KATA KATA PENGANTAR PENG ANTAR
Puji Puji syuku syukurr kepada kepada Allah Allah SWT yang telah telah melimp melimpahk ahkan an nikmat nikmat dan hidayahNya hidayahNya karena, dalam penyelesaian penyelesaian makalah makalah ini, yang Berjudul “AksiomaAksioma Geometri Inidene! dapat terselesaikan dengan "aik se"agai tugas mata kuliah Sistem Geometri# $ami telah "anyak mendapatkan "antuan dari "er"agai pihak# %ntuk itu, pada kesempatan ini kami ingin menyampaikan terima kasih kepada & selaku ku dose dosen n yang ang tela telah h mem" mem"er erik ikan an Ibu MIDRA MIDRAW WATI, S.Pd, M.M. M.M. , sela "im"ingan,arahan,serta saran dalam pem"uatan makalah ini# 'alam 'alam penuli penulisan san makalah makalah ini masih masih jauh jauh dari dari kesemp kesempurn urnaan aan penuli penuliss "erharap kritik dan saran dari pihak yang peduli terhadap makalah ini agar menjadi "ahan per"aikan dikemudian hari# Akhir kata,semoga makalah ini dapat "erman(aat "agi kita semua# Amin# Amin#
Semoga makalah ini "isa "erman(aat "agi yang mem"aa# Terimakasih#
)antauprapat, *+ Septem"er *.
$/012P1$ II
1
DAFTAR ISI
$ATA P/NGANTA)############################################################################################ 'A3TA) ISI######################################################################################################### * BAB I P/N'A4%0%AN#####################################################################################5 I#
0ATA) B/0A$ANG###############################################################################5
II#
)%2%SAN 2ASA0A4 #########################################################################5
III#
T%6%AN P/N%0ISAN############################################################################5
BAB II P/2BA4ASAN # %NS%)-%NS%) TA$ T/)'/3INISI##########################################################7 *# A$SI12A-A$SI12A 'A0A2 SIST/2 A$SI12A IN8/N'/N8/######7 5# G/12/T)I IN8/'/N8/############################################################################9 'A3TA) P%STA$A############################################################################################*
2
BAB I PENDAHULUAN
I. Latar belakan
$ata Geometri "erasal dari "ahas :unani ;greek< yang "erarti “ukuran "umi!# 2aksudnya menakup segala sesuatu yang ada di "umi# Geometri kuno se"agian dimulai dari pengukuran praktis yang diperlukan untuk pertanian orang-orang Ba"ylonia dan 2esir# $emudian geometri orang-orang Ba"ylonia dan 2esir ini diperluas untuk perhitungan panjang ruas garis, luas dan =olume# 4asil-hasli ini sering dinyatakan se"agai deret arotmetika yang seara empiris tidak "enar # Pada "agian ini, kita akan mem"ahas "e"erapa geometri dengan sejmlah keil aksioma dan teorema serta hanya mempunyai sejumlah "erhingga titik# Geometri ini dise"ut dengan geometri (inite atau geometri "erhingga#
II.
Ru!u"an Ma"ala#
# Apa yang dimaksud dengan Geometri Inidene > *# Aksioma-aksioma dan teorema apa saja yang terdapat pada Geometri Inidene >
III.
Tu$uan Penul%"an
# 2engetahui yang dimaksud dengan Geometri Inidene# *# 2engetahui Aksioma-aksioma dan teorema apa saja yang terdapat pada Geometri Inidene#
3
BAB II PEMBAHASAN
&.
Un"ur'Un"ur Tak Terde(en%"%
%ntuk mem"angun se"uah geometri diperlukan unsur-unsur tak terdi(inisi# %nsur- unsur tak terdi(inisi ini kita se"ut& a# Titik "# 4impunan titik-titik yang kita namakan garis # 4impunan titik-titik yang kita namakan "idang 6adi ada 5 unsur tak terdi(inisi yaitu& titik, garis dan "idang# $etiga unsur ini dikaitkan satu sama lain dengan se"uah sistem aksioma yaitu sistem aksioma insidensi# ).
Ak"%*!a'Ak"%*!a dala! S%"te! Ak"%*!a In+eden+e
Ada enam "uah aksioma yaitu& # Garis adalah himpunan titik-titik yang mengandung paling sedikit dua titik *# 'ua titik yang "erlainan terkandung dalam tepat satu garis 5# Bidang adalah himpuan titik-titik yang mengandung paling sedikit tiga titik yang tidak terkandung dalam satu garis ; tiga titik tak segaris< 7# Tiga titik yang "erlainan yang tak segaris terkandung dalam satu dan tidak le"ih dari satu "idang 9# Apa"ila se"uah "idang memuat dua titik "erlainan dari se"uah garis, "idang itu akan memuat setiap titik pada garis terse"ut ; garis terletek pada "idang< . Apa"ila dua "idang "ersekutu pada se"uah titik maka kedua "idang itu
akan "ersekutu pada titik kedua yang lain#
4
-. Ge*!etr% In+eden+e
Berikut ini akan di"ahas suatu himpunan aksioma yang tidak seara eksplisit menyatakan sejumlah (inite titik atau garis# Ak"%*!a'ak"%*!ana d%unakan untuk e*!etr% (%n%te dan e*!etr% %n(%n%te#
Sebaa% undefined terms adala# t%t%k, ar%", /ada.
Aksioma-aksioma dasar untuk geometri ini ada empat seperti disajikan "erikut ini# Aksioma- & Setiap dua titik "er"eda pada tepat satu garis# Aksioma-* & %ntuk setiap garis, minimal dua titik "er"eda pada garis itu# Aksioma-5 & Terdapat minimal 5 titik "er"eda# Aksioma-7 & Tidak semua titik segaris Suatu geometri yang memenuhi ke empat aksioma di atas dise"ut Geometri Inidene#
0*nt*# & 1
Geometri empat titik adalah geometri Inidene# 4al ini dapat dilihat dari padanan "erikut ini# Ge*!etr% In+%den+e
Ge*!etr% 2 t%t%k
Aksioma-
Aksioma-*
Aksioma-*
Aksioma-5
Aksioma-5
Aksioma-
Aksioma-7
Aksioma-, aksioma-*,aksioma-5#
'apat dilihat "ah?a aksioma-aksioma geometri Inidene semua dipenuhi oleh aksima-aksioma geometri 7 titik# $arene itu geometri 7 titik merupakan geometri Inidene#
5
0*nt*# ) 1
Geometri 3ano dan :oung adalah geometri Inidene# Bukti & Ge*!etr% Fan* dan 3*un
Geometri Incidence
Aksioma-
Aksioma-4 Aksioma-2
AksiomaAksioma-2, 3 aksioma-5
Aksioma4
Aksioma-3.
Aksioma-* 'apat dilihat "ah?a aksioma-aksioma geometri Inidene semua dipenuhi oleh aksioma-aksioma geometri 3ano dan :oung# $arene itu geometri 3ano dan :oung merupakan geometri Inidene# & Dar% undefined terms dan
' '
ak"%*!a'ak"%*!a d%turunkan bebera/a te*re!a
Ge*!etr% In+%den+e ber%kut %n%.
Teorema & 6ika dua garis "er"eda "erpotongan maka perpotongannya pada tepat satu titik# Bukti& 2isalkan garis itu l dan m# 6ika l dan m "erpotongan menurut de(inisi mereka "erpotongan pada minimal satu titik, se"ut P# Andaikan l dan m juga "erpotongan di @, maka melalui P dan @ terdapat garis P@, sehingga melalui P dan @ ada le"ih dari garis# $ontrradiksi dengan aksioma inidene# Ter"ukti l dan m "erpotongn pada tepat satu titik# Teorema * & %ntuk setiap titik terdapat minimal dua garis yang memuat titik itu# Bukti& 2enurut aksioma 5
& Terdapat minimal 5 titik "er"eda#
2enurut aksioma 7
& Tak semua titik seegaris#
Berarti untuk setiap titik P terdapat minimal satu garis yang tidak memuat P# 2enurut aksioma *
& setiap garis memuat minimal * titik yang "er"eda#
Sehingga garis yang tak memuat P tadi minimal memuat * titik "er"eda# 2enurut aksioma
& P dan titik-titik pada garis tadi terdapat tepat
garis# 6adi di setiap titik P ada minimal * garis#
6
Teorema 5 & Terdapat tiga garis yang tidak "ersekutu di satu titik# Bukti& 2enurut aksioma 5 dan 7 "erarti ada 5 titik yang tidak segaris# 6adi minimal ada 5 garis ;aksioma < dan garis-garis ini tidak "ersekutu di satu titik# Te*re!a 2
'ua garis yang "er"eda "ersekutu atau "erimpit pada paling "anyak satu titik 'e(inisi& Se"uah garis yang memuat titik A dan titik B yang terletak pada ujung lain dise"ut garis AB# Te*re!a 4
Apa"ila titik A tidak pada garis B8 maka titik A, titik B, titik 8 "erlainan dan tidak kolinear# Bukti& 2enurut ketentuan titik B titik 8 # Andaikan titik A titik B oleh karena B / B8 ; B pada garis B8 <, maka A / B8 # Berla?anan dengan yang diketahui sehingga pengumpamaan A B adalah tidak "enar# 2aka haruslah A B# Begitu pula dengan ara yang sama A 8# 6adi A, B dan 8 "erlainan# Andaikan A, B dan 8 segaris, sehingga ada garis g yang memuat A, B dan 8# 1leh karena g memuat B dan 8 dan B 8 maka g B8 jadi A / B8 ini "erla?an dengan yang diketahui, sehinggga perumpamaan "ah?a A, B dan 8 segaris tidak "enar# Ini "erarti A, B dan 8 tidak kolinier# Te*re!a
Se"uah garis dan se"uah titik yang tidak pada garis itu termuat tepat dalam satu "idang Bukti& Andaikan titik A dan garis g dengan A C g #; A tidak pada g < 2enurut aksioma yang menyatakan !Garis adalah himpunan titik-titik yang mengandung paling sedikit dua titik ! maka ada dua titik "erlainan misalkan B dan 8 pada g# Sehingga g B8# 6adi AC B8# 2enurut teorema yang menyatakan ! Apabila titik A tidak pada garis BC maka titik A, titik B, titik C berlainan dan tidak kolinear !
7
A, B, 8 "erlainan dan tidak segaris, menurut aksioma yang menyatakan ! Tiga titik yang berlainan yang tak segaris terkandung dalam satu dan tidak lebih dari satu bidang" A, B dan 8 termuat dalam se"uah "idang D# 1leh karena B C D, 8 C D, maka menurut aksioma yang menyatakan ""Apabila sebuah bidang memuat dua titik berlainan dari sebuah garis, bidang itu akan memuat setiap titik pada garis tersebut ( garis terletak pada bidang)", B8 g e D ; D memuat g <# Andaikan ada "idang lain DE yang memuat g dan A # 6adi DE memuat pula B dan 8 # Ini "earti DE memuat A,B dan 8 # 2enurut aksioma yang menyatakan ""Tiga titik yang berlainan yang tak segaris terkandung dalam satu dan tidak lebih dari satu bidang ! DE D # Ini "erarti D satu-satunya "idang yang memuat g dan A#
De(%n%"%
#
Andaikan A C g# Satu-satunya "idang yang memuat g dan A kita tulis
se"agai gA *# Andaikan A,B dan 8 "erlainan dan tak kolinear # Satu-satunya yang memuat A, B dan 8 kita tulis se"agai "idang AB8# De(%n%"%
'ua garis l dan m dinamakan sejajar apa"ila& #
l dan m termuat dalam satu "idang
*#
l dan m tidak memiliki titik sekutu ; titik temu<
Te*re!a ak%bat1
Apa"ila l FF m maka l dan m termuat dalam tepat satu "idang Bukti & 2enurut de(inisi, ada se"uah "idang D yang memuat l dan m# Andaikan DE juga memuat l dan m andaikan A C m , maka DE dan D memuat l dan A # 2enurut Teorema . yang menyatakan ""Sebuah garis dan sebuah titik yang tidak pada garis itu termuat tepat dalam satu bidang ” DE D
8
Te*re!a 5
6ika dua garis yang "er"eda "erpotongan, kedua garis itu termuat dalam tepat satu "idang Bukti& Andaikan l dan m garis "er"eda yang "erpotongan terse"ut andaikan A C l dan A C m ; se"a" l dan m "erpotongan <# 2enurut teorema 7 yang menyatakan !'ua garis yang berbeda bersekutu atau berimpit pada paling banyak satu titik", maka ada B C m dan B A , B C l # maka ada se"uah "idang D yang memuat l dan B # 1leh karena D memuat l maka D memuat A, sehingga memuat m # 6adi D memuat l dan m Te*re!a 6
Apa"ila dua "idang yang "erlainan "erpotongan maka himpunan titik potongnya adalah se"uah garis Bukti& Andaikan P dan @ dua "idang yang "er"eda dan yang "erpotongan, andaikan A salah satu titik temunya jadi A C P dan A C @ , maka ada titik kedua B dengan B C P dan B C @, jadi AB 8 P dan AB 8 @ , ini "erarti tiap titik AB memuat di P dan di @# Akan di"uktikan P ) @ AB # Telah di"uktikan diatas "ah?a AB 8 P ) @ tinggal mem"uktikan "ah?a P ) @ 8 AB #Andaikan 8 C P ) @ Andaikan 8 C AB , oleh karena AB dan 8 termuat dalam P dan dalam @ maka P @ # Bertentangan dengan yang diketahui jadi permisalan 8 C AB tidaklah "enar , sehingga 8 C AB # Ini "erarti "ah?a P ) @ 8 AB# 1leh karena itu telah ter"ukti "ah?a AB 8P ) @ maka P ) @ AB# Aki"at& Apa"ila ada garis g 8 D dan g 8 W, maka g D ) W De(%n%"%
'ua "idang D dan W dise"ut sejajar apa"ila D dan W tidak memiliki titik temu ;titik potong<
9
Te*re!a 7
Apa"ila "idang P sejajar "idang @ dan "idang ) memotong "idang P dan "idang @ maka himpunan P ) ) dan @) ) adalah garis-garis yang sejajar Bukti& Pertama akan di"uktikan "ah?a P ) ) dan @ ) ) adalah garis -garis# %ntuk itu di"uktikan "ah?a P dan ) "erlainan dan @ dan ) juga "erlainan# Andaikan P) # 1leh karena ) memotong @ maka ini "erarti P memotong @ # Ini tak mungkin jadi haruslah P ) , ini "erarti P ) ) adalah se"uah garis l# Begitu pula @ ) ) adalah se"uah garis m l dan m termuat dalam satu "idang yaitu ), andaikan l dan m "erpotongan, misalnya l ) m A maka A C P dan A C @ # 6adi P dan @ "ertemu di A tak mungkin terjadi karena P FF @# 6adi l dan m terletak pada satu "idang dan tidak memiliki titik temu# Ini "erarti l FFm#
De(%n%"%
#
Apa"ila garis-garis gi, g*,####, gn "ertemu pada satu titik dinamakan garis
gi, g*,H, gn kongruen# *#
Apa"ila "angun geometri Bs B*, ###, Bn terletak pada satu "idang kita
namakan "angun-"angun itu se"idang atau koplanar# Te*re!a &8
Apa"ila tiap dua garis dari sekelompok tiga garis koplanar, akan tetapi tidak "ertiga koplanar maka ketiga garis itu konkuren atau tiap dua garis diantaranya sejajar Bukti& Andaikan tiga garis itu l, m dan n andaikan l, m di "idang P , m, n di"idang @ dan l ,n di "idang ) # Akan di"uktikan P, @, ) "erlainan# Andaikan P @ maka l,m,n se"idang, ini tak mungkin, jadi haruslah P @ , "egitu pula @ ) dan P ) , oleh karena itu maka P ) @ m , @ ) ) n, P ) ) l, andaikan l ) m A dan A C l ,maka A C ) dan A C P # 1leh karena A C m maka A C P dan A C @ # 6adi A C @ dan A C ) ini "erarti "ah?a A C n# Sehingga apa"ila dua garis diantara l,m dan n "erpotongan maka tiga garis itu kongruen# Apa"ila tiap dua garis diantara l, m, dan n tidak "erpotongan, dan tiap dua garis itu se"idang, maka tiap dua garis terse"ut sejajar#
10
Te*re!a ak%bat
Apa"ila l FFm dan A tidak terletak dalam "idang yang memuat l dan m, maka ada garis tunggal n yang memuat A sehingga n FFl dan n FFm Bukti& Ada "idang P yang memuat l dan A dan ada "idang @ yang memuat m dan A, maka P @ se"a" A tidak terletak pada "idang yang memuat l dan m, andaikan P ) @ n, maka n FF l dan n FF m# 'i"uktikan n tunggal# Andaikan nE garis lain yang memuat A dan nE FF l dan nE FF m maka nE dan l se"idang di"idang )# 2aka ) harus memuat l dan A # 6adi ) P # 6adi nE 8 P "egitu juga nE 8 @ , sehingga nE n
& Ke"e$a$aran
' '
/ada Ge*!etr% In+%den+e
Aksima-aksioma inidene tidak seara eksplisit menyatakan ke"eradaan garisgaris sejajar# Nampak "ah?a Geometri 3ano adalah model geometri inidene yang tidak mempunyai garis-garis sejajar# 4al ini menunjukkan "ah?a eksistensi garis-garis sejajar tidak dapat dideduksi dari aksioma-aksioma# Geometri :oung adalah geometri inidene yang mempunyai garis-garis sejajar, hal ini dapat dilihat ;merupakan aki"at< dari aksioma limanya# 6ika l suatu garis dan P se"arang titik tidak pada l , maka terdapat tiga kemungkinan ;alternati(< untuk aksioma kesejajaran, se"agai "erikut& <
Tidak ada garis yang melalui P sejajar l#
*<
Ada tepat satu garis melalui P sejajar l#
5<
Ada le"ih dari satu garis melalui P sejajar l#
Geometri inidene yang memenuhi alternati( ke- atau ke-5 dise"ut Geometri Non /ulide#
DAFTAR PUSTAKA
11
12
