SEJARAH
Meskipun sedikit yang diketahui tentang kehidupan awal dan kehidupan pribadi Euclid, ia dikenal sebagai pelopor dari pengetahuan geometri dan memberikan kontribusi yang besar dalam bidang matematika. Selain dikenal sebagai bapak Geometri, Euclid dikenal mengajarkan matematika di Mesir Kuno selama pemerintahan Ptolemeus I. ia terkenal, setelah menulis karya matematika paling permanen sepanjang masa, yang dikenal sebagai !"he Elemen# yang terdiri dari $% bagian yang berisi tentang teori geometris dan pengetahuan. &al ini yang membangkitkan membangkitkan pengetahuan di dunia barat dan sebagian matematikawan di seluruh dunia dunia selama lebih dari '((( tahun untuk memecahkan semua batas)batas dan membuat de*inisi yang baru di bidang Matematika. Euclid menggunakan +pendekatan sintetik+ untuk membuat teorema, de*inisi dan aksioma dalam matematika. Selain menjadi guru di perpustakaan le-andria, Euclid menciptakan dan menyusun berbagai elemen matematika, seperti Porisms, sistem geometris, nilai)nilai in*inite, *aktorisasi, dan bentuk yang kongruen pada Geometri Euclid. ntuk beberapa nama karya)karyanya sangat dipengaruhi dipengaruhi oleh Pythagoras, ristoteles, Eudo-us, dan "hales. Masa Kanak-Kanak dan Kehidupan Awal Euclid dari +le-andria+ lahir sekitar %%( SM, mungkin di le-andria. Penulis
rab tertentu menganggap bahwa Euclid adalah lahir dari keluarga kaya untuk +/aucrates+. ikatakan bahwa Euclid adalah mungkin lahir di "irus dan menjalani sisa hidupnya di amaskus. da dokumen)dokumen tertentu yang menunjukkan bahwa Euclid belajar di sekolah kuno Plato di thena, di mana sekolah itu hanya untuk pelajar kaya. ia kemudian bergeser ke le-andria di Mesir, di mana ia menemukan sebuah di0isi terkenal matematika, dikenal sebagai +geometri+. Kehidupan Euclid dari Meguro sering bingung dengan kehidupan Euclid dari le-andria, sehingga sulit untuk percaya apapun in*ormasi yang dapat dipercaya berdasarkan pada kehidupan matematikawan. ia ditanamkan minat dalam bidang matematika dan mengambil subjek untuk tingkat yang baru dengan jalan memecahkan penemuan dan teorema. le-andria dulunya merupakan kota terbesar di dunia barat dan juga pusat perkembangan industri papirus. i kota inilah di mana Euclid mengembangkan, mengembangkan, menyampaikan, dan berbagi pengetahuan tentang matematika dan geometri dengan seluruh dunia. dunia.
Karier Euclid dikenal sebagai !bapak geometri# karena suatu alasan. ia menemukan
sebuah persoalan dan memberikannya nilai, membuatnya menjadi salah satu bentuk matematika yang paling kompleks pada saat itu. Setelah pindah ke le-andria, Euclid menghabiskan sebagian besar waktunya di perpustakaan le-andria, seperti banyak sarjana terkemuka lainnya yang menghabiskan waktu mereka di sana. Museum ini dibangun oleh Ptolemeus, yang merupakan pusat sastra, seni dan ilmu pengetahuan. i sini Euclid mulai mengembangkan ide)ide geometri, aritmatika, teori dan bilangan irasional menjadi bagian yang disebut 1geometri1. ia mulai mengembangkan teorema dan disusun menjadi risalah kolosal yang disebut +"he Element+. Selama perjalanan karirnya samar)samar diketahui, ia mengembangkan $% edisi +"he Elemen+ yang mencakup semua persoalan mulai dari aksioma dan pernyataan untuk geometri solid dan konsep algoritma. Seiring dengan menyatakan berbagai teori, ia mulai mendukung ide)ide dengan metode dan bukti logis yang akan menerima statement yang diungkapkan oleh Euclid. 2isalah Euclid ini memuat lebih dari 345 proposisi untuk geometri sederhana dan geometri solid, mengemukakan dan menyatakan saran dan persetujuan untuk teori)teori yang berkaitan dengan ide)ide geometrisnya. da kasus tertentu dengan persamaan Pythagoras untuk segitiga yang digunakan Euclid sebagai contoh saat menulis !"he Elemen#. ia menyatakan bahwa !persamaan itu selalu benar untuk setiap masalah pada segitiga siku)siku#. !"he Elemen# terjual lebih banyak daripada lkitab dan digunakan oleh matematikawan serta dicetak berkali)kali oleh penerbi, bahkan sampai abad ke)'(. "idak ada kata akhir untuk geometri Euclid, dan Euclid terus mengembangkan teorema pada berbagai aspek matematika seperti +bilangan prima+ dan yang lainnya, +aritmatika+ dasar. das ar. engan serangkaian langkah)langkah logis yang dikembangkan oleh Euclid, ia percaya dalam membuat yang tidak diketahui menjadi dikenal oleh dunia. Sistem yang dilanjutkan Euclid untuk menggambarkan !"he Elemen# adalah umumnya dikenal sebagai satu)satunya bentuk geometri yang dapat disaksikan dan dilihat sampai abad ke)$6. /amun, matematikawan dari era modern mengembangkan teorema dan ide baru yang berkaitan dengan geometri dan membagi subjek menjadi !Geometri Euclid# dan !Geometri /on)Euclid#. ia menyebut ini +pendekatan sintetik+ yang tidak didasarkan pada logika trial and error, tapi pada penyajian *akta dari teori. Pada saat pengetahuan terbatas, Euclid bahkan telah mulai mengambil pengetahuan berdasarkan pencarian subjek yang yang berkaitan dengan bidang yang berbeda seperti +aritmatika dan bilangan+. ia
menguraikan bahwa manusia tidak mungkin mengetahui +bilangan prima terbesar+. ia memperkukuh hal ini dengan sebuah contoh yang menyatakan bahwa jika $ ditambahkan ke bilangan prima terbesar yang diketahui, hasilnya akan menyebabkan bilangan prima yang lain. 7ontoh klasik ini adalah bukti kejelasan pemikiran dan presisi Euclid saat itu. Euclid menyatakan bahwa aksioma adalah pernyataan yang hanya diyakini benar, tapi ia menyadari bahwa mengikuti pernyataandengan membabi buta, tidak akan ada gunanya dalam merancang teori dan rumus matematika. ia bahkan menyadari bahwa aksiomaharus didukung dengan bukti)bukti yang kuat. 8leh karena itu, ia mulai mengembangkan bukti logis yang akan membuktikan aksioma dan teore ma pada geometri. alam rangka untuk lebih memahami aksioma ini, ia membagi menjadi dua kelompok yang disebut !postulat#. Satu kelompok lain disebut !pengertian umum# yang telah disepakati oleh Ilmuan . 9agian kedua postulat identik dengan geometri. 9agian pertama gagasan disebutkan pernyataan seperti 1keseluruhan lebih besar daripadasebagian1 dan 1&al)hal yang sama dengan hal yang sama juga akan sama satu dengan yang lain 1. Ini hanya dua dari lima pernyataan yang ditulis oleh Euclid. :ima pernyataan yang tersisa di postulat bagian kedua sedikit lebih spesi*ik untuk Geometry dan teori seperti 1Semua sudut kanan adalah sama1 dan1Garis lurus dapat ditarik diantara dua titik1. Karir Euclid berkembang sebagai matematikawan dan!"he Elemen# akhirnya diterjemahkan dari bahasa ;unani ke bahasa rab dankemudian ke dalam bahasa Inggris oleh
Pekerjaan tambahan Seiring dengan perubahan wajah matematika secara permanen,Euclid juga
memiliki berbagai karya lain yang masih digunakandan disebut sampai saat ini. Karya) karya ini adalah posisi murni yang didukungdengan bukti kuat dan mengikuti sepanjang garis dan struktur !"he Elemen#. ia melanjutkan untuk belajar dan menemukan +7atoptrics+yang pada dasarnya menyatakan *ungsi matematika dari cermin.8ptik, rasio, data, dan conics adalah beberapa karya terkenal lainnyayang sekarang hilang seiring dengan berjalannya waktu. Euclidberhasil menyelesaikan delapan edisi atau buku)buku tentang teorematentang kerucut, yang gagal dipublikasikan waktu itu. ia jugamembentuk hipotesis dan proposisi berdasarkan Mekanika dan:okus. Sebagian besar karya)karya ini dikatakan telahmelengkapi satu sama lain, dan itu menyarankan bahwateori yang dikembangkan benar)benar berasal dari karya terkenal !"he Elemen#. Ia juga datang dengan satu set Konstruksi Euclid yang merupakan alat dasar yang dibutuhkan untuk memproduksikonstruksi geometris. Kehidupan Pribadi iyakini bahwa Euclid mendirikan sebuah sekolah swasta diperpustakaan
le-andria untuk mengajar penggemar matematika sepertidirinya. da teori lain yang menyatakan bahwa Euclid pergi untuk membantu para siswa menulis teori dan buku mereka sendiridi kemudian hari. "idak banyak yang diketahui tentang penampilan Euclid. Patung)patung atau lukisan yang dilihat saat ini adalah produk imajinasi seniman belaka. Kematian dan Legac "ahun dan alasan di balik kematian Euclid tidak diketahui. /amun, sudah ada
alokasi jelas menunjukkan bahwa ia mungkin telah meninggal sekitar '4( SM. >arisan yang ditinggalkan setelah kematiannya jauh lebih mendalam dari pada yang ia ciptakan saat dia masih hidup. 9uku)buku dan risalah yang dijual dan digunakan oleh masyarakat di seluruh dunia sampai pada abad ke)$6. >arisannya dijalankanpada '(( abad setelah kematiannya dan menginspirasi kepribadian sepanjang perjalanan hidup seperti braham :incoln. ikatakan bahwa :incoln akan membawa !"he Elemen# ke mana pun ia pergi,dan sering mengutip karya jenius Euclid dalampidatonya. 9ahkan setelah kematian Euclid, matematikawan terusmenulis teorema dan karya)karya di bawah namanya. alam semua arti sebenarnya, pada saat pengetahuan itu tidak dapat diakses oleh mayoritas populasi dunia, dikembangkan *ormat Matematika kuno Euclid yang logis dan ilmiah yang dikenal dunia sebagai !Geometri Euclid# sekarang.
"he Elements terdiri atas tiga belas buku. 9uku $ menguraikan proposisi) proposisi dasar dari geometri bidang datar, termasuk tiga kasus dalam hal kekongruenan segitiga, macam)macam teorema tentang garis)garis sejajar, teorema mengenai jumlah sudut)sudut dalam sebuah segitiga dan teorema Pythagoras. 9uku ' berkenaan dengan aljabar geometris, karena kebanyakan teoremanya tidak lebih tentang pena*siran aljabar sederhana. 9uku % menyelidiki lingkaran dan si*at)si*atnya, dan termasuk teorema tentang tangent dan sudut)sudut yang digambarkan. 9uku 3 terkait segibanyak beraturan dan lingkaran)lingkaran yang mengelilinginya. 9uku = mengembangkan teori aritmetika tentang perbandingan. 9uku 4 menerapkan teori perbandingan kepada geometri bidang datar, dan memuat teorema)teorema bilangan kembar. 9uku 5 menguraikan teori bilangan dasar? misalnya bil angan prima, *aktor persekutuan terbesar, dan lain)lain. 9uku @ terkait dengan deret geometri. 9uku 6 memuat macam)macam aplikasi dari hasil dua buku sebelumnya, dan memuat teorema) teorema ketakterhinggaan bilangan prima, maupun rumus jumlah deret geometri. 9uku $( berusaha menggolongkan besaran yang tak dapat dibandingkan Adengan kata lain irasionalB menggunakan apa yang disebut !metode keletihan#, suatu rintisan Euclid Geometry integral kuno. 9uku $$ menghitung 0olume relati* dari kerucut, piramida, tabung, dan bola menggunakan metode keletihan. an akhirnya, buku $% meneliti apa yang biasa disebut bidang banyak beraturan dan memberikan kontruksi dari benda) benda#platonic# atau benda)benda CcosmicD. 9enda)benda ini disebut benda !cosmic# karena menurut teori Plato ada hubungan antara kubus dan tanah, bidang empat AtetrahedronB dan api, bidang delapan AoctahedronB dan udara, bidang dua puluh AtetrahedronB dan air, dan ada yang menambahkan bidang dua belas AdedecahedronB dan ether. Euclides, dalam bukunya yang pertama mulai dengan '% de*inisi, = postulat, = aksioma dan 3@ dalil. Euclides membedakan antara postulat dan aksioma, postulat berlaku khusus untuk sains tertentu dan aksioma berlaku untuk umum. A! MA"ER# $e%inisi adalah adalah ungkapan yang dibutuhkan untuk membatasi suatu konsep
dalam matematika atau untuk memperkenalkan nama sesuatu dalam pembicaraan tentang geometri. alam buku)I Euclid terdapat '% de*inisi, yaitu sebagai berikut? Definisi 1 : titik adalah yang tidak memiliki bagian. Definisi 2 : sebuah garis adalah panjang tanpa lebar Definisi 3 : ujung-ujung suatu garis adalah titik.
Definisi 4 : suatu garis lurus adalah garis yang terletak rata dengan titik-titik padanya. Definisi 5 : suatu bidang adalah yang hanya memiliki panjang dan lebar. Definisi 6 : ujung-ujung suatu bidang adalah garis Definisi 7 :sebuah bidang datar adalah suatu bidang yang terletak rata dengan garis garis padanya. Definisi : suatu sudut datar adalah inklinasi !kemiringan" dari dua garis dalam satu bidang datar yang bertemu tetapi tidak dalam arah yang sama. Definisi # :sebuah sudut bidang bujursangkar adalah inklinasi !kemiringan" dua garis lurus satu sama lain$ yang bertemu bersama$ tetapi tidak dalam garis lurus yang sama. %tau Dan jika garis-garis yang memuat sudut itu lurus$ maka sudut itu disebut sudut garis lurus. Definisi1& : ketika garis lurus berdiri di garis lurus yang lain membuat sudut yang berdekatan sama$ masing-masing sudut ini disebut sudut bersisihan sama$ dan masing-masing baris ini dikatakan tegak lurus dengan garis lainnya. Definisi11 : sebuah sudut tumpul adalah sudut lebih besar dari sudut yang kanan !siku-siku". Definisi12 : sebuah sudut lan'ip adalah sudut kurang dari sudut kanan !sikusiku". Definisi13 : sebuah batas adalah ujungnya !akhirnya" sesuatu. Definisi14 : suatu bangun adalah permukaan tertutup di semua sisi (leh garis atau garis-garis. Definisi15 : sebuah lingkaran adalah suatu bangun datar yang termuat dalam suatu garis sedemikian$ hingga semua garis lurus yang melalui satu titik dlam hubungan itu dan mengenai garis tadi sama panjangnya. Definisi16 : titik ini !dari mana garis yang sama ditarik" disebut pusat lingkaran. Definisi17 :suatu diameter lingkaran adalah garis lurus yang ditarik melalui titik pusat$ dan pada kedua arahnya berakhir pada keliling lingkaran. Definisi 1 :suatu garis tengah lingkaran adalah bangun yang termuat dalam diameter$ dan bagian dari lingkaran dip(t(ng (leh diameter. Definisi 1# : segmen lingkaran adalah s(s(k yang dikandung (leh garis lurus$ dan bagian dari lingkar yang mem(t(ng Definisi 2& : suatu bentuk yang dimuat (leh garis lurus saja$ disebut bentuk bujursangkar.
Definisi 21 : sebuah segitiga adalah bentuk bujursangkar (leh tiga sisi Definisi 22 : dari bangun-bangun segiempat$ persegi adalah yang sama sisi dan siku siku$ suatu persegi panjang adalah yang bersudut siku-siku$ tetapi tidak sama sisi$ belah ketupat adalah yang sama sisi tapi tidak siku-siku dan suatu jajargenjang sama sisi dan sudut-sudutnya yang berla)anan* berhadapan sama$ tetapi empat yang lain dari ii semua disebut trapesium. Definisi 23 : sebuah p(lig(n adalah bentuk bujursangkar yang dibatasi (leh lebih dari empat sisi.
P&stulat adalah asumsi yang berhubungan langsung dengan geometri. alam
Kamus 9esar 9ahasa Indonesia, Postulat adalah anggapan dasar atau aksioma, dengan kata lain postulat diartikan sebagai asumsi yang menjadi pangkal dalil yang dianggap benar tanpa perlu membuktikannya. alam matematika, postulat berarti pernyataan matematika yang disepakati benar tanpa pembuktian alam buku)I Euclid terdapat lima postulat yaitu sebagai berikut? +(stulat 1: ,elalui dua titik dapat dibuat satu garis +(stulat 2: ebarang ruas garis dapat diperpanjang menjadi garis lurus. +(stulat 3: ebuah lingkaran dapat dibuat dengan sebarang titik pusat dan jari-jari +(stulat 4: emua sudut siku-siku sama. +(stulat 5: ika garis lurus mem(t(ng dua garis lurus dan memuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku$ kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas$ akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku. Aksi&ma adalah asumsi yang berkaitan dengan logika. alam Kamus 9esar
9ahasa Indonesia, aksioma adalah pernyataan yang dapat diterima sebagai kebenaran tanpa pembuktian. Pengertian aksioma secara matematika yaitu pendapat yang dijadikan pedoman dasar dan merupakan dalil pemula, sehingga kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi atau suatu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran dan bersi*at umum, tanpa memerlukan pembuktian 7ontoh? $. 9enda)benda yang sama dengan benda yang sama, satu dengan yang lain adalah sama. '.
Pr&p&sisi adalah sebuah pernyataan yang akan ditunjukkan kebenarannya, atau
operasi yang akan dilakukan. &al tersebut disebut teorema ketika hal tersebut harus dibuktikan dan disebut masalah ketika hal tersebut harus diselesaikan. alam 9uku)I "he Elemens terdapat 3@ proposisi yaitu sebagai berikut? +r(p(sisi 1: sebuah segitiga samasisi dapat dibentuk dari sebuah segmen +r(p(sisi 2
: sebuah segmen dapat dilukis pada titik yang diketahui$ dengan ukuran sesuai dengan segmen yang diberikan
+r(p(sisi 3
: untuk dua segmen berbeda yang diberikan$ hasil p(t(ng segmen
yang lebih panjang sama dengan segmen yang lebih pendek. +r(p(sisi 4
: jika dua segitiga memilki dua sisi sama besar$ bersesuaian$ dan sudut yang diapit dua sisi yang sama besar juga sama besar$ maka alas segitiga yang bersesuaian itu juga sama besar$ lalu kedua segitiga yang dimaksud juga sama besar$ sudut-sudut lainnya yang bersesuaian juga sama besar.
+r(p(sisi 5
: untuk segitiga samakaki$ sudut-sudut di alas adalah sama besar satu sama lain$ dan jika sisi-sisi yang sama panjangnya diperpanjang$ maka sudut-sudut di ba)ah alas juga akan sama besar satu sama lain.
+r(p(sisi 6
: jika sebuah segitiga memiliki dua sudut yang berukuran sama$ maka panjang sisi-sisi di depan sudut tersebut juga akan sama.
+r(p(sisi 7
:pada sebuah segmen$ dua segmen lain se'ara berturut-turut sama panjang dengan dua segmen lainnya !yang diberikan dan berp(t(ngan"$ tidak mungkin dibentuk dari titik yang ber beda pada sisi yang sama$ tetapi ujung-ujung segmen yang sama bertemu di titik yang sama pada segmen yang diberikan.
+r(p(sisi
: jika segitiga memiliki dua sisi yang sama besar pada segitiga yang lainnya$ dan alas mereka juga sama$ maka sudut yang diapit (leh sisi-sisi yang sama pada kedua segitiga juga sama besar besar.
+r(p(sisi #
: sebuah sudut dapat dibagi menjadi dua bagian yang sama besar.
+r(p(sisi 1&
: sebuah segmen dapat dibagi menjadi dua bagian yang sama panjang
+r(p(sisi 11
: diberikan sebuah segmen dan titik pada segmen$ maka dapat
dibentuk segmen lain yang mele)ati titik tersebut serta siku-siku terhadap segmen yang diberikan. +r(p(sisi 12
: diberikan sebuah garis dan titik diluar garis$ dapat dibentuk sebuah segmen yang mele)ati titik tersebut serta siku-siku terhadap garis yang diberikan
+r(p(sisi 13
: jika sebuah segmen berdiri pada segmen lain dan membentuk sudut$ pasti membentuk dua sudut siku atau jumlah keduanya sama dengan jumlah dua sudut siku
+r(p(sisi 14
: jika dua segmen$ tidak terletak di sisi yang sama$ membentuk sudut bersebelahan yang jumlahnya sama dengan dua sudut siku dengan ruas garis lain pada suatu titik$ maka kedua sudut itu segaris.
+r(p(sisi 15
: jika dua garis saling berp(t(ngan$ maka besar sudut yang bert(lak belakang adalah sama.
+r(p(sisi 16
: untuk setiap segitiga$ ketika satu sisi diperpanjang$ sudut eksternalnya lebih besar dari setiap sudut internal yang berseberangan.
+r(p(sisi 17
: untuk setiap segitiga$ jumlah dua sudut internal yang manapun selalu kurang dari dua sudut siku-siku.
+r(p(sisi 1
:dalam setiap segitiga$ sisi yang lebih besar berhadapan dengan sudut lebih besar pula.
+r(p(sisi 1#
: di setiap segitiga$ sudut yang lebih besar menghadap ke sisi yang terpanjang.
+r(p(sisi 2&
: dalam setiap segitiga jumlah dari setiap dua sisi adalah lebih besar dari sisi ketiga.
iberikan segitiga 97. Saya katakan, dalam segitiga 97 AjumlahanB dua sisi yang disatukan dengan sebarang AkemungkinanB adalah lebih besar dari sisanya AsisiB. AMakaB, AjumlahanB 9 dan 7 Alebih besarB dari 97, AjumlahanB 9 dan 97 Alebih besarB dari 7, dan AjumlahanB 97 dan 7 dari 9. Perpanjang sisi 9 ke titik , dimana sama besar dengan 7, sudut 7 sama besar dengan 7 Aprop $.=B. 97 lebih besar dari dari 7 Agag 3B. an sejak 79 adalah segitiga dengan sudut 97 lebih besar dari 97, sudut yang lebih besar menghadap sisi yang lebih besar A$.$6B, 9 tentu lebih besar dari 97. Padahal sama besar dengan 7.
perbandingan sisi)sisi yang lainnya.
+r(p(sisi 21 : jika dari titik-titik ujung suatu sisi suatu segitiga dik(nstruksikan dua ruas garis dan bertemu di interi(r segitiga$ jumlah panjang ruas-ruas garis yang baru dik(nstruksikan itu lebih ke'il dari jumlah dua sisi lain dari segitiga$ tetapi sisi-sisi yang baru dik(nstruksi itu membentuk sudut yang lebih besar dari sudut yang dibentuk (leh dua sisi segitiga tadi.
iberikan dua ruas garis 9 dan 7 dikonstruksikan dari satu sisi 97 pada segitiga 97, dari ujung)ujungnya, 9 dan 7. Saya katakan bahwa 9 dan 7 kurang dari AjumlahB dua sudut sisa pada segitiga yakni 9 dan 7, sedangkan sudut 97 lebih besar dari 97. 9 diperpanjang hingga E Adi 7B. Karena untuk setiap segitiga AjumlahB dua sisi selalu lebih besar dari sisanya AsisiB Aprop $.'(B, di segitiga 9E AjumlahB dua sisi 9 dan E lebih besar dari 9E. :alu kita jumlahkan E7 ke keduanya.
+r(p(sisi 22
: mengk(nstruksi suatu segitiga terdiri dari tiga ruas garis yang sama dengan tiga ruas garis yang diketahui: jadi syarat yang perlu adalah bah)a jumlah dari dua ruas garis harus lebih besar dari panjang ruas garis yang ketiga.
iberikan , 9, dan 7 tiga buah ruas garis, dimana AjumlahB dua gabungannya dengan sebarang AkemungkinanB selalu lebih besar dari sisanya. Maka, gabungan dan 9 lebih besar dari 7, dan 7 lebih besar dari 9, 9 dan 7 lebih dari .
+r(p(sisi 23
: mengk(nstruksikan suatu sudut yang sama dengan suatu sudut pada
suatu garis yang diketahui dan pada suatu titik di garis itu. +r(p(sisi 24
:jika dari dua segitiga$ dua sisi pada satu segitiga sama dengan dua sisi pada segitiga lainnya$ tetapi sudut yang diapit (leh kedua sisi pada satu segitiga itu lebih besar dari sudut yang diapit (leh dua sisi pada segitiga lain$ maka alas segitiga pertama akan juga lebih besar daripada alas segitiga kedua
+r(p(sisi 25
:jika suatu garis mem(t(ng dua garis lain sedemikian sehingga sudut luar sama dengan sudut dalam yang berhadapan pada sisi yang sama$ atau jumlah dari sudut-sudut dalam pada sisi yang sama adalah dua sudut siku-siku$ maka kedua garis tadi sejajar.
+r(p(sisi 26
:jika dua sudut pada segitiga sama dengan dua sudut pada segitiga lain$ dan satu sisi di segitiga pertama sama dengan satu sisi di segitiga kedua$ yaitu sisi pada sudut-sudut itu$ atau sisi yang terletak di hadapan sudut-sudut itu$ maka sisi-sisi lainnya di segitiga pertama akan sama dengan sisi-sisi lainnya di segitiga kedua$ juga sudut sudut lainnya di segitiga pertama akan sama dengan sudut-sudut lainnya di segitiga kedua.
iberikan 97 dan E dua segitiga yang memiliki dua sudut, yakni 97 dan 97 yang sama besar dengan sudut E dan E, 97 dengan E, 97 dengan E. Segitiga)segitiga tersebut juga memiliki satu sisi bersesuaian yang sama besar. Misal 97 sama dengan E. Maka kita akan tunjukkan bahwa sisi lain yang bersesuaian juga sama besar. ;akni 9 dengan E, 7 dengan .
dengan E, jadi 97G juga sama besar dengan 97 yang tentu tidak mungkin.
+r(p(sisi 27
:jika suatu garis mem(t(ng dua garis lain sedemikian sehingga sudut alternate! dalam berseberangan" sama besar$ maka kedua garis tadi sejajar
:jika sebuah garis lurus melalui dua buah garis yang membentuk suatu sudut eksternal yang sama dengan sudut internal berseberangan di satu sisi$ atau membuat jumlah sudut internal pada sisi yang sama sama dengan dua sudut siku-siku$ maka dua garis yang dilalui itu sejajar.
+r(p(sisi 2#
:sebuah garis lurus melalui dua garis yang sejajar membuat sudut dalam berseberangan !alternate" sama besar satu dengan lainnya$ udut eksternal sama besar dengan sudut internal yang berseberangan$ dan jumahnya !sudut internal" pada satu sisi adalah dua sudut siku-siku.
+r(p(sisi 3&
: suatu garis sejajar dengan dua garis yang lain$ kedua garis itu sejajar dengan yang lainnya.
+r(p(sisi 31
: untuk melukis garis lurus yang sejajar terhadap garis yang diberikan melalui sebuah titik.titik tertentu.
+r(p(sisi 32
: dalam segitiga apapun$ !jika" salah satu sisi yang dihasilkan sudut luar adalah sama dengan !jumlah dari" dua sudut dalam dan berla)anan !sudut"$ dan !jumlah dari" tiga sudut internal segitiga sama dengan dua sudut siku-siku.
+r(p(sisi 33
: garis-garis yang menghubungkan dua garis yang sama besar dan sejajar pada ujung yang sesisi juga sama dan sejajar.
+r(p(rsisi 34
: dalam bangun jajar genjang sisi dan sudut yang berla)anan sama
dengan satu sama lain$ dan diag(nanya mem(t(ng bangun tersebut setengahnya. +r(p(rsisi 35
: ajar genjang yang berimpit pada alas yang sama$ dan diantara garis sejajar yang sama$ saling sama besar !luasnya".
+r(p(rsisi 36
: jajar genjang yang alasnya sama besar dan diantara garis sejajar yang sama saling sama besar
. iberikan jajar genjang 97 dan EG& dimana alas 97 dan G sama dan diantara garis sejajar yang sama & dan 9G. Maka saya katakan bahwa jajar genjang tersebut saling sama. ihubungkan ruas garis 9E dan 7&. Garis 97 sama besar dengan garis G, padahal G sama besar E& Aprop $.%3B. jadi 97 sama besar E&. Keduanya juga sejajar, E9 dan &7 dihubungkan. Padahal, menghubungkan sisi yang sama besar dan sejajar di ujung yang sesisi garis penghubung tersebut sama besar dan sejajar juga Aprop $.%%B. Maka E9 dan &7 juga sejajar, dan E97& adalah jajar genjang Aprop $.%3B, dan sama terhadap 97, karena mereka memiliki alas yang sama 97 dan diantara garis sejajar yang sama 97 dan & Aprop $.%=B. Maka untuk alasan yang sama EG& juga sama besar dengan E97& Aprop $.%3B. Maka jajar genjang 97 sama EG&.
+r(p(rsisi 37
: segitiga dengan alas yang sama diantara garis sejajar yang sama saling sama besar .
+r(p(sisi 3
:segitiga yang alasnya sama besar dan diantara garis sejajar yang sama saling sama.
iberikan 97 dan E segitiga dengan alas yang sama besar, 97 dan E, dan diantara garis sejajar yang sama 9 dan . Saya katakan segitiga 97 sama dengan segitiga E. iberikan diperpanjang di kedua arah ke G dan &, lalu dibuat 9G melalui 9 sejajar 7, & melalui & jejajar E Aprop $.%$B. Maka, G97 dan E& keduanya jajar genjang. an G97 sama besar dengan E& karena memiliki alas yang sama besar yaitu 97 dan E, dan diantara garis sejajar yang sama, 9 dan G& Aprop $.%4B. dan Segitiga 97 setengah dari sejajar G97, berdasarkan potongan oleh diagonal 9 Aprop. $.%3B, dengan proposisi yang sama untuk menunjukkan bahwa segitiga E setengah dari E&.
+r(p(sisi 3#
: segitiga yang sama besar dan memiliki alas yang sama dan sesisi$ juga diapit dua garis sejajar yang sama.
+r(p(sisi 4&
: segitiga yang sama besar dimana alasnya juga sama besar di satu garis yang sesisi$ juga diantara garis sejajar yang sama.
+r(p(sisi 41
:jika sebuah jajar genjang memiliki alas yang sama yang berbentuk segitiga yang k(ngruen$ maka luas jajar genjang tersebut merupakan dua kali luas segitiga.
+r(p(sisi 42
: untuk membangun jajar genjang yang sama besar dengan suatu segitiga dari suatu sudut .
+r(p(sisi 43
: untuk semua jajar genjang$ k(mplemen jajar genjang yang mengenai diag(nal saling sama besar.
+r(p(sisi 44
: untuk menerapkan jajargenjang yang sama dengan segitiga tertentu pada sebuah garis lurus dengan sudut tertentu.
+r(p(sisi 45
: untuk mengk(nstruk jajargenjang sama besar dengan sebuah bangun bersegi dengan sudut yang diberikan.
+r(p(sisi 46
: untuk mendeskripsikan sebuah persegi pada garis tertentu.
+r(p(sisi 47
: pada segitiga siku-siku$ persegi di sisi yang menghadap ke sudut siku-siku sama besar dengan persegi di sisi-sisi yang membentuk
siku-siku. iberikan 97 segitiga siku)siku siku)siku di 97. Saya katakan bahwa persegi di 97 sama besar dengan persegi di 9 dan 7. Persegi 9E7 dideskripsikan di 97, dan persegi G9 dan &7 berturut)turut di 9 dan 7 Aprop $.34B. Kemudian : dilukis melalui sejajar dengan 9 atau 7E Aprop $.%$B. an dan 7 dihubungkan. Karena 97 dan 9G masing)masing siku)siku, maka dua garis 7 dan G, tidak berimpit, dan membuat sudut bersebelahan berdasarkan 9, pada titik , dimana sama besar dua sudut siku)siku.
Karena 97 dan 9 sama besar, maka jajar genjang 9: sama besar dengan G9. engan penalaran yang sama, E dan 9K dihubungkan sehingga jajar genjang :7 sama besar jajar genjang &7. Gabungan 9G dan &7, yakni persegi yang pada sisi)sisi 9 dan 7, sama besar gabungan 9: dan :7. Padahal keseluruhan 9: dan :7 adalah 97E atau segitiga pada sisi 97 Asisi yang menghadap sudut siku. Maka, pada segitiga siku)siku, persegi pada sisi yang menghadap sudut siku)siku sama besar dengan AjumlahB persegi di sisi)sisi pembentuk sudut sikunya, yang telah ditunjukkan seperti yang diminta. +r(p(sisi 4
: jika persegi di satu sisi segitiga sama besar dengan persegi di dua sisi lainnya$ maka sudut yang diapit dua persegi terakhir adalah siku-siku.
"e&rema adalah suatu pernyataan matematika yang masih memerlukan
pembuktian dan pernyataan itu dapat ditunjukkan bernilai benar. K&r&llari adalah suatu proposisi yang secara langsung diperoleh dari teorema
yang sudah dibuktikan. apat juga diartikan sebagai suatu teorema yang muncul sebagai akibat dari teorema sebelumnya. 9obot teorema ini sama dengan bobot teorema yang mendahuluinya. Lemma dalam matematika disebut juga teorema kecil dan biasanya muncul
sebagai jembatan untuk membuktikan teorema yang lebih umum. engan kata lain, lemma adalah teorema sederhana yang digunakan sebagai hasil antara dalam pembuktian teorema lain. '&mm&n nati&n adalah? asumsi yang diterima semua ilmuwan atau semua
orang)orang cerdas. Pla%air(s A)i&m /0hr(ugh a gien p(int 'an be dra)n (nly (ne parallel t( gien line. Melalui
titik tertentu dapat ditarik satu garis sejajar diberikan.1 Ini muncul dalam presentasi
sederhana dipotong oleh trans0ersal dan memiliki hubungan sudut diketahui trans0ersal itu. Sekarang kita akan bukti kesetaraan dari aksioma Play*air dengan dalil Kelima Apostulat sejajarB. Karena kita harus bukti kesetaraan kedua postulat, maka harus ada dua jenis bukti. Pertama, kita harus menyimpulkan dalil kelima dari aksioma Play*air dan bukti kedua yang harus kita lakukan itu sebaliknya. ntuk menunjukkan kesetaraan kedua postulat, kami awalnya memberikan beberapa proposisi dan teorema akibat. *! Menimpulkan P&stulat kelima dari aksi&ma Pla%air Misalkan terdapat ruas garis l dan titik P berada di luar l, ruas garis l dan titik P adalah dua aturan yang diberikan. A:ihat gambar 3B.
kan terlihat bahwa hanya satu garis lurus yang melalui titik P, akan tetapi, garis lurus tersebut bukan l, melainkan garis yang parallel dengan l. &al ini jelas bahwa terdapat garis lurus yang melalui titik P bukan pada l, dan garis tersebut sejajar dengan l. ari titik P, kita dapat membuat ruas garis yang tegak lurus terhadap l dan memotong l di titik F. lalu kita membuat garis m yang sejajar dengan l. sumsikan bahwa terdapat garis lurus n yang melalui titik P, dan n m. sehingga, akan menunjukkan bahwa n akan berpotongan dengan l.asumsikan bahwa sudut $ dan ' dibuat dari ruas garis n dan PF. Maka, sudut $ bukan merupakan sudut siku)siku. Karena jika sudut $ adalah sudut siku)siku, maka pastilah m dan n berimpit. &al ini jelas kontradiksi dengan asumsi awal. engan demikian, sudut $ atau sudut ' merupakan sudut lancip. ndaikan bahwa sudut $ adalah sudut lancip A7orollary '5.'B. 2ingkasan Kedua garis l dan n dipotong oleh garis lurus trans0ersal PF sehingga membangun sudut lancip $ dan sudut siku)siku. Kedua sudut adalah sepasang sudut dalam sepihak PF. Karena jumlah sudut $ dan ' kurang dari $@( , maka ᵒ
berdasarakan postulat kelima, garis l dan n pasti akan berpotongan. engan demikian, m adalah satu)satunya garis yang melalui P bukan garis l, m sejajar
dengan l yang berarti bahwa kita telah menyimpulkan aksioma Play*air dari postulat kelima. +! Menimpulkan aksi&ma Pla%air dari p&stulat Kelima iberikan dua garis lurus l dan m dipotong oleh garis trans0ersal di titik F,
P dan membentuk sepasang sudut dalam sepihak $ dan ' yang jumlahnya kurang dari $@( . A:ihat Gambar. @B. ᵒ
R
P 2 E
m 1 Q
l
emikian, kita mempunya
∠ $ + ∠ ' 〈 $@(° .....A$B
∠$ , kemudian
∠ % adalah suplemen dari
∠$ + ∠ % =$@(° .....A'B
ari A$B and A'B, diperoleh? 9uat
∠
∠ ' 〈 ∠ %........A %B
FP2 dengan P memiliki derajat yang sama dengan
∠3
dan
∠3
interior. Kemudian, akibatnya 2P tidak diimpitkan dengan m Aberbeda dari mB. Menurut Proposisi '5, 2P sejajar dengan l . Sangat cocok dengan Play*air aksioma, m sejajar dengan l . 8leh karena itu, m dan l berpotongan. sumsikan m dan l berpotongan di sisi yang berlawanan dengan PF dari kedua ∠
$ dan
∠
', di E. Kemudian
∠2
adalah sudut eksterior, dari segitiga
PFE. 8leh karena itu,, itu bertentangan dengan A%B. kibatnya, asumsi yang salah dan m dan l bertemu di sisi PF ini yang berisi kedua
∠
$ dan
∠
'.
8leh karena itu, postulat kelima dapat disimpulkan dari aksioma Play*air.
,! APL#KAS# $. 9eberapa detail permukaan gedung merupakan bentuk dari Geometr.i Euclid
'. alam membuat permukaan meja berbentuk persegi panjang, jendela, dan bingkai *oto, untuk memastikan bahwa daerah tersebut adalah persegi panjang, maka yang harus dilakukan adalah memastikan bahwa setiap sudut besarnya tepat 6((. /amun, dengan memahami tentang Geometri Euclid, maka kita dapat menentukan keempat sisi persegi panjang tersebut tanpa mengukur panjang masing)masing sisi dan juga besar keempat sudutnya.
%. Sebuah menara air, kaleng, dan Piramida Mesir serta benda)benda yang berbentuk kerucut, silinder, belahan, dan piramida. Mereka mewakili Geometri Euclid dan 0olume benda)benda tersebut dapat dihitung dengan menggunakan pemahaman Geometri Euclid.
3.
=. iameter lingkaran digunakan sebagai dasar untuk membuat roda agar seimbang !ballan'e". "anpa pengetahuan Geometri Euclid, maka akan sangat sulit untuk membuat roda kendaraan menjadi seimbang.
4. Segitiga sama kaki digunakan untuk membuat atap rumah.
5. 9idang datar sebagai dasar pembuatan lantai yang juga merupakan aplikasi dari Euclid.
@. Geometri Euclid juga digunakan dalam mencari ketinggian menara dan pegunungan. alam hal ini menggunakan prinsip segitiga dan sudut yang dibentuk. Ini akan sangat mudah dibandingkan dengan mengukur langsung tinggi menara dan pegunungan tersebut.
6. Geometri Euclid dapat digunakan untuk melakukan penaksiran lebar sungai dengan menggunakan metode perbandingan segitiga.
REERE.S#
