ANALISIS VARIANS
METODA STATISTIKA 1 Dosen Pengasuh : Dr. Ratuilma Indra Putri, dan Safdaningsih, Safdaningsih, M.Pd Disusun Oleh: 1. 2. 3. 4. 5.
Din Dinal ‘Ulya lya (06091 0910080 00800 02) Rahm Rahma a Sis Siska ka Utar Utarii (06 (0609 0910 1008 0800 003) 3) Sept Se ptii Mau Mauli lina na Sari Sari (060 (06091 9100 0080 8011 11)) Okwan Wam Wamanch cha a (06 (060910 09100 0803 8030) Desi Desi Arisa risan ndi (0 (0609 609100 100803 8033)
Program Studi Pend. Matematika Matematika Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Fakultas Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Pendidikan Universitas Sriwijaya Sriwijaya
ANALISIS VARIANS 1. PENDAHULUAN Kita tahu bahwa kumpulan hasil pengamatan mengenai sesuatu hal, skor hasil belajar para siswa, berat bayi yang baru lahir, gaji pegawai di suatu perusahaan misalnya, nilai datanya bervariasi dari yang satu dengan yang lain. Karena adanya variasi atau ragam ini untuk sekumpulan data, telah dihitung alat ukurnya, utamanya varians. Kita lihat juga bahwa varians bersama-sama rata-rata telah banyak digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai populasi , baik secara deskriptif maupun secara induktif melalui penaksiran dan pengujian hipotesis mengenai parameter. Dalam bab ini, varians akan dibahas lebih lanjut dengan terlebih dahulu melihat berbagai jenis varians kemudian menggunakannya untuk pengujian hipotesis melalui teknik analisis varians, disingkat ANAVA (ANA dari analisis dan VA dari varians). 2. JENIS VARIANS Secara umum varians dapat digolongkan kedalam varians sistematik dan varians galat. Varians sistimatik adalah variasi pengukuran karena adanya pengaruh yang menyebabkan skor atau nilai data lebih condong ke satu arah tertentu dibandingkan kea rah lain. Setiap pengaruh alami atau buatan manusia yang menyebabkan terjadinya peristiwa dapat diduga atau diramalkan dalam arah tertentu, merupakan pengaruh sistematik sehingga menyebabkan terjadinya varians sistematik. Cara mengajar yang dilakukan seorang ahli secara sistematik mempengaruhi kemajuan anak didik lebih baik bila dibandingkan dengan kemajuan anak yang diajar sembarangan, hasil skor ujiannya menggambarkan adanya varians sistematik. Salah satu jenis varians sistematik dalam kumpulan data hasil penelitian adalah varians antar kelompok atau kadang-kadang disebut pula varians eksperimental. Varians ini menggambarkan adanya perbedaan atau variasi sistematik antara kelompok-kelompok hasil pengukuran. Dengan demikian varians ini terjadi karena adanya perbedaan antara kelompokkelompok individu.
Contoh : Misalkan ada empat kelas siswa, tiap kelas banyak muridnya sama, sedang belajar Inggris, masing-masing kelas diajar oleh seorang guru dan tiap guru menggunakan metoda mengajar yang berbeda, sebut A, B, C dan D. Nilai hasil ujian akhir proses belajar untuk tiap metoda, rata-rata seperti berikut : Metoda
A
B
C
D
Rata-rata
67,3
76,5
56,9
63,7
aggap rata-rata ini sebagai data biasa lalu hitung variansnya; diperoleh varians antar kelompok A, B, C, dan D. Besarnya dihitung sebagai berikut. Karena tiap kelas banyak muridnya sama, maka : Rata –rata untuk keempat rata-rata itu :
1
( 67,3 + 76,5 + 56,9 + 63,7) = 66,1 4 Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dikoreksi, yaitu setiap data dikurangi rata-ratanya lalu dikuadratkan, dan kemudian dijumlahkan, adalah : (67,3 – 66,1) 2 + (76,5 – 66,1) 2 + (56,9 – 66,1) 2 + (63,7 + 66,1) 2 = 200. Bagi oleh derajat kebebasannya, ialah banyak kelompok dikurangi satu, jadi 4 – 1 = 3, diperoleh varians antar kelompok A, B, dan D sebesar 66,67. Contoh : Misalkan dua jenis makanan ayam, (sebut A dan B) dicobakan ; A terhadap 5 ekor ayam dan B terhadap 4 ekor ayam. Segala karakteristik ke-9 ekor ayam itu (misalnya besarnya, jenisnya, umurnya dan lain-lain) sama. Setelah 20 hari percobaan pertambahan berat dagingnya (dalam ons) ditimbang dan dicatat. Hasilnya seperti berikut : Makanan A Makanan B
3,2
3,7
3,9
3,6
3,5
2,2
2,9
2,5
2,4
-
Pertambahan berat daging karena kedua jenis makanan itu, rataratanya masing-masing x A = 3,58 dan x B = 2,50. Rata-rata ini berbeda, bervariasi sehingga kita katakan ada varians antar kelompok. Kita hitung dulu varians ini sebagai berikut. Karena ukuran sample berbeda, maka rata-rata untuk kedua rata5( 3,58) + 4( 2,50) rata di atas adalah : = 3,1
9 Jumlah kuadrat (JK) dikoreksi untuk makanan A adalah 5(3,58 – 3,1) 2 = 1,152 dan JK dikoreksi untuk makanan B adalah 4(2,50 – 3,1) 2 = 1,44. JK dikoreksi untuk kedua rata-rata antar kelompok ini adalah 1,152 + 1,44 = 2,592. Jika JK dikoreksi ini dibagi oleh derajat kebebasan kedua rata-rata, ialah (2-1) = 1, diperoleh varians antar kelompok 2,592. Sekarang gabungkan ke-9 buah data itu lalu hitung variansnya. Dengan jalan ini kita peroleh varians lain yang dinamakan varians total. Untuk menghitung varians total, seperti biasa digunakan rumus yang untuk itu diperlukan rata-rata ke-9 data, setelah dihitung besarnya 3,1. JK koreksi total untuk ke-9 data itu adalah
(3,2 - 3,1) 2 + (3,7 – 3,1) 2 + . . . + (2,4 – 3,1) 2 = 31,2. Setelah dibagi oleh derajat kebebasannya, ialah (9 – 1) = 8 diperoleh varians total sebesar 0,39. Varians total ini berisikan semua sumber variasi dalam skor yang sudah diketahui satu diantaranya adalah varians antar kelompok. Mari kita cari jenis varians lainnya. Untuk ini kita hitung varians makanan A dan varians makanan B lalu dicari rata-ratanya. Yang diperoleh adalah varians lain yang dinamakan varians dalam kelompok atau kadang-kadang disebut juga varians galat. Perhitungannya adalah sebagai berikut : JK dikoreksi untuk data makanan A adalah : (3,2 – 3,58)2 + . . . + (3,5 – 3,58)2 = 0,268 sedangkan JK dikoreksi untuk data makanan B adalah : (2,2 – 2,50) 2 + . . . + (2,4 – 2,50) 2 = 0,26. Kedua JK ini jumlahnya = 0,528. Bagi oleh derajat kebebasannya, ialah 7 (=9 – 2) menghasilkan varians dalam kelompok 0,0754.
Dari contoh di atas diperoleh kenyataan berikut : JK koreksi antar kelompok = 2,592 dan JK koreksi dalam kelompok = 0,528 yang jika dijumlahkan menghasilkan 3,12. Jumlah ini sama dengan JK koreksi total. Memang demikian bahwa untuk jumlah koreksi ini berlaku aturan : JK total = JK antar kelompok + JK dalam kelompok.........................XIV(1)
3. ANALISIS VARIANS SATU ARAH Dalam bagian ini akan dibahas perluasan, yaitu menguji kesamaan k, (k > 2), buah rata-rata populasi. Tepatnya, misalkan kita mempunyai k, (k > 2), buah populasi yang masing-masing berdistribusi independent dan normal dengan rata-rata µ 1 , µ 2 , . . . , µ k dan simpangan baku berturut-turut σ 1 , σ 2
, . . . , σ k . Akan diuji hipotesis nol H 0 dengan tandingan H 1 :
{
H 0 : µ 1 µ 2 ... µ K H 1 paling : sedikit satu =
=
=
tanda sama dengan tid ak berlaku
Selain daripada asumsi kenormalan tentang populasi, untuk pengujian ini juga akan dimisalkan bahwa populasi bersifat homogen ialah bahwa 2 2 2 σ 1 = σ 2 = ... = σ k . Dari tiap populasi secara independent kita ambil sebuah sample acak, berukuran n 1 dari populasi kesatu, n 2 dari populasi ke dua dan seterusnya berukuran n k dari populasi ke k. Data sample akan dinyatakan dengan Y ij yang berarti data ke-j dalam sample yang diambil dari populasi ke-i. Untuk memudahkan, sebaiknya data sample disusun seperti dalam Daftar XIV (1).
DAFTAR XIV(1) DATA SAMPEL DARI k BUAH POPULASI BERDISTRIBUSI NORMAL
1 Y 11
DARI POPULASI KE 2 3 . . Y 21 Y 31 . .
. .
. .
k Y k 1
Y 12
Y 22
Y 32
.
.
Y k 2
Y 13 . . . Y 1n1
. . . . Y 2n 2
. . . . Y 3n3
Jumlah
J1
J2
J3
Rata-rata
Y 1
Y 2
Data Hasil Pengamatan
Y 3
.
.
.
.
.
.
Y knk
.
.
.
.
J k
.
.
.
.
Y k
Untuk menguji H 0 melawan H 1 yang kita bicarakan, varians-varians inilah yang akan digunakan, tepatnya varians antar kelompok dan varians dalam kelompok. Dengan persyaratan tentang populasi seperti tersebut di atas, ternyata bahwa rasio varians antar kelompok terhadap varians dalam kelompok membentuk statistic F, tepatnya F=
varians antar kelompok varians dalam kelompok
…………………………………XIV(2)
Statistik inilah yang digunakan untuk menguji H 0 . Jika kedua varians dalam statistic F di atas dituliskan menggunakan jumlah kuadrat, maka rumus XIV(2) untuk menguji H 0 berubah menjadi k
2 ∑ {n1 ( Y − Y i ) /( K − 1) }
F=
k
i =1 n1
k
∑ ∑ (Y ij − Y i ) / ∑ ( n1 − 1) i =1
i =1
2
…………..…………………XIV(3)
i −1
Dengan Y ij = data ke-j dalam sample ke-i i = 1, 2, 3, . . , k dan j = 1, 2, . . . , n i (n i = ukuran sample dari populasi ke-i).
ni
Y I =
∑
Y IJ / ni = rata - rata untuk sample ke - i
j =1
ni
k
k
∑ ∑ Y ij ∑ n
Y=
1
i =1
j −1
= rata - rata untuk semua
data
i =1
Ternyata bahwa statisitik di atas berdistribusi F dengan dk pembilang v 1 = (k - 1) dan dk penyebut v 2 = (n 1 + . . . + n k - k). Kriteria pengujian adalah : tolak H 0 jika F ≥ F (1−α )(V 1 .V 2 ) , di mana F (1−α )(V 1 .V 2 ) dapat dilihat dari daftar distribusi F dengan peluang (1 − α ) dan dk = ( v1.v2 ) . Di sini α = taraf nyata untuk pengujian. Untuk memudahkan perhitungan, rumus XIV(3) diubah seperlunya dan akan digunakan simbul-simbul berikut : R y = J 2 / ∑ ni dengan J = J 1 + J 2 + . . . + J k A y =
∑
∑ ( J i
2
/ ni ) − Ry
Y 2 = jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dari semua nilai pengamatan
D y =
∑
Y 2 - R y - A y
R y , A y , D y , dan
∑
Y 2 merupakan jumlah kuadrat-kuadrat (JK) yang
berturut-turut berdasarkan sumber-sumber variasi rata-rata, antar kelompok, dalam kelompok, dan total. Setiap JK sumber variasi didampingi oleh derajat kebebasan (dk). Untuk rata-rata dk = 1 , untuk antar kelompok dk = (k - 1), untuk dalam kelompok dk = ∑ (n i - 1) dan untuk total dk = ∑ ni . Jika tiap JK dibagi derajat kebebasannya masing-masing, diperoleh varians untuk masing-masing sumber variasi yang di sini akan disebut kuadrat tengah (KT). Dengan jalan membagi KT antar kelompok oleh KT dalam kelompok, maka diperoleh harga :
F=
A y / ( k − 1) D y / ∑ ( ni − 1)
………………………………………….XIV(4)
yang dapat digunakan untuk menguji hipotesis kesamaan beberapa rata-rata populasi. Jika harga F ini lebih besar dari F daftar dengan dk pembilang (k – 1) dan dk penyebut
∑
(n i - 1) untuk α yang dipilih, maka hipotesis nol H
kita tolak. Analisis untuk menguji kesamaan k buah rata-rata populasi yang dibicarakan di sini dikenal dengan analisis varians satu arah. Dinamakan demikian karena analisisnya menggunakan varians dan data hasil pengamatan merupakan pengaruh satu factor. 0
Untuk memudahkan analisis, satuan-satuan JK ialah : R y , A y , D y , dan
∑
Y 2 , sebaiknya disusun dalam daftar analisis varians, daftar ANAVA,
seperti dapat dilihat dalam Daftar XIV(2).
DAFTAR XIV(2) DAFTAR ANALISIS VARIANS UNTUK MENGUJI H 0 : µ 1 = µ 2 = . . . = µ k (POPULASI NORMAL HOMOGEN)
Sumber Variasi
dk
JK
KT
Rata-rata
1
R y
R = R y / 1
A y
A = A y / (k – 1) D = D y /
Antar Kelompok k - 1 Dlam Kelompok
∑ ( ni − 1)
D y
Total
∑ ni
∑ Y
2
F
A/D
∑ ( ni − 1)
---
---
Contoh : Empat macam campuran makanan diberikan kepada kambing dalam rangka percobaan untuk meningkatkan pertambahan berat dagingnya. Setelah percobaan selesai, pertambahan berat dagingnya dicatat dan hasilnya sebagai berikut. DAFTAR XIV(3) PERTAMBAHAN BERAT DAGING KAMBING (DALAM KG) SETELAH PERCOBAAN SELESAI
PERTAMBAHAN BERAT KARENA MAKANAN KE 1
2
3
4
Data Hasil Pengamatan
12 20 23 10 17
14 15 10 19 22
6 16 16 20
9 14 18 19
Jumlah Rata-rata
82 16,4
80 16,0
58 14,5
60 15,0
Kita misalkan , bahwa pertambahan berat berdistribusi normal dan dalam bagian Bagian 16, Bab XII, dalam contoh untuk data yang sama tidak 2 2 diuji bahwa populasinya mempunyai varians yang homogen, yaitu : σ 1 = σ 2 2
2
= σ 3 = σ 4 . Untuk memperoleh daftar analisis varians, diperlukan hargaharga berikut. R y =
A y =
∑ Y
2
( 82 + 80 + 58 + 60) 2 78400 5+5+ 4+ 4 82 2 5
+
802 5
+
582 4
18 +
60 2 4
= 4.355,56
4.355,56 = 10,24
= 12 2 + 20 2 + . . . + 18 2 + 19 2 = 4.738
D y = 4.738 – 4.355,56 – 10,24 = 372,20 Dengan k = 4,
∑ ni
= 18 dan
∑ ( ni − 1)
= 14 maka daftar analisis varians
atau ANAVA untuk soal di atas nampak seperti dalam Daftar XIV(4) berikut.
DAFTAR XIV(4) DAFTAR ANALISIS VARIANS PERTAMBAHAN BERAT DAGING KAMBING KARENA 4 MACAM MAKANAN
Sumber Variasi Rata-rata Antar Kelompok Dalam Kelompok Total
dk
JK
KT
1
4355,56
4355,56
3
10,24
3,41
14
372,20
26,59
18
4738
-
F
0,128
-
Dengan Rumus XIV(4) didapat harga F = 0,128. Dari daftar distribusi F dengan dk pembilang 3 dan dk penyebut 14 dan peluang 0,95 (jadi α = 0,05) didapat F = 3,34. Ternyata bahwa F = 0,128 lebih kecil dari 3,34 ; jadi hipotesis H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 diterima dalam taraf nyata 0,05. Keempat macam campuran makanan itu menyebabkan pertambahan berat badan kambing yang tidak berbeda secara nyata. Dengan
kata lain, keempat macam makanan itu sama efektifnya sehingga campuran mana saja yang digunakan akan memberikan hasil yang secara nyata tidak berbeda.
Daftar Pustaka
Sudjana.2002. Metoda Statistika.Tarsito : Bandung.
