dan penuh kemenangan menyatakan dirinya percaya pada kebebasan kehendak . Pandangan seperti dia memenangkan beberapa teman di Jerman , dan buku di mana ia menyatakan dirinya demikian diterbitkan untuk pertama kalinya di Rusia , di mana Euler kembali pada 1766 . Di sini ia menemukan banyak yang setuju dengan pandangannya , di antaranya musuh pandangan Leibnitz dan Voltaire. Pada tahun 1763 Catherine II naik takhta . Dia melakukan reformasi di Academy of Sciences dan bertujuan untuk membuat lembaga yang lebih bergengsi. Ketika Euler kembali ke Petersburg dengan kedua anaknya tua mereka diberi sebuah rumah dua lantai di tepi Neva dan Euler diberikan posisi di kepala Academy of Sciences . Pada saat kembali ke Petersburg Euler sudah dipertimbangkan pandangannya tentang atmosfer planet . Karya Lomonosov dan Bernoulli di bidang ini membuatnya menyimpulkan bahwa atmosfer di Bumi dan di planet lain harus jauh lebih transparan daripada yang ia pikirkan . Euler mengambil peran yang sangat aktif dalam pengamatan pergerakan Venus melintasi wajah matahari , meskipun fakta bahwa saat ini dia hampir buta . Dia telah kehilangan satu mata dalam perjalanan percobaan pada difraksi cahaya pada tahun 1738 , dan penyakit
2
mata dan operasi yang gagal pada 1771 menyebabkan kerugian hampir total penglihatan . Ini tidak, bagaimanapun , berhenti Euler hasil kreatif . Sampai kematiannya pada tahun 1783 , Akademi disajikan dengan lebih dari 500 karyakaryanya. Akademi terus mempublikasikan mereka untuk setengah abad lagi setelah kematian ilmuwan besar . Sampai hari ini , teorinya dipelajari dan diajarkan , dan bekerja sangat beragam nya membuat dia salah satu pendiri ilmu pengetahuan modern.
b. Janos Bolyai
Janos
Bolyai
dilahirkan
pada tanggal
15
Desember
1802
di
Koloszvar, sekarang Cluj, bagian dari Romania Transylvania. Orang tua dari Janos Bolyai adalah Farkas Wolfgang Bolyai
dan Zsuzsanna Benko. Ayahnya
Farkas Bolyai mempunyai pekerjaan di Perguruan Tinggi Calvinist sebagai pengajar Matematika, Ilmu Fisika dan Ilmu Kimia. Janos meninggalkan sekolahnya pada saat kelas 4. Ia masuk
di
Perguruan Tinggi Calvinist di Marosvasarhely pada umur 12 tahun dan selama 3 tahun lebih ia dijuluki sebagai “a real child genius”. Dan saat umur 13 tahun dia telah menguasai kalkulus dan analitis, mekanika dan yang lain. Pada umur 15 tahun, ia telah menemukan solusi dalam menggunakan salah satu cabang dari hiperbola xy=c. Ia juga ahli bahasa yang terkemuka yang menguasai sembilan bahasa asing termasuk Cina dan Tibet. Ia belajar di Akademi Rancang-Bangun di kerajaan Vienna dari tahun 1818 sampai 1822. Setelah itu ia bergabung di Angkatan Perang Kesatuan Rancang-Bangun selama 11 tahun. Kemudian pada tahun 1833 ia 3
dipensiunkan di rangking Kapten karena sering terkena penyakit. Kemudian ia
tinggal
di
pengasingan
memperoleh informasi
dengan keluarganya di Marosvasarhely tanpa
tentang
peristiwa
ilmiah.
Meskipun demikian
ia
mencapai hasil penting didalam matematika. Antara tahun 1820 dan 1824, ia mengembangkan ilmu ukur nonEuclide-nya yang baru yang berasal dari solusi permasalahan dalam parallel. Pada saat berusia 21 tahun, ia melaporkan temuannya pada ayahnya: “Aku sudah menemukan hal yang bagus dan aku sangat dikejutkan. Aku sudah menciptakan sesuatu yang baru, dunia yang lain, yang keluar dari tidak ada apapun…”. Suatu catatan tersebut adalah gambaran ilmu ukur kemutlakan yang disebut ilmu ukur hyperbolic, dan diterbitkan sebagai catatan tambahan pada
buku teks ayahnya yang berjudul “Tentamen” pada tahun 1832.
Judulnya adalah catatan tambahan, Scientiam Spatii Veram Absolut Exhibens …”, yaitu “Ilmu Pengetahuan Riil yang Absolut …”. Melalui berjudul
ayahnya,
“Geometriche
ia
menerima
Untersuchungen
suatu
catatan
Zur Theorie
oleh Lobachevski der
Parallellinien”
(Penyelidikan Geometris mengenai Teori Garis Sejajar), yang mana catatan tersebut hampir sama dengan catatan tambahan dan dimana orang Rusia Ahli Matematik menguraikan Ilmu Ukur non-Euclide hyperbolic. Bolyai mulai berjudul
menyiapkan suatu
“Raumlehre”
(Ilmu
naskah yang
Pengetahuan
Pada tahun 1850,
diberi hak
Ruang).
Ia
Jerman yang
mencoba
untuk
mengembangkan suatu system Geometris lengkap berdasar pada aksioma, tetapi pekerjaan ini tidak diselesaikan. Bolyai juga mengembangkan suatu konsep Geometris kaku
tentang
angka-angka kompleks sebagai penghembus dari angka-angka riil. Walaupun ia tidak pernah menerbitkan lebih dari 26 halaman catatan tambahan, namun pemikirannya
telah
dibukukan
lebih
dari
14.000 halaman
naskah
mathematical. Dan pada saat itulah ia meninggal. Ahli Matematika tulen telah ditemukan. Dialah Janos Bolyai yang sebagian besar menghasilkan teori baru.Dasar dari Geometri Affine adalah
adalah Geometri Terurut. Bidang
Affine dipandang sebagai keadaan khusus dari bidang terurut. Pengertian pangkalnya sama yaitu titik dan keantaraan. Aksioma-aksioma dari geometri 4
terurut yang berlaku adalah Aksioma 3.1, 3.7, 3.8, 3.9. Sementara aksiomaaksioma 2. Perkembangan Geometri Affine
Dalam matematika, geometri affine merupakan suatu ilmu tentang garis-garis paralel.Aksioma playfair menjadi dasarnya sebab perbandingan nilai ukuran sudut berpindah ke geometri affine, sehingga postulat kesejajaran Euclid menjadi bagian dari geometri affine murni. Geometri Affine menggunakan Postulat 1,2, dan 5 Euclid. Pada geometri affine, hubungan kesajajaran dapat diadaptasi menjadi hubungan keseimbangan. Beberapa perbandingan dari gambar-gambar pada geometri affine terbentuk oleh dilatasi yang digambarkan meliputi affine grup A. Karena A terletak di antara grup E Euclid dan grup proyeksi P, maka geometri affine terkadang terhubung dengan program Erlagen, yang mana terpusat pada grup inklusi seperti ⊂ ⊂ . Geometri affine dapat dikembangkan menjadi dasar Aljabar Linear.Salah satunya adalah sebuah ruang affine sebagai himpunan dari beberapa titik dengan himpuanan suatu transformasi, translasi tersebut yang mana membentuk grup tambahan pada ruang vektor.Sehingga untuk sembarang pasangan titik-titik terurut yang diberikan, ada sebuah translasi tunggal yang terkirim dari titik pertama menuju titik kedua. Geometri affine tidak terpusat pada gagasan tentang lingkaran, sudut, dan jarak.Ia terkenal dengan keputusan bahwa Geometri Affine: Semua segitiga adalah sama. Pada konteks ini kata affine pertama kali digunakan oleh Euler (affinis).Dalam
perbincangan modern, geometri affine merupakan ilmu tentang ciri objek-objek geometri tentang sisa invarian menurut geometri affine. Geometri afine menyajikan titik-titik klinear, jika 3 titik terdapat pada garis lurus yang sama, menurut transformasi affine bayangannya juga terdapat pada garis yang sama, pada tambahannya, titik tengah antara dua titik yang lain, sebagai contoh:
Garis-garis sejajar tetap sejajar
Garis-garis yang berpotongan tetap berpotongan
Perbandingan panjang dari segmen garis yang diberikan tetap stabil
Perbandingan area dua segitiga tetap stabil
Ellip tetap ellip dan parabola tetap parabola, juga hiperbola tetap hiperbola
5
B. Geometri Affine Aksioma 1 Ada paling sedikit dua titik Aksioma 2
Jika A B C suatu segitiga, [B C D] dan [C E A], maka pada garis DE, ada suatu titik F yang memenuhi [AFB].
Aksioma 3 (Dalam ruang dimensi dua)
Semua titik ada dalam satu bidang Aksioma 4
Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam dua himpunan yang tidak kosong, sedemikian hingga tidak ada titik dari masing-masing himpunan yang terletak antara dua titik dari himpunan lainnya, maka ada satu titik dari satu himpunan yang terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik himpunan lainnya.
Aksioma 5
Untuk sebarang titik A dan sebarang garis r yang tidak melalui A ada paling banyak satu garis melalui A dalam bidang Ar, yang tidak memotong r.
6
Aksioma 6
Jika A, A’, B, B’ C, C’, O adalah 7 buah titik berlainan sedemikian hingga AA’, BB’, CC’ adalah 3 buah garis berlainan melalui O dan jika AB//A’B’, BC//B’C’, maka CA//C’A’.
Kesejajaran
dalam
Geometri
Affine
ini
adalah
suatu relasi ekuivalensi. Jadi
memenuhi sifat-sifat: a. refleksi, yaitu setiap garis a sejajar dengan a sendiri b. simetrik, yaitu jira garis a sejajar denga garis b, maka garis b sejajar dengan garis a. c. transitif, yaitu jira garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan garis c, maka garis a sejajar denan garis c. Aksioma 2 dapat kita gambarkan sebagai berkut: Teorema 4.1
Jika ABC dan A’B’C’ adalah 2 segitigadengantitik-titiksudut
yang
berlainan,
diletakkansedemikian,hingga BC//B’C’, CA/C’A’ dan AB//A’B’, makaketigagaris AA’, BB’ dan CC’ adalahberpotonganpadasatutitik (konkuren) atausejajar.
7
Diketahui : BC//B’C’, CA/C’A’, AB//A’B’ Dibuktikan : AA’, BB’ dan CC’ berpotonganpadasatutitikatausejajar. Bukti:
Ada 2 kondisi yang harus kita buktikan, yaitu : 1.
AA’, BB’ dan CC’ berpotonganpadasatutitik
2.
AA’, BB’ dan CC’ sejajar
Kondisi 1 : AA’, BB’ dan CC’ berpotonganpadasatutitik
Misalkan
ketigagaris
AA’,
BB’
dan
CC’
tidaksemuanyasejajar,
duadiantaranyatentuberpotongan No
1
Pernyataan
ABC
&A’B’C’
Keterangan
Premis
BC//B’C’, CA//C’A’, AB//A’B’
2
A,B,C sudut sudut ABC
Premis
3
A’, B’, C’ sudut-sudut A’B’C’
Premis
4
AA’ dan BB’ berpotongan di O
Permisalan
5
Konstruksigaris OC, perpanjanghinggamemotong B’C’ di C’’
6
Karena C’’ pada B’C’ maka AC//A’C”
(aksioma 4.6)
8
No.
7
Pernyataan
Keterangan
Karena AC//A’C’ dan AC//A’C”, maka
Akibat 5
C”pada A’C’,
C”jugapada B’C’.
8
A’B’C’ suatusegitigamakaharuslah C”berimpitdengan C’.
Premis
9
Jadi AA’, BB’ dan CC’ berpotongan di satu titik
Akibat 8
Kondisi 2 : AA’, BB’ dan CC’ sejajar
No
1
Pernyataan
ABC
&A’B’C’
Ket
Premis
BC//B’C’, CA//C’A’, AB//A’B’
9
No.
2
Pernyataan
A,B,C sudut sudut ABC A’, B’, C’ sudut-sudut
Ket
Premis
A’B’C’
3
Buat segmen AA’,BB’ dan CC’
konstruksi
4
Buat sinar A/A’ sehingga memenuhi [PAA’]
konstruksi
5
Buat sinar B/B’ sehingga memenuhi [QBB’]
Konstruksi
6
Buat sinar C/C’ sehingga memenuhi [RCC’]
Konstruksi
7
Buat A’/A sehingga memenuhi [SA’A]
konstruksi
8
Buat B’/B sehingga memenuhi [TB’B]
konstruksi
9
Buat C’/C sehingga memenuhi [UC’C]
konstruksi
10
Jadi Garis AA’//BB’//CC’
Akibat 4-9
10
Teorema 4.2
Jika A, A’, B, B’, C,C’ adalah 6 titik berlainan pada 3 garis sejajar berlainan AA’,BB’,CC’, diletakan sedemikian hingga t AB sejajar with A’B’ . BC sejajar B’C’ , maka CA juga sejajar dengan C’A’. Diketahui
: A, A’, B, B’, C, C’ (6 titik berlaianan)
AA’//BB’//CC’
AB//A’B’
BC//B’C’
Akan dibuktikan
: CA//C’A’
Bukti
:
(1) Ambil sebarang titik C” di segmen B’C’ sedemikian hingga AC//A’C” (2) AB//A’B’
(diketahui)
(3) BC//B’C’
(diketahui)
(4) AA’//BB’//CC”
(teorema 4.1)
(5) BB’//CC”
(4)
(6) BB’//CC’
(diketahui)
(7) Melalui titik C di luar garis BB’ ada paling banyak satu garis sejajar BB’ (aksioma 5). Padahal ada dua garis sejajar BB’ yaitu CC’ dan CC”, jadi haruslah C” berhimpit dengan C’. (8) C” berada pada garis CC’ (9) C” berada ada garis B’C’
(1)
(10) AC// A’C’’.
11
Dalam geometri Affine, kita akan mengenal beberapa transformasi. Untuk itu, perlu didefinisikan terlebih dahulu tentang Jajargenjang.
Definisi 1 (Jajar Genjang)
Empat titik A, B, C, dan D yang tidak segaris dikatakan membentuk suatu jajargenjang ABCD jika AB sejajar dengan DC dan BC sejajar dengan AD.
D
A
C
B
Dari gambar tersebut, A, B, C, dan D adalah titik-titik sudut jajargenjang ABCD.Segmen-segmen AB, BC, CD, dan DA adalah sisi-sisi jajargenjang ABCD.Segmensegmen AC dan BD adalah diagonal-diagonal jajargenjang ABCD. Karena B dan D berada pada pihak yang berlainan yang dibentuk segmen AC, maka diagonal-diagonal jajargenjang berpotongan di suatu titik yang kemudian disebut dengan pusat jajargenjang.
Definisi 2 (Dilatasi)
Suatu dilatasi ialah suatu transformasi yang mentransformasikan setiap garis ke garis yang sejajar.
Teorema 4.3
Dua segmen yang diketahui AB dan A’B’ pada garis-garis yang sejajar menentukan dengan tunggal suatu dilatasi AB→A’B’.
Diberikan
:
AB//A’B’
Akan dibuktikan
:
AB//A’B’ menentukan dengan tunggal suatu Dilatasi AB→A’B’
12
Bukti
:
C P C’ P’ A
B
A’ Ambil sebarang titik P pada bidang.
B’
Konstruk P’ (bayangan P) yang merupakan titik potong dari garis yang dibuat melalui A’ sejajar AP dan garis melalui B’ sejajar BP. Karena AP∦BP, maka garis-garis yang melalui A’ dan B’ tidak mungkin sejajar. Ambil sebarang titik C, C≠P. Dengan cara yang sama, konstruk C’. Berdasarkan Teorema 4.1, didapat AA’ ∥ BB’∥ PP’∥ CC’. Jika AB dan A’B’ tidak berimpit, maka AA’, BB’, PP’, dan CC’ adalah konkuren atau sejajar sehingga C’P’ ∥ CP. Jadi, menurut Definisi 4.2, transformasi tersebut adalah dilatasi.
Jika AB dan A’B’ berimpit, maka transformasi dapat dipandang sebagai AC→A’C’. .
. . Dua segmen sejajar menentuka dengan tunggal suatu dilatasi.
13
Definisi 3 (Invers)
Invers dari dilatasi AB
A’B’ ialah dilatasi A’B’
AB
Definisi 4 (Hasil Kali Dua Dilatasi)
Yang dimaksud dengan hasil kali dua dilatasi ialah suatu dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain.
Maka hasil kali dua dilatasi AB
A’B’ dan A’B’
A”B” ialah dilatasi AB
A”B”.
Hasil kali suatu dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB
AB.
Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya disebut garis-garis invariant. Garis-garis itu berpotongan pada satu titik atau sejajar.
14
Jika garis-garis yang menghubungkan titik dan banyangannya (yaitu yang menghubungkan dua titik berkorespondensi), berpotongan pada satu titik, maka dilatasi disebut dilatasi sentral . Titik potong garis-garis itu disebut titik pusat dilatasi O dan titik pusat tersebut tunggal.
Definisi 5 (Translasi)
Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar, maka dilatasi itu suatu translasi. Jadi suatu dilatasi adalah suatu translasi bila dan hanya bila tidak memiliki titik invarian (tapi garis invarian).
Dilatasi Sentral
Jika pada translasi AB
Translasi
A’B’, AA’, BB’ tidak berupa jajaran genjang, maka dapat
ditunjukkan jajaran genjang lainnya. Seperti pada gambar berikut:
AB
A’B’ sama dengan AC
AD
A’D’ suatu jajargenjang.
A’C’ dengan AA’C’C suatu jajargenjang atau
Jika A, A’ dan B diketahui, maka letak B’ tidak tergantung dari pemilihan C atau D, sehingga terdapat Teorema berikut:
15
Teorema 4.4
Sebarang dua titik A dan A’ menentukan dengan tunggal translasi A
A’.
Bukti:
(1) Suatu dilatasi adalah suatu translasi bila dan hanya bila tidak mempunyai titik invarian. Translasi A
A’ sama dengan translasi B
B’. Jika AA’ B’B suatu
jajargenjang.
(Definisi 4.4)
(2) Andaikan AA’BB’ bukan jajar genjang (3) Ada titik B” membentuk garis melalui B tidak sejajar dengan AA’ (4) AA’BB” membentuk titik invarian
(Definisi 4.4)
(5) AA’BB” bukan suatu translasi
(Definisi 4.4)
(6) AA’ bukan suatu translasi
(5)
(7) Pengandaian salah, maka dua titik A dan A’ menentukan dengan tunggal translasi A
A’
Teorema 4.5
DilatasiAB → A’B’ mentransformasikan setiap titik.
Diketahui
: Dilatasi AB ke A’B’
Karena setiap titik diluar garis ditransformasikan ke petanya menurut Teorema 4.3, maka Adib
: Setiap titik pada AB ditransformasikan ke setiap titik pada A’B’
Bukti
:
Kita akan membuktikan bahwa, jika [ACB] maka [A’C’B’].
16
Berdasarkan Definisi Dilatasi, maka AB//A’B’. Hal ini menjadikan ada dua kondisi dimana AB kongruen dengan A’B’ dan AB tidak kongruen dengan A’B’. 1. AB kongruen A’B’
Hubungkan A dengan A’ dan beri nama garis invariant a Hubungkan B dengan B’ dan beri nama garis invariant b Konstruksi garis invarian c sedemikian, sehingga c//a//b Untuk titik C yang me rupakan titik perpotongan AB dengan c, ja di [ACB]. C mempunyai peta di C’ yang merupakan titik perpotongan A’B’ d ngan c, jadi [A’C’B’]. Dapat disimpu lkan bahwa jika [ACB] maka [A’C’B’]. Untuk kondisi pertama te rbukti. 2. AB tidak kongruen denga A’B’
17
Hubungkan A dengan A’ dan beri nama garis invariant a Hubungkan B dengan B’ dan beri nama garis invariant b a dan b berpotongan di titik invariant O. ambil titik C pada AB dan hubungkan ke O. sinar OC terletak di dalam sudut AOB sehingga [ABC]. Untuk titik C’, titik potong OC dengan suatu segmen A’B’ dengan A’ pada sinar OA dan B’ pada sinar OB dipenuhi [A’C’B’]. Dapat disimpulkan bahwa jika [ACB] maka [A’C’B’]. Untuk kondisi kedua terbukti.
Untuk titik-titik A, B dan C yang terletak pada garis invarian digunakan garisgaris sejajar sebagai pertolongan untuk menunjukkan kebenaran Teorema 4.5 ini. 1. [ACB] → [A1CB1] → [A2C’B2] → [A’C’B’] 2. [ACB] → [A1CB1] → [A2C’B2] → [A’C’B’]
Jadi terbukti, jika [ACB], maka [A’C’B’]
Teorema 4.6
Hasil kali dua translasi A→B dan B→C adalah translasi A→C.
18
Bukti:
(1) Andaikan hasil kali 2 translasi bukan suatu translasi, maka ada titik invariant O. (2) Translasi pertama A → B. Titik O juga ditranslasikan ke O’ sebesar dan searah translasi A → B. (3) Diandaikan hasil kali 2 translasi memiliki titik invariant maka O’ ditranslasikan kembali ke O (sesuai dengan definisi titik invariant (titik yang tidak berubah posisi). (4) Sehingga untuk translasi ke dua yaitu B → C ditranslasikan sebesar dan searah O’ → O. Jadi B → C merupakan invers dari A → B. (5) Karena B → C invers dari A → B, maka pengandaian salah. Seharusnya invers dari A → B adalah B → A. Maka hasil kali 2 translasi tidak mempunyai titik invariant.
Jadi, hasil kali 2 translasi berupa translasi.
Definisi 5 (Setengah Putaran)
Jika dua titik berlainan, misalnya A dan B ditukar oleh suatu dilatasi tunggal AB →BA atau A↔B, maka transformasi itu disebut setengah putaran.
Jika C sebarang titik diluar garis AB, maka untuk mencari bayangannya, kita hubungkan C dengan A dan B, maka titik potong garis yang melalui B sejajar AC dan yang melalui A sejajar BC ia lah D, bayangan dari C.
19
Jadi ACBD adalah suatu jajargenjang. Setengah putaran itu dapat dinyatakan dengan C D. garis-garis invarian AB dan CD, karena diagonal-diagonal suatu jajargenjang, berpotongan di titik O, yang menjadi titik invarian dari setengah putaran. Titik O adalah titik pusat jajargenjang. Pada setengah putaran A
B, titik O adalah titik tengah segmen
AB.
Untuk melukis bayangan titik T pada garis AB, dihubungkan T dengan C (atau D) dan kemudian dilukis garis melalui D (atau C) yang sejajar dengan TC (atau TD) dan terdapat T’ pada garis AB.
Hasil kali dua setengah putaran dapat dinyatakan sebagai (A↔B) atau (B↔C).andaikan hasil kali ini mempunyai suatu titik invarian O, maka oleh setengah putaran A ↔B, O dibawa ke-O’. Jadi A↔B sama dengan O↔O’. Oleh setengah putaran B↔C maka O’ dibawa ke O, jadi B↔C sama dengan O’↔O. Jadi ada titik invarian jika A↔B = B↔C. Dalam hal ini yang lain tidak ada titik invarian.
Teorema 4.7
Hasil kali 2 setengah putaran A↔B dan B↔C adalah translasi A↔C.
Bukti:
1) Hasil kali dua setengah putaran dapat dinyatakan sebagai (A
B) (B
C).
2) Andaikan hasil kali ini mempunyai suatu titik invarian O 3) Setengah putaran A Berakibat A
B=O
4) Setengah putaran B Berakibat B
C = O’
B, O dibawa ke-O’ (O O’
C maka O’ dibawa ke O (O’
B=B
O)
O
5) Jadi hasil kali dua setengah putaran (A A
O’)
B) (B
C) memiliki titik invarian jika
C
Hal tersebut kontradiksi bahwa A
B≠B
C
Sehingga pengandaian salah, jadi dalam hal ini yang lain tidak ada titik invariant dan hasil kali dua setengah putaran berupa translasi ( definisi translasi) 20
Teorema 4.8
Setengah putaran A↔B dan C↔D sama, bila dan hanya bila translasi A ↔D dan C↔B sama.
Untuk “→”: Diberikan
:
A↔B = C↔D
Akan dibuktikan
:
A↔D= C↔B
Bukti
:
A↔D = (A↔B) (B↔D) = (C↔D) (B↔D) = (C↔D) (D↔B) = C↔B
Untuk “←”: Diberikan
:
A↔D= C↔B
Akan dibuktikan
:
A↔B= C↔D
Bukti
:
A↔B = (A↔D) (D↔B) = (C↔B) (D↔B) = (C↔B) (B↔D) = C↔D
Teorema 4.9
Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi suatu segitiga adalah sejajar dengan sisi yang ketiga, dan
Suatu garis yang melalui titik tengah suatu sisi dan sejajar dengan sisi yang lain akan melalui titik tengah sisi yang ketiga.
21
C
Bukti I
Diketahui : ∆ B’ titik tengah AC A’ titik tengah BC B’
Buktikan : B’A’ AB Bukti
A’
:
1. Konstruksi translasi B’B” 2. Akibatnya B’B”
A’A” searah B’A
A’A” sehingga B’A’
B
A
B”A”
3. Berdasarkan definisi jajargenjang maka B’A’A”B” adalah jajargenjang 4. Akibatnya akan dibuktikan bahwa B”A” terletak pada AB 5. Berdasarkan Teorema 4, translasi B’
B” searah B’A maka B” = A sehingga A” = D
(dengan D terletak pada AB). 6. B’A’ AB
Bukti II
Diketahui : ∆
C
B’ titik tengah AC B’A’AB Buktikan : A’ titik tengah BC B’
Bukti
A’
:
1. Pandang ∆ ′′ dan ∆ 2.
CB’A’
3.
C
4.
CA’B’
CAB (Sehadap)
C (Berhimpit) CBA (Sehadap)
5. Berdasarkan definisi kesebangunan maka ∆ ′′ 6.
B
A
=
∆ 1
*Dari yang diketahui B’C = AC 2
22
= = 7. Karena perbandingan
=
maka A’ titik tengah BC.
C. APLIKASI GEOMETRI AFFINE
Perhatikan gambar di samping. Kita dapat melihat bahwa gambar A terlihat tegak (i), padahal gambar aslinya adalah i
miring seperti gambar (ii). Gambar (i) adalah transformasi dari gambar (ii).
ii
Menampakkan kondisi transformasi dari wujud aslinya ( optical illusion)
a. Bentuk berikut merupakan bentuk transformasi.
23
Dilihat seakan-akan stik merah tidak akan mungkin bisa menembus dari kotak ke kotak yang lain. Padahal, bentuk asli dari gambar tersebut adalah sebagai berikut.
b. Gambar berikut juga merupakan bentuk yang sama dengan a.
Apabila dilihat dari bentuk transformasinya terlihat mustahil benda lingkar merah yang bisa menempel dengan bentuk seperti pada gambar sebelum melihat bentuk aslinya.
c. Bola yang ada pada gambar tersebut seakan-akan menggelinding ke atas (dari yng rendah menuju ketempat yang lebih tinggi). Padahal dilihat dari bentuk aslinya bola tersebut menggelinding dari tempat paling tinggi ke tempat yang lebih rendah (normal)
24
Gambar di bawah ini adalah bentuk asli dari gambar di atas.
d. Sponsor sepak bola samping gawang yang dilingkari adalah bentuk aplikasi affine lainnya.
Broadcast tersebut terlihat seakan-akan berdiri tegak jika dilihat dari sudut pandang penonton. Tetapi akan terlihat menempel tanah seperti karpet yang di pasang di ruang
25
tamu jika dilihat dari atas atau dari sisi kamera yang dekat dengan gawang. Amati gambar berikut yang merupakan bentuk asli dari broadcast tersebut.
26
DAFTAR PUSTAKA
1. Budiarto, Mega Teguh, Prof. Dr. Masriyah, Dra. M.Pd. 2010. Sistem Geometri. Surabaya: Unesa University Press. 2. http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/affine.htm didownload pada6 tanggal 6 Oktober 2013 pukul 10.00 3. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Euler.html Oktober 2013 pukul 20.30
didownload
pada
5
27
